Tehnološko modeliranje energetskih procesov Zbirka rešenih vaj





Avtor

Dalibor Igrec





April 2022





Naslov Tehnološko modeliranje energetskih procesov Title Technological Model ing of Power Processes



Podnaslov Zbirka rešenih vaj

Subtitle Collection of Solved Exercises



Avtor Dalibor Igrec

Author (Univerza v Mariboru, Fakulteta za energetiko)



Jezikovni pregled

Language edeting Slavica Božič



Tehnični urednik Jan Perša

Technical editor (Univerza v Mariboru, Univerzitetna založba)



Oblikovanje ovitka Jan Perša

Cover designer (Univerza v Mariboru, Univerzitetna založba)



Grafične priloge

Graphic material Avtor

Grafika na ovitku

Cover graphics power-4892237, Pixabay.com, CC0, 2022





Založnik Univerza v Mariboru, Univerzitetna založba Published by Slomškov trg 15, 2000 Maribor, Slovenija https://press.um.si, zalozba@um.si





Izdajatelj Univerza v Mariboru, Fakulteta za energetiko Issued by Hočevarjev trg 1, 8270 Krško, Slovenija

https://www.fe.um.si, fe@um.si



Izdaja

Edition Prva izdaja

Izdano

Published at Maribor, april 2022



Vrsta publikacije

Publication type E-knjiga

Dostopno na

Available at https://press.um.si/index.php/ump/catalog/book/671



CIP - Kataložni zapis o publikaciji

© Univerza v Mariboru, Univerzitetna založba Univerzitetna knjižnica Maribor



/ University of Maribor, University Press





620.9:519.876.2(076.5)(0.034.2)

Besedilo / Text © Igrec, 2022



To delo je objavljeno pod licenco Creative Commons Priznanje avtorstva IGREC, Dalibor

4.0 Mednarodna. / This work is licensed under the Creative Commons At ribution Tehnološko modeliranje energetskih

4.0 International License.

procesov [Elektronski vir] : zbirka



rešenih vaj / avtor Dalibor Igrec. - 1.

Uporabnikom je dovoljeno tako nekomercialno kot tudi komercialno izd. - E-knjiga. - Maribor : Univerza v

reproduciranje, distribuiranje, dajanje v najem, javna priobčitev in Mariboru, Univerzitetna založba, 2022

predelava avtorskega dela, pod pogojem, da navedejo avtorja izvirnega dela.

Način dostopa (URL):



https://press.um.si/index.php/ump/catalog/ Vsa gradiva tretjih oseb v tej knjigi so objavljena pod licenco Creative book/671

Commons, razen če to ni navedeno drugače. Če želite ponovno uporabiti ISBN 978-961-286-589-4 (PDF)

gradivo tretjih oseb, ki ni zajeto v licenci Creative Commons, boste morali doi: 10.18690/um.fe.4.2022

pridobiti dovoljenje neposredno od imetnika avtorskih pravic.

COBISS.SI-ID 104083459

https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/



ISBN 978-961-286-589-4 (pdf)

DOI https://doi.org/10.18690/um.fe.4.2022



Cena

prof. dr. Zdravko Kačič,

Price Brezplačni izvod

Odgovorna oseba založnika

For publisher rektor Univerze v Mariboru





Citiranje Igrec, D. (2022). Tehnološko modeliranje energetskih procesov: zbirka rešenih vaj. Maribor: Univerzitetna založba. doi: Attribution 10.18690/um.fe.4.2022





TEHNOLOŠKO MODELIRANJE ENERGETSKIH PROCESOV

ZBIRKA REŠENIH VAJ

D. Igrec





Kazalo



1

Poenostavljanje bločnih diagramov .................................................................................... 1

Primer 1 .............................................................................................................................................................. 1

Primer 2 .............................................................................................................................................................. 4

Primer 3 .............................................................................................................................................................. 6

Primer 4 .............................................................................................................................................................. 8



2

Predstavitev bločnega diagrama iz diferencialne enačbe ................................................. 11

Primer 1 ............................................................................................................................................................ 11

Primer 2 ............................................................................................................................................................ 12



3

Metode za numerično reševanje diferencialnih enačb ..................................................... 15

Eulerjeva metoda .................................................................................................................................................. 16

Runge Kutta 2. reda (Heunova metoda) ........................................................................................................... 17

Runge Kutta 4. reda .............................................................................................................................................. 18





TEHNOLOŠKO MODELIRANJE ENERGETSKIH PROCESOV

ZBIRKA REŠENIH VAJ

D. Igrec





1 Poenostavljanje bločnih diagramov





S pomočjo pravil algebre bločnih diagramov je v nadaljevanju na primerih prikazan postopek poenostavljanja po posameznih korakih.





Primer 1





Poenostavimo bločni diagram na sliki:





2

TEHNOLOŠKO MODELIRANJE ENERGETSKIH PROCESOV: ZBIRKA REŠENIH VAJ.



1. korak: premik razcepišča za blok.





2. korak: redukcija zanke Gx (označeno z modro barvo) in zaporedne vezave Gy (označeno z zeleno barvo).





𝐺𝐺

𝐺𝐺

3𝐺𝐺4

𝑥𝑥 =



1 + 𝐺𝐺3𝐺𝐺4𝐻𝐻2



𝐺𝐺

𝐺𝐺

2𝐺𝐺3𝐺𝐺4

𝑦𝑦 = 𝐺𝐺2𝐺𝐺𝑥𝑥 =



1 + 𝐺𝐺3𝐺𝐺4𝐻𝐻2





1 Poenostavljanje bločnih diagramov

3.



3. korak: ponovna redukcija zanke Gz (označeno z modro barvo) in zaporedne vezave Gw (označeno z zeleno barvo).





𝐺𝐺2𝐺𝐺3𝐺𝐺4

𝐺𝐺

𝐺𝐺

1 + 𝐺𝐺3𝐺𝐺4𝐻𝐻2

2𝐺𝐺3𝐺𝐺4

𝑧𝑧 =

=



1 + 𝐺𝐺2𝐺𝐺3𝐺𝐺4 𝐻𝐻1

1 + 𝐺𝐺3𝐺𝐺4𝐻𝐻2 + 𝐺𝐺2𝐺𝐺3𝐻𝐻1

1 + 𝐺𝐺3𝐺𝐺4𝐻𝐻2 𝐺𝐺4



𝐺𝐺

𝐺𝐺

1𝐺𝐺2𝐺𝐺3𝐺𝐺4

𝑤𝑤 = 𝐺𝐺1𝐺𝐺𝑧𝑧 =



1 + 𝐺𝐺3𝐺𝐺4𝐻𝐻2 + 𝐺𝐺2𝐺𝐺3𝐻𝐻1





4. korak: zadnja redukcija zanke in končni rezultat.



𝐺𝐺1𝐺𝐺2𝐺𝐺3𝐺𝐺4

𝐺𝐺

𝐺𝐺 =

1 + 𝐺𝐺3𝐺𝐺4𝐻𝐻2 + 𝐺𝐺2𝐺𝐺3𝐻𝐻1

=

1𝐺𝐺2𝐺𝐺3𝐺𝐺4



1 +

𝐺𝐺1𝐺𝐺2𝐺𝐺3𝐺𝐺4

1 + 𝐺𝐺3𝐺𝐺4𝐻𝐻2 + 𝐺𝐺2𝐺𝐺3𝐻𝐻1 + 𝐺𝐺1𝐺𝐺2𝐺𝐺3𝐺𝐺4𝐻𝐻3

1 + 𝐺𝐺

𝐻𝐻3

3𝐺𝐺4𝐻𝐻2 + 𝐺𝐺2𝐺𝐺3𝐻𝐻1





4

TEHNOLOŠKO MODELIRANJE ENERGETSKIH PROCESOV: ZBIRKA REŠENIH VAJ.





Primer 2





Poenostavimo bločni diagram na sliki:





1. korak: premik razcepišča za blok.





2. korak: redukcija zaporedne vezave Gx (označeno z modro barvo) in dveh zank: Gy (označeno z zeleno barvo) ter Gz (označeno z rdečo barvo).





1 Poenostavljanje bločnih diagramov

5.



𝐺𝐺𝑥𝑥 = 𝐺𝐺2𝐺𝐺3



𝐺𝐺

𝐺𝐺

2𝐺𝐺3

𝑦𝑦 =



1 + 𝐺𝐺2𝐺𝐺3𝐻𝐻1



𝐺𝐺

𝐺𝐺

1

𝑧𝑧 =



1 + 𝐺𝐺1𝐻𝐻2





3. korak: zadnja redukcija zaporedne vezave Gw (označeno z modro barvo) in zanke G

(označeno z zeleno barvo) ter končni rezultat.





𝐺𝐺

𝐺𝐺

𝐺𝐺

𝐺𝐺

1

2𝐺𝐺3

1𝐺𝐺2𝐺𝐺3

𝑤𝑤 = 1 + 𝐺𝐺

=

1𝐻𝐻2 1 + 𝐺𝐺2𝐺𝐺3𝐻𝐻1

(1 + 𝐺𝐺1𝐻𝐻2)(1 + 𝐺𝐺2𝐺𝐺3𝐻𝐻1) =



𝐺𝐺

𝐺𝐺

1𝐺𝐺2𝐺𝐺3

𝑤𝑤 =



1 + 𝐺𝐺1𝐻𝐻2 + 𝐺𝐺2𝐺𝐺3𝐻𝐻1 + 𝐺𝐺1𝐺𝐺2𝐺𝐺3𝐻𝐻1𝐻𝐻2



𝐺𝐺1𝐺𝐺2𝐺𝐺3

𝐺𝐺

𝐺𝐺 =

𝑤𝑤

=

1 + 𝐺𝐺1𝐻𝐻2 + 𝐺𝐺2𝐺𝐺3𝐻𝐻1 + 𝐺𝐺1𝐺𝐺2𝐺𝐺3𝐻𝐻1𝐻𝐻2

=

1 − 𝐺𝐺 𝐻𝐻3

𝐻𝐻3

𝑤𝑤 𝐺𝐺

1 −

𝐺𝐺1𝐺𝐺2𝐺𝐺3

3

1 + 𝐺𝐺1𝐻𝐻2 + 𝐺𝐺2𝐺𝐺3𝐻𝐻1 + 𝐺𝐺1𝐺𝐺2𝐺𝐺3𝐻𝐻1𝐻𝐻2 𝐺𝐺3





6

TEHNOLOŠKO MODELIRANJE ENERGETSKIH PROCESOV: ZBIRKA REŠENIH VAJ.



𝐺𝐺

𝐺𝐺 =

1𝐺𝐺2𝐺𝐺3



1 + 𝐺𝐺1𝐻𝐻2 + 𝐺𝐺2𝐺𝐺3𝐻𝐻1 + 𝐺𝐺1𝐺𝐺2𝐺𝐺3𝐻𝐻1𝐻𝐻2 − 𝐺𝐺1𝐺𝐺2𝐻𝐻3





Primer 3





Poenostavimo bločni diagram na sliki:





1. korak: Redukcija zaporedne vezave Gx (označeno z modro barvo) in vzporedne vezave Gy (označeno z zeleno barvo).





1 Poenostavljanje bločnih diagramov

7.



𝐺𝐺𝑥𝑥 = 𝐺𝐺1𝐺𝐺2𝐺𝐺3



𝐺𝐺𝑦𝑦 = 𝐺𝐺4 + 𝐺𝐺5 + 𝐺𝐺6





2. korak: redukcija zanke Gz (označeno z modro barvo) in zaporedne vezave Gq (označeno z zeleno barvo).





𝐺𝐺

𝐺𝐺

1𝐺𝐺2𝐺𝐺3

𝑧𝑧 =



1 + 𝐺𝐺1𝐺𝐺2𝐺𝐺3𝐻𝐻1



𝐺𝐺

𝐺𝐺

1𝐺𝐺2𝐺𝐺3

𝑞𝑞 = 𝐺𝐺𝑧𝑧(𝐺𝐺4 + 𝐺𝐺5 + 𝐺𝐺6) =

(

1 + 𝐺𝐺

𝐺𝐺4 + 𝐺𝐺5 + 𝐺𝐺6) =

1𝐺𝐺2𝐺𝐺3𝐻𝐻1



𝐺𝐺

𝐺𝐺

1𝐺𝐺2𝐺𝐺3𝐺𝐺4 + 𝐺𝐺1𝐺𝐺2𝐺𝐺3𝐺𝐺5 + 𝐺𝐺1𝐺𝐺2𝐺𝐺3𝐺𝐺6

𝑞𝑞 =



1 + 𝐺𝐺1𝐺𝐺2𝐺𝐺3𝐻𝐻1





8

TEHNOLOŠKO MODELIRANJE ENERGETSKIH PROCESOV: ZBIRKA REŠENIH VAJ.



3. korak: zadnja redukcija zanke in končni rezultat.



𝐺𝐺1𝐺𝐺2𝐺𝐺3𝐺𝐺4 + 𝐺𝐺1𝐺𝐺2𝐺𝐺3𝐺𝐺5 + 𝐺𝐺1𝐺𝐺2𝐺𝐺3𝐺𝐺6

𝐺𝐺 =

1 + 𝐺𝐺1𝐺𝐺2𝐺𝐺3𝐻𝐻1

=

1 − 𝐺𝐺1𝐺𝐺2𝐺𝐺3𝐺𝐺4 + 𝐺𝐺1𝐺𝐺2𝐺𝐺3𝐺𝐺5 + 𝐺𝐺1𝐺𝐺2𝐺𝐺3𝐺𝐺6

1 + 𝐺𝐺

𝐻𝐻2

1𝐺𝐺2𝐺𝐺3𝐻𝐻1



𝐺𝐺

𝐺𝐺 =

1𝐺𝐺2𝐺𝐺3𝐺𝐺4 + 𝐺𝐺1𝐺𝐺2𝐺𝐺3𝐺𝐺5 + 𝐺𝐺1𝐺𝐺2𝐺𝐺3𝐺𝐺6



1 + 𝐺𝐺1𝐺𝐺2𝐺𝐺3𝐻𝐻1 − 𝐺𝐺1𝐺𝐺2𝐺𝐺3𝐺𝐺4𝐻𝐻2 − 𝐺𝐺1𝐺𝐺2𝐺𝐺3𝐺𝐺5𝐻𝐻2 − 𝐺𝐺1𝐺𝐺2𝐺𝐺3𝐺𝐺6𝐻𝐻2





Primer 4





Poenostavimo bločni diagram na sliki:





1. korak: premik razcepišča za blok.





1 Poenostavljanje bločnih diagramov

9.



2. korak: redukcija zaporedne vezave in zanke Gx (označeno z zeleno barvo) ter vzporedne vezave Gy (označeno z modro barvo).





𝐺𝐺

𝐺𝐺

1𝐺𝐺2

𝑥𝑥 =



1 + 𝐺𝐺1𝐺𝐺2𝐻𝐻1



𝐺𝐺

𝐺𝐺

3

𝑦𝑦 = 1 +



𝐺𝐺2





3. korak: zadnja redukcija zaporedne vezave Gz (označeno z modro barvo) in zanke G

(označeno z zeleno barvo) ter končni rezultat.





10

TEHNOLOŠKO MODELIRANJE ENERGETSKIH PROCESOV: ZBIRKA REŠENIH VAJ.



𝐺𝐺

𝐺𝐺

𝐺𝐺

𝐺𝐺

1𝐺𝐺2

3

1𝐺𝐺2 + 𝐺𝐺1𝐺𝐺3

𝑧𝑧 =



1 + 𝐺𝐺

�1 + � =

1𝐺𝐺2𝐻𝐻1

𝐺𝐺2

1 + 𝐺𝐺1𝐺𝐺2𝐻𝐻1



𝐺𝐺1𝐺𝐺2 + 𝐺𝐺1𝐺𝐺3

𝐺𝐺

𝐺𝐺 =

1 + 𝐺𝐺1𝐺𝐺2𝐻𝐻1

=

1𝐺𝐺2 + 𝐺𝐺1𝐺𝐺3



1 + 𝐺𝐺1𝐺𝐺2 + 𝐺𝐺1𝐺𝐺3

1 + 𝐺𝐺1𝐺𝐺2𝐻𝐻1 + 𝐺𝐺1𝐺𝐺2𝐻𝐻2 + 𝐺𝐺1𝐺𝐺3𝐻𝐻2

1 + 𝐺𝐺

𝐻𝐻2

1𝐺𝐺2𝐻𝐻1





TEHNOLOŠKO MODELIRANJE ENERGETSKIH PROCESOV

ZBIRKA REŠENIH VAJ

D. Igrec





2 Predstavitev bločnega diagrama iz

diferencialne enačbe





Primer 1





Iz pripadajoče diferencialne enačbe predstavimo bločni diagram: 1

4 𝑦𝑦⃛ − 2𝑦𝑦̈ + 3𝑦𝑦̇ − 2𝑦𝑦 + 1 = 2𝑢𝑢



1. korak: diferencialno enačbo preuredimo na način, da ostane na levi strani najvišji odvod, vse ostalo prenesemo na desno stran. Ob tem jo pomnožimo s 4, da koeficient pri najvišjem odvodu postavimo na 1.



1

4 𝑦𝑦⃛ − 2𝑦𝑦̈ + 3𝑦𝑦̇ − 2𝑦𝑦 + 1 = 2𝑢𝑢 /∙ 4



𝑦𝑦⃛ − 8𝑦𝑦̈ + 12𝑦𝑦̇ − 8𝑦𝑦 + 4 = 8𝑢𝑢



𝑦𝑦⃛ = 8𝑦𝑦̈ − 12𝑦𝑦̇ + 8𝑦𝑦 − 4 + 8𝑢𝑢





12

TEHNOLOŠKO MODELIRANJE ENERGETSKIH PROCESOV: ZBIRKA RAČUNALNIŠKIH VAJ.



2. korak: narišemo kaskado treh integratorjev (diferencialna enačba je tretjega reda).





3. korak: na vhod dodamo seštevalnik s petimi vhodi in diagram zaključimo po preurejeni diferencialni enačbi.





Primer 2





Iz pripadajoče diferencialne enačbe predstavimo bločni diagram:



𝑦𝑦⃛ + 2𝑦𝑦̇ − 1 = 6𝑢𝑢



1. korak: diferencialno enačbo preuredimo na način, da ostane na levi strani najvišji odvod, vse ostalo prenesemo na desno stran.



𝑦𝑦⃛ = −2𝑦𝑦̇ + 1 + 6𝑢𝑢





2 Predstavitev bločnega diagrama iz diferencialne enačbe 13.



2. korak: narišemo kaskado treh integratorjev (diferencialna enačba je tretjega reda).





3. korak: na vhod dodamo seštevalnik s tremi vhodi in diagram zaključimo po preurejeni diferencialni enačbi.





14

TEHNOLOŠKO MODELIRANJE ENERGETSKIH PROCESOV: ZBIRKA RAČUNALNIŠKIH VAJ.





TEHNOLOŠKO MODELIRANJE ENERGETSKIH PROCESOV

ZBIRKA REŠENIH VAJ

D. Igrec





3 Metode za numerično reševanje

diferencialnih enačb





Izračunajmo rešitev spodnje diferencialne enačbe pri podanem začetnem pogoju pri vrednostih x = 0, 0.1, 0.2 in 0.3. Korak pri izračunu je 0.1.



Osnovni zapis:



𝑦𝑦′(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥3 + 𝑥𝑥2 − 4𝑥𝑥 + 6, 𝑦𝑦(0) = 2



Analitična metoda:



1

1

𝑦𝑦(𝑥𝑥) = �(2𝑥𝑥3 + 𝑥𝑥2 − 4𝑥𝑥 + 6)𝑑𝑑𝑥𝑥 = 2𝑥𝑥4 + 3𝑥𝑥3 − 2𝑥𝑥2 + 6𝑥𝑥 + 𝑐𝑐

𝑦𝑦(0) = 2 → 𝑐𝑐 = 2

Splošna rešitev:



1

1

𝑦𝑦(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥4 + 3𝑥𝑥3 − 2𝑥𝑥2 + 6𝑥𝑥 + 2





16

TEHNOLOŠKO MODELIRANJE ENERGETSKIH PROCESOV: ZBIRKA RAČUNALNIŠKIH VAJ.



Rešitve po posameznih vrednostih x:



𝑦𝑦(0) = 2 1

1

𝑦𝑦(0.1) = (

(

2 0.1)4 + 3 0.1)3 − 2(0.1)2 + 6(0.1) + 2 = 𝟐𝟐. 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓

1

1

𝑦𝑦(0.2) = (

(

2 0.2)4 + 3 0.2)3 − 2(0.2)2 + 6(0.2) + 2 = 𝟓𝟓. 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟓𝟓𝟏𝟏𝟏𝟏

1

1

𝑦𝑦(0.3) = (

(

2 0.3)4 + 3 0.3)3 − 2(0.3)2 + 6(0.3) + 2 = 𝟓𝟓. 𝟏𝟏𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓





Eulerjeva metoda





Splošna enačba:



𝑦𝑦𝑛𝑛+1 = 𝑦𝑦𝑛𝑛 + ℎ ∙ 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑛𝑛, 𝑦𝑦𝑛𝑛), 𝑥𝑥𝑛𝑛+1 = 𝑥𝑥𝑛𝑛 + ℎ



Začetni pogoji:



ℎ = 0.1, 𝑥𝑥0 = 0, 𝑦𝑦0 = 2, 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 2𝑥𝑥3 + 𝑥𝑥2 − 4𝑥𝑥 + 6



1. korak:



𝑥𝑥1 = 𝑥𝑥0 + ℎ = 0 + 0.1 = 0.1

𝑦𝑦(0.1) = 𝑦𝑦(𝑥𝑥1) = 𝑦𝑦1 = 𝑦𝑦0 + ℎ ∙ 𝑓𝑓(𝑥𝑥0, 𝑦𝑦0) = 2 + 0.1 ∙ 𝑓𝑓(0,2) = 2 + 0.1 ∙ 6 = 𝟐𝟐. 𝟏𝟏



2. korak:



𝑥𝑥2 = 𝑥𝑥1 + ℎ = 0.1 + 0.1 = 0.2

𝑦𝑦(0.2) = 𝑦𝑦(𝑥𝑥2) = 𝑦𝑦2 = 𝑦𝑦1 + ℎ ∙ 𝑓𝑓(𝑥𝑥1, 𝑦𝑦1) =

𝑦𝑦(0.2) = 2.6 + 0.1 ∙ 𝑓𝑓(0.1,2.6) = 2.6 + 0.1 ∙ 5.612 = 𝟓𝟓. 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐



3. korak:



𝑥𝑥3 = 𝑥𝑥2 + ℎ = 0.2 + 0.1 = 0.3

𝑦𝑦(0.3) = 𝑦𝑦(𝑥𝑥3) = 𝑦𝑦3 = 𝑦𝑦2 + ℎ ∙ 𝑓𝑓(𝑥𝑥2, 𝑦𝑦2) =

𝑦𝑦(0.3) = 3.1612 + 0.1 ∙ 𝑓𝑓(0.2,3.1612) = 3.1612 + 0.1 ∙ 5.256 = 𝟓𝟓. 𝟏𝟏𝟓𝟓𝟏𝟏𝟓𝟓





3 Metode za numerično reševanje diferencialnih enačb 17.





Runge Kutta 2. reda (Heunova metoda)





Splošna enačba:



1

1

𝑦𝑦𝑛𝑛+1 = 𝑦𝑦𝑛𝑛 + ℎ �2𝑘𝑘1 + 2𝑘𝑘2�

𝑥𝑥𝑛𝑛+1 = 𝑥𝑥𝑛𝑛 + ℎ

𝑘𝑘1 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑛𝑛, 𝑦𝑦𝑛𝑛)

𝑘𝑘2 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑛𝑛 + ℎ, 𝑦𝑦𝑛𝑛 + ℎ𝑘𝑘1) Začetni pogoji:



ℎ = 0.1, 𝑥𝑥0 = 0, 𝑦𝑦0 = 2, 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 2𝑥𝑥3 + 𝑥𝑥2 − 4𝑥𝑥 + 6



1. korak:



𝑥𝑥1 = 𝑥𝑥0 + ℎ = 0 + 0.1 = 0.1

𝑘𝑘1 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥0, 𝑦𝑦0) = 𝑓𝑓(0,2) = 6

𝑘𝑘2 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥0 + ℎ, 𝑦𝑦0 + ℎ𝑘𝑘1) = 𝑓𝑓(0 + 0.1,2 + 0.1 ∙ 6) = 𝑓𝑓(0.1,2.6) = 5.612

1

1

1

1

𝑦𝑦(0.1) = 𝑦𝑦(𝑥𝑥1) = 𝑦𝑦1 = 𝑦𝑦0 + ℎ �2𝑘𝑘1 + 2𝑘𝑘2� = 2 + 0.1�26 + 25.612� = 𝟐𝟐.𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟏𝟏



2. korak:



𝑥𝑥2 = 𝑥𝑥1 + ℎ = 0.1 + 0.1 = 0.2

𝑘𝑘1 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥1, 𝑦𝑦1) = 𝑓𝑓(0.1,2.5806) = 5.612

𝑘𝑘2 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥1 + ℎ, 𝑦𝑦1 + ℎ𝑘𝑘1) = 𝑓𝑓(0.1 + 0.1,2.5806 + 0.1 ∙ 5.612) = 𝑓𝑓(0.2,3.1418)

= 5.256

1

1

𝑦𝑦(0.2) = 𝑦𝑦(𝑥𝑥2) = 𝑦𝑦2 = 𝑦𝑦1 + ℎ �2𝑘𝑘1 + 2𝑘𝑘2� =

1

1

𝑦𝑦(0.2) = 2.5806 + 0.1 �25.612 + 25.256� = 𝟓𝟓.𝟏𝟏𝟐𝟐𝟏𝟏

3. korak:



𝑥𝑥3 = 𝑥𝑥2 + ℎ = 0.2 + 0.1 = 0.3

𝑘𝑘1 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥2, 𝑦𝑦2) = 𝑓𝑓(0.2,3.124) = 5.256





18

TEHNOLOŠKO MODELIRANJE ENERGETSKIH PROCESOV: ZBIRKA RAČUNALNIŠKIH VAJ.



𝑘𝑘2 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥2 + ℎ, 𝑦𝑦2 + ℎ𝑘𝑘1) = 𝑓𝑓(0.2 + 0.1,3.124 + 0.1 ∙ 5.256) = 𝑓𝑓(0.3,3.6496)

= 4.944

1

1

𝑦𝑦(0.3) = 𝑦𝑦(𝑥𝑥3) = 𝑦𝑦3 = 𝑦𝑦2 + ℎ �2𝑘𝑘1 + 2𝑘𝑘2� =

1

1

𝑦𝑦(0.3) = 3.124 + 0.1 �25.256 + 24.944� = 𝟓𝟓.𝟏𝟏𝟓𝟓𝟏𝟏





Runge Kutta 4. reda





Splošna enačba:



1

𝑦𝑦𝑛𝑛+1 = 𝑦𝑦𝑛𝑛 + 6ℎ(𝑘𝑘1 + 2𝑘𝑘2 + 2𝑘𝑘3 + 𝑘𝑘4)

𝑥𝑥𝑛𝑛+1 = 𝑥𝑥𝑛𝑛 + ℎ

𝑘𝑘1 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑛𝑛, 𝑦𝑦𝑛𝑛) 1

1

𝑘𝑘2 = 𝑓𝑓 �𝑥𝑥𝑛𝑛 + 2ℎ,𝑦𝑦𝑛𝑛 + 2ℎ𝑘𝑘1�

1

1

𝑘𝑘3 = 𝑓𝑓 �𝑥𝑥𝑛𝑛 + 2ℎ,𝑦𝑦𝑛𝑛 + 2ℎ𝑘𝑘2�

𝑘𝑘4 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑛𝑛 + ℎ, 𝑦𝑦𝑛𝑛 + ℎ𝑘𝑘3) Začetni pogoji:



ℎ = 0.1, 𝑥𝑥0 = 0, 𝑦𝑦0 = 2, 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 2𝑥𝑥3 + 𝑥𝑥2 − 4𝑥𝑥 + 6



1. korak:



𝑥𝑥1 = 𝑥𝑥0 + ℎ = 0 + 0.1 = 0.1

𝑘𝑘1 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥0, 𝑦𝑦0) = 𝑓𝑓(0,2) = 6

1

1

1

1

𝑘𝑘2 = 𝑓𝑓 �𝑥𝑥0 + 2ℎ,𝑦𝑦0 + 2ℎ𝑘𝑘1� = 𝑓𝑓�0 + 20.1,2 + 20.1 ∙ 6� = 𝑓𝑓(0.05,2.3)

= 5.80275

1

1

1

1

𝑘𝑘3 = 𝑓𝑓 �𝑥𝑥0 + 2ℎ,𝑦𝑦0 + 2ℎ𝑘𝑘2� = 𝑓𝑓�0 + 20.1,2 + 20.1 ∙ 5.80275� =

𝑘𝑘3 = 𝑓𝑓(0.05,2.2901375) = 5.80275

𝑘𝑘4 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥0 + ℎ, 𝑦𝑦0 + ℎ𝑘𝑘3) = 𝑓𝑓(0 + 0.1,2 + 0.1 ∙ 5.80275) = 𝑓𝑓(0.1,2.580275)

= 5.612

3 Metode za numerično reševanje diferencialnih enačb 19.



1

𝑦𝑦(0.1) = 𝑦𝑦(𝑥𝑥1) = 𝑦𝑦1 = 𝑦𝑦0 + 6ℎ(𝑘𝑘1 + 2𝑘𝑘2 + 2𝑘𝑘3 + 𝑘𝑘4) =

1

𝑦𝑦(0.1) = 2 + 60.1(6 + 2 ∙ 5.80275 + 2 ∙ 5.80275 + 5.612) = 𝟐𝟐.𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓



2. korak:



𝑥𝑥2 = 𝑥𝑥1 + ℎ = 0.1 + 0.1 = 0.2

𝑘𝑘1 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥1, 𝑦𝑦1) = 𝑓𝑓(0.1,2.580383) = 5.612

1

1

1

1

𝑘𝑘2 = 𝑓𝑓 �𝑥𝑥1 + 2ℎ,𝑦𝑦1 + 2ℎ𝑘𝑘1� = 𝑓𝑓�0.1 + 20.1,2.580383 + 20.1 ∙ 5.612� =

𝑘𝑘2 = 𝑓𝑓(0.15,2.860983) = 5.42925

1

1

1

1

𝑘𝑘3 = 𝑓𝑓 �𝑥𝑥1 + 2ℎ,𝑦𝑦1 + 2ℎ𝑘𝑘2� = 𝑓𝑓�0.1 + 20.1,2.580383 + 20.1 ∙ 5.42925� =

𝑘𝑘3 = 𝑓𝑓(0.15,2.851845) = 5.42925

𝑘𝑘4 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥1 + ℎ, 𝑦𝑦1 + ℎ𝑘𝑘3) = 𝑓𝑓(0.1 + 0.1,2.580383 + 0.1 ∙ 5.42925) =

𝑘𝑘4 = 𝑓𝑓(0.2,3.123308) = 5.256

1

𝑦𝑦(0.2) = 𝑦𝑦(𝑥𝑥2) = 𝑦𝑦2 = 𝑦𝑦1 + 6ℎ(𝑘𝑘1 + 2𝑘𝑘2 + 2𝑘𝑘3 + 𝑘𝑘4) =

1

𝑦𝑦(0.2) = 2.580383 + 60.1(5.612 + 2 ∙ 5.42925 + 2 ∙ 5.42925 + 5.256)

= 𝟓𝟓. 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟓𝟓𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏



3. korak:



𝑥𝑥3 = 𝑥𝑥2 + ℎ = 0.2 + 0.1 = 0.3

𝑘𝑘1 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥2, 𝑦𝑦2) = 𝑓𝑓(0.2,3.123467) = 5.256

1

1

1

1

𝑘𝑘2 = 𝑓𝑓 �𝑥𝑥2 + 2ℎ,𝑦𝑦2 + 2ℎ𝑘𝑘1� = 𝑓𝑓�0.2 + 20.1,3.123467 + 20.1 ∙ 5.256� =

𝑘𝑘2 = 𝑓𝑓(0.25,3.386267) = 5.09375

1

1

1

1

𝑘𝑘3 = 𝑓𝑓 �𝑥𝑥2 + 2ℎ,𝑦𝑦2 + 2ℎ𝑘𝑘2� = 𝑓𝑓�0.2 + 20.1,3.123467 + 20.1 ∙ 5.09375� =

𝑘𝑘3 = 𝑓𝑓(0.25,3.378154) = 5.09375

𝑘𝑘4 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥2 + ℎ, 𝑦𝑦2 + ℎ𝑘𝑘3) = 𝑓𝑓(0.2 + 0.1,3.123467 + 0.1 ∙ 5.09375) =

𝑘𝑘4 = 𝑓𝑓(0.3,3.632841) = 4.944

1

𝑦𝑦(0.3) = 𝑦𝑦(𝑥𝑥3) = 𝑦𝑦3 = 𝑦𝑦2 + 6ℎ(𝑘𝑘1 + 2𝑘𝑘2 + 2𝑘𝑘3 + 𝑘𝑘4) =



20

TEHNOLOŠKO MODELIRANJE ENERGETSKIH PROCESOV: ZBIRKA RAČUNALNIŠKIH VAJ.



1

𝑦𝑦(0.3) = 3.123467 + 60.1(5.256 + 2 ∙ 5.09375 + 2 ∙ 5.09375 + 4.944)

= 𝟓𝟓. 𝟏𝟏𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓





TEHNOLOŠKO MODELIRANJE

ENERGETSKIH PROCESOV:

ZBIRKA REŠENIH VAJ

DALIBOR IGREC

Univerza v Mariboru, Fakulteta za energetiko, Krško, Slovenija dalibor.igrec@guest.um.si

Povzetek Zbirka rešenih vaj predstavlja dodatno učno gradivo z rešenimi nalogami pri predmetu Tehnološko modeliranje energetskih procesov, ki je namenjeno predvsem študentom magistrskega študija na Fakulteti za energetiko Univerze v Mariboru. Gradivo zajema tri ključna poglavja, ki jih je v okviru predmeta potrebno razumeti in znati samostojno rešiti. Prvo poglavje predstavlja poenostavljanje bločnih diagramov, kjer je s pomočjo pravil algebre na primerih prikazan postopek poenostavljanja po posameznih korakih. Drugo poglavje zajema predstavitev bločnega diagrama iz diferencialne Ključne besede: enačbe, kjer je iz pripadajoče diferencialne enačbe prikazana bločni diagram, diferencialna enačba,

pretvorba v bločni diagram. Zadnje poglavje zajema metode za numerično reševanje numerično reševanje diferencialnih enačb, kjer je na primeru diferencialnih enačb, diferencialne enačbe pri podanem začetnem pogoju s celotnim analitična metoda, Eulerjeva metoda,

postopkom prestavljen izračun po analitični in Eulerjevi metodi ter Runge Kutta metodi Runge Kutta 2. in 4. reda.

2. in 4. reda.



DOI https://doi.org/10.18690/um.fe.4.2022

ISBN 978-961-286-589-4





Document Outline


1 Poenostavljanje bločnih diagramov

Primer 1

Primer 2

Primer 3

Primer 4

2 Predstavitev bločnega diagrama iz diferencialne enačbe

Primer 1

Primer 2

3 Metode za numerično reševanje diferencialnih enačb

Eulerjeva metoda

Runge Kutta 2. reda (Heunova metoda)

Runge Kutta 4. reda