i
i
“1094-Lokar-derive” — 2010/7/13 — 9:57 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 19 (1991/1992)
Številka 4
Strani 210–212
Matija Lokar:
DERIVE
Ključne besede: računalništvo, matematika.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/19/1094-Lokar.pdf
c© 1992 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
OOL~ll'\IOll'l'/CTI 'l-l. " 11__ I II 1_ 1_' III' _
DERIVE
Petek , toplo majs ko sonce in ura matematike . Konec ure se je hitro približeval.
"M orda pa bo le pozabi l na domačo nalogo," smo upali.
Zaman. Tudi zvonec, ki je med tem zazvonil, nas ni rešil. Že med vrati
smo bili, ko nas je dosegel njegov glas .
" Do naslednj i č pa naredite naloge iz zbirke na st rani 78, in sicer 2, 3, 5,
7 in 8. No pa še 9 in 10, ampa k le do črk e m."
Groza! Vse naš e ideje o prijetnem vikendu so se razblinile kot milni
mehurček. Pa saj ne da bi mislili, da so naloge nepotrebne. Le toliko jih je in
več ali manj so si vse podobne kot jajce jajcu. In ko enkrat odkriješ sistem ,
gre le še za avtomatizem . Seveda pa moraš način reševanja ugotoviti že pri
prvih primerih , saj drugače naloge tako ali tako ne rešiš. In čeje kaj zoprno ,
je to dolgčas pri reševanju domače naloge .
Zato ni čudno , da smo pogosto razmišlja li o žepnem ra čun alniku, ki ne
bi znal le množiti , deliti , seštevati števila , ampak tudi ulomke , spremenlj ivke,
pa ra čunati odvode , seštevati kotne funkcije in podob no.
Po dvakrat sedmih letih sem tak kalkulato r le dobil v roke. Sicer ni ravno
to, je pa program , ki ga naložiš v računalnik in uporabljaš . Resnici na ljubo
obstajajo tudi že kaikuiatorji , ki znajo večino stvari , o katerih smo sanjali kot
srednješolci. Vendar o njih kdaj drugič . Danes si poglejmo nekaj o programih
za simbolično računanje in o enem med njimi, programu Derive, tud i nekoliko
več.
Kaj programi za simbolično računanje sploh so? Na kratko rečeno , to so
programi, ki znajo računati s simboli. Vsak kalkulator zna sešteti 0.5 in 0.6,
programi za simbolično ra čunanje pa se ne bodo ust rašili tudi računov kot so
a2:!..b2 + a~b ' Znajo pa tud i mnogo več . Na primer poiskati razcep polinoma
ali pa narisati sliko racionalne funkcije. Nobenih težav jim ne povzroča razcep
števila 20081991 na prafaktorje ali pa množenje kompleksnih števil. In kar je
morda še posebej pomembno - če ne zahtevamo le približnega rezultata , nam
bodo vedno postregli s točnirn. Tako ~ + ~ ne bo 0.99999999, ampak res 1.
Tudi .j2 ne bo postal 1.41421, ampak bo tudi za nadaljnje račune ostal ../2.
ln tudi R ne bo kar x, ampak točneje lxi. Programi te vrste se ne ustrašijo
niti velikih števil kot je 20! ali pa nam povedo štev ilo 7l" na 20 decimalk.
Programov za simbolično računanje je v zadnj ih letih na tržišču kar
nekaj. Med njimi je gotovo najbolj razvpit program Mathematica, nekaj
zaradi kvalitete nekaj pa zaradi uspešnega trženja . Drugi programi te vrst e
so še Macsyma , Maple , MathCad , Matlab , in ne nazadnje tudi program
Derive. Ta ima med vsemi prav posebno vlogo in sicer iz povsem enostavnega
211
razloga. Večina teh programov zahteva namreč dokaj zmogljivo računalniško
opremo . Praktično vsi našteti programi potrebujejo računalnik, zgrajen okrog
procesorja Intel 80386 , opremljen še z matematičnim koprocesorjem in vsaj
1 Mb pomnilnika. Verjetno bo starše le težko prepričati , da nujno potrebujete
prav tak računalnik , ki stane kar nekaj povprečnih slovenskih plač. Na drugi
strani pa program Derive za svoje delovanje potrebuje le s PC XT združljiv
računalnik . Do njega bo pa že laže priti, še posebej, če se zadovolj ite z
rabljenim . Tudi razlika v ceni programa ni zanemarljiva, saj se se tipična cena
programov za simbolično računanje giblje med 700 in 1500 USD, program
Derive pa proizvajalec prodaja po 250 USD. Na prvi pogled tudi zadnja vsota
ni zanemarljiva, a če jo preračunamo v ure inšt rukcij - saj sploh ni toliko!
Na srečo teh prednosti (nezahtevnosti v strojni opremi in relativno nizke
cene) ne plačamo prehudo. Program sicer prej 'obupa' nad nekaterimi naloga-
mi, vendar je to običajno znak, da je v našem pristopu k reševanju naloge
nekaj narobe .
Poleg tega , da zna program računati s celimi in realnimi števili , računa
tudi z ulomki in kompleksnimi števili. Le bi le imel kaj takega v rokah , ko
sem v potu svojega obraza računal tr idesti izraz oblike (2 + 3i) 25 ! Saj vem,
Moivrov obrazec. Pa vendar! Pretvorba v polarno obliko, množenje, pa zopet
nazaj v kartezično obliko! Vaja res dela mojstra, ampak pri tridesetem računu
je vse skupaj res že na moč dolgočasno .
Seveda pozna program vse mogoče in nemogoče funkcije . Le pa katere
vendarle ne pozna, ga je mogoče o njej poučiti.
5e eno lastnost programa velja omeniti - risanje funkcij . Saj poznate
racionalne funkcije s petimi ničlami in šestimi poli ali pa logaritem kakšne
čudne vsote sinusov in kosinusov. Vedno se mi je zdelo kot mali čudež, ko je
kdo dejal, da se da taka stvar celo narisati . Dobro se še spomnim tiste ure, ko
nas je profesor' prepričeval', kako ima funkcija sin ~ vedno več ničel, ko gremo
z x proti O. Saj je bil zelo prepričljiv, a dvomi so ostali . S programom Derive
pa je risanje prava pesem . Samo vtipkamo funkcijo , pritisnemo pravo tipko
in glej sliko. Res! Funkcija sin ~ kar nekako opleta proti ničli . Povečajmo
sliko. Spet le pritisk na tipko. To ponavljamo, dokler nismo rudi vizualno
prepričani , da je imel profesor res prav.
Funkcij dveh spremenljivk pa raje sploh ne omenjam. 5e danes se mi zdi
skoraj nemogoče , da bi 'uganil', kako izgleda funkcija dveh spremenljivk, pa
če je še tako enostavna. Na primer znamenito sedlo z = x 2 - y2 . Program
Derive nam omogoča, da si take slike ogledamo z vseh strani in pri različnih
povečavah. Seveda se kvaliteta slik ne more primerjati s tistimi, ki jih narišeta
programa Maple in Mathematica , pa vendar - za predstavo o izgledu grafa