i
i
“1050-Kobal-0” — 2010/7/1 — 12:02 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 18 (1990/1991)
Številka 4
Strani 216–218
Damjan Kobal:
NENAVADNI PREIZKUS
Ključne besede: razvedrilo, naloge.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/18/1050-Kobal.pdf
c© 1991 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
007' ,cl10"~ l7,,' '_'I'L_','L_
NENAVADEN PREIZKUS
Ker je ta članek nastal na pobudo in kot odgovor na pismo našega bralca
Bojana Žižka, ga začnimo z njegovim stavkom:
"Preizkus deljenja lahko opravimo z mnofenjem. Kaj pa mnofenje?
Ali lahko na kakšen način preverimo pravilnost množenja? Seveda brez
računalnika in z uporabo enostavnejših operacij, kot je prvotno mnofenje?"
Pa najprej na primerih predstavimo idejo, ki nam jo je posredoval Bojan
:Ližek.
Namesto vsakega števila, ki na-
stopa v mnofenju, napišemo vsoto
njegovih števk. Za tako dobljena
števila postopek ponovimo. Posto-
pek ponavljamo, dokler v izrazu ne
dobimo samih enomestnih števil.
Na levi dobljeni števki zmnožimo.
Postopek seštevanja števk ponovi-
mo. Ce je bilo mnofenje na začetku
pravilno, bomo vselej na koncu do-
bili na levi in desni enaki števki ,
77x9 = 693
(7 + 7)x9 1 (6 + 9 + 3)
14x9 118
(1 + 4)x9 1 (1 + 8)
5x919
4519
(4+5)19
9=9
Zanima nas, ali smo pravilno zmnožili: 77 x 9 = 693 . Opiširno naš
nenavadni preizkus:
Zapišimo še nekaj primerov:
a) 25x25 = 625
7x7113
491 4
13 1
4=4
c) 17x24 -1= 39
8x6 112
4813
12 13
3=3
b) 26531x987 =26186097
17x24 139
8x6 112
4813
1213
3=3
d) 16x9 -1= 532
7x9 110
6311
9-1=1
217
Verjetno se to "čaranje" marsikomu zdi nenavadno, skoraj neverjetno . ..
Poskusite s primeri še sami! Zaman boste iskali primer, ki se ne bi iztekel
"pravilno" .
Pisec teh vrstic vas toplo vabi, da sami razvozlate to" skrivnost" , gotovo
pa jo boste lažje razkrili s pomočjo naslednjih odstavkov.
Za naravno število n, bomo s s(n) označili vsoto števk števila n. Tako
velja na primer 5(101) = 2,5(999) = 27, ... Smiselno je napisati na primer
5(5(5(199») = 5(5(19» = 5(10) = 1. Očitno je, da za vsako naravno
število n dovolj dolga "vrsta s-ov": S(5(s ...(s(n» ..» da število med 1 in
9. Pa označimo to število s 5(n). Tako je na primer 5(10) = 5(10)
1,5(98) = 5(5(98» = 5(17) = 8,5(199) = 1, itd .
S takimi oznakami se naš preizkus množenja napiše zelo enostavno:
pxq= n
5(p)x5(q) I 5(n)
5(5(p)x5(q» = 5(n)
"Skrivnost" bo torej razjasnjena , če pokažemo, da velja sklep
pxq = n => 5(5(p)x5(q» = 5(n)
Poglejmo si pobliže, kaj pravzaprav pomenita s(n) in 5(n). Zapišimo
število n v obliki :
kjer so aa. al ... . , al števke, ki nastopajo v (desetiškem) zapisu števila n .
Iz za pisa
vidimo, da je
n = aa + al + a2 + ... + al + 9ko
pri čemer je ka naravno število. Torej n in s( n) pri deljenju z 9 dasta
enak ostanek. Od tod sledi, da je
n=5(n)+9k.kEIN (a)