IZ TEORIJE ZA PRAKSO 20 Matematika v šoli, št. 1., letnik 29, 2023 Preiskovanje v matematiki za vse – učne ure za učitelje in učence Inquiry in Mathematics for All – Lessons for Teachers and Students dr. Kristijan Cafuta in dr. Selena Praprotnik Univerza v Ljubljani, Fakulteta za elektrotehniko Izvleček V članku povzamemo bistvene značilnosti treh aktualnih raziskovalnih teorij iz preučevanja pedagoških praks učiteljev matematike. T o so T eorija didaktičnih situacij (TDS), Učenje matematike v realnem kontekstu (RME) in Lesson Study (LS). Predstavljene teorije obravnavamo s teoretičnega vidika, pri čemer smo vse tri preizku- sili tudi v praksi v okviru dveh mednarodnih projektov – MERIA in TIME. Splošen opis vsebin v tem članku je namenjen seznanjanju učiteljev z metodologijo in izrazoslovjem, povezanim s teorijami TDS, RME in LS. Po uvodnem delu v drugem razdelku članka opišemo glavne značilnosti teorije TDS, v tretjem razdelku pa se osredotočimo na teorijo RME. Četrti razdelek je namenjen predstavitvi teorije LS. Ključne besede: učenje matematike s preiskovanjem, Teorija didaktičnih situacij (TDS), Učenje matematike v realnem kontekstu (RME), Lesson Study (LS), projekt MERIA, projekt TIME Abstract This article summarises the essential features of three contemporary research theories derived from study- ing mathematics teachers‘ pedagogical practices, namely, the Theory of Didactical Situations (TDS), Realistic Mathematics Education (RME) and Lesson Study (LS). These theories, discussed here from a theoretical per- spective, have been tested in practice in the context of two international projects – MERIA and TIME. The article aims to familiarise teachers with the methodology and terminology associated with the TDS, RME and LS. In what follows, we examine the main elements of the TDS (section two) and RME (sections three) and provide an overview of LS (section four). Keywords: Inquiry Based Mathematics Learning, Theory of Didactic Situations (TDS), Real-Mathematics Education (RME), Lesson Study (LS), project MERIA, project TIME. 1 Uvod Matematika med mnogimi učenci velja za nezanimiv predmet. Učenci imajo vtis, da se je pri matematiki treba naučiti nekaj po- stopkov na pamet, potem pa jih uporabljajo v nezanimivih, dol- gočasnih in neuporabnih nalogah. Pri klasičnem učenju in reše- vanju nalog iz učbenikov in zbirk nalog učenci ne vidijo smisla in vsebino hitro pozabijo. Še huje, naučenega ne znajo uporabiti v praksi, to je pri vsakdanjih problemih. Kot učitelji vemo, da je matematika lahko zanimiva in zelo upo- rabna. V časih nas kak problem zaposli in ga navdušeno rešujemo tudi več dni. Večina nas tudi pozna občutek zadovoljstva, ki sle- di uspešni (raz)rešitvi dane naloge. Zato se vedno bolj trudimo, da bi pri pouku reševali naloge, ki bi jih učenci prepoznali kot pomembne, zanimive in uporabne. Trudimo se, da bi učence na- loge pritegnile, da bi bili visoko motivirani pri reševanju in da bi jih zanimalo, kakšne poti vodijo do rešitve. Radi bi, da tudi učen- ci spoznajo navdušenje, ki ga lahko prinese reševanje matematič- nega problema, tudi če ne obrodi rešitve v času, ki ga imamo na voljo pri pouku, oziroma tudi takrat, ko smo ugotovili le to, da določen pristop ne deluje. Učencem so še posebej zanimivi pro- blemi, s katerimi se srečujejo v vsakdanjem življenju. Govorimo o problemih, ki imajo več različnih rešitev oziroma pri katerih do pravilnih rešitev vodi več različnih poti. Kako lahko z drugačnim razmislekom pridemo do enakih rešitev? Zakaj lahko več rešitev ustreza enemu problemu? Ti vprašanji sta zanimivi tudi učen- cem, ki jim sicer bolj ustrezajo družboslovne vsebine. Zato lahko morda drugačen način izvajanja učnih ur matematike pritegne tudi tiste, ki so vedno menili, da »oni pa niso za matematiko«. Način poučevanja matematike s preiskovanjem lahko za začetek učitelj izbere za ure, pri katerih od učencev pričakuje nižjo mo- tivacijo za delo. V praksi se je namreč izkazalo, da so take aktiv- nosti izredno motivacijske. Predlagamo, da v teh primerih preiz- IZ TEORIJE ZA PRAKSO 21 Matematika v šoli, št. 1., letnik 29, 2023 kusite scenarije, ki smo jih pripravili v sklopu projektov MERIA (https://meria-project.eu/) in TIME (https://time-project.eu/). Projekta sta potekala v sodelovanju s strokovnjaki, raziskoval- ci in učitelji matematike iz Slovenije, Hrvaške, Nizozemske in Danske. Prepričani smo, da boste nad izvedbo učnih ur po pri- pravljenih scenarijih prijetno presenečeni, tako vi – učitelji, kot vaši varovanci – učenci. Naše izkušnje so zelo pozitivne. Neka- teri učenci so naloge po takšni učni uri reševali še v času malice! Zato učitelji pristop radi ohranijo in ponovno izvedejo podobne ure z novo vsebino. Tudi učenci sprašujejo, kdaj bodo spet imeli »zabavno« matematiko. Razvoj gradiv za poučevanje matematike s preiskovanjem, ki smo jih pripravili pri projektih MERIA in TIME, temelji na dveh uveljavljenih raziskovalnih programih: na teoriji didaktičnih si- tuacij (Theory of Didactical Situation – TDS), ki jo je razvil Guy Brousseau (Brousseau, 1997), in pristopu učenja matematike v realnem kontekstu (Realistic Mathematics Education – RME), ki ga je razvil Hans Freudenthal (Freudenthal, 1991). Obe teoriji spodbujata avtonomno preiskovanje učencev, ki morajo aktivno delovati brez (pretiranega) posredovanja in usmerjanja učitelja. S svojim obstoječim matematičnim znanjem učenci raziskujejo in preiskujejo zastavljeni problem in skozi proces preiskovanja svoje znanje poglobijo in razširijo. Seveda ne bodo vsi učenci prišli do enakih zaključkov, niti ne bodo ubrali enakih strategij. Zagotovo pa bodo v procesu precej pridobili. Pridobljeno znanje ali vsaj notranji občutek o naravi danega problema, ki so ga dose- gli z lastnim trudom skozi dejavnost, ostane z učenci precej dalj časa kot vsebina, ki jo preberejo iz učbenika. Glavni cilj projekta MERIA je bil spodbujati poučevanje s prei- skovanjem in podpirati učitelje pri njegovem izvajanju z zagota- vljanjem učnih scenarijev, praktičnih zamisli in dejavnosti stro- kovnega izpopolnjevanja. Nekateri tuji avtorji ugotavljajo, da je najbolj obetaven način za zagotavljanje kontinuiranega strokov- nega usposabljanja pristop, ki ga imenujemo Lesson Study (LS). Ta se že več kot stoletje uporablja kot oblika strokovnega uspo- sabljanja učiteljev na Japonskem. Cilj projekta TIME kot nada- ljevalnega projekta je bil raziskati, v kolikšni meri lahko majhne skupine učiteljev, ki jih navdihuje ravno LS, ustvarijo gradiva, kakršna smo pripravili v projektu MERIA. Na tem mestu poda- jamo kratke opise teorij TDS, RME in LS, povzete po materialih, nastalih v okviru omenjenih projektov. 2 Teorija didaktičnih situacij in faze učne ure Učne ure, ki temeljijo na teoriji TDS, potekajo v več fazah. Faze si sledijo v določenem zaporedju, da dosežemo najboljši možni učinek – boljše razumevanje in visoko motivacijo učencev. Ve- čina problemov je takih, da jih je smiselno reševati v skupinah. T akoj na začetku ure učence razdelimo in posedemo na način, da bodo lahko čim bolje sodelovali. Ker se je v preteklem časovnem obdobju uporabljala različna slovenska terminologija za poime- novanje faz TDS, bomo v nadaljevanju omenili kar vse. Devolucija oz. Predstavitev problema oz. Prenos Prva faza je predstavitev problema. V tej fazi učitelj predstavi nalogo, ki jo morajo učenci rešiti z obstoječim znanjem in s svo- jim lastnim preiskovalnim razmišljanjem. Učitelj se mora prepri- čati, da vsi učenci razumejo cilj naloge. Akcija oz. Delovanje oz. Reševanje oz. Preiskovanje Slika 1: Faza reševanja med izvedbo učne ure po principu TDS. Vir: Arhiv XV. gimnazije Zagreb. V drugi fazi učenci preiskujejo problem, razmišljajo o dani nalogi, rišejo skice, računajo ter iščejo načine, ki bi jim lahko bili v pomoč pri razumevanju ali pri iskanju rešitev. Včasih sami ugotovijo, da določen način ne deluje, včasih ne. V tej fazi se lahko dogaja marsikaj. Primer preiskovanja je prikazan na sliki (Slika 1). Bistveno je, da učitelj v trajanju te faze ne posega v delo učencev. To pomeni, da učitelj ne posreduje, ne komentira ali ocenjuje pristopa, ki so ga ubrali učenci, tudi če opazi, da na takšen način ne bodo našli rešitev. Učenci bodo dobili izkušnjo tudi z neuspešnimi pristopi. Izkaže se, da je neposeganje v delo učencev velik izziv za učitelje, zato je na to treba posebej opozo- riti. Neposeganje pa ne pomeni, da učitelj pasivno čaka. Učitelj opazuje, kakšne pristope so ubrali učenci. Zabeleži si manj obi- čajne zamisli. Posluša, če so kakšno dobro zamisel zavrgli in za- kaj. Opazuje, zakaj so izbrali določen pristop, za katerega učitelj ve, da ne bo deloval. Mogoče opazi tudi nerazumevanje. Vse to uporabi v nadaljevanju. Pri vsaki učni uri določimo predviden čas trajanja te faze. Ko čas poteče, nastopi tretja faza. Formulacija oz. Zapis ugotovitev Tretja faza je faza zapisa ugotovitev (formulacije). Vsaka skupi- na učencev mora iz vseh svojih raziskav, poskusov, skic, računov in še česa sestaviti smiselno celoto. Opisati bodo morali, kako so razmišljali, kaj so preizkusili, ali je delovalo, ali so prišli do žele- nega rezultata, in, če jim uspe, kakšna je njihova rešitev proble- ma in zakaj. Zakaj so prepričani, da je njihova rešitev pravilna? Svojo dejavnost iz druge faze morajo strniti in sestaviti povzetek (za njih) bistvenih rezultatov. Tudi v tej fazi učitelj običajno ne sodeluje aktivno. Validacija oz. Verifikacija oz. Poročanje oz. Potrditev V četrti fazi skupine poročajo in medvrstniško »verificirajo« svoje ugotovitve. Poročajo lahko samo nekatere skupine, odvi- IZ TEORIJE ZA PRAKSO 22 Matematika v šoli, št. 1., letnik 29, 2023 sno od števila učencev, časa in različnih strategij, ki so jih učenci ubrali pri reševanju. Vrstni red predstavitev določi učitelj. Ideal- na situacija bi bila, da bi neuspešne pristope razrešili učenci med seboj. Kakšna druga skupina je mogoče razmišljala podobno in ugotovila, zakaj nekaj ne deluje. Tako bodo učenci sami razložili svojim sošolcem, kakšen razmislek jih je pripeljal do rezultata. Učitelj mora pazljivo izbrati vrstni red poročanja, in sicer od manj uspešnih do bolj uspešnih strategij. Ne glede na to, koliko je določena skupina uspela doseči v danem času, četudi so more- biti popolnoma zgrešili smer, mora učitelj reagirati spodbudno, ali vsaj nevtralno, da učenci ne izgubijo motivacije. Poročanje lahko učitelj naredi tudi na kakšen bolj inovativen način, kot je primer s slike (Slika 2). V delu učne ure lahko večkrat pride do faze verifikacije, ko svoje teorije učenci povzamejo in testirajo, ali so pravilne. To lahko naredijo samostojno. Če je naloga dobro zastavljena, lahko sami ugotovijo, ali je predlagana rešitev pravilna ali ne, ko jo preverja- jo v danem kontekstu. Včasih verifikacijo izvedejo že v fazi reše- vanja, da določen pristop zavržejo. Včasih ugotovijo, da je rešitev dobra, ko izvedejo formulacijo. Praviloma pa se verifikacija zgo- di pri poročanju, s pomočjo sovrstnikov. Institucionalizacija oz. Oblikovanje ustaljenega zapisa Ko se poročanje zaključi, učitelj povzame skupne ugotovitve, ki so jih učenci našli. Povzetku lahko še kaj doda, da razširi vsebino, ki ustreza danemu problemu, tudi če ga učenci v nobeni skupini niso rešili v celoti. Bistveno je, da učitelj vsebino iz učbenika po- veže z dejavnostjo učencev. Na takšen način znanje postane ko- lektivno in njim lastno – učenci se spomnijo svojih preiskovanj in razumevanja problema. Ko učitelj znanje poveže z dejavno- stjo, učno vsebino zapiše tudi formalno, tako kot je sicer zapisana v učbeniku. Tej fazi rečemo Institucionalizacija oziroma v opisni obliki »oblikovanje ustaljenega zapisa«. Sledi pogovor med učiteljem in učenci, da se prepričajo, da for- malni zapis učenci razumejo in ga vidijo kot nadgradnjo svojega lastnega preiskovanja. Učne ure lahko priredimo, tako da ponavljamo določene faze. V določenih primerih lahko večkrat ponovimo devolucijo in akcijo, še posebej, če opazimo, da nobena od skupin nima za- misli, kako bi se lotila reševanja prvotnega problema. To lahko uredimo z novo devolucijo, torej s spodbudo v obliki namiga ali postavitvijo vprašanja, ki je povezano z začetno nalogo in ni tako obširno. Na kratko bomo opisali še nekaj pogosto uporabljenih izrazov. Institucionalno znanje (včasih imenovano javno ali uradno zna- nje) je znanje, ki je predstavljeno v učbenikih, na spletnih stra- neh, v strokovnih raziskovalnih revijah in drugih objavljenih virih. Osebno znanje je znanje, ki ga učenci (in drugi) izgrajujejo med interakcijo z matematičnim problemom. Cilj učne ure po principu TDS je, da učenci razvijejo osebno zna- nje, učitelj pa ob koncu njihovo izkušnjo poveže z institucional- nim znanjem, ki ga običajno podaja. Adidaktične situacije so tiste, v katerih se učenci lotijo problema in raziskujejo okolje, nalogo ali dan problem brez posredovanja s strani učitelja. V takšnih situacijah učenci razvijajo svoje osebno znanje tako, da ga prilagajo reševanemu problemu, preko doda- tnih preiskovalnih dejavnosti ali s preizkušanjem idej oziroma preko formulacije argumentov, ko poskušajo prepričati vrstnike. Najdaljša adidaktična faza je običajno faza reševanja (akcije). Didaktične situacije so tiste, v katerih učitelj stopa v interakcijo z učenci. V teh situacijah učitelj ureja in vodi adidaktične situa- cije in poskrbi, da se znanje iz adidaktičnega dela deli, potrdi in prepozna kot »pravilno« ali »nepravilno«. Didaktične in adidaktične situacije se med sabo izmenjujejo, tako da se lahko postopoma gradi institucionalno znanje. 3 Učenje matematike v realnem kontekstu Druga teorija je teorija učenja matematike v realnem kontekstu (RME). Ta teorija nas spomni, da je matematika človekova dejav- nost in da se z njo srečujemo na vsakem koraku. 3.1 Kontekst pri učenju matematike Smiselna matematika izhaja iz bogatih kontekstov, ne iz klasič- nih učbenikov, v katerih so problemi zoženi na en sam račun ali kratek razmislek, ki mu je odvzeta večina vsebine. Bogat kontekst pomeni, da matematičnega znanja ne razvijamo iz matematičnih struktur, ampak predvsem iz tega, kar je za nas realno in kar smo sami izkusili. Novo znanje pridobimo iz tega, kar že poznamo in kar ima za nas že določen smisel. Kontekst, v katerem se naloga ali problem dogaja, je lahko (in večinoma je) nematematičen, a kljub temu takšen, da lahko znotraj dogajanja najdemo mnogo matematičnih opisov oziroma struktur. Bogat kontekst je tisti, ki se povezuje z »zdravo kmečko pame- tjo«. Če lahko najdemo veliko matematičnih opisov znanih poja- vov znotraj danega konteksta, je takšen kontekst bogat. To, da je kontekst bogat, lahko opredelimo tudi s tem, da je upo- rabnost pridobljenega znanja zelo široka. Znanje, ki ga pridobi- mo v danem kontekstu, lahko uporabimo v mnogih situacijah. Znanje je torej splošno uporabno in ne samo v dani situaciji. Slika 2: Poročanje lahko orga- niziramo na različne načine. Ne- konvencionalne pristope učenci zelo dobro sprejmejo. Vir: Arhiv XV. gimnazije Zagreb. IZ TEORIJE ZA PRAKSO 23 Matematika v šoli, št. 1., letnik 29, 2023 Tretji vidik bogatega konteksta v nalogi je ta, da omogoča različ- ne pristope, različne načine reševanja in celo različne rešitve, ki ustrezajo situaciji. Glavni del učenja matematike v realnem kontekstu imenujemo matematizacija. Ta vključuje aksiomatiziranje, formaliziranje, shematiziranje, algoritmiranje, modeliranje itd. Matematizacija pomeni, da bolj ali manj matematično natančno opišemo do- gajanje, ki ga opažamo (opazujemo). To lahko naredimo tako, da zapišemo formalno definicijo ali da določimo postopek, s ka- terim vedno pridemo do rešitve podobnega problema. Primer različnih načinov matematizacije je prikazan na sliki (Slika 3). Znotraj matematiziranja ločimo dve usmeritvi: horizontalno in vertikalno. Pri učencih se moramo truditi, da uporabljajo obe smeri. V grobem: horizontalna matematizacija pomeni, da zna- mo povezovati matematično znanje z realnimi situacijami, v ka- terih ga uporabljamo. Gre za sposobnost opisa problema v ma- tematičnem jeziku. Vertikalna matematizacija je formaliziranje in oblikovanje povezav znotraj matematike, kar vodi k boljšemu razumevanju. Je posploševanje matematičnih opisov konkretnih problemov. 3.2 Učne ure v jeziku učenja matematike v realnem kontekstu Poraja se vprašanje, kako lahko teorijo RME uporabimo pri iz- vedbi učne ure. Seveda učitelji ure prilagodijo svojemu načinu dela, učencem in njihovim sposobnostim, predvsem pa njihovim in svojim interesom. Kontekst naj bo znan in zanimiv. Bistveni del učenja matematike v realnem kontekstu, kot pove že ime te- orije, je kontekst. Zato je prva naloga učitelja, da predstavi znan in zanimiv kontekst z relativno odprtim problemom. Problem (in kontekst) lahko predlagajo tudi učenci, če je to mogoče. Kon- tekst lahko ostane enak za različne matematične probleme, lahko se k njemu vračamo. V istem kontekstu lahko preizkušamo raz- lične načine reševanja in razmišljamo, kateri (če sploh kateri) je boljši in zakaj. Šele ko je kontekst jasen in ko vsi učenci vedo, v kakšnem okolju se dogaja neka situacija, se začne matematizacija. Ta bo najprej horizontalna, ko učenci neformalno opišejo dogajanje in posto- poma uvedejo matematični jezik, ki ga bodo uporabili za opis problema, npr. umestijo koordinatni sistem, izberejo oznake, določijo neznanke itd. Ko izberejo formalni opis, se začne vertikalna matematizacija: učenci razvijajo izbran matematični model, posplošujejo ugoto- vitev in model naredijo bolj abstrakten. Ko ugotovitve čim bolj posplošijo, o naučenem skupaj premisli- mo. Bolj aktivno se vključi tudi učitelj. Skupaj razmislimo o ce- lotnem procesu in poskusimo poiskati drugačne probleme, ki bi jih lahko rešili z novim znanjem. Učenci delijo svoja spoznanja, učitelj usmerja in poudari glavne točke. 4 Lesson Study kot oblika učiteljevega profesionalnega razvoja Lesson Study (LS) je pristop, ki temelji na sodelovanju med uči- telji pri »problemu poučevanja«, tako pri načrtovanju in izvedbi poučevanja, kakor tudi pri evalvaciji učnih ur. Eno izmed osnov- nih načel LS je namreč, da se učitelji najbolje učijo in izboljšujejo svojo prakso z opazovanjem poučevanja drugih učiteljev. Učitelji si pri LS prizadevajo izboljšati kakovost poučevanja. To storijo tako, da ga preučujejo na način, kjer natančno analizirajo, kaj »deluje« in kaj »ne deluje« – seveda vse v smislu izboljšanja ka- kovosti učenja učencev. Čeprav se morda zdi, da je poudarek na učitelju, je končni cilj povečanje zanimanja in motivacije učen- cev ter izboljšanje kakovosti njihovega učenja. 4.1 Zgodovinsko ozadje profesionalnega razvoja učiteljev Lesson Study Na Japonskem se LS že več kot stoletje redno uporablja in je hkrati primarna metoda profesionalnega razvoja učiteljev. Me- toda je zrasla iz preobrazbe japonskega izobraževalnega sistema, ki se je preusmeril od individualnega poučevanja, prilagojenega sposobnostim učenca, k poučevanju v skupinah. Učitelji iz Za- hodnih držav, ki so bili povabljeni na Japonsko, so uvedli kon- cept poučevanja v celotnem razredu, kar je bilo sicer v tistem času tudi izven Japonske še vedno redko. To je privedlo do pisa- nja novih učbenikov in pojava »odprtih lekcij« (angl. open les- son), tj. učnih ur, ki so izvedene pred širšo javnostjo, na primer za učitelje drugih šol. Odprte lekcije so japonski učitelji ohranili in jih uporabljajo za razpravo in prilagajanje svoje učne prakse. Ob podpori vlade so japonski učitelji nato po vsej državi sprejeli kulturo izvajanja opazovanja aktivnosti učencev med učno uro in naknadne evalvacijske razprave (refleksije). Slika 3: Matematizacija – preiskovanje in (bolj ali manj natančen) zapis problema v matema- tičnem jeziku. Vir: Arhiv XV. gimnazije Zagreb. IZ TEORIJE ZA PRAKSO 24 Matematika v šoli, št. 1., letnik 29, 2023 Slika 4: Izvedba učne ure na način LS na Japonskem. Učitelji spremljajo način učenja in razmišljanje učencev. Vir: Tom McDougal, https://www.apmreports.org/episode/2015/08/26/a - -different-approach-to-teacher-learning-lesson-study Japonski učitelji so v procesu izvajanja LS postopoma spreminjali svoj pristop k poučevanju in začeli predlagati nove metode, osre- dotočene na reševanje problemov. Tako so se odmaknili od tradi- cionalnega pristopa predavanj, ki jih vodi učitelj, in se osredotočili na pouk, kjer so učenci postavljali vprašanja in aktivno sodelo- vali pri reševanju problemov. Danes je na Japonskem problemsko učenje uveljavljeno kot vodilni način poučevanja. Zanj je značilen »odprt pristop« – spodbujanje uporabe različnih načinov reševa- nja problemov, postavljanje problemov z več odgovori in izvajanje dejavnosti spreminjanja in razvijanja problemov s strani učencev. Primer opazovane učne ure na Japonskem je na sliki (Slika 4). Sprva je bila metoda LS uporabljena v vrtcih in osnovnih šolah, vendar se je sčasoma razširila tudi na srednje šole in univerze. Danes je LS na Japonskem zelo razširjena metoda in jo uporablja večina šol. Japonska vlada jo podpira in spodbuja kot pomem- ben del izobraževalnega sistema in izobraževanja učiteljev. Okrog leta 1994 je ameriški profesor matematike James W. Sti- gler obiskal Japonsko in začel raziskovati njihov izobraževalni sistem. Med svojim obiskom je odkril, da je LS pomemben del japonskega poučevanja matematike, kjer učitelji skupaj izmenju- jejo ideje in izboljšujejo svoje poučevanje. Po vrnitvi v ZDA je Stigler začel spodbujati uporabo LS v ameriškem izobraževanju. Pozornost učiteljev zunaj Japonske je LS prvič pritegnila pred- vsem z objavo njegove knjige The Teaching Gap (Stigler in Hi- ebert, 1999), kakor tudi z videoštudijo TIMMS, ki je prikazala, kako deluje japonsko poučevanje matematike v razredu. Vide- oposnetki so razkrili, da dobre učne rezultate lahko dosežemo ne nujno z uporabo posebnih učnih metod, temveč tako, da naj- demo načine za vključevanje učencev v reševanje matematičnih problemov. Neodvisno od tega so tudi nekateri pedagogi (Lewis in Tsuchida, 1998) opazili pomen japonskega pouka in na to opozorili mednarodno skupnost. Od takrat naprej se z LS ukvar- jajo številni učitelji matematike, raziskovalci in izobraževalci uči- teljev po vsem svetu. 4.2 Zakaj uporabljati Lesson Study? Mnogi učitelji matematike poročajo, da se kljub udeležbi tečajev strokovnega izpopolnjevanja, kjer lahko preizkusijo nova učna gradiva, vsakodnevno poučevanje le malo spremeni. To je bilo opaženo tudi pri projektu PRIMAS, kjer je García (2013) predla- gal, da bi lahko strukture, navdihnjene s koncepti LS, bolj dolgo- ročno podprle načrtovanje pouka na podlagi preiskovanja, kar bi lahko postal trajnejši pristop za učitelje. Tudi zelo dobro vodeni seminarji, ki učitelje navdušijo za nove ideje in ponujajo dobro zasnovane učne ure, morda ne bodo bi- stveno vplivali na način poučevanja učiteljev (zlasti ne na kratki rok). Pri projektu Mist v ZDA so na primer preučevali, kako bi lahko izboljšali kakovost poučevanja v velikih skupinah (Cobb idr., 2018). Ugotovili so, da je prav LS najbolj obetaven način za zagotavljanje kontinuiranega strokovnega razvoja, ko gre za ra- zvoj pedagoške prakse. Iz literature vidimo, da obstaja (presenetljiva) podobnost med LS kot dejavnostjo za učitelje in izkušnjami pri poučevanju, ki temelji na preiskovanju in je namenjeno učencem. Ta podobnost temelji na načelu, da se ljudje učijo s preučevanjem problema in preizkušanjem hipotetičnih rešitev. Nekaj konkretnih razlogov, zakaj uporabljati LS, bi lahko bilo: • Izboljšanje kakovosti poučevanja in učenja: LS pomaga uči- teljem izboljšati poučevanje in učne pristope s poudarkom na učnih potrebah učencev. • Strokovno izpopolnjevanje učiteljev in spodbujanje sode- lovanja: LS spodbuja strokoven razvoj učiteljev preko sode- lovanja, opazovanja in refleksije. Sodelovanje med učitelji (na eni šoli) omogoča izmenjavo idej in izkušenj, kar (lahko) pri- vede do razvoja kulture skupnega poučevanja in učenja. • Individualizacija poučevanja: LS spodbuja učitelje, da razvi- jajo tudi prilagojene načrte poučevanja in pristope, ki so pri- lagojeni posameznim potrebam učencev. • Povečanje zanimanja in motivacije učencev: LS omogoča učiteljem, da razvijejo bolj zanimive in interaktivne pristope poučevanja, kar (lahko) privede do povečanja zanimanja in motivacije učencev za učenje. • Povečanje zaupanja v učitelje: Ko se kakovost poučevanja in učenja s pomočjo LS izboljša, se (lahko) poveča zaupanje star- šev in skupnosti v učitelje kot strokovnjake, ki so sposobni za- gotavljati kakovostno izobraževanje. Vendar pa so koristi LS odvisne tudi od širšega okolja, v katerem se izvaja. Če družba ne spoštuje vloge učiteljev ali če imajo učitelji slabo plačilo in pomanjkljivo podporo, bo težko doseči povečanje zaupanja v učitelje. Zato je pomembno, da se vrednoti in podpira vlogo učiteljev kot ključnih akterjev izobraževanja. 4.3 Osnovna načela Lesson Study LS je skupno delo učiteljskega tima na problemu poučevanja. Ekipa učiteljev želi izboljšati poučevanje na tak način, da nanj pogledajo kot na predmet preučevanja. Vsak član učiteljske eki- pe v učenje vnese svojo perspektivo. Lahko so vključeni tudi zu- nanji strokovnjaki ali učitelji kake druge šole. LS proces je sesta- vljen iz štirih glavnih faz: • prepoznavanje in proučevanje učnega problema, • načrtovanje pouka, • poučevanje in opazovanje pouka v živo in • sistematična skupna refleksija, ki temelji na proučevanju po- datkov opazovanja glede na cilje učne ure. IZ TEORIJE ZA PRAKSO 25 Matematika v šoli, št. 1., letnik 29, 2023 Mnogi avtorji menijo, da je proces cikličen, pri čemer se ista učna ura popravlja in ponovno izvaja. Proces smo prikazali v preprostem diagramu (Slika 5), kjer številke v diagramu ustre- zajo naslednjim dejavnostim (ki dopuščajo možnost, da se del procesa ponovi več kot enkrat): 1. Prepoznavanje in preučevanje problema poučevanja (faza ANALIZA), 2. Načrtovanje učne ure (faza NAČRTOVANJE), 3. Izvedba učne ure (faza OPAZOVANJE), 4. Vrednotenje učne ure in pregled rezultatov (faza REFLEKSIJA), 5. Ponovni razmislek o učni uri (faza NAČRTOVANJE), 6. Izvajanje pouka na podlagi ponovnega premisleka (faza OPAZOVANJE), 7. Vrednotenje in pregled (faza REFLEKSIJA), 8. Izmenjava rezultatov (faza POROČILO). V nadaljevanju podamo podrobnejše opise teh faz. ANALIZA – opredelitev učnega problema in učnih ciljev V fazi analize učitelji sodelujejo pri preučevanju učnih gradiv, npr. delovnih zvezkov in priročnikov za učitelje, literature o zna- nju predmeta, literature o težavah učencev pri pouku in drugo gradivo, povezano z učno vsebino, ki jo bodo poučevali pri učni uri. Učitelji se opirajo tudi na predhodne izkušnje tako iz lastne prakse kakor tudi prakse drugih. Pri ugotavljanju učnega problema je delo učiteljske ekipe pra- viloma več kot le strinjanje o tem, katero temo je težko pred- staviti ali jo učenci težko razumejo. Poiščejo »vodilno temo« (angl. research theme), ki vodi proces LS in lahko pomeni eno ali več izvedb procesa, prikazanega na sliki (Slika 5). Vodilna tema je lahko na primer izboljšanje matematične argumentacije in sklepanja učencev. Naslednji korak je izbira matematičnega konteksta. Ko je ta določen, ekipa učiteljev oblikuje učne cilje posamezne učne ure. Izbira ciljnega znanja učne ure so lahko konkretni manjši deli vsebinskega znanja (recimo kakšna formu- la) ali, širše zastavljeno, splošnejši dosežki (recimo kompeten- ce učencev ali možne različne uporabe problema). Pomembno je, da se pred nadaljnjim načrtovanjem dejanskega poučevanja ukvarjamo z eksplicitnim učnim ciljem, da bi ga lahko dosegli. Vsekakor mora biti jasno določeno, kakšno novo znanje naj bi učenci usvojili, ko po učni uri zapustijo razred. Proces LS je she- matično predstavljen na sliki (Slika 6). NAČRTOVANJE in izdelava načrta učne ure Načrtovanje učne ure je lahko dolgotrajen proces, ki se konča s pripravo osnutka načrta učne ure. Je skupno prizadevanje celo- tnega učiteljskega tima, da bo učna ura pomagala učiteljem in učencem pri učenju. Preprost dogovor, kot je uporaba besede »mi« namesto »ti« in »jaz« lahko novim udeležencem LS poma- ga premagati začetno nelagodje ob odpiranju učilnic večjemu številu opazovalcev in deljenju priprav učne ure s kolegi. Člani tima so v tem skupaj. V načrtu učne ure učitelji določijo in zapišejo ciljno znanje in kompetence, spretnosti ali druge pomembne koncepte, ki so opi- sani kot širši cilji, časovnico, zahtevano gradivo ipd. Problem, s katerim naj bi se učenci ukvarjali, je treba v procesu načrtovanja (pre)oblikovati tako, da ustreza ciljnemu znanju in ima ustrezen učni potencial. V ta namen predvidimo in zapišemo strategije, za katere predvidevamo, da bi jih učenci lahko uporabili. OPAZOVANJE učne ure Pri opazovanju učne ure je običajno prisoten tim učiteljev, ki se je ukvarjal z učno uro. Lahko povabijo tudi druge opazovalce (učitelje drugih šol, vodstvo šole ipd.), ki prav tako opazujejo in beležijo dejavnosti učencev. Namen opazovanja je raziskati uče- nje učencev oziroma, natančneje, v kolikšni meri so cilji učne ure doseženi. Seveda je lahko zanimivo tudi opazovati prakso kolegov, vključno z njihovo interakcijo z učenci, toda pri LS se osredotočamo na opazovanje učenja učencev glede na oprede- ljene cilje učne ure. Opazovalci ne posegajo v poučevanje in ne komunicirajo z učenci. Med adidaktičnimi fazami (torej kadar učenci večinoma rešujejo problem) se lahko opazovalci nemote- no gibljejo med mizami učencev, opazujejo njihovo delo in sliši- jo njihove razprave. Med izvedbo ure opazovalci delajo zapiske za kasnejšo razpravo, zbirajo podatke o tem, kako se učenci od- zivajo na problem, ugotavljajo, kako učitelj vodi njihovo delo, in delajo druge zapiske, ki so pomembni za spremljanje realizacije ciljev učne ure. REFLEKSIJA izvedene učne ure in revizija načrta učne ure Če je le mogoče, refleksijo opravimo takoj po izvedeni učni uri, po možnosti v isti učilnici, v kateri je potekala učna ura (kjer je še vedno vidna popisana tabla, gradiva učencev ipd.). Razpravlja se o konkretnih opažanjih, ki se nanašajo zlasti na učni problem in Slika 5: Glavne faze učne ure, prilagoditev diagrama Stiglerja in Hieberta. ANALIZA (1) POROČILO (8) NAČRTOVANJE (2), (5) OPAZOVANJE (3), (6) REFLEKSIJA (4), (7) IZ TEORIJE ZA PRAKSO 26 Matematika v šoli, št. 1., letnik 29, 2023 cilje učne ure. Po refleksiji tim učiteljev, ki je pripravil učno uro, razmisli o tem, kaj so se naučili in kako bi to lahko uporabili pri nadaljnjem poučevanju. Lahko se odločijo za popravek učne ure in ponovne izvedbe v drugem razredu (s strani drugega ali istega učitelja). Ta cikel, ki je prikazan na sliki (Slika 5), se načeloma lahko celo večkrat ponovi. POROČILO LS cikel se lahko konča s pisanjem poročila o izvedbi, ki ga nato ekipa učiteljev deli z drugimi učitelji ali celo objavi v kakšni stro- kovni reviji oziroma predstavi na konferenci. Izmenjava izkušenj je eden ključnih vidikov LS. Poročilo ima lahko preprosto obliko, vendar mora vsebovati najpomembnejše informacije, ki drugim učiteljem omogočajo, da se učijo iz opisanega primera in učno uro uporabijo kot vir navdiha. Poročila na splošno lahko vsebu- jejo prejšnje izkušnje in motivacijo za temo, jasno navedbo ciljev učne ure, problem, ki je bil zastavljen učencem, opažanja članov tima učiteljev, zaključke refleksije ipd. V projektu TIME smo se dogovorili, da je poročilo sestavljeno iz (očitnih) štirih delov: Prepoznavanje problema in učnih ciljev, Načrtovanje in izdela- va načrta učne ure, Opazovanje učne ure, Refleksija in sklepne opombe. V okviru projekta TIME je nastalo 19 zanimivih poročil na pod- lagi LS ciklov, pri čemer jih ima večina tudi pripadajoče načrte učnih ur, ki smo jih poimenovali scenariji. Zaključek V članku so opisane bistvene značilnosti treh aktualnih teorij s področja poučevanja matematike – TDS, RME in LS. Cilj vseh treh je podoben, in sicer, da učitelji spremenimo svoj pristop z načina ex katedra, pri katerem učitelj govori, učenci pa v tišini poslušajo, na način vključevanja, sodelovanja, preiskovanja in raziskovanja. Dotaknili smo se le osnov, saj lahko radoveden bralec najde bolj natančne opise in razdelane teorije v virih, ki so navedeni na koncu tega sestavka. Namen prispevka je bil, da bralce s teorijo seznanimo do te mere, da bodo lahko s pridom uporabljali izkušnje učiteljev, ki so na pot poučevanja matematike s preiskovanjem (po teorijah TDS, RME in LS) že stopili. Želimo si, da bi bil članek uporaben kot začetek uvajanja novih učiteljev, ki bodo zbrali pogum in voljo, da se podajo po stopinjah svojih predhodnikov. Po branju tega članka si lahko ogledajo pripravljene učne ure s projektov MERIA ali TIME ali objavljeno poročilo enega izmed ciklov Lesson Study in pri tem ne bi smeli imeti težav z razumevanjem terminov. Prepričani smo, da učiteljem, ki bodo preizkusili predlagan pristop poučevanja, ne bo žal in da se bodo z veseljem znova vračali po nove zamisli za izvedbo učnih ur. Z velikim zadovoljstvom bomo pričakali nove ideje, ki bodo plod lastnega profesionalnega razvoja učiteljev, saj bo to pomenilo velik pozitiven napredek za poučevanje matematike v Sloveniji. Viri Brousseau, G. (1997). Theory of didactical situations in mathematics: Didactique des mathématiques, 1970–1990. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. Cobb, P ., Jackson, K. Henrick, E., Smith, T . M., in the Mist team. (2018). Systems for Instructional Improvement – Creating coherence from the classroom to the District Office. Harvard: Harvard Education Press. Freudenthal, H. (1991). Revisiting mathematics education. Dordrecht: Kluwer. García, F. J. (ur.) (2013). Primas – Guide for professional development providers. https://primas-project.eu/wp-content/uploads/ sites/323/2017/11/FINAL_WP4_Guide_PD_providers_licence_150708.pdf Lewis, C. in Tsuchida, I. (1998). A lesson like a swiftly flowing river. American educator, 22(4), 12–17 in 50–52. Stigler, J. in Hiebert, J. (1999). The teaching gap: Best ideas from the world’s teachers for improving education in the classroom. New Y ork, NY , USA: Free Press. Projekt MERIA https://meria-project.eu/ Projekt MIST https://peabody.vanderbilt.edu/departments/tl/teaching_and_learning_research/mist/ Projekt Primas https://primas-project.eu/ Projekt TIME https://time-project.eu/ TIMMS https://timssandpirls.bc.edu/timss-landing.html Slika 6: Izbira učnega problema in opredelitev ciljev učne ure je en od bistvenih korakov LS. postavitev vodilne teme izbira matematičnega konteksta formulacija učnih ciljev