JOrJJ~J t \I;HJj~\ ,., velikostni red Rt• '. Ge •valovne dolžine * • Bi rt~~JiJ1.. .'1.... I,J 1120.,y~nogom etno hiša paradižnik snežinka celica bakterija virus protei n mo leku lavalovna i grišče dolžina (m) 10 3 10 2 10 1 l 10- 1 10-2 10-3 10-4 10-5 10-6 10-7 10-8 10-9 10-10 10-11 10-12 --------.._~ .....N - .._ ,I rentgenski žarki VV žarki:1 I , gama žark; - ..,..... r-..J svetloba ..-, infrardeči valovi ..- vidna ..-1 --- - ..- mikrovalovi N~~~r ~--I~---- sv I KV radijski valovi DV primer vira 0 \ ~---=' ';- " ~-~ ] .j ~ ~ monitor radio iII TV odd ajniki mobilni telefon radar ljudje žarnic a rentg enske naprave rndinakttvnesnovt, jedrske reakcije Slika 2. Spekter elektromagnctncga valovanja s prikazom posameznih skupin valov, valovnimi dolžinami, primeri virov in predmeti , ki ponazarjajo velikostni red valovnih dolžin posameznih skupin valov. I PRESEK list za mlade matematike, fizike, astroname in računalnikarje 30. letnik, leto 2002/03, številka 5, strani 257-320 VSEBINA MATEMATIKA FIZIKA ASTRONOMIJA RAČUNALNIŠTVO ZANIMIVOSTI, RAZVEDRILO NALOGE REŠITVE NALOG TEKMOVANJA NA OVITKU Glasba in matematika - 1. de l, Tonski sistemi (Marija Vencelj) 267-272 Računala nove dobe, 2. de l (Aleksandar Jurišič) 290-296 Oh, to sevanje! (Irena Mele , Metka Kralj, Nadja Železnik) 261-266 Bine dobi pismo (Jože Pahor) 283-287 Še več vod ikovi h ant iatomov (Janez Strnad) 297-298 Ko liko nebesne krogle - odgovori na str. 300 (Marijan Prosen) 281-282 V izualna kriptografi ja - šum skrivnosti (Martin Pečar) 274-280 Glorija z Mizast e gore (Matjaž Vencelj) 259-260 Kr ižanka "Mehanika" - reš. na str. 300 (Marko Bokalič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288-289 S kolikšno hit rost jo? (Marijan Prosen) III Poštna znamka o Hallersteinu (Marijan Prosen) IV Z ognjem in smodnikom - Nagradna naloga (Tim V idmar) 258 Per iodični decimaini zapis - reš. na str. 298 (Anton Cedilnik) 260 Najkrajši čas potovanja - Rešitev s str. 195 (Karel Šmigoc) 272-2 73 Krivični tenis - Rešitev s str. 199 (Marija Vencelj) . . ... 280 Reš itve nalog z državnega tekmovanja iz srednješolske fizike v šolskem let u 2001/2002 (Bojan Go lli) . .. 301-308 23 . mednarodno matematično tekmovanje mest - Naloge pomladanskega kr oga (Gregor Cig ler) . . . 308-310 23. mednarodno matematično tekmovanje mest - Rešitve nalog pomladanskega kroga s str. 308 (Gregor Cig ler) 311-32 0 Glorija , fotografski moti v , ki te mora najti sam. Preberi t udi zapis na str. 259 (foto Matjaž Vencelj) 1 Tabela k članku Oh, to sevanje! na str. 261 II Za vsakogar nekaj I NAGRADNA N ALOG A Urejanje pričujoče številke Preseka smo zaradi urnika tekmovanj mor ali zaklj učiti pred potekom razpisan ega roka za rešit ev nagradne naloge Krip- taritem v različnih številskih sestavih. Zato bomo njeno rešit ev in rezul- tate nagradnega razpisa objavili v 6. številki . Pred vami pa je že nova na gradna naloga Z ognjem in sm odnikom, ki jo je zas t avil T im Vidmar. Izmed reševalcev , ki nam bodo poslali njeno pravilno rešitev, bomo izžrebali nagrajenca , ki bo pr ejel knjižno nagrado. Rešitve naloge pošlji t e najkasneje do 18. aprila na naš naslov: Presek, Jadranska c. 19, 1001 Ljubljana, p .p. 2964. Marija Vencelj , odg. ur . Z OGNJEM IN SMODNIKOM - Nagradna naloga Tim Vidmar ( Pan Michal Wolodyjowski , Mali vitez, nenadkriljivi sabljač in ljubljenec dam s poljskega dvora , se je znašel v brezizho- dn em po ložaju v gradu , ki ga oblegajo Tur ki. Pisatelj Sienkiewicz mu je v tra- dic ionalno tragičnem evro pskem slogu namenil junaško smrt , v katero bo z raz- strelitvijo gradu potegnil t ud i sovrage. A Wolodyjowski se ne da . Njegov delo- daj alec, st rašni vojvoda Wi sniowiecki , mu je dobavil dovolj smodnika, a le dve vžigalni vrvici. Vrvici st a različni. Skupno jima je le to, da vsaka od nj iju gori natanko eno uro , a s povsem nee- nakomerno hit rostj o. Wolodyjowski je s svojim po znavanj em navad sovraga in njegove oblegovalne tehnike ocenil, da bod o Turki vdrli v grad natanko čez tričetrt ure. Tedaj naj bi trdnjavo razstrelil. Stavbo lahko požene v zrak le s svo jima vžiga lnima vrv icama, sa j bi se rad s pos adko pred eksplozijo pravočasno umaknil na varno. Pom agaj Wolodyjowskem u dom isliti , kako naj z vrv icama odmeri t ri četrtine ur e, da bi maščeval padl e tovariše, si zagotovil mesto med nesm rtnimi junaki po ljskega lit erarnega panteona in ostal živ. . Pomni, da vrvi ci ne gorit a s stalno hit rostj o. I Za vsakogar nekaj GLORIJA Z MIZASTE GORE Nenadoma se je pojavila spodaj v megli. Glorij a, prelepi naravni pojav, o katerem sem pr ed trinaj stimi leti bral v Preseku, a ga nikoli nisem videl v živo. .. Tokrat pa se mi je ponudila celo v fotografiranje in zato dobila mesto na Presekovi naslovni ci! Ko smo letos februarja opravljali jedrski poskus na pospeševalniku iThemba Lab s pri Cape Townu, smo si privoščili popoldanski izlet na znamenito Mizasto goro sredi mesta. Pot po planoti vrh gore prečka sotesko , ki se zajeda v pobočj e. Pogled v vrtoglavo razpoko nas je več kot pr esene til. V megli , ki se na tej gori imenuj e Namizni prt , ker pogosto kar teče z vrha v dolino, smo zagledali svoj e sence, obrobljene z mavričnim krogom. Pod ob a nastane na pod ob en način kot navadna mavrica. Če boste pobrskali po šolskih knji žnicah , boste matematično-fizikalno razlago ma- vri ce našli v prvih dveh številkah sedemnajstega letnika Preseka . Prav na kr atko jo pa le ponovimo ob naslednji sliki : vpadni ža rek 4. red 1. red Sončni ža rki, ki vstopijo v kapljico vode, se pri vstopu vanj o prvič lomij o, nato se enkr at odbijejo na notranji stran i od stene kapljice, na- zadnje se lomijo iz kapljice ven. Glede na to , kje vstopijo v kapljico, se lomijo ven pod vsemi koti med O° in 42°, gled e na smer od kapljice proti soncu. Vendar pa se največji del sončnih žarkov, ki pad ejo na kapljico, lom i ven v smeri med 40° in 42° . Na od sonc a obsijanem mokrem nebu zato vidimo svetel lok dobrih 40° od osi skozi sonce in naše oči. Ker pa Za vsakogar nekaj I ima voda za svetlobo različnih bar v različne lomne količnike , se žarki t eh barv lomij o pod nekoliko različnimi koti in namesto br ezbarvn ega svetlega loka nastane mavri ca . Podobno velja za sončne žarke, ki se v kapljici med obema lom om a večkrat odbijejo. Tisti , ki se odbijejo dvakrat, pričarajo drugi mavrični lok , ki ga včasih bled o vidimo pri prib ližno 50° na zunanji strani glav ne mavri ce. Glorijo pa pripravijo žarki še višjega red a , torej taki, ki se še večkrat odbijejo znotraj meglen e kapljice, preden se lomijo nazaj ven . Očitno je kot te ga mavričnega loka zelo majhen, le nekaj stopinj , saj je velik približno toliko kot človeška senca na nekaj deset metrov oddaljeni megleni tančici . Če bi bil mavrični kot glorij e večji , bi jo še teže opazili, saj bi se šibki žarki iz odbo jev višjega red a povsem izgubili na svetl em nebu . Ime je glorija dobila p o te m, da jo vedno vidimo okoli svoje sence in za to spo minja na svet niški sij . V šali bi lahko rekli , da je to dodat en argume nt k zgornji razlagi , da je njen poj av t ako redek. Glorija je vidna tudi pri nas; po te m je znan hrib Kurešček nad Igom pri Ljublj ani . Večkrat jo vidijo t udi potniki iz let al a . V t em primeru dobi mavrično ob robo senca letala na oblakih pod njim. Ma tjaž Vencelj PERIODIČNI DECIMALNI ZAPIS P ozorno poglejmo 1 -:3 = 0.3333 . .. = 0.3 1 - "6 = 0.16666 . . . = 0.16 3~7 = 0.00288 184438040347 in se vprasajmo : Ali ima še kakšno poziti vno celo število x lastnost , da se nj egova obratna vrednost zapiše s periodičnim decimalnim zapisom, v ka- te rem se ponavlja prav x? Anton Cedilnik Reš itev je na st r. 298. I Fizika OH, TO SEVANJE! Kaj vse je sevanje? Sevanje, žarki, radiacija so besed e, ki jih v našem vsakdanjem življenju pogosto srecuj emo. Včasih nam te besed e ponazarjajo nekaj svet lega in zaž elenega, nekaj , za radi česar je živ- ljenje lepše. Drugič , predvsem t edaj, ko jih povezujemo s t ehnologijo, nam vzbujajo neprijetne občutke. Nekateri te besed e povezuj ejo tudi z idej ami, ki so povezane s področjem mejnih znanost i ali celo praznoverja , vendar bomo to pojmovanje sevanja tu pustili ob strani. Sevanje obst aja, odkar obstaja vesolj e. J e normalen del narave in življenja. Svetloba , t oplota, radij ski valovi, sevanj e radioaktivnih sn ovi , celo zvok so primeri sevanj, s katerimi se srečujemo vsakodnevno. Naše t elo je vsak trenutek izpostavljeno različnim virom sevanja. Sevanje pri- haja tudi iz vesolja. Sevanje Son ca vsi dobro po znamo in tudi vemo, da je močnejše , čim više gremo . Manj vemo o kozmičnem sevanju, to je toku delcev , ki z veliko energijo priletij o iz globin vesolja v našo atmosfero . Tudi to sevanje z višino narašča. Čim višje v gore se vzpnemo, tem več ga prejmemo; še več , če letimo z let alom. Sevanje prihaja tudi iz zemeljske skorje. Minerali vsebujejo radio- akt ivne eleme nte, ki oddajajo sevanje ob svojem razpadu, zato je sevanje vsakdanji sp remljevalec dejavnosti, s katerimi posegamo v globlje geološke plasti. Z njim se srečujemo v rudnikih , v podzemnih jamah, pa t ud i mine- ralne vode in topli vre lci, ki prihajaj o iz globin, nosijo s seboj radioakti vne snovi, ki oddaj ajo sevanj e. Ne nazadnje je vir sevanja t udi človek sam. Oddajamo toploto, sevamo pa t udi zaradi radioaktivnih snovi, ki so pri sotne v telesu vsakogar: v kost eh se kopičita radioa ktivni polonij in rad ij , v mišicah se nabirat a radioak ti vni oglj ik in kalij , v naših pljučih se zadržujejo radioaktivni žlahtni plini . Velika večina te h sevanj je nar avnega izvora in je torej del našega naravn ega okolj a , le zelo majhen del je plod človekove dejavnosti in razvoj a te hno logije . 262 Fizika I o večini teh pojavov niti ne razmi šljamo kot o sevanju. Če govorimo o sevanju , danes večina ljudi pomisli na sevanje radioaktivnih snovi , včas ih še na sevanje mobilnih t elefonov, računalniških in t elevizijskih zaslonov ali sevanje v mikrovalovnih pečicah. Na splošno je razširjeno prepričanje , da so sevanj a nevarna in zdravju škodlj iva. Kaj je res in kaj ni res? Zakaj so nekatera sevanja na tako slabem glasu , za druga pa se niti ne zm enimo? J e strah pred sevanji upravičen ali je plod pretiravanj ? Je to po sledica dejstva , da za veliko večino sevanj človek nima ustreznih čutil (oči , ušesa, nos, jez ik in koža se nanj e ne odzovejo)? Zaznamo jih le z instrumenti , brez njih pa ne moremo vedeti , kakšno je sevanje v naši okolici. Ali je razlog za st rah morda dejst vo , da o sevanju ne vemo dovolj? Definicija sevanja ni enolična Fi ziki sevanje opi suj ejo kot pojav, pri katerem se energija iz vira širi v obliki delcev ali valovanja. Sevanje je torej oddajanje in razširj anj e valovanja ali delcev in s tem energije v prostor. Vendar uporaba pojma sevanje ni enolična; poleg pojava oddaj anj a in širjenja valovanja in delcev v prostor se lahko pojem sevanja uporablj a tudi za energijo, ki se šir i pri te m pojavu . Od energije valovanja ali delcev , ki jih vir oddaja, je odvisno, kakšen učinek bo sevanje imelo na snov, sko zi kat ero gre ali jo na svoj i poti zadene. Če je ta ene rgija dovolj velika , bo sevanje pri prehodu skozi snov iz atomov izbilo elektrone . V snovi se poj avijo ioni in za to t aka sevanj a imenujemo ionizirajoča sevanj a . Sevanja, ki nimajo dovolj velike energije , da bi povzročila nastanek ionov, pa so neionizirajoča sevanja . Kadar govorimo o valovanju, namesto o ene rgij i, raje razmišljamo o valovni dol žini ali pa frekvenci. Ob e sta ne pos redno povezani s količino energije , ki se pren aša z valovanj em. Daljš a valovna dol žina in hkrati nižja frekvenca sta značilni za neionizirajoče sevanje . Kraj ša valovn a dol žina in hk rati večja frekvenca pa sta značilnosti ionizirajočega sevanj a. Va lovna dolžina Slika 1. Va lovna dolžina .\ j e razdalj a m ed d vem a sosed nj ima va lovn im a vrhovo m a a li va lovnima dolinama . Fr ekvenca v j e povezana z va lovno dol žino z enačbo c = Xi» , Enota za va lov no dolžino je m, za frek venco p a s- l a li Hz . Fizika Če je živo bitj e izpost avljeno ionizirajočemu sevanju , se t udi v njego- vih celicah in v medceličnini poj avijo ioni in prosti radikali , kar ima lahko škodlj ive učinke . Življenj e v okolju, kjer so viri ionizirajočega sevanj a , je torej lahko tvegano. Zato so t i viri pod nadzorom. Vrste sevanj V gro bem lah ko sevanja razdelimo na: sevanja, pri katerem vir oddaja mehansko valovanje, - sevanja, pri katerem vir oddaja elektromagnetno (EM) valovanje in sevanja, pr i katerem vir oddaja delce. Iz praktičnih razlogov za ta sevanja velikokrat up orabljam o kraj še izraze kot elektromagnetno sevanje ali sevanje delcev. Po analogij i lah ko t udi oddajanje mehan skega valovanja poimenujemo mehansko sevanje, vendar ta izraz pr i nas ni pogost . M ehansko seva nje Mehansko valovanj e se lahko širi samo skozi snov, zato je mehansko seva- nje mož no le v mediju, ki je plin, tekočina ali t rdna snov. Najznačilnejši in naj bolj znan predstavn ik mehanskega valovanj a je zvok, ki se od vira širi v ob liki zgoščin in razredčin. Kot meh an sko valovanje zvok za razširjanje nujno potrebuje medij . Brez snovi, po kateri se širi, t udi zvoka ni. Elektromagnetno sevanje Elektromagnetno sevanje zajema valovanj a zelo različnih valovnih dolžin. Ker med elektromagnetnimi valovi različnih območij valovnih dolžin ob- stajajo precejšnj e razlike, so se za posamezna območja valovnih dolžin uve- ljavila različna imena, vse skupaj pa imenujemo elektromagnetni spekter (slika na II. strani ovit ka): radij ski valovi (vključno s televizijskimi in mikrovalovi) , infrardeči ali toplotni valovi (tudi infrardeči žarki ali infrardeča sve- tloba), svetloba (t ud i vidna svetloba) , ultravijolični (DV) žarki (tudi ultravijolično sevanj e ali ultravij olična svetloba), rentgenski žarki (t udi rentgensko sevanje) in ža rki gama (t udi gama sevanje ) . Fizika I Poimenovanje območij v spektru ni enolično, ampak se za posamezna območja v pogovornem in strokovnem jeziku uporablja več različnih be- sednih zvez kot npr. žarki, valovi , sevanje, svetloba (zgoraj že nakazano v oklep ajih). Ultravijolični žarki s krajšimi valovnimi dolž inami, rentgenski žarki in žarki gama se uvrščajo med ionizirajoča sevanja, neionizirajoča sevanja pa so radijsk i valovi vklj učno z mikrovalovi , infrardeča svet loba, vidna svetloba in ultravij olična svet loba z daljširni valovnimi dol žinami. Razpon valovnih do lžin radijskih va lov je izredno velik - od več 1000 km do nekaj desetin mm (do lgi valovi, sr ednji valovi, kratki valovi , ult rakrat ki valovi in te levizijski valovi, mikrovalovi) . Televizijsk i valovi imaj o valovno do lžino od 1 do 3 m , m ikrovalovi pa od desetine mm do 1 m. Radijske valove oddajajo različne kombinacije in izvedbe anten. Ener- gija, ki jo oddajajo , ni zelo velika, zato zdravju niso posebej nevarni . Zanje človek nima posebnih čuti l. Radijski in televizijski valovi so pomembni prenosniki informacij , mikrovalove pa uporablja jo radarji . Infrardeči valovi imajo valovno dolžino od 1 mm do 0,8 t isočin mm. Oddajajo jih segreta te lesa in j ih imenujemo t ud i toplotni valovi . Z njimi lahko snov segrejemo. Čutilo za toploto imamo v koži , ker pa čutnice niso enakomerno razporejene, so nekateri deli telesne površine za to ploto bo lj občutlj ivi , drugi pa manj. Elektromagnetno valovanj e z valovnimi do lžinami od 0,8 do 0,4 t i- sočin mm človeško oko lahko zazna. Ta del spekt ra imenujemo vidna svetlob a . Različne valovn e do lžine zaznavamo kot različne barve. Tudi vidno svetlobo sevajo močno segreta t elesa. Čim višja je temper atura telesa , tem krajša je valovna dolžina svet lobe, ki jo t elo seva . Svetloba z najmanjšimi valovnimi do lžinami je modre in vijoličaste barve. Tudi t a vr st a sevanja za živa bi tj a ni nevarna. Elektromagnetno valovanj e s še manjšimi valovnimi do lžinami - od 0,4 tisočin do 5 milijonin mm - je ultravijolično sevanje. Oddajajo ga te lesa pri zelo visokih temperaturah ali nastane ob razelekt rit vah v plinih . Človeško oko tega sevanja ne zaz nava, ker za nj nima ustreznih vidnih pigm entov, nekatere žuže lke pa vidijo t ud i v ultravijolični svetl obi . Človek nekaj ultravijoličnega sevanja potrebuje, saj pod njegovim vpli vom v koži nastaja vit amin D , ki je potreb en za vgrajevanje kalci ja v kosti . Večj e količine takega sevanja so lahko za kožo nevarne , povzročajo op ekl ine , zdravniki pa opozarjajo, da do lgotrajno izpost avljanje te mu sevanju lahko povzroči t udi kožnega raka. Fizika Rentgensko sevanje ima zelo majhno valovno dolžino - od 10 milijonin do 1 milij ardine mm. To sevanje oddaj ajo po spešeni elektroni, ki jih zavira polje atomskega jedra te žke kovine. Pri tem se del energije izseva v obliki elektromagnetnega valovanja. Tega sevanj a živa bitja ne zaz navajo . Ker pa je rentgensko sevanje zelo prod orno in lahko prodre skozi telesno površino do notranjih organ ov , ga uporablj am o v medicini za slikanje notranjih organov. Mesta v t kivu, ki so gostejša, sevanje bolj zadržijo in na filmu se tam zato poj avi senca. Sevanje, katerega valovna dolžina je kr aj ša od 1 milij ardine mm, imenujemo sevanje gama. Nastane tedaj , ko nestabilno ato msko jedro razpade in s te m preide v bolj stabilno obliko. Pri t em se del energ ije sprosti v obliki elektromagnetnega sevanj a gama. Hkrati se spreme ni t udi jedro. Poj av imenuj emo radi oak tivni razpad in je značilen za radioakti vne snov i, ki vsebujejo velika atomska jedra, v katerih število pr otonov in nev- t ronov ni ur avnovešeno. Sevanj e gama nastaja t udi pri jedrskih reakcijah , pri katerih jed ra obstreljuj emo z delci ali fotoni, ki povzročij o spremembe v jedru. Pri t em jedro lahko izseva tudi enega ali več žarkov gama. Sevanje d elcev Ob rad ioaktivnem razpadu nekaterih jeder se poleg elektromagnetnega sevanja gama sproščajo oziroma izseva jo t udi delci - elekt roni in helijeva jed ra - skupki dveh protonov in dveh nevtronov. P rvo imenujemo sevanje b eta, drugo pa sevanje alfa. Tudi t i dve vr sti sevanja st a ionizirajoči sevanji. Snovi , za katere je značilen radi oaktiven razpad, imenujemo ra- dioaktivne snovi. Mnoge so pri sotne v naravi , lahko pa jih naredij o t udi um etno z obsevanje m v reak torju ali obstreljevanjem v posp eševalnikih. Omenimo še kozmično sevanje. Kozmični žarki, ki prihajajo do nas iz globin vesolja, so mešanica atomskih jeder (90% pro tonov - vodi kovih jeder , 9,5% helijevih jeder in 0,5% drugih tež jih jeder) z zelo veliko ener- gijo . Ob vstopu v našo atmosfero zad evajo ob jedra ato mov, ki ozračj e sestavlj ajo in sprožajo različne jedrske pr etvorbe. P ri t em nastajajo novi delci, ki kot nekakšni plazovi padajo v spo dnje plasti zemeljs kega ozračja do zemeljskega površja , nekateri pa pr od rejo celo v zeme ljsko notranj ost . Koristi in tveganja pri uporabi sevanj Ker so sevanja že od nekd aj običajen pojav v okolju vseh živih bitij na Zemlj i, ni presenetljivo, da se je v razvoju poj avilo mnogo različnih načinov izkoriščanja energije, ki jo sevanje nosi s seb oj. Najpomembnejši je gotovo fotosinteza , v kateri rastline lahko izkoristij o svetlo bno energijo za izdelovanj e organske snovi - sladkorja. Tako rastline zagotovijo hr ano Fizika I sebi, hkrati pa je foto sinteza neposredno ali pa posredno t udi vir hrane za vsa druga živa bitja na Zemlji. Dve vrsti sevanja - svet loba in zvok - služ it a mn ogim živalim za med- sebojno sporazumevanje in spoznavanje okolice. Mno ge živali svetlobo in zvok zaznavajo in ju t udi oddaj ajo. Imajo zelo različno občutlj ive oči ; nekaterim zadostuje že zelo malo svetlobe, druge vidij o tudi ultravijolično svetlobo , nekatere ločij o barve, druge ne . Imajo tudi različno občutljiva ušesa; pes na primer sliši bistveno višje frekvence kot človek . Vendar ne človek ne žival ne moret a s čutili zaznat i vseh vrst sevanj, ki so prisotna v naravi . Človek je z razvoj em znanost i in tehno logije izdelal posebne meri lne instrumente, s katerimi je mogoče zaznavati tudi drugovrstna sevanj a (sevanje gama ali pa radijske valove) . Razvoj te hnologije ni le razširil spektra sevanja , ki ga lahko zazna- vamo, omogočil je t udi koristno uporabo dolgovalovnih in kratkovalovnih elekt romagnetnih sevanj , izkoriščamo pa t udi ult razvok. Z njim je na pri- mer mogoče zelo dobr o očistit i kovinske površine, v medicini pa z ultrazvo- kom tudi preiskujejo notranjost človeškega te lesa. Rad ijski/televizijski oddajnik in radijska/televizijska ante na omogočata spremljanje programa, z radarjem je mogoče zaznati pr edmete, ki so daleč ali v megli, pa t udi mobi lni t elefoni za pr enos informacij izrabljajo radijske valove. Neionizirajoča sevanja nas v običajnem okolju ne ogrožajo. Pri up o- rabi ionizirajočih sevanj moramo biti previdni , saj v celicah povzročijo nastan ek prostih radikalov, zelo reaktivnih snovi , ki spremenijo delo- vanj e celice. Lahko celo poškodujejo molekulo DNK v celičnem jedru, to rej dedno informacijo, ki določa , kaj se bo v celici dogaj alo. Prav lastnost , da sevanjepoškoduje celico, izrabljamo za uničevanj e bak terij in tumorjev. Lastnost , da ioniz irajo č e sevanj e pr odira skozi goste in trdne snovi, pa izrabljamo v zdravstvu za pr eiskave notranjih organov te r v industriji za pr eiskavo materialov. Če vire ionizirajočega sevanja up orabljamo premišljeno in upoštevamo načela varnega ravn anj a z nj imi, se nam jih ni potrebno bati. Svet brez sevanja - mrzel, t ih in temen - gotovo ni okolje, kjer bi kdorkoli želel živet i. Pravzaprav to sploh ne bi bilo mogoče . Neionizi- raj oče in ionizirajoče sevanj e nas spremlja od začetka, živa bitj a so se razvila ob prisotnosti sevanja. Res je, da sevanja lahko pr edstavljajo tudi vir tveganja v naš em okolju, vendar so dovolj očitne t ud i njihove korist i. Proti velikokrat pretiran emu in neupravičenemu st ra hu pr ed sevanjem pa se najbolje borimo z znanj em in ra zum evanjem. Irena Mele, Metka Kra lj, Nadja Železnik I Mat ematika GLASBA IN MATEMATIKA - 1. del Tonski sistemi Pred dobrimi št irinajstimi leti sta v Preseku že izšla dva prispevka o izgra- dnji glasbenih lestvic (Presek XVI, št. 1, str . 12 in št. 2, st r. 66). Na številne pobude, naj članka pon ati snemo, sta . nastala dva nova zapisa: pr isp evek o tonskih sist emih in članek o kitari, ki bo izšel v naslednji številki Preseka. Vseeno pa t iste mlade bralce, ki jih tema zanima, vabim, da si ogledajo tudi ob a stara članka. Tam boste našli razložen marsikateri osnov ni poj em , ki ga bomo tu kar uporabili . Ustre- zna Preseka gotovo hrani vaša šolska knj ižnica. Glas ba sega v večino področij človekovega udejstvovanj a , je del zna- nost i, um etnosti , kult ur e, zgodov ine, .. . Dejan sko je to ena naj st arejših ved . Tako je np r. , bolj kot karkoli drugega, potrjevala Pi tagorejce v prepričanj u, da je kozmos harmonični prostor , ki mu vladajo števila . Tudi mi bom o nanjo pogledali predvsem z matematičnega vidika. Vsako nihajoče t elo je izvor prostorskega valovanja, ki se širi na vse strani in v vseh snove h . Človeško uho je sposobno zaznati valovanje zraka v širokem slušnem območju in ga pr etvori ti v slušni dražljaj . Prostorsko valovanje v tem frekvenčnem območju imenujemo zvok. Zvočne poj ave lahko ra zdelim o na to ne, zvene in šume. Vsi zvoki lahko postanejo glas- beno gradivo, vendar so njeni najosnovn ejši zidaki glasbeni toni. Ton (čisti ali sinusni ton) je s fizikalnega stališča zvok z natančno določeno frekvenco. Ustvarimo ga lahko le um etno s tonskimi generatorji. Glasbila oddajajo glasbene tone , ki so posebna kombinacija čistih to nov. Poleg osnovnega to na s frekvenco 1 nastopaj o v njih še alikvotni toni, to so toni , katerih frekvence so večkratniki frekv ence osnovnega tona 21, 31, 41 itd. Ton z dvojno frekvenco, pa t udi interval med osnovnim to nom in tonom z dvojno frekvenco, imenuj em o oktava, interval med to noma s frekvenco 1 in 31 je k vin ta v oktavi više, 41 je dvojna oktava itd. Višina glasbenega Mat ematika I tona je določena s frekvenco osnovnega tona . Pojav alikvotnih tonov je pomemben faktor , ki odloča o zvočni barvi, t o je razliki v zvoku enako visokega tona , ki ga izvaj aj o različni instrumenti ali glasovi . Teoretično bi sicer lahko zveneli vsi alikvot ni toni dan e osnov ne frekvence. Toda to bi zagotovo povzročilo neznosno disonan co. Dejan sko pa intenzitet a višj ih alikvotav naglo in pri različnih instrumentih raz lično hit ro pad a . Res. Na nekaterih instrumentih je težko zaz nati več kot t re tj i alikvot (npr . pri kit ari) , violine in obo e pa imaj o nasprotno močne visoke alikvot ne tone, ki jim dajejo svetel ton . Flavte in frul e imajo šibke višje alikvote. Nadalje im a klarinet močne lihe alikvo te , zar adi česar ima vot el zvok. Kako neizmerno je zvočno gradivo, ki ga ponujajo glasbe ni to ni, pove pod atek, da sega naše slušno območj e od 16 Hz (a li s-l , to je nihaj ev v sekundi) do 20000 Hz. Pri t em smo v občutlj ivej šem delu tega območja sposobni med sebo j ločiti to na , ki se razlikujeta za vsega 1 Hz. Zato se je že davno pokazala po treba uvesti v glasbo določeno enot nos t in red , med drugim izbrati omejeno množico tonov, s katerimi bi gradili melodije . Nas tali so razni tonski sistemi s svojimi glasb enimi lestvi cami , ki predstavljaj o izbor možnih to nov v okv iru ene oktave. Poznamo različne tonske' sestave, ki so bili v različnih zgodovinskih obdobjih in različnih ku lturah različno pomembni. Tako v religiozni kot za bavni indijski glasbi je okt ava neenakorazmerno razdeljena na 22 intervalov - šrutov, lestvice pa so pet ali sede mtonske z dod atno četrtansko delit vijo. V kitajski glasbi je izrazit a pentatonika brez poltonov (glasba na peti h tonih) obvladovala melodij e t ako nekoč kot dan es. Sam poj av pentatonike in vzt rajanje pri nj ej sta odraz kit ajskega odnosa do sveta. Kitajska glasba je zadržana, zgoščena in hladna, kar v zna t ni meri izhaj a iz pentat onike; izr ažati hoče splošna čustva, ne individualnih. Njeno sist emat iko je utemeljil že filozof Fohi pr ed 5000 leti . Tako kot Pitagorejci je bil tudi on prepričan , da je glasba odmev harmonij e vesolja in zato , tako kot vesolje, t emelj i na sist emu števil. Zanj je bi lo naj popolnejše število pet , ki se ujem a s šte vilom t .i. starih plan etov (Merkur, Venera, Mars , Jupit er , Saturn ) kakor t udi s št evilom glavnih elementov, iz kater ih je ses t avljen svet. Zahodna glasba zadnjih t reh stolet ij up or ablj a tone kromat ične t onske lestvice, ki ima oktavo razdeljeno na 12 polton skih intervalov. Če začnemo s C, so njeni toni poim enovani takole: C, Cis( Des), D , Dis(Es) , E , F , F is(Ges), G , Gis (As) , A, Ais (Hes), H Mat ematika Nato se ponovi C, to da oktavo Vise, in z njim vsa lestvica. To se nadalj uje navzgor in navzdol vse do mej slušnega območja . Srednji C, to je Cl, osnovni to n prve oktave , ima frekvenco 262 Hz. Frekvence zapo rednih tonov tvorijo geomet rijsko zaporedje, kar pomeni , da je razm erje njiho- vih frekvenc konstan tno. To je zelo pomembna lastnost , ki je dejansko nujna zaradi nelinearnega odziva človeškega bobniča na viš ino zvoka. Če zanemarimo ritem , sliši naše uho isto melodijo ne glede na višino, če je razmerj e frekvenc to nov, ki jo sestavlj aj o, vsakokrat isto. To pa pom eni , da lahko melodij e pr enašam o više ali niže le, če to nski sest av sestoji iz zapo rednih to nov, katerih frekvence tvorijo geomet rijs ko zaporedj e. Na klavirj u pripad aj o be le t ipke to nom C, D, E , F , G, A, H. Zap ored zaigrane dajo melodijo C-dur ove lest vice (poznamo 12 duro- vih in 12 molovih lestvic) . Oktavnemu intervalu ustreza torej vrzel osmih belih t ipk . Črne ti pke da jejo zvišane (ali zni žan e) to ne (slika 1) . I !J 3 2 !J :3 !J8 :.2 "1 :2 C O G ~ k vint.a oktava C O G Slika l . o Dan ašnji sistem se je razvil v dolgi časovni periodi in je kompromis med protislovnimi zahte vami, ki jim lahko sledimo vse do Pitagorejcev v antični Grčij i . Zaradi enost avnost i bomo pri ra zlagi ra zvoja uporablj ali moderne oznake, čeprav s tem tvegamo očitek , da smo pomešali rahlo različne poj me. Legenda pripoveduje, da je Pit agora poslušal klad iva št irih kovačev , katerih melod ija se mu je zdela zelo pr ijetna. Ko je kladiva stehtal, so te htala 12, 9, 8 in 6 utežnih enot . Iz teh tež je Pit agor a dobil razmerj a 12 : 6 = 2 : 1, 12 : 8 = 3 : 2, 12 : 9 = 4 : 3 in 9: 8. Od to d je pri šel na idejo , da posebej sozvočno zvene toni , katerih frekvence so v navedenih raz merjih . Težko je reči , kaj se je za res zgodilo pr ed 2600 leti. Vsekakor je imel starodavni učenj ak z idej o pr ecej sreče . Vidimo namreč , da gre v Matematika I prvem primeru za oktavni interval med tonoma, naslednja razmerja pa pomenijo današnjo čisto kvinto, čisto kvarto in cel ton , to je interval iz dveh poltonov. Mogoče pa je Pitagora tedaj sedel v isti banji kot Arhimed 400 let kasneje. Klavdij P tolemej , ki je živel okrog let a 150 našega štetja, je predvsem znan po svojih astronomskih in geografskih delih, napisal pa je tudi knjigo o teoriji glasbe Harmanies. V njej poroča o zgornj i Pitagorovi t rditvi, da lahko sozvočne intervale med glasbenimi toni predstavimo s kvocienti celih števil. To je prikazal eksperimentalno, pri čemer je uporabil precej nero- dno pripravo, poznano kot kanon, neke vrste enostrunsko kit aro (slika 2). a) b) _ 1 _____ • • 2 ~/ ?ZZZ Z Z Z Z ZZ Z ZZZZ ~ ~?Z?ZZ Z ?Z~ Z ? ? / ZZ ~ c) tSlZ ?Z / Z Z Z ? Z / Z?~ d) ~ __ 3 Slika 2. Če premikamo premični most , prečko, vzdolž kanona, je videti, da dobimo pri določenih legah to ne, ki skupaj s tonom, s katerim zveni vsa struna, zvene bo lj harmonično od drugih . Najosnovnejši tak int erval je oktava. Na kanonu je to int erval med tonom, ki ga dobimo pri igranju na celi struni (slika 2a), in tonom, zaigranim na (natančno) polovični struni (slika 2b) . Torej je razmerje med dolžino strune, ki odda dani ton, in do lžino strune, ki odda njegovo oktavo, enako f. To velja neodvisno od višine originalnega tona. Druga celoštevilska razmerja dolž in strun dajejo prav tako lepo zveneče (harmonične) intervale. Najpomembnejša intervala sta kvarta z razmerjem 1 (slika 2c) in kvinta z razmerjem ~ (slika 2d). Če začnemo z osnovnim tonom C, je drugi ton pri kvarti F, pri kv inti G in pri oktavi naslednji višji C . V C-durovi lestvici C, D, E, F, G, A, R, C so to četrti, peti in osmi ton. Od tod slede njihova lat inska imena. Druge intervale dobimo iz teh zidakov . Domnevajo, da so P itagorejci, da bi ob likova li harmonično tonsko lestvico, začeli z osnovnim tonom in napredovali navzgor s kvintami. Na ta način dobimo tone , ki jih zaigramo na strunah, katerih do lžine so z osnovno do lžino v razmerjih 1 ,~, (~)2 (~) 3 (~)4 (~)5 IMatematika ali 3 9 27 81 243 1, 2' 4' 8' 16' 32 Večina teh tonov leži zunaj ene oktave, sa j je večina ra zmerij večja kot t. Toda s t eh tonov se lahko spuščamo po oktavnih intervalih (t ako , da razmerj a delimo z 2) , dok ler ne dob imo rezu ltatov med t in t. Če dobljena razmerja uredimo po velikosti, dobimo 9 81 3 27 243 1 - - -- - , 8 ' 64 ' 2 ' 16 ' 128 Če za osnovni ton izberemo C, zaporedje približno ust reza tonom C, D, E , G,A,H. Oznake nami gujejo, da nekaj manjka . Tudi slišati je, da je vrz el med ~~ in ~ širš a kot ost ale. Vrzel lah ko spodobno zamašimo t ako, da dodamo kvarto, razmerje ~, oziroma ton F . Pravzaprav bi kvarto lahko vgradili že na samem začetku, če bi se od osnovnega tona spustili za kvinto in se nato dvignili za oktavo , saj je 2 x (~) -1=2 X~ =~. Zaporedje 9 81 4 3 27 243 . (1)1, 8' 64' 3 ' 2 ' - - 216' 128 ' ki ga dobimo na t a način (dodali smo še okt avo) , ustreza približno tonom, ki jih dobimo z be limi tipkami na klav irju. Kaj pa črne t ipke? Kar se same barve tipk tiče, bi najbrž glasba lahko shajala brez njih . Zakaj dob ljeno zaporedje tonov ne zadošča? Če iz zaporedja (1) izračunamo razmerja frekvenc zaporednih tonov, dobimo 9 9 256 9 9 9 256 8' 8' 243 ' 8' 8' 8 ' 243 Vidimo, da imamo natanko dve razmerji, večje , ~ , nastopa petkrat , manj- - 25 6 d k tK'se, 243' pa va ra . er Je 9 256)28 = 1.125 ln (243 ~ 1.11, Matematika - Rešitve nalog I lahko vzamemo, da je *;::j ( ~~~ ) 2. Dva manj ša intervala sta torej velika približno za en večji interval. To pomeni, da so v skali še vedno vrzeli. Vs ak večj i interval (cel ton) moramo razdeliti na dva manj ša , od katerih bo vsak t ako blizu manjšemu (polt onu), kot je le mo žno . Torej moramo dodati še pet tonov, ki j ih bomo na klavirju zaigrali s črnimi tipkami. Obstaja več načinov , kako se to naredi . Tako imenovana kromatična lestvica začne z ulomki ( ~)n za n = O, 1, 2, .. . , 10, 11. Dobljene vrednosti nato reducira na ist o oktavo, tako da jih ponavljaj e se deli z dve in jih pote m še uredi po velikosti (sist em : po kvintah navzgor, po oktavah navzdol, slika 1) . Rezultat prikazuj e naslednja tabela za C-durovo lest vico, v kateri na- vaj amo vrednosti razmerij harmoničnih intervalov in vr ednosti, dobljene na opisani način . t on ~F~ C harmonični 1 9 5 4 3 5 15 2 interval "8 4" :3 2 :3 8 kromatični 1 9 8 1 1771 4 7 3 27 24 3 531441 interval "8 64 131072 2 16 128 262 144 Vidimo, da se pri nekaterih tonih ulomki ne uj em ajo. Tako je tudi pri oktavi, kjer dobimo namesto faktorja 2 ulomek s šest mestnim imeno- valcem. Njegova vrednost je približno 2.0273 . Če to število delimo z dve, da se vrnemo k osnovnemu tonu, dobimo namesto 1 približno vr ednost 1.0136. To odstopanj e je poznano pod imenom pitagorejska ali ditonična koma. O razlogu zanjo in o kitari pa v naslednji številki Preseka. Marija Vencelj NAJKRAJŠI ČAS POTOVANJA - Rešitev s str. 195 Na začetku potovanja (točka L na sliki 1) se dva študenta odpelje ta z motorjem, tretji pa se odpravi na pot peš. V točki B na oddaljenosti y od Maribora začne ede n od potnikov z motorja pešačiti, drugi pa se z mot orj em vrne po prvega pešca, ki ga sreča na razdalji x (v točki A) od Ljublj ane . S prvim pešcem se motorist ponovno odpelje proti Mar iboru, kjer na koncu poti (lvI) dohiti drugega pešca. IRešitve nalog L j. x A I 81 Slika 1. B I 11 Al ·l Celotna pot s od Ljublja ne do Maribora je enaka vsoti poti pešcev x + y in razdalje SI med krajema A in B. Čas , ki ga porabi prvi pešec, da prehodi razdaljo x, je enak času , ki ga potrebuje motorist za razdaljo x +2s l . Prav tako sta enaka časa drugega pešca in motorista na ust rezni h razdaljah y in y + 2s l . Če označimo z VI hitrost pešcev in z V 2 hitrost motorista, lahko zapišemo enačbi iz katerih sledi , da sta poti prvega in dr ugega pešca enaki (x = y) . Pot prvega peš ca do srečanja z motoristom v kraju A je x = vlh, motorista pa x + 2s l = V2 t l . Če upoštevamo, da je tI = .:E... in SI = S - 2x , spremenimo drugov, enačbo v obliko V 2 X + 2(s - 2x ) = x - , VI iz katere izračunamo neznano razdaljo x : 2 SVl X= ---- 3Vl + V2 Celotni najkrajši čas potovanja t od L do M je enak vsoti časov hoje prvega pešca in vožnj e motorista na razdalji s - x : x S - x t=-+ -- . VI V2 Razdaljo x smo že izračunali , zato lahko zapišemo s 3 V 2 + VIt= - . . V2 3 Vl + V2 Pri danih številčnih vr ednostih za VI = 5 km/h, V2 = 60 km/h in s = = 144 km je ta čas 5,92 ure . Karel Šmigoc Računalništvo I VIZU ALN A KRIPTOGRAFIJA - ŠUM SKRIVNOSTI Zagotovo ste že kd aj brali zgodbo o ~ zakopanem zakladu. Ta zaklad je obi- ~-~iI:iIiIL- ._ _ __ čajno gusarski, kapit an , kriptograf sa- mo uk, pa dovolj pr em eten , da je ze- mljevid, ki vod i do zak lada, raztrgal na več kosov. Predstavljajte si, da ravno vi izhajate iz neupogljive rodbine kapi- tanov Sinjebradeev, katerim so legende pripisovale bajna bogastva . To boga- st vo vas žal ni doseglo, saj ga je eden od Sinjebradcev kot zgleden gusarski kapitan namest o v sef švicarske banke zaklad zakopal v nedrj a zemlje enega od otokov . Na srečo pa na podstreš ju najdete del zemljevida! Najprej si oglejmo, s čim se sploh ukvarja kri ptografija . Pošiljatelj ima sporočilo, poln o skrivn ih informacij , za to ga po izb ranem šifrirnem sistemu zaš ifrira (raztrga zemljevid) in do bi tajnopis. Ta tajnopis potem nekako poš lje naslovn iku , ki ga odšifrira (zloži kose zemljev ida) in prebere sporočilo. Med pošiljanjem na tajno pis običajno prežijo napadalci, ki bi se radi dokopali do skr ivnih informacij ali pa naslovniku podtakni li lažne informacije . Kriptogr afi ves čas seveda tekmujejo v sestavljanju in izboljševanju šifr irnih sistemov ter iskanju napadov na t e sisteme. Vsi šifr irni sistemi, ki se zanašajo na računsko varnost, te me lj ijo na te m, da po določenem sistemu "premešajo" informacijo oziroma sporočilo. Ključ imenujemo podatke (parametre ), ki v okviru danega šifrirnega sis- t ema (a lgorit ma) natančno določaj o , kako iz sporočila nar ed iti tajnopis in kako potem vrn iti premešano informacijo oziroma tajnopis v prvotno ob liko. Ključ je običaj no precej krajši od sporočila, sistem pa te m bo ljši, čim več mož nih ključev mora napadalec pre izkusiti na poti do reš itve. Ob tem je smiselno upoštevat i Kerckhoffov princip, ki pr edpost avlja , da napadalec pozna uporabljeni šifrirni siste m, ne pa t udi klj uča . Napadalec ve, kdaj je prišel na cilj : ko dob i tajnopis, razvozlan po določenem sistemu, sm iseln pomen , je to zelo verje t no izvirno sporočilo. Verjetnost , da bi dobil smiselno, a napačno sporočilo , je neznatna, če je le tajnopis dovolj dolg. Lahko pokažem o, da je pri sistemu, kjer vsako črko nadomest imo z neko drugo oziroma zame njamo abecedo, za vero dostojnos t smiselnega ang leškega sporočila potrebna dolžina pr ib ližno 25 črk . Računalništvo Vrn imo se k zakopan emu zakladu. Če je najdeni del zemljevida dovolj velik, boste lahko pr ep oznali otok. Na najdenem delu pa žal ni označenega mesta, kje točno je zaklad zakopan. Gotovo bi vam skrito bogastvo pri šlo zelo prav , zato lahko vzamete kramp in lopato, se odpravite na pr avi otok ter vsega pr ekopljete. Kriptografi bi to imenovali napad z grobo silo, sa j morate v okviru informacije, ki jo imate (uporabljeni šifrirn i sistem oziroma ime otoka) , preizkus iti vse možnost i (uporabit i vse mogoče ključe , oziroma prekopat i vsak kvadratni meter ) . Če boste problemu nameni li dovolj najlepš ih let svojega življenja, bo ste zaklad pr ej ali slej našli. Vsi, ki želite zakopati zaklad na skrivnem mestu, pa lahko iskalcem še bolj otežite delo, če boste le prebrali nadaljevan je članka. Seveda ga lahko preberete tudi iz gole rad ovednosti . Ker nismo gus arji stare šole, bom o zemljevide namesto na pergament risa li na prosojnice. Neuki Sinje bradec bi zemljevid na prosojnici verje tno narisa l takole (glej sliki 1 in 2) : na eno prosojnico sliko otoka, na dru go pa kri žec, ki označuj e zakopani zaklad. Sl ika 1. Zem ljevid otoka . x Slika 2. Kr ižec označuje skrit i zaklad . Ko prosojnici poravnamo in prekrijemo , je skrivnost raz kr ita. Tudi vsaka prosojnica zase razkrije nekaj informacije. Tako nam prva raz krije, na katerem otoku nas čaka zaklad. V nadaljevanju se bom o naučili , kako prosojnici porisat i tako, da z vsake poseb ej nihče ne bo mogel pridobiti nikakršne informacije, obe skupaj pa bost a razkrili skr ivnost (takorekoč 0 + 0=1). V prejšnj em stoletj u so se krip tografi domislili , kako informacijo za- kri ti tako, da je brez ključa nihče ne bo mogel razkri ti . V kriptografij i temu pravimo popolna varnost . Dosežemo jo t ako, da inform acijo "zli- jemo" s povsem naključnimi po datki. Tako onemogočimo nap ad alce, saj morajo le-t i ods tranit i naključne po datke, s čimer pa lahko dobij o povsem drugačno sporočilo (glej pr imer 1) . Ob danem tajnopisu so vsa sporočila enake dolžine enako verj et na . V tajnopis u lahko najdeš, karkoli iščeš , zato ni več samo ene smiselne rešitve. Tajnopis pa odšifriramo t ako, da odstranimo pr ej dodane naključne podatke. Računalništvo 1 P rim er 1. Pravi ključ je ključnega pomena, četudi je naključen . kr u h = P (1. sporočilo) v i n o = P ' (2. sporočilo) a s k f = K (1. ključ) n b s ž = KI = K + P - pI (2 . klj uč) l k h o = C = p + K (tajnopis) l k h o = C = p I + /(1 (tajnopis) V primeru 1 se zlivanje istoležnih črk (navpično) izved e kot seštevanje zaporednih številk črk v abeced i ('k' + ' a' = '1' , saj je 12+ 1 = 13) , kjer se ta ciklično ponavlja (za 'ž' pride spet 'a'). Če napad alec prestreže tajnopis C , ne more določiti sporočila, saj sta ob a ključa K in K' (s tem pa t udi sporočil i P in PI) enako verj etna , saj sta naključna. Kd or pa pozna ključ , lahko odkrije sporočilo tako, da od tajnopisa odšteje ključ . Največji problem pri tem šifr irnem sist emu je dolžin a ključa - ključ je enako do lg kot sporočilo samo. Pri drugih siste mih je ključ običajno bistveno krajši, npr. pri enoabecedni zamenjavi je potrebno poznati le za menjavo za vsako črko, pa lahko s t emi manj kot 30 podatki zašifriramo in odšifr iramo celotno knjigo . Opisana shema za dosego popolne varnosti se imenuje enkratni ščit (ang l. one-time-pad) , saj ključ kakor ščit prekrije podatke, up or abimo pa ga lahko samo enkrat (t udi vitezi so morali polomljen e ščite za me njat i) . Če bi ga uporabljali večkrat , bi napad alec lahko podtaknil njemu poznano sporočilo P , potem pa iz prestrežen ega t ajnopisa C izračunal klj uč K = = C - P . Če je ključ razkri t , sistem ne ponuj a nob ene varn osti več . Vemo, da vsako sporočilo lahko zapišemo v dvoj iškem za pisu, torej kot za poredje ničel in enic. Prekrivanje z enkratnim ščitom se v dvo jiškem zapisu na istoležnih bit ih izvede kot dvoj išk i izključni (ekskluzivni) ali (XOR - glej tabe lo 1). Izvorno sporočilo razkrijem o tako, da t ajnopis še enkrat pr ekrij em o s ključem , saj je pri dvojiškem zapisu sešte vanje enako odštevanju. Let a 1994 sta se znana kriptogr afa Adi Shamir , soiznajditelj sistema javn e kriptografije RSA, in Moni Naor domislila viz ualne kriptografije. Ideja je podobna enkratnemu ščitu , le da namesto za po redja bitov upo- rabimo ravnino, tlakovano s črnimi in belimi ploščicami , ki predst avljajo vr ednosti bitov. Poleg tega pa namesto op eracije ' izklj učni ali ' (XOR) upo rabimo operacijo n avadni al i (O R - g lej tabel o 2). XOR O 1 ~ O 1 O O 1 EE O 11 1 O 1 1 Tabe la 1. Izključni a li. Tabela 2. Ali. Računalništvo Na ta način slike zaš ifriramo, ko pa jih odšifriramo, so malce spre- menjene , a še vedno prepoznavne. Na jpomemb neje pa je, da je vizualna kriptografija po sistemu enkratnega ščita po dedovala popolno varnost. To pomeni , da napadalec ne more prepoznati zaš ifrirane slike, četudi ima še tako veliko časa in računske moči . Slaba stran popolne varnosti pa je , da je ključ prav tako do lg (obs ežen) kot samo sporočilo; zaradi tega ni bistvene raz like med ključem in zaš ifriranim sporočilom (primerjaj sliki 3 in 4). Poglejmo si idejo malce podrobneje: sliko bomo razstavili na dve različni , a enako veliki deln i sliki (glej sliki 3 in 4) . Vsako točko (angl. pi- xel) or iginalne slike bomo na obeh delnih slikah na istoležnih mestih nadomestili s ploščicama, ki imata eno po lovico belo, drugo pa črno (glej tabelo 3). Na prvi delni sliki bo mo ploščico obrnili naklj učno , na drugi pa bo njena lega odvisna ob barve originalne točke in lege prve ploščice. Če je bi la originalna točka bela, bo lega druge ploščice enaka legi prve, sicer pa jo položimo zrcalno. Z malo razmisleka ugotovimo, da sta legi obeh ploščic naključni , saj smo za prvo to privzeli, drugo pa smo po ložili glede na prvo, ki leži naključno . verjetnost p= 0.5 p = 0.5 na prvi delni sliki IJ [1 originalna slika črno belo črno belo na drugi delni sliki [1 IJ IJ Tabela 3 . Po sh emi točko za točko po stopno gradimo de ln i sliki. Dešifriranje poteka nekoliko drugače. Predstavljajmo si, da mrežo ploščic narišemo na prosojnico, nato pa , če je ploščica (oz. nj en del) črna, ustrezajoči del na prosojnici pobarvamo s črno barvo. Potem obe prosojnici prekrijemo. Kj er je bila vsaj ena od prosojnic pobarvana , vidimo črno, drugje pa je prosojno. Kjer se prekrijeta enako obrnjeni ploščici (npr. prva v zgornji vrstici in dru ga v spodnji vrstici tabele 3) , tam oko majhno črno-belo polj e vidi kot sivo. Kjer pa se prekrijeta različno obrn jeni ploščici (npr. prva v zgornji vrs ti ci in prva v spodnj i vrstici tabele 3) , vidimo črno polje. 278 Računalništvo I Originalno sliko torej razbij emo na dve enako veliki delni sliki , na katerih je vsaka točka naklj učno bela ali črna (to imenujem o šum) . Ko obe delni sliki pr ekrijem o, zag ledamo skrit o po dob o. Ta po dob a je malce spreme nje na (glej sliko 5) , saj t am, kjer so bi le na originalni sliki bele ploščice , dobimo napol črne . Če so ploščice dovolj majhne (ozirom a, če gledamo od daleč ) , oko napol črne ploščice vidi kot sive. Torej iz črno-bele slike dobimo črno-sivo sliko. Kljub tej izgub i kontrast a so enos tavne 'slike še vedno prepoz navne. Slika 3. P rva del na slika. Slika 5. Zlita slika oz iroma prekr it i deln i s liki razkri jeta skrivnos t . Slika 4 . Druga delna slika. Slika 6. O rig inalna slika . Opisali smo osnovno idejo vizu alne kr iptografije. Kmalu pa so se začele po javljati nadgradnje te zamisli. P rvo sta podala že Naor in Shamir v svo je m članku . Kako zaš ifr ira t i sliko, ki ni le črno-bela, ampak vsebuje t ud i sive tone? Lahko uporabimo okrogle ploščice . Na prvi deln i sliki ploščico zavrtimo za naključen kot . Na drugi deln i sliki jo položimo enako, če je originalna ploščica bela (prekrit i prosojnici bi p okazali napol črn krog), nasprotno, če je originalna ploščica črna (prekriti proso jnici pokažet a črn kro g), in ust rezno zavr te na (prosojnici pokažet a krog, ka- terega več kot polovica je črna) ob ust rezno sivi ploščici (glej tabe lo 4) . Na ta način dobimo novo prostost no stopnjo (zvezne to ne sivine) IRačunalništvo z (zveznim) vr tenj em ploščic. Žal pa je ta način, čeprav zelo eleganten , pr ecej neprikladen za izvedbo s pomočjo računalnika, zato so nove ideje zelo dobrodošle . pr vi del drugi del pr ekrito eJ cl eJ Tabe la 4. Okrogle ploščice nam omogočijo šifr iranje sive slike. D eljenje skrivnosti Vizualna kr iptografija je tesno povezan a s področjem deljenja skr ivnosti (glej članek [1]). Spomnimo se zop et kapitana Sinjebradca; imel je tri sinove in namesto rentnega varčevanja jim je namenil del naropanega bogastva , ki ga je po st ari gusar ski šegi zakopal. Bal pa se je njihovega pretiranega pohl epa. Ker je želel ohraniti vsaj nekaj družinske sloge, naj bi pri izkop avanju zaklada sodelovala vsaj dva brata . En sam se ne bi mogel polas ti ti vsega bogastva. Zato je kapi t an (proti koncu članka že bo lj kriptografsko vešč) zemljevid razdelil na tri delne slike na prosojnicah tako, da se skrivnost razkrije, ko sta prekrit i vsaj dve delni sliki. To je tako imenovana shema 2-od-3. Možno je skonstruirati tudi bolj zapletene sheme , ki so sestavlje ne iz več delnih slik, med katerimi so lahko nekatere bolj , druge pa manj pomembne. Oglejmo si pr eprost primer konstrukcije sheme 2-od- 3 (glej tabeli 5 in 6): Tabela 5. Šifr iranje črne točke. [IJ Slika 7. Plošč i ca, ki pred - stavlja drugo vrstico t a- bele 5 (O 1 O) . Tabela 6 . Šifriranje bele točke . Ko gradimo tri de lne slike, za vsako točko uporabi mo tab elo 5, če je točka na originalni sliki črna (ima vrednost 1), oziroma t ab elo 6, če je točka bela (ima vrednost O); stolpce izbrane tabele naključno pr em ešamo, vrstice pr em ešane tabe le pa zaporedoma predstavljajo ploščice na posa- meznih delnih slikah (slika 7). Enostavno povedano: če je originalna točka bela , so na delnih slikah istoležni kosi ploščic enaki, če pa je črna, se istoležni kosi razlikujejo. V vsakem primeru pa so naključno razp orejeni. Računalništvo - Rešitv e nalog I Tu gre po eni strani za varnost (vsaka ploščica na delni sliki je 1/ 3 črna), po drugi pa za kontrast (če prekrij emo ploščici na delnih slikah, ki pr edstavljata or iginalno be lo točko , dobimo 1/ 3 črno ploščico , če pa predstavljata or iginalno črno točko , dobimo 2/3 črno ploščico - kontrast je 1/ 3) . Podrobnejše napotke je moč najti v članku [2]' članki o bar vni vizualni kript ogr afiji in drugih zanimivostih pa so dosegljivi t udi na spletu z iskanjem po ključnih besedah visual cryp tography in secret sharing. Če bi kapitan Sinje bradec redno bral Presek , bi gotovo vedel , kako doseči popolno varn ost za svoje skriv nosti. Mord a pa bi ga br anje tako prevzelo , da bi mu zmanjkalo časa za gusarske pod vige. Martin Pečar Lit eratura: [1] A. Juri ši č , K ako deliti skrivnosti, P resek 29 (2001- 02), št . 6, str. 358- 364. [2] D . Stinson, Visual cryptography & th resh old scliemes, Dr. Dobb 's Journal , april 1998, st r. 36-43 . KRIVIČNI TENIS - Rešitev s str. 199 Točkovanje je pri t enisu nekaj posebnega. Vsaka napaka prinese točko nasp rotniku. Prvo štejemo 15 (npr. 15 : O), drugo 30, t retjo 40, četrta je igra, razen v naslednjem primeru: Če nastopi rezul tat 40 : 40, to je, če imat a oba igralca po t ri točke, do bi igro t isti igralec, ki po izenačenju prvi dobi dve točki zapore d . Igr alec, ki prvi dobi šest iger , dobi set, vendar ga mora dobiti z razliko dveh iger. Sicer se set p od alj ša , dokler ni dosežen a razlika dveh iger. (Pri sistemu t ie-break je ta del pravil drugačen.) Končni zmagovalec je ti sti , ki prvi doseže bodisi dva bodisi tri sete, odvisno od t urnirja . Ženske p onavadi igrajo na dva do bljena seta, moški na t ri . Dvoboj, ki ga je Tina , kljub objektivno boljši igri , izgubila , je potekal t akole: Maj a je t ekmo dobila z O : 6, 6 : 4, 6 : 4 v setih . V vseh igrah , ki jih je dobil a , je pustila T ino "na 30", kar pome ni 4 : 2 v točkah . Tina pa je vse svoj e igre dobila brez izgubljene točke , z rez ul tatom 4 : O. Maj a je to rej priigrala 12· 4 = 48 točk , T ina pa 12 ·2 + 14 · 4 = 80 točk. Razmerje T ininih in Majinih točk je 80 : 48, kar je res 5 : 3. Pri kakršnemkoli drugačnem poteku tekme do bimo razmerje točk, sp remenjeno v Majino kor ist, kot se lahko sami prepričate . Za m > ti > U velj a namreč ocen a 80+n < 80+n < ~ . 48+m 48+n 3 Marija Vencelj I Astronomija KOLIKO N EBESN E KROGLE P ri obravnavanju nadobzornic in zvezd vzhajalk (glej P resek 29, 280) naletimo na zanimivo vprašanje: Ko likšen del nebesne krogle vidim o s kakega kraja na Zemlji? Takoj se oglasi zdrava pamet, ki odgovori, da zanesljivo vid imo po- lovico nebesne krogle , t .j . tisto njeno polovico (polkroglo), ki se kot nebo boči nad vsakim opazovališčem. Ker pa zaradi Zemljinega vrtenja nebesna krogla skupaj z zvezdami navidezno kroži okrog nas, vidimo več kot po l nebesne krogle , in to tem več, čim več zvezd vzhaja. Če vzhaj ajo vse , potem s t ist ega kraja vidimo vso nebesno kroglo. To pa velja za kraje na zemeljskem ekvatorju. Obravnavajmo to vprašanje nekoliko podrobneje . Vzemimo idealno obzorje in splošni primer, da opazujemo nebo iz kraja na severni zemelj- ski poluti (slika 1) , kjer je zemljepisna širina tp kraja pozit ivn a (tp = = <[PON > O) . Za kraje v Sloveniji to zagotovo velja, saj je tp ~ 46° . Predstavljajmo si, da smo v središču nebesne krogle, zvezde pa navid ezno krožijo postrani glede na naše obzorje. Povedano še natančneje: zvezde kro žijo okrog nebesne osi P p i, ki gre skozi naše opazovališče O ter severni nebesni po l P in južni neb esni po l Pi . Slika 1. Navidezno kro ženj e zvezd ok rog nebesne osi P pi V kraju na severni zemeljski poluti. Puščica kaže smer navideznega kroženja zvezd (nebesne krogle). O - opazovališče, 'P = -1.PON - zemljep isna širina kraja, n - na- dobzornica in nj en a dnevna pot , v ~ vzhajaIka in nj ena dnevna pot , p - podobzornica in njena dnevna pot (ne pride v poštev) . Nebesna os oklepa kot tp z vodoravno ravnino, saj je po definiciji višinski kot severnega nebesnega po la za kr aj e na severni zemeljski po luti enak vrednosti zemljepisne širine . Vzhajalke vzhajajo na vzhodu , na jugu so najviše, zahajajo pa na zahodu, nadobzornice pa so tako in tako ves čas nad obzorjem (slika 1) . Čim manjši je t orej tp, več nebesne krogle vidimo. Sedaj si oglejmo še sliko 2. Nadobzornice kro žijo po kap ici (nebesne krogle) z višino v , vzhajalke pa po pasu (nebesne krogle) z viš ino 2(r-v), A stronomija I kjer je r - v r cos ep, od kod er sledi v = r(l - cos ep ). Zaradi vrtenja Zemlje vid imo iz danega kraj a O vse zvezde na kapici in na pasu , vid imo 2:rr r v +2.2':,r (r- v ) = (1 + COSIf? )_t i del neb esne kro gle. 4:rrr- 2 2 nadobzornicc (vidimo) - kroge/na kopica l' N ~-----:""'~~--"""---..l Slika 2. Presek neb esn e krogle z mer idiansko ravn ino (k izpe- lj avi izr aza ~ + CO~ b, najdemo natanko določeni števili q in r , da velj a a = qb + r , kjer je ost anek r manjši od b. Za polinoma a(x ) in b(x ) nad končnim obseg om, st( a) > st(b) (st je oznaka za stopnjo po linoma) pa velja a(x ) = q(x )b(x)+r(x) , kjer je st(b) > st(r) . Za zgled po kažimo, kako z razširj enim Evklidovim algori tmom poiščemo obratni element polinom a x 4 + x + 1 v obsegu GF(25 ) z nerazcepnim po linomom x 5 + x 2 + 1. Leva stran ustreza Evklidovemu algoritmu, desn a pa razširj enemu delu : x5+x2 + 1 = x(x4 +x+ l)+x+ l x4+x+ l = (x3+x2+x+ l)(x+ l)+ 1 x · l+0= x (x3+x2+x+ l}x+ l = x4+x3 +x2 + 1 Matematika I N aloge 1. Isto grupo lahko srečamo v različnih preoblekah. Prepričaj se o tem za grupo ( ~4, +4) in množico {1, -1, i, -i}, kjer je i = = R , z običajnim množenjem. Potrebno je najti bijekcijo iz ~4 v {1, - 1, i , -i}, ki preslika vsoto dveh elementov v produkt njunih slik. Taki preslikavi pravimo izom orfizem . 2. Znano je, da je mu ltiplikativna grupa polj ubnega končnega obsega ciklična, kar pomeni, da v grupi obstaja tak element, da so vsi elementi grupe njegove potence. Prepričaj se, da je ciklična grupa z n elementi izomorfna grupi (~n, +n) (element 1 generira s svojimi večkratniki, kakor vaditivnem pr imeru pravimo potencam, vse elemente) . To grupo označimo na kratko s On' Trditev preveri najprej na pr imeru (tabela 7(b) in 10(b)). 3. Diederska grupa Dn je grupa simetrij pravilnega n-kotnika. Do- kaži, da v grupi D 3 ne velja zakon o zamenjavi (komutativnost) (grup o D 3 lah ko predstavimo t udi kot grupo permutacij t reh ele- mentov 53)' 4. Nas led nja zanimiva grupa ima 8 elementov in ji pravimo kveiemi- onka (tabela 11) . Poišči njeno tabelo množenja. moč ime grupe 1 Cl 2 C2 3 C3 4 C4 , C2 X C2 5 C5 6 C6 , D3 7 C7 8 Cs , C2 X C4 , C2 X C2 X C2 , o«; o, 9 Cg , C3 X C3 10 ClO, D lO Tabela 11 . Moč gru pe je število njenih elementov. Zgornja tabela vsebuje vse grupe z največ desetimi elementi. Za nadaljnje branje priporočamo: 1. Grossman in W. Magnus, Grupe in njihovi grafovi, Školska knjiga Zagreb, 1975 in internet, npr . ht tp : //members . trip od . co m/ dogschoo l ii, za zrelejše bralce pa Vidav, Algebra, Mladinska knjiga, 1972. Aleksandar Jurišič. I Fizika - Novice ŠE VEČ VODIKOVIH ANTIATOMOV V prejšnji številki je Presek poročalo vodikovih antiatomih, ki jih je dobila mednarodna raziskovalna skupina ATHENA v Evropskem labor atorij u CERN v Ženevi. S to skupino tekmuje v ist em laborator iju druga, nekoliko manjša mednarodna raziskovalna skupina ATRAP s 15 člani z nemških, ameriških in kanadskih inštitutov ter univerz . Nekateri njeni člani so sodelova li že pri poskusih z antiatomi vodika leta 1996 . Vodi jo Gerald Gabrielse , znan po poskusih, pri katerih so v pasti zadrževali več tisoč antiprotonov dlje kot dva meseca. Tudi ta skupina uporablja Penningovo past, v kateri je na skupni osi priključenih na različne napetosti več va- ljastih elektrod z enakim premerom. Elektrode so v močnem magnetnem polju v smeri osi. Antiprotone iz antiprotonskega po jemalnika zavrejo in jih vložijo v past ter pozitrone iz umetnega radioaktivnega izotopa nat rij a zavrejo in j ih vložijo v past. Oboji delci zaradi nasprotnega naboja ne morejo mirovati v ist em delu pasti. Oblak pozitronov miruje na sredi, oblak antiprotonov pa niha skozenj . Pri tem se antiprotoni vežejo s pozitroni v vodikove antiatome. Do sem ni bilo omembe vrednih razlik med po- skusoma obeh skupin . Le napravo druge skupine so hladili s tekočim helijem, ki pri navadnem zračnem t laku vre pri temperaturi 4,2 stopinje nad absolutno ničlo. Oblak pozitronov v pasti se je tako ohladil do te temperature in preko njega tudi oblak antiprotonov. Pri poskusu prve skupine so ob laka oh ladili le na 15 stopinj nad absolutno ničlo. Druga skupina je bila let a 2001 uspešnejša kot prva, tako da je objava prve skupine septembra lani vse nekoliko presenetila . V novembru in decembru je o svo jih dosežkih poročala druga skupina - AT RAP. Druga skupina je antiatome zaznavala drugače kot prva, na način bolj prilagojen atomski fiziki. Antiatome, ki so se oddaljili od srednjega dela pasti , so v močnem električnem polju ionizirali v antiprotone in pozit rone. Antiprotone so zbrali in jih prešteli v ionizacijski pasti. Posebej so se prepričali, da je pri tem šlo za antiprotone iz antiatomov in ne morda za antiprotone iz nihajočega oblaka. T i antiprotoni so se pojavili samo, če so bi li v pasti tudi poz itroni . Antiprotoni iz oblaka pa so imeli preve- liko energijo, da bi jih mogla zadržati ionizacijska past. Zaznali so 657 antiatomov in po tem sklepali, da je nastalo kakih 170 tisoč antiatomov. Ne brez ponosa so zapisali: "Veni uri lahko ujamemo več antiprotonov iz ioniziranih atomov R, kot je skupaj vseh antiatomov, o katerih so poročali doslej ." 298 Fizika - Novice - Rešitve nalog I Nov korak so naredili s tem, da so raziskali energijo nast alih ant ia- tomov. Antiatomi lahko nastanejo na dva načina. Pri prvem sod elujejo trije delci: pozit ron se z antiprotonom spoji vantiatom, drugi pozitron pa prevzame presežno energijo. Pri drugem pa sodelujeta samo dva delca: antiproton ujame pozitron in presežno energijo pr evzame izsevani foto n. Antiatomi so nast ali na prvi način in so imeli precejšnjo energijo. Opazovali so , kako se število antiprotonov v ionizacijski pasti spreminja v odv isnosti od električnega polja v njej . Čim više je anti atom vzb ujen , tem manjšo ene rgijo mu je t reba dovesti , da se razdeli na antiproton in poz itron - tem šibkejše električno polje ga ion izira. Št evilo zbranih antiprotonov se je manjšalo, ko so up orabili vse močnejše električno polje. Toda ko je pr eseglo določeno mejo , se je število nehalo manjšati. Po tem so sklepali, da so nastali antiatomi v visokih vzbujenih stanjih nad petdesetim. Atome v visokih vzb ujenih stanjih imenujejo Rydbergovi atomi. Za odločilne poskuse, ki naj bi pokazali, ali se energije antiatomov natanko ujemajo z ust reznimi energijami atomov, pa bi potrebovali antiatome v osnovnem stanju . Ponavadi je težavni del naloge, kako dobiti Rydbergove atome. V tem primeru pa je na loga obrnjena. Kako spraviti antiatome v kratkem času br ez večj ih izgub v osnovno stanje? V novi vrsti poskusov, ki jih bodo začeli junija, bodo pos kušali z obsevanj em z lasersko svetlobo doseči , da bi antiatomi s sevanjem iz vzbujenih stanj čim pr ej prešli v osnovno stanje. Čeprav poskusi akupine ATRAP pomenijo korak naprej, je vendar ostalo več odprtih vprašanj. Med drugim opozarjajo , da je zaznavanje ant iatomov z ion izacijo lahko precej nezanesljivo , posebno zaradi močnega magnetnega polja . Skupina ATHENA meni , da so pri njenih poskusih nastali večinoma antiatomi v osnovnem stanju. Tako vse kaže, da se bo tekmovanje obeh skupin še nadaljevalo. Jan ez Strnad PERIODIČNIDECIMALNI ZAPIS R ešitev s str. 260 Samo 3 in 6 sta taki števili, tretji primer v vprašanju je namreč lažen in je tam le za bolj še razumevanje problema. Dokažimo to t rdite v! Za števila od 1 do 10 trditev pr everimo v eni minut i z žepnim raču­ nalom . Zato naj bo odslej x ::::: 11 in naj velja 1 - = 0.1z lx ix Ix I·.. , x I Rešitve nalog kjer ima predalček @J dolžino m (v nj em je m števk) , predalček 0 pa dolžino n . V igri imamo to rej štir i naravna števila x , Z , m, n, ki zadoščajo t rem pogojem : 11 :::; x < 10m (m > 1) , O :::; Z < lOn , ~ = Z . lO- n + X · lO- m - n + x · 1O- 2m - n + X . 1O- 3m - n + ... (1) X Kolik je n , ni natanko določeno , saj lahko k 0 pripišemo nekaj ponovitev predalčka @J. Tako torej lahko za pišemo k= 0.333 , pa je Z = 33 in n = 2. Odslej bomo zato privzeli , da je n > lo V pogoju (1) tvo rijo členi, ki vse bujejo x , geometrijsko vrsto , ki jo znamo sešteti. Velja 1 x · lO-m - n- = Z . 10- n + -,---,---,,-- X 1 - lO- m ' kar preuredimo takole: x 2 lOn = xz + ----,---.-- 10m - 1 (2) Sledi , da (10m - 1) deli x 2 . Recimo, da ima 10m - 1 praštevilski fak tor pa z lihim eksponentom a. Ker se 10m - 1 končuj e s števko 9, je p =!= 2, p =!= 5. Seveda mora biti t ud i 2 X deljiv s p , x 2 vsebuje torej sodo potenco praštevila p , kvocient 10;'-1 pa zato liho potenco p . V (2) je potemtakem desna stran deljiva s p , kar pa je v protislovju z dejstvom, da ima leva stran praštevilski razcep 2n . 5n . Vsi praštevilski fak torji v 10m - 1 torej nastopajo le s sodimi ekspo- nenti , zato je 10m - 1 = y2. Ta diofantska enačba pa za m > 1 nima rešitve, kar sprevidimo takole: 10m - 1 je liho število, zato je tak tudi y , torej y = 2k - 1. Po tem je 2m 5m - 1 = 4k2 - 4k + 1 ali, malo drugače , 2m5m - 4k2 + 4k = 2. Ker je m > 1, je v tej enačbi leva stran deljiva s 4, des na pa ne. Dokaz je s t em končan . Opomba. Diofantske enačbe so enačbe , v katerih so koeficienti in neznanke cela števila. Od pr eprostega vpraš anja, ki nima kakega globljega pomena , razen možganskega treninga , sm o prišli do diofantske enačbe 10m - 1 = y2, ki pa je pr ecej bolj resna stvar. Kdor bi rad kaj več vedel o tej vrsti diofantskih enačb, naj si ogleda članek J. H. E. Cohn: Th e diophantine equation x 2 + C = yn. Acta Arith. 65 (1993) ,367-381. A nton Cedilnik \ 300 Rešitve nalog I KOLIKO NEBESNE KROGLE VIDIMO - Odgovori na vprašanja s str. 282 1. a) ~ = 75% nebesn e krogle vidimo iz kraj ev na zeme ljskem vzpo- redniku z zemljepisno širino ±60° . b) 90% neb esne krogle vidimo iz kr ajev s ip = ±36°. c) 30% neb esne krogle pa vid imo iz ... , oh , saj to pa ni mogoče . 2. Zemljepisno širino kr aja označimo z x, vidnost dela nebesne krog le pa z y. Sestavimo funkcijo y = ~ cos x + ~, jo narišemo in obravnava mo na intervalu [ - ~ , ~] . Graf na tem intervalu prikazuje , kolikšen del nebesne krogle je vide n v kakem kraj u ( r = 200 l/s , v = 10 l/ s, o, = 1 m, d = 2 cm, >. = 390 W /m·K, cl' = 4160 J /kg·K , p = 1000 kg/ m3 . Količino vode , ki v času f':!.t pri teče v rezervoar , označimo z f':!.m . V rezervoarju jo to plotni tok , ki ga oddaja elektrarna, segreje s temperatur e To na te mperaturo vod e v rezervoarju TI . Toplot ni tok, ki teče skozi šest sten rezervoarj a , zapišemo kot P = 60,2 >'(T2 - TI )/ d, pr i čemer je T2 t emperat ura zunanjega plašča rezervoarj a . Zapišemo energijsko bilanco A (T 'T') _ 6a 2 >'(T2 - Td A LJ.7n Cp 1- .1.0 - d LJ.t , od koder izra zimo V času f':!. t se zmeša f':!.m = pvf':!.t vode s te mperat ur o TI in f':!.m,' = = p( r -v) f':!. t s temperatur o To. Velja f':!.m (T1 -T) = f':!. m ' (T - To) oziroma v(T1 - T ) = ( r - v)(T - To) , pri čemer s T označimo končno temperat uro reke. Za iskan o temperat uro in temperaturno raz liko clobimo T = vT l + ( r - v)To r ' I 304 Tekmovanja I 2. Podatki; d = 5 cm , P = 2 kW, .A = 0, 4 W / m·K , To = - 10°C, 8 = 3 m x 2,5 m = 7,5 m2 . Zaradi simet rije lahko vzamemo, da sta temperaturi v obeh vmes nih sobah enaki. S T2 označimo temperaturo v sobi s pečjo in s TI te mperatur o v zaprtih sobah br ez peči . Toplotni tok skozi steni med sobo s pečj o in vmesnima sobama je enak toplotnemu toku med vmesnima sobama in sobo z od prtimi okni ter enak toplot nemu to ku, ki ga oddaja peč: 28 .A T2 - TI = 28 .A TI - To = P d d ' Iz dru ge enakosti izračunamo TI = 7°C in nato še T2 = 23°C. 3. Podatki; 1 = 0,1 A, R = 100 n, C = 100 nF . a) Če na kond enzatorjih ni prišlo do preboja , v stacionarnem stanju skozi njih ne teče to k. Tok 1 te daj teče le skozi up ornik AD in zaporedno vezan e upornike AB, BC in CD . Za nadomestni upor vezja R; velja 3 R; = - R 4 kar pomeni , daje napetost med A in D enaka UA D = R vI = 7,5 V. b) Zaradi simetrije je napetost UE D polovica tiste med A in D, torej UED = 3,75 V, med C in D pa t retj ina, Uc D = 2,5 V. Napetost na kondenzatorju EC je torej UEC = UED - UCD = 1,25 V in naboj e = CUE c = 1,25 . 10- 7 As . Vse izračunane napetosti so manjše od maksimalne napetosti izvira. 4. Podatki ; 1 = - 5,0 ' 10- 8 As/m, e = - 1,6 ' 10- 19 As, m = = 9,1 . 10- 3 1 kg , Mo = 47f . 10-7 Vs/Am. a) Kroženje elekt ronov povzroča sila F = - eov x B, ki kaže proti središču kro ženj a. Če ima magnetno polje smer izt egnjenega palca desne roke, ima hit rost elekt ronov smer pr stov, to k pa zaradi ne- gativnega naboja naspr otno smer. Takšen tok ustvarja magnetno polj e, ki ima nasp rotno smer kot pr votno polje. b) Hit rost elektronov vzdolž magnetnega polja je VII = V cos ep, hit rost elekt ronov v smeri, pravokot ni na polje, pa V.l = v sin ep. Gibajoči elekt roni pr edst avlj aj o električni tok 1 = ,V (glej besedilo naloge) in ustvarj aj o dod at no magnetno polje , ki je v osi po velikosti enako BI = Mo N 1/ l = Mo, V/ s . Pri tem je s = l/ N hod vijačnice, ki ga lahko zap išemo kot s = vllto, kjer je to čas, ki ga elektroni Tekmovanja potrebujejo za prelet enega hoda. To je hkrati tudi ob hodni čas , s kater im elektroni krožijo v ravnini , pravokotni na smer magne- tnega polja. Obhodni čas izračunamo iz drugega Newtonovega zakona za kroženje: mv2 eV 1..B = __1.._ T Tedaj je 271" 271"m to = - = -- . w eB B' = J1o"(v = J1o"( e B ~ = J1o"(e B _ 1_ . s 271"m VII 271"m cos ep Od tod lahko izrazimo iskani kot J1o"(e B cosep = --- . 271"mB' Za B' = B /100 dobimo ep = 80°. Skupina III 1. Podatki; R = 20 m, Vo = 80 km/h, k t 2 = 0,1. Zapišimo Newtonov zakon za kroženj e boba po ovinku zradijem R. CentripetaIni pospešek kaže proti središčukro ženja, torej v smeri - R, in Newtonov zakon v vektorski ob liki zapišemo kot 2 ~ ~ ~ ~ -mw R = Fg + N + Ft r , pri čemer so na desni teža, pravokotna sila podlage in t renje, ki ima sm er tangente na polkrog. Vektorje razstavimo na komponente v tangentni smeri -mg sin ep = - m w2 R cos ep + k t 2N in komponente v pravokotni smeri mw 2 Rsin ep = '- m g cos ep + N. Iz druge enačbe izrazimo N in vstavimo v prvo. Sledi I 306 Tekmovanja I 2. Po datki: m p = 4 kg, L = 0,5 m, m = 0,3 kg, h2 = 10 m, hI = 2 m , D = 750 Nm . Žoga ob stropu obmiruje, potem pa pade za h = h2 - hI = 8 m , tako da ima pr ed odbojem od pali ce (roke) hit rost v = J 2gh. Pri odboju dobi palica kotno hitrost w, potem pa se zaradi torzijske vzmeti ustavi pr i kotu CjJ oziroma odklonu H . P ri trku deluje na siste m palice in žoge le teža. Trk je kr atkotrajen, zato lahko sunek navora teže zanemarimo, vr tiIn a količina se ohranja glede na komo lec: mLv = J w - mLv' . z v' označimo hit rost žoge po odboju, za katero pr edpostavimo, da ima sm er navpično navzgor . Ker pa je trk popolnoma pro žen , se ohrani t udi kinetična energ ija 1 2 1 2 1 ,2- m v = -Jw + -mv 2 2 2 Enačbi prepišemo v obliko: mL(v+ v') = J w , 1 2 ' 2 1 2-m(v - v ) = - J w . 2 2 Drugo enačbo delimo s pr vo: v - v' = Lw . Iz zadnje in predpredzadnje enačbe izrazimo w z v , upošt evamo izraz za vztrajnostni moment palice J = m~L2 in dobimo 2v w ----~~ - L(l + ~:n· Kinetična energ ija palice ~Jw2 se spremeni v pot encialno prožnostno energijo vzmeti ~D cjJ2: Tekmovanja Prosti konec palice se poda za H = L sin eP; kot eP izrazimo iz zadnje enačbe, w iz pr edzadnje in dobimo H = L sin ([; . L (l~~) ) = 0,097 m. 3. Podatki ; k = 0,2 N/ m , l = 10 cm, m = 10 g, 1 = 0, 8 A, B = 0, 05 T , So = 2, 5 cm . V prostoru nad magnetnim poljem nih a žička s frekvenco w = J k/m, nih ajnim časom to = 27f/ w = 27fJm/k in amplit udo So . Ker v ma- gnetnem polju deluj e na žičko konstantna sila F = IlB , se frekvenca ne spremeni; spremeni se le mirovna lega . Sila kaže navzdol, zato se mirovna lega pr em akne navzdol za h = F'[k = IlB /k = 2 cm. Celot ni nih aj ni čas je sestavljen iz časa, ki ga porabi za nih anj e zunaj magnetnega po lja, to je pol nih aj nega časa ~to , in časa znotraj polja, ~ to +2t l , kjer je tr čas, ki ga porabi nihalo od mirovne lege do izhoda iz polja (ali od vstopa v polje do mirovne lege v po lju) . Čas tI določimo iz zahte ve, da ima na izstopu iz polja (vsto pu v polje) žička tolikšno hitrost, kot jo ima v mirovni legi pri nih anju zunaj magnetnega polj a , to rej v = wSo. Enačbi , ki opisujet a odmik in hitrost ž i č ke pri nih anju v polju , sta x = A sin wt in v = wA cas wt , pr i čemer x merimo od mirovne lege v polju in je A amplit uda nih anj a v polju. Ob času tI doseže od mik vrednost h, hitrost pa wSo: h = Asinwtl , Od tod sledi 1 (sho) ,t I = - ar ctg w Za nih anji čas velja wSo = wA coswtl . l l (1To = z to + z to + 2t r = to 1 + - a r ct g. 7f ( ~ ) ) = 1,70 s . Pri tem doseže ž ič ka globino, merj eno glede na zgorn jo mejo magne- tnega po lja, y = h + A = h + Jh2 + s6 = 5,2 cm . asinl3N' = N'>...', I 308 Tekmovanja I 4. Podatki : 1= 20 cm , L = 400 cm, .6.XI = 9,4 cm , X~ = 37, 2 cm . a) Ko opna niha v nihajnem načinu, t ako da ima N hrbtnih črt , velja 1 = Na = N >"' /2 , kjer je a = >... / 2 razdalj a med sosednjima vozelnima črtama in je kar enaka mrežni razdalji uklonske mrežice za mikrovalove. Pogoj za N' -to ojačenje v uklonski sliki mikrovalov po pr ehodu skozi opno lahko zaradi majhnih kotov (velja X~ « L) zapišemo kot XN' asin l3NI ~ at gl3NI = a L ' kjer je A.' valovn a dolžina mik rovalov. Ker nas zanima le prvi pas ojačenj a, postavimo N' = 1. Za prvotno lego upošt evamo a = = L/N in dobimo L , Xl = T xN. Za lego po spremembi frekvence generatorja t reslj aj ev velja a = = L/(N + 1) in , L '( ) Xl = T>'" N + 1 . Ko prvo enačbo odštejemo od druge , sledi , 1 >... = Z.6.XI = 4,7 mm . b) Iz znane A.' lahko sedaj iz druge enačbe izrazimo N + 1 = = X~/ .6.XI ~ 4, torej opna na koncu poskusa niha tako, da ima štiri hrbte in je razdalja med sosednjima vozelnima črtama enaka a' = l/(N + 1) = 5,0 cm. Bojan Golli 23. MEDNARODNO MATEMATIČNO TEKMOVANJE MEST - Naloge pomladanskega kroga Prva skupina (prvi del) 1. Na razpolago imamo zadostno število pr avokotnih kosov lepenke ve- likosti a x b, kjer st a a in b nar avni števili te r a < b. Vemo, da lahko s takimi kosi prekrijemo (brez pr ekrivanja kosov) pravokotnik, velikosti 49 x 51, in pr avokotnik, velikosti 99 x 101. Ali st a števili a in b s te mi podatki natančno določeni? (4 točke ) I Tekmovanja 2. Ali je mogoče vsak trikotnik razrezati na štiri konveksn e kose: trikot- nik , štirikot nik, petkotnik in šestkotnik? (5 točk) 3. Za naravni števi li m in n vemo, da je zadnja števka šte vila k = m 2 + + mn + n 2 enaka O. Dokaži, da sta vsaj dve zadnji št evki št evil a k enaki O. (5 točk) 4. Štirikotniku ABCD je včrtana kro žn ica, ki se stran ic AB, BC, CD in DA dotika zapored v točkah K , L , M in N. Naj bo Spreseči šče daljic KM in LN . Vemo, da je SKBL t et ivni št irikot nik. Dokaži, da je t edaj t udi S N DM t etivni št irikot nik. (5 točk) 5. (a) Im amo 128 kovancev dve h različnih tež , pri čemer ima polovica kovance v eno, polovica pa drugo tež o. Kako lahko s pomočjo največ sedmih tehtanj na primerj alni tehtnici poiščemo par raz- lično težkih kovancev? (3 točke) (b) Im amo osem kovancev dve h različnih tež , pri čemer ima polovica kovan cev eno, po lovica pa drugo težo . Kako lahko s pomočjo največ dveh tehtanj na primerjalni te htnici poiščemo par različno težkih kovancev? (3 točke) Druga skupina (prvi del) 1. Za naravni šte vili m in n vemo, da je zadnja števka števila k = m 2 + + mn + n 2 ena ka O. Dokaži, da st a vsaj dve zadnji števki št evil a k enaki O. (4 točke) 2. Iz papirja izrežemo skladna trikotnika ABC in A' B 'C' , enega izmed njiju obrnemo in ju po ložimo na mizo. Dokaži, da so razpolovišča dalj ic AA' , BB' in CC' kolinearna. (5 točk) 3. Im amo šest različno t ežkih kosov sira, med katerimi obstajajo trij e, katerih skupna masa je enaka skupni masi preostalih treh . Denimo, da lahko iz primerjave velikosti za poljubna dva kosa sira ugotovimo, kateri izmed njiju je težji. Ugotovi , kako lahko le z dvema tehtanjema na primerjalni tehtnici določimo dve enako težki t ro j ici kosov sira. (5 točk) 4. Na koliko načinov lahko v tabelo velikosti 2 x 50 zapišemo naravn a števila od 1 do 100 tako, da sta vsaki dve zaporedni števili zapisani v po lji s skupnim robom? (5 točk) 5. Ali obstaja pokončna pravilna trist rana pr izma, ki jo lahko pokrijemo s paroma različnimi enakostraničnimi trikotniki, ki se medseboj no ne pr ekrivajo? (Pri tem lahko trikotnike 'zapognemo' preko robov prizme.) (6 točk) Tekmovanja I Prva skupina (drug i del - izbrane na loge) 5. Ostrokotni trikotnik z ravnim rezom prerežemo na dva (ne nujno t rikot na) dela. Zatem izberemo enega od doblj enih kosov in ga z ravnim rezom ponovno razdelimo na dva dela . :Postopek ponavljamo in v nekem trenutku ugotovimo, da so vsi dob ljeni koš čki trikot ni . Ali je možno, da so vsi dobljeni koš čki topokotni t rikotniki? (7 točk) 6. Dano je tako naraščajoče zaporedje naravnih šte vil al < a 2 < .. . < < a2~o2 < a2003 < " ', da za vsak n 2: 2002 število a n deli vsoto L;~l aj ' Dokaži, da obstaja tak indeks m , da za vsak n 2: m velja n-l a n = L a j ' j= l (7 točk) 7. Domine so zložene v vrsto na običajen način (sosednji domini imata ob st iku enako število pik). Če v vrsti najdemo ver igo domin, ki se začne in konča z enakim št evilom pik, lahko to verigo dvignemo in obrnjeno (zasukano za 180°) vrnemo na prvotno mesto. Naj bosta VI in V2 verigi, ki st a sestavljeni iz enakega nabora domin in se začneta z enakim št evilom pik ter končata z enakim številom pik. Dokaži, da lahko s pr imerno izbranim zaporedjem zgoraj op isanih potez verigo VI pretvorimo v verigo V2 . (8 točk) D ruga skupina (drugi del - izbrane naloge) 5. Naj bodo AAl , BBl in C CI višine ostrokotnega trikotnika ABC. Z OA, OB in Oc označimo zapored središča trikotnikom ABICI, BClAl in CAlBl včrtanih krož nic. Tr ikotniku ABC včrtana krož - nica naj se strani c B C , CA in AB dotika zapored v točkah TA, TB in Te . Dokaži, da imajo vse stranice šest kotnika TAOeTBOATeOB enako dolžino . (6 točk) 6. Na mizi leži 52 igralnih kart, razporejenih v obliko pravokotnika s 4 vrsticami in 13 stolpci. Dve sosednji karti istega stolpc a ali vrstice imata bodisi enako vrednost bodisi enako barvo. Dokaži, da so vse karte poljubno izbrane vrs tice enake barve. (7 točk) 7. Ali obstajata taki iracionalni števili a, b > 1, da za poljubni nar avni števili m, n velja [am] # [bn ]? (Za realno število x označimo z [x] največj e celo število, ki ni večje od x.) (8 točk) Gregor Cigler I Tekmovanja 23. MEDNARODNO MATEMATIČNO TEKMOVANJE MEST - Rešitve nalog pomladanskega kroga s str. 308 Prva skupina (prvi del) 1. Edina skupna delitelja števil 49 ·51 = 3 .72.17 in 99 · 101 = 32 · 11· 101 sta 3 in 1. Ker je a < b, je ab > 1, od koder sledi, da je ab = 3 in a = 1 ter b = 3. 2. Slika kaže, kako lahko to naredimo. 3. Če bi bilo eno od števil mali n liho, bi bilo tudi število k liho, zato sta m in ti sodi št evili. Če je eno od št evil m ali n deljivo z 10, drugo pa ne, število k ni deljivo z 10. Denimo, da nobeno izmed števil m in n ni deljivo z 10. Tedaj se števili m 2 in n 2 končata s 4 ali 6, produkt mn pa se ne more končati z O, kar pomeni, da se m 2 in n 2 končata z enako št evko. Ni se težko prepričati, da se tedaj tudi produkt mn konča s števko 4 ali 6, kar pomeni, da število k ne more biti deljivo z 10. S t em smo dokazali, da sta m in n deljivi zlO. 4. Ker sta premici BK in BL tangenti na krožnico, na kateri leži točka M , velja . Tedaj je , zato je in zaradi sovršnosti . Ker je 312 Tekmovanja I SKBL tetivni štirikotnik, velja 1, kjer je k konstantna vrednost. Za n ~ m tedaj velja Ker sta šte vili k in k+1 t uji, Sn pa je naravno število, mora za n ~ m število kn - m deliti Srn. Zadnje je mogoče le za k = 1, kar pomeni , da za n ~ m velja an = Sn . S tem je dokaz končan . 7. Dokazujmo z indukcijo na št evilo domin v verigah. Za n = 1,2 ni kaj dokazovati , sa j sta verigi enaki. Domine označuj mo z ur ejenimi pari (a, b), kjer je a število pik na levi po lovici, b pa število pik na desni po lovici domine. Denimo, da se verigi začneta z a pikami. Naj bo prva domina v verigi V2 enaka (a, b), pr va domina v ver igi VI pa (a, c). Če je b = c, lahko up orabimo indukcijsko predpost avko za dela verig od dru ge domine naprej . Denimo, da je b =1- c. Tedaj v verigi VI najdemo domino (a,b) ali (b,a). V drugem pr imeru v ver igi VI obrnemo niz domin med prvo domino in do mino (b,a) te r znova up orabimo indukcijo. V pr eostalem primeru je veriga VI videti t akole (a,c), . . . , (d,a), (a, b) , ... Iz te verige lahko dobimo verigo X = (a,d), . .. , (c,a), (a,b), . .. . Ni se tež ko prepričat i , da je problem ekvivalenten problemu, kjer lahko hkrati spreminjamo obe verigi, zato lahko pr edpostavimo, daje veriga V2 oblike (a, b) , . .. , (a, c), . .. kjer je a =1- c, saj v nasprot nem primeru (t .j. v primeru, da je v verigi VI domina (c,a)) lahko iz verige VI dobimo verigo, ki ima enako prvo domin o kot veriga V2 in lahko induktivno nadaljujemo. Če v verigi VI najdem o domino (d,a), lahko iz nje dobimo verigo X in nato verigo V2 . P redpost avimo torej, da je v ver igi VI domina (a,d) in a =1- d. Tekmovanja Obravnavamo dva primera: 1. primer: Veriga VI je oblike (a,b), ... , (a,d), . . . , (e, a), (a,e), . .. Obrnemo verigo med dominama (a,d) in (e,a) in dobimo verigo ob like (a,b), . . . , (d,a), ki jo lahko pretvorimo v verigo X . 2. primer: Veriga VI je ob like (a,b), . . . , (a,e), . . . , (e,a), (a,d), . . . Z obratom verige med dominama (a,e) in (e, a) dobimo verigo obl ike (a,b), . . . ,(e,a), . . . , ki jo lahko pretvorimo v verigo V2 . Druga skupina (drugi del) 5. Ker je BCBl Cl tetivni štirikotnik, z opazovanjem obodnih kotov ugotovimo, da sta ABC in ABlCl podobna t r ikotnika. Naj bo a kot ob ogli š ču A. Tedaj velja cos a = I~~I I . Naj bo O središče trikotniku ABC včrtane krožnice in r njen polmer. S T označimo dotikališče t rikotniku ABI Cl včrtane krožnice s stranico AC. Tedaj velja OTE = r , OAT = r cos a, AT = ATE cos o, ATE = rctg ~ in TTB = ATB - AT = ATB(l - cosa) = z-ctg ~ . 2sin2 ~ = r sin o . Od tod sledi Analogno iz simetrije ugotovimo, da imajo vse stranice šestkotnika TAO cTBOATcOE enako do lžino. Tekmovanja I c -, .- " ... "o : ' I . ' : . ' . On" , .~ , . '· 1: . . ,1, - Ti 6. Sosednji karti enake barve imenujmo povezani p o barvi, sosednji karti enake vrednosti pa imenuj mo povezani p o vrednosti. Ker v naboru kart nimamo dveh enakih kart , dve karti ne morata biti hkrati povezani po barvi in vrednosti. Imamo 12 stolpcev iz vodoravnih povezav in 3 vrstice navpičnih povezav. Dokazali bomo , da so vse povezave v istem stolp cu (ali isti vrstici) enake vrste. Denimo, da obstaja stolpec, v katerem najdem o povezave obeh vrst . Tedaj naj- demo sosednji vrstici tega stolpca, v katerih sta vodorav ni povezavi različne vrste. Opazujmo št iri karte na konceh teh dveh povezav. Predpostavimo , da sta v gornji vrstici srčev as in srčev kralj . Potem imat a karti v spodnji vrstici enako vrednost. Če je ta vrednost as , ni povezave v desnem stolpcu (med spodnjim asom in kraljem nad njim). Podobno ugotovim o, da spodnji karti nist a kralja. Tedaj sta kar ti v spo dnji vrstici nujno srčev i , kar pa je v nasp rotju s predpostavka , da sta povezavi v vrsticah različnega t ipa. S tem smo t rd it ev dokazali. Opaz ujmo sedaj t ri vrstice navpičnih povezav. Vemo, da so vse povezave veni vrsti ci ist ega t ipa. Pojavijo se možnosti: (1) V vseh t reh vrsticah so povezave po vrednosti . To pomeni , da so vse karte nekega stolpca enake vrednosti . Tedaj sta sosednji karti neke vrstice nujno enake barve (saj ne moret a biti povezani po vrednosti), od koder sledi veljavnost postavljene trdit ve. (2) V vseh treh vrsticah so povezave po barvi . To pomeni, da je 52 kart razd eljenih na 13 skup in s št irimi kartami, pri čemer so vse karte ene skupine enake barve. Ker obst aja 13 kar t ene barve, bi od tod sledilo, da 4 deli 13. Protislovje! Tekmo vanja (3) Le v srednji vrsti ci so povezave po vrednosti . Tedaj dobimo 26 dis- j unkt nih parov kar t enake barve. Tudi to ni možno, ker 2 ne deli 13. (4) Le v sred nji vrstici so povezave po barvi. Opazujmo 13 par ov kart (ena kar ta iz druge in druga kar t a iz t ret je vrstice) , ki so povezan e po barvi. Denimo, da sta v prvem paru pikovi karti . Poiščimo prvi naslednji par , ki ni pikov. Predpostav imo, da sta karti t ega para srčevi in da ležita v (m + l )-tem stolpc u. Oglejmo si najprej primer , ko sta gornja kar ta pr vega stolpca in zadnja karta prvega stolpca enake barve, ki seveda ni pikova . Recim o, da imata t i dve karti barvo srca. Tedaj bi bile karte prvih m stolpcev prve vrst ice barve srca, sa j so v prvih m - 1 st olp cih vod oravnih povezav nuj no le povezave po barvi. Kar t a na mestu (2, m ) je pikova in je s srčevo karto na mestu (2, m + 1) povezana po vrednosti. P rav tako je po vrednosti povezan a s srčevo karto nad seboj . Karti na mestih (2, m + 1) in (1, m) imata tedaj enako vrednost in barvo. P rotislovje ! Gornja in spodnja kar t a prvega sto lpca t ako nist a srčevi . Predpostavimo lahko, da sta ti dve kar ti križevi. Ted aj sta karti na mestih (1, m + 1) in (4, tri + 1) nujno kari. Ko par v srednjih dveh vrsticah znova zamenja bar vo, mora ta bar va biti nujno bodisi pikova bodi si križeva . Od tod sledi, da so vse štiri kar te v poljubnem stolpcu bodisi črne bodi si rdeče. Ker obstaj a 26 rdečih t er 26 črnih kar t in 4 ne deli 26, to ni možno . Denimo sedaj , da sta gornja in sp odnja karta pr vega stolpca različne bar ve. Tedaj je ena nujno karova in druga kri ževa . Predpostavimo lahko, da je gornja kar ova . Tedaj je gornja karta v (m + l )-t em stolpcu nujno kri ževa, sp odnja pa karova. Pod obno kot prej lahko ugotovimo, da je bar va par ov iz srednjih dveh vrstic lahko le pikova ali srčeva, od koder sledi, da imamo 13 parov, ki zajamejo vse srčeve in vse pikove karte. Ker 13 ni deljivo z 2, to ni mogoče . (5) Le v spodnji vrs t ici so povezave po vrednosti. Predpost avimo, da so gornje tri kar te prvega stolpca pikove, spodnja pa križeva . Denimo, da so kar te v prvih m - 1 stolpc ih po barvi enakovredne prvemu stolpcu , v m-tem stolpcu pa nastopi sprememba. Ni se tež ko prepričati , da so tedaj kar te m- tega stolpca vse rdeče bar ve. Ker imamo 26 rdečih in 26 črnih kar t , rdečih (a li črnih ) kart ne morem o raz delit i po stolpcih , ki vsebujejo po 4 kar te. (6) Le v gornj i vrstici so povezave po vrednosti . Ta primer je analogen primeru (5). (7) Le v spodnji vrstici so povezave po bar vi . Sledi , da v vsakem stolpc u obstaja trojica kart enake vrednosti. Ker obstajajo le 4 karte neke vrednosti, so vr ednost i t ro jic iz 13 stolpcev različne . V vsakem 320 Tekmovanja I paru stolpcev najdemo v neki vrstici karti , različni po vrednosti , od koder sledi, da so vse vodoravne povezave barvne. To pomeni, da so v zadnji vrstici vse karte določene barve, od koder sledi , da med zadnjo in pr edzadnjo vrstico ne more bit i povezav po barvi . (8) Le v gornji vr stici so povezave po barvi. Ta pr imer je analogen primeru (7) . 7. Naj bo a = J6 in b = y'3 . Predpostavimo , da velja [am] = [bn] = = k za naravni števili m in n . Tedaj je k 2 :::; 6m < k 2 + 2k + 1 in k 2 :::; 3n < k 2 + 2k + 1. Če neenačbi odštejemo, ugotovimo, da velja 2k 2': 16m - 3n l = 3m l2m - 3n - m l. Očitno je n > m , zato je 12m - 3n - m l 2': 1. Od to d sledi, da je 2k 2': 3m in zato od kod er sledi, da je ~ :::; (~) m Iz zadnje neenačbe dobimo m = 1,2,3 . Ker je la] = 2, [a2 J = 6, [a3J = 14 in lb] = 1, [b2 ] = 3, [b3 ] = 5, [b4 ] = 9, [b5 ] = 15, sledi , da za poljubni naravni števili m in n velja [am] #- [bn] . Gregor Cigler PRESEK lis t za mlade matema t ike, fizike , ast r o n o me in računalnikarje 30. letnik, šo ls ko leto 2002/03 , številka 5 , stran i 257-320 UREDNIŠK I OD BO R: Vladimir Batagelj, Tanja Bečan (jezikovni pr egled), Mirko Dobovišek (glav ni ur ednik), Vilko Domajnko, Darjo Felda (tekmovanja) , Bojan Golli , Marjan Hribar , Boštjan Jaklič (tehnični ur ednik) , Martin Juvan (računal­ ništvo) , Sandi Klavžar , Boris Lavrič , Andrej Likar (fizika), Mat ija Lokar , Franci Oblak, Peter Petek, Marijan Prosen (astronomija) , Marija Vencelj (matem at ika , od govorna urednica) . Dopisi in naročnine : DMFA - za ložn ištvo, Presek , J adran ska ulica 19, 1001 Ljublja- na , p.p . 2964 , t el. (01) 4766-553 , telefak s (01) 2517-281. Naročn ina za šolsko let o 2002/03 je za posamezne naročnike 3.300 SIT (posame zno naročilo velja do pr ekli ca), za skupinska naročila šol 2 .70 0 SI T , posamezna številka 825 SIT , tematska številka 1. 650 SIT, st a ra številka 650 SIT, let na naročnina za t uj ino 25 E UR, deviz na nakazila SK B banka d .d . Ljubljana , Ajdovščina 4, Ljubljana, SWIFT: SKBASI2X, tran sa kcijski račun šte vilka 03100-1000018787. List sofina ncira MŠZ Š Založi lo DMFA - založništvo Tisk: DEL O Tiskarna, Ljub ljana © 2003 Društ vo matemat ikov , fizikov in astronomov Slovenije - 1524 Poštnina plačana pri pošt i 1102 Ljubljana Marij an Prosen Zanimivosti - Razuedrilo I S KOLIKŠNO HITROSTJO? V družbi pogosto nanese pogovor o tem, s kolikšno hit rostj o se pravzaprav gi- bljemo , sa j imamo občutek, da Zemlja miruje. Poglejmo, kako je s to rečj o . Samo zara di vrtenja Zemlj e se kr aji na ekvatorju gibljejo s hit rostj o 21r' (pohne r Zcmljc ) = 2·3 .14·6400 km = O4" 5 k I = 4"5 I 24 h 14.60.60 s ' u m s u ln s . Kraji na Zemljinih vzporednikih se seveda gibljejo z manj šo hi t rostjo. ]VIi v Sloven ij i, z zemlje pisno širino ep = 46°, se gibljemo s hitrostjo 465 mis ,cos ep = = 465 ni /scos 46° , to je približno s 320 mis, kar je hitrost reak ti vn ega let ala . To je razmerom a majhna hitrost v veso lj u, če samo pomi slimo, da se Zemlj a giblje okoli S · 1 itr t i 21r·(odda ljenos t Zcmlje o d So nca) _ 2 ·3 .14 ·150000000 km - 30 k Ionca s n i os J O 1 let o - 365 .24 .60.60 s - m s , torej v eni sekundi smuknemo iz Ljubljan e v Kranj . Tudi t a hitrost za vesoljske razmere ni velika . S li ka 1. P o gl ed n a G a la ks ijo - shema: s mer g ibanja Oson čja , torej So nca s k u p a j s p la n eti , oko li sred išča n aš c G a laksi j e j e p ri ka zana s puščico . E n o b hod traja približno 20 0 milij ono v let . Poleg tega , da Zemlja kroži okoli Sonca in se hkrati vr ti , se skupa j s Son- cem in bli žnjimi okoliškim i zvezdami giblje še okoli središča naše Galaksije , to je velikan ske skupine zvezd, v kater i domuj emo, in to s hi t rostjo, ki jo ocenimo . č b 21r· (oddal jcnost So nca o d sre d ine Gala ks i je) 2 ·3 .14 ·26 000·365·24 ·60·60 ·300000 k m IZ enac e . 200 m ilij on ov let . = 200000000 ·365 .24 .60 .60 s kar je okoli 250 kru / s. Veni sekundi preleti mo Slovenijo. Kar hi tro se vozimo , pa mirn o in zas to nj, mar ne? I Zanimivosti - Razvedrilo POŠTNA ZNAMKA O HALLERSTEINU Dne 21. 1. 2003 je Pošt a Slovenije na pred log Muzeja Mengeš izdala spominsko zna mko ob 300-let nici rojs tva jezuita in misijonarj a na Kitaj skem , zna menitega astronoma in matematika , nar avoslovca in et nogra fa slovenskega rodu , patra Ferdina nda Avgušt ina Hallerja , pl . Hallersteina . F. A. Hallerstein (1703 - 1774) je bil sicer rojen v Ljubljan i, vendar njegov rod izvira iz Mengša , kjer je tudi preživel svojo mlad ost . Matematično in astronomsko izobrazbo si je pridobil na Dunaju in v Gradcu, 1739 pa je kot misijonar odšel na Kitaj sko , kjer je ostal do smrt i. Slika 1. Spom inska znamka ob 300-let nici rojst va F . A . Hall erst e- ina . Na znamk i vid imo naslov- nico njegovega glav neg a dela OB- SERVATIONES ASTRO NO- MICAE (Astro nom ska opazova- nja ) in de l sekstanta, inštrumen - ta, ki so ga na pekinškem dvoru v t istem času upora bljali pri opazo- va nj u zvezd. MUZEJ :~, MENGEŠ Na Kitajskem je dosegel poleg pomembnih usp ehov na strokovnem področju t udi visok politični položaj , in sicer na cesarskem dvoru v Pekingu . Med drugim je bil pred- sednik astronomsko-matematičnega oddelka, izdeloval je zemljevide delov kitaj skega cesarstva, opazoval severni sij, komet e, mrke, plan ete (posebno Merkur), sate lite. 1, r~o . ~-I~ I'Of';:~~;'~'~ ; . J o. " ~ttll K ' . -~:~ • - 5 Slika 2. Zgo rn ji grad v Men gšu , kjer je Hallers t ein prežive l svojo mladost. To lep o zgradb o si lahko , nekoliko predelan o , og led at e še danes . Izd a l in za lož il Muzej Meng eš 2003, I-Iallerst eina pri števam o med na jpomembnejše slovenske znanst venike preteklo- st i. Več o Hallersteinu je pisal Presek 18 (1990/91), 110, nekaj o starih kitaj skih inšt rumentih pa Presek 16 (1988/ 89), 210. '1' .. P l Vl arijam. ros en