i i “Kovic” — 2019/6/26 — 8:24 — page 30 — #1 i i i i i i NOVE KNJIGE Mario Livio, The Equation That Couldn’t Be Solved, Simon & Schuster Paperbacks, 2005, 353 strani. Privlačno napisana knjiga poljudno- znanstvene narave o pojmu simetrije obravnava razne konkretne aspekte te- ga sicer abstraktnega pojma in bralcu predstavi zgodovinski razvoj ustrezne matematične formulacije preko iskanja rešitev polinomskih enačb. Ker se bolj osredotoča na zgodovinsko-biografski vidik kot pa na matematično vsebino, je zelo dostopna tudi humanistično us- merjenim bralcem, ki bi radi posegli po idejah iz matematičnega sveta, ne zanimajo pa jih tehnične podrobnosti. Po drugi strani pa je namenjena tudi naravoslovno usmerjenim bralcem, ki samo matematično vsebino knjige sicer že dobro poznajo, radi pa bi izvedeli več o širšem zgodovinskem ozadju nastanka s pojmom simetrije povezanih matematičnih idej in teorij. Knjiga je posvečena enemu od mejnikov v zgodovini matematike, od- kritju in hkrati že tudi prvi uporabi pojma grupe, ki predstavlja eno naj- pomembneǰsih matematičnih struktur. Teorija grup je danes nepogrešljiva ne samo v matematiki, temveč tudi v drugih znanostih, npr. fiziki in kemiji. Na grupe naletimo tudi v umetnosti (npr. grupe periodičnih tlakovanj rav- nine), praktično povsod, kjer tako ali drugače nastopajo simetrije. Grupe so »naravni jezik« za proučevanje simetrij. Do odkritja tako pomembnih in široko uporabnih struktur pa ni prǐslo tako, da bi se matematiki zavestno trudili iznajti neko novo in čim širše uporabno matematično teorijo, temveč nekako mimogrede, ko so se ubadali s problemom iskanja splošne algebraične formule za enačbe 5. stopnje, kar je bil dolgo eden izmed velikih nerešenih problemov matematike. 30 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 1 i i “Kovic” — 2019/6/26 — 8:24 — page 31 — #2 i i i i i i The Equation That Couldn’t Be Solved Potem ko je matematikom v renesansi z bistroumnimi ad hoc metodami uspelo najti splošne algebraične formule za rešitve enačbe 3. in 4. stopnje, ki so bile prvič objavljene leta 1545 v slavni Cardanovi knjigi »Ars Magna«, je bil naslednji cilj matematikov jasen: najti podobno algebraično formulo za rešitve splošne enačbe 5. stopnje ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f = 0, ki naj bi iz realnih koeficientov a, b, c, d, e, f takšne enačbe samo z osnovnimi operaci- jami – seštevanjem, odštevanjem, množenjem, deljenjem in korenjenjem – pripeljala do vsaj ene rešitve x take enačbe. Ker tega oreha dolgo nikomur ni uspelo streti, so nekateri matematiki začeli dvomiti, ali je sploh mogoče najti splošno rešitev za enačbe pete in vǐsjih stopenj. Tako je npr. Gauss istega leta 1799, ko je v svoji doktorski disertaciji objavil svoj prvi (in nepopolni) dokaz osnovnega izreka algebre (po katerem ima vsaka enačba n-te stopnje natanko n rešitev, ki so realna ali kompleksna števila), zapisal: »Potem ko so napori mnogih geometrov pustili le malo upanja, da bi lahko rešili splošno enačbo algebraično, se zdi bolj in bolj verjetno, da je takšna rešitev nemogoča in protislovna.« Dodal je še: »Morda ne bo tako težko dokazati, z vso strogostjo, nemogočost za peto stopnjo.« Potem pa o tem nikoli ni objavil ničesar več. Da splošna enačba 5. stopnje dejansko ni rešljiva algebraično, sta neod- visno drug od drugega pokazala norveški matematik Abel in francoski mate- matik Galois. V knjigi sta predstavljeni njuni tragični življenjski zgodbi (oba sta umrla mlada, Abel reven, Galois pa nerazumljen od sodobnikov), pa tudi bistvo njunih matematičnih odkritij v zvezi s tem problemom. Ga- lois je prodrl globlje v njegovo razumevanje, saj je odkril in pojasnil razlog, zakaj problem ni rešljiv.1 Vsaki enačbi je priredil neko permutacijsko grupo, pokazal, da je rešljivost enačbe z algebraično formulo odvisna od strukturnih lastnosti te grupe, pokazal pa je tudi, da obstajajo enačbe pete in vǐsjih stopenj, katerih grupe ne dopuščajo take rešitve. To so tri ključne sestavine 1Problem nerešljivosti enačb pete in vǐsjih stopenj s preprosto algebraično formulo je še eden od številnih slavnih problemov iz zgodovine matematike, ki jih ni bilo mogoče rešiti s predpisanimi sredstvi (spomnite se samo na tri slavne nerešene probleme staro- grške matematike: podvojitev kocke, tretjinjenje kota in kvadratura kroga, ali pa na brez- plodne poskuse dokazati peti Evklidov postulat). Takšni problemi praviloma dolgo osta- jajo nerešeni, po določenem času pa matematiki začnejo iskati rešitve zunaj predpisanega okvira. Morda tudi sami poznate kakšen odprt matematičen problem, ki ga skoraj zago- tovo ni mogoče rešiti z danimi sredstvi; vztrajanje, da ne smete ali ne morete uporabiti drugih orodij, vam v bistvu zveže roke. Morda pa vam ga uspe rešiti na kakšen drug način – tako da iznajdete neka druga sredstva za njegovo rešitev; tako je npr. Aleksander Veliki z mečem presekal gordijski vozel. Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 1 31 i i “Kovic” — 2019/6/26 — 8:24 — page 32 — #3 i i i i i i Nove knjige Galoisovega preboja pri reševanju problema, ki je dolgo ostajal nerešen. Čeprav je bistvo Galoisovega dokaza mogoče opisati tudi na tako she- matičen način, brez tehničnih podrobnosti, bo bolj matematično in zgodovin- sko radovedni bralec zagotovo pogrešal natančneǰso razlago. V tem primeru lahko poseže npr. po Rotmanovi knjigi Galois’ Theory, kjer bo poleg moder- ne različice Galoisove teorije v dodatku našel tudi njeno izvorno formulacijo ter dovolj natančen opis tega, kako je Galois prǐsel do svojega odkritja z navezavo na dela svojih predhodnikov in sodobnikov. So pa po drugi strani v knjigi lepo in s primeri razumljivo prikazane osnovne ideje, ki so pripeljale do začetkov teorije grup. Prav tako so dobro popisane dramatične podrob- nosti iz življenja Galoisa in Abela; tako npr. bralec lahko izve, kako je Galois svojo teorijo v grobih obrisih skiciral v pismu prijatelju v noči pred usodnim dvobojem. Teorija grup danes dobiva nove in nove uporabe na najrazličnej- ših področjih, pa čeprav tega njen tvorec Galois niti najmanj ni pričakoval. Po njegovi smrti so matematiki potrebovali kar nekaj let, da so njegove zapiske iz tega pisma razvozlali in prepoznali njihovo vrednost. Knjigo, katere jedro predstavlja prav Galoisovo odkritje grup, uvajajo poglavja o simetriji na splošno, npr. v naravi in umetnosti, zaključujejo pa poglavja o uporabi simetrije (in teorije grup) v moderni znanosti (npr. fiziki). V tem zadnjem delu knjiga bralca popelje razmeroma daleč proti obzorju moderne znanosti, ko npr. govori, do kako velikih odkritij so prǐsli fiziki z upoštevanjem načela, da morajo enačbe njihovih teorij ustrezati takšnim ali drugačnim simetrijam. Tako je npr. Einstein, ko je razvijal posebno teorijo relativnosti, odkril, da iz zahteve po simetriji fizikalnih zakonov za enakomerno gibajoče se opazovalce in iz invariantnosti svetlobne hitrosti sledi, da prostora in časa ni mogoče obravnavati kot ločenih entitet (str. 202). Od knjige, katere cilj je predstavitev odkritja pojma grupe in njegove uporabe, seveda ne moremo zahtevati, da bi bralcu predstavila fizikalne teorije, ki v zadnjih desetletjih ǐsčejo »veliko poenotenje« fizike in temeljijo na načelu, da morajo enačbe teorij biti simetrične. Kako zelo so te teorije zapletene, se lahko zainteresirani bralec prepriča npr. ob knjigi Michael Dine, Supersymmetries and String Theory, Cambridge University Press 2015. Po drugi strani pa nekateri fiziki že dopuščajo tudi možnost, da narava ni tako popolno simetrična, kot bi si to želeli. O tem lahko zainteresirani bralec izve več npr. v članku What Does Beauty Have To Do With Physics? www.pbs. org/wgbh/nova/article/beauty-in-physics/, datum ogleda 17. 3. 2019. Pojem simetrije je veliko prebogat, da bi bilo v eni sami knjigi mogoče 32 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 1 i i “Kovic” — 2019/6/26 — 8:24 — page 33 — #4 i i i i i i Euler’s Pioneering equation zajeti vse njegove različne pojavne oblike v naravi, umetnosti in matematiki. Tako na primer v knjigi ni omenjena slavna Heronova formula za ploščino trikotnika, v kateri stranice a, b, c, nastopajo »simetrično«. Podobno vrsto simetrije najdemo tudi pri formuli x1,2 = −b± √ b2−4ac 2a za rešitev kvadratne enačbe ax2 + bx+ c = 0; to formulo lahko izrazimo kot simetrično funkcijo vsote x1+x2 in produkta x1x2 rešitev x1 in x2, in sicer takole: 1 2 [(x1 + x2)±√ (x1 + x2)2 − 4x1x2 ] . Francoz Alexandre-Théophile Vandermonde (1733– 96) in Anglež Edward Waring (1736–98) sta se prva domislila vprašanja, ali je tudi enačbe pete stopnje in na splošno vseh stopenj mogoče izraziti s podobnimi simetričnimi izrazi, o tej ideji pa je razmǐsljal tudi Joseph-Louis Lagrange (1736–1813), ki ga je Napoleon Bonaparte imenoval »vzvǐsena piramida matematičnih znanosti« (str. 83). Potreben pa je bil genij Ga- loisovega kova, ki je od tega preprostega uvida zmogel storiti velikanski korak naprej v neznano. Čeprav je knjiga slogovno nekoliko heterogena – vsa poglavja niso napisa- na v enotnem stilu – se jo vsekakor splača prebrati, saj lepo predstavi za- četke razvoja teorije grup. Ta prikaz je lahko vsakemu dijaku ali študentu matematike dobra začetna motivacija, da se resneje posveti temu pomem- bnemu področju matematike. Dostopna bo tudi humanistično usmerjenemu bralcu, ki bolj matematično zahtevnega dela ne bi mogel razumeti. Učitelj matematike pa bo ob njenem prebiranju dobil bolǰso predstavo o tem, kje utegnejo dijaki ali študenti imeti težave z določenimi matematičnimi kon- cepti – te so po navadi podobne, kot so jih imeli matematiki v zgodovini, ko so te koncepte šele uvajali. Jurij Kovič Robin Wilson, Euler’s Pioneering Equation, Oxford University Press, Oxford, 2018, 162 str. »Eulerjeva pionirska enačba« eiπ + 1 = 0 je zaradi svoje lepote in uporabnosti na številnih področjih matematike u- pravičeno deležna velike pozornosti matematikov vseh profilov, tako zgodovi- narjev in popularizatorjev matematike kot tudi učiteljev in raziskovalcev. Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 1 33