i
i
“Grasselli-prijateljska” — 2010/5/12 — 14:47 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 13 (1985/1986)
Številka 6
Strani 346–349
Jože Grasselli:
PRIJATELJSKA ŠTEVILA
Ključne besede: matematika, teorija števil, prijateljska števila.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/13/797-Grasselli.pdf
c© 1986 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
/"'-'-'-/"'-'-'1/ '-' >'" 1CI" I"",
PRIJATELJSKA ŠTEVILA
Zgodba o prijateljskih številih se začenja v davnini, nadaljuje se skozi čase do
današnjega dne in še nima konca.
Obnovimo nekaj odlomkov iz te zgodbe .
Začelo se je z nekakšno igro. Z njo so se kratkočasi li nekdanji ljubitelji
števil. Igra se je odvijala v treh korakih:
1. Izberi naravno število e, večja od 1.
2. Poišči številu a vse prave delitelje. (To so pozitivni delitelji števila s,
manjši od a.)
3. Izračunaj vsoto Sla) vseh pravih deliteljev števila e,
Za a = 10 poteka igra takole . Vsi pozitivni delitelji za 10 so 1,2,5,10.
Vsi pravi delitelji so potem 1,2, 5 in S(10) = 1 + 2 + 5 = 8.
Če je a majhen, se igra hitro izteče. Pri velikih a pa je igra dolgotrajna.
Lahko se celo zgodi, da igre kdaj ne moremo pripeljati do konca, kajti za
velik a ni preprosta stvar najti vse prave delitelje.
lzra čunajrno S(220) in S(284). Vsi pravi delitelji za 220 so
1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110
za 284 pa
1,2,4,71,142
Ko jih seštejemo, dobimo
S(220) = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 =284
S(284) = 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220
Vidimo, da sta si števili 220 in 284 nekako vzajemni : vsota pravih deliteljev za
220 je 284, za 284 pa 220. To so opazili že stari Grki. Zaradi te lastnosti sta
se jim zdeli števili 220 in 284 posebej imenitni in so ju imenovali prijateljski.
Naravni števili e, b sta torej prijateljski, če izpolnjujeta zahteve:
346
e > 1, b > 1; a =1= b; Sla) = b, S(b) = a (1 )
Nekateri domnevajo, da je prijateljski par 220, 284 našel Pitagora. Če to
drži, je bil začetek prijateljskih števil pred dobrimi 2500 leti.
Drugi spet mislijo, da so za prijateljski par 220, 284 vedeli vsaj 500 let pred
Pitagoro. V tem primeru se je začela zgodba o prijateljskih številih pred več
kot 3000 leti.
Najstarejši poznani dokument, ki omenja prijateljska števila, je neko poro-
čilo o Pitagori in pitagorejcih. Napisal ga je sirski filozof Jamblihos (283? -
- 330). Jamblihos pripoveduje, da so Pitagoro nekoč vprašali, kaj je prijatelj.
PO pitagorejskih nazorih naj bi se vse dalo razložiti z naravnimi števili. V takš-
nem smislu je Pitagora tudi odgovoril: "Prijatelj je drugi jaz; kakor 220 in
284." Od tod naj bi izviralo ime za prijateljska števila.
Dolgo sta bili 220, 284 edini znani prijateljski števili. Sevedase je zasta-
vljalo vprašanje, ali je še kaj takih števil. To vprašanje je moqo če' reševati na
razne načine.
Najprej bi lahko na slepo izbirali pare naravnih števil in preverjali, ali je par
prijateljski ali ne. Malo je upanja, da bi pri takem ravnanju prišli do kakšnega
prijateljskega para.
Potem bi mogli spreminjati a po vseh naravnih številih od 2 dodanega na-
ravnega števila ·c. Če bi vsakokrat izračunali vsoto pravih deliteljev Sla). bi do-
bljena preglednica za Sla) pokazala vse pare prijateljskih števil, ki ne presegajo
števila c, Ta način bi bil sicer izčrpen, je pa zamuden in nezanimiv. Saj gre za
preskušanje vseh parov naravnih števil od 2 do c.
Obstajajo tudi bolj načrtni načini za iskanje prijateljskih števil. Podani so .
navadno v obliki pravil. Kako se do takih pravil pride, ne bomo opisovali.
Prvo tako pravilo je postavil zdravnik, astronom in matematik Thabit ibn
Kurrah (836 - 901) iz Bagdada. Njegovo pravilo se glasi:
Naj bo n naravno število, večje ali enako 2. Če so
· p = 3. 2n -1 - 1, q=3.2n-l, r=9.22n -1-1
praštevila, sta
prijateljski števili.
(2)
(3)
Thabitovo pravilo je na videz preprosto. Ko ga uporabljamo, pa naletimo
347
na težave. Ni namreč lahko ugotov iti, pri kate rih n so p, q, r iz (2) praštev ila.
Za n = 2 pride iz (2) .
p = 3. 2 - 1 = 5, q = 3. 22 - 1 = 11, r = 9. 23 - 1 = 71
To so sama praštevi la. Zato sta po (3)
a = 22 • 5. 11 = 220, b = 22 . 71 = 284 (4)
pr ijatel jski štev ili. Prišli smo do para, ki ga že poznamo.
Ne ve se, ali je Thab it svoje pravilo uporabil še v kakšne m drugem primeru
razen za n = 2.
Če vzamemo n = 3, je po (2)
p = 3. 22 - 1 = 11, q = 3. 23 - 1 = 23 , r = 9. 2s - 1 = 287 = 7.41
Ker r ni praštevilo, iz (3) sedaj ne dobimo prijateljskega par a.
Pri n = 4, najdemo iz (2)
Ker so to praštevila , je po (3) par
a = 24 • 23.47 = 12 796, b = 24 • 1151 = 18416
prijateljski.
Podobno za n = 7 iz (2) dobimo
p=3.26-1=191, q=3.27- 1=383, r=9.213_1=73727
(5)
Da sta prvi dve števi li praštevili, se hitro preveri. Malo težje je ugotoviti, da je
tudi tretje število praštevilo. Ko se o tem prepričamo, dajeta obrazca (3) prija-
teljski par
a = 27.191.383 = 9 363 584, b = 27.73727 =9 437 056 (6)
Nedavno so dognali , da so (4). (5). (6) edini pari prijateljskih števil, ki se
dobe iz Thabitovega pravila, ko se n spreminja od 2 do 20000.
V Evropi je zaživelo zan imanje za prijateljska števila v sedemnajstem sto -
letju. Takrat je bilo Thabitovo prav ilo že davno pozabljeno, če so zanj tu sploh
348
kdaj vedeli. Pie rre Fermat (1601 - 1665) in Rene Descartes (1596 ~ 1650)
sta T habitovo pravilo vsak zase na novo odkrila. Fermat je z njim pr išel leta
1636 do prijate ljskega pa ra (5 ), Descart es pa neko liko po zn eje do para (6 ).
Ibn al Ban na iz Maro ka navaja v svoj ih spis ih par (5) že okrog leta 1300. Ven -
da r so to opazi li šele pred kratkim .
Ko je nastopil Leo nhard Eu ler (1707 - 1783), so b ili pozna ni tr ije pri-
jat eljski pari, nam reč (4) , (5 ) in (6). Te pare sestavljajo sama sod a števi la. Eu ler
je izpeljal več pravil, ki jih je uporabi l pri iskanju p rijat eljskih števil. S temi
pra vili je naše l 59 no vih parov. Med pari , ki j ih je od kril, so t udi nekat eri pari
lih ih prijateljskih štev il. Eden takih parov je
a =:3 3. 5.7. 71=67095, b=33 .5.17.31= 71 145 (7 )
V devetnajstem sto letju se seznam prijateljsk ih štev il ni dost i razš iril, saj so
našli le štiri nove pare. Do let a 1945 pa se je vsega na bralo 200 p rijateljskih
parov.
Precej pa je sez nam narastel v zad njih šti r idese t ih leti h. Izbo ljšal i so se
namreč kriteriji za praštevila. Nadal je so k t em u pripomogla nova pravila za
iskanje pri jateljskih števil, ki so se pridru žila Thab itovemu in Eule rjevim pravi-
lo m. Važno vlogo so imel i t udi računalniki , saj si z njimi pom agajo pri presku-
šan ju prav il. Tako je seda j najdenih vsega nekaj nad 1130 parov prijateljskih
števil. Med te mi pari so pravi vel ikani : npr. prijate ljsk i pa r, ki ga sestavl jata št e-
vili, vsako s 152 mesti v deset iškem zapisu.
Ko si ogledujemo seznam prijateljskih števil , vzbu jajo pozornost nekat ere
posebnosti. Omenimo jih nekaj.
Vsi do sedaj znani pari prijateljsk ih števil so taki , da sta obe števili istega
pa ra ali sodi ali lihi. Ali je kakšen prijateljski par, v katerem je eno štev ilo sodo ,
drugo Iiho?
Lihi števili, ki nastopata v prijateljskem paru (7). nista tuji. To velja za vse
znane lihe prijateljske pare . Ali obstaja kakšen lihi prijateljski par s tujima si
števi loma?
Pri vseh znanih lih ih prijateljskih parih sta števili de ljivi s 3. Ali sta števili
iz lihega prijateljskega para zmeraj deljivi s 3?
Na nobeno gornjih vprašanj še ni odgovora.
Brez odgovora je tudi vprašanje, koliko je parov pri jateljskih števil: končno
ali neskončno. Nekaterim se zdi , da to vprašanje ne bo nikoli rešeno . Pač pa je
do gnano, da so prijateljska šte vila med naravn imi števil i veliko redkeje posejana
kot praštev ila.
Jože Grasselli
349