i i \Sivic" | 2023/12/25 | 10:02 | page 113 | #1 i i i i i i NOVEKNJIGE Matej Bre sar, Undergraduate algebra { a unied approach, Springer un- dergraduate mathematics series, Springer, Cham, 2019, 316 strani Tradicionalno se pri pouku abstraktne algebre najprej obravnavajo grupe, nato kolobarji, moduli in polja. Pri tem se pri vseh strukturah obravnavajo podstruk- ture, homomorzmi in (razen pri poljih) kvocientne strukture. Nekateri rezultati, na primer izreki o izomorzmih, se pri vsaki od struktur ponavljajo. Ker gre za konceptualne rezultate, se tudi do- kazi vsebinsko ponavljajo. Predavatelj je tako postavljen pred neprijetno izbiro: izreke vedno dokazati ali pa pri kasnej- sih rezultatih zgolj navesti, da je dokaz podoben kot pri ustreznem rezultatu za prej obravnavano strukturo. Vsaka od obeh mo znosti ima svoje slabe strani. Dokazovanje izrekov, ki so analogni ze dokazanim, terja cas, ki ga zato morda zmanjka za kak sno drugo snov, poleg tega pa vsaj pri bolj sih studentih vzbuja vtis, da se snov preve c ponavlja. V primeru sklicevanja na podob- nost dokaza pri ze obravnavani strukturi pa se je treba zavedati, da so studenti to strukturo lahko obravnavali ve c mesecev nazaj in snov zato ni ve c sve za. V izogib zgoraj navedenim dilemam profesor Bre sar na Fakulteti za ma- tematiko in ziko Univerze v Ljubljani predmet Algebra 2 predava v druga c- nem vrstnem redu. Najprej za vse algebrai cne strukture hkrati obravnava koncepte, ki so skupni vsem strukturam, v drugem delu predmeta pa na- tan cneje izpostavi rezultate, ki so speci cni za posamezne strukture. Za svoje studente je napisal u cbenik Uvod v algebro, ki je leta 2018 iz sel pri DMFA { zalo zni stvo. Pri cujo ca knjiga Undergraduate algebra { a unied approach je raz sirjen prevod slovenskega u cbenika. Med drugim so v njej dodane vsebine, ki so zaradi omejenega stevila ur pri Algebri 2 na FMF z leti izpadle iz u cnega na crta, marsikje v tujini pa so del standardne snovi, ki se obravnava pri abstraktni algebri. Na FMF lahko student spozna te vsebine pri izbirnem predmetu Algebra 3. Obzornik mat. fiz.70 (2023) 3 113 i i \Sivic" | 2023/12/25 | 10:02 | page 114 | #2 i i i i i i Nove knjige Knjiga Undergraduate algebra { a unied approach je sestavljena iz dveh delov. Prvi del, ki ima naslov The language of algebra, vsebuje stiri po- glavja, drugi del z naslovom Algebra in action pa tri. V prvem delu avtor vpelje osnovne algebrai cne strukture ter razlo zi koncepte, ki so skupni vsem strukturam, v drugem delu pa natan cneje obravnava grupe, kolobarje in raz siritve polj. U cbenik je napisan zelo razumljivo in bo v pomo c mar- sikateremu studentu pri studiju abstraktne algebre, ne glede na to, ali jo predavatelj predava v vrstnem redu, kot je naveden v knjigi, ali na tradi- cionalen na cin. Vsi koncepti so ponazorjeni s stevilnimi primeri, prav tako vsak razdelek vsebuje precej nalog za re sevanje. V prvem poglavju avtor vpelje osnovne algebrai cne strukture, s poudar- kom na grupah, kolobarjih, poljih, vektorskih prostorih in algebrah. Za vse te strukture nato denira podstrukture, opi se, kaj so generatorji posame- zne strukture, ter (razen za polja) denira direktne produkte. Ze v prvem poglavju je navedenih precej zgledov algebrai cnih struktur, pomembnej si primeri pa so natan cneje obravnavani v drugem poglavju. Med zgledi ko- mutativnih kolobarjev so obravnavani kolobar celih stevil ter kolobar ostan- kov Z n pri deljenju z n, kolobar funkcij ter kolobarji polinomov v eni in ve c spremenljivkah. Pomembna rezultata v celih stevilih sta osnovni izrek o deljenju in Evklidov algoritem. Avtor doka ze tudi, da je Z n polje natanko takrat, ko je n pra stevilo. Od grup so obravnavane simetri cna grupa S n vseh permutacij nan elementih, diedrska grupa ter matri cne grupe: splo sna in posebna linearna grupa, ortogonalna grupa, unitarna grupa in simplek- ti cna grupa. Pri permutacijah sta izpeljana razcepa na produkt disjunktnih ciklov in na produkt transpozicij. Dokazana je enoli cnost parnosti stevila transpozicij v razcepu, s pomo cjo cesar je deniran znak permutacije. Avtor tudi poka ze, da sode permutacije tvorijo grupo, ki jo imenujemo alternira- jo ca grupa. Poglavje o primerih se zaklju ci s kvaternioni, ki so za studente prvi (in pogosto tudi edini) primer nekomutativnega obsega. Tretje poglavje je posve ceno homomorzmom. To so preslikave, ki »ohra- njajo operacijo«. Vpeljavo pojma homomorzma avtor motivira z izomor- zmom vektorskih prostorov, ki ga studenti ze poznajo iz linearne algebre, in izomorzmom kon cnih grup, ki ga neformalno razlo zi s preimenovanjem ele- mentov v tabeli mno zenja. Hkrati vpelje tudi pojem cikli cne grupe in reda elementa v grupi. Sledi formalna denicija homomorzmov vseh obravna- vanih algebrai cnih struktur. Avtor na enoten na cin denira sliko in jedro homomorzma ter poka ze, da je injektivnost homomorzma ekvivalentna trivialnosti njegovega jedra. V nadaljevanju so obravnavani izreki o vlo- zitvah. Algebrai cne strukture so pogosto denirane abstraktno, za la zjo 114 Obzornik mat. fiz.70 (2023) 3 i i \Sivic" | 2023/12/25 | 10:02 | page 115 | #3 i i i i i i Undergraduate algebra – a unified approach predstavo in ra cunanje z njimi pa je ugodneje, kadar jih prepoznamo kot podobjekte v konkretnih objektih. Da je to vedno mogo ce, nam povedo izreki o vlo zitvah. Vsako kon cno grupo je mogo ce po Cayleyjevem izreku vlo ziti v permutacijsko grupo, vsaka kon cnorazse zna algebra nad poljem pa je izomorfna neki matri cni algebri. Sledita razdelka o polju ulomkov celega komutativnega kolobarja in o karakteristiki kolobarja. V cetrtem poglavju avtor predstavi kvocientne strukture. Najprej de- nira odseke po podgrupi in doka ze Lagrangeev izrek, ki pravi, da je mo c kon cne grupe enaka produktu mo ci podgrupe in indeksu te podgrupe v grupi. Nato bralcu predstavi, da bi na kvocientni mno zici vseh odsekov radi denirali operacijo na naraven na cin kot aN bN = (ab)N. Zato denira podgrupo edinko in poka ze, da je v primeru, ko je N podgrupa edinka, na- vedena operacija dobro denirana in da je kvocientna mno zica grupa za to operacijo. Enako avtor stori v primeru kolobarjev in algeber, kjer ima vlogo podstrukture, po kateri je mogo ce denirati kvocientno strukturo, ideal. Prava mo c avtorjevega enotnega pristopa k algebrai cnim strukturam se po- ka ze pri izrekih o izomorzmih. Prvi izrek o izomorzmu je formuliran tako za grupe kot za kolobarje, vektorske prostore in algebre. Avtor najprej ute- melji, da je jedro homomorzma ’:A!A 0 podgrupa edinka, ideal oziroma vektorski podprostor, zato je vselej mogo ce denirati kvocientno strukturo A= ker’. Nato v primeru grup poka ze, da je kvocientna grupa izomorfna sliki homomorzma ’, dokaz za druge strukture pa je povsem enak, le nota- cija se spremeni. Drugi in tretji izrek o izomorzmu (znana tudi kot izreka Emmy Noether) sta zaradi razli cnih notacij predstavljena za vsako struk- turo posebej, navedena sta klju cna koraka dokazov, detajle dokazov pa avtor prepu s ca bralcu. Poglavje se kon ca z »notranjima« denicijama direktnega produkta grup in kolobarjev. Poglavja o grupah, kolobarjih in raz siritvah polj v drugem delu knjige so precej raz sirjena glede na slovenski u cbenik Uvod v algebro. Poglavju o kolobarjih je dodana obravnava modulov ter klasikacija kon cno generiranih modulov nad glavnimi kolobarji, poglavju o grupah izreki Sylowa in kraj sa obravnava re sljivih ter enostavnih grup, poglavju o raz siritvah polj pa polja s karakteristiko 0, Galoisova teorija, re sljivost polinomskih ena cb z radikali ter osnovni izrek algebre. Glede na slovensko knjigo Uvod v algebro bralec v pri cujo ci knjigi opazi tudi spremenjen vrstni red poglavij o kolobarjih in grupah. Vzrok za zamenjavo poglavij je naslednji: V knjigi Uvod v algebro je v poglavju o grupah predstavljena klasikacija kon cnih Abelovih grup. S skoraj povsem enakim dokazom pa je mogo ce izpeljati splo snej si rezultat, namre c klasikacijo kon cno generiranih torzijskih modulov nad glavnimi ko- Obzornik mat. fiz.70 (2023) 3 115 i i \Sivic" | 2023/12/25 | 10:02 | page 116 | #4 i i i i i i Nove knjige lobarji. Klasikacija kon cnih Abelovih grup potem sledi kot poseben primer, ce za kolobar vzamemo cela stevila. Poleg tega je splo snej si rezultat upora- ben tudi na drugih podro cjih, na primer za izpeljavo Jordanove kanoni cne forme matrike. Za dokaz splo snej sega izreka pa je seveda treba vpeljati ne- katere pojme, povezane s kolobarji in moduli, zato sta poglavji o grupah in kolobarjih zamenjani. V petem poglavju se avtor torej ukvarja s komutativnimi kolobarji. V kolobarju polinomov v eni spremenljivki nad poljem doka ze osnovni izrek o deljenju in obravnava (ne)razcepnost polinomov. V primeru polinomov nad racionalnimi stevili sta pomembna predvsem Gaussova lema in Eisensteinov kriterij. Nato avtor vpelje pojme, povezane z deljivostjo, v poljubnem ko- mutativnem kolobarju, ter obravnava evklidske kolobarje, glavne kolobarje in kolobarje z enoli cno faktorizacijo. Evklidski kolobar je hkratna posplo- sitev celih stevil in polinomov v eni spremenljivki nad poljem. To je ko- mutativen kolobar brez deliteljev ni ca, v katerem velja analog Evklidovega algoritma. Glavni kolobar pa je komutativen kolobar brez deliteljev ni ca, v katerem je vsak ideal glavni, torej generiran z enim elementom. Avtor poka ze, da je vsak evklidski kolobar glavni, vsak glavni kolobar pa ima eno- li cno faktorizacijo, kar pomeni, da je mogo ce vsak njegov element napisati kot produkt nerazcepnih elementov na enoli cen na cin. Preostanek petega poglavja obravnava module. Najprej so denirani moduli nad poljubnim ko- lobarjem, podmoduli, homomorzmi modulov, kvocienti, direktni produkti in generatorji modulov, nato pa so natan cneje obravnavani moduli nad glav- nimi kolobarji. Avtor najprej formulira izrek, ki klasicira kon cne Abelove grupe. Nato razlo zi, da bo ta izrek sledil iz bolj splo snega izreka o klasi- kaciji kon cno generiranih torzijskih modulov nad glavnimi kolobarji in da direktni dokaz klasikacije Abelovih grup ni ni c kraj si. Za bralca, ki ni ve s c dela z moduli, tudi razlo zi, kako naj dokaz izreka o klasikaciji kon cno gene- riranih torzijskih modulov nad glavnimi kolobarji prevede na primer Abelo- vih grup. Nato je izrek o klasikaciji kon cno generiranih torzijskih modulih nad glavnimi kolobarji formuliran in dokazan. Sledi uporaba tega izreka pri izpeljavi Jordanove kanoni cne forme za linearno preslikavo T :V ! V , kjer je V kon cnorazse zen vektorski prostor nad algebrai cno zaprtim poljem F . Klju cni korak je, da na vektorskem prostoru V deniramo strukturo modula nad polinomskim kolobarjem F [X] s predpisom p(X):v = p(T )(v). Modul, ki ga dobimo, je kon cno generiran in torzijski, za kolobar F [X] pa ze vemo, da je glavni, zato lahko uporabimo prej dokazani izrek. Sesto poglavje natan cneje obravnava kon cne grupe. Avtor izpelje razre- dno formulo in doka ze Cauchyjev izrek, ki pove, da kon cna grupa, katere 116 Obzornik mat. fiz.70 (2023) 3 i i \Sivic" | 2023/12/25 | 10:02 | page 117 | #5 i i i i i i Undergraduate algebra – a unified approach mo c je deljiva s pra stevilom p, vsebuje element reda p. Nato denira de- lovanje grupe, vpelje pojma orbite in stabilizatorja ter doka ze zvezo med njima. S pomo cjo delovanj nato doka ze izreke Sylowa o podgrupah mo ci p k v dani grupi. Sledita kraj sa razdelka o re sljivih grupah in o enostavnih grupah. Glavna rezultata, ki bosta pomembna pri raz siritvah polj, sta, da je alternirajo ca grupa A 5 enostavna, ter da simetri cna grupa S n ni re sljiva za n 5. Sedmo poglavje govori o raz siritvi polj. Za cne se z opisom problema re sevanja polinomskih ena cb, ki je zgodovinska motivacija za studij raz- siritev polj. Nato avtor vpelje algebrai cne in transcendentne elemente in natan cneje obravnava kon cne raz siritve polj. Doka ze tudi, da je mogo ce z ravnilom in sestilom konstruirati le tiste to cke v ravnini, katerih obe koor- dinati sta algebrai cni stevili, katerih stopnji sta potenci stevila 2. Naslednja tema poglavja so razpadna polja. Za dani polinom s koecienti iz polja vedno obstaja (morda ve cje) polje, v katerem ima polinom ni clo. To polje je kvocient polinomskega kolobarja po maksimalnem idealu, generiranem z nerazcepnim deliteljem danega polinoma. Induktivna uporaba tega ar- gumenta pove, da ima vsak polinom s koecienti iz polja svoje razpadno polje, torej najmanj se polje, nad katerim polinom lahko zapi semo kot pro- dukt linearnih faktorjev. Sledi obravnava kon cnih polj. Ta so pra stevilske karakteristike, zato je njihova mo c oblike p n , kjer je p pra stevilo in n2N. Glavni rezultat o kon cnih poljih je obrat zadnje trditve, torej da za vsako pra stevilo p in vsako naravno stevilo n obstaja do izomorzma natan cno dolo ceno polje s p n elementi, ki je razpadno polje polinoma X p n X nad Z p . V nadaljevanju so obravnavana polja s karakteristiko 0. Za njih velja izrek o primitivnem elementu, ki pravi, da je vsaka njihova kon cna raz siritev generirana z enim samim elementom. Avtor nato vpelje denicije ksnega polja, Galoisove raz siritve in Galoisove grupe ter doka ze Osnovni izrek Ga- loisove teorije, ki pravi, da obstaja bijekcija med vmesnimi polji raz siritve in podgrupami Galoisove grupe. Iz Galoisove teorije sledi tudi, da je Galoisova grupa polinoma, ki je re sljiv z radikali, vedno re sljiva. Ker simetri cna grupa S n ni re sljiva za n 5, sledi Abel-Runijev izrek, ki pravi, da obstajajo polinomi pete stopnje v Q[X], ki niso re sljivi z radikali, torej taki, katerih ni cel ne moremo izraziti s formulami, ki vsebujejo le se stevanje, od steva- nje, mno zenje, deljenje in uporabo poljubnih korenov. Knjiga se zaklju ci z dokazom osnovnega izreka algebre, ki pravi, da je polje kompleksnih stevil algebrai cno zaprto. Klemen Sivic Obzornik mat. fiz.70 (2023) 3 117