GEOMETRIJA TRIKOTNIKA, OROSLAN IN RAVELLO
BOJAN HVALA
Fakulteta za naravoslovje in matematiko
Univerza v Mariboru
Math. Subj. Class. (2010): 51M04, 51M15, 51N20
V ˇ clanku predstavimo Seebachov izrek iz geometrije trikotnika. Dogajanje, podobno
kot pri vodenih ogledih filmov, poteka na dveh kanalih. Na enem poteka matematiˇ cna
predstavitev tematike, na drugem pa klepet o moˇ znostih, dilemah in ozadjih.
TRIANGLE GEOMETRY, OROSLAN AND RAVELLO
In this article, we present Seebach’s theorem, which is a topic in triangle geometry.
The events, as during guided online film screenings, take place on two channels. On
one, there is a mathematical presentation of the topic, and on the other, a chat about
possibilities, dilemmas, and backgrounds.
Uvod
Pred kratkim sem si ogledal slovenski film Oroslan reˇ ziserja Matjaˇ za Iva-
niˇ sina. Film kot medij za prenaˇ sanje sporoˇ cil spremljam z velikim zani-
manjem. Posebej rad imam evropski avtorski film. Oroslan mi je vzbudil
zanimanje ˇ ze ob pripravah na snemanje. Zgodbo Zdravka Duˇ se, ki se je
dogajala na Tolminskem, so avtorji prenesli v Porabje. Sledimo dolgim
meditativnim posnetkom in dogajanju pripenjamo nabor lastnih asociacij.
Film teˇ ce poˇ casi, ˇ casa za osebni prispevek je dovolj. Pozneje sem na spletu
zasledilmoˇ znostvodenegaogledafilma. Filmteˇ ce,vzporednopasemodera-
tor in avtor pogovarjata o ozadjih, idejah in moˇ znostih. Ogled se je izkazal
za dragocenega. Pogosto je potrdil ustreznost lastne percepcije filma in jo
razˇ siril v ˇ stevilne, prej neslutene smeri.
Od tod ideja o podobni eksperimentalni predstavitvi, tokrat matema-
tiˇ cne teme. Nivoja se loˇ cita po pisavi. Matematiˇ cni nivo je pisan v obiˇ cajni
pisavi, nivo klepeta v ozadju pa boste prepoznali po zapisu v taki pisavi.
***
Geometrija trikotnika je veja matematika, ki se ukvarja s fiksnim trikot-
nikom ABC in z njim povezanimi znaˇ cilnimi toˇ ckami, premicami, kroˇ zni-
cami in drugimi objekti. Nekatere teme iz geometrije trikotnika so bile v
Obzorniku ˇ ze prisotne. Tako je bil v ˇ clanku [7] predstavljen pojem znaˇ cilne
toˇ cke trikotnika, v [12] pa kubiˇ cne krivulje trikotnika.
Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 3 81

Bojan Hvala
Izvrstna vstopna toˇ cka v geometrijo trikotnika je spletna stran ameri-
ˇ skega matematika Clarka Kimberlinga [1], ki med drugim prinaˇ sa seznam
znaˇ cilnih toˇ ck trikotnika z vsemi enciklopediˇ cno zbranimi podrobnostmi.
V tem ˇ clanku bomo uporabljali tam nastopajoˇ ce oznake, ki so v geome-
triji trikotnika standardne. Tako bomo notranje kote trikotnika oznaˇ cevali
z ∠A,∠B,∠C, njihove velikosti pa kar z A,B,C. Povod za to izbiro je
dejstvo, da bomo grˇ ske ˇ crke potrebovali za druge namene. Kimberling v
svojih pojasnilih tudi ugotavlja, da je ta zapis praktiˇ cen in da sega nazaj
vse do Eulerja. Na ta naˇ cin res z isto ˇ crko oznaˇ cimo dve stvari, ogliˇ sˇ ce
trikotnika in velikost notranjega kota, a je verjetnost, da bi pri tem priˇ slo
do nesporazuma, zelo majhna.
Seebachov izrek
Definicija 1. Naj boABC trikotnik v ravnini inP toˇ cka znotraj trikotnika.
Poltraki AP,BP in CP sekajo stranice a,b,c trikotnika ABC v toˇ ckah
A
P
,B
P
in C
P
. Trikotnik A
P
B
P
C
P
imenujemo Cevov trikotnik trikotnika
ABC glede na toˇ cko P.
Slika 1. Levo: Cevov trikotnik glede na toˇ ckoP. Desno: srediˇ sˇ cni in antikomplementarni
trikotnik.
V problemski rubriki revije American Mathematical Monthly je bil leta
1995 objavljen problem, ki je spraˇ seval, ali znotraj trikotnika obstaja toˇ cka
P, glede na katero bi bil Cevov trikotnik enakostraniˇ cen. Odgovor je pozi-
tiven, reˇ sitev je bila objavljena leta 1997 v [3]. Pozneje se je izkazalo, da
je veliko sploˇ snejˇ si rezultat v ˇ clanku [11] ˇ ze deset let prej objavil nemˇ ski
matematik Karl Seebach. Rezultatu reˇ cemo Seebachov izrek.
Izrek 2. Naj boA
1
B
1
C
1
poljuben trikotnik. Potem obstaja natanko ena taka
toˇ cka P znotraj trikotnika ABC, da je Cevov trikotnik A
P
B
P
C
P
trikotnika
ABC glede na toˇ cko P direktno podoben trikotniku A
1
B
1
C
1
.
82 Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 3

Geometrija trikotnika, Oroslan in Ravello
Direktna podobnost (oznaka A
P
B
P
C
P
≈ A
1
B
1
C
1
) pomeni, da sta tri-
kotnika podobna na naˇ cin, da za ustrezne kote velja A
P
=A
1
, B
P
=B
1
in
C
P
=C
1
.
Iz izreka seveda takoj sledi, da je znotraj trikotnika natanko ena toˇ cka,
katere Cevovov trikotnik je enakostraniˇ cen. Ta toˇ cka sodi med znaˇ cilne
toˇ cke trikotnika. V zgoraj omenjeni Kimberlingovi Enciklopediji znaˇ cilnih
toˇ ck trikotnika [1] nosi oznako X
370
.
Na sliki 1 desno so razpoloviˇ sˇ ca stranic trikotnika ABC oznaˇ cena z
A
′
,B
′
,C
′
, teˇ ziˇ sˇ ce pa z G. Trikotniku A
′
B
′
C
′
reˇ cemo srediˇ sˇ cni trikotnik
trikotnika ABC. Znano dejstvo je, da velja A
′
B
′
C
′
≈ ABC. Seveda je
A
′
B
′
C
′
Cevov trikotnik trikotnikaABC glede na toˇ ckoG. Iz Seebachovega
izreka torej izhaja, da je teˇ ziˇ sˇ ce G edina toˇ cka znotraj trikotnika, katere
Cevov trikotnik je podoben osnovnemu trikotniku ABC.
***
Znani so primeri pomembnih matematikov, ki so poleg svojih glavnih podroˇ cij z velikim
veseljem gojili tudi geometrijo. Taka sta bila recimo Euler in Plemelj. Nekateri drugi mate-
matiki pa geometriji niso naklonjeni. Geometrijske rezultate doživljajo nekako takole: Imamo
neko družino geometrijskih objektov in potem dokažemo, da je lega neke toˇ cke glede na te
objekte nekaj ˇ cisto posebnega.
To je vˇ casih celo res. Seebachov izrek nam recimo sporoˇ ca informacijo o izjemnosti toˇ cke
X
370
. Sporoˇ ca nam tudi dodatno informacijo o izjemnosti težišˇ ca. Vendar pa, ˇ ce pogledamo
napravi naˇ cin, lahko v teh ugotovitvahpogosto zaznamo zelo lepe in globokerezultate.
NarišimoslikovGeoGebriinpremikajmotoˇ ckoP. (Bralcaprijaznovabim,datodejansko
naredi!) Rišejosenamrazliˇ cniCevovitrikotniki. IzSeebachovegaizrekasledi,danatanaˇ cin
dobimogalerijopravvsehmožnihobliktrikotnikov. Vsakioblikipripadatoˇ cnodoloˇ cenatoˇ cka
P. Znotrajpoljubnegatrikotnikajetorejnapreprostnaˇ cinzakodiranainformacijaopravvseh
oblikah trikotnikov.
***
Geometrija je nazorna in vizualno predstavljiva. To pomeni, da za raz-
liko od nekaterih drugih vej matematike problem lahko hitro razumemo in
ga sorazmerno zlahka predstavimo tudi nespecialistu. Izziv je zdaj, kako
ta problem reˇ siti. Vˇ casih se izkaˇ ze, da kljub preprosti formulaciji dokaz
niti pribliˇ zno ni lahek. To se zgodi tudi v primeru Seebachovega izreka.
Originalni dokaz je dolg, nepregleden in kar kliˇ ce po izboljˇ savah.
***
81–99 83

Bojan Hvala
Vˇ casih se v matematiˇ cnih raziskavah podajamo v zelo abstraktne daljne svetove, vendar
pa potem tam niti ne poˇ cnemo kaj zares ekstremnega. Kot bi poslali vozilo na Mars in se
potem veselili vsakega drobnega premika po njem. Seveda je, na primer, prvi marsovski polet
z dronom velik dosežek. Sploh ob misli na možnost opazovanja in snemanja površja. A tako
velikiprebojisoredki. PodrugistranipaimatudigibanjepostaridobriZemljisvojeprednosti.
Vzaˇ cetkumordaekspedicijanividetitakospektakularna,zatopanamomogoˇ ca,daopravimo
res izdaten sprehod do neznanih ˇ cudes bližnjih grebenov, sotesk in jam, z izjemnimi razgledi
in z inovativno izbranimi prehodi.
***
Kot reˇ ceno je originalni dokaz Seebachovega izreka raˇ cunski, dolgotra-
jen in nepregleden. Velik napredek v smeri preglednosti je leta 2006 napra-
vil jordanski matematik M. Hajja, ki je v ˇ clanku [4] predstavil nov dokaz.
Osnovna ideja je naslednja.
Slika 2. Dokaz M. Hajje, konstrukcija vˇ crtanega trikotnika.
Imamo trikotnik A
1
B
1
C
1
in se spraˇ sujemo po toˇ cki P, da bo veljalo
A
P
B
P
C
P
≈ A
1
B
1
C
1
. Izberimo neki kot ϕ in trikotniku ABC vˇ crtajmo
trikotnik A
2
B
2
C
2
tako, da bo A
2
B
2
C
2
≈ A
1
B
1
C
1
in bo kot ∠BC
2
A
2
=
ϕ (slika 2). To naredimo tako, da najprej izberemo neko toˇ cko C
′
2
∈ c,
odmerimo kot ϕ, dobimo toˇ cko A
′
2
∈a, nato pa od daljice C
′
2
A
′
2
odmerimo
kota A
1
in C
1
ter dobimo toˇ cko B
′
2
. Tako je A
′
2
B
′
2
C
′
2
≈ A
1
B
1
C
1
. Zdaj
pa naredimo razteg s srediˇ sˇ cem v toˇ cki B, ki trikotnik A
′
2
B
′
2
C
′
2
preslika v
podoben trikotnik A
2
B
2
C
2
tako, da toˇ cka B
2
leˇ zi na stranici b. Namesto
uporabe raztega si lahko mislimo tudi, da izbrano toˇ cko C
′
2
premikamo po
stranici c toliko ˇ casa, da ustrezna toˇ cka B
′
2
pade na stranico b.
84 Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 3

Geometrija trikotnika, Oroslan in Ravello
Na ta naˇ cin, s spreminjanjem kota ϕ, dobimo druˇ zino vseh v trikotnik
ABC vˇ crtanih trikotnikov, ki so podobni trikotniku A
1
B
1
C
1
. Zdaj pa mo-
ramo dokazati le ˇ se, da se samo pri enem trikotniku iz te druˇ zine daljice
AA
2
,BB
2
inCC
2
sekajo v neki skupni toˇ ckiP, kar pomeni, da je to Cevov
trikotnik glede na neko toˇ ckoP (slika 3). Pri tem se opremo na Cevov izrek
[14], ki pravi, da se daljiceAA
2
,BB
2
in CC
2
sekajo v skupni toˇ cki natanko
tedaj, ko velja
SBA
2
S
SA
2
CS
⋅
SCB
2
S
SB
2
AS
⋅
SAC
2
S
SC
2
BS
=1.
Avtor je nato izraˇ cunal levo stran zgornjega izraza kot funkcijo f spremen-
ljivke ϕ, premislil, na katerem intervalu se giblje kot ϕ, in dokazal, da je f
na tem intervalu monotono naraˇ sˇ cajoˇ ca funkcija, ki zavzame vse pozitivne
vrednosti. Zato vrednost 1 zavzame natanko enkrat. Med vsemi v trikotnik
ABC vˇ crtanimi trikotniki A
2
B
2
C
2
≈ A
1
B
1
C
1
je torej natanko en Cevov
trikotnik glede na neko toˇ cko P.
***
Ena od prednosti geometrije je, da nam nudi možnost vizualizacije. Vsebino lahko pribli-
žamo s sliko. Še posebej uˇ cinkovito to lahko storimo z raˇ cunalniškimi programi za dinamiˇ cno
geometrijo,kisosepojavilipredkakimi30letiinsogeometrijidalimoˇ candodatnizagon. Zelo
pomemben pri tem je pridevnik dinamiˇ cni, kar pomeni, da lahko že narisane objekte interak-
tivno premikamo, ob tem pa dinamiˇ cno spremljamo spreminjajoˇ co se sliko. Med prvimi takimi
programi sta bila Geometer’s Sketchpad in Cabri Geometry, v naših razmišljanjih pa smo že
nekajkrat omenili GeoGebro. V nadaljevanjujo bomo ševeˇ ckrat.
***
ObravnavaniHajjovdokazlahkospomoˇ cjoGeoGebreuˇ cinkovitoilustri-
ramo, ob tem pa premislimo tudi nekatere detajle.
Najprej na podlagi slike 2 premislimo, kako iz trikotnika A
′
2
B
′
2
C
′
2
do-
bimo trikotnik A
2
B
2
C
2
. Zagrabimo toˇ cko C
′
2
in jo pomikamo na levo (oz.
na desno), dokler toˇ ckaB
′
2
ne zadene straniceb. Ker si to premikanje lahko
predstavljamo kot delovanje raztegov s srediˇ sˇ cem v toˇ cki B in z razliˇ cnimi
koeficienti, je jasno, da pri tem postopku toˇ cka B
′
2
teˇ ce po poltraku z iz-
hodiˇ sˇ cem v toˇ cki B. Zato je konˇ cna toˇ cka B
2
kar preseˇ ciˇ sˇ ce tega poltraka
s stranico b. Argument z raztegi nam da tudi, da so stranice nastopajoˇ cih
trikotnikov pri premikanju vzporedne. Zato je stranica B
2
A
2
vzporedna
stranici B
′
2
A
′
2
. Pri narisanem trikotniku A
′
2
B
′
2
C
′
2
torej v prvem koraku do-
bimo toˇ cko B
2
, z nadaljnjima dvema vzporednicama pa ˇ se toˇ cki A
2
in C
2
.
81–99 85

Bojan Hvala
Slika 3. Dokaz M. Hajje, funkcija f je naraˇ sˇ cajoˇ ca.
VGeoGebrilahkotudioznaˇ cimodaljiceizizraza
SBA
2
S
SA
2
CS
⋅
SCB
2
S
SB
2
AS
⋅
SAC
2
S
SC
2
BS
inpri
danem kotu ϕ izpiˇ semo vrednost tega izraza, torej f(ϕ) (slika 3). Potem
na drsniku spreminjamo kot ϕ in eksperimentalno doˇ zivimo dejstvo, da je
funkcija f monotono naraˇ sˇ cajoˇ ca. Pri kotu ϕ, kjer funkcija f zavzame
vrednost 1, tudi nazorno vidimo, da se ustrezne tri daljice sekajo v skupni
toˇ cki. To je tistaedinatoˇ cka, ki jo trikotnikuA
1
B
1
C
1
zagotavljaSeebachov
izrek.
Slika v GeoGebri nam tudi omogoˇ ci premisliti in testirati drobne detajle
v dokazu, kot je recimo interval, na katerem lahko pri danih podatkih izbi-
ramo kotϕ. Upoˇ stevajoˇ c trikotnikC
′
2
BA
′
2
mora veljatiϕ<180
○
−B.
ˇ
Ce to
velja, lahko nariˇ semo daljico C
′
2
A
′
2
. V nadaljevanju od nje odmerimo kota
C
1
in A
1
.
ˇ
Ce naj bo toˇ cka B
′
2
znotraj kota ∠B, mora na spodnji strani ve-
ljatiϕ+C
1
<180
○
. Podoben razmislek na zgornji strani nam daϕ>A
1
−B.
Potegnemo poltrak in dobimo toˇ cko B
2
∈ b. Zdaj nam manjkata le ˇ se dve
vzporednici.
ˇ
Ce ˇ zelimo, da bo toˇ ckaC
2
leˇ zala na stranicic in ne na njenem
podaljˇ sku, morabitiϕ+C
1
zunanjikottrikotnikaAC
2
B
2
inzatoveˇ cjiodA.
Odtodslediϕ >A−C
1
. Podobnopriobravnavitoˇ ckeA
2
dobimoϕ<A+A
1
.
Veljati mora torej: ϕ ∈(m,M), kjer je
m=max{0,A
1
−B,A−C
1
} in M =min{180
○
−B,180
○
−C
1
,A+A
1
}.
Mnoˇ zica (m,M) ni prazna, saj je vsak od elementov iz mnoˇ zice na levi
manjˇ si od vsakega elementa mnoˇ zice na desni.
Posploˇ seni Seebachov izrek
Kljub velikemu napredku pri dokazu M. Hajje je ˇ se vedno ostal vtis, da bi
bilo k dokazu mogoˇ ce pristopitiˇ se bolj neposredno. Okvirna ideja je nasle-
dnja. Imamo trikotnikA
1
B
1
C
1
in iˇ sˇ cemo toˇ ckoP, za katero boA
P
B
P
C
P
≈
A
1
B
1
C
1
. Kaj ˇ ce bi ˇ sli postopoma in bi najprej poiskali toˇ cke P, pri kate-
rih je v trikotniku A
P
B
P
C
P
ustrezen en kot, na primer C
P
=C
1
. Izberimo
86 Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 3

Geometrija trikotnika, Oroslan in Ravello
toˇ ckoZ ∈cinsioglejmoCevovetrikotniketoˇ ckP zdaljiceZC (slika4). Ko
toˇ cko P premikamo od Z proti C, koti ∠A
P
C
P
B
P
teˇ cejo od 180
○
proti 0
○
.
Zato na tej daljici obstaja natanko ena toˇ cka, imenujmo joP
Z
, za katero bo
ta kot meril C
1
.
ˇ
Ce izriˇ semo vse toˇ cke P
Z
, ko Z preteˇ ce stranico c, dobimo
neko krivuljo, recimo ji Γ
C
(slika 4). Na njej so toˇ cke P, ki imajo Cevove
trikotnike z ustreznim kotom pri ogliˇ sˇ cu C
P
. Podobno obstajata analogni
krivulji Γ
B
in Γ
A
s toˇ ckami, katerih Cevovi trikotniki imajo ustrezni kot pri
ogliˇ sˇ cihB
P
oz.A
P
. Iskane toˇ cke z vsemi tremi ustreznimi koti so preseˇ ciˇ sˇ ca
teh treh krivulj.
Slika 4. Krivulja toˇ ck z enim ustreznim kotom.
Preseˇ ciˇ sˇ cedvehodtehkrivuljjetoˇ cka,katereCevovtrikotnikimaustre-
zen kot pri dveh ogliˇ sˇ cih. Torej ga ima tudi pri tretjem. Skozi preseˇ ciˇ sˇ ce
dveh krivulj tako zagotovo poteka tudi tretja.
Naˇ crt je torej naslednji: poiskati je treba enaˇ cbe krivulj Γ
A
,Γ
B
in Γ
C
in reˇ siti dobljeni sistem enaˇ cb. Videli bomo, da je ta pristop mogoˇ c in da
prinaˇ sa ˇ se dodatne prednosti. Doslej smo namreˇ c toˇ cke P izbirali samo
znotraj trikotnika. Koncept zlahka posploˇ simo tudi na (skoraj vse) toˇ cke
zunaj njega.
Definicija 3. Naj bo ABC trikotnik v ravnini. Nosilke stranic trikotnika
oznaˇ cimo z n
a
,n
b
,n
c
. Vzporednico premici n
a
skozi ogliˇ sˇ ce A oznaˇ cimo s
q
a
, analogno definiramo premiciq
b
inq
c
. Mnoˇ zico vseh toˇ ck v ravnini, ki ne
leˇ zijo na nobeni od premic n
a
,n
b
,n
c
,q
a
,q
b
,q
c
, oznaˇ cimo z E.
Izberimo toˇ cko P ∈ E. Premice AP,BP in CP sekajo nosilke stranic
n
a
,n
b
,n
c
v toˇ ckah A
P
,B
P
,C
P
. Tudi v tem primeru trikotnik A
P
B
P
C
P
imenujemo Cevov trikotnik trikotnika ABC glede na toˇ cko P.
81–99 87

Bojan Hvala
Slika 5. Cevov trikotnik glede na toˇ cko P zunaj trikotnika ABC.
Mnoˇ zica E je predstavljena na sliki 1 desno. To je ravnina brez ˇ sestih
premic. Premice q
a
,q
b
,q
c
se paroma sekajo v toˇ ckah
˜
A,
˜
B,
˜
C, ki so ogliˇ sˇ ca
takoimenovanegaantikomplementarnega trikotnika
˜
A
˜
B
˜
C. Imeizhajaizdej-
stva, da sliko neke toˇ ckeT z raztegomδ
G,−1~2
imenujemo komplement toˇ cke
T, sliko z inverzno transformacijo, torej raztegomδ
G,−2
, pa antikomplement
toˇ cke T. Razteg δ
G,−2
premice n
a
,n
b
,n
c
zaporedoma preslika v njim vzpo-
redne premice skozi toˇ cke A,B in C, torej v premice q
a
,q
b
,q
c
. Ker toˇ cka A
leˇ zi nan
b
inn
c
, bo njena slika leˇ zala naq
b
inq
c
. Zato je
˜
A antikomplement
toˇ cke A. Analogno velja za
˜
B in
˜
C.
V definiciji 3 smo se bili prisiljeni odreˇ ci toˇ ckam z omenjenih ˇ sestih
premic. V primeru P ∈ n
a
premici AP in n
a
sovpadata, kar pomeni, da
preseˇ ciˇ sˇ ce A
P
v tem primeru ni definirano. V primeru P ∈ q
a
je zadeva
podobna, a manj kritiˇ cna. PremiciAP inn
a
sta zdaj vzporedni, zato prese-
ˇ ciˇ sˇ ceA
P
vklasiˇ cnemsmisluneobstaja. Obstajapa,ˇ cenekolikospremenimo
perspektivo in se preselimo v projektivno ravnino.
Priˇ sli smo do toˇ cke, ko se bomo morali za nadaljevanje zgodbe nekoliko
tehniˇ cno podkovati. Brez ustreznih orodij od tu naprej ne gre veˇ c.
***
Ob misli na ustvarjanje novih orodij se mi v spomin vraˇ ca prizor iz mesteca Ravello na
italijanski Amalfijski obali. Nad obalo se dvigajo strme vzpetine, pejsaži so presunljivo lepi,
a prostora za bivališˇ ca in obdelovanje zemlje je malo. Toda ljudje so se znašli. V strme hribe
so vrezali terase in tam posadili oljke in limonovce. Ob bregove so stisnili bivališˇ ca in ob njih
uredili vrtove. Poti so posuli z belim peskom ter dodali slikovite ograje in kipe. Naravo so
88 Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 3

Geometrija trikotnika, Oroslan in Ravello
zaˇ cinili z osupljivo lepo arhitekturo. Ob neki vili so izdelali teraso in nanjo postavili oder za
simfoniˇ cniorkester. Ob poletnihveˇ cerih tam potekajo koncerti.
Skratka, moˇ c ˇ cloveške domišljije je navdušujoˇ ca. Vˇ casih smo ob pogledu na našo civiliza-
cijo pesimistiˇ cni in upraviˇ ceno kritiˇ cni. Marsikaj je v zgodovini res šlo narobe in še vedno gre.
Vendar ob tem vseeno ne smemo pozabiti, koliko ˇ cudovitega smo kot ˇ cloveška vrsta ustvarili.
Ravello je sinonim za ta ponos. V ta kontekst kot pomemben dejavnik sodi tudi matematika.
ˇ
Ce se kot ˇ clani ˇ cloveške vrste ˇ cutimo ponosne ob pogledu na ˇ cudesa Ravella, smo lahko upra-
viˇ ceno ponosni tudi na to, kako smo v teku stoletij iz niˇ c ustvarili najrazliˇ cnejše matematiˇ cne
objekte in teorijeter kako smo jih napresenetljivenaˇ cineuspeli povezati in preplesti.
***
Slika 6. Levo: Ravello, vila Rufolo. Desno: Ravello, detajl.
Ko so teˇ zave s tem, da se dve premici v ravnini vˇ casih sekata, vˇ casih pa
ne, postale nadleˇ zne, se je nekdo spomnil, da bi za vsak snop vzporednih
premic tam nekje v neskonˇ cnostidodal eno dodatno toˇ cko. V njej se zdaj te
premice sekajo. Tako dobimo druˇ zino dodatnih toˇ ck, ki ji reˇ cemo premica
v neskonˇ cnosti. Ravnini s pridruˇ zenimi toˇ ckami na premici v neskonˇ cnosti
potem reˇ cemo projektivna ravnina [8, str. 5–6]. V projektivni ravnini se
torej poljubni dve premici sekata.
ˇ
Ce se zgodi, da preseˇ ciˇ sˇ ce leˇ zi na premici
v neskonˇ cnosti, to pomeni, da sta premici v klasiˇ cnem smislu vzporedni.
Kot smo v ravnino uvedli karteziˇ cne koordinate, lahko uvedemo ustrezne
koordinate tudi v projektivno ravnino. Z njimi enakovredno obravnavamo
obiˇ cajne toˇ cke kot tudi toˇ cke v neskonˇ cnosti. Ena od moˇ znih uvedb ko-
ordinat v projektivno ravnino so trilinearne koordinate.
ˇ
Ce so karteziˇ cne
koordinate definirane glede na dve pravokotni koordinatni osi, so trilinearne
koordinate definirane glede na neki trikotnik. Izkaˇ ze se, da so te koordinate
izjemno primerne za delo v razmerah, ko imamo vseskozi v obravnavi en
fiksen trikotnik. Kot smo omenili ˇ ze v uvodu, tej veji matematike reˇ cemo
geometrija trikotnika.
81–99 89

Bojan Hvala
Trilinearnekoordinatesmo v Obzornikuˇ ze sreˇ cali, in sicer vˇ clanku [12].
Natemmestupovejmole,datoˇ ckeopisujemovoblikiT =α ∶β ∶γ,priˇ cemer
sotorazmerjapredznaˇ cenihoddaljenostitoˇ ckeT odnosilkstranictrikotnika
ABC. Pri tem je predznak koordinate α pozitiven, ˇ ce toˇ cka leˇ zi na istem
bregu nosilke stranicea kot trikotnikABC, in negativen sicer. Analogno to
velja za preostali koordinati. Delo s trilinearnimi koordinatami je omogo-
ˇ cilo nesluten razvoj geometrije trikotnika. S tem orodjem zlahka preverimo
dejstva, za dokaz katerih bi sicer pogosto potrebovali precej inovativnosti.
Poznavanje podrobnosti teh tehniˇ cnih orodij za spremljanje nadaljevanja
naˇ se zgodbe ni nujno potrebno. Radovednemu bralcu pa priporoˇ cam vire
[1, 9, 10, 15].
***
ˇ
Clovekova zmožnost, da na strma poboˇ cja vreže terase, zasadi vrtnice, postavi kipe in
zgradi amfiteater za simfoniˇ cni orkester, je navdušujoˇ ca. Prav tako pa je navdušujoˇ ca tudi
zmožnost matematikov, da v trenutku, ko se stvari zapletajo, ustvarijo inovativna orodja,
prilagojenasituaciji,ki omogoˇ cajoizvrsten vpogled in udobno delo.
***
Slika 7. Prva krivulja ˇ cetrtega reda, Γ
C
.
Vrnimo se k naˇ semu problemu. Pri danem trikotniku A
1
B
1
C
1
iˇ sˇ cemo
toˇ cke P ∈E, da velja A
P
B
P
C
P
≈A
1
B
1
C
1
. Kot smo zastavili naˇ so zgodbo,
pot do reˇ sitve vodi preko krivulj Γ
A
,Γ
B
in Γ
C
. V ravnino uvedemo trili-
nearne koordinate glede na osnovni trikotnik ABC. Oznaˇ cimo k
a
=cotA
1
,
k
b
= cotB
1
in k
c
= cotC
1
. Z uporabo analitiˇ cne geometrije v trilinearnih
90 Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 3

Geometrija trikotnika, Oroslan in Ravello
koordinatah brez veˇ cjih teˇ zav izpeljemo [5] enaˇ cbe zgoraj omenjenih krivulj
Γ
A
,Γ
B
in Γ
C
:
α
2
γ
2
−β
2
γ
2
+α
2
β
2
= 2αβγ(−αcosA+k
a
βsinB +k
a
γsinC)
−α
2
γ
2
+β
2
γ
2
+α
2
β
2
= 2αβγ(k
b
αsinA−βcosB+k
b
γsinC)
α
2
γ
2
+β
2
γ
2
−α
2
β
2
= 2αβγ(k
c
αsinA+k
c
βsinB−γcosC).
Gre za krivulje ˇ cetrte stopnje, zapisane v trilinearnih koordinatah. Ker
se pri pretvorbi v karteziˇ cne koordinate stopnja krivulj ohranja, gre za kri-
vulje ˇ cetrte stopnje v obiˇ cajnem smislu.
***
Komatematikiizpeljemonoveenaˇ cbe,jihnajprejpremerimoskritiˇ cnimpogledom. Jevsev
redu? Pri pravkar zapisanih enaˇ cbah najprej opazimo elegantno simetriˇ cno strukturo, kot pri
kaki snežinki. Kot pravi H. G. Hardy: »Lepota je prvi test, na svetu ni trajnega prostora za
grdomatematiko.«Sevedapaelegancašenizagotovilozato,dasozapisaneenaˇ cbebrezhibne
in da bo njihovauporaba uˇ cinkovita.
Za potrditev se zateˇ cemo k eksperimentu z GeoGebro. Ta omogoˇ ca risanje krivulj v kar-
teziˇ cnih koordinatah, v trilinearnih pa ne. Lotimo se torej pretvorbe danih enaˇ cb v karteziˇ cne
koordinateinnatoizrisakrivulj. Spomnimsevznemirjenja,kojebilodeloopravljenoinjebilo
treba pritisnitile šezakljuˇ cni Enter. Rezultat jenasliki 7.
Narišimo še vse tri krivulje hkrati, to je slika 8. Takoj opazimo, da se glavna poanta na
slikipotrdi. Znotrajtrikotnikasekrivuljesekajovnatankoeniskupnitoˇ cki. Nadaljeopazimo,
dasmodogajanjeiznotranjostitrikotnikauspešnopreneslitudinavzven. Naslednjipogledpa
prinese preseneˇ cenje. Priˇ cakovali smo, da bo skozi vsako preseˇ cišˇ ce dveh krivulj potekala tudi
tretja. Na sliki ni vedno videti tako. A nekaj na sliko dodanih elementov razblini dvome.
Nepriˇ cakovana preseˇ cišˇ ca dveh krivulj, skozi katera ne poteka tudi tretja, so bodisi oglišˇ ca
trikotnika ABC bodisi oglišˇ ca antikomplementarnega trikotnika
˜
A
˜
B
˜
C, torej toˇ cke zunaj
množiceE, znotraj katere rešujemoproblem.
Zdajselahkoprepustimonaslednjemuvzgibuobpogledunazgornjeenaˇ cbe. Dabinamreˇ c
enaˇ cbepreoblikovali,jihustreznosešteliterpridobiliekvivalenteninmordapreprostejšisistem
enaˇ cb.
***
Ogliˇ sˇ ca trikotnika imajo trilinearne koordinate A =1 ∶0 ∶0, B =0 ∶1 ∶0
in C = 0 ∶ 0 ∶ 1. Seˇ stejmo po dve zgornji enaˇ cbi in izpostavimo skupne fak-
torje. Zlahka opazimo, da toˇ cka P ∉ {A,B,C} zadoˇ sˇ ca zgornjemu sistemu
81–99 91

Bojan Hvala
Slika 8. Vse tri krivulje: Γ
A
,Γ
B
in Γ
C
.
natanko tedaj, ko zadoˇ sˇ ca sistemu
βγ = α (m
A
α+n
c,B
β +n
b,C
γ)
αγ = β (n
c,A
α+m
B
β +n
a,C
γ)
αβ = γ (n
b,A
α+n
a,B
β +m
C
γ),
kjer je m
A
= (k
c
+k
b
)sinA, n
c,B
= (k
c
sinB −cosB) in so ostali koeficienti
definirani analogno.
Tokrat imamo sistem treh enaˇ cb drugega reda. Toˇ cka P je torej pre-
seˇ ciˇ sˇ ce treh stoˇ znic, oznaˇ cimo jih S
A
,S
B
,S
C
. Premislimo, da ima lahko ta
sistem najveˇ c tri reˇ sitve. Poleg ˇ ze znane reˇ sitve znotraj trikotnika lahko
torej priˇ cakujemoˇ se najveˇ c dve reˇ sitvi zunaj.
Stoˇ znici S
A
in S
B
se lahko sekata najveˇ c v ˇ stirih toˇ ckah. Ob tem prva
oˇ citno poteka skozi toˇ cki B in C, druga pa skozi toˇ cki A in C. Eno od
potencialnih ˇ stirih preseˇ ciˇ sˇ c je torej toˇ cka C, ki pa ne leˇ zi v mnoˇ zici E in
za naˇ s namen ni zanimiva. Tako smo priˇ sli do dodatne informacije glede
Cevovih trikotnikov toˇ ck zunaj trikotnika ABC.
Izrek 4. Naj boA
1
B
1
C
1
poljuben trikotnik. Potem obstajajo najveˇ c tri toˇ cke
P v ravnini, da velja A
P
B
P
C
P
≈A
1
B
1
C
1
.
Dotoˇ cksedokopljemozreˇ sevanjemzgornjegasistema. Dobimokubiˇ cno
enaˇ cbo ene spremenljivke, ki ima lahko tri ali pa samo eno realno reˇ sitev.
Tako se dejansko zgodi, da imamo vˇ casih tri reˇ sitve, vˇ casih pa eno samo.
Na sliki 9 vidimo primer, ko se ustrezne stoˇ znice pri danih trikotnikihABC
in A
1
B
1
C
1
sekajo v treh toˇ ckah.
92 Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 3

Geometrija trikotnika, Oroslan in Ravello
Slika 9. Tri stoˇ znice: S
A
,S
B
in S
C
.
Obravnavanipostopekimapredpredhodnimikarnekajprednosti. Omo-
goˇ ca nam obravnavo toˇ ck P zunaj trikotnika. Poleg tega nam ne sporoˇ ca
samoˇ stevilaustreznihtoˇ ckP, paˇ cpatudiomogoˇ ci,daprekozgornjihenaˇ cb
izraˇ cunamo njihove trilinearne koordinate. Na ta naˇ cin je toˇ cko vˇ casih mo-
ˇ zno neposredno prepoznati, ali pa recimo dokazati, da je ne moremo kon-
struirati samo s ˇ sestilom in ravnilom. V ˇ clanku [5] je tako na primer do-
kazano, da v sploˇ snem toˇ cke X
370
samo z ravnilom in ˇ sestilom ni mogoˇ ce
konstruirati.
Cevianske sestre in sestriˇ cne
V tem razdelku bomo spoznali nekaj uporab pravkar predstavljenega pri-
stopa. Opravili bomo kratek informativni sprehod po okolici.
Definicija 5. Naj bo ABC trikotnik v ravnini in P ∈ E poljubna toˇ cka.
Toˇ cka Q ∈ E, Q ~ = P je cevianska sestra toˇ cke P, ˇ ce sta njuna Cevova
trikotnika direktno podobna. Toˇ ckaQ je cevianska sestriˇ cna toˇ ckeP,ˇ ce sta
njuna Cevova trikotnika podobna, a nista direktno podobna.
Recimo, da bi pripravili obrazec, v katerem bi zbirali podatke o doloˇ ceni
toˇ cki P v ravnini. Med drugim bi vanj vpisali njene trilinearne koordinate
glede na osnovni trikotnik ABC, pa oddaljenosti od ogliˇ sˇ c tega trikotnika
itd. Na toˇ cno doloˇ ceno mesto v tem obrazcu bi vpisali podatke o velikosti
kotov Cevovega trikotnika trikotnika ABC glede na toˇ cko P, torej trojico
(A
P
,B
P
,C
P
). Celotnemu obrazcu bi potem lahko rekli genom toˇ cke P,
omenjeni trojici pa cevianska sekvenca tega genoma. Toˇ ckiP inQ sta torej
81–99 93

Bojan Hvala
cevianski sestri, ˇ ce imata identiˇ cno ceviansko sekvenco genoma. Toˇ cki sta
cevianski sestriˇ cni, ˇ ce cevianski sekvenci nista identiˇ cni, vsebujeta pa iste
tri kote.
Premislimo zdaj, kaj nam o cevianskih sestrah in sestriˇ cnah poljubne
toˇ cke P ∈ E sporoˇ cata izreka 2 in 4. Za toˇ cko P znotraj trikotnika iz
izreka 4 sledi, da ima najveˇ c dve cevianski sestri. Obe se nahajata zunaj
trikotnika. Lahko pa se zgodi, da toˇ cka P cevianske sestre sploh nima.
Toˇ cka P ∈ E zunaj trikotnika pa ima natanko dve cevianski sestri. Po
izreku 2 ima namreˇ c znotraj trikotnika natanko eno ceviansko sestro, kar
pomeni, da ima kubiˇ cni polinom iz argumentacije izreka 4 dve realni niˇ cli,
potem pa je realna tudi tretja.
Pri cevianskih sestriˇ cnah se bomo omejili samo na toˇ cke znotraj trikot-
nika. Iz definicije izhaja, da je mnoˇ zica kotov Cevovega trikotnika cevi-
anske sestriˇ cne Q enaka mnoˇ zici kotov Cevovega trikotnika toˇ cke P, torej
{A
P
,B
P
,C
P
}. Denimo,dasototrijerazliˇ cnikoti. Kersesekvencinesmeta
povsem ujemati, imamo na voljo pet permutacij teh treh kotov, vsaka od
njih pa nam znotraj trikotnika zagotavlja natanko eno ceviansko sestriˇ cno.
ˇ
Ce torejtoˇ ckaP leˇ ziznotrajtrikotnikain je njen Cevov trikotnikraznostra-
niˇ cen, ima znotraj trikotnika natanko pet sestriˇ cen.
Na sploˇ sno je obravnava te tematike sorazmerno zapletena, zato se ome-
jimo samo na dva posebej lepa primera: P =X
370
in P =G.
Cevov trikotnik toˇ ckeP =X
370
je enakostraniˇ cen, zato toˇ cka nima cevi-
anskih sestriˇ cen. Vˇ clanku [5] obravnavamo njene cevianske sestre in ugoto-
vimo, dateobstajajosamo,ˇ cejeosnovnitrikotnikABC izrazitotopokoten.
Videli smo ˇ ze, da je teˇ ziˇ sˇ ce G edina toˇ cka znotraj trikotnika, katere
Cevov trikotnik je direktno podoben osnovnemu trikotnikuABC. Vˇ clanku
[5] obravnavamo moˇ zne cevianske sestre toˇ ckeG. Izkaˇ ze se, da te obstajajo
natanko tedaj, ko je trikotnik ABC topokoten. Dokaˇ zemo tudi, da sta v
tem primeru ustrezni cevianski sestri preseˇ ciˇ sˇ ci oˇ crtane kroˇ znice trikotnika
ABC z oˇ crtano kroˇ znico antikomplementarnega trikotnika
˜
A
˜
B
˜
C. Bralca
vabim, da nariˇ se sliko v GeoGebri in to preveri.
V ˇ clanku [6] obravnavamo cevianske sestriˇ cne toˇ cke G. Najprej doka-
ˇ zemo, da nobene od petih cevianskih sestriˇ cen znotraj trikotnika na sploˇ sno
ne moremo konstruirati samo s ˇ sestilom in ravnilom. Nadaljevanje zgodbe
odkrije dodatni skriti potencial pristopa, opisanega v poglavju 3.
***
ŽestariGrkisoseukvarjalisproblemom,kakonekiobjektkonstruiratisamosšestilomin
ravnilom. Od tod zgodba o trisekciji kota, podvojitvi kocke in kvadraturi kroga. Kljuˇ cna pri
kasnejši razrešitvi tovrstnih problemov je teorija razširitev polj. S tem sredstvom dokažemo,
94 Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 3

Geometrija trikotnika, Oroslan in Ravello
da nobena od treh naštetih konstrukcij v splošnem ni mogoˇ ca. Isti argumenti so tudi v jedru
dokaza,davsplošnemsšestilominravnilomnimogoˇ cekonstruiraticevianskihsestriˇ centoˇ cke
G.
Obtemsenamzastavivprašanje,alibibilokateroodkonstrukcij,kinisoizvedljivesamo
s šestilom in ravnilom, mogoˇ ce izvesti, ˇ ce bi imeli na voljo še kako dodatno sredstvo? Katero
bitododatnosredstvolahkobilo? Znanojenpr.,dajetrisekcijokotamožnoizvesti,ˇ ceimamo
dodatno na voljo orodje, imenovano tomahavk [2]. Ob tem se vprašamo, ali je to res najbolj
naravna izbira. Da bi se namreˇ c matematik po ravnilu in šestilu najprej oborožil ravno s
tomahavkom?
Razmišljajmo v naslednji smeri.
ˇ
Ce imamo na voljo ravnilo, skozi obstojeˇ ce toˇ cke neke
konstrukcije lahko potegnemo premice.
ˇ
Ce dodatno v uporabo dobimo šestilo, lahko rišemo
krožnice. Takonpr.sšestilominravnilomlahkonarišemokrožnicoskozidanetritoˇ cke,triko-
tniku lahko oˇ crtamo krožnico. Nove toˇ cke pridobivamo kot preseˇ cišˇ ca tako narisanih premic
in krožnic.
Takšnesonašemožnosti,ˇ ceimamonavoljoravniloinšestilo. Kajbibilnaslednjinaravni
korak? Da bi poleg risanjapremicin krožnic imelina voljo možnostrisanjanaslednjihnajpre-
prostejših krivulj, to je stožnic. Gre torej za orodje, ki bi skozi danih pet toˇ ck v ustrezni legi
narisalo edino stožnico, ki poteka tam skozi. V GeoGebri je tako orodje na voljo, in to pod
gumbom,namenjenimstožnicam.
***
Cevov trikotnik glede na toˇ cko G je torej podoben osnovnemu trikot-
niku, zato ima v cevianski sekvenci genoma zapisane kote tega trikotnika
(A,B,C). Nakaˇ zimo, kakobizuporabododatnegaorodjazarisanjestoˇ znic
skozi danih pet toˇ ck konstruiralisestriˇ cnoM
C
toˇ ckeG s ceviansko sekvenco
genoma (B,A,C).
Naˇ sa metoda iz 3. poglavja nam je ustrezne toˇ cke dala kot preseˇ ciˇ sˇ ca
trehstoˇ znic(slika9).
ˇ
Cebiznalinarisatidveodnjih,bikotedinopreseˇ ciˇ sˇ ce
znotraj trikotnika dobili toˇ cko M
C
.
Premislimo najprej, kaj na sploˇ sno vemo o omenjenih treh stoˇ znicah.
Stoˇ znicaS
A
negledenavhodnepodatke(torejkoteA
1
,B
1
,C
1
)vednopoteka
skozi toˇ cki B in C, kar je jasno razvidno iz njene enaˇ cbe. Poleg tega smo
krivuljo S
A
dobili s seˇ stevanjem enaˇ cb za krivulji Γ
B
in Γ
C
, za kateri smo
svoj ˇ cas preseneˇ ceni ugotovili, da se sekata v toˇ cki
˜
A. Koordinate toˇ cke
˜
A
torej zadoˇ sˇ cajo enaˇ cbam za Γ
B
in Γ
C
, po seˇ stevanju pa tudi enaˇ cbi za S
A
.
Tako vidimo, da vse krivuljeS
A
potekajo skozi toˇ ckeB,C in
˜
A.
ˇ
Ce uspemo
konstruirati ˇ se dve toˇ cki na tej stoˇ znici, lahko uporabimo orodje za risanje
stoˇ znic skozi pet toˇ ck in stoˇ znico nariˇ semo.
Ti dodatni dve toˇ cki bosta seveda odvisni od vhodnih podatkov. V
naˇ sem primeru upoˇ stevamo enakost kotov A
1
= B,B
1
= A,C
1
= C in izra-
81–99 95

Bojan Hvala
Slika 10. Toˇ cka M
C
s ceviansko sekvenco (B,A,C).
ˇ cunamo ustrezne koeficiente iz enaˇ cbe stoˇ znice S
A
, torej: m
A
=
b
c
, n
c,B
=
b
2
−c
2
ac
, n
b,C
=
c
2
−a
2
ab
. Tako dobimo enaˇ cbo te stoˇ znice:
abcβγ =ab
2
α
2
+b(b
2
−c
2
)αβ +c(c
2
−a
2
)αγ.
Oblika te enaˇ cbe nas takoj napelje k zamenjavi trilinearnih koordinat α ∶
β ∶γ s ploˇ sˇ cinskimi koordinatami X ∶Y ∶Z, ki so s trilinearnimi povezane
takole X = aα,Y = bβ in Z = cγ. V ploˇ sˇ cinskih koordinatah se enaˇ cba
stoˇ znice S
A
glasi:
a
2
YZ =b
2
X
2
+(b
2
−c
2
)XY +(c
2
−a
2
)XZ.
Izraˇ cunajmoploˇ sˇ cinskekoordinatepreseˇ ciˇ sˇ cU inV stoˇ zniceS
A
znosilkama
stranicb inc, torej s premicamaY =0 inZ =0. DobimoU =(a
2
−c
2
)∶0∶b
2
in V = (c
2
−b
2
) ∶b
2
∶0. Za ilustracijo si oglejmo, kako bi konstruirali toˇ cko
V.
***
Matematiko vˇ casih primerjajo z alpinizmom. Turo zaˇ cnemo v izhodišˇ cu in zakljuˇ cimo na
doloˇ cenem cilju. Pogosto se zgodi, da so zares zahtevni le kratki odseki poti, preostanek je ne-
problematiˇ cen.
ˇ
Ce je kritiˇ cna toˇ cka ena sama, je pot iz izhodišˇ ca do zaˇ cetka kritiˇ cnega odseka
jasna, prav tako pot od konca kritiˇ cnega odseka do cilja. Prednost matematike je v možnosti
predhodne obravnave teh neproblematiˇ cnih odsekov. Od izhodišˇ ca napredujemo, dokler gre, iz
cilja se pomikamo nazaj, spet dokler gre in na ta naˇ cin osamimo kljuˇ cni problematiˇ cni odsek.
Temu se potem lahko posvetimo s polno pozornostjoin z vsemi moˇ cmi.
***
96 Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 3

Geometrija trikotnika, Oroslan in Ravello
Naˇ s cilj je toˇ cka s ploˇ sˇ cinskimi koordinatami V = (c
2
−b
2
) ∶ b
2
∶ 0. Ni
teˇ zko uganiti, da bo izhodiˇ sˇ ce toˇ cka L = a
2
∶ b
2
∶ c
2
. To je Lemoinova
toˇ cka trikotnika z oznako X
6
v Kimberlingovi Enciklopediji znaˇ cilnih toˇ ck
trikotnika[1]. Konstruiramojotako,davtrikotnikuABC nosilkoteˇ ziˇ sˇ cnice
na stranico a prezrcalimo preko simetrale notranjega kota pri ogliˇ sˇ cu A.
Analogno storimo z nosilkama teˇ ziˇ sˇ cnic na preostali dve stranici. Dobljene
tri premice se sekajo v toˇ cki L.
Naˇ s vzpon bo torej potekal od toˇ cke L do toˇ cke V. Za uspeˇ sno pot
potrebujemo nekaj preprostih sploˇ snih informacij.
Najprej sta tu koncepta Cevovega in anticevovega trikotnika. Pojem
Cevovega trikotnikaˇ ze poznamo. Anticevov trikotniktrikotnikaABC glede
na toˇ ckoP je tak trikotnik
˜
A
P
˜
B
P
˜
C
P
, da je trikotnikABC Cevov trikotnik
tegatrikotnikagledenatoˇ ckoP. Zailustracijosilahkopomagamokarssliko
1, saj je antikomplementarni trikotnik
˜
A
˜
B
˜
C anticevov trikotnik trikotnika
ABC glede na teˇ ziˇ sˇ ce G.
Z osnovnimi metodami analitiˇ cne geometrije v ploˇ sˇ cinskih koordinatah
izpeljemo koordinate ogliˇ sˇ c Cevovega trikotnika glede na toˇ cko P = X
P
∶
Y
P
∶Z
P
:
A
P
=0∶Y
P
∶Z
P
B
P
=X
P
∶0∶Z
P
C
P
=X
P
∶Y
P
∶0.
Pri obravnavi koordinat anticevovega trikotnika zaˇ cnemo z neznanimi deve-
timi koordinatami toˇ ck
˜
A
P
,
˜
B
P
,
˜
C
P
in zapiˇ semo zahteve iz definicije: toˇ cka
A leˇ zi na nosilkah daljic
˜
B
P
˜
C
P
in
˜
A
P
P, analogno zaB inC. Reˇ simo sistem
in dobimo:
˜
A
P
=−X
P
∶Y
P
∶Z
P
˜
B
P
=X
P
∶−Y
P
∶Z
P
˜
C
P
=X
P
∶Y
P
∶−Z
P
.
Ogliˇ sˇ ca anticevovega trikotnika pri dani toˇ cki P so torej enoliˇ cno doloˇ cena.
Za njihovo konstruktibilnost je kljuˇ cno dejstvo, da je toˇ cka
˜
A
P
harmoniˇ cna
konjugiranka toˇ ckeP glede na toˇ ckiA inA
P
[13]. Od tod sledi, da jo lahko
konstruiramo celo samo z ravnilom [15, str. 3].
Od nujnih informacij zdaj potrebujemo leˇ se enaˇ cbo premice v neskonˇ c-
nosti. V trilinearnih koordinatah se ta glasi aα+bβ +cγ = 0, v ploˇ sˇ cinskih
pa X +Y +Z =0.
Zdaj za osnovo vzamemo Lemoinovo toˇ ckoL =a
2
∶b
2
∶c
2
in se napotimo
proti toˇ cki V = (c
2
−b
2
) ∶b
2
∶ 0. Do toˇ cke
˜
C
L
=a
2
∶b
2
∶ −c
2
ˇ ze znamo priti.
Nadaljujmo na drugem koncu poti, pri toˇ cki V. Ta je C−toˇ cka Cevovega
trikotnikagledenatoˇ ckoW
Z
=(c
2
−b
2
)∶b
2
∶Z intonegledenaizbiroˇ stevila
Z. Doloˇ cimo Z tako, da bo toˇ cka W
Z
leˇ zala na premici v neskonˇ cnosti, ki
ima enaˇ cbo X +Y +Z = 0. To doseˇ zemo z izbiro Z = −c
2
. Naj bo torej
W = (c
2
−b
2
) ∶ b
2
∶ −c
2
. Premica CW seka nosilko stranice c v toˇ cki V
81–99 97

Bojan Hvala
in zato toˇ cka W leˇ zi na premici CV. Vendar pa glede na svoje koordinate
toˇ cka W oˇ citno leˇ zi tudi na premici s preprosto enaˇ cbo c
2
Y +b
2
Z = 0. Na
tej premici pa leˇ zita tudi toˇ cki A=1∶0∶0 in
˜
C
L
=a
2
∶b
2
∶−c
2
.
Toˇ ckaW torejleˇ zinapremicivneskonˇ cnostiinjepreseˇ ciˇ sˇ cepremicA
˜
C
L
inCV. Ker se ti dve premici sekata na premici v neskonˇ cnosti, sta dejansko
vzporedni. Od tod sledi, da je toˇ cka V preseˇ ciˇ sˇ ce vzporednice premiciA
˜
C
L
skozi toˇ cko C in nosilke stranice c.
Ilustrirali smo pot do konstrukcije toˇ cke V. Podobna, a morda ˇ se malo
zahtevnejˇ sa je pot do toˇ cke U, zato ta detajl tokrat izpustimo. Omenimo
le, da je konstrukcija toˇ ck U in V najbolj inovativni del celotne zgodbe.
***
Ta odsek poti je posebej zanimiv, ker znotraj geometrijske teme kjuˇ cno vlogo odigra žon-
gliranje s simboli, ki je sicer bolj znaˇ cilno za algebro. Matematiˇ cne teorije in koncepti se na
nenavadne naˇ cineprepletajo in oplajajo.
***
Ko enkrat imamo toˇ cki U in V, skozi toˇ cke B,C,
˜
A,U in V z dodatnim
orodjem za risanje stoˇ znic skozi danih pet toˇ ck nariˇ semo stoˇ znico S
A
. Po-
dobno nariˇ semo stoˇ znico S
B
. Njuno edino preseˇ ciˇ sˇ ce znotraj trikotnika je
toˇ cka M
C
.
Na podoben naˇ cin, a z drugaˇ cnimi reˇ sitvami v inovativnem vloˇ zku, kon-
struiramo tudi preostale ˇ stiri sestriˇ cne teˇ ziˇ sˇ ca G.
Zakljuˇ cek
Ameriˇ ski matematik John E. Wetzel, zasluˇ zni profesor na University of Illi-
noys v Urbani-Champaign, je izjavil:
Geometrija trikotnika ima veˇ c ˇ cudeˇ zev na kvadratni meter kot katera koli
druga veja matematike.
To pogosto citirano izjavo lahko zasledimo na primer v uvodu h knjigi
[9, str. 1] ali med zahvalami spletne strani [1]. Izjavo je seveda treba obrav-
navati dobronamerno in z doloˇ ceno mero smisla za humor. Vsekakor pa je
v njej dobro povzeto bistvo fascinacije z geometrijo trikotnika. Gre za ob-
ˇ cutek oˇ caranosti nad preseneˇ cenji, ki se tu pojavljajo nenavadno pogosto.
Zatosiˇ zelim, dabisegeometrijatrikotnikaobdrˇ zalavˇ studijskihprogramih
matematike in da bi k tej tematiki (vsaj obˇ casno) pristopalo veˇ c radovednih
98 Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 3

Geometrija trikotnika, Oroslan in Ravello
raziskovalcev. To ˇ zelim tudi ˇ stevilnim drugim ˇ zivopisnim vejam matema-
tike. Bojim se namreˇ c, da se s ˇ casom matematiˇ cna diverziteta vse bolj
krˇ ci in siromaˇ si. Povedano v jeziku biologov pozivam k ohranjanjuˇ sirokega
spektra raznovrstne matematiˇ cne flore in favne.
***
Natanaˇ cinsmospoznaliSeebachovizrek,temoizgeometrijetrikotnika. Kajpavnaslovu
poˇ cneta Oroslan in Ravello?
Oroslan na eni strani simbolizira eksperiment obravnave tematike na dveh kanalih. Prvi
se skuša držati vseh pravil pisanja matematiˇ cnega teksta, drugi pa ta pravila krši, a vsebino
nadgrajujezinformacijami,kibizabralcautegnilebitizanimive. Preklopnadrugikanalzato
pomeni drugaˇ cen pristop k branju in evalvaciji teksta. Ima pa Oroslan tudi doloˇ cene simbolne
podtone. Oroslan je nekdo, ki je onstran. V tem smislu simbolizira brezˇ casen, nepretenciozen
pogled narazmere.
Ravello je kraj, kjer cvetita narava in ustvarjalnost, vsaka zase in v povezavi druga z
drugo. Simbolizira lepoto stvarstva v iskreni, izvorni, v ˇ casu preverjeni obliki. Ne gre za
šopirjenje ali razstavo preraˇ cunljivosti, paˇ c pa za razmah ˇ cloveškega duha, ki s svojo svežino
razveseljujevse okrog sebe.
LITERATURA
[1] Encyclopedia of Triangle centers, dostopno na faculty.evansville.edu/ck6/
encyclopedia/ETC.html, ogled 4. 4. 2021.
[2] M. Barile, Tomahawk, dostopno na mathworld.wolfram.com/Tomahawk.html, ogled
9. 4. 2021.
[3] D. Goering, Solution to Problem 10358, Amer. Math. Monthly 104 (1997), 567–570.
[4] M.Hajja, The arbitrariness of the Cevian triangle, Amer.Math.Monthly 113(2006),
443–447.
[5] B.Hvala, A generalized Seebach’s theorem, Beitr.AlgebraGeom. 55(2014), 471–478.
[6] B. Hvala, Cevian cousins of a triangle centroid, J. Geom. Graph. 19 (2015), 211–218.
[7] B. Hvala, Znaˇ cilne toˇ cke trikotnika kot funkcije, Obzornik Mat. Fiz. 61 (2014), 1–14.
[8] R. A. Johnson, Advanced Euclidean geometry, Dover Publications, 2007.
[9] C. Kimberling, Triangle centers and central triangles, Congr. Numerantium 129
(1998).
[10] G. Leversha, The geometry of the triangle, United Kingdom Mathematics Trust,
2013.
[11] K. Seebach, Ceva-Dreiecke, Elem. Math. 42 (1987), 132–139.
[12] T. Veber, Kubiˇ cne krivulje trikotnika, Obzornik Mat. Fiz. 59 (2012), 50–62.
[13] E. W. Weisstein, Anticevian triangle, dostopno na mathworld.wolfram.com/
AnticevianTriangle.html, ogled 1. 6. 2021.
[14] E. W. Weisstein, Ceva’s Theorem, dostopno na mathworld.wolfram.com/
CevasTheorem.html, ogled 31. 5. 2021.
[15] P. Yiu, Introduction to the Geometry of the triangle, dostopno na math.fau.edu/
Yiu/YIUIntroductionToTriangleGeometry121226.pdf, ogled 3. 5. 2021.
81–99 99