i
i
“Lavric-trinajst” — 2010/6/1 — 10:57 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 15 (1987/1988)
Številka 6
Strani 345–347, 354
Boris Lavrǐc:
TEŽAVE S TRINAJSTO KROGLO
Ključne besede: matematika, geometrija, krogle v prostoru.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/15/915-Lavric-krogla.pdf
c© 1988 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
1""-'-ITI,,-'1/"'" 1CI" I"",
TEŽAVE S TRINAJSTO KROGLO
Ste že kdaj polagali kovance na ravno podlago - tesno drug ob drugega? Tudi
če jih niste, boste v hipu znali odgovoriti na naslednje vprašanje: Koliko enakih
krogov lahko položimo brez prekrivanja na ravnini k danemu enako velikemu
krogu? Največ šest, seveda. Toda, recimo,da vam ne verjamem. Bi mi znali pre-
prosto (ne s kovanci) dokazati, da imate prav?
Pospravimo kovance in namesto njih vzemimo med seboj enake kroglice,
na primer frnikole. Najbrž še niste poskušali k eni od njih priložiti v prostoru
čimveč drugih - saj tudi ni tako preprosto izvedljivo. Pa vendar bi šlo, denimo,
s pomočjo kozarca kroglaste oblike s trikrat večjim premerom od kroglic - kot
kaže slika na naslovni strani. Odgovora na podobno vprašanje, kot smo ga po-
stavili za kroge , pa ne moremo kar iz rokava stresti. Problema se lotimo takole:
Okrog osrednje krogle pričvrstimo na isto ravnino še šest krogel tako, da
se je vse dotikajo. Na to osnovo postavimo še tri krogle - vsaka naj sede v
vdolbino, ki jo tvorijo tri spodnje sosede. Ni težko preveriti (na primer s pomo-
čjo slike), da se vse tri dotikajo osrednje spodnje krogle in tudi med seboj.
Seveda bi enako lahko storili še z druge strani (od spodaj) in tako dobili kepo
trinajstih enakih krogel, v kateri se jih dvanajst dotika osrednje. S tem pa smo
naš problem že rešili, bo morda kdo pomislil. Tako lepo smo postavili dvanajst
krogel okrog ene, da jih več zagotovo ne bi mogli . Toda le zakaj? Še nekoliko si
razjasnimo problem.
Postavimo pet krogel na ravnino v venček, tako da bodo njihova središča
345
tvorila pravilni petkotnik . Nanje v sredino položimo enako kroglo, nato pa
venček enakomerno razmaknimo le toliko,da bo najn ižja točka zgornje krogle
v isti ravnini, kot so središča ostalih.
Kaj pa, če je bila zgornja krogia že prenizko? Tudi o tem bi se morali prepriča­
ti, a naj bo le izziv nejevernemu bralcu. Razlago najdete tudi na strani 361.
Ko smo to storili, na prvi venec krogel postavimo še enega - prav takega, nato
pa še v sredino na vrh kroglico in pod nastalo zgradbo še eno (pol je bo pod
osnovno ravnino).
Na sliki vidimo, da se spet dvanajst krogel dotika srednje,
vendar je tokrat ostalo še nekaj prostora (vsak venček je malce razmaknjen) . Če
bi krogle zgornjega venca nekoliko spustili med tiste v spodnjem, bi ob vrhu
ostalo še več prostora. Zdaj ni več tako "očitno", da je iskano število res dva -
najst. Morda pa je trinajst ali celo več . Pokažimo, da ne more presegati 14.
Ogrnimo katerokoli od priloženih krogel s plaščem stožca , k i se je dotika
in ima vrh v središču osrednje krogle . Ta plašč od njenega površja odreže kapi-
co, katere površino bomo zdaj izračunali. Poglejmo na sliko in izrazimo višino
v kapice spoimerom r krogle. Kot ob vrhu osnega preseka stožca meri 600 , za-
346