IZ RAZREDA 21 Matematika v šoli, št. 1., letnik 24, 2018 Elementi formativnega spremljanja pri matematiki v srednji šoli Rok Lipnik Gimnazija Celje – Center Povzetek Matematika in formativno spremljanje gresta z roko v roki – to je pokazala že vsebina prejšnjih revij Mate- matika v šoli in priročnika Formativno spremljanje pri matematiki. V prispevku predstavljamo usvajanje po- glavja o deljivosti z uporabo elementov formativnega spremljanja in še ostala orodja, ki jih pri pouku pogosto uporabljamo. Ključne besede: poučevanje matematike, formativno spremljanje Formative Assessment Elements in High-School Mathematics Abstract Mathematics and formative assessment go hand-on-hand, as demonstrated in previous Matematika v šoli (Mathematics in School) editions and the manual Formativno spremljanje pri matematiki (Formative Asses- sment in Mathematics). The article focuses on the assimilation of the chapter on division using formative assessment elements and other tools frequently used in class. Keywords: teaching mathematics, formative assessment 1. faza: Priklic in preverjanje predznanja Dijaki marsikaj vedo in razumejo, včasih samo na intuitivni ravni, dostikrat pa zna- jo to tudi dobro ubesediti. Kako prikličemo znanje? Pomagam si s primeri in vprašanji, povezanimi z vse- bino. Pri deljivosti dijake vprašam »Kako lahko na pamet vemo, ali bo število delji- vo z dve?« ali recimo »Ali lahko rečemo, da je število 10 deljivo s 5? Kaj pa število 5 deljivo z 10?« Preverimo tudi na pri- merih deljenja, na primer 12 s 3 in 12 s 7. Ugotavljamo, v čem je razlika, kaj po- vezuje števili v prvem primeru (delitelj/ večkratnik) in ali ta povezava velja tudi v drugem primeru (ostanek pri deljenju). S takšnimi vprašanji dijake spodbuja- mo, da o problemu razmišljajo, hkrati pa usvajajo tudi izražanje v matematičnem jeziku. Kako vemo, kdaj so dijaki znanje prikli- cali? Tu si pomagam s semaforčki. Dijaki Slika 1: Primer uporabe semaforčkov. IZ RAZREDA 22 Matematika v šoli, št. 1., letnik 24, 2018 imajo v peresnici ali zvezku pripravljene lističe zelene, rumene in rdeče barve. Z dvigom listka pokažejo svoje strinjanje, razumevanje ali sledenje pogovoru oz. primeru. Slika 1 prikazuje povratno informacijo dijakov – veliko je rdečih in rumenih lis- tičev, kar pomeni, da trenutno stanje ni zadovoljivo in to je znak, da moramo po- skušati še na drug način ali z novim pri- merom razložiti snov. Slika 2 prikazuje boljše stanje. Dijaki na- kazujejo, da v večini sledijo in razumejo. Tu izkoristimo priložnost in dijake z zele- nimi lističi presedemo k dijakom z rume- nimi lističi. Tako bodo tisti, ki razumejo, pomagali sošolcem, ki morda še niso vse- ga razumeli, hkrati pa krepijo tudi soci- alne veščine in izražanje v matematičnem jeziku. V zaključku prve faze učnega procesa najavimo temo in osnovne namene učen- ja, ki naj bi jih dijaki dosegli. Skupaj pa bomo po usvajanju znanja sestavili krite- rije uspešnosti, ki bodo dijakom v pomoč pri samoocenjevanju in ocenjevanju na- predka. 2. faza: Usvajanje novega znanja Usvajanje znanja je pri »utečenem« fron- talnem načinu poučevanja linearno – uči- telj napiše ali narekuje definicije, izreke, lastnosti, pravila … dijaki pa jih pridno zapišejo in se jih naučijo. Težko pa na tak način zagotovimo, da dijaki zapisano ra- zumejo. Si želimo, da se vsega naučijo na pamet? Pri matematiki zagotovo ne. Kot pri priklicu znanja tudi tu dijake naj- raje vodimo k rezultatu skozi vprašanja. Tokrat bolj splošno, na primer: »Kdaj bo število a deljivo s številom b?« »Kako smo to videli na primeru števil 12 in 3?« Vpra- šanja kot ta, dijake vodijo k razmišljanju in hkrati k formuliranju definicije. Čas je, da usvojeno znanje preverimo s primeri. Matematiki imamo velik nabor možnosti, kako znanje preveriti. Sam dos- tikrat dijake spodbudim, da sošolcu ses- tavijo kratek primer. Sliši se enostavno, a da sestaviš primeren (in rešljiv) primer, moraš dovolj dobro poznati in razumeti pravila, lastnosti in definicije. Drugi način, ki ga pogosto uporabljam, vključuje interaktivno spremljanje znanja. Dijaki odgovarjajo na vprašanja, vidna na projekciji skozi aplikacijo Plickers (www. plickers.com) kot je prikazano na sliki 4. Vsak dobi svoj listič s kodo (podobno QR-kodi), ki služi kot listič za podajanje odgovorov. Slika 3: Listič za odgovarjanje. Vsak listič ima zaporedno številko (zgor- nji je številka 1) in štiri možne odgovore – A, B, C in D – vsak je zapisan na eni Slika 2: Primer uporabe semaforčkov. IZ RAZREDA 23 Matematika v šoli, št. 1., letnik 24, 2018 Slika 4: zbiranje povratnih informacij z aplikacijo Plickers. Slika 5: Prikaz vprašanj in možnih odgovorov. Slika 6 in 7: Prikaz odgovorov. Vprašanja lahko vključujejo tudi fotogra- fije, kar pomaga pri zapisu matematičnih simbolov in enačb, kot je vidno na sliki 5. Učitelj vidi porazdelitev odgovorov, preve- ri pa lahko tudi poimensko (Slika 6 in 7). Konec druge faze spremlja priprava kri- terijev uspešnosti. Dijake ob koncu pog- lavja ali teme vprašamo, kako bodo ve- deli, ali znajo. Prvih nekaj načrtovanj kriterijev uspešnosti je zagotovo težjih – dijaki dostikrat vidijo le končno sliko in predlagajo kriterije kot na primer: »Znam reševati naloge z deljivostjo.« Takrat se pogovorimo o poti, po kateri smo do poj- ma prišli in iščemo sestavne dele, ki so za razumevanje deljivosti pomembni. Tako smo pri uvodnem poglavju deljivosti nas- tavili kriterije: • Preverim, kdaj sta števili v relaciji deljivosti. • Pojasnim povezavo med večkratni- kom, deliteljem in deljivostjo. Izogibam se glagolom znati in vedeti, saj sta preveč splošna, dijaki pa težko preve- rijo, ali so kriterij dosegli ali ne. 3. faza: Utrjevanje znanja Pri utrjevanju in preverjanju znanja je ključno, da dijaki in učitelj dobijo povrat- no informacijo. Dijaki tako ugotovijo, ali so dosegli zastavljene kriterije oz. kate- remu področju se morajo bolj posvetiti. Učitelji pa ugotovimo, katere vsebine so pereče in bodo potrebne dodatnega utr- jevanja ali celo ponovne razlage. To je idealna priložnost, da dijake razdelimo v skupine, kjer posamezna skupina utrju- je točno določen del snovi. Pri deljivosti naredimo skupino za utrjevanje deljivo- sti števil, skupino za utrjevanje deljivosti izrazov in skupino za utrjevanje dokazo- vanja deljivosti z lastnostmi relacije de- ljivosti. stranici. Tisti odgovor, ki gleda navzgor, je odgovor, ki ga dijak sporoči. S tablico ali telefonom (na sistemu Android ali iOS) preletimo razred in hitro poberemo po- vratne informacije. IZ RAZREDA 24 Matematika v šoli, št. 1., letnik 24, 2018 Slika 9: Preverjanje znanja s samovrednotenjem. Slika 10: Izhodna lističa. Slika 11: Komentarji pri ocenjevanju. Slika 8 predstavlja možen vprašalnik, z uporabo katerega dijaki označijo, kako obvladajo posamičen kriterij uspešnosti. Primer se sicer navezuje na absolutno vrednost, a je lahko kot oblika uporaben v vseh poglavjih. 4. faza: Preverjanje znanja Pri preverjanju znanja ponovno upora- bim lističe Plickers, zaključne listke ali vprašalnik o doseganju kriterijev uspeš- nosti. Slika 9 prikazuje možno preverjanje znan- ja (le uvodno nalogo), kjer dijak naloge reši, nato pa označi, kako ocenjuje svoje znanje. Dijaki morajo vedeti, kaj še mo- rajo vaditi oz. se naučiti, učitelj pa mora vedeti, ali so učenci pripravljeni na ocen- jevanje. Slika 10 prikazuje izhodne lističe. Dija- ki na listič zapišejo, kako presojajo svoje znanje. Zelen listič uporabijo, kadar me- nijo, da znajo; rumenega, kadar menijo, da vsega še ne obvladajo, in rdečega, če menijo, da njihovo znanje še ni zadovol- jivo. Na tak način hitro vidim splošno stanje in preberem, kaj so napisali v ko- mentar – tako lahko načrtujem naslednje šolske ure. Slika 8: Doseganje kriterijev uspešnosti. S križcem označi, ali kriterij po tvojem mnenju obvladaš ali ne. Pred uro v levi stolpec in po uri v desni stolpec. IZ RAZREDA 25 Matematika v šoli, št. 1., letnik 24, 2018 Zaključek Formativno spremljanje opolnomoči učitelja z različnimi orodji skozi vse faze poučevanja, a pomembnejše je opolnomočenje dijakov za: • sodelovanje pri določanju namenov učenja in kriterijev uspešnosti, • razvijanje veščin dela v parih in skupinskega dela, • usmerjanje lastnega procesa učenja, • samovrednotenje lastnega znanja in procesa učenja. Učiteljem, ki razmišljajo, da bi se lotili poučevanja po načelih formativnega spremljanja, svetujem, naj se tega lotijo počasi, postopno in preudarno, vsekakor pa naj se ne bojijo neuspeha in težav – ravno skozi neuspele primere in težave se največ naučimo preko refleksije lastnega dela. ■ Viri Holcar Brunauer, A. idr. (2016). Formativno spremljanje v podporo učenju. Ljubljana: Zavod RS za šolstvo. Žakelj, A., Bon Klanjšček, M., Jerman, M., Kmetič, S., Repoluk, S., Ruter, A. (2008). Učni načrt. MATEMATIKA: Gimnazija. Ljubljana: Zavod RS za šolstvo. 5. faza: Ocenjevanje znanja Pri ocenjevanju znanja formativno sprem- ljanje na koncu trči v sumativno sprem- ljanje – v šolah brez ocen ne gre zaradi pravilnika o preverjanju in ocenjevanju. Kljub raziskavam, ki kažejo, da ocene zmanjšujejo uspešnost in motivacijo za učenje, so žal pri nas še obvezne. Kljub vsemu poskušam omiliti vpliv ocen tudi s formativnim spremljanjem. Pri oce- njevanju tako pogosto dijakom k nalogi zapišem le komentar. Po načelih kakovo- stne povratne informacije ta najprej ved- no vključuje pozitiven del, nato predlaga izboljšave in na koncu povzame dobro (A. Holcar Brunauer, 2016). Dijake na tak način ocenjevanja opozo- rim in jih tudi pozovem, da se na podlagi komentarjev in kriterijev uspešnosti oce- nijo sami. Sicer težko trdim, da jim vedno uspe primerno oceniti svoje znanje, a vse- kakor že razmišljanje o tem spodbuja k bolj realni presoji uspešnosti.