'fl! NEUNZEHNTER DER K. K." f ' , 'f’&xßfa. OBER-REALSCHULE IN GORZ A3I SCHLÜSSE DES SCIIULJAHRKS 187« HERAUSGEGE 13 BN VOM DIIiECTOK ,' l».r EGID SCHHKITJKK INHALT: 1. Projective Behandlung der Stnihlenfliiclien, ein Beitrag zu dem Unterrichte der darstellenden Oeometrie im neueren Sinne von Prof. ('I. Karchanek. 2. Sehuhmehrichten. / / «ORZ ' ■ ■' ./. ' ■■■'■' ! "i '• . >< ' -•' ■*•■ PROJECTIVE BEHANDLUNG DEU STRAHLENFLÄCHEN. EIN BEITRAG ZU DEM UNTERRICHTE DER DARSTELLENDEN GEOMETRIE IM NEUEREN SINNE. VON PROF. CL. BARCHANEK. Vorwort. ie p roje dive Behandlung der Pyramiden und Prismen, so wie der und Cijlinder bildet einen wesentlichen Theil der descriptiven Lehraifgabe unserer Realschulen. Die Darstellung dieser Gebilde an und für sich bietet schon eine schöne und vielseitige Gelegenheit, den bereits vorgetragenen Lehrstoff in seiner praktischen Anwendung an concreten Aufgaben wiederholt durchzuüben und Lust und Liebe zum Construiren zu wecken; es sind ja diese Gestalten doch eigentlich nur alte traute Bekannte der Jugend, in deren Phantasie sie allerdings oft wunderbare Rollen gespielt. Der erste geometrische Anschauungsunterricht entledigte sie alles Zierrats und Hess nichts übrig eds ihre nüchternen Formen, welchen er Namen gab, und diese wurden zu Begriffen, deren gemeinsame und unterschiedliche Merkmale die erste Übung in der Kunst des richtigen Sehens kennzeichn eie. Seither kehrten diese Gebilde in den verschiedenen Unterrichtszweigen des öftern wieder, und nur zu bald machte sich das Bedürfnis nach planen Bildern derselben geltend, bei deren Skizzirmg oft unrichtige Anschauung und völlige Willkür gelier seht. Wenn nun die darstellende Geometrie, desselben Gegenstandes sich bemächtigend, diese Jugendsünden absolvirt, Gesetz und Ordnung schafft, wo ehedem nur Haltlosigkeit oder im besten Falle eine ahnungsvolle Vorempfindung gewaltet; wenn nun die Bilder über Gestalt, Grösse und Lage der Raumgebilde keinen Zweifel zulassen, und sogar eine zuverlässige Reconstruction des Objectes ermöglichen; dann wird der Schülcr den gewaltigen Fortschritt in seinen geometrischen Studien an den gewonnenen Resultaten wol selbst abschätzen. Die Pyramiden und Prismen, die Kegel und Oylinder sind für die technische Praxis von grösser Wichtigkeit, erregen in rein stereometri-scher Beziehung ein hohes Interesse, und ihre Anwendung in verschiedenen Wissenschaften ist so weittragend, dass es vollkommen berechtigt erscheint wenn der Lehrplan gerade diese Gebilde in richtiger Erkenntnis ihrer fun• damentalen Bedeutung für jedes tveitere mathematische und technische Studium ausführlich und gründlich gepflegt wissen will. Soll aber dieses Ziel erreicht werden, so muss die Behandlung des Gegenstandes einerseits der Wissenschaft, welcher doch nur ausschliesslich das Mittel des Projicirens zu eigen ist, vollkommen entsprechen, und andererseits auch den Bedürfnissen der modernen Schule Rechnung tragen, d. h. in knapp zugemessener Zeit das Lehrpensum bewältigen, den häuslichen Fleiss der Schüler nicht erheblich in Anspruch nehmen und dem Unterrichtserfolge doch eine reife Frucht sichern. Diesen vielseitigen und hohen Anforderungen bestmöglichst zu genügen vermag nur eine gründlich durchgebildete Unterrichtsmethode, welche kaum wo anders ein dankbareres Feld findet als eben hier. Die darstellende Geometrie fasst die Pyramiden und Prismen, die Kegel und Cylinder allgemeiner auf und behandelt sie in ganz anderer Weise als die Geometrie des Masses. Es ist daher gerechtfertigt und im Interesse einer guten Methode auch notwendig, diese Gebilde von dem Gesichtspunkte ihrer Eigenschaften, die wir dem Baume unmittelbar absehen, zu betrachten und nach dem Gesetze ihrer gemeinsamen Entstehung als Strahlenflüchen zu definiren. Diese Auffassung, welche von der sonst üblichen abweicht, gewährt sowohl in meritorischer als auch in didaktischer Hinsicht nicht zu unterschätzende Vortheile. Hiernach erscheinen die Strahlenflächen unmittelbar als ein Resultat des Projicirens, ihre Beziehungen zu anderen Gebilden lassen sich zumeist als eine Consequenz desselben erklären, und dem gemeinsamen Entstehungsgesetze muss dann auch eine einheitliche, zusammenfassende und übersichtliche Behandlung notwendig folgen. Die projective Methode wird nicht blos eine lichtvolle Darstellung vermitteln, sondern auch eine logisch richtige Anordnung des Lehrstoffes bedingen und manchem Ubelstande in dem descriptiven Unterrichte steuern. Nach der Gepflogenheit unserer gangbaren Lehrbücher werden z. B. die Schnitte der Strahlenflächen zuvor, und in weiterer Folge erst die Tan* gentialebenen vorgetragen. Nach dieser Einteilung kann aber die Behandlung der ebenen Schnitte der Kegel- und Cylinderflächen tvol nicht anders als verwässert aus/allen, während man sich doch der Einsicht kaum ernähren wird, dass die Bcriihrungsibcnen der Strahlenflächen zu den Scheitelebenen {Ebenen, welche durch den Schei:el der Strdhlenfläche gehen,) gehören, und folglich auch daselbst ihren Platz zu finden haben. Die Scheitelebenen können aber die Strahlenflächen nur nach Geraden schneiden, tvas aus dem Begriffe der Strahlenflächen unmittelbar hervorgeht; und da der Unterricht hei grösseren und schwierigen Aufgaben stets von dem einfachsten Falle ausgehen soll, so steht es fest, dass in der vorliegenden Frage den Reigen der ebenen Schnitte die Scheitelebenen zu eröffnen haben. Dieselben geben auch sofort als einen besonderen und dem Schüler sich von selbst auf drängenden Fall, die Berührungsebenen, welche auch gleich erledigt werden sollen, wenn die weitere Behandlung der Aufgabe entsprechen soll. Das Wesen und die Bedeutung der Berührungsebenen an Strahlenflächen braucht nicht erst aus der allgemeinen Theorie der Tangentialebenen krummer Flächen überhaupt und der auf wickelbaren insbesondere abgeleitet zu werden, sondern soll an und mit der Strahlenfläche durch die projedive Methode zur Anschauung gebracht werden. Es ist ja einleuchtend, dass eine Curve und eine Tangente derselben aus einem beliebigen Raumpunkte durch eine Strahlenfläche und eine Ebene projicirt iverden, dass diese Ebene mit der Fläche eine geradlinige Erzeugende gemein habe, dass die diesem Strahle zunächst liegenden 'Theile der Ebene auf derselben Seite der Strahlenfläche liegen; dass also diese Ebene eine Berührungsebene der Strahlenfläche sei, welcher ein Flächenstrahl als Berührungselement entspricht. Ebenso muss auch zugegeben iverden, dass jede Gerade der Berührungsebene eine Tangente an die Strahlenfläche sei; denn sie schneidet den Berührungsstrahl in einem Punkte und hat mit der Fläche eben nur diesen Punkt gemein, während die demselben zunächst liegenden Theile der Geraden auf derselben Seite der Fläche liegen; und wir erkennen, dass diese BeruhrungsebenQ der geometrische Ort jener Flächentangenten sei, deren Berührungspunkte auf demselben Flächenstrahle liegen. Im weiteren Verfolg der ebenen Schnitte der Strahlenflächfin führt die projedive Methode zu überraschend schönen Resultaten. Sie ordnet den Lehrstoff mustergiltig nach dem gegenseitigen Zusammenhänge der Schnittfiguren im Baume und nach den Gesetzen der geometrischen Verwandtschaft, tvelche sich in ihren Projectionen aussprechen. Perspectivisch congruente, ähnliche, affine und collineare Sgsteme werden uns vorgeführt und stereometrisch so gut begründet, dass man fortan viele Aufgaben lediglich nach den Eigenschaften der Lage behandeln, aber auch gleichzeitig an derselben Figur die stereometrische Lösung interpretiren kann. Die charakteristischen Linien geometrisch verwandter Systeme, wie z. B. die Ver-schwindungsgeraden bei der perspectivischen CoUineation, werden stereometrisch gerechtfertigt, und jeder Eigenschaft der Lage ein stereometrischer Satz gegenüber gestellt. Selbst die involutorischen Sgsteme, tvelche in der Geometrie der Lage manche Schwierigkeiten bereiten, kommen uns ungesucht entgegen, um auch ihre stereometrische Weihe und räumliche Deutung zu erhalten. Die Construction der ebenen Schnitte der Strahlenflächen legt auch die Beziehungen der Linien zweiter Ordnung unter einander und zu anderen Gebilden sehr nahe. Die Eigenschaften der Lage, welche die Pro-jection des Schnittes und die Leitlinie eines Kreiseylinders oder Kreiskegels beherschen, brauchen nur richtig gelesen zu werden, um unmittelbar als constructi ve Lösungen wichtiger Aufgaben aus dem Gebiete der Kegelschnittslinien zu gelten, wie sie sich auf anderem Wege kaum so einfach und sicher ergeben. Ein Kreiscylinder kann z. B. nach einer Ellipse geschnitten, und die schneidende Ebene so zweckmässig gewählt werden, dass tvir in der Projection auf der Basisebene sofort eine neue und sehr brauchbare Ellipsenconstruction finden, oder ein bisher nur mechanisch geübtes Verfahren auf stereometrischem Wege beweisen, — Aus den Projectionen der ebenen Schnitte des Kreiskegels wird sich ebenso zeigen, tvie jede Linie zweiter Ordnung auf einen Kreis bezogen werden kann, mit dessen Hilfe viele den Kegelschnitt betreffende Fragen leicht beantwortet werden. Die projective Behandlung der Strahlenflächen wird sohin auch' mit Rücksicht auf den mathematischen Unterricht sich als sehr fruchtbar erweisen, indem sie die Kenntnis der Kegelschnittslinien ‘wesentlich fördert und ergänzt. Der Aufsatz, welcher in den folgenden Blättern den Weg der Öffentlichkeit betritt, ist ein Versuch einer projectiven Behandlung der Strahlenflächen im Sinne der vorentwickelten Grundsätze und mit besonderer Rücksicht auf die Bedürfnisse unserer Realschulen, an tcelclien die darstellende Geometrie als allgemeines Bildungsmittel und als notwendige Vorbereitung für die technischen Studien ebenso wissenschaftlich gelehrt werden soll tvie die Mathematik. Der enge Rahmen eines Programmartikels Hess eine Besprechung der Beziehungen der Strahlenflächen unter einander nicht mehr zu, und wenn auch dieser Abschnitt einer anderen Gelegenheit Vorbehalten bleibt, so bilden die ebenen Schnitte der Strahlenflächen immerhin einen zulässigen Abschluss dieser Arbeit. Dem Wohlwollen und dem gerechten Urtlieile der Herren Fach-collegen empfiehlt liiemit der Verfasser eine beachtenswerte Lehrmethode, deren Begründer Professor Schlesinger ist. Es ist sehr zu bedauern, dass Schlesingers Lehrbuch in unseren Schulkreisen kühl bis an’s Herz hinan aufgenommen wurde, was unter anderm auch dem Umstande zugemuthet werden kann, dass es wol nicht leicht als Lehrbuch für Mittelschulen zu empfelen war. Bei einer übergrossen Fülle an Lehrstoff verfolgt es iveit-gehende Ziele und enthält gleich anfänglich einen zwar hübschen, aber für unsere Realschulen doch sehr bedenklichen Abschnitt aus der Geometrie der Lage. Die Ausstattung des Buches ist nichts weniger als bestechend, und die Figuren sehr dünn gesäet. Trotz alledem hätte aber das Kind nicht sammt dem Bade verschüttet werden sollen, iveil gerade dieses ganz eigentümliche Werk mehr denn jedes andere berufen tvar, einen gewaltigen Einfluss auf die descriptive Unterrichtsmethode zu üben. Und dies geschah bislang nicht, weil das Buch ungeachtet der grossen inneren Vorzüge einer völligen Gebrauchsanweisung kaum entraten konnte und die seiner-zeitige Stellung Schlesingers getreu wider spiegelt: an der Hochschule eine rege Thätigkeit entwickelnd, diente er opferwillig der Mittelschule, und hatte doch nirgends festen Fuss. Schliesslich noch eine kleine Bemerkung, die vorliegende Abhandlung betreffend. Wenn in den folgenden Zeilen auch die Gollineation ebener Systeme behandelt wird, so ist dies nicht etwa ein Eingriff in das Gebiet der Geometrie der Lage, sondern eine sachgemässe Diseussion rein stereometrischer Resultate, ivclche mit dem Lehrpläne gewiss nicht im Widerspruche steht. Die Verwandschaft ebener Systeme 'wird hier nicht in einem separaten Abschnitte aus der neueren Geometrie nachgeschlagen, sondern auf stereometrischem Wege von Fall zu Fall begründet; auch, icurde sic nicht gesucht, konnte vielmehr bei erschöpfender und wissen-schaftlicher Behandlung des Gegenstandes kaum umgangen werden, da die Abhängigkeit geometrischer Figuren von einander doch ihren Ursprung und ihre Heimat in der darstellenden Geometrie hat, in deren Haushalte sie auch eine hervorragende Rolle spielt. Einige der Geometrie der Lage angehörige Benennungen ivurden lediglich aus OpportunitütsgrAnden beibehalten. Sollte übrigens diese Lehrmethode, ivelche nach den Erfahrungen des Verfassers recht erfreuliche Unterrichtserfolge verbürgt, auch eine gute Vorbereitung su dem Studium der Geometrie der Lage bieten, so ivird man ihr deswegen doch nicht gram sein, Görz, im Juni 1879. CLEMENS BARCHANEK. Entstellung, Eintheilung und Darstellung der Strahlenfläclicn. a durch einen Punkt a einen unbegrenzten Strahl p, so i, der Punkt a wurde projicirt und nennt p in Bezug auf projieirenden Strahl. Ziehen wir von einem Punkte S e beliebig im Raume gewählten Punkte a, b, c, . . . die p, q, r, . . . , so ist bekanntlich S das gemeinsame Pro-jectionscentrum von a, b, c, . . , und die Strahlen p, q, r, . . . werden central projicirende Strahlen geuannt. Läge das gemeinsame Projections-ceutrum iu unendlicher Perne, so könnte cs nur durch die .Richtung angegeben werden, d. h. durch eine Gerade, zu welcher alle projieirenden Strahlen parallel wären. Liegen die Punkte a, b, C, . . . und das Projectionscentrum iu einer und derselben Ebene, so bilden die projieirenden Strahlen p, q, r,... je nach der Lage des Projectionscentrums Elemente eines Central - oder Parallelstrahlenbüschels. Folgen die Punkte a, b, c, . . . stetig auf einander, dann ist auch die Aufeinanderfolge von p, q, r, . . . eine stetige. Die Gesammthoit der Punkte a, b, c, . . . wird einen Linienzug bilden, und der geometrische Ort der projieirenden Strahlen p, q, r, ... wird ein vollkommener Winkel sein, weil wir jeden Strahl iu seiner Yollkom-menheit autiassen, mithin, wenn das Projectionscentrum endlich liegend ist, auch über S hinaus verlängern. Liegt das Punktsystem a, b, c, . . . und das Projectionscentrum S nicht in derselben Ebene, dann bilden die projieirenden Strahlen p, q, r, . . . Elemente eines Central - oder Parallelstrahlenbündels, und wenn noch überdies a, b, c, . . . stetig auf einander folgend einen Linienzug bilden, dann entspricht den projieirenden Strahlen p, q, r, . . . als geometrischer Ort eine Fläche, die wir als ein Resultat desProjicirens an-sehen und eine Strahlenttäohe nennen wollen. Der Linienzug a. b, c,. .. heisst die Leitlinie der Strahlenfläche und fei der Scheitel oder dio Spitze derselben. Der Einfachheit wegen wollen wir die Leitlinie stets als ein ebenes Gebilde annehmen, welche Voraussetzung der Allgemeinheit der folgenden Untersuchungen keinen Eintrag thut, da jeder andere Fall sich auf dieson zurückführen lässt. Die Ebeno der Leitlinie hat für die Strah-lenflächo eine besondero Bedeutung, wir wollen sic daher als die Basis» ebene der Strahlenfläche bezeichnen. ieht ma jsagt ma: a eineu durch di Strahlen Fig. 1 Fig. 2 Nach der Lago des Scheitels theilen wir die Strahlenflächen in Central- und Parallelstrahlenflächen, ein. Bei den Centralstrahlenflächen ist der Scheitel endlicli liegend und theilt jeden Mächenstrahl in zwei Halbstrahlen. Die Fläche selbst besteht aus zwei Mänteln, welche den Scheitel gemeinsam haben. Nach dem Charakter der Leitlinie werden die Centralstrahlenflächen in Kegelund Pyramidenflächen eingetheilt; bei ersteren ist die Leitlinie eine Cur-ve und bei letzteren ein Polygon. Durch die Leitlinie und den Scheitel ist eine Centralstrahlenfläche vollkommen bestimmt. Fig. 1 skizzirt uns das Bild einer Kegelfläche. In der Basisebene U wurde die Curve in li ersichtlich gemacht, welche als Leitlinie einer Strahlenfläche, deren Scheitel S ist, dienen soll. Wir sehen die] Abbildung der Fläche in der Weise vorgenommen, dass eine Reihe von geeigneten Linien, durch welche wir uns die Fläche erzeugt denken können, zur Darstellung gelangte. Für die Abbildung der Strahlenflächen eignen sich vorzugsweise die geradlinigen Erzeugenden der Fläche, welche je nachdem sie vom projicirenden Auge gesehen oder nicht gesehen werden, > auch im Bilde entweder voll gezogen oder gestrichelt erscheinen. Die äus-sersten Strahlen, welche das Bild der Fläche begrenzen, sollen Contour-strahlen heissen. Ist in Fig. 1 a derjenige Punkt der Leitlinie, welcher dem Contourstrahle S a entspricht, so müssen in unserem Bilde die dem Punkte a zunächst liegenden Theile der Geraden S a auf derselben Seite der abgebildeten Curve m n liegen; Sa ist daher eine Tangente derselben und a ihr Berührungspunkt. Sind also die Leitlinie und der Scheitel einer Centi*alstrahlenfläche in m n und S abgebildet, so gehören die von S an die Curve m n möglichen Tangenten mit zur Coutour des Bildes. Können von S aus Randstrahlen wie z. B. Sm und Sn gezogen werden, so sind diese ebenfalls als Contourstrahlen zu betrachten. Die einfache Yorstollung zeigt uns schon, dass man auf der Kegelfläche nicht nach allen Richtungen gerade Linien ziehen kann, und wir müssen daher die Kegelflächen zu den krummen Flächen rechnen. Fig. 2 zeigt uns das Bild einer Pyramidenfläche. In der Basisebene II ist ein Polygon abed als Leitlinie einer Strahlenfläche gegeben, deren Scheitel S sein soll. Diese Fläche ist von eben so vielen vollkommenen Winkeln begrenzt, als die Leitlinie Seiten hat. Ein Flächenstrahl, welcher zwei von diesen ebenen Winkelflächen gleichzeitig angehört, heisst eine Kante. Jeder Ecke des Basispolygous entspricht eine Kante. Es ist selbstverständlich, dass wir von den beiden Mänteln oiner Centralstrahlenttäoho nur begrouzte Stücke abbilden können, indem wir uns allenfalls vorstellen, beide Flächenmäntel wären von zur Basis parallelen Ebenen geschnitten, und der zwischenliegende Theil der Fläche wurde abgebildet. Sehr häufig werden wir bei gegebenon Aufgaben nur einen Mantel berücksichtigen, folglich auch nur einen Theil desselben abbilden. Bei den Parallelstrahlenflächen liegt der Scheitel in unendlicher Ferne; allo Flächenstrahlcn sind mithin unter einander parallel. Nach dem Charakter der Leitlinie werden die Parallolstrahlenflächen in Cylin-der- und Prismenfläohon eingetheilt; bei ersteron ist die Loitlinio oiuo Curve und bei letzteren ein Polygon. / In Fig. 3 wurde in der Ebene TJ die Curve m n als Leitlinie Fig. 8 einer Cylinderflnche angenommen und der unendlich ferne Scheitel durch die Richtung S bestimmt. Yon den parallelen Flächenstrahlen wurden nur jene dargestellt, welche das Bild der Fläche begrenzen; darunter sehen wir einen, welcher dem Punkte a der Leitlinie entspricht, und weil die diesem Punkte zunächst liegenden Theile des Contourstrahlos auf derselben Seite der Curve m 11 liegen, so muss derselbe eine Tangente an das Bild der Leitlinie sein. Auf der Cylinderfiäche können wir nicht nacli allen Richtungen gerade Linien ziehen, folglich gehört sie auch zu den krummen Flächen. Fig. 4 soll uns das Bild einer Prismenfläche geben, deren Leit- F*?' 4 linie das in der Ebene U liegende Polygon a b c (1 e f* ist und deren unendlich ferner Scheitel durch die Richtung S bestimmt sein soll. Wir sehen diese Prismenfläche von so vielen ebenen Parallelstreifen begrenzt, als das Basispolygon Seiten hat. Yon den Flächenstrahlen wurden nur jene abgebildet, welche zwei Begrenzungsebenen gleichzeitig angehören. Diese werden Kanten genannt und zwei davon gehören zur Contour der Fläche. Das Ergebnis unserer Betrachtung über Entstehung, Eintheilung und Darstellung der Strahlenflächen können wir nun folgends zusammenfassen : Durch die Bewegung eines Strahles, welcher durch einen fixen Punkt, den Scheitel, geht und eine gegebene Leitlinie stets schneidet, wird eine Strahlenfläche erzeugt. Es giebt Central- und Parallelstrah-lenflächen, je nachdem der Scheitel endlich oder unendlich ferne liegt. Zu den nicht gekrümmten Strahlenflächon gehören die Pyramiden-und die Prismenflächen; bei ersteren liegt der Scheitel endlich und bei letzteren unendlich ferne. Durch die Leitlinie und den Scheitel ist eine Strahlenfläche vollkommen bestimmt. Bei Parallelstrahlenflächen wird der Scheitel durch die Richtung angegeben. Eine Strahlenfläche wird abgebildet, indem man den Scheitel und die Leitlinie derselben abbildet und noch überdies einige Flächenstrahlen zur Anschauung bringt, hauptsächlich jene, welche das Bild der Fläche begrenzen. Sind von der Pro-jection des Scheitels an die Projection der Leitlinie Tangenten möglich, so gehören diese zur Contour des Bildes und müssen ersichtlich gemacht werden. Die Projection eines Flächenstrahles wird nur dann voll gezogen, wenn der Strahl von dem projicirenden Auge gesehen wird; dasselbe gilt von der Leitlinie. Ein Körper, welcher von einem Theile einer Pyramiden- oder Kegelfläche und von einer Ebene, der Basisebene, begrenzt ist, wird eine Pyramide oder ein Kegel im engeren Sinue des Wortes genannt, und der Schnitt der Basisebene mit der Strahlenfläche wird gemeinhin als die Leitlinie gedacht. Der Abstand dos Scheitels von der Basisebene heisst die Höhe. Hat die Leitlinie einen Mittelpunkt und fällt der Fusspunkt der Höhe mit diesem zusammen, so erhalten wir einen senkrechten Kegel oder eine senkrechte Pyramide. Ein Körper, welcher von einem Theile einer Parallelstrahlenfläche,und zwei parallelen Ebenen begrenzt wird, heisst schlechtweg ein Cylindcr oder ein Prisma, je nachdem die Leitlinie eine Curve oder ein geschlossenes Polygon ist. Der Abstand der zwei Parallelebe- Fig. 5 nen heisst die Höhe, und stehen die Erzeugenden der Strahlenflächo auf der Basisebeno senkrecht, ao erhalten wir einen senkrechten Cylindei’ oder ein senkrechtes Prisma. Darstellung der Strahlenflüchen durch orthogonale Bilder. Die Darstellung der Strahlenflächen durch zugeordnete orthogonale Bilder wollen wir an einigen Beispielen kennen lernen. Es sollen die orthogonalen Bilder einer Pyramide dargestellt werden, deren Leitlinie das in der ersten Bildebene liogende Viereck a b c d und deren Scheitel S sei. Liegt ein Punkt auf einer Geraden, so liegen auch die Bilder desselben in den Bildern der Geraden; wir verbinden daher St mit at, b[, folglich ist bei dieser Ebene die Oberseite gleich der Vorderseite. In der ersten Bildebene ist die Fläche S b c gedeckt, folglich muss sie auch in der zweiten Bildebene gedeckt sein. Bei unserem einfachen Beispiele ist es wol nicht notwendig, diese Merkmale als Prüfstein herzunehmen. Bei eomplicirteren Annahmen und hauptsächlich auch deswegen, weil dieses Kriterium für jedes Polyeder giltig ist, wollen wir es in Erinnerung behalten, damit wir einen aus irriger Vorstellung begangenen Fehler sofort entdecken. Aufgabe : Eine senkrechte Pyramide darzustellen (Fig. 6), de- lg-ren Basis ein in der horizontal projicirenden Ebene U liegendes Quadrat ist; die Höhe soll der Diagonale des Quadrates gleich sein. Wir denken uns die Basisebene U um ihre erste Spur in die erste Bildebene umgelcgt und zeichnen die Umlegung der Basis a'b'c'd' in der Grösse und Lage, wie sie durch gegebene Daten etwa bestimmt sein könnte. Fällen wir nun von a', b', c und d' Perpendikel auf uj, so erhalten wir sofort construirt. Werden schliesslich von St und S» an das erste und zweite Bild der Basis die möglichen Tangenten gezogen, so sind die orthogonalen, zugeordneten Bilder des gesuchten Kegels dargestellt. Die Darstellung der Parallelstrahlenflächen ist ebenso wie die der centralen Strahlcnflächen vorzunehmen. Wir wollen einige Aufgaben hierüber folgen lassen. ln Figur 11 sei ein in der ersten Bildebene liegendes Viereck Fif>-11 a b c d als Basis einer Prismenfläche gegeben, und durch die Richtung S sei der unendlich ferne Scheitel derselben bestimmt. Ziehen wir durch i>i , bi ,. . . . Parallele zu St und durch a>, ba, • • • • Parallele zu Sa, so erhalten wir die Bilder der Kanten. In der ersten Bildebene bilden dio Strahlen b und d, in der zweiten die Strahlen a und c die Contour. Fig. 12 Fig. 13 Fig. 14 Trennen wir noch das Sichtbaro von dem Gedeckten und bemerken, dass wir uns die Fläche nach oben hin unbegrenzt denken wollen. In Figur 12 wurde in der ersten Bildebene das Dreieck all c als Basis einer Prismenfläche angenommen. Die Richtung S, durch welche der unendlich ferne Scheitel bestimmt ist, soll senkrecht auf der Basisebenc stehen. In unserem Falle ist das Dreieck a, 1), c, schon das erste Bild des Prisma, weil alle Seitenebenen für die erste Bildebene projicirond sind. Eine solche Prismenfläche wird auch eine horizontal projicirende genannt. In Fig. 13 wollen wir einen allgemeineren Fall über die Darstellung der Prismenflächen behandeln. In der doppelt geneigten Ebene U, bei welcher die Oberseite der Rückseite gleich ist, soll ein Dreieck von bestimmter Lage und Grösse als Basis einer senkrechten Prismenfläche angenommen werden; es sind die zugeordneten Bilder derselben darzustellen. Denken wir uns die Ebene tl um die erste Spur in die erste Bildebene umgelogt und zeichnen daselbst das Dreieck a' V c' in bestimmter Lage und Grösse. Sodann wird eine dritte Bildebene senkrecht o auf Ui eingeführt, der ersten Bildebene zugeordnet und xj3 gesucht. Das o dritte Bild der Basis liegt in U3 und giebt sofort das zugeordnete ersto Bild a, bj Cj. In den Ordinalen liegen a2, b2, c» und die entsprechenden Ordinaten werden der dritten Bildebene entnommen. Steht eine Gerade senkrecht auf einer Ebene, so stehen ihre Bilder senkrecht auf den Spuren dieser Ebene; wir können daher in jeder Bildebene die Bilder der Kanten zeichnen. In Fig. 14 sei ein in der zweiten Bildebene liegender Kreis als Leitlinie einer Cylinderfläche gegeben, und deren unendlich ferner Scheitel durch die Richtung S bestimmt. Die parallel zu S2 an den Kreis möglichen Tangenten bilden die Contour für das zweite Bild, und ihre Berührungspunkte trennen in der Leitlinie den sichtbaren Theil von dem gedeckten. In der ersten Bildebene werden parallel zu S, die möglichen Randstrahlen gezogen, und diese bilden die Contour des ersten Bildes. ln Fig. 15 wurde in der ersten Bildebene ein Kreis als Leitlinie einer Cylinderfläche angenommen; der Scheitel soi durch die auf der ersten Bildebene senkrechte Gerade S bestimmt. Unter dieser Voraussetzung ist der Kreis selbst das erste Bild der Fläche, weil alle Flächenstrahlen horizontal projicirond sind; diese Fläche hoisst daher eine horizontal projicirende Cylinderfläche. In dor zweiten Bildebene werden parallel zu Sr, die möglichen Randstrahlen gezogen, und diese bilden die Contour. Ein allgemeiner Fall über die Darstellung der Cylinderflächen wird eine ähnliche Behandlung erhoischon, wie in Fig. 18 bei einer Pris-menfläche gezeigt wurde. Aufgaben: 1. Eine Pyramide darzustellen, deren Basis ein in einer gegebenen Ebe- ne liegendes Quadrat ist, und deren Seitenflächen gleichseitige Dreiecke sind. , 2. Eine Pyramide darzustellen, deren Basis ein reguläres Fünfeck ist, und deren Seitenflächen gleichseitige Dreiecke sind. 3. Von einer Pyramide sind die drei Ebenen einer Ecke gegoben; die Bilder dieser Pyramide sind za construiren. 4. In einer horizontal projicirenden Ebene u liegt ein Kreis als Basis oines Kegels, dessen Höhe dem dreifachen Radius der Basis gleich ist; die Bilder dieses Kegels zu construiren. 5. In einer doppelt geneigten Ebene u liegt ein beide Spuren dieser Ebene berührender Kreis als Basis eines gleichseitigen Kegels, dessen orthogonale Bilder dargestellt werden sollen. 6. In einer Ebene, welche durch die Axe geht und deren horizontale Neigung 30° beträgt, liegt ein reguläres Sechseck als Basis einer senkrechten Prismenfläche, deren Bilder darzustellen sind. 7. In einer Ebene, welche durch die Axe geht und den von den Pro- jcctionsebenen gebildeten Winkel im zweiten Raume halbirt, liegt ein reguläres Fünfeck als Basis einer Prismonfläche, deron Kanton zur zweiten Bildebene parallel sind und mit der ersten einen Winkel von 60° einschliessen; die Bilder dieser Fläche darzustollen. 8. In einer horizontal projicirenden Ebene u liegt ein Kreis als Basis einer Cylinderfläche, deren Strahlen parallel zur Bildaxe sind; die Bilder dieser Fläche darzustellen. 9. In einer doppelt geneigten Ebene u liegt ein Kreis als Basis einer Cylinderfläche, deren Strahlen auf der Basisebene senkrecht stehen; es sind die orthogonalen Bilder dieser Strahlenfläche zu construiren. Beziehungen tlei* Punkte zu Straiilcnflächen. Aus dem Entstehungsgesetze der Strahlenfläche folgt unmittelbar, dass durch jeden Punkt dieser Fläche eine geradlinige Erzeugende gezogen worden kann, und dass diese die Leitlinie in einem Punkto treffen müsse. Denken wir uns auf einer Strahlenfläche ein Punktsystem a, b, c, ... . angenommen, ziehen durch diese Punkte die Flächenstrahlon p, q, r, . . . und bezeichnen deren Schnitte mit der Leitlinie mit a, /3, y .., so haben wir die Punkte a, 1), c, . . . mit den Punkten der Leitlinie per-spectivisch gepaart. Einem jeden Punkte des Systems a, b, c, . . . haben wir einen ganz bestimmten Punkt der Leitlinie zugeordnet, und je zwei so zugeordnete Punkte liegen auf demselben Flächenstrahle. Daraus folgt weiter, dass mehrere Punkte der Fläche, welche auf demselben Flächenstrahle liegen, auf einen und denselben Punkt der Leitlinie bezogen erscheinen. Einen Punkt auf einer Strahlenfläche. anzunehmen, a, sei das erste Bild oines auf der Strahlenfläche liegenden Punktes (Fig. 16); a2 zu bestimmen. Das erste Bild dos durch den Punkt a gehenden Flächenstrah-los ist, durch S, und a, bestimmt und kann sofort gezogen werden. Mit «! bezeichnen wir den Schnitt dieses Strahles mit dem ersten Bilde dor Leitlinie, «2 liegt zugeordnet und in dem 2ten Bilde derselben. Auf Fig. 17 Fig. 18 dem Strahle S, a, und in der Ordinale liegt a2. — Das durch Sj R[ bestimmte erste Bild des Fläohenstrahles hätten wir ebenso gut im anderen Sinne verlängern und im Punkte a\ mit dem ersten Bilde der Leitlinie zum Sohnitt bringen können. Es giebt also nooh einen zweiten Flächenstrahl a S, auf welchem a ebenfalls liegen kann. "Wir notiren in der Bildaxe a„, ziehen aS2 und finden im Schnitte mit der durch a, gezogenen Ordinale a'>. Es ist sofort ersichtlich, dass diese zweite mögliche Position des fraglichen Punktes auf dem zweiten Mantel der Strahlenfläche zu suchen ist. Die Construction der zweiten Bilder a2 und a'0 beruht wesentlich auf der Voraussetzung, dass sich der Schnitt der Ordinale mit dem zweiten Bilde des Flächeustrahles benützbar und sicher ergiebt. Nähert sich das erste Bild des Flächenstrahles der Ordinallage, oder fällt es mit derselben zusammen, so wird die vorige Construction unsicher oder ganz unbrauchbar. Nehmen wir z. B. an, zu dom Punkte b, (Fig. 16) sei b2 so zu bestimmen, dass der Raumpunkt b auf der Strahlenfläche liege. Ziehen wir S, b,, so finden wir diese Gerade in der Ordinallage. Bezeichnen wir mit ßx und ß\ die Schnitte derselben mit der Leitlinie, so erkennen wir, dass es abermals zwei Flächenstrahlen ß S und ß' S giebt, auf denen der gesuchte Punkt b liegen kann. ß2 und ß‘a liegen in demselben Punkte der Axe, und wir sehen gleich, dass auch die zweiten Bilder der dem Punkto b entsprechenden Flächenstrahlen ebenfalls in der Ordinallage sind. Erinnern wir uns nun, dass das Theilungsverhält-nis einer Strecke im Raume auf die Bilder unverändert übergeht, so haben wir sofort eine brauchbare Construction zur Hand. Wir ziehen durch S, den beliebigen Strahl p und machen S., 1)0 ■*= S, b, und S.> ß0 =* S[ ßu legen das Lineal an /3* und ß0, verschieben cs parallel bis es durch b0 geht, notiren den Schnitt b2 mit S zugeordnet liegen a, und a\ als die zwei möglichen Resultate dieser Aufgabe. Aufgabe: Eine Strahlenfläche und ein Punkt a sind Fig. 18 gegeben; es soll untersucht werden, ob der Punkt a auf der Strahlen- fläche liege. Wir ziehen den Strahl S a und sehen nach, oh derselbe ein Flächenstrahl sei. Die Gerade S a zum Schnitt mit der Basisebene gebracht; dieser Schnittpunkt « kann auf der Leitlinie liegen, oder er liegt nicht auf derselben. Im ersteren Falle ist Sa ein Flächenstrahl, und a liegt mithin auf der Strahlenfläche; im letzteren Falle liegt a nicht auf der Strahlenfläche, und dann haben wir zwei Fälle zu unterscheiden. Sind von dem Spurpunkte a Tangenten oder Randstrahlen an die Leitlinie möglich, wie in Fig. 18, dann sagen wir, a liege ausserhalb der Curve und der Strahl S cc liege ausserhalb der Fläche; dasselbe gilt auch von jedem auf S a liegenden Punkte. Der Punkt ä‘ liegt mithin ausserhalb der Fläche. Untersuchen wir in derselben Figur die Lage des Punktes b zu der Strahlenfläche. Wir ziehen den Strahl Sb und suchen seinen Schnittpunkt ß mit der Basisebene. ßx liegt nicht auf der Leitlinie, folglich liegt auch b nicht auf der Strahlenfläche. Yon ßx sind weder Tangenten noch Randstrahlen an die Leitlinie möglich, und wir wollen daher’ sagen, ßv liege innerhalb der Leitlinie und ebenso liegt der Strahl S/3 innerhalb der Fläche; dasselbe gilt von jedem Punkte dieses Strahles, folglich liegt auch der Punkt b innerhalb der Fläche. Die vorstehende Aufgabe, zu entscheiden, ob ein Punkt auf einer Strahlenfläche liege, kann auch unter folgendem Gesichtspunkte gelöst werden: Wir nehmen eines der Bilder des gegebenen Punktes her, erklären es als das Bild eines auf der Fläche liegenden Punktes und suchen das zugeordnete. Fällt dieses mit der gleichnamigen Pro-jection des Punktes zusammen, so liegt der Punkt auf der Fläche; im anderen Falle liegt er nicht auf der Fläche. Scheitel- und Berührungsebenen der Stralileuflächen. Jede Ebene, welche durch den Scheitel einer Strahlenfläche geht, soll eine Scheitclebone heissen. Zu jeder Strahlenfläche sind unendlich viele Schcitelebenon denkbar, und aus dem Entstehungsgesetze der Strahlenflächan geht unmittelbar hervor, dass sie vou Scheitelebenen nur nach geradlinigen Erzeugenden geschuitten werden können. Hat eine Scheitelebene keinen Punkt mit der Leitlinie gemein, dann kann auch kein Flächenstrahl in dieser Ebone liegen; sie enthält nur den Punkt S und geht sonst an der Fläche vorüber. Hat eine Scheitelebene mit der Leitlinie die Punkte cc, /3, . . . gemein, so schneidet sie die Fläche, in ebenso vielen Strahlen; S «, S /3, . . . sind jene Strahlen, welche sowohl auf der Fläche, als auch in der Scheitelebene liegen, folglich sind es die Schnitte der Ebene mit der Strahlcnfläche. In einer Ebene U (Fig. 19), welche zu der ersten Bildebene r‘G-19 parallel ist, liege ein Kreis als Basis einer Strahlenfläche, deren Scheitel S in der ersten Bildebene angenommen wurde. Durch S wurde oino Ebene V beliebig gelegt; ea soll untersucht werden, ob V die Strahlen-flüQhe 6chnoido. Fig. 20 Wir sehen nach, ob V mit der Leitlinie der Strahlenfläche Punkto gemein habe. Zu diesem Behufe bringen wir V mit der Basisebene U zum Schnitte und werden wahrnehmen, wie sieh diese Schuittgerade p zu der Leitlinie verhalte. geht au dem ersten Bilde das Kreises vorüber, folglich kann kein Punkt dieser Leitlinie auf p und mithin auch nicht in "V liegen. Die Ebene Y hat daher mit der Strahlenfläche keine Erzeugende gemein. Ziehen wir in V einen beliebigen Strahl q, so können wir von demselben sofort behaupten, dass er mit der Fläche keinen Punkt gemein habe; es wäre denn, dass q durch S geht, in welchem Falle q auch nur deu Punkt S mit der Flächo gemein hätte. In Figur 20 sei eine Parallelstrahlenfläche und Uj als die erste Spur einer Scüeitelebene gegeben; u2 soll construirt werden. Wir nehmen auf Jjj, einen beliebigen Punkt a an und ziehen durch denselben die Gerade « S, welche in unserem Falle einen Strahl p giebt, der zu deu Flächenstrahlen parallel ist, weil S unendlich ferne Üogt. .Nun ist die Ebeue durch die zwoi sich schneidenden Geraden tJi und p vollkommen bestimmt, und es kann daher ÜJ2 ermittelt werden. Bei unserer Annahme ist p eine Zweierspurparallele, daher muss üj durch den Axenpunkt gehen und zu p2 parallel sein. Die Leitlinie liegt in der ersten Bildebene, folglich ist (Jj der Schnitt von U mit der Basisebene und hat mit dem kreise die Punkte a und b gemein. Bio Flächenstrahlen, welche diesen Punkten entsprechen, resultiren als der Schnitt von U mit der Strahlenfläche. Nehmen wir in der Ebene U cino beliebige Gerade fl y au, so muss diese, da jede Gerade einer Ebene jede andere Gerade derselben Ebene schneidet, auch dio Flächenstrahlen a, b in den Punkten A, B schneiden, uud diese Punkto müssen wir als die Schnitte der Geraden (i y mit der Strahlenfläche bezeichnen. Bio Punkto A und B liegen auf der Fläche; die Strecke A II ist daher eine Sehne der Fläche. Bie Punkte der inneren Strecke A ll liogon innerhalb und alle anderen Punkte des Strahles fl y liegen ausserhalb der Fläche. Zu demselben Ergebnisse gelangen wir bei jeder anderen in U liegenden Geraden, wenn sie nicht durch den Scheitel geht. Bio Strahlen a und b enthalten alle Punkto der Ebouo U, welche auf der Fläche liegen, und theilen alle übrigen Punkto dieser Ebene in zwei Gruppen; die zwischen deu Strahlen a und b liogendon Punkte befinden sich innerhalb und alle übrigen Punkte dor Eoeue liegen ausserhalb der Strahlenfläche. Ist die Leitlinie geschlossen, so können wir von keinem Punkte ausserhalb zu einem innerhalb liegenden Punkto gelangen, ohne die Flächo zu überschreiten. Jede in II liegende Gerado wird, wenn sie nicht durch den Scheitel geht, eine Sekanto der Flächo sein, und auf jeder Sekante liegt eine Sehuo der Fläche. Fassen wir dio vorigen Wahrnehmungen zusammen, so orkon-nen wir, dass die Scheitelobonen an der Strahlenfläche entweder vorüber gehen, oder dieselbo schneiden. Im ersteren Falle geht dor Schnitt der Scheitelebene an der Leitlinio vorübor; im zweiten ist er eine So* cauto derselben. Neben diesen Lagen der Sohoitolobene müssen wir auf einea Grenzfall ganz besonders liücksioht nehmen. In Fig. 21 wurde die Leitlinie einer Strahlenfläclie in der ersten V\ Bildebene angenommen und tfj als die erste Spur einer Scheitelebene so gezogen, dass sie mit der Leitlinie nur einen Punkt gemein hat, und die diesem Punkte zunächst liegenden Theile von üj auf derselben Seite der Leitlinie liegen. Unter dieser Voraussetzung muss Uj eine Tangente an die Leitlinie und a ihr Berührungspunkt sein. Die Scheitelebene U hat mit der Fläche nur den Strahl a Ö gemein; wäre noch ein zweiter Strahl möglich, welchen diese Ebene mit der Fläche gemein hätte, so müsste demselben oin von a verschiedener Punkt der Leitlinie entsprechen, der ebenfalls auf Uj liegen müsste, was aber der Voraussetzung widerspricht. Ziehen wir in IJ oinen beliebigen Strahl p, so muss er notwendig den Strahl S a in einem Punkte A schneiden. A ist der einzige Punkt, welchen p mit der Stralxlenfläche gemein hat, und die diesem Punkte zunächst liegenden Theile von p liegen auf derselben Seite der Fläche. Eine Gerade von dieser Eigenschaft wollen wir eine Flächentangente und A ihren Berührungspunkt nennen. Wären die dom Punkte A zunächst liegenden Theile von p nicht auf derselben Seite der Fläche, so müsste es noch einen zweiten Punkt geben, welchen p mit der Fläche gemein hätte, weil man von keinem innerhalb liegenden Punkte zu einem ausserhalb gelegenen gelangen kann, ohne die Fläche zu überschreiten. Wir können diesen Beweis auch so führen: Wenn die dem Punkte A zunächst liegenden Theile von p nicht auf derselben Seite der Strahlenfläclie lägen, so könnten auch die dem Punkte a zunächst liegenden Theile von Uj nicht auf derselben Seite der Leitlinie liegen, was gegen die Voraussetzung wäre. Denn jedem Punkte von p können wir einen ganz bestimmton Punkt von Ui dadurch zuweisen, dass wir die ersteren Punkte von S aus auf Ifj projicireu, und alle Punkte eines solchen projicirenden Strahles sind in Bezug auf die Strahlenfläche gleichliegend, d. h. sie liegen alle entweder ausserhalb oder innerhalb der Fläche, p ist eine beliebige in der Ebene U gewählte Uerade, und wir könnten daher ebenso von jeder anderen Geraden der Ebene (J zeigen, dass sie eine Flächentangente sei, und einen in Sa liegenden Punkt zum Berührungspunkte habe. Die Ebene U ist daher der geometrische Ort aller an die Strahlenfläclie möglichen Flächentangenten, deren Berührungspunkte in S a liegen. Eine Ebone von dieser Eigenschaft soll eine Tangentialebene und S a ihr geradliniges Berülirungselement heissen. Die Ebene U hat mit der Strahlenfläclie nur den Strahl S a gemein, und alle diesem Strahle zunächst liegenden Theile der Ebene liegen auf derselben Seite der Fläche. Aus dieser bemerkenswerten Eigenschaft der Tangi-rungsebeno wollen wir noch eine weitere Folgerung ziehen. Denken wir uns eine beliebige Ebene V, welche U in einer Geraden q, das Berührungsolement fc> a in dem Punkte B und die Strahlenfläche in einer Curvo K schneidet, q hat mit K den Punkt B gemein, und es müssen auch die diesem Punkte zunächst liegenden Theile von q auf derselben Seite der (Jurve K liegen. Daraus geht aber hervor, dass q eine Tangente der Schnittcurve K und B ihr Berührungspunkt sei. Wenu wir eine neue Basisebone einführen, so muss demnach ihr Schnitt mit U ebenfalls eine Tangente au die neue Leitlinie sein, und der Berührungspunkt muss auf dem Strahle S a liegen. Bei der Ableitung der Berührungsebenen an Strahlenflächen wurde vorausgesetzt, dass an die Leitlinie Tangenten möglich sind, mithin kann von Tangirungsehenen nur bei Kegel- und Cylinderflächen die liede sein. Gleichwohl giebt es auch bei Pyramiden und Prismen ein Analogon. In Fig. 22 wurde ein iu der ersten Bildebene liegendes 4Eck als Leitlinie einer Strahlenfläche angenommen. Durch a, wurde wie vorhin üj als die erste Spur einer Scheitelebene so gezogen, dass die dem Punkte at zunächst liegenden Theile der Spur auf derselben Seite der Leitlinie liegen. Die Ebene U hat mit der Strahlenfläche nur die Erzeugende a gemein, und es sind auch hier die dom Strahle a zunächst liegenden Theile der Ebene u auf gleichnamiger Seite der Prismenfläche. Liese Ebene soll eine Grenz - oder Bandebene heissen. Denken wir uns nämlich jene Ebenen, welche parallel zu U gelegt werden können, so bildet die Ebene U die Grenze zwischen don Ebenen, welche die Fläche schneiden, und jenen, welche an derselben vorüber gehen. Bei einer Pyramidenfläche erstreckt sich dieser Begriff der Grenze nur auf einen Mantel der Mache. Diese Grenzebenen werden uns bei don verschiedenartigen Aufgaben über Pyramiden- und Prismenflächen denselben Dienst erweisen, wie die Berührungsebenen an Kegel- und Cylinderflä-ohen, aber merken müssen wir uns, dass zwischen den Grenzebenen bei Pyramiden und Prismen und den Tangentialebenen an Kegel und Cylinderflächen ein wesentlicher Unterschied herscht, welcher besonders hervorzuheben ist. ln Figur 21 ist tfj eine Tangente an die Leitlinie, welche in dem Berührungspunkte at stetig gekrümmt ist. In diesem Punkto ist nur eino einzige Tangente an die Leitlinie möglich, und wir können uns ebenso gut vorstellen, die Tangente habe mit der Curve ein Element, d. h. ein kleines Bogenstück, welches mit der zugehörigen Sehne merklich zusammenfällt, gemein. Dem entsprechend ist auch die Strah-lentiäche stetig gekrümmt und hat mit der Ebene U ein geradliniges Flächenelement gemein, d. h. zwei unmittelbar auf einander folgende Flächenstrahlen, die wir sinnlich wahrnehmbar nicht mehr zu trennen vermögen, obgleich durch diese zwei sich schneidenden Geraden eine E-Fig. 22 bene, die Tangentialebene nämlich, vollkommen bestimmt ist. In Figur 22 bildet die Leitlinie im Punkte a, eine Ecke; ut hat mit der Basis nur den Punkt gemein, und wir könnten ausser noch unzählig viele Gerade in der ersten Bildebene ziehen, welche mit der Leitlinie auch nur diesen Punkt gemein hätten. Ebenso hat die Ebene U mit der Strahlentiächo nur die Kanto a gemein, und es sind wieder unzählig viele Ebenen denkbar, welche dieselbe Eigenschaft zeigen, wie z. 13. die in Fig. 22 ersichtlich gomachto Ebene V. Diese Ebenen haben mit der Strahieniiäche lediglich einen Strahl gemein; von einer Berührung in der zuvor erläuterten Bedeutung kann liier keine Sprache sein. Dagegen können wir von den Tangentialebenen behaupten: Die Tangential- oder Berührungsebene hat mit der Strahlonflä-clie ein geradliniges Flächenelement gemein und berührt sio in jedem Punkte desselben. Sollen Tangentialebenen an Kegel- oder Cylinderflächcn unter gegebenen Bedingungen construirt werden, dann erinnern wir uns, dass der Schnitt der Bcrührungsob.ene mit der Basiaebene eiuo Tangento an dio Leitlinie, und der dem Berührungspunkte entsprechende Flächenstrahl das Berührungselement sei, und durch diese zwei sich schneidenden Geraden ist die Tangentialebene bestimmt. Jede Berührungsebene enthält den Scheitel der Fläche; wir können uns daher auch merken, dass durch die an die Leitlinie gezogene Tangente und den ausserhalb liegenden Punkt S die Berührungsebene an die Strahlenfläche vollkommen bestimmt sei. Wäre zu entscheiden, ob eine gegebene Scheitelob ene U eine Berührungsebene der Strahlenfläche sei, so bringe man U mit der Ba-sisebene zum Schnitt, und wenn diese Gerade die Leitlinie berührt, so ist U eine Berührungsebene der Strahlenfläche. Aufgaben: 1. Ein in der ersten Bildebene liegender Kreis ist Fig.23 die Leitlinie eines Kegels von der Spitze S. Lurch den gegebenen Punkt A sollen die möglichen Berührungsebenen au den Kegel gelegt werden. Ziehen wir die Scheitellinie S A, so erhalten wir sofort eine Gerade, welche in der gesuchten Ebene liegt, weil die Punkte S und A darin liegen. Bringen wir den Strahl S A mit der Basisebene zum Schnitt, so muss durch diesen Punkt d' die Schnittlinie gehen, welche die gesuchte Ebene in der Basisebene erzeugt, und wir wissen, dass diese Gerade eine Tangente der Leitlinie sei. Die von an den Kreis möglichen Tangenten geben mit Rücksicht auf unsere spezielle Annahme sofort die ersten Spuren der Berührungsebenen U und V, welche beide der gestellten Aufgabe entsprechen. Xotiren wir die Berührungspunkte a und b, so erhalten wir in a S und b S. Die Berührungselemente dieser Ebenen. Ziehen wir durch S die Einserspurparallelen S a und S ß, suchen ihre zweiten Spurpunkte a2 und ß2, so können wir auch die zweiten Spuren der gesuchten Berührungsebenen construiren. Wären von c), an dio Leitlinie keine Tangenten möglich, dann gäbe es auch durch A keine Berührungsebenen an die Fläche, in welchem Falle A innerhalb derselben läge. Was liesse sich von A behaupten, wenn von a'2, b2 b'2 , • • • halbirt, folglich entspricht jeder Strecke des einen Systems eine parallele und gleiche Strecke in dem anderen. Das Gebilde a2 b> C2 ist daher congrucnt mit a'2 b'2 c 2 . Systeme von dieser Eigenschaft und Lago sollen ccntrische Gebilde heissen und S2 das Centrum oder der Mittelpunkt ihrer Lage. Von centrischen Gebilden sagt man auch, dass sie involutorisch liegen, d. h. es sind dies solche in einandor liegende Gebilde, deren Punkte in einer bestimmten Ordnung genommen, einander doppelt entsprechen. Das folgende Beispiel soll uns den Begriff dor involutorischen Lage klarer machen. In der ersten Bildebene liegt (Fig. 35) ein Quadrat a b C (1 als Piff-35 Basis einer senkrechten Pyramidonfläche von dem Scheitel S. Es soll der Schnitt dieser Strahlenfläche mit jener zu der ersten Bildebene parallelen Ebene U gesucht werden, welche von S ebenso weit absteht als die erste Bildebene. Der Schnitt a' I/ c' , b2 S2, c2 S2,.. . . liegen die verwandten Punkte a'2) b'2, c'2,............ Construiren wir in a2, b,, die Tangenten p2, tj2, an das zweite Bild der Leitliuie und hiezu die Parallelen durch a'2, b2,. . . , so sind dies die entsprechenden Tangenten an das Bild der Schnittcur-ve, welches nun leicht und sicher gezeichnet werden kann. Ebene und zur Basis geneigte Schnitte der Parallelstralilenfläclien. Es sei Fig. 38 das in der ersten Bildebene liegende Yiereck Fig. 38 a b C d die Leitlinie einer Prismenfläche, deren geradlinige Erzeugende einer gegebenen Richtung parallel sind; man soll den Schnitt dieser Fläche mit der doppelt geneigten Ebene U construiren. Bringen wir die Kante a mit U zum Schnitt, so erhalten wir a',, a'2) die Bilder eines dem Schnittpolygon gehörigen Punktes a'. Die Kanten a und d bestimmen eine Ebene, deren Schnitt mit U wir nun suchen wollen, ä, d1 bis zum Schnitt mit tfj verlängert giebt den Punkt ßj, welcher mit a' die Schnittgerade bestimmt. Hievon wollen wir die auf der Seitenfläche a (1 liegende Strecke besonders hervorheben und ihren Schnitt auf der Kante <1 mit d' bezeichnen. Auf dieselbe Art können wir auch die übrigen Seiten und Ecken des Schnittpolygons erhalten. Beziehen wir nun das erste Bild der Leit- und der Schnittlinie projcctivisch auf einander, so finden wir, dass Punkten und Geraden eines Gebildes wieder Punkte und Gerade in dem anderen entsprechen. Die verwandten Punkte liegen auf parallelen Strahlen (den Bildern der Flächenstralilen), und je zwei verwandte Gerade begegnen sich in einem Punkte einer fixen Geraden (dem Schnitte von U mit der Basisebene), welche wir gemeinhin als die Begegnungsgerade bezeichnen wollen. Da parallelen Ebenen parallele Schnitte und diesen wieder parallele Bilder entsprechen, so müssen parallelen Geraden in einem Systeme wieder parallele Gerade in dem anderen Systeme entsprechen. Geometrische Gebilde, welche durch die oben aufgezählteu Eigenschaften der Lage sich auszeichnen, heissen perspectivisch affine Gebilde, und der Grad ihrer projectivischen Verwandtschaft wird perspec-tivische Affinität genannt. 3 Wenn wir einen beliebigen Punkt in der Zeichnungsfläche an-üehmen, so können wir denselben dem Systeme der Basis oder des Schnittes zuweisen und suchen seinen verwandten Punkt in dem anderen Systeme nach den Gesetzen der perspectivischon Affinität, unbekümmert um jeden stereometrischen Zusammenhang. In Fig. 38 wurde A, beliebig angenommen und dem Systeme der Basis zugewiesen; der verwandte Punkt A’j soll gesucht werden. Zu diesem Behufe ziehen wir eine beliebige, dem System der Basis gehörige Gerade durch Alt z. B. die Gerade d, A,, und bezeichnen ihren Schnitt auf der Begcgmingsgeraden mit r\. Auf der Yerwandtcn Geraden y Y noch beliebige andere Ebenen legen und sodann durch einfache Con- struction von parallelen Geraden sofort Punkte des ersten Bildes del' Curve finden. Durch den Mittelpunkt Oj des Kreises legen wir auch eine dieser parallelen Ebenen V, welche den Kreis nach dem Durchmesser C'j I),, den (Jylinder nach den Flächenstrahlen p, q und die Ebene U nach der durch o' gehenden Geraden C' 1)' schneidet. Die perspectivische Zuordnung dos ersten Bildes der Schnitt-curve zu der Leitlinie ist nun durch diese Construction recht augenfällig. Jedem Punkte der Ellipse entspricht ein bestimmter Punkt im Kreise und jo zwei zugeordnete Punkte liegen auf parallel projicirenden Strahlen, nämlich den ersten Bildern der Flächenstrahlen. Parallelen Sehnen im Kreise entsprechen wieder parallele Sehnen in der Ellipse. 3TB ist ein Durchmesser beider Gebilde und der Halbirungspunkt Oj ihr gemeinsamer Mittelpunkt. D'j ist der zu AB conjugirte JJiameter der Ellipse, welchem im Systeme des Kreises ebenfalls der zu A 11 conjugirte Kreisdurchmesser €j entspricht. "Wir können daher auch umgekehrt eine durch ein Paar conju-girter Diameter bestimmte Ellipse als das perspectivisch affine Bild eines Kreises, welcher über einem der Diameter als Durchmesser beschrieben wurde, ausehen; dieser Diameter entspricht sich selbst und der andere dem conjugirten Durchmesser im Kreise. Die folgenden Beispiele sollen eine Anwendung hievon zeigen. Von einem ausserhalb liegenden Punkte P (Fig. 43) an eine Eig. 13 durch zwei conjugirte Diameter A B und C D bestimmte Ellipse die möglichen Tangenten zu ziehen und deren Berührungspunkte zu ermitteln. Den über A B als Durchmesser beschriebenen Kreis betrachten wir als das perspectivisch affine Bild der gegebenen Ellipse, ziehen den Kreisdurchmesser €' 1) _j_ A B und ordnen C und C' als vorwandto Punkte einander zu, wodurcli auch die Üiohtung der parallel projiciren-den Strahlen bestimmt ist. Nun suchen wir den zu 1* verwandten Punkt 1*' im Systeme des Kreises, ziehen von da die Tangenten an den Kreis, deren verwandte Gerade im anderen Systeme die gesuchten Tangenten und die zu IV, S’ verwandten Punkte deren Berührungspunkte R und S geben. Parallel zu der Geraden 1 (Fig. 44) an eine durch zwei conjugir- pig, 44 te Diameter A B und € ü bestimmte Ellipse die möglichen Tangenten zu ziehen und ihre Berührungspunkte zu ermitteln. Wir beziehen die Ellipse auf den über A B als Durchmesser beschriebenen Kreis und treffen die Zuordnung wie zuvor. Zu 1 suchen wir im Systeme des Kreises die verwandte Gerade 1' und ziehen parallel hiezu dio Gerade p', welche den Kreis in dem Punkte I*' berührt und in y die Begegnungsgerade schneidet. Die verwandte Gerade im Systeme der Ellipse geht durch y parallel zu 1 und giebt sofort eine der gesuchten Tangenten p, deren Berührungspunkt P auf dem parallel projicirenden Strahle P' P liegt. Die andere Tangente finden wir eben so, oder wir erinnern uns, dass die Berührungspunkte paralleler Tangenten einen Diameter der Ellipse bestimmen, ziehen die Gerade P Oj Fig. 45 Fig. 46 machen oR - oP und erhalten R, den Berührungspunkt der zweiten Paralleltangente r. Die Axen einer durch zwei conjugirte Diameter A B und C D (Fig. 45.) ge (/ebenen Ellipse zu amstruiren. Wir beziehen wie in den vorigen Beispielen die Ellipse als perspectivisch affines Bild auf den über A B als Durchmesser beschriebenen Kreis. Jedem Paare conjugirter Diameter des Kreises entspricht im anderen Systeme wieder ein Paar conjugirter Diameter der Ellipse, weil in beiden Systemen jeder Durchmesser die Sehnen, welche parallel zu dem anderen gezogen werden, halbirt. Im Kreise stehen alle con-jugirten Durchmesser senkrecht auf einander, in der Ellipse giebt es hingegen nur ein einziges Paar conjugirter Diameter, nämlich die Axen, welche dieselbe Eigenschaft zeigen. Wir haben somit in dem Systeme des Kreises dasjenige Paar conjugirter Durchmesser zu suchen, welches sich im zweiten Systeme wieder rechtwinklig projicirt. Da aber parallelen Geraden eines Systeme« wieder parallele Gerade in dem anderen entsprechen, so reducirt sieh die vorgelogte Aufgabe auf die folgende: In dem Systeme des Kreises einen rechten Winkel so zu construiren, dass ihm im zweiten Systeme wieder ein rechter Winkel entspricht. Errichten wir im Halbirungspunkte der Strecke € C' eine Normale, so wird ihr Schnitt co mit der Begegnungsgeraden der Mittelpunkt eines Kreises Bein, welcher durch die Punkte C, € geht und die Begegnungsgerade in in und n schneidet. Dem Winkel m C' n im Systeme des Kreises entspricht offenbar im Systeme der Ellipse der Winkel m C 11, und beide sind als Winkel im Halbkreise rechte Winkel. Ziehen wir durch o Parallele zu m €' und 11 C', so erhalten wir in a' b' und c d'jenes Paar conjugirter Kreisdurchmesser, deren verwandte im anderen System zu m C und u C parallel sind und folglich die Axon liefern. Suchen wir zu a', b', c' und d', die verwandten Punkte, so bestimmen diese a b und C d als die grosse und die kleine Axe der gegebenen Ellipse. Es wird nicht schwer fallen, mit Rücksicht auf die vorigen Aufgaben die folgende selbständig zu lösen: „An eine durch zwei conjugirte Diameter gegebene Ellipse Tangenten zu ziehen, welche mit der grossen Axo dersolbon bestimmte Winkel einschliessen.“ Zum Schlüsse dieses Kapitels noch eine kleine Bemerkung über dio Involution perspectivisch affiner Systeme. Zwei perspectivisch affine Systeme sind vollkommen bestimmt, sobald das Gebilde eines Systems, dio Begegnungugerade und ein verwandtes Punktpaar gegeben sind. In Eigur 4fi wurde das Parallelogramm a b C d als das Gebilde dos einen Systemes, die Begegnungsge-rade (i und b‘ als der zu b verwandte Punkt so angenommen, dass dio Strecke b b' durch den auf der Begegnungsgeraden erzeugten Schnittpunkt cc halbirt wird. Suchen wir nun nach den Gesetzen der perspec-tiviachen Affinität das verwandte Gebilde n' b' c’ d", so erkennen wir sofort, dass auch die parallelen Strecken a a', c c', d d' durch die Be- Žegnungsgerade halbirt werden, und wir könnten daher die affinen Gebilde a b c d und a' b’ c' d' eben so gut als Erzeugnisse der schief-axigen Symmetrie auffassen. Bezeichnen wir kurzweg a b C d als das Gebilde des ersten und a' b' c' d' als das Gebilde des zweiten Systems. Mit b’ lassen wir einen Punkt in des ersten Systems zusammen fallen und suchen seinen verwandten Tunkt im zweiten Systems. Zu diesem Zwecke ziehen wir m c als eine Ge- rade des ersten Systeme und notiren ihren Schnitt co auf der Begegnungsgeraden. Durch c" ra ist die zu in c verwandte Gerade bestimmt, welche den durch in gezogenen projicirenden Strahl notwendig in b schneidet, nur müssen wir denselben als dem zweiten Systeme angehörig betrachten und mit m' bezeiclmen. Dasselbe gilt von den übrigen Punkten; wenn wir daher die beidon Parallelogramme als ein dem ersten Systeme angehöriges Gebilde a b c d, lil 11 0 p betrachten und hiezu die perspectivisch affine Figur a' b' c’ d', lil' n' o' p' construiren, so finden wir, dass sie in der ersteren liegt, ohne mit ihr identisch zu sein; denn es liegen auch hier je zwei verwandte Punkte auf projicirenden Strahlen, welche sich in einem unendlich fernen Centrum S schneiden, und je zwei verwandte Gerade schneiden sich auf der fixen Geraden ß. Wir sagen von diesen Systemen, dass sie involutorisch liegen, nennen ß ihre Involutionsaxe und S das unendlich ferne Centrum ihrer involutorischeu Lage. Alle Gebilde der normalen und schiefaxigen Symmetrie sind mithin perspectivisch affine Gebilde, welche involutorisch liegen. Ziehen wir in einer Ellipse, welche als das Gebilde des ersten Systems gegeben sei, ein Paar conjugirter Diameter A B und C I). A B falle mit der Begegnungsgeraden zusammen und dem Punkte C soll im zweiten Systeme lf, welcher mit D zusammenfällt, als der verwandte Punkt entsprechen. Hiedurch ist das Gebilde dos zweiten Systems vollkommen bestimmt; suche es! Ebene und zur Basis geneigte Schnitte der Centralstralilenfläclien. Ein in der ersten Bildebene liegendes Quadrat ab cd (Eig. 47) Fig. 47 sei die Leitlinie einer Pyramideutläche von der Spitze S; es soll der Schnitt dieser Eläohe mit der doppelt geneigten Ebene II gesucht werden. Eine einfache Auflösung gestattete diese Aufgabe, wenn die schneidende Ebene zu einer Bildebene projicirend wäre, und wir kön- nen daher den gegebenen Fall auf jenen zurück führen. Zu diesem O Behüte ziehen wir ,X;i senkrecht auf u,, suchen tl3 urul das dritte Bild der Pyramide. In der dritten Bildebene übersehen wir die Lage der Ebene U zu der Pyramidentlächc ganz deutlich. In unserem Falle hätte eine zu der schneidenden Ebene II parallele Scheitelebene nur den Scheitel mit der Strahlenfläche gemein, woraus wir andererseits den Schluss ziehen, dass II alle geradlinigen Erzeugenden der Pyramide in endlicher Ferne schneide und in Folge dessen dieser Ebene auch ein O geschlossener Schnitt entsprechen müsse. In U3 notiren wir unmittelbar a' b'3( c'3 und d'3 als die dritten Bilder der Eckpunkte dos Schnitt* polygons. Dio zugeordneten oraton Bilder liegen in den Ordinalen und in den ersten Bildern der Kanten. Ergäben sich hier schiefe Schnitte, so wissen wir, dass das Theilungsverhältnis auf dio Bilder unverändert übergeht, und können sohin a',, b',, c', und d', immer sicher bestimmen; a'2) b'.,, .... liegen zugeordnet und in den zweiten Bildorn der entsprechenden Kanten. Trifft man auch hier auf unsichere Schnitte, so mögen die wahren Grösson der Ordinaton dor dritten Bildebene entnommen werden. Für die Richtigkeit der ho ausgoführten Construction haben wir nun eine vielseitige Controle. Die Seite a' (1' des Schnittpolygons ist offenbar der Schnitt der Seitenebeuo aS(l mit dor Ebene U; verlängert man dio Basiskante a, b1 bis zu dem auf ut gelegenen Punkte d\ so gehört dieser offenbar derselben Schnittlinie an, und müssen daher a, dj und a'[ (1\ bei gehöriger Verlängerung sich in d' troffen. Ebenso sind auch die Punkte a, ft und y, welche die Verlängerungen der Basiskauten at bj , Cj (Ij und bt c, auf U[ erzeugen, die Begegnungspunkte für a'i b'i , c'i d'i und b'i C i . Von dieser Eigenschaft der Lago hätten wir übrigens gleich ursprünglich einen constrnctiven Gebrauch machen können, indem wir einen Punkt des Schnittes auf gewöhnliche Art suchen und die übrigen mittels der Punkte a, ft, y, d. Das erste Bild des Schnittes a\ b'i c i <1 i und das Basispolygon fti bi C-i tli erweisen sich wieder als projectivisch verwandte Figuren. Jedem Punkte des einen Gebildes entspricht wieder ein Punkt in dem anderen, und je zwei verwandte Punkte liegen auf projicirendcn Strahlen, welche sich in dom ondlich liegenden (Jentrum Si schneiden. Einer Geraden entspricht im anderen Syteme wiodor eine Gerade, und je zwei verwandte Gerade schneiden sich auf einer fixen Geraden, dem Schnitte von U mit der Basisobene. Den Grad projectivischer Verwandtschaft, welcher durch diese Eigenschaften der Lage gekennzeichnet ist, nennen wir dio perspectivische (Jollineation. Bei collinearen Figuren treffen wir eine viel grössere Allgemeinheit geometrischer Verwandtschaft als in den früher betrachteten Fällen, welche als spezielle Fälle aus der perspocti-vischen Callincation hervorgehen. Hier entsprechen parallelen Geraden im Allgemeinen nicht parallele Gerade; auch das Theilungsverhältnis der Streckon geht hier auf dio verwandten Strecken verändert über; dagegen können endlich liegende Punkte mit unendlich fernen verwandt sein, einem centralen Strahlenbüschel ein Parallelstrahlonbüschel einer Strecko des einen Systems ein Halbstrahl in dem anderen entsprechen. Auf diese Eigenschaften werden wir im folgenden näher eigohon, wollon aber zuvor noch dio Umlegung des Schnittes und ihre Verwandtschaft zu den vorhandenen Gebilden betrachten. Legen wir den Schnitt a' b' c' d' um üi als Drehungsaxe in die erste Bildebene um. Zu diesem Zwecko werden durch a'i, b'( . . . die Spuren der Dreluingsebenen senkrecht auf Ui gezogen, die Drehungshalbmesser etwa der dritten Bildebene in wahrer Grösse entnommen und von den Drehungsmittelpunkten auf den Spuren abgeschnitten. liiodureh erhalten wir als wahre Grösse des Schnittes das Polygon a0 b„ (‘0 (]0, dessen Seiten durch die auf Ü! liegenden Begegnungspunkte a, ft, y, & gehen müssen, und wir sehen auch unmittelbar ein, dass dio Umlegung a0 b0 c0 d0 und das erste Bild des Schnittes a\ b\ c'i d\ zwei perspecti-visch affine Gebilde sind. Nachdem wir also einen Punkt in der Umlegung bestimmt haben, können die übrigen nach den Gesetzen der per-spectivischen Affinität gesucht werden. Beziehen wir die Umlegung a0 b0 c0 (10 auf das Basispolygon aj b, c, du so finden wir, dass jo zwei einander entsprechende Gerade sich auf tfj als Begegnungsgeradon schneiden. Gelingt es uns zu zeigen, dass auch hier je zwei verwandte Punkte auf projicirenden Strahlen liegen, die sich in einem gemeinsamen Cetrum schneiden, dann haben wir die perspectivisclie Collineation auch zwischen dem ersten Bilde der Basis und der Umlegung a0 b0 o0 d0 nachgewiesen. Der Strahl, welcher durch den Punkt a‘ im Raume und seine Umlegung a0 bestimmt ist, liegt in der Drehungsebene des Punktes a und schliesst, wie aus der dritten Bildebeuo sofort ersichtlich, mit der Ebene U und mit der ersten Bildebene gleiche Winkel ein; wir wollen a' a0 den congruent projicirenden Strahl von a' nennon. Ziehen wir also durch a\ b , c’, d , die congruent projicirenden Strahlen, so sind diese unter einander parallel, und iure ersten iSpurpunkte geben ebenfalls a0, b0, t*0, d0. Denken wir uus nun durch die Kante a S und den Strahl a'a0 eine Eoene gelegt, so ist a,a0 die erste Spur derselben. Legen wir ebenso durch jede folgende Kante und den ihremSchnittpunkto entsprechenden oon-grueut projicirenden Strahl Ebenen, so sind bt b0, Ct C0 , und d, d0 die ersten Wpuren derselben. Alle diese Eoenen haben den Punkt S, folglich auch den Strahl p gemein, welcher durch S parallel zu den congruent projicirenden Strahlen gezogen wurde, und durch seinen ersten Spurpunkt Mi müssen daher auch die ersten Spuren Uj a0, bt b0, c0 und dt d0 gehen. M, ist also das Oollineationscentruni für das erste Bild der Leitlinie und die Umlegung des Schnittes a0 b0 c0 d0. Diese morkwürdige Beziehung der Umlegung zu der Basis kön-nou wir zur directen Bestimmung der wahren Grösse des Schnittes benützen, ohne zuvor die Bilder zu construiren. Wir suchen die Umlegung eines Eckpunktes wie gewöhnlich, bestimmen das Oollineationscon-trum Mj und finden die übrigen Punkte nach den Gesetzen der per-spcctivischen Uollineatiou. Dieses Verfahren ist namentlich bei Kegelflächen von besonderem Belange und practischem Worte. Die Mannigfaltigkeit iu der Gestaltung collinoarer Figuren werden uns die folgenden iSeispiele, wo die schneidendo Ebene zu einem oder zu zwei Flächenstrahlen parallel ist, noch besser veranschaulichen. In Fig. 48 sei ein iu der ersten Bildebene liegendes Viereck Fig. 48 abed als Lcitliuio einer centralen StrählonHäche von der Spitze S gegeben; es soll der Schnitt dieser Fläche mit einer Ebene U, welche zu einer Kaute der Pyramide parallel ist, gesucht werden. Legen wir durch die Kante a S, welche in der zweiten Bilde-bono zur Uontour des Bildes gehört, eine Scheitelobeno V und wäh« Ion sie der Übersichtlichkeit halber senkrecht zur zweiten Bildebene. Parallel zu V legen wir die Ebene U und suchen ihren Schnitt mit der Pyramidendäche. In der zweiten Bildebeuo projicirt sich der Schnitt in U~a, und wir notiron daselbst b'2, c'ä und d'2 als die zweiten Bilder jener Punkte, in welchen die Kanten b S, C S und d S die Ebene II schneiden. Die Kante a S ist parallel zu U; bei unserer speziellen Annahme ist auch a2 S2 parallel zu tJ2, und wir bezeichnen daher den © unendlich fernen Schnitt von a2 S2 mit u2 durch das Symbol a'2oo . Die ersten Bilder von b', c und d' liegeu in den Ordinalen und in den entsprechenden Bildern der Kanten. Die Punkte a und /J, in welchen jjj' das Basispolygon schneidet, gehören der Schnittlinie an, und weil parallelen Ebenen parallele Schnitte entsprechen, so müssen bei richtiger Zeichnung die durch d\ a und b i ß bestimmten Geraden parallel zu ai Si sein, und haben daher mit »1 Si den unendlich fernen Punkt gemein, welchen wir symbolisch mit a'i oo bezeichnen wollen. Die ersten Bilder der Basis und des Schnittpolygons erkennen wir wieder als zwei perspectivisch colliueare Gebilde, denen Si als Projectionscentrum und tli als Begegnungsgerade entspricht. Das collineare Bild des Viereckes ai bt Ci di ist wieder ein Viereck, von welchem 3 Punkte endlich liegend und der vierte unendlich ferne ist. Dem Punkte at entspricht a’i <*>, der Strecke (lt at entspricht der Halbstrahl d'i a\ oo und der Strecke bi at der Halbstrahl b'! a'i oo. Dieses Beispiel zeigt uns deutlich, dass die Vorstellung, parallele Gerade hätten einen unendlich fernen Punkt gemein, eine wol begründete sei. Das Gebilde ai bi Ci di ai ist geschlossen, aber nichts hindert uns daran, auch das verwandte Gebilde a't oo b\ c't d'i a'i oo uns ebenfalls als ein geschlossenes vorzustellen, wobei wir allerdings a'i oo als einen Eckpunkt des Polygons betrachten müssen. Einen noch allgemeineren Fall in der Gestaltung collinearer Fi-. 49 guren wollen wir in dem folgenden Beispiele Fig. 49 kennen lernen. Daselbst wurde in der ersten Bildebene das Viereck abed als Leitlinie einer Pyramidentläche von der Spitze S angenommen. Es soll der Schnitt dieser Fläche mit einer Ebene U gesucht werden, die wir abermals der Eiufachheit wegen vertikal projicirend und noch überdies parallel zu einer Scheitelebene V, welche die Strahlenflache nach den Erzeugenden m S und n S schneidet, annehmen wollen. Unter dieser Voraussetzung müssen dem Schnittpolygon zwei unendlich ferne Punkte entsprechen, weil die Strahlen lil S und n S zu U parallel sind. In der zweiten Bildebene projicirt sich der Schnitt in o XJ2 uud wir notireu daselbst a'2 , b'2 , c'2 und d'2 als die zweiten Bilder jener Punkte, in welchen die Pyramidenkanten U schneiden. Der Punkt a' liegt auf dem zweiten Mantel der Pyramidenfläche, welcher diesmal von der Ebene U auch geschnitten wird. In den Ordinalen und in den entsprechenden ersten Bildern der Kanten ergeben sich a\ , b\ , e\ und d'x als die ersten Bilder der Eckpunkte des Schnittpolygons. Durch a'i b'i ist das erste Bild des Schnittes der Seitenfläche ab S mit U bestimmt, und die zweite Bildebene zeigt uns augenfällig, dass nicht die innere, sondern dio äussere Strecke a' b' dem Schnitte angehört; denn auf dieser liegt der unendlich ferne Punkt 111' ®, welcher dem zu U parallelen Flächenstrahle m H entspricht. Ebonso gehört die äussere Strcoke a' d' dem Öohnitto au; denn sio enthält deu unendlich fernen Punkt n'» , welchen dev zu U parallele Flächenstrahl 11 S erzeugt. Die durch a' b' bestimmte Schnittlinie muss zu dem Strahle m S parallel sein, weil beide demselben unendlich fernen Punkte 111' 00 zugeheu; e-benso ist auch die durch a" rt" bestimmte Gerade zu iTs parallel. Das erste Bild des Schnittes und der Leitlinie sind wieder zwei perspoctivisch collineare Figuren über deren Verlauf und Zusammengehörigkeit wir eine klare Vorstellung bekommen, wenn wir festhalten, dass zwei verwandte Punkte stets auf einem projicirenden Strahle liegen, welcher durch S( geht. Durchschreitet ein Punkt die innere Strecke von ai durch n' und über ß nach d, , so bewegt sich der verwandte Punkt von a't durch n'i <» und über ß nach d\ . Hieraus ist gleichzeitig ersichtlich, dass die Gerade ai bi nur einen unendlich fernen Punkt lll'i 00 haben kann, in welchem wir uns die äussere Strecke a'i b\ gerade so zusammenhängend vorstellen sollen, wie die verwandte Strecke ai bi im Punkte Illi . Dem geschlossenen Polygon a, bi c, di entspricht im anderen Systeme das Polygon a'i Vi c'i d\ , welches scheinbar aus zwei Theilen besteht, über deren Zusammenhang wir auf folgende Art uns orientiren können: Bewegt sich ein dem Systeme der Basis ent- sprechender Punkt von fli über Jlli nach bi , Ci , di und weiter hin durch 111 , bis er wieder in ai mit seiner Urlage zusammenfällt, so bewegt sich sein verwandter Punkt in dom anderen Systeme von il\ über m 1 00 nach b'i , c'i , d'i und weiter hin durch n'j <», bis er wieder in a'i mit seiner Anfangslage zusammenfällt. Die Verschiedenartigkeit der Gestalt und Lage perspoctivisch collinearer Gebilde hat ihren Grund in der Thatsachc, dass unendlich fernen Punkten des einen Systems endlich liegende Punkte im anderen Systeme entsprechen können. Wir wollen uns nun mit der Frage beschäftigen, ob und wie viele solcher Punkte es in jedem Systeme giebt und welche stereometrische Bedeutung dieselben haben. In Fig. 50 sei S der Scheitel einer Centralstrahlenfläche, und Fig. 50 die vertical projicirende Ebene U sei eine diese Fläche schneidende Ebene. Die erste Bildebene werde als die Basisobene vorausgesetzt, und die darin liegende Leitlinie hätte eine ganz allgemeine Lage und Gestalt, welche wir uns beliebig denken und vorderhand gar nicht ersichtlich machen wollen. Es soll vielmehr festgehalten werden, dass jeder Punkt der ersten Bildebene der Leitlinie, welche kurzweg das System der Basis heissen mag, augehören kann. Die Ebene W, welche durch S parallol zu U geht, schneidet die erste Bildebene in einer Geraden <11 , welche offenbar zu Ui parallel und mit W, identisch sein muss. Nehmen wir auf qt die beliobigen Punkte Xi , JTi , . . . als jene an, welche die Leitlinie unserer Strahl enttä che S mit, q gemein habe, und bringen die Flächenstrahlen S X, Sy,... mit U zum Schnitt, so erhalten wir die unendlich fernen Punkte x'oo, y'a>, . . , deren erste Bilder X'100, y'i 00 auf den ersten Bildern der Strahlen und ebenfalls in unendlicher Ferne liegen. Dem Schnitte von U mit der Strahlenfläche S, so wie auch dessen llorizontalprojection werden eben so viele unendlich ferne Punkte entsprechen, als die Leitlinie Punkte mit (|j gemein hat; denn q, ist jene einzige Gerade im Systeme der Basis, deren verwandtes Bild im zweiten Systeme in unendlicher Ferne liegt. Hat die Leit- linie mit qi keinen Punkt gemein, dann müssen alle Punkte des verwandten Gebildes endlich liegen. Wäre die Leitlinie eine Curve, welche (|! in einem Punkte berührt, so hätte das verwandte Gebilde einen unendlich fernen Punkt, und eine unendlich ferne Tangente. q, soll die Yerschwindungsgerade des Systems der Basis heisson. Die Ebene V, welche durch S parallel zur ersten Bildebene geht, schneidet U nach einer Geraden p', welche ebenfalls zur ersten Bildebene parallel sein muss. Denken wir uns auf p' die Punkte m', n',.. ., deren erste Bilder in', , 11', , . . . auf p't liegen müssen, als diejenigen, welche die in U liegende Schnittlinie mit p gemein hat, so sind die durch m' n' . . . gehenden Flächenstrahlen S 111', S il', .... zur ersten Bildebene parallel und ihre unendlich fernen Punkte llli 00, 111 00, .... müssen auf der Leitlinie liegen. Wir können nun bezüglich p' und p', dieselben Betrachtungen, wie zuvor mit q( , anstellen und kommen zu a-nalogen Resultaten, p'j ist die Yerschwindungsgerade in dem zu der Leitlinie colli near verwandten Systeme. Bei perspectivisch collinearen Gebilden giebt es also in jedem Systeme eine, aber auch nur eine Gerade, deren verwandte Gerade im zweiten Systeme in uneudlicher Ferne liegt, und die stereometrische Bedeutung derselben ist nun auch klar. Der Schnitt der parallel zu der schneidenden Ebene gelegten Scheitelebene mit der Basisebene giebt die Verschwindungsgorade im Systeme der Basis, und die Projection des Schnittes der parallel zur Basis gelegten Scheitelebene mit der schneidenden Ebene giebt die Yerschwindungsgerade des ändern Systems. Bezeichnen wir den Abstand Si von pY mit A und den Abstand der Geraden qi von der Begegnungsgeraden mit so kann leicht gezeigt werden, dass iiese Abstände gleich sind. In der zweiten Bildebene finden wir p'2 S2 ■= A q2 als Parallelogrammseiten. — Da p 2 S2 =■ A und A q2 = so muss auch A — /1' sein. Da parallelen Ebeuen parallele Schnitte und diesen wieder parallele Bilder entsprechen, so können wir den Satz aussprechen: Beiperspectivisch collinearen Systemen sind die Yerschwindungsgeraden zur Begegnungsgeraden parallel und haben von dieser und von dem Projectionscentrum beziehungsweise gleiche Abstände. Diese Verschwindungsgeraden führen uns zu sehr interessanten Resultaten. Betrachten wir z. B. das in der ersten Bildebene liegende centrale Strahlenbüschel li, Ti , ti , . . , dessen Scheitel a( auf der Verschwindungsgeraden der Basis liegt, als diesem Systeme angehörig und suchen das collinear verwandte Gebilde, so finden wir das Parallelstrahlenbüschel 1', , r j , t', . Der stereometrische Beweis hiefür ist auch leicht erbracht. Das Strahlenbüschel li , 1*1 , ti , . . . wird von S aus durch ein Ebenenbüschel projicirt, dessen Ebenen durch (I,S), (r, S), (t, S), . . . bestimmt sind. Der Träger oder die Axe dieses Ebenenbüschels ist die Gerade S fti und parallel zu derselben geht dio schneidende Ebene U, folglich schneidet sie diese Ebenen nach parallelen Geraden 1', r', t‘.denen auch dio parallelen Bilder l'i , r', , t'i . . . entsprechen müssen. .51 In Fig. 51 wiederholen wir unter denselben Gesichtspunkten wie früher die Figur 50, und der Scheitol S soll liier unter der schneidenden Ebene U liegen. Wir machen hier dieselben Wahrnehmungen, nur schneiden die Yerschwindungsgeraden p'i und qi die innere Strecke, welche den Abstand des Centrums Si von der Begegnungsgeraden ifj misst. Zugleich wurde in Fig. 51 ein Parallelstrahlenbüschel r(, ti . .. in dem Systeme der Basis angenommen und ersichtlich gemacht, dass sein verwandtes Gebilde im anderen Systeme das Centralstrahlenbüschel r'i , t'i , . . . ist, dessen Scheitel a'i auf der Yerschwindungsgeraden p'j und im Schnitte des parallel zu ri gezogenen projicirenden Strahles Si oo liegen muss. In Fig. 52 sei abermals in der ersten Bildebene die Leitlinie einer Centralstrahlenfläche, welche durch die vertical projicirende Ebene U geschnitten wird. S( , das erste Bild des Scheitels, wählen wir beliebig, S, liegt zugeordnet und wird im Halbirungspunkte der auf der o_ Ordinale liegenden Strecke m II, welche von der Bildaxe und u begrenzt wird, angenommen. Legen wir wie zuvor die Scheitelebenen Y und W, suchen alsdann die Yerschwindungsgeraden p'i und qi , so zeigt es sich, dass beide in einer einzigen Geraden zusammenfallen, und den Beweis hiefür giebt die Figur 52 selbst. Wird S als die Spitze und a, bt Ci als die Leitlinie einer Pyramidenfläche, deren Schnitt mit U gesucht wird, angenommen, so ziehen wir o die Bilder der Kanten a S, 1) S, 0 S und in lf2 ergeben sich unmittelbar a'a, b'a, C‘o als die zweiten Bilder der Eckpunkte des Schnittpolygons. Die ersten Bilder a i , I) i , Ci liegon zugeordnet. Das erste Bild des Schnittpolygons und die Basis at bi Ci sind zwei perspectivisch collineare Figuren, denen Si als Centrum und üj als Begegnungsgerade entspricht. Mit der Figur a'i b i C'i sei identisch» das in der ersten Bildebene liegende Dreieck a ß y, welches ebenfalls als Leitlinie einer Strahlenfläche von der Spitze S gelten soll. Bringen wir diese Fläche mit U zum Schnitt, so erhalten wir ein Dreieck a' ß y‘, dessen erstes Bild a'i ß\ y\ mit der früheren Leitlinie at bi Ci zusammenfallen muss. Denn die zweiten Bilder je zweier Kanten, wie z. B. Ua a 2 und a8 a'2-, bestimmen die Diagonalen eines Viereckes a_> «2 a'2 a'2 , dessen Gegenseiten a2 a'2 und u~i a'2 zu 111 11 parallel sein müssen. Die Figuren «i ßi und a'i ß\ y\ sind wieder zwei perspectivisch collineare Gebilde von dem Centrum Si, und üi ist ihre Begeguungsgerade. Betrachten wir nun die zwei Dreiecke ai bi Ci und ai ßt y{ als das Gebilde des einen Systems und suchen hiezu das collinear verwandte Gebilde a'i b‘i c 1 und a'i ß\ y\t so erhalten wir dieselbe Figur. Wir erkennen diese Gebilde sofort als ein involutorisches System und können nun den Satz aussprochen: ,Wenn die Verachwindungsgeraden zweier perspec-tivisch collinear er Gebilde zusammenfallen, so liegon diese in volu torisch. Einen Krcislcegd nach einer Ellipse zu schneiden. In Fig. 53 wurde in der ersten Bildebene ein Kreis als Leitlinie des Kegels S angenommen. Es soll der Schnitt dieser Fläche mit einer vertical proji- Fig. 52 cirenden Ebene TJ, deren Parallele Scheitelebene H mit dem Kegel nur den Scheitel S gemein hat, gesucht werden. In der zweiten Bildebene projioirt sich der Schnitt in xij'» und behufs einer übersichtlichen Darstellung des ersten Bildes ziehen wir zuvor durch S eine Gerade p, welche sowohl zu der schneidenden Ebe-ue U, als auch zu der Basisebene parallel ist. Nach der vorliegenden Annahme muss p zu Uj parallel und mithin auch senkrecht zu der zweiten Bildebene sein. Diese Gerade betrachten wir als die Axe eines Ebenenbüschels, von welchem wir einige Ebenen, wie z. B. V, e ersichtlich machen. Vi muss zu pt parallel sein und V» geht durch S2. Die Ebene Y schneidet die Strahlenfläche nach den Erzeugenden [i S und v S und die Ebene U nach einer Spurparallelen; im Schnitte beider bekommen wir fi' und v‘ als zwei Punkte des Schnittes und n' v‘ als eine zu ffi parallele Sehne, (i'i v\ wird eine Sohne des ersten Bildes der Schnittlinie sein, welche ebenfalls zu tJi parallel sein muss. Geben wir der Ebene V andere Positionen, so erhalten wir in der Schnittlinie und im ersten Bilde ein System paralleler Sehnen. Durch p an die Kegelfliiche die möglichen Berührungsebenen L und M gelegt und ihre Schnitte r' und t' mit U gesucht, so bekommen wir auf den Berührungselementen a S und I» S zwei solche Punkte a' und b' des Schnittes, denen die Paralleltangenten r' und t' entsprechen. Die Gerade a‘ b' halbirt alle parallelen Sehnen (i v, also können wir auch umgekehrt sagen, dass der geometrische Ort paralleler Sehnen in der gesuchten Schnittlinie eine Gerade, nämlich ein Diamoter sei. Eine Gerade schneidet höchstens in zwei Punkten die Schnittlinie, deren Punkte sämmt-lich endlich liegend sind. Aus dieson Merkmalen, welche auf die Bilder unverändert übergeiien, ziehen wir den Schluss, dass der Schnitt von U mit der Kegelfläche eine Ellipse sei, welche sich in der 2ten Bildebene o in XJ2 und in der ersten wieder als eine Ellipse projicirt. Der Punkt ca, welcher den Diameter a' b' halbirt, giqbt den Mittelpunkt der Ellipse und m1 den Mittelpunkt ihres ersten Bildes. Legen wir nun durch p und o die Scheitelebene K, was leicht geschehen O kann, da K2 durch S2 und co2 bestimmt ist; bringen sodaun die Strahlen S C und S <1, nach welchon K die Kegelfläche schneidet, mit U zum Schnitt, so erhalten wir den zu a' b' conjugirten Diameter c' d', und hiedurch ist der Kegelschnitt vollkommen bestimmt. Sollen beliebigo Punkte des Schnittes gefunden werden, so liefert die vorerwähnte Construction mit den Scheitelebenen V unsichere oder ganz unbrauchbare Schnitte, wenn die Flächenstrahlen sich der Ordinallage nähern oder mit ihr zusammenfallen. Damit wir auch diese Schnittpunkte einfach und sicher erhalten, ist es nötig, ausser p noch eine zweite Scheitellinie q vorteilhaft zu ziehen, und dies kann etwa geschehen, wenn <| parallel zu U gewählt wird. In Fig. 53 wurde q, noch überdies senkrecht zu u, gezogen, weil diese Gerade eine Symine-trielinie des ersten Bildes der Schnittlinie ist. Durch den ersten Spurpunkt di gehen die ersten Spuren der durch q gelegten Scheitelebenen, welche die Ebene U nach parallelen Geraden schneiden müssen. Wäre 2. B. das erste Bild des auf dem Flächenstrahle S m liegenden Schnittpunktes zu suchen, so legen wir durch S m und q eine Scheitelebene; mi ist die erste Spur derselben, und die durch den Schnittpunkt u parallel zu qi gezogene Gerade ist das erste Bild des Schnittes von U mit dieser Scheitelebene, m', giebt sofort den gesuchten Punkt, und wir bemerken, dass wir gleichzeitig noch einen zweiten Schnittpunkt n'i erhalten, weil die durch S m gelegte Scheitelebene noch einen zweiten Strahl S n mit dem Kegel gemein hat. Legen wir durch q noch andere Scheitelebenen, so ergeben sich mittels derselben ebenso andere Schnittpunkte, welche sehr einfach zu construiren und um so sicherer bestimmt sind, je mehr sich die Plächenstrahlen der Ordinallage nähern. Das erste Bild der Ellipse und die Leitlinie sind zwei p.erspec-tivisch collineare Gebilde, und wir können daher auch unter Rücksichtnahme auf diese projectivische Verwandtschaft Punkte im Bilde des Schnittes finden und auch sofort ihre Tangenten construiren. Einen schiefen Kreishegel durch eine doppelt geneigte Ebene U nach einer Ellipse zu schneiden und deren Projectionen durch conjugirte Diameter zu bestimmen. (Fig. 54). Parallel zu fjj ziehen wir die Scheitellinie p und suchen ihren zweiten Spurpunkt tfu . Die ersten Spuren der durch p gelegten Berührungsebenen sind parallel zu tfi und ihre zweiten Spuren V2 und W2 gehen durch . Die Einserspurparallelen q und r, nach welchen U von diesen Tangentialebenen geschnitten wird, geben zwei Paralleltangenten der Ellipse, folglich sind ihre Berührungspunkte a' und b', welche im Schnitte mit den Berührungsstrahlen a S und b S liegen, die Endpunkte eines Diameters und a'i b'i , a'2 b'2 die Bilder desselben. Der Halbirungspunkt w von a' b' giebt den Mittelpunkt und die durch ca gezogene Einserspurparallele 1 die Richtung des conjugirten Diameters der Ellipse. Der Strahl ta S, weil in der Ebene a S b gelegen, trifft die erste Bildebene auf der Geraden ai b(,und durch diesen Punkt rj geht if7, die erste Spur der durch 1 gelegten Scheitelebene N, welche den Kegel nach den Geraden cS und dS schneidet, und diese begrenzen auf 1 den zu a' b' conjugirten Diameter c' <1'. Beziehen wir in der ersten Bildebene die Ellipse als perspectivisch collineares Bild auf den Kreis, so finden wir, dass den conjugirten Durchmessern a'i b'i und c'i d', keineswegs wieder conjugirte Durchmesser im Kreise als verwandte Ge-rado entsprechen, sondern ein Durchmesser und eine conjugirte Sehne. Es entspricht demnach dem Mittelpunkte co nicht der Mittelpunkt de» Kreises. Einem beliebigen Paare paralleler Tangenten des Kreises entspricht in dem Systeme der Ellipse wieder ein Tangentenpaar, welches aber im Allgemeinen nicht parallel sein wird, weil bei der perspectivi-schen Collineation nur den zur Begegnunsgeraden parallelen Geraden wieder parallele Gerade im anderen Systeme entsprechen. Zwei Tangenten dos Kreises, welche sich auf der Yerschwiudungsgenulen der Basis schneiden, entsprechen im anderen Systeme parallele Tangenten an die Ellipse, und ihre Berührungspunkte bestimmen daher eineu Diameter, i Fig. 54 "Einen Kreislceyel nach einer Parahel zu schneiden. In Fig. 55 wurde in der ersten Bildebene ein Kreis als Leitlinie einer Kegelfliiche angenommen, deren Spitze der beliebige Raum-punkt S ist. Eine Ebene U, welche der Einfachheit und Übersichtlichkeit halber vertical projicirend gewählt wird, soll bo angenominon worden, dass sie den Kegel nach einer Parabel schneide. Die Parabel ist eine Curve zweiter Ordnung mit einem unendlich fernen Punkte und einer unendlich fernen Tangente, folglich muss die schneidende Ebene U zu einem Flächenstrahle parallel sein, und die ihr parallele Scheitelebene wird eben nur diesen Strahl mit der Fläche gemein haben, d. h. sie wird eine Berührungsebene derselben sein. Nehmen wir daher die vertical projicirendo Ebene V an, welche den Kogel in dem Contourstrahlo S Z berührt, so ist hiedurch die Stellung der Ebeno U bestimmt, welche wir sodann parallel zu V aber sonst beliebig annehmen. Nach dieser Anordnung ist vorweg bekannt, dass der Flächenstrahl S z den unendlich fernen Punkt der Schnittlinie erzeugt und die Richtung der Parabeldurchmesser, welche bekanntlich unter einander parallel sind, bestimmt. Die erste Spur der Ebene Y, welche den Kreis in dem Punkte z, berührt, erkennen wir sofort als die Verschwindungs-gerade in dem Systeme der Leitlinie; ihre verwandte Gerade im Systeme der Parabel giebt die unendlich ferne Tangente mit dem unendlich fernen Berührungspunkte z'2 00. Zwei Punkte der Parabel bemerken wir in n 1 und b[, wo fj( die Leitlinie schneidet. Andere zu a( bi parallele Sehnen können nun auch loicht gefunden werden. Durch die parallel zu xj1 gezogene Scheitelgerade p eine Ebeno Jf gelegt, welche die Kogelfläche nach den Strahlen 111 S, n S und die Ebene II nach einer Einserspurparallelen schneidet. Im Schnitte beider erhalten wir lll' und 11' als zwei Punkte der Parabel, und 111' 11' giebt eine zu a b parallele Sehne. Bei unserer speziellen Annahme notiron wir unmittelbar auf r2 die zweiten Bilder der den Strahlen 111 S und 11 S entsprechenden Schnittpunkte, deren erste Bilder in', und n'i in den Ordinalen und auf den ersten Bildern dieser Strahlen liegen. Bekommt die Ebene N andere Positionen, so erhalten wir auf dieselbe Art eine Schaar paralleler Sehnen der Parabel. Unter den Scheitclobonen der Geraden p muss die Tangentialebene W, welche don Kegel in dem Strahle A S berührt, besonders beachtet werden. W schneidet U nach einer zu a, bj parallelen Flächentangente, welche auch eine Tangente der Parabel ist, und ihr Brrührungspunkt A' liegt auf dem Borührnngsstrahle S A. A' ist ein charakteristischer Punkt der Schnittlinie, nämlich der höchste Punkt, weil demselben eine horizontalo Tangento entspricht. Nähert sich die Scheitelebene Y der Ordinallage, so werden die Schnitte in der ersten Bildebene unsicher und müssen daher durch Scheitelebenen, welchen ein von p verschiedener Träger entspricht, construirt worden. Zu diesem Bohufe nehmen wir in der Ebene V eine beliebige Scheitelgerado an, oder benützen unmittelbar den Flächenstrahl S z als solche und ziehen durch Zj einen beliebigen, in der ersten Bildebene liegenden Strahl Zi Ci, so gilt derselbe als die erste Spur einer durch S z golegton Scheitelebene, welche die Kegeltläche nach der Erzeugenden Ci Si und die Ebene Ü nach einer zu S, Zi parallelen Geraden ß e‘ schneidet. Im Schnitte beider notiren wir c'i als einen Punkt der Parabel. Für Flächenstrahlen, wie z. E. S t d,, welche auch für die neue Scheitellinie ungünstig liegen, werde iu der Ebene Y eine geeignete Scheitellinie gezogen, deren erster Spurpunkt Yi auf Vj liegen muss. Vi di ist die erste Spur der durch S di gelegten Scheitelebene. Diese schneidet die Ebene II nach einer zu yi S parallelen Geraden, welche durch den auf ü t erzeugten Schnittpunkt y geht und auf S dj den Parabelpunkt d' ganz sicher angiebt. Die Sehne mt nt dos Kreises wird von dem Durchmesser Zi A^ in dem Punkte cpt halbirt. Aus dem Dreiecke »li S Ui ist sofort ersichtlich, dass die parallele Parabelsehne in' 11' durch den Strahl beliebig gezeichneten Kreis und treffen die projectivische Zuordnung wie in Fig. 57. Dann wird zu P der verwandte Punkt P' im Systeme des Kreises gesucht. Der Geraden A P, welche die Begegnungsgerade in « trifft, entspricht im anderen Gebilde der Strahl cc A'. Auf diesem und auf dem projicirenden Strahle S P liegt P , von welchem sofort dio Tangenten V'y und P'tf an den Kreis gezogen und ihre Berührungspunkte Bl' und K' bezeichnet werden. Die verwandten Geraden y P und d P geben die gesuchten Tangenten, und diese werden von den projicirenden Strahlen M' S und IV' S in den fraglichen Berührungspunkten M und IV geschnitten. Aufgabe : Don Scheitel einer Parabel zu bestimmen, welche durch einen Diameter und eine conjugirte Sehne gegeben ist. Wir beziehen die Parabel auf einen Kreis, welcher über der Sehne a b beschrieben wird, und treffen die Zuordnung wie in Fig. 57. Parallel zu einer Geraden, welche auf dem gegebenen Diameter senkrecht steht, die Tangente an die Parabel construirt; ihr Berührungspunkt giebt den Scheitol der Parabel. Die Beziehungen der Geraden zu einer Ellipse oder einer Hyperbel, welche durch einen Diameter und eine conjugirte Sehne gegeben ist, werden constructiv ebenso behandelt wie die vorigen Aufgaben. Die Zuordnung dieser Kegelschnitte zu einem über der gegebenen Sehne beschriebenen Kreise wird sofort klar, wenn man einen schiefen Kreis-kegel, dessen Basis in der ersten Bildebene liegt, nach einer Ellipse oder Hyperbel schneidet und die erste Spur der schneidonden Ebene als Secante des Kreises annimmt. *) Anwendungen der Stralilenfliiclien. Wenn eino gegebene Aufgabe unzählig viele Auflösungen zuliisst, so heisst die Gesammtlieit der letzteren ein geometrischer Ort. Auch die *) JJieso Aufgaben, welche liier nicht weiter nusgeführt worden können, hat der Verfasser in dem liouerigen Maihefte der Sitzungsberichte der Akademie der Wissenschaften projectiv und stereomotrisch behandelt. Strahlenflächen und die Berührungsebenen derselben können als geometrische Orte aufgefasst werden, und leisten in dieser Hinsicht bei der con-structiven Behandlung vieler Aufgaben sehr gute Dienste. Im folgenden wollen wir nur die einfachsten Fälle, welche an und für sich klar sind, berücksichtigen und führen beispielsweise an: 1. Der geometrische Ort eines Punktes a, welcher von einer Geraden p eiuen gegebenen Abstand z/ hat, ist ein Kreiscylinder, dessen Axe p und der Radius seiner Basis = /1 ist. 2. Der geometrische Ort einer Geraden g, welche zu dem Strahle p parallel ist und von demselben einen gegebenen Abstand hat, ist ein Kreiscylinder, dessen Axe p und der Badius seines Normalschnittes ■= /1. 3. Der geometrische Ort einer Ebene U, welche zu der Geraden p parallel ist und von derselben einen gegebenen Abstand J hat, ist ein Ebenenbüschel, dessen Elemente Tangentialebenen eines Kreiscy-linders von der Axe p und dem Querschnittsradius /1 sind. 4. Der geometrische Ort einer Geraden, welche den Strahl p in dem Punkte a schneidet und mit demselben den Winkel a bildet, ist ein Kreiskegel, a ist der Scheitel, p die Axe desselben, und die Erzeugenden schlie8sen mit p den Winkel a ein. 5. Der geometrische Ort einer Geraden, welche durch einen Punkt a geht und mit einer gegebenen Ebene U den Winkel a einschliesst, ist ein Kreiskegel, dessen Scheitel a ist. Die I xe des Kegels geht durch a senkrecht auf U, und die Erzeugenden schliessen mit der Axe den Winkel (90°—«) ein. 6. Der goom. Ort einer Ebene, welche durch den Punkt a einor gegebenen Geraden p geht und mit dieser den Winkel a einschliesst, ist ein Ebenenbüschel, dessen Elemente Tangentialebenen eines Kreiskegels sind, a ist der Scheitel, p die Axe, und die Erzeugenden schliessen mit p den Winkel « ein. 7. Der geometrische Ort einor Ebene, welche durch den Punkt a geht und mit einer gegebenen Ebene U den Winkel a einschliesst, ist ein Ebenenbüschel, dessen Elemente Tangentialebenen eines Kreiskegels von der Spitze a sind. Die Erzeugenden schliessen mit der Axe, welche durch a senkrecht auf U geht, den Winkel (90°— «) ein. 8. Der geometrische Ort einer Geraden, welche eine Strahlenfläche in einem Punkto derselben berührt, ist die Borührungsebone, welche in diesem Punkte an die Fläche möglich ist. 9. Der geometrische Ort einer Geraden, welche durch einen gegebenen Punkt A geht und eine Strahlenfläche S berührt, sind die Be- rührungsebenen U und V, welche durch A an die Fläche möglich sind. Bei Pyramiden und Prismen können wir nur von Randstrahlen und Randoder Grenzebenen sprechen. Wäre A der Sitz einer Lichtquelle, dann enthalten die Ebenen U und Y die Gesammtheit jener Lichtstrahlen, welche die Strahlonttäche tangiren. Die Schnitte von U und V mit einer vorgelegten Ebene W begrenzen den Schlagschatten dor Fläche S auf dieser Ebene, und die Erzeugenden p und q, nach welchen S von U und V berührt wird, sind die Trennungslinien zwischen dem direct beleuchteten Theil der Fläche und dem Sclbstschatten derselben. Ist A der optische Mittelpunkt eines projicirenden Auges, dann enthalten die Ebenen U und Y die Gesammtheit jener Sehstrahlen, welche die Strahlenfläche tangiren. Die Schnitte von U und V mit einer vorgelogten Ebene W begrenzen das centrale Bild der Fläche S auf dieser Ebene, und die Erzeugenden p und q, nach welchen S von U und V berührt wird, bilden den sichtbaren Umriss, die Contour der Fläche. 10. Der geometrische Ort einer Geraden, welche einer gegebenen Richtung 1 parallel ist und eine Stralilenttächo S berührt, sind die Berührungsebenen U und V, welche parallel zu 1 an S möglich sind. Ist 1 die Richtung parallel einfallender Lichtstrahlen, welche von einer unendlich fernen Lichtquello herkommen, dann geben XJ und V die Gesammtheit jener Lichtstrahlen, welche S tangiren. Die Schnitte von U und V mit einer Ebene W begrenzen den Schlagschatten von S auf W, und die Erzeugenden p und q, nach welchen S von U und V berührt wird, sind die Tronnungslinien zwischen dem direct beleuchteten Theile der Fläche und dem Selbstschatten derselben. Ist 1 die Richtung parallel einfallender Sehstrahlen, welche einem unondlich fernen Auge zugehen, dann geben U und V die Gc-sammtheit jener Sehstralilen, welche S tangiren. Die Schnitte von U und Y mit einer Ebene W begrenzen dio rarallelprojoction von S auf W. Die Strahlen p und q, längs welchen S von U und V berührt wird, bilden die Contour. 11. Der geometrische Ort eines Strahles, welcher durch den Punkt A geht und ein gegebenes Raumpolygon P schneidet, ist eine Pyramide Q. Ist A ein leuchtender Punkt, so ist der Schnitt von Q mit einer vorgelegten Ebene W der Schlagschatten von P auf W. Ist A der optische Mittelpunkt eines projicirenden Auges, dann ist der Schnitt von Q mit einer Ebene W das centrale Bild von P auf AV. 12. Der geometrische Ort einer Geraden, welche einer Richtung 1 parallel ist und ein gegebenes Raumpolygon P schneidet, ist ein Prisma Q. Ist 1 dio Richtung parallel einfallender Lichtstrahlen, so giebt-dor Schnitt von Q mit einer Ebene W den Schlagschatten von P auf W. Ist 1 die Richtung der projicirenden Strahlen, welche einem unondlich fernen Auge zugehen, dann ist der Schnitt von Q mit W die Paralielprojection von P auf W. 13. Der geometrische Ort einer Geraden, welche durch einen Punkt A geht und eine Raumcurvo € schneidet, ist eine Kegelfläche K. Der Schnitt von K mit einer Ebene W ist der Schlagschatten oder das centrale Bild von C auf W, je nachdem A eine Lichtquelle oder der Mittelpunkt eines projicirenden Auges ist. 14. Der geometrische Ort einer Geraden, welche einer gegebenen Richtung I parallel ist und eine Raumcurvc C schneidet, ist eine Oylinderfläche F. Bor Schnitt von F mit einer Ebene W ist der Schlagschatten oder die Parallelprojection von V auf W, je nachdem 1 die Richtung paralleler Licht- oder Sehstrahlen ist, Aufgaben. 1. Zu zwei parallelen Geraden p und q eine parallele Gerade v zu construiren, welche von p und q beziehungsweise dio Abstände /1 und /f hat. 2. G egeben: eine Ebene U und eine hiezu parallele Gerade p. In U und parallel zu p jene Geraden zu ziehen, deren Abstand von p=z/ist. 3. Gegeben: zwei sich kreuzende Gerade p und q. Auf p jene Punkte zu suchen, deren Abstand von q dem doppelten kürzesten Abstande p von q gleich ist. 4. Gegeben: zwei Ebenen U, V und eine Gerade p. Jene Punkte zu suchen, deren Abstände von U, 'V und p gleich J sind. 5. Gegeben: eine Ebene U und eine Gerade p. Suche den geometrischen Ort eines Punktes, dessen Abstände von U und p = z/ sind. (5, Gegeben: zwei sich kreuzende Gerade p und q. Don geometrischen Ort einer Geraden zu construiren, welche zu p parallel ist und von q den Abstand /1 hat. 7. Gegeben: zwei parallele Gerade p und q. Durch p jene Ebenen zu legen, deren Abstände von q = /1 sind. 8. Gegeben: eine Gerade p, eine Kegelfiäche S und ein auf S liegender Punkt a. Eine Gerade q zu construiren, welche dio Kegelfläche in a berührt und p schneidet. 9. Gegeben: Eine Ebene U, eine Cylindcrflächo S und ein auf S liegender Punkt a. Eine Gerade p zu construiren, welche S in a berührt und zu U parallel ist. 10. Gegeben: ein Punkt a, eine Gerade p und eine Kogelflächo S. Durch a eine Gerade q zu ziehen, welche p schneidet und S berührt. 11. Gegeben: zwei Gerade p, q und eine Cylinderfläche S. Parallel zu p eine Gerade r zu ziehen, welche q schneidet und S berührt. 12. Durch eine Gerade p Ebenen zu legen, welche mit der ersten Bildebene den Winkel a einschliossen. 13. Burch einen Punkt a parallel zu der Geraden p Ebenen zu legen, deren verticaler Neigungswinkel « ist. 14. Gegeben: eine Gerade p und eine Ebene U. In U jene Geraden zu construiren, welche die Gerade p schneiden und mit derselben den Winkel k einschliossen. 15. Gegeben: eine Gerade p und eine Ebene U. Burch einen auf p liegenden Punkt a jene Geraden zu ziehen, welche mit p den Winkel a einscldiessen und zu U parallel sind. Iß. Gegeben: zwei Ebenen U, V und ein in U liegender Punkt a. Burch a jene Geraden zu ziehen, wolcho in U liegen und mit Y den Winkel « einschliossen. 17. Burch einen Punkt a die gemeinsamen Tangenten an 2 Kegolflä-chen zu zieheu. 18. Durch einen Punkt a die gemeinsamen Tangenten an 2 Cylinder-flächen zu ziehen. 19. Durch einen Punkt a die gemeinsamen Tangenten an eine Kegel -und eine Cylinderfläche zu ziehen. 20. Parallel zu einer Geraden p die gemeinsamen Tangenten an 2 Kegelflächen zu ziehen. 21. Gegeben: ein Projectionscentrum A und ein Kreis K, dessen Ebene horizontal projicirend ist. Das centrale Bild von K auf der 2ten Bildebene zu construiren. 22. Gegeben: ein Projectionscentrum A und die parallelen Geraden p, q, r. Die centralen Bilder von p, q und r auf der ersten Bildebene zu construiren. 23. Gegeben: ein Projectionscentrum A und die Kanten eines Würfols als Seiten des 'Raumpolygons P. Das centrale Bild von P auf bei- den Bildebenen zu construiren. 24. Gegeben: ein leuchtender Punkt S und ein Quadrat Q in einer allgemeinen Lage im Raume. Den Schlagschatten von Q auf beiden Bildebenen zu construiren. 25. Gegeben: die Richtung 1 der parallel einfallenden Lichtstrahlen und ein schiefer Kreiscylinder, dessen Basis in der ersten Bildebene liegt. Die Selbstschattengrenzen und den Schlagschatten der Cylin-dorfläche auf den Bildebenen zu construiren. \ muLim&icmi I. Personalstand des Lehrkörpers und Fächervertheilung. Dr. Egid Schreiber, k. k. Schulrat u. Director, Mitglied des Landesschulrates, fung. Landesschulinspector für die ital. Volksschulen, Director der Prüfungs-Commission für allg. Volks- u. Bürgerschulen, Co-mit^-Mitglied des landwirtschaftl. Lehrcurses (Naturg. in I. II). Dr. Cajetan Dittl. Professor, Ordinarius in IV (Geogr. Gesch. in IV, Physik in IV, VI, Mathem. in VI). Franz Erjavec, Professor, Custos des naturhist. Cabinetes (Naturg. in V, VII, Sloven. in III, IV, V). Anton Sessich, Professor, Besitzer desgold. Verdienstkreuzes, Mitglied des Bezirksschulrates (Relig. in allen CI.) Alois Möstl, Professor, akadem. Historienmaler, Custos der Lehrmittelsammlung für Kalligraphie u. Freihandzeichnen (Kalligr. in II, Freihandzeichn, in II — VII). Jacob Filippi, Professor, (Italien, in allen CI.) Franz Plohl, Professor, Custos der Schülerbibliothek, Ordinarius in IH (Deutscft in III, IV, Sloven. in I, II, VI, VII.) Clemens Barchanek, Professor, Besitzer des Anerkennungsdi-ploms der Wiener Weltausstellung vom J. 73, Custos des geom. Cabinetes, (geom. Zeichn. u.v darstell. Geom. in I, II, V — VII). Jacob Čebular, Professor, Custos des physik. Cabinetes, Ordinarius in VII (Mathem. in II, V, VII, Physik in VII.) Emerich Müller, Professor, Custos der Lehrerbibliothek, Ordinarius in VI (Deutsch in I, VI, VII, Geogr. Gesch. in VI, VII.) Johann Taurer von Gallenstein, Professor, Custos des ehem. Cabinetes (Naturg. in VI, Chemie in IV — VII). Justus Hendrych, Professor, Ordinarius in V (Mathem. in I, III, Physik in III, Französ. in V — VII). Karl Kleissl, Lehrer, Ordinarius in II, Custos des geograph. Cabinetes (Deutsch in II, V, Geogr. Gesch. in II, III, V.) Josef Zian, Supplent, Ordinarius in I (darstell. Geom. in III, IV, Mathem. in IV, Italien, u. Kalligr. in I). Michael Komel, Übungsschullehrer, leitete dieVorbereitungscl.A. Vincenz Dittrich, Volksschullehrer, leitete die Vorbereitungscl.B. Alois Kurschen, Turnlehrer, leitete den Turnunterricht. Dienerschaft. Anton Puspan, Schuldiener. Josef Trampusch, Schuldiener, 2. Lehrverfassung. I. CLASSE. 1. Religion. 2. St. Biblische Geschichte des alten Landes. 2. Deutsche Sprache. 6 St. Formenlehre auf Grundlage des nackten und durch Wenobjekte erweiterten Satzes. Aussprache und Rechtschreibung. Memoriren u. Reproduciren. Monatl. 2 Schul-u. 4 Hausaufgaben. 3. Italienische Sprache. 4 St. Alfabeto italiano, pronuncia delle vocali e delle consonanti, raddoppiamento ed assimiliazione delle medesime, divisione delle sillabe, uso delle lettere majuscole, accento tonico e grafico; deli’ interpunzione, delle parti deli’ orazione in generale; il sostantivo, 1’ articolo, 1’ aggettivo, le voci numerali, il pronome, nomi numerali, comparazione degli aggettivi; conjugazione de’verbi ausi-liari e dei verbi deboli. Esereizii di leggere, d’apprendere a memoria, applicazione delle regole grammaticali ed ortogratiche con brani di prosa e poesia. 4 compiti al mese. 4. Slovenische Sprache. 4 St. Izreka in pravopisje; pravilna in ne- pravilna sklanja imen; prosti stavek. Čitanje pesni in prozaičnih sestavkov. Vsak mesec po G pism. nalog, 5. Geographie. 3 St. Grundzüge der mathem. u. physikal. Erdkunde, soweit dieselbe zum Verständnisse der Karte unentbehrlich sind u. in anschaulicher Weise erörtert werden können. Beschreibung der Erdoberfläche in ihrer natürl. Beschaffenheit u. den allgem. Scheidungen nach Völkern u. Staaten auf Grundlage steter Handhabung der Karte. 6. Arithmetik. 3 St. Dekadisches Zahlensystem. Die Grundrechnungen mit unbenannten Zahlen ohne u. mit Decimalbrüchen. Grundzüge der Theilbarkeit, grösstes gemeinschaftl. Mass, kleinstes gemeinschaftl. Vielfaches. Gemeine Brüche, Verwandlung derselben in Deciinalbrü-che und umgekehrt. Rechnen mit benannten Zahlen. 7. Naturgeschichte. 3. St. Anschauungsunterricht in der Naturgeschichte. I. Sem. Wirbelthiere, II. Sem. Wirbellose. 8. Geometrisches Zeichnen. 6 St. Geom. Anschauungslehre, geom. Gebilde in der Ebene. (Linien, Winkel, Dreieck, Kreis, Ellipse). Com-binationen dieser Figuren; das geom. Ornament; Elemente der Geometrie im Raume; Zeichnen nach Draht-u. Holzmodellen. 9. Kalligraphie. 1 St. Deutsche Current- u. engl. Schrift. II. KLASSE. 1. Religion. 2 St. Biblische Geschichte des neuen Bundes. 2. Deutsche Sprache. 5 St. Wiederholung u. eingehendere Behandlung der gesammten Formenlehre u. die gewöhnlichsten Erweiterungen des einfach. Satzes, Analyse prosaisch. Aufsätze und Memoriren von Gedichten aus dem Lesebuche. 4 schriftl. Arbeiten monatlich. 3. Italienische Sprache. 4 St. Riassunto per sommi capi della gram- matica della classe prima, quindi osservazioni sulle forme irregolari de1 verbi ausiliari e dei verbi deboli: verbi riflessivi, forti, anomali, difettivi, formazioni del futuro; preposizioni, avverbi interposti. Eser-cizi a voce ed ia iscritto come nella prima. 4. Slovenische Sprache. 4 St. Glagol: sponina, brezsponina, nepravilna in nepopolna sprega; obraževanje zloženih časr>v in naklonov; ter-pevna doba; prislov; predlog; veznik; medmet; skladnja: o stavku ali reku sploh, prosti stavek. Citanje in slovljenje pesni in proz. sestavkov iz Cvetnika za drugi zazred. Vsak mesec po 4 naloge. 5. Geographie - Geschichte. 4. St. Specielle Geographie Asiens und A- fricas; detaillirte Beschreibung der Terrainverhältnisse u. der Stromgebiete Europas an oftmalige Anschauung u. rationelle Besprechung der Schul-u. Wandkarten anknüpfend; Geographie des westl. Europas. — Übersicht der Geschichte des Alterthums. 6. Arithmetik. 3 St. Das wichtigste aus der Mass- und Gewichtskunde, von dem Geld- und Miinzwesen, mit besonderer Berücksichtigung des französ. Systems. Mass-Gewichts-und Münzreduction. Verhältnisse u. Proportionen, Theilregel, Ketten- und Allegationsrechnung. 7. Naturgeschichte. 3 St. Anschauungsunterricht in der Naturgeschichte I. Sem. Mineralogie, II. Sem. Botanik. 8. Geometrisches Zeichnen. 3 St. Planimetrie; Übungen mit dem Zirkel u. Reiszeuge überhaupt; Gebrauch der Reisschiene u. des Dreieckes. 0. Freihandzeichnen. 4 St. Die in der Natur vorkommenden u. in der Ornamentik auftretenden Blatt- u. Blütenformen auf Grundlage ebener, geom. Gebilde stylistisch entwickelt. Ornamentmotive des Alterthums mit besond. Rücksicht der classischen Style. Das Zeichnen nach Holzmodellen mit perspectiv. Erläuterung. Entsprechende Gedächtnisübungen. 10. Kalligraphie. 1 St. Deutsche Current-, englische und französ. Rond-schrift. III. CLASSE. 1. Religion. 2 St. Katholische Religionslehre. 2. Deutsche Sprache. 5 St. Conjunctionen, Praepositionen, Interjectio- nen. Die Erweiterungen des einfachen Satzes. Der zusammengesetzte Satz im allgem. Das wesentlichste üb. Orthographie u. Interpunction. 4 schrifti. Arbeiten monatlich. 3. Italienische Sprache. 4 St. Repetizione delle forme irregolari dei verbi, indi forme regolari ed irregolari dei pronomi; derivazione delle parole, composizione delle medesime; sintassi della proposizione semplice e composta. Esercizii a memoria ed in iscritto. 3 compiti al mese. Delle lettere famigliari. 4. Slovenische Sprache. 4 St. Ponavljanje sklanje in sprege, Skladje: glasovna vikšava, izpeljav, sestava. Skladnja do glagolov. — Čitanje iz Cvetnika. Učenje na pamet. Vsak mesec po 3 naloge. 5. Geographie - Geaohiohte. 4 St. Deutschland, die Schweiz, Nord- u, Osteuropa. — Geschichte des Mittelalters mit specieller Berücksichtigung der vaterländischen Verhältnisse. C. Arithmetik. 3 St. Fortgesetzte Uebungen im Rechnen mit besond. Zalilen zur Wiederholung u. Erweiterung des bisherigen Lehrstoffes. Zinseszinsenrechnungen. Die 4 Rechnungsoperationen mit allgem. Zahlen. Quadrirung u. Cubirung des Binoms u. decad. Zahlen. Ausziehung der Quadrat- u. Cubikwurzel. 7. Physik. 4 St. Allgem. Eigenschaften der Körper; Wärmelehre. Sta- tik u. Dynamik fester, tropfbarer u. ausdehnsamer Körper. 8. Geometrisches Zeichnen. 3 St. Mass u. Messen der Strecken, Proportionalität der Streckenpaare; Ähnlichkeit der Dreiecke, ähnliche u. ähnlich liegende geom. Gebilde in der Ebene; Theilung der Strecke im beliebigen Verhältnisse. Die Kreislehre; Anwendung der Planimetrie auf Beispiele aus der technisch. Praxis. 9. Freihandzeichnen. 4 St. Stylisirte Blatt- u. Bluinenformen des Mit- telalters u. Anwendung derselben zu Flächenverzierungen. Zeichnen von Gruppen geometr. Körper nach perspect. Grundsätzen. Mittheilung von Constructionsmethoden zur Proportionslehre des menschlichen Kopfes. Entsprechende Gedächtnisübungen. IV. CLASSE. 1. Religion. 2 St. Liturgik. 2. Deutsche Sprache. 4 St. Der zusammengesetzte Satz; Perioden, uebersichtliche Wiederholung der Formenlehre. Interpunction. Geschäftsaufsätze ; Memoriren u. Reproduciren. 4 schriftl. Arbeiten monatlich. 3. Italienische Sprache. 4 St. Storia della letteratura italiana del tre- cento, ed in parte del quattrocento con lettura di brami di prosa e poesia dei principali autori con operazioni grammaticali, stilistiche, storiche e tilologiche. Delle piü importauti sciitture domestiche, dei tropi e delle figure. 3 compiti al mese. 4. Slovenische Sprache. 4 St. Ponavljanje vsega oblikoslovja. Sklad- nja: glagol, zloženi in mnogozloženi stavek, vezava besedi in rekov.— Pravila iz prozodije in metrike; opravilua pisma; deklama-torične vaje; čitanje Cvetnika. Vsak mesec po 3 naloge. 5. Geographie-Geschichte. 4 St. Specielle Geographie des Vaterlandes, Americas u. Australiens. — Uebersicht der Geschichte der Neuzeit mit besonderer Berücksichtigung der vaterländischen Verhältnisse. 6. Mathematik. 4 St. Ergänzung und erweiternde Wiederholung des gesammten arithm. Lehrstoffes der Unterrealschule ; Grundoperationen mit allgem. Zahlen, grösstes Mas?, kleinstes Vielfaches, Brüche, Gleichungen des 1. Grades mit 1 und 2 Unbekannten. 7. Physik. 2 St. Schall, Licht, Magnetismus, Electricität. 8. Ohemie. 3 St, Uebersicht der wichtigsten Grundstoffe u, ihrer Verbindungen mit besonderer Berücksichtigung ihres natürlichen Vor* koramwis, ü. Geometrisches Zeichnen. 3 St. Anwendung der 4 algebr. Grundoperationen zur Lösung planimetrischer und stereometrischer Aufgaben. Die perspectivische Ähnlichkeit. Theoretisch constructive Behandlung der Curvenlehre. Die stereometrischen Fundamentalsätze; der Punkt im Raume. 10. Freihandzeichnen. 4 St. Die Ornamentik der Renaissance nach Tafelzeichnungen u. plastischen Modellen ; der menschl. Kopf mit seinen Proportionsverhältnissen in den verschiedenen Altersclassen in Ta-felzeichnungen. Übungen im Zeichnen nach Gruppen geometr. Körper (Holzmodelle) mittelst perspect. Grundsätze. Entsprechende Gedächtnisübungen. y. CLASSE. 1. Religion. 1 St. Fundamentaldogmatik. 2. Deutsche Sprache. 3. St. Allgem. Stylistik, insbesondere der histor. Styl. Lehre von der Betonung und Metrik, von den Figuren und Dichtungsaiten mit den entsprechenden Proben aus dem Lesebuche. 2 schriftl. Arbeiten monatlich. 3. Italienische Sprache. 3. St. Storia della letteratura italiana del secolo V. VI. e VII. Dei diversi componimenti in prosa ed in poesia. 2 compiti al mese. 4. Slovenisclie, Sprache, 3 St. Nauk o podobah, prilikah in pesniških umotvorih ozirom na Cvetnik. Deklamatorične vaje. Čitanje prevodov iz stavo- in novoklasičnega slovstava. Vsak mesec po 2 nalogi. 5. Französische Sprache, 4 St. Schriftl. Übersetzung deutscher Sä- tze ins Französische. 1 Schularbeit monatlich. 6. Geschichte. 3 St. Pragmatische Geschichte des Alterthums mit ste- ter Berücksichtigung der hiemit im Zusammenhang« stehenden geo-graph. Daten. 7. Mathematik. G St. Gleichungen des 1. Grades mit mehreren Unbe- kannten, unbestimmte Gleichungen. — Gleichungen des 2. Grades mit 1 und 2 Unbekannten. — Planimetrie, geom. Constructionen, Anwendungen der Algebra auf Geometrie. 8. Darstellende Geometrie. 3 St. Der Punkt und die Gerade im Rau- me; die Ebene, Beziehungen der Elementargebilde unter einander; die Axendrehung. 9. Naturgeschichte. 3 St. Anatom, physiol. Grundbegriffe des Thier- reiches mit besonderer Rücksicht auf höhere Thiere: systein. Zoologie mit genauerem Eingehen in die niederen Thierformen. 10. Chemie. 3 St. Gesetze der ehem. Verbindungen, Atome, Molecüle, Aequivaleute, Wertigkeit der Aequivalente, Wertigkeit der Atome, Typen, Bedeutung der ehem. Symbole u. Formeln. Metalloide und leichte Metalle. 11. Freihandzeichnen. 4 St. Erklärung des menschl. Kopfes in Bezug auf Knochen- u. Muskellehre mit entsprechenden Uebungen nach Tafelzeichnungen n. Reliefs. Das antik-classische Ornament in Anwendung auf Geräte dieses Styles. Perspectiv. Darstellung von einfachen Krystallgestalten des tessular. Systems u. deren Zwillinge, sowie architecton. Objecte mit elementarer Schattengebung. VI. CLASSE. 1. Religion. 1 St. Specielle Dogmatik. 2. Deutsche Sprache. 3 St. Abschluss der syntakt. Ucbungen; Ge- schichte der deutsch. Literatur bis Klopstock. Lectüre : Wilhelm Teil von Schiller. 2 schriftl. Arbeiten monatlich. 3. Italienische Sprache. 2 St. Storia della letteratnra del settecento con lettura di brani di prosa e poesia di migliori autori di questo secolo, quindi dei canti XXXIII e XXXV deli’ Inferno e del I al XI del Purgatorio di Dante con osservazioni e commenti. Dei componi-menti poetici. 1 coinpito scolastjco al mese. 4. Slovenische Sprache. 3 St, Oitanje kakor v V. razredu; prevaja- nje iz nemškega na slovensko. Staroslov. oblikoslovje; slovanske starožitnosti in pregled staroslov, slovsta. Po 2 nalogi na mesec. 5. Französische Sprache. 3 St. Pluralisation der Eigennamen u. der zusammengesetzten Substantiva. Substantiva mit veränderter Pluralbedeutung. Genusregeln, Substantiva mit beiden Geschlechtern. Bildung dos Femininums der Subst. u. Adjct. — Gebrauch des bestirnt., unbestimt- u. Theilungs-Artikels. 2 schriftl. Arbeiten monatlich. 6. Geschichte. 3 St. Geschichte des Mittclulters in gleicher Behand- lungsweise wie in V. 7. Mathematik. 4 St. Logarithmen; Gleichungen höheren Grades, die sich auf quadratische zurückführen lassen, Exponenzialgleichungen, Reihen, Combinationslehre; das Binom. Ebene und sphaer. Trigonometrie, Stereometrie. 8. Darstellende Geometrie. 3 St. Die körperliche Ecke, die Viel- flächner. Die Stralenflächner, ihre Eintheiluug, Darstellung u. die e-benen Schnitte derselben. Die Umdrehungsflächen. Berührungsebenen au Stralen- u. Umdrehungsflächen. Durchdringungen ebenflächi-ger Körper. 9. Naturgeschichte. 2. St. Anatom, physiol. Grundbegriffe des Pflan- zenreiches ; systematische Botanik. 10. Physik. 4 St. Allgem. Eigenschaften der Körper; Wirkungen der Molekularkräfte, Mechanik, Akustik. 11. Chemie. 3 St. Schwere Metalle mit Berücksichtigung der wichtigsten metallurg. Processe. Organische Chemie: Constitution der organ. Verbindungen. Homologe u. heterologe Reihen. Chemie der Alkohole u. deren Derivate. Kohlehydrate, Glukoside. 12. Freihandzeichnen. 4 St. Der menschl. Ideal- u. Charakterkopf nach Gypsmodellen. Die Ornameutmotive aus dem Mittelalter. Perspectiv. Darstellung von Krystallen des tessular. Systems u. archi-tekton. Grundformen mit elementarer Schattengebung. VH. CLASSE. 1. Religion. 1. St. Moral. 2. Deutsche Sprache. 2 St. Geschichte der deutsch, Literatur bis incl. Schiller u. Göthe. Lectüre von Probestücken aus dem Lesebuch. 12 schriftl. Arbeiten jährlich. 3. Italienische Sprache. 'A. St. Storia della letteratura del settecento con lettura di brani di prosa e poesia dei migliori antori di questo secolo, quindi dei canti XXXIII e XXXV deli’ Inferno e del I al XI del Purgatorio di Dante con osservazioni e conimenti. Dei componi-menti poetici. 1 compito scolastico al niese. 4. Slovenische Sprache. 2 St. Pregled slovenskega slovstva od Tru- berja do sedaj s primernim čitanjem. Vsak mesec po eno nalogo. 5. Französische Sprache. 3 St. Unregelm. Pluralisation u. Geschlechts- wandlung der Substantiva u. Adjectiva. Gebrauch der verschiedenen Arten des Artikels u. der Casus. 2 schriftl. Arbeiten monatlich. 6. Geschichte. 3 St. Geschichte der Neu/eit mit besond. Hervorhebung der culturhistor. Momente. 7. Statistik. I St. Kurze Uebersicht der Statistik Österreich-Ungarns mit eingehender Besprechung der Verfassungsverhältnisse. 8. Mathematik. 5 St. Combinationslehre, binom. Lehrsatz, unbestimmte Gleichuugen des 1. Grades mil 2 u. 3 Unbekannten; Reihen höherer Ordnung, Kettenbrüche, Stereometrie, sphaerische u. analyt. Trigonometrie. 9. Darstellende Geometrie. 3 St. Wiederholung des vorhergegange- nen Lehrstoffes. Durchdringung der Stralenflächen. Berührungsebenen an Kegel- und Umdrehungsflächen. Die Schattenlehre. Elemente der Perspective. 10. Naturgeschichte, 3 St. Kenntnis der wichtigsten Mineralien nach krystallographischen, physikalischen u. chemischen Grundsätzen ; Ge* ognosie, Grundzüge der Geologie. 11. Physik. 4 St. Electricität, Magnetismus, Wärme, Optik. 12. Chemie. 2. St. Proteinstoffe, Alkaloide, aromat. Substanzen. Ueber-sichtliche Wiederholung des gesammten ehem. Lehrstoffes. 13. Freihandzeichnen. Kunstgewerbliche Objecte in Stylo der Renaissance. Der menschl. Charakterkopf nach Gypsmodellen. Darstellung tessularer Krystallgestalten u. einfacher architekton. Combinationen mit elementarer Schattengebung. 1. Religion. Schuster Dr. G. Storia Sacra del veccliio e del nuovo testamento ad uso delle scuole elementari cattoliche. Vienna 1861 (I, II). — Zgodbo svetega pisma stare iu nove zaveze za katoliške ljudske šole. Dunaji 1863 (I, II). Zenner. Handbuch der kathol. Religionsichre. Wien, 3 873. (III). * Die mit einom Storn (*) bozeiolmofcon Büclior kommen mit nächstem Schm Jjahre auuser Gebrauch. Wappler Dr. Ant. Cultus der kathol. Kirche zum Gebrauche an Un-tergymnasien u. Unter-Realschulen, 4. Auflage Wien 1869 (IV). •— Kathol. Religionslehre für 'höhere Lehranstalten. 4 Aufl. Wien 1868 (V—VII). Catechismo maggiore ad uso delle scuole elementari. Vienna 1856 (Vorb. Gl.) 2. Deutsche Sprache. Heinrich Ant. Grammatik der deutschen Sprache für Mittelschulen. 2. Aufl. Laibach 1874 (I—IV). Neumann Alois und Gehlen Otto, Deutsches Lesebuch für Gymnasien u. verwandte Anstalten. 5. Aufl. Wien 1874. I. B. (I), 2. 13. (II.), 3. B. (III. IV.) Jauker u. Noe. Deutsches Lesebuch für die oberen Classen der Realschulen. Wien, 1877. I. ß. (V.) Egger Alois, Deutsches Lehr- u. Lesebuch für höhere Lehranstalten. 4. Aufl. Wien 1875. 2. Th. (VI, VII). Madiera K. A., Deutsches Lesebuch für die erste Klasse an Gymnasien u. Realschulen. 4. Aufl. Prag 1872 (Vorb. CI.) 3. Italienische Sprache. Dematio Fort. Grammatica della lingua italiana ad uso delle scuole. Vienna 1874 (I—III). Sintassi della lingua italiana. Innsbruck 1872 (IV). * Libro di lettura per le classi del ginuasio inferiore. Vienna, 1865 vol. 1. (I). vol. 2. (II). Ambrosoli Franc. Letture italiane proposte agli scolari della terza classe dei ginnasj. 2. ediz. Vienna 1858 (III), Carrara Franc. Autologia italiana proposta alle classi dei ginnasi li- ceali. Vienna 1853—59. vol. 1. (IV), 2. (V), 8. 4. (VI), 5. (VH). 4. Slovenische Sprache. Janežič A. Slovenska slovnica za domačo in šolsko rabo. 3. Aufl. Kla-genfurt 18G4 (I—IV). — Cvetnik, Berilo za slovensko mladino. Ivlagenfurt 1865 1 Thl. (I), 2. Th. (II). — Cvetnik slovenske slovesnosti. Berilo za više gimnazije in realke. Klagenfurt 1868. (III—VII). Mlikosich Fr. Slovensko berilo za osmi gimnazialni razred. Wien 1853 (V-VII). 5. Französische Sprache. Plötz, Elementargrammatik der franz. Sprache. Berlin 1876 (V.) Grüner Fr. Schulgrammatik der franz. Sprache. Stuttgart I. Th. 18Ö3 (V-VII). Grüner Fr. Uebungsaufgaben über die Wort- u. Satzfügung. Stuttgart 18G3 (V—VII). Grüner und Wildermuth Fr. Chrestomathie für Keal- und gelehrte Schulen. Stuttgart 18C3 (VI—VII). 6. Geographie. \ Bellinger, Leitfaden der Geographie. Wien, 1873 (I). Suppan, Lehrbuch der Geographie. Laibach 1875 (II—IV). Kozenn B. Geographischer Scliulatlas. Wien 1874. Stieler, Scliulatlas der neuesten Erdkunde. Ausgabe für die österr. ung. Monarchie in 31) Karten. 53. Aufl. Gotha u. Wien 1873. 7. Geschichte. Hannak Em. Lehrbuch der Geschichte für die unteren Klassen der Mittelschulen. Wien 1878. 1. B. (II) 2. B. (III) 3. B. (IV). — Oesterreiehische Vaterlandskunde für die höheren Klassen der Mittelschulen. 4. Aufl. Wien. 1874 (VII). Gindely Ant. Lehrbuch der allg. Geschichte für die oberen Klassen der Beal- u. Handelsschulen. 2. Aull. Prag, 1870 (V—VII). 8. Mathematik. Močnik, Lehr- u. Übungsbuch der Arithmetik für Untcrrealschul. Trag 1877. (1). Villicus Fr., Vollständiges Lehr- und Uebungsbuch der Arithmetik für Unterrealschul. Wien 1861—18G4 (II—IV). Salomon Josef Dr. Lehrbuch der Elementar-Mathematik für Oberrealschulen. I. Band. Die Elemente der Algebra. 4. Aufl. Wien 1874 (VI-VII). Močnik, Lehrbuch der Arithmetik u. Algebra für die oberen Classcn der Mittelschul. Wien, Gerold. 1877 (V). Wittstein, Lehrbuch der Elementar-Mathematik, Hannover 1873, 74. I. B. 1. Planimetrie (V). Sonndorfer R. Lehrbuch der Geometrie für die oberen Klassen der Mittelschulen. 2. Aufl. Wien 1873 (VI—VII.) 9. Darstellende Geometrie. Močnik, Anfangsgründe der Geometrie in Verbindung mit dem Zeichnen für Unterrealschulen. 15. Aufl. Prag 1873 (I—IV). Streissler R. Elemente der darstellenden Geometrie. Brüuu 1876. (V—VII). 10. Naturgeschichte. Hayek. Illustrirter Leitfaden der Naturgeschichte des Thierreiches. Wien 1876 (I). Pokorny. Illustrirte Naturgeschichte des Mineralreiches. 8. Aufl. Prag 1873 (II). — Illustrirte Naturgeschichte des Pflanzenreiches. 10. Aufl. Prag 1873 (II). * Tkome Otto. Lehrbuch der Zoologie. Braunschweig 1872 (V). Bill Pr. Grundriss der Botanik für Schulen. 5. Aufl. Wien 1872 (VI). * Kenngott. Lehrbuch der Mineralogie. Darmstadt 1875 (VII). 11. Physik. Krist Dr. Josef. Anfangsgrtinde der Naturlehre. Wien, 1876 (III, IV). * Pisko F. J. Lehrbuch der Thysik für die oberen Klassen der Gym- nasien u. Realschulen. 3 Aufl. Brünn 1873 (VI, VII). 12. Chemie. Kauer, Elemente der Chemie, gemäss der neueren Ansichten für Realgymnasien und Unterrealschulen. 3. Auflage. Wien 1874 (IV). Lorscheid, Lehrbuch der unorgan. Chemie, nach den neuesten Ansichten der Wissenschaft. 2. Aufl. Freiburg, 1872 (V—VII). \ Verseichnis äer in den oberen Hassen gegebenen Msätie. a) Aus der deutschen Sprache. V. Classe. Es sind die Erlebnisse in den letzten Ferien in einem Briefe an einen Freund zu schildern.—In einem Briefe gibt der Schüler an, welche von den Lehrgegenständen für ihn am meisten Interesse haben, und belegt seinen Ausspruch mit Gründen.—Analyse des Streites zwischen Agamemnon und Achilles. — Aegypten „ein Geschenk des Nil.“ — Der Schild des Achilles (Beschreibung nach Homers „Ilias“ XVIII, 420—617.)—Lykurgos und Solon. (Eine Parallele.)—Gedankengang in der Rede Sinons nach Virgils „Aeneis“ II. V. 57—193. — Der Aufstand der kleinasiatischen Griechen. —Es ist eine Erzillung zu bilden, in welcher das Sprichwort: „Wer Ändern 'eine Grube gräbt, fällt selbst hinein“ sich bewahrheitet.—Der Sturm auf dem Meere.—Inhalt und Gedankengang in der Satyre „des Dichters höchster Wunsch“ von Horaz.— Die Fabel in der Sophokleischen Tragoedie „Antigone.“—Characteristik aus Sophokles „Antigone.“ Nach Wahl: a. Antigone, b. Ismene, c. Kreon. —Die antike und die moderne Biihne.—Für sämmtliche Tropen und Figuren sind Beispiele aus der Lectüre anzuführen. VI. Classe. Ein Tag aus den letzen Ferien.—Welche Bedeutung haben die Kirchenglocken im menschlichen Leben ?—Die Vorzüge des Stadtlebens vor den! Landleben. — Sigfrieds Tod. — Der dankbare Obstbaum.— Die Seefahrt, ein Bild des menschlichen Lebens.—Die Einwanderung der Schweizer in die Schweiz und deren Rechtszustände bis zum Abschlüsse des Bundes auf dem Rütli. (Nach Schillers W. Teil.)—Dem Mutigen ist das Glück hold. (Chrie). — Die Reize der Waldeinsamkeit. — Eine Festschule der Meistersänger.—Durch welche Gewaltacte der Landvögte wurden die Schweizer zum Aufstande veranlasst? (Nach Schillers W. Teil).— Welchen Umständen verdankt Venedig im Mittelalter seine, Blüthe?—Eine Morgenaussicht von einem Turme.—Süss und ehrenvoll ist der Tod fürs Vaterland.—lieber die wichtigsten Veränderungen, welche der Mensch in der Natur hervorbringt.—Wozu die Drähte des Telegraphen neben der Eisenbahn?—Wie soll man seine Ferien anwenden? VII. Classe. Wohltätig ist des Feuers Macht, wenn sie der Mensch bezähmt, bewacht. — Der Baum in den vier Jahreszeiten. — Welche Bedeutung haben die Meeresküsten für die Menschen? Auch ein kleiner Fluss kann Wohltäter einer Landschaft sein.—Inwiefern haben auch irdische Güter einen Wert?-Ueber die Vorzüge des Fussreisens.—Der Krieg von seiner verderblichen und wohltätigen Seite betrachtet. — Des Lebens ungemischte Freude ward keinem Irdischen zu Theil« (Schiller.) — Inwiefern ist die Zunge das wohltätigste und verderblichste Glied des Menschen?— Das Mittelmeer in seiner welthistorischen Bedeutung.—Wer kann im wahren Sinne des Wortes ein Gebildeter genannt werden?—Weshalb ist das Leben Schillers so ergreifend? b) Aus der italienischen Sprache. V. Classe. Quande il contadino e soddisfatto e contento nella stagione d’autunno?—Le rive dell’Isonzo vicino a Gorizia.—II tentativo di Renzo e Lucia narrato da 1). Abbondio ad un suo collega (da! Man-zoni.)—Espongasi la natura ed i varii itsi delPargento.—La fuga di Angelica (Anosto).—La battaglia delle Termopili.—II ratto di Lucia (Man-zoni).—I pronostici del buono e del cattivo tempo (Alamanni).—Confron-to tra la primavera degli aani scorsi con quelladi quest’anno.—I gliiac-ciai e le nevi eterue in relazione colle pianure.—L’avaro.—I piaceri d’un bravo, e diligente scolaro,—I danni dellafrode seguiti da un racconto.— Come accendevano il fuoco i nostri vecchi e come lo acceudiamo noi.— Ariosto e T. Tasso (paralello). — Argomento e scopo della Gerusalemme liberata.—I bachi da seta. VI. e VII. Classe. 1. Dimostrisi 1’importanza e 1’ ütilitu delle lettere in genere, ed in particolare delle domestiche. — Si ragioni sulla luce naturale e sulla luce artificiale.—II corchio dei traditori (Dante).— Sentimenti che destano le rovi ne di Cartagine.—Descrizione del Purgato-rio, e sunto del canto primo del medesimo. (Dante). —- Natura utilita e bellezza dei monti.—La caccia presso gli antichi ed i moderni.—L’acqua cd il fuoco come elementi distruggitori.—11 contenuto del canto VIII del I'urgatorio (Dante).—Le ore mattutine d’ un lombardo Sardanapalo (Pa-rini).—Superstizioni derivate dai corpi celesti, e spociahnente dalle come-te.—L’ aria e gli esseri, che la popolano.—Considerazioni sull’ istinto de- gli animali chiariti con csempi. — Descrivasi la mictitura ritraendone da essa delle riflessioni morali. c) Aus der slovenischen Sprache. V. Classe. 1. Najlepši dan mojih zadnjih počitnic. 2. Jesenski dan. (Obraz iz narave). 3. Ocenite mero v pesmi: Vojska z volkom in psom. 4. Živalsko telo podobno parnemu stroju. 5. Bog nikomur dolžan ne ostane. (Po srbski nar. pesmi.) 6. Trn se izza mlada osti. 7. Smrt Kraljeviča Marka. (Po srb. nar. pesmi.) 8. Imenitnost trav za človeško omiko. !). Vzetje Troje. 10. Kaj nam pojo zvonovi? 11. Razložite pomen in resničnost pregovora: Nij vse zlato, kar se sveti. 12. Zakon narave je tak, da iz malega izraste veliko. 13. Kako smo proslavili cesarjevo sre-berno poroko. (Pismo prijatelju). 14. Platonov dialog „Kriton“. (Prevod iz nemškega). 15. Gostba v Polznji. Hi. Živenje v btičelnem panji. VI. u. VII Classe. Misli in sklepi dijaka ob začetku šolskega leta.—Reke so koristne a tudi škodljive.—K prigovoru „roka roko umiva“ se naj iznajde ena ali več basni. — Kaj pripoveduje stara lipa sredi vasi?—Trubar slovstveni slovenski Kolumb.—Solza naša zvesta spremljevalka skoz življenje. — Cerkvica, leposleven popis. — Navada je železna srajca (hrija). — Mornar in rudar (primera).—Reka Soča (poosebitev). — Semenj v malem mestu.—Dijaška baklada 24. marca (popis).—Zgodovina nas uči, kako naj živimo. — Reka podoba človeškega življenja. — V. poglavje Lessing-ovega Laokoonta (prestava iz nemškega). — Kateri pomen je imel Rim v starem, kateri v srednjem veku ? (za maturo). —• Obleka dela človeka, a obleka ne dela človeka.—Kmalo nam bo ura bila, nas po svetu razpodila, Levstik, (govor.)— Pl oh 1. 1. Analytisch-chemische Uebungen. Dieselben wurden in 1 Stun- den wöchentlich vorgenommen u. vollführte jeder Schüler die qualit. Analyse von 40 einfachen und 2—6 combinirten Salzlösungen. An den von Lehrer Taurer geleiteten Uebungen nahmen im I. Sem. 8, im II. Sem. 6 Schüler Thcil. 2. Stenographie. I. Curs. 2. St. Wortbildung und Wortkürzung nebst Lese-und Schreibübungen mit besod. Rücksicht auf die stenographische Kalligraphie. II. Curs. 1 St. Die Satz-und Wortkürznng uud auf dieselbe bezügliche Schreibübungen nach Kühnelt’s Lehrbuch der deutschen Stenographie. — Der von Prof. Barchanek geleitete Curs ward von 3>8 Schülern besucht, 3. Gesang. I. Curs. 2. St. Notensystem, Notenkenntnis; Wertverhältnisse der Noten, Pausen und Tactarten. Einübung der Intervalle zur Ue-bung des Gehöres. Der richtige Gebrauch der Singorgane.—II. Curs. 1. St. Der mehrstimmige Gesang mit Terzen-und Sextengängen be-gonen.—Der vom Lehrer Komel geleitete Unterricht ward von 30 Schülern besucht. 4. Turnen. 3. St. Onlnungs-und Freiübungen. Gerätübungen, wie; Sprin- gen (Hoch-, Weit-, Bock-u. Pferdespringen); Barren-, Steig-, Reck-und Schaukelübungen. Turnspiele. — Anzahl der Schüler 94, Leiter des Unterrichtes: Turnlehrer K u r s c h e n. Vater- land Mutter- sprache Religton Jahro Vorb. II. III. IV. VI. VII. Sum. 258 1851 164 Schulgeld befreite Lelirmittelaufwand Schulgeld Ertrag Stipen- dien 1878 halb ganz MS OQ CG 3 215. 302.50 48 35.20 218 208 144 118 29.60 172 188 20.80 148 16.40 140 12.80 7.20 60.14 Zusammen 1126.41 fl. 154. 60.14 11169| 2281-50 A, Lelirerbibliothek. Durch Schenkung: Movimento della navigazione in Trieste nel 1878 e nel 1877. — Movimento commerciale di Trieste nel 1877.— Navigazione Austro - Ungarica ali’Estero nel 1877. — Navigazione e oommercio in porti austriaci nel 1877. — Bericht über österreichisches Unterrichtswesen aus Anlass der Weltausstellung i. J. 1873, 2 Bände nebst Tafeln. — Bericht der Wiener Handelskammer über den Handel u. s. w. Niederösterreichs i. J. 1877. — Mehnmyer: Die österreichischen Universitäten. — Statistischer Bericht der Handels- und Gewerbekammer in Laibach. —; sämmtliche Werke vom h. k. k. Ministerium für C. u. U. — Austria: Archiv für volkswirtschaftliche Gesetzgebung. — Nachrichten über Industrie und Handel u. s. w. aus dem statistischen Departement des Handelsministeriums; von Sr. Exceilenz Herrn Baron von Czörnig. — L. Ranke: Ueber die Yerschwörung gegen Venedig im Jahre 1618. — Knigge: Ueber dert Umgang mit Menschen. •— G. Büchmann: Geflügelte Worte. — Der Citatenschatz des deutschen Volkes. — Baedekers Oesterreich u. Italien. Reisehandbücher. — Temme: Ein Gottvertrauen, eine Criminalgeschibhte. — Iwan Turgeniew: Dunst. — W. Scott: Die Jungfrau vom Süe; sämmtliche Werke von Herrn v. Kanotay. — P. Peyscha; Gesftngslehte für Gymnasien, von der Buchhandlung Paternolli. — Bcchtbl: Französische Chrestomathie für die oberen Klassen der Mittelsch., von der Klinghart’sehen Buchhandlung. Durch Ankauf: Kronos: Handbuch der österr. Geschichte (beend.). — J. u. W. Grimm: Deutsches Wörterbuch, 6. Bd., 2. u. 8. Lieferung. — Praktische Anleitung zum Schönschreiben, 2; Bd. mit 28 lithogr. Tafeln. — A. M. Legendre: Die Eleihejnte der Geometrie und der ebenen und sphärischen Trigonometrie. ■— Z. Venn: Deutsche Aufsätze u. s. w. — König: Deutsche Literaturgeschichte. — Di'- E. Grtad; Populäre Vorträge über Dichtkunst und Dichfceil, 1. u. 2. Heft. — Dün* tzer: Erklärungen deutscher Klassiker (Goethb N.o 74—76, 13), (Schiller 48 u. 49), (Klopstock N.r 25 u. 26). — Berüard: Goethe und Schiller in der Schule. — Just: Botanischer Jahresbericht 4. Jhrg. 2. Abth. — Tommaseo: Dizionario della lingua italiana (contiu.) -— Darwins Werke (vollend.) — Grunert: Archiv, für Mathematik, Jahrg. 1879. — Oester-reichische Gymnasialzeitschrift Jahrg. 1879. — Die Realschule, Jahrg. 1879. — Verordnungsblatt des k. k. Ministeriums f. C. u. U. — Carus: Zoologischer Anzeiger 1879. — Noll: Zoologischer Garten XIX. Jhg.— Thomassen: System dor Natur. — Caspari Urgeschichte. 2 Bd. —Kosmos 1879. ■— Brehm: Thierleben (fortg.). . B. Schülerbibliothek. Durch Schenkung: Raff: Naturgeschichte für Kinder. — Schönfeld: Istoria della contea di Gorizia. 4 Bde. — Vogel: Geographie für Schule und Ilaus des Kaisertums Oesterreich. — Eichel borg: Leitfaden zum Unterrichte in der Naturgeschichte. — Pisko: Physik für Unter-Realschulen. — Roller: Unterricht im freien Zeichnen. — Schne-dar: Darstellende Geometrie. — Luzzatto: Comedie e poesie.— Busiz: La georgica. — Montorio: Storia e fantasia. — Sämmtliche Werke von der Buchhandlung Paternolli. — Yillicus: Arithmetik für Untorrealschulen: 14 Expl. vom Y or fass er. — Starö: Občna zgodovina za «lov. ljudstvo, srednji vek. — Kuralt: Umni sadjerejec. — Slovensko večernice 24. zvezek. — Gomilšak: Potovanje v Rim.— Ilerchenbach: Die Welt, Wanderungen über alle Theilo der Erde, 4 Bde. — Sänimt-lich von Hr. Profess. Sessich. — Franco: La beniamina. — Lorenzo ossia l’eroismo della religione. — Hackländer u. Gerstäckor: Novellen Almanaoh; von Schüler Umfer. — Schmidt: Sto malih pripovedek; vom Schül. Pečnikar. •—Bezenšek: Svečanost o priliki sedemdesetletnice Dr. Bleiweiss; Poznik: Slovanski almauak 1879 vom Schiller Kranjec. Durch Ankauf: Sealsfield: Toheah oder die weisse Rose. — Weinland: Rulaman, Erzählungen aus der Zeit des Höhlenmenschen und Höhlenbären. — Becker: Erzählungen aus der alten Welt. — Letopis Matice slov. pro 1878. — Naturkräfte 22. 26. 27. und 28. Band. — Talia 40.—43. zvezek. — Körner: Deutsche Götter u. Göttersagen. — Höcker: Fitzpatrik, der Trapper. — Mensch: Kengo der Löwentödter. — Albrecht: Der Steppenvogel oder der Tag des Glücks. — Roth: Kosmos für die Jugend: ln den Werkstätten. —• Klodiö: Materin blagoslov. — Colletta: Storia del reame di Napoli. — Verne: Martino Paz; Cinque settimane in palono; una cittä, galleggiante e i violatori di bloc-co; il capitano della giovane ardita; dalla terra alla luna; intorno alla luna; viaggio al contro della terra; l’isola ministeriosa, 3 Bde.; il chan-cellor; attraverso il mondo solare. — Tomšič: Vrtec pro 1877. — Bleiweis: Letopis matice slovenske pro 1878. — Nerne: Potovanje skolo sveta. — Hoifmann: Der neue Robinson; Land u. Seobilder. — Erco-liani: Valvasori Bresciani, 4 Bde. — Wisemann; Fabiola. — Schmidt: Conto racconti:—Tarchetti: Nobile follia. — Schmidt: Uova di pasqua. — Woillez: L’orfano di Mosca. — Lampugnani: Panzane educativo.— Robinson svizzero, 4 Bde. — Wagner: Waldläufer. — Lausch: Das illustrierte goldene Kinderbuch. — Defoe: Robinson Crusoe. —- Grimm: Märchen des Tausend und ein Tag. — Hoffmann: Jugendbibliothek, Heft 1—30. — Ilempel: Deutsche Klassiker, Liefg. 596—712. — Isis 1879. C. Pysikalisclies Cabinet. Durch Ankauf: 1.) Mikrophan, 2.) Radiometer, 3.) Achtolo-montigo Chrombatterie, 4) Pneumatischer Telegraph, 5) Heron’s rohrende Kegol, 6) Dasymeter. Mehrere Apparate wurden in brauchbaren Stand gesetzt. D. Naturliistorisches Cabinet. Durch Schenkung: Ein Chamaeleon von S. Exc. dem Herrn Grafen Carl Coronini-Cronberg. Yom Custos beigestellt und praepariert wurden: Plecotus au-ritu8 L.; Lacerta agilis Wolf; Läcerta.vivipara Jacq.; Salamandra atra Laur.; Cottus gobio Cuv.; Barbus caninus C. Y.; Barbus plebejus Bonap.; Cyprinus regina Bonap.; Carassius gibelio Nils.; Scardinius erythroph-thalmus var. hesperidicus Hekl; Squalius cavedanus Bonap.; Sq. albus Bonap.; Sq. cephalus L.; Telestes Agassizii Heck.: T. Savignyi Bon.?; Alburnus alborella H. u. K.; Leucos aula Bonap.; L. rubella Heck.; Chondrostoma Genei Bonap.; Trutta fario L.; Anguilla fluviatilis Agas.; Petromyzon Planeri Bl.; Porcellio scaber Latr.; Cymothoa sp.; Ascaris lumbricoides L.; Taenia soliuin L.; Eledone inoschata Lam. Durch Ankauf: Zu den vorhandenen botanischen Modellen wurden weiters angcschaff't: Siliqua Brassicae Napi; Legumen Pisi sativi; Avena sativa; Ri-bes Grossularia; Taxus baccata; Aconitum Napellus; Oenothera biennis; Sedum acre; Yaleriana officinalis; Succisa pratensis; Atropa Belladonna; Primula officinalis; Chenopodium album; Galanthus nivalis; Colchicum autumnale. Equisetum limosum fruct. mit Sporen und Schleudern; Pteris serrulata. Eine Yogeleier-Sammlung von 97 Arten. — Jahrbuch d. zool. bot. Gesellschaft. Wien 1878. E. Geometrisches Cabinet. Durch Ankauf: Ein grösser Transporteur aus Ahornholz. — Ein zwei Meter langes Tafellineal in Centimeter getheilt. — Zwei Tafelzirkel in Messingfassung. — Ein Ellipsen-, ein Parabel - und ein Hyperbellineal für die Schultafel. F. Geographisches Cabinet. Durch Ankauf: Falke: Hellas u. Rom. 10 Ilft. — Kiepert: physik. Wandkarte von Europa, Asien u. Australien.— Wenz: Materialien und Kartennetze für den geograph. Untorricht. G. Für das chemische Laboratorium: Durch Ankauf: Eine Smee’sche Batterie mit 8 Elementen.— Röhren und Pfropfen aus Kautschuk. — ein Dreiweghahn aus Hartkautschuk. — 4 Goldschlägerhaut-Ballons. — Reagentien und Präparate.—■ Chemisches Central - Blatt (1878). — Journal für praktische Chemie (1878). — Jahresbericht aus dor chemischen Technologie v. R. Wagner (1877). II. Zeichensaal. Durch Schenkung: Holler, Formensaiumlung zum Elcm. Unterricht im freien'Zeichnen; Freiwirth, Methode zum 8 stündg. Schreibunterrichte ; von Herrn Paternolli. Durch Ankauf: Andel: Flachornament Hft. 3—5. — Ilübler: Musterbliitter Hft. 1. 2. — Brauer: Yorlegeblätter. — Zahn: Musterblätter u. Vorlagen. — Storck: kunstgewerbl. Yorlegeblätter, Hft. 12.— Grandauer: der Regelkopf. — 12 Modelle. 8. Maturitätsprüfung Von den im letzten Jahresberichte genannten 6 Abiturienten wurden Prister Victor mit Auszeichnung, Bianchi Anton und Nachtigall Karl einfach für reif erklärt. 1 Maturant wurde auf 1 Jahr reprobirt, 1 trat während der Prüfung zurück; dem Schüler N a-vajolli Alois ward eine Wiederholungsprüfung aus Geographie - Geschichte gestattet und selbe am 6. October v. J. mit gutem Erfolge bestanden. Ausserdem meldeton sich nach den Ferien der im Julitermino zurückgetretene Abiturient Peterlunger Richard, sowie der absol-virte Septimaner Lapanja Johann zur Matura, und wurden beide im October y. J. bei dor unter dem Vorsitze dos k. k. Landesschulinspectors Herrn Anton Klodic abgehaltenen Reifeprüfung approbirt. Im heurigen Schuljahre meldeten sich die Septimaner Bernar-dis Vincenz, Borghesaleo Anton, Corgnolan Alois, Franz Emil, Kopriva Ferdinand und Rustia Josef zur Matura. Die schriftlichen Prüflingen wurden am 16.—20. Juni abgehalten; die hiebei zu lösenden Fragen waren folgende: Aus dem Deutschen: Wodurch erlangen die Völker welthistorische Bedeutung? Aus dem Französischen: Rodolphe de Ilabsbourg, v. Le Bas. Aus dem Italienischen: Si ragioui sull’ eccellenza cd importanza della vista umana e su« gli istrumenti che 1’ uomo inventö per ingrandirla o migliorarla. Aus dem Slovenischen: Rimska moc v starem in srednjem veku, loje, železna in duševna moč Rima. Aus der Mathematik: 1. Es ist die Parabelgleichung y2 — 10 y — G x + 7 —» 0 zu construiren, ihre Scheitelgleichung aufzustellen und die Berührungsgrössen des Punktes, dessen Coordinaten (Xj ■=• b, y, *= b) die Scheitelgleichung befriedigen, zu rechnen. 2. Eine Jahresrente von 1800 H. durch 30 Jahre zahlbar, soll in eino grössero auf 20 Jahre beziehbar umgewandelt werden; wie gross wird dieselbe bei 4'/2 0/q Zinseszinsen sein? 2. Ein regelm. Achteck sammt dem umgeschriebenen Kreise dreht sick um eine in seiner Ebeno liegende und zum Diameter parallele Axe; wie gross ist das Yolumen eines joden der beiden Rotationskörper, wenn der Abstand der Rotationsaxo vom Centrum 2, und eine Seite des Achteckes 1 beträgt. Aus der darstellenden Geometrie: 1. Unter Voraussetzung von Paralielbelouchtung soll von einem gleichseitigen Cylinder, dessen Basis durch die Punkte geht, der Selbstschatten sowie auch der Schlagschatten auf die Bildebene construirt werden. 2. An einer hohlen Halbkugel, deren innere Fläche von dom orthog. projicirenden Auge Zwei gesehen wird, sind unter Voraussetzung von Parallelboleuchtung die sich ergebenden Schattenconstructionen auszuziehen. 3. Yon einem Octaöder, welches mit einer Seitenfläche in der Grundebene liegt, ein gefälliges perspectivisches Bild zu construiren. Die Resultate der auf den 26. bestimmten mündl. Prüfung werden im nächsten Jahre veröffentlicht werden. Yon den heurigen Abiturienten zählten 4 18, 1 19 und 1 20 Jahre; hievon hatten 3 7 und 3 8 Jahre an der Mittelschule zugebracht; von den vorjährigen Maturanten wandten sich 5 der Technik, 1 dem Lehrfache zu. Das Schuljahr wurde in üblicher Weise eröffnet und geschlossen; dem Beginne des Unterrichtes gingen die Aufnahms- und Wiederholungsprüfungen voraus. Im Lehrkörper fanden seit Horausgabe dos letzten Programmes folgende Veränderungen statt. An Stelle des mit Schluss dos vorigen Schuljahres aus dem Verbände des Lehrkörpers geschiedenen Lehrors Ernst Lindenthal wurde mit Erlass des k. k. Land. Schuir, vom 20. Septembor 78 Z. 846 der geprüfte Lehramtscandidat Josef Zian als Supplent in Verwendung genommen. — Der durch Pensionirung dos Prof. Kos erledigte Lehrposten für Physik ward mittelst h. M. E. v. 29. 8. 78 Z. 13732 dem Professor der aufgelassenen Lehrerinnenbildungsanstalt in Klagenfurt Dr. Cajetan Dittl verliehen. — Durch die h. o. ErUiaso ö. Chronik. vcin 17. 10. 78 Z. 919, 28. 12. 78 Z. 1123 und 24. 6. 79 Z. 295 wurden die Lehrer Justus Hendrych, Franz Plohl und Johann Taue r unter Zuerkennung des Professortitels definitiv im Lehramte bestätiget. — Durch Allerhöchste Entschliessung vom 29. 12. 78 wurde dein Berichterstatter der Titel einer k. k. Schulrates verliehen. Am 14. November verschied nach längerem Leiden im 64. Lebensjahre der Schuldiener Friedrich Harzolla; am 16. gab die Anstalt dem Verstorbenen, welcher der Realschule durch 14. Jahre treu und redlich gedient hatte, das letzte Geleite. Das erste Semester wurde am 22. März geschlossen, das zweito am 28. d. M. bogonnen. Vom 21.—23. April wurde die Anstalt durch die Inspection des k. k. Landesschulinspectors Herrn Dr. Ernst Gnad beehrt. Der 24. April, welcher alle Völker Oesterreichs zu freudigen Kundgebungen für unser Hohes Herrscherhaus begeistorte, ward auch von unserer Anstalt in festlicher Weise begangen. Nachdem schon am vorangehenden Sonntage der Religionslehrer in der Kirche eine vorbereitende Ansprache gehalten, wurde der Gedenktag selbst durch ein solennes Hochamt unter Absiugung der Volkshymne gefeiert. Während nun die Schüler den Tag über an den von der Stadt veranstalteten Festlichkeiten theilnahmon, vereinigte sich abends die Oberrealschule mit dem Obergymnasium zu einem grossartigen Fackelzage, welcher der ganzen Feier einen würdigen Abschluss gab. Dieser Fackelzug, dom der commandirende General Herr Leo R. v. Schauer über Ansuchen der Directoren die Militär-Capelle beizugeben so gütig war, begab sich nach Anbruch der Nacht von der Realschule zur k. k. Bezirkshauptmannschaft, von wo er sich nach Absingung der Volkshymne und begeisterten Hochrufen auf das vielgeliebte Kaiserpaar durch die Ilaupt-strassen der Stadt zur Anstalt zurückbewegte. — Kein Miston störte die erhabene Feier, welche in allen Stücken als gelungen zu bezeichnen ist und eine um so höhero Bedeutung hat, als sie durchaus der freien Initiative der Realschüler entsprang und daher für die patriotische Gesinnung unserer Jugend das erfreulichste Zeugnis abgibt. Der 1. Mai ward deu Schülern in gewohnter Weise freigegeben. Die kirchlichen Hebungen wurden im Sinne der h. Min. Verord. vom 5. April 70 Z. 2916 abgehalten. Der Unterricht erlitt lieuor durch öftere Erkrankungen im Lehrkörper häufige Störungen, welche mitunter um so eingreifender waren, als zu wiederholten Malen die Verhinderungen zweier, ja selbst dreior Lehrer zusammenfielen. Besonders hart ward in dieser Richtung Prof. Čebular betroffen, welcher anlässlich eines hartnäckigen Halsübels der Schule wiederholt entzogen wurde und schliesslich erst durch einen einmonatlichen Urlaub die endliche Herstellung- erlangte. — Unter den Schülern war dor Gesundheitszustand im allgemeinen nicht ungünstig; doch ist auch heuer ein Todesfall zu verzoichnen, indem der vorjährige Tertianer Franz Rossi, welcher schon das ganze Schuljahr hindurch .krankheitshalber der Schule fern geblieben war, am 8. Juli seinem Leiden erlag; am 10. erwies dio Anstalt dem Dahingeschiedeuon die letzte Ehre. — 82 — ID. Verfügungen der vorgesetiten Behörden. r 1. u. 2. Erl. des h. k. k. U. M. v. 1«. 0. 78 Z. 4103 u. v. 17. 1. 79. Z. 18618, laut deren der Besuch der Landessprachen seitens der Schüler zwar dem freien Ermessen der Eltern oder Vormünder anheimgestellt, die aus denselben erhaltenen Noten aber bezüglich Feststellung der allg. Fortgangsclasse den obligaten Fächern vollkommen gleich zu halten sind. 3. Erl. des h. k. k. U. M. v. 4. 11. 78 Z. 17722, wonach auch für die halbe Schulgeldbefreiung aus Sitten u. Fleiss die 2 besten Noten erforderlich sind u. jede Befreiung überhaupt nur so lange fortzudauern hat, als die zu deren Erlangung notwendig gewesenen Bedingungen fortbestehen. 4. Erl. des h. k. k. U. M. v. 18. 1. 79 Z. 768, vermöge dessen die III. allg. Fortgangsclasse nur jenen Schülern zu erth eilen ist, welche mindestens in der Hälfte der obligaten Gegenstände ungünstige Noten erhalten, wobei 1 „ganz ungenügend“ 2 „nicht genügend“ gleich zu halten ist. 5. Erl. des h. k. k. U. M. v. 15. 4. 79 Z. 5607, womit der neue Normal-Lehrplan für Realschulen veröffentlicht wird. 6. Erl. des h. k. 1c. U. M. v. 30. 4. 79 Z. 4714 infolge dessen das obligate Turnen für die Bestimmung der II. oder III. allg. Fort- gangsclasse nicht einzurechnen ist. 7. Erl. des h. k. k. U. M. v. 2. 5. 79 Z. 6531, womit dem Lehrkörper die ehrende Mittheilung wird, dass Seine Majestät die von der Anstalt anlässlich der Feier der silbernen Hochzeit Ihrer Majestäten dargebrachten patriotischen Kundgebungen wohlgefällig zur Kenntnis zu nehmen geruhten. 8. Erl. des h. k. k. U. M. v. 14. 6. 79 Z. 8238, laut dessen die Noten aus Kalligraphie u. Freihandzeichnen zur Bestimmung der allg. HI. Fortgangsclasse nur ausnahmsweise anzurechnen sind. 11. Kundmachung, bezüglich des nächsten Schuljahres. Das nächste Schuljahr beginnt am 1. October; die Aufnahme der Schüler findet am 27.—30. September von 9—12 vormittags und (den 28. ausgenommen) von 3—5 Uhr nachmittags in der Directions-kanzlei statt. Jedor neu eintretende Schüler hat sich unter Abgabe seines gehörig ausgefüllten Nationales*) in Begleitung seiner Eltern oder deren *) Die Formulare dafür sind beim Schuldignor zum Preise von 1 kr. pe* Stück zu haben. Stellvertreter beim Director zu melden und unbedingt seinen legalen Tauf- oder Geburtsschein beizubringen; jene Schüler, welche bisher eine öffentl. Volksschule besucht hatten, haben laut h. Min. Erl. v. 7. 4. 78. z. 5416 ein diesbezügliches Frequentationzeugnis und Studirende, welche bereits die Mittelschule besuchten, ihr letztes Semestralzeugnis vorzuweisen, das bei von auswärts kommenden die Bestätigung dor vor-schriftsmässig erfolgten Abmeldung seitens der betreffenden Direction enthalten muss. Zur Aufnahme in die erste Classe ist der Nachweis über das vollendete oder in dem 1. Quartale des laufenden Schuljahres zur Vollendung gelangende 10. Lebensjahr vorgeschrieben. Ausserdem ist hierzu die Ablegung einer Aufnahmsprüfung erforderlich, bei welcher laut hoher Ministcrial Verordn, vom 14. März 1870 Zahl 2370 folgende Anforderungen gestellt werden: Jenes Mass von Wissen in der Religion, ivelches in der ersten 4 Jahrescursen der Volksschule erworben werden kann, Fertigkeit im Lesen und Schreiben der Unterrichtssprache und e-ventuell der lateinischen Schrift, Kenntniss der Elemente aus der Formenlehre der Unterrichtssprache, Fertigkeit im Analijsiren einfacher bekleideter Sätze, Bekanntschaft mit den Regeln der Orthographie und In-terpunction sowie richtige Anwendung derselben beim Dictandoschrcibcn, Uebung in den 4 Grundrechnungsarten in ganzen Zahlen. Alle Schüler haben den Bibliotheksbeitrag von 80 kr., die neu eintretenden ausserdem noch 2 ii. Aufnahmstaxe zu entrichten. Zur Aufnahme in die Vorbereitungsclasse ist nur der Nachweis über das vollendete oder im I. Quartale des betreffenden Schuljahres zur Vollendung gelangende 9. Lebensjahr beizubringen; Taxen sind in diesem Falle nicht zu entrichten. Die Aufnahme ist jedoch hier nur eine provisorische und können Schüler, deren Vorbildung sich als ungenügend erweisen sollte, im Sinne des h. Min. Erl. vom 20. Aug. 70 Z. 7648 nach Monatsfrist an die Volksschule zurückgewiesen werden. Nach Ablauf der oberwähnten Frist kann die Aufnahme nur über Ermächtigung des k. k. Landesschulrates stattfinden. ANHANG kation der zu Msteigea für teil erklärten Stier.*) Vorbereitungsclasse A. 1. Michellini Johann. 2. Beučer Franz. 3. Kabalao Peter. 4. Resen Alois. 5. Zorzini Peter. 6. Spazzapan Peter. 7. Gasser Josef. 8. Bodigoj Conrad. 9. Dugulin Johann. 10. Filiput Zurani. 11. Ellard Josef. 12. Franceschini Alois. 13. Nadale Wilhelm. 14. v. Milost öilvius. 15. Nigris Paul. 16. Kovačič Karl. 17. Palla Fortunat, 18. Quain Franz. 19. Bradaschia Yictor. 20. Lončarič Anton. 21. Polšak Conrad. Vorbereitungsclasso B. 1. llurdalek Gustav. 2. Cleinent Heinrich. 3. Schreiber Egid. 4. Ponton Josef. 5. Mosettig Paul. 6. Strechel Josef. 7. Sabatti Ignaz. 8. Madriz Eneas. 9. Peteani Karl. 10. Pelizon Johann. 11. Boschin Josef. 12. Bresca Silvius. 13. Roset Sebastian. 14. Samiz Heinrich. 15. Licen Johann. 16. Gorianz Yincenz. 17. Fidri Anton. 18. Poliak Marius. 19. Budau Emil. 20. Branz ErnBt. 21. Jaooncig Josef. 22. Vittori Jacob. 23. Grudina Johann. 24. Brass Eugen. 25. Kodermatz Clemens. 26. Baron Baselli Franz. 27. Bradaschia Alois. 28. Yelicogna Isidor. 29. Happacher Canzian. 30. Planiscig August. 31. Franzoni Remigius. 32. Rubbia Clemens. 33. Bressan Emil. *) Die mit fetter Schrift gedruckten sind Vorzugsscliüler. — 85 — I, Classe. 1. Plesničar Bencdict. 2. Kaus Franz. 3. Pitteri Egid. 4. Pacher Andreas. 5. Slocovich Hermann. 6. Bergineo Andreas. 7. Soramariva Theodor. 8. Paulini Karl. 9. Kersevani Anton. 10. Millok Franz. 11. Pečenko Josef. 12. Faidutti Heinrioh. 13. Savorgnani Yictor. 14. Goffo Isidor, 15. Nitsch Ludwig. 16. Brumftt Josef. 17. Failutti Anton. 18. Czar Georg. 19. Grübler Rudolf. 20. Hübel Franz. 21. Bradioich Anton. 22. Kodrich Anton. 23. Seculini Ferdinand. 24. Defranceschi Johann, 25. Perco Andreas. 26. Albisser Yictor. II. Classe. 1. Albrecht Emil 2. Coceancig Jacob. 3. Fabris Engel. 4. Ussai Anton. 5. Brosch Johann. 6. Rosanz Eduard. 7. Pečenko Albert. 8. Kovačič Friedrich. 9. Yinzi Franz. 10. Spongia Marius. 11. De R6 Alois, 12. Kornmüller Emil. 13. Schreiber Karl. 14. Prešel Johann. 15. Trusnovic Rudolf. 16. Panzera Anton. 17. Jellen Karl. 18. Berze Ludwig. 19. Hartmann Alois. 20. Czar Emil. 21. Romano Anton. 22. Streinz Josef, III. Classe. 1. Huber Alois. 2. Kranjec Johann. 3. Ličen Karl. 4. Fumis Georg. 5. Venier Valeriau. 6. Forcessin Clemens. 7. Fortis Oscar 8. Macutz Eduard. 9. Pan Romeo. 10. Avanzini Karl. 11, Prister Heinrich. 12. Gorian Dominik. 13. Dinarich Franz. 14. Gortani Adolf. 15. Licen Max. 16. Nanut Yictor. 17. Genuizzi August. 18. Delchin Josef. 19. Nardini Adolf. 20. Luxa Victor. 21. v. Szüts Karl. 22. Jasnig Friedrich. 1. Bertossi Roger. 2. Furlani Ludwig. 3. Sussmel Anton. 4. Bresnig Ludwig, 5. Kaucic Eugen. 6. Frantz Arthur. 7. Dralka Yictor. 8. Goglia Victor. 9. Simonis Josef. 10. Umfer Vincenz. 11. Jurissovich Anton. 12. Sollak Alois. 13. Paternolli Guido. 14. Raza Alois. 15. Ratzmann Alois. 16. Lazzar Heinrich. 17. Mreule Felix. V. ('lasse. 1. Haller Karl. 2. Veltzö Alois. 3. Riaviz Eduard. 4. Negri Ernst. 5. Stein Max. 6. Avanzini Michael. 7. Gaspari Karl. 8. Tercič Josef. 9. Colautti Nicolaus. 10. Cantarutti Alois. 11. Forcellini Lorenz. 12. Hcborling Rudolf. VI. Classe. 1. Audriani Anton. 2. Stegü Anton. 3. v. Ruepprecht Theodor. 4. Bruschina Anton. 5. Zavnik Johann. 6. Mosettig Franz. 7. .Taconcig Karl. 8. Graf Dehnestri Yiclor. 9. Reggio Arthur. 10. Iloberling Franz. 11. Pelican Emil. VII. Classe, 1. Franz Emil. 2. Corgnolan Alois. 3. Borghesaleo Anton. 4. Rustia Josef. 5. Kopriva Ferdinand. 6. Bernardis Vincenz. 7. Bresnig Johann. 8. Möstl Anton. 9. Blasig Karl. Geogr. I. v. Ferro: 31° 19' Sce-H'Meter Geogr. B. 45' 56 Kord. U e b e i c h t der meteorologischen Beobachtungen im Ja*1! der meteorologischen Station der O berre^ihul© O o o r z. Monat Mittel. iJänner Februar März . lApril . Mai . Juni . Juli August, September October . November Dezember 'Jahr . . 1.39 4.76 6.71 13.31 18.26 20.81 22.75 22.30 19.80 13.93 7.47 1.G7 12.77 Max. 7.5 15.1 17.2 22.2 26.4 28.7 32.4 29.3 29.8 21.0 16.8 8.6 32.4 •atur der Luft Luftdri Tag Min. Tag. Mittel 17. -5 8 12. 755.72 24. —3.8 5. 760.83 4. —2.3 16. 752.63 16. 5.4 3. 751.17 15. 12.8 26. 752,37 25. 14.1 1. 753.25 25. 13.5 5. 751.59 30. 17.1 26. 751.04 9. 11.8 27. 752.56 1. 3.6 31. 753.67 28. 0.0 8. 750.96 1. —5.4 j 17. 748.94 *5/7 —5.8 12/i 752.89 Inietern »jr 7 6* l 7# 7f,0.| '6¥ 75ß‘ 763? 7ß7-' h u Mittlerer üunst- Druek. Min. ! Tag. 733.7 I 25. 3.47 749.9 j 12. 4.41 738.0 24. 4.91 739.0 2. 7.34 747.5 26. 10.36 743.1 15. 12.13 744.6 26. 14.03 740.7 24. 14.10 741.8 26. 12.01 745.0 30. 9.93 735-4 14. 6.49 736.4 9. 4.12 733.7 S5/i 8.28 Feuchtigkeit der Luft iu % 1 Mittl. Min. Tag. I 64.84 ~30 27. 67.86 41 24. I 65.32 30 5. 66.17 25 10. 69.06 31 4. 67.83 33 26. 69.81 40 17. 71.00 39 1. 76.23 37 3. 83.19 47 4‘ 1 82.10 43 3. 77.16 49 24 u. 25. I 71.71 25 10A Monat Jänner IlFebruar . März . . April . . Mai . . fjimi . . Juli . . lAugust September October . November JjDezember (.Jahr . . Niederschlag Mon.Sume Tag 48.10 1.10 112.70 102.20 167.30 120.40 217.30 113.40 415,20 380.90 307.30 130.80 2116.70 26. 29. 24. 21. 14. 2. 3. 21. 28. 15. 17. sl/9 lag Mittlere Bewölkung Zahl der Tage ^dvertheiluug nach Percenten ■ Max. in 24 Stund Niedersclilag | Gewittcf^ K NO. 0. SO. S. 20.40 4.0 7 I — M 3 21 5 21 ! 1 1.10 2.5 1 v 13. 5 12 2 49.40 5.1 14 7 Ž 14 3 13 4 37.00 5.2 14 2 V 16 4 10 8 98.70 5.1 12 1 v 4 4 14 — 33.00 4.7 16 4 V 14 . - 20 4 46.40 4.9 18 5 j V 14 5 11 9 31.20 4.5 12 f> v. 20 3 12 4 149.20 4.6 12 5 V. 29 6 16 2 78.00 6.5 23 3 20 7 24 ' 9 84.50 7.2 18 3 J L 32 8 20 1 — 35.20 6.2 14 _ 56 2 17 1 — 149.20 5.0 161 29 [0,4 21.1 1 4.3 1 15.8 8.6 SW. 5 7 8 14 22 16 11 8 10 4 6 2 9.5 W. 2 3 2 3 2 3 2 2 1.5 NW. 1 2 2 2 3 2 2 4 4 1.8 Mittlere Windstärke. 0.0 0.9 1.3 0.8 0.9 0.8 1.5 0.9 1.1 1.2 1.0 0.8 1.0 pxo^ ec ti uuc l?e- ^Ö.ö-ß ccta dCti. i v>,| cicit 11 ä 1. 3i/ ds/bs/C /w ds/ \J c /M k V! , J-£^ .-.V -liE *' jT —%-3V- IkZ. Cy^ d / j. \ ./ :;'V- ■> j/ Ay//y A 4..../ :• //// yc; // 'N ‘v / i /// / / \ / / Xlfh.v.Cuben\er &Hierhanimer Men. 'd)D,cozcbcot ve\, / * ih \ 42 S. c/vt iX^-t c \\AfUx cn