Refleksivnost in refleksivnostni defekt prostorov operatorjev - Rudolf, Tina (visokošolska dela, 2014)
Naj bo ?$\mathscr{H}$? kompleksen separabilen Hilbertov prostor, ?$\mathscr{B(H)}$? algebra omejenih linearnih operatorjev na ?$\mathscr{H}$? in ?$k$? naravno število. Za dano zaporedje nenegativnih celih števil ?$r_1 \ge r_2 \ge … \ge 0$? dokažemo, da obstaja takšen podprostor ?$\mathcal{S} \subseteq \mathscr{B(H)}$?, da je njegov ?$k$?-refleksivnostni defekt enak ?$r_k$? za vse ?$k \ge 1$?. V primeru, ko je dani Hilbertov prostor končno razsežen, podamo eksplicitno formulo za refleksivnostni defekt jedra poljubnega elementarnega operatorja dolžine 2, t.j., operatorja na algebri ?$\mathscr{B(H)}$? oblike ?$Δ(T) = A_1TB_1 - A_2TB_2$?, kjer sta ?$A_1$?, ?$A_2$? ter ?$B_1$?, ?$B_2$? para linearno neodvisnih operatorjev. Natančno karakteriziramo ?$k$?-refleksivnostni defekt slike posplošenega odvajanja ter slike elementarnega operatorja oblike ?$Δ(T) = ATB - T$?, kjer sta ?$A, \: B \in \mathscr{B(H)}$? dana operatorja. Obravnavamo tudi ?$k$?-refleksivnost in ?$k$?-hiperrefleksivnost nekaterih prostorov operatorjev nad končno ortogonalno direktno vsoto kompleksnih separabilnih Hilbertovih prostorov. Poiščemo zgornjo in spodnjo mejo za ?$k$?-hiperrefleksivnostno konstanto takšnega prostora in pri tem dokažemo, da je dobljena spodnja meja optimalna. Podobne ocene izpeljemo tudi v primeru, ko direktna vsota Hilbertovih prostorov ni nujno ortogonalna. Izkaže se, da so dobljene meje za ?$k$?-hiperrefleksivnostno konstanto prostora tedaj odvisne tudi od kotov med danimi Hilbertovimi prostori. Obravnavamo še hiperrefleksivnostne konstante nizko razsežnih algeber matrik, ki imajo nekomutativno mrežo invariantnih podprostorov.
Keywords: Disertacije; elementarni operatorji; elementary operators; generalized derivation; k-hiperrefleksivnost; k-hiperrefleksivnostna konstanta; k-hyperreflexivity; k-hyperreflexivity constant; k-refleksivno pokritje; k-refleksivnost; k-refleksivnostni defekt; k-reflexive cover; k-reflexivity; k-reflexivity defect; Kronecker canonical form; Kroneckerjeva kanonična forma.; matrični šopi; matrix pencils; posplošeno odvajanje; Refleksivnost (matematika)