i
i
“Veselic” — 2013/1/19 — 10:05 — page 201 — #1 i
i
i
i
i
i
VERIŽNICA – ELEMENTAREN IN CELOVIT PRISTOP1
KREŠIMIR VESELIĆ
Lehrgebiet Mathematische Physik
Fernuniversität Hagen
Math. Subj. Class. (2010): 49-01, 97-01
Podan je elementaren dokaz, ki ne zahteva znanja variacijskega računa, da je verižnica
stacionarna točka klasičnega problema iskanja vezanega ekstrema. Dokazano je tudi, da
ima ta problem v verižnici strogi globalni minimum.
CATENARY – AN ELEMENTARY AND COMPLETE APPROACH
The equilibrium of a standard catenary is solved without previous knowledge of the
Variational Calculus. An elementary proof of the strict global minimum is provided.
Verižnica že dolgo rabi kot lep šolski primer iskanja vezanega ekstrema.
Minimizirati moramo funkcional
Φ(y) = ρg
∫ x1
0
y
√
1 + y′ 2 dx (1)
(potencialna energija grafa funkcije y), kjer sta ρ (dolžinska masna gostota)
in g (težnostni pospešek) dani pozitivni konstanti. Funkcional moramo mi-
nimizirati med vsemi zvezno odvedljivimi funkcijami y, ki zadoščajo pogoju∫ x1
0
√
1 + y′ 2 dx = d (2)
(dožina grafa funkcije y je dana). Ob tem si predpǐsemo še robne pogoje.
Obravnavali bomo dva tipa robnih pogojev: ali
y(0) = 0, y(x1) = y1 (3)
(obe robni točki krivulje sta pribiti) ali pa
y(0) = 0, y(x1) = −αx1, α > 0 (4)
(desni rob krivulje drsi vzdolž premice y = −αx).
Pri uvodu v osnove klasičnega variacijskega računa in izpeljavi Euler-
Lagrangeeve enačbe se za robne pogoje (3) hitro najde funkcijo hiperbolični
kosinus kot ekstremalo zgornjega vezanega problema; robni pogoji (4) potre-
bujejo nekaj več teorije, saj se definicijski interval za funkcional Φ spreminja
s funkcijo y. Še nekaj več izpeljav pa je treba za dokaz, da ima v dobljeni
funkciji funkcional Φ tudi enoličen minimum. Pristop, ki nam pomaga iz
1V spomin profesorju Svetozarju Kurepi
Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 6 201
i
i
“Veselic” — 2013/1/19 — 10:05 — page 202 — #2 i
i
i
i
i
i
Krešimir Veselić
te zagate in nam omogoči, da lahko oba tipa robnih pogojev obravnavamo
hkrati, je, da iskane krivulje ne ǐsčemo kot graf neke funkcije y = y(x),
ampak v parametrični obliki (npr. Troutman [1, pogl. 3])
x = x(s), y = y(s), s ločna dolžina.
Tu sta x in y zvezno odvedljivi funkciji na intervalu [0, d], za kateri velja
x′(s)2 + y′(s)2 − 1 = 0, s ∈ [0, d]. (5)
To nas pripelje do problema, ko moramo minimizirati funkcional
Ψ(x, y) = ρg
∫ d
0
y ds (6)
pri vezeh (5) in robnih pogojih: ali
x(0) = 0, y(0) = 0, x(d) = x1, y(d) = y1, (7)
ali pa
x(0) = 0, y(0) = 0, y(d) = −αx(d), α > 0. (8)
Kot je bilo pokazano že v [1], konveksnost funkcionalov poenostavi iskanje
globalnega minimuma (vsaj za robne pogoje (7)). Vendar dejstvo, da je
funkcional (6) linearen in da je vez (5) predstavljena s kvadratno funkcijo,
omogoči nadaljnjo poenostavitev problema.
Vsak par (x, y) zvezno odvedljivih funkcij, ki zadoščata pogojem (5) in
(7)/(8), bomo imenovali konfiguracija. Za poljubni konfiguraciji (x, y) in
(x̃, ỹ) ter poljubno zvezno funkcijo λ = λ(s) imamo tako
Ψ(x̃, ỹ) =
∫ d
0
(ρgỹ + (x̃′2 + ỹ′2 − 1)λ) ds
=
∫ d
0
((y + ỹ − y)ρg + (y′ + ỹ′ − y′)2λ+ (x′ + x̃′ − x′)2λ− λ) ds
= Ψ(x, y) +
∫ d
0
(
(ỹ − y)ρg + 2y′λ(ỹ′ − y′) + 2x′λ(x̃′ − x′)+
+ (ỹ′ − y′)2λ+ (x̃′ − x′)2λ
)
ds.
Pri predpostavki, da sta x in y dvakrat zvezno odvedljivi funkciji, funkcija
λ pa enkrat zvezno odvedljiva, po integraciji po delih ob upoštevanju robnih
pogojev pri 0 dobimo
Ψ(x̃, ỹ) = Ψ(x, y)+ (9)
+
∫ d
0
(ρg(ỹ − y)− 2(λy′)′(ỹ − y)− 2(λx′)′(x̃− x)) ds (10)
+ 2λ(d)y′(d)(ỹ(d)− y(d)) + 2λ(d)x′(d)(x̃(d)− x(d)) (11)
+
∫ d
0
λ((x̃′ − x′)2 + (ỹ′ − y′)2) ds. (12)
202 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 6
i
i
“Veselic” — 2013/1/19 — 10:05 — page 203 — #3 i
i
i
i
i
i
Verižnica – elementaren in celovit pristop
Takoj vidimo naslednje: če lahko najdemo taki funkciji x in y, da sta
(10) in (11) enaka 0 za vsako konfiguracijo (x̃, ỹ) in neko pozitivno funkcijo
λ, potem je (x, y) enolična konfiguracija, ki minimizira funkcional Ψ. Rešiti
moramo torej naslednji sistem navadnih diferencialnih enačb
−(2λx′)′ = 0, ρg − (2λy′)′ = 0, x′2 + y′2 = 1 (13)
pri robnih pogojih: ali
x(0) = 0, y(0) = 0, y(d) = y1, x(d) = x1, (14)
ali pa
x(0) = 0, y(0) = 0, y(d) = −αx(d), y′(d) = x′(d)/α (15)
(zadnji robni pogoj pri s = d pomeni, da na desnem robu verižnica ostane
pravokotna na premico, po kateri desni rob drsi).
Enačbe (13) zlahka integriramo
x(s) = c1
(
arsh
(
s− c2
c1
)
+ arsh
c2
c1
)
(16)
y(s) =
√
c21 + (s− c2)2 −
√
c21 + c
2
2 (17)
λ(s) =
ρg
2
√
c21 + (s− c2)2 (18)
in od tod dobimo
y(x) = c1
(
ch
(
x
c1
+ b
)
− ch b
)
.
Konstante določimo iz naslednjih pogojev:
d =
∫ x1
0
√
1 + y′2 dx = c1 sh
(
x1
c1
+ b
)
− c1 sh b (19)
y(x1) = y1 oziroma (20)
y(x1) = −αx1, y′(x1) = sh
(
x1
c1
+ b
)
= 1/α. (21)
Konstanti c1 in b sta v primeru robnih pogojev (3) dobljeni na standar-
den način. Če delimo (20) z (19) in upoštevamo identitete med hiperbolič-
nimi funkcijami, dobimo sistem enačb
thµ =
y1
d
, µ =
x1
2c1
+ b,
201–204 203
i
i
“Veselic” — 2013/1/19 — 10:05 — page 204 — #4 i
i
i
i
i
i
Krešimir Veselić
ki ima enolično rešitev µ. Podobno dobimo še sistem enačb√
d2 − y2i
x1
=
sh ν
ν
, ν =
x1
2c1
,
ki ima enolično pozitivno rešitev ν. Vrednosti µ in ν določata iskani kon-
stanti c1 in b.
V primeru robnih pogojev (4) pa konstanti po nekaj elementarnih ra-
čunskih operacijah enolično določimo takole: naj bo z enolična pozitivna
rešitev enačbe
α√
( sh(z)z )
2 + α2
= th
(
z − arsh 1
α
)
.
S pomočjo te izračunamo
x1 =
d√(
sh z
z
)2
+ α2
, c1 =
x1
2z
, b = arsh
1
α
− x1
c1
.
Sklep
Predstavljena izpeljava verižnice kot stacionarne točke problema vezanega
ekstrema (i) poda popoln odgovor na zastavljeni problem: obstoj, izračun in
enoličnost točke, v kateri ima funkcional minimum, (ii) se izogne težavam z
variabilno končno točko krivulje na naraven način in (iii) uporabi dejstvo, da
je vez predstavljena s kvadratno funkcijo, kar nam z metodo
”
dopolnitve do
popolnih kvadratov“ omogoči algebraičen dokaz obstoja strogega globalnega
minimuma funkcionala.
Verižnica je primer mehaničnega sistema v gravitacijskem polju s togimi
vezmi. Taki sistemi se pogosto lahko opǐsejo s kvadratično Lagrangeevo
funkcijo, in tedaj je možen podoben elementaren dokaz obstoja strogega
globalnega minimuma (npr. v [2], kjer je obravnavana končna verižnica).
Običajno se primer verižnice obravnava šele, ko se izpelje osnove varia-
cijskega računa. Predstavljeni pristop pa se zlahka uporabi tudi kot uvod v
variacijski račun, saj je popolnoma elementaren – obravnavamo le kvadra-
tične funkcionale in rešujemo navadne linearne diferencialne enačbe (edine
nelinearnosti se pojavijo le v integracijskih konstantah). Po drugi strani
pa naš pristop v (9)–(12) že vsebuje nekaj bistvenih korakov Lagrangeeve
metode.
LITERATURA
[1] J. L. Troutman, Variatonal Calculus and Optima Control, Springer, 1983.
[2] K. Veselić, Finite catenary and the method of Lagrange, SIAM, R. 37, (1995), 224–
229.
204 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 6