UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Roman Drnovˇsek POZITIVNI OPERATORJI NA BANACHOVIH MREŽAH Doktorska disertacija LJUBLJANA , 1996 Kazalo 1. Uvod 6 1.1 Rieszovi prostori ........................... 6 1.2 Linearni funkcionali in operatorji .................. 11 1.3 Banachovi funkcijski prostori..................... 14 2. Volterrovi integralski operatorji 18 2.1 Motivacija............................... 18 2.2 Operatorji s končno dvakratno normo................ 19 2.3 Volterrovi integralski operatorji na Banachovih funkcijskih prostorih 20 2.4 Volterrov integralski operator V................... 24 2.5 Lokalni kvazispektralni radij in kvazispektralno maksimalni podprostori........................ 30 2.6 Kvazispektralno maksimalni podprostori operatorja V.............................. 32 2.7 L'-zaprti invariantni podprostori operatorja V........... 36 3. Spektralni radij pozitivnih operatorjev 44 3.1 Motivacija............................... 44 3.2 Osnovne definicije in rezultati.................... 45 3.3 Collatz-Wielandtovi oceni ...................... 49 3.4 Spektralni radij produkta operatorjev................ 53 3.5 Se o Collatz-Wielandtovih ocenah.................. 57 4. Polgrupe pozitivnih operatorjev 62 4.1 Motivacija............................... 62 4.2 Osnovne definicije in rezultati.................... 62 4.3 Skupen invarianten zaprt ideal.................... 64 4.4 Pozitivni ortomorfizmi na diskretni normirani mreži........ 68 4.5 Maksimalna veriga skupnih invariantnih pasov........... 71 2 Povzetek Doktorska disertacija je razdeljena na ˇstiri poglavja. Prvo uvodno poglavje obravnava osnovne lastnosti Banachovih mreˇz in operatorjev na njih. Nekoliko podrobneje so obdelani Banachovi funkcijski prostori. V drugem poglavju najprej definiramo Volterrove integralske operatorje na Banachovih funkcijskih prostorih in spoznamo njihove osnovne lastnosti. V nadaljevanju pa se posvetimo operatorju, ki je posploˇsitev Volterrovega operatorja (operatorja integriranja) na prostoru L2[0,1]. V primeru, ko je operator injek-tiven, doloˇcimo vse njegove kvazispektralno maksimalne podprostore. Posploˇsimo tudi znan rezultat o mreˇzi zaprtih invariantnih podprostorov Volterrovega operatorja na L2[0,1]. V tretjem poglavju obravnavamo Collatz-Wielandtovi oceni spektralnega radija pozitivnega operatorja. Kot aplikacijo dobljenih rezultatov izpeljemo zgornjo in spodnjo oceno za spektralni radij produkta pozitivnih operatorjev v odvisnosti od spektralnih radijev posameznih operatorjev in od pozitivnih lastnih vektorjev, ki ustrezajo tem spektralnim radijem. V zadnjem poglavju se ukvarjamo z vpraˇsanjem, pri katerih pogojih za pol-grupo pozitivnih operatorjev na Banachovi mreˇzi obstaja netrivialen zaprt ideal, ki je invarianten za vse operatorje iz polgrupe. Med drugim dokaˇzemo naslednji rezultat. Ce je L diskretna Banachova mreˇza z urejenostno zvezno normo in ˇce je S multiplikativna polgrupa kvazinilpotentnih pozitivnih operatorjev na L, potem obstaja veriga pasov prostora L, ki so invariantni za vse operatorje iz S. Ta veriga je maksimalna v mreˇzi vseh zaprtih podprostorov prostora L. Ključne besede: Banachove mreˇze, Banachovi funkcijski prostori, integralski operatorji, pozitivni operatorji, spektralni radij, invariantni podprostori. 3 Summary The thesis is divided into four chapters. The first one gives some basic facts about Banach lattices and operators defined on them. Banach function spaces are also considered. The second chapter introduces Volterra kernel operators on Banach function spaces and their fundamental properties. The main part of the chapter is devoted to the operator that generalizes Volterra integration operator on the space L2[0, 1]. If the operator is injective, then all its quasispectral maximal subspaces are determined. The well-known result about closed invariant subspaces of Volterra integration operator on L2[0, 1] is extended as well. The next chapter deals with the Collatz-Wielandt bounds for the spectral radius of positive operators. An application of the obtained results gives simple upper and lower bounds for the spectral radius of a product of positive operators in terms of positive eigenvectors corresponding to the spectral radii of given operators. In the last chapter we are concerned with the existence of a nontrivial closed ideal (of a Banach lattice) that is invariant under every member of a given multiplicative semigroup of positive operators. We prove the following result. If a discrete Banach lattice L has order continuous norm and if S is a multiplicative semigroup of quasinilpotent positive operators on L, then there exists a chain of bands, which are invariant under every member of S. Moreover, this chain is maximal in the lattice of all closed subspaces of L. Math. Subj. Class. (1991) : 46B42, 47B65, 47B38, 47A10, 47A15. Key words: Banach lattices, Banach function spaces, kernel operators, positive operators, spectral radius, invariant subspaces. 4 Zahvale Mentor prof. dr. Matjaž Omladič me je usmeril na zanimivo področje teorije operatorjev. Prisrčno se mu zahvaljujem za vse predlagane smeri mojega raziskovalnega dela, za dragocene nasvete pri nastajanju znanstvenih člankov in za skrbne preglede le teh. Brez njegove pomoči moje usposabljanje za raziskovalno delo ne bi bilo tako uspešno. Zahvaljujem se tudi vsem ostalim, ki so mi v vseh letih mojega šolanja in študija kakorkoli pomagali. Zahvalo sem dolžan predvsem mojim staršem, ki so mi vedno stali ob strani. 5 1. Uvod 6 1. Uvod 1.1 Rieszovi prostori Naj bo M neprazna delno urejena množica, torej je M opremljena z relacijo delne urejenosti < (manjše ali enako), ki je refleksivna, antisimetrična in tranzitivna. Relacija < določa s predpisom a < b -<=>• a < b in a ^ b na M relacijo < (manjše). Namesto a < b pišemo tudi b > a, namesto a < b pa b > a. Element a G M imenujemo najmanjši element množice M, kadar za vsak b G M velja a < b. Analogno opredelimo največji element. Ce najmanjši (ali največji) element obstaja, je en sam. Element a G M je zgornja meja podmnožice N C M, če za vsak b E N velja b < a. Podobno definiramo spodnjo mejo. Kadar je množica vseh zgornjih mej podmnožice N C M neprazna in ima najmanjši element a, potem elementu a pravimo najmanjša zgornja meja oziroma supremum množice N, ki ga označimo s supiV. Analogno definiramo največjo spodnjo mejo oziroma infimum množice N, ki ga zaznamujemo z inf N. Podmnožica N C M je navzgor omejena, kadar ima zgornjo mejo v M, navzdol omejena, kadar ima spodnjo mejo v M, in (urejenostno) omejena, če je navzgor in navzdol omejena. Množica M je linearno urejena, kadar sta poljubna dva elementa a,b G M primerljiva, torej kadar je a < b ali pa b < a. Linearno urejeno podmnožico delno urejene množice imenujemo veriga. Delno urejeni množici M pravimo mreža, kadar za vsak par a,b G M obstajata elementa a V b = sup{a, 6} , a A b = inf {a, 6} . Delno urejen vektorski prostor je realen vektorski prostor L, opremljen z relacijo delne urejenosti <, ki je usklajena z algebrskima operacijama vektorskega prostora na naslednji način: za vse A G IR in vse f,g,hE L, ki ustrezajo pogoju f < 9, velja \f < \g in / + h < g + h. _________________________1. Uvod________________________7 Delno urejen vektorski prostor L imenujemo Rieszov prostor oziroma vektorska mreža, kadar je L skupaj z relacijo delne urejenosti < mreža. Hitro vidimo, da v Rieszovem prostoru L za vsak par /, g G L velja enakost f/\g-\-fVg = f-\-g ¦ Podmnožico L+ = {/ G L : / > 0} Rieszovega prostora L imenujemo pozitivni stožec, vektorje iz L+ pa pozitivne vektorje. Pozitivni del vektorja / G L je vektor /+ = / V 0, negativni del vektorja / je vektor /- = (—/) V0 = — (/ A0), njegova absolutna vrednost pa vektor |/| = /V (—/). Kadar za vektorja / in g Rieszovega prostora L velja |/| A \g\ = 0, pravimo, da sta / in g disjunktna ali ortogonalna. Naj bo D poljubna neprazna podmnožica Rieszovega prostora L. Potem množico D = {/ G L : l/l A \g\ = 0 \/g G D} imenujemo disjunktni komplement množice D. Trditev 1.1 Naj bo L Rieszov prostor in /i, /2,..., /ra G L+. (a) Za vsak g G L+ velja (/1 + ... + fn) A g < f\ A g -\-... -\- fn /\ g ¦ (b) Ce so /1,..., fn paroma disjunktni, potem velja enakost SUp{/i, /2, . . . , fn} = /1 + /2 + • • • + fn ¦ Dokaz. (a) Dovolj je dokazati neenakost pri n = 2, saj potem veljavnost neenakosti pri poljubnem n G IN dobimo s preprosto indukcijo. Ker je g < /2 + g, velja (/1 + /2) A g = (/1 + /2) A (g + /2) A g = (f\ A g + /2) A g . _________________________1. Uvod________________________8 Nadalje zaradi f\ A g > 0 velja (/i A g + /2) A / = 0 . Ekvivalentno je zahtevati, da velja sklep /, g G L, nf < g Vn G IN =^> / < 0 . Vsaka normirana mreža je arhimedski prostor. Ce namreč za par /, g G L+ velja nf < g z8u vse n G IN, potem je n ||/|| < ||(/|| za vse n G IN, od koder sledi / = 0. Podprostor / Rieszovega prostora L imenujemo ideal, kadar za vsak f E I velja sklep g G L, \g\ < l/l => g L I . _________________________1. Uvod________________________9 Naj bo D poljubna neprazna podmnožica Rieszovega prostora L. Presek vseh idealov, ki vsebujejo množico D, je najmanjši ideal, ki vsebuje D. Zaznamujemo ga z 1(D) in imenujemo ideal, generiran z D. Hitro se prepričamo, da velja enakost n 1(D) = {/ G L : 3fi, ¦ ¦ ¦ , fn G D, 3A G IR + : |/| < A ^ |/j|} . i=\ Kadar ima D samo en element u, ideal I({u}) imenujemo glavni ideal in ga označimo z Iu. Torej velja enakost 4 = {/ G L : 3A G IR+ : |/| < A|«|} . Kadar vektor u G L+ ustreza pogoju Iu = L, ga imenujemo krepka enota prostora L. Če je L normirana mreža in je glavni ideal Iu vektorja u G L+ gost podprostor v L, vektor u imenujemo kvazinotranja točka stožca L+. Ideal A Rieszovega prostora L imenujemo pas, če velja sup-D G A za vsako neprazno podmnožico D C A, ki ima supremum v L. Naj bo D poljubna neprazna podmnožica Rieszovega prostora L. Presek vseh pasov, ki vsebujejo množico D, je najmanjši pas, ki vsebuje D. Označimo ga z B(D) in imenujemo pas, generiran z D. Kadar ima D samo en element m, pas B({u}) imenujemo glavni pas in ga označimo z Bu. Če je glavni pas Bu vektorja u G L + enak L, imenujemo u šibka enota prostora L. Naj bo L normirana mreža. Očitno je vsaka krepka enota prostora L kvazinotranja točka stožca L+, vsaka kvazinotranja točka pa je šibka enota prostora L. Oglejmo si na primeru, da obratni trditvi ne veljata. Primer 1.2 Vektor x = (xi,X2, ¦ ¦ ¦) G (/°°)+ je kvazinotranja točka stožca (/°°)+ natanko tedaj, ko je inf{xra : n G IN} > 0. Pri tem pogoju je x tudi krepka enota. Vektor x = (x\, X2, ¦ ¦ ¦) G (/°°)+ je šibka enota natanko tedaj, ko je xn > 0 za vsak n G IN. 1. Uvod 10 Naj bo sedaj L = V (1 < p < oo) ali L = co. Podobno kot prej je vektor x = (x\, X2,...) G L+ šibka enota, če in samo če je xn > 0 za vsak n G IN. Tedaj je x tudi kvazinotranja točka. Krepkih enot pa L nima. Podmnožica D delno urejenega vektorskega prostora L je navzgor usmerjena, kadar za vsak par f,g G D obstaja tak vektor h G D, da velja / < h in g < h. Podobno opredelimo pojem navzdol usmerjene množice. Vsako podmnožico D delno urejenega vektorskega prostora L lahko obravnavamo kot indeksno množico {fT}, kjer r teče po primerni množici. Ce je množica {fT} navzgor usmerjena, to dejstvo označimo na kratko s fT f. Zapis fT f / pa naj pomeni, da poleg tega obstaja supremum / = sup/r. Analogno za navzdol usmerjeno množico {fT} vpeljemo oznaki fT J, in fT J, /. Kadar je množica D zaporedje vektorjev {fn} F||\i) naj oznaki fn | in fn\, zaporedoma pomenita, da je zaporedje naraščajoče oziroma padajoče, torej je /i < /2 < /3 < ... oziroma /1 ^ /2 ^ /3 ^ • • •• Podobno kot prej vpeljemo oznaki /n|/ in /ni/. Delno urejen vektorski prostor L je Dedekindovo poln, kadar ima vsaka njegova neprazna navzgor omejena podmnožica najmanjšo zgornjo mejo, oziroma a-Dedekindovo poln, kadar ima vsaka njegova neprazna navzgor omejena števna podmnožica najmanjšo zgornjo mejo. Rieszov prostor L je Dedekindovo poln (c-Dedekindovo poln) natanko tedaj, ko ima vsaka neprazna navzgor usmerjena omejena podmnožica stožca L+ najmanjšo zgornjo mejo v L, oziroma L je a-Dedekindovo poln natanko tedaj, ko ima vsako navzgor omejeno naraščajoče zaporedje stožca L+ najmanjšo zgornjo mejo v L (glej [33, trditev 3.10]). Množica {fT} vektorjev iz Rieszovega prostora L urejenostno konvergira proti vektorju / G L, kadar v L obstaja taka navzdol usmerjena množica pT J, 0, da je \fT — f\ < pT za vse r. Tedaj pravimo, da je / urejenostna limita množice {fT} in to zaznamujemo s fT —> f. Lahko je videti, da je urejenostna limita linearna, tj. iz jT —> j m gT —> g sledi ajT + bgT —> aj + bg za poljubni realni števili a in b. 1. Uvod 11 Normirana mreža L ima urejenostno zvezno normo, kadar je ||/r|| J, 0 za vsako navzdol usmerjeno množico fT J, 0 v L, oziroma c-urejenostno zvezno normo, kadar je ||/n|| | 0 za vsako padajoče zaporedje fn J, 0 v L. Primer 1.3 Banachova mreža EP(E, [i) (1 < p < oo) ima urejenostno zvezno normo. Ce je Banachova mreža L°°(E,[i) neskončnorazsežna, potem nima a-urejenostno zvezne norme. Res! Tedaj obstaja zaporedje {En}n€\\^ paroma dis-junktnih merljivih množic s pozitivno mero. Ce je fn karakteristična funkcija množice U^=nEk, potem velja fn J, 0 in ||/n||oo = 1 za vsak n. 1.2 Linearni funkcionali in operatorji Naj bosta L in M Rieszova prostora. Linearna preslikava (krajše: operator) T : L —> M je pozitivna, kadar velja T(L+) C M+. Naj bo C(L,M) vektorski prostor vseh operatorjev iz L v M. Pozitivni stožec C+(L, M) C C(L, M) vseh pozitivnih operatorjev iz L v M na prostoru C(L, M) določa kanonično delno urejenost in v njem generira podprostor vseh regularnih operatorjev Cr(L, M) = C+(L, M) — C+(L, M). Operator T G C(L,M) je urejenostno omejen, kadar vsako urejenostno omejeno podmnožico prostora L preslika v urejenostno omejeno podmnožico prostora M. Množica Lb(L, M) vseh urejenostno omejenih operatorjev je podprostor v C(L,M) in vsebuje Cr(L,M). Delno urejeni vektorski prostori C(L,M), Cb(L,M) in Cr(L,M) niso nujno Rieszovi. Kadar je M Dedekindovo poln, pa velja naslednji Kantorovičev izrek (glej npr. [33, izrek 5.2]). 1. Uvod 12 Izrek 1.4 Naj bosta L in M Rieszova prostora, M Dedekindovo poln. Potem je Cb(L,M) Dedekindovo poln Rieszov prostor, ki se ujema z Cr(L,M). Za vsak par operatorjev S, T L Cf,(L, M) in vsak f L L+ veljata formuli: (S V T)f = sup{Sg + T(/ — g) : 0 < g < /} , (S A T)f = inf{Sg + T(/ — g) : 0 < g < f} . Prostor Lb(L, IR) urejenostno omejenih linearnih funkcionalov na Rieszovem prostoru L imenujemo urejenostni dual prostora L in ga zaznamujemo z L~. Ker je IR Dedekindov poln Rieszov prostor, je po izreku 1.4 L~ Dedekindovo poln Rieszov prostor, vsak njegov element pa je razlika dveh pozitivnih linearnih funkcionalov. Pozitiven operator na normirani mreˇzi ni nujno omejen. Vendar velja naslednji rezultat (glej npr. [58, izrek 83.12]). Izrek 1.5 Naj bo L Banachova mreˇza in M normirana mreˇza. Potem je vsak operator T G C+(L,M) omejen. Ce je M Dedekindovo poln, je vsak operator T G Cf,(L,M) omejen. V posebnem primeru M = IR to pomeni, da je vsak linearen funkcional ip G L~ omejen. Dokaz naslednjega izreka lahko bralec najde v [58, izrek 85.6]. Izrek 1.6 Dualni prostor L* normirane mreˇze L je ideal v urejenostnem dualu L~. Ce je L Banachova mreˇza, je L* = L~. Operator T G C(L,M) je Rieszov homomorfizem, kadar za vsak par f,g L L velja T(/ V g) = T f V T g. Z uporabo enakosti / /\g = f+ g — fV g ugotovimo, da tedaj velja tudi enakost T(/ A g) = T f A T g. Rieszov homomorfizem imenujemo Rieszov izomorfizem, kadar je bijektiven in je tudi njegov obrat Rieszov homomorfizem. ______________________1. Uvod______________________ 13 Trditev 1.7 Za operator T so ekvivalentne naslednje izjave: (a) T je Rieszov izomorfizem. (b) T je bijektiven Rieszov homomorfizem. (c) T je pozitivna bijekcija s pozitivnim obratom. Naj bosta L in M Banachovi mreži. Operator T G C(L, M) je izomorfizem Banachovih mrež, če je T Rieszov izomorfizem in izomorfizem Banachovih prostorov. Naj bo T G C(L, M) Rieszov izomorfizem. Ker je T pozitiven operator, je po izreku f .5 omejen. Zato je po izreku o odprti preslikavi operator T izomorfizem Banachovih prostorov. Dokazali smo torej, daje vsak Rieszov izomorfizem med Banachovima mrežama pravzaprav izomorfizem Banachovih mrež. Operator T G L>b(L, M) je c-urejenostno zvezen, če iz fn J, 0 v L sledi infra \Tfn\ = 0, in je urejenostno zvezen, kadar za vsako navzdol usmerjeno podmnožico fT J, 0 velja infr \TfT\ = 0. Naj bo L normirana mreža z dualom L*. Z L* in L*n zaporedoma označimo prostora vseh c-urejenostno zveznih in urejenostno zveznih funkcionalov iz L*. Po [58, izrek 102.6] sta L*c in L*n pasova prostora L*. Izrek 1.8 Za normirano mrežo L so naslednje trditve ekvivalentne: (a) L ima urejenostno zvezno normo. (b) Vsak zaprt ideal je pas. (c) L*n = L*. Ce je L Banachova mreža, so vse tri trditve ekvivalentne naslednji: (d) L ima a -urejenostno zvezno normo in L je a-Dedekindovo poln. Primer 1.9 Naj bo ip pozitiven linearen funkcional na Banachovi mreži c vseh konvergentnih zaporedij, definiran s predpisom oo Ni težko videti, da lahko ip razširimo do pozitivnega linearnega funkcionala (p na Banachovi mreži /°°. Naj bo x^n> vektor, ki ima na prvih n mestih ničle, naprej pa 1. Uvod 14 enke. Potem je x^n' J, 0, toda (p(x^n') = 1 za vsak n G IN. Torej (p ni c-urejenostno zvezen funkcional. Posebni primer takih funkcionalov (p so Banachove limite (glej npr. [34, str. 317]). Naj bo X normiran prostor in T omejen operator na X. Podprostor Y prostora X je invarianten za operator T, če je Ty G Y za vse y G Y. Podprostor Y je netrivialen, če ni enak {0} ali X. Trditev 1.10 Naj bo I ideal Rieszovega prostora L in T urejenostno zvezen pozitiven operator na L. Ce je I invarianten za T, potem je tudi pas B(I) invarianten za T. Dokaz. Za vsak pozitiven vektor / G B(I) obstaja navzgor usmerjena množica {/r} vektorjev iz /, za katere velja 0 < fT f / (glej npr. [33, izrek 4.10]). Ker je T urejenostno zvezen, je 0 < TfT f Tj. Ker je TfT G / C B(I) in je B(I) pas, imamo končno Tf G B(I), torej je B(I) invarianten za T. ? 1.3 Banachovi funkcijski prostori Pomemben primer Banachovih mrež so Banachovi funkcijski prostori. Naj bo H pozitivna c-končna mera na c-algebri B podmnožic množice E. Z M(E,[i) označimo vektorski prostor vseh (ekvivalenčnih razredov skoraj povsod enakih) merljivih realnih funkcij na E. V M(E,[i) vpeljemo delno urejenost s predpisom / ^ 9 ^=^ f(t) ^ g (t) skoraj za vse t G E . Tedaj M(E,[i) postane Rieszov prostor. Naj bo L poljuben ideal v M(E,[i). Merljivo množico A C E imenujmo niˇcelna množica, kadar je za vsak / G L f = 0 skoraj povsod na A. Pri študiju ideala L lahko tako množico odstranimo, to pomeni, da množico E zamenjamo z množico E — A. V naslednji trditvi bomo dokazali, da lahko odstranimo vse ničelne množice s pozitivno mero. ________________________1. Uvod_______________________ 15 Trditev 1.11 Obstaja največja ničelna množica Aoo, to pomeni, da množica E — Aoo ne vsebuje nobene ničelne množice s pozitivno mero. Ta množica je do množice z mero 0 enolično določena. Dokaz. Najprej obravnavajmo primer, ko je mera \i končna. Z M označimo družino vseh ničelnih množic. Ce postavimo a = sup{/i(A) : A G A/"} , potem obstaja tako naraščajoče zaporedje množic {^4n}rae||\| s končno mero, daje n(An) 1 a. Unija A^ = U^=lAn je ničelna množica, za katero velja ^(A^) = a. Ce je A C E — Aoo ničelna množica, potem je AuAqo tudi ničelna množica, katere mera je večja ali enaka a. Z ozirom na definicijo števila a je zato fi(A) = 0, torej je Aoo največja ničelna množica. Naj bo sedaj fi(E) = oo. Ker je \i c-končna mera, obstajajo tako zaporedje paroma disjunktnih množic {En} im s končno mero, katerih unija je množica E. Za vsak k E IN naj bo A^ največja ničelna množica v E}.- Taka množica obstaja po prvem delu tega dokaza in je določena do množice z mero 0 natančno. Potem je Aoo = U^=lAk ničelna množica. Ce je A C E — Aoo ničelna množica, potem je za vsak k tudi množica A D E^ ničelna. Ker je A n E^ C E^ — A^, ima A D E^ mero nič. Od tod sledi, daje tudi mera množice A enaka 0, torej je Aoo največja ničelna množica. Enoličnost množice Aoo je očitna. ? Množico El := E — Aoo imenujemo nosilec ideala L. Nosilec je do množice z mero 0 enolično določen. Pokažimo s primerom, da karakteristična funkcija xel nosilca El nujno ne pripada idealu L. Primer 1.12 Naj bo E = [0, oo), \i Lebesgueova mera in L = Lp[0, oo), kjer je 1 < p < oo. Nosilec ideala L je tedaj enak E, vendar funkcija, identično enaka 1, ne pripada idealu L. Vendar pa velja naslednji rezultat (glej [58, izrek 86.2]). 1. Uvod 16 Trditev 1.13 Za vsak ideal L v M(E, fi) z nosilcem El obstaja tako naraščajoče zaporedje množic {En}, da je UnEn = El ter za vse n G IN velja n(En) G (O, oo) in xeu ^ L. Banachova mreža L je Banachov funkcijski prostor, če je L ideal prostora M(E,fi). Ce je / G M(E,[i) in / ^ L, potem postavimo ||/|| = oo. V celotnem delu velja naslednja predpostavka: Nosilec Banachovega funkcijskega prostora L je enak E. Najbolj znani primeri Banachovih funkcijskih prostorov so prostori Lp(E,ii), kjer je 1 < p < oo. Trditev 1.14 Vsak Banachov funkcijski prostor L vsebuje šibko enoto, to je funkcijo, ki je skoraj povsod pozitivna. Dokaz. Po trditvi 1.13 obstaja tako naraščajoče zaporedje množic {En}, da je UnEn = E ter za vse n G IN velja 0 < fi(En) < oo in xe„ L L. Potem funkcija u, definirana s predpisom ^ 1 U = > T.--------T7 Xe„ , ~i l \\Xe„II pripada prostoru L in je očitno povsod pozitivna. ? Naj bo L Banachov funkcijski prostor. Z L' označimo ideal vseh funkcij g G M(E,fi), za katere je s predpisom 'Pg(f) = / f(t) g (t) d/i(t) e e definiran omejen linearen funkcional ipg na L. Rieszov prostor L' opremimo z normo \\g\\' = \\ ipg je izometrični Rieszov izomorfizem normirane mreže L' na Banachovo mrežo L*. ________________________1. Uvod_______________________ 17 Iz izreka sledi, da je L' tudi Banachov funkcijski prostor. Imenujemo ga pridruženi prostor prostora L (oziroma Kothejev dual), normo || • ||' pa pridružena norma. Banachov funkcijski prostor L' loči točke prostora L (tj. / = 0 je edina funkcija iz L, za katero velja 0 obstaja tak 8 G (0,1), da je \f(t)\ < e skoraj za vse t G [0,8]. Lahko se je prepričati, da je / zaprt ideal, invarianten za operator V. Očitno je tudi, da ne obstaja a G [0,1] z lastnostjo / = B(a). 2. Volterrovi integralski operatorji 19 V naslednjih dveh razdelkih bomo definirali Volterrove integralske operatorje (s poljubnim jedrom) na Banachovih funkcijskih prostorih, spoznali njihove osnovne lastnosti, v nadaljevanju pa se bomo posvetili operatorju, ki je posplošitev (zgoraj omenjenega) Volterrovega operatorja. Naš operator je hkrati posplošitev operatorja iz [43], ki je definiran na prostoru Lp(E,fi), 1 < p < oo. 2.2 Operatorji s konˇcno dvakratno normo Naj bo n pozitivna c-končna mera na c-algebri B podmnožic množice E in naj bo L Banachov funkcijski prostor na merljivem prostoru (E,B,fi). Integralski operator K na L z jedrom k imenujemo operator s konˇcno dvakratno normo (ali Hille-Tamarkinov operator), če (i) skoraj za vsak s E E funkcija ks E M(E,fi), definirana s predpisom ks{t) = k(s,t), pripada prostoru L', in (ii) funkcija h : E —> [0,oo), definirana s predpisom h(s) = \\ks\\' skoraj za vse s E E, pripada prostoru L. Število I .K" I := \\h\\ imenujemo dvakratna norma operatorja K. Opera-torsko normo bomo (kot običajno) označevali z || • ||. Precej težko je dokazati, da je funkcija h vedno merljiva (glej [58, posledica 99.3]). Na Banachovem funkcijskem prostoru Lp(E,ii) (1 < p < oo) sta take integralske operatorje že leta 1934 obravnavala Hille in Tamarkin [28]. Primer 2.3 Naj bo L = Lp(E,fi) (1 < p < oo) in l/p + l/q = 1. Naj ima integralski operator K na L (z jedrom k) končno dvakratno normo. Potem je Of f f \p/q 1/P ( / \k(s,t)\qd/i(t) J d/i(s) E E V posebnem primeru p = q = 2 imamo O \ i/^ / |fc(s,t)| d/i(s)d/i(t) j E E 2. Volterrovi integralski operatorji 20 V tem primeru je potemtakem razred operatorjev s končno dvakratno normo enak razredu Hilbert-Schmidtovih operatorjev. Znano je, da je vsak Hilbert-Schmidtov operator omejen. Dokažimo, da to velja tudi za vsak operator s končno dvakratno normo. Trditev 2.4 Naj bo K integralski operator na L s končno dvakratno normo. Potem je K omejen operator in velja \\K\\ < \K\. Dokaz. Za vsako funkcijo / G L in skoraj vse s G E velja neenakost I ( TS L I ^ I 17 L \ -1 /j ^ 117 |K II i* II 1. \\ L\\ \{K j)(s)\ < IK (s, t) j (t) I a/i{t) < || Ks || ||/1| = ti(s) 11/11 , E od koder sledi ||-K"/|| < \\h\\ ||/|| = ||i^| ||/||. Torej je res ||iC|| < ||i^|. n Naslednji rezultat o kompaktnosti operatorjev s končno dvakratno normo povzemamo po članku [52, izrek 2.3]. Izrek 2.5 Ce imata prostora L in L' urejenostno zvezni normi, potem je vsak operator s končno dvakratno normo kompakten. 2.3 Volterrovi integralski operatorji na Banachovih funkcijskih prostorih Naj bo L Banachov funkcijski prostor in K integralski operator na L z jedrom k in s končno dvakratno normo. Ce obstaja taka merljiva funkcija (p : E —> IR, da je k(s,t) = 0 skoraj za vse (s, t) G E x E, za katere velja (f)(s) < (f)(t), potem operator K imenujemo Volterrov integralski operator. Očitno smemo predpostaviti, da je zaloga vrednosti funkcije (p vsebovana v intervalu [0,1], saj lahko (p komponiramo na primer s strogo naraščajočo funkcijo r : IR —> [0,1], ki je 2. Volterrovi integralski operatorji 21 definirana s predpisom t(x) = 1/2+ (l/V) arctgx. Volterrov integralski operator je potemtakem definiran s predpisom (Kf)(s) = / k(s,t)f(t)d/i(t) , f E L , s G E , Es kjer je Es = {t G E : (p{t) < (f)(s)}. Primer 2.6 Naj bo E = [0,1], \i Lebesgueova mera na E, (p{t) = t, L = L2[0,1] in k G L2([0,1] x [0,1]). Potem je operator, podan s predpisom s (K/)(s) = / k(s, t)f(t) dt , / G L [0,1] , s G [0,1] , Volterrov integralski operator na L2[0,1]. Znano je, da je operator K iz primera 2.6 kvazinilpotenten (glej npr. [27, problem 147]). V naslednjem izreku bomo pokazali, da ima vsak Volterrov integralski operator na L to lastnost, če imata le L in L' urejenostno zvezni normi. Dokaz tega rezultata je dejansko samo nekoliko predelan dokaz iz [27, problem 147]. Izrek 2.7 Naj bo L tak Banachov funkcijski prostor, da sta normi prostorov L in L' urejenostno zvezni. Naj bo K Volterrov integralski operator na L. Potem je K kvazinilpotenten operator. Najprej bomo pokazali naslednji pomožni rezultat. Lema 2.8 Naj veljajo pogoji izreka in naj bo t poljubno pozitivno ˇstevilo. Potem obstajata taka Volterrova integralska operatorja A in B na L in tak m G IN, da je: (1) K = A + B ; (2) \\A\\ < t ; (3) vsak produkt, sestavljen iz operatorjev A in B, v katerem je veˇc kot m faktorjev enakih B, je enak 0. 2. Volterrovi integralski operatorji 22 Dokaz. Naj bo k jedro operatorja K in naj bo E{8) = {(s,t) E E x E : 0(s) < (p{t) + #} , kjer je 8 E (0,oo). Zlahka se prepričamo, da je funkcija kn = k ¦ Xe(i/h) jedro nekega Volterrovega integralskega operatorja na L, ki ga označimo s Kn. Skoraj za vse s E E je s predpisom (kn)s(t) = kn(s,t) definirano padajoče zaporedje {|(fcn)s|}ne|\| funkcij iz prostora L1, ki urejenostno konvergira proti 0. S predpisom hn(s) = \\(kn)s\\' definiramo padajoče zaporedje {hn} im funkcij iz L, ki prav tako konvergira proti 0, saj je norma prostora L' po predpostavki urejenostno zvezna. Ker je tudi norma prostora L urejenostno zvezna, števila ||i^n| = \\hn\\ tudi padajo proti 0. Ker po trditvi 2.4 velja neenakost H-K^H < |Kn|> zaporedje {Hirali} F||\| prav tako konvergira proti 0. Zato obstaja tako naravno število m, da je H-KtoII < L• Ce postavimo A = Km in B = K — Km, sta pogoja (1) in (2) očitno izpolnjena. Dokažimo, da ima operator B tudi nenavadno ”nilpotentno” lastnost (3). Naj bo C poljuben integralski operator, katerega jedro kc je enako 0 na množici E(8), kjer je 8 E [0,1]. Potem je jedro ksc integralskega operatorja BC enako 0 skoraj povsod na množici E{8 + l/m). Res! Ker je kB(s,u) = 0 skoraj za vse (s,u) E E(l/m) in kc(u,t) = 0 skoraj za vse (u,t) E E(8), je kBc(s,t) = JEkB(s,u)kc(u,t) d[i(u) = 0 skoraj za vse (s, t) E E{8 + l/m). Podobno pokažemo, da je jedro kAc integralskega operatorja AC enako 0 skoraj povsod na množici E{8). Vzemimo sedaj poljuben produkt, ki je sestavljen iz operatorjev A in 5, in ga začnimo množiti. Ce smo že fc-krat pomnožili z operatorjem 5, je jedro dobljenega produkta enako 0 skoraj povsod na Eik/m) in to ne glede na to, kolikokrat smo množili z operatorjem A. To pa pomeni, da je jedro produkta enako 0 skoraj povsod na E x E, brž ko je več kot m faktorjev enakih B. Dokaz leme je tako končan. ? 2. Volterrovi integralski operatorji 23 Dokaz izreka 2.7. Naj veljajo oznake iz leme. Z upoštevanjem lastnosti (l)-(3) ugotovimo, da za vsak n > m velja enakost če uporabimo očitno oceno n < n"\ ki velia za vse 0 < i < m, dobimo neenakost (ra \ l/n Že~ii5ir) i=0 od koder sledi r(K) = lini ||-K"n|| 'n < e . n—>oo Torej je r(X) = 0, kar je bilo treba dokazati. ? Naslednja primera dokazujeta, da izrek 2.7 ne velja, če norma prostora L ni urejenostno zvezna. Primer 2.9 Naj bo S operator obratnega premika na Banachovem funkcijskem prostoru /°°, to je operator, definiran s predpisom S(Xi, X2, Xs, ¦ ¦ •) = (X2, Xs, X4, . . .) . Brž se prepričamo, da je S Volterrov integralski operator na /°° in da je |S'|| = H^H = r(S) = 1. Primer 2.10 Naj bo K integralski operator na Banachovem funkcijskem prostoru L°°[0, f], definiran s predpisom 1 s s o Lahko je videti, da je K Volterrov integralski operator na L°°[0,1] z dvakratno normo |-K"| = f • Po drugi strani je za vsak a G (0, 00) funkcija fa(t) = ta lastna funkcija operatorja K, ki ustreza lastni vrednosti l/(f + a). Od tod sledi, da je r(K) > 1. Ker je r(K) < \\K\\ < ||i^| = 1, imamo končno r(K) = \\K\\ = l. 1 Is (K j) [s) = - f(t) at , s G (0, fj s o 2. Volterrovi integralski operatorji 24 2.4 Volterrov integralski operator V V tem razdelku bomo definirali operator, ki ga bomo podrobneje obravnavali v nadaljevanju tega poglavja. Naj bo (p : E —> [0,1] taka funkcija, da je množica Et = {s E E : (f)(s) < 0(t)} merljiva za vsak t E E. Trditev 2.11 Funkcija (p je merljiva. Dokaz. Dovolj je dokazati, daje za vsak c G [0,1] množica {s G E : 0(s) < c} merljiva. Smemo predpostaviti, da je ta množica neprazna. Postavimo d = sup{0(s) : (f)(s) < c} in izberimo tako zaporedje {sn} elementov iz E, da zaporedje {4>(sn)} narašča proti d. (Ce je (f)(s) = d za neki element s E E, potem definiramo sn = s.) Potem je množica {s E E : (f)(s) < c} = UnESn merljiva. ? Nadalje predpostavimo, da za vsak t E E velja fi({s E E : (f)(s) = (f)(t)}) = 0 . (2-1) Naj bosta u E L in v E L' poljubni skoraj povsod pozitivni funkciji. (Po trditvi 1.14 taki funkciji obstajata.) Naj bo integralski operator V na L podan s predpisom (Vf)(t) = u(t) / f(s)v(s)d/i(s)=u(t) / f(s) v (s) d/i(s) , kjer je / G L in t E E. Ker je \\V\\ = \\v\\' \\u\\, operator V pripada razredu Volterrovih integralskih operatorjev in je posplošitev v prvem razdelku omenjenega Volterrovega operatorja na Lp[0,1] (1 < p < oo). Operator V je hkrati posplošitev operatorja iz [43], ki je definiran na prostoru Lp(E,fi) (1 < p < oo). Pokažimo, da se pri študiju invariantnih podprostorov operatorja V lahko omejimo na primer, ko je fi(E) = 1 in u = v = eELD L', kjer smo z e označili merljivo funkcijo, identično enako 1. 2. Volterrovi integralski operatorji 25 Ker je c = fEuvd[i = fv(u) pozitivno realno število, lahko funkcijo u zamenjamo s funkcijo (l/c)u. Tedaj velja fEuvd[i = 1. Ce sedaj z m označimo pozitivno mero na S, definirano s predpisom m(A) = fAuvd[i, potem je m(E) = 1, torej je m verjetnostna mera. Očitno je m ekvivalentana z /i, to pomeni, da je m(A) = 0 natanko tedaj, ko je fi(A) = 0. Od tod zaključimo, da je M(E,m) = M(E,fi). Banachov funkcijski prostor Lm C M(E,m) definirajmo tako, da je preslikava R : L —> Lm, definirana s predpisom R(f) = f/u, izometrični izomor-fizem Banachovih mrež. Potem je operator Vm = RVR~l na Lm definiran s predpisom (Vmf)(t) = / f(s)dm(s) Et za vsak / G Lm in skoraj vsak t E E. Naj bo L'm pridruženi prostor prostoru Lm (glede na mero m). Brez težav pokažemo, da je preslikava L' —> L'm, definirana s predpisom g —> g/v, izometrični izomorfizem Banachovih mrež. Očitno je e G Lm n L'm, torej je L°°(E,m) podprostor prostorov Lm in L'm. Potemtakem lahko namesto operatorja V študiramo operator Vm. S tem smo pokazali, da smemo predpostaviti, da je fi(E) = 1 in u = v = eELD L'. Ker za vsak f E L velja /el/l^ = '-Pe(\f\) < CO; za vsak g E L' pa JE\g\d[i = '-P\g\(e) < 00, imamo LUL'C L1(L',/i). To dejstvo bomo večkrat uporabili. Za vsak a E [0,1] označimo z B(a) množico vseh funkcij f E L, za katere je f{t) = 0 skoraj za vse t E E z lastnostjo (p{t) < a. Očitno je B(a) pas, ki je invarianten za operator V. V nadaljevanju tega poglavja bomo dokazali nekaj rezultatov naslednjega tipa: podprostori B(a), a E [0,1], so edini med invariantnimi podprostori operatorja V, ki imajo predpisano lastnost. Prvi tak rezultat je naslednji Izrek 2.12 Veriga podprostorov {B(a) : a E [0,1]} je enaka družini vseh pasov, invariantnih za operator V. Dokaz. Naj bo B poljuben netrivialen pas, invarianten za operator V. Označimo M = {b E [0,1) : B C L>(&)} in a = sup M. Ker je C]beMB(b) = B(a), je 2. Volterrovi integralski operatorji 26 B C B(a). Potem za vsak n G IN obstaja taka funkcija fn G 5, da je fi({s G L" : (f)(s) < a + 1/n, /n(s) t^ 0}) > 0 . Od tod sledi eksistenca takega števila an > 0, da ima množica Cn = {s E E : (f)(s) < a + 1/n, |/n(s)| > o;ra} pozitivno mero. Ker je \fn\ > Q!raXcn> je Xc„ G 5. Ce je (p{t) > a + 1/n, potem je (Vxcn)(t) = l^(Cn) in zato (Vxcn)XAn = l^(Cn)XAni kjer je Ara = {t G L" : 0(t) > a + 1/ra}. Ker je V^xc™ G B in ker je B ideal, je xa„ G B. Ce je A = {t G E : (p{t) > a}, potem je xa L B, saj je xa = suPraXAn in je B pas. Torej je B(a) C 5 in končno i? = B(a). ? V tem razdelku o operatorju V zabeležimo še nekaj pomembnih dejstev. Za vsak t E E definirajmo ip(t) = fi(Et) in Ft = {s E E : V'(s) ^ V'W}- Od sedaj naprej predpostavimo, da velja {Ft : t E E} C S. Iz dokaza naslednje trditve bo razvidno, da je ta pogoj izpolnjen, če je mera \i polna. Trditev 2.13 Za vsak t E E velja Et C Ft in [i(Ft — Et) = 0, torej je fi(Ft) = r(p{t). Funkcija ip je merljiva in izpolnjuje pogoj n({s E E , V'(s) = V'WI) = 0 (2-2) za vsak t E E. Dokaz. Ker iz (f)(s) < (pit) očitno sledi r(p(s) < ip(t), je Et C Ft. Izberimo t E E in postavimo a = sup{0(s) : V'(s) = V'WI- Potem izberimo tako zaporedje {sn} iM elementov množice E, da zaporedje {(p(sn)} im narašča proti a ter je (p(sn) > (t) in r(p{sn) = rtp{t) za vse n. (Ce je (p(s) = a in V'(s) = V'(^) Pri nekem s E E, definirajmo sn = s.) Očitno je Et C i?Sn in fi(Et) = fi(ESn), torej je n(ESn — Et) = 0 za vsak n E IN. Od tod sledi, da je fi(U^=lESn — Et) = 0. Za dokaz prve trditve je potemtakem dovolj videti, da je Ft C \JjL=lESn. Vzemimo 2. Volterrovi integralski operatorji 27 poljuben u ^ U^=lESn. Potem je (b(u) > (b(sn) za vse n in zato ip(u) > ip(t) (glej definicijo števila a), torej u ^ Ft, kar smo želeli pokazati. Funkcija ip je merljiva po trditvi 2.11. Dokažimo še enakost (2.2). Do sedaj smo dejansko dokazali, da je n({s G E : rtp(s) = rtpit), (f)(s) > 6} ter izberimo taki zaporedji {sn} in {tn} elementov iz množice E, da je (f)(sn) f c in 0(tra) J, (i. Potem z upoštevanjem enakosti (2.1) dobimo c = lim ll(Es ) = u({t G L" : 0(t) < c}) = u({L G L" : (bit) < 61) in a}. Potem je ((b — a)nXA V xa =---------;------- , nI kjer je število a krajši zapis za funkcijo ae. 2. Volterrovi integralski operatorji 28 Dokaz. Skoraj za vsak t G E velja (ynXA)(t) = / d/i(ti) / d/ifo) ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ / d/i(tn) = = / d/i(ti)... d/i(tn) . (2-3) a<(/>(in)<(/>(in_i)<...<(/>(ii)<(/>(i) Ker je enakost, ki jo dokazujemo, očitno izpolnjena v primeru, ko je (p{t) < a, vzemimo, da je (p{t) > a. Naj bo c poljubna permutacija števil l,2,3,...,n. Vrednost integrala / d/i(ti)... d/i(tn) a<(L(J(n))<(L(J(n_;L))<...<(L(J (i))<(L) očitno ni odvisna od izbire permutacije a, vsota vseh takih integralov po vseh permutacijah pa je enaka Od/i(s) = (fi({s G E : a < 4>(s) < 0(t)}))ra = (^(t) — a)n , kjer smo uporabili (2.1) in trditev 2.14. Od tod sledi željena enakost. ? Trditev 2.16 Ce je a G [0,1] in A = {s G E : (f)(s) > a}, potem je lini 11(0 — a)raY JI 'n = 1 — a . n —>oo Dokaz. Ker je enakost očitno izpolnjena, če je a = 1, vzemimo, da je a < 1. Tedaj ima po trditvi 2.14 za vsak c G [a, 1) množica C = {s 6 L : 0(s) > c} pozitivno mero. Ker je (c — a) ¦ xc < (0 — o) • X^4 ^ (1 — a) ' e> imamo c — a < lim inf || (0 — a)rax,41| < lini sup || (0 — a)rj'xJ41| 'n < 1 — a , n >oo n—>00 od koder sledi željena enakost. ? Trditev 2.17 Za vsak n G IN in za vsak f G L velja enakost (n — 1)! (Vnf)(t) = / ((p(t) — (p(s))n~ f(s)d/i(s) skoraj za vse t E E. 2. Volterrovi integralski operatorji 29 Dokaz. Očitno smemo predpostaviti, da je / nenegativna funkcija. Za vsak s E E definiramo množico A(s) = {u E E : 4>{u) > (.$)<(L) ( s) <(Ln_i)<...<(Li)<(L) ki velja skoraj za vse t E E. Ce upoštevamo enakost (2.3), imamo (Vnf)(t) = / f(s) (Vn~ (xA(s)))(t) d/i(s) . Uporabimo še trditev 2.15, pa je dokaz pri kraju. ? Trditev 2.18 Naj bo a E [0,1], n E IN in f E L funkcija, za katero je f(t) = 0 skoraj za vse t E E z lastnostjo (p{t) < a. Potem je (n — 1)! HU"-/!! < (1 — a)n~ llell'Hellll/11 . Dokaz. Po trditvi 2.17 imamo (n — 1)! iV^/Ki) = < ((p(t) — (p(s))n f(s)d/i(s) Et < (1 — a)n~ ¦ / |/(s)| d/i(s) < (1 — a)n~ ||e||' Et skoraj za vse t E E. Od tod sledi rezultat. ? Ce v trditvi 2.15 in 2.18 postavimo a = 0, dobimo naslednjo posledico. Posledica 2.19 Za vsak n E IN velja Un\\ llT,„„ IlelNIell < || V || < r^! || e || (n — 1)! Torej je operator V kvazinilpotenten, vendar ni nilpotenten. 2. Volterrovi integralski operatorji 30 2.5 Lokalni kvazispektralni radij in kvazispektralno maksimalni podprostori Članek [43] se ukvarja z invariantnimi podprostori kvazinilpotentnih operatorjev, ki niso nilpotentni. Ker po posledici 2.19 med take operatorje spada tudi naš operator V, v tem razdelku povzemamo osnovne definicije in rezultate iz [43], ki jih bomo kasneje uporabili. Naj bo X netrivialen Banachov prostor in naj bo T omejen operator na X, ki ni nilpotenten. Lokalni kvazispektralni radij rx(x) operatorja T pri vektorju x G X je definiran s predpisom / 11 rjifi 11 \ J- / fi tt(x) = lini sup I Tn 11 Trditev 2.20 (a) Za vsak x G X velja 0 < tt(x) < 1. (b) Ce omejen operator A na X komutira s T, potem je rx(Ax) < rx(x). (c) Za vse x, y G X in A G C velja tt(Ax) < t't{x) in t't{x + y) < max{rT(x), rr(y)} . Dokaz. Točka (a) sledi iz neenakosti 11 rT1Ti 11 0 < ,,m ,, < \\x\\ , — Kp« — " " ki velja za vsak x E X in vsak n G IN. Naj bo A omejen operator na X, ki komutira s T. Potem velja ||TraAx|| < \\A\\ \\Tnx\\ za vsak x G X in za vsak n G IN. Zato je rxiAx) < rxix) lini \\A\\ >n < rxix) , n—>oo kar trdi točka (b). 2. Volterrovi integralski operatorji 31 Ce v (b) postavimo A = XI, dobimo prvo neenakost iz točke (c). Za dokaz druge neenakosti vzemimo poljuben pozitiven e in izberimo dovolj veliko število no G IN, da velja llTra:rll llTra,y|| < (rr(x) + t) n in , , < (rr(v) + e)"- 11 T"1«, II- T za vse n > rio. Potem imamo l/ra II-t 'ž/11 Tr' \\Tnx\\ + ||Tny|| rr\X + y) < limsup --------,, ,,-------- < maxl rr\x), rriv) r + e * — M r 11 — ^ * ^ \o / j n—>CO Ker je v tej oceni e poljubno pozitivno število, je dokaz trditve končan. ? Naj bo Y poljuben zaprt podprostor v X, invarianten za operator T. S Tn\y označimo zožitev operatorja Tn na podprostor Y in definirajmo M ,j,-1| rT\X) = limsup (I I rnn I 11 \ 1 /n \\1 \y\\ \ 11 TU 11 Trditev 2.21 Velja tt(Y) = sup{rr(y) : y G Y}. Dokaz. Označimo a = sup{ry(y) : y G Y}. Ker za vsak y G Y velja neenakost ||Tray|| < ||Tra|y|| \\y\\, je a < tt(Y). Za dokaz nasprotne neenakosti izberimo poljuben pozitiven e in definirajmo zaporedje {Tn} im operatorjev na Y s predpisom Tn =-----------;rr T n\y ¦ (a + t)n \\Tn\\ Ker je sup{||Tray|| : n G IN} < oo za vsak y G Y, izrek o enakomerni omejenosti zagotavlja obstoj konstante M, za katero velja ||Tn|| < M za vse n G IN. Od tod sledi neenakost (\\rjifi i m \ l/n ,,m ,, < M 'n (a + e) iz katere sledi rx(Y) < a + e. Ker je e poljuben, imamo končno rx(Y) = a. ? n 2. Volterrovi integralski operatorji 32 Naj bo Y zaprt podprostor prostora X, ki je invarianten za T. Ce za poljuben zaprt podprostor Z, ki je tudi invarianten za T, velja implikacija t't{Z) < ry(y) =^ Z CY , potem je Y kvazispektralno maksimalen podprostor operatorja T. Za vsak a G [0,1] definirajmo Xt{cl) = {x E X : Tt(x) < a} . Trditev 2.22 (a) Mnoˇzica Xt(cl) je (ne nujno zaprt) podprostor v X, ki je invarianten za vse operatorje, ki komutirajo s T. (b) Ce je podprostor Xt{cl) zaprt, potem je kvazispektralno maksimalen in zanj velja rr(Xr(a)) < a. Dokaz. Točko (a) hitro dokažemo s pomočjo trditve 2.20 (b) in (c). Tudi dokaz trditve (b) poteka brez težav. Po trditvi 2.21 imamo r^(Xr(a)) = sup{rr(x) : x G X^(a)} < a . Vzemimo za T invarianten zaprt podprostor Z prostora X, za katerega velja t't{Z) < rr(Xy(a)). Ker je t't{Z) < a, je po trditvi 2.21 rx(z) < a za vsak z E Z. Torej je Z C X^(a), kar je bilo treba dokazati. ? 2.6 Kvazispektralno maksimalni podprostori operatorja V Najprej pri danem a E [0,1] izračunajmo število ry(B(a)). Izrek 2.23 Za vsak a E [0,1] velja rv(B(a)) = 1 — a. 2. Volterrovi integralski operatorji 33 Dokaz. Z uporabo trditve 2.18 in posledice 2.19 dobimo neenakost II V™/II nil — a)n~l llell2 HcINI/ll -T,-----------^~ ^ --------------------------------M----------M-------------------------------- , \\Vn\\ - \\(pn\\ ki velja za vsak / G B(a) in vsak n G IN. Ker je lin^^oo ||0n||1'n = 1 (trditev 2.16 v primeru a = 0), je ry(f) < 1 — a za vsak / G B(a), torej je ry(B(a)) < 1 — a po trditvi 2.21. Po drugi strani s pomočjo trditve 2.15 in posledice 2.19 dobimo neenakost \\VnXA\\ . \\i.4>-a)nXA\\ > kjer je A = {s G E : a}. Uporabimo še trditev 2.16, pa imamo ry(xA) > 1 — cl, torej je ry(B(a)) > 1 — a po trditvi 2.21. S tem je izrek dokazan. ? Za osvežitev spomina ponovimo naslednjo definicijo. Za vsak a G [0,1] naj bo Ly(a) = {/ G L : ry(f) < a}. Izrek 2.24 Za vsak a G [0,1] velja Ly(a) = Ker V3 + Bil — a). Dokaz. Ker je Ly{a) podprostor prostora L, inkluzija Ker V3 + Bil — a) C Ly{a) sledi iz izreka 2.23 in očitnega dejstva KerU3 C Ly(0) C Ly(a). Za dokaz obratne inkluzije izberimo / G Ly(a) in pokažimo, da obstajata taki funkciji u G Ker U3 in v G 5(1 —a), da je / = u-\-v. Ce je a = 1, potem postavimo u = 0 in v = f. Predpostavimo torej, da je a < 1, in označimo g = Vf. Funkcija h, definirana s predpisom g (s) 9\s) h(\) = 7------ dfjL{s) e (bis) X e 4>{s) — A je holomorfna na množici C — [0,1] (glej na primer [49, izrek 10.7]). Najprej bomo dokazali, da h lahko holomorfno razširimo na krog s polmerom 1 — a in s središčem v 0. Dovolj je pokazati, da je pri vsakem e > 0 konvergenčni 2. Volterrovi integralski operatorji 34 polmer R(h, — e) vrste, ki jo dobimo z razvojem funkcije h okoli točke —e, vsaj 1 — a. Za vsak k G IN in za vsak t E E definirajmo g(s) Et (4>(s) + t)k+l Ker je 9\s) Qk\t) =------- dllis) . Et (0(s) + t)k+l 1 ^ (n + k\ (4>{t) — 4>{s))n ^ n + k n~~o k (0(s) + e)fc+1 n^o k ((j)(t) + e)^+fc+! za vsak s E Et z lastnostjo 0(s) < 0(t), s pomočjo Lebesgueovega izreka o dominantni konvergenci dobimo v^ (n-\-k\ n\ (Vn+1g)(t) Qk(t) = > , , ,-------;r , (2.4) ^o k ((t) + e)^+fc+! kjer smo uporabili tudi trditev 2.17. Zaradi neenačbe \(Vn+1g)(t)| < ||Vrra+1/|| ||e||' in zaradi desne neenakosti v posledici 2.19 imamo nipiK^iipii n \/nJr ^ f 11 n\ \{V n+ g)(t)\ <---------——tt-------- . (2-5) Ker je ?v(/) < a, obstaja tako konstanta C > 1, odvisna od e in neodvisna od t in fc, da za vsak n E IN velja —-----rrr < C (a + e) . (2.6) Ce postavimo M := C (HeH')2||e|| in upoštevamo neenakosti (2.5) in (2.6) v enakosti (2.4), ugotovimo, da za vsak k E IN velja neenakost ^ (n + k\ {a + e)ra \Qh\t)\ < M > , , ,,--------; ¦ ^o ^ (^(*) + e)ra+fc+1 Zato za vsak fc G IN in za vsak t E E z lastnostjo (p{t) > a velja M \Qk(t)\ < , ,-------r; . (2.7) (0(t) - a)fc+1 Po trditvi 2.14 lahko izberemo tako zaporedje {tm}mGf] elementov iz E, da je a < (f)(tm) | 1. S pomočjo Lebesgueovega izreka o dominantni konvergenci in z uporabo ocene (2.7) končno dobimo neenakost \hSk>(—e)| M = lini \gk\tm)\ < /d m^oo | ' — Q _ (2)^+1 _ 2. Volterrovi integralski operatorji 35 ki velja za vsak k G IN. Korenski kritej (za določanje konvergenčnega polmera potenčne vrste) nam potem zagotavlja, da je R(h, — e) > 1 — a. Torej funkcijo h lahko holomorfno razširimo na krog s središčem v 0 in s polmerom l — a. Dobljeno razširitev ponovno označimo s h. Izberimo sedaj t G E z lastnostjo 0 < (p{t) < 1 — a in z 7 označimo krožno pot s središčem v 0 in s polmerom (pit), ki obkroži 0 v pozitivni smeri. Po Cauchyjevem izreku je / f f g (s) 0 = \(p\t) — \)h{\) d\= WV') — a) d\------ dfj,{s) . (2.8) ~{ ^f—{4>(t)} e (p\S) — A Pokažimo, da smemo uporabiti Fubinijev izrek. Krožnico 7 najprej parametrizira-jmo na običajen način A = (pit) exp(ix), x G (—7r, tt). Potem je integral končen, ker je in je f71 ( f I0W ~ (f)(t)eix\ / 11/ ----- ¦ lOvVldf^is) — 7r E \(pySj — (p\tjG J \(f>(t) - 0(t)eix\ ^ f J^L, Irci < f -----, ¦ 1 < |Ljlnf' ^ \d>(s) — d>(t)etx\ \x\, tt < \x\ < 7T 2 7r/2 I ^v» I --------dx < —ty/2 j sm x\ Po uporabi Fubinijevega izreka v (2.8) torej dobimo f f (pif) — A / g(s) d/i(s) / 7------ d\ = 0 . (s)^(t) j (p(s) — A Upoštevajmo, da je (npr. po izreku o residuih) 1 f (f)(t) — A f 0, 0(s) > 0(t) 27TZ 7 0(s) — A {x) = x za x G [0,1]. V dokazu tega rezultata bomo potrebovali naslednjo lemo. Lema 2.27 Naj bo \i Lebesgueova mera na E = [0,1] in 4>{x) = x za x G [0,1]. Za funkcijo f G L definirajmo ctf = sup{a G [0,1] : / G B(a)} in s Sf označimo ciklični podprostor vektorja f glede na operator V, to je najmanjši (ne nujno zaprt) podprostor, ki vsebuje množico {Vnf : n G IN}. Potem je B(df) C °(Sf). Dokaz. Ker je B(cif) L'-zaprt podprostor, je dovolj dokazati inkluzijo Sj C (B(af))°. Vzemimo g G S**. Potem za vse n G IN velja i fg(Vnf)= (Vnf)(t) g (t) dt = 0 . o Dokažimo, da za funkcijo 7 : [0,1] —> IR, definirano s predpisom 7(1/) = Ju f(t ~ u) 9 (t) dt, velja /0 eZU/y(u) du = 0 za vse z G C. Z razvojem funkcije ezu v potenčno vrsto dobimo l l / °° ~ri—\ \ \ j eZUry(u) du = /2-------^™" du / f(t — u)g(f) dt . (2.9) o o \~± (n — f)! u Ker z uporabo Fubinijevega izreka za nenegativne funkcije dobimo l / °° |z|ri— \ /1 / 53 7---------VrlMlra_ du j \f(t — u)\\g(t)\ dt < «—1 v^ — ) 2. Volterrovi integralski operatorji 38 — / Ifi'WI dt / e'zu'\f(t — u)\ du < e'z' / \g(t)\ dt / |/(m)| du < oo O O 0 0 1 ft \ \ /1 /1 |(/(t)| (it / e'2:M'|/(t — «)| (a/))°. Dokaz je tako končan. ? Trditev 2.28 Naj bo \i Lebesgueova mera na E = [0,1] in 4>{x) = x za x G [0,1]. Potem so podprostori B{a), a G [0,1], edini L'-zaprti podprostori prostora L, ki so invariantni za operator V. 2. Volterrovi integralski operatorji gg Dokaz. Naj bo S netrivialen L'-zaprt podprostor, invarianten za operator V. Naj bo a = inf{a/ : / G S}, kjer je (kot v lemi 2.27) a/ = sup{a G [0,1] : / G 5(a)}. Zaradi S ^ {0} imamo a < 1. Ker je / G B(ctf) C 5(a) za vse f E S, je S C B(a). Po drugi strani s pomočjo leme 2.27 spoznamo, da je L>(a + 1/ra) C S za vsak n G IN, ki ustreza pogoju a + 1/n < 1. Res! Za vsak tak n obstaja taka funkcija / G S, da je a/ < a + 1/n in zato po lemi 2.27 velja 5(a H—) C B(af) C (S*f) C S . Zadnja inkluzija je posledica dejstva, da je °(Sf) najmanjši L'-zaprt podprostor prostora L, invarianten za V. Za dokaz inkluzije B(a) C S vzemimo poljubno funkcijo / G B(a). Z uporabo Lebesgueovega izreka o dominantni konvergenci ugotovimo, da zaporedje {f X(a+i/n,i]} F||\| funkcij iz S konvergira proti funkciji / v topologiji a (L, L'). Ker je podprostor S zaprt v tej topologiji, dobimo f L S in tako B(a) C S. Dokazali smo torej želeno enakost S = B(a). ? Iz primera 2.2 vidimo, da trditev 2.28 ne velja, če ”L'-zaprt” nadomestimo z ”zaprt”. Na c-algebri B vpeljimo ekvivalenčno relacijo: množici A, B G B sta ekvivalentni, če ima simetrična razlika AAB = (A \ B) U (B \ A) mero 0. Ekvivaletno je zahtevati, da skoraj povsod velja xa = Xb- Pripadajočo kvocientno projekcijo označimo s p. Naj bo ) = B. Potem je operator V injektiven, mreža vseh L'-zaprtih podprostorov prostora L, ki so invariantni za V, pa je enaka verigi podprostorov {B(a) : a E [0,1]}. Dokaz. Ker je B((f>) = B, je / = focp skoraj povsod. Brez težav se prepričamo, da je množica L = {f : f E L} Banachov funkcijski prostor na merljivem prostoru ([0,l],E,m), če normo definiramo s predpisom ||/|| = ||/||. Prav tako je izometrični operator R : f —> / Rieszov izomorfizem prostorov L in L, ker sta R in i?-1 pozitivna operatorja (trditev 1.7). Torej sta L in L izomorfni Banachovi mreži. Na podoben način ugotovimo, da je operator, definiran s predpisom g —> g, izometrični Rieszov izomorfizem med prostoroma L' in (L)'. Ce definiramo operator V na L s predpisom (Vf)(x) = f$ f(y) dy, potem velja RV = VR. Res! Za vsako funkcijo f E L in skoraj za vsak t E E velja zato je res R(Vf) = Vf'. Z uporabo trditve 2.28 za operator V sedaj ugotovimo, da je vsak L'-zaprt podprostor prostora L, invarianten za operator V, oblike (Vf)(t) = / f(s)d/i(s)= / f(y)dy = (Vf)((f)(t)) d>(s)(t) o B(d) = {f E L : f = 0 s.p. na [0, a]} pri nekem a E [0,1]. Ker je B(a) = R(B(a)), je drugi del trditve dokazan. Prvi del sledi iz dejstva, daje operator V injektiven (glej npr. [49, izrek 7.11]). ? 2. Volterrovi integralski operatorji 41 Oglejmo si sedaj splošni primer, ko ne velja nujno enakost B((f>) = B. Preseke množic L, L' in B(a) (a G [0,1]) z Rieszovim prostorom M(E,B((f)),[i) zazna-mujmo zaporedoma z L^, (L') 3/2. Prav tako pridruženi prostor (L^)' ni izometrično izomorfen prostoru (L')), torej velja EV f = V f za vsak f L L. ? Dokažimo sedaj glavni rezultat tega razdelka. Izrek 2.32 Naj bo S L'-zaprt podprostor prostora L. Potem je S invarianten za V, če in samo če obstaja tak a L [0,1], da je B^a) CSC B(a) +KerE. Velja tudi Ker V = KerE. Dokaz. Ce je B^(a) CSC B(a) + KerE, potem je V (S) C V(B(a)) C B(f>(a) C S po lemi 2.31, torej je S invarianten podprostor operatorja V. Za dokaz nasprotne implikacije najprej pokažimo, daje S^ = SdL^ iZ-zaprt podprostor prostora L^. Vzemimo poljubno posplošeno zaporedje funkcij {fT} iz S^, ki konvergira proti funkciji / L L^ v topologiji {a)) = B{a) + Kery, je dokaz izreka končan. Vzemimo funkcijo f L L z lastnostjo V f L B^(a) in postavimo g = Jxa, kjer je A = {t L E : (p{t) < a}. Lahko se je prepričati, da je g L Ker V in (f — g) L B(a), torej velja V~l{B(f){a)) C B{a) + Ker TA Ker je obratna inkluzija očitna, je s tem dokaz izreka sklenjen. ? 2. Volterrovi integralski operatorji 43 Ce je norma prostora L urejenostno zvezna, potem je po izreku 1.8 pridružen prostor L' enaka dualu L* prostora L. Zato je tedaj podprostor L'-zaprt, če in samo če je zaprt (v normni topologiji). Torej naslednji posledici neposredno sledita iz zadnjega izreka. Posledica 2.33 Ce je norma prostora L urejenostno zvezna in ˇce je S zaprt podprostor prostora L, potem je S invarianten za V natanko tedaj, ko obstaja tak a G [0,1], da je B^(a) CSC B(a) + KerE. Posledica 2.34 Naj bo norma prostora L urejenostno zvezna in naj bo B((f>) = B. Potem so podprostori B(a), a G [0,1], edini zaprti podprostori prostora L, ki so invariantni za operator V. Očitno zadnja posledica vključuje primer L = Lp(E,fi) (1 < p < 00) in s tem tudi izrek 2.1. Ce je L = L°°(E,n), potem je L' = L1(E,ij) in zato je šibka topologija cr(L, L') enaka šibki* topologiji na L. Tako očitno velja naslednja Posledica 2.35 Naj bo L = L°°(E,ii) in B((f>) = B. Potem so podprostori B(a), a G [0,1], edini ˇsibko* zaprti podprostori prostora L, ki so invariantni za operator V. Razdelek zaključimo s karakterizacijo pogoja B((f>) = B. Trditev 2.36 Naslednje trditve so ekvivalentne: (1) B((f>) = B; (2) operator V je injektiven; (3) L^ = L. Dokaz. Implikacija (1) =^ (2) velja po trditvi 2.29. Zaradi enakosti KerE = Ker V velja tudi implikacija (2) =^> (3). Za dokaz implikacije (3) =^ (1) predpostavimo, da je B((f>) 7^ B. Potem obstaja taka množica A G B, za katero velja A ^ B((f>) in n(A) > 0. Ker je e G L in xa ^ e, imamo xa €= L. Po drugi strani Xa ^ L^, torej je L^ ^ L. ? 3. Spektralni radij pozitivnih operatorjev 44 3. Spektralni radij pozitivnih operatorjev 3.1 Motivacija Naj bo /, g G L+, g ^ 0. Definirajmo množici A(/, s0 = {c ^ 0 : / < cg} . Ker je L arhimedski prostor, je neprazen interval A(f,g) omejen. Zato je definirano realno število 8(f,g) = sup A(/,g). Dokažimo, da je supremum dosežen. Ce označimo 8 = 8(f,g), potem za vsak n G IN velja / > (8 — l/n) g. Torej za vsak n G IN velja n(8g — /) < r(T). O spektralnem radiju potenčno kompaktnega pozitivnega operatorja na L 3. Spektralni radij pozitivnih operatorjev 46 lahko povemo več kot trditev 3.1 (a). Velja namreč slavni Krein-Rutmanov izrek (glej npr. [25] ali [58]). Izrek 3.2 Naj bo T pozitiven potenčno kompakten operator na L s spektralnim radijem r(T) > 0. Potem ima lastna vrednost r(T) pozitiven lastni vektor, torej obstaja tak neničeln vektor f G L+, da je T f = r(T)f. Zabeležimo še uporabno varianto Krein-Rutmanovega izreka za adjungirani operator pozitivnega operatorja (glej [25, izrek 5]). Funkcional p G L* je strogo pozitiven, kadar je 0 za vsak neničeln vektor / G L+. Trditev 3.3 Naj bo T pozitiven a-urejenostno zvezen potenčno kompakten operator na L s spektralnim radijem r(T) > 0. Potem obstaja neničeln a-urejenostno zvezen funkcional p G (L*)+, za katerega velja T*p = r(T) p. Ce je operator T poleg tega pasovno ireducibilen, lahko za funkcional p zahtevamo še, da je strogo pozitiven. V članku [25] je dokazana tudi naslednja posplošitev znamenitega Jentzsch-Perronovega izreka. Izrek 3.4 Naj bo T pozitiven a-urejenostno zvezen potenčno kompakten operator na L, ki je pasovno ireducibilen. Potem je r(T) > 0 in r(T) je lastna vrednost operatorja T. Pripadajoči lastni podprostor je enorazsežen in generiran s šibko enoto prostora L. Dokaz naslednje trditve bo bralec našel npr. v [33, izrek 5.22]. Trditev 3.5 (a) Za vsak f G L je s predpisom Ff(ip) = (L*n)*n, definirana s predpisom 9(f) = Ff, je Rieszov homomorfizem. 3. Spektralni radij pozitivnih operatorjev 47 Norma Banachove mreže L je šibko Fatoujeva, kadar obstaja taka konstanta k > 1, da iz 0 < /r f / v L sledi ||/|| < k supr ||/r||- Ce je k = 1, je norma Fatoujeva. Primer 3.6 Norma Banachove mreže Lp(L",/i) (1 < p < 00) je Fatoujeva. S predpisom \\x\\ = ll^lloo + limsup \xn\ , x E l na prostoru /°° definiramo normo, ki ni Fatoujeva, je pa šibko Fatoujeva. Prostor L*n loči točke prostora L, kadar za vsak neničeln / G L obstaja

(L*n)*n Rieszov homomorfizem, definiran s predpisom (0(f))(f) = 9(L) izomorfizem Banachovih mrež, torej L lahko identificiramo z neko Banachovo podmrežo mreže (L*n)*n. Dokaz. Ker je ll^(/)ll = suP{'-P(f) '¦ 0 < p E L*n, \\ip\\ < 1} , je prvi del trditve z drugimi oznakami napisan izrek 107.7 iz knjige [58] (glej tudi enakost (2) na str. 393). ? Trditev 3.8 Naj bo T pozitiven urejenostno zvezen operator na L. Potem je prostor L*n invarianten za adjungirani operator T*. Zožitev operatorja T* na L*n označimo s T'. 3. Spektralni radij pozitivnih operatorjev 48 Dokaz. Naj bo p G L*n in fT J, 0 v L. Ker je T pozitiven urejenostno zvezen operator, je potem TfT J, 0 v L. Ce upoštevamo še, da je p urejenostno zvezen funkcional, dobimo inf \(T*p)(fT)\ = inf \p(T fT)\ = 0 . Torej je T*p urejenostno zvezen funkcional. ? Trditev 3.9 Naj bo norma Dedekindovo polne Banachove mreže L šibko Fa-toujeva, prostor L*n pa naj loči točke prostora L. Za poljuben pozitiven urejenostno zvezen operator T na L velja r(T') = r(T). Dokaz. Po izreku 3.7 lahko L identificiramo z Banachovo podmrežo Banachove mreže (L*n)*n. Zato veljajo neenakosti r(l ) > r(l ) > r{{± ) ) > r{± ) , od koder sledi r(T') = r(T). ? Trditev 3.10 Naj bo f šibka enota v L in naj bo I ideal, ki vsebuje glavni ideal If. Potem je pozitiven operator 7 : L*n —> I*n, definiran s predpisom 'j('-p) = f\i, izometrični izomorfizem Banachovih mrež. Dokaz. Naj bo ip\j = 0 pri nekem ip G L*n in naj bo g G L+. Ce za vsak n G IN postavimo gn = inf {g, nf}, potem je gn G / za vsak n in (g — gn) J, 0. Ker je p G L*n, je infra \p(g — gn)\ = 0, torej je moramo dokazati le obratno neenakost \\p\i\\ > IMI- Vzemimo e > 0 in izberimo tak vektor g E L z normo 1, da je |Y?( \\ lY>(sOI ~ L> saJ zaradi urejenostne zveznosti funkcionala p velja infra |<^( (^(sOI ~~ L > IMI ~~ 2e. Ker je e poljubno pozitivno število, je torej ||<^|| < \\p\i\\ in dokaz je končan. ? 3.3 Collatz-Wielandtovi oceni V tem razdelku se ukvarjamo z neenakostjo (3.1). Najprej se posvetimo levi neenakosti. Izrek 3.11 Naj bo T pozitiven operator na Banachovi mreži L in j E L+ poljuben neničeln element. Potem velja neenakost ^(Tf, f) < r(T) ¦ Predpostavimo še, daje T a-urejenostno zvezen potenčno kompakten operator, ki je pasovno ireducibilen. Potem v neenakosti velja enakost natanko tedaj, ko je f pozitivni lastni vektor operatorja T, ki ustreza lastni vrednosti r(T). Dokaz. Ce označimo 8 = 8(Tf,f), potem iz neenakosti Tf > 8f dobimo Tnf > 8nf za vsak n E IN. Zato velja neenakost $n||/|| < ll^1"-/!! ^ \\Tn\\ \\f\\, 3. Spektralni radij pozitivnih operatorjev 50 iz katere dobimo 6 < ||Tn||1'n. Ker je r{T) = lin^^oo ||Tn||1'n, imamo tako 8 < r(T). Za dokaz druge trditve predpostavimo, da je S(Tf, f) = r(T), torej je Tf — r(T)f > 0. Po izreku 3.4 je r(T) > 0, zato po trditvi 3.3 obstaja tak strogo pozitiven funkcional ip E L*, da je T*ip = r(T)ip. Ker je 0} Banachova mreža (natančneje AM-prostor) v normi, definirani s predpisom || /)• Dokažimo, daje / invarianten za operator T. Zaradi linearnosti je dovolj dokazati, da je Tg E I za vsak pozitiven vektor g E I. Ker je g < ||<7||o/ in Tf < af, je Tg < ličilo?1/ ^ "'llfi'llo/) torej je Tg E I. Iz zadnje neenakosti tudi sledi ličilo ^ ^llfi'llo- Ce s To označimo zožitev operatorja T na Banachovo mrežo /, je torej T0 omejen pozitiven operator na / in za njegovo (operatorsko) normo velja ocena ||7o||o < o. To pomeni, da za vsak A > o obstaja resolventa (A — To)-1, ki je pozitiven omejen operator na I. Ker ima T po predpostavki lastnost (p), obstaja A G (c,r(T)), ki pripada resolventni množici operatorja T. Pri tem A je resolventa (A — T|j)-1 omejen operator na zaprtju J ideala 3. Spektralni radij pozitivnih operatorjev 51 I, ki je tudi pozitiven, ker je tak operator (A — To)-1, stožec L+ pa je zaprta podmnožica v L. Po trditvi 3.1 od tod sledi, da je A > r(T|j). Pokažimo, da je r(T|j) = r(T), kar potem vodi v očitno protislovje. Po trditvi 3.10 je preslikava ip —> ip\j izometrični izomorfizem Banachovih mrež L*n in J*, Zato imamo r(T') = r(T*|j*) = t((T\j)*\j*) < r((T|j)*) = r(T\j) < r(T). Ker je po trditvi 3.9 r(T') = r(T), je tako r(T|j) = r(T), kar smo želeli videti. ? S primerom se prepričajmo, da izrek 3.12 ne velja, če operator T ni urejenostno zvezen. Primer 3.13 Naj bo (p Banachova limita na /°° in e = (1,1,1,...) G /°°. Pozitiven operator T na /°° naj bo definiran s predpisom T'/ = (f)(f) e. Ker je ||T|| = 1 in Te = e, je r(T) = 1. Ce je / = (1,1/2,1/3,1/4,...) G /°°, potem je T f = 0 in zato 0 = 0. Denimo, da obstaja tako število c > 0, da je a(Tf,f) = r(T) — c. Po trditvi 3.3 obstaja tak neničeln a-urejenostno zvezen pozitiven funkcional ip G L*, da je T*tp = r(T)ip. Potem imamo cf, je 0.) Ce v neenakosti velja enakost, potem iz (3.2) sledi, da je r(T)f — T f = 0, torej je / lastni vektor operatorja T, ki ustreza lastni vrednosti r(T). ? 3. Spektralni radij pozitivnih operatorjev 53 3.4 Spektralni radij produkta operatorjev V tem razdelku bomo s pomočjo izrekov 3.11, 3.12, 3.14 in 3.16 ocenili spektralni radij produkta pozitivnih operatorjev. S tem bomo posplošili rezultat, ki sta ga v primeru nenegativnih matrik dokazala Johnson in Bru v članku [30]. Izrek 3.17 Naj bodo T1; T2; ..., Tn pozitivni operatorji na Banachovi mreži L, vsi s pozitivnimi spektralnimi radiji. Predpostavimo, da obstajajo taki pozitivni neničelni vektorji f\, f2, ..., fn L L+, da je Ti /j = r(Tj) /j za vse i = 1, 2,..., n. Potem je r(T\T2 • • • Tn) S(fn, fn-l) S(fn-\, fn-2) ' ' ' S(f2, f\) $(fl, fn) < r(T1)r(T2)---r(Tn) Dokaz. Z večkratno uporabo neenakosti / > 8(f,g)g, ki velja za poljubna neničelna vektorja f,g L L+, dobimo (Ti • • • Tn)fn = r(Tn) (Ti • • • Tra_i)/ra > r(Tn) 5(fn, fn-\) (Ti • • • Tra_i)/ra_i > > r{Tn) r(Tra_i) 5(fn, fn-\) S(fn-i, fn-2) (Ti • • • Tn-2) fn-2 > • • • • • • > r(Tn) r(Tra_i) • • • r(T2) S(fn, fn-\) S(fn-i, fn-2) • • • S(f2, /1) P\f\ > > r(Ti) r(T2) • • • r(Tn) 5(fn, fn-\) S(fn-i, fn-2) • • • S(f2, /1) fn) fn ¦ Od tod sledi S ((Ti ¦ ¦ ¦ Tn)fn, fn) > r(Ti) • • • r(Tn) 5(fn, fn-\) • • • S(f2, /1) fn) ¦ Dokaz zaključimo z upoštevanjem izreka 3.11. ? Po pričakovanjih je izrek o zgornji oceni spektralnega radija produkta pozitivnih operatorjev bolj zapleten kot izrek 3.17. 3. Spektralni radij pozitivnih operatorjev 54 Izrek 3.18 Naj bodo T\, T2, ..., Tn taki pozitivni operatorji na L s pozitivnimi spektralnimi radiji, da ima operator T = T\T2 • • • Tn lastnost (p). Naj bodo nadalje fi, f2, . .., fn take šibke enote iz L, da velja Ti fi = r(Tj) fi za vsak i = 1, 2,..., n. Predpostavimo še, da je izpolnjen vsaj eden od naslednjih pogojev: (i) L je Dedekindovo polna mreža s šibko Fatoujevo normo, prostor L*n loči točke prostora L in operator T je urejenostno zvezen; (ii) vsaj eden od vektorjev f\, ..., fn je kvazinotranja točka stožca L+; (iii) T je o -urejenostno zvezen potenčno kompakten operator. Potem velja r(TiT2 • • • Tn) riTl)r(T2)---riTn) < Cr(fn, fn-l) 0~(fn-\, fn-2) ' ' ' ^(/2, /l) c(/l; fn) Dokaz. Očitno je zanimiv samo primer, ko je c(/i+i,/i) < 00 za vse i = 1, 2,..., n, kjer smo definirali fn+i = /i- Tedaj so pri predpostavki (ii) vsi vektorji {/fc}fc=i kvazinotranje točke stožca L+. Potem postopamo podobno kot v dokazu izreka 3.17: večkrat uporabimo neenakost / < cr(f,g)g (ki velja za poljubni šibki enoti /, g G L+ z lastnostjo cr(f,g) < 00) in namesto izreka 3.11 uporabimo zaporedoma izreke 3.12, 3.14 in 3.16. ? Naslednja primera nas bosta prepričala, da v izreku 3.18 ne smemo izpustiti niti pogojev (i), (ii) in (iii) niti predpostavke, da ima operator T lastnost (p). Primer 3.19 Kot v primeru 3.13 naj bo e = (1,1,1,...) in T pozitiven operator na /°°, definiran s predpisom Tf = (f)(f)e, kjer je (p Banachova limita na /°°. Na Banachovi mreži /°° x /°° (opremljeni npr. z normo ||(«,i>)|| = maxdlwlloo, ||i>||oo}) definirajmo pozitivna operatorja T\ in T2 z matrikama \ I T \ . /0 /a t m -J-2 = m t 3. Spektralni radij pozitivnih operatorjev 55 kjer je / identični operator na /°°. Ce je / = (1,1/2,1/3,...), potem je (/, /) lastni vektor operatorjev T\ in T2, ki ustreza lastni vrednosti r(T\) = r(T2) = 1. S kratkim računom se prepričamo, da je ((1 + v5)e, 2e) lastni vektor operatorja T1T2 pri lastni vrednosti (3 + v5)/2. Torej je r{T\T2) > (3 + v5)/2 > 1 in neenakost iz izreka 3.18 ne velja, čeprav operator TiT2 ima lastnost (p). Primer 3.20 Kot v primeru 3.15 naj bo / = (1,1/2,1/4,1/8,...) G l2 in S zvezen operator na l2, podan s predpisom S(xi,X2,Xs, • • •) = (x2,Xs,...). Nadalje naj bosta operatorja T\ in T2 definirana na Banachovi mreži l2 ©2 l2 (L2-vsota dveh kopij Banachove mreže l2) z matrikama r^iSi . r / o 1 _ T m J-2 = n n L) 1 O D kjer je / identični operator na l2. Potem je (/,/) lastni vektor obeh operatorjev, ki pripada lastni vrednosti r(7\) = r(T2) = 1. Ce sedaj postavimo g = (1, 0.9,0.92, 0.93,...) G l2, se hitro prepričamo, da je vektor (3 9/4 in neenakost iz izreka 3.18 ne velja. V nadaljevanju tega razdelka podajmo nekaj posledic izrekov 3.17 in 3.18. Posledica 3.21 Pri izpolnjenih pogojih izreka 3.17 naj velja še S(fn, fn-l) S(fn-l, fn-2) ' ' ' ^(/2) /l) ^(/l> In) > 0 . Potem je r(TiT2 • • • Tn) > 0. Ce je n > 2, potem sta neenakosti iz izrekov 3.17 in 3.18 odvisni od vrstnega reda operatorjev 7\,T2,... ,Tn. V naslednji posledici izrekov 3.17 in 3.18 zabeležimo (šibkejšo) neenakost, v kateri vrstni red operatorjev ni pomemben. 3. Spektralni radij pozitivnih operatorjev 56 Posledica 3.22 Pri izpolnjenih pogojih izreka 3.18 naj bo f = inf{/i,..., fn} in M = c(/i, /) 0"(/fc)/fc-i) in $(fk,fk-i) > ^(/j/fc-i) = l/ ^ = l)2,...,n, kjer je /o := /n- ^ V splošnem spodnja in zgornja ocena iz izrekov 3.17 in 3.18 nista recipročni števili. Pri n = 2 pa je to res, ker za poljubna neničelna vektorja f, g L L+ velja Trditev 3.23 Pri izpolnjenih predpostavkah izreka 3.18 naj bo n = 2. Potem velja neenakost 1 ^(TiT2) — ^ (7{j2, Ji) 0~\J1, J2) ¦ 0. Denimo, da obstajata taki skoraj povsod pozitivni funkciji f, g L L2(E, jj), da je T f = r(T) f in T*g = r(T)g. Potem je s(T) vc 1 <— < o-(f, g) a(g, f) r(T) Dokaz. Leva neenakost sledi iz ocene r(T*T) = \\T*T\\ = \\T\\ > (r(T)) . Prvi enačaj velja zato, ker je T*T sebiadjungiran operator. ? Posebni primer zadnje posledice je naslednja Posledica 3.25 Naj bo T pozitiven kompakten operator na L2(E,n) s spektralnim radijem r(T) > 0. Ce obstaja taka skoraj povsod pozitivna funkcija f G L2(E, jj), da je T f = T* f = v (T) f, potem je s (T) = t (T). 3.5 ˇ e o Collatz-Wielandtovih ocenah Videli smo, da desna neenakost (3.1) ne velja za vse pozitivne operatorje T z lastnostjo (p) in za vse šibke enote f L L. Naslednji izrek pove, da za c-Dedekindovo polno Banachovo mrežo L neenakost (3.1) velja za vse pozitivne operatorje T z lastnostjo (p) in za vse šibke enote / G L+ natanko tedaj, ko ima L urejenostno zvezno normo. Dokaz tega dejstva temelji na naslednji trditvi, ki je le nekoliko dopolnjen izrek 117.3 iz [58]. Trditev 3.26 Naj bo L a-Dedekindovo polna Banachova mreža. Potem obstaja Banachova podmreža K mreže L in izomorfizem Banachovih mrež 7 iz l°° v K natanko tedaj, ko norma prostora L ni urejenostno zvezna. Ce L vsebuje šibke enote, izomorfizem 7 lahko izberemo tako, da vsako šibko enoto prostora l°° preslika v šibko enoto prostora L. 3. Spektralni radij pozitivnih operatorjev 58 Dokaz. Potrebnost dokažemo tako kot v [58, izrek 117.3]. Denimo torej, da norma prostora L ni urejenostno zvezna. Po [58, izrek 104.2] obstaja v L tako urejenostno omejeno zaporedje {un} im paroma disjunktnih vektorjev, ki ne konvergira proti 0. Smemo privzeti, da je \\un\\ = 1 za vsak n G IN in 0 < un < u pri nekem u G L. Zaradi disjunktnosti zaporedja {wi}F||\i je po trditvi 1.1 (b) y^^Uj = supJMj : 1 < i < n} < u i=\ za vsak n G IN. Ker je L c-Dedekindovo polna mreža, obstaja vektor oo n w = ^2ui := sup{y^ : n G IN} . i=\ i=\ Naj bo Pw pasovni projektor na glavni pas Bw. Tak projektor obstaja, ker ima vsak c-Dedekindovo poln Rieszov prostor glavno projekcijsko lastnost (glej npr. [33, izrek 6.7]). Ce je v = u — Pwu neničeln vektor, potem definiramo Uq = (l/IMI)^ in zaporedje {un}^=1 zamenjamo z zaporedjem {un}^=0. Ker je J27=i Mi < m za vse n G IN in je L c-Dedekindovo polna Banachova mreža, za vsak (x\, X2, Xs, ¦ • •) G /°° delne vsote Y^i=\ %iUi urejenostno konvergirajo proti nekemu elementu iz L, ki ga označimo z J2ili xiui- S predpisom ry(xi,X2, ¦ ¦ ¦) = J2ili xiui je definiran injektiven Rieszov homomorfizem iz /°° v L. Ker je \Y^X\xiui\ = Y^L\ \xi\ui in ker za vsako končno vsoto Y^l=\ \xi\u% velja max{|xi| : 1 < i < n} < dobimo neenakost n / j \xi\Ui i=\ < oo / j \xi\Ui i=\ sup{|xi| : i G IN} < oo / j %iUi i=\ oziroma ||x||oo < 117(^)11 za vsak x = (x\,X2, ¦ • •) G /°°. Po drugi strani za vsak x G /°° velja oo oo 2_jLi|«i < ||rc||oo 2_jUi ^ ||x||ooti , zato je %=\ %=\ ||7(x)|| = oo / j xi'^i i=\ < II^Hoo \\u\\ 3. Spektralni radij pozitivnih operatorjev 59 Torej je K = I1117 Banachova podmreža mreže L in 7 izomorfizem Banachovih mrež /°° in K. Predpostavimo sedaj, da L vsebuje šibke enote. Potem smemo na začetku dokaza privzeti, da je u šibka enota prostora L. Ce to namreč ne velja, vektorju u prištejemo neko šibko enoto prostora L. Vektor w, ki ga dobimo po zamenjavi zaporedja {un}^=i z zaporedjem {un}^=0 (če je ta sploh potrebna), je tedaj tudi šibka enota prostora L. S pomočjo slednjega dejstva je lahko videti, da operator 7 slika šibke enote prostora /°° v šibke enote prostora L. ? Izrek 3.27 Naj bo L a-Dedekindovo polna Banachova mreža z neprazno množico W vseh njenih šibkih enot. Ce ima L urejenostno zvezno normo, potem je r(T) < <7(T/,/) (3-3) za vsak pozitiven operator T na L z lastnostjo (p) in za vsak vektor f G W. Obratno: če neenakost (3.3) velja za vsak pozitiven operator T na L z enorazsežno zalogo vrednosti in za vsak vektor f G W, potem je norma prostora L urejenostno zvezna. Dokaz. Prva trditev je neposredna posledica izreka 3.14, saj je v tem primeru vsaka šibka enota tudi kvazinotranja točka (glej [50, trditev II.6.5]). Za dokaz druge trditve predpostavimo nasprotno, da norma prostora L ni urejenostno zvezna. Tedaj po trditvi 3.26 mreža L vsebuje Banachovo podmrežo K, ki jo lahko identificiramo z Banachovo mrežo /°°, in velja: vsaka šibka enota prostora /°° je tudi šibka enota prostora L. Naj bo (p Banachova limita na /°°. Po [50, trditev II.5.6] obstaja pozitiven linearen funkcional ip na L, ki ima enako normo kot (p in je njegova razširitev. Ce postavimo e = (1,1,1,...) G /°° C L, potem predpis T f = '-p(f) e definira pozitiven operator T na L, ki ima enorazsežno zalogo vrednosti in spektralni radij r(T) = 4>{e) = 1. Ce je / = (1,1/2,1/3,1/4,...) G /°° C L, potem je / G W, 3. Spektralni radij pozitivnih operatorjev 60 T f = 0 in zato 0 = 0. Potem obstaja tako naravno število m, da velja ^xm < x-\-e. Naj bo c = max{xo, X\,..., xTO_i}. Vsako naravno število n ima enoličen razcep n = knm + on, kjer sta kn in on celi števili, za kateri velja kn > 0 in 0 < on < m — 1. Potem za vsak n L IN velja neenakost xn < xmkn x0n < xkL x0n oo n—>oo kjer smo upoštevali, da je limn(kn/n) = l/m. Torej za vsak e > 0 velja ocena x < lim inf \fx~n < lim sup \fx~n < x + e . Od tod takoj sledi vse, kar trdi lema. ? Izrek 3.30 Naj bo T pozitiven operator na Banachovi mreži L in naj bo f E L+ tak vektor, da je S(Tf, f) > 0. Potem je sup \/fi(Tnf,f) = lim S(Tnf,f) < r(T) . (3-4) Predpostavimo še, da je T potenčno kompakten operator in f šibka enota z lastnostjo a(Tf,f) < oo. Ce je T a-urejenostno zvezen ali če je f kvazinotranja točka stožca L+, potem velja r(T) < lim \ a(Tnf, f) = inf {/a(Tnf, f) . (3-5) Dokaz. Označimo an = 8(Tnf,f). Izrek 3.11 in izrek o preslikavi spektra implicirata an < r(Tn) = r(T)n in zato je {/a^ < r(T) za vse n E IN. Prav tako imamo Tm+nf > Tn(Tmf) > anTmf > amanf, torej je am+n > aman za vse m,n E IN. Posebej velja a„ > 0 za vsa naravna števila n, saj je po predpostavki a\ > 0. Ce definiramo pn = l/an, potem imamo pm+n < PmPn za vse m,n E IN. Ker po lemi 3.29 zaporedje {^/p~^} konvergira proti infra ?/p~^, je linira^oo {/a^, = supra ^/a^. S tem smo dokazali (3.4). Dokaz neenakosti (3.5) je podoben; namesto izreka 3.11 uporabimo izreka 3.16 in 3.14. ? 4. Polgrupe pozitivnih operatorjev 62 4. Polgrupe pozitivnih operatorjev 4.1 Motivacija Leta 1973 je Lomonosov dokazal, da za vsak kompakten operator na Bana-chovem prostoru (razsežnosti vsaj 2) obstaja netrivialen zaprt podprostor, ki je invarianten za vse operatorje, ki komutirajo z danim operatorjem. Njegov dokaz temelji na uporabi Schauderjevega izreka o negibni točki. Kmalu zatem je Hilden [41] skrajšal dokaz, ki sedaj zahteva le poznavanje najosnovnejših pojmov iz funkcionalne analize. Vprašamo se lahko, ali ima pozitiven kompakten operator na Banachovi mreži (razsežnosti vsaj 2) netrivialen invarianten zaprt ideal. V splošnem je odgovor negativen, v primeru, ko je operator kvazinilpotenten, pa je pozitiven. To je vsebina enega izmed najpomembnejših rezultatov teorije operatorjev na Banachovih mrežah, ki ga je leta 1986 s Hildenovo metodo dokazal de Pagter [44]. V zadnjih dveh desetletjih je bilo dokazanih precej rezultatov, ki zagotavljajo obstoj netrivialnega podprostora, ki je invarianten za vse operatorje iz dane polgrupe operatorjev na Hilbertovem prostoru (glej npr. [42], [47], [46], [35], [36] in [11]). V zvezi s temi rezultati se torej (podobno kot prej) ponuja vprašanje, v kolikšni meri se lahko omenjeni rezultati izboljšajo, če imamo polgrupo pozitivnih operatorjev na Banachovi mreži. Naš prispevek v tej smeri je skromen. V tem poglavju posplošimo in nadgradimo nekatere rezultate iz [11], ostali rezultati pa bodo predmet nadaljnega raziskovanja. 4.2 Osnovne definicije in rezultati Naj bo L arhimedski Rieszov prostor. Neničeln vektor / G L+ imenujemo diskreten element, kadar iz 0 < g < / sledi g = \f za neko število A G [0,1]. 4. Polgrupe pozitivnih operatorjev 63 Vektor / G L+ je torej diskreten element tedaj in le tedaj, ko je glavni pas Bf enorazsežen. Ni težko videti, daje tedaj pas Bf projekcijski (glej na primer [34, izrek 26.4] ali [33, izrek 6.14]). V [34] spoznamo tudi pojem atoma Rieszovega prostora, ki se v primeru arhimedskega Rieszovega prostora ujema s pojmom diskretnega elementa. Podmnožica D prostora L je poln disjunktni sistem, kadar jo sestavljajo paroma disjunktni neničelni pozitivni elementi in velja Dd = {0}. Arhimed-ski Rieszov prostor L je diskreten, kadar obstaja množica diskretnih vektorjev {fa}aLA C L+, ki je poln disjunktni sistem, torej velja: (a) a t^ (3 => fa A fp = 0; (b) / A fa = 0 \/a E A =>• / = 0. Ni težko videti, daje arhimedski Rieszov prostor L diskreten tedaj in le tedaj, kadar je množica njegovih diskretnih elementov urejenostno gosta v njem, torej takrat, kadar za vsak neničeln vektor / G L+ obstaja tak diskreten element g G L+, da velja g < /'. O diskretnih prostorih velja naslednji reprezentacijski izrek (glej npr. [33, izrek 6.16]). Izrek 4.1 Vsak diskreten arhimedski Rieszov prostor je izomorfen urejenostno gostemu Rieszovemu podprostoru funkcijskega Rieszovega prostora IR . Naj bo T> družina operatorjev na normiranem prostoru X. Podprostor prostora X je X-invarianten, kadar je invarianten za vse operatorje iz T>. Naslednji pojem spada v lokalno spektralno teorijo operatorjev (glej npr. [24]). Operator T na normiranem prostoru X je kvazinilpotenten pri vektorju x G X, kadar velja lim ||Trad|1/ra = 0 . n—>oo Razdelek končajmo z rezultatom, ki nam pove, da je zaprtih idealov v normirani mreži presenetljivo veliko. 4. Polgrupe pozitivnih operatorjev 64 Trditev 4.2 Naj bosta I in J taka zaprta ideala v normirani mreˇzi E, da je I C J in da je kvocientni prostor G = J/1 vsaj dvorazseˇzen. Potem obstaja tak zaprt ideal K, da je I C K C J. Dokaz. Naj bo q kanonična (kvocientna) preslikava J —> G. Dovolj je pokazati, da obstaja netrivialen zaprt ideal K prostora G, saj je potem K = q~l(K) zaprt ideal, ki ustreza pogoju leme. Predpostavimo nasprotno, da sta {0} in G edina zaprta ideala prostora G. Ce g G G, potem je g+ = 0 ali g~ = 0. Ce bi namreč veljalo g+ ^ 0 in g~ ^ 0, potem bi bil zaprt ideal I + ^ {0}, gener-iran z g+, pravi ideal, saj velja /+ C {g~}d ^ E. Torej je g > 0 ali g < 0 za vsak g E G, od koder sledi, da je G linearno urejen. Zato je po [50, trditev II.3.4] prostor G Rieszovo izomorfen IR in potemtakem enorazsežen. S tem protislovjem je dokaz končan. ? 4.3 Skupen invarianten zaprt ideal V tem razdelku naj bo L normirana mreža, katere razsežnost je vsaj 2. Naj bo u E L+ diskreten element z normo 1. Ker je glavni pas Bu projekcijski, velja L = Bu © Bd. Torej za vsak f E L obstajata natanko določeno število A G IR in natanko en vektor g E Bd, da velja / = \u + g. Naj bo (fiu pozitiven linearen funkcional na L, definiran s predpisom u(f) = A. Ker sta vektorja Xu in g disjunktna, je |/| = |A|«+ \g\ (glej npr. [33, str.43]). Torej je |A| < ||/|| oziroma W'PuW ^ 1- Ker je (f)u(u) = 1, je \\(f)u\\ = 1. Izrek 4.3 Naj bo u E L+ diskreten element in naj bo S multiplikativna pol-grupa pozitivnih omejenih operatorjev na L z lastnostjo: (pu(Su) = 0 za vsak S E S. Potem obstaja netrivialen S-invarianten zaprt ideal. Ce je poleg tega vsak operator iz S urejenostno zvezen, potem obstaja netrivialen S -invarianten pas. 4. Polgrupe pozitivnih operatorjev 65 Dokaz. Ce je Su = 0 za vse operatorje S G S, potem je Bu netrivialen S-invarianten pas. Zato lahko predpostavimo, da množica D = {Su : S G S} ni enaka {0}. Naj bo / najmanjši zaprt ideal, ki vsebuje množico D. Torej je / zaprtje ideala 1(D) = {/ G L : 3\ > 0 35*1,..., Sn G S : |/| < A (5*1 + S2 + • • • + Sn)u} . S pomočjo neenakosti \Tf\ < T|/|, ki velja za vsak pozitiven operator T na L in za vsak / G L, brž vidimo, da je / invarianten za vse operatorje iz polgrupe S. Ker je (pu(Su) = 0 za vsak S G S, velja Su G B%. Zato je {0} 7^ / C 5^ ^ L, s čimer je dokaz prve trditve končan. Predpostavimo zdaj, da je vsak operator iz polgrupe S urejenostno zvezen. Pas B(I), generiran z /, je netrivialen, saj velja B(I) C B^ ^ L. Ker je po trditvi 1.10 tudi invarianten za vsak operator S G S, je dokaz končan. ? Posledica 4.4 Naj bo u G L+ diskreten element in naj bo S multiplikativna polgrupa pozitivnih omejenih operatorjev na L, ki so vsi kvazinilpotentni pri vektorju u. Potem obstaja netrivialen S-invarianten zaprt ideal. Ce je vsak operator iz S urejenostno zvezen, potem obstaja celo netrivialen S -invarianten pas. Dokaz. Pri danem S G S označimo A = (pu(Su). Iz neenakosti Su > Xu sledi Snu > \nu za vse n G IN. Zato imamo A ||tt||1'n < ||S'"'«||1'"'. Ker je S kvazinilpo-tenten pri vektorju u, je A = 0. Torej so vse predpostavke izreka 4.3 izpolnjene. ? Ali lahko v izreku 4.3 in v posledici 4.4 izpustimo predpostavko o urejenos-tni zveznosti operatorjev iz polgrupe S? Odgovor je negativen. V naslednjem primeru bomo namreč videli, da obstaja polgrupa S = {Sn : n G IN} kvazinilpo-tentnih kompaktnih pozitivnih operatorjev na Banachovi mreži /°°, ki nima netriv-ialnih S-invariantih pasov. 4. Polgrupe pozitivnih operatorjev 66 Primer 4.5 Naj bo (p tak pozitiven linearen funkcional na /°° (npr. Bana-chova limita), da je 4>{x) = lin^^oo xn za vsak x = {x\)X2)x^)...) iz Banachove podmreže c vseh konvergentnih zaporedij. Naj bo a = (1,1/2,1/4,1/8,...) G /°°. S predpisoma Kx = 4>{x) a in Tx = (0,xi/2,X2/4,X3/8,...) sta definirana kompaktna pozitivna operatorja K in T na /°°, ki sta kvazinilpotentna, saj je K2 = 0 in /n»(«+i)/2 ||Tra|| = ( - ) za vsak n G IN . Očitno je operator S = T + K kompakten pozitiven operator na /°°. Ker je K2 = 0 in KT = 0, je Sn = Tn~1S za vsak n G IN, od koder sledi, da je operator S tudi kvazinilpotenten. Dokažimo, da je operator S pasovno ireducibilen. Vzemimo poljuben pas B t^ {0}, ki je invarianten za S. Ce z {en} im označimo zaporedje standardnih enotskih vektorjev v /°°, potem obstaja tak n G IN, da je en G B. Ker velja Sčn+k = Ten+k = (l/2ra+ ) en+k+i, k = 0,1, 2, 3,..., je en+k G B za vsak k G IN. Od tod sledi, da vektor b = sup{J]fclo en+k '¦ m €= IN} pripada B. Iz Sb > X6 = a potem sledi a G B in zato je B = /°°, saj je a šibka enota prostora /°°. V članku [1] (avtorjev Abramovich, Aliprantis in Burkinshaw) so predstavljene različne posplošitve de Pagterjevega in Ando-Kriegerjevega izreka. Med drugim je konstruiran primer kvazinilpotentnega kompaktnega pozitivnega operatorja, ki je pasovno ireducibilen. Ta operator je definiran na manj znanem Marcinkiewicz-evem funkcijskem prostoru. Operator S iz primera 4.5 je potemtakem še en primer takih operatorjev, ki je poleg tega definiran na ”lepi” diskretni Banachovi mreži /°°. Vendar moramo pripomniti, da ima operator iz članka [1] enorazsežno zalogo vrednosti in je zato že njegov kvadrat enak 0. V nadaljevanju bomo pokazali, da posledica 4.4 velja tudi za aditivne polgrupe. V dokazu tega rezultata bomo potrebovali naslednjo trditev. 4. Polgrupe pozitivnih operatorjev 67 Trditev 4.6 Naj bo S aditivna polgrupa pozitivnih omejenih operatorjev na L, ki so vsi kvazinilpotentni pri diskretnem elementu u G L+. Potem je vsak operator iz algebre, generirane s S, kvazinilpotenten pri vektorju u. Dokaz. Naj bo A poljuben operator iz algebre, generirane s S. Potem obstajata taki naravni števili m in p in obstajajo taki operatorji 5*1, ..., S^ G S, da velja A = Y^[L\ diAi, kjer je a» G IR in je vsak operator Ai produkt kvečjemu p (ne nujno različnih) elementov množice {S\,..., S^}. Naj bo S = S\ + ... + S^ in T = Y^Vj=o S-*. Iz neenakosti IKST)"-«!! < ||T||ra HS"7-«!! sledi, da je operator ST kvazinilpotenten pri u, ker je tak operator S. Ce označimo a = maxii\Ai tudi kvazinilpotenten pri u. Ker je \Aif\ < -Aj|/|, je \Af\ < A\f\ za vsak / G L. Zato za vsak n G IN velja \Anu\ < Anu, od koder sledi, da je operator A tudi kvazinilpotenten pri u. ? Izrek 4.7 Naj bo u G L+ diskreten element in naj bo S aditivna polgrupa pozitivnih omejenih operatorjev na L, ki so vsi kvazinilpotentni pri u. Potem obstaja netrivialen S-invarianten zaprt ideal. Ce je vsak operator iz S urejenostno zvezen, potem obstaja celo netrivialen S-invarianten pas. Dokaz. Po trditvi 4.6 so vsi operatorji iz multiplikativne polgrupe T, generirane s S, kvazinilpotentni pri u. Prva trditev potem sledi iz posledice 4.4. Ce je vsak operator iz S urejenostno zvezen, potem je tak tudi vsak operator iz T. Produkt urejenostno zveznih operatorjev je namreč urejenostno zvezen. Potem po drugi trditvi iz posledice 4.4 obstaja netrivialen T-invarianten pas, ki je očitno tudi S-invarianten. D 4. Polgrupe pozitivnih operatorjev 68 4.4 Pozitivni ortomorfizmi na diskretni normirani mreˇzi Operator D na normirani mreži L imenujemo ortomorfizem, kadar je vsak pas prostora L invarianten za D. Zabeležimo uporabno karakterizacijo pozitivnih omejenih ortomorfizmov (glej dokaz leme 144.1 v [58]). Trditev 4.8 Pozitiven operator D na normirani mreži L je omejen ortomorfizem natanko tedaj, kadar obstaja tak \ > 0, da je D < XI. Iz trditve 4.8 sledi, da je vsak ideal prostora L invarianten za poljuben omejen pozitiven ortomorfizem. Naj bo sedaj L diskretna normirana mreža in {fa}aeA ^ L+ pripadajoči poln disjunktni sistem diskretnih elementov. Privzeti smemo, daje \\fa\\ = 1 za vsak a G A. V tem razdelku bomo podrobneje opisali pozitivne omejene ortomorfizme na L. Naj bo A kolekcija vseh končnih podmnožic množice A in naj bo {\a : a G A} poljubna množica realnih števil. Ce je vektor / G L urejenostna limita množice {J2aeB ^afa '¦ B G A}, potem to krajše pišemo / = Z_/ ^ctfa ¦ aeA Trditev 4.9 Za vsak vektor f G L obstajajo natanko določena realna števila {Aa : a G A}, da velja f = 53 ^-cefa ¦ aeA Dokaz. Dokažimo najprej obstoj reprezentacije. Ker je / = /+ — /_ in ker je urejenostna limita linearna, zadostuje obravnavati primer, ko je / > 0. Za vsak a G A definirajmo \a = sup {A > 0 : Xfa < /}. Ker je L arhimedski prostor, supremum obstaja in velja Xafa < /. Ce upoštevamo, da so {fa}aeA disjunktni 4. Polgrupe pozitivnih operatorjev 69 sistem, po trditvi 1.1 (b) za vsak B E A velja neenakost 9b '¦= 53 ^-cefa = supjAo,/« : a E B} < / , torej je / zgornja meja navzgor usmerjene množice {qb}b^a- Dokažimo, da je najmanjša zgornja meja. Vzemimo vektor g E L+, za katerega velja gs < g za vsak B E A. Denimo, da je (g — f)~ > 0. Potem obstaja tak a G A, da je (g — f)~ A fa > 0. Ker je fa diskreten element, obstaja tak A > 0, da je (g — f)~ A fa = Xfa. Zaradi Xafa < 9 imamo / — g < / — Xafa, od koder sledi (g — f)~ = (f ~ kar je v protislovju z definicijo števila Aa. Dokazali smo torej, da je / urejenostna limita množice {gBJBeA- Za enoličnost reprezentacije je dovolj dokazati, da iz J2aeA Xafa = 0 sledi Xa = 0 za vsak a. Ker je {fa}d pas in je fp E {fa}d za vsak (3 ^ a, je ~Xafa = J2f3^a -V//? ^ {/a}d; od koder sledi Aa = 0. ? Za vsak a E A je s predpisom 4>a{f) = Xa definiran pozitiven linearen funkcional 0a na L, ki ima normo enako 1. Trditev 4.10 Naj bo L Dedekindovo poln in naj bo T pozitiven omejen operator na L. Potem za vsak f E L obstaja vsota D f := 2_j ^aiT fa) 4>a(f) fa , (4-1) aeA operator D, definiran s (4.1), pa je pozitiven omejen ortomorfizem na L. Ce je tudi T ortomorfizem, potem je D = T. Dokaz. Brez škode za splošnost smemo vzeti, da je / G L+. Ker je 4. Polgrupe pozitivnih operatorjev 70 za vsak a E A, je vsaka končna delna vsota izraza Df manjša oziroma kvečjemu enaka ||T|| /. Ker je L Dedekindovo poln, od tod sledi, da Df obstaja v L in da je Df < ||T|| / oziroma D < ||T||/. Po trditvi 4.8 je zato D pozitiven omejen ortomorfizem. Denimo, da je T ortomorfizem. Ker obstaja tako pozitivno število A, da je 0 < Tfa < Xfa za vsak a E A, je Tfa = (pa(Tfa)fa. Torej je Tfa = Dfa za vse a G A. Po [58, posledica 140.6.(ii)] je potem D = T. ? Ce bi upoštevali reprezentacijski izrek 4.1, bi bila dokaza trditev 4.9 in 4.10 krajša. Ce je namreč L podprostor funkcijskega prostora IR , potem je fa funkcija, ki je povsod razen v točki a enaka 0, operator iz (4.1) pa je operator množenja z neko omejeno realno funkcijo na A. Trditev 4.11 Naj bo L Dedekindovo poln prostor in naj bo T pozitiven omejen operator na L. Potem ima T natanko eno dekompozicijo T = Dt + Nt, kjer je Dt pozitiven omejen ortomorfizem na L in Nt pozitiven omejen operator na L, za katerega velja a(NTfa) = 0 za vsak a E A. Za vsak vektor f G L veljata formuli D?f = J3 ^aiTfa) 4>a(f) fa in N^f = J3 ^aiT^f — a(f)fa)) fa ¦ (4-2) aeA aeA Dokaz. Operator Dt, definiran s predpisom (4.2), je po trditvi 4.10 pozitiven omejen ortomorfizem na L. Naj bo Nt = T — Dt- Potem z uporabo enakosti Tf = J2aeA (j>a(Tf) fa dobimo drugo enakost v (4.2). Operator Nt je pozitiven, saj za vsak / G L+ in vsak a G A velja / > ii{Nsfa) > 0 in ^(NtJ/b) > 0, potem obstaja tak U G S, daje 4>~((Nufa) > 0. Tedaj lahko indeksno mnoˇzico A linearno uredimo tako, da je 4>p(Nsfa) = 0 za vsak S G S in za vsak par a, /3 E A, ki ustreza pogoju a < (3. 4. Polgrupe pozitivnih operatorjev 72 Dokaz. Na indeksni množici A vpeljemo urejenost s predpisom: a > (3, če je a = (3 ali če obstaja tak operator S G S, da je 4>p(Nsfa) > 0. Pokažimo, da je > relacija delne urejenosti. Relacija > je refleksivna po definiciji, tranzitivna pa zaradi predpostavke o polgrupi S. Denimo torej, da je a > (3, (3 > a in a 7^ (3. Potem obstajata taka operatorja S,T G S, daje (j)p(Nsfa) > 0 in (pai.Nrpfp) > 0. Po predpostavki obstaja tak U G S, da je (f)a(Nufa) > 0, kar je protislovje z lastnostjo operatorja Ny. Torej je relacija > tudi antisimetrična. Vsako relacijo delne urejenosti lahko razširimo do linearne urejenosti. Res! Naj bo IZ družina vseh delnih ureditev množice A, ki so razširitev dane delne urejenosti >. V IZ, ki je na naraven način delno urejena, ima vsaka veriga zgornjo mejo. Po Zornovi lemi zato v IZ obstaja maksimalna delna ureditev, v kateri so vsi elementi primerljivi. Dobljeno relacijo linearne urejenosti prav tako označimo z >. Ce sedaj velja (3 > a in (f)p(Nsfa) > 0, potem je a > (3 in zato a > a, kar je protislovje. ? Naj bo C mreža vseh zaprtih podprostorov prostora L. Dokazali bomo, da je v primeru, ko ima L urejenostno zvezno normo, kolekcija S iz izreka 4.13 pasovno triangularizabilna, to pomeni, da obstaja veriga S-invariantnih pasov prostora L, ki je maksimalna v mreži C Naj veljajo predpostavke in zaključek izreka 4.13. Naj bo T)(A) Dedekin-dova oziroma MacNeillova napolnitev množice A (glej npr. [8] ali [33]). Kadar napolnitev T)(A) ni navzgor ali navzdol omejena, ji pridružimo največji oziroma najmanjši element. Tako je na primer napolnitev I?(Q) racionalnih števil množica razširjenih realnih števil IR = IRU{ —00, +00}. Naj bo Ti kolekcija vseh podmnožic množice A, ki imajo obliko {a G A : a < 8} ali {a G A : a < 8} pri nekem 8 G T)(A). Očitno je kolekcija Ti zaprta za poljubne unije in preseke. Velja tudi 0 G Ti, A G Ti. Za vsak H G Ti naj bo Bjj pas, generiran z množico {fa : a G H}. 4. Polgrupe pozitivnih operatorjev 73 (Tukaj je B$ = {0}.) Lahko je videti, da je Br = n(Ker ((pa) '¦ ol $¦ H) = n({/a} : a ^ H) . Naj bo C = {Bh '¦ H G Ti}. Očitno je C veriga pasov prostora L. Izrek 4.14 Naj veljajo predpostavke izreka 4.13 in naj bodo vsi operatorji iz kolekcije S urejenostno zvezni. Potem je veriga C sestavljena iz S-invariantnih pasov in je maksimalna v mreˇzi vseh pasov prostora L. Ce ima L urejenostno zvezno normo, potem je veriga C maksimalna tudi v C, torej je kolekcija S pasovno triangularizabilna. Dokaz. Naj bo H G Ti in S G S. Potem je Nsfa L Bjj za vsak a G H, ker je p(Nsfa) = 0 za vsak (3 > a. Torej je Sfa L Bh za vsak a G H. Od tod sledi, da je ideal, generiran z množico {fa : a G H}, invarianten za operator S. Ker je S urejenostno zvezen operator, je po trditvi 1.10 Bh invarianten za S. Lahko je videti, da je veriga C maksimalna v mreži vseh pasov prostora L. Predpostavimo, da ima L urejenostno zvezno normo. Potem je vsak zaprt ideal pas (glej npr. [58, izrek 105.2]). Torej je veriga C maksimalna v mreži vseh zaprtih idealov prostora L. Dokažimo, da je maksimalna tudi v C Po [48, lema 4.3.1] je dovolj videti, daje veriga C enostavna, to pomeni, da izpolnjuje naslednje pogoje: (i) {0} G C, L G C ; (ii) če je Co poddružina verige C, potem zaprta podprostora n(/ : / G Co) in cl(U(I : / G Co)) pripadata verigi C. Tukaj smo s cl zaznamovali zaprtje v topologiji, porojeni z normo prostora L; (iii) za vsak / G C je kvocientni prostor I j I~ največ enorazsežen, kjer je /~ = c/(U(J : J G C, J C /)) . 4. Polgrupe pozitivnih operatorjev 74 (Moramo pripomniti, da so v knjigi [48] obravnavani samo Banachovi prostori. Vendar je iz dokaza leme 4.3.1 v [48] jasno, da lema velja za vse normirane prostore.) Pogoj (i) je očitno izpolnjen. Podprostora iz pogoja (ii) sta zaprta ideala. Ker je C maksimalna v mreži vseh zaprtih idealov prostora L, pripadata verigi C. Za dokaz pogoja (iii) predpostavimo, da je prostor I j I- vsaj dvorazsežen. Potem po trditvi 4.2 obstaja tak zaprt ideal K, da je /- C K C I. Ker je veriga C maksimalna v mreži vseh zaprtih idealov prostora L, je K G C, od koder sledi K C I-, kar je protislovje. Torej je izpolnjen tudi pogoj (iii). S tem je dokaz izreka končan. ? Posledica 4.15 Naj bo L Dedekindovo poln in S multiplikativna polgrupa urejenostno zveznih pozitivnih omejenih operatorjev na L. Ce za vsak a G A in za vse pare S, T G S velja 4>a{.NsNrpfa) = 0, potem za S veljajo zakljuˇcki izrekov 4.13 in 4.14. Dokaz. Najprej dokažimo, da je Dts = DtDs in Nt s = DtNs + NtDs + NtNs- Ker sta Dt in Ds omejena pozitivna ortomorfizma, po trditvi 4.8 obstajata taki pozitivni realni števili A in fi, da je Dt < A/ in Ds < [ii. Zato je D := DtDs < Xfi I in tako je D omejen pozitiven ortomorfizem. Za pozitiven omejen operator N := DtNs + NtDs + NtNs pa velja neenakost torej je (f)a(Nfa) = 0. Ker je T S = D + N, res velja Dts = D in Nts = N, kar smo želeli videti. Pokazati moramo, da za polgrupo S veljajo predpostavke izreka 4.13. Naj bo a = fipiNsfa) > 0 in 6 = (f)j(NTfp) > 0, torej je Nsfa > afp in Nt/p > &/7. Ker je Nts ^ NtNs, imamo NtsJo ^ NtNsfa > uNt/p > ah /7 4. Polgrupe pozitivnih operatorjev 75 in zato je 4>1{NtsJo) > ab > 0. ? Predpostavka o Dedekindovi polnosti prostora L, ki nastopa v izrekih 4.13, 4.14 in posledici 4.15, je očitno potrebna samo za obstoj dekompozicije iz trditve 4.11. Ce torej na primer vemo, da za vsak operator iz polgrupe S velja D s = 0 in Ns = S, ne potrebujemo predpostavke o Dedekindovi polnosti prostora L. Zato naslednja posledica sledi iz posledice 4.15. Posledica 4.16 Naj bo S multiplikativna polgrupa urejenostno zveznih pozitivnih omejenih operatorjev na L. Ce za vsak a G A in za vsak S G S velja a(Sfa) = 0, potem za S veljajo zaključki izrekov 4.13 in 4.14. Posledica 4.17 Naj bo S multiplikativna ali aditivna polgrupa urejenostno zveznih pozitivnih omejenih operatorjev na diskretni normirani mreži L. Naj bo za vsak a G A vsak operator iz S kvazinilpotenten pri vektorju fa. Potem za S veljajo trditve iz izrekov 4.13 in 4.14. Dokaz. Naj bo polgrupa S multiplikativna. Kot v dokazu posledice 4.4 pokažemo, da je (f)a(Sfa) = 0 za vsak S G S in za vsak a G A. Rezultat sedaj sledi iz posledice 4.16. Ce je S aditivna polgrupa, potem je po trditvi 4.6 vsak operator iz multip-likativne polgrupe T, generirane s S, kvazinilpotenten pri fa za vsak a E A. Ker za T po že dokazanem veljajo trditve iz izrekov 4.13 in 4.14, veljajo tudi za S. ? Primer 4.5 nas prepriča, da v predhodnih rezultatih ne moremo izpustiti predpostavke o urejenostni zveznosti operatorjev. Prav tako veriga C ni nujno maksimalna v mreži C, kadar norma prostora L ni urejenostno zvezna, pa čeprav so vsi operatorji iz S urejenostno zvezni. To pokažemo z naslednjim primerom. Primer 4.18 Naj bo S operator na /°°, definiran s predpisom S(x\,X2, Xs, ¦ ¦ •) = (x2, xs/2, L4/4, X5/8, . . .) . 4. Polgrupe pozitivnih operatorjev 76 Lahko se je prepriˇcati, da je pozitiven operator S kvazinilpotenten, kompakten in urejenostno zvezen. Naj bo S polgrupa, generirana s S. Potem velja A = IN, T)(A) = IN U {00} in Ti = {0} U {Hn : n G IN}, kjer je Hn = {1, 2, 3,..., n}. Ker zaprt ideal cl(U \^Bh„) = Co ne pripada verigi C, le ta ni maksimalna v mreˇzi vseh zaprtih idealov prostora /°° in zato tudi v mreˇzi vseh zaprtih podprostorov prostora /°° ne. Za konec razdelka povejmo, da vsi rezultati v tem poglavju veljajo tudi, ˇce v definiciji lokalne kvazinilpotentnosti zamenjamo pogoj lim ||Trax|| 'n = 0 s pogojem liminf ||Trax|| 'n = 0 . Literatura [1] Y.A. Abramovich, C.D. Aliprantis, O. Burkinshaw, On the spectral radius of positive operators, Math. Z. 211 (1992), 593-607. [2] Y.A. Abramovich, C.D. Aliprantis, O. Burkinshaw, Invariant subspaces for positive operators acting on a Banach space with basis, Proc. Amer. Math. Soc. 123 (1995), 1773-1777. [3] Y.A. Abramovich, C.D. Aliprantis, O. Burkinshaw, Invariant subspaces of operators on lp-spaces, J. Funct. Anal. 115 (1993), 418-424. [4] Y.A. Abramovich, C.D. Aliprantis, O. Burkinshaw, Invariant subspace theorems for positive operators, J. Funct. Anal. 124 (1994), 95-111. [5] C.D. Aliprantis, O. Burkinshaw, Positive operators, Academic Press, Orlando 1985. [6] C.D. Aliprantis, O. Burkinshaw, Positive compact operators on Banach lattices, Math. Z. 174 (1980), 289-298. [7] J. Barria, The invariant subspaces of a Volterra operator, J. Oper. Th. 6 (1981), 341-349. [8] G. Birkhoff, Lattice theory, Amer. Math. Soc. Colloq. Publ., Vol. 25, Providence, Rhode Island 1967. [9] G. Birkhoff, R.S. Varga, Reactor criticality and non-negative matrices, J. Soc. Ind. Appl. Math. 6 (1958), 354-377. [10] V. Caselles, On irreducible operators on Banach lattices, Indag. Math. 48 (1986), 11-16. [11] M.D. Choi, E.A. Nordgren, H. Radjavi, P. Rosenthal, Y. Zhong, Triangu-larizing semigroups of quasinilpotent operators with non-negative entries, Indiana Univ. Math. J. 42 (1993), 15-25. 77 [12] L. Collatz, Einschließungss¨atze fu¨r charakteristische Zahlen von Matrizen, Math. Z. 48 (1942), 221-226. [13] P.G. Dodds, D.H. Fremlin, Compact operators on Banach lattices, Israel J. Math. 34 (1979), 287-320. [14] W. F. Donoghue, Jr., The lattice of invariant subspaces of a completely continuous quasinilpotent transformation, Pac. J. Math. 7 (1957), 1031-1035. [15] R. Doss, An elementary proof of Titchmarsh’s Convolution Theorem, Proc. Amer. Math. Soc. 104 (1988), 181-184. [16] R. Drnovˇsek, On invariant subspaces of Volterra-type operators, Integ. Equat. Oper. Th., sprejeto v objavo. [17] R. Drnovˇsek, On quasispectral maximal subspaces of a class of Volterra-type operators, Proc. Amer. Math. Soc., sprejeto v objavo. [18] R. Drnovˇsek, On the spectral radius of positive operators, poslano v objavo. [19] R. Drnovˇsek, Triangularizing semigroups of positive operators on an atomic normed Riesz space, poslano v objavo. [20] R. Drnovˇsek, Volterra kernel operators on Banach function spaces, Math. Slovaca, sprejeto v objavo. [21] K.H. F¨orster, B. Nagy, On the Collatz-Wielandt numbers and the local spectral radius of a nonnegative operator, Lin. Alg. Appl. 120 (1989), 193-205. [22] K.H. F¨orster, B. Nagy, On the local spectral thoery of positive operators, Operator Theory: Advances and Applications 28 (1988), 71-81. [23] S. Friedland, Characterizations of the spectral radius of positive operators, Lin. Alg. Appl. 134 (1990), 93-105. 78 [24] J.D. Gray, Local analytic extensions of the resolvent, Pac. J. Math. 27 (1968), 15-25. [25] J.J. Grobler, A note on the theorems of Jentzsch-Perron and Frobenius, Indag. Math. 49 (1987), 381-391. [26] J.J. Grobler, Band irreducible operators, Indag. Math. 48 (1986), 405-409. [27] P.R. Halmos, A Hilbert space problem book, Springer-Verlag, New York Inc., 1974. [28] E. Hille, J.D. Tamarkin, On the thoery of linear integral equations II, Annals of Math. 35 (1934), 445-455. [29] C.B. Huijsmans, B. de Pagter, Positive compact quasinilpotent operators, Arch. Math. 47 (1986), 537-544. [30] C.R. Johnson, R. Bru, The spectral radius of a product of nonnegative matrices, Lin. Alg. Appl. 141 (1990), 227-240. [31] G. K. Kalisch, A functional analysis proof of Titchmarsh’s theorem on convolution, J. Math. Anal. Appl. 5 (1962), 176-183. [32] M.G. Krein, M.A. Rutman, Linear operators leaving invariant a cone in a Banach space (in Russian), Usp. Mat. Nauk 3 (1948), 3-95; English transl., Amer. Math. Soc. Transl. Ser. I 10 (1962), 199-325. [33] B. Lavriˇc, Delno urejeni vektorski prostori, DMFA Slovenije, Ljubljana 1995. [34] W.A.J. Luxemburg, A.C. Zaanen, Riesz spaces I, North Holland, Amsterdam 1971. [35] M. Lambrou, W.E. Longstaff, H. Radjavi, Spectral conditions and re-ducibility of operator semigroups, Indiana Univ. Math. J. 41 (1992), 449-464. 79 [36] W.E. Longstaff, H. Radjavi, On permutability and submultiplicativity of spectral radius, Can. J. Math. 47 (1995), 1007-1022. [37] I. Marek, Collatz-Wielandt numbers in general partially ordered spaces, Lin. Alg. Appl. 173 (1992), 165-180. [38] I. Marek, Frobenius theory of positive operators: Comparison theorems and applications, SIAM J. Appl. Math. 19 (1970), 607-628. [39] P. Malliavin, Integration and probability, Springer-Verlag (Graduate Texts in Mathematics 157), New York 1995. [40] P. Meyer-Nieberg, Banach lattices, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 1991. [41] A. J. Michaels, Hilden’s simple proof of Lomonosov’s invariant subspace theorem, Adv. in Math. 25 (1977), 56-58. [42] E. Nordgren, H. Radjavi and P. Rosenthal, Triangularizing semigroups of compact operators, Indiana Univ. Math. J. 33 (1984), 271-275. [43] M. Omladiˇc, Quasispectral subspaces of quasinilpotent operators, Proc. Roy. Soc. Edin. 98A (1984), 349-354. [44] B. de Pagter, Irreducible compact operators, Math. Z. 192 (1986), 149-153. [45] G. Polya, G. Szeg¨o, Aufgaben und Lehrs¨atze aus der Analysis, Springer, Berlin 1964. Translation: Problems and theorems in analysis, Springer, Berlin 1972, 1976. [46] H. Radjavi, On reducibility of semigroups of compact operators, Indiana Univ. Math. J. 39 (1990), 499-515. [47] H. Radjavi, On the reduction and triangularization of semigroups of operators, J. Oper. Th. 13 (1985), 63-71. 80 [48] J.R. Ringrose, Compact non-self-adjoint operators, Van Nostrand Rein-hold Math. Studies, London 1971. [49] W. Rudin, Real and complex analysis, McGraw-Hill Book Company, New York 1987. [50] H.H. Schaefer, Banach lattices and positive operators. (Grundlehren Math. Wiss. Bd. 215) Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 1974. [51] H.H. Schaefer, A minimax theorem for irreducible compact operators in Lp-spaces, Israel J. Math. 48 (1984), 196-204. [52] A.R. Schep, Compactness properties of Carleman and Hille-Tamarkin operators, Can. J. Math. 37 (1985), 921-933. [53] A.R. Schep, Positive diagonal and triangular operators, J. Oper. Theory 3 (1980), 165-178. [54] H. Wielandt, Unzerlegbare, nicht-negative Matrizen, Math. Z. 52 (1950), 642-648. [55] A.C. Zaanen, Examples of orthomorphisms, J. Approx. Theory 13 (1975), 192-204. [56] A.C. Zaanen, Integration, North Holland, Amsterdam 1967. [57] A.C. Zaanen, Linear analysis, North Holland, Amsterdam 1956 [58] A.C. Zaanen, Riesz spaces II, North Holland, Amsterdam 1983. 81