OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO IZDAJA DRUŠTVO MATEMATIKOV, FIZIKOV IN ASTRONOMOV SLOVENIJE ISSN 0473-7466 OBZORNIK MAT. FIZ. LJUBLJANA LETNIK 59 ŠT. 2 STR. 41–80 MAREC 2012 C KM Y 2012 Letnik 59 2 i i “kolofon” — 2012/5/15 — 12:19 — page 1 — #1 i i i i i i OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Glasilo Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije Ljubljana, MAREC 2012, letnik 59, številka 2, strani 41–80 Naslov uredništva: DMFA–založništvo, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana Telefon: (01) 4766 553, 4232 460 Telefaks: (01) 4232 460, 2517 281 Elektronska pošta: zaloznistvo@dmfa.si Internet: http://www.obzornik.si/ Transakcijski račun: 03100–1000018787 Mednarodna nakazila: SKB banka d.d., Ajdovščina 4, 1513 Ljubljana SWIFT (BIC): SKBASI2X IBAN: SI56 0310 0100 0018 787 Uredniški odbor: Marko Petkovšek (glavni urednik), Sašo Strle (urednik za matematiko in odgovorni urednik), Aleš Mohorič (urednik za fiziko), Mirko Dobovišek, Irena Dreven- šek Olenik, Damjan Kobal, Peter Legiša, Petar Pavešić, Marko Razpet, Nada Razpet, Peter Šemrl, Matjaž Zaveršnik (tehnični urednik). Jezikovno pregledal Janez Juvan. Računalniško stavila in oblikovala Tadeja Šekoranja. Natisnila tiskarna COLLEGIUM GRAPHICUM v nakladi 1250 izvodov. Člani društva prejemajo Obzornik brezplačno. Celoletna članarina znaša 21 EUR, za druge družinske člane in študente pa 10,50 EUR. Naročnina za ustanove je 35 EUR, za tujino 40 EUR. Posamezna številka za člane stane 3,19 EUR, stare številke 1,99 EUR. DMFA je včlanjeno v Evropsko matematično društvo (EMS), v Mednarodno matematično unijo (IMU), v Evropsko fizikalno društvo (EPS) in v Mednarodno združenje za čisto in uporabno fiziko (IUPAP). DMFA ima pogodbo o recipročnosti z Ameriškim matematič- nim društvom (AMS). Revija izhaja praviloma vsak drugi mesec. Sofinancirata jo Javna agencija za knjigo Re- publike Slovenije ter Ministrstvo za šolstvo in šport. c© 2011 DMFA Slovenije – 1868 Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana NAVODILA SODELAVCEM OBZORNIKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV Revija Obzornik za matematiko in fiziko objavlja izvirne znanstvene in strokovne članke iz mate- matike, fizike in astronomije, včasih tudi kak prevod. Poleg člankov objavlja prikaze novih knjig s teh področij, poročila o dejavnosti Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije ter vesti o drugih pomembnih dogodkih v okviru omenjenih znanstvenih ved. Prispevki naj bodo zanimivi in razumljivi širšemu krogu bralcev, diplomantov iz omenjenih strok. Članek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev), sedež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo), izvle- ček v slovenskem jeziku, naslov in izvleček v angleškem jeziku, klasifikacijo (MSC oziroma PACS) in citirano literaturo. Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih lahko večinoma razumemo tudi ločeno od besedila. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (copyright). Prispevki so lahko oddani v računalni- ški datoteki PDF ali pa natisnjeni enostransko na belem papirju formata A4. Zaželena velikost črk je 12 pt, razmik med vrsticami pa vsaj 18 pt. Prispevke pošljite odgovornemu uredniku ali uredniku za matematiko oziroma fiziko na zgoraj na- pisani naslov uredništva. Vsak članek se praviloma pošlje dvema anonimnima recenzentoma, ki morata predvsem natančno oceniti, kako je obravnavana tema predstavljena, manj pomembna pa je originalnost (in pri matematičnih člankih splošnost) rezultatov. Če je prispevek sprejet v objavo, potem urednik prosi avtorja še za izvorne računalniške datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane v eni od standardnih različic urejevalnikov TEX oziroma LATEX, kar bo olajšalo uredniški postopek. Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu. i i “Razpet” — 2012/5/10 — 12:04 — page 41 — #1 i i i i i i SREDINE SREDIN MARKO RAZPET Pedagoška fakulteta Univerza v Ljubljani Math. Subj. Class. (2010): 26D15 Obravnavamo relacije med nekaterimi sredinami vrstic in stolpcev matrik s pozitiv- nimi realnimi elementi. Uporabimo dobro znano neenakost med aritmetično in geome- trično sredino pozitivnih realnih števil. THE MEANS OF MEANS We discuss relations between some means related to rows and columns of matrices with positive real entries. We use the well-known inequality between arithmetic and geometric mean of positive real numbers. Uvod Neenakosti so v matematiki vsekakor zelo pomembne. Z njimi si pomagamo na primer v analizi, geometriji, aritmetiki, verjetnostnem računu, teoriji števil in v numerični ter računalnǐski matematiki. Nekatere neenakosti so že dolgo znane, še vedno pa odkrivajo nove. Med najbolj znanimi je trikotnǐska neenakost, ki jo spoznamo najprej pri realnih, nato pri kompleksnih številih in pri običajnih vektorjih, kasneje pa v metričnih, normiranih in drugih prostorih. Dokazovanje neenakosti poteka različno: včasih z metodo popolne indukcije, včasih direktno z uporabo aksiomatike realnih števil, tu pa tam si pomagamo z že dokazanimi neenakostmi, pogosto pa uporabljamo prijeme z različnih matematičnih področij. Zelo znana je tudi neenakost med geometrično in aritmetično sredino dveh pozitivnih realnih števil. Aritmetična sredina pozitivnih realnih števil a in b je po definiciji število A(a, b) = (a + b)/2, geometrična pa G(a, b) =√ ab. Brez težav dokažemo, da je vedno G(a, b) ≤ A(a, b), enačaj v tej rela- ciji pa velja samo tedaj, ko je a = b. Definiciji obeh sredin lahko posplošimo na poljubno, toda končno mnogo pozitivnih realnih števil. Definicija 1. Aritmetična in geometrična sredina pozitivnih realnih števil u1, u2, . . . , ur sta števili A(u1, u2, . . . , ur) = u1 + u2 + . . .+ ur r , (1) G(u1, u2, . . . , ur) = r √ u1u2 · · ·ur. (2) Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 2 41 i i “Razpet” — 2012/5/10 — 12:04 — page 42 — #2 i i i i i i Marko Razpet Ni pa nič kaj lahko dokazati, da velja znana relacija G(u1, u2, . . . , ur) ≤ A(u1, u2, . . . , ur) (3) pri poljubnih pozitivnih realnih številih u1, u2, . . . , ur. Obstaja več načinov, kako dokazati (3), noben od njih pa ni posebno preprost. Pogosto najdemo dokaz v zbirki nalog, na primer v [2], seveda pa tudi v specializiranih knji- gah, na primer v [1, 3]. Avtor dela [3] je zbral prek 20 različnih dokazov o njeni veljavnosti. V prispevku ji bomo posvetili malo več pozornosti, ker glavni rezultat navsezadnje sloni ravno na njej. Morda je za šolsko rabo še najpreprosteǰsi tisti dokaz, ki je posledica naslednje leme: Lema 1. Če so x1, x2, . . . , xn poljubna pozitivna realna števila, katerih pro- dukt je enak 1, potem je njihova vsota večja ali enaka n: x1x2 · · ·xn = 1 =⇒ x1 + x2 + . . .+ xn ≥ n. Enačaj v tej relaciji pa nastopi natanko tedaj, ko je x1 = x2 = . . . = xn = 1. Dokaz. Lemo dokažemo z metodo popolne indukcije glede na naravno število n. Za n = 1 je trditev očitna. Predpostavimo, da trditvi v lemi držita za n (n > 1) kakršnihkoli pozitivnih realnih števil, katerih produkt je 1. Vzemimo poljubna pozitivna števila y1, y2, . . . , yn, yn+1, za katera je tudi y1y2 . . . ynyn+1 = 1. Pri tem ne morejo biti hkrati vsi faktorji večji od 1, pa tudi ne vsi hkrati manǰsi od 1, kajti v prvem primeru bi bil produkt večji od 1, v drugem pa manǰsi od 1. Torej obstaja vsaj en faktor v produktu, ki ne presega 1, in vsaj en faktor, ki je velik vsaj 1. Brez škode za splošnost lahko vzamemo, da je 0 < yn ≤ 1 in yn+1 ≥ 1. Potem lahko zapǐsemo y1y2 · · · ynyn+1 kot produkt y1y2 · · · yn−1(ynyn+1) = 1, v katerem je n faktorjev. Po indukcijski predpostavki je zato y1 + y2 + . . .+yn−1+ynyn+1 ≥ n, iz česar sledi najprej y1+y2+. . .+yn−1 ≥ n−ynyn+1 in nato y1+y2+. . .+yn−1+yn+yn+1 ≥ n−ynyn+1+yn+yn+1. Po preureditvi izraza na desni strani neenačaja dobimo: y1 + y2 + . . .+ yn−1 + yn + yn+1 ≥ (n+ 1) + (1− yn)(yn+1 − 1) ≥ n+ 1. S tem nam je uspelo narediti indukcijski korak. Neenakost v lemi velja za vsak naraven n. Da pa bo v preǰsnji relaciji obveljala enakost y1 + y2 + . . .+ yn + yn+1 = n+1, mora biti yn = 1 ali yn+1 = 1. Ne da bi kaj izgubili na splošnosti, lahko vzamemo yn+1 = 1. Potem je y1 + y2 + . . .+ yn = n in y1y2 . . . yn−1yn = 1. Iz indukcijske predpostavke takoj sledi y1 = y2 = . . . = yn = 1. S tem imamo nazadnje y1 = y2 = . . . = yn = yn+1 = 1. 42 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 2 i i “Razpet” — 2012/5/10 — 12:04 — page 43 — #3 i i i i i i Sredine sredin Sedaj z lahkoto dokažemo neenakost (3), povemo pa tudi lahko, natanko kdaj v njej velja enačaj. Izrek 2. Za poljubna pozitivna realna števila u1, u2, . . . , ur velja relacija u1 + u2 + . . .+ ur ≥ r r √ u1u2 · · ·ur, (4) v kateri velja enačaj natanko tedaj, ko je u1 = u2 = . . . = ur. Dokaz. Izrek dokažemo z uporabo leme 1, če vpeljemo: x1 = u1 r √ u1u2 · · ·ur , x2 = u2 r √ u1u2 · · ·ur , . . . , xr = ur r √ u1u2 · · ·ur . Očitno je x1x2 . . . xr = 1, iz česar sklepamo: x1 + x2 + . . .+ xr = u1 + u2 + . . .+ ur r √ u1u2 · · ·ur ≥ r. Iz dobljene relacije pa takoj sledi u1 + u2 + . . .+ ur ≥ r r √ u1u2 · · ·ur. Enačaj v (4) velja natanko tedaj, ko je x1 = x2 = . . . = xr, to se pravi, ko je u1 = u2 = . . . = ur. Definicija 2. Harmonična sredina pozitivnih realnih števil u1, u2, . . . , ur je število H(u1, u2, . . . , ur) = (A(u −1 1 , u −1 2 , . . . , u −1 r )) −1. (5) Vse tri sredine imajo lastnost homogenosti glede na pozitivne faktorje λ: A(λu1, λu2, . . . , λur) = λA(u1, u2, . . . , ur), (6) G(λu1, λu2, . . . , λur) = λG(u1, u2, . . . , ur), (7) H(λu1, λu2, . . . , λur) = λH(u1, u2, . . . , ur). Ne glede na število enk v oklepaju je seveda G(1, 1, . . . , 1) = 1. Geome- trična sredina ima tudi lastnost multiplikativnosti. Če so namreč števila u1, u2, . . . , ur in v1, v2, . . . , vr pozitivna, ni težko dokazati, da veljajo enako- sti: G(u1v1, u2v2, . . . , urvr) = G(u1, u2, . . . , ur)G(v1, v2, . . . , vr), (8) G(u1/v1, u2/v2, . . . , ur/vr) = G(u1, u2, . . . , ur)/G(v1, v2, . . . , vr), (9) G(u−11 , u −1 2 , . . . , u −1 r ) = (G(u1, u2, . . . , ur)) −1. (10) 41–49 43 i i “Razpet” — 2012/5/10 — 12:04 — page 44 — #4 i i i i i i Marko Razpet Tako kot lahko primerjamo med seboj aritmetično in geometrično sre- dino istih števil, lahko primerjamo tudi harmonično in geometrično sredino. Vse tri sredine so v relaciji, o kateri govori naslednji izrek: Izrek 3. Za poljubna pozitivna realna števila u1, u2, . . . , ur velja relacija H(u1, u2, . . . , ur) ≤ G(u1, u2, . . . , ur) ≤ A(u1, u2, . . . , ur) (11) in v njej prevladata enačaja natanko takrat, ko je u1 = u2 = . . . = ur. Dokaz. Po definiciji harmonične sredine in po (3) je H(u1, u2, . . . , ur) = (A(u −1 1 , u −1 2 , . . . , u −1 r )) −1 ≤ (G(u−11 , u −1 2 , . . . , u −1 r )) −1. Naprej pa je seveda po (10) (G(u−11 , u −1 2 , . . . , u −1 r )) −1 = G(u1, u2, . . . , ur) ≤ A(u1, u2, . . . , ur). S tem je relacija (11) dokazana. Da pa v njej prevladata enačaja natanko takrat, ko je u1 = u2 = . . . = ur, pa tudi takoj vidimo. V nadaljevanju bomo pokazali, kako lahko obravnavane sredine in nji- hove lastnosti s pridom uporabimo pri matrikah. Izkazalo se bo, da osrednji izrek, izrek 4, da nekatere zanimive posledice. Aritmetična, geometrična in harmonična sredina pri matrikah Matrika, ki ima same pozitivne realne elemente, postane zanimiva, ker lahko zanjo primerjamo sredine po vrsticah in stolpcih ter sredine teh sredin. Da bosta beseda in dokaz laže tekla, je koristno vpeljati za matriko A =  a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n ... ... . . . ... am1 am2 . . . amn  , (12) ki ima same pozitivne realne elemente, aritmetične sredine vrstic Ai = A(ai1, ai2, . . . , ain) (i = 1, 2, . . . ,m), geometrične sredine stolpcev Gj = G(a1j , a2j , . . . , amj) (j = 1, 2, . . . , n) 44 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 2 i i “Razpet” — 2012/5/10 — 12:04 — page 45 — #5 i i i i i i Sredine sredin ter harmonične sredine vrstic Hi = G(ai1, ai2, . . . , ain) (i = 1, 2, . . . ,m). Sedaj lahko zapǐsemo glavni izrek v tem prispevku. Izrek 4. V poljubni matriki s pozitivnimi realnimi elementi je geometrična sredina aritmetičnih sredin vrstic večja ali enaka aritmetični sredini geomet- ričnih sredin stolpcev: G(A1, A2, . . . , Am) ≥ A(G1, G2, . . . , Gn). (13) V poljubni matriki s pozitivnimi realnimi elementi je harmonična sredina geometričnih sredin stolpcev večja ali enaka geometrični sredini harmoničnih sredin vrstic: H(G1, G2, . . . , Gn) ≥ G(H1, H2, . . . ,Hm). (14) Enakost nastopa v (13) in (14) samo tedaj, kadar so si vse vrstice matrike proporcionalne. Zgornji trditvi ostaneta veljavni, če v njih povsod med seboj zamenjamo besedi vrstica in stolpec. Dokaz. Najprej zapǐsimo: 1 = nAi nAi = 1 nAi n∑ j=1 aij = 1 n n∑ j=1 aij Ai (i = 1, 2, . . . ,m). Nato seštejmo, zamenjajmo vrstni red vsot in upoštevajmo (4): m = 1 n m∑ i=1 n∑ j=1 aij Ai = 1 n n∑ j=1 m∑ i=1 aij Ai = 1 n n∑ j=1 mA(a1j/A1, a2j/A2, . . . , amj/Am) ≥ m n n∑ j=1 G(a1j/A1, a2j/A2, . . . , amj/Am). Po kraǰsanju z m in po lastnosti (9) imamo: 1 ≥ 1 n n∑ j=1 G(a1j , a2j , . . . , amj) G(A1, A2, . . . , Am) = 1 G(A1, A2, . . . , Am) · 1 n n∑ j=1 Gj . 41–49 45 i i “Razpet” — 2012/5/10 — 12:04 — page 46 — #6 i i i i i i Marko Razpet Iz zgornje relacije pa že lahko razberemo: G(A1, A2, . . . , Am) ≥ A(G1, G2, . . . , Gn). Kdaj v pravkar dokazani relaciji velja enačaj? Iz izpeljave vidimo, da natanko tedaj, ko je a1j A1 = a2j A2 = . . . = amj Am = λj (j = 1, 2, . . . , n). Pri tem so λ1, λ2, . . . , λn pozitivna realna števila. Za poljubna indeksa i, k = 1, 2, . . . ,m je aij akj = Aiλj Akλj = Ai Ak (j = 1, 2, . . . , n), kar pomeni, da sta si i-ta in k-ta vrstica matrike A proporcionalni. Vsaka vrstica je torej proporcionalna vsaki drugi. Ni težko dokazati, da velja tudi obratno, v relaciji velja enačaj, če so si vrstice matrike A proporcionalne. Vzemimo, brez škode za splošnost, da so proporcionalne kar prvi vrstici: (ai1, ai2, . . . , ain) = (µia11, µia12, . . . , µia1n) (i = 1, 2, . . . ,m). Pri tem so µ1, µ2, . . . , µm pozitivna realna števila in µ1 = 1. Tedaj imamo Ai = µiA1 (i = 1, 2, . . . ,m) in zato za vse indekse i in j velja: aij Ai = µia1j µiA1 = a1j A1 = λj . Vsi kvocienti aij/Ai so torej neodvisni od i. Že prej pa smo zapisali, da je to tudi zadosten pogoj za to, da velja enakost A(G1, G2, . . . , Gn) = G(A1, A2, . . . , Am). Relacija (13) je s tem dokazana. Če ima matrika A same pozitivne realne elemente, ima tudi matrika A′ =  a−111 a −1 12 . . . a −1 1n a−121 a −1 22 . . . a −1 2n ... ... . . . ... a−1m1 a −1 m2 . . . a −1 mn  (15) 46 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 2 i i “Razpet” — 2012/5/10 — 12:04 — page 47 — #7 i i i i i i Sredine sredin same pozitivne realne elemente. Za matriko A′ vpeljimo aritmetične sredine vrstic A′i = A(a −1 i1 , a −1 i2 , . . . , a −1 in ) (i = 1, 2, . . . ,m) in geometrične sredine stolpcev G′j = G(a −1 1j , a −1 2j , . . . , a −1 mj) (j = 1, 2, . . . , n). Iz relacij G(A′1, A ′ 2, . . . , A ′ m) ≥ A(G′1, G′2, . . . , G′n), A′i = H−1i , G ′ j = G −1 j dokažemo z uporabo lastnosti (10) in definicij: (G(H1, H2, . . . ,Hm)) −1 = G(H−11 , H −1 2 , . . . ,H −1 m ) = G(A ′ 1, A ′ 2, . . . , A ′ m) ≥ A(G′1, G′2, . . . , G′n) = A(G−11 , G −1 2 , . . . , G −1 n ) = (H(G1, G2, . . . , Gn)) −1. Nazadnje je pred nami relacija G(H1, H2, . . . ,Hm) ≤ H(G1, G2, . . . , Gn), ki smo jo želeli dokazati. Vemo že, da velja G(A′1, A ′ 2, . . . , A ′ m) = A(G ′ 1, G ′ 2, . . . , G ′ n) natanko tedaj, ko so si vse vrstice matrike A′ proporcionalne. To pa je natanko tedaj, ko so si vse vrstice matrike A proporcionalne. Torej tudi v relaciji (14) velja enačaj natanko tedaj, ko so si vrstice matrike A propor- cionalne. Primeri 1. Naj bo A = [ a21 a 2 2 . . . a 2 n b21 b 2 2 . . . b 2 n ] , (16) pri čemer so a1, a2, . . . , an in b1, b2, . . . , bn pozitivna realna števila. Ge- ometrične sredine stolpcev so a1b1, a2b2, . . . , anbn, aritmetični sredini vrstic pa (a21 + a 2 2 + . . .+ a 2 n)/n in (b 2 1 + b 2 2 + . . .+ b 2 n)/n. Zato velja po (13) neenakost a1b1 + a2b2 + . . .+ anbn n ≤ √ a21 + a 2 2 + . . .+ a 2 n n · b 2 1 + b 2 2 + . . .+ b 2 n n , 41–49 47 i i “Razpet” — 2012/5/10 — 12:04 — page 48 — #8 i i i i i i Marko Razpet iz česar sledi Cauchy-Schwarzeva neenakost: a1b1 + a2b2 + . . .+ anbn ≤ √ a21 + a 2 2 + . . .+ a 2 n √ b21 + b 2 2 + . . .+ b 2 n. V njej velja enačaj natanko tedaj, ko je a1/b1 = a2/b2 = . . . = an/bn. Če vzamemo b1 = b2 = . . . = bn = 1, dobimo po preureditvi neenakost a1 + a2 + . . .+ an n ≤ √ a21 + a 2 2 + . . .+ a 2 n n , kar je znana relacija med aritmetično in kvadratno sredino. V njej velja enačaj natanko tedaj, ko je a1 = a2 = . . . = an. 2. Oglejmo si še A =  a1 a2 . . . an a2 a3 . . . a1 ... ... . . . ... an a1 . . . an−1  , (17) pri čemer so a1, a2, . . . , an pozitivna realna števila. V matriki od vrstice do vrstice elemente ciklično zamaknemo. Geometrične sredine vseh stolpcev so n √ a1a2 · · · an, aritmetične sredine vseh vrstic pa (a1 + a2 + . . . + an)/n. Zato velja zaradi (13) znana relacija n √ a1a2 · · · an ≤ a1 + a2 + . . .+ an n . V njej velja enačaj natanko tedaj, ko obstaja tako pozitivno realno število λ, za katero je a2 = λa1, a3 = λa2, . . . , an = λan−1, a1 = λan. Ko zmnožimo leve in desne strani vseh zgornjih enakosti, dobimo naj- prej a1a2 . . . an = λ na1a2 . . . an, po kraǰsanju pa λ n = 1 in s tem λ = 1. Zato je nazadnje res tisto, kar smo pričakovali: a1 = a2 = . . . = an. S tem smo po ovinku v celoti še enkrat dokazali neenakost (3). 3. Naj bo A = [ 1 1 . . . 1 a1 a2 . . . an ] , (18) 48 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 2 i i “Razpet” — 2012/5/10 — 12:04 — page 49 — #9 i i i i i i Sredine sredin pri čemer so a1, a2, . . . , an pozitivna realna števila. Aritmetične sredine stolpcev so (1 + a1)/2, (1 + a2)/2, . . . , (1 + an)/2, geometrični sredini vrstic pa 1 in n √ a1a2 · · · an. Zato velja znana neenakost 1 + n √ a1a2 · · · an ≤ n √ (1 + a1)(1 + a2) · · · (1 + an). V njej velja enačaj natanko tedaj, ko je a1 = a2 = . . . = an. Podobna naloga je podana in rešena v [2]. 4. Naj bo sedaj n naravno število in A = [ an 1 . . . 1 bn 1 . . . 1 ] , (19) pri čemer sta a in b pozitivni realni števili. V stolpcih od vključno drugega do n-tega so same enke. Aritmetične sredine stolpcev so (an + bn)/2 in n− 1 enk, geometrični sredini vrstic pa a in b. Zato velja a+ b 2 ≤ n √ an + bn 2 , iz česar sledi znana neenakost (A(a, b))n ≤ A(an, bn). V njej velja enačaj natanko tedaj, ko je a = b. Dobljena neenakost izraža, če drugega ne, konveksnost funkcije x 7→ xn na pozitivnem pol- traku realne osi za naravne eksponente n. 5. Če sta m in n naravni števili ter a1, a2, . . . , am pozitivna realna števila, lahko podobno kot v preǰsnjem primeru najdemo neenakost (A(a1, a2, . . . , am)) n ≤ A(an1 , an2 , . . . , anm). Enačaj velja le, če je a1 = a2 = . . . = am. Zahvala Zahvaljujem se prof. dr. Tomažu Pisanskemu, ki mi je dal idejo za neenakost s harmoničnimi sredinami in za prevedbo neenakosti (13) in (14) v matrični jezik. LITERATURA [1] G. H. Hardy, J. E. Littlewood in G. Pólya, Inequalities, Academic Press, Cambridge, 1952. [2] V. A. Krečmar, Zadačnik po algebre, Fizmatgiz, Moskva, 1961. [3] D. S. Mitrinović, Elementary inequalities, P. Noordhoff, Groningen, 1964. 41–49 49 KUBIČNE KRIVULJE TRIKOTNIKA TANJA VEBER I. gimnazija v Celju Math. Subj. Class. (2010): 51N20; 51M04; 14H45; 51N35 Članek obravnava kubične krivulje trikotnika. To so krivulje tretjega reda, ki potekajo skozi vsa tri oglǐsča trikotnika, sredǐsča včrtane ter pričrtanih krožnic. Nekatere premice v ravnini določajo družino kubičnih krivulj trikotnika, med njimi je najbolj znana Eulerjeva premica, ki določa družino kubičnih krivulj, imenovano Eulerjev snop kubičnih krivulj trikotnika. CUBIC CURVES OF A TRIANGLE This article investigates cubic curves of a triangle. These are curves of the third degree, which pass through the vertices of the triangle and through the incenter and the excenters of the triangle. Some lines in the plane determine a family of cubic curves, the most famous one is the Euler line, which determines the family of cubic curves, called the Euler pencil of cubic curves of the triangle. Uvod Prvi odmevneǰsi rezultati iz geometrije trikotnika, matematičnega področja, ki obravnava značilne točke trikotnika, njihove posebnosti in povezave, se- gajo v 18. stoletje. Iz tega časa izhajata izrek o Eulerjevi premici trikotnika in izrek o Simsonovih premicah. Največji razmah je geometrija trikotnika doživela v 19. stoletju, ko so bili dokazani novi izreki o tem, da določene točke trikotnika vedno ležijo na isti premici oziroma isti krožnici. Iz tega časa izvirajo nekatere znamenite krožnice trikotnika, kot so Feuerbachova, Spiekerjeva in Fuhrmannova krožnica, ter nekatere nove značilne premice trikotnika, na primer Brocardova os in Lemoineova premica. Nekaj doda- tnega zagona je to področje dobilo z Möbiusovo uvedbo homogenih koordi- nat, ki so olaǰsale analitičnogeometrijski pristop k obravnavani tematiki. V dvajsetem stoletju pa je bilo to področje za dalj časa potisnjeno na stranski tir. V zadnjem obdobju je geometrijo trikotnika moč ponovno v večji meri zaslediti v literaturi, kar je posledica razvoja računalnǐskih orodij za dina- mično geometrijo, ki nam omogočajo več matematičnega eksperimentiranja in s tem olaǰsajo postavljanje novih hipotez. Veliko zaslug na tem podro- čju prav gotovo lahko pripǐsemo Clarku Kimberlingu, ki je v svoji knjigi [3] navedel seznam 360 značilnih točk trikotnika, seznam premic, na kate- rih ležijo vsaj tri od njih ter seznam krožnic, na katerih ležijo vsaj štiri od 50 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 2 Kubične krivulje trikotnika njih. Še več značilnih točk, že prek 3600, pa najdemo na Kimberlingovi spletni strani [10]. Kimberlingovo delo je geometrijo trikotnika po eni strani zaokrožilo, po drugi strani pa se odpirajo vedno nova vprašanja pri obrav- navi stožnic, splošnih krivulj drugega reda, pa tudi posplošitve, povezave in obravnave krivulj tretjega reda ter krivulj vǐsjih stopenj. V tem članku bomo spoznali nekaj zanimivosti o kubičnih krivuljah trikotnika. Pri njihovi obravnavi nam bodo delo olaǰsala nekatera dejstva, ki jih bomo predstavili v naslednjih dveh razdelkih. Trilinearne koordinate Naj bo ABC poljuben trikotnik v ravnini z oglǐsči A,B,C in stranicami a, b, c, pri čemer oglǐsče A leži nasproti stranice a, oglǐsče B nasproti stra- nice b in oglǐsče C nasproti stranice c. Naj bo P poljubna točka v ravnini. Evklidske razdalje točke P do nosilk stranic a, b, c označimo z α0, β0, γ0. Tem razdaljam dodamo predznake (in dobimo novo trojico števil α1, β1, γ1) na naslednji način. Nosilka stranice trikotnika razdeli ravnino trikotnika na dve polravnini. Polravnino, ki vsebuje tretje oglǐsče trikotnika, imenujemo pozitivni breg trikotnika glede na dano nosilko, drugo polravnino pa nega- tivni breg. Če točka P leži na negativnem bregu trikotnika glede na nosilko stranice a, potem ima α1 negativni predznak, torej α1 = −α0, če pa leži na pozitivnem bregu trikotnika glede na nosilko stranice a, pa je α1 = α0. Ana- logno velja glede predznakov števil β1 in γ1. Trojica realnih števil α1, β1, γ1 natanko določa točko v ravnini in jo imenujemo dejanske trilinearne razdalje točke P . Za določitev točke bi bili dovolj samo dve trilinearni razdalji. S pomočjo vpeljanih dejanskih trilinearnih razdalj lahko definiramo homogene trilinearne koordinate točke P . Definicija 1. Homogene trilinearne koordinate točke P so vsaka trojica realnih števil α, β, γ, ki zadoščajo pogojem α1 = kα, β1 = kβ, γ1 = kγ, kjer so α1, β1, γ1 dejanske trilinearne razdalje točke P , k pa neničelno realno število. V nadaljevanju bomo homogene trilinearne koordinate imenovali kar triline- arne koordinate. Trilinearne koordinate točke P označujemo P = α : β : γ. Kadar imamo opravka z danim trikotnikom v ravnini, vpeljemo trilinearne koordinate, saj se v teh koordinatah zapis nekaterih značilnih točk triko- tnika in nekaterih premic precej poenostavi. Trilinearne koordinate oglǐsč trikotnika so A = 1 : 0 : 0, B = 0 : 1 : 0, C = 0 : 0 : 1, enačbe nosilk stranic trikotnika so α = 0, β = 0, γ = 0, 50–62 51 Tanja Veber prav tako imajo poenostavljen zapis enačbe simetral notranjih in zunanjih kotov trikotnika α = β, β = γ, γ = α ter α = −β, β = −γ, γ = −α. Izberimo točko P znotraj trikotnika s stranicami a, b, c in naj bodo P (α1, β1, γ1) njene dejanske trilinearne razdalje. V tem primeru ni težko premisliti, da je aα1 + bβ1 + cγ1 = 2S, kjer je S ploščina trikotnika ABC. Enako velja za druge točke v ravnini. Zato je za poljubne trilinearne koor- dinate P = α : β : γ poljubne točke v evklidski ravnini izraz aα + bβ + cγ enak nekemu večkratniku ploščine in je zato različen od 0. Včasih je dobro, da evklidsko ravnino vložimo v projektivno ravnino in se tako izognemo težavam, ki nastanejo, kadar se v ravnini dve (vzporedni) premici ne sekata. Projektivna ravnina ima tako poleg običajnih točk še za eno premico dodatnih točk, ki jim rečemo točke v neskončnosti, premici pa premica v neskončnosti. Na njej ležijo presečǐsča vzporednih premic. Običajni model projektivne ravnine dobimo, če za ” točke“ vzamemo pre- mice v prostoru skozi koordinatno izhodǐsče, ” premica“ skozi dve taki točki pa je ravnina, ki jo določata tema dvema točkama pripadajoči sekajoči se premici. V tako konstruirani ravnini se poljubni dve premici (ravnini skozi izhodǐsče) sekata. S pomočjo trilinearnih koordinat točke evklidske ravnine zlahka vložimo v tovrstno projektivno ravnino. Točki P = α : β : γ namreč priredimo premico v prostoru skozi koordinatno izhodǐsče in s smernim vek- torjem (α, β, γ). Preslikava je dobro definirana, saj različni zapisi iste točke določajo isto premico. Izkaže se, da se točke s premice skozi dve dani točki preslikajo v premice na ravnini skozi izhodǐsče, ki jo določata premici, ki sta sliki začetnih dveh točk. Ravnine v prostoru skozi koordinatno izhodǐsče imajo enačbo oblike lα+mβ + nγ = 0 za realne vrednosti l, m, n. To po- meni, da točke s premice skozi dve točki zadoščajo taki enačbi, kar pomeni, da je lα+mβ+nγ = 0 enačba premice v trilinearnih koordinatah. Ker smo že videli, da enakosti aα+ bβ + cγ = 0 ne zadošča nobena točka v evklidski ravnini, po drugi strani pa je to premica v projektivni ravnini, sledi, da je to ravno prej omenjena premica v neskončnosti. Če presečǐsče dveh premic projektivne ravnine leži na tej premici, to dejansko pomeni, da sta ustrezni premici v evklidski ravnini vzporedni. Na podlagi lastnosti projektivnih koordinat s pomočjo preprostih geo- metrijskih razmislekov (in izračunov) pokažemo, da veljajo naslednje pove- zave med točkami in premicami, podanimi s trilinearnimi koordinatami. Na primer, presečǐsče dveh premic ustreza smernemu vektorju, ki je vektorski produkt normal dveh ravnin. Trditev 1. Premici z enačbama lα+mβ + nγ = 0 in l′α+m′β + n′γ = 0 se sekata v točki (mn′ −m′n) : (nl′ − n′l) : (lm′ − l′m). 52 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 2 Kubične krivulje trikotnika TOČKA DEJANSKE RAZDALJE TRILINEARNE KOORDINATE A,B,C (va, 0, 0), (0, vb, 0), (0, 0, vc) 1 : 0 : 0, 0 : 1 : 0, 0 : 0 : 1 I (r, r, r) 1 : 1 : 1 O (R cosA,R cosB,R cosC) cosA : cosB : cosC IA, IB, IC (−ra, ra, ra), (rb,−rb, rb),(rc, rc,−rc) −1 : 1 : 1, 1 : −1 : 1, 1 : 1 : −1 V (2R cosB cosC, 2R cosC cosA, 2R cosA cosB) 1 cosA : 1 cosB : 1 cosC F ( R 2 cos(B − C), R 2 cos(C −A), R 2 cos(A−B) ) cos(B − C) : cos(C −A) : cos(A−B) T ( 2S 3a , 2S 3b , 2S 3c ) 1 a : 1 b : 1 c oz. 1 sinA : 1 sinB : 1 sinC Trditev 2. Premice z enačbami l1α+m1β+n1γ = 0, l2α+m2β + n2γ = 0 in l3α+m3β + n3γ = 0 so konkurentne (se sekajo v skupni točki) natanko tedaj, ko velja ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ l1 m1 n1 l2 m2 n2 l3 m3 n3 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = 0. Trditev 3. Naj bosta α1 : β1 : γ1 in α2 : β2 : γ2 dve različni točki. Enačbo premice, ki poteka skozi ti dve točki, dobimo z determinanto ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ α β γ α1 β1 γ1 α2 β2 γ2 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = 0. 50–62 53 Tanja Veber Prav tako pridemo s preprostimi, a dalǰsimi izračuni do trilinearnih koor- dinat nekaterih značilnih točk trikotnika. V tabeli so navedene trilinearne koordinate oglǐsč trikotnika, sredǐsča I trikotniku včrtane krožnice, sredǐsč IA, IB, IC trikotniku pričrtanih krožnic, sredǐsča O trikotniku očrtane kro- žnice, sredǐsča F krožnice devetih točk ter vǐsinske točke V in težǐsča triko- tnika T . V nadaljevanju bomo oglǐsča in notranje kote trikotnika s strani- cami a, b, c označevali z A, B, C. Iz teksta pa bo razvidno, na kaj se v tistem delu nanaša oznaka. Izogonalna transformacija ravnine V nadaljevanju bomo potrebovali naslednjo trditev: Trditev 4. Premici lα −mβ = 0 in mα − lβ = 0 sta simetrični glede na simetralo kota C. Dokaz. Na premicah z enačbama lα−mβ = 0 oziromamα−lβ = 0 izberimo točki T = αT : βT : γT oziroma S = αS : βS : γS tako, da bosta usmerjena kota ǫ = ∠ACT in ǫ′ = ∠SCB ostra kota. Velja lαT − mβT = 0 in mαS − lβS = 0. Iz prve enačbe dobimo, da je αT βT = m l , iz druge enačbe pa βS αS = m l . S pomočjo spodnje slike lahko zapǐsemo sin ǫ = βT |CT | , sin(C − ǫ) = αT |CT | , sin ǫ′ = αS |CS| , sin(C − ǫ′) = βS |CS| . S preoblikovanjem zgornjih enakosti dobimo naslednje: βT αT = sin ǫ sin(C − ǫ) = l m = αS βS = sin ǫ′ sin(C − ǫ′) . 54 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 2 Kubične krivulje trikotnika Od tod sledi, da je sin ǫ · sin(C − ǫ′) = sin ǫ′ · sin(C − ǫ). Nato uporabimo adicijski izrek za sinus razlike in v nekaj korakih dobimo tan ǫ = tan ǫ′. To pa pomeni, da je ǫ = ǫ′. S tem smo dokazali, da sta premici skozi oglǐsče C in točko T oziroma S simetrični glede na simetralo kota C. Prav tako velja, da sta premici z enačbama mβ−nγ = 0 in nβ−mγ = 0 simetrični glede na simetralo kota A ter premici nγ− lα = 0 in lγ−nα = 0 simetrični glede na simetralo kota B. Imejmo dan △ABC in točko P , ki leži v ravnini danega trikotnika. Pre- mico AP prezrcalimo preko simetrale kota A, premico BP preko simetrale kota B ter CP preko simetrale kota C. Pokažimo, da so tako dobljene premice iz treh konkurentnih premic s presečǐsčem P spet konkurentne. Naj bo točka P = l : m : n presečǐsče premic AP, BP in CP . Enačbe premic skozi pare danih točk so po vrsti: nβ −mγ = 0, lγ − nα = 0, mα− lβ = 0. Po trditvi 4 so enačbe simetričnih premic k danim premicam: mβ − nγ = 0, nγ − lα = 0, lα−mβ = 0. Determinanta ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 0 m −n −l 0 n l −m 0 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ima vrednost 0, zato so tudi te premice konkurentne. To dejstvo je osnova, na podlagi katere bomo definirali izogonalno trans- formacijo ravnine. Definicija 2. Naj bo P točka v ravnini trikotnika ABC, ki ne leži na no- beni izmed nosilk stranic trikotnika. Premico AP prezrcalimo preko sime- trale notranjega kota pri oglǐsču A, premici BP ter CP pa ustrezno preko simetral notranjih kotov pri oglǐsčih B in C. Točko, v kateri se sekajo vse tri prezrcaljene premice, imenujemo izogonalna konjugiranka točke P in jo označujemo s P ′. Preslikavo, ki vsaki točki P priredi izogonalno konjugi- ranko, pa imenujemo izogonalna transformacija ravnine. 50–62 55 Tanja Veber V definiciji izogonalne transformacije izločimo točke, ki ležijo na nosilkah stranic trikotnika. Poglejmo si, zakaj. Če je točka P eno od oglǐsč trikotnika, denimo P = A, potem premica PA sploh ni določena, preostali premici PB in PC pa se obe preslikata v nosilko stranice BC. V tem primeru torej nimamo kandidata za točko P ′. Če točka P leži na nosilki katerekoli stranice trikotnika, bi se z izogonalno transformacijo preslikala v nasprotno oglǐsče trikotnika. S tem bi izgubili injektivnost izogonalne transformacije. Zato izogonalno transformacijo obravnavamo kot preslikavo ravnine brez nosilk trikotnika. Nekatere lastnosti izogonalne transformacije so precej očitne. 1. Izogonalna transformacija je involucija: izogonalna konjugiranka izogo- nalne konjugiranke je prvotna točka. Kvadrat izogonalne transformacije je identiteta. Torej je (P ′)′ = P . 2. Če točka P leži na katerikoli izmed simetral notranjih kotov trikotnika, leži na tej simetrali tudi njena izogonalna konjugiranka, saj se simetrala, preko katere zrcalimo, pri zrcaljenju ohranja. To pomeni, da se ohranja presečǐsče simetral notranjih kotov, to pa je sredǐsče trikotniku včrtane krožnice; I ′ = I. 3. Prav tako se z izogonalno transformacijo ohranjajo simetrale zunanjih kotov, saj je kot med simetralama zunanjega in notranjega kota pravi kot. Od tod vidimo, da se ohranjajo tudi sredǐsča pričrtanih krožnic. Naslednji izrek podaja trilinearne koordinate izogonalne konjugiranke k dani točki. Izrek 5. Naj bo P = α : β : γ točka v ravnini trikotnika ABC, ki ne leži na nobeni izmed nosilk stranic trikotnika. Njena izogonalna konjugiranka je P ′ = α−1 : β−1 : γ−1. Zato namesto P ′ pogosto pǐsemo kar P−1. Dokaz. Naj bo P točka s trilinearnimi koordinatami l : m : n, ki ne leži na nobeni izmed nosilk stranic trikotnika. V tem primeru so vsa tri realna števila l, m in n različna od 0. Enačbe premic AP , BP , CP se glasijo: nβ −mγ = 0, lγ − nα = 0, mα− lβ = 0. Te premice se z zrcaljenjem preko simetral notranjih kotov trikotnika pre- slikajo v premice, katerih enačbe so navedene pred definicijo 2, kjer smo tudi dokazali, da so konkurentne. Presečǐsče teh premic je (po trditvi 1) izogonalna konjugiranka točke P s trilinearnimi koordinatami P ′ = mn : ln : ml = l−1 : m−1 : n−1. 56 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 2 Kubične krivulje trikotnika Omenili smo že, da se sredǐsča trikotniku včrtane in pričrtanih krožnic z izogonalno transformacijo ohranjajo, hitro pa se o tem lahko prepričamo, če si pogledamo trilinearne koordinate teh točk. I = 1 : 1 : 1 = I−1, IA = −1 : 1 : 1 = I −1 A , IB = 1 : −1 : 1 = I −1 B in IC = 1 : 1 : −1 = I −1 C . Če se vprašamo, kdaj je točka enaka svoji izogonalni kojugiranki, dobimo (a, b, c) = ( k a , k b , k c ) , kar pomeni, da je a2 = b2 = c2 = k. V trilinearnih koordinatah to pomeni a = ±1, b = ±1, c = ±1 in (primerjajte tabelo) vidimo, da velja naslednji izrek. Posledica 6. Sredǐsča danemu trikotniku včrtane in pričrtanih krožnic so edine točke, ki se z izogonalno transformacijo ohranjajo. Iz tabele, kjer imamo podane trilinearne koordinate značilnih točk triko- tnika, lahko razberemo še en par izogonalnih konjugirank, to sta sredi- šče trikotniku očrtane krožnice O = cosA : cosB : cosC in vǐsinska točka V = cos−1A : cos−1B : cos−1C. V teh dveh razdelkih smo si na kratko ogledali trilinearne koordinate in izogonalno transformacijo ravnine, kar bomo potrebovali pri opisovanju kubičnih krivulj. Vsi radovedni bralci, ki sta jim ti dve poglavji vzbudili toliko zanimanja, da bi želeli podrobneje raziskati omenjeni področji, lahko več najdejo na spletni strani [9]. Kubične krivulje trikotnika V tem razdelku si bomo najprej pogledali definicijo kubične krivulje triko- tnika. Definicija 3. Kubična krivulja trikotnika s tečajem F,ΓF , je množica točk, ki so kolinearne s svojo konjugiranko in tečajem kubične krivulje; ΓF = {P ;P, P −1, F so kolinearne}. V naslednjem izreku bomo upravičili tako definirano ime množice ΓF . Izrek 7. Množica točk ΓF je kubična krivulja, ki poteka skozi sredǐsča tri- kotniku včrtane in pričrtanih krožnic, tečaj F in točko F−1. Dokaz. Naj bo F = f1 : f2 : f3 fiksna točka (tečaj krivulje ΓF ). Točka P = α : β : γ naj bo poljubna točka na krivulji ΓF . Vemo, da je njena izogonalna konjugiranka točka P−1 = βγ : γα : αβ. Če naj bodo točke F, P, P−1 kolinearne, mora veljati: ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ f1 f2 f3 α β γ βγ γα αβ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = 0. 50–62 57 Tanja Veber Od tod sledi, da je: f1α(β 2 − γ2) + f2β(γ 2 − α2) + f3γ(α 2 − β2) = 0. (i) Dobili smo enačbo množice ΓF v trilinearnih koordinatah, ki je tretje sto- pnje. Kot smo že omenili, bi enačbo lahko izrazili tudi v kartezičnih koordi- natah in bi bila prav tako tretje stopnje. Ker se po posledici 2 točke I, IA, IB, IC z izogonalno transformacijo ohranjajo, zagotovo ležijo na kubični krivulji. Prav tako neposredno iz definicije kubične krivulje sledi, da na tej krivulji ležita tudi točki F in F−1. Strogo gledano se množica ΓF in krivulja z enačbo (i) ne ujemata povsem. Razlikujeta se namreč v presečǐsčih slednje z nosilkami stranic trikotnika. V teh točkah izogonalna transformacija ni definirana in zato te ne ustrezajo definiciji množice ΓF . Vendar pa običajno zaradi preprostosti z izrazom kubična krivulja trikotnika preprosto razumemo celo krivuljo z enačbo (i). Upoštevaje ta dogovor, na kubični krivulji trikotnika očitno ležijo tudi vsa tri oglǐsča trikotnika ABC. Iz definicije kubične krivulje trikotnika pa sledi naslednji izrek: Izrek 8. Če točka P leži na krivulji ΓF , potem na njej leži tudi njena izo- gonalna konjugiranka. Pravimo, da je ΓF izogonalno simetrična. Ni težko premisliti, čemu je enaka kubična krivulja trikotnika, če za tečaj vzamemo oglǐsče trikotnika. Na podlagi enačbe (i) vidimo, da gre za unijo treh premic: nosilke stranice, ki leži nasproti izbranega oglǐsča, ter sime- tral notranjega in zunanjega kota trikotnika ob izbranem oglǐsču. Podobno vidimo, da dobimo tri premice tudi v primeru, če za tečaj vzamemo sredi- šče včrtane ali eno od sredǐsč pričrtanih krožnic. Zato se dogovorimo, da kubično krivuljo trikotnika ΓF , kjer je F ∈ {A, B, C, I, IA, IB, IC}, imenujemo trivialna kubična krivulja trikotnika. Prav tako se dogovorimo, da bomo kubično krivuljo trikotnika imenovali degenerirana kubična krivulja trikotnika, če jo bomo lahko zapisali kot unijo krivulj prvega in drugega reda ali kot unijo treh krivulj prvega reda. Trivialne kubične krivulje spadajo to- rej med degenerirane kubične krivulje trikotnika. Ali velja tudi obratno? Ne, izkaže se, da velja naslednji izrek, ki ga tu le navajamo. Dokaz izreka najdete v [7]. Izrek 9. Kubična krivulja trikotnika s tečajem F je degenerirana natanko takrat, ko F leži na katerikoli izmed simetral notranjih ali zunanjih kotov danega trikotnika. V nadaljevanju pa bomo omenili snope kubičnih krivulj trikotnika. 58 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 2 Kubične krivulje trikotnika Definicija 4. Naj bosta P in P−1 izogonalni konjugiranki v ravnini danega trikotnika, pri čemer P 6= P−1, in p premica skozi točki P in P−1. Potem družino {ΓF , F ∈ p} imenujemo snop kubičnih krivulj trikotnika, pripadajoč paru konjugirank P in P−1. Iz definicije takoj sledi naslednji izrek: Izrek 10. Naj bo {ΓF , F ∈ p} snop kubičnih krivulj trikotnika, pripadajoč paru konjugirank P in P−1. Vse krivulje iz tega snopa potekajo skozi točki P in P−1. Vsaka premica, ki vsebuje par izogonalnih konjugirank, določa snop ku- bičnih krivulj trikotnika. Z izbiro točke F na premici skozi točki P in P−1 pa je kubična krivulja trikotnika iz tega snopa natanko določena. Ena iz- med bolj znanih premic je Eulerjeva premica, to je premica, na kateri ležijo težǐsče trikotnika, vǐsinska točka trikotnika in sredǐsče trikotniku očrtane krožnice. Vǐsinska točka in sredǐsče trikotniku očrtane krožnice sta izogo- nalni konjugiranki. Snop kubičnih krivulj trikotnika, katerih tečaj leži na Eulerjevi premici, imenujemo Eulerjev snop kubičnih krivulj trikotnika. A B C O I I I I A B C A B C I I I I A B C Slika 1. Levo: Napoleonova kubična krivulja trikotnika ima za tečaj Feuerbachovo sre- dǐsče F , to je sredǐsče krožnice devetih točk. Na tej kubični krivulji ležijo vse točke v povezavi z znanimi Napoleonovimi trikotniki, to so oglǐsča Napoleonovih notranjih in zu- nanjih trikotnikov ter notranja in zunanja Napoleonova točka. Desno: McCayeva kubična krivulja trikotnika. Tečaj je sredǐsče trikotniku očrtane krožnice. Zanjo je značilno, da njena presečǐsča s trikotniku očrtano krožnico tvorijo enakostranični trikotnik. Zato ima ta kubična krivulja trikotnika vedno tri asimptote, ki se sekajo pod kotom 60◦. 50–62 59 Tanja Veber Eulerjev snop kubičnih krivulj trikotnika Za konec naštejmo nekaj dejstev in izhodǐsč za nadaljnja razmǐsljanja o ku- bičnih krivuljah trikotnika, s poudarkom na krivuljah iz Eulerjevega snopa. Izberimo si za dani trikotnik v ravnini enakokraki trikotnik. Tedaj je Euler- jeva premica simetrala kota nasproti osnovnice. Tečaji vseh kubičnih krivulj trikotnika iz Eulerjevega snopa tako ležijo na simetrali notranjega kota tri- kotnika. Že v izreku 8 smo omenili, da so v tem primeru vse kubične krivulje trikotnika iz tega snopa degenerirane. Zapǐsemo jih lahko kot unijo stožnice in Eulerjeve premice ali kot unijo Eulerjeve premice in še dveh simetral notranjih oziroma zunanjih kotov danega enakokrakega trikotnika. A B C I I I I T A B C A B C I I I I V A B C Slika 2. Levo: Thompsonova kubična krivulja trikotnika, njen tečaj je težǐsče trikotnika ABC. Desno: Vǐsinska kubična krivulja trikotnika, njen tečaj je vǐsinska točka trikotnika ABC. V raznostraničnem trikotniku tvorijo Eulerjev snop raznotere kubične krivulje. Najpomembneǰse med njimi so McCayeva, Napoleonova, Thomp- sonova, vǐsinska, Darbouxova in Neubergova. Poleg trikotnika ABC, Eu- lerjeve premice, ki je označena s črtkano črto, in ustreznih kubičnih krivulj je na slikah prikazana tudi trikotniku ABC očrtana krožnica, in to zaradi naslednjih dejstev: oglǐsča trikotnika vedno ležijo tako na kubični krivu- lji trikotnika kot na očrtani krožnici. Izkaže pa se, da se število dodatnih presečǐsč kubične krivulje s trikotniku očrtano krožnico ujema s številom asimptot kubične krivulje trikotnika. Če ima kubična krivulja trikotnika z očrtano krožnico tri dodatna presečǐsča, označimo jih s točkami P, Q, R, 60 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 2 Kubi"cne krivulje trikotnika potem je tečaj F kubične krivulje trikotnika vǐsinska točka trikotnika PQR, asimptote kubične krivulje trikotnika pa so vzporedne premicam PF , QF , RF . A B C I I I I A B C A B C I I I I A B C Slika 3. Levo: Darbouxova kubična krivulja trikotnika. Tečaj je De Longchampsova točka, ki je zrcalna slika vǐsinske točke preko sredǐsča trikotniku očrtane krožnice. Desno: Neubergova kubična krivulja trikotnika. Tečaj le-te je točka v neskončnosti na Eulerjevi premici, ki jo označujemo z N . Ta točka je presečǐsče Eulerjeve premice in premice v ne- skončnosti. Neubergova kubična krivulja trikotnika seka trikotniku očrtano krožnico samo v eni točki, ki jo imenujemo Neubergova točka. Neubergova kubična krivulja trikotnika ima eno samo asimptoto. Sklep Kljub tisočletni zgodovini geometrije in dolgoletnim izkušnjam človeštva s to vejo matematike smo vedno znova presenečeni, koliko življenja skriva v sebi tako preprost objekt, kot je trikotnik. Ne le, da nam tri točke v ravnini določajo več kot 3600 različnih značilnih točk trikotnika, z izbiro četrte točke, tečaja kubične krivulje trikotnika, v življenje obudimo krivulje tretjega reda. Ko ta četrta točka drsi po Eulerjevi premici trikotnika, se pred nami zvrstijo člani Eulerjevega snopa kubičnih krivulj trikotnika z mnogimi skupnimi lastnostmi in mnogimi posebnostmi. Kdo ve, kakšna presenečenja v zvezi s trikotniki nas še čakajo v prihodnosti? 50–62 61 LITERATURA [1] S. L. Loney, The elements of coordinate geometry, Part II, Trilinear Coordinates, etc., MacMillan, London, 1957. [2] J. Casey, Analytic geometry, 2nd edition, Hodges & Figgis, Dublin, 1893. [3] C. Kimberling, Triangle centers and central triangles, Congr. Numerantium 129, 1998. [4] H. M. Cundy in C. F. Parry, Some cubic curves associated with a triangle, J. Geom. 53 (1995), 41–66. [5] G. M. Pinkernell, Cubic curves in the triangle plane, J. Geom. 55 (1996), 141–161. [6] Z. Čerin: On the cubic of Napoleon, J. Geom. 66 (1999), No. 1–2, 55–71. [7] T. Veber: Kubične krivulje trikotnika, magistrsko delo, Maribor, 2003. [8] Cubics in the Triangle Plane, dostopno na spletu: http://pagesperso-orange.fr/bernard.gibert/ctc1.html, povzeto dne 10. 2. 2012. [9] Trilinear coordinates and other methods of modern analytical geometry of two dimen- sions: an elementary treatise, dostopno na spletu: http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle= euclid.chmm/1263315790, povzeto 10. 2. 2012. [10] Clark Kimberling’s Encyclopedia of Triangle centers, dostopno na spletu: http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html, povzeto dne 10. 2. 2012. VESTI MATEMATIČNE NOVICE Abelovo nagrado dobil Endre Szemerédi Norveška Akademija znanosti je razglasila Abelovega nagrajenca za leto 2012. To je madžarski matematik Endre Szemerédi (Matematični inštitut Alfréd Rényi v Budimpešti in Oddelek za računalnǐstvo na Univerzi Rutgers v ZDA). Nagrado je dobil za delo v diskretni matematki in teoretičnem računalnǐstvu. Njegovi rezultati so pomemben prispevek k aditivni teoriji števil in ergodični teoriji. Boštjan Kuzman je podrobneje opisal [1] njegove dosežke v Delovi prilogi Znanost. Vladimir Arnold na Krasu Pred dvema letoma (junija 2010) je v Parizu umrl slavni ruski matematik Vladimir Arnold. Rojen je bil leta 1937 v Odesi v družini, ki je že več generacij nazaj dala znanstvenike. Njegova mati je bila Židinja. Arnold je bil zmeraj ponosen, da je potomec in del ruske inteligence. Po njegovih besedah ([2], str. 436): 62 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 2 Matematične novice Nobena druga država nima take kaste znanstvenikov, zdravnikov, ume- tnikov, učiteljev . . . , ki jim je pomembneǰsi njihov prispevek družbi kot osebna ali denarna korist. Starši so mu, kot je tradicija v mnogih družinah ruske inteligence, že v rani mladosti zastavljali matematična vprašanja. V intervjuju iz leta 1997 [2] Arnold trdi, da že pet- ali šestletni otroci lahko rešijo nekatere probleme, ki jih podiplomci zaradi formalne matematične izobrazbe ne zmorejo, npr.: Iz soda vzamemo žlico vina in ga primešamo čaju v skodelici. Nato vzamemo žlico dobljene mešanice in jo damo nazaj v sod. Česa je zdaj več: čaja v sodu ali vina v skodelici? Nekoliko stareǰsi otroci, ki že poznajo števila, lahko rešijo tole nalogo: Janezek hoče kupiti knjigo, a ima 7 evrov premalo. Micka bi rada kupila isto knjigo, a ima en evro premalo. Oba skleneta, da bosta skupaj kupila to knjigo, a ugotovita, da imata tudi tako premalo denarja. Koliko stane knjiga? Enajst- ali dvanajstletnemu je učitelj zastavil tole nalogo: Dve starki sta se ob sončnem vzhodu odpravili na pot, vsaka s stalno hitrostjo. Prva je šla od A do B, druga od B do A. Srečali sta se opoldne. Prva je prǐsla v B ob štirih popoldne, druga v A ob devetih zvečer. Kdaj je sonce vzšlo na ta dan? Kot pravi, je o tem premǐsljeval ves dan. Ko je našel rešitev, pa je bilo to pravo odkritje. Enako sijajno se je pozneje počutil vsakič, ko je prǐsel do rešitve kakega problema. Kot študent Kolmogorova je devetnajstleten (deloma) rešil trinajsti Hil- bertov problem. Pozneje so pomembni njegovi prispevki na področju na- vadnih in parcialnih diferencialnih enačb in uporabi v mehaniki tekočin, stabilnosti sistema dveh in več teles, teoriji singularnosti itd. Ker je v šest- desetih letih preǰsnjega stoletja protestiral proti ravnanju sovjetskih oblasti, ki so zaprle zdravega matematika v psihiatrično bolnǐsnico, skoraj tri de- setletja ni smel v tujino. Pǐsejo ([3], str. 491, glej tudi njegovo pripoved v [2], str. 434), da je imel zahrbtne sovražnike in da je njegov stareǰsi kolega, predstavnik SZ v IMU, v sedemdesetih letih preprečil, da bi dobil Fieldsovo medaljo. Po perestrojki je tudi sam začel potovati po svetu, dobil je mesto na univerzi v Parizu in bil eden od ustanoviteljev Neodvisne univerze v Mo- skvi. Dobil je mnogo nagrad in priznanj. Znan pa je bil tudi po številnih močnih mnenjih in prepričanju o superiornosti ruskega šolskega sistema. Napisal je tudi ([2], str. 436): Ena od značilnosti ruske matematične tradicije je nagnjenost k temu, da gledamo celotno matematiko kot en sam živ organizem. Na Zahodu je čisto mogoče, da si strokovnjak za matematiko modulo 5 in ne veš ničesar o matematiki modulo 7. Širino znanja posa- meznika gledajo na Zahodu enako negativno, kot imajo ozkost v Rusiji za Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 2 63 Vesti nesprejemljivo. Zelo je nasprotoval nepotrebni abstrakciji v matematiki. O vsem tem se lahko podrobneje poučite v intervjuju [2], ki ima pomenljiv podnaslov: Utilius scandalum nasci permittur quam veritas relinquatur; (Decreta- lium V papeža Gregorja IX., začetek 13. stoletja). Slovenski prevod bi bil: Bolje je tvegati, da pride do škandala, kot za- molčati resnico. Druga njegova značilnost pa je bila izredna fizična vzdržljivost, ki jo je včasih demonstriral na tvegane načine. Tako je sredi zime večkrat v kratkih hlačah na smučeh pretekel nekaj deset kilometrov (kot je povedala njegova študentka Smilka Zdravkovska). V severni Kaliforniji je, star skoraj šestde- set let, na vetroven dan plaval v morju s temperaturo 13 stopinj Celzija in po prihodu na obalo zavrnil brisačo. Enkrat pa bi ga v podobno mrzlem morju v bližini San Francisca močni tokovi skoraj odnesli na odprto morje. (Lahko povem, da so na tamkaǰsnji obali opozorila pred tokovi in da pla- valcev nisem videl, saj mrzli japonski tok močno ohladi vodo tudi poleti. Edinole na nekaterih varneǰsih odsekih lahko vidǐs surfarje v neoprenskih zaščitnih oblekah.) V Parizu je s kolesom imel prometno nesrečo, ki jo je komajda preživel ([3], str. 488). Njegov prijatelj Dimitrij Fuchs je v reviji Notices of the AMS objavil pismo, ki ga je Arnold napisal marca leta 2008, ko se je vrnil s trimesečnega bivanja v Mednarodnem centru za teoretično fiziko v Miramaru ([3], str. 485–486). Vladimir Arnold opisuje, kako je v tem času bival v Sesljanu in v prostem času stikal in plezal po kraških jamah v okolici, tudi onstran meje v Sloveniji. Ob tem je opazil, da so mnoge slovenske besede podobne (stari) ruščini. Njegovo mnenje, da Kraševci govorijo jezik, ki je bliže ruščini kot ukrajinski, pa je seveda rahlo pretirano. Vseeno je presenetljivo videti, kaj vse je vedel ali si zapomnil s področja zgodovine, kulture, zemljepisa. Kot pravi, je preiskal tudi številne nekartirane jame na tem področju. Na strani 502 tega članka imamo fotografijo Arnolda, ki je skoraj gotovo posneta med kraškimi ogradami, na strani 485 pa je slavni matematik v kraškem rovu. LITERATURA [1] B. Kuzman, Norveška akademija je nagradila nepravilni um, Delo, priloga Znanost 6. 4. 2012, http://www.delo.si/druzba/znanost/norveska-akademija-je-nagradila- nepravilni-um.html. [2] S. H. Lui, An Interview with Vladimir Arnold, Notices of the AMS, April 1997, 432– 438, http://www.ams.org/notices/199704/arnold.pdf. [3] B. Khesin, S. Tabachnikov (ur.), Memories of Vladimir Arnold, Notices of the AMS, April 2012, 482–502, http://www.ams.org/notices/201204/rtx120400482p.pdf. Peter Legǐsa 64 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 2 i i “Strnad” — 2012/5/10 — 14:20 — page 65 — #1 i i i i i i O SVETLOBNEM TLAKU1 JANEZ STRNAD Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani PACS: 03.30.+p Sevalni tlak je vezan na gibalno količino svetlobe. Povezavo gibalne količine z energijo svetlobe v srednji šoli lahko uporabimo kot izhodǐsče za vstop v kvantno mehaniko. V članku teče razprava o ozadju klasične enačbe. Pri nekaterih pojavih je odločilen sevalni tlak. Enačbo za sevalni tlak je mogoče preprosto izpeljati. Izpeljavi enačbe so nekateri ugovarjali. Pripombe o tem utegnejo koristiti učiteljem. ON LIGHT PRESSURE The radiation pressure is bound to the momentum of light. The connection of mo- mentum with the energy of light may be used in high school as a point of departure for the approach to quantum mechanics. In the article the background of the classical equation is discussed. Phenomena are described for which the radiation pressure is decisive. The equation for the radiation pressure is derived in a simple way. Objections against the derivation of the equation are mentioned. Remarks are added which may be useful for teachers. Pojav Svetloba izvaja silo na oviro, v kateri se absorbira ali na kateri se odbije. Dokler so svetlobo opisovali s hitrimi delci, so zamisel opirali na silo curka te- kočine, ki spolzi ob oviri ali se na njej odbije. Okoli leta 1872 je James Clerk Maxwell z napetostnim tenzorjem ugotovil, da je sevalni tlak vzporednega curka elektromagnetnega valovanja pri pravokotnem vpadu na ploščico, ki ga absorbira, enak povprečni gostoti energije v valovanju: p = w. Sevalni tlak svetlobe je prvi izmeril Pjotr Nikolajevič Lebedev leta 1900 v Peterburgu [1]. Leto zatem sta merjenje v Združenih državah ponovila Ernest Fox Nichols in Gordon Ferrie Hull. John H. Poynting je v nago- voru kot predsednik britanskega fizikalnega društva leta 1905 izjavil: ” Zelo kratka izkušnja z merjenjem teh svetlobnih sil zadostuje, da se prepričamo o skrajni majhnosti, majhnosti, ki jih postavi onstran razprave o zemelj- skih zadevah.“ Razmere so se spremenile z odkritjem laserjev leta 1960. Z laserskim curkom, usmerjenim navpično navzgor, je bilo mogoče izravnati težo drobne kroglice in doseči, da lebdi v curku [2]. Pozneje so s posebnimi prijemi zagotovili, da atomi v plinu absorbirajo svetlobo z določeno valovno 1Po prispevku na strokovnem srečanju DMFA 2011 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 2 65 i i “Strnad” — 2012/5/10 — 14:20 — page 66 — #2 i i i i i i Janez Strnad dolžino iz laserskega curka. Sevajo na vse strani in zaradi odriva izgubljajo hitrost v smeri curka. Trije pari med seboj pravokotnih laserskih curkov lahko zadržujejo atome v pasti. Lasersko hlajenje in optično-magnetne pa- sti so močno izpopolnili. Svetlobni tlak v osončju Johannes Kepler je na začetku 17. stoletja v okviru delčne predstave do- mneval, da so repi kometov obrnjeni od Sonca zaradi sevalnega tlaka. Danes vemo, da imajo kometi dva repa. Modrikasti rep I sestavljajo ioni, večinoma CO−, rjavkasti rep II pa plini in prašni delci. Sončna svetloba ionizira mole- kule plina in rep ionov zaradi sončnega vetra, to je toka naelektrenih delcev s Sonca, in sončnega magnetega polja kaže naravnost od Sonca. Rep II na- stane, ker plini odparevajo z zmrznjenega jedra in potegnejo za seboj prašne delce. Ta rep zaradi sevalnega tlaka, gravitacije kometa in sončnega vetra leži med repom I in tirnico kometa. Sila sevalnega tlaka sončne svetlobe je pri kroglastih telesih sorazmerna s kvadratom, gravitacijska sila pa s kubom premera. Zato je sila sevalnega tlaka tem pomembneǰsa, čim manǰsi je delec. Vseeno je v posebnih okolǐsči- nah pomemben tlak sončne svetlobe na manǰse asteroide. Okoli leta 1900 je ruski inženir Ivan Osipovič Jarkovski obdelal nov pojav. Na njegov zapis je desetletje pozneje naletel estonski astronom Ernst J. Öpik. O pojavu je poročal leta 1951 in ga rešil pozabe. Manǰsi asteroid, ki kroži okoli Sonca, naj se vrti tako, da sta lastna in obhodna vrtilna količina pravokotni na ravnino gibanja in kažeta v isto smer. K Soncu obrnjena stran asteroida se bolj segreje in po četrt vrtljaja močneje seva v smeri nazaj. Od Sonca obrnjena stran se bolj ohladi in po četrt vrtljaja manj seva v smeri na- prej. Odriv sevanja pospešuje asteroid v smeri gibanja, tako da se počasi oddaljuje od Sonca. Sila je nasprotno usmerjena, če ima lastna vrtilna ko- ličina nasprotno smer kot obhodna. Za določeno telo je učinek zelo težko zanesljivo napovedati. Sila je zelo majhna, a po dolgem času ima lahko opazen učinek. Asteroid 6489 Golevka so skrbno opazovali in ugotovili, da se je zaradi pojava Jarkovskega v 12 letih za 15 km oddaljil od kraja, kjer bi ga pričakovali. Pospešek je meril a = 2s/t2 = 2 · 10−13 m/s2. Pojav bi bilo mogoče izkoristiti ob nevarnosti, da se asteroid preveč približa Zemlji. S primernim absorberjem ali odbojnikom na asteroidu bi ga bilo mogoče v dovolj dolgem času preusmeriti. Litovski inženir Friedrich Zander je leta 1929 v tedanji Sovjetski zvezi predlagal, da bi tlak sončne svetlobe s sončnim jadrom izkoristili za poto- vanje po osončju. Ta tlak pojema obratno sorazmerno s kvadratom razdalje od Sonca. Na mestu Zemlje meri ob absorpciji 4,3 · 10−6 N/m2 in deluje 66 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 2 i i “Strnad” — 2012/5/10 — 14:20 — page 67 — #3 i i i i i i O svetlobnem tlaku neprekinjeno, ne da bi bilo treba vlagati energijo. Svetlobni tlak v sredici zvezd pri zelo visoki temperaturi daje glavni prispevek k tlaku plina, ki uravnovesi tlak zaradi gravitacijskega privlaka med deli zvezde. Enačba Linearno polarizirano ravno elektromagnetno valovanje v smeri osi z naj pada pravokotno na kovinsko ploščico v obliki pravokotnika s stranico b v smeri osi x in drugo stranico v smeri osi y (slika 1). Ploščica absorbira vse vpadno valovanje. Jakost električnega polja ima amplitudo E0 v smeri osi x in gostota magnetnega polja amplitudo B0 = E0/c v smeri osi y, če je c hitrost svetlobe v praznem prostoru. Amplituda napetosti U0 = bE0 v smeri osi x požene po Ohmovem zakonu izmenični tok z amplitudo I0. Nanj deluje izmenično magnetno polje, ki niha v fazi, z največjo silo F0 = bI0B0 = bI0E0/c = I0U0/c. Največja moč izmeničnega toka je P0 = U0I0, tako da je največja sila F0 = P0/c in največji tlak p0 = F0/S = W0/(ctS) = W0/V . Svetloba v času t zajame prostornino V = ctS. Na levi in desni strani enačbe vzamemo povprečni vrednosti in dobimo s povprečno gostoto energije v valovanju w = W/V Maxwellovo zvezo: p = w . (1) Amplitudi toka in napetosti nadomestimo s √ 2-krat manǰsima efektiv- nima vrednostma in največjo moč s povprečno močjo P = 12P0. Slika 1. K izvajanju enačbe (1). 65–71 67 i i “Strnad” — 2012/5/10 — 14:20 — page 68 — #4 i i i i i i Janez Strnad Vzeli smo, da sta amplitudi jakosti električnega polja in gostote magne- tnega polja v ploščici konstantni. V resnici z globino eksponentno pojemata: E0(z) = E0(z = 0)e −|z|/δ. Eksponentno pojemajočo amplitudo smo nado- mestili s konstantno amplitudo do globine δ = √ 2ζ/µ0ω. Pri tem je ζ specifični upor in je na primer za rumenozeleno svetlobo za srebro δ = 30 nm in za jeklo 390 nm. Po uvedbi Poyntingovega vektorja je mogoče sevalni tlak izračunati z njim. Podrobna obravnava odboja in loma svetlobe na ko- vini pri poševnem vpadu in splošni polarizaciji pa je zapletena [3]. Iz izreka o gibalni količini |0−G| = Ft = pSt = wctS/c sledi: G = W/c . (2) Ploščica prevzame od elektromagnetnega valovanja gibalno količino G, ko absorbira energijo W . V posebni teoriji relativnosti veljata zvezi: G = vW/c2 in W 2 = (cG)2 + (mc2) 2 . Iz prve enačbe z v = c sledi (2). Druga enačba pove, da je v tem primeru la- stna masa enaka 0. Posebna teorija relativnosti na enaki podlagi obravnava delce s končno lastno maso in z lastno maso 0. Max Planck je spekter sevanja črnega telesa pojasnil s privzetkom, da stena votline s sevanjem izmenjava energijo v obrokih – fotonih. Za energijo fotona v valovanju s frekvenco ν je dobil W1 = hν, če je h za kvantno fiziko značilna Planckova konstanta. V enačbo (2) vstavimo energijo fotona, pa dobimo izraz za gibalno količino fotona G1 = hν/c = h/λ. Enačba poveže gibalno količino, značilno za delce, z valovno dolžino λ, značilno za valovanje. Enačbo, ki smo jo dobili za fotone z lastno maso 0, razširimo na počasne delce z maso m1: λB = h/(m1v) . (3) Enačba gibalno količino počasnega delca m1v poveže z de Broglievo valovno doľzino v valovanju, ki ga priredimo curku delcev. Z enačbo (3) pojasnimo interferenčne poskuse z elektroni in drugimi delci ter ločljivost elektronskega mikroskopa. Z njo lahko okvirno uvedemo tudi kvantna stanja delca v po- tencialni jami in jih primerjamo z lastnimi nihanji strune. Po podobnosti z ” valovno funkcijo“ v klasični mehaniki lahko vpeljemo valovno funkcijo v kvantni mehaniki. Ozadje Članek [4] je ugovarjal izpeljavi enačbe (2) v dveh amerǐskih uvodnih uni- verzitetnih učbenikih, enem dokaj znanem [5]. Ali bi utegnila biti navedena izpeljava zgrešena? Ali se ne učimo na napakah, posebno na lastnih? 68 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 2 i i “Strnad” — 2012/5/10 — 14:20 — page 69 — #5 i i i i i i O svetlobnem tlaku Raziskovalcem v fiziki, ki se spuščajo na neraziskano območje, gre pravica do napake. Fizikalne napake ne vplivajo veliko na ugled fizike. Zdi se, da ne vplivajo dosti tudi na ugled raziskovalcev. O fizikalnih napakah Alberta Einsteina razpravljajo v člankih in knjigi, ne da bi to prizadelo njegov ugled. Z napakami pri poučevanju je nekoliko drugače. Širijo se v manj pouče- nem okolju, zato je pravica učiteljev do napake omejena. Zahteva ni preti- rana, ker ostajajo na raziskanem območju. Poleg tega tudi nekateri študenti njihovo morebitno napako prepoznajo in popravijo ter tako pridobijo drago- ceno izkušnjo. Napake v poučevanju pa imajo lahko tudi motivacijsko vlogo. Precej razširjeno je mnenje, da poučevanju koristi, če tu in tam vpletemo kakšno napako in jo ob razpravi razkrijejo in popravijo študenti. Max Planck se je pritožil nad predavanji Hermanna von Helmholtza in dodal, da je bilo ” Kirchhoffovo predavanje skrbno izdelano in je vsak stavek dobro premǐsljeno stal na pravem mestu, nobena beseda ni bila premalo in nobena preveč, toda vse skupaj je delovalo kot na pamet naučeno, pusto in enolično. Občudovali smo predavatelja, ne pa tega, kar je predaval.“ [6] Tudi nekdanji urednik American Journal of Physics Robert Romer je v spominih na predavanja, ki jih je poslušal, zapisal, ” da si ne more kaj, da ne bi razmǐsljal o tem, ali je jasnost zares tako zaželena.“ [7] John Archibald Wheeler se je na predavanjih včasih delal nepripravljenega, da je zbudil pozornost študentov. Ali to pomeni, da naj učitelji ne poskušajo biti jasni za vsako ceno? Pisci učbenikov imajo še bolj omejeno pravico do napak od učiteljev. Medtem ko predavanja hitro minejo, so učbeniki dolgo časa dostopni javni kritiki. Kritike pa včasih niso utemeljene. Premislek pokaže, da velja to za ugovore [4] proti izpeljavi v učbeniku [5]. Nakažimo izpeljavo. Vzemimo, da prost elektron, ki spočetka miruje, zadene ravno linearno polarizirano elektromagnetno valovanje. Na elektron z nabojem e = −e0 deluje z Lorentzevo silo ~F = −e0 ~E − e0~v × ~B, ki ima v smeri jakosti električnega polja, to je v smeri osi x, komponento −e0E + e0vzE/c in v smeri potovanja valovanja, to je v smeri osi z, komponento −e0vxE/c. Povprečje prve komponente po enem nihaju je enako 0, ker prvi člen sinusno niha, v drugem pa je hitrost vz zelo majhna. Po Newtonovem zakonu je ~F = d~G/dt, v povprečju Fz = dGz/dt = −e0vxE/c. Moč je ~v · ~F = dW/dt = −e0vxE. Tako je dW/dt = cdGz/dt in W = cGz na začetku pospeševanja. Elektron absorbirane energije ne obdrži. V telesu, ki absorbira vso vpadno energijo, jo zaradi upora v celoti odda okolni snovi, prost pa jo izseva. Piscu [5] je mogoče očitati le, da je opombo dal v oklepaj. Pisca članka [4] sta priznala, da nista vedela za vpliv upora. Iz njunega članka pa vseeno izhaja koristen sklep. Opazujmo prost elektron z maso m v ravnini z = 0 v valovanju z jakostjo električnega polja E = E0 cosωt v smeri osi x in gostoto magnetnega polja B = B0 cosωt v smeri osi y. 65–71 69 i i “Strnad” — 2012/5/10 — 14:20 — page 70 — #6 i i i i i i Janez Strnad Newtonov zakon za gibanje elektrona v smeri osi x se glasi mdv/dt = eE = −e0E0 cosωt. Hitrost je potem v = −(−e0E0/mω) sinωt in odmik x = (−e0E0/mω2) cosωt. Na nihajoči elektron deluje magnetno polje s silo: F = evB = −e0(−e0E0/mω) sinωt ·B0 cosωt = (e20E20/2mcω2) sin 2ωt. Povprečna vrednost je enaka 0. Na prost elektron elektromagnetno valo- vanje s konstantno amplitudo ne izvaja sile v smeri potovanja. Svetlobni tok s konstantno amplitudo ne odrine oblaka plazme. Odrine ga valovanje s spremenljivo amplitudo, denimo udarni val. Svetlobnega tlaka ne moremo pojasniti, če elektrone v kovini obravna- vamo kot idealni plin. Pojasnimo ga, če v enačbo gibanja vključimo upor: F = eE − konst · v [8]. Pisca sta temu koraku ugovarjala, češ da je pri svetlobi s krožno frekvenco ω = 1015 s−1 in amplitudo jakosti električnega polja E0 = 10 4 V/m amplituda odmika elektronov e0E0/(mω 2) = 10−15 m veliko manǰsa od razmika med atomi v kristalu [9]. Ugovor ni umesten. Naboj elektronov v kovini lahko obravnavamo kot zvezen. O tem priča tudi Ohmov upor kovinskega vodnika. Amplituda odmika elektronov v srebru pri gostoti toka 1 A/mm2 s frekvenco nad 50 MHz postane manǰsa od desetine nanometra, ne da bi se zaradi tega zmanǰsal Ohmov upor. Poznamo še druge primere, pri katerih je mikroskopski opis tako za- pleten, da za poučevanje ni pripraven. Viskoznosti plina ali kapljevine ali površinske napetosti kapljevine ne moremo preprosto pojasniti z gibanjem molekul. Deli zraka v zvoku, ki ga komaj zaznamo z ušesi, nihajo z ampli- tudo 10−11 m, kar je manj od premera molekul. Predstava, da se v plinu ali tekočini gibljejo molekule ali po kovini elektroni, ne koristi vselej. Pri svoji izpeljavi enačbe (2) sta si pisca morala pomagati s sipanjem valovanja in s kvantno mehaniko. Pot utegne biti zgrešena, zagotovo pa ni dosledna, saj v izpeljavo klasične enačbe (2) ne gre vpletati kvantnih sestavin. Dele obravnavane snovi je mogoče vključiti v fiziko v srednji šoli. Učite- lji naj o tem razmislijo in se glede na sprejemljivost srednješolcev odločijo, v kolikšni meri je to mogoče. Če se jim zdi del snovi pretežaven ali predol- govezen, ga je mogoče obravnavati v krožku. V ozadju je odločitev, koliko kvantne mehanike sodi v srednjo šolo. Planckova izpeljava Dodajmo v poenostavljeni obliki račun, ki se ne ozira na elektrone in ki ga je Planck predložil leta 1912 [4]. Ravno elektromagnetno valovanje pravokotno pada na ravno kovinsko ploščico in se na njej v celoti odbije. Sestavimo vpadno in odbito valovanje. Jakost električnega polja v smeri osi x je E = E0 cos (kz − ωt)−E0 cos (kz + ωt) = 2E0 sin kz sinωt. Pri tem je k = 2π/λ 70 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 2 i i “Strnad” — 2012/5/10 — 14:20 — page 71 — #7 i i i i i i O svetlobnem tlaku velikost valovnega vektorja. Električno polje se odbije z nasprotno fazo, tako da je v meji vozelna ploskev. Magnetno polje se odbije z enako fazo, da smeri električnega in magnetnega polja ter potovanja v odbitem valovanju sestavljajo desni trirob: B = B0 cos (kz − ωt) +B0 cos (kz + ωt) = 2(E0/c) cos kz cosωt . Iz Ampèrovega zakona rot ~B = µ0~j sledi µ0j = −∂B/∂z, če se omejimo na komponente v smeri osi x in člen z ε0µ0∂E/∂t = c −2∂E/∂t zanema- rimo. Na tok v smeri osi x deluje magnetno polje v smeri osi y z gostoto sile jB v smeri osi z. Tlak se spreminja z globino in velja dp = jBdz = −(B/µ0)(∂B/∂z)dz = −BdB/µ0. Gostota magnetnega polja v kovini po- jema od B(z = 0) = 2B0 cosωt do 0 v dovolj veliki globini z. Za tlak dobimo p = − ∫∞ 0 BdB/µ0 = B 2(z = 0)/(2µ0) = 2B 2 0 cos 2 ωt/µ0 in za njegovo pov- prečno vrednost B20/µ0. S povprečno gostoto energije w = B 2 0/(2µ0) sledi nazadnje p = 2w. Vpadnemu valovanju ustreza polovica tega, to je w. Tudi sila vodoravnega vodnega curka, ki se odbije na navpični oviri, je dvakrat večja od sile curka, ki spolzi ob oviri navzdol. Planckov račun odpravi mo- rebitne pomisleke o preprostem računu. David J. Griffths je v članku [10] navedel obsežen seznam literature o gibalni količini elektromagnetnega polja in obdelal odprta vprašanja. LITERATURA [1] J. Strnad, Svetlobni tlak in P. N. Lebedev, Obzornik mat. fiz. 48 (2001), 148–153. [2] A. Ashkin, The pressure of laser light, Scientific American 226 (1972), 63–71 (2). [3] K. T. McDonald, Radiation pressure of a monochromatic plane wave on a flat mirror, (2009), 1–19, na spletu s tem naslovom. [4] T. Rothman in S. Boughn, The Lorentz force and the radiation pressure of light, Am. J. Phys. 77 (2009), 122–127. [5] F. Crawford, Waves. Berkeley Physics Course, Vol. 3, McGraw-Hill, New York 1965, str. 362. [6] M. Planck, Scientific Autobiography and Other Papers, Philosophical Library, New York, 1949. [7] R. H. Romer, Is clear teaching good teaching. A tale of two teachers, Am. J. Phys. 58 (1990), 1129–30. [8] C. E. Mungan, Repairing an elementary explanation of radiation pressure, Am. J. Phys. 77 (2009), 965. [9] T. Rothman in S. Boughn, On ” Repairing an elementary explanation of radiation pressure“, Am. J. Phys. 77 (2009), 966. [10] D. J. Griffiths, Resource letter EM-1: Electromagnetic momentum, Am. J. Phys. 80 (2012), 7–18. 65–71 71 i i “Legisa-knjiga” — 2012/5/16 — 8:32 — page 72 — #1 i i i i i i NOVE KNJIGE Stefan Banach: Remarkable Life, Brilliant Mathematics, uredila E. Jakimowicz in A. Miranowicz, Gdansk University Press, Gdansk 2010, 186 str. Knjiga obravnava življenje in delo Stefana Banacha. Pred leti nam je na Matematičnem kolokviju o Banachu zanimivo pripovedoval znani poljski ma- tematik W. Żelazko. Vendar so od takrat raziskovalci odkrili tudi nova dejstva, denimo o Ba- nachovi materi. Precej snovi in fotografske dokumentacije so prispevali sorodniki. V knjigi so prepisani ali preslikani mnogi originalni dokumenti. Zanimiva so predvsem pisma in spomini nanj. Na zelo dostopen na- čin je predstavljeno tudi Bana- chovo delo. Stefanov oče, Stefan Gre- czek, je imel le osnovno izo- brazbo, vendar se mu je posre- čilo dobiti pisarnǐsko delo v Bu- dimpešti, kamor je s poljskega podeželja pripešačil 250 km daleč. Nato je bil vpoklican v avstro-ogrsko vojsko. Dodeljen je bil za pomočnika oficirju in se tam zaljubil v njegovo služkinjo Katarino Banach. Iz te zveze se je 1892 v Krakovu rodil nezakonski otrok Stefan Banach. Po takratnih predpisih bi oče za poroko moral dobiti dovoljenje nadrejenih. Za to bi moral dokazati, da bo poroka izbolǰsala njegove razmere, se pravi, da je nevesta bogata, kar seveda ni bilo res. Zaradi tega sta se razšla. Otroka je mati prepustila Gre- czku. Ta ji je obljubil, da bo skrbel zanj do polnoletnosti. Sinu pa ni razkril njene identitete. To je pravzaprav nenavadno in deloma nelogično, saj sta tako oče kot mati bila vpisana v knjigi rojstev. Vsak zainteresirani, ki bi se sprehodil po krakovskih župnǐsčih (saj je Krakov kot rojstni kraj naveden v 72 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 2 i i “Legisa-knjiga” — 2012/5/16 — 8:32 — page 73 — #2 i i i i i i Stefan Banach: Remarkable Life, Brilliant Mathematics Banachovih izkazih), bi to lahko kmalu ugotovil. (A tudi zgodovinarji so si matične knjige ogledali šele nedavno.) Res pa je, da v Banachovih spriče- valih, prikazanih v tej knjigi, starša nista omenjena. Kot skrbnik je enkrat omenjen Stefan Greczek in drugič fotograf Julij Mien. O Katarini vedo le, da se je kasneje poročila z železničarjem in odšla iz Krakova. Sprva je za otroka verjetno skrbela Greczkova mati, po nekaj mesecih pa ga je vzela Frančǐska Plowa. Ta gospa, lastnica pralnice, je bila brez lastnih otrok in je že pred tem vzela k sebi nečakinjo. Ta je Banachu postala nekakšna stareǰsa sestra. Banachov oče je še naprej skrbel in deloma plačeval za sina vse do mature, čeprav se je potem poročil, ločil in spet poročil ter imel še več otrok, ki so se vsi po vrsti izkazali. Banachov oče je bil uspešen človek, ki je kariero končal kot davčni uradnik in računovodja. V pismih je nekoliko pravičnǐski, a je bil vsekakor človek, ki je izpolnjeval več kot svoje obveznosti in pomagal, če se je dalo. Seveda je Banach pogrešal življenje pri pravih starših, kot je kasneje tudi potožil v pismu očetu. Kljub temu je bila rejnǐska družina zanj dobra in tega se je zavedal in bil hvaležen. Prijatelj rejnǐske družine je bil prej omenjeni Julij Mien, Francoz, pre- vajalec in fotograf, ki je bil nekaj časa njegov skrbnik in od katerega se je Banach naučil izvrstno govoriti francosko. V gimnaziji je bil Stefan sprva odličen dijak, proti koncu pa je povsem popustil. Tako pravzaprav ne bi smel delati mature, čeprav je profesor matematike jamčil, da je matema- tični genij. Vendar se je zanj zavzel vplivni profesor verouka in Banach je leta 1910 (komajda) maturiral. Čez nekaj časa je odšel v cvetoči center razvoja Lvov v Galiciji. Tamkaj- šnja poljska elita je konec devetnajstega stoletja sklenila, da bo sodelovala z avstro-ogrsko oblastjo in se uveljavila na ekonomskem in intelektualnem področju. Regija je z ugodnimi ponudbami privabila mnogo industrije. Po- ljaki so se izkazali kot dobri bankirji (kar se je, mimogrede, videlo tudi v zadnji finančni krizi) in še na mnogih drugih področjih. Mesto je bilo re- snično multikulturno. Če povzamem knjigo, je slaba polovica prebivalstva mesta pripadala rimskokatolǐski veroizpovedi, in med temi je bila večina Poljakov. Kakih trideset odstotkov je bilo Židov raznih usmeritev (od li- beralnih do ortodoksnih), slaba petina pa katoličanov vzhodnega obreda (grkokatolikov). Mesto je imelo tudi armensko cerkev. Seveda so bili tam tudi nemško govoreči protestanti. Banach je tu študiral na Politehniki in se – kot je bilo takrat za študente običajno – preživljal sam, tudi s poletnim delom. Tako je dobil 1913 nekakšno vǐsješolsko izobrazbo. Ob izbruhu prve svetovne vojne ni bil vpoklican, ker je bil levičar in je slabo videl na levo Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 2 73 i i “Legisa-knjiga” — 2012/5/16 — 8:32 — page 74 — #3 i i i i i i Nove knjige oko. Ko se je približevala fronta, se je vrnil v Krakov. Poleti 1916 se je ma- tematik Hugo Steinhaus (1887–1972) sprehajal po krakovskem parku. Ni mogel verjeti svojim ušesom, ko je zaslǐsal besedo Lebesgueov integral. To je bila namreč takrat povsem sveža stvar – Lebesgueovi članki so izšli komaj nekaj let prej. Pristopil je h klopi, od koder je slǐsal razgovor, in se seznanil z Banachom in Ottom Nikodymom. Povabil ju je domov in jima predstavil nekaj problemov, pri katerih ni mogel priti do konca. Banach je čez nekaj dni prǐsel z rešitvijo. Tako je nastal skupni članek o konvergenci Fourierovih vrst. Kmalu je prǐsel Banach sam ali v sodelovanju s Steinhausom do še več drugih zelo dobrih rezultatov. Pri Steinhausu se je Banach seznanil tudi z Lucijo Braus, s katero se je leta 1920 poročil. Takrat je postal asistent na Politehniki v Lvovu, čeprav sploh ni imel prave univerzitetne izobrazbe. Še istega leta je doktoriral na tamkaǰsnji univerzi na nenavaden način, kot poroča njegov prijatelj matematik. Ker je odlašal s predajo disertacije, so naročili enemu od kolegov, naj zbere njegove članke. Banacha so nato ustavili na hodniku in ga prosili naj pride v dekanovo pisarno, kjer naj bi razložil nekaj stvari radovednim ljudem iz Varšave. Banach je odgovarjal zadovoljivo in menda šele nato zvedel, da je bila to doktorska komisija. Leta 1922 je postal redni profesor. V akademskem letu 1924/25 je bil v Parizu. Svetovno slaven je postal po izidu knjige Théorie des opérations linéaires (1932), ki je v polǰsčini izšla leto prej. To je bil definitivni učbenik funkci- onalne analize. Na mednarodnem matematičnem kongresu v Oslu 1936 je imel Banach vabljeno predavanje z naslovom Die Theorie der Operationen und ihre Bedeutung für die Analysis. V tem času so Lvov obiskali mnogi znani matematiki: Borel, Fréchet, Lebesgue, Zermelo, von Neumann, Ale- ksandrov, Luzin, Sobolev. Banach je raziskoval z izrednim navdušenjem, kjerkoli in kadarkoli, po- sebno rad pa v kavarni. Bil je boem, ki mu ni bilo mar za ugodje. Hkrati pa je kazal popolno brezbrižnost do denarnih zadev. Čeprav je imel do- bro plačo, je zapravljal čez svoje možnosti in se strahovito zadolžil. Njegov stareǰsi kolega profesor Fuliński je interveniral, ga naučil osnovne finančne discipline in jamčil za njegove dolgove. Da bi poplačal upnike, je Banach napisal univerzitetne učbenike analize in mehanike, sodeloval pa je tudi pri pisanju gimnazijskih besedil. Popolnoma se je znebil dolgov šele leta 1939, ko je dobil večjo nagrado. Banach in sodelavci so zelo radi hodili v Škotsko kavarno v Lvovu, ki je ime dobila po karirastem okrasju. Tam so razpravljali in pisali po marmor- nih miznih ploščah ter prtičkih. Veliko tega se po seansah, ki so trajale do 74 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 2 i i “Legisa-knjiga” — 2012/5/16 — 8:32 — page 75 — #4 i i i i i i Stefan Banach: Remarkable Life, Brilliant Mathematics sedemnajst ur, kasneje niso mogli spomniti. Zato je Banachova žena v lokal prinesla trdo vezan zvezek in poučila osebje, naj ga dajo matematikom ob njihovem prihodu in skrbno shranijo ob odhodu. V zvezek so pisali razne probleme in deloma rešitve. Zvezek je postal znan kot Škotska knjiga. Pre- dlagatelj problema je navadno ponudil tudi nagrado za rešitev. Te so bile od večerje v Cambridgeu ali Ženevi do gosi. Leta 1938 se je Banach dogovarjal s Stanislavom Ulamom za enoletno bivanje v ZDA. Iz tega obiska, ki bi izbolǰsal njegovo finančno stanje in njegovi družini verjetno prihranil marsikatere grozote druge svetovne vojne, pa očitno ni bilo nič. 22. septembra 1939 je v skladu s paktom Molotov-Ribbentrop Lvov za- sedla Rdeča armada, ki je Poljsko napadla pet dni pred tem. Banach, tudi zaradi dobrih zvez s sovjetskimi matematiki, ni imel težav in je postal dopi- sni član Ukrajinske akademije znanosti. Konec junija 1941 so sovjetske čete pobegnile iz Lvova. Pred tem je NKVD pobila skoraj vse zapornike, ki so čakali na odhod v sovjetska taborǐsča. Tri dni po prihodu nemških čet so SS in Gestapo postrelili 22 univerzitetnih profesorjev iz Lvova, prvi pogrom so takoj doživeli tudi Judi. Banach je spet imel srečo v nesreči. V Lvovu je obstajal v okviru Biološke fakultete Inštitut za raziskave tifusa, ki ga je vodil profesor Rudolf Weigl. Ta inštitut je izdeloval cepivo proti tifusu, zato so tako sovjetska oblast kot kasneje nemški okupatorji omogočili njegovo na- daljnje delovanje. Vodja inštituta si je od Nemcev izposloval privilegij, da sam izbira sodelavce. Med drugim je potreboval ljudi, na katerih so kontroli- rano sesale sterilne uši, preden so jih okužili za razne poskuse. V to množico je profesor Weigl zavestno vključil Banacha in njegovega sina in ju tako ob- varoval česa huǰsega. Vojno je preživela tudi Banachova žena, čeprav je bila židovskega rodu. Julija 1944 je bil Lvov osvobojen. Žal se je Banacha, stra- stnega kadilca, medtem lotil pljučni rak. Tudi tedaj njegova intelektualna radovednost ni prenehala in želel se je preusmeriti v matematično fiziko. V povojnem pomanjkanju je očitno zelo priljubljeni Banach dobil gostoljubje v vili prijateljev. V bolezni pa je zanj in za njegovo obupano ženo skrbel W. Nikliborc (1889–1948). Umrl je 31. avgusta 1945. Pokopan je v Lvovu. To mesto je po vojni pripadlo SZ, natančneje Ukrajini. Danes se imenuje Lviv in od avstro-ogrske ter poljske preteklosti so ostale, kot beremo v me- stnem vodniku, le stare stavbe, zgrajene v italijanskem slogu, in pa nekateri dokumenti, tudi o Banachu. Peter Legǐsa Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 2 75 “zipf” — 2012/4/26 — 11:43 — page 76 — #1 Nove knjige ZBIRKA IZBRANIH POGLAVIJ IZ FIZIKE O fizikalnih društvenih izdajah v Obzorniku za matematiko in fiziko že nekaj časa nismo pisali, zato si bomo tokrat ogledali nekaj noveǰsih naslovov v omenjeni zbirki. V sodelovanju z Oddelkom za fiziko Fakultete za naravoslovje in tehno- logijo in kasneje Fakultete za matematiko in fiziko je v tej zbirki izšlo že veliko naslovov, tako da se danes zaporedno številčenje izdaj v zbirki bliža številki 50. Pri tem seveda niso všteti vsi ponatisi in popravljene izdaje, teh je bilo bistveno več. Vse trenutno razpoložljive knjige v zbirki in cenik izdaj lahko najdemo tudi na spletni strani http://www.dmfa-zaloznistvo.si/zipf/. Aleš Mohorič: NALOGE IZ FIZIKE II ZA FIZIKALNO MERIL- NO TEHNIKO, Zbirka izbranih poglavij iz fizike 47, DMFA–zalo- žnǐstvo, Ljubljana 2010, 184 strani. Zbirka je nastala med avtorjevim dolgo- letnim vodenjem vaj za študente fizikalne merilne tehnike. Primerna je za vse štu- dente naravoslovnih in tehničnih smeri, pa tudi za dijake, ki se pripravljajo na tekmovanja iz fizike. Naloge so razporejene po poglavjih Električni naboj, Električno polje, Ga- ussov zakon, Električni potencial, Ka- paciteta, Tok in upor, Vezja, Magne- tno polje, Amperov zakon, Faradeyev za- kon, Induktivnost, Magnetizem in snov, Elektromagnetno nihanje, Izmenični to- kovi, Maxwellove enačbe, Elektromagne- tno valovanje, Geometrijska optika, In- terferenca, Uklon in Fotometrija, na kon- cu pa najdemo še pregled fizikalnih koli- čin. Nekatere naloge dopolnjujejo slike, ki jih je avtor še posebej skrbno na- risal. Veliki večini nalog je dodana tudi številska rešitev, nekatere pa so prepuščene bralcem v premislek. Naročite jo lahko pri DMFA–založnǐstvo po članski ceni 9,59 EUR. 76 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 2 “zipf” — 2012/4/26 — 11:43 — page 77 — #2 Zbirka izbranih poglavij iz fizike Denis Arčon: REŠENE NALOGE IZ ELEKTROMAGNETNEGA POLJA, Zbirka izbranih poglavij iz fizike 48, DMFA–založnǐstvo, Ljubljana 2010, 228 strani. Knjižica je nastala na osnovi nalog ter kolo- kvijev, ki so se v zadnjih letih reševale pri predmetu Elektromagnetno polje. Vprašanja in zgledi izvirajo iz obsežne tuje literature, precej nalog pa je tudi ” domačih“. Knjižnica je name- njena predvsem kot vodnik pri študiju in kot koristno dopolnilo predavanjem ter ostalim uč- benikom. Sestavljajo jo naslednja poglavja: Elektro- magnetna polja, Elektrostatika, Magnetno polje in kvazistatična aproksimacija, Ohranitveni za- koni, Dielektrična konstanta, Potenciali, seva- nje in elektromagnetno valovanje, Hamiltonove metode in Posebna teorija relativnosti. Knjigo lahko naročite pri DMFA–založnǐstvo po članski ceni 11,62 EUR. Branko Borštnik: FIZIKA ZA ŠTUDENTE VISOKIH ŠOL, Zbirka izbranih poglavij iz fizike 49, DMFA–založnǐstvo, Ljubljana 2011, 220 strani. Učbenik je nastal na osnovi zapiskov preda- vanj, ki jih je avtor pripravil za študente različ- nih študijskih smeri naravoslovnih fakultet Uni- verze v Ljubljani. Vsebina knjige je razdeljena na tri sklope. Prvi sklop predstavljajo poglavja Mehanika, Toplota, Elektrika in Optika, kjer so podana osnovna znanja. Primeri iz tehnike in vsakdanjega življenja so nanizani v naslednjem sklopu poglavij. V tretjem delu knjige je zbirka nalog iz mehanike, toplote in elektrike. Vse na- loge so opremljene z navodili za reševanje. Be- sedila nalog in navodila za reševanje predsta- vljajo tretji vir ponazoritev fizikalnih vsebin. Knjigo lahko naročite pri DMFA–založnǐstvo po članski ceni 18,32 EUR. Urednǐstvo Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 2 77 i i “naloga” — 2012/5/10 — 12:19 — page 78 — #1 i i i i i i VPRAŠANJA IN ODGOVORI Pred kratkim (Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 5) smo zastavili nalogo o pa- dajoči palici. Palica najprej stoji na ošiljenem koncu navpično na ravni podlagi. Palica je v labilni legi in že najmanǰsa motnja povzroči, da se prevrne. Pravzaprav ni mogoče, da bi palica obstala pokonci, tudi če bi stala popolnoma navpično, kar lahko razložimo s Heisenbergovim načelom nedoločenosti. Med padanjem palice njen ošiljeni konec, ki je v stiku s tlemi, najprej miruje, nato pa začne po njih drseti. Giblje se bodisi v smeri padanja bodisi v nasprotni smeri. Smer je odvisna od koeficienta lepenja. Med padanjem se smer drsenja lahko tudi spremeni, če je koeficient trenja odvisen od hitrosti. Slika 1. Sestavljena slika padajoče palice. Slika je zlepljena iz posnetkov, narejenih v enakih časovnih razmikih z enako hitrostjo zaklopa. Hitreje, ko se palica giblje, bolj je njena slika zabrisana. Vprašanje naloge je bilo, ali palica med padanjem zdrsne naprej ali na- zaj? Ali pri tem kdaj odskoči oziroma ali je konec palice ves čas padanja v stiku s tlemi? Na palico delujeta dve zunanji sili: teža mg in sila podlage. Silo podlage razstavimo na navpično komponento z velikostjo Fn in podlagi vzporedno silo lepenja Fv. Vodoravna komponenta sile podlage je posledica lepenja, dokler konec palice miruje, in trenja, ko se konec giblje. Odklon palice iz navpične smeri označimo s kotom ϕ, dolžino z l, maso z m in gravitacij- ski pospešek z g. Energijski izrek poveže spremembo potencialne energije težǐsča in spremembo kinetične energije palice: 1 2 mgl(1− cosϕ) = 1 2 1 3 ml2ω2, pri čemer smo privzeli, da palica v začetku miruje v navpični legi, in smo upoštevali vztrajnostni moment vrtenja palice okoli osi v stiku s podlago ml2/3. 78 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 2 i i “naloga” — 2012/5/10 — 12:19 — page 79 — #2 i i i i i i Rešitev naloge „Padec palice“ Fn mgj Fl Slika 2 Kotni pospešek α, s katerim se palica vrti okoli osi v stiku palice s podlago, je posledica navora teže: M = Jα in je enak: α = 3g sinϕ 2l . Dokler palica na stiku s podlago miruje, pospešek njenega težǐsča raz- delimo na radialno in tangencialno komponento, za kateri velja: ar = ω2l 2 = 3g(1− cosϕ) 2 , at = αl 2 = 3g sinϕ 4 ; ω je kotna hitrost, s katero se palica vrti. Navpično komponento sile podlage izrazimo iz drugega Newtonovega zakona: Fn −mg = −mar cosϕ−mat sinϕ⇒ Fn = 1 4 mg(1− 3 cosϕ)2 . Sila lepenja pospešuje težǐsče v vodoravni smeri: Fl = mav = m(at cosϕ− ar sinϕ) = 3mg 4 sinϕ(3 cosϕ− 2) . Palica ne drsi, dokler je sila lepenja manǰsa od produkta koeficienta lepenja kl in pravokotne komponente sile podlage: Fl < klFn oziroma: kl > ∣∣∣∣3 sinϕ(3 cosϕ− 2)(1− 3 cosϕ)2 ∣∣∣∣ = f . Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 2 79 i i “naloga” — 2012/5/10 — 12:19 — page 80 — #3 i i i i i i Vprašanja in odgovori Graf razmerja z desne strani neenačbe v odvisnosti od kota ϕ je prikazan na sliki 3. 0.61 0.84 0.37 0.89 1.23 j [rad] f Slika 3. Odvisnost velikosti kvocienta vodoravne in navpične komponente sile podlage od nagiba palice. Palica začne drseti takrat, ko njen nagib preseže vrednost, pri kateri je kvocient enak koeficientu lepenja med palico in podlago. Pri kotu 0,84 rad spremeni vodoravna komponenta sile podlage smer. Če je koeficient lepenja večji od 0,37, palica zdrsne v smeri padanja pri kotu, ki je večji od 0,89 rad. Kvocient ima pol pri kotu 1,23 rad, ki pa nima pomena, saj palica že pred tem začne drseti in gibanje opǐsemo drugače. Ko postane razmerje večje od koeficienta lepenja (ki je snovna lastnost podlage in palice), začne palica drseti. Če je koeficient lepenja manǰsi od 0,37, palica zdrsne v nasprotno smer padanja pri kotu, ki je manǰsi od 35◦. Če je koeficient lepenja večji, palica ne drsi vsaj do kota 48◦. Pri tem kotu sila lepenja spremeni svojo smer. Tedaj začne palica drseti v smeri padanja. Pokažimo še, da palica ostane na tleh, kadar drsi v smeri padanja. Spre- memba potencialne energije palice mgl(1 − cosϕ)/2 opravi delo sile trenja Slika 4. Palica zdrsne v nasprotno smer padanja, če je koeficient lepenja med palico in podlago manǰsi od 0,37. 80 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 2 i i “naloga” — 2012/5/10 — 12:19 — page 81 — #4 i i i i i i Rešitev naloge „Padec palice“ in poveča kinetično energijo palice: 1 2 (1− cosϕ)mgl = At + 1 2 1 12 ml2ω2 + 1 2 m[l2(ω/2)2 + v2r + lvrω cosϕ] . Kinetično energijo palice smo zapisali kot vsoto rotacijske kinetične energije pri vrtenju okoli osi skozi težǐsče in translacijske kinetične energije težǐsča. Z vr je označena hitrost konca palice, ki je v stiku s podlago. Delo trenja in člena, v katerih nastopa vr, so pozitivni. Ko jih izpustimo, sledi neenačba: ω2 < 3g l (1− cosϕ) . Pospešeno vrtenje palice okoli težǐsča je posledica navora sile podlage: Fn l 2 sinϕ+ ktFn l 2 cosϕ = 1 12 ml2α . Gibanje težǐsča v navpični smeri opǐsemo z drugim Newtonovim zakonom: mg − Fn = mα l 2 sinϕ+mω2 l 2 cosϕ . Sila trenja na gibanje v navpični smeri ne vpliva. Iz zadnjih dveh enačb izrazimo pravokotno silo podlage: Fn = mg ( 1− l2gω 2 cosϕ ) 3 sin2 ϕ+ 3kt sinϕ cosϕ+ 1 . Če v števcu ω2 zamenjamo z desno stranjo neenačbe, sledi Fn > mg(1− 32 cosϕ(1− cosϕ)) 3 sin2 ϕ+ 3kt sinϕ cosϕ+ 1 . Imenovalec zadnjega izraza je zagotovo pozitiven, za števec pa z dopolnitvijo do popolnega kvadrata: 1− 3 2 cosϕ+ 3 2 cos2 ϕ = 3 2 [ (cosϕ− 1/2)2 + 5 12 ] tudi pokažemo, da je vedno pozitiven. Tako smo dokazali, da je navpična sila podlage vedno pozitivna in palica ne izgubi stika s podlago. Zgornja izpeljava seveda ne velja, če upoštevamo zračni upor ter palica ni toga in ozka. Dokaz za drsenje v nasprotno smer padanja teče podobno. Poskusite ga izpeljati sami! Aleš Mohorič Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 2 VII i i “kolofon” — 2012/5/15 — 12:19 — page 2 — #2 i i i i i i OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO LJUBLJANA, MAREC 2012 Letnik 59, številka 2 ISSN 0473-7466, UDK 51+ 52 + 53 VSEBINA Članki Strani Sredine sredin (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41–49 Kubične krivulje trikotnika (Tanja Veber) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50–62 O svetlobnem tlaku (Janez Strnad) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65–71 Vesti Matematične novice (Peter Legiša) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62–64 Nove knjige Stefan Banach: Remarkable Life, Brilliant Mathematics (Peter Legiša) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72–75 Zbirka izbranih poglavij iz fizike (uredništvo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76–77 Vprašanja in odgovori Rešitev naloge „Padec palice“ (Aleš Mohorič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78–VII CONTENTS Articles Pages The means of means (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41–49 Cubic curves of a triangle (Tanja Veber) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50–62 On light pressure (Janez Strnad) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65–71 News . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62–64 New books . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72–77 Questions and Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78–VII Na naslovnici je fotografija kometa Hale-Bopp, na kateri so lepo vidni glava ko- meta (koma), modrikasti ionski rep ter beli prašni rep. V ionskem repu so ionizi- rane molekule ogljikovega monoksida, v prašnem pa delci prahu, ki se sprostijo zaradi izparevanja snovi iz kometovega jedra, ko je komet blizu Sonca. Komet smo lahko opazovali leta 1997. Avtor: Jim Young, NASA.