MATEMATIKA Od mosta v Dublinu do rotacij s kvaternioni Irena Kosi-Ulbl -> Na začetku prispevka se bomo na kratko posvetili številom, ki jih velikokrat srečamo v vsakdanjem življenju - realnim številom. Vemo, da lahko realna števila na enolični način predstavimo na številski premiči. Na množici realnih števil R je definiranih vec računskih operacij, osnovni med njimi pa sta dve: seštevanje: Va,b množenje: V a, b i ; R; a + b G R; a ■ b G R (vsota), l (produkt). Za seštevanje realnih števil veljajo naslednji zakoni: I. Komutativnostni zakon V a, b G R; a + b = b + a II. Asociativnostni zakon Va,b,c G R; (a + b) + c = a + (b + c) III. Obstoj nevtralnega elementa 30 G R; V a G R, a + 0 = a IV. Obstoj nasprotnega elementa V a G R; 3 -a G R; a + (-a) = 0 Za množenje realnih števil veljajo naslednji zakoni: V. Komutativnostni zakon V a, b G R; a ■ b = b ■ a VI. Asociativnostni zakon Va,b,c G R; (a ■ b) ■ c = a ■ (b ■ c) VII. Obstoj nevtralnega elementa 3 1 G R; V a G R, a ■ 1 = a VIII. Obstoj inverznega elementa V a * 0 G R; 3 a-1 G R; a ■ a-1 = 1 Seštevanje in množenje povezuje: IX. Distributivnostni zakon Va,b,c G R; a ■ (b + c) = a ■ b + a ■ c X. Nevtralni element za seštevanje in nevtralni element za množenje ne sovpadata: 0 * 1. Množica realnih števil skupaj z operacijama seštevanje in množenje, za kateri veljajo našteti zakoni, je poseben primer matematične strukture, ki jo imenujemo koncnorazsežna algebra z deljenjem. Sedaj se spomnimo kompleksnih števil. Vemo, da lahko kompleksna števila na enolicni nacin predstavimo v ravnini. Tudi v množici kompleksnih števil definiramo operaciji seštevanje in množenje, za kateri veljajo enaki zakoni, kot za realna števila. Ali lahko s posploševanjem nadaljujemo na podoben nacin? Irski kraljevi astronom Sir William Rowan Hamilton (1805-1865) se je po svojem delu s podrocij mehanike in optike posvetil algebri, natancneje kompleksnim številom (1835), pri cemer je kompleksno število definiral kot urejeni par realnih števil. S tem je bilo omogoceno - kot smo zapisali prej - da vsako kompleksno število na enolicni nacin predstavimo v kompleksni ravnini. Kasneje je Hamilton poskušal to lastnost posplošiti na trirazsežni prostor. Po vzoru kompleksnih števil, kjer uporabimo obicajno enoto iz množice realnih števil in eno imaginarno enoto, je domneval, da potrebuje eno dodatno imaginarno enoto (tocke v trirazsežnem prostoru bi torej opisal z urejenimi trojicami oziroma s števili oblike a + bi + cj, a,b,c G R). Vec let si je prizadeval, da bi ustvaril algebraicni sistem z eno realno in dvema imaginarnima komponentama, vendar mu ni uspelo. Brez težav je definiral seštevanje (in odštevanje) ter množenje trojic števil, zataknilo pa se je pri deljenju. Hamilton je seveda želel, da bi »nova« števila pri množenju (oziroma deljenju) zadošcala podobnim pravilom kot realna in kompleksna števila. Šele nekaj let kasneje je ugotovil, da bo za razrešitev problema potreboval štiri in ne le treh dimenzij. 4 PRESEK 42 (2014/2015) 2 MATEMATIKA Zgodovinski zapisi pravijo, da je Hamilton dobil genialno idejo za rešitev tega problema 16. oktobra 1843 v Dublinu na sprehodu proti Irski kraljevi akademiji (Royal Irish Academy). Zamisel je temeljila na vpeljavi sistema treh imaginarnih enot i, j in k ter na posebnem pravilu za množenje, ki ga bomo predstavili kasneje v prispevku. Kot je Hamilton o odkritju pozneje zapisal v pismu svojemu sinu, je bil tako vznesen nad idejo, ki bo rešila vec let nerazrešen problem, da je pravilo za množenje z nožem vrezal v kamen mosta Brougham Bridge, preko katerega je takrat hodil. Pri tem je najbolj nenavadno to, da most Brougham Bridge v Dublinu sploh ne obstaja. Izkazalo se je, da se je Hamilton v pismu svojemu sinu zmotil - pravilo za množenje je vrezal v steno mosta Broome Bridge, katerega ime se enako izgovori kot Brougham Bridge. Hamilton je urejene Četverice realnih števil (a, b, c, d) oziroma elemente oblike a + bi + cj + dk, ki jih množimo v skladu s prej omenjenim pravilom, imenoval kvaternioni. Proučevanju teh števil je nato posvetil preostanek svojega življenja. Množico kva-ternionov oznacimo v spomin na Hamiltona s simbolom H. Danes vemo, da je bil Hamiltonov problem zares nerešljiv v trirazsežnem prostoru. O tem namreč govori trditev, znana kot Frobeniusov izrek (F. G. Frobenius, 1849-1917, nemški matematik), ki pravi, da je realna koncno dimenzionalna asociativna algebra z deljenjem izomorfna realnim številom, kom- SLIKA1. Zapis na mostu Broome Bridge v Dublinu v spomin Hamil-tonu in njegovemu odkritju kvaternionov. Vir: http://at1as. ingeniousireland.ie/a-eureka-moment- broome- bridge pleksnim številom ali kvaternionom. (Pripomnimo, da v matematiki med izomorfnimi objekti - ko govorimo o njihovih lastnostih - ne locimo). Kvaternione lahko vpeljemo na različne nacine. V prispevku jih bomo predstavili kot števila q G H, ki jih na enolicni nacin zapišemo kot vsote štirih clenov ali kot urejene četverice: ■ q = a ■ 1 + b ■ i + c ■ j + d ■ k = (a,b,c,d), pri čemer a,b,c,d G R imenujemo komponente kva-terniona q, elemente 1, i, j in k pa bazni vektorji ali bazni elementi. Tudi bazni vektorji so elementi množice H, saj jih lahko predstavimo kot urejene četverice na naslednji nacin: 1 = (1,0,0,0), j = (0,0,1,0), i = (0,1,0,0), k = (0,0,0,1). Dva kvaterniona sta enaka natanko takrat, ko se ujemata v vseh štirih komponentah. Kvaterniona q1 = a1 + b1i + c1j + d1k in q2 = a2 + b2i + c2j + d2k sta torej enaka natanko takrat, ko je ■ a1 = a2, b1 = b2, c1 = c2, d1 = d2. Seštevanje kvaternionov definiramo kot seštevanje »po komponentah«. Tako je za poljubna q1,q2 G H ■ q1 + q2 = (a1 + a2) + (b1 + b2) i + + (c1 + c2) j + (d1 + d2) k. Seštevanje kvaternionov je komutativno in asociativno (tudi za kvaternione veljata zakona I in II, ki smo ju zapisali za realna števila). Nevtralni element za seštevanje je nicelni kvater-nion q = 0 = 0 ■ 1 + 0i + 0j + 0k (zakon III). Za vsak kvaternion q = a+bi + cj + dk G H obstaja nasprotni kvaternion -q = -a - bi - cj - dk G H (zakon IV). Zgled 1. Za kvaterniona q1 = 5 - 2i + 2j + 4k in q2 = -3 - 7i + j - 8k izracunajmo q2 + (-q^: q2 + (-q0 = = (-3 - 7i + j - 8k) + (-5 + 2i - 2j - 4k) = -8 - 5i - j - 12k. Na množici H je definirano tudi množenje s skalarjem (z realnim številom). Števila a G R tvorijo podmnožico množice H, saj je ■ a = a ■ 1 + 0i + 0j + 0k. 5 PRESEK 42 (2014/2015) 2 MATEMATIKA Produkt kvaterniona q = a + bi + cj + dk G H s skalarjem a G R izračunamo tako, da vsako komponento kvaterniona pomnožimo z a: ■ aq = aa + abi + acj + adk. Za tako definirano množenje kvaternionov s skalarji velja distributivnost glede na seštevanje kvaternio-nov: ■ a (q1 + q2) = aq1 + aq2 za vsak a G R in za vse q1, q2 G H ter distributivnost glede na seštevanje skalarjev: ■ (a + ¡3) q = aq + ¡3q za vse a, ¡3 G R in za vsak q G H. Za poljubna skalarja a, ¡3 G R in poljubni kvaternion q G H velja »neprava asociativnost«: ■ (a3)q = a (pq) za vse a, ¡ G R in za vsak q G H. Obstaja tudi skalar 1 G R, tako da je 1 ■ q = q za vsak kvaternion q G H. Zgled 2. Za kvaterniona q1 = 5 - 2i + 2 j + 4k in q2 = -3 - 7i + j - 8k ter skalarja a = 2 in ¡3 = -1 izračunajmo aq1 - ¡3 {aq2) + ¡3q1. Z upoštevanjem navedenih lastnosti je ■ aq1 - ¡3 (aq2) + ¡q1 = (a + )) q1 - (¡a) q2 = = (2 - 1) ■ (5 - 2i + 2j + 4k) - - (-1) ■ 2 (-3 - 7i + j - 8k) = = -1 - 16i + 4j - 12k. V množico H lahko vpeljemo tudi množenje elementov. Kvaterniona q1 = a1 + b1i + c1j + d1k in q2 = a2 + b2i + c2j + d2k zmnožimo tako, da privzamemo veljavnost distributivnostnega zakona (zakon IX) in upoštevamo pravila za množenje baznih elementov i, j, k (to pravilo je Hamilton vrezal na dublinski most): Tako je produkt kvaternionov q1 in q2 enak qq = = (a1 + b1i + c1j + d1 k) (a2 + b2i + c2j + d2k) = a1a2 + b1a2i + c1a2j + d1a2k + a1b2i + + b1b2i2 + c1b2ji + d1b2ki + a1c2j + b1c2ij + + c1c2j2 + d1 c2kj + a1d2k + b1d2ik + + c1d2 jk + d1 d2k2. Z upoštevanjem pravil (1) pa dobimo po nekaj korakih računanja q1q2 = a1a2 - b1b2 - c1c2 - d1d2 + + (a2b1 + a1b2 - c2d1 + c1d2) i + + (a2c1 + b2d1 + a1c2 - b1d2) j + + (a2d1 - b2c1 + b1c2 + a1d2) k. (2) Ugotovimo, da je produkt dveh kvaternionov spet kvaternion. Zgled 3. Izračunajmo produkt kvaternionov q1 = 2 - j + 3k in q2 = -3i + j - k. Z upoštevanjem pravila (2) je q1q2 = 0 + 0 + 1 + 3 + (0 - 6 - 3 + 1) i + + (0 - 9 + 2 - 0)j + (0 - 3 + 0 - 2) k = = 4 - 8i - 7j - 5k. Vrnimo se spet k pravilom za množenje baznih elementov i, j, k. Opazimo, da nas druga vrstica teh pravil spominja na vektorski produkt vektorjev standardne baze prostora R3. Zares obstaja povezava med vektorji in kvaternioni. Vsak kvaternion q G H lahko namreč predstavimo kot vsoto skalarnega dela a G R in vektorskega dela q G R3: q = a+ q, pri čemer je q = bi + c j + dk, b,c,d G R, i, j, k pa v tem primeru predstavljajo vektorje standardne baze prostora R3. S tako predstavljenimi kvaternioni lahko zapišemo produkt dveh kvaternionov na krajši način. Za kvaterniona q1 = a1 + q 1 in q2 = a2+ q 2 je njun produkt enak q1q2 = (a1 + q 1) (a2 + q2) = i2 = j2 = k2 = ijk = -1, ij = -ji = k, jk = -kj = i, ki = -ik = j. (1) + = Ia1a2 - q 1 ■ q 2) + Ia1 q 2 + a2 q 1 + q 1 X q 2 . (3) 6 PRESEK 42 (2014/2015) 2 MATEMATIKA ij k q X q 2 = 0- 3 -3 - Pri tem je q i - q2 skalarni, q iX q2 pa vektorski produkt vektorjev qi in q2. Ustreznost tega pravila preverimo tako, da izračunamo skalarni in vektorski produkt vektorjev q i in q2, ki smo ju zapisali po komponentah, in dobljeni izraz za produkt kvaterni-onov uredimo po baznih elementih i, i, j, k. Zgled 4. Izračunajmo produkt kvaternionov qi = 2 - j + 3k in q2 = -3i + j - k z uporabo pravila (3). Zapišimo vektorski del obeh kvaternionov po komponentah, nato pa najprej izračunajmo skalarni in vektorski produkt dobljenih vektorjev: ■ ii = (0,-i, 3),q2 = (-3, i,-i), q i ■ q2 = 0 - i - 3 = -4, = -2i - 9j - 3k. Po pravilu (3) je tako qiq2 = (0 -(-4)) + 2 (-3i + j - k) + + 0 ■ (2 - j + 3k) + (-2i - 9j - 3k) = = 4 - 8i - 7j - 5k. Dobili smo enak rezultat kot v zgledu 3. Zapišimo še, daje množenje kvaternionov asociativno, ni pa komutativno (spomnimo se zakonov VI in V). Slednje sledi takoj iz pravila (i) za množenje baznih elementov i, j, k. Zgled 5. Z izračunom produktov qiq2 in q2qi za kvaterniona iz zgleda 4 pokažimo, da množenje zares ni komutativno. Ker smo produkt qiq2 že izračunali, sledi še izračun produkta q2qi. Skalarni produkt vektorjev je komutativen in tako je q i ■ q2 = q 2 ■ q i = -4. Vektorski produkt vektorjev je antikomutativen, torej je ■ q 2 Xq i = -( q i X q 2) = 2i + 9j + 3k. Produkt q2qi spet izračunamo z uporabo pravila (3): q2qi = (0 - (-4)) + (0 ■ (2 - j + 3k) + + 2 (-3i + j - k) + 2i + 9j + 3k) = = 4 - 4i + iij + k. S primerjanjem rezultata iz zgleda 4 ugotovimo, da je qiq2 * q2qi- Pri kompleksnih številih definiramo konjugirano kompleksno število, ki se od danega kompleksnega števila razlikuje le po predznaku imaginarne enote. Tudi pri kvaternionih definiramo konjugirani kvater-nion na podoben način (spremenimo predznake imaginarnih komponent). Zakvaternion q = a + bi + cj + dk je konjugirani kvaternion q2 enak ■ q2 = a - bi - cj - dk. Naj bodo q, qi, q2 G H in a G R. Naštejmo nekaj lastnosti konjugiranja: ■ (qi + q2)* = qi + q22, (aq)2 = aq2, (qiq^ 2 = q2 qi2- Prvi dve lastnosti sta očitni, tretjo pa dokažemo tako, da po pravilu (3) izračunamo produkta qiq2 in q2 qf ter upoštevamo, da je skalarni produkt komutativen, vektorski produkt pa antikomutativen. Zanimiva je tudi lastnost, da poljubni kvaternion q = a + bi + cj + dk komutira s svojim konjugiranim kvaternionom. Velja namreč qq2 = a2 + b2 + c2 + d2 = q2 q. Ugotovimo tudi, da je produkt qq2 nenegativno realno število. To dejstvo omogoča, da (podobno kot pri vektorjih v prostoru R3) definiramo velikost oziroma dolžino kvaterniona q (označili jo bomo z ||q||) na naslednji način: q = vqq = Va2 + b2 + c2 + d2. Kvaternion, katerega velikost je enaka 1, imenujemo enotski kvaternion. Ni težko preveriti, daje produkt enotskih kvaternionov spet enotski kvaternion. Uporabimo lastnost velikosti, ki pravi, da je velikost produkta kvaternionov enaka produktu velikosti posameznih kvaternionov: ||qiq2|2 = (qiq^ (qiq^2 = qiq2q2qi = = qi Hq2|2 q2 = qiqi ^q2|2 = i|2 Hq2|2 ■ Za neničelni kvaternion q obstaja inverzni kvaternion q- i (zakon VIII). Inverzni kvaternion predstavimo v obliki 1 . q- = q q * 7 PRESEK 42 (2014/2015) 2 MATEMATIKA saj je q q rq*)=^> (qq*) = ^ ■ \\q\\2 = 1. q q Zgled 6. Poiščimo inverzni kvaternion kvaterniona q = 2 - j + 3k. Najprej izračunamo velikost kvaterniona q: \q\ = V22 + 02 + (-1)2 + 32 = V14, nato pa zapišemo njegov konjugirani kvaternion: ■ q* = 2 + j - 3k. Inverzni kvaternion kvaterniona q je potem enak - q-1 = ^ (2 + j - 3k). V nadaljevanju prispevka bomo našteli nekaj področij uporabe kvaternionov. Kvaternione srečamo na različnih področjih fizike (hidrodinamika, elektrodinamika, posebna teorija relativnosti). V teh primerih kvaternion predstavimo kot kombinačijo skalarja in trirazsežnega vektorja, pri čemer je skalar običajno čas, vektorski del pa neko vektorsko polje, npr. hitrostno polje tekočine, električno polje. Proti konču dvajsetega stoletja je velik pomen dobila predstavitev rotačij v prostoru s kvaternioni; v primerjavi z uporabo rotačijskih matrik se je namreč izkazala za učinkovitejšo. Tako srečamo kvaternione tudi na področju računalniške grafike, robotike, navigačije, molekularne dinamike, v letalstvu in orbitalni mehaniki (proučevanje trajektorij raket, umetnih satelitov, raziskovalnih naprav, lansiranih v vesolje). Ob konču bomo na kratko predstavili bistvo geometrijskega pomena kvaternionov - povezavo kva-ternionov in rotačij v prostoru, ki pomeni osnovo prej omenjene praktične uporabe kvaternionov. Preden zapišemo temeljni izrek tega področja, defini-rajmo še dva pojma. Rotačija % : R3 — R3 je preslikava, ki zavrti prostor R3 za kot okoli osi, določene z nekim vektorjem. Rotačija ohranja dolžine in kote, premiče preslika v premiče in ravnine v ravnine. Kvaternion q imenujemo čisti kvaternion, če je njegova realna komponenta (skalarni del) enaka 0. Do sedaj smo kvaternione zapisali s štirimi komponentami ali pa kot vsoto realnega in vektorskega dela. Oglejmo si še en zapis enotskega kvaterniona. Naj bo q = a + bi + cj + dk enotski kvaternion. Iz definičij velikosti kvaterniona in dolžine vektorja iz R3 sledi 1 = \\q\\2 = \\a + q\\2 = a2 + b2 + c2 + d2 = 2 I- I2 = a2 + I q I . Z upoštevanjem znane zveze med kotnima funkči-jama ■ čos2 + sin2 = 1 pa ugotovimo, da obstaja tak kot y G [0, n], za katerega je 2 2 2 čos2