PRILAGAJANJE POLINOMOV Z ORTOGO- NALNIMI POLINOMI BINOMSKIH PUNKCIJ Dr. Marijan BLEJEC INSTITUT ZA STATISTIKO IN OPERA¬ CIJSKO RAZISKOVANJE PRILAGAJANJE POLINOMOV Z ORTOGO- NALNIMI POLINOMI BINOMSKIH FUNKCIJ Dr« Marijan BLEJEC INŠTITUT ZA STATISTIKO IN OPERA¬ CIJSKO RAZISKOVANJE Ljubljana 1959 O I -09- 2003 li M 2 Prilagajanje polinomov z ortogonalnimi polinomi binomskih 0. Uvod. Prilagajanje polinomov ekvidistantnim empirič¬ nim vrstam je pogost primer pri regresijski analizi in analizi časovnih vrst. Posamezne metode, ki rešujejo ta problem, imajo svoje tehnične in vsebinske prednosti in pomanjkljivosti. Ta¬ ko npr. uporaba binomskih funkcij poenostavlja tehniko izračunavanja parametrov prilagojenega polinoma, ortogo- nalni polinomi pa imajo predvsem analitične prednosti. Obravnavana metoda kombinira obe omenjeni metodi in ta¬ ko združuje prednosti obeh. 1. Binomske funkcije 1»1 Binoinski koeficienti. Obravnavana metoda je zasno¬ vana na binomskih funkcijah, ki imajo za osnovo binom¬ ske koeficiente. Binomski koeficient je definiran z /a\ : a! __ a(a-l)(a-2) ... (a-b+1) funkcij b b ! (a-b)! ^1.2.3. b Po tej definiciji velja, da je -a b ) (-a)(-a-1)(-a-2) 1 . 2.3 (-a-b+1) _ (_]_) b ( 2 ) Iz definicije binomskega koeficienta sledi ( 3 ) 2 Znano je, da je Ker je po definiciji v posebnem primeru, da je b=o, 5 degenerira v ? (r) ■£(:)■ a=o a=o N 'n+l' ,m+l. (A) (5) ( 6 ) (7> Iz lastnosti binomskih koeficientov sledi zveza r .) P 1.2 Binomske funkcije . Kot binomsko funkcijo stopnje r definirajmo celo racionalno funkcijo od x /x \ _ x(x-l) .... (x-r+l) (g \r/ 1 . 2 . r ki ima formalno obliko binomskega koeficienta reda r Binomska funkcija je z 9 definirana za vse vrednosti x. Za cele pozitivne vrednosti za x se njene vrednosti uje¬ majo z vrednostmi ustreznih binomskih koeficientov. 3 Za binomsko funkcijo definirajmo prve diference kot A X / X+1 \ r x r-1 ( 10 ) Druge diference slede iz prvih A 2 /x = A A C dl) S kompletno indukcijo pridemo do splošnega izraza, da je diferenca stopnje-k za binomsko funkcijo enaka o X r-k ( 12 ) Če definiramo kumulativo binomske funkcije K ( ) z K & ■ £ C) - G) ' x = o ^ (13) je druga kumulativa K d- ‘KI = K ( x \r+l x $ + 2 (14) in s podobnim sklepanjem kot za diference kumulativa stopnje k K k / x x .r+k (15) Glede na definiciji diferenc in kumulativ se obe opera¬ ciji dopolnjujeta v tem smislu, da je med operatorjema A k in K k zveza A k = K~ k A = 'A' ( 16 ) Za operatorje A in K velja, da so asociativni, stributivni in komutativni di- 4 A = A /\ k = K^” k = A k ^ (17) Iz definicije diferenc in kumulativ 12 in 15 sledi, da je je cela racionalna funkcija stopnje t Ker je zaradi lastnosti binomskih koeficientov za cele vrednosti x Parameter a r v polinomu binomskih funkcij je vrednost diference stopnje r v polinomu binomskih funkcij za x=o. 1.3 Zaradi zgornjih lastnosti dobimo s sistematičnim postopnim kumuliranjem iz parametrov a r vrsto vrednosti polinoma Y(x) za cele vrednosti x. (18) Polinom binomskih funkcij stopnje t (19) x\ _ o , če je x -4) r ( 20 ) in zaradi 6 velja, da je ( 21 ) Za x = o sledi iz 21, če upoštevamo 6 in 20 r A Y(o) a. r ( 22 ) 5 Za polinom tretje stopnje je npr. Iz o ~2 i n kumuliranjem tretjih diferenc dobimo vrsto dru¬ gih diferenc, iz in kumuliranjem drugih diferenc vrsto prvih diferenc, iz a Q in kumuliranjem prvih diferenc pa vrsto vrednosti polinoma Y za cele vrednosti x. X 1*4 Kumulative stvarnih vrst. Po podobnem postopku kot za kumulative binomskih funkcij izračunamo po obrazcu Y , = K k+1 Y + iČ Y (23) x+l x x x kumulative iz vrste statističnih podatkov Y , s tem,da so K r Y o =o, če je r / o Če nakažemo postopek za izračun kumulativ za vrsto z N=6 členi,dobimo: 6 K Y x ^ Y x K 1 - 2 KI. 3 K^Y. x Y 1 Y Y 2 V Y 1 Y 3 Y o +Y 1 +Y 2 2 V Y 1 Y 4 Y o +Y 1 + V Y 3 5Y o +2Y 1 +Y 2 3Y + Y, o 1 y 5 VVW y 4 4Y +3Y, +2Y,+Y, o 1 2 3 6 V 3 V T 2 6 Y o +Y l +Y 2 + W Y 5 5Y 0+ 4Y 1+ 3Y 3 +Y 4 10Y o +6Y 1+ 3Y 2 +Y 3 N-l °e= I ("T 1 Y x C l = L 1 "Tl Y X °2= L 1 N-l N-l N-x-l\ x=o x=o x=o Iz primera je nakazana struktura kumulativ in struktura vsot členov v kumulativni vrst C , C-, , Člen za x=N o 1 2 v kumulativni vrsti stopnje k+1 je obenem vsota členov od x=o do x=N-l v kumulativni vrsti stopnje k. Kot je nakazano za splošne N za C Q , C_^ in C 2 » pa moremo strukturo posplošiti na poljuben s. Tako velja, da je c s - z kS y x = kS+1 y n - D ("T 1 ) Y x (24) x=o x=o 7 - 2. Ortogonalni polinomi binomskih funkcij 2.1 Definirajmo ortogonalni polinom binomskih funkcij nom ortogonalnih polinomov do stopnje s I N-x-l\ s U r X s x k v ' k=o dobimo, če koristimo 25 in 5 (27) N-l X x=o X. N-x-l , s P N-l, t X * X J ■ r=o x=o\ L I \ N-x-l s P 1 N r \r+s+l, = Z 1 <28) r=o ali, če koristimo 24 in 25 s N-l N-l X x x=o N-x-l' p V 3 I 0 s = o,1 ...(p-1) X c, X XX * k=o x=o P k C p s = p (29) Iz 28 in 29 dobimo sistem enačb za parametre ortogonalne- ga polinoma b p t N P X b P ^- T r=o P r+s+1 N X b ? lr+p+1. = 0 = c s=o, 1, 2 ... (p-1) ( 30 ) r=o s=p 8 V matrični obliki moremo ta sistem pisati kot bB = c (31) pri čemer je b vektor parametrov b p , B matrika binomskih N r koeficientov (^ OJ -i), c pa vektor, ( 0 , 0,0 ... C ), za I T* S "T _L P katerega so vse vrednosti razen zadnje enake o, zadnja C pa je od r neodvisna količina. Če sistem enačb 31 rešimo, dobimo da je b = c. B -1 (32) oziroma zaradi narave vektorja c P L s=o C S B P _ZB_ P B p (33) Ker sta C in B p (determinanta binomskih koeficientov) p P od r neodvisna, so parametri b£ ortogonalnega polinoma X proporcionalni kofaktorjem B P , ki ustrezajo P . P členom r v vrsti p v matriki binomskih koeficientov. Ker proporcionalitetni faktor ne vpliva na ortogonalnost po¬ linoma, b P izenačimo z B p . r rp Ako preučimo kofaktor B P p =(-l) P+r (34) 9 spoznamo, da moremo parametre b p dalje reducirati. Če upoštevamo lastnost binomskih koeficientov 3, s postop¬ nim seštevanjem vrst v kofaktorju B dobimo, da je sr B P = pr (- 1 ) p+r = (-D p+r pr pr (35) Iz kolon v zadnji determinanti v 35 moremo izpostaviti faktorje v skupnem izrazu P “3T (p-k)! [nj k+1 k=o __ K (p-r) ! fdj r+1 iz vrst pa faktorje v skupnem izrazu S 1 l i+d' - H Q -o (p+s+1) ! (36) (37) Tako ostane za izračun le še determinante = d /p+s+1\ \ P-k (38) pr Nova oblika kofaktorja B P je ° pr ° B* pr (- 1 ) p+r .K.R.d (39) X* “f“ []_ Od členov v 39 je od r odvisen samo l/(p-r)! N v K, in determinanta d. Zato moremo parametre ortogonalnega polinoma ponovno reducirati. Po drugi redukciji so b p proporcionalni ■jo (-n p + r (p-r)! [N] r+1 (p+s+1 \ 1 P-k I (40) 10 Determinanto /p+s+l’ \ P" k i pr r;‘) o /p+i\ p + i ... I* +1 ) 'p+; ( P p+; \p-r j \p-r-2 j (p+2) f P+2 ' \p-r/ \p-r-2 o p+2' o (2 p l P 1 2p Ip- '2p ( 2P Ip-J \p-r-2 2p o (41) izračunamo s sukcesivnim odštevanjem po dve zaporedni vrsti, če upoštevamo 10. Z dosledno uporabo te operacije dobimo, da je jp+s+l^ l P~ k / pr p+r r j (42) Ako izraz v 40 pomnožimo z od r neodvisnim členom [V]^ + ^ in upoštevamo 42, dobimo, da so parametri ortogonalnega polinoma stopnje p proporcionalni .r^ r N P +r fn-r- 1 ) fv+r b P^ ( ~ 1} I P-r r (43) ortogonalni polinom pa enak s ■ r=o r=o ( 44 ) N=1 2.2 Izračunanje izraza x: x=o p. Za kasnejša N-l o £ x=o izračunavanja je pomembna vrednost izraza -.11 Ortogonalni polinom moremo pisati v obliki X = I.(-l)P +r l' r=o . MfolC ‘2p\/x+p\ Pl 1 /x .P A P/ + žo Cr 2p\ /x+p\ P r-f JP. + Z d ,. x . k=o • k Jx k (45) Prvi člen vsebuje najvišjo (p-to) potenco iz ortogonalne- ga polinoma, ostanek pa je možno izraziti z linearno zve¬ zo ortogonalnih polinomov do stopnje p-1. Zaradi lastnosti ortogonalnih polinomov, ki so dane z njihovo definicijo 26 in zaradi 45 velja _• 2 ■ N-l i x p ■ r x . x=o p) X+P ) + p 1 d k x k P/ k=o :! P )I x P M x=o N-l z v = r t (-l) p+r r=o /p+r\ /N-r-l\ / x \ fx+ p\ 1 r p-r j \ ?/ \ P J Ker je s preureditvijo 0 ( 7 ) ■ velja dalje Če upoštevamo 5 dobimo (46) (47) (48) ( 49 ) 12 s preureditvijo pa /N + p \ /N-r-1' p+r+1 / \ p-r N + pl, j' 2p +1) ,2p +1/ \p+r+1, (50) Če upoštevamo zveze 49 in 50, dobimo iz 48 L X /2p\/N + p \P / \2p+ 1 f ( -l)P« /p + r\ 2 /2p + 11 \ r / lp+r+1 ) r=o :5D Iz zveze 8 dobimo v posebnem primeru fr' f • i wa P\ /P+m) / P+r) 3 ,P +m j (52) S preureditvijo dobimo, da velja r-m /-p-m-l\ j = (-d r-m/ / P+r\ p+r) \ p+m r-1 (53) Razen tega je tudi f 2p + 1\ _ /2p + 1\ \P+r+l / \ p - rj (54) Če upoštevamo 52, 53 in 54, dobimo, da je dalje P p ,P P Y_ (-i) p+r ( p+r ).f 2p +1 \ = Y_ (-D p+m ( p \J p+m ]f2f p " m “ 1 \( 2p+1 )= ! r=o Ir/ \p+r+l/ m=o \m j\ p / r =o \ r-m f\ p-r/ »n = (-d 1 L m=o (_i) m ,/p +m ( - 1)S I (p m=o m (-l) P ^ _1 j = (-1) 2P = 1 ( 55 ) - 13 - če dvakrat upoštevamo zvezo 4 med binomskimi koeficienti, če vnesemo rezultat iz 55 v 51» dobimo končno S P N-l L x=o 2pWN + p\ P / \2p+ lj (56) 3. Prilagoditev polinoma ortogonalnih polinomov stvarni vrsti 3. 1 Predpostavljajmo, da je vrsta stvarnih podatkov dana z modelom Y x n I n = r + u. (57) kot vsota polinoma racionalnih funkcij stopnje n n in slučajnostne komponente U x Pogoj, ki ga po metodi najmanjših kvadratov postavljamo na oceno prilagojenega polinoma, je Zaradi lastnosti ortogonalnih polinomov iz 26, sistem normalnih enačb degenerira v N-l £ Y x X p x=o ^ N-l y x=o ( 59 ) Iz zveze 59 dobimo, da je - 14 - A P = N-l I- Y x X p x=o __ N-l L č xTo p N-l Medtem ko smo X^ že izračunali (56), moramo x=o N-l Y X šele proučiti, x=o p Če upoštevamo 44, dobimo, da je N-l £ Y x ** x=o ^ N-l p Y_ (_i)P +r fP +r l. [N-r-1 \/x x=o r= o p-r /\r / x Zaradi 2 in 5 velja, da je L (-i> ! (N~s-l\ f N-x-l' s=o r-s Če vnesemo 52 v 61, dobimo dalje N-l I -p~x 4 — ^\ r / \ p-r \ r-s , x=o v r=o s=o ' / ' ' x=o S preureditvijo spoznamo, da je p-r r N-r-1\/N-s-1 i P-r /\ r-s [N-r-l] ; [N-s-lJ r-s (p-r)! N-s-l\ f p-s v P-s J 1 P-r 9 (r-s) ( 60 ) izraz (61) (62) (65) ( 64 ) 15 - Če upoštevamo 64 in 24, je ? r - 1 -E. /N-s-l\ E- /p-sUp+r Je 0 V* = (_1) \ p-s ) C s ^ s (_1) \P-r/( n s = o - 5 ) Ker je p_s 0 lp-r = o ako je r( s in zaradi 2 in 4 je l «>'m - iptn f-3-V V P I = (~D J fp+ S (66) in končno, ako to zvezo vnesemo v 65 in upoštevamo 43 N-l x=o P x s = o z \y x = i.(-i) 2p+s ^p!; 1 R p ri °s = ( - i)P (6?) — P S s=o * 3.2 Prilagojeno funkcijo Y(x), ki je dana z ortogonal- nim polinomom n Y(x) = H A X (68) p=o P P transformiramo v polinom binomskih funkcij, če upošteva- /x' n , \ n x EU Ev? ■ r=o p=r (69) ( 70 ) 16 parametri prilagojenega polinoma binomskih funkcij. Tako dan prilagojen polinom je glede na pomen parametrov, ki sledi iz 22.neposredna osnova za izračunanje osnovni vrsti Y prilagojene vrste Y(x). A 3.3 Iz simetrije ortogonalnih polinomov proučevanega tipa vemo, da je (-l) p X p (x) (7D Na novo izhodišče x q = N-l transformirana prilagojena funkcija Y(x) pa je zaradi 2, 53 in 71 enaka n n (x) =^ A p (_1) P p = 0 X (N-l-x) =r (-1) P A J p P c — p=o /N-x-l' P»( r| r=o n ■r p = 0 P+r A b P /x-N-r p~r l r (72) Za dobljeno fransformirano funkcijo so parametri D p n H (-D P+r A p b p = AY (x = N-r-1) (73) p = o diferenca stopnje r za x=N-r-l. Zgornja ugotovitev je posebno pomembna pri ekstrapola¬ ciji prilagojene vrste vnaprej. 4. Analiza variance komponent za prilagojeni polinom 4.1 Ako vzamemo, da je v modelu proučevane vrste n Y X = Z A p x p + u x x= 0,1,... (N-l) (74) p=o - 17 U slučajna variabla za zakonitostjo porazdelitve a 2 U x = :N(o,cr ), moremo z analizo variance preskusiti zna¬ čilnost posameznih komponent prilagojenega polinoma« Pri eksperimentalnem delu če sto nastopi problem, da presku¬ šamo značilnost linearne, kvadratične, kubične itd. kom¬ ponente. Manj je zgornja predpostavka upravičena pri proučevanju časovnih vrst. Vendar tudi pri časovnih vrstah, ne glede na neizpolnjene pogoje, ki so osnova za analizo variance, dostikrat nastopi problem razstav¬ ljanja vsote kvadratov na doprinose posameznih kompo¬ nent. Ta analiza je potrebna pri odločitvi, katera funk¬ cija je primerna kot funkcija, ki jo prilagodimo ali pri analizi, koliko posamezna komponenta doprinese k skup¬ ni vsoti kvadratov oziroma variabilnosti podatkov. Zaradi lastnosti 26 ortogonalnih polinomov in zaradi 60 dobimo, da je vsota kvadratov odklonov stvarnih vredno¬ sti od vrednosti prilagoj enega polinoma SK^ N-l x=o (75) Pri tem je SKp . rN-1 E \x =0 Y * X P N-l E x 2 x=o (76) 18 N-l . r"~ 9 prispevek komponente p k skupni vsoti kvadratov 2— Y • x=o Pri predpostavkah, ki veljajo za preskušanje hipotez z analizo variance, posamezni členi SK nastopajo s po .m eno stopinjo prostosti, SK^ pa z N-n-1 stopinjami pro¬ stosti . Tako moremo z P-preskusom izraza SK. F = -, se' 2 se = SK P N-n-i (77) z m^=l in mg= N-n-1 stopinjami prostosti preskušati značilnost linearne (p=l), kvadratične (p=2) itd. kom¬ ponente. Varianca za oceno parametrov A je Jr Var A„ = o r N-l x A x=o r 12p \ P 2 ^e fN + p (2p+ 1 a ocene variance var A = - P N-l h x=o 2p 'N + p \2 P + 1, (78) (79) 4.2 Kovarianca in korelacijski koeficient med odkloni stvarnih vrednosti od vrednos t i prilagojenih polinomov. - --? y Če vrsti prilagodimo polinom stopnje n 1 2_ ^p^p ’ vrsti Z pa polinom stopnje S;. S~ A^X , je kovarianca med odkloni stvarnih vrednosti od prilagojenih polinomov enaka t 19 glede na 77 pa je vrednost korelacijskega koeficienta r YZ K YZ _ V SK^ . SK| (81) 5. Matrike koeficientov ortogonalnih polinomov binomskih funkcij 5.1 Splošna matrika koeficientov ortogonalnih polinomov binomskih funkcij V tabeli 2 podajamo splošno matriko koeficientov b^ iz 43 in vsote kvadratov vrednosti ortogonalnih polinomov Sp = ^ Xp iz 56 za poljuben N za p=o,l,k,... 10 in p. ( 82 ) Ker moremo zaposamezne p. vrste koeficientov še dalje reducirati tako, da vrsto v matriki bS delimo z največjim skupnim mnogokratnikom, v nadaljevanju podajamo^katerim pogojem mora zadoščati N, da je ^rsta deljiva z ustrezni¬ mi divizorji za p = 1 do p = 10. Npr.: p=7 :2 N=4(mod 8) 7 pomeni: koeficiente ortogonalnega polinoma b r S^ so de¬ ljivi z 2,če je število členov N v proučevani vrsti enako 4 modulo 8. 20 Tabela 1. Redukcijski faktorji koeficientov bS 21 P=8 :3 N=l,2,4,5,7,8(mod 9) :5 N=2,3 (mod 5) sil N=3,4,5,6,7»8 (mod 11) s 13 N=5,6,7,8 (mod 13) P=9 s2 N=l,3 (mod 4) s 5 N=1,2» 3 s 4(mod 5) sli N=2,3,4» 5,6, 7 9 8 j, 9 (mod 11) :13 N=4,5,6,7,8,9(mod 13) :17 N=8,9(mod 17) p=10 2 N=6(mod 8) 11 N=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10(mod 11) 13 N=3,4,5,6,7,8,9,10 (mod 13) 17 N=7,8,9,10(mod 17) 19 N=9,10(mod 19) 5.2 Ma trika koeficientov ortogonalnih. polinomov binom- skih funkcij za p = 1(1)3 in N= 1(1)30 Za N=1 do N=50 so v tabeli 3 dani koeficienti ortogonalnih polinomov do pete stopnje p = 1(1)5.To je obseg, v katerem rešujemo običajno probleme prilagajanja polinomov. Če je N )> 50 ali p med 6 in 10 5A. o. OV Tabela 5. F .m) za preskušanje značilnosti za komponente z m p =l stopinjami prostosti Tabela je za m > 3o prirejena iz tabele za t-porazdelitev iz zveze: F^ p (l,m) = t^ a2p (m) 35 - 6. Obrazec OPBF Obr. OPBF 1 je prirejen za analizo statističnih vrst z vrednostmi na enake razmake 6 Ker je predvideno, da potrebne vsote kumulativ za stvari vrste 0^ in kumulative iz parametrov prilagojenega po¬ linoma izračunamo na računski stroj z registrirnim tra¬ kom z uporabo subtotalov, je v prvem delu le tabela z oznako členov (stolpec 2), osnovno stvarno vrsto podatkov r (stolpec 3) in prilagojeno vrsto podatkov Y(x) (stol- A pec 4). Ooseg te tabele dopušča vrste z do N=50 členi (tolikšen je obseg tabel izračunanih matrik koeficientov za izračunanje ortogonalnih polinomov). V podolžnem delu obrazca je v stolpcih 5 do 10 prostor za vs ;te kumulativ C (za prilagoditev parabol do n = 5 P stopnje) in matriko koeficientov ortogonalnih polinomov b iz tabele 3 za ustrezen N. V kolono 11 vpisujemo vrednosti produktov koeficientov b in vektorja C’ bC’. V ifolpec 12 iz matrike koeficientov prepišemo vrednosti za S. V stolpec 14 vpišemo izračunane parametre ortogonalnih polinomov A , ki jih dobimo tako, da bC’ delimo z S,upo- števaje E oziroma spremembo predznaka za lihe parametre, kar je naznačeno v stolpcu 13» V stolpcu 16 je v glavi predviden prostor za vsoto kva- Z p Y . Vsota kvadra- x tov pride v poštev, če analiziramo variabilnost oziroma vsoto kvadratov odklonov. V nadaljnje vrste te kolone vpisujemo ustrezne prispevke posameznih komponent k skup¬ ni vsoti kvadratov. Te količine so, kot je nakazano v JI 1 2 JZ 8 Q _lo. 11 12 12 11 JI •m 17 ji 19 2 n 21 22 22 21 25 ■26 22 22 22 la H 12 - 11 li¬ li 11 11 H -m lOu. 42 _ 43 . 11 11 -M. -12 -18- 11 V*/ 4- £nr! 5 ^/1 Ki/ t?j V * iili m 1 m fl O) fe_ p \i P? 3 11 a •d M en p P p p o u ’-V a (M j fp ul _. .. .. x -dr m at ČO ll O- in l*4 i <\i X KI =1 cu P m P P- J Ul £ P i -<■ •o •H O P O a o a o p p •rl G rH cti C & O -p H o > 0) •p •H O Q0 g3 rH •H fH -P 0) £ m ip ■ p* (M IP rn IP IP 37 - 2 glavi obrazca^enake (bC’) /E, kar sledi iz obrazca 77. V shemi je nakazano kako izračunamo vsoto kvadratov od¬ klonov stvarnih vrednosti od prilagojene krivulje (ki ni nujno polinom pete stopnje) SK^. Če so izpolnjeni pogoji za analizo variance izračunamo na nakazan način 2 še oceno variance za slučajnostne vplive s g . V koloni 17 izračunani P^ je osnova za analizo variance. V pomožni tabeli so dane kritične vrednosti F (l,N-n-l), Si ki služijo za osnovo pri presojanju o značilnosti po¬ sameznih komponent. Ko ugotovimo^.. do katere stopnje so komponente značilne in presodimo izvor značilnosti, glede na pomen prilago¬ jene funkcije izračunamo koeficiente funkcije binomskih polinomov D . D r je produkt A'b vektorja parametrov A in matrike koeficientov b. Ce iščemo koeficient prilagoj enega polinoma binomskih funkcij z izhodiščem na koncu vrste, pri izračunavanju koeficientov glede na obrazec 74 upoštevamo še vektor¬ ja predznakov E in G. Te koeficiente izračunamo kot = AE’bG’. Iz dobljenih koeficientov prilagojenega binomskega polinoma dobimo prilagojeno vrsto s postopnim kumuli- ranjem, kot je nakazano v odstavku 1.3. 7. Primeri za uporabo 7.1 Izračunanj e" vrste ortogonalnega polinoma Zaradi pomena koeficientov polinomov binomskih funkcij, ki je razviden iz 44, iz tabeliranih koeficientov b*j dobimo vrsto za ortogonalni polinom s kumuliranjem, ka¬ kor je prikazano v 1.3. 38 Če vzamemo za primer ortogonalni polinom za tretjo stopnjo Za primer vzemimo časovno vrsto indeksov industrijske proiz¬ vodnje blaga za široko potrošnjo v SFRJ v razdobju 1952- 1967 (Vir: SG-68) Čeprav predvidevamo, da izračunamo vsote kumulativ na računski stroj z registrirnim trakom, zaradi sistema po¬ dajamo izračun kumulativ; 39 Iz tabele 3 matrik koeficientov ortogonalnih polinomov za N=16 je v shemo v stolpce 5-10 prepisana matrika b v stolpec 12 pa vektor S v ustrezno vrsto pa vektor C. Dalje je: (C'b) 0 = 875.1 = 875 (C 'b) 1 = 4525.2 + 875.(-15) = -4075 (C'b) 5 = 180714.12 + 105201.(-66) + .. + 875.(-143) = 2415 Od vsote y = 18^ + 21^ + . + 100^ + 99^ = 60451 odštevamo v stolpcu 16 prispevke posameznih komponent: 40 - CC'b)2 : S Q (C'b) 2 : S-, 875 2 : 16 = 47851,56 (-4075) 2 : 1360 = 12210,02 (C'b) 2 : S 5 2415 2 : 201.552 = 28,94 Če ni predvidena analiza variance ali analiza vsote kva¬ dratov odklonov, stolpci 15 - 17 odpadejo iz analize in preidemo na izračuna parametrov Ap, do stopnje, ki j e določena po drugih merilih, ne pa z analizo variance. V shemi je po zgornjih navodilih izvršena analiza časovne vrste. Ker je za primer, da prilagodimo vrsti z N = 16 čl ni polinom pete stopnje število stopinj prostosti N-n-1 = 10, so m = 10 ustrezne kritične vrednosti iz tabele 5: ^ = o,lo o,o5 o,ol o,ool F(l,10) 3,28 4,96 lo,o4 21,o4 Če primerjamo izračunane vrednosti za F s teoretičnimi, ugotovimo, da sta linearna in kvadratična komponanta vi¬ soko značilni. Značilne pa so tudi vse nadaljnje jkubična komponenta (F=17,69) na ravni sl = o,ol, komponenta 4. stopnje pa na ravni et = o,opl (F = v ^,26), komponenta 5. stopnje pa na ravni & = 'D,ol (F = 12,ol). Iz tega sklepamo, da je primerna funkcija trenda parabola druge stopnje, večja ali manjša značilnost drugih komponent pa je rezultat krajših ali daljših ciklov. Čim višja je stop nja komponente, tem krajši cikel izraža. Po tej analizi se odločimo, da kot trend izračunamo po¬ linom in vrsto za parabolo druge stopnje: 41 Parametri prilagojenega polinoma ortogonalnih polinomov A_ = (C 'b) E —- E—E so . P 875.1 16 = 54,6875 = (-4075) (-1) = 2>9g63 1360 * _ 1171.1 R _ 5712 = 0,2050 Iz njih pa so izračunani parametri prilagojenega polinoma binomskih funkcij D = A 'b D q = 54,6875.1 + 2,9963.(-15) + 0,2050.35 = 16,9180 D x = 2,9963.2 + o,2050(-14) =3,1226 D 2 = 2 , 2050.2 = 0,4100 Medtem ko je prilagojena funkcija Y(x) pisana z ortogonal- nižii polinomi: Y(x) = 54,6875 + 2,9963 + 0,2050 X 2 kot polinom binomskih funkcij pa Y(x) = 16,9180 + 3,1226(*) + 0,4100( 2 ) Vrsto trenda dobimo s kumuliranjem: 42 Prilagoditev ortogonalnih polinomov binomskih funkcij Vrstni: Indeksi industrijske proizvodnje za osebno potrošnjo - 43 - 1958 0,4100 1959 1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1 96 7 i) 7.3 Primerjava parametrov ortogonalnih polinomov Vrste parametrov ortogonalnih polinomov za različne, a sorodne časovne vrste, izračunane iz enakih časovnih raz dobij, so med seboj primerljive. Z njimi primerja, no ana liziramo značilnosti proučevanih časovnih vrst. Vzemimo za primer časovne vrste za indekse industrijske proizvodnje po namenu proizvodnje v razdobju 1952-1967. Parametri ortogonalnih polinomov 7. so naslednji? - 44 - S primerjavo parametrov po namenu proizvodnje analizira¬ mo, da so vsi parametri dinamike od 1. do 4. stopnje za proizvodnjo široke potrošnje največji. To kaže na naj¬ večjo dinamiko v proizvodnji te skupine artiklov. Tako vzpon (linearna komponenta), kot hitrost povečevanja (kvadratična komponenta) sta znatno večji za tretjo sku¬ pino artiklov. Manjša razlika je v tretji stopnji, več¬ ja pa je zopet pri komponenti četrte stopnje, kar izra a značilnost, da so tudi ciklični odkloni naj zaznavne jši pri tretji skupini proizvodov. 7.4» Prilagoditev polinoma z izhodiščem na koncu vrste Kot primer za izračunanj e parametrov za prilagojeno funk¬ cijo v zadnjem členu vrste vzemimo indeks fizičnega ob¬ sega uvoza v SFRJ v razdobju 1958-1966 (Vir: Indeks 1/69), kateremu prilagodimo polinom druge stopnje. Najprej iz¬ računamo potrebne kumulative. Izračun kumulativ je naka¬ zan, čeprav je prikladne j e izračunati kumulative na račun¬ ski stroj z registrirnim trakom z uporabo subtotala brez pisanja. Izračunanje kumulativnih vrst za indeks fizičnega obsega uvoza v SFRJ. Leto 716 G o 25o2 C 1 5435 'Ca 45 - Če iz obrazca OPBF 1 nakažemo samo del, ki se tiče izra¬ čunavanja parametrov^dobimo iz zgornjih podatkov: Y(x) = 104,864 + + 0”252( X 2 2 ) Iz teh parametrov dobimo za prilagojen polinom binomskih funkcij ekstrapolirane vrednosti s postopnim kumuliranjem Z " je naznačeno, da se parameter »252 ponavlja. Prila¬ gojeno vrsto dobimo na znan način preko sheme v 1.3. Vrsto prvih diferenc dobimo, če kumulativno prištevamo vrednosti 6,915 Z\ 2 Y = .252 (6,915 + o,252 = 7,167 ; . 7,167 + o,252 = 7,419 itd.). D& dobimo prilagojeno osnov¬ no vrsto, pa izračunanemu parametru lo4»864 kumulativno prištevamo ustrezne prve diference (lo4,864 + 7,167 = = 112,o31 ; 112,o31 + 7,419 - 119,45o itd.) * \ S.' i > ■' t * '■ J"'"-' S J • ; . , ■ . n. rf . - 46 - 7 » 5 Izračunanje prilagojene funkcije in. vrste za primer, da se za že obračunano vrsto vrsta osnovnih podatkov zveča za en člen Y ^. Pogosto se pri proučevanju časovnih vrst časovna vrsta, ki smo jo analizirali, tekoče ažurira in poveča za en člen* Tako npr* moremo časovno vrsto za indeks fizičnega obsega uvoza v SFRJ v razdobju 1958-1966 dopolniti s podatkom za leto 1967 in. iskati prilagojeno funkcijo za novo- za en člen podaljšano časovno vrsto. V tem pri¬ meru je izračun količin za en člen podaljšano vrsto C skrajšan, ker moremo izkoristiti količine za staro- krajšo časovno vrsto. Če z C zaznamujemo kumulativne ir vsote za novo časovno vrsto z N+l člani, z nov N-l člen v stvarni časovni vrsti, z pa kumulativne vsote za staro časovno vrsto z N členi, izračunamo količine Cp na splošno po naslednjih obrazcih: = C 0 + Y X = C x + C 2 + splošno 0=0+0* P P P-1 V primeru indeksov fizičnega obsega za uvoz v SFRJ v raz¬ dobju 1958 - 1967 izračunamo iz za vrsto 19^fe—1966 sistematično takole: Y* nr ^ = 115 1967 1967 Y 67 = 115 N = N+1=1o C o = 716 C 1 = 25o2 C 2 =5435 + 115 + 716 +25o2 C = 831 C* = 3218 0 o =7937 o 1 2 Parametre za podaljšano časovno vrste z N=lo členi izračunamo podobno kot za prvotno vrsto z M=9 člehi» 47 Rezultati oziroma ekstrapolacija na novi osnovi je na¬ slednja: 1965 .386 Jasno je, da moremo z večkratno uporabo obrazcev izraču¬ nati kumulativne vrednosti časovno vrsto podaljšano za poljubno število členov. 7•6 Izračunanje posamičnih vrednosti prilagojenega polinoma S tabelo 4 binomskih koeficientov izračunavamo posamezne člene prilagojene funkcije. Vzemimo za primer ekstrapolacijo prilagoj enega polinoma za indeks blaga za široko potrošnjo v SFRJ za leto 1969. Iz tabele je razvidno, da je za leto 1969 x = 17. Glede na koeficiente prilagojenega polinoma binomskih funkcij in vrednosti binomskih koeficientov za x = 17 je ekstrapolirana vrednost Y(x=17) = D 0 (q 7 ) + + J) 2 (1 2 } = 16 »198o.l. + + 3,1226.17 + O,41oo.l36 = 125,o4 7.7 Izračunanje korelacijskih koeficientov iz odklonov stvarne vrste od prilagojene vrste Za primer vzemimo časovni vrsti za indekse industrijske proizvodnje sredstev dela Y in materiala za reprodukcijo Z v razdobju 1952-1967. A - 48 - Nakazani izračun postopno daje korelacijske koeficiente od klonov od polinomov o., 1*, ...o 5° stopnje. 16 928 0 139o -3861 1 5712 898 2 loo776o 5224 3 47o28o -33o9 4 2ol552 172o 5 Iz zgornjega primera je razvidna tehnika .izračunanja ko- relacijskih koeficientov in vpliv eliminacije posameznih stopenj na korelacijske koeficiente. Za obravnavani vrsti podatkov razen od r v „ med seboj niso zelo različni, kar kaže na določene značilnosti proučevanih časovnih vrst. Dinamika, ki ni pogojena s komponentami do petega tipa je v obeh vrstah zelo podobna kar izzove razmeroma visoke korelacijske koeficiente tudi po eliminaciji smeri raz¬ voja do polinoma pete stopnje. - 49 LITERATURA M. Blejec, Prilagajanje polinomov binomskih funkcij po metodi najmanjših kvadratov. Ekonomski zbornik, VIII. letnik, Ljubljana, 1966 R.A. Fischer, Statistical Methods for Research Workers, Edinburgh, 13. izdaja, 1963 H. Gebelein, Zahl und Wirklichkeit, Leipzig, 1943 t r :x i. , ■