ZNANSTVENI PRISPEVKI B Metode na temelju prednostne relacije in njihova uporaba v postopkih večkriterijskega skupinskega odločanja: študija primera Andrej Bregar Informatika, d. d., Vetrinjska ulica 2, 2000 Maribor andrej.bregar@informatika.si Izvleček Enega ključnih pristopov k odločitveni analizi predstavljajo metode na temelju prednostne relacije in psevdokriterija. Članek podaja celovit pregled metod iz te skupine, pri čemer obravnava njihovo uporabo v kontekstu individualnega in skupinskega odločanja ter implementacijo v obliki odločitvenih sistemov. S študijo primera iz domene informacijskih in komunikacijskih tehnologij potrdi učinkovitost združitveno-razdružitvene metode dihotomijskega sortiranja pri reševanju problemov večkriterijskega skupinskega odločanja z nenatančnimi in mehkimi preferenčnimi informacijami. Ključne besede: sistemi za podporo odločanju, večkriterijska odločitvena analiza, skupinsko odločanje, prednostna relacija, študija primera. Abstract Outranking Methods and Their Application in Group Decision-Making: a Case Study One of key approaches to decision analysis is based on the concepts of outranking and pseudocriterium. The paper gives a comprehensive overview of outranking methods in the context of individual and group decision-making, as well as from the perspective of their implementation in the form of decision support systems. By presenting a case study from the information and communications technology domain, it confirms the efficiency of an aggregation-disaggregation dichotomic sorting procedure for multiple criteria group decision-making with imprecise and fuzzy preferences. Keywords: decision support systems, multiple criteria decision analysis, group decision-making, outranking relation, case study. 1 UVOD Značilnosti te metode so bile proučene samo na Obstajajo številni modeli in sistemi za podporo individual- podlagi eksperimentalne simulacijske študije [5]. nemu ali skupinskemu odločanju. Zanje velja, da slonijo na Namen članka je tako: različnih preferenčnih strukturah, med katerimi sta bržkone 1. s študijo primera ovrednotiti učinkovitost upora- najbolj razširjeni funkcija koristnosti in prednostna relaci- be skupinske združitveno-razdružitvene metode ja. Čeprav je bila dokumentirana uporaba mnogih metod, ki dihotomijskega sortiranja alternativ na temelju temeljijo na psevdokriteriju in prednostni relaciji [1, 2, 8, prednostne relacije; 10, 12, 13, 18, 30], so bile redke med njimi dovolj celovito 2. s študijo primera pokazati, da so lahko metode, ovrednotene - z eksperimenti, na realnih primerih in s pri- temelječe na prednostni relaciji, uspešno upora- dobivanjem povratnih informacij od odločevalcev glede oseb- bljene v postopkih skupinskega odločanja; nega zadovoljstva s potekom in rezultati postopka odločanja. 3. opraviti celovit pregled individualnih in skupin- Podobno velja tudi za združitveno-razdružitveno proceduro skih metod iz družine prednostne relacije. sortiranja, ki je bila vpeljana v sklopu lastnih raziskav s ci- Preostanek članka sestoji iz sedmih razdelkov. V ljem samodejnega konvergentnega usmerjanja postopka sku- razdelku 2 so predstavljeni glavni koncepti psevdo- pinskega odločanja proti konsenzni rešitvi [7]. kriterija in prednostne relacije. Razdelka 3 in 4 poda- jata pregled obstoječih odločitevnih metod in sistemov, ki temeljijo na teh konceptih ter služijo podpori individualnemu kot tudi skupinskemu odločanju. Teoretične osnove skupinske združitveno-razdružit-vene odločitvene metode, ki je ovrednotena s študijo primera, so v strnjeni obliki, ki zadošča za razumevanje primera, povzete v razdelku 5. Šesti razdelek je jedro članka. Najprej definira odločitveni problem in kvantitativni model, nato pa po korakih sistematično opiše iterativni postopek iskanja konsenza. Dobljeni rezultati so v sedmem razdelku interpretirani na podlagi izbrane podmnožice kriterijev modela vrednotenja skupinskih odločitvenih metod in sistemov [6]. Opravljena je tudi osnovna primerjava z rezultati predhodne simulacijske študije. Osmi razdelek poda sklepe in izpostavi smernice nadaljnjega dela. 2 PSEVDOKRITERIJ IN PREDNOSTNA RELACIJA Odločitveni problem je opisan s kvantitativnim modelom, ki odraža več različnih, pravüoma nasprotujočih si cüjev. Le-ti so formalno obravnavani kot množica kriterijev X={x1,^,xn}, katerim pripadajo funkcije gj(-), Z upoštevanjem kriterijskih funkcij so analizirane razpoložljive alternative iz dane množice A={fl1,^ ^,flm}, tako da je vsaka od njih opredeljena z vektorjem (gi(fli),—,gn(ai)). Povsem običajno je, da so numerične vrednosti alternativ pri nekaterih kriterijih podvržene nenatančnosti, negotovosti in nedoločenosti [30, 33]. Te tri pojave upošteva koncept psevdokriterija s svojimi pragovi indiference, preference in veta. Zanj velja, da ne zahteva tranzitivnosti in popolne primerljivosti, zato naj bi privedel do uporabnih rezultatov tudi takrat, kadar zaradi dvomljivih podatkov odpovejo druge metode. Pri pravem kriteriju ne obstajajo pragovi, zaradi česar je predpostavljena stroga preferenca ene alternative nad drugo, kakor hitro se pojavi razlika v kriterijskih vrednostih. Če smo soočeni z negotovostjo v podatkih ter nenatančnostjo meritev in matematičnega modela, pa je razumno vpeljati prag indiference qj, ki predstavlja največjo mogočo razliko l gj(a)-gj(b)l, pri kateri je odločevalcu še vseeno, ali je glede na kriterij xj bolj zaželena alternativa aiEA ali alternativa bGA. Vendar v splošnem meja med enakovrednostjo in prednostjo ni ostra. Za izogibanje hipni spremembi je vpeljan prag preference Pj. Kadar je pozitivna razlika dovolj majhna, to je lgj(a)-gj(b)l pj. Primer, ko je qj0,w>0}. Ker je lahko vrednost Uj izračunana glede na kateri koli vektor wGW, mora algoritem razvrščanja za vsako varianto rešiti ustrezni linearni program, ki poišče optimalno razporeditev uteži w*, pri kateri je ocena Uj bodisi maksimizirana bodisi minimizirana. Tako sta dobljena dva delna vrstna reda alternativ - padajoči Cj^—in naraščajoči ^Dj. Reda sta zdru- žena z operacijo preseka. Variante, katerim je dodeljeno isto mesto, so neprimerljive. Fernandez idr. [16] so definirali vrednostno relacijo bližine, ki upošteva koncepta skladnosti in nesoglasja z izjavo »objekt x je iz odločevalčevega vidika vsaj tako dober kot objekt y«. Če je mogoče, so posamezni objekti sortirani po dominanci, sicer pa po pre-ferenčni bližini. Uteži kriterijev so izpeljane na podlagi informacij, ki so prisotne v referenčni množici T, in ne na podlagi dejanskih vrednotenih alternativ. Odločevalec mora v obliki binarnih relacij podati še dodatne informacije o pomembnosti kriterijev, tako da za vsak par kriterijev pove, ali sta kriterija enakovredna ali pa je eden pomembnejši od drugega. Rezultat so oblikovane množice indiference SI, šibke preference LI in stroge preference MI. Za indukcijo uteži je uporabljen linearni program, katerega omejitve zagotavljajo združljivost s presojami, vsebovanimi v SI, LI in MI, ter z interpretacijo relacij šibke/stroge preference, indiference in neprimerljivosti med pari referenčnih učnih objektov (xk,x')G(TxT). PROAFTN je večkriterijska metoda nominalne klasifikacije, ki spada v skupino nadzorovanih algoritmov učenja in omogoča določitev mehkih relacij indiference z generalizacijo indeksov skladnosti in nesoglasja [2]. Slednji so izračunani podobno kot v sklopu metod ELECTRE III in ELECTRE TRI, tako da so upoštevani prototipi oz. profili kategorij. Greco idr. [19] so preučili ekvivalenco med modelom presoj v obliki produkcijskih pravü ter modelom na podlagi prednostne relacije. Njihov pristop inducira odločitvena pravila iz grobih aproksimacij prednostne relacije, izraženih z učnimi primerki. Nato iz množice odločitvenih pravil izpelje uteži kriterijev in pragove veta, ki določajo model na podlagi testov skladnosti in nesoglasja. Siskos idr. [31] so uporabüi sortiranje z metodo ELECTRE TRI v kombinaciji z združitveno-razdru-žitveno analizo za zaposlitveno ocenjevanje strokovnjakov s področja informacijskih in komunikacijskih tehnologij. Uteži so bile v ta namen razporejene enakomerno, medtem ko so bile vrednosti preferenčnih parametrov za profile kategorij in kriterije aproksimirane glede na trideset referenčnih alternativ, ki so bile izbrane v sklopu interaktivnega dela s programsko opremo za ELECTRE TRI, tako da je bila minimi-zirana napaka klasifikacije. 4 METODE SKUPINSKEGA ODLOČANJA Razmeroma malo skupinskih odločitvenih metod modelira presoje v obliki prednostne relacije [21, 24]. Klasične metode iz družine ELECTRE obravnavajo utež relativne pomembnosti kriterija kot število glasov, dodeljenih temu kriteriju. Tako poenostavijo vrednotenje alternativ, ker so glasovi različnih članov skupine preprosto sešteti z namenom določitve uteži koalicije. Leyva-Lopez in Fernandez-Gonzalez [22] sta definirala metodo ELECTRE-GD, katere cilj je izpeljava skupinskega vrstnega reda alternativ iz individualnih razvrstitev in pripadajočih mehkih prednostih relacij. Ohranila naj bi naravno hevristiko združevanja pravil večine in nekaterih vplivnih manjšin, hkrati pa naj bi razrešila protislovja med razvrstitvami in mehkimi prednostnimi relacijami, ki nastopijo v primeru netranzitivnosti le-teh. Čeprav naj bi bila po mnenju avtorjev demokratična, lahko zagotovi le kompromis, saj so udeleženci odločitvenega postopka prisiljeni sprejeti odločitev, dobljeno po pravilih moderatorja. Skupinski PROMETHEE [3] ne privede nujno do enotnih mnenj odločevalcev, ker temelji na funkciji utežene vsote in ima zato kompenzacijski značaj. Vendar ga dopolnjuje interaktivna grafična analiza GAIA, ki je učinkovit pripomoček za iskanje kompromisa. Ideje analize GAIA so nadgradili Espinasse idr. [15]. Definirali so šest različnih tipov ravnin, ki nakazujejo na podobnosti in razhajanja v prepričanjih odločevalcev, izraženih s prednostnimi funkcijami in utežmi. Učinkovitost pristopa je odvisna od sposobnosti moderatorja za usmerjanje skupine h kompromisu ali konsenzu. Interpretacija GAIA ravnin predstavlja za moderatorja precejšnje miselno breme, zato je bila vpeljana množica pojasnjevalnih pravil. Odločitveni sistem JUDGES [9] primerja vrstne rede alternativ posameznih članov skupine. Sistem uporablja štiri grafične pripomočke, ki nakazujejo na (ne)soglasja. Prvi razpoznava podobna/različna mnenja na podlagi hierarhičnega grozdenja razvrstitev posameznikov. Drugi predstavi porazdelitve mnenj v obliki grafa. Preostala dva pa sta namenjena analizi grafov in simulaciji učinka različnih naborov pravil skupinskih presoj. Sistem JUDGES je bil integriran s programsko opremo ARGOS [8]. Ta sestoji iz dveh modulov, ki se soočata s poglavitnima faza- ma odločitvenega postopka. V prvi fazi odločevalci z namenom individualne ocenitve alternativ izbirajo med različnimi metodami iz družin ELECTRE in PROMETHEE. Sledi ji faza združevanja presoj, ki je komplement pripomočkov sistema JUDGES. Udeležencem pomaga primerjati razvrstitve na podlagi funkcij, kakršne so minimum relativnih/absolutnih razhajanj, minimum Evklidovih razdalj ter Condor-cetovo in Bordino pravilo. Na metodi PROMETHEE in dodatnih analitičnih zmogljivostih sloni tudi odločitveni sistem, ki so ga opisali Georgopoulou idr. [18]. Njegov cilj je identificirati vire možnih razhajanj in izluščiti argumente, ki stojijo za konfliktnimi pogledi. Koraki, katerim sledi, zajemajo izračun stopenj skladnosti na podlagi določitve korelacij, grafične prikaze in analizo občutljivosti. Jabeur idr. [20] so definirali postopek izpeljave šibkega skupinskega vrstnega reda alternativ iz delnih vrstnih redov posameznih odločevalcev, ki smejo poseči po metodah ELECTRE III in PROMETHEE. Obstaja tudi različica ELECTRE TRI za skupine [11]. Le-ta se osredinja na iskanje najboljše oz. najslabše mejne kategorije, v katero je lahko uvrščena alternativa ob upoštevanju omejitev nenatančnih vrednosti preferenčnih parametrov odločevalcev. Pomemben raziskovalni izziv je nadgradnja združitveno-razdružitvenega principa na postopek skupinskega odločanja [7]. Damart idr. [10] so izrazili nekaj naprednih idej o sinergiji med skupinskim odločanjem, združitveno-razdružitvenim principom ter metodami na temelju psevdokriterija in prednostne relacije. Predstavili so ustrezno metodologijo, ki so jo podprli s sistemom IRIS [12]. Čeprav so jo uspešno preizkusili na nekaj stvarnih problemih, je še niso ovrednotili s formalnimi kvantitativnimi eksperimenti. Matsatsinis idr. [23] so dognali, da tovrstne predstavitve skupinskih presoj pogosto ne zagotovijo niti konsenza niti kompromisa, ker se lahko ocene posameznikov bistveno razhajajo. Zato so definirali več kriterijev merjenja zadovoljstva odločevalcev z združenim vrstnim redom alternativ. 5 OVREDNOTENA METODA SKUPINSKEGA ODLOČANJA Skupinska združitveno-razdružitvena metoda di-hotomijskega sortiranja alternativ na temelju prednostne relacije, ki je bila vpeljana v sklopu lastnih raziskav [7], nadgrajuje preferenčno-agregacijski model metode ELECTRE TRI [27]. Presoje so podane v obliki psevdokriterijev, zaradi česar služita pragova indiference qj in preference pj kompenzaciji, pragova nesoglasja in veta m. in v. pa omogočata delno nekompenzacijo. Profil n referenčnih vrednosti iz domen kriterijev razmejuje dve ekskluzivni kategoriji, ki delita množico alternativ tako, da pripadajo vse sprejemljive alternative pozitivni kategoriji C+, medtem ko so neustrezne uvrščene v negativno kategorijo C". Globalni problem sortiranja na podlagi poljubno mnogo profilov je tako lokaliziran, s čimer so dosežene te prednosti: 1. namesto 6-p-n odločevalec obravnava 6xn vhodnih podatkov, kar občutno zmanjša informacijsko breme. Za vsakega od p profilov in n kriterijev mora namreč podati šest parametrov - referenčno vrednost gj(b), pragove qj, pj, uj in vj ter utež pomembnosti wj; 2. človek se zaradi miselnih obremenitev težko osre-dini na prilagajanje p profilov. Posledično težko ugotovi, kako posamezni profili vplivajo na ocenitev alternativ. Če usmeri vso pozornost na en sam referenčni vektor, pa je sposoben enostavno in učinkovito iterativno spreminjati njegove krite-rijske komponente. Z dviganjem in popuščanjem zahtev tako po potrebi širi ali oži pozitivno množico C+ in opazuje, kakšen je vpliv postavljenih norm na selekcijo. Tedaj poglablja svoje razumevanje problema, kvantitativnega modela ter prednosti in slabosti posameznih variant; 3. zaradi manjše razpršitve alternativ po kategorijah se poveča primerljivost rezultatov odločevalcev; 4. zaradi manjšega števila zahtevanih parametrov je usklajevanje in poenotenje preferenc članov skupine lažje in računsko manj kompleksno. Definirane so tri metrike razdalje, ki odražajo minimalne spremembe vektorjev uteži, veta in preference, katere povzročijo prireditev alternative drugi, sosednji kategoriji. Te tri mere so z mehkim operatorjem uteženega povprečja združene v skupno stopnjo robustnosti r(flj). Če je ta nizka, članstvo alternative flj ni zanesljivo, saj privede že majhno razhajanje v presojah do drugačne odločitve. Zato se morajo odločevalci osrediniti predvsem na mejne alternative in razjasniti razloge za njihovo izbiro. Če je odločitveni postopek avtomatiziran, pa postane interpretacija stopenj robustnosti prvi pogoj za konvergenco, kajti samo tako je mogoče pravilno prilagoditi vrednosti preferenčnih parametrov in posledično povečati stopnjo konsenza. Aktivno usmerjanje postopka skupinskega odločanja z namenom poenotenja presoj sloni na metrikah konsenza in strinjanja. Naj bo o število odloče-valcev in C+ množica alternativ, ki jih odobrava k-ti posameznik. Potem je seštevek glasov za i-to alternativo: Ui=card(fl,. = l,...,o). valci po svoji presoji uporabijo, če se jim to zdi smiselno. Njegova oblika je: z,- = v*jo, v. jo, a.^Cl. eQ; ' lO, fl, EC: Naj določata spremenljivki v+ = in Vj- = 0 - Uj števili uvrstitev alternative flJ v kategorijo C+ oziroma C". Potem je stopnja konsenza, ki je dosežena glede na flJ, izračunana z enačbo: _ Vj-P Zi= ——, kjer je v^ = ma\{^Vi,Vi )inp = Skupna stopnja konsenza mora zagotavljati kompenzacijo, hkrati pa mora upoštevati tudi najšibkejši člen. Iz tega razloga je dobljena s funkcijskim predpisom, ki združuje operatorja povprečja in mehkega preseka [34]: Z = y • minzi + (l - y) • , kjer je 7 = |04|- i=l...m m Za razliko od stopnje konsenza je stopnja strinjanja izračunana za posameznega odločevalca. Pove, kolikšno je ujemanje med kategorijo, ki jo je alternativi flJ dodelil k-ti član skupine, in mnenji o dodelitvi kategorije isti alternativi, ki so jih izrazili drugi udeleženci. Čim več ljudi torej priredi neki alternativi isto kategorijo, kot jo priredi posameznik, tem višja stopnja strinjanja je dosežena s stališča tega posameznika: V vsaki iteraciji je poiskan odločevalec z najnižjo stopnjo strinjanja, saj je v najmočnejšem nasprotju s preostalimi člani skupine. Če so njegovi preferenčni parametri prilagojeni do te mere, da se spremenijo kategorije nerobustno in neskladno sortiranih alternativ, prevzame nekdo drugi vlogo najbolj nesoglas-nega člana skupine, hkrati pa progresivno naraste skupna stopnja konsenza. Izpeljava novih vrednost parametrov na podlagi klasificiranih alternativ je samodejna. Problem je rešen z optimizacijskim matematičnim programom: Definirani metriki nista uporabni, kadar začetna stopnja kompromisa niti ene alternative ne dosega praga p. Tedaj postanejo odločevalci soglasni glede njihove neustreznosti, nedvoumna uvrstitev vseh alternativ v negativno kategorijo C- pa popolnoma onemogoči izbiro tiste, ki bi bila primerna za implementacijo. Iz navedenih razlogov je definiran komplementarni kriterij konvergence. Ta ni mišljen kot nadomestilo osnovnemu, temveč ga lahko odloče- maksimiziraj min glede na 0-(fl;)- Tf = / ,Vfl,. eQ, o s £ s Uj £ v^ s b^ - Djyj = l,...,n, lWj £ £ UTVj^i = .....« AE[0.5,1;. V programu označuje b^ referenčni profil, ki razmejuje obe kategoriji z ozirom na ;-ti kriterij, D- je spodnja meja domene ;-tega kriterija, wj, Iw^ in uwj so uteži ter njihove spodnje oz. zgornje meje, Ä pa je stopnja reza. Ker določa a(ai) verodostojnost i-te alternative, to je stopnjo skladnosti s trditvijo »fli pripada C+«, se pripadnost kategoriji zamenja pri o(a) = A. Spremenljivka t+ oz. Ti" mora biti pozitivna ali enaka 0, da je ai uvrščena v ustrezno kategorijo. Program maksimizira najnižjo od doseženih vrednosti t+ in t-, s čimer zagotovi robustnost razporeditve alternativ. Konfliktne alternative so presortirane takole: : Q ali fl; E C; > fl; I Odločevalec je pozvan k podreditvi skupini glede na alternativo a^ le, če verodostojnost a(a^) nasprotuje presoji več kot polovice članov skupine in če stopnja robustnosti rk(ai) ne presega izbranega praga Razumno je, da je podreditvi podvržen najbolj samovoljen odločevalec ali njegov agent, ki odraža najnižjo stopnjo strinjanja. Vendar pa sme biti v primeru, ko robustno sortira vse alternative ali ko prilagojeni preferenčni parametri kršijo postavljene omejitve, tudi izpuščen. Takrat je za pogajanje izbran naslednji najbolj nesoglasen član skupine. Lahko se zgodi, da je mehanizem iskanja konsenza primoran nasloviti več odločevalcev, preden najde tistega, ki je pripravljen brezpogojno sprejeti predlagane spremembe. V najslabšem primeru povzroči neuspešna iteracija prekinitev postopka pogajanja, ne da bi bil dosežen konsenz. Vendar je tudi tedaj sklenjen kompromis, in sicer tako, da so variante padajoče razvrščene glede na indekse v^ in skupne stopnje robustnosti rj. Formalno torej veljata ekvivalenci: (i;, > i. ) v ) a jj^j ^ j! ^ pri čemer označujeta ^ in » relaciji prednosti in enakovrednosti. Vrednost ^J je izračunana kot absolutna razlika med pozitivno in negativno stopnjo robustnosti: tako da je r; = je £ = {vfc = l,...,o : a, eQ o r: = je F = {vfc = l,...,o : a,- eC" Odločevalec lahko izrazi vrednosti in meje pragov psevdokriterija na podlagi decibelov [28]. Velikosti pragov so tedaj podane tako: ^j=W-1dB, pj=W-1.5dB, M=W-2dB in ö=W-2.5dB, kjer je WG{0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1} numerični modifikator, dobljen z neposredno transformacijo lingvistične stopnje vpliva 5G{zelo šibek, šibek, zmeren, močen, zelo močen}. Pragovi so izračunani z logaritemsko funkcijo relativno glede na referenčni profil bj kriterija xj. Tako je npr. ;-ti prag indiference postavljen na: = by ■ (e® -1), pri čemer je Q = 2Qj 10-logioe 6 ŠTUDIJA PRIMERA Študija primera uporabe metode skupinskega večkriterijskega sortiranja alternativ na temelju psevdokriterija in prednostne relacije, ki je bila definirana v sklopu lastnih raziskav, je zaradi nazornosti opravljena na sorazmerno majhnem odločitvenem problemu izbire podizvajalca za projekt razvoja informacijskega sistema. Upoštevanih je pet kriterijev: x1 - zahtevano plačilo za opravljeno delo, D1 = [10..60] v tisočih evrov, x2 - čas, potreben za dokončanje projekta, D2 = [100..300] v dnevih, X3 - število do sedaj opravljenih kompleksnih projektov, D3 = [0..100] v številu projektov, X4 - izkušnje s sorodnimi aplikacijami, D4 = [0..100] v ocenitvenih točkah, x5 - razpoložljivost ustreznih tehnologij, D5 = [0..100] v ocenitvenih točkah. Kriterija x1 in x2 sta minimizirana, ostali trije pa maksimizirani. Na voljo je osem alternativ oz. potencialnih podizvajalcev, katerih identiteta je zakrita s simbolnimi oznakami ai. a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 Xi 40 22 40 42 17 45 32 25 X2 230 240 190 160 210 240 220 180 55 40 25 55 35 50 40 40 X4 60 55 55 50 90 40 50 80 70 80 70 70 60 60 60 90 Prav tako je zakrita identiteta šestih enakopravnih odločevalcev, vpetih v postopek odločanja. Označeni so z DMj. Zedinili so se glede stopnje reza A=0.5, ki določa mejo, pri kateri začne med dvema alternativama veljati prednostna relacija, in praga robustnosti y=0.3, nad katerim ni dopustno prevrednotenje alternativ. Njihovi preferenčni parametri so zbrani v tabeli, pri čemer so štirje odločevalci zaradi prevelikega obsega tabele izločeni iz nje. Prvi, četrti, peti in šesti odločevalec so neposredno specificirali izhodiščne vrednosti profila, pragov in uteži ter pripadajoče omejitve. To jim je naložilo znatno miselno breme. Nasprotno sta drugi in tretji odločevalec zmanjšala potrebni trud za izražanje presoj z upoštevanjem štirih možnosti: 5. podala sta le izhodiščne kriterijske vrednosti profila, ne pa tudi dopustnih odstopanj; 6. za vseh pet kriterijev sta upoštevala enotne izhodiščne vrednosti in omejitve pragov. Razlike, ki jih je moč opaziti za kriterija x1 in x2, so posledica definiranih domen; 7. odločevalec DM2 je določU le spodnje in zgornje meje dovoljenih intervalov pragov, začetne vrednosti pa so bile samodejno izbrane kot središčne točke; 8. odločevalec DM3 je izrazü pragove ter njihove meje relativno v odvisnosti od profUa b na podlagi lingvističnih stopenj vpliva V. bi qj q- fi p- pr "j ur vi v- vr Xl 35 - - 2 0 4 6 4 8 7 5 12 15 10 20 0.20 X2 220 - - 8 0 16 24 16 32 30 20 50 60 40 80 0.20 dm2 x3 40 - - 4 0 8 12 8 16 15 10 25 30 20 40 0.20 X4 40 - - 4 0 8 12 8 16 15 10 25 30 20 40 0.20 X5 60 - - 4 0 8 12 8 16 15 10 25 30 20 40 0.20 Xl 45 30 50 2 1 4 5 3 7 10 7 15 12 10 15 0.10 X2 220 180 240 8 4 16 20 12 28 40 30 60 50 40 60 0.10 □m4 X3 50 40 60 6 2 10 15 10 25 25 15 30 35 25 40 0.20 X4 60 50 70 6 2 10 15 10 25 25 15 30 35 25 40 0.30 X5 70 60 80 6 2 10 15 10 25 25 15 30 35 25 40 0.30 Najprej so za posamezne alternative izračunane mehke in stroge prednostne relacije. Prve so predstavljene s stopnjami med 0 in 1. Druge so dobljene iz prvih z X-rezom. Nato so na intervalu [0, 1] izračunane stopnje robustnosti rk(flj). Posamezni element matrike pove, v kolikšni meri morajo biti spremenjeni preferenčni parametri fc-tega odločevalca, da se zamenja kategorija, v katero je sortirana i-ta alternativa. Večja prüago-ditev kot je potrebna, bolj je ovrednotenje alternative, ki je pogojeno s pogledi odločevalca, robustno. Če robustnost preseže izbrani prag y, od odločevalca ne sme biti zahtevana podreditev večinskemu mnenju. Mehke prednostne relacije Stroge prednostne relacije DM1 DM2 DM3 □M4 DM5 DM6 DM1 DM2 DM3 □M4 dm5 DM6 0.000 0.688 0.283 0.542 0.000 0.200 0 1 0 1 0 0 a2 0.000 0.725 0.254 0.522 0.000 0.548 0 1 0 1 0 1 a3 0.000 0.600 0.000 0.500 0.000 0.174 0 1 0 1 0 0 a4 0.225 0.750 0.417 0.492 0.300 0.000 0 1 0 0 0 0 a5 0.000 0.700 0.592 0.542 0.083 0.886 0 1 1 1 0 1 a3 0.000 0.267 0.033 0.233 0.000 0.000 0 0 0 0 0 0 a7 0.000 0.588 0.292 0.372 0.000 0.306 0 1 0 0 0 0 a8 0.316 0.900 0.692 0.856 0.333 0.764 0 1 1 1 0 1 DM1 dm2 DM3 dm4 dm5 dm6 r<(a,) 1.00 0 0.26 3 0.43 4 0.14 5 1.00 0 0.60 8 r'fa.,) 0.443 0.399 0.225 0.102 1.000 0.020 rk(a3) 1.000 0.053 1.000 0.000 1.000 0.742 r*(a4) 0.413 0.194 0.202 0.092 0.246 1.000 r'ia,) 0.357 0.345 0.044 0.115 0.321 0.436 ^(ae) 1.000 0.541 1.000 0.366 1.000 1.000 r^laj) 1.000 0.288 0.422 0.172 1.000 0.231 r*(as) 0.172 0.724 0.263 0.408 0.142 0.439 Alternative so razvrščene na podlagi stopenj kompromisa, to je števila glasov, ki jih prejmejo. Za posamezno alternativo je stopnja kompromisa enaka številu strogih prednostnih relacij, s katerimi je glede na različne odločevalce presežena meja pozitivne kategorije, ki pove, da je izbira alternative ustrezna: u=(Ui,U2,^,U8)=(2,3,2,1,4,0,1,4). Ker se alternative po stopnji kompromisa med seboj precej razlikujejo, je skupina usmerjena na podlagi izračuna stopenj konsenza in strinjanja. Za primer naj bo upoštevana varianta «g: v^ = max(ug,o - Uj) = max(4,6 - 4) = 4, pri čemer je o število odločevalcev. Analogno so dobljene vrednosti vseh ostalih indeksov konsenza zi: z=(z1,z2,_,z8)=(0.333,0.000,0.333,0.667, 0.333, 1.000, 0.667,0.333). Delne stopnje konsenza zi so z operatorjem mehkega povprečja združene v skupno stopnjo Z=0.458. Še pomembnejše pa so stopnje strinjanja. Kot je razvidno iz matrike prednostnih relacij, uvrsti odloče-valec DMj alternativo a5 v kategorijo C", zaradi česar je soglasen z enim samim članom skupine, medtem ko preostalim štirim nasprotuje: kjer je Cg Tako je dobljenih o ■ m delnih, z mehkim povprečjem pa še o skupnih stopenj strinjanja: Z=(Z1,Z2,^,Z6)=(0.388,0.188,0.538,0.388,0.388,0.538). Glede na naraščajoče stopnje strinjanja je oblikovan vrstni red odločevalcev, ki so se dolžni podrediti skupinskemu mišljenju. Prvi kandidat za prilagoditev je odločevalec z najnižjim strinjanjem, drugi je odločevalec z naslednjim najnižjim strinjanjem itn. V danem primeru je smiselno, da je spremembi presoj najprej podvržen odločevalec DM2. Vendar pa se lahko zgodi, da nekateri člani skupine kljub delnemu ali popolnemu nestrinjanju niso zmožni sortirati alternativ drugače, saj so vse obstoječe uvrstitve robustne, kar pomeni, da zanje velja neenakost rk(ai)>y. Zato odločitveni sistem za vsakega odločevalca preveri, ali je izvedljiva prerazporeditev, ki jo zahteva od njega. Vrstni red odločevalcev za prilagoditev DM2 dm4 dm, DM5 dm3 dm6 Možnost prerazporeditve alternativ da da da da da da Razvidno je, da lahko vsak odločevalec na novo sortira vsaj eno alternativo, glede na katero dosega nizko stopnjo strinjanja. Zato je oblikovana matrika zahtevanih strogih prednostnih relacij. Matrika se tvori iz začetne matrike strogih prednostnih relacij tako, da se spremeni relacija za vsako alternativo, ki ima strinjanje manjše od 0.5 in robustnost manjšo od y. Vzporedno je pripravljena tudi komplementarna matrika prerazporeditev. Zahtevane stroge prednostne relacije Zahtevane prerazporeditve DM, dm2 DM3 dm4 DM5 DM6 DM, dm2 DM3 dm4 DM5 DM6 a1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 a2 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 a3 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 a4 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 a5 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 a6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a7 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 a8 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 Odločitveni sistem ima v tem trenutku na voljo vse informacije, ki so potrebne za prilagoditev najbolj nesoglasnega člana skupine. Za odločevalca DM2 so mogoče prerazporeditve variant a1, a3, a4 in a7, ki imajo nizke stopnje strinjanja, alternativa a2, katere stopnja strinjanja 0.4 prav tako ne dosega praga 0.5, pa mora obdržati kategorijo, ker je njena obstoječa ocena dovolj robustna: r2(a2)=0.399>0.3=y. Ta vrednost je v tabeli podčrtana. ^5 Začetne mehke relacije 0.688 0.725 0.600 0.750 0.700 0.267 0.588 0.900 Začetne stroge relacije 1 1 1 1 1 0 1 1 Stopnje robustnosti 0.263 0.399 0.053 0.194 0.345 0.541 0.288 0.724 Stopnje strinjanja 0.200 0.400 0.200 0.000 0.600 1.000 0.000 0.600 Zahtevane relacije 0 1 0 0 1 0 0 1 Prerazporeditve 1 0 1 1 0 0 1 0 Sedaj je apliciran optimizacijski algoritem, ki pre-sortira alternative in istočasno izpelje nove vrednosti preferenčnih parametrov. Te zadoščajo omejitvam, ki jih je postavil odločevalec, zato so obdržane in je začeta nova iteracija pogajanja. a2 a7 a8 bj fli Pi "i "i X1 29 0 4 7 15 x2 220 8 24 30 60 x3 45 8 16 16 30 x4 58 4 8 15 30 63 7 12 15 30 Mehke prednostne 0.220 0.625 0.152 0.085 0.68 8 0.000 0.313 0.900 relacije Stroge prednostne 0 1 0 0 1 001 relacije Najmanjši izmerjeni odmik mehke stopnje verodostojnosti poljubne alternative od stopnje reza X=0.5 je 0.125, kar pomeni, da je odločitev razmeroma robustna. Največja razdalja dosega z 0.5 absolutni maksimum, kar štirje od osmih odmikov pa presegajo vrednost 0.3. Druga iteracija poteka analogno prvi. Stopnja konsenza skoči z 0.458 na 0.625, vendar nista deležni izboljšave alternativi a5 in a8, ki prejmeta več kot polovico glasov. Zato je na podlagi strinjanja in robustnosti določen vrstni red prilagoditev. Prvi se mora s skupino uskladiti odločevalec DM4: u=(Ui,U2,-,^8)=(1,3,1,0,4,0,0,4), z=(z1,z2, _,z8)=(0.667,0.000,0.667,1.000, 0.333, 1.000, 1.000,0.333), C=(C1,C2,^,C6)=(0.438,0.588,0.588,0.288,0.488, 0.588), vrstni red odločevalcev za prilagoditev = DM4 ^ DM, ^ DM5 ^ DM2 ^ DM3 ^ DM6. a2 a3 a5 a6 a8 Začetne mehke relacije 0.542 0.522 0.500 0.492 0.542 0.233 0.372 0.856 Začetne stroge relacije 1 1 1 0 1 0 0 1 Stopnje robustnosti 0.145 0.102 0.000 0.092 0.115 0.366 0.172 0.408 Stopnje strinjanja 0.000 0.400 0.000 1.000 0.600 1.000 1.000 0.600 Zahtevane relacije 0 0 0 0 1 0 0 1 Prerazporeditve 1 1 1 0 0 0 0 0 a1 a a a a a aa 4 -5 a1 a a 4 Iz tabele je razvidno, da so dovoljene prerazporeditve vseh variant z nizko stopnjo strinjanja. Optimi-zacijski algoritem prilagodi preferenčne parametre tako, da sortira vsako varianto v zahtevano kategori- jo. Najmanjši odmik od stopnje reza, ki določa mejo kategorij C+ in C", je 0.2, kar priča o zadostni robustnosti ocen. Mehke prednostne relacije 0.000 0.300 0.000 0.000 0.700 0.000 0.250 0.850 Stroge prednostne relacije 0 0 0 0 1 0 0 1 bj fli Pj "i "i X1 26 4 5 10 12 X2 204 14 16 40 50 45 10 15 25 35 X4 70 6 10 25 35 70 10 15 25 35 Težava nastopi, ker pri prilagoditvi preferenčnih parametrov profil pri kriteriju x^ z vrednostjo 26 prekrši spodnjo mejo, ki jo je odločevalec DM4 postavil na 30. Zato mora odločevalec odobriti izpeljane nove vrednosti parametrov. Ker razlika med 26 in 30 na celotni domeni od 10 do 60 ni bistvena, DM4 potrdi potrebno spremembo in postopek se lahko uspešno nadaljuje s tretjo iteracijo. V tej je že dosežena precej visoka skupna stopnja konsenza 0.75: u=(Ui,U2,^,U8)=(0,2,0,0,4,0,0,4), Z=(Zl,Z2, _,Zg)=(1.000,0.333,1.000,1.000,0.333,1.000,1.000, 0.333), C=(C1,C2,^,S6)=(0.475,0.500,0.725,0.725,0.475,0.500). Odprte so le še alternative a2, a5 in a^, medtem ko je poenoteno mnenje odločevalcev glede ostalih petih alternativ. V skladu s stopnjami strinjanja je za prilagoditev izbran odločevalec DM1. Odločevalcema DM3 in DM4 v tej iteraciji ni treba več zamenjati kategorij alternativ, saj so vse njune ocene usklajene z večinskim mišljenjem. Vrstni red odločevalcev za prilagoditev DM1 DM5 DM2 dm6 dm3 dm4 Možnost prerazporeditve da da da da ne ne alternativ a3 a5 Začetne mehke relacije 0.000 0.000 0.000 0.225 0.000 0.000 0.000 0.316 Začetne stroge relacije 0 0 0 0 0 0 0 0 Stopnje robustnosti 1.000 0.443 1.000 0.413 0.357 1.000 1.000 0.172 Stopnje strinjanja 1.000 0.600 1.000 1.000 0.200 1.000 1.000 0.200 Zahtevane relacije 0 0 0 0 0 0 0 1 Prerazporeditve 0 0 0 0 0 0 0 1 Smiselno je, da odločevalec DM4 prerazporedi alternativo ag, alternative a5, ki odraža nizko strinjanje zaradi nasprotovanja kar štirih od šestih članov skupine, pa ne zaradi znatne robustnosti. Algoritem prilagodi preferenčne parametre tako, da zadoščajo omejitvam in poskrbijo za robustno sortiranje. V najslabšem primeru je razdalja do sosednje kategorije 0.175. Iteracija 4 je zelo podobna iteraciji 3. Dosežena stopnja konsenza je 0.792. Prilagodi se DM5, ki mu prav tako kot v predhodni iteraciji DM4 zaradi robustnosti ni treba prerazporediti alternative a5. Zanesljivost novih ocen je (zlasti za varianto ag) nekoliko nižja, saj je najmanjši odmik od meje kategorij le 0.083, vendar pa so upoštevane vse zahteve odločevalca. ai a a a a a ai a a a a a V peti iteraciji je dosežen konsenz glede najboljše alternative in skupni konsenz 0.833. Kar štirje odlo-čevalci so enakovredni po stopnji strinjanja, zato so za prilagoditev razporejeni glede na naraščajoči indeks k: Z=(e1,e2,^,e6)=(0.525,0.525,0.750,0.750,0.525,0.525), vrstni red odločevalcev za prilagoditev = DM! ^ DM2 ^ DM5 ^ DM6 ■ DM3 ^ DM4. Prvi naj bi bil na vrsti DM!, vendar se je uspešno prilagodil skupinskemu mišljenju že v tretji iteraciji. Posledica je velika robustnost njegovih ocen, ki preprečuje menjave kategorij. a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 aa Stopnje 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 0.168 robustnosti Stopnje 1.000 0.600 1.000 1.000 0.200 1.000 1.000 1.000 strinjanja Zato je k prilagoditvi pozvan DM2. Tudi ta je že enkrat prevrednotil alternative, in sicer v prvi itera-ciji. Takrat mu ni bilo treba presortirati alternative a2, saj je njena robustnost z 0.399 presegala definirani prag y=0.3. Toda sprememba preferenčnih parametrov, ki je bila povsem v okvirih začetnih omejitev odločevalca DM2, je povzročila zmanjšanje robustnosti na r2(a2)=0.196. Iz tega razloga je prerazporeditev sedaj smiselna. a3 a6 aa Začetne mehke relacije 0.220 0.625 0.152 0.085 0.688 0.000 0.313 0.900 Začetne stroge relacije 0 1 0 0 1 0 0 1 Stopnje robustnosti 1.000 0.196 1.000 1.000 0.299 1.000 0.286 0.724 Stopnje strinjanja 1.000 0.200 1.000 1.000 0.600 1.000 1.000 1.000 Zahtevane relacije 0 0 0 0 1 0 0 1 Prerazporeditve 0 1 0 0 0 0 0 0 V iteraciji 6 je izmerjena stopnja konsenza 0.875. Za prilagoditev skupini je na vrsti DM6. Vsi ostali od-ločevalci so že izčrpali možnosti usklajevanja presoj. Z iteracijo 7 se postopek pogajanja konča, ker nihče več ne more prerazporediti alternativ. Stopnja konsenza je 0.917. Konsenz je dosežen za vse alternative, razen za a5. Ta prejme štiri od šestih mogočih glasov. Dva odločevalca je, kot je bilo pojasnjeno v iteracijah 3 do 5, zaradi visoke robustnosti ne želita uvrstiti v pozitivno kategorijo C+. Stopnje gibanja skupine so: u=(Ui,U2,-,^8)=(0,0,0,0,4,0,0,6), z=(z1,z2,_,z8)=(1.000,1.000,1.000,1.000,0.333,1.000, 1.0010,12.000)8, Z=(e1,S2,^,S6)=(0.550,0.775,0.775,0.775,0.550,0.775). Rezultati sortiranja jasno nakažejo, katera alternativa predstavlja optimalno izbiro. Alternative pa je ob upoštevanju robustnosti mogoče tudi enolično razvrstiti od najboljše do najslabše. a5 Število glasov 6 4 0 0 0 0 0 0 Robustnost 0.261 0.081 0.596 0.702 0.737 0.906 0.964 1.000 Za alternativo a5 je opaziti izrazito nizko stopnjo robustnosti. To je na prvi pogled v nasprotju s potekom opisanih iteracij 3 do 5, ko ni bila sortirana v drugo kategorijo prav zaradi visoke robustnosti, ki je presegala prag y. Vendar pravzaprav ne gre za protislovje, temveč za odraz razhajanja v skupini. V primeru, ko približno polovica odločevalcev uvrsti a^ v C+ in približno polovica v C", je namreč povsem normalno, da se skupna robustnost giblje okoli 0. a1 a a 4 a a a7 a a a 4 7 INTERPRETACIJA REZULTATOV Kot podlaga za interpretacijo rezultatov študije primera služi model vrednotenja skupinskih odločitvenih metod in sistemov [6]. Ker je ta celovit in zelo kompleksen, je upoštevana podmnožica njegovih kriterijev in metrik, razvidnih iz slike 1. Vse metrike so kvantitativne in omogočajo neposredno primerjavo z rezultati predhodne simulacijske študije. Omeniti velja, da sta metriki M5.1 in M6.1 operacionalizirani s Kemeny-Snellovo razdaljo med ordinalnimi vrstnimi redi [14]. Natančne definicije drugih metrik so na voljo v literaturi [5, 6]. Vzdrževanje odločitvene skupine Usmerjanje postopka odločanja Zmožnost doseganja kompromisa M,.,: odstotek primerov, v katerih izbira najboljše alternative ni enolična M,.^: oddaljenost najboljše od druge najboljše alternative M, 3: oddaljenost najboljše alternative od vseh drugih neoptimalnih alternativ M, 4: število glasov oz. stopnja kompromisa za i-to najboljšo alternativo M, 5: povprečno število enakovrednih alternativ na k-tem mestu M^.g: povprečna robustnost enakovrednih alternativ na k-tem mestu Sposobnost avtonomnega vodenja in razreševanje nesoglasij Mj.,: gibanje kompromisne rešitve skozi iteracije postopka pogajanja M22: dosežene stopnje strinjanja odločevalcev v posamezni iteraciji M2.3: absolutni porast doseženih stopenj strinjanja odločevalcev Konvergenca mnenj M3.1: gibanje izračunane stopnje konsenza skozi iteracije postopka odločanja M3.2: absolutna izboljšava stopnje konsenza glede na začetni kompromis M33: število korakov oz. iteracij Verodostojnost analize Robustnost odločitve Spreminjanje bogatosti razločevalnih informacij (konsenz proti kompromisu) M4.1: razlika v oddaljenosti najboljše od druge najboljše alternative M42: razlika v oddaljenosti najboljše alternative od vseh drugih alternativ M4 3: sprememba povprečnega števila glasov za i-to najboljšo alternativo M44: sprememba povprečnega števila alternativ na k-tem mestu M4.5: sprememba povprečnih robustnosti alternativ na k-tem mestu Občutljivost na spremembe v strukturi problema Mj.,: število zamenjav v vrstnem redu ob izločitvi obstoječe alternative M52: delež primerov zamenjav ob izločitvi posamezne obstoječe alternative Občutljivost na spremembe v odločitveni skupini Mg.,: število zamenjav v vrstnem redu ob prenehanju sodelovanja odločevalca Mg.2: delež primerov zamenjav ob prenehanju sodelovanja odločevalca Za večino metrik so rezultati izračunani kot skalarji. Zbrani so v tabeli, iz katere je razvidno: 1. Ne glede na uporabljeno raziskovalno metodo je učinkovitost skupinske združitveno-razdružitve-ne metode sortiranja alternativ razmeroma velika. Najboljša alternativa je znatno oddaljena od druge najboljše in še zlasti od drugih neoptimalnih alternativ. Pri tem se bistveno poveča oddaljenost, ko začetna kompromisna rešitev preide v končno konsenzno. Skladno se skozi iteracije postopka močno zvišata doseženi skupni stopnji konsenza in strinjanja. Pomembna pokazatelja učinkovitosti sta tudi, da je izbira optimalne alternative vselej enolična ter da prihaja pri spremembi problemske situacije zaradi izločanja odločevalcev le do neznatnih sprememb v vrstnem redu alternativ. Te spremembe nikdar ne povzročijo zamenjave prednosti med dvema alternativama, temveč kvečjemu zamenjavo prednosti z enakovrednostjo ali obratno. Posledično je odločitev robustna. 2. Rezultati študije primera in simulacijske študije so povsem primerljivi. Nekoliko večje odstopanje je zaznati le pri metriki M4.2, vendar tudi ta v obeh raziskavah nakazuje na izboljšanje konsenzne rešitve v primerjavi z začetnim kompromisom. Metrika Študija primera Simulacijska študija M,, 0 % 0 % M,2 0.333 0.276 M,3 0.905 0.646 M2.3 0.295 0.386 M3.2 0.459 0.399 M3.3 7 (povprečje, min, max) = (4.150, 2, 7) M4.1 0.333 0.165 M4.2 0.548 0.131 Mj., 0 - M5.2 0 % - Mg., 0.009 - Mg.2 ,9.048 % - Slika Upoštevani kriteriji ocenitvenega modela Na sliki 2 je prikazano razmeroma hitro monotono naraščanje stopnje konsenza proti najvišji mogoči vrednosti 1. Čeprav se tej pogajalski postopek v veliko primerih le zelo približa, to ni pomanjkljivost. Morebitna robustnost ocen namreč ne more in tudi ne sme dopustiti popolne prilagoditve odločevalcev. Analogno kot skalarne metrike tudi metrika M31 jasno nakaže, da se opazovana metoda obnaša podobno z vidika obeh raziskovalnih pristopov - simulacij-ske študije in študije primera. Slika 3: Iterativno gibanje kompromisne rešitve proti konsenzni rešitvi Slika 2: Spreminjanje stopnje konsenza skozi iteracije postopka pogajanja Iz slike 3 je razvidno iterativno gibanje kompromisne proti konsenzni rešitvi. Odločevalci se postopoma poenotijo glede uvrstitve šestih neoptimalnih alternativ v kategorijo C~ in glede uvrstitve optimalne alternative a8 v kategorijo C+. Sedem od osmih alternativ torej konvergira proti zgornji ali spodnji meji števila glasov. Konvergenca ne velja samo za varianto ag, kar je posledica robustnosti, zaradi katere pogajalski mehanizem ne sme vsiljevati rešitev, ki niso racionalne. V takšnih primerih dobijo odločevalci nedvoumen znak, da morajo poglobljeno razmisliti o ocenitvah alternativ in ustrezno prilagoditi presoje. Metrika M2.2 na sliki 4 izpostavlja, da se stopnje strinjanja posameznih odločevalcev skozi iteracije postopka pogajanja v splošnem povečujejo, vendar pa lahko v določenih primerih pride do hipnega upada. To se zgodi, ko eden od članov skupine prilagodi svoje preferenčne parametre z namenom podreditve vsej skupini. Takrat se praviloma poveča nesoglas-nost enega ali več drugih udeležencev pogajanja. Slika 4: Dosežene stopnje strinjanja odločevalcev v posamezni iteraciji Slike 5, 6 in 7 pripadajo metrikam M1.4, Mj.5, Mj.g, M4.3, M4.4 in M4.5. Skupno jim je dejstvo, da je izpeljana ordinalna razvrstitev alternativ bolj učinkovita v zadnji kakor v prvi iteraciji postopka. To pomeni, da se povečata robustnost alternativ ter razločevalnost med dobrimi in slabimi alternativami. 6 5 1 2 3 4 5 6 7 8 Začetno število glasom* Končno število glasov Slika 5: Število glasov za i-to najboljšo alternativo 6 T 5 / 4 / 3 / 2 1 0 1 2 3 4 5 6 -*- Začetno število glasov Končno Število glasov Slika 6: Število enakovrednih alternativ na k-tem mestu 1 2 3 4 5 6 7 8 Začetno število glasom * Končno število glasov Slika 7: Robustnost i-te najboljše alternative 8 SKLEP Študija primera je potrdila učinkovitost uporabe metod, temelječih na prednostni relaciji, v postopkih skupinskega odločanja, pri čemer se je osredinila na interaktivno združitveno-razdružitveno proceduro dihotomijskega sortiranja alternativ, zmožno aktivnega prilagajanja preferenčnih parametrov [7]. Podobni rezultati, ki nakazujejo na konvergenco mnenj, so bili pridobljeni tudi s predhodnimi komplementarnimi statističnimi eksperimenti [5], kar povečuje verodostojnost študije. V sklopu nadaljnjega dela bo treba raziskati mnenja odločevalcev glede občutenega osebnega zadovoljstva z izvedbo in rezultati odločitvenega postopka. 9 [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] VIRI IN LITERATURA Araz, C., & Ozkarahan, I. (2007). Supplier evaluation and management system for strategic sourcing based on a new multicriteria sorting procedure. International Journal of Production Economics, 106 (2), 585-606. Belacel, N. (2000). Multicriteria assignment method PROAF-TN: Methodology and medical application. European Journal of Operational Research, 125 (1), 175-183. Brans, J. P., Macharis, C., & Mareschal, B. (1997). The GDSS PROMETHEE Procedure. Bruselj: Vrije Universiteit Brussel. Brans, J. P., & Mareschal, B. (1994). The PROMETHEE & GAIA decision support system for multicriteria decision aid. Decision Support Systems, 12 (4-5), 297-310. Bregar, A. (2009). Efficiency of problem localization in group decision-making. V: L. Zadnik Stirn, J. Žerovnik, S. Drobne, & A. Lisec (ur.), Proceedings of the 10th International Symposium on Operational Research in Slovenia (str. 139-149). Ljubljana: Slovensko društvo Informatika. Bregar, A. (2010). Celovit model vrednotenja skupinskih odločitvenih metod in sistemov. V: Zbornik posvetovanja Dnevi slovenske informatike 2010 (13 str.). Ljubljana: Slovensko društvo Informatika. Bregar, A., Györkös, J., & Jurič, M. B. (2008). Interactive aggregation/disaggregation dichotomic sorting procedure for group decision analysis based on the threshold model. Infor-matica, 19 (2), 161-190. Colson, G. (2000). The OR's prize winner and the software AR-GOS. Computers & Operations Research, 27 (7-8), 741-755. Colson, G., & Mareschal, B. (1994). JUDGES: A descriptive group decision support system for the ranking of the items. Decision Support Systems, 12 (4-5), 391-404. [10] Damart, S., Dias, L. C., & Mousseau, V. (2007). Supporting groups in sorting decisions: Methodology and use of a multi-criteria aggregation/disaggregation DSS. Decision Support Systems, 43 (4), 1464-1475. [11] Dias, L. C., & Cl^maco, J. N. (2000). ELECTRE TRI for groups with imprecise information on parameter values. Group Decision and Negotiation, 9 (5), 355-377. [12] Dias, L. C., & Mousseau, V. (2003). IRIS: A DSS for multiple criteria sorting problems. Journal of Multi-Criteria Decision Analysis, 12 (3) 285-298. [13] Dias, L. C., Mousseau, V., Figueira, J., & Cl^maco, J. (2002). An aggregation/disaggregation approach to obtain robust conclusions with ELECTRE TRI. European Journal of Operational Research, 138 (2), 332-348. [14] Emond, E. J., & Mason, D. W. (2002). A new rank correlation coefficient with application to the consensus ranking problem. Journal of Multi-Criteria Decision Analysis, 11 (1), 17-28. [15] Espinasse, B., Picolet, G., & Chouraqui, E. (1997). Negotiation support systems: A multi-criteria and multi-agent approach. European Journal of Operational Research, 103 (2), 389-409. [16] Fernandez, E., Navarro, J., & Duarte, A. (2008). Multicriteria sorting using a valued preference closeness relation. European Journal of Operational Research, 185 (2), 673-686. [17] Figueira, J., Smet, Y., & Brans, J. P. (2004). MCDA Methods for Sorting and Clustering Problems: PROMETHEE TRI and PROMETHEE CLUSTER. Bruselj: Universite Libre de Bruxel-les. [18] Georgopoulou, E., Sarafidis, Y., & Diakoulaki, D. (1998). Design and implementation of a group DSS for sustaining renewable energies exploitation. European Journal of Operational Research, 109 (3), 483-500. [19] Greco, S., Predki, B., & Slowinski, R. (2002). Searching for an equivalence between decision rules and concordance-discordance preference model. Control and Cybernetics, 31 (4), 921-935. [20] Jabeur, K., Martel, J.-M., & Ben Khelifa, S. (2004). A distance-based collective preorder integrating the relative importance of the group's members. Group Decision and Negotiation, 13 (4), 327-349. [21] Kilgour, D. M., & Colin, E. (ur.). (2010). Handbook of Group Decision and Negotiation. Dordrecht: Springer. [22] Leyva-Lopez, J. C., & Fernandez-Gonzalez, E. (2003). A new method for group decision support based on the ELECTRE III methodology. European Journal of Operational Research, 148 (1), 14-27. [23] Matsatsinis, N. F., Grigoroudis, E., & Samaras, A. P. (2005). Aggregation and disaggregation of preferences for collective decision-making. Group Decision and Negotiation, 14 (3), 217-232. 4 3 0 [24] Matsatsinis, N. F., & Samaras, A. P. (2001). MCDA and pre- [29] ference disaggregation in group decision support systems. European Journal of Operational Research, 130 (2), 414-429. [30] [25] Miettinen, K., & Salminen, P. (1999). Decision-aid for discrete multiple criteria decision making problems with impreci- [31] se data. European Journal of Operational Research, 119 (1), 50-60. [26] Mousseau, V., Figueira, J., & Naux, J.-Ph. (2001). Using assignment examples to infer weights for ELECTRE TRI method: [32] Some experimental results. European Journal of Operational Research, 130 (2), 263-275. [27] Mousseau, V., Slowinski, R., & Zielniewicz, P. (2000). A user- [33] -oriented implementation of the ELECTRE TRI method integrating preference elicitation support. Computers & Opera- [34] tions Research, 27 (7-8), 757-777. [28] Rogers, M., & Bruen, M. (1998). Choosing realistic values of indifference, preference and veto thresholds for use with environmental criteria within ELECTRE. European Journal of Operational Research, 107 (3), 542-551. Roy, B. (1991). The outranking approach and the foundations of ELECTRE methods. Theory and Decision, 31 (1), 49-73. Roy, B. (1996). Multicriteria Methodology for Decision Aiding. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. Siskos, Y., Grigoroudis, E., Krassadaki, E., & Matsatsinis, N. (2007). A multicriteria accreditation system for information technology skills and qualifications. European Journal of Operational Research, 182 (2), 867-885. Takeda, E. (2001). A method for pseudo-criteria decision problems. Computers & Operations Research, 28 (14), 1427-1439. Vincke, P. (1992). Multicriteria Decision Aid. Chichester: John Wiley & Sons. Zimmermann, H.-J. (1996). Fuzzy Set Theory - and Its Applications. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. Andrej Bregar je diplomiral, magistriral in doktoriral na Fakulteti za elektrotehniko, računalništvo in informatiko Univerze v Mariboru. Zaposlen je kot analitik v podjetju Informatika, d. d. Področja njegovega dela so sistemi za podporo odločanju, večkriterijska odločitvena analiza, operacijske raziskave, upravljanje s poslovnimi procesi in storitveno usmerjen razvoj informacijskih sistemov. Je avtor več znanstvenih člankov ter prispevkov na domačih in mednarodnih strokovnih simpozijih. ■