■
in der MoLkSschuLe
LcribacH.
Druck und Verlag von Jg. v. Kleiuiuayr & Fed. Bamberg
1888.
Sperielle
Methodik des Uechemmterrichte
in bex WoMsschnle.
Theoretischer Thril.
Bon
Kukao Lautar.
Laibach.
Druck und Verlag von Jg. v. Kleinmayr & Fed. Bamberg.
1888.
^ o r r c 6 e.
dieses Buch verdankt seine Entstehung zunächst dem Umstande, dass die Borträge über speeielle Methodik des Ncchenniiterrichtes an Lehrer- »nd Lehrerinneii-Bildungsanstalten nach svgenannten Anleitungen den Zöglingen nicht jenen freien Blick über die Behandlung des Faches eröffnen können und daher nicht jene Selbständigkeit begründen, die jedem Lehrer eigen sein müsste. Durch die jetzige Einrichtung der Lehrer-Bildungsanstalten ist es möglich, den angehenden Lehrern eine derartige Fachbildung zu geben, die das schablonenmäßige Beibringe» einer von Zeit zu Zeit sich verändernden, weil vervollkommnenden Methode überflüssig macht. Der Zögling soll mit dem Wesen des Faches, mit den daraus entspringenden Grundsätzen der Methode und mit den Errungenschaften ans diesem Gebiete vertrant gemacht werde»; seine Aufmerksamkeit soll aber auch zugleich ans jene Punkte, i» denen die verschiedenen Pädagogen nicht Überreinstimmen, hingelenkt werde». Nur ans diese Weise haben wir ihn befähigt, an der Methode selbständig und mit Erfolg weiter z» bauen.
Das vorliegende Buch beginnt daher mit einer kurzen geschichtlichen Einleitung über die Entwicklung des Rechnens und der Rechenmethode. Der Zögling soll ans diesem Bilde erkennen, dass Jahrtausende vorübergehen mussten, um das Rechnen auf jene Stufe der Vollkommenheit zu bringen, auf der es heute steht; er soll erkennen, dass es vermessen wäre zu glauben, er allein wäre imstande, die Methode zur höchsten Vollendung zu bringen, und dass dies mir im Verlaufe einer längeren Zeit der vereinten Kraft aller Lehrer gelingen kann.
Das Buch bespricht die Nnmeration und jede Operativ», das Mopst und Zifferrechnen, das reine Rechnen mit unbenannten »nd benannten Zahlen, das angewandte Rechne», das Brnchrechnen jedes für sich, um den stnfcnmäßigen Zusammenhang der einzelnen Partien bis ins kleinste möglichst hervorznheben. Dabei wurden die Werke von Mocnik, Hentschel,
Böhme, Kinllittg, Salberg, Lüdemann, Stubba, Tanck, Heinze ltitb Hübner it. a., französische und italienische Rechenbücher benützt und etwaige Meinungsverschiedenheiten derselben nebeueiuandergestellt.
Ans Grund dieses Buches wurde dann der praktische Theil, der den Stvff ans jene Art und in jener Aufeinanderfolge behandelt, wie ihn der Lehrer in der Schule vorzunehuien hat, und die Rechenbücher znsaminengestellt.
Da das Buch zunächst als Hilfsbnch für Lehrer- und Lehrerinnen-Bildungsanstalte» bestimmt ist, so konnte die Behandlungsweise einzelner Partien nicht ningangen werde», es musste mit der Theorie auch die Praxis in Verbindung treten, mit den Forderungen der Lehrer-Bil-dungsanstalten zit genügen. Deshalb hat das Buch einen praktischen Anstrich, obwohl es als theoretischer Theil bezeichnet wird.
Manchem wäre stellenweise eine kürzere Fassung vielleicht erwünschter, wogegen doch ernste Bedenke» laut werden. Dein Verfasser ist es vor allein darum zu thun, seine Gedanken möglichst klar zu geben und insbesondere das zu zeigen, dass im Rechennnterrichte jede experimentierende Methode nicht nur überflüssig, sondern verwerflich ist, weil es ja für das Rechnen doch nur eine Methode gibt, und zwar jene, die dem Kinde vom Anfänge an ermöglicht, denkend zu rechnen. Man soll nämlich zu jeder Partie den Grund derartig legen, dass die Schüler das übrige, was sich auf diesen Grund stützt, durch eigenes Nachdenken selbst finden können. Daher wurde in diesem Buche mich das Fassungsvermögen des Kindes genauer ins Auge gefasst, Partien, die erst im Verlaufe einer längeren Zeit geistig verarbeitet werden können, besonders betont und darauf hingewiesen, wenn Neues sich an das Vorangegangene anznschließen hat.
Ilm Benrtheilung des Werkes wird jedoch erst gebeten, wenn dasselbe in Verbindung mit der Anleitung und den Rechenbüchern und durch die Erfahrung gründlich und ohne alles Vvrnrtheil geprüft wurde.
Ulnrlmri) im Octvber 1888.
Dir Derfnfler.
Inhaltsverzeichnis.
Seite
Einleitung.
Entwicklung brs ßrcknnts und brr
Kechenmethode.
Übersicht des Rechenstoffes ...	.	5
Erster Abschnitt.
Die ganze Zahl die Umneration.
Ausfassen der Zahl durch das Kind	13
Veranschaulichung der Zahl ....	14
Zählen ................................ 16
Irveiter A»s«Hnitt. /undainenle des Kechnens.
Zergliederung der vier Grundopera-
tioueu mit ganzen Zahlen . .	18
Zusammenhang der Fundamen-talübungcn. — Aufsuchen der
Operationsresnltate ........... 1!)
Addition.
Subtraction.................... 20
Multiplikation................. 21
Division.
Trennung der Operationen. Veranschaulichung der Fmidn-mentaliibungen.................. 23
Dritter Abschnitt.
Rechnen mit unbenannle» Zahle».
A.	Kopfrechnen................... 25
Nutzen des Kopfrechnens.
Grundsatz des Kopfrechnens.
Grenzen des Kopfrechnens	.	.	.	26
Stützen des Kopfrechnens.
Genauere Zergliederung des Kopfrechnens in Stufen	...	27
Seite
Addition........................... 28
Raum 1	20.
Raum 1 — 100.
Raum 1 — 1000.
Subtraction........................ 20
Raum 1 — 20.
Raum 1 —100.
Raum 1 —1000.
Multiplikation..................... 30
Raum 1 — 20.
Raum 1 —100.
Raum 1 — 1000.
Division...................... 31
Raum 1 — 20.
Raum 1 —100.
Rann? 1 — 1000.
Bemerkungen zu den vorstehenden Unterstufen................ 32
Reihenübungen................. 35
B. Zifferrechnen.................. 39
Wechselbeziehung zwischen Stopf» und Zifferrechnen.
Selbständiges Zifferrcchuen.	.	.	42
Addition .......................... 43
Raum 1 — 1000.
Unbegrenzter Zahlcnraum	...	45
Subtraction.................. .	46
Raum 1 — 1000.
Unbegrenzter Zahlenraum	.	.	.	48
Subtrahieren mittels Zuzühlens.
Multiplikation................ 50
Raum 1 —1000.
Unbegrenzter Zahlenraum.
Specielle Fälle.
Multiplication mit Zehnern	.	.	öl
Multiplication mit zlveiziffrigen
Zahlen........................ 52
Unbegrenzter Zahlenraum	.	.	.	53
Division......................... 55
Raum 1-1000 .......................... 66
Unbegrenzter Zahlenrauin. Behandlung der Divisionsstufcn.
Raum 1 — 1(XX).
Division durch Einer.
Division durch 10............................................ 5!)
Division durch reine Zehner. Division durch mehrziffrige Zahlen	 .	.	60
a) Quotient einzisfrig.
b) Quotient zweiziffrig.
Unbegrenzter Zahlcnranin ... 61 Abgekürzte Rechnungsweise.
"Vierter Absehrritt.
Keines Kechnr» mit benannte» Zahlen.
Eintheilung der benannten Zahlen . 63 Eintheilung der Maße.
1. Zählmaße.
2. Längenmaße................................................. 64
3. Flächenmaße.
4. Körpermaße.
5. Gewichlsmaße.
6. Zeitmaße.
7. Wertmaße (Alüuzen).
8. Bogen- und Winkelmaße . . 65 Wie sind die benannten Zahlen den
Kindern vorznführen? Aneinanderreihung der Maße. . 66 Auffassung der Zählmaße ... 67 Auffassung	der Längenmaße.
Ausfassung	der	Flächenmaße	.	.	68
Auffassung	der	Körpermaße.
Auffassung	der	Gewichte.
Auffassung	der Zeitmaße.
Auffassung	der	Münzen ....	6!)
Meterstab, praktische Gewichte re.
Stufenfolge der Maße  70
Das Rechnen mit benannten Zahlen.
A. Kopfrechnen....................... 71
Addition.
Subtraktion.......................... 72
Multiplication.
Das Messen.
Das Theilcn.
B. Schriftliches Rechnen .... 73 Redncicre».
Decimale Schreibung inehrnami-ger Zahlen, die 10 oder ein Vielfaches von 10 zur Ver-wandlungszahl haben .... 75
Resolvieren.......................... 76
Die vier Grundrechnungsarten mit mchrnamigen Zahlen . . 77
Addition ............................ 78
Subtraction.
Multiplication....................... 79
Division.•........................... 80
1. Messen.
2. Theilen.
fünfter Abschnitt, ürüche.
Auffassung der Brüche ...	.82
Eintheilung der Brüche .... 83
A.	Gemeine Brüche.
I.	Die vorbereitende Stufe (Stufe des Kopfrechnens). Veranschaulichung der gemeinen Brüche.
Stufen bei der Betrachtung der
Brüche.............................85
Erste Stufe: Theilen der Einheit. Zweite Stufe: Theilen ganzer
Zahlen............................ 86
Wann soll man mit der Bruchrechnung	ansangen?........ 88
Resolvieren	und	Reducieren . . 89
Resolvieren.
Resolvieren der Halben.
Redueiercn.
Vergleichung des Wertes der Brüche............................... 90
I. Die Form des Bruches wird verändert, der Wert nicht . . 90
1. Erweitern der Brüche.
2. Abkürzen der Brüche .... 91
3. Gleichnamigmachen derBrüche.
II.	Der Wert des Bruches wird
durch Veränderung der Form verändert.......................... 92
1. Vergleichung der Brüche mit gleicher» Nenner.
2. Vergleichung der Brüche mit ungleichem Nenner..................... 93
a) aber gleichem Zähler ß) Mit ungleichem Zähler ... 94 Übersicht über den Stoff der vorbereitenden Stufe.
Die vier Operationen mit einfachen Brüchen........................ 95
II.	Die Bruchlehre überhaupt . 96 Die Zahlenlehre.
Maß und Vielfaches.
Größtes gemeinschaftliches Maß, kleinstes gemeinschaftliches Vielfaches.
Kennzeichen der Theilbarkeit . . 97 Zerlegung der Zahlen in Prim-
factoren........................... 99
Aussuchen des größten gemeinschaftlichen Maßes und des kleinsten gemeinschaftl. Vielfachen durch Zerlegung in Priinfactoren.
Aufsuchen des größten gemeinschaftlichen Maßes nach der
Divisionsmethode...................100
Anfsuche» des kleinsten gemeinschaftlichen Vielfachen . ... 102 Verwandlung unechter Brüche in ganze oder gemischte Zahlen
und umgekehrt......................103
Erweitern der Brüche 104
Abkürzen der Brüche. Gleichnamigmachen der Brüche.
Seite
Die vier Grundrechnungsarten mit gemeinen Brüchen überhaupt .............................105
Addition und Subtraction der Brüche.
Multiplication	der	Brüche . . . 106
Division der Brüche...............107
B.	Decimalbrüche....................109
Auffassung der Decimalbrüche.
Wann hat man das Rechnen mit Decimalbrüche« anzufangen? 110 Behandlung, Lesen und Schreiben der Decimalbrüche.
Zehntel, Hundertel, Tausendtel. Vollständige Einführung in die
Decimalbrüche...................113
Veränderung der Form eines Decimalbrnches ohne Veränderung seines Wertes . . . . 115 Veränderung des Wertes eines Decimalbrnches durch Rücken
des DecimalpunkteS 116
Verwandlung der gemeinen Brüche in Decimalbrüche und
umgekehrt ......................117
Verwandlung der gemeinen Brüche in Decimalbrüche. Verwandlung der Decimalbrüche
in gemeine Brüche...............120
Die Rechnungsoperationen mit
Decimalbrüchen..................121
Addition der Decimalbrüche. Subtraction der Decimalbrüche. 122 Multiplication der Decimalbrüche.
Division der Decimalbrüche . . 124
Sechster Abschnitt.
Angewandtes Aechnrn.
Angewandtes Rechnen ans der Unter-
und Mittelstufe.................126
Ziel und Umfang des Rechnens.
A.	Inhalt der Aufgaben.... 127
Eintheilung des Recheugebietes	
in Rechenkreise		127
Erster Rechenkreis.	
Zweiter Rechenkreis.	
Bemerkungen zum ersten Rechen«	
kreise 		128
Bemerkungen zum zweiten Re-	
chenkreise.	
Zeitrechnung		129
Zeitrechnung im engeren Sinne	
des Wortes.	
1. Der Tag und seine Einthei«	
lung.	.
I. Es werden nur die Stunden	
berücksichtigt.	
a) Zeitbestimmungen innerhalb	
eines Kalendertages		
b) Zeitbestimmung innerhalb	
zweier Kalendertage.	
2. Es werden Stunden, Minu-	
ten u. Secnnden berücksichtigt 131	
II. Die Woche.	
III. Das Jahr und die Monate 132	
IV. Die christliche Zeitrechnung	133
Warenrechnung		134
Der Quantitätskrcis		135
Zergliederung des Quantitäts-	
kreises 		
Der Preiskreis.	
Zergliederung des Preiskreises	
Der GeldkreiS 		
Zinsrechnungen.	
Verhältniskreis		138
Zusammenfassung des Gewon-	
nenen 		139
Vertheiluug der Rechenkreise ans	
die Zahlenräume.	
1 — 10		140
1 — 100.	
1 —1000.	
Unbegrenzter Zahlenraum.	
Seite
Stilisierung der Aufgaben . . . 141
B.	Bein Schlüsse.
Einfache Schlüsse.........................142
Beispiele, aus denen die Operationsschlüsse erkannt werden.
Additionsschluss.
Subtractionsschluss.
Mnltiplicationsschlnss ..............14:!
Schluss aufs Messen...................144
Schluss aufs Theileu, Zusammengesetzte Schlüsse . . . 145
Vollständiger, abgekürzter Schluss.
Schluss von der Einheit auf eine Mehrheit, von einer Mehrheit auf die Einheit, von einem Mas; auf ein Vielfaches.
Schluss von einer Mehrheit ans
ein Masi.........................14(1
Schluss von einer Mehrheit durch die Einheit auf eine andere Mehrheit.
Schluss von einer Mehrheit durch ein Maß auf eine andere
Mehrheit..........................147
Zusammengesetzte Aufgaben.
Durchschnittsrechnung ...............150
Theilregel...........................151
Zerlegungsmethode.
Übersichtliche Zusammenstellung des Gewonnenen bezüglich des
Operationsschlusses...............152
Vertheiluug der Schlussarten auf die verschiedenen Zahlcnräume.
1 — 20.
1 — 100.............................15.4
1 -1000.
Angewandtes Rechnen auf der Oberstufe ............................154
Algebraische Aufgaben 156
Einiges über Rechenvortheile. . 159 Werke in Bezug auf die Methodik des Recheuunterrichtes.
EinLritn ittx.
Entwicklung des Rechnens imb der Rechenwethode.
§ 1. Der Mensch rechnet seit uralten Zeiten, und Jahrtausende mussten vorübergehen, bevor das Rechnen die heutige Stufe der Entwicklung erreicht hat. Das Benennen, das Bezeichnen der Zahlen, die Operationen mit denselben, insbesondere aber die Multiplikation und Division bereiteten große Schwierigkeiten. Eine Wendung zum Besseren brachte die Entdeckung der Nulle durch die Inder. Seit diesem Momente begann sich das Rechnen kräftig zu entfalten, die Inder überbrachten es den Arabern (im 8. Jahrh.), durch die es sich über ganz Europa zu verbreiten anfieng (12. Jahrh.). Die Benennung der Zahlen blieb jedoch lange, lange noch eine sehr schwerfällige. Adam Riese z. B. spricht die Zahl 86.789,325.178 so ans: «Sechs und achtzig tauseut, tausend mal tansendt, sieben hundert tansendt mal tansendt, nenn vnnd achtzig tausend mal tausend, drei hundert tausend, fünf vnnd zwanzig tausend, ein hundert, acht und siebenzig» (1535); und diese Benen-nungsweise hat sich erst Anfangs des 18. Jahrhunderts durch die Ein führnng der höheren Zahlwörter Million, Billion n. s. w. vollends verloren.
Die Zahl der Operationen schwankt. Beim Araber Mohammed Ben Musa (9. Jahrh.) kommen noch neben den vier gewöhnliche» das Dnplieren (Vervielfachen mit 2) und das Medieren (Division durch 2) vor, was man auch bei späteren Schriftstellern, sogar noch im 16. Jahrhunderte vorfindet. Sogar das Numerieren betrachtete man als eine Operation. Erst Ende des 18. Jahrhnndertes rangen sich die Operationen zu einer bestimmten und zur einfachsten Form durch.
Die Addition als die einfachste Operation kam zuerst zum vollen Abschlüsse; Ähnliches kann man auch von der Subtraktion sagen. Eine Unschlüssigkeit zeigt sich, ob man die Operation rechts oder links au-
zufaiigen habe. Die Snbtraetiou wurde oft in Verbindung mit der Addition ausgeführt. Z. B. subtrahiert Adam Riese (16. Jahrh.) 28 von 75 so: «8 von 10 — 2, 2 + 5 = 7, 3 von 7 bleibt 4.»
Die Grundlage der Mnltiplication ist das .Einmaleins». Dieses verursachte den Alten viel Kopfzerbrechen. Mau suchte dasselbe wenigstens für die höheren einziffrigen Zahlen zu umgehen. So findet man bei Adam Riese z. B. 8 X 9 = 72 und andere Producte so ansgeführt: .8 + 9 = 17, die Einer 7 werden angeschrieben; 10 — 8 = 2, 10 — 9 = 1, 2X1 — 2, und 2 neben 7 gesetzt, gibt 72. Christoph Rudolfs zu Wien 1588 gibt dieser Methode folgende Form für 7X8, 7 X 7. 7 X 9, 8 X 8 u. s. w.
7.3
8.2
7.3
7.3
7.3
9.1
8.2
8.2
5 6
4 9
6 3
6 4
Das Schwankende in der Form der Mnltiplication und Division soll an einigen Beispielen gezeigt werden.
Bei Brahmegupta (7. Jahrh.) wird 235.288 ausgeführt wie folgt:
1.)
235	2	470	2.) 235	9	2115
235	8	1880	235	8	1880
235	8	1880	235	151	35485
		67680	235	120	28200 67680
3.)
235	Man	inultiplieicrte	nun	zuerst	200	im
288	Multiplikanden mit 288, dann 30 u.	s. w.
288	und konnte dabei anfaugen mit 2.2	oder
288	mit 8.2.
Bei Bhascara (12. Jahrh.) findet man das Beispiel 135.12 = 1620 folgendermaßen behandelt:
1.)
1
3
2-)
12
1
12
3
12
r,
12
3
16
60
6_
20
3.)	135	135	4.)	135	20	2700
1	2	135______8__________1080
270	1620
135 1620
Bei Tartaglia (16. Jahrh.) findet man außer »nserem Ansätze nach 6 andere Multiplicationsfornien, die schon bei den Indern und Araber» Vorkommen.
Nach Mohammed Ben Mnsa (9. Jahrh.) wird 2852:12 — 237T\ so ausgeführt:
Dieses Verfahren entspricht dein «Übersichdividieren», welches vor dein nnsrigen, dein «llntersichdividieren», sehr im Gebrauch war, nur sind hier die verrechneten Ziffern nicht durchgestrichen.
ihrh.) rechnet man 3954 : 267 — 14
Die Erläuterung dazu lautet: «Man setzt 267 unter 395 und sagt: 2 in 3, Inial. Nun wird 267 von der linken Seite an mit 1 inultipliciert, und was bei jeder Ziffer Herauskoninit, gleich von dem, ivas gerade darüber steht, abgezogen. Man sagt also:
1 mal 2 ist 2, und dies von 3 abgezogen, bleibt 1, welches über 3 geschrieben, 3 und 2 aber durchgestrichen wird. Weiter ist 1 mal 6 — 6, und 6 von 9 bleibt 3. 3 wirb über 9 geschrieben, 6 und 9 oben gestrichen. Weiter ist 1 mal 7 — 7, und 7 von 35 bleibt 28. 8 wird über 5 und 2 über 3 geschrieben; 3, 5 und 7 aber gestrichen u. s. f. So ist nun der Quotient 14 und der ungestrichene Rest 216.»
i*
12	
498	
237	237
2852	8
12	12
12	
12	
Nach Adam	Riese (1(
ans, wie folgt:	
2	
41	
24	
1386	
3004	
2677	14
28	
23
82
148
23
138
140
23
110
358. 1432. 1384 358 1074 310
Eine ähnliche Vervollkommnung beobachtet man bei den Maßen und Gewichten, die für jedes Land, ja sogar für einzelne Städte in dem selben Lande verschieden waren. In diesem Jahrhundert hat man die selben dem dakadischen Systeme angepasst und dadurch das Rechnen mit benannten Zahlen bedeutend vereinfacht. Gerade so, wie man beim reine» Rechnen in den früheren Jahrhunderten dem Schüler das Verständnis der Operationen nicht beibrachte, sondern ihn nach erlernten Regeln rech neu lies, hat man auch das angewandte Rechnen nur mechanisch betrieben. Es gab beinahe so viele Regeln, als angewandte Aufgaben für deren Lösung. Auch diesbezüglich stehen wir heutigen Tages schon ans einer verhältnismäßig hohen Stufe. Ueberhanpt scheint dieses Jahrhnn dert berufen zu sei», das Rechnen in seine richtigen Bahnen zu lenke». Der große Pädagoge Pestalozzi hat dazu den kräftigsten Anstoß gegeben. Sein Satz: «Aller Unterricht gehe von der Anschauung aus,» kam mich für den Rechenunterricht zur allgemeinen Geltung. Da aber Pestalozzi eine falsche Auffassung von der Anschauung der Zahl hatte, bekam sein Rechnen eine eigenthümliche geschraubte Form und konnte daher unmöglich Boden fassen, regte hingegen zu einem heilbringenden geistigen Kampfe an, ans dem schließlich die Methode des Rechennnter-richtes zur vollen Reife gelangen muss. Jänicke schreibt in der Geschichte der Methodik von Kehr: «Die Controverspunkte drehte» sich hauptsächlich um Lehrziel und Lehrgang bis in die zwanziger Jahre.»
In Bezug auf das Lehrziel verlangten die enragierten Pestaloz-zianer: Bildung der Kraft an der abstracten Zahl; die Gegner: Bildung
für das Leben an concreten Fällen. Rücksichtlich des Lehrganges stritt man über Mittel und Weisen der Veranschaulichung, über die deeimale Abstufung beim Fortschreite», über Eintritt und Gebrauch der Ziffern, über Auswahl und Begrenzung des Lehrstoffes, über Stellung und Verhältnis des Kopfrechnens zum Tafelrechnen, des reinen zum angewandten Rechnen, über Anfang und Ausdehnung des Bruchrechnens, über Zulässigkeit sogenannter Kunstgriffe und über die Berechtigung gewisser Lösungsforincn it. s. w. it. s. w., kurz: die Methode war in Fluss, im Proceß der Gährung und Läuterung, in der Periode «Sturm und Drang».
Nicht zu übersehen ist die sogenannte monographische Methode von Grube, die noch heutzutage, wenn auch in beschränkterem Maße, herrscht. Nach ihr soll jede Zahl von 1 bis 100 allseitig behandelt, d. H. es sollen bei jeder Zahl alle Operationen vorgenvimnen werden, damit jede Zahl in allen ihren Theilen vollends erschaut werde. Diese Methode gründet sich ans die Anschauung, dass man jede Zahl in allen ihren Theilen sich momentan vorstellen kann, was jedoch unmöglich ist. In neuester Zeit beginnt jedoch eine gewaltige Gegenströmung gegen die allseitige Behandlung der Zahlen, welche ihren Ausdruck am genauesten im Werke «Reform des Rechennnterrichtes» von Knilliug findet.
Ilm sich den Weg zu einer klaren Erkenntnis der Rechenmethode zu bahnen, ist es nothwendig, den ganzen Rechenstoff bis ins kleinste zu zergliedern und den ganzen Bau ans diesen Theilen wieder znsant-ntenzustellen.
Illirrsicht des lUcheitßoffes.
§ 2. Die Grundlage alles Rechnens ist die Zahl; daher muss man bei der Einführung ins Rechnen zuerst von derselben sprechen. Man unterscheidet ganze und Bruchzahlen — gemeine und De-eimalbrüche. Das Rechnen mit Brüchen basiert wieder ans dem Rechnen mit ganzen Zahlen, diese müssen also jenen vorangehen.
Das Rechnen wird eingetheilt in ein reines und angewandtes Rechnen. Beim erstcren, welches wieder in ein Rechnen mit nnbenann-ten und benannten Zahlen zerfällt, ist die Operation (Addition, Snb-traction, Multiplikation, Division) direct gegeben, während man beim letzteren erst ans die Operation ans der Aufgabe zu schließen hat.
Man unterscheidet noch ein Kopf- und Ziffern rech ne»; elfteres ist für das praktische Leben von höchster Bedeutung und bewegt sich in einem engen Zahlenrauine, letzteres gewinnt seine Bedeutung bei größeren Zahlen und coinplicierteren Aufgaben.
An gehobenen Volksschulen behandelt man auch die Verhältnisse und Proportionen, das Quadrieren und Kubieren, die Quadrat-und Cnbikwnrzelziehung. Letztere Rechnungsarten (Quadrieren und Kubieren u. s. tu.) braucht man insbesondere bei geometrischen Berechnungen.
Erster Abschnitt.
Tic ganze Zahl — die Numeration.
§ 3. Wiederhole das dekadische Zahlensystem.
Die Zahl ist der Ausdruck für ein Vielfaches gleichartiger Dinge oder gleicher Theile derselben. Sie hat den Zweck, mehrere gleichartige Vielheiten bezüglich ihrer Größe zu vergleichen.
Ein oberflächliches Urtheil diesbezüglich gewinnt man oft durch einen Blick. Aus de» erschauten Dimensionen schließt man z. B.: in dieser Reihe stehen mehr Bäume als in jener, in diesem Hansen sind mehr Äpfel als in jenem n. s. f. Ein derartiger Vergleich des Wertes gleichartiger Größen ist jedoch ungenau; zu einem genaueren Resultat gelangt man durchs Zählen, d. H. wir müssen durch wiederholtes Hinzufügen der Einheit eine Reihe bilden, in welcher die Zahlen von der kleinsten bis zur größten geordnet erscheinen. Dies ist die sogenannte natürliche Zahlenreihe. Durchs Zählen finden wir z. B. das einenial 45, das anderem«! 30 Äpfel beisammen und erkennen aus der Stelle in der Zahlenreihe nicht bloß, dass 45 größer ist als 30, sondern gewinnen auch ein klares Urtheil, wie groß 45, wie groß 30 im Vergleich zu jeder anderen Zahl in dieser Reihe ist.
Ans dem Gesagten sind die Grundbedingungen für ein klares Urtheil über den Wert einer Zahlengröße ersichtlich: Bildung der natürlichen Zahlenreihe und Orientierung derselben.
Die Orientierung in der Zahlenreihe wird mit so schwieriger, je länger dieselbe wird, ja sie würde außerhalb einer gewissen Grenze unmöglich werden, wenn der Mensch nicht zu anderen Hilfsmitteln gegriffen hätte. Ein solches Hilfsmittel hat ihm die Natur buchstäblich an die Hand gegeben. Die 10 Finger führten ihn auf die Entdeckung des dekadischen Zahlensystems. Darnach zählt er eigentlich nur bis 10, sobald er daselbst anlangt, beginnt er von neuem zu zählen u. s. f.
Die unendliche Zahlenreihe hat er sich also in lauter kurze Reihen bis 10 zerlegt. 10 Zehnerreihen der niedrigsten Ordnung bilden eine Reihe der nächsthöheren Ordnung, 10 solcher Reihen bilden wieder eine Reihe einer zweithöheren Ordnung it. s. f. Im Raume 1 bis 1000 kanu uns als Sinnbild dafür der Meterstab dienen. Derselbe stellt eine Reihe von 10 dm, jedes Decimeter eine Reihe von 10 cm und jedes Centimeter eine Reihe von 10 mm vor. Die natürliche Zahlenreihe erscheint demnach als eine Reihe, deren Theile Reihen von Reihen und deren niedrigste Reihen schließlich einfache Reihen sind. Wie man durch größere Maße eine bessere Übersicht über Längengrößen gewinnt, so erreicht mau dasselbe für Zahlengrößen durch größere dekadische Einheiten (Zehner, Hunderter, Tausender it. s. f.). Dasselbe Streben nach Vereinfachung, um ein klares Urtheil über Größen zu gewinnen, zeigt der Mensch bei den übrigen Maßen, bei den Flächenmaßen, Körpermaßen, Münzen, Gewichten u. s. f. Für die Vorstellung mit bequemsten sind die Längenmaße.
Durch die Einführung dekadischer Einheiten, resp. des dekadischen Zahlensystems, ward die Orientierung in der natürlichen Zahlenreihe ermöglicht. Diese Orientierung soll aber, um dem angegebenen Zwecke zu entsprechen, auch möglichst rasch stattsinden, was in der Wirklichkeit der Fall sein kann, wie uns die Erfahrung lehrt. Ein Moment scheint dabei von höchster Bedeutung zu sein, den wir am deutlichsten an geschichtlichen Beispielen erkennen.
In der Keilschrift der Babylonier finden wir, dass höchstens drei gleiche Zeichen nebeneinander sich befinden, mehr nicht, z. B.
▼ ▼▼ VJT W TTT ^
1	2	3	4	5	6	7	8	9
Für 10 finden wir schon ein eigenes Zeichen vor. Die Zeichen für höhere Zahlen werden ähnlich zusammengestellt.
Auch bei den alten Phvnikern ist der Grundsatz, drei gleiche Zeichen in eilte Gruppe zusammenzustellen, angewendet worden. Sv schreiben sie z. B. 5 — 11 111, aber 80 — NNNN, worin N — 20; sie schreiben von rechts nach links.
In der allgemein bekannten Schrift der Römer findet man für 4 schon ein neues und nicht ein aus vier nebeneinander stehenden Strichen
bestehendes Zeichen; für 8 stehen wohl vier Zeichen nebeneinander, aber das erste ist wesentlich verschieden von den drei nebeneinander stehenden Strichen; für 9 stehen neben dein Zeichen für 5 nicht vier Striche mehr, dafür existiert wieder ein eigenes Zeichen u. s. f.
Merkwürdig ist, dass die Sprache in älterer Zeit nur für die Grundzahlen eigene Benennungen schuf mit) für die drei ersten höheren Einheiten: für zehn, hundert und tausend; denn die jetzt gebräuchlichen Bezeichnungen für die höheren Stufen Million, Billion re. sind neueren Ursprungs. Und z. B. die Zahl 86.789,325.178 spricht Adam Riese (1535) so aus: «Sechs und achtzig tausent, tausend mal tausend!, sieben hundert tausendt mal tausend!, nenn vund achtzig tausend mal tausend, drei hundert tausent, fünf vund zwanzig tausend, ein hundert, acht und siebenzig».
Um große Zahlen bequem lesen zu können, theilt man ihre Ziffern in Gruppen zu drei ein; dies folgt aus der Benennungsweise.
Ausfallend sind noch andere Erscheinungen, die darauf hindenten, dass der Mensch eine Zahl von Gegenständen bis 3 bequem und, wie es scheint, momentan übersieht, während die Erkennung des Wertes einer größeren Zahl durch rasche Aditivu von Gruppen, bestehend aus drei oder zwei oder auch aus einem Gegenstände, stattfindet. Nügelschmiede z. B. zählen in einigen Gegenden nach Würfen (1 Wurf gleich 5 Nägeln); bei genauer Betrachtung sieht man, dass sie zu jedem Wurfe in die eine Hand 3 Nägel, in die andere 2 nehmen, was natürlich mit großer Geschwindigkeit vor sich geht. Am Markte bemerkt man die Eier z. B. derartig zählen, dass in eine Hand 3 und in die andere 2 Eier genommen werden.
Ein Mini), mit dem man nicht absichtlich Gegenstände zählt, erkennt die Zahlen 1, 2, 3 verhältnismäßig schnell, es vergeht aber ein auffallend größerer Zeitraum, bis es die Zahl 4 ausgefasst hat.
Haben wir eine Strecke auf der Tafel in zwei oder in drei gleiche Theile nach dem Augenmaße zu theilen, so geht dies leicht; bei der Theilung in vier gleiche Theile halbieren wir zuerst die Strecke und dann wieder jede Hälfte u. s. f.
Aus allem dem geht also hervor, dass man beim Orientieren in der Reihe bis 10 um 3, und nicht um mehr, scheinbar momentan nach vorwärts (resp. auch, wenn nvthwendig, nach rückwärts) sieht. Man versuche die Zahl 5 ins Auge zu fassen; von der ans sieht man bis
8 bequem und von hier ans wieder bequem bis 10 nach vorwärts. Bon 0 bis 5 übersieht man momentan die Zahlen bis 3 und dann bis 5. Durch die Zahl 5 wird die Zahlenreihe bis 10 in zwei gleiche Theile getheilt. Diese Zweitheilung ist, wie sich ans dem Obigen ergibt, bequem geistig zu überschauen. Daher spielt die Zahl 5 bei der Orientierung in der Zahlenreihe eine große Rolle. Diese Art der Orientierung möge durch das Wort «Dreiergruppierung» bezeichnet werden.
Alles bis jetzt Gesagte berücksichtigt, zeigt uns, dass eine Orientierung in der Zahlenreihe möglich ist und wie diese Orientierung möglichst rasch vor sich gehen kann. Innerhalb eines gewissen Zahlen-ranmes kann durch Übung eine derartig rasche Orientierung erworben werden, dass es einem vorkommt, als ob die Erkenntnis des Wertes einer Zahlengröße momentan stattfände. Diese scheinbar momentane Vorstellung einer Zahlengröße wird oft durch das Wort «unbewusstes Zählen« bezeichnet.
Einige Beispiele werden das Gesagte über die Orientierung in der Zahlenreihe noch ersichtlicher machen.
Tie Zahl 8 sieht man nahe bei 10 mit dem Gefühle, dass sich inzwischen noch eine Zahl befindet, aber weiter weg vom Anfänge der Reihe. Wollen wir uns diese Orientierung klarer zum Bewusstsein bringen, so schauen wir von 8 an über 5 zum Anfang, aber noch genauer über 5, 3 zum Anfang.
Die Zahl 30 sehen wir momentan als die 3 Zehner, die Zahl 50 in der Mitte der 10 Zehner, die Zahl 70 nahe bei 100 mit den dazwischenliegenden Spuren der Zahlen 80 und 90 und weiter weg vom Anfänge der Zehnerreihe. Eine genauere Orientierung findet ähnlich statt, wie dies für die Zahl 8 gesagt worden ist.
Die Zahl 42 sehen wir zwischen 40 und 50 näher bei 40 und von 50 weiter weg; die Zahl 45 zwischen 40 und 50 in der Mitte; die Zahl 47 wieder näher bei 50 und weiter weg von 40. Die übrige Orientierung ergibt sich ans dem bereits Gesagten, sie geht in der Regel derartig rasch vor sich, dass der Orientiernngsproeess nicht zum Bewusstsein kommt.
Zli dem über die Zahl Gesagten wäre noch hinznzufügen, dass, je länger die Zahlenreihe wird, desto mehr die einzelnen Zahlen zu-sammenzurücken scheinen und dadurch die Übersicht der Zahlenreihe bequemer machen.
Eine Art von Rechenapparaten darf bei dieser Gelegenheit nicht übersehen werden, das sind jene, deren Construction auf dem Principe der sogenannten Zahlenbilder beruht.
Durch die sogenannten Zahlenbilder sei es möglich, behauptet man, eine momentane Vorstellung von der Zahl zu gewinnen, und wegen dieser momentanen Vorstellung zerfällt das Zahlenbild bequem in seine Bestandtheile, wodurch sich die einzelnen Rechenoperationen sozusagen von selbst ergeben. Für die Zahl 12 z. B. soll man ans dem Zahlenbilde ersehen, dass sie gleich ist 6 + 6, 7 + 5, 8 + 4 u. s. f., 2X6, 3X4 it. s. f. it. s. f. Falls diese Annahme wahr wäre, sollten auch nur jene Apparate ihre Berechtigung haben, die ans dem Princip der Zahlenbilder beruhen. Untersuchen wir die Sache etwas genauer, wobei wir jedoch auf das oben citierte Buch von Knilling verweisen müssen, da hier nur kurze Bemerkungen gemacht werden können.
Stellen wir uns vor, dass wir die Zahl gleichartiger zu einer Gruppe vereinigter Gegenstände, wie solche in der Natur Vorkommen, zii bestimmen haben. Gruppieren wir je dabei die Gegenstände, z. B. Bäume, zu einem Zahlenbilde? Übergehen wir nicht immer durchs Zählen zur Bildung einer Zahlenreihe? Immer. Die Zahlenbilder sind etwas Erkünsteltes und durch die Natur nicht gegeben. Die Entstehung derselben ergibt sich ans den vorangehenden geschichtlichen Bemerkungen; sie sind nichts anderes als Ziffern, deren Wert man ans dem Bilde und nicht ans dem Inhalte erkennt. Die Fenster eines großen Hauses z. B. erkennen wir momentan als solche, und zwar ans dem Bilde desselben, zur Zahl der Fenster gelangen wir erst durchs Zählen, was bei gehöriger Übung und Begabung sehr rasch vor sich gehen kann. Gerade so verhält es sich mit einem Zahlenbilde im allgemeinen und mit der Abschätzung seines Wertes. Zur Erhärtung dessen stellen wir uns das Zahlenbild für 5, 12, 9, 7, 15 it. s. f. vor, und cs frage sich jeder, wodurch er zur Abschätzung seines Inhaltes kommt. Er bekommt, jedes Pornrtheil bei Seite gelegt, die Antwort: dadurch, dass er die Zahl an ihre Stelle iit der Zahlenreihe schiebt und sie diesbezüglich mit den übrigen vergleicht. Oder man zeige jemandem, der die Zahlenbilder nicht kennt, z. B. das Zahlenbild für 9. Er erkennt erst seinen Wert durchs Zählen. Man kommt also immer und immer wieder ans die Zahlenreihe zurück, daher haben auch nur jene Rechenapparate ihre Berechtigung, die die Zahlenreihe als Reihe veranschaulichen und den angeführten drei Bedingungen genügeleisten.
Eine Art Zahlenbilder erscheint nach dein Vorangehenden als die für den Rechennnterricht einzig passende, die Zahlenbilder in einer Reihe. Nachstehende Figur veranschaulicht solche für den Raum 1 —100, wie sie sich ans dein Wesen der Zahl ergeben.
12	8	4	5	6
10
11
12
1<>
50
47
Damit also der Mensch ein Urtheil über den Wert einer Zahl sich verschafft, muss er
1.) zählen (die Zahlenreihe bilden);
2.) die Zahlenreihe in kurze Reihen zergliedern durch Einführung höherer dekadischer Einheiten (Zehner, Hunderter, Tausender ». s. f.), wo durch die Übersicht über dieselbe (die Orientierung in derselben) ver einfacht ist.
Durch die Einführung des dekadischen Zahlensystems erscheint das Zählen znrückgeführt auf ein Zählen von 1 bis 10. Für die Raschheit der Orientierung i» der Zahlenreihe von 1 bis 10 scheint das «Dreier princip, und die Ziveitheilnng dieser Reihe durch die Zahl 5 von be soliderer Bedeutung zu sein.
Für den menschlichen Verkehr sind die Zahlen noch zu benennen »»d zu bezeichnen. Die Nainenbildung ergibt sich unmittelbar aus
dem Namen der ihrer Größe nach geordneten dekadischen Gruppen, von denen die Einheiten des höchsten Ranges immer den Anfang bilden.* Hat man z.B. 3 Hunderter, 4 Zehner (4zig) und 7 Einer, so entsteht der Name dieser Zahl durch eine geringe Umformung der Namen der dekadischen Einheiten, sie heißt 3hundert 7 und 4zig. Für das Schreiben der Zahlen braucht man die Zeichen 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (die Ziffern), mit welchen man die Zahl jeder Art der in der Zahl vor-konimenden dekadischen Einheiten anfschreibt. Die Zahl muss nur in die verschiedenen dekadischen Einheiten zusammengefasst und jede Art der Einheiten an	eine bestimmte Stelle gesetzt werden: die Einer	an	die	erste
Stelle links, die Zehner an die zweite Stelle links n. s. f.
Kuffassen der Zahl durch das Kind.
§ 4.	Der Geist des Kindes ist erst in der Entwicklung	begriffen,
daher ist er nicht fähig, die ganze Zahlenreihe auf einmal aufzufassen und zu übersehen. Ebenso kann es sich nicht die vielen Namen der Zahlenreihe merken. Dies ergab die Erfahrung, und daher findet man in den Rechenbüchern jetzt allgemein, wenigstens bei den Deutsche», für das erste Alter des Kindes den Zahleuranm bis 10 bestimmt, welcher in der Regel noch in die Räume 1—5, 5—10 zerfällt. Nach dem vom Wesen der Zahl Gesagten sollte man noch den Zahleuranm 1 — 3 unterscheiden.
Für die Auffassung der übrigen Zahlen über 10 ist die Auffassung der Begriffe höherer Einheiten nvthwendig. Diese Auffassung ist sehr schwierig für das Kind. Bezüglich des Zeitpunktes, wann die Begriffe höherer Einheiten dem Kinde beizubringen sind, ist man gar nicht einig. Einige besprechen den Zehner schon im ersten Schuljahre, z. B. Moenik, andere im zweiten, z. B. Lüdeinann, und wieder andere erst im dritten Schuljahre, z. B. Knilling. Gewiss ist es, dass man sich mit dein Borsühren dieser Begriffe nicht übereilen darf. Das Kind soll auf dieselben vorbereitet, in dieselben nach und nach eingeführt werden. Dafür leisten besonders gute Dienste die Maße, Münzen u. s. f. Unter Anwendung paffender Beranschanlichungsmittel kann wohl der Grund
* Merkwürdig ist die Erscheinung, dass alle Völker, »lögen sie die Zahlen von links nach rechts oder von rechts nach links, oder von oben nach unten schreiben, immer mit den Einheiten höchsten Ranges beginnen.
für das dekadische Zahlensystem im Raume 1—100 gelegt werden. Wenn der Begriff der Zehner vom Kinde anfgefasst und im Laufe der Zeit gehörig geistig verarbeitet wurde, wirb die Auffassung der Begriffe Hunderter, Tausender u. s. f. keine besonderen Schwierigkeiten mehr machen.
Nach dem Gesagten ergeben sich aus der Natur des Kindes und ans der Natur des dekadischen Zahlensystems zwei Grundstufen: der Zahlenraum 1—10 (welcher in die Räume 1 — 3, 3 — 5, 5 —10 zerfällt) und der Zahlenraum 1 — 100.
Wohl wichtige Gründe, z. B. das Wesen des Kopfrechnens, Überführen auf die innere Anschauung der Zahl n. s. f., werden die Methodiker veranlasst haben, noch den Raum 1—1000 für sich zit behandeln, bevor man die Kinder in den unbegrenzten Zahlenraum einführt. Um aber dem Kinde das Wesen der Zahl und des dekadischen Zahlen systems aufznschließen, mich» man, was allgemein anerkannt wird, von der Anschauung ausgehen, diese Anschauung jedoch zu einer inneren erheben, was insbesondere durch fleißiges Zählen erreicht wird.
Veranschaulichung der Zahl.
§ 5. Hiebei kommen drei Fragen in Betracht: 1.) Was ist zu veranschaulichen, 2.) wie ist es zu veranschaulichen, 3.) wie wird die äußere Anschauung möglichst zu einer inneren?
Das Was der Veranschaulichung ist die Zahl. Nur muss man unterscheiden, ob die Zahl gerade so veranschaulicht wird, wie ein Hans, ein Baum, ein Pferd it. s. w., oder auf eine andere Art. Würde man sich die Zahl momentan vorstellen wie einen Baum, ein Hans, ein Pferd it. s. w., sollte man sie auch auf die gleiche Art veranschaulichen. Nun, dies ist nach dem Vorhergehenden nicht der Fall, und man muss die Veranschaulichung der Zahl ihrem Wesen entsprechend vornehmen. Man hat dem Kinde an sinnlichen Objecten zu zeigen, wie jede Zahl der Reihe nach entsteht, wie alle Zahlen eine Reihe bilden, an welcher Stelle der Zahlenreihe jede Zahl vor-kommt, und die Entstehung der höheren Einheiten.
Da nun in der Natur, welche das Kind von seiner Geburt an beobachtet, verschiedenartige Objecte Vorkommen und die gleichartigen in der Regel keine Reihe bilden, muss sich das Kind an »n-
geordneten gleichartigen Objecten, welche »mit öfters wechselt, durch wiederholtes Hinzufügen des Objectes (der Einheit) an die Zahl- nnd Reihenbildnng a»gewöhnen, schließlich aber soll man zu einer fixen Reihe übergehen. Daraus ergeben sich die Eigenschaften der Veran-schanlichnngsmittel. Dieselben sollen anfangs wechseln; an der unteren Stufe (1 —10) sollen sie frei beweglich sein, wie z.B. Stäbchen, Würfel, Cylinder, Griffel u. s. w. Um aber die Reihe zu fixieren, bediene inan sich auch eines Rechenapparates, an welchem die Rechensteine in einer Reihe geordnet erscheinen. (Sieh «Der metrische Scheibchen Rechenapparat» vom selben Verfasser.) An der unteren Stufe bediene man sich auch graphischer Veranschaulichnngsmittel, um das Kind in die Bedeutung der Ziffer, wozu sich auch die Zahlenbilder sehr gut eignen, und andere Zeichen eiuzuführen. (Vergl. «Prakt. Theil, Raum 1—10.») Von besonderer Bedeutung ist es, die sinnliche Anschauung zu einer inneren zu erheben, was durch Erwähnnng bekannter, aber nicht vorhandener Objecte gefördert wird, z. B. «1 Pferd und 1 Pferd sind 2 Pferde».
Nachdem das Kind an freien Objecten erschaut hat, wie die Zahl und die Zahlenreihe gebildet wird, dann genügt neben den Maßen, Münzen it. s. w. der Rechenapparat mit 100 Rechensteine» in einer Reihe. Dieser Apparat muss wohl die Entstehung der nächsthöheren Einheit deutlich zur Anschauung bringen, was durch den oben erwähnten metrischen Scheibchen-Rechenapparat vollkommen erreicht wird. Im Zahlen-raume bis 1000 soll die sinnliche Anschauung ersetzt werden durch die innere. Man kann sich wohl der sogenannten «Hundertertafel» bedienen, ein Quadrat, welches in 10 Streifen nnd jeder Streifen in 10 Felder getheilt erscheint, worin in jedem Felde 10 Punkte gezeichnet sind; sie entspricht jedoch nicht dem Princip der Zahlenreihe. Man könnte sich besser einen Papierstreifen von der Zinnnerlänge machen und auf diesem 1000 Punkte in einer Reihe aufzeichnen, in welcher die Zehner durch kürzere und die Hunderter durch längere Striche getrennt erscheinen. Sehr gut eignen sich zu diesem Zwecke die Längenmaße, der Meterstab mit dm, cm und mm. Auch folgendes Verfahren wäre zu empfehlen, mit auf die innere Anschauung überzuführen: Die Kinder sollen sich 10 Rechenapparate in einer Reihe neben einander vorstellen, was man auch durch Zeichnung von 10 gleich langen Strecken nebeneinander unterstützen kann.
Im unbegrenzten Zahlenraume ist eine sinnliche Veranschaulichung überflüssig, an ihre Stelle tritt vollends die innere.
Anmerkung. Die sinnliche Veranschaulichung darf jedoch nie übertrieben werden. Sobald eine Operation den Schülern durch sinnliche Veranschaulichungsmittel zur klaren Auffassung gebracht wnrde, hat die sinnliche Veranschaulichung nicht bloß ihre Berechtigung verloren, sondern sie wirkt auch hemmend in der Thä tigkeit des Geistes. Das ist sehr zu beherzigen. Zeitweise ist es wieder von Vortheil, bei Wiederholungen den Rechenprocess von den Schüler» veranschaulichen zu lassen, und zwar mit der Aufforderung z. B : --Zeige am Rechenapparate, wie viel 4 mal
0 ist!»
Zählen.
§ (i. Um den Kindern ein geläufiges Urtheil über den Wert einer Zahl ans ihrer Stelle in der Zahlenreihe anzneignen, übe man sie fleißig im Zählen. Das Zählen lverde zunächst an gleichartigen Objecten vorgenvmmen, dies insbesondere in den untere« Zahlenräumen. Man lasse mich mit Rechenapparate zählen, woran sich noch folgende zwei Ülnui gen anschließen sollen.
1.) Bestimmung der Zahl der in der Gestalt eines Zahlenbildes (Vergl. S. 12) augesetzten Scheibchen, ohne (laut) zu zählen Im Raume
1 — 3 genügt ein Blick ans die vorgeschobene» Scheibchen, um dieser Forderung zu genügen.
2.) Aufstellen einer bestimmten Zahl Scheibchen i» Form eines Zahlenbildes durch die Schüler. (Vergl. «Der metrische Scheibchen Rechen Apparat» S. 16.) Die Bedeutung dieser beiden Übungen wird bei den einzelnen Operationen noch mehr erkannt.
Nachdem man das Zählen an Objecten geübt hat, lasse man die Zahlwörter ohne Benennnng der Objecte anführen. Das Zählen wird in jedem Raume, also im Raume I — 3, 1 — 5, 1—10, 1—100 n. s. w., geübt, obwohl die ganze Reihe nicht immer zu durchlaufen ist. In dem Falle stelle man Aufgaben wie: «Zähle bis 8 (15, 40 it. s. w.); zähle von 7 an bis 10 (15, 33 n. s. w.)- Diese letztere Aufgabe wird ins besondere in den größeren Zahlenrünmen vorwiegen.
Sehr wichtig ist die Übung: «Zähle von 5 (8, 12 it. s. f.) an um
2 (3, 5 it. s. f.) weiter.» Sie bereitet sehr gut auf die Addition vor.
Bei der Subtractivn soll das Rückwärtszählen ans die gleiche Art geübt werden, es trägt sehr viel zur Orientierung in der Zahlenreihe
bei, bereitet aber auch auf die Siibtractiou größerer Grundzahlen als 1 vor. Z. B. «Zähle von 7 an »in 2 zurück; wie viel ist 7 weniger 2?»
Nach den	Übungen 2	2	—, 2	—s- 2 —{- 2 = n. s.	w., welche '
auf die Multiplikation vorbereiten	(vergl	S. 01 prakt. Thcil),	sollen die
Schüler zu 2, zu 3, zu 4 u. s. f. zählen, und zwar insbesondere zu 2 bis 20, zu 3 bis 30 u. s. w., wodurch mau ans das Einmaleins gehörig vorbereitet.
Nachdem das Vorwärtszähleu zu 2, zu 3 u s. f. eingeübt ist, soll mau auch nach	rückwärts zu 2, zu 3 u.	s. w. zählen lassen,	und zwar
insbesondere zu	2 von 20 an, zu	3 von	30 au u. s. f.
Zweiter Abschnitt.
Fundamente des Rechnens.
Zergliederung der vier Grundoperationen mit ganze» Zahlen.
§ 7. Wiederhole über die Operationen mit ganzen Zahlen.
Jeder kann sich an beliebig gewählten Beispielen von folgenden Sätzen überzeugen.
1.) Die Addition zweier dekadischer Zahlen lässt sich immer ans die Addition zweier einziffriger Zahlen (zweier Grundzahlen) zurückführen.
Da die Addition mehrerer einziffriger Zahlen ans die Addition einer Grundzahl zu einer zweiziffrigen (resp. mehrziffrigen) Zahl und dies wieder ans die Addition zweier Grinidzahlen führt, so können wir obigen Satz auch ans die Addition mehrerer Zahlen überhaupt ausdehnen und sagen: Die Addition dekadischer Zahlen lässt sich immer ans die Addition zweier Grundzahlen zurückführen.
2.) Die Snbtraction dekadischer Zahlen lässt sich ans die Snbtraction einer einziffrigen Zahl von einer einzif-frigen oder von einer zweiziffrigen Zahl, worin nur 1 Zehner ist, zurückführen.
3.) Die Multiplication dekadischer Zahlen lässt sich ans die Multiplikation zweier Grundzahlen zurückführen.
4.) Die Division dekadischer Zahlen lässt sich immer ans die Division einer Grundzahl oder einer zweiziffrigen Zahl durch eine einziffrige zurückführen.
Daraus folgen die vier Fnndamentalübungen für die vier Operationen :
1.) Addition zweier Grundzahlen oder das sogenannte «Eins-nndeins».
2.) Subtraktion einer einziffrigen Zahl von einer einziffrigen oder von einer zweiziffrigen Zahl, worin nur 1 Zehner vorkommt; das sv-genannte «Einsvo neins».
3.) Multiplication zweier Grundzahlen oder das sogenannte »Einmaleins'.
4.) Division einer ein- oder einer zweiziffrigen Zahl durch eine Grundzahl; das sogenannte «EinsdurcheinS».
Die ersten zwei Übungen bewegen sich, wenn man noch das 10 —(— 10 dazu rechnet, in dem Raume 1 — 20, die beiden letzten mit Einschluss der Übung 10 X 10 im Raume 1 —100. Die Stufe 1 —100 zerfällt also noch in eine wichtige Unterstufe 1 — 20.
^ufammenlnmrt 3lunöamentatü0u«yen. — JUtffitcficrt öer $ p c v « t i o»t a v c f 111' t a f c.
Addition.
8 8. Schon durch das Wort »Zusammenzählen' für die deutsche Bezeichnung der Addition wird der innigste Zusammenhang zwischen Addition und Zählen ansgedrückt. Um also die Summe von zwei Gruppen gleichartiger Objecte zu finden, zählt man zuerst die erste Gruppe von Objecten ab, und dann zählt man noch die Objecte der zweiten Gruppe dazu. Wenn man jedoch die Zahl der Objecte der ersten Gruppe schon kennt, vereinfacht sich das Verfahren dahin, dass man zu der Zahl der ersten Gruppe die Objecte der zweiten Gruppe gleich dazuzählt. Man zählt z. B. 1, 2, 3, 4, 5 Bäume (erste Gruppe) — 6, 7, 8 Bäume, wenn in der ersten Gruppe 5, in der zweiten Gruppe 3 Bäume sind; oder man zählt nur (>, 7, 8, wenn man schon von früher die Zahl der ersten Gruppe kennt.
Ein derartiges Addieren ist naturgemäß.
Es ist wahr, dass man ans dein Zahlenbilde (Zerlegebild) j •" | • auf eine sehr einfache Art erkennt, dass 5 und 3 gleich 8 ist. Rur muss man sich alle Zahl- und Zerlegebilder merken, um dieselben wieder finden zu können, wenn man die Resultate vergessen hat. Das Addieren mit Hilfe der Zahlenbilder ist eine Last fürs Gedächtnis und nicht naturgemäß, sondern künstlich.
Rach der Methode des Weiterzählens braucht man dem Kinde nur an einigen Fundainentalübnnge» das Zahlengesetz für die Aus-
führung der Addition zu veranschaulichen, die Resultate für die übrigen Fnndainentalübungen kann es dann selbst finden.
Tanek schreibt: «Gleichzeitig leidet das ganze Verfahren (Grnbe's) an einem schlimmen inneren Widerspruch, nämlich dem: Es sollen ans der Betrachtung der Einzelzahlen die verschiedenen Operationen — Addition, Subtraktion re. — gewonnen werden (Grube S. 30), während sie gleichzeitig von vorneherein als bekannt vorausgesetzt werden, indem sie von Anfang an für die Betrachtung die Unterlage oder die logische Kategorie bilden.»
Bei den Fnndainentalübungen mit Übergang in den nächsten Zehner kann man das Verfahren noch dahin vereinfachen, dass inan zuerst den Zehner ergänzt und dann den Rest noch dazuzählt. Z. B. 7 -j- 8 —;
7 und 3 ist 10 und 5 ist 15. Dieses Verfahren soll jedoch nicht verfrüht vvrgeführt tverden.
Subtraktion.
§ t). Der Ausdruck «Wegzählen» für die Snbtraction spricht schon den Zusammenhang zwischen der Snbtraction und dem Zählen aus. Um also zu finden, wie viel z. B. 8 — 3 ist, hat man nur von
8 um 3 znrückzuzähle». Bei den Fnndainentalübungen mit Übergang in den ersten Zehnerrauni hat man nach der ersten, der natürlichsten Methode des Wegzählens mich die Methode, wie z. B. 15 — 7 =, 15 weniger 5 ist 10, weniger 2 ist 8, 15 weniger 7 ist 8, jedoch nicht verfrüht anznwenden.
Die Snbtraction steht auch in innigem Zusammenhänge mit der Addition. Weist man nämlich, wieviel 5 + 3 ist, so weist man auch, dass 8 — 3 gleich 5 ist. Tanck schreibt: «Dieserweise die Snbtraction als Gegenstück der Additiv» zu lehren, geben wir den Vorzug, weil sie enger an das bereits Gelernte anschliestt und schneller zum Ziel führt. Damit soll nicht gesagt sei», dass wir das Einzel»-ab zählen gar nicht lehre» und dulden wollen; im Gegenthcil, die Kinder sollen auch dies Verfahre» wegen seiner überzeugenden Kraft kennen; aber dasselbe ist für den gewöhnlichen Gebrauch zu umständlich.' Durchs Rückwürtszähle» kann das Kind das Resultat gleich selbst suchen, während es den Zusammenhang zwischen der Addition und Subtraktion nicht so rasch erkennt. Sonst vergleiche das über Addition Gesagte.
Multiplikation.
§ 10. Die Multiplikation ist nichts anderes, als eine abgekürzte Ausdrucks- und Bezeichmmgsweise der Addition gleicher Summanden. Z. B. statt 4 und 4 und	4 und 4 und 4 sagt man	bequemer 5 mal 4.
Daraus folgt aber, dass	sich die Multiplikation	ans	die	Addition stützt.
Das Resultat 5 mal 4 findet man, indem man	spricht:	4 und 4 ist 8
und 4 ist 12 und 4 ist	16 und 4 ist 20.
Das Kind kann die Resultate für das «Einmaleins» bestimmt erst dann selbständig suchen, wenn es das «Einsundeins» und auch das Zuzählen der Grundzahlen zu zweiziffrigen Zahlen geläufig heraus hat.
Die sonstigen Bemerkungen über die Addition gelten mit einigen Umformungen auch für die Multiplikation.
Division.
§ 11. Die Division beruht ans der Zerlegung der Zahlen in mehrere gleiche Theile, und zwar hat man 1.) aus der Größe eines Theiles die Zahl der Theile zu bestimmen (das Messen), oder 2.) aus der Zahl der Theile die Große eines Thcils (Theilcn). Beides kann man nur mit Einsicht machen, wenn man das «Einmaleins» in vollster Gewalt hat, es vollends innerlich durchschaut, d. H. z. B. das 3 mal 4 nicht bloß weiß, dass es gleich 12 ist, sondern auch die Stelle der Zahlenreihe 4, 8, 12 mit möglichster Geläufigkeit re. geistig durchlaufen kan». Die Division stützt sich also ans die Multiplikation. Dem Kinde müssen daher die Reihen 1 —1 =, 1 —1 —(— 1 =, 1 + 1 + 1 + 1 =,
 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1= u. f. f. mit
allen Grundzahlen und das «Einmaleins» möglichst geläufig sein, damit man es für die Auffassung der Division reif nennen kann.
Was Zahlenbilder aubelangt, vergl. die Addition.
Trennung der Hperutionen.
§ 12. Schon aus dem Gesagten ergibt sich, dass die Operationen anfangs getrennt zu behandeln sind. Jedoch dürften einige Bemerkungen anderer Pädagogen die Sache noch ins richtigere Licht setzen.
Hentschel, der nicht wenig von seinen Schülern verlangt, behandelt die Addition und Subtraktion und die Multiplikation und Division nebeneinander und bemerkt über seine Multiplications- und Divisionsanfgaben im Raum 1 — 20: «Diese Multiplications- und
Divisionsaufgaben mit der Zahl 2 sind sorgfältig und fleißig zu übe», dass tu o nt ögli ch hier schon die betreffenden Resultate dein Gedächtnisse fester eingeprägt werden. Man hüte sich jedoch auch, mit dies bei allen zu erreiche», die Übungen bis zur Ermüdung der Kleinen fortzusetzen. Wiederholung biete Abwechslung; tuir kommen ja mich späterhin im Zahlenraum 1—100 darauf zurück.»
Saatzer, ein Vertreter der allseitigen Behandlung der Zahl, sagt an einer Stelle seiner Anleitung zum Rechennnterrichte in der Volks-schule: «Jeder erfahrene Schulmann luirb uns gern beistimmen, wenn wir behaupten, dass das Erfassen des Zahlenranmes 1—20 für dieses Jngendalter sehr schwer ist, und dass nur dann ein gedeihlicher weiterer Unterricht ermöglicht wird, wen» eben das Kind das Ziel des ersten Schuljahres von 1 bis 20 ordentlich erreicht hat. Häufig lässt die erste Classe hierin Lücken, das Abstrahieren der reinen Zahl von den praktischen Beispielen geht sehr mühsam, bei dem Zerlegen, Vervielfältige», W e g n e h nt e n (?) it it b Theilen bis 20 konnte trotz aller Mühe keine Sicherheit erlangt werden.»
I. Egger («Methodisch-praktisches Rechenbuch für schweizerische Volksschulen und Seminarien,» Bern 1874) schreibt von der Grnbe'schen Methode: «Dieselbe entspricht namentlich der natürliche» geistigen Ent Wicklung des Kindes nicht, wenn sie an die eben eintretenden Schulkinder die hohe Anforderung stellt, gleich anfangs — wenn auch in einem geringen Zahlennmfange — zu multiplicieren und dividieren  Jener neue Stufengang legt also zit viel Gewicht ans
den Fortschritt nach der Zahl und zu wenig ans den Fortschritt nach den neuen Zahlengesetze».»
I. C. Hug («Mathematik der Volksschule», 2 Theile, Zürich 1854 und 1850), äußert: «Wer also zugleich beim ersten Rechnnngsiiitter-richte alle Operationsformen einführt, der handelt gegen die historische Entwicklung. Wer aber die Schüler von Anfang an alle Operationen anwenden lässt, um sie die Zahlen erwerben und allseitig anffassen zn lassen, der verlangt, dass sie Mittel benützen sollen, die für sie noch gar nicht existieren, d. H. er handelt gegen die psychologische Entwicklung.»
Tanck schreibt: «Ich weiß ans Erfahrung, dass die kleinen Rechen-schicker, selbst nachdem sie sich schon dreiviertel Jahre mit Zitsanunen-zählen und Subtrahieren beschäftigt hatten, den Begriff des Mnltipli-eierens noch schwer fassten.»
Und wirklich findet man bei einer genaueren Beobachtung des Kindes, dass es, obwohl es weiß, dass man statt 4 -|- 4 -)~ 4 auch 3X4 sagen kann, den Mnltiplicationsbegriff noch nicht heraus hat, wenn man ihm eine einfache, aus seinem Gesichtskreise entnommene angewandte Aufgabe stellt. Man frage es z. B.: «1 Tisch hat 4 Füße; wie viel Füße haben 4 solche Tische?» so rechnet es: «4 F. und 4 F. sind 8 F. und 4 F. sind	12	F.- und nicht «3 mal	4 F. sind 12	F.»
Die abgekürzte Redeweise	bei	angewandten Aufgaben	eignet es sich	erst
nach Monaten an — ja	der	Verfasser dieser Schrift	hat bei einem	nach
der jetzt herrschenden Methode unterrichteten Knaben	des vierten Schul-
jahres noch immer den Additions- und nicht den Mnltiplicationsschlnss machen gehört und erst dann, wenn der Mnltiplicationsschlnss dem Kinde sich von selbst ergibt, hat es den Mnltiplicationsbegriff eigen.
Woher dies kommt, ist leicht zu erklären. Der Multiplikator ist eine abstrakte Zahl; jedes Abstrakte muss an mehreren Fällen abstrahiert werden — wenigstens gilt dies für andere Fächer — was durch die allseitige Behandlung der Zahl durchaus nicht befolgt wird. Ferner sagt die Erfahrung, dass das Kind im ersten Schuljahre für den Mnltiplicationsbegriff noch nicht reif ist.
Schließlich lässt sich durchaus nicht bestreiten, dass das «Einmaleins» ans dem «Einsundeins» und auf dem Zuzählen der Grundzahlen zu zweiziffrigen Zahlen beruht, daher also erst dann gehörig verstanden werde» kann, wenn dem Kinde diese Übungen geläufig sind.
Die Fundamentalübungen für die Multiplikation sind also jedenfalls in den Zahlenranm 1—100 zu verweisen. Im Raum 1—20 sind nur Vorübungen vorznnehmen, wie:
1 —(— 1 =, 1 —(— 1 —1 =» 1 Z- 1 Z- 1 Z- 1 —i ....1 + 1 + 14-1 + 1 + 1 + 1 + 1-M + 1=( 2 —|— 2 —, 2 —(- 2 -j- 2 =, ... 2 -|- 2 —2 —j- 2 -(- 2 -|- 2 -}- 2 -j- 2 Z- 2 —j- 2 = n. s. f. mit allen Grundzahlen, so weit der Raum 1—20 es zulässt, woran man nach fertiger Einübung auch die abgekürzte Rede- und Schreibweise anschließen kann.
c r n n f d) o 111' i d> vt n der Jundnrneritcrkübrtngen.
§ 13. Die Veranschaulichung muss jedenfalls mit der Vorstellung der Operation übereinstimmen. Die auftretenden Zahlen müssen also immer derartig zur Anschauung gebracht werden, wie es schon im Vor-
hergehenden (S. 15) besprochen wurde. Auch über die Wahl der Objeete ist mit Rücksicht ans das Vvrangegangene nichts mehr zn sagen. Hier ist mir noch die Veranschaulichung der Art des Operierens zn besprechen. Aber auch dieses ergibt sich ans dem vom Zusammenhänge der Operationen Gesagten. Es soll nur noch an einigen Beispielen hervor-gehobcn werden, dass die Rechenapparate mit 10 Reihen die Operationen nicht so zu veranschaulichen imstande sind, wie sie den Denkgesetzen entsprechen. Für 8 —(— 3 = 11 denken wir uns alle Rechensteine in einer Reihe; bei den erwähnten Rechenapparaten ist der elfte Rechenstein unten in einer anderen Reihe. 4X0 bleibt entweder immer 4X0, wenn je (i Rechensteine auf 4 Reihen vorgeschoben werden, es wird nie zu 24; sonst ist aber das Bild für die verschiedenen 0 verschieden. 8 X 82 kann man gar nicht mit den erwähnten Rechenapparaten veranschaulichen n. s. w. (Sieh die Schrift «Der metrische Rechenapparat
u.	s. w.», woselbst die Handhabung des Rechenapparates genauer besprochen ist.)
Eines darf jedoch nicht übersehen werden: Es genügt nicht, die F n n d a m e n t a l ü b n it g c it blv si z u r A uffass u u g zu bringen, sie müssen, weil sie die Grundlage fürs ganze Rechnen bilden, dem Gedächtnisse v v l l k o m m e n e i n -geprägt werden, und zwar das «Einsundeins» und -Eins-voneins» im Raume 1 — 20, das «Einmaleins» und das «Einsineins» im Raume 1 —100.
Dritter Abschnitt.
Rechnen mit unbenannten Zahlen.
A.	Kopfrechnen.
■gTitison der» Kopfrechnens.
§ 14. Dos Kopfrechnen begann mit dein Rechnen überhaupt und ist dein schriftlichen Rechnen gewiss vorangegangen. Den Wert desselben jedoch erkannte »mit erst recht zu Pestalozzi's Zeiten, der zn einseitig dos schriftliche Rechnen wenig würdigte. Die Bedeutung des Kopfrechnens möge durch die Worte Köhlers und Arendts hervorgehoben werden:
«Das Kopfrechnen ist für den gemeinen Verkehr nvthwendig, zur Abwechslung in den Elasten dienlich, zur Erlangung der Fertigkeit unentbehrlich, für die Kinder angenehm und vergnüglich und zur Vcr-vollkonininnng ihrer Seelenkräfte forderlich.» (Köhler 1797.)
.Es beschäftigt und schärft den Verstand, übt die Einbildungskraft und das Gedächtnis, fordert Fixierung der Gedanken, gewöhnt an ein ordentliches und conseguentes Denken.» (Arendt 1806.)
Ein wesentlicher Nutzen des Kopfrechnens besteht auch darin, dass von einem wahren Kopfrechnen ans dem Schüler vielfach das rechte Verständnis des mechanischen Zifferrechnens erst aufgeht. Ferner bewegt sich der Schüler beim Kopfrechnen ungehinderter als beim schriftlichen.
Orundfnh des Kopfrechnens.
§ 15. Die Zahl der Vorstellungen inufs möglichst gering sein, damit das Gedächtnis nicht überbürdet werde.
Ans diesem Grundsätze folgt unmittelbar, dass die Gesetze des Kopfrechnens sich von den Gesetzen des schriftliche» Rechnens wesentlich unterscheiden. Bei der Addition oder auch Subtraction mehrziffriger Zahlen hat man in der Regel den ersten Summand, resp. den Minuend, unzerlegt zu lassen. Würde man z. B. beim Ansrechnen von 459 -s- 196
dm Gang des schriftliche» Rechnens befolgen, so müsste man sich zunächst
1.) die einzelnen Ziffern jeder Zahl vorstellen, das gibt sechs Vorftellnn-gen; 2.) die einzelnen Ziffern gehörig untereinander; 3.) bei der Summierung von 6 und 6 die beiden Einer für sich und einen Zehner zu 9 und 5; Ähnliches gilt für die Suinmiernng höherer Einheiten; 4.) alle Ziffern der Summe von rechts nach links und dann von links nach rechts. Ähnliches gilt für die übrigen Operationen.
Ein rasches Urtheil über de» Wert einer Zahl getvinnen mir, wenn wir zuerst die höchste» Einheiten ins Auge fassen; deshalb haben mich alle Völker die höchsten Einheiten der Zahlen zuerst geschrieben, und die niederen Einheiten immer nach den höheren. Dies scheint auch bezüglich des Gedächtnisses von Bedeutung zu sein, »nd das Kopfrechnen wird erleichtert, wenn man bei den höheren Einheiten zu rechnen beginnt. Z. B. 456 rf- 196: 456 und 100 ist 556 und 90 ist 646 und 6 ist 652.
Grenzen des Kopfrechnens.
§ 16. Die Grenzen des Kopfrechnens lassen sich nicht ganz bestimmt ans der Natur des Rechnens ableiten. Jedoch nimmt man dieselben im allgemeinen zwischen 1 und 1000 an. Hentschel und andere übersteigen auch diese Grenze, obwohl sie selbst ans die besonderen Schwierigkeiten des Kopfrechnens im unbegrenzten Zahlenrannie aufmerksam machen und vor Überbürdung der Kinder warnen. In höheren Zahlenräumen rechnet man lieber schriftlich. Aus Beispielen, wie 3000 -f- 4000, 54,000.000 + 42,000.000 it. s. f. einerseits und 827 : 32 u. s. f. andererseits erhellt, dass diese Grenzen auch überschritten werden können und umgekehrt eingeengt werden müssen.
Darnach umfasst die Stufe des Kopfrechnens die drei Stufen 1 — 20, 1 — 100, 1—1000. In diesen Räumen wird jedoch auch das schriftliche Rechnen gepflegt, welches sich aber dem mündliche» eng an schließt.
Stützen des Kopfrechnens.
§ 17. «Man erlaube nicht das Aufsch reiben der Exempel, denn alsdann wird das Gedächtnis nicht geübt.» (Biermann 1790.)
«Je mehr man es den Kindern erlaubt, zu Schreibmaterialien ihre Zuflucht zu nehmen, desto verzagter werden sie beim Kopfrechnen.
Dieser Umstand würde ein großes Hindernis für den Fortschritt sein.» (Köhler 1797.)
Arendt (1806) gestattet weniger fähigen Schülern Stützen für das Gedächtnis. Und Hentschel schreibt: «Es ist kein Fehler oder Verstoß gegen die harmonische Ausbildung der Schüler, vielmehr etwas durchaus Berechtigtes, bei zusammengesetzten Aufgaben einige ober alle Zahlen zur Erleichterung der Schüler durch Ziffern an der Wandtafel zit notieren. Die Urtheilskraft kann freier wirken, wenn dem Gedächtnisse ein Anhalt gegeben ist.» Und diese seine Worte bekräftigt er durch die Worte Dr. Ungers, der unter anderem bemerkt, dass durch das Riederschreiben der gegebenen und bereits berechneten Zahlen die nngctheilte Aufmerksamkeit den eigentlichen Bedingungen der Aufgabe geschenkt werden kann.
«Die Kinder sind an das Behalten der Aufgabe zu gewöhne»; sollte es bei den mit mehrziffrigen Zahlen schwierig sein und das Rechnen selbst dadurch beeinträchtigt werden, so notiere man (wenigstens anfänglich) die Aufgabe an die Wandtafel.» (Hentschel.)
«Zur Erleichterung des Rechnens dient, wenn er (der Schüler)
die ausznrechnende Aufgabe geschrieben vor sich hat  Dieser
geradezu praktisch zu nennenden Form des Kopfrechnens bedient sich z. B. der Geschäftsmann, der etwa beim Schreiben einer Rechnung deren einzelne Posten berechnet.» (Menzel.)
«Man lasse die Schüler nicht mehr als zwei Posten auf einmal zusammenzählen, wenn mich der Betrag von mehreren Posten gesucht werden sollte; denn sehr schwer würden die Kinder mich nur drei Posten ans einmal im Gedächtnisse behalten, noch weniger deren Betrag finden; daher sind viele Posten von größeren Zahlen zum Kopfrechnen gar nicht geeignet. — Hat man die Summen zweier Posten gefunden, dann wird erst die dritte Post angegeben »nd zu der schon gefundenen Summe addiert. So ist auch bei der vierten und den übrigen etwa noch zu addierenden Posten zu verfahren.» (Wen,st Arzt 1837.)
genauere Zergliederung des Kopfrechnens in Stufen.
§ 18. Anmerkung. Der Kürze wegen wird die weitere Zergliederung der einzelnen Stufen mir durch einzelne Beispiele angedentet; ebenso wird die Ausführung an speeiellen Fällen möglichst kurz behandelt,
wenn es nicht nothwendig erscheint, dieselbe genauer zu besprechen. Bei den einzelnen Stufen wird in Klammern ans diejenigen zurückgewiesen, ans die sie sich stützen. In manchen Fällen müssen einzelne Zahlen zerlegt werden, jedoch wird dabei nicht ans den betreffenden Paragraph zurückgewiesen, ja es wird öfters die Zerlegung, weil sie sich von selbst versteht, gar nicht angedentet. Für den Raum 1—100 vergl. «Der metrische Scheibchen-Rechenapparat it. s. w.»
Addition.
R a u m 1 — 2 0.
1.) 5 + 3 (7 —(— 3, 10 + 4, 8 -}- 5). — Ausführung vergl. § 8.
2.) 5 -j- 10.	— 5 + 10 =10	+ 5 it. s. m.
3.) 14 + 3	(14 + 6). — 4	+ 3 = 7, 14 + 3 =	17. (1.)
4.) 5 + 12.	— 5 und 10 ist	15 und 2 ist 17, 5 +	12 = 17.	(2.,	3.)
Raum 1 — 100.
5.) 40+7. — Vergl. Zahlbildung.
6.) 6 + 50.	— 6 + 50 = 50	+ 6 ü. f. iv. (5.)
7.) 30 + 40	(80 + 20). —	3 Z. + 4 Z. = 7 Z., 30 + 40 =	70.	(1.)
8.) 34 + 3	(34 + 6 , 34 + 8). — 4 + 3 =	7 , 34 + 3 =	37;
4 + 6 = 10,	34 + 6 = 40;	4 + 8 = 12, 34 + 8 = 42.
9.)	5 + 57. —	5 und 50 ist 55 und 7 ist 62. («., 8.)
10.)	60 + 24. — 60 und 20 ist 80 und 4 ist 84, 60	+ 24 = 84.	(7.,	5.)
11.)	43 + 50. — 40 + 50 = 90, 43 + 60 = 93.	(7, 5.)
12.) 43 —|— 25 (26 +■ o4 , 56 +- 37). — 43 und 20 ist 63 und 5 ist 68, 43 + 25 = 68. (11., 8.)
R a n m 1 — 1000.
13.) 300 + 5 , 5 + 300, 300 + 20, 20 + 300 , 300 + 32, 32 + 300,	306 + 20,	320 + 6. — Bergt. Zahtbildnng.
14.)	70 + 80. — 7 Z. + 8 Z.	= 15 Z., 70 + 80 = 150. (1.)	Oder
70 + 30 ist 100 und 50 ist 150, 70 + 80 = 150. (7. 13.)
15.)	300 + 400. — 3 H. + 4 H. = 7 H., 300 +	400 = 700.	(1.)
16.)	754 + 8. — 54 + 8 = 62, 754 + 8 = 762.	(8.)
17.)	400 + 520. — 400 und 500 ist 900 und 20 ist	920, 400 +	520	=
= 920. (15., 13.)
18.) 740 + 30 (740 + 60, 740 + 80). — 740 und 60 ist 800 und 20 ist 820, 740 + 80 = 820. (7., 14., 13.)
19.) 450 4- 200. — 400 und 200 ist 000 und 50 ist 650, 450 + 200 = 650.
20.)	50 -f 83.	— 50 und 80 ist 130 und 3 ist 133, 50 + 83 = 133.	(14.,	13.)
21.)	83 -j- 50.	— 80 und 50 ist 130 und 3 ist 133, 83 -st 50 = 133.	(14.,	13.)
22.) 643 -|- 20 (643 + 60, 643 -f 80). — 640 und 80 ist 720 und 3 ist	723, 643	-st 80 = 723. (18.,	3.)
23.)	425	+ 300.	— 400 und 300 ist 700	und	25 ist 725,	425	-st 300 =
= 725. (15., 13.)
24.)	85 4- 43	(85 4* 48). — 85 und 40 und 3 u. f. w. (21.,	16.)
25.)	463 4- 32 (463 + 37, 463 -f 72, 463 + 78). —	463	und
30 und 2 H. s. tu. (22., 16.)
26.) 437 4- 360 (437 + 370, 437 + 390). — 437 und 300 und 60
u.	). in. (2il., 22.)
27.)	532	-(- 364	(532 4" 358 u.	s. w.).	—	532	und	300 und	60
und	4 ü. s. w.	(23., 22., 16.)
Sulilracliii».
R a n in 1 — 20.
1.)	8 — 3	(10 — 3, 15 — 7). — Ausführung	vergl.	§	9.
2.)	15 — 2. 5-2 = 3, 15 - 2 = 13.	(1.)
R a ii m 1 — 100.
3.)	50 — 30. 5 Z. — 3 Z. =	2 Z., 50 - 30 = 20.	(1)
4.)	70 — 3. 70 — 3 = 67.
5.) 54 — 4 (54 — 6). 54 weniger 4 ist 50 weniger 2 ist 48,
54 — 6 = 48. (4.)
6.)	50 — 36. 50 weniger 30 weniger 6 u. s.	w	(3.,	4.)
7.)	56 — 30. 50 weniger 30 und 6 u. s. w.	(3., 4.)
8.) 56 — 35 (56 — 39). 56 weniger 30 weniger 5 u. s. w. (7., 5.)
R a u m 1 — 1000.
9.)	600 — 200. 6 H. — 2 H. = 4 H., 600	-	200	= 400.	(1.)
10.)	425 — 3 (425 — 5, 425 — 9). 25	-	3 =	22,	425 -3 =
= 422. (ü.)
11.) 400 — 60. 100 - 60 = 40, 400 - 60 = 340. (3.)
12.)	460 — 20 (420 — 70).	60	— 20 = 40, 460 -	20 = 440.	(3.)
420 weniger 20 ist 400 weniger	50 ist 350, 420 —	70 = 350.	(3.)
13.)	460 —	6. 60 — 6 = 54 u. f. w. (4.)
14.)	524 —	300. 500 - 300 = 200, 524	- 300 =	224.	(9.)
15.)	084 —	30 (634 — 80). 84 weniger 80 u. s. iv. (7.)
034 weniger 30 ist 004 weniger 50 ist 554, 634 — 80 —	554.
16.)	800 —	56. 800 weniger 50 weniger 6 n. s. w. (11., 18.)
17.)	800 —	250. 800 weniger 200 weniger 50 u. s. w. (!>., 11.)
18.)	800 —	257. 800 weniger 200 weniger 50 weniger 7	u.	s. w.
(».. 10., 13.)
19.) 576 -— 43 (534 — 57). 570 weniger 40 weniger 3 u. j. w.
(16., 10.)
20.) 864 — 340 (864 — 370). 804 weniger 300 weniger 40 u. s. w. (14., 15.)
21.) 864 — 342 (864 — 347, 864 — 372, 864 — 387).
864 weniger 300 weniger 40 weniger 2 u. f. w. (14., 15., 10.)
Ultilliplicntioii.
R n it in 1 — 2 0.
Nur vorbereitende Übungen.
R a n in 1 — 100.
Anmerkung. Der Multiplikator wird immer links vom Multiplikand geschrieben.
1.) 6 X 7. — 7 4-7 + 7 + 7 + 7 + 7 u. s. io. Vergl. »Der metrische Scheibchen-Rechenapparat» u. s. w.
2.)	4	X	20. — 4 x 2 Z. = 8 Z.. 4	x 20 = 80. (I.)
3.)	3	X	32. — 3 x 30 = 90, 3 x 2 = 0, 90 + 0 = 90,	3	x	32	= 90.
(>.. 2.)
4.) 20 X 4. — 10 X 4 = 40 , 2 x 40 = 80. Veranschaulicht sehr gut der metrische Scheibchen-Rechenapparat. (2.)
5.) 23 X 3. — 20 x 3 = 00, 3 x 3 = 9, 00 + 9 = 09, 23 X 3 = 09. (2., I.)
R a u in 1 — 1000.
6.)	7 X 80. Ergänzung zur zweiten	Stufe.
7.)	3 x 200. — 3 x 2 H. = 0 H., 3	X 200 = 000.	(1.)
8.)	5 X 63. Ergänzung zur dritte»	Stufe.
9.)	4	X	230. — 4 x 200 + 4 x 30	it. s. w. (7., ü.)
10.)	4	X	243. — 4 X 200 + 4 X 40	+ 4 k 3 it. f. w.	(7.,	8.,	1.)
11.)	60 X 8. Ergänzung zur vierten	Stufe.
12.)	300 X 2. — 100 X 2 = 200, 3 X 200 = 000, 300	X	2 = 600. (7.)
13.)	43 X 7. Ergänzung der fünften	Stufe.
14.) 31 2 X 2. — 300 X 2 + 10 X 2 + 2 X 2 II. s. IV. (12., 4„ I.)
15.) 20 X 30. — 10 X 30 = 300, 2 X 300 = GOO, 20 X 30 - GOO. (7.)
16.) 10 X 43. — 10 X 40 + 10 x 3 u. s. Iv. (15., 1.)
17.) 40 X 23. — 10 x 23 = 230 , 4 x 230 = »20 , 40 x 23 = 920. (15., !>.)
18.) 13 X 24. — 10 X 24 4- 3 X 24 u. f. Iv. (16., 8.)
Anmerkung zur Stufe 18. Wenn der Multiplicator eine in Factoren zerlegbare Zahl ist, ist der am Beispiele 18 x 23 veranschaulichte Vorgang zu empfehlen, nämlich: 6 x 23 = 138, 3 x 138 — 414, 18 x 23 = 414.
Oiuifton.
Rau m 1 — 20.
Vorbereitende Übungen möglich, jedoch ist es besser, mich diese zu übergehen.
R aum l—l 00.
1.) 8:2 (56 : 7). — Messen: Zerlegung in gleiche Theile zu 2. — Theilen: Zerlegung in zwei gleiche Theile.
2.) 80 : 4 (60 : 4, 50 : 4). — Messen: 80 = 40 + 40 u. s. w. Theilen: der vierte Theil von 8 Z. —	2 Z.	oder	20.
i b. 80 = 20. — iv. 50 =, 50 =	40 +	10	u.	s. w. (1.)
3.) 96 :3 (75:3, 47 : 3). — Messe»: 96 = 30 + 30 + 30 + G u. s. w. Theilen: i v. 90 = 30, i b. 6 = 2, ib. 96 = 32.
75 = 60 + 15, 47 = 30 + 17 u. s.	w. (1., 2.)
4.)	40 : 20.	— Messen: 2 Z. in 4 Z. = 2 mal,	20 in 40	= 2. (1.)
Theilen: i b. b. 40 ii. s. w. (2.)
5.) 56 : 20. — 56 = 40 + 16 u. s. w.	(4.)
9i n u m 1 — 1000.
6.) 400 : 8 (120 : 2, 316 : 4); 10 < Quotient < 100. — Messen: 8 in 40 = 5 und in 40 Z. 50 mal *
Theilen: -* b. 40 Z. = 5 Z. oder i b. 400 = 50. (1.)
316 = 280 + 36 it. s. 1».
7.)	600 : 3	(450 : 3, 674 : 4); Quotient >	100. —	Messe»: 3	in
6 = 2,	3 in 6 H. = 200, 3 in 600 = 200. —	674 = 400 + 240 +	34
H. s. w.
Theilen: i b. 6 H. = 2 H. u. s. w. it. s. w. (1.)
* Vergleiche das Messen benannter Zahlen z. B. 2 cm in 2 dm -----, 2 cm sind in 2 cm 1 »ml und in 2 dm 10 mal enthalten.
8.) 600	: 200 (400 : 20, 700 : 20, 240 : 30,	267	:	80).	—
Messen: 2 Z. in 6 Z. u. s. w.; 20 in 40 — 2, in 40	Z. —	20	u. s. w.
267 = 240 + 27 it. s. tu.
Theilen: ^ v. 600 = i«. 1JT, v. " f- »■
9.) 648	: 200. — 648 = 600 + 48 n. s. w.
10.) 824	: 32. — Theilcn: ^ »• 824 = i »• s «• 824	" f. w.
Die erste Theilung wenigstens muss eine ganze Zahl als Quotienten ergeben.
Bemerkungen zn den voranstehenden Unterstufen.
§ 19. 1.) Die Grundlage alles Kopfrechnens ist die Anschannng, durch die ist jede Stufe zur klaren Auffassung zu bringen. Wie dieselbe vorzunehmen ist, ergibt sich ans dem in § 6 und § 13 Gesagte». Ge naner wird dies im praktischen Theil und in der Schrift «Der metrische Scheibchen-Rechenapparat n. s. m.» vom selbe» Verfasser besprochen. Im Raume 1 —1000 hat an die Stelle der äußeren die innere Anschannng zu treten. Um sich über diese bei den Schülern zu orientieren, muss man sie die Auflösungen möglichst selbst suchen lassen; treffen die Schüler das Normalverfahren nicht, und schlagen sie Umwege ein, so führt sie der Lehrer ans dasselbe hin, worin er sie vollständig sicher zu machen hat. Überhaupt soll man bestrebt sein, die Selbstthätigkeit der Schüler in dem Maße, als sie heranlvachseu, zu steigern (Hentschel).
2.) Eine Durchsicht der vorangehenden Stufen führt uns zum Resultate, dass sich die späteren Stufen auf frühere stützen. Die Reihenfolge der Übungen ist also genau vorgeschrieben.
3.) Die aus den vorangehenden Stufen sich ergebenden Übungen zerfallen in zwei Arten, und zwar 1.) in solche, bei welchen die Einübung derartig zu geschehen hat, dass mit der gegebenen Aufgabe allsogleich das Resultat im Geiste yorschwebt; z.B. sobald das Kind 5 + 3 hört, muss es auch schon ohne Nachdenken die Zahl 8 sagen können; 2.) in solche, bei denen man den Schülern insbesondere die Art und Weise des Vorganges (das Normalverfahren) beim Berechnen beiznbringe» hat, die aber die Einübung der ersten Art, worauf sie sich stützen, schon voraussetzen; z. B. bei der Aufgabe 36 + 23 hat man dein Kinde nur das Verfahren 36 und 20 ist 56 und 3 ist 59 beiznbringe».
Zur ersten Art gehören vor allem die Fundamentalnbnngen: das «Einsnndeins», das «Einsvoneins-, das «Einmaleins-, das «Eins-iiicins» (Einsdnrcheins); ferner noch andere, imb zwar beim Addieren die Stufen: 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 13, 14, 15, 16; 10 und 11 sollen wenigstens möglichst geläufig ausgerechnet werden können ;
beim Subtrahieren: 2, 3, 4, 5, 9, 10, 12, 13; 6, 7, 11, 14, 15 sollen wenigstens möglichst geläufig ausgerechnet werden können;
beim Multiplieieren: 2, 4, 0, 7, 11, 12, 15, 16;
beim Dividieren die durch Beispiele angedeuteten Übungen: 80 : 4, 40 : 20, 600 : 3, 600 : 200, 400 : 8 (?).
Zur zweiten Art gehören die übrigen Übungen. — Nur wenn die erste Art der Aufgaben zur vollsten Sicherheit eingeübt wurde, kann die zweite Art mit Erfolg behandelt werden; denn nur dann kann die Aufmerksamkeit des Schülers bei der Abstractivn des Normalverfahrens (des Zahlcngesetzes) ungetheilt erhalten werden. Z. B. der Schüler hat bei der Ausführung der Aufgabe 4 mal 23 den Borgang: 4 mal 20 = 80, 4 mal 3 =12, 80 + 12 = 92, 4 mal 23 = 92 zu durchschauen, was er am bequemsten erreicht, wenn ihm die Resultate für 4 mal 20 und 4 mal 3 allsogleich vorschweben.
Überhaupt hat man auf das, was die Grundlage für Anderes bildet, hauptsächlich das Augenmerk zu richten. So z. B. wenn das «Einmaleins» vollkommen geistiges Eigenthnm des Schülers geworden ist, kann das «Einsineins, Einsdnrcheins- leicht erfasst und im ganzen erkannt werden, wenn der Schüler nur durchschaut, wie man von der Multiplikation auf die Division ninkehrt. — Auch ein Grund, dass die Division nach der verarbeiteten Mnltiplication vorzunehmen sei.
4.) Der erste Weg, den man bei einer neuen Übung einschlägt, ist wohl immer ein solcher, der zur Einsicht in das Verfahren führt; schließlich muss die Rechnung möglichst kurz durchgeführt werden. Z- B. 70 + 80 =; zuerst spricht man: 7 Z. und 8 Z. sind 15 Z., 70-f-80 = 150; schließlich muss jedoch sogleich angegeben werden: 70 -j- 80 = 150.
5.) Beim Kopfrechnen spielt die Zerlegung der Zahlen eine wichtige Rolle. Abgesehen von den Zerlegungen, die man mit den Zahlen im Raiune 1 — 20 vornimmt, z. B. 8 = 5+* s- w., sind noch folgende hervorznheben: n) Zerlegung einer Zahl in mehrere gleiche Theile (Nam» 1	100),	wichtig für die Fnndanientalübnngen der Division;
1' n ii t a r, Methodil bc» üie<l)vmiiitcmd)tfo.	i|
I>) Zerlegung einer Zahl in die verschiedenen dekadischen Einheiten; (h Zerlegung des Dividends in solche Theile, die alle bis ans den niedersten durch den Divisor theilbar sind. Dies ist in folgende», durch Beispiele angedeuteten Fällen »othwendig:
a)	50 :	4	= ;	50	=	40+	10	n. s. w.
ß)	47:	3	=;	47	=	30+	17
y)	80 :	30	=;	80	=	(50 +	20
Ö)	56:	20=;	56	=	40 +	16	»
t)	540 :	3	=;	540	=	300 +	240	.
il) 916 :	4	=;	916	=	800+	30	+	36	». s. w.
>j) 500 :	2	=;	500	=	400 +	100	u.	s.	tu.
!)) 267 :	80	= ;	267	=	240 +	27	>
i) 824 :300	=;	824	=	600 +	224
Für diese Art der Zerlegung sind Vorübungen rathsam. Für die Übungen u)\ Zerlegungen der Zahlen 30, 50, 70, 90 für den Divisor 2; 40, 50, 70, 80 für den Divisor 3; 50, 60, 70, 90 für den Divisor 4 it. s. w.
Für die Übungen ß) sind ähnliche Vorübungen vorzunehmen, »tan nimmt nur statt 30 z. B. 37 it. s. f. Ähnliche Vorübungen ergeben sich für die übrigen Stufen.
6.) Die Übungen, die in der Stnfenordnung vorzunehmen sind, werden später mich außer der Ordnung vorgenommen, damit die erkannten Zahlengesetze durch Nebeneinanderstellung noch schärfer zum Ausdruck gelangen.
7.) Ein besonderes Augenmerk ist auf die Ergänzungen der Zehner oder der Hunderter und ans die Übergänge in andere Zehner oder in andere Hunderter zu richten. Als vorbereitende Übungen zu diesem Zwecke sind daher solche wie 7 + • = 10, 5 = 3+ -, 67 + • j= 70 it. f. tu. von Bedeutung.
Besonders verdienen mich berücksichtigt zu werden: die Multiplikation mit 10, 100 und die Division durch 10, 100.
8.) Die Aufgaben sind entweder einfache oder zusammengesetzte; letztere werden insbesondere bei Wiederholungen und beim Schnellrech ne» angewendet. Hauptsache bleibt jedoch, nur 2 Summanden, resp. 2 Faktoren zu nehmen.
9.) Im Raume 1 —100 sind hauptsächlich, jedoch nicht ohne Ausnahme, die Übungen dem Gedächtnisse einzuprägen, im Raume 1 —1000 ist die Erkenntnis des Normalverfahrens vorwiegend.
10.) Das Kopfrechnen wird auch in den höheren Zahlenränmen gepflegt; dasselbe besteht jedoch grvßtentheils in Wiederholungen. Die im Folgenden angeführten Beispiele zeigen jedoch, dass es bequeme Kvpfnbnngen gibt, die den Zahlenranm 1000 übersteigen.
900 + 800, 8000 + 4000, 2500 + 8000, 4280 + 5000, 5000 + 8276, 820 + 970, 834 + 750, 753 + 546 it. s. w.
9000 — 2000, 2400 — 1300, 6040 — 3020, 6000 — 800, 3000 — 90, 4000 — 3, 4200 — 3800, 1630 — 950 it. s. tu.
6 X 300, 2 X 4000, 4 X 830, 5 X 426 u. s. w.
4000 : 2,	6300	:	3,	8470	: 7,	9045 : 5,	1250	: 25,
3672 : 36,	2000	:	500	it. s. w.
Die Addition und Subtraction, wobei beide Zahlen vier bedeutende Ziffern enthalten, beginnt sehr unbequem zu werden und wird daher lieber schriftlich ausgeführt. Vergleiche das Dreierprincip.
11.) Es gibt auch Rechnungsvortheite, wie z. B. 34 -j- 29 = ? 34 —s— 30 ist 64, weniger 1 ist 63; 86 — 49 =? wird ähnlich behandelt u. s. w. Wann man mit Rechnungsvortheilen anzufangen hat, ist wohl eine offene Frage. Močnik z. B. nimmt sie in den Raum 1 —1000 auf, während Hentschel sie in den höheren Zahlenranm verweist. Jedenfalls haben die Vortheile so lange keine Berechtigung, als das Normalverfahren nicht vollends eingeübt ist.
12.) Die Seele alles Unterrichtes ist fortwährende Wiederholung des bereits Erkannten. Dieser Grundsatz kann für's Rechnen nicht genügend eingeschärft werden und insbesondere für die Übungen, die dem Gedächtnisse unmittelbar eingeprägt werden müssen. Wiederholen soll man öfters im Laufe des Jahres nach dem Abschlüsse bestimmter Partien, wiederholen soll man im Anfänge jedes Schuljahres, bevor man mit Neuem beginnt.
Weitzen Übungen.
§ 20. Die Reihenübnnge» sind von höchster Bedeutung. Durch Reihen wird die Orientierung in der Zahlenreihe zu einer möglichst klaren und geläufigen, der Rechenunterricht wird lückenlos ertheilt; durch Reihen kann ein mehreren Übungen zugrunde liegendes Gesetz ab
strahiert werde»; die Reihen eignen sich insbesondere für Schnellrechnen, für Wiederholungen und auch für die stille Beschäftigung. Jede Reihen-Übung hat erst aufzutreten, wenn die Übungen, ans die sie sich sticht, schon dnrchgearbeitet sind. Solche Reihenübungcn komme» bei allen vier Grundrechnungsarten vor.
1.) Fortschreitendes Zuzählen der Grundzahlen zu dein jedesmal erhaltenen Resultate.
1 +1 = 2	1 + 2 = 3	2+2 = 4	1 + 3= 4	2 + 3= 5
2+1 = 3	3 + 2 = 5	4 + 2 = 0	4 + 3= 7	5 + 3= 8 £
3 + 1 = 4	l> II CM +	0 + 2 = 8	7 + 3 = 10	8 + 3=11 3
U. s. tu.	lt. s. tu.	it. s. tu.	it. s. tu.	it. s. tu.
Dabei soll man den Raum, in dem man sich befindet, nicht überschreiten. — Das Bildungsgesetz dieser Reihen ist leicht zu erkennen; es wäre daher überflüssig, Reihen für das Zn,zähle» der übrigen Grundzahlen anznsetzen. Ähnlich wird im Nachstehenden mit den Reihen abgebrochen.
Hentschel bemerkt: «Übrigens kann durchaus nicht davon die Rede sein, ans gegenwärtiger Stufe (1 — 100) alle Reihen zur Fertigkeit bringen zu wollen. Man wird sich mit dem Znzählen der 2 und 3 zuerst sehr wohl begnügen können; nur nach und nach geht man zu anderen Summanden über. Es bildet dieses reihenweise Addieren eine ganz besondere Übung für sich, zu der man wiederholend und erweiternd immer von neuem zurückkehren muss, wie weit auch der übrige Unterricht bereits fortgeschritten sein möge. (Stoff zn täglichen Studien!)»
Bei gehöriger naturgemäßer Vertheilung des Stoffes bieten diese Reihen keine besonderen Schwierigkeiten, im Gegenthcile, die Kinder beginnen ihre Kraft zn fühlen und rechnen mit besonderer Vorliebe in Reihen; daher dürfte die Bemerkung Hentschels «übrigens kann durchaus nicht davon die Rede sein, ans gegenwärtiger Stufe (1 —100) alle Reihen zur Fertigkeit	bringen	zn	wollen», etwas zu	ängstlich	sein.
Insbesondere mögen folgende Reihen als vorbereitende Übungen ans die Multiplikation gepflegt werden:
2 + 2 = 4,	4	+	2=6,	6	+	2	= 8	n.	s.	f. bis	20
3 + 3 = 6,	6	+	3 -----	9,	9	+	3	= 12	n.	s.	f. bis	30
4 + 4 = 8,	8	+	4 =	12,	12	+	4	= 10	it.	j.	s. bis	40
", s, f.
Schließlich haben diese Übungen in kurze Zählnbmtgen zu übergehen :
2, 4, 6, 8 . . . 20; 3, (5, 9 . . . 30; 4, 8, 12... 40 u. s. f.
2.) Fortschreitendes Anzahlen der Zehner zu dem jedesmal erhaltenen Resultate.
10+10 = 20 I 10 + 20 = 30 20+ 10 = 30 j 30 + 20 = 50 30+10 = 401 u.f.w.
20 + 20 = 40 10+30 = 40 F 40 + 20 = 60 40 + 30=70 IT
u.	s. iv. I u. s. m.
Die Reihen gehen bis 100 oder bis 1000, je nach dem Raume, in dem man sich befindet. Schließlich Haben diese Übungen in kurze ZäHliibilligen überzngehe».
10, 20, 30... 100; 10, 30, 50, 70, 90 n. s. f.
3.) For tschreitendes Zuzählen der Zehner zu gemischten Zahlen und zu dem jedesmal erhaltenen Resultate.
a) zu zweiziffrigen gemischten Zahlen, l>) zu Zahlen aus Hundertern und Zehnern bestehend, c) zn Zahlen ans Hunderten, Zehnern und Einern bestehend.
Z. B. 14 + 20 = 34, 34 + 20 = 54 u. s tu.
Die zweiziffrigen Zahlen werden dabei möglichst abgetvechselt und jede Zehnerzahl genommen. Die Reihen gehen bis 100 oder bis 1000, je nach dem Raunte, in dem man sich bewegt.
Mit Rücksicht auf 2. und auf a) lassen sich bequem die Reihen nach l>) und c) bilden.
4.) Anzahlen der Grundzahlen zu Zahlen, in welchen die Zahl der Einer unverändert bleibt.
Dabei kann jede Grundzahl und im ersten Summanden jede Einerzahl genommen werden.
Z. B. 8 + 7 = 15, 18 + 7 = 25, 28 + 7 = 35 u. s. tu.
Insbesondere sind dabei auch Reihen von Bedeutung, die Ergänzungen zu reinen Zehnern, resp. Hundertern sind.
Z. B. 7 + 3, 17 + 3, 27 + 3 u. s. tu.
Im Rannte 1 bis 1000 auch Reihen wie 160 + 40, 260 + 40, 360 + 40 it. s. tu., also Zuzähle» der Zehnerzahlen zu Zahlen, die ans Hundertern und Zehnern bestehen und in denen die Zehnerzahl unverändert bleibt.
5.) Wegzählen der Grundzahlen von dem jedesmal er haltenen Resultate.
Die Reihen werden ähnlich gebildet, wie die in 1., nur dass sie nach entgegengesetzter Richtung von oben nach unten gehen, und zwar von 10, 20, 100, 1000 an, je nach dem Raum, in dem man sich befindet. Als Beispiel für den Raum 1 —100 möge folgende Reihe angeführt werden: 92 — 7 = 85, 85 — 7 = 78, 78 — 7 = 71 u. s. f. Hentschels Bemerkung zn 1. möge auch hier berücksichtiget werden.
0.) Wegzählen der Zehnerzahlen von dem jedesmal erhaltenen Resultate, wenn a) der Minuend keine gemischte Zahl, h) eine gemischte Zahl ist.
Die Bildung der Reihen erhellt ans 2. und 3., nur dass das Wegzählen von oben und nicht von unten beginnt. Im Raume 1 — 100 kann man bei jeder beliebigen Zehnerzahl, resp. gemischten Zahl, weg-znzählen anfangen, die größer ist als der Subtrahend. Z. B. 90 — 30 oder 87 — 20. Eine ähnliche Bemerkung gilt für den Raum 1 — 1000.
7.) Wegzählen der Grundzahlen von Zahlen, in denen die Einerzahl unverändert bleibt.
Dabei kann man bei jeder Zahl unter 100, resp. unter 1000, die Reihe zu bilden anfangen; als Subtrahend kann jede Einerzahl genommen werden.
Z. B. 97 - 4, 87-4, 77-4 u.s.f.; 72-7, 62-7 n.s.f.
Derartige Übungen sind insbesondere wichtig für den Übergang in den nächst niederen Zehner, sie mögen daher häufig vvrgenommen werben.
8.) Im Raume 1 — 1000 können auch Reihen gebildet werden, in welche« zu dem bereits erhaltenen Resultate eine zwei- oder auch dreiziffrige Zahl addiert wird. Ähnliches gilt für die Snbtraction.
9.) Das «Einmaleins», «Einsineins» (Einsdnrcheins) sind Multiplications- und Divisionsreihen.
10.) Multiplication der Zehnerzahlen mit den Grundzahl e n.
Z. B. 1 X 00 = 00, 2 X 60= 120 it. s. f.
11.) Multiplikation gemischter Zahlen überhaupt mit jeder Grundzahl.
1 2.) Multiplication der Z e h n e r z a h len mit jede r Zehnerzahl.
Z. B. 10 X 10, 10 X 20, 10 X 30 u. s. f.
13.) Division der Zehnerzahlen durch jede Grundzahl, wobei der Quotient a) eine reine Zehnerzahl, b) eine gemischte Zahl ist.
Z. B. 20: 2, 40:2, 60:2 it. s. f.; 20: 2, 30:2, 40:2 it. s. f.
14.) Im Ranme 1 —1000 konnte inan auch Reihen bilden, wobei reine Hunderter durch jede Grundzahl dividiert werden.
Z. B. 300:3, 600:3, 900:3; 300:3, 400: 3, 500: 3 it. s. f.
Diese Übungen können im höheren Zahlenraume auch die Zahl 1000 überschreiten. Im allgemeinen aber werden im höhere» Zahlenraume die Übungen bis 1000 wiederholt.
B.	Jifferrechneii.
Wechselbeziehung zuü sehen Kopf- und Bitfovrcchuou.
§ 21. Das Kopfrechnen wird 1.) in ein selbständiges, 2.) in ein auf das Zifferrechnen vorbereitendes und 3.) in ein solches, welches mit dem Zifferrechnen in Verbindung ist, eingethcilt.
1.) Das selbständige Kopfrechnen wird hauptsächlich im Raume 1 — 100, aber auch im Raunte 1 — 1000 gepflegt. An dieses schließt sich das Zifferrechnen innig an und hat insbesondere die Aufgabe, die Schüler im Lesen und Schreiben der schriftlichen Zeichen einzuüben und sie an eine bestimmte Form anzugewöhnen und auch das Kopfrechnen zu unterstützen. Dadurch wird zugleich ermöglicht, die Schüler stille zu beschäftigen und ihnen Hausarbeiten zu geben.
Die schriftlichen Zeichen, mit denen die Schüler vertrant gemacht werden müssen, sind: die Zeichen für die Zahlen, die Operationszeichen und das Gleichheitszeichen.
Die Zahlen werden dargestellt a) durch eine Reihe von Strichen, von Punkten it. s. w., b) durch Zahlbilder, c) durch Ziffern.
Hentschel schreibt: «Sind min die Schüler schon so weit gefördert, dass sie mit den Zahlzeichen (Ziffern) sogleich mich die Zahlvorstellung verbinden, und sind sie dazu noch im Schreiben der Ziffern hinreichend geübt, so gehe man sogleich zum Zifferrechnen. Liegen aber gegründete Bedenken dagegen vor, so lasse man die ersten Additivns-ltnd Subtractionsübungen, sagen wir bis in den Bereich der 5 oder 6 hin, mit Zahlbildern (nicht aber mit Reihen von Strichen re.) ans-führen, schreite aber, sobald es möglich ist, zu den Ziffern vor. Die Ziffern weiter hinaus zu schieben, als unbedingt nöthig ist, wohl gar
noch schriftliche Übungen des Mnltiplieierens und Dividierens in Strich gruppen oder Zuhlbilderu ansführen zu lasse», ist entschieden zu verwerfen. »
Daran schließt Hentschel folgende Beispiele als Aufgaben im Be reiche der Zahl 5 an.
4+1=	3+2=
1 +	4	=	2	+ 3 =
5 —	1	=	5	— 2 =
5 —	4	=	5	— 3 =
und setzt folgende Bemerkung hinzu:
'Manche ziehen es vor, sich bei säinintlichen Übungen dieser Stufe (1 — 10) der Anwendung der Ziffern noch gänzlich zu enthalten, mit nicht die Anschaulichkeit des Unterrichtes zu beeinträchtigen und eine Verwechslung von Sache und Zeichen, Zahl und Ziffer zu veranlassen. Die Schüler arbeiten dann in dieser Weise:
“>111 + 1111 = 1111111	•) III X II = 111111
">1111111-1111 = III	-oll i" 111111 = 111
oder mich dasselbe mit Zahlbildern.
Dabei ist zu erwägen:
«) Darstellungen wie diese bei l>), und vor allen bei c) und <l), sind nur anschaulich in Bezug auf die Zahlen, mit welchen der Schüler rechnen soll, nicht aber inbetreff des Rechnens selbst.
ß) Was ferner das Rechnen mit Strichreihen betrifft, so ist gewiss, dass die Kinder nicht mehr als 4 Striche als ein Ganzes mit einem Blicke übersehen können. Demnach vermögen sie ihre eigenen, in Strichen gemachten Aufzeichnungen überall, wo Zahlen über 4 Vorkommen, nicht unmittelbar wieder zu lesen, sondern sie sind, wenn das Lesen gefordert wird, zu einem fortwährenden mühsamen und geistlähmenden Nachzählen einzelner Striche gezwungen.
y) Wo soll der Lehrer in einer großen Elenientarclasse die Zeit hernehmen, die in Strichen ansgeführten Arbeiten einer zahlreichen Abteilung von Schülern zu prüfen? In Ziffern Geschriebenes lernt man mit einem Blick übersehen (dasselbe gilt in gewissem Sinne mich von den Zahlbildern); bei Aufzeichnungen in Strichen ist dies unmöglich.»
Nach Winter und e tu bim tritt dir Ziffer auf, nachdem jümmtliche vier Operationen im Zahlenkreis von 1 —10 durchgearbeitet wurden.
Böhme gebraucht die Ziffer, nachdem er die vier Grnndvperativnen an Zahlbildern durchgenvinmen hat, lvozu nach seiner Meinung ein viertel Jahr, unter Umstünden längere Zeit gehört.
Die Monographen Wiedemann und Volkmann, ebenso Mocnik, lassen die Ziffer sofort nach der Betrachtung der betreffenden Zahl schreiben und Tanck, sobald die Kinder das Zeichen richtig fassen und es nachmachen können.
Diejenigen, die die Ziffer möglichst weit hinansschieben, kleben wohl immer am Gedanken, dass man die Zahl ihrem Inhalte nach momentan erkennen kann. Jnwieferne ihre Anschauung begründet ist, erkennt man ans dem Vorangehende». «Eines nach dem Ändern», dieser Grundsatz soll auch bezüglich der schriftlichen Zeichen gelten. Und vom Bekannten soll man ausgehen. In einer Rechenfibel sollen also die ersten Zahlen durch bekannte Objecte, Messer, Gabel, Schlüssel ». s. w., und wohl auch durch Striche, Punkte it. s. w. dargestellt werden. Vergl. Hcinze und Hübner.
Bei der Zahl 2 treten dann die Zeichen -j-, — auf, auf welche man beim mündlichen Unterrichte schon vorbereitet hat. (Vergl. prakt. Theil.) Die Zahlen 2 und 3 werden ans dem Grunde, damit diese Zeichen intensiver erkannt werden, in zwei Bestandtheile zerlegt; diese Zerlegung im Raume 1 — 3 ist mit einem Blick ersichtlich und wird daher keine besonderen Schwierigkeiten bereiten. (Vergl. die Rechenfibel.)
Ans die Ziffern sollen Zahlbilder, von beiten jene am geeignetsten erscheinen, welche, ans Strichen bestehend, mit den Ziffern die größte
Ähnlichkeit haben, wie z. B. j, I—j it. s. w , vorbereiten und im Raum,
in welchem man mit Ziffern beginnt, diesen gegenübergestellt werden. (Vergl. die Rechenfibcl.) Im Rannte 1 — 10 treten die Ziffern in den Vordergrund, während die Zahlbilder ihre Rolle ausgespielt haben.
2.) Das auf das Zifferrechnen vorbereitende Kopfrechnen hat die Aufgabe, die Auffassung der Regeln zu erleichtern. Z. B. wird die Regel für die Multiplikation mit reinen Zehnern leicht aufgefasst, wenn man folgende an einem Beispiele angedentete Kopfrechnnngen vernimmt. 30 mal 24 bekommt man, wenn man das 3fache von 24 lOittnl nimmt. 3 X 24 = 72, 10 X 72 — 720, 30 X 24 = 720.
Regel: «Man »mltipliciert 24 mit 3 und setzt znin Products rechts eine Nulle.»
Schriftlich:	24
X 30 720
3.) Mit dein Zifferrechnen ist das Kopfrechnen immer in Verbindung. Sv z. B. bei jeder Operation die Fnndainentalübnngen und noch andere. Dasjenige, »vorauf sich das Zifferrechnen stützt, soll zur vollsten Fertigkeit und Sicherheit eingeübt »verden, damit die Auffassung der Regel dadurch nicht gehemmt »vird.
8 22. Hentschel verlangt bezüglich der Form: 1.) Nnmmer und Buchstabe der Aufgabe sollen oben links deutlich zur Aufgabe geschrieben werden; 2.) das Endresultat hebe man mit ztvei »vagrechten Strichen heraus; 3.) die Ziffern sollen deutlich sein. (1 —1000.)
Mocnik bemerkt im Raume 1 — 5: Die Form für die schriftliche Ausrechnung sei anfangs vollständig; z. B.
1 -j- 2 + 1 =	4-24-3	=
1 4- 2 ----- 3	4 — 2 = 2
3+1=4	2+3=5
1 + 2 + 1= 4	4	—	2	+ 3 = 5
.... In keinem Falle soll jedoch die folgende, durchaus falsche und sinnlose Darstellung geduldet »verden:
1 + 2 = 3+ 1 = 4	4 — 2 = 2 +3 = 5
Bei vorgeschrittener Übung können sich die Schüler auch bloß der kürzeren Darstellnngstveise bedienen; sie sprechen z. B. 4 weniger 2 ist 2 und 3 ist 5 und schreiben sogleich
4 — 2 + 3 = 5.
Selbständiges Iifferrecstnen.
§ 23. Auf welcher Stufe das selbständige Zifferrechnen anzufangen hat, folgt aus dem über die Grenzen des Kopfrechnens Gesagten. Im unbegrenzten Zahlenranme, also im Raume über 1000, muss im allgemeinen an die Stelle des Kopfrechnens das Zifferrechnen treten. Bei genauerer Einsicht in die vorhandenen Rechenbücher findet man jedoch in der Regel das selbständige Zifferrechnen schon im Raume l —1000
behandelt. Böhme bemerkt: «Um das schriftliche Verfahre» zur völligen Einsicht zu bringen, knüpfen wir es stets an das Material cm, mit dem der Schüler bereits bekannt ist, nämlich an den Kreis 1 bis 1000. Ist hieran die Einsicht gewonnen, dann ist sie auch im größeren Kreise leicht zu erreichen.» Da er im Raum 1 —1000 nur das Kopfrechnen pflegt und erst im unbegrenzten Zahlenraume mit dem Zifferrechne» beginnt, bemerkt er: «Werdas schriftliche Rechnen nicht so weit hinans-schieben will, wie in dieser Anleitung geschehen, mag es neben dem Kopfrechnen im Kreise 1 bis 1000 einhergehen lassen und für jedes die Hälfte der wöchentlichen Stunden verwenden.»
«Die Gründe des Verfahrens beim Tafelrechnen sind den Schülern überall zum Bewusstsein zu bringen. Das Rechnen selbst muss dann durch fleißige Übungen zur Sache des unmittelbaren Könnens werden, bei welchem eine Nothwendigkeit, sich ans die Gründe zu besinnen, gar nicht weiter vorhanden ist.» (Hentschel.)
«Mit den technischen Ausdrücken, welche im Rechnen eingeführt sind, werden die Schüler bei den ersten Beispielen des Zifferrechnens* bekannt gemacht, wozu cs jedoch nicht so sehr der Definitionen, als vielmehr des wiederholten Gebrauchs dieser Ausdrücke bedarf. Niemals ist mit Namen und Definitionen anznfangen; früher muss die Sache da sein, dann folgt der Name.» (Mvcnik.)
Es ist sehr zu empfehlen, dass die Ableitung der Regel auch nach der Einübung wiederholend vorgenonimen wird, weil sie nur dadurch für die Dauer erkannt wird und weil nur volles Verständnis der Regel das Gedächtnis unterstützt.
Addition.
§ 24. Einige Übungen im Kopfrechnen werden vorangeschickt. (Vergl. Kopfrechnen pag. 28, Raum 1 —100 und 1 —1000.)
Raum l — 1000.
Močnik will auch folgendermaßen durch das Kopfrechnen anfs Zifferrechnen vorbereiten: «Wir zerlegen beide Zahlen (32 und 53) in Zehner und Einer und zählen dann Zehner zu Zehnern und Einer zu Einern; also: 32 = 3 Z. + 2 E., 53 = 5 Z. + 3 E., 3 Z. und 5 Z. sind 8 Z., 2 E. und 3 E. sind 5 E., 8 Z. und 5 E. sind 85.» — Andere thun dies nicht, weil es auch nicht nothwendig ist und gegen
* Storni auch schon früher geschehe».
die Regeln des Kopfrechnens verstößt. Jedenfalls ist es von Bortheil, die Beispiele, bei welchen sich keine höheren Einheiten, also kein Übergang in höhere Ordnung ergibt, den Beispielen mit liebergang in höhere Ordnung voranznschicken, wie dies Moenik thnt. Ferner kann inan zuerst Beispiele mit zwei Snmnianden und dann solche mit mehreren Summanden nehmen. Hentschel leitet die Additivnsregel am Beispiele: 406 ~|~ 300 -s- 256 -s- 7 -f- 18 ab. Er schreibt: -Man setzt mit aller Genauigkeit Einer unter Einer, Zehner unter Zehner u. s m.
406
300
256
7
18
087
Berechnung: 8 E. und 7 E. — 15 E., »nd 6 E. — 21 E., und
6 E. = 27 E. oder 2 Z. und 7 E.; 2 Z. und 1 Z. — 3 Z. it. s. w.
Nachdem so mehrere Aufgaben mit Angabe der einzelnen Ordnungen durchgearbeitet sind, so heißt es ganz kurz: a) 8 und 7 ist 15, und 6 ist 21, und	6 ist	27 (die	7 wird nntergesetzt, die
2 im Sinne behalten). — l>)	2 und	1	ist 3,	und 5 ist 8 (Untersetzen
der 8; — c) 2 und 3 ist 5, und 4 ist 0 (Untersetzen der 9).
Endlich werde so addiert: Man zeigt ans die einzelnen Zahlen, ohne sie jedoch zit nennen, und gibt nur die jedesmalige Summe an; es heißt also bei den Einern obiger Aufgabe so: «8, 15, 21, 27» die
7 wird untergesetzt, mit den 2	Zehnern	sofort	zur Zehnerreihe gegangen,
und es heißt dort: «2, 3, 8	re.»
Folgende Beispiele mögen die Stufenfolge andeuten, nach welcher die Beispiele für die Ableitung der Regel zu ordnen sind:
26	423	943	26	564	628
43	356	35	47	457	92
243	326
120	47
618	108	und	andere	solche.
4
300
An den späteren Beispielen sollen die Schüler möglichst selbstthätig die Regel suchen.
Die Additionsregel ist leicht in Worten ausznspreche», daher soll man dies auch von den Schülern verlangen. «Die Addition mirt) ans-gcführt, indem man Einer zn den Einern, Zehner zn den Zehnern u. s f. addiert.»
Nun werden die technischen Ausdrücke: Addieren = Zusammen* zähle», Summanden (Posten, Addenden) — Zahlen, welche zusammen-gezählt werden, Summe — Zahl, die durch das Znsammenzählen gefunden wird, beigebracht, wenn man dies nicht schon früher gethan hat, wie dies ans dem dritten Rechenbuche zu ersehen ist. Diese Ausdrücke sind bei den folgenden Aufgaben wiederholt zn gebrauchen. Sobald die Regel von den Schülern aufgefasst wurde, wirb die Addition an mehreren Beispielen eingeübt. (Vergl. Hentschel oben.)
«Das unnöthige Verweilen beim Aufrechnen an dieser oder jener Zahl, wie man es oftmals beobachten kann, wird nur durch fortgesetzte, fleißige Übung zn beseitigen sein.» (Hentschel.)
Unbegrenzter Zahleiiranm.
§ 25. Das, was für den Raum 1—1000, gilt auch für den unbegrenzten Zahlenraum. Nicht überflüssig wäre es, den Fall hervor-zuheben, in welchem die Summe einer Art der Einheiten mehr als 100, wie dies bei Aufgaben mit vielen Posten (z. B. in Rechnnngsbüchcrn der Geschäftsleute) der Fall sein kann, beträgt.
Im Rechcnbnche «L' Aril.hmelique, pnr G. Beleze», wird die Addition durch angewandte Aufgaben eingeleitet, was das Ganze mehr zu beleben scheint. Man liest: «Ein Kaufmann hat Montag 37 in, Dienstag 42 m Tuch verkauft; wie viel Tnch hat er an beiden Tagen verkauft? .... Aber wenn man diese Addition nach vorangegangener Erklärung ansführen müsste, nämlich durch wiederholtes Hinzufügen aller Eins der Zahl 42 zur Zahl 37, wäre die Operation außerordentlich lang. Nun sieh her, wie man zn demselben Resultat durch eine einfachere Operation gelangen kann.
Vor allem ist es klar, dass in der gedachten Zahl die 3 Zehner und 7 Einer der ersten Zahl und die 4 Zehner und 2 Einer der zweiten Zahl Vorkommen müssen; ich schreibe diese 2 Zahlen untereinander, und zwar so, dass die Einheiten derselben Ordnung in derselben vertiealen
Reihe, d. H. die Einer unter die Einer, die Zehner unter die Zehner zn stehen komincn, und ich ziehe eine horizontale Linie unter diesen zwei Zahlen, so wie inan im Folgenden sieht:
37 in 42
Summe: 70
Dann	sage	ich,	bei	den Einern anfangend: Die 7 Einer der
ersten Zahl und die 2 Einer der zweiten Zahl machen 0 Einer, welche ich unter den horizontalen Strich unter die Einerreihe schreibe it. s. w.
Der Kaufmann hat also an beiden Tagen 70 m Tuch verkauft.»
Ähnlich verfährt er noch an zwei anderen angewandte» Beispielen, die zn folgendem Ansatz führen:
825	Francs	448	/
788	20
Summe:	1563	207
05
136
140
Summe: 1064
Daran schließt er Übungsbeispiele und angewandte Aufgaben. Das Kopfrechnen, welches mit der schriftlichen Addition in Verbindung ist, lässt sich ans die durch folgende Beispiele augedeuteten Fälle znrückfnhren: 5 + 3 (7 + fl), 42	+ 7 (47 + 8),	112 + 4	(117 + 5).	Die Resultate dieser Stufen	des Kopfrechnens	müssen also momentan	angegeben
werden können.
gubtriution.
N n u in 1 — 100 0.
§ 26. Einige	Übungen im Kopfrechnen	werden vorangeschickt.
(Vergl. Kopfrechnen,	i>ng. 20, Raunt	1 —100,	1—1000.)	Ein vor-
bereitendes Kopfrechnen durch Zerlegung des Minnends und Snb trahends in die Einheiten verschiedenen Ranges ist überflüssig, weil die Regel für das schriftliche Subtrahieren leicht zur Auffassung zu bringen ist.
Ableitung der Snbtractionsregel nach Hentschel.
1.) Ohne Borgen, n) Wie viel ist 645 — 301?
Man seht die gleichnamigen Ordnungen genau untereinander; dann heißt es: 1 Einer von 5 Einer» bleiben 4 Einer; kein Zehner von 4 Zehnern bleiben 4 Zehner; .4 Hunderter von 6 Hundertern bleiben 3 Hunderter.
>>) 1 von 5 bleibt 4, 0 von 4 bleibt 4, 3 von 6 bleibt 3. Probe: Man zähle den Rest mit der Abnahme zusammen; ist richtig abgezogen, so kommt wieder die Vollzahl.
2.) Mit Borgen.
Erklärung zum ersten Beispiel. Von 2 E. können wir 6 E. nicht ab-ziehen, >vir nehmen daher von nnsern 7 Z. einen Zehner weg und machen Einer daraus. Dieses Wegnehmen nennt man Borgen. Wir bezeichnen es durch einen Punkt neben der 7. 1 Z. gibt uns 10 E., 2 E. hatten wir schon, macht zusammen 12 E., die wir mit kleinen Ziffern darüber setzen, 6 E. von 12 E. bleiben (5 E., 4 Z. von (i Z. bleiben 2 Z., 5 H. von 9 H. bleiben 4 H.
Später kurz so: 6 von 2 geht nicht, ich borge einen Zehner (Punkt neben die 7); 10 und 2 ist 12; (i von 12 bleibt 6; 4 von (i bleibt 2; 5 von 9 bleibt 4.
Erklärung zum zweiten Beispiele: 9 E. von 4 E. geht nicht, ich muss borgen. Einen Zehner kann ich nicht borgen, denn es sind keine Zehner da; ich borge also l H.; 1 H. — 10 Z. (eine kleine 10 über die 0 in der Zehnerstelle), nun borge ich einen Zehner (Punkt neben die kleine 10), bleiben 9 Z. (kleine 9 über die kleine 10), 9 E. von 14 E. bleiben 5 E., 0 Z. von 9 Z. bleiben 3 Z. it. s. w.
Lösung mit Probe:	l>)	045
— 301 344 645
Erstes Beispiel:
Wie viel ist 972 weniger 546? Berechnung
Zweites Beispiel:
Wie Viel ist 904	•	569?
Berechnung
9
10. 14
97.2 — 54 6 42 6
Mehr solcher Beispiele. Die Kinder lernen hier, wie man ü Oer die Null hinweg borgt, und dass diese dadurch znr 9 wird.
Man übe die Kinder so lange an dergleichen Exenipeln, bis sie die ganze Ausrechnung kurz und sicher abzumachen imstande sind. Alles Eilen ist hier von Übel. — So weit Hentschcl.
Genauere Abstufungen mögen folgende Beispiele, an denen die Regel, und zwar an den späteren von den Schülern möglichst selbst thätig, abgeleitet wird, andenten:
79	748	698	93	438	721	903
— 32	437	74	-96	-	293	-48	-	257
Eine Zahl von einer ändern wegzählen, heißt auch subtrahieren; die Zahl, von der subtrahiert wird, heißt der Minuend, und die Zahl, welche man wegzählt, der Subtrahend. Die Snbtractivn wird ansgeführt, wenn man Einer von den Einern, Zehner von den Zehnern u. f. tu. subtrahiert; wenn eine Ziffer des Snbtrahends größer ist, als die darüber stehende des Mimiends, muss man borgen.
Den Borgepnnkt werden wir oben und nicht neben der Ziffer machen, wie Hentschel.
Unbegrenzter Zahlenraum.
§ 27. Das Verfahre» beim Subtrahieren in diesem Raume unterscheidet sich von jenem im Räume 1 —1000 nicht wesentlich; hier kommen nur	noch Tausender, Zehntausender it. s. f. in Rechnung. Ne»	ist
hier nur	das Borgen über mehrere Nullen hinweg.
Vorn	Es	ist also die erste Null zur
Z.B.:	80000	10 geworden, jede andere aber,
— 42652 über welche hinweg geborgt 37348 wurde, zur 9.
Das Verfahren bei der Erklärung ergibt sich dem Lehrer ans Obigem von selbst.
Subtrahiere» mittel'» Iuzähke»».
§ 28. Um zu berechnen, um wie viel sich z. B. die Zahl 9 von der Zahl 9 unterscheidet, braucht man entweder nur die Zahl 9 von der Zahl 9 wegzuzählen oder aber znr Zahl 9 so viel daznznzählen,	bis
man zur	Zahl 9 kommt. 9 von 9 bleibt 3, oder 9 -s- 3 — 9.
Die zweite Art des Subtrahierens ist oft von großem Vortheil und stellt sich für das praktische Rechnen überhaupt bequemer heraus.
Es sei z. B. der Unterschied zwischen 7824 und 3512 zu bestimmen.
7824	a)	2 E. nnd — 2 E. — sind 4 E.; 1 Z.
3512	und — 1 Z. — sind 2 Z.; 5 H. nnd — 3 H. —
4312	sind 8 H.; 3 T. und — 4 T. — sind 7 Tülls.
I») 2 nnd — 2 (2 nntergesetzt) — ist 4; 1 nnd — 1 (1 n litergesetzt) — ist 2; 5 nnd — 3 (3 untergesetzt) — ist 8; 3 und — 4 (4 nntergesetzt) — ist 7.
Für die Fälle, in welchen ein Übergang in eine andere Ordnung stattfindet, muss man den Schülern den Satz beibringen, dass der Unterschied zweier Zahlen sich nicht verändert, wenn jede um Dasselbe vermehrt lvird.
Der Unterschied zwischen 6 nnd 4 ist gerade so groß, lvie zlvischen 7 und 5, 8 und 6, 9 und 7 u. s. m.; zwischen 31 und 17 gerade so groß, lvie zwischen 41 und 27, zwischen 716 nnd 324 gerade so groß, wie zwischen 816 nnd 424 u. f. lv. it. s. tu.
Bestimmen wir nun den Unterschied zwischen den Zahlen
5837	Erklärung: 2 E. und — 5 E. — sind 7 E. —
 3262	Da	6 Z. größer sind als 3 Z., so kann man durch
Dazuzählen zu 6 Z. nicht 3 Z. erhalten, wohl kann man dadurch ans 13 Z. kommen. Nehmen wir daher statt 3 Z. im Minuend 13 Z., wodurch derselbe um 10 Z. oder 1 H. vermehrt erscheint. Damit aber der Unterschied beider Zahlen derselbe bleibt, müssen wir die 2 H. des Snbtrahends um 1 H. vermehren. Wir sprechen also: 6 Z. und — 7 Z. — sind 13 Z.; 1 H. und 2 H. sind 3 H., 3 H. nnd — 5 H. — sind 8 H.; 3 T. und — 2 T. — sind 5 T.
Kurz: 2 und 5 (5 untergesetzt) ist 7; 6 und 7 (7 untergesetzt) ist 13; 1 und 2 ist 3, und 5 (5 untergesetzt) ist 8; 3 und 2 (2 untergesetzt) ist 5.
Beleze verführt bei der Snbtraction ähnlich lvie bei der Addition.
Das mit der schriftlichen Snbtraction in Verbindung stehende Kopfrechnen lässt sich ans folgende, durch Beispiele angedentete Fälle znrückführen:
8 — 5,	13	— 7;	6	+	■ = 9,	7	-f • = 12.
Laurar, Methodik des Rkcheiimiterrichtes.	4
Stufe»
Multiplication.
§ 29. Mau unterscheidet folgende, durch Beispiele angedeutete
Raum 1 —1000.
423	248	43	37	34
X 2 X 3 X 10 X 20 X 23
Unbegrenzter Zahlenrau m.
5623	423	/	423	423
/	423	423	.	\
^ x 100 x 1000
X 3 \x 6 X 7___________________________'■1 ) x 300 X 2001
423
§ 30. x/ 0 Kopfrechenübungen nach Stufe 3, 8, 9, 10.
X 3 X 10
453	/	453	.	\	314 /	4287	4287	, , \
X 20 (x 200 "'* ) X 20 (x 374 X 2756	)
Specielle Fälle.
4530 /	36800	728000	,	\	4500	9634
7	"-s.w.)
423
X 2
Schriftlich: «Um an Bekanntes anzuknüpfen, betrachten wir das Mnltiplieieren zunächst als ein tviederhvltes Addieren und schreiben die 423 Zahl 423 zweimal unter einander; wir erhalten: 3 E. nnd 423	3 E. sind 6 E.; 2 Z. und 2 Z. sind 4 Z.; 4 H. und 4 H.
840 sind 8 H.» (Močnik.)
Statt 3 E. und 3 E. können wir sagen: 2 mal 3 E., statt 2 Z. und 2 Z.: 2 mal 2 Z, und statt 4 H. und 4 H.: 2 mal 4 H. Wir schreiben daher die Zahl 423 nur einmal und die Zahl 2, welche angibt, wie oft 423 zu nehmen ist, unter diese mit dein Zeichen X voran:
423 X 2 840
Nun spricht man: 2 mal 3 E. sind 6 E. (werden unter die Einer geschrieben), 2 mal 2 Z. sind 4 Z. (werden unter die Zehner geschrieben), 2 mal 4 H. sind 8 H. (werden unter die Hunderter geschrieben).
Später kurz: 2 mal 3 ist 0 (anschreiben), 2 mal 2 ist 4 (an schreiben), 2 mal 4 ist 8 (anschreiben).
Die Regel wird noch an mehreren Beispielen wie:
23	34	231	222
X 3 X 2 X 3 X 4
selbstthätig abgeleitet.
Eine Zahl öfters nehmen heißt diese mnltiplicieren. Die Zahl 423, welche man mehrmal genommen hat, heißt der Multiplikand, und die Zahl 2, welche angibt, wie oft 423 genommen wird, der Multiplikator, und die gesuchte Zahl das Product.
248 X 3 744
3 mal 8 E. sind 24 E. oder 2 Z. und 4 (S.; die 4 E. werden unter die Einer geschrieben und die 2 Z. zu den Zehnern weitergezählt. 3 mal 4 Z. sind 12 Z, und 2 Z. sind 14 Z. oder 1 H. und 4 Z.; die 4 Z. werden unter die Zehner geschrieben und 1 H. weitergezählt. 3 mal 2 H. sind fi H., und 1 H. sind 7 H.; die 7 H. werden unter die Hunderter geschrieben.
Später kurz: 3 mal 8 ist 24, bleibt 2 (4 werden angeschrieben und 2 weitergezählt; 3 mal 4 ist 12, und 2 ist 14, bleibt 1 (4 werden angeschrieben und 1 weitergezählt); 3 mal 2 ist fi, und 1 ist 7 (wird angeschrieben). Die Regel wird »och an mehreren Beispielen von den Schülern selbstthätig abgeleitet. Nach der Erkenntnis der Regel tuirb fleißig int Ausrechnen geübt.
Das Kopfrechnen, welches mit dein Zifferrechnen in Verbindung steht, lässt sich in dem und in allen anderen Fällen ans das Einmal eins zurückführen.
Multiplication mit Zehnern.
§31.	^ Im Kopfe. 10 mal 40 ist 400, 10 mal 3 ist
30, 10 mal 43 ist 430. Aus diesem und mehreren anderen Fällen ergibt sich die Regel fürs schriftliche Rechnen.
Eine Zahl wird mit 10 mnltipliciert, wenn man ihr rechts eine Nulle anhängt. — Übungsbeispiele.
Im Kopfe. '	37	nimmt	man	20	mal,	wenn	man	das
-	2fache	von 37 10 mal	nimmt. 2	mal 30
ist 00,	2	mal	7 ist 14,	60	und 14 ist 74, 2 mal	37 ist 74,	10 mal
74 ist 740.
Ans diesem Beispiele ergibt sich, dass man beim schriftlichen Multiplieiere» die Zahl 37 nur 2 mal zu nehmen und dazu eine Deutle zn setze» braucht. Also:
X 20 740
2 mal	7	ist	14,	bleibt	1;	2 mal	3 ist 6, und 1	ist 7; au	74 eine
Nulle an.	—	Die	Nulle	kann mau	auch zuerst schreiben und dann mit
2 multiplicieren. Ähnlich wird die Regel an mehreren anderen Bei spielen erkannt. — Übnngsbeispiele.
Multiplication mit zweiziffrigcn Zahlen.
§ 32.	Kopfrechenübnngen	noch	Stufe	18.
Schriftlich. Die Zahl 34 nimmt man 23 mal, wenn man sie
3 mal und 20 mal nimmt.	34
X 23
3 mal 34 (3 mal 4 ist 12, bleibt 1; 3 mal 3 ist 9, und 1 ist 10) . . . 102 20 mal 34 (0 wird gleich unter 2 geschrieben, 2 mal 4 ist 8,
2 mal 3 ist 6..................................................................680
102 und 680 ist ............................................................................782
Bei der Mnltiplication mit 20 braucht man die Nulle gar nicht ott,zufetzen, wenn man nur das Product 68 um eine Stelle weiter nach links schreibt.
Dann spricht und schreibt man:
34	3	mal	4	ist	12,	bleibt	1; 3 mal 3 ist 9, und 1 ist 10.
X 23	2 mal 4 ist 8 (»in eilte Stelle nach links), 2 mal 3 ist	0.
102	2 wird herabgesetzt, 8 und 0 ist 8, 6 und 1 ist	7.
68	Die Regel wird noch an mehreren ähnlichen Beispielen
782	möglichst selbstthätig von den Schillern abgeleitet.
Übnngsbeispiele.
Unbegrenzter Zahlen r a u m.
§ 33. Kopfrechenübmige» »ach Stufe 18.
Das schriftliche Verfahren wird auf die gleiche Art erkannt, wie für den Raum 1 —1000. Bei der Multiplication mit 10,100,1000 it. s. w. hat man nur so viele Nullen zum Mnltiplieand zu setzen, als deren der Multiplicator hat. Ähnliches gilt für die Multiplieation mit 20, 300, 4000 ii. s. w. Das Verfahren möge nur für den Fall, dass der Multi« plieator mehrstellig ist, genauer abgeleitet werden. Z. B.:
4287 X 374
4287 ist 374 mal oder 4 mal und 70 mal und 300 mal zn nehmen.
4287 X 374
4 mal 4287	...	17148
70 mal	4287	.	.	.	300090
300 mal	4287	.	.	.	1286100
374 mal	4287	.	.	.	1603338
Bei den Multiplikationen mit 70 und mit 300 braucht man die Nullen gar nicht anzuschreiben, wenn man nur das Produkt 30009 um eine Stelle und 12861 tun zwei Stellen nach links setzt, also wenn man nur jedes folgende Produkt um eine Stelle weiter nach links schreibt, als das vorangehende.
Dann spricht und schreibt man kurz:
4287 X 374 17148 30009
4 mal 7 ist 28, bleibt 2; 4 mal 8 ist 32, und 2 ist 34, bleibt 3; 4 mal 2 ist 8, und 3 ist 11, bleibt 1; 4 mal 4 ist 16, und 1 ist 17. 7 mal 7 ist 49, bleibt 4 (9 um eine Stelle nach links), 7 mal 8 ist 56, und 4 ist 60, bleibt 6 u. s. w.
1603338
Die Regel wird noch an mehreren Beispielen möglichst selbstthätig von den Schülern abgeleitet.
Übnngsbeispiele für alle Stufen.
In beit speeiellen Fällen:
4530	/ 36800	728000 . \ , _ it. s. W. I
X 3	V.X 6	X 7 ' /
werden sieh die Schüler bald überzeugen, dass man die Nullen rechts vom Mnltiplieand und Mnltiplicator während der Mitltiplieation gar nicht zu berücksichtigen braucht und sie erst zum Prodnete zu setzen hat. In den Fällen wie
9634 X 2001
werden die Schüler ebenso leicht erkennen, dass man mit den Nullen nicht zu multiplieieren braucht, dass man aber z. B. in diesem Falle das Produet mit 2 um drei Stellen nach links zu rücken hat.
In dem Rechenbuche von Beleze wird die Multiplieativn durch folgende Beispiele, die er wieder- entkleidet, eingeleitet:
6	2.) 3	3.) 3468
6	3	3468
6	3	3468
6	3	3468
6	3	3468
30	3 18	3468 3468 24276
Bei den beiden ersten Fragen ist es leicht zu sehen, dass man diese Zahle», um die Addition anszusühren, nicht in einer Reihe zu schreiben gebraucht hätte, wenn man ans	einmal hätte sagen	können, wie viel
5	mal	6, 6 mal 3 ist;	und bei	der dritten Frage,	wie das Resultat
7	mal	die 8 Einer, 7	mal die	6 Zehner, 7 mal	die 4 Hunderter,
7	mal	die 3 Tausender	der Zahl	3468 enthalten muss und daher die
Zahl 3468 nicht 7 mal gesetzt zu werden braucht, um die Addition anszusühren, wenn man nur ans einmal hätte sagen können, wie viel 7 mal 8, 7 mal 6, 7 mal 4, 7 mal 3 ist.
Vorausgesetzt, dass man diese Tafel vollkommen kennt (das Ein ntaleins), sieh her, wie man die Operation des dritten Beispiels ab kürzett könnte.
Wir schreibe» die Zahl 3468 imd darunter die Zahl 7, welche anzeigt, wie oft diese Zahl zu nehmen ist, genau so wie bei der Addition; darauf ziehen wir einen horizontalen Strich unter diesen Zahlen, wie inan dies im Folgenden sieht:
3468
7
24276
Nachdem dies geschehen ist, fange ich rechts an und sage: 7 mal 8 E. sind 56 (£. ii. s. w, wie in den deutschen Rechenbüchern. — Auch aus diesem Vorgänge kann man Capital für die Methode schlagen.
Divisiv».
5 34. Böhme schreibt: Da der Grad der Schwierigkeit des Theilens wesentlich bedingt ist durch die Beschaffenheit des Divisors, so bestimmt mich dieser hauptsächlich den Stnfengang in den Aufgaben. Es ordne» sich daher die Aufgaben folgendermaßen:
Der Divisor ist eine einstellige Zahl,
der Divisor ist eine Zehnerzahl,
der Divisor ist eine zweistellige, dreistellige re. Zahl.
Dem entsprechend werden nachstehende Divisivnsstnfen unterschieden:
Raum 1 —1000.
06 : 3, 426 : 2, 347 : 4, 730 : 10, 655 : 10, 380 : 20, 714:21, 513:19, 688:16.
It n beg re n zter Zahle» r a u in.
Dieselben Stufen, nur über 1000 ausgedehnt.
8624 : 2,	29758	: 9,	4590 : 10 (67800 : 100 it. s. w.),
5678 : 10 (43728 : 100 it. s. w.),	742800 : 400 ti. s. w. it. s. w.
Daran schließen sich dann die kürzeren Divisionsformen.
§ 35. Bei den Franzosen und Italienern findet man wohl auch den Divisor für den Stnfengang der Aufgaben bestimmend, jedoch nach anderen Prineipien, wie sich dies ans folgenden, französischen und italienischen Rechenbüchern entnommenen Beispielen ergibt.
Nach Beleze:
I. Hanptfall. Erster Fall: 27 : 9,	zweiter Fall: 329 : 7.
II. Hanptfall. Erster Fall: 5392:689,	zweiter Fall: 18144 : 56.
Nach Villcmereiix:
Erster Fall: 58:7, zweiter Fall: 4528: 526, dritter Fall: 452889:526.
Nach Cesare Pagnini (Florenz 1885):
Erster Fall: 48:6, zweiter Fall: 3825: 9, dritter Fall: 4872: 629, vierter Fall: 43745:321.
Darnach werden die Stufen durch den Quotienten bestimmt; zuerst kommen Fälle vor, in welchen der Quotient einziffrig, daun solche, in denen der Quotient mehrziffrig ist. Es dürfte sich der Mühe lohnen, diesen Stufengang nicht unberücksichtigt zit lassen, woraus sich dann nachstehende Stufen ergeben, wobei natürlich der Fall 27 : 9 (58 : 7) als zum Kopfrechnen gehörig ansfällt.
Ra ui» 1 — 1000.
96 : 3, 426 : 2, 347 : 4,	730 : 10,	655	: 10,	380 : 20
(395 : 20), 642 : 214 (642 : 274), 327 : 73 (307 : 78), 714 : 21, 513:19, 688:16.
Unbegrenzter Zahlenraum.
8624 : 2,	29758 : 9,	4590 : 10 (67800 : 100 it. s. w.),
5678 : 10 (43728 : 100 it. s. w.),	742800 : 400,	36728 : 700,
4528:526, 452889 : 526.
Pchnndluiig der £)iui|toii«|ltifrii.
Ran in 1 — 1000 Division d n r ch Einer.
(»6:6, 426:2, 647:4.)
8 36. Die schriftliche Division wird im allgemeinen im Sinne des Enthaltenseins (Messens) ausgeführt, daher soll auch die Regel ans die Art abgeleitet werden. Da jedoch die angewandten Aufgaben bald ans ein Messen, bald ans ein ütheilen führen, so muss man wenigstens an einigen Fällen, was auch beim Kopfrechnen schon geschehen kann, den Schillern ins Bewusstsein bringen, dass man bei derselben Aufgabe sowohl durchs Messen als auch durchs Theilen ans dasselbe Resultat kommt. Kopfrechenübnngen nach Stufe 1, 2, 3, 6, 7 der Division und Stufe 4, 6, 7, 11, 12 der Multiplikation.
«Man kann anfänglich wegen der leichteren Anschauung die dekadische Bedeutung der einzelnen Ziffern durch darübergestellte Buchstaben anzeigen lassen.
8. G.	8-G.
9 6:3 — 32
9 .
6
6
1.) Im Sinne des Messens: Wie oft ist 3 in 96 enthalten? 3 ist in 9 E. 3 mal, in 9 Z. also 30 mal enthalten; wir schreiben daher hinter dem Gleichheitszeichen 3 Z. an. Wir wollen mich sehen, ob 3 in 9 Z. genau 30 mal enthalten ist; 30 mal 3 ist 90 oder 9 Z., diese schreiben wir unter die 9 Z. und subtrahieren. Bleibt etwas übrig? Also ist 3 in 9 Z. genau 30 mal enthalten. — Nun suchen wir, wie oft 3 in 6 E. enthalten ist; wir setzen daher die 6 E. herab. 3 ist in 6 E. 2 mal enthalten; diese 2 E. schreiben wir hinter die 3 Z.; 2 mal 3 ist 6; werden diese 6 unter die 6 E. geschrieben und von diesen subtrahiert, so bleibt nichts übrig. 3 ist also in 96 30 mal und 2 mal, d. i. 32 mal enthalten.» (Mocnik.)
Kurz: 3 in 9 ist 3 mal (3 wird hinter das Gleichheitszeichen geschrieben; 3 mal 3 ist 9, 9 von 9 bleibt nichts; 6 herab; 3 in 6 ist 2 mal (2 hinter die 3); 2 mal 3 ist 6, 6 von 6 bleibt nichts.
2.) Im Sinne des Theilens: Wie viel ist der dritte Theil von 96? Der dritte Theil von 96 ist so viel, als der dritte Theil von 9 Z. und 6 E. Der dritte Theil von 9 Z. sind 3 Z.; diese schreiben wir rechts vom Gleichheitszeichen. Nehmen wir nun 3 Z. 3 mal, um z» sehen, ob uns von 9 Z. noch etwas zum Theilen übrig bleibt. 3 mal 3 Z. sind 9 Z.; diese setzen wir unter 9 Z. und subtrahieren. Es bleibt kein Zehner übrig. — Nun ist noch der dritte Theil von 6 E. zu nehmen, wir setzen sie hinunter. Der dritte Theil von 6 E. sind 2 E.; diese setzen wir rechts zu den 3 Z. Nehmen wir nun 2 E. 3 mal, um zu sehen, ob uns von 6 E. noch etwas zum Theilen übrig bleibt. 3 mal 2 E. sind 0 E.; diese setzen wir unter die 6 E. und subtrahieren. 0 E. von 6 E. bleibt nichts. Der dritte Theil von 96 sind 3 Z. 2 E., d. i. 32.
Kurz: Der dritte Theil von 9 ist 3 (3 rechts vom Gleichheitszeichen) ; 3 mal 3 ist 9; 9 von 9 bleibt nichts. 6 herab! Der dritte Theil von 6 ist 2 (2 zu 3 im Quotient); 3 mal 2 ist 6; 6 von 6 bleibt nichts.
Das gleiche Verfahren gilt auch beim Dividieren einer dreiziffrigen Zahl durch eine einziffrige.
Es fei 423 zu dividieren durch 5.
1.) Im Sinne des Messens.
H.Z.lk.	Z. E.
423:5 = 84 40
2 3 2 0
3 Rest
5 ist in 4 nicht enthalten, tvvhl aber 5 in 42. 5 in 42 E. ist 8 mal, in 42 Z. 80 mal enthalten. 80 oder 8 Z. werden hinter das Gleichheitszeichen geschrieben. 80 mal 5 ist 400 oder 40 Z.; 40 Z. werden genau unter 42 geschrieben und subtrahiert. 2 Z. sind 20 E. und wir haben noch 3 E., dies gibt 23 E., also 3 zu 2 herab. 5 ist in 23 4 mal enthalten; 4 E. schreiben wir zu 8 Z. dazu. 4 mal 5 ist 20; 20 subtrahiert von 23 gibt 3 als Rest.
.Sturz: 4 in 34	ist 8 mal	(8 rechts vom Gleichheitszeichen); 8 mal
4 ist	32; 2 von 4	bleibt 2,	3 von 3 bleibt nichts.	7 herab it. s. w.
2.) Im Sinne des Theilens:
H. M. E.
4 2 3:5 = 8 41 40 2 3 20
3
Wir haben den fünften Theil von 423 oder von 4 H., 2 Z. und
3 E.	zu nehme». Der fünfte	Theil von 4 H. gibt	keine Hunderter.
4 H.	sind aber 40	Z. und 2	Z. sind 42 Z. Der	fünfte Theil von
42 Z. sind 8 Z., die wir rechts vom Gleichheitszeichen anschreiben. Nehmen wir nun 8 Z. 5 mal, damit wir uns überzeugen, ob von den 42 Z. nichts mehr zum Theilen übrig bleibt. 5 mal 8 Z. sind 40 Z.; diese setzen wir	unter 42 Z. und subtrahieren.	Es	bleiben	noch 2 Z.
oder 20 E.; zu	den 20 E. kommen noch 3 E.,	dies	macht 23 E., also
3 zu 2 herab.	Der fünfte Theil von 23 E. sind 4	E., die	wir rechts
zu den 8 Z. dazuschreiben. Nehmen wir nun 4	E. 5	mal, so	bekommen
wir 20 E , bie wir unter 23 E. schreiben und subtrahieren. Es bleiben 3 E., 1 E. hat 5 Fünftel, 3 E. 5 mal 5, b. i. 15 Fünftel. Der fünfte Theil von 15 F. fittb 3 F. ober £, bie wir zn 84 schreiben.
Eine Zahl bitrch eine andere messen ober theilen heißt Dividieren. Die Zahl, welche gemessen ober getheilt wirb, heißt der Dividend; bie Zahl, bitrch welche gemessen ober getheilt wirb, der Divisor, und bie Zahl, welche beim Messen oder Theilen herauskoimnt, der Quotient. Übnngsbeispiele.
Das mit der schriftlichen Division in Verbindung stehende kopfrechnen lässt sich in allen Fällen ans bie Fnndainentalübnngen zurück führen.
Division durch 10.
(730 : 10, 655 : 10.)
8 37.	73,0 : 1,0 — 73	10 ist in 730	so	oft enthalten,	als
1 Z.	in 73	Z. oder 1	in 73,	b.	i. 73	mal. Man braucht also nur	im
Dividend und Divisor die Nullen zu streichen.
65,5 : 1,0 = 65	655	ist gleich 650	und 5; 10	in 650 oder
5 Rest	1 in	65 ist 65 mal	enthalten, 5	ist der Rest.
Man braucht	also	nur	im Dividend die Einer und im Divisor
die 0 abznschneiden;	die	abgeschnittene Ziffer	im Dividend	ist der Rest.
— Übungsbeispiele.
Division durch reine Zehner.
(380 : 20, 395 : 20.)
8 38. Kopfrechenübungen nach den Stufen 4, 5, 8 im Sinne des Messens und des Theilens.
38 0	'20= 10	*0 ist	in	380	gerade so	oft	enthalten, als 2	Z.
2	in 38	Z.	oder	2 in 38.
|8	Man	braucht also nur im Dividend und
I	Divisor	die Nullen abznschneiden und dann die
Division auszuführen.
r 2	  in	395 ist gleich 300 und 5; 20 in 390 oder
''''	'	'	2 in 39 ist 19 mal enthalten. 19 mal 2 ist 38,
38 von 39 bleibt 1; 5 herab. 15 ist der 1 5	Rest	Rest.
Man braucht alsv nur im Dividend die Einer und im Divisor die Nulle abzuschneideu und daun zu dividieren; die abgeschnitteue Ziffer wird herabgesetzt, und sv bekommt man den Rest. — Übungsbeispiele.
Division d n r ch in e h r z i f f r i g e Zahle n.
a) Quotient einziffrig.
§ 39. Kopsrechenübnngen nach der Stufe 8 als Messen und als Theileu.
042	: 214 —	3	214	ist in 642 beiläufig so oft als 200 in 600
642	oder	2 in 6 enthalten, also 3 mal it.	s. w.
Kurz:	2	in 6 ist 3 mal; 3 mal 4 ist 12 it. s. w.
642 : 274 —	274 ist in 642 beiläufig sv oft als 200 in 600,
822	oder 2 in 6, alsv 3 mal enthalten. 3 mal 4 ist
548	12	n. s. w. 822 ist zu grofi und 274	dürfte	in
94	Rest	642	2 mal enthalten sein, 2 mal 4 ist	8 it. s.	w.
Man lasse	absichtlich	die Schüler	die	Ziffer des Quotienten zu
grofi nehmen; denn hier lernen sie am besten durchs Fehlen.
Die beiden anderen Fälle werden ähnlich behandelt.
Kurz: 2 in 6 ist 3 mal; 3 mal 4 ist 12, bleibt 1; 3 mal 7 ist 21, und 1 ist 22, bleibt 2; 3 mal 2 ist 6, und 2 ist 8. Geht nicht 3 mal, alsv 2 mal u. s. tu. — Übungsbeispiele.
b) Quotient zweiziffrig.
8 40. Kopfrechenübnngen nach der Stufe 8.
714 • 21 =	34	Diesen Fall	führen wir ans den früheren
(53	zurück; deshalb zerlegen wir 714 in 71 Z. und
K,	4 E. und untersuchen zunächst, wie oft 21 in
y .	71 Z. enthalten ist. 21 ist in 71 beiläufig so
oft als 2 in 7, d. i. 3 mal, also 21 in 71 Z. 30 mal enthalten. Die Zahl 30 schreiben wir als 3 Zehner itt den Quotient. Ilm uns zu überzeugen, ob 21 in 71 Z. wirklich 30 mal enthalten, nehmen mir 21 30 mal, und die erhaltene Zahl 630 oder 63 Z. subtrahieren wir von den	71	Z., es	bleiben 8 Z. 8	Z.	sind 80 E. und 4 E. sind
84 E.; wir	setzten alsv	4	zu 8 herab.	21	ist in 84 beiläufig gerade
so oft enthalten, als 2 in 8 u. s. w.
Kurz: 21 in 71 oder 2 in 7 ist 3 mal; 3 mal 1 ist 3, 3 mal 2 ist (i; 63 von 71 bleibt 8; 4 herab; 21 in 84 oder 2 in 8 ist 4 mal; 4 mal 1 ist 4, 4 mal 2 ist 8; 84 von 84 bleibt nichts.
Die beiden ändern Fälle tverden ähnlich behandelt; die Quotient ziffern werden von den Schülern anfangs jedenfalls fehlerhaft bestimmt. Diesbezüglich vergleiche die frühere Stufe. — Ilbnngsbeispiele.
Unbegrenzter Z a hlenrc> u m.
Abgekürzte Rechnungsweise.
§ 41. Für diesen Raum ist nichts Neues zu bemerken. Die im Obigen angeführten Fälle tverden ähnlich behandelt als die vorangehenden. Nur die abgekürzte Rechnungsweise, die jedenfalls erst anftreten kann, nachdem den Schülern die längere Form geläufig ist, ist noch zu besprechen. Dabei hat man die zwei Fälle zu unterscheiden: 1.) der Divisor ist einziffrig, 2.) der Divisor ist inehrziffrig.
1.) 2628 : 6
:>) Längere Form:	b)	Kürzere	Form:	<■)	Die kürzeste Form:
2628 : 6 — 438	2628	: 6 = 438	2628	:	6
24_	22	438
22	48
18 48 48
Zu a) ist nichts zu bemerken.
h) Bei der zweiten Form werden die THeilprodncte gleich im Kopfe subtrahiert und nur die Reste angeschrieben. Dabei spricht inan: 6 in 26 ist 4 mal, 4 mal 6 ist 24, und 2 ist 26 (der Rest 2 wird unter 6 geschrieben und die nächste Ziffer 2 des Quotienten dazu). 6 in 22 ist 3 mal, 3 mal 6 ist 18, und 4 ist 22; zum angeschriebenen Rest 4 wird die nächste Ziffer 8 dazu gesetzt. 6 in 48 ist 8 mal, 8 mal 6 ist 48, und 0 ist 48.
Dabei wird durchs Znzählen subtrahiert.
c) Bei der dritten Fori» schreibt man nicht einmal den Rest an und denkt sich zum jedesmaligen Rest die nächste Ziffer des Dividends dazu. Das übrige ergibt sich von selbst. — Ilbnngsbeispiele.
33956 : 653
Wenn der Divisor niehrziffrig ist, kann auch die Form der Division abgekürzt werden, wenn man das Product ans dem Divisor und der jedesmaligen Ziffer des Quotienten sogleich während des Mnltipli-cierens subtrahiert und bloß den Rest anschreibt.
1>) Dabei spricht man: 6 in 33 ist 5 mal; 5 mal 3 ist 15, und 0 (wird angeschrieben unter 5) ist 15, bleibt 1; 5 mal 5 ist 25, und 1 ist 26, und 3 (wird unter 9 geschrieben) ist 29, bleibt 2; 5 mal 6 ist 30, und 2 ist 32, und 1 (wird unter 3 geschrieben) ist 33. Zum Rest 130 wird 6 herabgesetzt. Das weitere Verfahren ergibt sich aus dem Gesagten. — Übungsbeispiele.
Bei der kürzeren Divisionsform müssen die durch die Beispiele 34 -f- • — 37, 67 —- = 72 angedenteten Übungen vollkommen geläufig sein, daher ist es angezcigt, sie vor der Einführung in die kürzere Form vorznnehmen. Neben den Fundamentalülmiigen sind also auch diese Kvpfrechnnngen mit dem schriftlichen Rechnen in Verbindung.
a)	Längere Form:
3395.6	: 653 = 52
b) Kürzere Form:
3395.6	: 653 = 52 130 6
Vierter Abschnitt.
Nein es Rechnen mit benannten Zahlen.
Eintheilung der benannten Zahlen.
§ 42. Eine Zahl, welche Einheiten einer bestimmten Art angibt, heißt eine benannte (conerete) Zahl, im Gegensätze zu einer unbenannten (abstraeten), welche nur die Menge der Einheiten, nicht aber die Art derselben allsdrückt. 5 Äpfel, 7 m, 8 kr. u. s. >v. sind benannte, 5, 7, 8 n. s. w. unbenannte Zahlen. Eine benannte Zahl, welche mir Einheiten derselben Benennung angibt, heißt ein namig; eine benannte Zahl dagegen, welche zwar Einheiten von derselben Art, aber von verschiedener Benennung ausdrückt, inehrnainig. 5 m ist eine einnnniige, f> nt 4 dm Inn eine niehrnainige Zahl; in der letzteren ist die Benennung Meter die höhere, Decimeter eine niederere und Centimeter eine noch niederere Benennung.
Die Zahl, welche anzeigt, wie viele Einheiten der niedrigeren Benennung eine Einheit der höheren Benennung enthält, heißt die Ber-wandlnngszahl zwischen den beiden Benennungen. Z. B. 10 ist die Verwandlnngszahl zwischen Meter und Decimeter 12 zwischen Jahren und Monaten.
Die benannten Zahlen zerfallen in zwei Hanptgrnppen: 1.) in Zahlen, bei denen nur der Name des Gegenstandes steht, z. B. 2 Kerzen, 5 Finger n. s. w., 2.) in Zahlen, bei denen der Name eines Maßes als Benennung dient, z. B. 2 hj Kerzen oder auch wie 5 m ohne Benennung des Gegenstandes.
§ 4:;.	Eiutheilnng	brr Maße.
1. JSätU’maßt?.
1 Paar — 2 Stück, 1 Dutzend — 12 Stück, 1 Schock = 60 Stück, 1 Gros — 12 Dutzend.
Papiermaße: 1 Balle» — 10 Nies, 1 Ries = 10 Buch, 1 Buch —
— 10 Lagen, 1 Lage — 10 Bogen.
2. KmigcitmaOi’.
1 Myriameter (gm) — 10000 ttt,	1 Kilometer	(km)	= 1000 nt,
1 nt — 10 dm, 1 dm = 10 cm, 1 cm	— 10	nun.
3. Ztl'äcHeninnße.
1	=	100	km'\ 1 hri1 — 1000000 ttt'2, 1 m'1 = 100 dm",
I dm1 = 100 an“, 1 cm" — 100 nun-.
Bodenmaße: Ar, Hektar und Quadratmeter. 1 a = 100 m",
1 Im — 100 n.
4. Körpermaße.
l/ftn’s 1000 km*, lkm* = 1000000000 ma, 11»*= 1000 r/w3, 1 r/j/r'1 — 1000 cm*, 1 cm3 — 1000 wi»»3.
Hohlmaße: 1 />i = 100 /, 1 / =	10 <//,	1 dl	=	10	e/.
5. Hewichtsrnaße.
Der metrische Centner (q) — 100 kg, die Tonne (t) — 1000 kg, 1 ky — 100 rf/ey, 1 dkg =10 g, 1 g — 10 dg, 1 dg = 10 cg, 1 cg — 10 mg.
Kilogramm, Dekagramm und Gramm sind Gewichte für Waren; Gramm, Decigramni» Centigramm werden für Gold- und Silberwaren und als Medicinalgewichte verwendet, das Milligramm kommt neben den vorangehenden als Münz- und Juwelengewicht vor. Die Tonne dient zum Wägen der Schiffslasten.
(>. Aoitmcrße.
1 Jahr — 12 Monate, 1 Monat — 30 Tage, 1 Woche — 7 Tage, 1 Tag — 24 Stunden, 1 Stunde — 00 Minuten, 1 Min. — 00 Ser. 1 Jahr — 52 Wochen, 1 Monat — 4 Wochen.
1 Stunde — 4 Viertelstunden, \ Stunde — 15 Min., ^ Stunde —
— 30 Minuten.
7. Wertmaße (Münzen).
Die Münzen werden aus Kupfer, Silber und Gold geprägt. Kupfermünzen: Halbkreuzer-, Einkrrnzer- und Vierkreuzerstücke. Silbermünzen: Fttnfkrenzer-, Zehnkrenzer-, Zwanzigkrenzer-, Viertel gülden-, Eingulden- und Zweignldenstückr.
Goldmünzen: Dncaten, Acht- und Viergnldenstnckc.
Pcipiergeld: Banknoten zit 10, 100 und 1000 fl. und Staatsnoten zn 1, 5 und 50 fl.
8. Wogen- und Winl'rel'nruhe.
Gehören zur Formenlehre.
Die Praxis hat neben den angeführten Grnndmaßen für Längen-incssnngen den Meter st ab (das Messband, die Messkette u. s. m.), für Messungen der Flüssigkeiten und trockenen Gegenstände die Hohlmaße
1 K } hl, 20 1, 10 l, 5 l, 21, \l,\ l, i l, j\ l, ^ 1, 0-2h (2dl), 0 05 l (5 d), 0 ■ 02 l (2 d) und 0 01 l (1 d); für Wägungen 20 kg, 10 kg, 5 kg, 2 kg, 4 kg oder 50 dkg, } leg, 20 dkg, 10 dkg, 5 dkg,
2 dkg, 5 g, 2 g it. s. w. eingeführt, weil man dadurch mit dem Messen rasther und bequemer ans Ziel kommt.
Wie
sind die benannten Zahle» den Kindern voviufiihvcn?
§ 44. Graßmann sagt bezüglich des Anschauungsunterrichtes: «Es darf nicht dem Zufall, der Willkür und Laune überlassen bleiben, worüber zu jeder Zeit mit dem Kinde gesprochen werden soll.- Dies ist mich für das Rechnen mit benannten Zahlen (fürs angewandte Rechnen) sehr zu beherzigen, was leider in der Regel nicht geschieht. (Vergl. Angelu. Rechnen § 130.)
Hentschel schreibt: «Schon ans dieser Stufe (1 — 20) mögen einzelne Aufgaben geboten werden, die einfache Maße, Gewichte, Zahlungsarten k. berühren. Z. B. Mandel, Dutzend und Stück, Heft und Vogen, Wochen und Tage. Wenn auch der Verkehr des Lebens noch weniger an die kleinen Rechner herantritt, so soll doch die Schule auch nach dieser Seite hin das Ihre thun. Doch hüte man sich vor dem Zuviel! Aufgaben dieser Art dürfen aber nur erst dann gegeben werden, wenn eine klare Anschauung von den betreffenden Maßen, Gewichten rc. bei den Kinder» vorhanden ist. Nur dann erst darf mit Heft und Bogen gerechnet werden, wenn beide den Kindern wirklich gezeigt und die Bogen eines Heftes vorgezählt worden sind; nur dann erst ist von Kilogrammen und Grammen mit den Kindern zu reden, wenn letztere diese beiden Gewichte wirklich gesehen, gehoben und ans der Wage wirksam gesehen haben. Es ist
La »rar, Mrlhodik drs Rcchcnuatcrrichtcs.	.->
nicht schwer, die Überzeugung zu gewinnen, dass in den meisten Fällen die Kinder derartige Anschauungen zur ©chule noch nicht mitbringen. Das »volle man beherzigen.»
Ans den Worten Graßmanns und Hentschels ergibt sich, dass die benannten Zahlen beider Gruppen in einer bestimmten Ordnung vorzn-fnhren sind. Und man kann mit Bestimmtheit sagen, dass die Benennungen der ersten Hanptgrnppe schon im Erfahrungskreise des Kindes liegen, wenn es zur Schule kommt, was man von den Maßen nicht behaupten kann. Übungen mit benannten Zahlen der ersten Hanptgrnppe haben also in das Rechnen mit benannten Zahlen, in das angewandte Rechnen einznleiten. (Vergl. § 115.) Dieser Erfahrnngskreis soll im Verlaufe des Unterrichtes noch erweitert werden.
Aneinanderreihung č><?r Maße.
§ 45. Eine» Grundsatz müssen »vir zuoberst stellen: «Mehrere Arten dürfen nicht ans einmal vorgeführt »verden», wenn »vir den Anforderungen Hentschels genügen »vollen. Eine neue Maßart trete erst ans, wann die vorangehende schon geistiges Eigenthnin des Kindes geworden ist.
In der Regel entscheidet bei den meisten Methodikern die Ver-»vandlnngszahl, wann ein Maß aufzutreten hat. So kommt bei der Zahl 4 das Vierkreuzerstück, bei der Zahl 7 die Woche, bei der Zahl 12 das Dutzend u. s. »v. an die Reihe. Nun, das Dutzend, Schock n s. »v. werden wirklich erst aufgefasst werden können, wenn der Schüler mit den Zahlen 12, 60 u. s. w. vertrant ist. In solchen Fällen ist also die Verwandlnngszahl entschieden zu berücksichtigen. Bezüglich der Verwand-lnngszahl sind noch folgende zivei Fälle auseinander zu halten:
1.) Die Maße sind nach dein Decimalsysteni eingetheilt,
2.) sie sind nicht nach dein Decinialshstem eingetheilt.
Zn letzteren gehören die Zeit- (Bogen-, Winkel-) und ein Theil der Zählmaße, zu den elfteren alle übrigen.
Die Maße kann inan und soll inan jedoch noch von einer anderen Seite anschancn. Sie können 1.) in solche, die man durch das Auge,
2.) in solche, die inan durch die Empfindung und 3.) in solche, die man erst durch die Erfahrung auffassen lernt, gruppiert werden. Zur ersten Gattung gehören die Zählmaße, Längenmaße, Flächenmaße, Körper
maße und auch die Münzen, wenn man sie nur als Zcihlobjecte auf-fasst; zur zweiten Gattung die Gewichte und zur dritten die Zeitmaße und die Münzen als Wertmaße.
Auffassung bcv gtäl)Vma|)e.
§ 46. Da diese nur durch die Verwandlnngszahl deutlich erkannt werden und sich sanft keine besonderen Schwierigkeiten darbieten, bespricht man den Begriff »Paar- bei der Zahl 2, »Dutzend» bei der Zahl 12 und «Schock» bei der Zahl 60; das gleiche gilt für die Papiermaße, nur dass dabei fünf Begriffe: «Ballen, Ries, Buch, Lage, Bogen-, ans treten. Und es entsteht die Frage, ob es nicht vortheilhafter wäre, diese Begriffe nur nach und nach vorznführen. Bei der Zahl 10 z. B. den Begriff «Lage- neben «Bogen», im Raume 1 —100 den Begriff «Blich», im Raunte 1 — 1000 «Ries- und im unbegrenzten Zahlen-raunte den Begriff «Ballen». Dadurch wird das dekadische Zahlensystem wohl bedeutend erläutert.
Auffassung bcv Längenmaße.*
§ 47. Diese können nur durch wirkliches Messen richtig anfgefasst werden, und zwar misst zuerst der Lehrer selbst, später lässt er die Schüler messen. Obwohl letztere anfangs dabei sehr ungeschickt sind — auf richtiges Anlegen kommt es ihnen nicht an —, so bietet das Messen keine besonderen Schwierigkeiten, und es kann bald vorgenommen werden, sobald die Schüler nur einen gewissen Zahlenraunt, z. B. den Raum 1 — 10, kennen gelernt haben. Sie üben sich dadurch im Zählen, sie werden aber zugleich auf den Begriff «messen (enthaltenfein)» vorbereitet, welchen die Schüler so schwer auffassen. Die verschiedenen Längenmaße werden der Reihe nach vorgeführt; sobald die Kinder das eine anfgefasst haben, kommt das andere an die Reihe. Kilometer und Millimeter dürften wohl erst im Rannte 1 —1000 und die Myriameter im unbegrenzten Zahlenraume durch die Berwandlungszahlen anfgefasst werden können. Am bequemsten sind gezeichnete Strecken ans der Tafel durch das Decimeter (ein Stübchen von dieser Länge) zu messen. An die
* Jede Schule soll die Maße in Wirklichkeit besitzen, um sie den Schülern zeigen zu können. Auch eine Wandtafel mit diesen Maßen soll nicht fehlen, damit die Schüler dieselben zu jeder Zeit, also auch in der Unterrichtspanse, benützen könne».
6*
Messungen mit dem Decimeter schließen sich Messungen mit dem Meter und an diese Messungen mit dem Centimeter (ein Stäbchen von dieser Länge) an.
Auffetlfumr dev 3>l‘äd?eit»iii|)c.
§ 48. Nachdem die Kinder beim Zeichnen das Quadrat kennen gelernt haben, können sie diese Maße anffassen. Bei Močnik findet man sie im Räume 1 —1000 behandelt.
Auffassung dev Kövpcvimihe.
8 4k). Die Ansfassnng derselbe» beruht ans der Auffassung des Würfels. Man verlegt sie daher mit Vollem Recht ans die Oberstufe. Anders verhält cs sich mit den Hohlmaßen; für diese gelte» ähnliche Bemerknngen wie für die Längenmaße.
Auffassung dev Gewichte.
§ 50. Vergleiche die	Worte Hentschels	Seite 65.	Der	Begriff
«Gewicht» ist den Kindern	im Verlaufe einer	längeren Zeit nur durch
Versuche beiznbringen, indem sie verschieden schwere Gegenstände wieder holt heben, den Zug zum Boden in de» verschiedenen Füllen miteinander vergleichen, diesen Zug nach abwärts an der Wage beobachten n. s. f. Jnsoferne die Gewichte Kilogramm und Dekagramm in der Anwendung am öftesten gesehen werden,	sind diese zuerst zu	besprechen.	Der	Ccntner
wird jedenfalls im Raume 1 —100 und	die Tonne	im	Räume
I —1000 zur Ansfassnng gebracht. Die kleineren Gewichte Gramm, Deeigramm, Centigrami», Milligramm gehören dem Räume 1 —1000 und dem unbegrenzten Zahlenranme an.
Auffassung dev Aeitrnatze.
§ 51. Die Zeitbegriffe werden vom Kinde mir schwer anfgefasst. Am ehesten tuirb der Begriff «Tag» und durch den sich wiederholenden Ausnahmetag, den Sonntag, die «Woche» anfgefasst. Die «Stunde» lernt das Kind durch den Schnlbesnch, den «Monat», das «Jahr», die «Minute», die «Secnndc» erst nach Verlauf einer längeren Zeit kennen. Daraus ergibt sich die Reihenfolge der Zeitbegriffe. Sie sind entschieden in den Rani» 1 - 100 zu verweisen.
«Die Dauer einer Minute, resp. Sekunde, ist beit Schüler» im Unterrichte zur Anschauung zu bringen; die Schüler bemessen die Minute in der Regel zu kurz.» (Hentschel.)
Die Veranschaulichung der Secunde geschieht durch zwei Schläge auf den Tisch, die der Minute durch Zählen bis 00.
Auffassung der Münzen.
8 52. Die Münzen als Objecte sind leicht zu erkennen, besonders diejenigen, die die Kinder öfters zu sehen Gelegenheit haben. Das Wesen der Münzen ist den Kindern jedoch schwer zur Anschauung zu bringen. Dies geschieht am besten durch eine Reihe von Preisanfgaben, in denen den Schülern bekannte Sachen Vorkommen, welche sie selbst dem Werte nach ans eine gewisse Art vergleichen können. Das Wesen der Münzen wird sozusagen den Aufgaben «abgefühlt».
Wie die Münzen aneinander zu reihen sind, entscheidet das Metall, ans dem sie bestehen. Zuerst bespreche man die Kupfermünzen (1 — 10), dann die Silbermünzen (1 — 20) und schließlich die Goldmünzen (z. B. 1 —1000 oder auch später).
Mcfcrssaß, praktische Kervichte etc.
rs 53. Der Meterstab kann den Schülern nach »nd nach zur Auffassung gebracht werden. Auf einen 1 »t lange» Stab werden vor den Angen der Kinder die Decimeter anfgetragen, ans das Decimeter-Stäbchen die Centimeter und im Raume 1 —100 die Centimeter auf de» ganzen Meterstab. Die Verwendung des Meterstabes wird durch Messungen erläutert. Dabei misst man 1.) Längen, die nur durch Meter ausgedrückt werden, z. B. 5 m, 2.) Längen, die durch Meter und Decimeter, resp. durch Decimeter und Centimeter ausgedrückt werden, z. B. 4 m 3 dm, 2 dm 7 cm, 3.) Länge», die durch Meter, Decimeter und Centimeter ausgedrückt werden, z. B. 3 w 4 dm 8 cm.
Bei den Wägungen, die am besten im Raume 1 —100 vorgenvm men werden, muss man sich wohl der praktischen Gewichte bedienen, man kann ihnen also in diesem Raume schwer answeichen. Anders ist es mit den praktischen Hohlmaßen. Mit dem Liter, Deciliter, Centiliter kann man ganz gut alle möglichen Messungen vornehmen. Diese praktischen Maße können also dem Raume 1 —1000 ganz gut überlassen werden.
Stufenfolge i>cv Wnhe.
§ 54. Aus beut Vorangehenden ergibt sich eine genaue Stufenfolge der Maße, die tut Folgenden angeführt ist:
1.) Zählmaße. Diesen ist sonst durch die Verwandlungszahl die Stelle angewiesen;
2.) Münzen, aber nur als Gegenstände anfgefasst. Die Verwand-lnttgszahlen sind durch die Zahlrännie bedingt, tvas auch für die späteren Maße gilt;
3.) L ä n g e n in a ß c;
4.) Hohlmaße;
5.) Gewichte;
6.) Zeitmaße (vergl. Zeitrechnung);
7.) Münzen als Wertmaße (vergl. Preisrechnnng);
8.) Flächen maße;
9.) kubische Maße.
Die Maße 1 — 6 (incl.) gehören in die Räume 1 — 20, 1 —100, bezüglich der Verwandlnngszahlen auch in den Raunt bis 1000 nnd in den unbegrenzten Zahlenranm. Die Preisaufgaben beginnen am besten im Raume 1 — 100 (vergl. Angewandtes Rechnen § 131), die Maße 8 und 9 aber aut besten an der Oberstufe. Vergleiche die «Anleitung zum Rechnen» nnd die Rechenbücher von demselben Verfasser. Sobald die Schüler ein Maß kennen gelernt haben, soll es sich in den Aufgaben, beim reinen nnd angewandten Rechnen, öfters wiederholen, damit es sich einprägt und nicht in Vergessenheit geräth. Bei der Besprechung einer Messart stelle man auch Fragen wie: Was tvird gezählt? Was wird mit Meter gemessen? Was tvird gewogen? u. s. tu.
Das Rechnen mit benannten Zahlen.
§ 55. Nach dem Grundsätze: «Vom Concreten zum Abstraeten» beginnt das Rechnen mit benannten Zahlen der ersten Hanptgrnppe von allem Anfang an. Aber auch das Rechnen mit benannten Zahlen der zweiten Hanptgrnppe soll systematisch nach periodisch anftretenden Gruppen gepflegt werden, damit die Maße von allem Anfang an gehörig gewürdigt nnd eingeprägt werden. Dadurch wird zugleich das Rechnen mit nnbenannten Zahlen besser begründet, dasselbe nnd das dekadische Zahlensystem zur möglichst großen Klarheit erhoben. Es tvird
überhaupt ins Rechnen von Anfang an ein System nach dein An schauungsprincip gebracht.
Das Rechnen mit benannten Zahlen soll im Raume 1 — 20 nur mündlich, im Raume 1— 100 aber auch schon schriftlich, im innigen Anschlüsse an das Kopfrechnen, gepflegt «erben. Die abgekürzten Bezeichnungen, Ivie m, dm u. s. f., prägen sich durch den wiederholten Gebrauch ein*
Das Rechnen mit niehrnamigen Zahlen wird nach den österreichischen Lehrplänen in den unbegrenzten Zahlenraum gewiesen. Damit ist jedoch nicht gesagt, dass früher keine inehrnarnigen Zahlen auftreten; man findet solche insbesondere in den angewandten Aufgaben der meisten Rechenbücher vor. Jedoch beobachtet man kein System, nach dem sie vorgeführt werden; im unbegrenzten Zahlenraume wird dann das Rechnen mit inehrnamigen Zahlen systematisch zum Abschluss gebracht.
Die Bemerkung Sallbergs: «Das Rechnen mit mehrfach benannten gleichartigen und gemischten Zahlen beginnt nach Behandlung der Zahl 11 und tritt so naturgemäß ein, dass die Kinder den Übergang kaum merken,» drückt den Gedanken aus, dass das Rechnen mit inehrnamigen Zahlen bald anfangen kann, wenn man es nur stnfeninäßig steigert. Im Nachstehenden werden diese Stufen nur durch specielle Beispiele, neben denen auch jene Fälle des Rechnens mit unbenannten Zahlen notiert sind, die durch das Rechnen mit benannten Zahlen begründet werden, angedentet. Genaueres darüber findet sich in der «Anleitung zum Rechnen» und mich in der Schrift «Der metrische Scheibchen-Rechenapparat re.» vom selben Verfasser.
Das, was durch Meter, Decimeter, Centimeter angedeutet ist, schließt die übrigen Maße nicht aus, es werde» damit mich alle analogen Beispiele mit den übrigen Maßen bezeichnet.
A. Kopfrechnen.
Addition.
§ 56. 3 cm -j- 4 cm, 7 an -s- 8 cm (7	8); 1 dm 4 cm — - cm ■
4 dm 5 cm -j- 2 cm, 4 dm 5 cm -s- 5 cm, 4 dm 5 cm -j- 7 cm (45 —(- 2, 45 —(- 5, 45 —j— 7); 4 dm -s- 7 cm — • cm; 4 dm -s- 3 dm 7 an
* Bon den Schülern können diese Zeichen natürlich erst geschrieben werden, wenn sic lateinisch schreiben gelernt haben.
(40 -j- 37); 4 dm 7 cm -)- 2 dm (47 -s- 20); 4 dm 3 cm -)- 2 dm 5 cm, 4 dm 3 cm -|- 2 dm 7 cm, 4 dm 3 cm -(- 2 dm 9 cm (43 -j- 25, 43 + 27, 43 + 29).
Dreinamige Zahlen sind schon weniger fürs Kopfrechnen geeignet. Hat man z. B. 5 m 3 dm 2 cm -s- 3 m 5 dm (i cm im Kopfe ohne Stütze auszurechnen, so kostet dies eine große Anstrengung. In der Form 5 m 32 cm -s- 3 m 56 cm ist das Rechnen schon vereinfacht; aber selbst die Addition zweier zweinamiger Zahlen möchte man lieber dem schriftlichen Rechnen überlassen. (Vergl. Kopfrechnen — Grundsatz.) Jedenfalls sollen solche Beispiele zur Stütze des Gedächtnisses fürs Aus« rechnen niedergeschrieben werden Die Stufen mit dreinamigen Zahlen lassen sich nach dem obigen Prineip leicht znsauimenstellen. Ähnliche Bemerkungen bezüglich der dreinamigen Zahlen gelten auch für die übrigen Operationen.
Suütriutio».
§ 57. 1 dm — 4 cm; 5 dm — 4 cm; 1 dm 5 cm — 2 cm, 1 dm 5 cm — 5 cm, 1 dm 5 cm — 7 cm (15 — 2, 15 — 5, 15 — 7); 8 dm 5 cm — 3 cm, 8 dm 5 cm — 5 cm, 8 dm 5 cm — 7 cm (85 - 3, 85 — 5, 85 — 7); 5 dm ti cm — 3 dm (56 — 30); 8 dm 3 dm 5 cm (80 — 35); 8 dm 5 cm — 3 dm 2 cm; 8 dm 5 cm — 3 dm 5 cm, 8 dm 5 cm — 3 dm 7 cm (85 — 32, 85 — 35, 85 — 37). Bezüglich der dreinamigen Zahlen vergl. die Addition.
Multiplikation.
§ 58. 5 mal 7 cm; 3 mal 3 dm	2 cm (3 mal 32);	10	mal	3	cm
(10 mal 3 E. — 3 Z.); 20 mal 3 cm; 23 mal 3 cm.
Dreinamige Zahlen vergl. Addition.
Das IHtfft«.
8 59. 8 cm : 2 cm; 9 cm : 2 cm; 4 dm : 4 cm (4 Z. : 4 E.);
8 dm : 4 cm (8 Z. : 4 E.); 6 dm : 4cm (6 Z. : 4 E.); 4 dm 5 cm : 5 cm;
9 dm 6 cm : 3 cm (96 : 3), 8 dm 5 cm : 5 cm (85 : 5), 8 dm 7 cm : 5 cm (87 : 5); 5 dm 6 cm : 2 dm (56 : 20).
Das Weilt».
§ 60. -j- V. 12 cm (14 cm); { v. 2 dm ({ v. 2 Z.); | v. 3 dm (} v. 3 Z.); j v. 7 dm ({ v. 7 Z.);	v. 2 dm 5 cm;	v. 9	dm	<>	cm
(i v. 96); i- v. 8 dm 5 cm (.', v. 85);	v. 4 dm („'„ v. 4 Z.);	v.	5	dm
(iV v- 5 Z.).
Dreinamige Zahlen vergl. Additiv».
§ 61. Schriftliche Übungen wie:
4 dm 2 cm	4	dm	8	cm	G	m	8	dm	2	cm
-f- 3 dm 3 cm -s- 3 dm 5 cm -j- 3 m 1 dm 5 cm
4	dm	(j cm	5	dm	2	cm
2	dm	3 cm	— 3	dm	8	cm
2	dm	3 cm	2	dm	4	cm
X		2	X		3	
4 dm 6 cm : 2 cm »der 4 dm 6 cm : 2	.	.
5 dm 6 cm : 2 cm » 5 dm G cm : 2 U"
sind sehr geeignet, in das Verständnis des schriftlichen Rechnens mit mehrziffrigen Zahlen einznführen.
§ G2. Alle diese Kopfrechennbnngen svllen schon im Rannte 1 —100 vovgeumnuteu, jedoch auch in den folgenden Zahlenräninen fleißig wiederholt werden, bis sie vollstes Eigenthnm des Schülers geworden sind. Anfangs machen die Übungen, worin eine Zahl, z. B. der erste Snin-nmub, zweinamig ist, wohl einige Schwierigkeit. Daher soll man das Gedächtnis durch Anfschreiben der Übungen ans der Tafel oder durch Herauslesen ans dem Rechenbuchs unterstützen. Auch soll man von der Anschauung ausgehen, und zwar kann man sich dafür des metrischen Rechenapparates sehr gut bedienen, der vom Verfasser eigens auch zu dem Zwecke constrniert worden ist. Vergl. die Schrift «Der metrische Scheibchenrechenapparat» und den praktischen Theil der «Methodik des Rechenunterrichtes» vom selben Verfasser.
Die benannten Zahlen werden für die Übungen ans allen Maßarte» genommen. Vergl. «Zweites Rechenbuch» vom selbe» Verfasser. Jede Gruppe soll jedoch anfangs als Deeimeter-Centimeter-Grnppe behandelt werde», d. H. z. V.: statt 3 Lg. 7 Bg. -j- 2 Bg. nimmt man 3 dm 7 cm -f-- 2 cm, später jedoch so, tvie sie im Rechenbuche angeführt ist.
B. Schriftliche» Wechnen.
Krducieren.
8 G3. Anmerkung. Von hier an ist das Rechnen mit mehrnamigen Zahlen grvßtentheils nach Hentschel behandelt. Niedere Sorten in höhere verwandeln heißt redneieren. Dies ist eigentlich nur möglich, wenn eine
größere Anzahl niederer Einheiten vorhanden ist, als zn einer Einheit einer höheren Sorte nöthig sind. Derartige Rednetionc» werden schon ans der Stnfe des Kopfrechnens gepflegt. Jin unbegrenzten Zahlenranine, in dem das schriftliche Reducieren zu besprechen ist, iverden jedoch auch Verwandlungen in höhere Benennungen vorgenommen, wen» auch die Zahl der niederen Einheiten kleiner ist als die Vertvandlnngszahl. Vergleiche das Reducieren mit dem Zusammenfassen dekadischer Einheiten zn höheren beim dekadischen Zahlensystem.
Die Regel fürs Reducieren wirb ans Grundlage des Kopfrechnens* abgeleitet, wie dies aus nachstehendem Beispiele ersichtlich ist.
Wie viel Hektoliter sind 300 l? — Sv oft als 100 l in 300 l enthalten sind, so viele Hektoliter betragen die 300 /. «Niedere Einheiten verwandelt man also in höhere, wenn man ihre Zahl durch die Vertvandlnngszahl dividiert.» Welchen Stufengang hat man dabei einzuschlagen?
Vor allem ist eine übersichtliche systematische Wiederholung der Maße, wenn sie auch als bekannt voransznsetzen sind, mit besonderer Berücksichtigung der Verwandlnngszahle» vorzunehmen und das System der abgekürzten Schreibweise der Benennungen, die auch schon an den früheren Stufen geübt wird, zusammengefasst den Schülern vorznführen. Dabei bemerkt man, dass die lateinischen Namen deci, centi, inilli die Unterabtheilungen und die griechischen deka, heklo, kilo, myria die Oberabtheilungen des Grnndmaßes bezeichnen.
Dann sind die beiden Hauptfälle: 1.) die Verwandlungszahl ist dreimal, z. B. 10, 100 u. s. w., 2.) sie ist nicht deđmal, z. B. 12, 60 it. s. w., auseinanderzuhalten.
In jedem dieser Fälle hat man ferner zu berücksichtigen, ob a) das Resultat einnamig, z. B. 30 dm — 3 m, 36 Stück — 3 Dutzend, oder l>) mehrnamig ist, z. B. 35 cm = 3 dm 5 cm, 40 Stunden — 1 Tag 16 Stunden, 356 cm = 3 m 5 dm 6 cm, 6243 Min. — 4 Tg. 7 Std. 3 Min. Schließlich ist die Verwandlung in die nächst höhere Benennung einfacher, als die Verwandlung in eine entfernter höhere. Z. B. die Aufgabe <6243 Minuten — ? Stunden« ist einfacher, als die Aufgabe <6243 Minuten — ? Tage».
* Das Reducieren im Kopfe wird au mehreren Beispiele» fli'iibl, bevor mau zum schriftlichen Reducieren übergeht.
§ 64.	Brtimnlr	Sdirribmtg	mrljritnmigtr Sitijim,
bit 10 obor fiit yirlfndjts von 10 ;nr Derwaiiblungsjahl Ijnbnt.
Dies soll an einem Beispiele erläutert werden.
Wie viel Gulden und Kreuzer sind 2456 kr.?
2456 kr. : 100 = 24 fl. 56 kr.
Die Benennung «fr.» kann man auch auslassen und schreiben 24 fl. 56,
wobei man unzweideutig weiß, dass neben 24 fl. auch 56 kr. sind. Man könnte sogar den Namen «fl.» stellen wie in 24 56 fl.,
was jedoch zur Leseweise 2456 fl. führen konnte.
Dem kann man wieder Vorbeugen, wenn man zwischen 24 und 56 einen Punkt macht, also schreibt
24 56 fl.
Ähnlich kann man die decimale Schreibweise bei den übrigen Maßen erläutern, deren Verwandlungszahl dreimal ist. Dabei kann mündliches und schriftliches Rechnen in gegenseitigen Dienst treten. Der Lehrer gibt z. B. zur mündlichen Losung die Aufgabe: Wie viel Meter und Centimeter sind 3628 cm? Antwort: 36 m und 28 cm. Lehrer: Wie schreibt man das kurz mit einem Punkt?
Diese Behandlnngsweise, welche nach Hentschel gegeben ist, führt unbemerkt zu den Decitnalbrüchen. Sie erleichtert aber auch das Resoluteren, wofür man nur den Punkt wegzulassen braucht. Z. B.
24 56 fl. = 2456 kr.
Später treten als specielle Fälle folgende durch Beispiele angedeutete Übungen auf:
64 kr. — 0-64 fl., 508 kr. = 5-08 fl.
Beispiele:
1.) Die Verwandlungszahl ist dekadisch:
67845 dkg = • q ■ kg ■ dkg 678.45 : 1.00	6.78	: 1.00
45 dkg	78	kg
6 g 78 kg 45 dkg
2.) Nicht dekadische Verwandlnngszahl.
Wie viel Monate, Tage und Stunden sind 8224 Stunden?
8224 Std. : 24 = 842	84.2	: 8.0 = 11 Mon.
102	1	2	Tg.
64
16 Std.
Macht aus: 11 Mo». 12 Tg. 16 Std.
§ 65.	Resoluteren
heißt höhere Sorten in niederere anflvse». Vergl. die Anflößungen im Gebiete des Zehnersystems.
Dein schriftlichen Resvlvieren werden mündliche Übungen, die schon an früheren Stufen gepflegt wurden, vorangeschickt; an die mündlichen Übungen schließt sich die Ableitung der Regel fürs Schriftliche an, wie dies ans folgendem Beispiele ersichtlich ist:
Wie viel Centimeter sind 16 m? — Mündlich: 1 m — 100 an, 16 m — 16 mal 100, also 1600 an. — Der Schluss, der ans die Regel fürs Schriftliche führt, soll jedoch so gemacht werden: Um 1 w zu erhalten, muss man 1 an 100 mal, und um 16 in zu erhalten, 16 an 100 mal nehmen. Also ist:
16 in X 100 1600 an.
Regel: Um höhere Einheiten in niederere zu verwandeln, muss man ihre Zahl mit der Verwandlungszahl mnltiplieieren.
Dabei sind dieselben ztvei Hauptfälle zu unterscheiden tvie beim Reducieren, in denen man 1.) eine einnamige und 2.) eine mchrnamige Zahl in die a) nächst niedere Sorte, b) in eine entferntere niedrige Sorte zu verwandeln hat. Z. B.:
1.	II.
1. a) 4	in	= 40 dm,	6	Tg.	—	144 Std.,
b)	4	in	— 400 an,	6	Tg.	=	8640 Min.
2. a) 5	in	4 dm — 54 dm,	I»)	5 Tg.	20 Std. — 8400 Mill.
Ulil das beim Reducicren übers decimale Schreiben Gesagte besser einznprägen, kann man anfangs mich folgendermaßen verfahren:
34 • 36 m — 24 m 36 an 24 m — 2400 an -f-	36	cm
2436 an
Dieses Resolvieren kann an mehreren Aufgaben mündlich geübt werden.
Die einzelnen Aufgaben werden in der Regel entweder nur ans dem Bereiche der größeren oder nur ans dein Gebiete der kleineren Maße genommen, nicht ans beiden zugleich. Man lasse also z. B. nicht Kilometer ans Millimeter, Milligramm auf Kilogramm bringen, was dem Leben völlig fremd sein würde.*
Die Grenze zwischen größeren und kleineren Maßen bilden Meter, Gramm. Quadratmeter, Kubikmeter.
Ein Beispiel für Sorten mit nicht dekadischer Verwandlungszahl:
4 I. 3 Mon. 22 Tg. = • Tg.
4 3. X 12
	48	Mon.
_+	8	
	56	Mon.
X	30	
	1680	Tg.
	+	22	'
1702 Tg.
Zie vier Krnnbrachnun^artett mit mehr= namii|on Zahlen.
Das Verfahren wird an Beispielen in Kürze angedeutet werden. Jeder Operation gehen einschlägige Übungen im Kopfe voraus.
* Der Feldmesser wird hauptsächlich mit Metern arbeite», und cs wird ihm auf einige Millimeter schwerlich mifommnt. Arzneien, die der Arzt in Thcilen der Gramm verschreibt, wird man wohl niemals durch Bruchtheile des Stilogramms aus-drücken wolle».
§ 66. ->)
1.)
Addition.
Sorten mit dekadischen Verwandlungszahlen.
36-45 fl.	3645 kr.		b) 36-45 fl.
8-02 »	802	»	8 02 »
235-60 .	23560	»	235-60 »
9-00 »	900	»	9 00 °
289-07 fl.	28907	tx.	289 07 fl.
Nach a) werden zuerst die Gulden in Kreuzer verwandelt, die Kreuzer werden addiert und ihre Summe, wieder in Gulden verwandelt, unter die dreimal geschriebenen Summanden gesetzt. — Später verwandelt man in die niedere Benennung nicht mehr, addiert >vie in l>) und setzt den Punkt in die Summe, wenn man bis zu ihm gelangt.
Wie dieses Verfahren die Addition der Decimalbrnche vorbereitet oder sie einleitet, ist von selbst ersichtlich. Für den Fall, dass die Schüler die Decimalbrnche schon kennen, kann man die mehrnamige» Zahlen in Decimalbrüche verwandeln. Das Verfahren ergibt sich ans dem Obigen von selbst. Eine gleiche Bemerkung gilt für die anderen Operationen.
2.) Sorten mit nicht dekadischen Berwandlungszahlen.
Wie viel betragen zusammen?
101 Tg.
4 Jahre 8 Mott. 27 Tg.		
17 . — »	18 .	
— » 6 »	29 »	n)
5 . 10 .	3 »	
1 »11	24 »	
6.9»	— »	b)
36 Jahre 11 Man. 11 Tg.		
3 Mvn. 11 Tg.
47 Mvn.
3 I. 11 Mvn.
Die Entwicklung der Regel ist ans dem Beispiele leicht zu ersehen. Subtraktion.
§ 67. 1.) Sorten mit dekadischen Verwandlnngszahle»:
Zunächst:	Später:
324-85	fl-	32485	kr.	b) 324 85	fl-
46-23	ft.	— 4623	kr.	46 - 23	fl-
278-62	fl.	27862	kr.	278 62	fl.
Die Entwicklung der Regel fürs schriftliche Verfahren nimmt im allgemeinen denselben Gang wie bei der Addition.
2.) Sorten	mit	nicht	dekadischen Verwandlungszahlen.
a) Ohne Borgen.	48	Jahre	8	Mon. 26	Tg.
86 Jahre	2	Mo».	12	Tg.
12 Jahre	6	Mo».	14	Tg.
Anfängen bei der niedrigsten Sorte. Das übrige liegt auf der Hand.
18	85
b) Mit Borgen.	48	Jahre	2	Mon. 5	Tg.
86 Jahre	7	Mo».	18	Tg.
11 Jahre	6	Mo».	17	Tg.
Ans den Borgepnnkten und den ober dem Minuend geschriebenen Zahlen ergibt sich das Verfahren deutlich.
Eiiltiylitntio».
§ 68. 1.) Beispiel für dekadische Verwandlnngszahle»:
4 32 kg X 13 a) 432 dkg	1.)	4	.32	hg
X	13	X	13
12 96	12 96
43 2_________ 43 2
56 16	dlcg	56 16	kg
oder 56' 16 kg Der Gang ist ans dein Vorangehenden und dem durchgeführten Beispiele ersichtlich.
2.) Sorten mit nicht dekadischen Verwandlungszahlen:
Wie	viel	ist	34 mal	6 Jahre	8	Mon.	26	Tg.?
Erstes Verfahren.	Es ist	ans dem	Gang	der	Rechnung	ersichtlich.
A » s r e ch n » » g.
a)	2 6 Tg.	I>)	8	X	34
X 3 4	272	Mon.
104	-f	29	Mon.
78	301	Mon.: 12 = 25 Jahre
88.4	Tg.:	3.0 — 29 Mon.	61
14	Tg.	'	1	Mon.
«-)	5	X	34
170 Jahre -j-	25	Jahre
195 Jahre
Man bekommt: 195 Jahre 1 Man. 14 Tg.
Zweites Verfahren.
a) 5 Jahre = 00 Man.	I>)	2066	Tg.
+	8 Man.	X	34
68 Mott.	8264
X 30	6198
2040 Tg.	70244 Tg.
+ 26 Tg.	
2066 Tg.	
7024,4 Tg. :	3.0 = 2341 Man.
14 Tg.	
234 1 Man.: I 2 = 195 Jahre 114 6 1 1 Man.
Man bekommt 195 Jahre' 1 Man. 14 Tg.
Das erste Verfahren ist im allgemeinen kürzer als das zweite.
tliuifimt.
§ 69. Vor allen Dinge» ist hier der Unterschied zwischen Enthal tensein nnd Theilen recht zur Klarheit zu bringen. Das übrige ergibt sich ans den Beispielen.
l. Messen.
Wie oft sind 2 Schock 29 Stück in 39 Schock 44 Stück ent halte»?
39 Schock 44 Stück — 2384 Stück. 2 Schock 29 Stück — 149 Stück. 2384 Stück: 149 Stück — 16 mal 894
2. Theilen.
1.) Sorten mit dekadischer Vertvandlnngszahl: Suche den achten Theil von 15 (] 26 hg 48 dhj.
	— 81	—
n) 152648 dk	ff : 8 == 1 9081 dkg	b) 15-2648:8 = 1-9081 <y
72	oder 1-9081 q	72
64		64
8		8
2.) Sorten mit nicht dekadischen		Verwandlnngszahlen: Suche de»
16. Scheit von	39 Schock 44 Stück.	
a) 39 Schck.	44 Stck. : 16 = 2 Schck. 29 Stck.	
32		
7 Schck.	1.) 39 Schck. 44 Stck.	= 2384 Stck. : 16 = >49 Stck.
o X		78
420 Stck.		144 14 9:6.0 = 2 Schck.
-f- 44 Stck.		2 9 Stck.
464	Es ergibt sich	nach l>) auch 2 Schock 29 Stück.
144	Dieses Verfahren	ist jedoch nicht praktisch.
Snutar, Mrlhndik biM NecheiiiintrrrichtrS.
Fünfter Abschnitt.
Bruch e.
Auffassung der Wräche.
§ 70. Wiederholung der Zahlenlehre nnd Bruchlehre.
Eiu Bruch kan« auf zweierlei Art entstanden gedacht werden. Für den Bruch f z. B. denkt man sich entweder die Einheit in vier gleiche Theile (in Viertel) getheilt und drei solche genommen, oder den vierten Theil von drei Ganzen, d. i. den Quotienten 3 : 4. Die beiliegende Figur erläutert das Gesagte.
1.	Auffassung:
2.	Auffassung:
Ans der Entstehungsweise eines Bruches folgt dessen Schreibweise mit zwei Zahlen; die eine gibt an, in wie viele Theile ein Ganzes zu theilen ist, sie benennt also jeden Theil nnd heißt deshalb der Nenner; die andere drückt die Zahl der Theile ans oder zählt dieselben nnd heißt der Zähler. Darnach ist jeder Bruch als eine benannte Zahl anfznfassen, dessen Nenner der Name dieser Zahl ist. Daher sagt Knilling vom Bruchrechnen: -. . . es unterscheidet sich darum in nichts vom Rechnen mit ganzen Zahlen.... Was das Rechnen mit Brüchen von jenem mit ganzen Zahlen unterscheiden konnte, ist allein das Resolvieren, z. B. f — j£ = ff — ff re., und das Reducieren, z. B. f£, re. Doch sind auch diese beiden Rechenvorgänge dem Bruchrechnen nicht ausschließlich eigen...»
Es handelt sich also hauptsächlich darum, dass die Schüler den Bruch gehörig auffasseu.
QHntßeU'itutf bcv WrücHe.
§ 71. Man unterscheidet gemeine und Decimalbrnche. Letztere sind nur eine besondere Gattung der ersten-»; so sind z. B. die Deciuialbrüche T20r,lT, f »- s- f- gemeine Brüche, deren Nenner 10, 100, 1000 u. s. f. ist. Nach der zweiten Anffassnngsweise der Deci-malbrüche, durch die das dekadische Zahlensystem erweitert erscheint, bestehen dieselben eigentlich auch ans gemeinen Brüchen mit den Nennern 10, 100, 1000 II. s. w. Z. B. 0 • 625 besteht aus den gemeinen Brüchen
Tof TÜÖ	Tir’oö ■
Dies spricht deutlich genug dafür, dass gemeine Brüche, wenn mich in einem beschränkteren Umfange, jedenfalls den Decimalbrüchen voran zugehe» haben.
Die gemeinen Brüche theilt man nach dem Größenverhältnis zwischen Zähler und Nenner, wie bekannt, in echte und unechte Brüche. Befindet sich neben einer ganzen Zahl noch ein Bruch, so nennt man dies eine gemischte Zahl.
Wir wollen noch Starnmbrüche, d. H. solche, deren Zähler gleich 1 ist (z. B. 5-), und abgeleitete Brüche, deren Zähler großer ist als 1 (z. B. I), unterscheiden.
A. Gemeine tzriichr.
I. J»t<? vorbereitende Stnfe (Strrfe dev Kopfrectznenv). vrraiischaulichung brr grmrinrn Hrüchr.
§ 72. Die Brnchlehre wird zuerst nur an einfachen Brüche», dann mich an größeren, also allgemein vorgenvmmen. Daher unterscheiden wir zwei Hanptstiifen: 1.) die vorbereitende Stufe, die von den Elementen der Bruchrechnung spricht, 2.) die Bruchlehre überhaupt.
Auf der vorbereitenden Stufe, welche hauptsächlich der Mittelstufe angehört, waltet das Kopfrechnen vor, woran sich das schriftliche innig anschließt. Auf der Oberstufe leitet das Kopfrechnen als etwas Bekanntes die Bruchrechnung ein, das Hauptaugenmerk ist miss schriftliche Rechnen zu legen.
Da der Schwerpunkt alles Bruchrechnens auf einer klaren Auffassung der Brüche beruht, jo ist es nothwendig, dass mau dieselben möglichst gut veranschaulicht. Über die Art und Weise der Veranschaulichung jedoch herrscht unter den Pädagogen nicht volle Einigkeit. So schreibt z. B. Knilling: «... Wir wollen uns jedoch ausschließlich der Linie bedienen, weil sich an derselben die Theilnngen am leichtesten und raschesten vornehmen lassen und weil an ihr alle wichtigeren Divi-sionsbegriffe entwickelt werden können, dieselbe als Veranschanlichungs-mittel somit vollkommen ausreicht.» In diesem Sinne ist sein «Theil-lineal», welches, 2 dm lang, an der oberen Seite einerseits in TV, andererseits in £, T‘g, an der unteren Seite in r'H und andererseits in }, TV, V<r eingetheilt ist, als Veranschaulichungsmittel zu verwenden.
Tanck schreibt: «... In der That liegt aber die Sache so, dass es gar keine halben Stäbchen, Streifen, noch Striche gibt... Es gibt wohl lange und kurze Striche re., aber halbe, viertel re. nicht... Dagegen gestattet der Sprachgebrauch bei central geformten Körpern, als Äpfeln, Kreisen, Scheiben u. dgl., von Halben, Vierteln n. s. iv. zu sprechen ... Anders liegt die Sache aber schon wieder mit dem halben Meter, Pfund, Liter re. Hier kann man mit Recht von diesen Theilen spreche»; aber höchstens beim Meter — der bloßen Lüngenansdchnnng — sind sie genügend anschaulich; bei den Körpermaßen und Gewichten ist das auch nicht mehr der Fall...»
Hentschel schreibt: -Wir theilen ein Meter, einen Apfel oder einen Bogen Papier, einen Stab, einen Strich (für den Classennnterricht wird sich das erstere und letztere wohl am meisten empfehlen) in zwei gleiche Stücke oder gleiche Theile, bieten dasselbe zur Anschauung ...»
Krug, Oberlehrer am königl. Seminar zu Annaberg, schlügt als Veranschanlichungsmittel ein Quadrat von 20 cm Seitenlänge (in der Schule U m Seitenlänge) vor, welches in 100 gleiche Quadrate ein getheilt erscheint, und die kleinen Quadrate wieder in der ersten Reihe in 2, 3 Theile it. s. f., in der zweiten Reihe in 2, 4, ß Theile it. s. f. u. s. f.
So viel ist gewiss, dass es anschaulicher ist, wenn die Theile vom Ganzen sich unterscheiden, und dass Veranschanlichnngsmittel von dieser Art, also z. B. kreisförmige Scheiben, die in 2, 3 .... gleiche Theile eingetheilt sind, für die Einführung in die Brüche sich am besten eignen. Später kann man sich jedoch der Stäbe, Striche it. s. tu. ganz gut
bediene». In diesem Sinne ist denn auch der metrische Scheibchenrechenapparat sehr gut verwendbar. Überhaupt svll man beim Rechen-unterricht genau sein, lückenlos Vorgehen, sonst aber nicht zu ängstlich, ja nicht zu kleinlich sein.
Stufen bei der Hrtruchtung der Hrüche.
§ 73. Aus dem über die Auffassung der Brüche Gesagten ergeben sich folgende zwei Hauptstufen für die Betrachtung der Brüche: 1.) das Theilen der Einheit, 2.) das Theilen ganzer Zahlen.
E r st c Stufe: Theilen der Einheit.
Nach Knilling werben diesbezüglich folgende Unterstufen unterschieden :
1.) Entstehen der Theile; Benennung derselben; Übung im Anschreibe» der Nenner, und zwar folgendermaßen: 2, 3, T it. s. io. — Wohl wäre es im Anfänge rathsam,	die Nenner	anch als wirkliche
Benennungen mit Buchstaben zu schreiben, also: Halbe oder 3, Drittel oder 3 11. s. >v. Dieselbe Bemerkung gilt für die späteren Fälle.
2.) Das Zählen der Theile; Unterscheidung zwischen Zähler und Nenner. Z.B. f, i|-, j it. s. w.
3.) Das Zusammenfassen der Theile zum Ganzen. Z. B. § = 1, 3- = 1 »- f. f-
4.) Das	Theilen der	Einheit	mit	Reduktion	auf	einen Theil.
Z. B. Ö, 3-, { 11. s. f. — Auffassung der Stammbrüche.
a)	Das Benennen der einfachen	Theile. —	«Das ist f; das
ist J» it. f. f.
b)	Das Erklären der Theile. — Schüler: «|	bekomme ich, wenn
ich	ein	Ganzes in zwei gleiche Theile	theile und	einen Theil davon
nehme; 3 bekomme ich it. s. w.»
5.) Das	Theilen der	Einheit	mit	Reduktion	ans	beliebig viele
Tbeile S SB	i 2 • 1 2.	»- >	2 »	» „ s f
O	2 ' 2 > a ' a '	3 > i 1	4 1 4	' 4 11 • I* !•
a)	Das Benennen itttd Zusammenfassen der Bruchstücke. Schüler: «Das sind Halbe!» — «Das sind Drittel!» n. s. f. — «Das ist ein Halbes!» — «Das sind zwei Halbe oder ein Ganzes!» — «Das ist ein Drittel!« — «Das sind zwei Drittel!» — «Das sind drei Drittel oder ein Ganzes!» it. s. w
b) Das Entstehen derselben (der Bruchstücke). Z. B. «l bekomme ich, wenn ich ein Ganzes in drei gleiche Theile theile und davon zwei behalte,- n. s. w.
c) Das Erklären der Ziffern.
o) Zunächst wird gelesen: «|, | oder ein Ganzes; f, oberem Ganzes» re.
f-f) Dann wird eine Bruchzahl nach der anderen aufgelöst in Bruchstrich, Nenner und Zähler, z.B. «i!» Der Strich deutet an, dass ein Ganzes getheilt wurde; der Nenner 2 sagt, dass ein Ganzes in zwei gleiche Theile getheilt wurde; der Zähler gibt zu erkennen, dass tvir einen Theil davon behalten.
Zweite Stufe: T h e i l e n ganzer Zahlen.
1.) Das Theileu ganzer Zahlen durch Zerstückelt der einzelnen Einheiten. Z. B. 1 Ganzes — f, 2 Ganze — 2 mal ii — !, u. s. w.; 1 Ganzes = f, 2 Ganze — 2 mal ;| — !; n s. w. — Und umgekehrt: £ sind st) viele Ganze, als f in | oder als 2 in 4 enthalten sind; I sind so viele Ganze, als § in enthalten sind, u. s. w.
2.) Das Theileu ganzer Zahlen mit nachfolgender Rednetion ans einen Theil, z.B. «| 0.7». — Jedes Ganze wird in zwei gleiche Theile getheilt und ein Theil davon behalten; im ganzen behält man
Bezüglich der Übungen 1. schreibt Hentschel (1 —100): «Zur weiteren Übung des Einmaleins und gleichzeitig auch zur Vorberei-tnng für das spätere Rechnen mit Brüchen folgt nun das Verwandeln der Ganzen in Halbe, Drittel, Viertel bis Zehntel. Es wird dies für die Rechner dieser Stufe durchaus nicht zu schwer und auch nicht zu viel werden, tvvvvn man sich leicht durch die Praxis selbst überzeugen kann.»
Basis.	Anschauung:	Nachher:
;------1-------1	1 in —	2	halbe	m	1	Ganzes	— §
i------:-------1	2 in —	4	halbe	in	2	Ganze	— £
i------1-------1	Z m —	(i	halbe	m	3	Ganze	— f
u.	s. w.	I	n. s. w.
«Statt der Benennung Meter setzen mir auch andere, z. B. Hektoliter, Mark, Liter re., um Abwechslung zu haben.»
«Das Vorstehende schließt sich unmittelbar dem Einmaleins mit der 2 an. In ganz ähnlicher Weise geschieht die Verwandlung der Ganzen in Drittel, Viertel re. im Anschluss au die 3, 4 rc. Eine Erklärung für Bruch, Eintheilung in echte und unechte Bruche re. wird nicht gegeben. Das Verwandeln gemischter Zahlen in (unechte) Brüche bleibt vorläufig unberührt.»
Mocnik hinwiederum bemerkt im Raum (1 —100): «Der Lehrer kann schon hier die Schüler mit den Ausdrücken ,Bruch, Zähler, Reu neck bekannt machen; er kann dies aber auch bei einem späteren Cursns über die Brüche thun.»
Das Verwandeln der unechten Brüche in Ganze nimmt Hentschel im Raum 1 —100 beim Messen vor.
Zuerst:	Nachher:
2 m — 1 m	1 — 1 Ganzes
i ih — 2 m	i = 2 Ganze
I m — 3 m	1 — 3 Ganze
». s. tu.	II s. IV.
Diese Übungen sind Umkehrungen der vorangehenden, und es ist leicht zu ersehe», wie sie analog den obigen fortznsetzen sind.
Hentschel bemerkt dazu: «Nur solche unechte Brüche, die volle Ganze (nicht gemischte Zahlen) geben, werden gewählt.» Im Räume 1 —1000 beim Addieren bemerkt er: «Wir nehmen die Verwandlungen (ans 8 56, 4 und § 67) hier wieder vor und bereiten auf dieser Stufe die spätere Bruchrechnung dadurch vor, dass wir die Schüler durch fortgesetzte Übung größere Sicherheit und Festigkeit in obigen Stücken erreichen lassen.» Und beim Subtrahieren (1—1000) schreibt er: «Wir gehen in der Vorbereitung zur Bruchrechnung hier einen Schritt weiter und verwandeln zunächst gemischte Zahlen (ohne diesen Namen zu lehren) in Brüche, immer »och hiebei im Zahlenraum 1 — 100, ja meistens noch im Bereiche des kleinen Einmaleins verbleibend.» Z. B. 6| = - Drittel? — 1 Ganzes = f, 6 Ganze — 6 mal § — ", dazu noch 2 Drittel, gibt
Beim Multipliciere» nimmt er das Gleiche, aber nur an größeren Zahlen vor. Z. B. Wie viel Fünftel sind 72f? — Richte ein: 66i; n. s. w.
Beim Messen (aber auch schon beim Subtrahieren) werde» unechte Brüche in Ganze und Halbe verwandelt. Z.B.:	—	32Js.
Win», full »in» mit brr Kruchrrchnnng nnfnngrn ?
8 74. Diese Frage hat ihre Lösung wohl noch nicht gefunden. Die diesbezüglichen Anschauungen der Pädagogen weichen bedeutend voneinander ab. Mocnik behandelt gemäß der österreichischen Lehrpläne die Elemente des Bruchrechnens im Raume 1 —100. Dasselbe thnn Lüde-niann, Saatzer re. Saatzer bemerkt unter anderem: «Das Bervielfältige» und Messe» in Brüchen könnte man höchstens in nicht überfüllten Classen versuchen.» Bei Mocnik kommen z. B. Übungen vor wie: £ in 12£ und beim angewandten Rechnen: 2£ fr. in 37| fr., wogegen sich Saatzer äußert. Hentschel führt wohl schon im Raume 1 — 100 die Brüche ein, er verweilt aber bei der Auffassung der Brüche (die Ber-wandlungen ganzer Zahlen in unechte Brüche und umgekehrt dazu ge-gerechnet) an der ganzen Mittelstufe, »in an der Oberstufe mit dem eigentlichen Bruchrechnen anzufangen.
Salb erg, der die allseitige Behandlung der Zahl ans die äußerste Spitze treibt, verlegt die Bruchrechnung sogar in den untersten Zahlen-raum. Er schreibt: «Ist aber die möglichst baldige Kenntnis der Deci-malbrnchrcchnung durch Einführung der metrischen Maße und Gewichte geboten und setzt sie die Kenntnis der gemeinen Brüche voraus, so gewinnen wir dadurch einen neuen Grund, die Bruchrechnung in die Elementar-classe zu verlegen.» Erkundigt man sich bei den Lehrern verschiedener Orte und verschiedener Länder, wie die gemeine Bruchrechnung im Raume 1 —100 bewältigt wird, so bekommt man in der Regel die Antwort, dass es wohl schwer sei, den Forderungen der Lehrpläne zu genügen. Und muss man denn wirklich die Kinder mit der Bruchrechnung und mich mit den Decinialbrüchen so früh vertraut machen? Wenn an der Mittelstufe die Elemente des Brnchrechnens und das Rechnen mit Deeimalbrücheu den Kindern beigebracht wurde, haben wir gewiss mich der Praxis Genüge gethan. Hentschels Vorsicht, die Kinder zuerst mit dem Wesen der Brüche vertraut zu machen, den Begriff Bruch verdauen zu lassen, ist gewiss sehr zu empfehlen. Dann ist das Rechnen mit gemeinen Brüchen als ein Rechnen mit benannten Zahlen für die Kinder eine Spielerei. Einer der größten Fehler, die man im Rechnen begehen kann, ist die Überladung.
lUftiluirmt »»d Rrburirmt.
(Aus Grundlage der Anschauung und des Schlusses.) Resolvieren.
8 75.	Resolvieren	der	Halbe».
-I-
H
i
J—i-
i
i <»
1	x	i	x
-I—»	i	H	i	y	,....*	i
i	_i_	_i_	1	_i	;	x	JL	> JL i
I "> I	t11 I	1 » i	I 11 i	I 11	j	T') i	l » i	i »	i i	n [ i o	i
anschaulich.
Schluss:	1 Halbes — der Hälfte uuit 4 Vierteln — 2 Viertel
2 Halbe — 4 Viertel
Ähnlich verfährt man bei der Verwandlung der Halben iit Sechstel, Achtel, Zehntel.
Alt das Resoluteren der Halben schließt sich das Resolvieren der Drittel, Viertel, Fünftel re. Das Verfahren ist ans dem Vorangegangenen ersichtlich. Ein Beispiel mvge noch bezüglich des Schlusses angeführt werden, f —	• Achtel?
4	Viertel	—	8	Achtel
1	Viertel	—	}	von	8	Achteln	—	2	Achtel
3	Viertel	—	3	mal	2	Achtel	—	(i	Achtel
Durch die Veranschaulichung prägt man sich bei de» einfachen Brüchen in der Regel ein, wie viel ein Bruchtheil in kleineren Brnch-theilen gilt. Weis; man z. B., dass { — “ ist, dann macht man obigen Schluss noch einfacher:
1 Viertel — 2 Achtel 3 Viertel — 3 mal 2 Achtel — G Achtel
Reducieren.
8 7G. Wird auf Grund der Anschauung und durch Schlüsse behandelt. Vergl. das Resolvieren. Z. B.:
1.) Wie viele Halbe sind £ ?
4 Viertel — 2 Halbe 2 Viertel — j v. 2 Halben — 1 Halbe 2 __ 1
2.) Wie viele Viertel sind 6 Achtel?
8 Achtel — 4 Viertel
2 Achtel — £ vvn 4 Vierteln — 1 Viertel l> Achtel — 3 mal 1 Viertel — 3 Viertel
ß.   3.
8	4
Oder kürzer:
2 Achtel = 1 Viertel 6 Achtel — 3 mal 1 Viertel — 3 Viertel
(J   JJ
8	4
Mocnik behandelt das Resolvieren und Reduciere» einfacher Brüche im Raum 1 —100, was nach den früheren Bemerkungen verfrüht wäre. Hentschcl verlegt dies auf die fünfte Stufe.
Durch das Resolvieren und Redncieren machen die Schüler einen bedeutend intensiveren Einblick in das Wesen der Brüche Die Begriffe Zähler und Nenner kann man dabei schwerlich umgehen.
^crylctihituy 8 c» Werte» der W räche.
§ 77. Dabei werden zwei Fälle nnterschieden: 1.) Die Fvrm des Bruches wirb verändert, der Wert desselben bleibt unverändert; 2.) der Wert des Bruches wird verändert.
I.	Pit Form bra Hruchr» wirb urrnnbrrt, brr iUrrt nicht.
t. Erweitern der Brüchc.
§ 78. Aus dem Resolvieren, welches man an mehreren Beispielen anschaulich und durch Schluss vornimmt, z.B.:
j 	 2	_2 mal	1
2	*	2 mal	2
2   6	 8 mal	2
» — “	“''	:> mal	3
u. f. f. noch mehrere Beispiele,
erkennt man den Satz:
Der Wert eines Bruches bleibt unverändert, wenn mau Zähler und Nenner mit derselben Zahl mnltipliciert.
Zähler	und Nenner	eines Bruches	mit derselben	Zahl mnltipli-
cieren heißt	den Bruch erweitern, und	die Zahl, mit	der man multi-
pliciert, heißt die Erweiterungszahl.
Für das Erweitern sind zwei Arten von Übungen zu unterscheiden:
a) Erweitern mit einer gegebenen Erweiterungszahl, z. B. , mit 5;
3   I ß .
4	2 0 1
b) Erweitern auf einen neuen Nenner, in welchem der ursprüngliche ohne Rest enthalten	ist, z. B. * ans	Zwölftel; den	Nenner 4 muss
man 3 mal	nehmen, um	den Nenner 12	zu bekommen; 3 ist also die
Erweiterunaszahl.
= J-L (vergl. Resvlvieren).
2. Abkürzen d e r B r ü ch e.
t; 79. Wird wie das Erweitern behandelt, z. B.:
,	2	durch	2	. ,
2	—— .1	-  -'	II I	In
4	— 2	— 4 durch	2	'■	1U-
und man gelangt zum Satze:
Der Wert eines Bruches bleibt unverändert, wenn man Zähler und	Nenner	durch dieselbe	Zahl	dividiert.
Dies	ist	nur	möglich,	wenn die	Zahl	im	Zähler und Nenner
ohne Rest enthalten ist.
Ein Bruch, der sich nicht mehr abkürzen lässt, ist ans die einfachste Form gebracht.
3. dl leich n a mig m a ch en der B r ü ch c.
S 80 Dieses besteht im Erweitern gegebener Brüche ans Brüche mit einem Nenner, in dem jeder Nenner ohne Rest enthalten ist. Die Hauptaufgabe dabei ist das Anffinden des neuen Nenners. Dabei unterscheidet man: a) Es sind zwei Brüche gleichnamig zu machen, b) es sind mehrere Brüche gleichnamig zu machen.
Zahlen.
Als Vorstufe zu dieser dienen wieder Aufgaben, wie: r<) Bringe die Brüche £, £ ans den Nenner 12 — und andere solche, wobei auch mehrere Brüche gegeben werden.
ß) Welches ist die kleinste Zahl, in der 3 und (i, 3 und 4, 4 und 6 ohne Nest enthalten sind? Die drei Beispiele geben zugleich wieder drei Abstufungen an, nach denen man noch mehrere Beispiele vornimmt. Ähnliche Übungen werden auch für mehr als zwei Zahlen vorgenommen.
Nachdem die beiden Vorübungen den Schülern geläufig sind, übergeht man zu den drei Fällen für das Gleichnamigmachen der Brüche, welche hier durch Beispiele angedentet sind.
1X3.	ß..	9X1	1.	U X ß	7
XV 4 t	8 f	"v ß t	7 y	^'J	6	f	5)*
Wie die Brüche auf den anfgefnndenen kleinsten gemeinschaftlichen Nenner zn erweitern sind, ergibt sich ans dem Vorangehenden.
Nach der gehörigen Einübung dieser drei Fälle an zwei Beispielen übergeht man zu Aufgaben mit mehreren Brüchen, wobei jedoch dieselbe Stufenfolge zu berücksichtigen ist.
So weit geht man auf der vorbereitenden Stufe. Auf der Oberstufe, ans welcher die Brnchlehre vollständig behandelt wird, geht man weiter. Um größere Brüche gleichnamig machen zu können, muss man früher die Schüler mit der Lehre vom Maß, Vielfachen, größten gemeinschaftliche» Maß, kleinsten gemeinschaftlichen Vielfache», überhaupt mit der sogenannten Zahlenlehre bekannt machen. (Vergl. § 85, 86.)
Das Gleichnamigmachen der Brüche in den Raum 1—100 verlegen, wie man dies bei Močnik findet, z. B.: 89- — 8f-, 19- -\- 8|, 40^ — 18f, wäre entschieden verfrüht.
II.	Der wert des flritchro wird durch tzrriiitbtnmg d:r Form urräitbrrt.
1.	Vergleichung der Brüche mit gleiche m N e n n e r.
tz 81. Es sollen folgende Reihen in horizontaler Richtung zur Anschauung gebracht werden:
1	1	»	1	r,	<i
2' 2' 2' 2' 2 -
_L	2	Ü	±	li	!L	7	H	j*
3 '	3	t	3'	3	t	3 t	3'	3	'	3	t	3
D s' s-». s. f.
_L	2	3	JL	n	(i	7	Ü	o	I (I	II	w	r
4'	-i i	4 t	41	4	-	4 t	4 t	4'	4	t	4 '	f >	4	“• r r
U. s. f.
Daraus gewinnt man den Satz:
Der Wert eines Bruches wird größer, wenn der Zähler bei unverändertem Neuner wächst.
1, u. s. f. ist gleich 1. Alle Brüche, deren Zähler kleiner ist als der Nenner, sind kleiner als 1, und deren Zähler größer ist als der Nenner, größer als 1. Erstere nennt man echte, letztere unechte Brüche.
Unechte Brüche können in ganze »der gemischte Zahlen verwandelt werden. Durchs Verwandeln ganzer oder gemischter Zahlen (durchs Einrichten) bekommt man unechte Brüche Aus obigen horizontalen Reihen erkennt man an den durch den Druck hcrvorgchobenen Brüchen den Satz:
Ein Bruch wird 2, 3, 4 mal it. s. f. größer, wenn der Zähler 2, 3, 4 mal ii. s. f. größer wird, oder:
Ein Bruch wird mit einer ganzen Zahl mnltipliciert, wenn man den Zähler damit mnltipliciert und den Nenner unverändert lässt.
Ans ähnliche Art erkennt man den Satz: Ein Bruch wird 2, 3( 4 mal it. s. f. kleiner, wenn der Zähler 2, 3, 4 mal n. s. f. kleiner wird, oder:
Ein Bruch wird durch eine ganze Zahl dividiert, wenn man den Zähler dadurch dividiert und den Nenner unverändert lässt.
Die obigen Veranschaulichungen kann man auch durch Schlüsse unterstützen. Z. B. 2 mal %- — ? 2 mal 3 Viertel — 0 Viertel, 2 X f =	4	:	4	=	?	Der vierte Thcil von 8 Neunteln ist gleich
2 Neuntel. 4:4 = f.
Dabei fasst man die Brüche als benannte Zahlen auf.
2. Vergleichung der Briichc mit ungleichem Nenner,
a) aber gleichem Zähler.
§ 82. Anschaulich an Reihen, wie:
X	X	X	X	U	f	f
2 f	3 t	4 t	6	U*	I*	I*
2	2	2	2	U	s	f
2 f	3 f	4 t	ß	U*	I*	I*
4'	i,	b	4	u.	s.	f.
u. f. s.
Daraus gewinnt man den Satz:
Der Wert eines Bruches wird kleiner, wenn bei unverändertem Zähler der Neuner größer wird.
Daran schließt man Reihen, wie
•L 8 JL
4f 8' 12
8.	3	8
IV	!>'	9
... s. f. ... s. f.
Alles ans Grundlage der Anschauung. Daraus gewinnt man den
Satz:
Der Wert eines Bruches wird 2, 3, 4 mal u. f. tu. kleiner, wenn bei unverändertem Zähler der Nenner 2, 3, 4 mal ... s. f. größer wird, oder:
Ein Bruch wird durch eine ganze Zahl dividiert, wenn man den Nenner damit »tnltipliciert und den Zähler unverändert lässt.
Und ans umgekehrtem, jedoch ähnlichen. Wege bekommt man den
Satz:
Ein Bruch wird mit einer ganzen Zahl mnltiplieiert, wenn man den Nenner dadurch dividiert und den Zähler unverändert lässt.
Solche Brüche kann man dem Werte nach nur vergleichen, wenn man sie gleichnamig macht. Für einfache Fälle vergl. § 80. Für Brüche mit größeren Zahlen muss die Zahlenlehre vorangeschickt werden, damit man sie in gleichnamige Brüche verwandeln kann. Dies tvird weiter nuten besprochen.
§ 83. Aus allem im Vorangehenden über die Brüche Gesagten folgt, dass man ans die allgemeine Behandlung derselbe» die Schüler früher durch verschiedenartige Übungen vorbereitet, soll. Diese Übungen sollen hier noch übersichtlich angeführt werden.
1.) Auffassung der Brüche, wobei die Verwandlung ganzer und gemischter Zahlen in Brüche und umgekehrt mit inbegriffen ist.
2.) Nesolviere» und Nedncieren einfacher Brüche.
3.) Vergleichung des Wertes einfacher Brüche: Erweitern, Abkürzen, Gleichnamiginachen, Multipliciere» und Dividiere» der Brüche mit ganzen Zahlen.
ß) Mit ungleichem Zähler.
yiittfui.t über de» Stoff der oorbereitende» Stufe.
Wie dieser Stoff auf die einzelnen Zahlenräuine zu vertheilen ist, darüber sind die Pädagogen noch heute nicht einig. Es möge hier nur betont werden, dass auch bei den Brüchen das Neue erst anzuschließen ist, nachdem das Frühere von den Schülern verdaut wurde.
Will man nach der Behandlung des unbegrenzten Zahlenranmes auf der Mittelstufe noch die Decimalbrüche behandeln, so sind obige Partien auf die Räume 1 —1000, unbegrenzter Zahlenraum, oder wie einige es thnn, ans die Räume 1 —100, 1 —1000, unbegrenzter Zahlenraum zu vertheilen.
Die vier Otyernlioimt mit riitfodjtn Drüche».
§ 84. Auf der vorbereitenden Stufe sind aber auch die vier Operationen mit einfachen Brüchen vorzunehmen. Diesbezüglich lassen sich folgende Abstufungen unterscheiden:
Erste Stufe. Diese führt die Bruchrechnung auf das Rechnen mit gleichnamigen Zahlen zurück. Dazu gehört die Addition, Snbtraetion, das Messen gleichnamiger Brüche, die Multiplikation und das Theilen der Brüche, wobei der Nenner unverändert bleibt. Beispiele:
1.) 1 + 1= V = 1|=U-	6.)	1:| = 2.
2.) 3| + 41 = 7| = 8.	7.)	*X2 =	*
O \	11_______5________ _6_-- 1	1
•/	12	12	12	2*
4.)	6f	—	1|	=	5f =	51.
8.) +2
5.) 8®	24	5g; 8 weniger	Das	Verfahren ergibt sich
2 = 6, davon 1 Ganzes in	. ,,r.
5 » _L 3-8 8_i_4 von selbst.
ßf ß I ß	ß' ß ß ß*
Zweite Stufe.	Diese führt die	Bruchrechnung	auf das Rechnen
mit ungleichnamigen	Zahlen zurück.	Es	kommt	also	zu dein Früheren
noch die Addition, Snbtraetion und das Messen ungleichnamiger Brüche. Beispiele:
I >	2	13________ 8	19---------- 9 )	18.	9	  36.	_9_ - A
l'i 3 r 4 — TäTTI —	Uv 5 • 10	10	• 10
= 11 = 1 tV	Auch	dieses Verfahren ergibt
O \	05	03 ____ «10 ___ 0 9----
'i 4	12	12	sich leicht aus dem Früheren.
= ßTv.
Dritte Stufe. Multiplikation und Division der Brüche bei unverändertem Zähler. — Wird von den Pädagogen in der Regel auf die Oberstufe gewiesen.
Für die Oberstufe bleibt bann »och »eben der Zahlenlehre: 1.) die Erweiterung obiger Fälle auf alle gemeinen Brüche; 2.) Multiplikation nnd Division durch einen Bruch.
II.	Die Wr-uct-l'etire ftlu-vtumpt.
Die Zahlenlehre.
Maß und Vielfaches.
§ 85. 1 ist in jeder ganzen Zahl ohne Rest enthalten, es ist ein Maß jeder ganzen Zahl.
2 ist in 2, 4, 6, 8, 10, 12 n. s. f. ohne Rest enthalten, es ist ein Maß jeder	geraden Zahl.
3 ist ein	Maß	von 3, 2X3	=	6,	3	X	3 =	9,4X3=12 it. s. f.
4 ist ein	Maß	von 4, 2 X 4	=	8,	3	X	4 =	12	n.	s.	f.
5 ist ein	Maß	von 5, 2X5= 10,	3X5=	15	n.	f.	f.
»- s- f-
Jede Zahl ist ein Maß von sich selbst nnd von jedem Vielfachen derselben. — Daran schließen sich Übungen:
1.) Nenne Vielfache der Zahlen 2, 3, 4, 5, 6 it. s. f.
2.) Nenne Zahlen, von denen 2, 3, 4, 5, 6 it. s. f. ein Maß ist.
3.) Untersuche, ob 324 ein Maß ist von 2592, 7824, 38880, 32758 it. s. f. — Roch mehrere solche Beispiele.
4.) Untersuche, ob 9002 ein Vielfaches von 643, 725 ist. — Noch mehrere solche Beispiele.
Absolute Primzahlen; zusammengesetzte Zahlen.
Wenn eine Zahl ein Maß ist von einer anderen, so sagen wir: die andere ist durch die erste th eil bar. 12 ist durch 0 theilbar; durch welche Zahlen noch? Durch welche Zahlen ist 16, 18, 21 it. s. f. theilbar.
4 ist durch 2 theilbar, aber auch die Vielfachen 8, 12, 16 it. s. f. Noch mehrere ähnliche Beispiele. — Daraus gewinnt matt den Satz:
Ist eine Zahl durch eine andere theilbar, so ist auch jedes Vielfache derselben durch diese Zahl theilbar.
Größtes gemeinschaftliches Maß, kleinstes gemeinschaftliches
Vielfaches.
§ 86. 2 ist ein Maß von 2, 8, 12; es ist ein gemeinschaftliches Maß dieser Zahlen.
3 ist ein Mas; von 9, 18, 36, 42; es ist ein gemeinschaftliches Maß dieser Zahlen u. s. f.
Die größte Zahl, die ein gemeinschaftliches Maß mehrerer gegebener Zahlen ist, heißt das größte gemeinschaftliche Maß dieser Zahlen.
Übungen: 1.) Gib ein gemeinschaftliches Maß der Zahlen a) 8, 12; h) 16, 24, 32 it. s. f. an. — Welches ist das größte gemeinschaftliche Maß dieser Zahlen?
Zahlen, tvelche kein gemeinschaftliches Maß haben, heißen relative Primzahlen. Z. B. 3 und 4; 6, 7 und 35 tt. s. f.
Übungen: 1.) Gib Paare relativer Primzahlen an. 2.) Welche von den Zahlen n) 8, 5, l>) 6, 9, 12, c) 8, 14, 21 tt. s. f. sind relativ prim?
12 ist ein Vielfaches von 2, 4, 6; es ist ein gemeinschaftliches Vielfaches dieser Zahlen. Ein gemeinschaftliches Vielfaches dieser Zahlen ist auch 24, 36 it. s. f. — Noch mehrere solche Beispiele.
Die kleinste Zahl, welche noch ein Vielfaches jeder gegebenen Zahl ist, heißt das kleinste gemeinschaftliche Vielfache dieser Zahlen.
Übungen: 1.) Gib an gemeinschaftliche Vielfache der Zahlen n) 3 und 4; 7 und 5; 6, 5 und 7 u. s. f.; b) 3 und 6; 5, 10 und 20 it. s. f.; <:) 6 und 8; 6, 8 und 10. — Welches ist das kleinste gemeinschaftliche Vielfache der Zahlen in der ersten Übung?
Das größte gemeinschaftliche Maß und das kleinste gemeinschaftliche Vielfache kann man jedoch nicht immer einfach im Kopfe bestimmen. Schriftlich erreicht man dies durch Zerlegung in Primfaetoren, d. H. in Factoren, die Primzahlen sind, und nach anderen Methoden. Um die Primfaetoren bequem bestimmen zu können, muss man auch rasch erkennen, wann eine einziffrige Zahl itt einer mehrziffrigen Zahl ohne Nest enthalten ist, oder mit anderen Worten, wann die zweite durch die erste t Heilbar ist.
Kennzeichen der Theilbarkeit.
§ 87. Theilbarkeit durch 2. Die Zahl 426 lässt sich in 420 und 6 zerlegen. Die Zahl 10 ist durch 2 theilbar, daher auch ihr Vielfaches 420; da nun auch die Zahl 6 durch 2 theilbar ist, so ist mich die ganze Zahl 426 durch 2 theilbar. — Ans mehreren ähnlichen Beispielen erkennt man, dass eine Zahl durch 2 theilbar ist, wenn an der Stelle der Einer 0, 2, 4, 6, 8 steht.
Lautar, Methodik M Rcchcnuiiterrlchtes.	7
Theilbarkeit durch 5, 10. Eine Zahl ist durch 5 theilbar, wenn an der Stelle der Einer O oder 5, durch 10, wenn an der Stelle der Einer 0 steht. — Erkennt man wie oben die Theilbarkeit durch 2.
Theilbarkeit durch 4. 7528 lässt sich zerlegen in 7500 — — 75 X 100 und 28. Die Zahl 100 ist durch 4 theilbar, daher auch ihr Vielfaches 7500; wenn also nur die Zahl ans den Einer» und Zehnern durch 4 theilbar ist, so ist auch die ganze Zahl durch 4 theilbar. — Aus diesem und mehreren ähnlichen Beispielen erkennt man:
Eine Zahl ist durch 4 theilbar, wenn die Zahl ans den zwei niedrigsten Stellen durch 4 theilbar ist.
Theilbarkeit durch 8. Eine Zahl ist durch 8 theilbar, wenn die Zahl aus den drei niedrigste» Stelle» durch 8 theilbar ist. — Jede Zahl lässt sich nämlich in ein Vielfaches von 1000, das durch 8 theilbar ist, und in eine Zahl aus Hundertern, Zehnern und Einern zerlegen.
Theilbarkeit durch 3 und durch 9. Durch 3 (durch 9) ist eine Zahl theilbar, wenn ihre Ziffernsummc durch 3 (durch 9) theilbar ist. Jede Zahl ist nämlich ein Vielfaches von 9, also auch von 3, vermehrt um die Ziffernsnmme dieser Zahl. Die Zahl 6723 z. B. ist gleich:
(6 X 1000) + (7 X 100) + (2 X 10) + 3 oder (6 X 999) + 6 + + (7 X 99) + 7+ (2 X 9) + 2 + 3 oder (6 X 999) + (7X 99) + + (2 X 9) +(6+ 7 + 2 + 3).
Den ersten Theil erkennt man leicht als ein Vielfaches von 9, er ist also jedenfalls durch 3, respect. durch 9, theilbar; wenn also nur der zweite Theil, d. i. die Summe der einzelnen Zahlen, durch 3, respect. durch 9, theilbar ist, so ist die ganze Zahl durch 3, respect. 9, theilbar.
Durch 6 sind alle Zahlen theilbar, die durch 2 und 3 theilbar sind.
Denn die kleinste durch 2 und durch 3 theilbare Zahl ist 2X3 = 6; jede größere, ebenso theilbare Zahl muss also auch ein Vielfaches von 6, mithin durch 6 theilbar sein.
Zerlegung	der Zahlen in	P r i in f a c t o r e n.
§ 88.	Die Zahl 6	ist gleich 2X3;	2 und 3 sind Priinfactoren
der Zahl (S. Wie man gleich sieht, findet man den zweiten Priinfactor, wenn	inan	die Zahl (>	durch den ersten	dividirt. Die Zahl 12 =
= 2	X <>	= 2 X 2 X 3. — Den Factor (>, der ein zusammen-
gesetzter Factor ist, bekommt man, wenn man 12 durch den Primfactor 2 dividirt. Wie man wieder 6 in Priinfactoren zerlegt, folgt aus dem Gesagten. — An mehreren solchen einfachen Beispielen, die auch als Übungsbeispiele mit den Schillern vorgenominen werden, erkennt man die Regel für die Zerlegung der Zahlen in Priinfactoren.
Eine Zahl wird in Priinfactoren zerlegt, wenn man sie durch die kleinste Primzahl, die in ihr ohne Rest enthalten ist, dividiert, den erhaltenen Quotienten auf die gleiche Art behandelt u. s. f. Z. B.:
Zerlege die Zahl 420 in Priinfactoren:
2 - 210		420	2
2 — 105	oder:	210	2
		105	3
3 — 35		35	5
5 — 7		7	7
420 = 2 X 2 X 3 X ß X 7	420	=	2	X	2	X 3 X 5 X 7
Übungen.
Aufsuchen des größten genieinschnftlichen Maßes und des kleinsten gemeinschaftlichen Vielfache» durch Zerlegung in Priinfactoren.
§ 89. Aus obigem Beispiele und anderen erkennt inan:
Jeder Factor der in Priinfactoren zerlegten Zahl ist ein Maß derselben; ebenso ist ein Maß der Zahl das Product zweier oder mehrerer oder aller Priinfactoren. Ein Factor aber, der in der Zahl nicht vorkomint, ist kein Maß derselben. Im obigen Beispiele sind 2, 3, 5, 7, 4, (i, 12 ... . Maße der Zahl 420, 11 jedoch nicht.
Hat inan also das größte gemeinschaftliche Maß mehrerer Zahlen zu bestimme», so braucht man nur die gemeinschaftlichen Priinfactoren dieser Zahlen miteinander zu multipliciere». Z. B.:
n) 21 — 3 X 7,	35 = 5 X 7;	7 ist das größte gemein-
schaftliche Maß der Zahlen 21 und 35.
Oder:	I.)	30 = 2 X 3 X 5
140 = 2X2X5X7 330= 2 X	3 X	5 X 11
das	größte	gemeinschaftliche Blaß =2X5=	10.
Das kleinste gemeinschaftliche Vielfache	muss	durch jede	Zahl,	also
durch jeden	Factor jeder Zahl theilbar sein,	oder	mit anderen	Worten,
es muss alle Factoren aller Zahlen enthalten. Kommt ein Factor in einer Zahl schon vor, so braucht er ans der nächsten Zahl für das kleinste gemeinschaftliche Vielfache nicht mehr genommen zu werden.
Nach obigem Beispiele a) muss man die Factoren der ersten Zahl in das kleinste gemeinschaftliche Vielfache jedenfalls anfnehme», von de» Factoren der zweite» Zahl aber nur den Factor 5, weil 7 schon in der ersten Zahl vorkommt. Das kleinste gemeinschaftliche Vielfache der Zahlen 21 und 35 ist also: 3 X 7 X 5 = 105.
Ans diesem und ähnlichen Beispielen erkennt man:
Das kleinste gemeinschaftliche Vielfache zweier Zahlen findet man mich, wenn man eine Zahl durch das größte gemeinschaftliche Maß beider Zahlen dividiert und mit dem erhaltenen Quotienten die andere Zahl innltipliciert.
Also für die Zahlen 21 und 35: 21 : 7 = 3, 3 X 35 = 105.
Leicht erkennt man, dass für das Beispiel l>) das kleinste gemein schaftliche Vielfache 2X3X5X2X7X11= 4020 ist.
Aufsuchen de-) größten gemeinschaftliche» Maßes »ach der Divisionsmethode.
§ 90. Vorübungen: 1.) Bestimme das größte gemeinschaftliche Maß der Zahlen:
a)	3 »nd 0, b) 9 und 18, o) 12 und 30 n. s. w.
Wenn also eine Zahl in der ändern ohne Rest enthalten ist, so ist sie das größte gemeinschaftliche Maß beider.
2.) Bestimme im Kopfe das größte gemeinschaftliche Maß der Zahlen:	a)	g,	9; b) 9, 15; c) 25, 15 u. s. f.
Das	größte gemeinschaftliche Maß der	Zahl 0 »nd	9	ist	3,	der
Zahlen 9	und 15 auch	3,	und der Zahlen	25	und 15	die	Zahl	5.
Dividieren wir nun die größere Zahl durch die kleinere:
9:6=1,	15 : 9 = 1,	25	: 15 =	1
3 Rest	0 Rest	10	Rest
Wir sehen, dass das größte geineinschaftliche Maß der gegebenen Zahlen auch nach im	Rest sich befindet.	Dividieren mir mm den Divisor
durch den Rest,	mit	zn sehe»,	ob nicht	der	Rest dieses das größte	ge-
meinschaftliche Maß ist:
6:3 = 2,	9:6=1,	15:10=1
3	Rest	5 Rest.
Im ersten	Beispiele ist	dies wirklich	der Fall.	Dividieren	mir
bei den beiden anderen wieder die letzten Divisoren durch die letzten Reste, um zn sehen, ob nicht diese Reste das größte gemeinschaftliche Maß sind:
6:3 = 2,	10	:	5	= 2;
nnd sie sind es wirklich.
Ans diesen nnd ähnlichen Beispielen erkennt man, wie man das größte gemeinschaftliche Maß zweier Zahlen überhaupt findet.
Man dividiert die größere Zahl durch die kleinere. Ist letztere in der ersten ohne Rest enthalten, so ist sie das größte gemeinschaftliche Maß beider Zahlen. Bleibt ein Rest, so dividiert man den Divisor durch denselben, nnd bleibt noch ein Rest, den letzten Divisor durch diesen n. s. f. Der letzte Rest, respective der letzte Divisor, ist das größte gemeinschaftliche Maß beider Zahlen. Z.B.: Suche das größte gemeinschaftliche Muß der Zahlen 1296 und 360.
1296 : 360 = 3 216
360 ; 216 = 1 144
216 : 144 = 1 72
144:	72	=	2
Ist der letzte Divisor gleich 1, so haben die Zahlen kein gemein* schastliches Maß. — Übungen.
Hat inan das größte gemeinschaftliche Muß zwischen drei Zahlen zu suchen, so sucht man zuerst das größte gemeinschaftliche Maß zwischen den beiden ersten Zahlen. Ist nun dieses in der dritten Zahl ohne Rest enthalten, so ist es das größte gemeinschaftliche Maß aller drei Zahlen. Ist es nicht ohne Rest enthalten, so sucht man zwischen ihm
oder:
1296	360	3
216	144	1
72	0	1
		2
72 ist das größte gemeinschaftliche Maß.
und der dritten Zahl auf obige Weise das größte gemeinschaftliche Maß, welches	dann das größte gemeinschaftliche	Maß	aller	drei Zahlen	ist.	—
Wie man zwischen mehr als drei Zahlen	das	größte	Maß	sucht,	ergibt
sich ans dein Gesagten. — Übungen.
Aufsuchen des	kleinsten	gemeinschaftlichen	Vielfachen.
§ 91. Suche	das kleinste	gemeinschaftliche Nielfache	von:
1. a) 3 und 0;	7 und ‘21;	4 und 32 u. s. f.
I.) 3, 6, 12;	7, 14, 28, 56 it. s. f.
Ist eine der gegebenen Zahlen durch jede der übrigen theilbar, so ist sie das kleinste gemeinschaftliche Vielfache aller dieser Zahlen. — Eignet sich insbesondere fürs Kopfrechnen.
2. a)	3 und 4; 5 und 8; 9 und 10	it. s.	f.
b)	3, 4, 5; 7, 9, 10 it. s. f.
Hat keine der gegebenen Zahlen mit einer der übrigen ein gemeinschaftliches Maß, so ist das Product aller dieser Zahlen ihr kleinstes gemeinschaftliches Vielfache. — Eignet sich fürs Kopfrechnen.
3. 3, 5, 6; 3, 5, 9, 10; 2, 3, 11, 22; 3, 4, 5, 8 tt. s. f.
Eine Zahl, die in einer der übrigen Zahlen ohne Rest
enthalten ist, kann bei der Bestimmung des kleinsten gemein schaftlichen Vielfachen außeracht gelassen werden. — Eignet sich fürs Kopfrechnen.
4. a) 4 und 6; 8 und 12; 9 und 15 n. s. f. — In diesem Falle haben die gegebenen Zahlen ein gemeinschaftliches Maß, und das Verfahren ergibt sich ans § 80. Dieses Verfahren ist zunächst fürs Kopf rechen sehr geeignet. Aber auch fürs schriftliche ist es nicht bloß zu empfehlen, sondern manchesmal auch nvthwendig. Z. B.: Suche das kleinste gemeinschaftliche Vielfache der Zahlen 713, 1457.
1457 713 j 2	713 : 31 = 23	1457	X	23
31	93	23	2914
437 l
Das kleinste gemeinschaftliche Vielfache — 33511
Man findet aber auch das kleinste gemeinschaftliche Vielfache zweier solcher Zahlen, wenn man jede durch das größte gemeinschaftliche Maß
dividiert und die erhaltenen Quotienten miteinander und mit dem gemeinschaftlichen Maß mnltipliciert. Also für die Zahlen 4 nnd 6:
4:2 = 2,	6:2	=	3	2	X	3 X 2 = 12.
Dieses Verfahren eignet sich insbesondere fürs schriftliche.
h) 4, 6, 8; 6, 8, 10; 4, 6, 10, 14 n. f. f. — Schriftliches
1	ß	10	11 2
2	3	5	7 1
Das kleinste gemeinschaftliche Vielfache =2X3X5X7X2= 420.
5.) 2, 3, 5, 6, 8, 20, 21. — Das Verfahren ergibt sich ans den früheren Fällen. Jede Zahl, die in einer ändern ohne Rest enthalten ist, wird außeracht gelassen (gestrichen). Die gemeinschaftlichen Maße zweier oder mehrerer Zahlen, welche in der Regel Primzahlen sein sollen, werden heransgehoben nnd die betreffenden Zahlen dadurch dividiert it. s. f., wie ans dein durchgeführten Beispiele leicht zu erkennen ist. — In diesem Falle eignet sich besser das schriftliche Rechnen.
2, 3, S, (	3, 8,	20,	21 2
	}r 4;	10,	21 2
	2,	5,	21
das kleinste gemeinschaftliche Vielfache = 2X5X21 X2X 2 = 840.
Übungen.
§ 92. Die Bruchrechnung auf der vorbereitenden Stufe ist größten-tHeils Kopfrechnung. Das meiste jedoch, was man dort über das Brnchrechnen gesagt hat, lässt sich mich auf dieser Stufe verwerten, nnd es sind fürs schriftliche Rechnen nur noch wenige Bemerkungen zu dein Früheren Hinzuzufügen.
llmuanbliutg »ntchtkr L nicht in gingt ober gnnifchtr 3nl)lnt tntb nmgthrljrt.
§ 93. Verwandle 4,j‘ in eine gemischte Zahl.
Mündlich: 1. Ganzes hat so oft ® in oder 9 in 43 enthalten ist, so viele Ganze bekommt man. 9 ist in 43 4 mal enthalten; l bleiben übrig. " — 4
Ans diesem nnd mehreren anderen Beispielen ergibt sich das schriftliche Verfahren, wobei nur der Zähler durch den Renner zu dividieren ist.
V = 43 : 9 = 4 |.
Verwandle 0, in einen »»echten Bruch.
Mündlich: 1 Ganzes hat 4 Viertel, 6 Ganze sind also <i mal 4 Viertel = 24 Viertel, und f dazu sind 27 Viertel; folglich 6£ —
Schriftlich: Aus dein vorangehenden Beispiele und mehreren ändern ergibt sich, dass man eine gemischte Zahl i» einen unechten Bruch ver-wandelt, wenn inan die ganze Zahl mit dein Nenner inultipliciert, dazu den Zähler addiert und das Erhaltene als den neuen Zähler nimmt; der Nenner bleibt unverändert.
Verwandle 46} 1 in einen unechten Bruch.
46 X 12
92	—	sbji
12	I2
552 + 11
563	Übungen.
Erweitern der Brüche.
§ 94. Ergibt sich aus dem Vorangehenden. — Übungen.
Abkürzen der Brüche.
8 95. Ergibt sich auch ans dein Vorangehenden. Höchstens iväre noch zu bemerken, dass ein Bruch gleich ans die einfachste Fori» gebracht wird, wenn man Zähler und Nenner durch ihr größtes gemeinschaftliches Mich dividiert. Zeitweise ist dieses Verfahren sogar nothwendig. Z. B.: Kürze den Bruch Ty/T ab.
1457	713	2	713:31	= 23	1457:31	= 47 TVA = If
31	93	23	93	217
Übungen.
Gleichnamig machen der Brüche.
§ 96. Zuerst wiederhole inan das, was inan an der vorbereitenden Stufe dnrchgenommen hat. Auf der Oberstufe bleibt das Verfahren ähnlich, inan hat ja die Brüche nur ans den kleinsten gemeinschaftlichen Nenner, d. i. ans den Nenner, der das kleinste gemeinschaftliche Vielfache der gegebenen Nenner ist, zu erweitern. Z.B.: Mache die Brüche L, I/ b rt, U gleichnamig.
105	—	
2, *, «, 9,	12,	16
9,	6,	8
9,		4
Der kleinste gemeinschaftliche Nenner — 9X4X2X2= 144.
Nun untersucht man, wie oft jeder Nenner im neuen Nenner enthalten ist, damit man die Erweiterungszahl findet, mit der man die Zähler nmltiplieirt. Obige Brüche gehen dann über in:
Übungen.
7 2	J_0 8^	1£0	l_2.ü	_9_9_
144'	14 4'	144'	144' 144' 144'
Vit vier Grundrechnungsarten mit gemeinen Krüchen überhaupt.
£ 97. Da das Rechnen mit Brüchen eigentlich ein Rechnen mit benannten ganzen Zahlen ist, so ist an dieser Stufe zu dem bei der Bor-bercitnngsstufe Gesagten nur wenig hinzuzufügen. Es wird das meiste auch nur durch Beispiele angedcutet, und hauptsächlich darum, »in die Form ins rechte Licht zu stellen.
Addition und Subtraction der Brüche.
8 98. Diese Operationen kann man nur mit gleichnamigen Brüchen
vornehmen. Übungen im Kopfe; daran schließe		man das schriftliche
Rechnen innig an.		
Schriftlich.		
	30	
Addiere: ^ ,	15	15
2, 3, 6, 10 12 14 -	6	12
3, 5 1 17 1	5	25
3 X 5 X 2 = 30 38tö	3	21
7413 '^30		cm” II
Der Nenner 30 wird ober den Strich gesetzt, damit man ihn		
nicht wiederholt zu schreiben braucht.		
Wie viel ist: a) 12} — 3®-; b) 9 -	-61;	c) 426/2 - 213}?
8		24
a) 12} 17 b) 9} c) 426/-		2 ; 10 + 24 = 34
3® 2 6 -61 -213}		3 21 21
91
8
Übungen.
2|
212M
13
Multiplikation der Brüche.
8 99. Multiplikation eines Bruches mit einer ganzen Zahl. Bergleiche 8 81, 82. Übungen im Kopfe; daran lvird das schriftliche Rechnen angeschlossen.
Schriftlich.
X12 =	2 2 8 	 1 ()1 8 2 1 2 1	--- 10«,	
241 X 33	ober:	241= ‘F	
1X33 =	zc CM II	‘1° X 33 =	597
24 X 63			597
72			6567
72			8
792			
281			
8201			
2.) Multiplikation einer Zahl mit einem Bruch. Die Bedeutung einer solchen Multiplikation bringt man am besten an angewandten Beispielen bei. 1 kg einer Ware	kostet 96 fr.	Um zu ersehen,	wie	viel
2, 3, 4 hg u. s. w. kosten, muss	inan 96 mit	2, 3, 4 n. s. f.	mnltipli-
eieren, lvas man durch den Schluss erkennt. Um also zu berechnen, wie viel f (£, £ ...) leg kostet, muss man 96 mit (|, i .. .) multiplieieren. Was nun 96 mit | Q-, 1. ..) multiplicieren heißt, erkennt man durch	die wirkliche Lösung	der Aufgabe.	£ kg kostet	die	Hälfte
von 96 kr.	Es	ist also:
96 X i = 96 : 2 = 48 kr.
Eine Zahl mit | Q , \ ...) multiplicieren, heißt so viel, als diese Zahl durch 2 (3, 4 . ..) dividieren.
Um zu berechnen, wie viel f kg n. s.	>v. kosten, muss	man	96
mit |, n. s. f. multiplicieren.	Was dies heißt, erfahren wir	durch	die
wirkliche Lösung	der Aufgabe.	1	kg	kostet den dritten Theil	von	96 kr.,
d. i. 32 kr.,	und	f kg 2 mal	32	kr.,	d. i. 64 kr.	Eine Zahl mit |	multi-
pliciereu heißt den dritte» Theil der Zahl 2 mal nehmen.
Nach einigen derartigen Beispielen sehen die Schüler ein, dass eine Zahl mit einem Bruche multipliciert wird, indem man sie d u r ch sein e n N e n n e r d i v i d i e r t und mit sei n e m Zähler multipliciert.
3.) Multiplikation eines Bruches mit einem Bruche. Dies tvird an mehreren Beispielen folgendermaßen erkannt. Es ist z. 8. | X J zu mnltiplicieren. f mnltipliciert man mit f, wenn man den neunten Theil von f 7 mal nimmt. 1: 9 = ff, ff X 7 = ff; also ift f X l = ff. Vergleicht man dieses Product mit den beiden gegebenen Brüchen, so sieht man, dass der Zähler des ersten mit dem Zähler des zweiten, der Nenner des ersten mit den: Nenner des zweiten Bruches mnltipliciert wurde und das erste Product als Zähler, das zweite Product als Nenner des Resultates erscheint.
Ein Bruch wird daher mit einem Bruche mnltipliciert, indem man Zähler mit Zähler, Nenner mit Nenner multi-pliciert.
Als spezieller Fall werde durch nachstehendes Beispiel angedeutet, woraus man ein kürzeres Verfahren erkennt.
4	1
48	V	3«	_	***	X	»S	_
175	A	36	—	m	X	3ß	~
5	3
Solche Abkürzungen stellen sich besonders vortheilhaft heraus, wenn mehr als zwei Brüche miteinander zu mnltipliciercn sind. Z.B.:
5 y 7 y _L2 =	£	x	7	X 4L x 2	_2
s A 16 A 3 5 g X 10 x M X 3 X 5	16
oder	2
1	12
X x   — 2
(5 W 30 3	5
4.) Multiplikation einer gemischten Zahl mit einem Bruch oder einer gemischte» Zahl und umgekehrt. — Die gemischten Zahlen werden in unechte Brüche verwandelt und die Multiplikation wie bekannt aus geführt. — Übungen.
Division der Brüche.
S 100.	1.) Division eines Bruches durch eine ganze Zahl.
Vergl. § 81, 82. — Übungen im Kopfe; daran tvird das schriftliche Rechnen innig angeschlosscn.
Schriftlich: Wie viel ist 53" : 16? 53" : 16
H1 : 16 - Hl = 427 : 128 == 3TY„
43
oder:	53|	:	16	—	3^Y^
• 16 = -4-"-8 * 12 8*
2.) Division einer Zahl (eines Bruches) durch einen Bruch.
Jin Sinne des Messens ist die Division leicht verständlich. Dividend und Divisor müssen, wenn sie nicht schon gleichnamige Brüche sind, gleichnamig gemacht werden. Z. B.: a) Wie oft ist " in 9 enthalten:
Mündliche Lösung: 1 Ganzes — 4 Viertel, 9 Ganze — 9 X 4 V. — — 36 B.; 3 B. in 36 B. ist so oft als 3 in 36, d. i. 12 mal enthalte» ; 9 : I = 12.
Schriftlich:	9 : £ = y : £ = 36 : 3 = 12.
h) Wie oft ist 3£ in 12£J„ enthalten?
Mündlich: 34 sind " oder ££ und 12 ru0 — 'T209.
34 ist in 12/jf so oft enthalten, als f “ in V2“ oder 38 in 129, alsv mal; 12/„ : 3| = 3 ff.
Schriftlich: 12t«l: 3| =	=	uy>:= 129: 38 = 3'".
Schwieriger ist die Auffassung der Division durch einen Bruch im Sinne des Theilens. Es sei z. B. 24 durch } zu theile».
Die Zahl "- ist 4 mal kleiner als 3, daher der £ Theil von 24 4 mal großer als der dritte Theil. Der dritte Theil von 24 ist 8, 4 mal 8 ist 32; der £ Theil von 28 ist 32.
Schriftlich dargestellt:
24 ' f = 824x 1 = 32‘ Oder auch:	24	:	£	=	=	32.
Aus mehreren solchen Aufgaben erkennt man, dass eine Zahl oder
auch ein Bruch durch einen Bruch getheilt wird, wenn man den Dividend
durch den Zähler des Divisors theilt und das Erhaltene mit dem Nen-
ner des Divisors mnltipliciert oder umgekehrt.
Es sei noch : T"T ansznführen.
s: T"T = Y : 3 — £J. Dies erhält man auch ans 4 X V — fl>
woraus aus mehreren anderen ähnlichen Beispielen die mechanische Regel
erkannt wird:
Eine Zahl (ein Bruch) wird durch einen Bruch dividiert, wenn man den Dividend mit dem umgekehrten Divisor mul-tipliciert.
Kommt int Dividend oder im Divisor oder in beiden eine gemischte Zahl, so verwandelt man sie in unechte Brüche und führt dann, wie bekannt, die Division ans. — Übungen.
B. Decimalbrüche.
Ai<sfcissirn«z der Decirncrkl>rü<He.
§ 101. Mocnik schreibt: «Für die Decimalbrüche und ihre Behandlung gibt es eine zweifache Anffassnngsweise. Man kann die Deei malbrüche als eine Erweiterung des Zehnersystems darstelle» und dann mit ihnen nach den gleichen Gesetzen wie mit ganzen Zahlen rechnen; man kann aber die Decimalbrüche auch als eine besondere Art der gemeinen Brüche betrachten und die für diese entwickelten Gesetze ans das Rechnen mit Decimalbrüche» anwende». Wir gehen hier von der ersten Darstellnngsweise ans; wir müssen dieselbe schon ans dem Grunde wähle», weil das Rechnen mit gemeinen Brüchen erst später vorgenommen werben soll; wir wählen sie aber auch darum, weil sie natürlicher ist und den innigen Zusammenhang zwischen den ganzen und Decimalzahlen schärfer hervortreten lässt, als dies bei der Zugrundelegung der gemeinen Brüche möglich wäre. Indem die Schüler die Decinialrechnnng ans dein Rechnen mit ganzen Zahlen ableiten, lernen sie nicht nur einen neuen wichtigen Gegenstand kennen, sondern erhalten zugleich eine treffliche Gelegenheit, die Rechenübnngen mit ganzen Zahlen nutzbringend zu wiederholen.»
Hentschel beginnt die Einführung in die Decimalbrüche nicht mit einer Betrachtung des Baues unseres Zehnersystems, indem man etwa erkennen ließe: «Der Zehner ist das lOfache vom Einer, der Hunderter das lOfache vom Zehner re.; ferner: Jede Stelle nach links hat einen 10 mal so großen, jede Stelle nach rechts nur den zehnten Thcil des Wertes von der vorhergehenden, und endlich: Wie ans dem Hunderter der Zehner hervorgeht, ans diesem der Einer, immer durch Theilung mit 10, so aus dem Einer das Zehntel, ans dem Zehntel das Hundertel re. re. Das ist wissenschaftlich und abstract, aber nicht elementar, concret und anschaulich, wie es der Elementar-
schülcr verlangt! Unser Verfahren ist das: Wie wir früher die Begriffe Einer, Zehner, Hunderter und Tausender nebst den ersten Rechenfertigkeiten auf Grund der Veranschaulichung (russische Rechenmaschine, Hundertertafel re.) gewonnen habe», so werden auch hier die Zehntel, Hundertstel und Tausendstel (auf welche Stücke wir uns auf dieser Stufe [5.] beschränken), sowie das erste Rechnen mit denselben v e r a» -schaitlicht, und zwar wählen wir dazu das Meter und seine Th eile. Späterhin, vorzugsweise im zweiten Cnrsus der Decimalbruch-rechnung auf Stufe 7, werden wir auch versuchen, die Decimalbrüche dem großen Zahlengebände einzufügen, nur nicht jetzt am Anfänge schon.»
Wann Bat man dav. 'Sled?nett mit Dccirnal5vt'td)c11
§ 102. Diesbezüglich sind die Pädagoge» nicht einig. Mocnik behandelt die Decimalbrüche bis zu den Tausendsteln schon im Raume 1 —1000, dasselbe thut Nagel, Lüdemann u. s. w. — Knilling verlegt sie ins vierte Schuljahr (nach dem unbegrenzten Zahlenraume). Hentschel, der auch >vie Mocnik zwei Cnrse unterscheidet, beginnt das Rechnen mit denselben (erster Cnrs) ans der fünften Stufe (fünftes Schuljahr).
Welsandl'ung, Lesen und Schreiben der Decimalbrüche.
§ 10,3. Die im Folgenden durch Beispiele angedenteten Stufen sind nach Hentschel und Knilling zusaininengestellt. Veranschanlichungsniittel ist das Meter mit seiner Eintheilung und noch besser der metrische Scheibchenrechenapparat. Es sollen aber auch die übrigen decimalen Maße damit in Verbindung gebracht werden, tun die decimale Schreibweise zugleich zu erläutern. (Vergl. § 04.)
Erste Übung: Das Meter und das Decimeter. (Werden ans der Wandtafel oder auf einer Papptafel anfgezeichnet).
anzufangcn?
Zehntel, Hundertel, Tnusendtrt,
1.
1 dm — -j-L jn
2 dm — t20 m
bis
1	dm
2	dm
10 dm — iS oder 1 m
10 dm
2 m 3 dm
l —	2tV	m
l —	2x2o	m
2 —	0_3	m
bis		
i —	2-9-^ 1 0	m
2.
3	fl.	1	Zehner	=	3TV	fl.
3	fl.	2	Zehner	—	3T2lT	fl.
3	fl.	3	Zehner	=	3*	fl.
bis
3 fl. 9 Zehner = 8* fl.
Ähnliche Übungen kann man zunächst auf dem Decimeter und den Centimeter», die man eigens auf die Tafel zeichnet, und dann auf den übrigen decimalen Masten vornehmen.
3.
a) Schreibet die obigen Resultate in 2. in Decimalbrnchform! 2tV m = 2 1 in it. s. io.
I>) Schreibet die Resultate der Reihen 1. in Decimalbrnchform! 1 dm — 0 1 m it. s. w., und Olm = 1 dm n. s. w. v) Schreibet in Decimalbruchform:
a) 14 in 5 dm, 8 dm 7 cm, 4 cm 5 mm u. s. w. mit den übrigen decimalen Masten.
ß) 8 dm — - in, 4 cm — - dm, 9 mm — • cm, fi dl = ■ l n. s. f. Zweite Übung. Das Meter, Decimeter und Centimeter. (Wird auch durch eine Zeichnung erläutert.)
1 cm —
2 cm —
3 cm —
u. s. IV.
 3______
i " 5
m
Tbr m = 1 rm TÖ7F m = 2 cm tIö m — 3
U. s. IV.
5 m 1 cm — m
5 m 2 cm — 5t|q m
II. f. IV.
8 fl. 1 kr. = 8t-Jö fl. 8 fl. 2 kr. = 8tU fl-
11. s. IV.
Ähnliche Übungen mit den übrigen decimalen Masten.
3.
Schreibe in Decimalbrnchform:
a)	Die Reihen in 1. und in 2. — T^T m sind keine ganzen Meter, kein Zehntelmeter und 1 Hnndertelmeter, also 0 01 u. s. w.—
rVo m sind feine ganzen Meter und 11 Hnndertelmeter ober keine ganzen Meter, 1 Zehntelnieter imb 1 Hnnbertelnieter — wirb an der Zeichnung (Apparat) gezeigt — also Oll m.
b) 4 m 3 dm — • m, 7 m 3 dm 5 cm = • in, 6 dm 3 cm — — - m, 56 cm = - m, 27 m 41 cm — - m.
Hub ähnliche Beispiele mit den übrigen decimalen Maßen.
Lies: 0 07 m, 0 35 m, 46 - 28 m, 12 05 m.
a) Als Decimalbrüche. Z. B.: 46 • 28 tn — 46 ganze, 28 Hnnbertelnieter ober, was neben der ersten Lesart zn empfehlen ist, 46 ganze, 2 Zehntel-, 8 Hnndertelmeter.
fl) Als mehrnamige Zahlen. Z.B.: 46 ■ 28 m — 46 m 28 cm ober 46 nt 2 dm 8 cm.
Ähnliche Übungen mit den übrigen decimalen Maßen.
4.
Verwandeln der Decimeter in Centimeter, der Zehntel in Hundertel durch Anhängung einer Null (Erweitern der Decimalbrüche).
a) 0 7 m, 2 3	m, 12'5 m n. s. f.	sind wie	viele	ganze	und
hundertel Meter? —	Losung: 0-7 m —	0 70 m n	s. f.
I>) 18 3, 97, 45' 1 it. s. w. sind wie viele Ganze und Hundertel?
c) Mache gleichnamig: 7-3 m, 12 15 in, 24• 0(5 m n. s. w.
Ähnliche Übungen mit den übrigen decimalen Maßen.
Verwandeln der Centimeter in Decimeter, der Hundertel in
Zehntel durch Streichung der letzten Ziffer.
a) 7 40 m, 0'9l m it. ß w. sind wie viel ganze und zehntel Meter? — Losung: 0 91 m = 0 ■ 9 m.
b) 6 50, 0 42	it. s. io. sind wie viel	Ganze und	wie viel	Zehntel?
c) Mache gleichnamig, indem du die Hnndertelmeter in Zehntelmeter verwandelst: 45 ■ 3 m, 28 60 m, 31 81 m!
•1) Mache ebenfalls gleichnamig: 54 50, 0 2, 33 70, 12 32!
Ähnliche Übungen mit den übrigen decimalen Maßen.
Dritte Übung. Das Meter, Decimeter, Centimeter und Millimeter. — Die Tausendtel. Die weitere Abstufung dieser Übung ergibt sieh ans dem Vorangehenden.
Erklärungen. Die behandelten Brüche heißen Decimalbrüche. Jeder Dreimalbruch besteht ans zwei Theilen, die durch einen Punkt, den Deei mal punkt, voneinander getrennt sind; der Theil links
vom Decimalpunkte enthält die Ganzen, der Theil rechts die Bruch-theile. Die Ziffern rechts vom Decimalpnnkte heißen Decimalen; die erste Decimale rechts vom Punkte gibt die Zehntel, die zweite die Hundertel und die dritte die Tausendtel an. Leere Decimalstellen werden durch Nullen bezeichnet. Nach Obigem liest mau die Decimalbrüche auf zweierlei Art:
a) Man spricht jede Decimale einzeln aus; z.B.: 36-27 = 36 Ganze 2 Zehntel 7 Hundertel.
b) Mau fasst die Decimalen alle zusammen (aufgelöst zu den kleinsten vorhandenen Theilen); z.B.: 36 27 — 36Ganze 27Hundertel.
Wie man aus dem Beispiele
3 • 24 m = 3 m 24 cm — 324 cm —	1,1
und aus ähnlichen erkennt, gibt es noch eine dritte Lesart der Decimalbrüche. Mau fasst dabei den Decimalbrnch (stimmt de» Ganzen) als eine ganze Zahl auf, die man als Zähler eines Bruches nimmt, dessen Nenner durch die niederste Decimalstelle bestimmt ist. Z. B. 26-3 — 263 Zehntel, 0-27 — 27 Hundertel, 4-502 — 4502 Tausendtel.
Uolinäiibigr Einführung in dir Decimalbrüche.
§ 104. «Im ersten Cursus* der Decimalbruchrechnung führten wir durch das Meter und dessen $ heile ein, und das Gebiet, welches mir betraten, war ein eng begrenztes; jetzt soll der Schüler, dessen geistige Fassungskraft mittlerweile noch erstarkte, weiter und näher mit den Decimalbrücheu bekannt gemacht werden; wir knüpfen darum an bei unserem dekadischen Zahlensystem; denn nur durch dieses ist das Wesen der Decimalbrüche recht zu erkennen.» (Hentschel.)
Die Behandlung entnehmen wir wörtlich ans Mocnik.
«Der Lehrer schreibe eine Zahl au, welche gleiche Ziffern enthält, z. B. 33333, und entwickle daran mit den Schülern folgende Gesetze:
Die Ziffer 3 in der ersten Stelle rechts bedeutet 3 Einer. Die 3 in der zweiten Stelle bedeutet 3 Zehner, also 10 mal 3 Einer. Die 3 in der dritten Stelle bedeutet 3 Hunderte, also 10 mal
3 Zehner, it. st w. Eine Ziffer bedeutet also an jeder folgenden Stelle gegen die Linke zehnmal so viel als an der nächstvorhergehenden rechts.
Anders verhält es sich, wenn wir von der Linken zur Rechten fortschreiten. Die Ziffer 3 in der fünften Stelle links bedeutet 3 Zehn
* Hentschel unterscheidet für die Decimalbruchrechnung eine» ersten und einen zweiten Kursus. Im ersten Cursns komme» nur Decimalbrüche mit 1 — 3, höchstens
4 Decimalstellen.
U a ii i a v, 'Bit'lljobif bc« Recheiuinterrichtcs.	s
tausende. Die 3 in der vierten Stelle bedeutet 3 Tausende, also nur den zehnten Theil von 3 Zehntausenden. Die 3 in der dritten Stelle gilt 3 Hunderte, also nur de» zehnten Theil von 3 Tausenden. Ebenso bedeutet die 3 in der zweiten Stelle beit zehnten Theil von der 3 in der dritten Stelle, d. i. 3 Z e h n e r, und die 3 in der ersten Stelle den zehnten Theil von 3 Zehnern, nämlich 3 E i u e r. Eine Ziffer bedeutet daher an jeder folgenden Stelle gegen die Rechte nur den zehnten Theil von dem, was sie an der nächstvorhergehenden Stelle links gilt.
Schreiten wir von den Einern aufwärts zu den Zehnern, Hunderten u. s. w., so können wir die Zifferreihe ohne Ende fortsetzen. Gehen wir aber z. B. von den Zehntausenden abwärts zu de» Tausenden, Hunderten.... zurück, so glaubten wir bisher bei den Einer», welche den ersten Platz rechts einnahmen, auf der niedrigsten Stelle angelangt z» sein. Und doch können wir noch tiefer unter die Einer hinabsteigen. Wenn wir der Zahl 33333 rechts noch eine dritte hinzufügen, was müsste diese Ziffer nach dein Gesetze unseres Zehnersystems bedeuten? Wie viel ist der zehnte Theil von einem Einer, d. i. von einem Ganzen? Der zehnte Theil von 3 Einern sind also 3 Zehntel, Da wir aber bis jetzt gewohnt waren, die erste Ziffer rechts immer als Einer anzusehen, so müssen wir, wenn die Zifferreihe unter die Einer hinab noch weiter rechts fortgesetzt wird, durch ein bestimmtes Zeichen andeuten, wo sich die Stelle der Einer befindet. Man hat dazu einen Punkt gewählt, welchen man nach den Einern rechts oben setzt. Leset nun die Zahl 33333 • 3. Würde man dieser Zahl rechts noch mehrere Ziffern anhängen, z. B. 33333' 33333, so würde die zweite 3 nach dem Punkte den zehnten Theil von 3 Zehnteln bedeuten. Wie viel ist der zehnte Theil von einem Zehntel? Die 3 an der zweiten Stelle nach dem Punkte bedeutet also 3 Hundertel. Wie viel ist der zehnte Theil von einem Hundertel? An der dritten Stelle nach dem Punkte bedeutet also eine Ziffer so viele Taufendtel, als sie für sich Einer anzeigt. Ebenso kommen an der vierten Stelle nach dem Punkte Zehn tansendtel, an der fünften Hnnderttausendtcl n. s. w. vor.
Sowie man also die Zahlenreihe von den Einern an aufwärts (gegen die Linke) bis ins Unendliche fortführen kann, so lässt sich die selbe von den Einern an auch abwärts (gegen die Rechte) bis ins Unendliche sortbilden.
Da Zehntel, Hundertel, Tausendtel.... nicht ganze Einheiten vorstelle», sondern mir Theile, die man erhält, wenn man das Ganze uni) seine aufeinander folgenden niedrigeren Theile immer wieder in zehn gleiche Theile theilt, so nennt man dieselben Zehntheilchen oder Decimalen, und eine Zahl, worin Decimalen Vorkommen, eine D ec i mal zahl oder einen Decimalbrnch.
Der Punkt, welcher zwischen der Stelle der Einer und jener der Zehntel steht, heißt der Deci malpunkt; er bildet die Scheidegrenze zwischen den Ganzen und den Decimalen; links vor demselben befinden sich die Ganzen, rechts nach demselben die Decimalen; und zwar bedeutet die erste Decimale nach dem Punkte Zehntel, die zweite Hundertel n. f. w. Die Bedeutung der obigen Zahl 33333 • 33333 lässt sich daher durch folgende Darstellung veranschaulichen:
3	3	3	3	3	.	3	3
Cp	W	<3*	ix>
^	"3^	”
S-	«'	2T	§	"
o	3	3	rt
ČO «e> #	3
3	3	3
H	Co	«Ö»
		SS SS er
s er	§	3.
	3	§
	£	s
Die Decimalzahlen sind demnach eine Erweiterung des dekadischen Zahlensystems...»
Daran würde sich die decimale Schreibweise der Maße (int weitesten Sinne genommen) sehr gut anschließen. Zuerst sind dabei jene Übungen zu nehmen, bei welchen das Frühere wiederholt wird, also höchstens Tausendtel auf treten; darauf werden diese Übungen über die Tausendtel erweitert.
Die Aufeinanderfolge der Übungen ergibt sich ans den Paragraphen, in denen die decimale Schreibweise, das Lesen, Schreiben der Decimalbrüche, das Erweitern, Abkürzen, Gleichnamigmachen derselben geübt wird.
Urrlinbmmg brr Form eines tlrrimnlbrueher. ohne Urränberung seines wertes.
§ 105. 1.) Erweitern eines Decimalbrnches. Von selbst ist ersichtlich, dass der Wert eines Decimalbrnches sich nicht verändert, wenn man ihm rechts eine oder zwei oder mehrere Nullen anhängt, ihn also erweitert. Es ist z. B.:
0-34 — 0-340 — 0-3400 — 0-34000 it. s. f.
Ebenso kann man einem Decimalbrnche links so viele Nullen zusetzen, als mcm will, z. B. 4 37 — 04 37 — 004 37 n. s. w.
2.) Abkürzen der Deeiinalbrüche. Ferner ist von selbst klar, dass inan die Nullen rechts vom Deeiinalbrüche ohne Veränderung des Wertes desselben ganz einfach weglassen kan». Z. B.:
0 50 = 0-5, 46 6700 = 46■ 67 it. s. w.
Dieses Abkürzen dehnt man sogar dahin ans, dass man bedeutende Decimalen, wenn sie für das praktische Rechnen keine Bedeutung haben, weglässt. Z. B.: Statt 4 • 6237 kann man nehmen 4 ■ 62 oder 4 ■ 624. Folgt nämlich auf die letzte beiznbehaltende Decimale eine Decimale, die gleich 5 oder größer ist als 5, so wird sie nm 1 großer genommen, oder wie man sagt: man nimmt 1 zur Correctnr, weil dadurch der gemachte Fehler kleiner wird, wie man sich ans folgender Skizze überzeugt:
4-624	4-6237
4-6237	4 623
0 • 0003	0 - 0007 Der Fehler 0 - 0003 < 0 • 0007.
Übungen im Abkürzen der Deeiinalbrüche. — Hieran schließen sehr-gut die Fragen an, wie: Auf wie viele Decimalen hat man zu rechne», wenn das Resultat a) Gulden, b) Kilogramm beim Wägen des Fleisches,
c)	Ar beim Feldmessen it. s. tu. bedeutet?
Veränderung dos Morles oinos Vorinialbruchos durch Riirimi dos Vrriiiinlpunkles.
§ 106. Durch Vergleichung der Deeimalzahlen
327 - 4628, 3274 • 628, 32746 ■ 28 it. f. tu. und umgekehrt
327462-8, 32746 28, 3274-628 ».s.w.
erkennt man, dass durch Rücken des Deeimalpunktes mit eine Stelle nach rechts, die Einer zit Zehnern, die Zehner zu Hundertern it. s. tu., die Zehntel zu Einern, die Hundertel zn Zehntel» it. s. tu. werden, d. H.: jede Ziffer bedeutet jetzt 10 mal so viel als vorher, oder die Deeimalzahl ist 10 mal so groß geworden. Ähnliches erkennt man, wenn man den Decimalpunkt um 2, 3 Stellen u. s. f. nach rechts rückt. Daraus folgt:
Ei»	Decimalbruch	wird mit 10,	100, 1000... »,ulti-
pliciert,	wen» man den	Decimalpunkt	um 1, 2, 3 .. . Stellen
nach rechts rückt.
Ähnlich erkennt man umgekehrt:
Ein Decimalbruch wird durch 10, 100, 1000 .... dividiert, wenu man den Decimalpunkt um 1, 2, 3... Stellen nach links rückt. — Übungsbeispiele.
Specielle Fälle sollen durch nachstehende Beispiele angedeutet werden: 32• 5 X 1000 = 32500; 4 7 : 100 — 0'047.
Verwandlung der gemeinen Vrnche in peeiinnlbrnchr und umgrhrljrt.
Verwandlung der gemeinen Brüche in Decimalbrüche.
§ 107. Dabei sind zwei Falle zu unterscheiden:
1.) Der Nenner des	Decimalbrnches	ist gegeben. Mache z. B.
I,	I u. s.	w. zu Zehnteln, 1 zu Hunderteln,	f zu Tausendteln u. s. w.
Das Verfahren ist sehr einfach.
Ein Ganzes hat 10 Zehntel, 1 also 5 Zehntel.
i — 0 5.
1	hat	2	Zehntel, j	2 mal 2 Zehntel, d.	i. 4	Zehntel,	f	3	mal
2 Zehntel,	d.	i. 6 Zehntel	u. s. w.
1 = 0-2,	1 = 0-4, 1	= 0-6	n. s. tu.
1	hat	den vierten Thcil von 100	Hunderteln,	d. i.	25 Hundertel.
1 = 0-25.
1 hat 3 mal 25 Hundertel, d. i. 75 Hundertel.
1 = 0-75.
1 hat den achten Theil von 1000 Tausendteln, d. i. 125 Tausendtel.
1 = 0125.
1 z. B. hat 3 mal 125 Tausendtel, d. i. 375 Tausendtel.
* = 0-375.
Dieses Verwandeln ist offenbar ein Erweitern.
2.) Der Nenner des Decimalbrnches ist nicht gegeben. — Jeden Bruch kann man als eine angezeigte Division anffassen. Dies ist schon von früher bekannt, worauf man jedoch nochmals zurückgehen kann. Man sagt z. B.: Hat man 3 durch 8 zu theilen, so braucht man nur
jede Einheit iti 8 gleiche Theile, d, i. in Achtel zu theilen. 8 Ganze geben dann 3 mal 8 Achtel, d. i. 24 Achtel. Der achte Theil von 24 Achteln ist gleich 3 Achteln oder 8:8 — f.
Um also eilten gemeinen Bruch in einen Decimalbruch zu verwandeln, dividiere inan den Zähler durch den Nenner, wobei inan die Ganzen in Zehntel, die Zehntel in Hundertel u. s. w. verwandelt, wenn ihre Zahl kleiner ist als der Divisor. Den Vorgang erschaut inan deutlicher ans dem folgenden Beispiele.
Theil von SO Zehnteln sind 3 Zehntel, 8 mal 3 Zehntel sind 24 Zehntel, bleiben	6 Zehntel oder 60	Hundertel.	Der achte	Theil von 60 Hunderteln	sind 7 Hundertel,	8 mal 7	Hundertel	sind 56 Hundertel,
bleiben	4 Hundertel oder 40 Tansendtel. Der achte	Theil von 40 Tau-
sendteln	sind 5 Tansendtel,	8 mal 5	Tansendtel	sind 40 Tansendtel,
es bleibt kein Rest.
-Man wende stets in der Auflösung die Frage des Theilens an; sie ist leichter verständlich als die des Enthaltenseins.» (Hentschel.)
Nach Močnik soll man noch einen unechten Bruch in einen Deei-malbrnch verwandeln. Z. B. "//•
W " 357 : 25 — 14-28 Das Verfahren ist das gleiche wie 107	im früheren Beispiele, nur dass man
70	auch Ganze bekommt, nach welchen
Es werde nun an mehreren Beispielen diese Verwandlung eingeübt, und zwar in kürzester Form. Verwandle z. B. den gemeinen Bruch in einen Decimalbruch!
= 3„ : 8 = 0 375 60 40
Der achte Theil von 3 Ganzen sind 0 Ganze; man schreibt in den Quotienten die 0 und setzt den Deeimalpunkt dazu. 3 Ganze sind gleich 30 Zehntel; der achte
200
man den Deeimalpunkt setzt.
ist 11; 16 in 140 ist 8 mal
U — 11.,: 16 — 0 6875
140
120
80
Man spricht: 16 in 11 ist 0 mal (die 0 wird angeschrieben und dazu der Deeimalpunkt gemacht); 16 in 110 ist 6 mal, 6 mal 6 ist 36 und 4 ist 40, 6 mal 1 ist 6 und 4 ist 10 und 1 enthalten it. f. tu.
Tic Übnligsbeispiele zerfallen in zwei Gruppen, und zwar in solche, bei denen die Division ohne Rest aufgeht, und in solche, bei denen die Division nicht ohne Rest aufgeht. Elfteres ist der Fall, wenn der Nenner mir aus de» Prinifactoren 2 und 5 besteht, letzteres, wenn in demselben andere Factoren Vorkommen. Im zweiten Falle kommen im Nenner entweder die Faetoren 2 und 5 nicht vor oder sie kommen neben anderen auch vor. Und auch darnach sind die Beispiele zu gruppieren. Man verwandle z. B. ”, T\ in Decimalbrüche. f = 50 : 7 = 0 • 714285 ....
10
30
20
60
40
ß Bon hier an wiederholt sich die Reihe der Deeimalen 714285 ins Unendliche.
T\= 50: 14 = 0-35714285 ....
80
100
20
60
40
120
80
10 Von hier wiederholt sich die Reihe der Decimalen 714285 ins Unendliche.
Die Reihe der Decimalen, die sich ins Unendliche wiederholt, heißt die Periode, und Decimalbrüche mit Perioden heißen periodische Decimalbrüche. Die Periode pflegt man durch Punkte über der ersten und letzten Decimale der Periode anzudeuten. Obige Beispiele würde man also schreiben:
f = 0-714285, tV = 0 • 35714285.
Im Decimalbrüche 15 237 ist 7 die Periode.
Periodische Decimalbrüche, in denen der Periode keine anderen Decimalen vorangehen, heißen rein periodische, und solche, in denen der Periode noch andere Decimalen vorangehen, heißen gemischt periodisch e.
Periodische Decimalbrüche haben für praktische Berechnungen keine besondere Bedeutung. Man drückt sie mir durch einige wenige Decimal-stellen ans, weil die weiter folgenden auf das Ergebnis der Rechnung keinen Einfluss haben. Hat z. B. der periodische Decinialbruch 3 • 37 die Benennung Gulden, so braucht inan nur die zwei ersten Decimalen, welche noch Kreuzer ausdrücken. 3 •37 fl. annähernd — 3-37 fl. oder 3 fl. 37 kr. 3 • 73 fl. sind wieder näher — 3 • 74 fl. oder 3 fl. 74 kr, weil in diesem Falle der Fehler kleiner ist.
Verwandlung der Decimalbrüche in gemeine Brüche.
§ 108. Ist der Decinialbruch ein geschlossener, also kein periodischer, so braucht man nur den nicht geschriebenen Nenner des Deciinalbruches aufzuschreiben; der erhaltene Bruch wird, wenn möglich, abgekürzt.
Z. B.: 0-375 = -8-7-B- = 8-	14-28 = 14-2JL	— 14-7-
v u 1 °   10 00   8)	  ^10 0
Übungsbeispiele.
Ist der Decimalbrnch periodisch, so hat man zu berücksichtigen, ob er rein oder gemischt periodisch ist.
Die Verwandlung soll an Beispielen gezeigt werden.
Man verwandle den Decimalbrnch 0 - 36 in einen gemeinen Bruch. Das	lOOfache	von	0-36	—	36	36
davon das	I fache	von	0-36	— 0	36
bleibt das	99fache	von	0 36	—	36
also ist das	1 fache	von	0-36	gleich	dem 99. Theil von 36 —
  ft ß   _4_
9 9	1 1*
Noch mehrere Beispiele, in denen die Zahl der Decimalen in der Periode wechselt.
Ein rein periodischer Decimalbrnch wird in einen gemeinen Bruch verwandelt, wenn man die Periode als Zähler nimmt und als Nenner eine Zahl, welche aus so viel Nennern besteht, als die Periode Decimalen hat.
Man verwandle den Decimalbrnch 0 572 in einen gemeinen Bruch: Das lOOOfache	des	Bruches	—	572	72
davon das	lOfache	dcs	Bruches	—	5	72
bleibt das	990fache	des	Bruches	—	572	—	5 —	567
also ist das 1 fache	des	Bruches	gleich dem 990. Theil von 567 =
  5 ß 7   _ß_»
0' 9 0	1 10*
Noch mehrere Beispiele, in denen die Zahl der Decimalen vor der Periode und in der Periode wechselt.
Ein gemischt periodischer Decimalbruch wird in einen gemeinen Bruch verwandelt, wenn man die Zahl ans den Decimalen vor der Periode von der Zahl ans den Decimalen vor und in der Periode subtrahiert und diesen Rest als Zähler nimmt; als Nenner aber eine Zahl, die aus so viel Nennern besteht, als die Periode Decimalen hat, und ans so vielen Nullen, als der Periode Decimalen vorangehen.
Einige, z. B. Knilling, berücksichtigen in diesem Falle die periodischen Decimalbrüche gar nicht. — Übungsbeispiele.
Addition der Decimalbriiche.
Nach Hcnlschel.
§ 109.	1.) Addiere:	0 453 + 7-206	+	1-086 +	0-235.
2.) Addiere:	4 ■ 352 + 0 ■ 87	-f	2 • 043 +	5 • 4.
Die Regel für die Addition wird gerade so wie für ganze Zahlen abgeleitet.	Wir schreiben	die Zahlen genau	unter einander, so dass
Einer unter Einer, Zehntel unter Zehntel u. s. w. zu stehen kommen.
1.)	6	453	2.	a) 4 352	2. b) 4	.352
Lösung zn 1.: 5 Tausendtel und 6 Tansendtel sind I I Tausendtel, und 6 Tausendtel sind 17 Tausendtel, und 3 Tausendtel sind 20 Tansendtel oder 2 Hundertel und 0 Tausendtel (0 Tausendtel werden unter die Taufende geschrieben und 2 Hundertel weiter gezählt). 2 Hundertel und 3 Hundertel sind 5 Hundertel u. s w., wie bei der Addition ganzer Zahlen, nur dass man hier den Decimalpnnkt zwischen die Zehntel und Einer zu setzen hat.
Kürzeres Verfahren vergl. Addition ganzer Zahlen.
Zur Aufgabe 2. Sollen Brüche addiert werden, so müssen sie gleichnamig sein oder gleichnamig gemacht werden, also gleichviel
Pie grdjitmtgooprrntimmi mit Ommnltiriichnt.
7*206
1-086
0-235
14-980
0-870 2 043 5-400 12-665
Dezimalstellen erhalten. Dies ist bei 2. n) geschehen. Doch wird der Schäler bald sehen, dass das Hinschreiben der Nullen zur Ergänzung fehlender Deciinalstellen entbehrlich ist. Es wird dann gerechnet wie bei 2. Ii). Doch ist hierbei ein Verrechnen leichter möglich, als wenn das Glcichnamigmachen geschehen ist. — Als Regel wird ausgesprochen:
Um Deciinalbrüche zu addieren, stellt man sie so untereinander, dass genau Decimalpunkt unter Decimalpnnkt kommt, und rechnet alsdann wie mit ganzen Zahlen. In der Summe setze man den Deeimalpunkt unter den Deeimalpunkt der Summanden. — Übungen.
Snbtraction der Deciinalbrüche.
§	110.	Ergibt sich	ans	der	Snbtraetivn	ganzer Zahlen	und	ans
dem im Vorhergehenden	über	die	Addition	der	Deciinalbrüche	Gesagten.
Es sollen hier mir die verschiedenen Fälle durch spceiclle Beispiele an-gedentet werden.
6-287	0-526	457
— 4 • 043	— 0 • 35	— 8-489
2-244	0-176	37-261
Die Snbtraetivn soll mittels des Wegzählens und auch mittels des Zuzählens ausgeführt werden. — Übungen.
Multiplication der Deciinalbriichc.
§111. 1.) Ein Decimalbruch ist mit 10, 100, 1000... zu multiplicieren.
Dieser Fall ist schon im § 106 besprochen und erledigt. — Übungen.
2.) Ein Decimalbruch ist mit einer ganzen Zahl zu mul-tiplicieren.
Berechne: 4 -325 X 36.
Die Regel kann abgeleitet werben wie für ganze Zahlen oder mich wie folgt, wofür nachstehende, ans Hentschel entnommene Vorübungen beherzigenswert sind.
3	30	30	300	300
X 2 X 2 X 20 x 20	X 200	.
i;	(SO	600	6000	60000	'
«An obigen Beispielen sollen die Schüler erkennen: Wenn man bei einer Multiplicationsanfgabe den einen Faetor verzehnfacht und den
ändern unverändert lasst, so wird das Product auch 10 mal so groß; nimmt man den einen Factor 10 mal so groß und den ändern auch 10 mal so groß, so wird das Product 10 X 10 — 100 mal so groß it. s. w.» (Hentschel.)
Nehmen wir im obigen Beispiele den Multiplieand 1000 mal, so wird das Product auch 1000 mal so groß sein als das richtige; wir müssen demnach, um das richtige Product zn bekomme», das erhaltene noch durch 1000 dividieren. Darnach führen wir aus:
4 325	4325
X 1000	X	36
4325	25950
12975
155700 : 1000 = 155 • 700
Ans diesem und anderen ähnlichen Beispielen erkennt man die Regel:
Ein Decimalbruch wird mit einer ganzen Zahl ntttlti-plicicrt, indem man ihn wie eine ganze Zahl damit multiplieiert und im Probude so viele Decimalstellen abschneidet, als ihrer der Multiplieand enthält. — Übungen.
Als speeiellen Fall nehme man jenen, in welchem der Mnltipli-eator eine reine Zehner-, Hnnderterzahl ». s. f. ist. Führe z. B. aus: 2-0436 X 300.
a) 2-0436	1.)	2-0436
_X _	300	X	300
613-0800	613	08
Man nimmt im Probude um so viel Decimalen weniger, als im Multiplicator Nullen Vorkommen. — Übungen.
3.) Eine ganze Zahl	ist mit	einem	Decimalbruch	zu
m ultiplicieren.
Multipliciere z. B. 428 X	0 - 32.
Man multipliciere 0 - 32 mit 100 u.	f. w. wie in 2. — Übungen.
4.) Ein Decimalbruch	ist mit	einem	Decimalbruch	zu
multipliciercn.
Multipliciere 4-32 X 13-082.
Mm nehme den Multiplikand 4-32 100 mal und den Multiplikator 1000 mal und führe dann mit den erhaltenen ganzen Zahlen die Mnltiplication ans; das erhaltene Product ist 100000 mal so groß als das richtige; um das richtige Product zu bekommen, muss man das erhaltene noch durch 100000 dividieren. Darnach führen wir aus:
4 32	13 082	432 X 13082
X 100 X 1000	56	51424	:	100000
4 32	13 082	5651424
Ans diesen und ähnlichen Beispielen erkennt man die Regel:
Ein Decimalbruch wird mit einem Decimalbruch mnlti-pliciert wie eine ganze Zahl mit einer ganzen Zahl, nur muss man im Produkte so viele Decimalen abschneidcn, als ihrer beide Faetvren zusammen haben.
Die erhaltenen Regeln kann man auch ableiten, wenn man die Decimalbrüche als gemeine Brüche betrachtet. «... Dagegen ist alles so einfach, wenn den Kindern die Bruchrechnung bekannt ist, man schreibt die Factoren als eingerichtete Brüche auf, führt die Multi-eation aus und schreibt das Product wieder als Decimalbruch, z. B.:
79 0A9 X/	— 72842 v 5648 — 72842 x 5848 — 411411818 _
12 »42 X 00 40 — E,, A 100 ~~	100000	—	100000	—
— 4114 11616.» (Ouitzvw.)
Nach Ouitzow soll nämlich die Rechnung mit gemeinen Brüchen der Rechnung mit Decinialbrüchen vorangehen. — Übungen.
Division der Decimalbrüche.
8 112. Als Einleitung dividiere man eine ganze Zahl durch eine ganze Zahl, die in der ersten nicht ohne Rest enthalten ist und stelle den Quotienten durch einen Decimalbruch dar. Z. B.:
613 : 25 = 24 52 113 130
50	Übungen.
1.) Division eines Decimalbruches durch 10, 100, 1000...
Ist schon aus 8 106 bekannt.
2.) Division eines Decimalbruches durch eine ganze Zahl.
Es sei 802 01 durch 23 zn dividieren.
OA9.01 . 9q _ q,.o7	80 3ehner biuibicvt durch 23 gibt
.	'	3 Zehner, und es bleiben noch 11 Zehner
oder 110 Einer, dazu 2 Einer sind 112 Einer. 112 Einer dividiert durch 23 gibt 4 Einer, ()	und es bleiben noch 20 Einer oder 200 Zehn-
tel, dazu 0 Zehntel sind 200 Zehntel. 200 Zehntel dividiert durch 23 gibt 8 Zehntel; bevor man jedoch die 8 Zehntel in den Quotienten schreibt, seht man nach den 4 Einern den Decimalpnnkt. Das weitere Verfahren ist ans dem Gesagten ersichtlich.
Ans diesem und ähnlichen Beispielen erkennt man:
Ein Decimalbrnch wird durch eine ganze Zahl dividiert wie eine ganze Zahl, nur hat man im Quotienten den Decimalpnnkt zn setzen, wenn man im Dividend bis zum selben kommt. — Übungen.
3.) Division durch einen Decimalbrnch.
m 12 : 6 120: 60 1200:600 , ,
Vorübungen:	—2—	—2—	u. s. f.
Der Wert des Quotienten bleibt unverändert, wenn man Dividend und Divisor mit derselben Zahl mnltipliciert.
Es sei z. B. 119-4078 durch 28 03 zn dividieren.
11(140 78 : 28 03	Hut	diese Division ausznführen,
119 40 78 : 28 0.3 — 4 26	mnltipliciere	man Dividend und Di-
7 ,)8 7	visor mit 100, wodurch der Wert
1 M In	des Quotienten nicht verändert wird.
Nun ist die Division in	eine Division
eines Deeimalbrnches durch eine	ganze Zahl verwandelt;	das weitere
Verfahren ist ans 2.) bekannt.
Aus diesem und ähnlichen Beispielen erkennt man, dass man den Divisor, der 1, 2, 3 ... Decimalstellen hat, nur mit 10, 100, 1000 ... zu multiplicieren braucht, um die Division durch einen Decimalbrnch in eine Division durch eine ganze Zahl zn verwandeln. Damit aber der Wert deS Quotienten unverändert bleibt, muss man den Dividend mit derselben	Zahl	multiplicieren	als den Divisor. Kurz:	Man lasse
im Divisor	den	Decimalpnnkt ganz einfach ans	und rücke
ihn im Dividende uni so viele Stellen gegen die Rechte, als der Divisor Decimalen hat.
Sechster Abschnitt.
AlMwlilldtes Nechtten.
tiitgriunitbtrs Rechnen inif der Unter- und Mittelltnfe.
Ziel inih IImfflitn des RechncnS.
§ 113. Nach den vorgeschriebenen Lehrplänen für Österreich wird als Ziel «Sicherheit und Fertigkeit in der mündlichen und schriftlichen Lösung der im Verkehre des gewöhnlichen Lebens vorkominenden Berechnungen- gefordert. Es werden also jedenfalls nicht wissenschaftliche, z. B. physikalische, geographische, natnrgeschichtliche, astronomische Aufgaben it. s. w. verlangt, wenigstens solche nicht, die im Verkehre des gewöhnlichen Lebens nicht Vorkommen. Welchen Wert für die Volksschule hat auch z. B. eine Aufgabe vom freien Falle, von der Geschwindigkeit des Lichtes, von der Umlaufszeit verschiedener Planeten, von exotischen Thieren und Pflanzen it. s. w., wenn dadurch ein Hindernis für die Erreichung des im Obige» angeführten Zieles entsteht? Solche Aufgaben gehören mehr dein entsprechenden Fache an, wo ihr Inhalt zur vollen Klarheit gebracht werden kann.
Das Gebiet, auf welches das Rechnen anznwenden ist, ist überhaupt sehr groß, so groß, dass unmöglich alles zu Berechnende berührt werden kan», was aber auch nicht »othwendig ist. Die Volksschule hat nur die Aufgabe, den Schüler zu befähigen, jede im Verkehre des Lebens vorkommende Aufgabe sicher und fertig lösen zu können. Zu dem Zwecke muss ihm l.)der Inhalt der Aufgabe durch und durch klar sein (Kenntnis der sachlichen Verhältnisse), 2.) er muss ans de» in der Aufgabe gegebenen Verhältnissen auf die Operation schließen (Operativnsschlnss) und 3.) die Operation selbst fertig ausführen können.
Dem Punkte 1 gehörig zu entsprechen erscheint insoferne schwierig, als das zu Berechnende zu umfangreich ist. Diese Schwierigkeit ist jedoch nur eine scheinbare und wirb tatsächlich behoben, wenn man das ganze
Rechengebiet in solche Kreise theilt, dass jeder Rechenkreis einen gleichartigen Inhalt umfasst. Dies soll, lute sich ans den Beispielen verschiedener Rechenbücher für die Unter- und Mittelstufen ergeben hat, am Folgenden ersichtlich gemacht werden.
A. 5nhalt der Jltifcjaßert.
Einthcilmig des RcchcugcbictcS iit Rechcnkrcisc.
Erster Rechenkreis.
§ 114. Der	Stoff wird aus	dem Erfahrnngsgebiete des Kindes,
welches sich ihm	von	Natur aus	bietet, genommen.	Die benannten
Zahlen gehören mir der ersten Hauptgruppe an.
Beispiele.
1.) Dieses Zimmer hat 3 Fenster auf die Gasse und I Fenster auf den Hof; tvie viel Fenster sind es zusammen?
2.) Im Garten stehen 5 Obstbänme, 2 davon wirst ein Sturm um;	wie viel	Bäume bleiben noch stehen?
3.) Wie	viel Räder haben 2 vierrädrige Wagen?
4.) Jemand	hat	8 Pferde;	wie viel Wagen	kann er damit
bespannen, wenn er an jeden 2 Pferde spannt?
5.) Wilhelm	hat	8 Nüsse, er will daraus 2	gleiche Häufchen
machen; wie viel Nüsse wird er ans 1 Häufchen legen?
Zweiter Rechenkreis.
§ 115. Die benannte» Zahlen der Aufgaben gehören der zweiten Hanptgruppe an.
Beispiele.
1.) In einen Topf, der 1 leg wiegt, gibt man 3 kg Butter; wie viel Kilogramm wiegt dann der Topf sainint der Butter?
2.) Bon	8 m Leinwand schneidet eine Frau 2 m	ab;	wie	viel
Meter bleiben	noch übrig?
3.) Eine	Kuh gibt 8 l Milch täglich; wie viel Liter	Milch	geben
3 solcher Kühe?
4.) Wie groß ist eine Baustelle, welche 924 st. kostet, wenn das Quadratmeter mit 7 fl. bezahlt wird?
5.) Eine 20 cm lange Kerze verbrennt in 5 Stunden; wie viel Centimeter der Kerze verbrennen in 1 Stunde?
Bemerkungen zuin ersten Rechenkreise.
§ 116. Auf den ersten Blick erkennt man, dass die Aufgaben des ersten Rechenkreises sehr anschaulich sind, weil sie ans dem Erfahrnngs-kreise des Kindes genommen sind. Solche Aufgaben sind also besonders geeignet, dein Kinde den Operationsschlnss zur klaren Auffassung zu bringen, sie demselben sozusagen abfühlen zu lassen, weil der Inhalt der Aufgabe keine Schwierigkeit in den Weg legt, das Kind also seine ganze Aufmerksamkeit ans den Schluss concentrieren kann. Daraus folgt: Die Aufgaben des ersten Rechenkreises haben in das angewandte Rechnen einzuleiten, gehören also der Unterstufe an. Auf der Mittel- und Oberstufe haben sie nur dann eine Berechtigung, wenn der Operationsschlnss (bei großen Zahlen oder bei zusammengesetzten Schlüssen) Schwierigkeiten machen sollte.
Wenn einmal das Kind z. B. folgende Aufgaben: «a) Karl bekommt von der Mutter 3 Äpfel und vom Onkel 2; wie viel Äpfel bekommt er im ganzen? h) Minna hat in ihrer Spareasse 4 kr. und bekommt vom Vater noch 3 kr. dazu; wie viel hat sie dann in der Sparkasse?» und andere solche geläufig lösen kann, so macht ihm auch die Aufgabe: «(£iit Dorf hatte früher 120 Häuser, dazu kamen in den letzten Jahre» 20 neue; wie viel Häuser hat es jetzt?» und andere solche gar keine Schwierigkeit mehr.
Die gleichen Bemerkungen gelten für die übrigen Operationen. In dem «»gedeuteten Momente erscheint der erste Rechenkreis bis ans die im Obigen erwähnten Ausnahmen abgeschlossen und für das Kind gesichert.
Bemerkungen zum zweiten Rechenkreise.
§ 117. Vergleiche die Worte Hentschels Seite 65. Das Kind soll also in der Schule klarersehen, dass inan und was man zählt, misst, wägt, zahlt it. s. w. Bei genauer Durchsicht verschiedener Rechenbücher und Gruppierung der Rechenaufgaben auf der Unter- und Mittelstufe ergeben sich für diesen Kreis zunächst drei besondere Gattungen von Aufgaben: Zeitrechnungen, Warenrechnungen* und Zinsrechnungen.**
* Mit dem Namen Warenrechnung wird jede Rechnung, in welcher ein Object als Ware vvrkommt, bezeichnet.
** Von vielen wird die Zinsrechnung, und zwar mit Recht, ans die Oberstufe verlegt.
Zeitrechnung.
(Größtentheils nach Hentschel.)
§ 118. Jeder größere oder kleinere Theil der Zeit ist ein Zeit-r a it nt oder Zeitabschnitt. Die Zeit wird gemessen mit den Zeitmaßen. Die wichtigsten Zeitmaße sind: Jahr, Monat, Woche, Tag, Stunde, Minute und Sekunde.* Die Rechnung mit diesen Zeitmaßen ist die Zeitrechnung im weiteren Sinne. Diese umfasst alle vier Rechnnngsarten nebst Resolution und Rednetion und bringt feste Verwandlungszahlen in Anwendung. (1 Jahr — 12 Monate oder 52 Wochen; 1 Monat — 30 Tage.)
Diese Zeitrechnung kann als eine Vorbereitung ans die Zeitrechnung im engeren Sinne des Wortes aufgefasst werden; letztere verdient genauer betrachtet zu werden.
Zeitrechnung im engeren Sinne des Wortes.
§ 119. Bei jedem größeren oder kleineren Zeiträume kommen drei Stücke in Betrachtung, nämlich der Ausgangspunkt, die Dauer und der Endpunkt. Ans zweien dieser Stücke lässt sich das dritte bestimme», und mit diesen Bestimmungen hat die Zeitrechnung im engeren Sinne zu thun. Sie hat zwei Grundrechnungsarten nöthig, die Addition und die Subtraktion.
Beispiele.
1.) Karl geht um 8 Uhr i» die Schule und bleibt darin zwei Stunden; wann verlässt er dieselbe?
2.) Albert kommt um 8 Uhr in die Schule und verlässt dieselbe um 10 Uhr; wie lange war er in der Schule?
3.) Bertha geht mit 11 Uhr aus der Schule, wo sie drei Stunden verweilte; wann kam sie in die Schule?
I. Der Tag und seine Eintheilung.
1.	Es werden nur die Stunden berücksichtigt.
§ 120. Die Zeit, in welcher sich die Erde einmal mit ihre Achse dreht, heißt ein Tag.** Der Tag zerfällt in 24 Stunden, welche von
* Andere Zeitmaße sind: Lustrum (5 Jahre), Decennium (10 Jahre), Menschenalter (30 Jahre), Säculnm (100 Jahre), Milliadc (KXXI).
** Die Erläuterung des Tages auf diese Art gehört wohl erst ans die Oberstufe. Vergleiche diesbezüglich den praktischen Theil vom selben Verfasser.
La »rar, Methodik des RechenuntcrrichteS.	9
Mitternacht an als 2 mal 12 Stunden gezählt werden. Eine Stunde nach Mitternacht zählt inan 1 Uhr, 2 Stunden nach Mitternacht 2 Uhr
u.	s. f. bis 12 Uhr. 12 Uhr ist Mittag; dann steht die Sonne mit höchsten. 1 Stunde nach Mittag fängt man bei uns wieder mit 1 Uhr an und zählt abermals bis 12 Uhr fort; dann ist Mitternacht, das Ende des Tages und der Anfang des folgenden.
Da iitmt den bürgerlichen Tag in 2 mal 12 Stunden zählt, so muss der	Stundenzahl eine	Bestimmung beigefügt werden,	mit	anzuzeigen, in	welche Hälfte des	Tages sie füllt. Bestimmungen	dieser Art
sind: morgens, vormittags, mittags, nachmittags, abends, nachts.
a) Zeitbestimmungen innerhalb eines Kalendertages.
1.) Bestimmung der Zahl der verflossenen Stunden des Tages, und zwar a) ohne Übergang, ß) mit Übergang in die andere Hälfte des Tages. Z. B. Wie viel Stunden sind vom Tage verflossen: a) vormittags 10 Uhr, ß) nachmittags 5 Uhr?
2.)	Bestimmung	der Tageszeit ans der Zahl der verflossenen
Stunden des Tages c<) ohne, ,ch) mit Übergang. Z B. Wie viel Uhr ist es, wenn vom Tage verflossen sind: a) 8 Stunden, ß) 17 Stunden?
3.) Bestimmung der Zahl der Stunden zwischen zwei Zeittmuiiieii des Tages a) ohne, ß) mit Übergang. Z. B. Wie viel Stunden liegen a) zwischen 2 Uhr morgens und 10 Uhr vormittags, ß) zwischen 9 Uhr vormittags und 7 Uhr abends?
4.)	Bestimmung	des	Endtermines aus	dem Anfangstermine, der
nicht mit 12 Uhr nachts zusammenfüllt, und	der Dauer a) ohne, ß) mit
Übergang.	(Vergl. 2.) Z. B.	Ein Kinderfest begann mit 3	Uhr	nach-
mittags und dauerte 4 Stunden; wann endigte es?
5.)	Bestimmung	des	Anfangstermines	ans dem Endtermine und
der Dauer «) ohne, ß) mit Übergang. Z. B. Der Vater machte eine Reise von Marburg nach Wien in 10 Stunden. Er kommt nachmittags um 4 Uhr dort an; wann ist er abgereist?
I>) Zeitbestimmung innerhalb zweier Kalendertage.
Der Gang ist dein früheren ähnlich und soll nur durch Beispiele ersichtlich gemacht werden.
1.) Wie viel Stunden verfließen von 9 Uhr abends bis 5 Uhr früh am folgenden Tage?
2.) Der menschenfreundliche Arzt K. verweilte von 10 Uhr abends an 4 Stunden am Bette eines armen Kranken; bis zu welcher Zeit also?
3.) Ein Zug braucht von Wien bis Marburg 10 Stunde»; wenn er von Wien um 10 Uhr abends abgeht, wann kommt er in Marburg an?
2.	Es werden Stunden, Minuten und Secnnden berücksichtigt.
Die Hauptfälle sollen an Beispielen erläutert werden.
1.) Wie viel Zeit vergeht a) von 3 Uhr morgens bis 5 Uhr 20 Min. morgens; h) von 7 Uhr 15 Min. morgens bis 9 Uhr 45 Mitt. morgens; c) 10 Uhr 20 Min. abends bis l> Uhr 45 Min. früh?
Eine Steigerung findet durch Aufnahme der Secuuden in die Beispiele statt, wozu keine weitere Erläuterung nothtvendig ist.
2.) Bestimmung des Endtermines, 3.) Bestimmung des Anfangtermines a) innerhalb eines Kalendertages, b) innerhalb zweier Kalendertage. Beispiele ergeben sich nach 1.) von selbst.
II.	Die Woche.
8 121. 7 Tage machen 1 Woche. Die Wochentage heißen: Sonntag, Montag, Dienstag, Mittwoch, Donnerstag, Freitag, Samstag. Im engeren Sinne versteht man unter «Woche» den Zeitraum vom Anfang des Sonntags bis zum Ende des Samstags; im weiteren Sinne jede Frage von 7 mal 24 Stunden, z. B. von Dienstag vormittags 11 Uhr bis nächsten Dienstag vormittags 11 Uhr.
Beispiele.
1.) Wie viel Zeit liegt zwischen Montag vormittags 10 Uhr 50 Min. und Freitag abends 7 Uhr 10 Min.?
Auflösung: Von Montag vormittags 10 Uhr 50 Min. bis ebendahin am Freitage sind 4 Tage u. s. w.
2.) Bestimme die Zeit von Mittwoch abends 10 Uhr 12 Min. um 1 Tag 10 Std. 45 Min. weiter.
3.) Wann waren 3 Tage 10 Std. 25 Min. vor Montag nachmittags 3 Uhr 45 Min.?
Genauere Abstufungen ergeben sich aus den zuerst angeführten fünf Fällen für den Tag von selbst.
III.	Das Jahr und die Monate.
§ 122. Die Zeit, in welcher sich die Erde einmal um die Sonne bewegt, heißt ein Jahr. Das Jahr zählt 365 Tage 5 Std. 48 Min. 48 Sec. Da mm das gemeine Jahr in runder Zahl zu 365 Tagen gerechnet wird, so macht man damit einen Fehler von 5 Std. 48 Min. 48 Sec. Um diesen zu decken, lässt man ans je drei gemeine Jahre ein Schaltjahr von 366 Tagen folgen, in welchem dann ans den Monat Februar 29 Tage gezählt werden, während er im gemeinen Jahre nur 28 Tage hat. Ein Schaltjahr erkennt man daran, dass seine Jahreszahl durch 4 ohne Rest theilbar ist.
Man begeht aber freilich wiederum einen Fehler, wenn man alle vier Jahre ein Schaltjahr seht; denn 4 mal 5 Std. 48 Min. 48 See. — — 23 Std. 15 Min. 12 Sec. betragen keinen vollen Tag. Man nimmt in vier Jahren 44 Min. 48 Sec. und in 400 Jahren 3 Tage 2 Std. 40 Milt, zu viel. Damit auch diese Unrichtigkeit ausgeglichen werde, so fallen alle 400 Jahre drei Schaltjahre ans, und zwar diejenigen, deren Jahreszahlen runde Hunderter sind, ohne dass die Summe der Hunderter durch 4 theilbar ist. 1600, 2000, 2400 sind Schaltjahre; 1700, 1800, 1900 sind gemeine Jahre. *
Das Jahr hat 12 Monate. Der erste Monat ist der Jänner und hat 31 Tage, der zweite Monat heißt Februar und hat 28 Tage im gemeinen und 29 Tage im Schaltjahre it. s. w., wie allgemein bekannt.
Beim Bestimmen des jedesmaligen Mvnatstages gibt man an, der wievielte Tag der laufende sei. Schreiben wir also z. B. den 12. Oktober, so sind vom Oktober eilf ganze Tage vorüber, der zwölfte ist jedoch noch nicht ganz verflossen.
Beispiele.
1.) Wie viel Monate und Tage sind am 13. August seit dem Anfänge des Jahres verflossen?
2.) Welches Datum schreibt man, wenn 9 Monate 17 Tage vom Jahre vorüber sind?
3.) Wie viel Zeit ist am 24. Juni nachmittags 3 Uhr 42 Min. seit dem Anfänge des Jahres verflossen? — 6 Mon. 23 Tage 15 Stunde» 42 Min.
* Die Erläuterung des Jahres aus diese Art gehört wohl erst auf die Oberstufe. Vergleiche diesbezüglich den praktischen Theil vom selben Verfasser.
4.) Wie viel Zeit verfließt vvm 6. December bis zum 21. December?
5.) Wie viel Zeit verfließt vom 12. Juli bis 12. November. — Auflösung: November ist der 11. Monat, Juli der 7. Monat des Jahres; 11 weniger 7 u. s. w.
0.) Wie viel Zeit verfließt vom 17. Mai bis znni 30. September? — 4 Mon. 13 Tage.
7.) Wie lange dauert noch das laufende Jahr vom 15. August an?
8.) Der Onkel brachte ans einer Reise, die er am 5. December antrat, 9 Mon. 28 Tage zu; wann kehrte er zurück? — Am 3. October folgenden Jahres.
I V. Die christliche Zeitrechnung.
§ 123. Das große Ereignis, nach welchem wir Christen die Jahre zählen, ist die Geburt Jesu Christi. Wir leben jetzt im Jahre 1888, d. H. das gegenwärtige Jahr ist das 1888. nach Christi Geburt; es sind also 1887 Jahre seitdem verflossen. Am 31. Dezember 1888 nachts Punkt 12 Uhr werden 1888 volle Jahre vorüber sein; in demselben Augenblicke wird das Jahr 1889 seinen Anfang nehmen.
Beispiele.
1.) Welche Zeit ist seit Christi Geburt bis zur Geburt unseres Kaisers Franz Josef 1. am 18. August 1830 verflossen?
2.) Welches Datum schreibt man, wenn 1857 Jahre 7 Mo». 14 Tage seit Christi Geburt verflossen sind?
3.) Kaiser Franz I. ward am 12. Februar 1708 geboren und starb in einem Alter von 07 Jahren 18 Tagen; wann starb er?
Auflösung: Erstes Verfahren geeignet fürs Kopfrechnen.
67 Jahre nach dein 12. Februar 1768 war der 12. Februar 1835,
18 Tage nach dein 12. Februar 1835 war der 2. März 1835.
Somit starb Kaiser Franz I. am 2. März 1835.
Zweites Verfahren, welches meistens beim Zifferrechnen angewendet >mrd.
Seit Chr. Geb. bis zur Geburt des Kaisers Franz I. sind
1767 Jahre 1 Monat 11' Tage verflossen, und bis zu seinem Tode noch 67 Jahre — Monat 18 Tage, d. i.
1834 Jahre 1 Monat 29 Tage oder, da der Monat Februar des Jahres 1835 nur 28 Tage hat, 1834 Jahre 2 Monate 1 Tag.
Somit starb er am 2. März 1835.
4.) Jemand ist heute 18 Jahre 7 Monate 24 Tage alt; wann wurde er geboren?
5.) Jemand wurde aut 18. Oktober 1856 geboren und starb am
5.	Mai 1886; wie alt ist er geworden?
Für 4.) und 5.) sind wie für 8.) zwei Verfahren möglich.
Wird die Zeitrechnung in dem vorgeführten Sinne stnfenmäßig behandelt, so wird dieselbe lückenlos und zur vollsten Fertigkeit an der Unter- und Mittelstufe erledigt. — Für die Oberstufe verbleibt nur eine genaue Besprechung darüber, wodurch die Länge des Tages und des Jahres bestimmt wird. Die Länge des Tages durch die Achsen-drehung der Erde, die Länge des Jahres durch den Umlauf der Erde um die Sonne. (Vergl. oben.)
Wareiircchiniiiji.
§ 124. Die Waren werden gezählt, gemessen, gewogen, d. H. es wird die Quantität der Ware bestimmt, und die Waren werden bezahlt. Daraus folgt, dass matt dem Schüler zweierlei Aufgaben vvrznführen hat: 1.) Quantitätsanfgaben, 2.) Preisaufgaben.
Beispiele.
1.) Ein Zuckerhnt wiegt 9 kg, ein zweiter 8 kg; wie viel wiegen beide zusammen? (Quantitätsanfgabe.)
2.) Jemand verkauft 2 hl Getreide, das eine um 8 fl., das andere mit 4 fl.; wie viel nimmt er ein? (Preisanfgabe.)
S.) 1 l Wein kostet 4 Zehner; wie viel kosten 8 l Wein? (Preis anfgabe.)
Aufgaben wie 2.) werden in der Regel nicht Preisaufgaben genannt. In einer sogenannten Preisrechnnng wird nach dem Preise der Mehr heit oder nach dem Preise der Einheit gefragt. Diese Gattungen Preisrechnungen, die der Mnltiplieativn und Division angehören, mögen eigentliche Preisrechititngen heißen.
Um also die Warenrechnung den Schülern zur vollen Einsicht zu bringen, müssen sie 1.) klar erkennen, wie die Waren gezählt, gemessen, gewogen und welche gezählt, welche gemessen, welche gewogen werden;
2.) sich zunächst über die Preisbestimmung der Waren orientieren.
Ersteres wird theilweise schon bei der Besprechung der Maße erreicht, indem man daselbst nicht bloß das Zählen, Messen, Wägen vorführt, sondern auch fragt: «Welche Waren werden gezählt, welche gewogen n. s. w.?» (Vergl. «Praktischer Theil» desselben Verfassers.) Theilweise, und zwar in größerem Maße noch an Aufgaben, wie z. B.:
1.) Eine Kuh gibt täglich 5 l Milch, eine andere nur 4 l; wie viel beide zusammen?
2.) Ein Stuck Tuch misst 8 in, ein anderes 10 in; wie viel beide zusammen?
Zweites, nämlich die Oricntirung in der Preisbestimmung wird erreicht durch Aufgaben, wie:
1.)	Karl kauft einen Federstiel um 4	kr. und ein	Heft um 5	kr.;
wie viel	muss er im ganzen zahlen?
2.)	Glimm hat 4 kr. und kauft ein	Schreibheft	um 2 kr.;	wie
viel Geld behält sie noch?
Solche Aufgabe», die der Addition und Snbtractivn insbesondere angehören, dienen als vorbereitende Aufgaben ans eigentliche Preis-rechnnngen.
Für die Warenberechnnngen ergeben sich demnach zwei Rechenkreise: der Quantitätskreis und der Preis kreis.
Der Quantitätskreis.
§ 125. Der Qnantitätskreis im angeführten Sinne gehört hauptsächlich der Unterstufe an. An der Mittel und Oberstufe hat er nur eine Berechtigung, wen» der Operationsschlnss (bei großen oder auch inehrnainigen Zahlen und bei zusammengesetzten Schlüssen) Schwierigkeiten machen sollte.
Wenn einmal das Kind z. B. folgende Aufgaben: «») Albert trägt 4 ky Zucker und 2 hj Mehl; wie viel hat er im ganzen zu trage» ? I») Die Mutter kauft für einen Rock 2 m Tuch und für eine Hose 1 m; wie viel im ganzen? u. s. w.» geläufig lösen kann, so macht ihm auch die Aufgabe: «Ein Fuhrmann ladet auf seinen Wagen 124 ky Eisen, 84 kg Reis, 7(5 ky Mehl; wie schwer ist die ganze Ladung?» und andere ähnliche gar keine Schwierigkeit mehr.
Die gleichen Bemerkungen gelten auch für die übrigen Operationen. In dem angedenteten Momente erscheint	der	Onantitätskreis	bis	auf
die erwähnten Ausnahmen abgeschlossen	und	den Schülern	gesichert.
Um sich nicht zu viel zu wiederholen, gelte diese Bemerkung	auch	für
alle übrigen noch zu besprechenden Kreise.
Zergliederung des Quantitätskreises.
8 12(5. Da die verschiedenen Maßarten nach nnd nach den Kindern vorznführe» sind, sv zerfällt der Quantitätskreis von selbst in die verschiedenen Maßkreise: Zähl kreis,* Längcnmaßkreis, Hvhlniaßkreis, 05i’-lvichtskreis, Flächenmaßkr^is, Kvrpermaßkreis.
Beispiele.
1.) Karl verbraucht für ein Heft 4 Bogen, für ein anderes 3 Bvgen; wie viel für beide zusammen? (Zählkreis.)
2.) Die Mutter kauft für einen Rock 2 m Tuch nnd für eine Hose 1 m; ivie viel im ganzen? (Längeninaßkreis.)
Wie die Beispiele für die übrigen Kreise nnd die anderen Operationen znsaminenznstellen sind, ergibt sich deutlich ans den beiden angeführten.
Der Preiskreis.
Zergliederung des Preiskreises.
8 127. Der Preiskreis zerfällt in den Münzen kreis und in den Preiskreis im engeren Sinne des Wortes. Der Mnnzenkreis fällt, die Münze als Zählobject aufgefasst, mit dem Zählkreisc zum Theile zusammen, zum Theile jedoch bildet er einen sehr wichtigen eigenen Kreis, der als Geld kreis bezeichnet werden soll.
Beispiele.
1.) Robert bekommt vom Vater 4 kr. nnd von der Mutter 2 kr.; wie viel von beiden? (Zählkreis.)
2.) Ein Kaufmann kauft eine Partie Kaffee um 428 fl. und verkauft sie um 508 fl.; wie viel gewinnt er dabei? (Geldkreis.)
3.) Jemand bekommt von seinem Gehalte monatlich 120 fl. und zahlt für die Wohnung 23 fl. Miethe; wie viel bleibt ihm für die übrigen Bedürfnisse übrig. (Geldkreis.)
4.) Eine Köchin holt 1 l Bier um 20 kr. und 1 l Wein mit 32 kr.; wie viel kostet beides? (Vvrb. Preiskreis.)
5.) 1 l Milch kostet 10 kr.; wie viel kosten 5 ii (Eigentlicher Preiskreis.)
(5.) 8 m Tuch kosten 24 fl.; a) wie viel kostet Im Tuch; h) wie viel 5 m? (Eigentlicher Preiskreis.)
* Gehört zugleich, wenigstens theilweise, in den Erfahrungskreis des Kindes.
Der Geldkreis.
8 128. In den Geldkreis gehören Berechnungen über Einnahmen und Ausgaben, über Ersparnisse, über Lohn, über Miete, Steuer, Gewinn und Verlust, Schuldscheine, Hypotheken it. s. w. Diese Aufgaben sollen nach dein Grundsätze «vom Näherliegenden zum Entfernteren» geordnet und der Gesichtskreis des Kindes diesbezüglich seinem Fassungsvermögen entsprechend erweitert werden.
Zum Geldkreise gehört auch die Zinsrechnung, die sonst als ein eigener Kreis behandelt wird.
Zinsrechnungen.
§ 129. Die Zinsrechnung wird mit vollem Rechte ans die Oberstufe verwiesen; Mocnik behandelt sie schon im Raume 1 —1000. Zur Erläuterung sollen die Worte Salbergs, der das Rechnen in ein niederes und in ein höheres scheidet, dienen: «Während dort (beim niederen Rechnen) die Sache zur Erkenntnis der Zahl zu dienen hat, sind hier mit Hilfe der Zahl neue Sachkenntnisse zu erwerben.» Nur würde besser das niedere Rechnen auch den unbegrenzten Zahlenraum umfassen und nicht bloß den Raum 1—1000, wie Salberg cs meint. Andererseits kann der Gesichtskreis des Kindes wenigstens durch näher liegende Sachkenntnisse schon im Raume 1 — 1000, z. B. durch Rechnungen über Einnahmen und Ausgaben, über Mietzins n. s. f., erweitert werden. Der Begriff «Zins» für ausgeliehenes Geld ntnss jedoch erst im Kinde zur Reife gebracht werden, bevor man mit Zinsrechnungen beginnt.
Auf Zinsrechnungen bereitet inan vor durch Aufgaben wie:
1.) Jemand leiht seinem Nachbar 100 fl. auf ein Jahr, dafür muss er ihm am Ende des Jahres 5 fl. mehr zurückzahlen; wie viel also?
2.) Jemand hat drei Capitalien ausgeliehen, das eine beträgt 324 fl., das andere 158 fl. und das dritte 412 fl.; wie viel betragen alle drei Capitalien zusammen?
3.) Jemand hat zwei Capitalien ausgeliehen, das eine trägt jährlich 128 fl. Zins, das andere 82 fl. Zins; tvic groß ist der Jahreszins beider Capitalien?
Nachdem an solchen vorbereitenden Aufgaben, die sich periodisch wiederholen, die Begriffe -Capital» lind «Zins» von den Schüler» klar anfgefasst wurden, nachdem man ihnen zum Bewusstsein gebracht hat, dass man für ein ausgeliehenes Geld immer Zinsen bekommen muss, dann sind sie für die Zinsrechnung reif.
Bei den Zinsrechnungen kann der Begriff «Procente» Vorkommen oder nicht. Z. B.:
1.) Jemand leiht 300 fl. auf ein Jahr mit der Bedingung ans, dass man ihm Ende des Jahres von je 100 fl. 5 fl. Zins zahlt; mie viel muss man ihm am Ende des Jahres zurückzahlen?
2.) Jemand leiht 300 fl. auf 1 Jahr zn 5% aus; wie viel muss man ihm am Ende des Jahres zurückzahlen?
Aufgaben wie 1.) müssen den Aufgaben mie 2.) voransgehen; nachdem die erste Gattung der Aufgaben von den Schülern geläufig gelöst werden kann, sind sie für die zweite Gattung reif.
Ans 2.)	bereiten auch Aufgaben vor wie: «Wie	viel	Gulden
Zinsen bekommt inan von 1 fl. zn 5°/0; wie viel von 24 fl.?» und diese Lösnngsweise eignet sich insbesondere fürs Kopfrechnen.
Berhältniskreis.
8 130.	Durch Aufgaben wie: «Eine Mühle hat	sechs	Gänge,
auf	jedem Gang werden täglich 5 hl Korn gemahlen;	wie viel auf
allen?« wird	man auf Aufgaben geführt, in denen zwei	oder	mehrere
verschiedenartige Großen zu einander in ein Abhängigkeitsverhältnis treten, und zwar so, dass wenn die eine 2, 3, 4 mal so groß wird, die andere n) auch 2, 3, 4 mal so groß, oder l>) 2, 3, 4 mal so klein wird. Das erstere Abhängigkeitsverhältnis nennt man ein gerades, das zweite ein verkehrtes.
«Es ist wichtig, dass man den Schüler von allem Anfang au auf diesen Sachverhalt aufmerksam macht. Frühzeitig werde es ihm klar, dass die Vielheit ans der Einheit nicht immer durch Multiplieation und die Einheit ans der Vielheit nicht immer durch Division berechnet werden kann, sowie dass die Aufgaben, in welchen die Zeit in Betracht kommt, besondere Vorsicht verlangen.» (Knilling.)
Gelost werden diese Aufgaben nach der Schlussrechnung. (Vergl. § 139, 140.)
Beispiele.
1.) Eine Mühle u. s. w. Sieh oben. (Gerades Verhältnis.)
2.) Eine Mauer vollenden vier Maurer in zwei Tagen; in welcher Zeit wird ein Maurer damit fertig? (Verkehrtes Verhältnis.)
Diese» Rechnungskreis wolle» wir Verhält» iskre is neune». In de» Verhältniskreis gehöre» auch die eigentliche» Preisrechtmngen, sie können also als ein speeieller Fall dieses Kreises betrachtet werde».
Ziisammcusassuiig dcS Gkwoimeiicu.
§ 131. Aus dein Vorangehenden ergibt sich, wie das Rechengebiet, welches in den bekannten Rechenbüchern ans der Unter- und Mittel-stnfe in Rechnung gezogen wird, in Rechenkreise zerfällt. Jin folgenden Schema sei diesbezüglich eine Übersicht gegeben. Die wissenschaftlichen Aufgaben wurden nicht berücksichtigt.
Erster Rechenkreis. Rechnen mit benannten Zahlen der ersten Hanpt-grnppe.
Zweiter Rechenkreis. Rechnen mit benannten Zahlen der zweiten Hauptgrnppe.
Zergliederung des zweiten Rechenkreises in: 1.) Zeitrechnung, 2.) Warenrechnung.
Die Zeitrechnung ist im weiteren und engeren Sinne zu nehmen.
Die Warenrechnung zerfällt wieder: 1.) in Quantitüts- und 2.) in Preisrechnungen.
Die Qnantitütsrechnung umfasst: den Zühlkreis, Längenmaßkreis, Hohlmaßkreis, Gewichtskreis, Flächenmaßkreis, Körperniaßkreis. — (Münzenkreis.)
An den Münzkreis gesellt sich der Geldkreis, zu dem auch der Zinsenkreis gehört
Der Zinsenkreis besteht aus vorbereitenden Aufgaben und eigentlichen Zinsrechnungen.
Der Preiskreis besteht ans dem vorbereitenden und eigentlichen Preiskreis.
Schließlich ergab sich der Verhältniskreis, dessen Größen im geraden oder im verkehrten Verhältnisse stehen.
Bcrtheiliuig ber Rcchcnkrcisc auf die Zahlriiränink.
$ 132. Ans dem Vorgeführten ergibt sich zunächst, dass sich der Stoff, welcher gewöhnlich an der Unter- mtb Mittelstufe behandelt wird, im Rechenkreise ordnen lässt, ja bei genauer Erwägung ergibt sich auch die Reihenfolge der Rechenkreise in den einzelnen Zahlenräninen. In den Zahlenranm
1 — 20
gehört jedenfalls der erste Rechenkreis, der Qnantitätskreis mit dem Zählkreise, Längenmaßkreise, Hohlmaßkreise, Münzenkreise als Zählkreise, vorbereitende Preisrechnnngen; der Gewichtskreis und der Zritrechnnngs-kreis sind in den Raum 1 —100 zn verlegen.*
i —100.
In diesem Zahlenranine wiederholen sich die früheren Kreise und werden durch den Gewichtskreis und Zeitrechnuugskreis erweitert. Eigentliche Preisrechnungen. **
1 — 1000.
Wiederholung der früheren Kreise. Die Zeitrechnung wird fortgesetzt. Einführung des Geldkreises. Vorbereitende Aufgaben ans die Zinsrechnung.
Unbegrenzter Zahlenraum.
Die Zeitrechnung kommt znm Abschluss. Rechnungen aus dem Geldkreise; vorbereitende Aufgaben ans die Zinsrechnung.*** Verhältniskreis.
Wenn einmal mehrere Rechenkreise behandelt sind, dann soll man natürlich dein Grundsätze genügen, dass der Stoff bezüglich der behandelten Rechenkreise möglichst abwechselt.
Aus dein Gesagten ergibt sich, wie der Rechenstoff dem Schüler vorzuführen ist, damit er sich möglichst frei und selbständig bewegen kann; das Gebiet, auf dem er sich zu tummeln hat, wird ihm bekannt. Dies gilt zunächst für die Unter- und Mittelstufe. Für die Oberstufe erscheint der Rechenstoff in den Rechenbüchern schon gruppiert. (Vergl. 8 147.)
* Wenn die Anschauung des Verfassers, dass die Gewichte als Zeitmaße erst im Raum 1 — 100 zu behandeln sind, nicht getheilt wird, so werden sie nach den vorangegangene» Maßen im Raum 1 — 20 besprochen, wodurch der angeführte Gang nicht gestört wird.
** Auch die Preisrechnnngen pflegt man gern schon im Raume 1—20 zu behandeln. Wer die Anschauungen des Verfassers nicht thcilt, kann, ohne dein allgemeinen Gange Gewalt anzuthnn, dieselben an die vorangehende» Rechnungen anreihen.
*** Wenn man die Zinsrechnungen nicht auf die Oberstufe verlegen will, könnten sie hier behandelt werden.
Stilifimnifi der Ausgabe».
§ 133. Die Aufgaben in den Rechenbüchern der früheren Jahrhunderte zeichneten sich durch eine bedeutende Länge ans, weil sie oft in Form einer Erzählung, einer Fabel n. s. tu. gegeben wurden, um das Rechnen interessanter zn machen. Davon ist man jedoch in neuester Zeit abgekommen, und man nimmt in die Aufgaben nur das Wesentliche ans, damit sie leicht übersehen, die Sach- und Zahlenverhältnisse leicht erkannt werden. Fürs Kopfrechnen eignen sich so nur kurze Aufgaben, weil nur solche leicht gemerkt werden.
Die Aufgabe soll nicht zwei- oder gar mehrdeutig sein, wie z. B.: «Wie viel Kegel muss man jedesmal treffen, damit man in vier Würfen 16 Kegel treffe, wenn nach jedem Wurfe die Kegel wieder aufgesetzt werden?»
In den Aufgaben kommen oft kurze Ausdrucksweisen vor, wie z.B.: zu (ü, das Hektoliter n 20 fl.), wann (statt z.B. um wie viel Uhr), °/o = das, was auf die Zahl 100 kommt u. s. w.
Damit also der Lehrer den Schülern in solchen Fällen möglichst verständlich ist, bediene er sich zunächst der längeren Ansdrncksweise und leite die Schüler ans die kürzere hin.
Ebenso gibt es Aufgaben, in welchen für die Berechnung noth-wendige Zahlen gar nicht gegeben sind, weil man sie als bekannt voraussetzt. Z. B.: «Wie viel Räder haben zwei Wägen? Wie viel Ecken hat ein Würfel mehr als Seiten (Flächen) ?-
Anfänglich sollten die ausgelassenen Zahlen in der Aufgabe angegeben werden. «Ein Wagen hat vier Räder, wie viel u. s. tu.»
Oft wird in den Aufgaben eine stillschweigende Voraussetzung gemacht, damit sie kürzer ansfällt. Z. B.: 1 Arbeiter vollendet eine Arbeit in 30 Tagen, in luie viel Tagen vollenden dieselbe Arbeit 6 Arbeiter? Hier wird stillschweigend vorausgesetzt, dass alle gleich gute Arbeiter sind.
B. Wom Schluffe.
§ 134. Nachdem der Inhalt der Aufgabe dem Schüler vollkommen geläufig ist, dann hat er dieselbe zu entkleiden und ans die Operation zu schließen. Der Schüler muss erst durch Ucberlegnng zu der Einsicht gelangen, dass er zu addieren, zu subtrahieren, znmnl-tipli eieren, zn messen oder t hei len (zu dividieren) hat. Dieses
Geschäft nennen wir mit Diesterweg die Auflösung. Auf die Ans lösnng folgt	die	Ausrechnung und ans diese die	Antwort.	Die
Antwort soll	der	Frage	gut angepasst werden.
Z. B. 1	hl	Gerste	kostet 4 st., wie viel kosten 8 hl?
Auflösung:	Wenn	1 hl 4 fl. kostet, so kosten 8	hl 8	mal	so	viel
oder 8 mal 4 fl.
Ausrechnung: 8 mal 4 fl. sind 82 fl.
Antwort: 8 hl kosten also 82 fl.
Anfangs bereitet das Anssprechen der Auflösung und der Antwort den Kindern Schwierigkeiten. Man lasse sie die Aufgaben trotzdem selbständig lösen, gebe ihnen dann die richtige Redeweise an und lasse dieselbe wiederhole».
Man unterscheidet einfache und zusammengesetzte Schlüsse.
Einfache Schlüsse.
Beispiele, aus denen die Operationsschliisse erkannt werde». Additionsschluss.
§ 135. u) Mündlich: 1 Zuckerhut wiegt 9 kg, ein zweiter 8 kg; wie viel wiegen beide zusammen?
Auflösung: Beide zusammen wiegen 9 kg und 8 kg.
Ausrechnung: 9 kg und 8 kg = 17 kg.
Antwort: Sv wiegen beide zusammen 17 kg.
h) Schriftlich: 4 Kauflente übernehmen ein gemeinschaftliches Geschäft; A gab dazu 12800 fl., B 9450	fl.,	C 10700	fl.,	I)	6850	fl.
her; wie viel Geld hatten sie zusammen	im	Geschäfte?
Auflistung: So hatten sie zusammen 12800 fl. und 9450 fl. und 10700 fl. und 6850 fl. Wir müssen also 12800 fl., 9450 st., 10700 fl. niib 6850 fl. addieren.
Ausrechnung:	12800 fl.
9450 »
10700 »
6850 -39800 fl.
Antwort: Sv hatten sie 39800 fl. zusammen im Geschäfte.
Subtractionsschluss.
§ 136. 1.) Mündlich: a) Auf der	Violine sind	4	Saiten;	wie
viele sind es noch, wenn eine reißt?
Auflösung: Auf der Violine sind dann noch 4 Saiten weniger 1 Saite.
Ausrechnung: 4 — 1 = 3.
Antwort: Auf der Violine sind noch 3 Saiten.
h) In dieser Bank waren gestern 5 Knaben, heute sind mir 3 da; wie viele fehlen?
Auflösung: Es fehlen so viele, als zu 3 Knaben noch dazu kommen müssten, um die Zahl 5 zu erreichen.
Ausrechnung: 3 -s- 2 — 5.
Antwort: Es fehlen 2 Knaben.
Später leitet man diesen Schluss auf den Restschlnss.
Auflösung: Es fehlen nicht alle 5 Knaben, sondern 3 weniger.
Ausrechnung: 5 weniger 3 — 2.
Antwort wie früher.
2.) Schriftlich: Ein Kirchenban kostet 28340 fl., und dafür besitzt man 21629 st.; wie viel fehlt noch?
Auflösung: So fehlen noch so viele Gulden, als zu 21629 fl. dazu kommen müssen, unt die Zahl 28340 fl. voll zu machen. Ilm dies zu finden, müssen wir 21629 fl. von 28340 fl. subtrahieren.
Ausrechnung:	28340 fl.
21629 »
6711 fl.
Antwort: Es fehlen noch 6711 fl.
Wie es ans den obigen Aufgaben ersichtlich ist, gibt es bei der Subtraktion zwei Schlussakten. Die zweite Art kann man jedoch ans die erste znrückführen, was aber nicht genau der Natur der Aufgabe entspricht. Man braucht z. B. nur zu fragen: Fehlen alle 5 Knaben? Wie viele weniger? — Es fehle» also 5 Knaben weniger 3 Knaben it. s. w.
Die zweite Schlnssart ist als die schwierigere wohl später vorzu-nehmen als die erste.
Multiplicationsschluss.
8 137. 1.) Mündlich: Sieh oben Seite 142, Z. 5.
2.) Schriftlich: Von 43 Personen erhält jede 561 fl.; wie viel erhalten alle zusammen?
Auflösung: So erhalten alle zusammen 43 mal 561 fl.; wir müssen also 561 mit 43 multipicieren.
Ausrechnung:	561
X 43 1683 2244 24123
Antwort: Alle erhalten zusammen 24123 fl.
Schluss aufs Messen.
§ 138. 1.) Mündlich: Wie viel vierrädrige Wagen haben 12 Näder? Auflösung: a) Der Natur des Kindes entsprechender: Sv oft man 4 Räder nehmen muss, um 12 Näder zu bekommen.
Ausrechnung: 3 mal 4 Räder sind 12 Rüder.
Antwort: 3 Wagen haben 12 Rüder.
b) Wenn die erste Schlussweise geläufig ist: So oft als 4 Räder in 12 Rädern enthalten find, so viele Wagen haben 12 Räder. Ausrechnung: 4 Räder sind in 12 Rädern 3 mal enthalten. Antwort wie oben.
2.) Schriftlich: Ein Fabriksherr zahlt am Ende des Monates 1125 fl. Arbeitslohn aus, wovon jeder Arbeiter 25 fl. erhält; wie viel Arbeiter find es?
Auflösung: Sv sind so viel Arbeiter, als 25 fl. in 1125 fl. ent halten sind; wir müssen also 1125 durch 25 dividieren.
Ausrechnung:	1125 : 25 — 45
100 125 125
Antwort: Es sind 45 Arbeiter.
Schluss ausS Theile».
§ 139. 1.) Mündlich: Auf drei Bänken sitzen 18 Schüler gleich vertheilt; wie viele fitzen auf einer Bank?
Auflösung: a) Sv viel Schüler man 3 mal zu nehmen hat, um 18 Schüler zu bekommen, so viel fitzen auf einer Bank.
Ausrechnung:	3	x	5	Schüler	—	18	Schüler.
Antwort: Auf einer Bank sitzen 6 Schüler.
2.) 1 Bank ist der dritte Theil von 3 Bänken, auf einer Bank situ der dritte Theil von 18 Schülern.
Ausrechnung: Der dritte Theil von 18 Schülern sind 6 Schüler.
Antwort wie früher.
Anmerkung. Die Einleitung «1 Bank ist der dritte Theil von 3 Bänken», wird später wegen Bereinfachnng weggelassen. Man schließt also nur: «Ans 1 Bank sitzt der dritte Theil von 18 Schülern, d. i. 6 Schüler», wobei die Ausrechnung kurz au die Auflösung augeschlvssen ist.
b)	Schriftlich: Zur Zeit einer Hungersnoth werden 1944 hl Getreide unter 324 Familie» gleichmäßig vertheilt; wie viel kommt ans 1 Familie?
Auflösung: So kommt auf 1 Familie der 324. Theil von 1944 hl; man muss also 1944 durch 324 dividieren.
Ausrechnung:	1944	: 324 — (>
1944
Antwort: Ans 1 Familie kommen 6 hl.
Nachdem man sich überzeugt hat, dass den Schülern die Opera-tionsschlüsse geläufig sind, verlangt man beim schriftlichen Rechnen nicht mehr den Schluss tu Worten; sie haben nur anzugeben, ob sie zu addiere», zu subtrahiere» haben it. s. w. Diese Bemerkung gilt auch für zusammengesetzte Aufgaben, für Schlussrechnungen it. s. w.
Zusammengesetzte Schlüsse.
Vollständiger, abgekürzter Schluss.
Schluss von der Einheit auf eine Mehrheit, von einer Mehrheit auf die Einheit, von einem Mast ans ein Vielfaches.
§ 140. Schon der Mnltiplicativns- und Divisionsschluss sind eigentlich keine einfachen Schlüsse mehr, da ja 2 Schlüsse («8 hl sind 8 mal 1 /</», «8 hl kosten daher	8 mal	4 fl.»,	«so vielmal 1 Wagen,
als 4 Räder in	12 Rädern enthalten	sind»)	bei jeder dieser Ope-
rationen gemacht werden. Bedenkt man neben dieser Bemerkung noch, dass bei diesen Operationen im angewandten Rechnen zwei Arten von Größen mit einander in einem Abhängigkeitsverhältnisse sind, und zwar so, dass, wenn die	eine Art 2, 3,	4 mal	u. s. f.	größer wird, die andere
entweder 1.) 2, 3,	4 mal ». s. f.	größer	oder 2.) 2, 3, 4 mal u. s. f.
10
kleiner wird, sv ist ein weiterer sehr maßgebender Grund vorhanden, diese Operationen ins zweite Schuljahr (Raum 1 —100) zn verlegen.
Man pflegt der Vereinfachung wegen diese Schlüsse kürzer zn machen: «8 hl kosten 8 mal 4 fl.», «so viel Wagen als 4 Räder in 12 Rädern enthalten sind«, «auf einer Bank sitzt der dritte Theil von 18 Schülern.»
Diese Vereinfachung ist jedoch nicht in allen Fällen möglich. (Vergl. das Folgende.)
Die im Obigen angeführten Schlüsse sind Schlüsse von der Einheit auf eine Mehrheit, von einer Mehrheit auf die Einheit, und im Beispiele fürs Messen ein Schluss von einem Maß auf ein Vielfaches, welcher sich nur für den Fall vereinfache» lässt, dass die vom Maß abhängige Zahl der zweiten Art gleich 1 ist. Sonst muss der Schluss lauten, wie im folgenden Beispiele : «4 l kosten 1 fl. 60 fr.; wie viel kosten 12 /?»
Auflösung a): 12 l sind 3 mal 4 l, so kosten 12 l 3 mal 1 fl. 60 kr. u. s. w.
Auflösung l>):	So	oft als 4 l	in	12	l	enthalten	sind,	so	viel
mal	1 st. 60 kosten	12	l it. s. w.
Erst nachdem man schon viel geübt, kann man den ersten Schluss «12 l — 3 mal 4 h oder «so oft 4 l itt 12 l enthalten sind« mich stillschweigend übergehen und kurz sagen «4 l kosten 1 fl. 60 kr., 12 l jedoch 3 mal 1 fl. 60 kr. it. s. f.» So einen Schluss wollen wir einen abgekürzten Schluss nennen. Außer den bis jetzt angeführten Schlüssen haben wir bei der Multiplieativn und Division noch folgende:
Schluss von einer Mehrheit auf ein Maß.
Z. B.: 12 l kosten 4 fl. 80 kr.; wie viel kosten 4 l?
Auflösung: 4 l sind der dritte Theil von 12 /, 4 l kosten also den dritten Theil von 4 fl 80 kr. tt s. tu.
Abgekürzt: 12 / kosten 4 fl. 80 kr., 4 l also den dritten Theil von 4 fl. 80 kr. tt s. w.
Schluss von einer Mehrheit durch die Einheit auf eine andere Mehrheit.
Z.B.: 3 hl kosten 81 fl.; wie hoch kommen 8 hl?
Auflösung: 3	hl	kosten 81 fl.	(1	hl	— der dritte Theil	von
3	hl), 1 hl kostet	den	dritten Theil	von 81	fl. — 27	fl. (8	hl —
= 8 mal 1 hl), 8 hl kosten 8 mal 27 fl. — 216 fl. it. s. w.
Ji, diesen: Falle würde der vollständige Schluss nur hemmend wirken, woraus folgt, dass die im früheren angeführten abgekürzten Schlüsse bis zur Fertigkeit eingeübt werden müsse», bevor man zu diesem Falle der Schlussrechnung übergehen kann. Die in der Klammer befindlichen Zwischenschlüsse fallen also bei der Auflösung weg. Das gleiche gilt vom
Schlüsse von einer Mehrheit durch ein Mas, auf eine andere Mehrheit.
Z. B.: 25 kg kosten 15 fl.; wie viel kosten 10 kg?
Auflösung: 25 kg kosten 15 fl. (5 kg — der fünfte Theil von 25 kg), 5 kg kosten den fünften Theil von 15 fl. = 3 fl. (10 kg — — 2 mal 5 kg), 10 kg kosten 2 mal 3 fl. — 6 fl. it. s. w.
Anmerkung: a) Für die Schlüsse von einem Maß ans ein Vielfaches und umgekehrt sind diesbezüglich vorbereitende Übungen noth-wendig. Z. B. Sage: ein Vielfaches von 2, 3, 4 re; ein Maß von 12, 15, 20 ii. s. f. (Vergl. Seite 96 die Übungen 1 und 2 § 85 über Maß und Vielfaches.)
1,) Für die Schlüsse von einer Mehrheit durch die Einheit (durch ein gemeinschaftliches Maß) auf eine andere Mehrheit gibt es auch eine Art vorbereitender Aufgaben, wie dies ans folgenden Beispielen ersichtlich ist.
1.) 3 hl kosten 81 fl.; u) wie viel kostet 1 hl; b) wie viel 2, 3, 4 hl it. s. f.
2.) 25 kg kosten 15 fl.; a) wie viel kosten 5 kg; b) wie viel 10, 15, 20 kg u. s. W.?
Zusammengesetzte Ausgaben.
§ 141. Diese unter dem Namen der Schlussrechnung (im engeren Sinne des Wortes) bekannten zusammengesetzten Schlussarten sind aber von jenen zu unterscheiden, die bei den sogenannten zusammengesetzten angewandten Aufgaben Vorkommen. Zusammengesetzte angewandte Aufgaben nennt man solche, in welchen Nebenrechnungen zu machen sind, um die Hauptrech innig ausführen zu können. Beispiele:
1.) Ein Landmann hat 4 Kühe, sein Nachbar 3 Kühe mehr; wie viel Kühe haben beide zusammen?
Nebenrechnung: Der Nachbar hat 4 Kühe und 3 Kühe, das sind 7 Kühe.
Hanptrechnung: Beide zusammen haben 4 Kühe und 7 Kühe, das sind 11 Kühe.
Im Folgenden werden die Nebenrechnungen und Hanptrechnnngen nicht mehr angeführt, da sie sich ja von selbst ergeben.
2.) Anna hat 5 m Band, dazu kauft sie noch 3 m und verbraucht dann 4 m; wie viel Meter Band hat sie noch?
3.) Ein Knabe tvar in 2 Wochen 5 Tage krank; loie viel Tage war er während dieser Zeit gesund?
4.) Ein Kaufmann kauft 37 hl ii 25 fl., er verkauft das Hekto liter mit 28 fl.; wie viel gewinnt er?
5.) Du hast 1 Zehner und 1 Fünfer; wie viel Meter Band kannst du dafür kaufen, wenn 1 in 3 kr. kostet?
ß.) In einem Walde sollen 18 Bäume gefällt werden; in wie viel Tagen werden 3 Holzhauer damit fertig sein, wenn jeder täglich zwei Bäume fällt?
7.) Ein Bater vertheilt unter seine 4 Kinder 5 Birnen, der älteste bekommt 2 Birnen; wie viel bekommt jedes der übrigen Kinder?
Die Steigerung solcher zusammengesetzter Aufgaben beruht auf der Zahl der zu nehmenden Nebenrechnungen.
Auch für zusammengesetzte Aufgabe» gibt es vorbereitende.
Beispiele.
1.) Ei» Landmann hat 4 Kühe, sein Nachbar 3 mehr; a) wie viel Kühe hat der Nachbar, b) wie viel beide zusammen?
Zn obigen Beispielen sollen hier nur die einznschaltenden Zwischen fragen angeführt werden; das übrige versteht sich so von selbst.
2.)	Wie	viel	Meter hat sie, nachdem sie 3 m dazu gekauft	hat?
3.)	Wie	viel	Tage sind 2 Wochen?
4.)	Wie	viel	Gulden gibt er für den Wein aus, wie viel	nimmt
er ein?
5.)	Wie	viel	Kreuzer hast du im ganzen?
ß.)	Wie	viel	Bäume fällen alle Holzhauer in 1 Tage?
7.)	Wie	viel	Birnen bleiben für die übrigen 3 Kinder?
Aufgaben mit Zwischenfragen werden zu zusammengesetzten, sobald man diese Zwischenfragen auslässt. Die Zwischenfrage» hat sich der Schüler selbst zu stellen, oder mit anderen Worten, die Nebenrech nungen hat der Schüler s e I b st aufzufinden.
Aufgaben wie: «Dein Onkel hat 2 Reisen gemacht, die eine dauerte
4 Tage, die andere 2 Tage: a) wie viel Tage dauerte die erste länger als die zweite, b) wie viel Tage dauerten beide zusammen?- sind eine Vereinigung mehrerer Aufgaben, welche nur durch dieselbe Bedingung miteinander verbunden sind, also keine zusammengesetzten und auch keine vorbereitenden Aufgaben auf solche.
Nachdem man sich überzeugt hat, dass den Schülern der Schluss ans die Nebenrechnungen und auf die Hauptrechuung sicher ist, wird man sie nur mechanisch arbeiten lassen, wie dies aus folgendem Beispiele ersichtlich gemacht wird.
5 Brüder verkauften das Besitzthum ihres Vaters, ui» das Erbe zu gleichen $ heilen zu theilen. Für Haus, Feld und Wiesen lösten sie 8880 fl., für Ackergeräthe und Wagen 159 fl., für das Vieh 366 fl. Welche Summe erhielt jeder Erbe? — Zuerst werden wir den ganzen Erlös berechnen, indem wir 8380 fl., 159 fl. und 366 fl. addiere»; dann dividieren wir die erhaltenen Summen durch 5, um den Antheil eines jeden Bruders zu finden.
Unter den zusammengesetzten Aufgaben sind noch jene hervorzuheben, welche man als z n s a m m e n g e fetzte Schl n s s r e ch nun g e n bezeichnet. Z. V.: Eine Mühle hat 6 Gänge, ans jedem Gange werden tiig-
5 hl 36 l Korn gemahlen; wie viel wird auf allen Gängen in 42 Tagen gemahlen?
Auflösung:
Auf 1 Gange werden in 1 Tg. ö hl 36 I Korn geniahlen,
auf 6 Gängen werden in 1 Tg. 6 mal 5 hl 361, das sind 32 hl 361 Korn gemahlen, ans 6 Gängen werden in 42 Tg. 42 mal 32hl 361, das sind 1359hl 121 Mont gemahlen
u. f. w. wie sonst.
Nachdem die Schüler die Auflösung der zusammengesetzten Schlussrechnungen in der angeführten Form fertig heraus haben, soll man sie an die kürzere Form, an die sogenannte Strichrechnnng an-gewöhnen. Alan lasse sie zuerst den Bedingungssatz, darunter den Fragesatz anfschreiben und dann durch Schlüsse die Unbekannte bestimmen, wie dies im Folgenden ersichtlich ist.
Beispiel: 5 Arbeiter vollenden eine Arbeit iit 20 Tagen, wenn sie täglich 12 Stunden arbeite», in ivie viel Tagen vollenden 6 Arbeiter diese Arbeit, wenn sie täglich 10 Stunden arbeiten.
5 Arbeiter 12 Std. 20 Tage (Bedingungssatz.)
6 Arbeiter 10 Std. x Tage (Fragesatz.)
5 Arbeiter vollenden eine Arbeit in 20 Tagen (20 wird ober den Strich angeschrieben), 1 Arbeiter in 5 mal so viel Zeit (5 wird als Factor z» 20 geschrieben), (i Arbeiter im sechsten Theil dieser Zeit (6 wird unter den Strich gesetzt), wenn sie täglich 12 Stunden arbeiten; würden sie mir 1 Stunde arbeiten, brauchten sie 12 mal so viel Zeit (12 als Factor zu 5), bei lOstündiger Arbeitszeit im Tage brauchen sie nur den zehnten Theil der Zeit (10 als Factor zu 6).
Schließlich wird, wenn möglich, abgekürzt und die Rechnung ans-geführt.
Antwort: So vollenden sie die Arbeit in 20 Tagen.
Als eine besondere Gattung zusammengesetzter Rechnungen, die man schon an der Mittelstufe zu behandeln pflegt, sind die Durchschnittsrechnung und die Theilregel.
Durchschnittsrechnung.
S 142. Die Stufenfolge soll an Beispielen ersichtlich gemacht werden.
1.)	Ein Landmann	verkauft 8	q	Hen um	17	fl.	76 kr., den
Metercentner zu verschiedenen Preisen; wie thener verkauft er den Meter-eentner im Durchschnitt? (Erklärung von «im Durchschnitt-.)
2.) Ein Landmann verkauft in zwei aufeinander folgenden Jahre» 31 q, 48 q Hen; wie viel durchschnittlich in einem Jahre?
8.) Ein Landmann verkauft 5 q Heu »m 11 fl. 40 kr. und 3 q um 6 fl. 86 kr.; wie thener verkauft er den Metercentner im Durchschnitt?
4.)	Ein Landmann	verkauft 5	q	Hen a 2	fl.	28	kr. und 8 q
ä	2	fl.	12 kr.; wie viel	erhält er	im	Durchschnitt	für	einen Meter-
centner?
Nach Hentschel konnte man den angewandten Aufgaben noch folgende durch Beispiele angedeutete Übungen voranschicken:
1.) Welche Zahl liegt in der Mitte zwischen 11 und 19.
Auflösung; a) tt, ich ich ich 15, ich 17, ich itf. Streichen
wir	die	Zahlen 11 und	19, dann	12 und 18	u.	s. f., nngestrichen
bleibt 15. 15 liegt also in der Mitte von 11 und 19.
h) 11 + 19 = 80, 80 : 2 — 15. 15 liegt also it. s. f.
2.) Suche die Durchschnittszahl von 20 und 60, von 7, 17 und 42 it. s. w.
Die Durchschnittsrechnung umfasst auch jene Art der Mischungsrechnungen, bei welchen nach dem Werte der Einheit der Mischung gefragt wird, z. B.:
Ein Wirt mischt 15 l Weilt ä 32 kr., 24 l ä 40 kr. und 11 l ä 00 kr.; wie viel ist 1 l der Mischung wert?
Knilling veranschaulicht die Durchschnittsrechnung durch Zeichnung. Es wäre dem gegenüber jedoch, zu bemerken, dass die äußere Veranschaulichung au dieser Stufe («ach Knilling 4 Schuljahr, 2. Semester) eher hinderlich als fördernd wirkt; sobald man Aufgaben innerlich erfassen kann, ist die äußere Veranschaulichung zu verlassen. Die gleiche Bemerkung gilt für die folgende Rechnung.
Thcilrcftcl.
§ 143. Die Bedeutung dieser Rechnung wird aus den folgenden Beispielen ersichtlich.
1.) A und >i	theilen 875	fl.,	A bekommt i! dieser Summe,	B
den Rest; wie viel	erhält jeder?
2.) A und B erhalten für ihre Arbeit	22 st.	36 kr.; A hat
5	Tage, B 8 Tage gearbeitet;	wie viel erhält	jeder?
Die Lösung der Durchschnittsrechnungen sowie der Theilregel ergibt sich von selbst; übrigens werden sie im praktischen Theil und in den Rechenbüchern bearbeitet.
Zerlegungsmethode.
§ 144. Schließlich wäre	noch die sogenannte	Zerlegnngs-
methode (welsche	Praktik), die	in	de»	Rechenbüchern auch schon	an
der	Mittelstufe vorkommt, zu	erwähne». Sie	ist zeitweise sehr lang-
wierig, jedoch formell sehr bildend und entspricht dem volksmäßigen Rechnen, daher ist	sie jedenfalls	in	der	Volksschule, jedoch besser auf
der Oberstufe, zu pflegen.
Beispiele.
1.) Wie viel Gulden Zins geben 345 fl. n 6" „?
Auflösung:	300 fl. geben	3	mal	6	fl. —	18 fl. - kr. Zins
45 fl. geben 45	mal	0	kr. —	2 fl. 70 kr. Zins
345 fl. geben	20 st. 70 kr. Zins.
2.) Wie viel kosten 210 kg, wenn 100 kg auf 00 st. kommen?
Auflösung:	200 kg kosten	2	mal	00 st. = 120 fl.
10 />•// kosten	den 10.	Theil von 00 fl. —	0 st.
210 kg kosten	126	fl
Übersichtliche Darstellung dcS Üicwonncnc» bezüglich des OprratioiisschliisscS.
S 145. Der Schluss ist einfach oder zusainmengesetzt. Im ivahreu Sinne des Wortes einfach ist eigentlich nur der Additivns- und der Subtraetionsschlnss. Der Subtraetionsschlnss ist zweierlei Art. Die zweite Art, der Schluss auf den Unterschied, ist schwieriger als die erste Art des Schlusses, der Schluss auf den Rest.
Der Mnltiplications- und der Divisivusschluss sind zusammengesetzt. Bei der sogenannten Schlussrechnung im engeren Sinne des Wortes sind folgende Fälle zu unterscheiden: 1.) Schluss von der Einheit ans eine Mehrheit und umgekehrt, 2.) Schluss vom Mas; auf ein Vielfaches und umgekehrt, 8.) Schluss von einer Mehrheit durch die Einheit auf eine andere Mehrheit und 4.) Schluss von einer Mehrheit durch ein Lisas; auf eine andere Mehrheit. — Hiebei sind wieder der vollständige und der abgekürzte Schluss zu berücksichtigen.
Bei zusammengesetzten Aufgaben ist der Schluss mehrfach, und zwar schließt man auf Nebenoperationen und auf die Hanptoperativ».
Die Durchschnittsrechnung und die Theilregel sind besondere Fälle von zusammengesetzten Aufgaben. Die »velsche Praktik ist eigentlich eine Rechnung mit Vortheilen, sonst aber auch nichts anderes, als eine Schlussrechnung.
Bcrlhcilimg dcr Lchlnssartcii auf bic verschiedenen Zahlcnränme.
§ 145. Allgemein kann man behaupten, dass nicht mehrere Schlüsse ans einmal, sondern dass sie einzeln der Reihe nach vorznführen sind, wie die Grnndoperativnen (vergl. § 12). Berücksichtigt man das Fassungsvermögen des Kindes und das über den Zusammenhang der Operationen Gesagte, so gehören in den Raum
1 — 20
der Additivns- und der Subtraetionsschlnss, höchstens noch der Multi plieationsschlnss.*
Der Subtraetionsschlnss zweiter Art (Schluss auf den Unterschied) dürfte sich besser für den Raum 1 — 100 eignen, Im Raume 1—20 sind auch zusammengesetzte Aufgaben ans der Addition und Subtraktion
* In die Rechenfibel sind Divisionsaufgaben nur deshalb ausgenommen worden, um den bestehenden Lehrplänen zu genügen.
nicht bloß möglich, sondern auch angezeigt, um diese beiden Operationen einander gehörig gegenüber zu stellen und sie dadurch zur vollen Ans fassuug zu bringen. In den Rani»
l —100
gehören (der Snbtractionsschluss zweiter Art), der Mnltiplieations- und der Divisionsschlnss. Jnsoferne diese Operationen in diesem Raume erst festen Boden fassen, empfiehlt sich bloß der Schluss von der Einheit auf eine Mehrheit und umgekehrt, und zwar mit gerade proportionierten Größen. Zusammengesetzte Aufgaben mit zwei oder mehreren Operativns-schlüssen empfehlen sich auch hier, weil dadurch die Operationen den Schülern zur klarsten Auffassung gebracht werden. In den Raum
1 — l ooo
gehören die übrigen Fülle der Schlussrechnung.
Aufgaben mit verkehrt proportionierten Größen kommen in den Rechenbüchern im Raume 1 —1000 schon vor. (Vergl. ß 180.)
Die Durchschnittsrechnung, Theilregel und einfache Aufgaben, gelöst nach der welschen Praktik, gehören in den unbegrenzten Zahlenranm.
Die zusammengesetzte Schlussrechnung wäre, wenigstens in der Form der Strichrechnung, auf die Oberstufe zu verweisen, wie dies die meisten Methodiker thun.
Henner verlegt den Anfang der Schlussrechnung in den ersten Zehner, dies thun eigentlich alle Monographen. »Auch ist die Schlussrechnung durch die Vorführung der Bruchrechnung bereits bedingt, denn die Lösung der Aufgabe: Wie viel sind £ von 12 V ist eine Schlussrechnung. » (Salberg.)
Welche Stellung die im vorliegenden Buche vertretene Theorie dem gegenüber einnimmt, ist nach Vorangehendem gar nicht nvthwendig zu bemerken.
Ans allem über das angewandte Rechnen Gesagten erkennt man, dass die in den verschiedenen Rechenbüchern vorkommenden Aufgaben nach fest bestimmten Principieu sowohl dem Inhalte als auch dem Opera tionsschlusse nach sich derartig ordnen lassen, dass der Schüler selbstständig und mit Lust auch im angewandten Rechnen vorwärts schreite» kann. Freilich soll das bereits Dnrchgenoinmene in vermischten Übungen sich wiederholen und der Schüler gewöhnt werden, Aufgaben verschiedenartigen Inhaltes und mit verschiedenartigen Operationsschlüssen selbstständig und fertig zu lösen.
Allgrivnndttü Rechnen nnf der Oberstufe.
§ 147. Hat man an der Unter- und Mittelstufe das Rechnen derartig behandelt, wie in dem vorangehenden Paragraphen anseinandergesetzt wurde, und hat man keine Lücken gelassen, dann hat man an der Oberstufe keine besonderen Schwierigkeiten zn überwinden, wenn man nur die Sachverhaltnisse gehörig erläutert. Hauptaufgabe der Oberstufe ist, den Schüler in das praktische Leben einzuführen. Močnik schreibt für die Oberstufe: -In dem weiteren Recheuunterrichte kann es sich nur darum handeln, das Gelernte durch Wiederholungsübungen zu befestigen und nach Bedürfnis zn erweitern, insbesondere aber die Überleitung von dem eigentlichen Schulrechnen zum Rechnen, wie es im Leben geübt wird, zu bewerkstelligen, indem die verschiedenen Verhältnisse des bürgerlichen Lebens, welche sich der Rechnung unterziehen lassen, nach und nach vorgeführt, und die bekannten Operationen auf diese Verhältnisse recht vielseitig zur Anwendung gebracht werden.... Von den Berhältnisrechnnngen sind die Proeent-, Zins- und Thei-lnngsrechnnng, bei denen möglichst der Charakter der Schlussrechnungen festgehalten wird, unter allen Umständen, in besseren Schulen auch die Discvnt- und Termin-, die Mischnugs- und Stetten-rechnung zu üben. Einige Kenntnis über die Rechnung mit Münzen, Wechseln, Staatspapieren und Aetien erscheint bei dem gegenwärtigen Aufschwünge des Verkehrs für keine Classe von Menschen mehr ganz entbehrlich; darum sollen auch die diesbezüglichen Rechnung» Übungen, wenn auch in beschränkterem Umfange, in keiner gehobenen Volksschule unberücksichtigt bleiben. Den Übungsstoff des letzten Schul jahres, als Abschluss des Schulunterrichtes im Rechnen, bilden Aufgaben, welche ans de» verschiedenen Bernfszweigen hergenommen und nach ihrem sachlichen Inhalte znsammengestellt sind; für Mädchen sind insbesondere hauswirtschaftliche Rechenaufgaben am Platze, in Dorfschulen werden landwirtschaftliche, in Stadt- und Marktschulen vorwiegend gewerbliche und einfache kaufmännische Rechnungen ihre an
gemessene Berücksichtigung finden Die Aufgaben über die Raum-
großen sind mit der geometrischen Formenlehre au den geeigneten Orten und in den dafür bestimmten Schuljahren in Verbindung zu setzen.»
Hentschel schreibt: «Auch hier müssen wir uns im Interesse der eiuclassigen Schule, wie das auch am Anfang der Bruchrechnung geschah,
die Frage vorlegen: Was ist das Wichtigste und Nothwendigste aus den bürgerlichen Rechnungsarten? Denn nur dieses kann und soll die einclassige Volksschule durcharbeiten, während die mehr« classige recht wohl auch die übrigen und meist schwierigeren Arten, sowie die Wurzelextraction aufnehmen kann. Die wichtigsten Stücke sind entschieden: die Procent- und Zinsrechnung, der Vielsatz und die Berechnung der wichtigsten Flächen und Körper. Das mag sich die einclassige Schule als Hauptaufgabe stellen. Ist hierin volle Sicherheit erlangt, dann kann wohl auch noch zur Rabatt- und Gesellschaftsrechnung vorgeschritten werden.»
Knilling verlangt: «Das Wichtigste ans dem bürgerlichen und kleingewerblichen Rechnen (6. Schuljahr), das Wichtigste vom Verkehr, vom Handel, von der Großindustrie und vom Staatshaushalt (7. Schuljahr). Die Behandlung der einzelnen Partien, die Lehre vom Quadrieren und Kubieren, Quadratwurzel- und Knbikivnrzelziehung, sowie die Lehre von den Verhältnissen und Proportionen gehört in den praktischen Theil.»
Bezüglich der Proportionen schreibt Mocnik: «Die Dreisatz- oder Regeldetrie-Anfgaben wurden in früherer Zeit allgemein nur mit Hilfe der Proportionen aufgelöst, welche daher auch im Rechenunterrichte der Volksschulen eine sehr wichtige Rolle spielten. Nachdem jedoch die fortschreitende Entwicklung eines rationellen elementaren Unterrichtes dahin geführt hat, dass man die Regeldetrie-Anfgaben durch kunstlose Schlüsse, und zwar vorzugsweise durch das sogenannte Znrückführen ans die Einheit, weit einfacher, mit mehr Einsicht und unmittelbarem Verständnis anflöst, als dies durch Bildung eines Proportionsansatzes möglich ist, haben sich bedeutende Schulmänner für die gänzliche Ausscheidung der Proportionslehre ans dem Unterrichtsstoffe der Volksschule ausgesprochen.
Die Vorzüge der Schlussrechnung sind auch in der That nicht z» verkennen. Indem der Schüler dabei die Lösung jeder Aufgabe durch einfache Schlüsse unmittelbar ans der genauen Beachtung aller Um stände ableitet und sich der Richtigkeit seines Verfahrens bei jedem Schritte bewusst bleibt, gewinnt er eine weit größere Sicherheit in seinen Operationen, als wenn die Lösung mittelbar ans dem Umwege der Proportion bewerkstelligt wird. Die Schlussrechnung verdient daher in der Volksschule unbedingt die vorzüglichste Berücksichtigung, ja sie soll in den Landschulen die allein vorherrschende AuflösungSinethode für
Regeldetrie-Aufgabeu bilde». Daraus folgt aber keineswegs, dass auch i» gehobenen Volksschule», die weitergreifende Zwecke zu verfolgen haben, die Proportionsrechnnng völlig übergangen werden soll. Abgesehen davon, dass die geistige Gewandtheit des Schülers mächtig gefördert wird, wenn man ihn anleitet, die Lösung einer und derselben Aufgabe ans verschiedene Arten in Angriff zn nehmen, wird durch die Lehre von den Verhältnissen auch die gründliche Auffassung der späteren Gesellschaftsund Mischungsrechnnngen, in denen es sich um Zahlenverhältnisse handelt, besser vorbereitet, ohne dass jedoch die Lösung dieser Rechnungen selbst von der Propvrtionslehre abhängig gemacht würde.-
ACgeßraifd?c Aufgaben.
(Nach Hcntschcl.)
8 148. a) Wesen der algebraischen Aufgaben.
Das Wesen einer solchen besteht darin, dass man eine oder mehrere Zahlen, welche zu einer oder mehreren anderen Zahlen in irgend eine Beziehung gesetzt sind, ans dem Ergebnisse dieser Beziehung bestimmen soll.
Hat man die Zahl zn suchen, welche gleich ist 4 X 8, so ist diese Zahl geradezu durch 4X8 bezeichnet, es liegt also keine algebraische (sondern eine einfache Mnltiplicativns-) Aufgabe vor. Wird dagegen gesagt, das dreifache der verlangten Zahl sei gleich 19 -s- 5, so ist dieselbe nicht geradezu bezeichnet, sondern man erführt nur das Ergebnis ihrer Beziehung, in welche sie zu 3 gesetzt ist; die Aufgabe gehört also zn den algebraischen. Wir überlegen erst und finden die Rech nnngsart, welche anzuwenden ist. Das Gleiche gilt von den folgenden:
Zieht man £ einer gewissen Zahl von 32 ab, so bleibt 12 übrig; wie groß ist die Zahl?
Das siebenfache einer unbekannten Zahl liegt eben so weit über 60, als das dreifache unter 60; wie heißt die Zahl?
Als ein Reisender j? seines Weges weniger 10 km zurückgelegt hatte, so blieben ihm bis zum Ziele noch 20 km übrig; wie viel betrug der ganze Weg?
Die wenigsten der algebraischen Aufgaben stellen sich freilich dem ungeübten Auge als solche so unmittelbar wie die vorstehenden dar, oder es treten doch die Beziehungen, in welchen die unbekannte Zahl zn anderen steht, nicht sofort in aller Deutlichkeit heraus. So z. B. hier:
Der Vater zählt 40 Jahre, der Sohn 10 Jahre; wann wird der Sohn I mal so alt sein als der Vater? Es bedarf schon einer etwas genauer» Betrachtung	dieser Aufgabe, uni sie	so	fassen zu	können:	Wie
heißt die Zahl, welche zu 10 gelegt, f mal	so	viel gibt,	als wenn sie
zu 40 gethan wird?
Roch mehr ist dies im folgenden Beispiele der Fall:
Eine Gesellschaft von Männern und Frauen hat 84 Mark aufzubringen, und es kommen davon auf jeden Mann 5 Mark, auf jede Frau 3 Mark; wie viel Männer und wie viel Frauen enthält die Gesellschaft, wenn sie im ganzen 20 Personen zählt? Für die Zahl der Männer, aus welcher sich dann die der Frauen sogleich ergibt, stellen sich die Bedingungen so: Das fünffache einer gewissen Zahl, vermehrt um das dreifache dessen, was ich erhalte, wenn ich diese Zahl von 20 abziehe, gibt 84.
Es ist jedoch durchaus nicht die Sache der Volksschule, praktische algebraische Aufgaben so abstract zu fassen. Im vorliegenden Falle heiße es ganz einfach: Angenommen, es wären bloß Männer in der Gesellschaft, so kämen 20 X 5 Mark — 100 Mark zusammen. Da jedoch nur 84 Mark,	also 10 Mark weniger	aufgebracht,	1 Frau	aber
nur 2 Mark weniger	zahlt als ein Mann,	so	müssen 8	Frauen	vor-
handen sein; es bleiben also 12 Männer.
h) Wert der algebraischen Aufgaben.
Der Wert der algebraischen Aufgaben auch für die Schule liegt darin, dass sie 1.) ganz vorzüglich geeignet sind, durch Übung des Nachdenkens den formalen Zweck des Rechenunterrichtes zu fördern und dass sie 2.) durch das Räthselhafte, was ihnen mehr oder weniger eigen ist, in hohem Grade die Kinder anziehen und so zur besonderen Würze werden, die aber den Magen nicht schwächt, sondern stärkt. Alle Pä dagogen sind hierin einverstanden. Wir legen also recht oft gegen das Ende der Rechenstnnden den Kindern einige solche Aufgaben vor.
c)	Behandlnngsweise.
Auf die Künste, welche die wissenschaftliche Algebra bei den Aust lösnngen anwendet, leisten wir jedoch Verzicht; wir geben keine Regeln und Formeln, wir nehmen, wie durch die oben gegebene Auflösung schon angedeutet ist, nur den gesunden Menschenverstand in Anspruch. Freilich müssen die Aufgaben leicht sein, viel leichter als sie in den meisten Lehrbücher» der Algebra zu finden sind. Ferner wird es gut sein, sie
nicht völlig regellos durcheinander zn würfeln. Ich habe in meinen Heften der Aufgaben zum Kopfrechnen eine Reihe solcher Aufgaben zusainmengestellt und darin die Rücksicht ans die Kräfte der Kinder mit der Rücksicht auf objective Ordnung möglichst zu vereinigen gesucht. Die Behandlung der Sache ist im Grunde sehr einfach. Zuerst wird den Kindern die Aufgabe vorgelegt. Sollten sie die Aufgabe an sich, den Sinn derselben, nicht so ohne weiteres verstehen, so muss nachgeholfen werden, was durch bloßes Abfragen der Theile der Aufgabe, durch Erklärung und Umschreibung, durch Veranschaulichung, oder durch mehrere dieser Stücke zugleich geschehen kann. Nun geht es an die Auflösung, der sich die Ausrechnung anschließt. Finden die Kinder selbst das Resultat, so ist das natürlich am besten; finden sie es nicht, so unterstützen wir sie, indem wir bald einzelne Winke geben, bald Veranschaulichungen eintreten lassen, bald katechetisch die Auflösung vollständig entwickeln, bald mich diese Hilfen in Verbindung anwende». Bloßes Vorrechnen seitens des Lehrers macht die Kinder denkfaul. Proben eines zweckmäßigen Verfahrens werde ich an verschiedenen Stellen mittheilen, so wie es eben die Sache mit sich bringt. Am gegenwärtigen Orte möge nur noch die Berechnung zweier Aufgaben Platz finden.
d)	Beispiele.
1.) Zu einer gewissen Zahl hat man 2 X 12 gezählt und es ist 100 herausgekommen; wie groß ist die Zahl?
Auflösung und Ausrechnung.
Wenn eine Zahl um 2 X 12 vermehrt 100 gibt, so muss sie selbst um 2 X 12 kleiner sein als 100; ich finde sie also, wenn ich 2 X 12 von 100 abziehe. 2 X 12 = 24, 100 — 24 = 70; also ist die gesuchte Zahl 76. Probe: 76 + (2 X 12) = 76 + 24 = 100.
2.) Nachdem Theodor zu dem Gelbe, welches ihm die Frau Pate in die Sparbüchse schenkte, 6 Wochen lang in jeder Woche 20 Pf. von seinem Verdienste gelegt hatte, so konnte er von dem ganzen Inhalte der Sparbüchse eine Bibel, welche 2 Mark kostete, bezahlen und mich noch 45 Pf. für die armen Überschwemmten in S. beisteuern; wie viel betrug das Geschenk der Frau Pate?
Auflösung und Ausrechnung.
2 Mark oder 200 Pf. kostete die Bibel, 45 Pf. gab Theodor für die Überschwemmten, also enthielt die Sparbüchse zuletzt 200 Pf. -s-+ 45 Pf. — 245 Pf. Davon hatte er 6 X 20 Pf. — 120 Pf. selbst
verdient, folglich hat ihm die Frau Pate 245 Pf. — 120 Pf. geschenkt. 245 Pf. — 120 Pf. = 125 Pf. oder 1 Mark 25 Pf.; dies ist das Geschenk der Fran Pate. Probe: 125 -s- (6 X 20) — 245; 245 — = 200 + 45.
So weit Hentschel.
Es möge dazu nur bemerkt werden, dass nach der Überzeugung des Verfassers derartige, das praktische Leben nicht berücksichtigende Aufgaben mir vorzunehmen waren, wenn der im Vorangehenden citierte Stoff bis zur Fertigkeit verarbeitet wurde, und dann nur solche, welche höchstens einzelne Winke, nicht aber auch Veranschaulichungen und kateche-tische Entwicklungen erfordern. -Dass man schwierige Aufgaben stellt, dann in den Erläuterungen die Hauptsachen in die Fragen hineinlegt, von den Kindern eine Nebensache ergänzen lässt und sie so hindurch drückt, das nützt gar nichts und ist doppelter Betrug: Selbstbetrug und Betrug der Kinder.» (Tanck.)
(Simges über WecHenvortHeike.
§ 149. Die Rechenvortheile haben in früheren Zeiten eine große Rolle gespielt, nun sind sie zum Glück auf ein Minimum rednciert, aber sie werden doch noch häufig viel zu zeitig angewandt. Die Rechen-vortheile habe» erst ihre Berechtigung, wenn den Kindern das Normal« verfahren geläufig ist; darnach ergeben sich aber auch die Vortheile oft von selbst. Eine besondere Besprechung an dieser Stelle ist nicht noth-wendig; sie sind leicht verständlich und gehören in den praktischen Theil. Ob die abgekürzte Multiplication und Division der Decimalbrüche für die Volksschule geeignet ist, ließe sich mit Recht fragen. Sie figuriert oft als Paradepferd, als Quälgeist der Kinder, bei den praktischen Berechnungen wird in der Regel auf sie vergessen. Das Rechnen der Volksschule sei praktisch; dadurch verliert es bezüglich der formalen Bildung gar nicht an Wert, ja es gewinnt, weil dadurch der Geist von den Fesseln phantastischer Künsteleien befreit wird.
§ 150. Für eine genauere Orientierung in der Methodik des Rechennnterrichtes mögen folgende Werke angeführt werden:
Adam, Anweisung zum Unterricht im Rechnen rc. Potsdam 1870. Büttner, Anleitung zum Rechenunterrichte in der Volksschule. Fünfte
Auflage. 1878.
Battig, Wegweiser für de»	gesummten Rechenunterricht in	den	Volksschulen. Fünfte Auflage.	Berlin 1872.
Böhme, Anleitung zum Unterricht im Rechnen. Achte Auflage. Berlin 1877.
Göpfert, Der Rechenunterricht in den drei ersten Schuljahre». Dargestellt im Aufträge des pädagogischen Seminars an der Universität Jena. Eisenach 1877.
©i-ohmnun, Das Rechnen	in neuer Form.	Wien 1875.
Grube, Leitfaden für das	Rechnen in der	Elementarschule.	Fünfte
Auflage. Berlin 1873.
Hentschel, Lehrbuch des Rechenunterrichtes in Volksschulen. Zwölfte Auflage. Leipzig 1882.
Heuner, Lehrgang des Rechenunterrichtes re. Vierzehnte Auflage. Ansbach 1878.
Baselitz, Wegweiser für den Rechenunterricht. Methodisches Handbuch für Lehrer und Seminaristen re. Berlin 1878.
Knilliug, Reform des Rechenunterrichtes. München 188(5.
Lüdeman ns Handbuch für den ersten Rechen unterricht. Hannover 1882.
Salberg, Die Sachrechen-Methvde rc. nach den Grundsätzen der Real-methode. München 1874.
Strehl, Methodik der Rechenkunst. Bearbeitet von A. Schubert. Vierte Auflage. Wien 1808.
Stubba, Anweisung für den Rechenunterricht. Leipzig 1875.
Tanck, Das Rechnen ans der Unterstufe. Meldorf 1884.