i
i
“Zalar” — 2021/6/4 — 8:42 — page 32 — #1 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
J. W. Helton, I. Klep, S. McCullough, M. Schweighofer, Dilations, linear
matrix inequalities, the matrix cube problem and beta distributions, Me-
moirs of the American Mathematical Society 1232, American Mathematical
Society, Providence, 2019, 106 strani.
Osrednja tematika knjige je študij vsebo-
vanosti množice rešitev ene linearne ma-
trične neenakosti (LMN) v množici reši-
tev druge. Bolj natančno, LMN je vsaka
neenakost oblike
Id⊗1+A1⊗x1 + · · ·+Ag⊗xg  0, (1)
kjer so d ∈ N naravno število, Id iden-
tična d × d matrika, A := (A1, . . . , Ag)
g-terica realnih simetričnih d×d matrik,
x1, . . . , xg spremenljivke, simbol ⊗ pred-
stavlja običajno množenje matrike z re-
alnim številom, simbol  0 pa pomeni,
da je leva stran pozitivno semidefinitna
matrika. Množica rešitev DA(1) neena-
kosti (1) se imenuje spektraeder.
Avtorji študirajo, kako za dani g-terki A(i) = (A
(i)
1 , . . . , A
(i)
g ), i = 1, 2,
realnih simetričnih di × di matrik, učinkovito preveriti vsebovanost pripa-
dajočih spektraedrov
DA(1)(1) ⊆ DA(2)(1). (2)
Osrednja lastnost spektraedrov je konveksnost, zato je njihov študij v za-
dnjih nekaj desetletjih izredno pomembna in razvijajoča veja konveksne op-
timizacije. Predstavljajo pomemben vir rezultatov zlasti za področje se-
midefinitnega programiranja. Izkaže pa se, da posplošitev spektraedrov do
prostih spektraedrov pogosto vodi do natančneǰsih rezultatov o algebraični
povezavi med tericama matrik A(1) in A(2). Če v (1) vstavljamo za spremen-
ljivke simetrične matrike iste velikosti (namesto 1 pa identično matriko te
velikosti), simbol ⊗ pa označuje Kroneckerjev tenzorski produkt matrik, po-
tem pripadajočo množico rešitev DA imenujemo prost spektraeder. Ker pa je
vsaka prosta konveksna množica prost spektraeder [3], LMN-ji predstavljajo
tudi osnovni predmet raziskovanja proste analize, ki svojo uporabo najde
predvsem na področjih proste verjetnosti, teorije sistemov, optimizacije in
operatorskih algeber.
32 Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 1
i
i
“Zalar” — 2021/6/4 — 8:42 — page 33 — #2 i
i
i
i
i
i
Dilations, linear matrix inequalities, the matrix cube problem and beta distributions
Preverjanje vsebovanosti (2) je na splošno zelo zahteven problem in
spada v razred NP-težkih problemov. Avtorji v knjigi problem poenostavijo
do preverjanja vsebovanosti prostih spektraedrov
DA(1) ⊆ DA(2) , (3)
kar je problem z znano algebraično karakterizacijo [2, posledica 3.7], ki se
jo da učinkovito preverjati z numeričnim algoritmom [2, razdelek 4]. Za
smiselnost te poenostavitve natančneje študirajo povezavo z osnovnim pro-
blemom (2). Glavni pristop [2] dosedanjega študija LMN-jev je bil uvedba
unitalne linearne preslikave τ : S1 → S2 med linearnima ogrinjačama
Si :=
{
c0Idi +
g∑
j=1
cjA
(i)
j : c0, . . . , cg ∈ R
}
, i = 1, 2,
koeficientov linearnih matričnih šopov, kot imenujemo vsako levo stran (1),
s predpisom τ(Id1) = Id2 , τ(A
(1)
j ) = A
(2)
j , j = 1, . . . , g, in opažanje, da sta v
primeru omejenosti spektraedra DA(1)(1) vsebovanosti (2) oz. (3) ekvivalen-
tni pozitivnosti oz. popolni pozitivnosti τ . Uporaba netrivialnih rezultatov
teorije operatorskih algeber nato v primeru popolne pozitivnosti natančno
algebraično opǐse τ . V knjigi je uveden povsem nov pristop k reševanju pro-
blema (2), pri čemer je ključen vidik teorije dilatacij. (Lep pregledni članek
o teoriji dilatacij je [5].) Glavni rezultat knjige je naslednji dilatacijski izrek
(izrek 1.1 v knjigi).
Izrek 1. Naj bo d ∈ N naravno število. Obstaja hilbertov prostor H, družina
Cd komutirajočih sebiadjungiranih skrčitev na H, izometrija V : Rd → H
in realno število ϑ(d), večje ali enako 1, tako da za vsako simetrično d× d
skčitev X obstaja operator T ∈ Cd, ki zadošča enakosti
1
ϑ(d)
X = V ∗TV. (4)
Z uporabo tega izreka avtorji pokažejo, da je preverjanje vsebovanosti skr-
čitve kDA(1)(1), kjer je 0 < k ≤ 1, v DA(2)(1), ekvivalentno preverjanju vse-
bovanosti kDA(1) ⊆ DA(2) na nivoju prostih spektraedrov. Kot je zapisano
zgoraj, pa se da to vsebovanost učinkovito preveriti s pomočjo numeričnega
postopka. S tem je do konstante skrčitve natančno rešen osnovni problem
(2) knjige.
Primer, ko je DA(1) enak množici⋃
n∈N
{(X1, . . . , Xg) : X1, . . . , Xg so simetrične n× n skrčitve},
Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 1 33
i
i
“Zalar” — 2021/6/4 — 8:42 — page 34 — #3 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
imenovani prosta kocka, sta prva študirala Ben-Tal in Nemirovski [1]. V
tem primeru je skrčitvena konstanta k kar enaka številu
1
ϑ(d1)
, kjer je ϑ(d1)
dilatacijska konstanta iz izreka 1. Pri tem je število ϑ(d1) v knjigi natančno
določeno s formulo, dokazana pa je tudi njegova optimalnost, tj. gre za
najmanǰse tako število, za katerega zaključek izreka 1 še velja. S tem je v
celoti rešen problem vsebovanosti proste kocke v danem prostem spektra-
edru DA(2) iz [1].
Na koncu omenimo še en pomemben vidik knjige. Poleg rešitve osnov-
nega problema so izpeljani rezultati zanimivi tudi za področja, iz katerih
izhajajo. Izrek 1 je presenetljiva novost za teorijo dilatacij, saj v primerjavi
z doslej znanimi dilatacijskimi rezultati nastopajoča dilatacijska konstanta
ϑ(d) ni odvisna od števila matrik, pač pa le od njihove velikosti. Prav tako
so rezultati pri izpeljavi formule za konstanto ϑ(d) zanimivi za teorijo ver-
jetnosti, saj podajajo nova dejstva o nekaterih standardnih verjetnostnih
porazdelitvah, kot sta binomska in beta porazdelitev.
Igor Klep je doktoriral leta 2006 na Fakulteti za matematiko in fiziko
Univerze v Ljubljani, kjer je od leta 2018 zaposlen kot redni profesor za po-
dročje matematike. V vmesnem času je raziskovalno in pedagoško deloval
na mnogih tujih institucijah (najdlje na Univerzi v Konstanzu v Nemčiji,
Univerzi v San Diegu v ZDA in Univerzi v Aucklandu na Novi Zelandiji).
Od leta 2018 je tudi podpredsednik mednarodnega združenja IWOTA, usta-
novljenega leta 1981, ki letno organizira konferenco iz teorije operatorjev in
njihove uporabe.
LITERATURA
[1] A. Ben-Tal, A. Nemirovski, On tractable approximations of uncertain linear matrix
inequalities affected by interval uncertainty, SIAM J. Optim. 12 (2002), 811–833.
[2] J. W. Helton, I. Klep, S. McCullough, The matricial relaxation of a linear matrix
inequality, Math. Program. 138 (2013), 401–445.
[3] J. W. Helton, S. McCullough, Every free basic convex semi-algebraic set has an LMI
representation, Ann. Math. 176 (2012), 979–1013.
[4] I. Klep, Matrično konveksne množice, Obzornik mat. fiz. 63 (2016), 81–99.
[5] O. M. Shalit, Dilation theory: a guided tour, v: Operator Theory, Functional Analysis
and Applications (ur. M. A. Bastos, L. Castro, A. Y. Karlovich), Operator Theory:
Advances and Applications 282, 2021, Birkhäuser, Cham; dostopno tudi na doi.org/
10.1007/978-3-030-51945-2_28.
Aljaž Zalar
34 Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 1