i
i
“509-Plesko” — 2010/6/2 — 10:42 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 8 (1980/1981)
Številka 4
Strani 217–219
Mark Pleško:
MATEMATIČNA PREDAVANJA ZA SREDNJEŠOLCE
Ključne besede: novice, matematika.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/8/509-Plesko.pdf
c© 1981 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
MATEMATIčNA PREDAVANJA ZA SREDNJEšOLCE
V dru gi pol ov ici šols kega l e t a 1979 / 80 je Društvo matematikov,
f izikov i n ast ronomov organiziralo skupino matematičnih preda-
vanj za s r ed nj eš o l ce. Namen pr ed avanj j e bil pomagati kr ožkom
na srednjih šolah, pomaga ti pri pripravah na tekmovanje, in
predvsem zbuditi večje zani manj e za ~atematiko pri srednješol -
cih . Predavanja so vodi li pr ofesor ji i n asisten ti s fa kultete,
zato s o bila zas t avl j ena z vso resnostjo i n natančnostjo, hkra-
ti pa so pr edav at e l ji izbrali teme, ki temelj ijo na s rednješ ol-
s ki snovi in ki predstavljajo zanimiva pogl avja iz sveta matema-
tike .
Ta ko so dijaki spoznavali zan imive, včasih za njih povsem tu je
poglede na matematične s tr ukt ur e , ki pa so za matemati ka vsa k-
dan je , brez ka t e r ih ne bi mogli sestaviti pregledne in dosledne
te or ije . Vsa ko preda vanje j e bil o kot majhno okno, skozi kate -
r ega so dijaki poš kil il i v š irok o pod ro čje ma t ema t ik e , vsa kič
v drugo poglavje. Razdr oblj en a slika , ki so jo pri tem dobili,
s eveda š e zd aleč ne predstavlja niti del področij , kjer se ma-
temati k udejstvuje, vendar so le ugotovili , da poleg tega , ka r
se u čijo v sred nji šoli , kar pogosto sloni na nepovezanih izre-
ki h , obsta ja mnogo polne j š a str uktu ra, ki je ne pr ot i sl ovno zgra-
jena iz le malega števila a ksiomov.
Za vsa ko predstavljeno pod r o čje s o pr eda va t e l j i sest avil i vr sto
na l og , ki pri ka zujejo na j ra z li č n e jš e probleme , kj e r se lahko
upor abi pridobljeno znanje. Nek aj nalog so skupa j rešili še na
pr edavan j i h , ost ale pa so di jaki dobili za poglablj an je in kot
kor i s t ne vaje za matemati čna te kmovanja . Tako so celo v pripra-
ve slov ens ke e kipe za zve zno te km ovanj e v klju čili predav anje
induktivna metoda v matematiki .
Prvega pred avanja se je udele ž ilo 37 srednješol cev iz bež ig raj-
ske , vi š ke, po ljanske, Canka rjeve in pedag oške gimnazije ter iz
ET š, kar je že samo po sebi dokaz, da je zanimanje za to obliko
iz ve nšo lske deja vnosti dovol j veliko, da zahteva nadaljevanj e
zas tav l je ne poti , Proti koncu je štev ilčnost slušatel j ev sicer
217
upadla na okoli 20, vendar s e j e zato dvignila kvaliteta. Dija-
ki so vedno bolj sledili predav a te ljem s tehtnimi vprašanji in
odgovori. Pogosto se je po k o n ča n e m predavanju r azvi l a diskusi -
ja o zanimivosti in upor ab nosti na novo pridobljenega znanja .
Predavanja so se ta kole zvr s t i l a :
Matrike , kj e r smo spoznali matri ke reda 2 x 2 . Obravnavali smo
j ih kot pr ava števila in definirali vsot o in produkt. Od os nov-
nih opera c ij smo prešli na uporabo matrik in na posplo š itev ma-
t rik na ma t ri ke dime nzije n x n in m x n .
Kot močno orodje za re ševan je nalog z deljivost jo smo spoznali
kongr uence , s katerim i smo se od teorije množic (e kvivalenčne
r e l ac i j e ) s pr e hod i l i preko teorije š t evi l (deljivost, praštevila)
do algebre (kolobar in obseg).
Pri v er i žn i h uZom ki h smo razvijali racionalna in iracionalna
števila v ulomke oblike a l + 1/( az + 1/( a3 + ... )), ki so bili
končni za racionalna števila in neskončni za iracionalna števi-
la. Na tej osnovi smo dob ili vrste za iracionalna števila.
Poenostavljen zapis za k o n č n o in neskončno vsoto smo vpeljali
pr i končnih z apor ed j i h. Izpeljali smo lastnosti k o n č n i h vrst in
osnov ne formule sumiranja.
Pri i n t e r po Zac i j ah smo ugotovili, da n toč k v ravn ini natanko
določa poli nom stopnje n - 1. Raziskali smo nekaj lastnosti po-
l i norn ov in na eleganten n a č i n rešili ne kaj zagonetnih nalog, ki
bi se ele menta rno tež ko rešile .
Tudi družbos lov ci ne mor e j o brez mat ematike. Razvrščanj e prebi-
valc ev v različne interesne sk upine po drevesni met odi in gru-
pi ranje teh i nteresov v spl ošnejš e s tr ukt ure smo spoznali pr i
matemati ki v dr užbosZovju .
Fare ye v a z apo redja so i z redno zan imiva zaporedja ulomkov med O
in 1. Na začetku nekam tuja obli ka zapored ja nam je omogočila,
da smo mnogo na prvi pogled različnih pr obl emov obdelali pod
istim imenovalcem: celošt evilske rešitve e n a č b e ax + by = 1, iz-
r ažanj e ulomkov z vsoto ulomkov oblike l i x, in r ac i ona l ne pr i-
bližke rea lni h števil.
2 18
Geo metri j s ka d i s e kc i j a je teori ja o ra zre zavan j u plo ščinsk ih l i -
kov . Iz dobl je nih kosov la hko sestav i mo polj uben pl o šči ns k o ena k
li k. Ukv ar j al i smo se z minima l no di sek ci j o i n kot zgl ed r a zr e -
za l i e n ak os t rani č en t r i kotn i k , t er gršk i i n r i ms ki kri ž in j i h
s es t avi l i v kvad ra t.
Z n umer i čn i m r eš eva njem pol ino mo v smo s e s r eč a l i pr i upo r ab i
Horne rj evega a Zgor i t ma . Da ne bi os t a li zgo l j pri teo r i ji pol i -
nomov in njihovih ničel, je vsak udeležene c pr edavanj a dob il v
ro ke žep ni ra č u n a l n i k za pr og ramira nje i n s am poi skal kor en e al -
ge bra jsk ih e n a čb po r a z li čni h i nt e r pola c ij s ki h me t odah.
Pr edavan j e k r ivul ja , ki z a po Zn i k v a d r at j e bilo obo gateno s fi -
lmom. Og led a li smo si kr i vul j o , ki om e ju je končno ploskev, ob-
seg pa ima nes k on če n . Nato pa smo vi deli, da l ahko ra z l ičn e kr i-
vulje (Hi1be rtov a in Sie rp ins kijeva ), ki ni ma j o p lo šč ine, v li-
mit i zapolni j o kvadrat.
Le omen j e no preda vanje i ndu k t i v na me t o da v ma tema tiki je bi lo
nam en j eno pogledu na re še vanj e na log . Sezn anil i smo se z neva r -
nostmi i n ugodnos t mi induktivneg a s klepa nja, izpeljali meto do
popolne i ndukc i j e i n anal izira li vlogo induktivn ega ra zmišlj anj a
pri re ševanju nalog . Sli ša l i smo mnogo kor i st nih predlogov in
na s ve t ov za t e kmov aln e na log e .
To po l o g i j a v r a v n i n i nam j e pr edstavila nek a j povsem novih poj-
mov. ki se bolj oddaljuj ejo od sredn ješol s ke mat ematike . Spoz-
na l i smo okol ice , r ob, not r anjost in zunanjo st množic, povezane
mn ož ice , t er l omljen e črte in poligona lne l oke.
Ta pr eda vanja , ki so bi la l ani zope t po do lgem pr emoru , na j bi
bila vsako l e t o in prispeval a svoj delež, da bi se še v e č s r ed-
nje šol ce v zače l o globlje ukva rjat i z matemat iko .
Poleg tega pa smo na pobudo nekaj mlad ih matema ti kov, ki s o te k-
movali na zvez nem prvenstvu, or ga niziral i raz širje ni kr ože k be -
ž i gra jske gi mna z i j e v posl opju VTO ma t emati ka , kj e r dij a ki iz-
me njuje jo mnenj a in r eši tve ter dis kutirajo o meto dah , ki so po-
memb ne za re šev anje te km ovalnih nal og . Vse br a lce Pr e seka in
dr uge sredn j eš olce vljudno vabimo na obe ob l iki udejstvovanja.
Mark Ple ško 2 19