i i “3-4-Pavlic” — 2010/5/6 — 11:19 — page 1 — #1 i i i i i i List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN 0351-6652 Letnik 3 (1975/1976) Številka 4 Strani 166-168 Gregor Pavlǐc: TRISEKCIJA (RAZTRETINJENJE) KOTA Ključne besede: matematika. Elektronska verzija: http://www.presek.si/3/3-4-Pavlic.pdf c© 1976 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije c© 2010 DMFA – založništvo Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo- ljeno. TRISEKCIJA CRAZTRETINJENJE) KOTA Grški matematiki so se že zelo zgodaj znašli pred nekaj nalo- gami, ki so bile kostrukcijske narave in jih niso znali rešiti z "evklidskim orodjem" (to pomeni šestilo in neoznateno ravnilo). Ena od teh je tudi tri sekcija kota. Rešitev za pravi kot je prava šala, toda te poskusimo naredi - t i isto za poljuben kot, se nam ustavi. Ta naloga je namret ne- rešljiva. Ker ni šlo samo z ravnilom in šestilom, so poskusili rešitev dobiti na drugaten natin. Menda je od vseh najlepša in zato tu- di najbolj znana Nikomedesova. Ta grški matematik je ž ivel okoli leta 180 pr. n. št. in je pri rešitvi uporab-il krivuljo konhoido: X2y 2 = (d 2 _ y 2)( a _ y)2 1. KAKO NARIšEMO KONHOIDO? Kot lahko vidimo iz enatbe, je konhoida odvisna od 2 parame- trov a in d , ki si ju lahko poljubno izbe remo. Tako dobimo 3 ti- pe konhoide, ka j t i velja natanko ena od 3 možnosti a < d , a > d in a = d (to je znani zakon trihotomije). Sl . l 166 Totke krivulje do- bimo takole: najprej narišemo pravo kotni koordinatni sistem (x,y) z izhodištern O in v njem tot ko A ( O, - a ) . Skozi to tot- ko potegnemo poljubne premice tako, da seka- jo abscisno os (ena od njih je kar ordinatna os koordinatnega si- sterna). Iz pr es e č i š č premic z abscisno osjo odmerimo s šestilom na vsaki strani razdaljo d in tako dobimo iska- ne totke. Vidimo, da ima konhoida dve veji - eno nad in drugo pod abscisno osjo . 2 . POTE K RES ITVE Zdaj, ko poznamo problem in krivuljo konhoido, imamo priprav- ljeno že vse za konstru kcijo rešitve. Dan je poljube n kot 1 ( g, O, y), ki ga moramo razdeliti na 3 ena ke dele . Narišemo ga tako, da en kr ak kota sovpada z ordinatno osjo y pravokotnega koordinatnega sistema, drug krak pa označimo z g . Vrh kota je iz- hodišče O. Skozi izhodišče O na rišemo še abscisno os x in v toč ki B(O ,a ) vzpo rednico q k abscisni osi. Premi ca q naj seka krak g v točki A , tako da je OA = d/ 2 (prej smo že povedali, da si lahko d poljubno izberemo). V koordinatnem sistemu nam manj ka samo še konhoida . Njena pa- rametra sta dolžini a in d (obe smo ravnokar omenili), zato nam je ne bo težko narisati . Na kraku g odmer i mo od točke A s šestilom razdaljo navzgor ( rabimo le zgo rnjo vejo krivulje) in že dobimo prvo točko. Recimo ji P . Ostale točke poiščemo ta ko, kot smo povedali pod l . točko. Pa recimo, da je kr ivu l j a že narisama . Iz toč k e A potegnemo pra- vokotnico na premico q , ki seka konhoido v točki T. Narišemo še premico h s kozi točki T i n O, ki seka prem ico q v točki N; razpo- lovišče dalj ice TN pa označimo z M. Končno lahko trdimo: kot 1 ( h, O, y) je tretjina kota 1 ( g, O, y). 167 DOKAZ : RR = 3TF 5 Zi. I2 narave k r i v u l j e s l e d i m a n = 2 m . , m = R x 1z enakdkrakega t r i k o t n i k a A OAH dobima ) AOlY I ) AN0 Iz s l i k e 3 vldima B = ( 1 8 0 ~ ' (180'- a)) /2 - a/2 i n tako dobimo ) M D 5 ) AOH Z 3 ((g,O*h) E 2 j ATM 2 j ( (hr0.y) To pomsni, da Je ) ( g . 0 . h ) 213 j (q ,o .y ) i n s led i r e i i t t v 9 ( h . 0 . y ) a t / 3 9 (8 .O.y) BOLA ZA SALO KOT ZAREa