MERIA SCENARIJI IN MODULI (ta stran je namenoma prazna) MERIA SCENARIJI IN MODULI NASLOV IZVIRNIKA Mathematics Education – Relevant, Interesting and Applicable MERIA SCENARIOS AND MODULES https://meria-project.eu/sites/default/files/2019- 09/MERIA%20Scenarios%20and%20Modules.pdf GLAVNI UREDNIK Kristijan Cafuta AVTORJI BESEDILA Sanja Antoliš, Jeanette Axelsen, Matija Bašić, Rogier Bos, Kristijan Cafuta, Aneta Copić, Gregor Dolinar, Michiel Doorman, Britta Jessen, Željka Milin Šipuš, Selena Praprotnik, Sonja Rajh, Mateja Sirnik, Mojca Suban, Eva Špalj, Carl Winsløw, Petra Žugec, Vesna Županović DIZAJN Irina Rinkovec PREVOD V SLOVENŠČINO Kristijan Cafuta, Selena Praprotnik, Mojca Suban Izdal in založil: Zavod Republike Slovenije za šolstvo Predstavnik: dr. Vinko Logaj Spletna izdaja Ljubljana, 2019 Publikacija je objavljena na povezavi https://www.zrss.si/pdf/meria_scenariji_in_moduli.pdf ----------------------------------- Kataložni zapis o publikaciji (CIP) pripravili v Narodni in univerzitetni knjižnici v Ljubljani COBISS.SI-ID=302204416 ISBN 978-961-03-0451-7 (pdf) ----------------------------------- Projekt MERIA, avgust 2019. www.meria-project.eu Ta dokument je zaščiten z licenco za prosto uporabo avtorskih del. Vsebina dokumenta odraža zgolj mnenja avtorjev. Evropska komisija ne odgovarja za kakršno koli uporabo informacij, ki jih vsebuje ta dokument. (ta stran je namenoma prazna) Kazalo Uvod....................................................................................................................................................... 2 MERIA modul »Tovarna koles« .................................................................................................... 5 MERIA modul »Zavorna pot« ..................................................................................................... 18 MERIA modul »Vodnjaki v puščavi – uvod«.......................................................................... 36 MERIA modul »Zaposlitveni oglas« ......................................................................................... 51 MERIA modul »Tobogan« ............................................................................................................ 63 1 Uvod Knjižica MERIA scenariji in moduli predstavlja enega izmed temeljnih rezultatov projekta MERIA in obsega pet učnih scenarijev in njim pripadajočih modulov. »Model« ali vzorec scenarijev in modulov je bil predstavljen v knjižici Predloga MERIA za scenarije in module, kjer je bil prav tako objavljen vzorčni scenarij s pripadajočim modulom. Izdelava teh materialov temelji na teoretični podlagi, ki je predstavljena v publikaciji Priročnik MERIA za poučevanje matematike s preiskovanjem. Scenarij opisuje didaktično situacijo, ki se lahko realizira med učno uro, ter epistemološke predpostavke in sklepanja v ozadju scenarija. Opisuje tudi cilje situacije glede na področje kurikuluma, specifične pričakovane dosežke in kompetence ter zagotavlja jasno strukturo učne ure v skladu s Teorijo didaktičnih situacij (TDS). Modul zraven scenarija vključuje še pisne in elektronske materiale, kot so naloge za dijake ali elektronske delovne liste, jasne utemeljitve za izbiro določenega problema (oz. problemov) in metode poučevanja z nadaljnjimi vidiki Učenja matematike v realnem kontekstu (RME). Poleg tega modul vsebuje tudi izkušnje in dosežke, ki so bili zbrani ob izvajanju scenarija, vključno s potencialnimi prednostmi in pomanjkljivostmi za dijake s specifičnim predznanjem. Uporaba scenarija je lahko za učitelja zahtevna naloga. Osnovna ideja včasih ni očitna in pričakovane standarde znanja je včasih težko doseči. Zato moduli natančneje pojasnjujejo avtorjeve namere in učitelju nudijo podporo, tako da so opisane variacije, ki jih lahko pričakujemo pri izvajanju scenarija. Iz tega razloga so tukaj objavljeni celotni moduli. Scenariji so v uporabniku prijaznejši različici objavljeni na spletni strani projekta. Vsi scenariji nudijo dijakom priložnost za uporabo IKT pri matematičnem preiskovanju, problemov pa se lahko lotijo tudi brez uporabe tehnologije. Tudi te variacije so opisane v scenariju ali modulu. Vsi dodatni učni materiali in gradiva za vsak scenarij so objavljeni na spletni strani projekta MERIA. Treba je opozoriti, da je potreben čas, da se dijaki navadijo na učenje s preiskovanjem in da učitelji najdejo ravnovesje med pretirano intervencijo (ki uniči dijakove priložnosti za preiskovanje) in puščanjem dijakov s premalo sredstvi za smiselno preiskovanje. Projektna skupina MERIA je trdno prepričana, da je za učitelja optimalno preizkusiti scenarije tekom cikla strokovnega izpopolnjevanja v obliki MERIA delavnic podprtih z branjem Priročnika MERIA za poučevanje matematike s preiskovanjem. V obdobju med julijem 2017 in decembrom 2018 je projektna skupina MERIA razvila približno deset različnih scenarijev iz področij, ki se ujemajo z učnimi načrti vseh štirih partnerskih držav: Danske, Hrvaške, Nizozemske in Slovenije. Projektu so se v vsaki državi pridružile tri do štiri šole, v katerih so se scenariji testirali. Najlepša hvala našim partnerjem v pridruženih šolah za njihovo predano delo. Pridružene šole so: 2  iz Hrvaške: Gospodarska škola Varaždin, Tehnička škola Požega, Elekstrostrojarska škola Varaždin, XII. gimnazija Zagreb  iz Danske: ZBC, Next København, Roskilde Katedralskole  iz Nizozemske: Comenius College Hilversium, Hermann Wesseling College, Stedelijk Gymnasium Utrecht  iz Slovenije: Ekonomska šola Novo mesto, Gimnazija Jesenice, Gimnazija Franca Miklošiča Ljutomer Proces preizkušanja scenarijev je privedel do več revizij in podal zelo zanimive informacije, ki so pripomogle k izboljšanju scenarijev. Ključno je bilo za to knjižico izbrati 5 modulov kot najpomembnejše (za vse države) in najuspešnejše izdelke tega projekta. Učitelji iz pridruženih šol so se najprej spoznali s teoretičnim ozadjem preko interaktivnih delavnic, ki so jih pripravili člani projekta. Na ta način so se učitelji pripravili na delo s scenariji. Izvajanje vsakega scenarija v razredu so opazovali člani projekta ali drug učitelj iz iste šole. Po izvedbi so učitelji analizirali izvedbo ure s pomočjo vprašalnika in ustno poročali članom projektne skupine na naslednjem sestanku. Delo dijakov je bilo dokumentirano in tudi dijaki so izpolnili kratek vprašalnik, v katerem so poročali o tem, v kolikšni meri se je učna ura izkazala kot zanimiva in ali bi se radi ponovno udeležili podobne dejavnosti. Dodatne informacije o vprašalnikih, poročilih in metodologiji so na voljo v publikaciji MERIA project impact analysis (MERIA analiza učinkov projekta). Pet scenarijev, za katere so v tej publikaciji predstavljeni celotni moduli, smo izbrali na podlagi kriterijev, določenih na sestanku projektne skupine v Kopenhagnu avgusta 2018: potencial za preiskovanje in adidaktična potencial scenarija, izvedljivost scenarija za dijake in učitelje, ustreznost teme iz vidika ustreznosti in uporabnosti, odzivi dijakov in raznolikost tem, ki so prisotne v srednješolskih učnih načrtih partnerskih držav. Izbor MERIA scenarijev tako zajema naslednje teme: modeliranje preprostega poslovnega problema z uporabo odsekoma linearne funkcije, ugotavljanje, kako je zavorna pot odvisna od hitrosti z uporabo kvadratne funkcije, reševanje elementarnega geometrijskega problema z uporabo simetral daljic, sklepanje o porazdelitvi plač v podjetjih z uporabo aritmetične sredine, modusa in mediane ter oblikovanje ukrivljenega predmeta (tobogan ali smučarska skakalnica) kot gladke krivulje. Namen projekta ni bil zajeti čim večje število tem (skupnih) srednješolskih načrtov, ampak ponuditi vzorčne primere kot podporo učiteljem pri uvajanju učenja s preiskovanjem v svoje delo. Menimo, da so vključeni scenariji primerni za razvoj matematičnega modeliranja in postopne formalizacije, postavljanje hipotez in dokazovanje, znanstveni pristop, spodbujanje razumevanja namesto pomnjenja, kritično razmišljanje, samostojno preiskovanje in uporabo matematike v primerih iz vsakdanjega življenja. Uvod zaključujemo s predstavitvijo vsakega izmed petih scenarijev s stališča problema, ki ga predstavimo dijakom, in pričakovanih standardov znanja, ki jih želimo doseči. 3 V prvem scenariju dijaki preučijo podatke o proizvodnji koles in izgradnji tovarne na štirih različnih lokacijah, da bi lahko podjetju svetovali, kako najti najboljšo lokacijo glede na predvideno proizvodnjo. Proizvodnjo na vsaki lokaciji lahko modeliramo z linearno funkcijo in dijaki lahko razvijejo različne strategije za primerjavo lokacij. Dijaki uporabljajo grafične predstavitve in tehnologijo, kritično razmišljajo in povzamejo svoje ugotovitve v poročilu, ki ga napišejo za podjetje. V drugem scenariju dijaki preučijo odvisnost zavorne poti od hitrosti vozila ob začetku zaviranja. Odvisnost je kvadratna, kar je za dijake nadgradnja znanja o funkcijah (pričakovano predznanje je poznavanje linearne funkcije). Scenarij torej služi kot uvod v kvadratne funkcije in izboljšuje računske spretnosti, spodbuja sklepanje in vključuje življenjske primere ter jih povezuje z občutkom odgovornosti. V tretjem scenariju dijaki dobijo zemljevid puščave s šestimi vodnjaki z nalogo, da zemljevid razdelijo na območja glede na razdaljo točk do vodnjakov. Za rešitev problema (konstruiranje tako imenovanih Voronoijevih diagramov) je potrebno uporabiti simetrale daljic med pari točk. Dijaki lahko uporabijo posebej zasnovane programe za preiskovanje problema in za konstruiranje podobnih situacij, ki vodijo v preiskavo cikličnih konfiguracij točk. Četrti scenarij se osredotoča na preprosto statistično sklepanje o naboru danih podatkov, ki predstavljajo plače zaposlenih v nekaj različnih podjetjih. Naloga dijakov je analiza podatkov in oblikovanje zaključka, kje bi se najraje zaposlili. Od dijakov se pričakuje, da uporabijo opisnike osredinjenosti podatkov, kot recimo aritmetična sredina in mediana, vendar lahko njihova analiza zlahka pripelje do drugačnih pogledov na problem, na primer grafičnih predstavitev percentilov itd. V petem scenariju dijaki konstruirajo tobogan, sestavljen iz ravnega in ukrivljenega dela, ki jih je potrebno gladko povezati – pri čemer ima »gladko« natančno matematično definicijo. Dijakom se samo naroči, da konstruirajo tobogan na način, ki omogoča udobno vožnjo. Naloga je torej analizirati, kako oba dela povezati, in odkriti, da mora biti ravni del v točki stika tangenten na ukrivljeni del. Dijaki lahko izberejo različne krivulje za ukrivljeni del in nato konstruirajo tangento s pomočjo različnih strategij. Problem se lahko v primeru krivulj drugega reda reši na elementaren način, pri drugih krivuljah pa problem vodi dijake do ideje odvoda funkcije. 4 MERIA modul »Tovarna koles« Linearna in odsekoma linearna funkcija Učni scenarij Standardi Konstrukcija odsekoma linearne funkcije, določene kot rešitev znanja problema, v katerem je podan seznam linearnih pogojev. (pričakovani dosežki) Splošni cilji Risanje grafov (linearnih) funkcij na papir in z uporabo IKT. Razprava o raztegu grafov vzdolž ene od osi. Poglobljeno razumevanje linearne funkcije (naklona a in konstante b) preko uporabe linearnih pogojev za konstrukcijo odsekoma linearne funkcije. Razprava o zveznih in diskretnih vidikih v povezavi z algebrsko in grafično predstavitvijo v procesu modeliranja. Preiskovalne veščine: eksperimentiranje s številkami pred risanjem grafov, neupoštevanje nepomembnih podatkov in očitnih neoptimalnih tovarn, interpretiranje rezultatov, dobljenih v procesu modeliranja, prevzem odgovornosti za končno poročilo in predstavitev ugotovitev v obliki nasveta. Interdisciplinarne veščine: dijaki lahko razpravljajo o različnih ekonomskih vidikih problema, kot je razlika med dobičkom in prihodkom. Pri pisanju poročila so poudarjene komunikacijske spretnosti. Potrebno Risanje grafa linearne funkcije. Poznavanje zapisa 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 in matematično pomen koeficientov a in b. predznanje Letnik Dijaki, stari 15–16 let Trajanje 50 minut (80 minut) Potrebni Preglednica s podatki o stroških material Območje Stroški gradnje Stroški proizvodnje tovarne v € za eno kolo v € A 300 000 120 B 450 000 110 C 660 000 60 D 680 000 80 Karo papir in/ali elektronska predloga za spreminjanje linearnih pogojev in/ali IKT v splošnem za risanje grafov funkcij, spreminjanje in dodajanje pogojev, iskanje presečišč itd. Bela/zelena širša tabla ali interaktivna tabla. 5 Problem Si v vlogi svetovalca, ki podjetjem svetuje, kje naj zgradijo tovarno za proizvodnjo koles. Tvoje izhodišče je preglednica s stroški za obratovanje tovarne na različnih območjih. Kakšen bi bil tvoj nasvet podjetju v zvezi z izborom lokacije za tovarno in zakaj?1 Faza Dejavnosti in navodila učitelja Dejavnosti in odzivi dijakov Devolucija Učitelj pove dijakom: Dijaki poslušajo in skušajo (Prenos) Si v vlogi svetovalca, ki podjetjem razumeti pomen problema ter se (didaktična) svetuje, kam naj umestijo tovarno ga zavzeto lotijo. Lahko imajo za proizvodnjo koles. Kakšen bi vprašanja glede pomena dane 5 minut bil v splošnem tvoj nasvet tabele in samega problema. podjetju? Učitelj mora učencem izrecno Delajte v paru in se pripravite, da dati možnost, da postavijo takšna boste kasneje predstavili svojo vprašanja, da se prepričajo, da rešitev. bodo vsi razumeli nalogo. Reševanje Učitelj opazuje in beleži, katere Dijaki v parih preizkušajo (Delovanje) strategije za rešitev problema so različne strategije in ideje, (adidaktična) uporabili dijaki. Na ta način dobi skladno z njihovim predznanjem. učitelj tudi vpogled v predznanje Glejte razdelek spodaj Možni 15 (20) minut dijakov. Pomembno je, da učitelj načini, kako lahko dijaki dosežejo dijakom ne daje namigov in se standarde znanja. Ker dijaki izogne komunikaciji z dijaki, delajo v parih, bo prisotna razen če je potrebno ponoviti adidaktična formulacija. problem. Formulacija Učitelj izbere skupine (najmanj Pari predstavljajo svoje odgovore (Zapis 5), ki predstavijo različne po vrstnem redu, ki ga določi ugotovitev) strategije na tabli. Tabla naj se učitelj (najprej bolj preproste (didaktična) pred tem razdeli na (vsaj) 5 rešitve, s številkami, kasneje delov. Izbrani pari lahko zapišejo rešitve z grafi in funkcijami). 10 (15) minut svoje odgovore, preden jih povedo ustno. Dijaki svojih zapisov na tabli ne smejo več brisati. Ko dijaki zapišejo svoje odgovore, jih predstavijo še ustno. Začnejo z najbolj preprosto rešitvijo. Učitelj vzpodbudi ostale dijake v razredu, da zastavljajo vprašanja in komentirajo predstavitve. Na tej točki ni potrebna potrditev veljavnosti napisanih odgovorov. 1 Navdih problema je v Nalogi 2.10, ki je obravnavana v knjigi » Primijenjena matematika podržana računalom«, ki jo je v okviru projekta »STEM genijalci« zasnovala tudi soavtorica tega scenarija. 6 Devolucija Učitelj pove dijakom: V paru Dijaki poslušajo. (Prenos) razpravljajte o podobnostih in (didaktična) razlikah predstavljenih rešitev. Učitelj mora poskrbeti, da dijaki Razmislek uporabite za razumejo navodilo. 1 minuta izboljšanje svojega odgovora vodstvu podjetja. Po 5 (10) minutah boste ponovno pozvani, da predstavite ugotovitve. Reševanje Učitelj hodi po razredu in Pari navajajo podobnosti in (Delovanje) / spremlja, kaj so pari opazili in razlike predstavljenih rešitev, pri Formulacija razpravljali ter kako uporabljajo čemer skušajo razumeti vse (Zapis ugotovitve drugih parov. strategije in izboljšati svojo ugotovitev) rešitev. (adidaktična) 5 (15) minut Verifikacija Učitelj k poročanju povabi Različni dijaki poročajo o (Potrditev) različne pare, da bi nanizali čim ugotovljenih podobnostih in (didaktična) več ugotovitev in spremenjenih razlikah in razložijo, kako so z odgovorov. rešitvami preostalih parov 10 (15) minut Prizadeva si, da bi dijaki ugotovili izboljšali svojo rešitev. Lahko tudi morebitne napake v prejšnjih nakažejo pomanjkljivosti rešitvah. nekaterih rešitev. Institucionaliz Učitelj poudari, da ni enega Dijaki poslušajo in prepoznajo acija pravilnega odgovora, temveč je ta svojo strategijo v povezavi z (Oblikovanje odvisen od števila izdelanih definicijo ter razmišljajo, kako se ustaljenega koles. Svojo razlago najprej to primerja s preostalimi zapisa) utemelji z rešitvami učencev na strategijami reševanja. (didaktična) tabli, nato pa uvede zapis odsekoma linearne funkcije s Delajo si zapiske. 5 (10) minut primerom (enoto € izpusti): 120𝑥 + 3 ⋅ 105, 𝑥 ≤ 𝑎 𝑓(𝑥) = { 60𝑥 + 6,6 ⋅ 105, 𝑥 ≥ 𝑎 kjer je a = 6000. Lahko je zapisana tudi kot 𝑓(𝑥) = 120𝑥 + 300 000, x ≤ 𝑎 ℎ(𝑥) = 60𝑥 + 660 000, 𝑥 ≥ 𝑎. To uporabi, da povzame, kako svetovati podjetju: območji B in D nista nikoli optimalni, medtem ko sta območji A in C optimalni za proizvodnjo pod oziroma nad 6000 kolesi. Funkcija optimalnih stroškov je odsekoma linearna funkcija (definirana na množici naravnih števil). 7 Možni načini,  Nekateri dijaki poskušajo za občutek uporabiti kakšna konkretna kako lahko števila, kot na primer: dijaki o Nekateri dijaki za začetek izračunajo ceno za konkretna dosežejo števila koles v vsakem območju. Uporabijo lahko strategijo standarde poskusov in napak ter poskusijo najti število, pri katerem za znanja dve območji izračunajo enako ceno. o Dijaki lahko za vsako območje pripravijo preglednico in izračunajo končni strošek za dano število koles, stroške primerjajo in izberejo najcenejšo rešitev za dano število koles (to lahko naredijo brez ali z uporabo računalnika). o Primerjajo lahko dve lokaciji in pokušajo izračunati, kako bi lahko razliko med fiksnimi stroški nadomestili z razliko med variabilnimi stroški (na primer koliko koles morajo izdelati, preden bo B boljši od A); za oblikovanje popolnega odgovora je potrebno narediti šest takšnih primerjav.  Nekateri dijaki takoj poskusijo s funkcijami in zapišejo štiri enačbe funkcij, kjer vsaka funkcija predstavlja strošek proizvodnje x koles: 𝑓(𝑥) = 120𝑥 + 300 000, 𝑔(𝑥) = 110𝑥 + 450 000, ℎ(𝑥) = 60𝑥 + 660 000, 𝑘(𝑥) = 80𝑥 + 680 000. o Grafe funkcij narišejo v koordinatni sistem ali sisteme in glede na graf utemeljijo izbiro območja za postavitev tovarne. o Dijaki, ki uporabljajo karo papir, lahko razberejo koordinati presečišča na koordinatnih oseh. o Dijaki, ki uporabljajo IKT, bodo morda takoj narisali vse linearne funkcije, vendar lahko naletijo na težave pri prilagajanju koordinatnih osi, zaradi česar bodo težko razločili posamezne funkcije. o V vsakem primeru se interpretacija funkcij in potreba po minimiziranju stroškov ne porodita samodejno, ampak zahtevata poglobljeno razmišljanje o problemu. Prisotne bodo tudi napake, kot je na primer neupoštevanje razlike med stroški proizvodnje in prodajno ceno ali dobičkom, itd. o Presečišča funkcij dijaki najdejo s primerjanjem parov enačb funkcij. Pomagali si bodo z grafi funkcij, da ugotovijo, kateri pari enačb so pomembni. Za uporabo te strategije so potrebne veščine reševanja enačb.  Dijaki lahko pridejo do različnih zaključkov. o Ne glede na to, ali dijaki delajo s številkami (in preglednicami) ali funkcijami (in grafi) bodo nekateri ugotovili, da ni enega samega »najboljšega območja«, ampak da je nasvet o izbiri odvisen od števila proizvedenih koles. Zaključek je lahko bolj ali manj natančen in predstavljen opisno, z enačbami, grafi, itd. 8 o Nekateri dijaki bodo podali hiter in napačen odgovor, kot na primer »A je najboljša izbira, ker je pri izračunu stroškov za proizvodnjo 1, 2, …, 10 koles, cena tam vedno najnižja.«  Primeri grafov in enačb, ki bi jih lahko izdelali dijaki (na papirju ali, kakor tukaj, z uporabo tehnologije) z namenom, da ugotovijo, kako so različna območja bolj ekonomična za različno število proizvedenih koles. Pojasnilo glede materialov za dijake Zgodba o svetovanju in tabela s stroški je namenjena temu, da bi pritegnila dijake v fazi devolucije. Tabelo lahko razdelimo dijakom na listih ali pa jo zapišemo na tablo (ali pametno tablo), lahko jo podamo v PowerPoint predstavitvi ali pa jo dijaki prenesejo na računalnike/pametne telefone ali kaj podobnega. Dijaki v nekaterih državah poznajo načela modeliranja, v drugih pa ne. Če je potrebno, si lahko učitelj vzame več časa, da pojasni podatke v tabeli. Dijaki lahko pri reševanju uporabljajo mobilne telefone, grafični kalkulator, GeoGebro, Wolfram Alpha, karirast papir, ravnilo in/ali IKT na splošno, da narišejo, spreminjajo in dodajajo pogoje, iščejo presečišča idr. Da zagotovimo dovolj prostora za predstavitve vseh dijakov, ki naj ostanejo vidne do konca ure, potrebujemo široko tablo ali posterje. Poleg tega potrebujemo še prostor za učiteljevo institucionalizacijo. Variacije na podlagi didaktičnih spremenljivk Fokus v didaktičnih fazah naj temelji v prvi vrsti na zapisih dijakov in potrditvi njihovih dognanj. V adidaktičnih fazah ne dajemo namigov o rešitvah. V tem delu bomo povedali, kaj lahko spremenimo v didaktičnih spremenljivkah scenarija. Učitelj naj dijakom razloži, da je ta finančni model poenostavljen in zanemari mnogo vplivov. V resnici so modeli večinoma poenostavitve. V našem računu upoštevamo: a) ceno gradnje tovarne na izbranem območju, b) ceno proizvodnje enega kolesa v tovarni. 9 V skladu z običajnimi definicijami imamo tudi druge fiksne stroške obratovanja, celo v situaciji, ko ni proizvodnje. Fiksni stroški obratovanja vključujejo ceno gretja, plače stalno zaposlenih in podobno. Te stroške zanemarimo. Stroški b) predstavljajo spremenljive stroške, ki so odvisni od količine proizvodnje, vključujejo pa material, ceno delov strojev, ki jih je potrebno zamenjati, porabo električne energije za stroje, plače sezonskih delavcev ipd. Problem lahko posplošimo tako, da dodamo še druge stroške, vendar ima pričujoči model le dva tipa stroškov. Poročilo svetovalca naj bo osnovano samo na stroških a) in b). Lahko tudi eksplicitno določite, naj poročilo vsebuje le dane informacije, čeprav samostojne predpostavke ali ocene dijakov pripomorejo k bogatejšemu naboru rešitev (npr. rešitev dveh danskih dijakov, ki je seveda delno napačna). Preprečevanje »napačnih odgovorov« ni naša prva skrb, saj se dijaki lahko iz njih nekaj naučijo. Izziv zgodbe je, da se bo direktor podjetja odločil o lokaciji glede na analizo svetovalca. Ni potrebno, da svetovalec (dijak) ve, ali podjetje načrtuje veliko ali malo količino proizvedenih koles, kar pa dijaki včasih spontano privzamejo. Ko se direktor odloči, bodo tovarno postavili le na eni lokaciji in tam bo ostala. Tovarne ne morete premikati. Didaktično okolje (Milje): ceno (količina in tip) lahko izberemo drugače, za začetnike pa je mogoče bolje, da med grafi minimalnih stroškov ni veliko presečišč. V našem primeru je le eno tako presečišče pri x = 6000. Kadar je presečišč več in so si blizu, problem postane bolj umeten. Na primer, ni najbolje, če imamo dve presečišči pri 𝑥 = 5000 in = 5050. 1 𝑥2 To bi razumeli, kot da izberemo drugo lokacijo zaradi 50 koles. Spremenimo lahko tudi izdelke in druge elemente problema. Tovarne, ki proizvajajo več izdelkov z robnimi pogoji, vodijo do več spremenljivk, kot pri linearnem programiranju. Med fazo verifikacije (potrditve) je pomembno, da napačne strategije ali formule popravijo, kolikor je le mogoče, drugi dijaki. Učitelj lahko vplete ostale dijake v razredu z vprašanji kot so: Ali lahko ponovite, kar so povedali sošolci? Je to v redu? Zakaj tako mislite? Od kod to veste? Vprašanja, ki jih postavlja, so odvisna od predznanja in dosežkov razreda. Trajanje faz lahko priredimo glede na delo dijakov. Med prvo fazo reševanja (delovanja) dijakom ne povemo, kaj naj izračunajo ali katero določeno matematično orodje naj uporabijo, kot na primer linearne funkcije. Če učitelj dvomi, ali dijaki razumejo zahtevano predznanje, naj postavlja vprašanja kot: Kako lahko primerjamo stroške? Ali lahko katero izmed lokacij zanemarimo? Zakaj? itd. Predlagana vprašanja naj učitelj postavi le skupinam ali posameznikom, če večina ostalih dijakov nima težav s predznanjem. Učitelj naj ne predava vsaki skupini posebej. Poleg tega, ni potrebno da ostane s skupino, dokler nima odgovora na tako vprašanje. Vprašanje je le manjša devolucija omejenega problema, potem pa pustimo dijake, da delujejo, formulirajo in potrdijo. Ne podpirajte jih z dodatnimi vprašanji ali namigovanji o 10 odgovoru. Če bi morala večina razreda razmisliti o teh vprašanjih, fazo skrajšamo in vprašanja postavimo pred celotnim razredom; taka potreba običajno pomeni, da je bil začetni problem pretežek ali nejasen, čemur se želimo izogniti. Vmešavanja med drugo fazo reševanja, formulacijo in potrditvijo: Glavne smernice so podobne tistim zgoraj. Če se nekatere skupine s težavo lotijo problema, lahko učitelj predlaga, naj svojo strategijo primerjajo s primerno strategijo druge skupine. Ta primerljiva strategija mora biti previdno izbrana z matematičnega vidika, med njima morajo biti jasne podobnosti. To je podobno, kot nova devolucija (prenos) rahlo manj odprtega podproblema tej skupini. Če je iskanje podobnosti in različnosti za dijake preveč neoprijemljivo, lahko učitelj izbere devolucijo bolj določene naloge, kot na primer: »Poiščite eno rešitev druge skupine, ki jo lahko uporabite za izboljšanje svoje rešitve, potem pa to storite; nato poiščite napako ali pomanjkljivost v eni izmed rešitev in pojasnite, zakaj se ne strinjate.« Med končno fazo institucionalizacije je pomembno, da se dotaknete večine (če že ne vseh) strategij iz razreda in jih med seboj povežete. Če učitelj razmisli o možnih strategijah, mu to pomaga krmariti in predvidevati proces preiskovanja dijakov. Medtem ko učite, se spomnite, da ste del dinamičnega sistema – dijakom moramo dovoliti, da se prilagodijo okolju, torej ne moremo pričakovati, da bodo vsi prišli do enakih odgovorov! Proces preiskovanja vsebuje vse faze. Mogoče bo potrebna več kot ena učna ura, preden se bodo dijaki v celoti vpletli v tak način poučevanja. Mogoče je pomembno poudariti, da se lahko učimo tudi od alternativnih ali celo napačnih rešitev. Nekateri učitelji sestavijo shemo možnih strategij dijakov, ki jo uporabljajo med adidaktičnimi fazami. Pričakovane strategije si lahko zapišete na kos papirja in za vsako strategijo si lahko učitelj sestavi na primer tri vprašanja, ki bi bila zanj lahko uporabna, ko skupina predstavi določeno strategijo. Med adidaktičnimi fazami si lahko učitelj zabeleži, katere skupine razpravljajo o različnih strategijah in beležke uporabi pri organizaciji nadaljnjih didaktičnih faz formulacije in potrditve. Opažanja iz prakse Pomembna ugotovitev scenarija je, da so se učitelji trudili ne učiti skozi vse faze scenarija. To je prijetna izboljšava, ki ohranja adidaktični potencial situacije. Dijaki so imeli nekaj vprašanj, ki so pojasnila problem. Nekateri so razmišljali o dobičku, namesto o stroških. Nekateri dijaki so bili na začetku (prva devolucija) zmedeni in so spraševali o kvaliteti koles, prodajni ceni, davkih, številu proizvedenih koles … Nekateri so zelo hitro ugotovili: Tisti z najmanjšim naklonom je najcenejši. Med fazo reševanja, so dijaki prikazali naslednje pristope: I. modeliranje z linearnimi funkcijami in risanji grafov  I.1. risanje na roko in izračun presečišč kot rešitev sistema linearnih enačb;  I.2. uporaba tehnologije za risanje grafov in iskanje presečišč (ne vedno uspešno). II. Primerjanje parov ploščin in analiza rezultatov  II.1. uporaba linearnih enačb; 11  II.2. direktno iz tabele, s primerjavo fiksnih stroškov;  II.3. druga razmišljanja, ki temeljijo na računanju ploščin in njihovi primerjavi, včasih z izmišljenimi predpostavkami in napakami. Primerjava:  Pristopa I.1 in I.2. sta podobna, z očitno razliko pri uporabi tehnologije. Dijaki so pripomnili, da je pristop I.2. bolj natančen in zato (naj)boljši, mi pa bi dodali, da cenimo tudi pristop I.1., saj lahko tako opazimo, ali imajo dijaki težave pri risanju grafa.  Pristop II. zahteva več logičnega mišljenja, da bi prišli do rešitve, čeprav je strategija dobra. Razpravljali so o različicah, v katerih dijaki primerjajo le A in C glede na svoj občutek, in o pomembnosti primerjave s ploščino B. Izpostavimo, da pristop II.2. pokaže, da lahko problem rešimo brez poznavanja linearnih funkcij in njihovih grafov, zato ga lahko uporabimo kot uvod v linearne funkcije. Nekatere skupine so izračunale in primerjale stroške pri izdelavi izbranega števila koles v vsakem od območij A, B, C in D. V tem primeru so imeli težave s formulacijo, ker niso mogli najti tistega števila koles, pri katerem ena možnost postane boljša od druge; včasih so glede tega naredili predpostavke. Vzeli so približek ali povedali, da je za majhno število koles boljša možnost A in za veliko število koles možnost C. Ena izmed teh skupin je po drugi devoluciji v fazi reševanja ugotovila, da bi lahko natančno število koles poiskali z reševanjem sistema enačb. Bolj napredne skupine so reševale enačbe in primerjale vrednosti funkcij na intervalih, ki so jih dobili. Nekatere izmed teh skupin so uporabile grafični pristop in poiskale presečišča s pomočjo grafa, uporabili so GeoGebro ali drug podoben program. V tem primeru je postalo pomembno, kako izberejo enote na osi, saj v enačbah nastopajo velika števila. Dijaki so potrebovali več časa za prvo fazo devolucije in fazo reševanja ter manj časa za drugo, zato smo časovne intervale prilagodili. Nekateri učitelji so morali v prvi fazi reševanja in pri fazi formulacije pomagati dijakom z namigi ali dodatnimi vprašanji. Dijaki brez pomoči niso razumeli, kako bi lahko primerjali različne možnosti. Glede na odgovore v MERIA vprašalniku se je po tej učni uri 73,3 % hrvaških dijakov strinjalo, da je matematika povezana z realnim življenjem, 87 % jih je povedalo, da je bila ura bolj zanimiva od običajne in 91,9 % dijakov bi želelo podobne ure izvajati vsak mesec. Rešitve skupin dijakov na tabli (Nizozemska) 12 Primer pisne predstavitve z Danske. Dijaki so preučevali vsako območje posebej. Napačno so razumeli »ceno proizvodnje enega kolesa« kot »dobiček pri izdelavi enega kolesa«. Potem so za vsako območje izrazili funkcijo f( x) kot dobiček odvisen od števila proizvedenih koles. Za vsako območje so izračunali, koliko koles morajo proizvesti, da pokrijejo stroške izgradnje tovarne, tako da so poiskali ničlo funkcije f. V prevodu, za vsako območje pišejo, »Proizvesti morajo … koles in potrebnih je … let, da se povrne strošek … €.« Poleg je zapisana funkcija. Število let dobijo iz svoje predpostavke tipa »proizvedejo vsaj 2,5 kolesi na dan« (ustno pojasnilo za primer A, za druga območja pojasnila niso podali). Ni jasno, kako so prišli do števila let v vseh primerih, razen tega, da morajo v primeru A proizvesti vsaj 2,5 kolesi na dan. Rešitev druge danske skupine: Predpostavijo, da tovarna proizvede 50 000 koles vsako leto. Formula je: ((cena za kolo ∙ 50 000) ∙ število let) + cena izgradnje tovarne (in na koncu »radi imamo matematiko«). Dodatnih zaključkov razen te formule med fazo formulacije niso imeli, vendar bi njena uporaba gotovo vodila k odgovoru (uporabite območje C). Slika po učiteljevi institucionalizaciji o rešitvah pomembnih enačb za reševanje problema, odsekoma linearnih funkcijah in njihovem zapisu. V tem razredu je le polovica dijakov že pred tem našla »dobre« funkcije, ki jih učitelj uporablja tukaj. Orodja za evalvacijo Na koncu učne ure ali kmalu po njej lahko naslednje naloge uporabimo za hiter preizkus znanja, ki so ga dijaki usvojili med izvajanjem scenarija: 1. Prijatelj pravi: »Graf z najmanjšim naklonom in najmanjšo začetno vrednostjo bo dal najcenejšo možnost.« Kaj pravite? Odgovor: Res je, vendar nimamo vedno takih podatkov (kot recimo v tem scenariju). 2. Prijatelj pravi: »Premica z največjim naklonom in največjo začetno vrednostjo bo ustrezala najdražji možnosti.« Kaj pravite? Odgovor: Res je, vendar take premice ne moremo vedno najti (v primeru pričujočega scenarija taka premica ne obstaja). 13 3. Dana je enostavna situacija s podatki, ki so zapisani v tabeli. Podpisali ste pogodbo za proizvodnjo 5000 koles. Katero lokacijo boste izbrali? Lokacija Strošek izgradnje Strošek proizvodnje tovarne na tej enega kolesa v tovarni lokaciji v EUR v EUR G 0 200 H 300 000 100 Odgovor: H je cenejši pri proizvodnji večji od 3000 koles. 4. Možna domača naloga: napišite dokument, v katerem direktorju podjetja svetujete, kam naj postavi tovarno. Razložite mu svoje razloge. Predlogi za nadaljnje preiskovanje iz linearnega modeliranja Vključite drugačne kontekste (na primer taksi, hitrost …), kjer boste uporabili pridobljena znanja v novih situacijah (za nadaljnjo institucionalizacijo ključnih metod in zamisli). 1. Taksi AA ima začetno ceno 15 €, vsak prevoženi kilometer pa stane 5 €. Taksi BB ima začetno ceno 20 €, vsak prevoženi kilometer pa stane 4 €. S taksijem se nameravate odpeljati 8 kilometrov daleč. Katero taksi podjetje boste izbrali? 2. Cena plina za prvih 10 m3 znaša 0,5 €, za večjo potrošnjo plina pa se cena zniža. Naslednjih 20 m3 stane 0,4 € za m3, potem pa cena pade na 0,3 € za m3 plina. Poiščite funkcijo stroškov. 3. Športnik naj bi dnevno zaužil vsaj 74 mg vitamina B in vsaj 123 mg vitamina C. Multivitamin MM vsebuje 20 mg vitamina B in 9 mg vitamina C na 1 g pripravka. Multivitamin NN vsebuje 4 mg vitamina B in 11 mg vitamina C v 1 g pripravka. Kakšni so lahko najmanjši odmerki multivitaminov MM in NN, da bo športnik zadostil svojim dnevnim potrebam? Zaužitje višjega odmerka od priporočenega ni nevarno. 4. Ivana želi za praznovanje rojstnega dne s 17 gosti najeti prostor. Cena prostora RR je 100 € za najem in dodatnih 10 € za vsakega gosta. Cena prostora PP je 80 € za najem in dodatnih 12 € za vsakega gosta. Kateri prostor naj izbere? 14 5. Par športnih copat stane 70 €. Podjetje, ki izdeluje športne copate, je v začetek proizvodnje investiralo 10 000 €. Izdelava enega para športnih copat stane 15 €. Izračunajte dobiček podjetja, če so izdelali 1000 parov športnih copat. 6. Glede na višino pologa banka ponuja različne obrestne mere. Če položite manj kot 5000 €, je letna obrestna mera 2 %. Pri pologu med 5000 € in 20 000 € znaša letna obrestna mera 2,2 %, pri pologu nad 20 000 € pa 2,5 %. Poiščite končno vsoto denarja po enem letu kot funkcijo pologa. 7. Ana se je s konstantno hitrostjo 80 km/h z avtomobilom vozila proti Zagrebu. Po 20 km ji je zmanjkalo goriva, zato je šla 2 km peš do najbližje črpalke. Do črpalke je potrebovala 30 minut. Poiščite graf poti v odvisnosti od časa. Poiščite Anino povprečno hitrost. (Graf je del rešitve.) 8. Martin in Franc sta šla na izlet s kolesom. Luka ju ni želel čakati, zato se je odpravil pred njima. Podan je graf poti v odvisnosti od časa. Kdo je najhitrejši kolesar? Kdo je najpočasnejši? Kje bo Martin srečal Luka? (Dijaki naj ob nalogi dobijo tudi graf.) 9. Peter se je vozil z motorjem. Prvi 2 minuti je imel konstantno hitrost 10 m/s, po nadaljnjih 2 minutah pa je s konstantnim pospeševanjem dosegel hitrost 20 m/s. Nato je začel zavirati in se čez 2 minuti ustavil. Narišite graf hitrosti v odvisnosti od časa. 10. Upor žice se spreminja glede na temperaturo: 𝑅(𝑇) = 𝑅0(1 + 𝛼 𝑇), kjer 𝑅 predstavlja upor pri 0 ºC, 0 𝛼 je temperaturni koeficient upora, in 𝑇 je temperatura v ºC. Upor treh različnih materialov pri 0 ºC je 100 . Poiščite temperaturne koeficiente upora za te materiale, če so njihovi upori pri 100 ºC naslednji: 139  (material 1), 143  (material 2) in 168  (material 3). Na spletu poiščite tabelo temperaturnih koeficientov upora in ugotovite, katere materiale predstavljajo 1, 2 in 3! 15 11. Palice iz različnih materialov pri temperaturi 0 ºC merijo 1 m. Dolžina se glede na temperaturo spreminja: 𝐿(𝑇) = 𝐿 dolžina pri 0 ºC, 0(1 + 𝛼 𝑇), pri čemer je 𝐿0 𝛼 je temperaturni koeficient linearnega raztezka, in 𝑇 je temperatura v ºC. Temperaturni koeficienti linearnega raztezka so naslednji: Jeklo 6,7  10-6 / ºC, Baker 16,6  10-6 / ºC, Aluminij 25,0  10-6 / ºC. Poiščite funkcijo dolžine v odvisnosti od temperature za jeklo, baker in aluminij. Utemeljitev in pogled na scenarij z vidika RME Vloga konteksta pri zagotavljanju možnosti, da dijaki razvijajo matematične ideje, je eno od osnovnih načel RME. V tem scenariju naj bi kontekst tovarne koles vzpodbudil dijake, da formulirajo formule in grafe ter na podlagi tega sklepajo o zaključkih. Sklepanje vodi do uvedbe odsekoma definiranih funkcij. Vključimo lahko tudi drugačne kontekste (na primer taksi, hitrost, rojstnodnevna zabava, najem prostora …) in dosežemo uporabo pridobljenega znanja (pričakovanih dosežkov) v novih situacijah (za nadaljnjo institucionalizacijo uporabljenih metod in idej). Pričakujemo, da bodo dijaki ob učenju matematike skozi realne življenjske uporabe razvijali fleksibilne in uporabne matematične veščine. Pomembnost in uporabnost Scenarij vključuje naslednje vidike:  Realno življenje in gospodarstvo: o linearno modeliranje (strošek taksija, stroški telefona in interneta, hitrost, rojstnodnevna zabava, najem prostora …) o finančno modeliranje (finančni modeli so lahko linearni ali nelinearni, na primer prihodek podjetja, dobiček, povprečni stroški, inflacija .. ) o uvod v optimizacijo  Nadaljnje možnosti: Znanja in veščine povezane s to temo so pomembne na mnogih področjih: o Linearni pojavi so v znanosti vseprisotni. Poleg tega je linearizacija pogosta metoda reševanja nelinearnih problemov, kadar je to mogoče. Pogosto izračunavamo linearno regresijo in koeficiente korelacije, zato da ustvarimo linearni model in da preizkusimo linearnost sklopa podatkov, tudi kadar ni jasno, da bi podatki izkazovali linearno povezavo. o Vsak bi moral znati voditi osebne finance in izdelati tabele z evidenco prihodkov in odhodkov, saj je to ključnega pomena za sprejemanje finančnih odločitev in načrtovanje. Poleg tega je poslovanje nemogoče brez finančnega modeliranja. o Uprave podjetij rutinsko uporabljajo optimizacijo procesov. Linearno programiranje, ki ga imenujemo tudi linearna optimizacija, je metoda za doseganje najboljših rezultatov (kot je največji možni dobiček ali najnižji strošek pri načrtovanju, proizvodnji in transportu) v matematičnem 16 modelu, kjer so zahteve predstavljene z linearnimi enačbami in neenačbami. Upravljalci z verigo preskrbe s hrano v podjetju optimizirajo stroške prevoza izdelkov ali storitev od dobaviteljev do kupcev. o Naredimo lahko algoritem ali računalniški program za reševanje problema iz tega scenarija ali tudi širšega problema. Preiskovalne veščine V tem scenariju dijaki pridobivajo številne preiskovalne veščine, ki so prisotne v matematičnem modeliranju, pretvarjanju podatkov iz realnega življenja v matematični jezik, organiziranju podatkov, predstavljanju podatkov, iskanju optimalne vrednosti, oblikovanju predloga, sodelovanju in komuniciranju. Obseg, v katerem se te veščine eksplicitno razvijajo, je v veliki meri odvisen od načina, na katerega učitelj vključuje dijake v povratno informacijo v fazi potrjevanja, ko dijake povabi, da predstavijo svoje zaključke. Razvijanje teh veščin je lahko vključeno tudi v fazi formulacije. V nekaterih primerih učiteljem predlagamo, da dijakom dajo povratno informacijo v naslednjih urah. Možnosti za nadaljevanje učnih ur Scenarij je lahko del sklopa več učnih ur na temo linearnih pojavov, finančnega modeliranja in linearne optimizacije.  Predznanje: za takšen scenarij od dijakov pričakujemo poznavanje linearnih funkcij in linearnih enačb.  Uvod: kontekst z bogatim odprtim problemom, kot je na primer ta predlagan zgoraj. V naslednjih učnih urah lahko uporabimo različice zgoraj navedenih dodatnih problemov. Utemeljitev scenarija  Horizontalna matematizacija: kot uvod v razpravo o stroških se uvede preglednica stroški. Dijaki oblikujejo prvi neformalni model situacije, kot je na primer ((strošek na kolo ∙ 50 000) ∙ število let) + cena izgradnje tovarne, in začnejo uporabljati izraze iz področja metod matematične optimizacije »stroški na kolo«, »doba povrnitve investicije«. Matematizacija tovarniškega konteksta v svet matematike ponuja veliko možnosti za nadaljnji razvoj in institucionalizacijo pričakovanih dosežkov na podlagi prispevkov dijakov. Dijaki v skupinah poskušajo poiskati rešitev in predstavijo svoje ugotovitve. Učitelj vodi razpravo o podobnostih in razlikah med ugotovitvami, tako da vsi pridejo do končnih zaključkov.  Vertikalna matematizacija: Matematika, ki jo uporabljamo v problemu, se nadalje razvija. Iskanje splošne hipoteze ali algoritma za iskanje optimalnih stroškov za dano preglednico s podatki. Nadalje lahko model naredimo bolj abstrakten ali splošen, glejte zgoraj (Predlogi za nadaljnje preiskovanje). Zaključek, razmislek in predlogi za nadaljnje delo Dijak razmišlja, povezuje ideje in uporablja koncepte in veščine; učitelj poudari glavne ideje in koncepte. V naslednji uri lahko podrobneje raziščemo, kaj nam zaključki scenarija povedo o začetnih ugotovitvah v skupinah: Katere ideje so bile koristne? Katere bi lahko izboljšali? Kako lahko oblikujemo splošno hipotezo ali algoritem za iskanje optimalnih stroškov za dano preglednico podatkov? Katere strategije ali načini dela so vam pomagali priti do rezultatov? 17 MERIA modul »Zavorna pot« Kvadratna odvisnost Učni scenarij Standardi Zavorna pot je kvadratno odvisna od začetne hitrosti. znanja (pričakovani dosežki) Splošni cilji Kvadratne funkcije in njihov opis s konstantnim drugim odvodom (drugimi diferencami za kvadratno zaporedje) ali s konstantno padajočim ali naraščajočim prvim odvodom (diferencami za kvadratna zaporedja). Računanje z različnimi merskimi enotami. Organiziranje podatkov. Oblikovanje funkcijske zveze (zapis Predstavitev rešitve, Hrvaška. formule za funkcijsko pravilo). Risanje grafov (kvadratnih) funkcij brez ali z uporabo računalnika. Preiskovalne veščine: analiziranje podatkov in iskanje vzorcev v tabelah. Utemeljitev (argumentacija) svojih dognanj pri predstavitvi (izračuni prevladujejo med samim procesom in dijaki morajo ostalim povzeti svoj pristop). Interdisciplinarne veščine: dijaki morajo delati s fizikalnimi količinami in razumeti, kaj se dogaja (premostitev med različnimi oznakami in postopki). Pri pisanju poročila so poudarjene komunikacijske spretnosti. Dijaki razpravljajo tudi o odgovornosti voznikov in varnosti v prometu. Potrebno Osnovno znanje funkcij, zveza med konstantno hitrostjo in razdaljo, matematično povprečna hitrost, pretvorba iz km/h v m/s (in obratno) predznanje Letnik Dijaki, stari 15–16 let (oziroma kadar se uvede kvadratna funkcija) Trajanje 90 minut, dve šolski uri Potrebni Izročki s preglednicami, ki jih je potrebno izpolniti, računalo, material računalnik, milimetrski papir Problem: Starši izražajo zaskrbljenost glede hitrostnih omejitev v okolici šol. Skupina neodgovornih voznikov na drugi strani pojasnjuje, da je skrb odveč, saj bodo pravočasno zavrli. Raziščite, kako je zavorna pot odvisna od hitrosti tik pred začetkom zaviranja. Obvestite župana o posledicah spreminjanja najvišje hitrosti. Svoja priporočila podprite z reprezentacijami kot recimo tabelami in grafi. Privzemimo, da hitrost avtomobila ob zaviranju pade za 10 km/h vsake 0,4 sekunde. Za beleženje opažanj in izračunov lahko uporabite preglednico, nato pa čim bolje utemeljite svoj odgovor. 18 Faza Dejavnosti in navodila učitelja Dejavnosti in odzivi dijakov Devolucija Učitelj razdeli dijaki v skupine po Dijaki poslušajo, se pogovarjajo o (Prenos) 3 ali 4. svojih idejah oblikujejo odgovore (didaktična) na vprašanja. Učitelj predstavi problem in 10 minut zagotovi, da dijaki razumejo predpostavko o konstantno padajoči hitrosti med zaviranjem. Predebatira o ideji majhnih časovnih intervalov kjer se lahko gibanje aproksimira z gibanjem s konstantno (povprečno) hitrostjo. Učitelj preveri razumevanje izrazov v tabeli, osnovno zvezo med hitrostjo, časom in razdaljo, kako pretvorimo km/h v m/s in idejo, da lahko dano hitrost 40 km/h nadomestimo z drugačnimi vrednostmi. Učitelj pojasni, da imajo dijaki svobodno izbiro pri uporabi strategij. Uporabljajo lahko kakršno koli tehnologijo. Učitelj razdeli izročke z nalogo. Dijaki pripravijo kalkulatorje (če nimajo svojih, jim jih priskrbi učitelj), računalnik in milimetrski papir. Učitelj pove, da imajo na voljo 20 minut, da raziščejo, kako se spreminjata hitrost in razdalja in da pridejo do nekih zaključkov o tem, kakšna je povezava med njima. Reševanje Učitelj hodi po razredu in opazuje Dijaki v skupinah razpravljajo o (Delovanje) delo dijakov brez vmešavanja s strategijah. (adidaktična) predlogi ali vprašanji. Izpolnjujejo tabelo – uporabljajo 20 minut V primeru, da več skupin začne kalkulatorje ali IKT za risanje novo tabelo za vsako novo točk … začetno hitrost, učitelj načne 19 kratko skupinsko predstavitev, Govorijo o natančnosti, kako so se posamezne skupine preizkušajo primere z drugačno spopadale s to težavo. Verjetno začetno hitrostjo … vsaj ena od skupin ugotovi, da lahko uporabijo predhodne Člani skupine lahko uporabijo izračune pri problemu zavorne različne ideje in individualno poti za druge začetne hitrosti in izpeljejo rešitev. da lahko iz te tabele preberejo tudi zavorne poti za nižje začetne Dijaki lahko uporabljajo izračune, hitrosti. To se lahko uporabi kot grafe ali fizikalna dejstva pri povratna informacija za preostale iskanju zaključkov: skupine. - zavorna pot se ne spreminja konstantno, - povezava med začetno hitrostjo in zavorno potjo ni linearna, - ob povečanju začetne hitrosti se podaljša tudi zavorna pot, toda ne proporcionalno. Nekateri dijaki bodo morda opazili, da so druge diference (približno) konstantne in za izračun uporabili rekurzivno metodo. Formulacija Učitelj z vsako skupino posebej Dijaki na kratko predstavijo svoje (Zapis na kratko razpravlja o njihovih ideje in postavljajo vprašanja. ugotovitev) ugotovitvah (dijaki mu jih na (didaktična) kratko predstavijo). Zastavi lahko vprašanja in se pogovori o idejah 10 minut z dijaki, še posebej, če se je skupini med delom zataknilo. V skupinah, kjer so znotraj skupine delali z različnimi strategijami, naj se dijaki (zaradi pomanjkanja časa) osredotočijo na eno in jo uporabijo pri oblikovanju zaključkov in predstavljanju idej. Učitelj opomni dijake, da je cilj te aktivnosti, da ugotovijo, kako je zavorna pot odvisna od hitrosti tik pred začetkom zaviranja in da so na podlagi tega zmožni dati ustrezno priporočilo. Tako so dijaki pozvani, da pripravijo predstavitev za župana o posledicah spreminjanja 20 najvišje hitrosti in da priporočila podprejo z reprezentacijami kot recimo tabelami in grafi. Reševanje Učitelj opazuje. Dijaki poskušajo posplošiti svoje (Delovanje) v izračune in opažanja. kombinaciji s Nekateri bodo morda izbrali Formulacijo drugačno strategijo za (Zapisom posploševanje ali pristop k ugotovitev) problemu. (adidaktična) Dijaki pripravljajo predstavitev in 20 minut priporočila za župana. Verifikacija Učitelj dijakom naroči, naj Dijaki poslušajo, zastavljajo (Potrditev) predstavijo in primerjajo svoje vprašanja in razpravljajo o (didaktična) strategije, in vpraša, zakaj ostalih strategijah in rešitvah. nekatere strategije ne bodo 25 minut pripeljale do dokaza, da je zveza kvadratna. Institucionaliz Učitelj izpostavi matematične Dijaki poslušajo in povežejo svoje acija podobnosti in razlike med rešitve s splošno kvadratno (Oblikovanje strategijami dijakov, razloži, funkcijo. ustaljenega zakaj nekatere strategije ne zapisa) pripeljejo do dokaza, čeprav na (didaktična) grafu izgledajo prepričljivo in s pomočjo tehnologije mogoče 5 minut dobijo formulo, ki opisuje kvadratno zvezo. Učitelj predstavi splošen zapis kvadratne funkcije. Možni načini, Dijaki dopolnijo tabelo s podatki ( v, d). kako lahko dijaki Spreme dosežejo mba Prevože Povpre Povpreč Časovni hitrosti na standarde Čas čna na interval med  razdalja znanja (sekunde) hitrost hitrost zaviranje t  (km/h) (m/s) d m (s) (m) (km/h) v = 40 do t = 0 do t = 0,4 35 175 v = 30 0,4 35 18 9 t = 0,4 do v = 30 do 25 125 t = 0,8 v = 20 0,4 25 18 9 t = 0,8 do v = 20 do 15 25 t = 1,2 v = 10 0,4 15 6 9 t = 1.2 do v = 10 do 5 25 t = 1,6 v = 0 0,4 5 18 9 Prevožena razdalja od začetka 80 zaviranja 9 (m) 21 Hitrost tik pred 30 40 50 60 70 80 90 100 110 zaviranjem (km/h) Zavorna pot (m) 5 80 125 320 605 20 245 45 500 9 9 9 9 9 9 Ali z decimalnimi števili, na primer Hitrost tik pred 30 40 50 60 70 80 90 100 zaviranjem (km/h) Zavorna pot (m) 5 8,89 13,89 20 27,22 35,56 45 55,56 Z analizo podatkov lahko dijaki zaključijo naslednje:  Zavorna pot je daljša, kadar je hitrost višja.  Zveza med hitrostjo in zavorno potjo ni linearna (kvocient 𝛥𝑑 𝛥𝑣 ni konstanten).  Če se hitrost podvoji, se zavorna pot podaljša štirikratno. Če se hitrost potroji, se zavorna pot podaljša devetkratno.  Dijaki lahko narišejo točke ( v, d) in pridejo do zaključka, da je zveza morda kvadratna. Lahko zapišejo kvadratno funkcijo ⅆ = 𝑎𝑣2 + 𝑏𝜈 + 𝑐 in določijo neznane koeficiente a, b, c z uporabo podatkov iz tabele in z reševanjem sistema linearnih enačb. Na ta način bodo dobili p70ribližek. Ta strategija ne bo pripeljala do dokaza, da je zveza kvadratna. 60 50 40 30 20 10 80 60 40 20 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 - Po zaključku, da je povezava morda lahko kvadratna, lahko dijaki uporabijo IKT in poiščejo kvadratno regresijo. Dobili bodo približek. Ta strategija ne bo pripeljala do dokaza, da je zveza kvadratna. - Na podlagi podatkov iz tabele lahko dijaki posplošijo: 5 5 5 5 ⅆ40 = 5 ⋅ ⋅ 0,4 + 15 ⋅ ⋅ 0,4 + 25 ⋅ ⋅ 0,4 + 35 ⋅ ⋅ 0,4 18 18 18 18 5 5 80 ⅆ40 = (1 + 3 + 5 + 7) = ⋅ 16 = ≈ 8,89 9 9 9 5 ⅆ50 = ⅆ40 + 45 ⋅ ⋅ 0,4 18 22 5 5 125 ⅆ50 = (1 + 3 + 5 + 7 + 9) = ⋅ 25 = ≈ 13,89 9 9 9 5 ⅆ60 = ⅆ50 + 55 ⋅ ⋅ 0,4 18 5 5 ⅆ60 = (1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11) = ⋅ 36 = 20 9 9 5 5 ⅆ𝑣 = (1 + 3 + ⋯ + (2𝑛 − 1)) = ⋅ 𝑛2 0 9 9 Pomemben zaključek je, da ob opazovanju zavorne poti iščemo trenutek, ko je hitrost enaka 0; torej bomo tolikokrat odšteli 10 od 𝑣 , da bomo na koncu dobili 0: 0 𝑣 𝑣 0 0 − 10𝑛 = 0 ⟹ 𝑛 = 10 5 𝑣 2 1 ⅆ 0 2 2 𝑣 = ⋅ ( ) = 𝑣 ≈ 0,0056 𝑣 0 9 10 180 0 0 V tej formuli uporabijo hitrost 𝑣 v km/h in dobijo razdaljo v 0 metrih. - Dijaki lahko uporabijo računala in izpolnijo tabelo v decimalnih številih. Rezultat ne bo eksakten in ne bo enostavno prepoznati vzorca. - Dijaki lahko uporabijo podatek, da se hitrost zmanjša za 10 km/h vsake 0,4 sekunde. Izračunajo lahko, da se hitrost zmanjša za 25 km/h vsako sekundo oziroma 6,94 m/s vsako sekundo, kar pomeni, da je pospešek enak 𝑎 = 6,94̇ m/s2. Nato lahko uporabijo fizikalne formule: 𝑎 𝑣 = 𝑣0 − 𝑎𝑡, ⅆ = 𝑣0𝑡 − 𝑡2. 2 Uporabijo pomembno dejstvo, da ob opazovanju zavorne poti iščemo trenutek, ko je hitrost enaka 0. Iz prve formule (𝑣 = 0) izračunajo čas 𝑣 𝑡 = 0, kar vstavijo v drugo, da dobijo 𝑎 𝑣2 9𝑣2 𝑣2 ⅆ = 0 = 0 = 0 = 0,072𝑣2. 2𝑎 125 13.8̇ 0 V tej formuli uporabijo hitrost 𝑣 v m/s in dobijo razdaljo 0 metrih. - Če dijaki izračunajo pospešek v km/h2, dobijo 𝑎 = 90000 km/h2. Nato uporabijo hitrost 𝑣 v km/h in dobijo razdaljo v 0 kilometrih 𝑣2 𝑣2 ⅆ = 0 , oziroma metrih ⅆ = 0 . 180000 180 - Dijaki lahko narišejo v- t graf in izračunajo prevoženo razdaljo kot ploščino pod grafom: 1 𝑣 𝑣2 ⅆ = ⋅ 0 ⋅ 𝑣 0 = 0,072𝑣2. 2 𝑎 0 = 2𝑎 0 V tej formuli uporabijo hitrost 𝑣 v m/s. 0 23 10 8 v0 6 v = v0 at 4 d 2 5 5 10 15 20 25 v0 a 2 4 24 Sprememba Časovni Prevožena Čas hitrosti med Povprečna Povprečna interval razdalja (sekunde) zaviranjem hitrost hitrost   (km/h) (m/s) t d (km/h) (s) (m) t = 0 do t = 0,4 v = 40 do v = 30 35 Prevožena razdalja od začetka zaviranja (m) Hitrost tik pred zaviranjem (km/h) 40 Zavorna pot (m) 25 Pojasnilo glede materialov za dijake V začetni fazi bodo dijaki dobili preglednici, ki ju je potrebno izpolniti. Cilj je spodbuditi dijake, da se posvetijo časovnim intervalom 0,4 sekunde, povprečnim hitrostim v teh intervalih (v km/h in m/s) ter prevoženi poti v teh intervalih. Dijaki bodo sami ugotovili, da računajo dele poti, dokler hitrost ne pade do 0. Število vrstic v tabeli se bo zato spremenilo in dijaki bodo sami določili, koliko vrstic potrebujejo. V drugi tabeli bodo dijaki zraven predlagane hitrosti 40km/h še sami izbrali druge morebitne ustrezne hitrosti. Dijaki bodo tabele uporabljali v fazi reševanja. Če izpolnjevanje tabele za različne začetne hitrosti dijakom vzame preveč časa, predlagamo izmenjavo podatkov med skupinami. Dijaki naj bi v tej fazi opazili, da si pri določanju zavorne poti za druge začetne hitrosti lahko pomagajo s prejšnjimi izračuni in podatke za zavorno pot preberejo iz prejšnje tabele. V primeru, da večina skupin uporabi novo tabelo za vsako novo začetno hitrost, lahko učitelj po približno 20 minutah adidaktične faze prosi skupine, da na kratko predstavijo, kako se spopadajo s tem vprašanjem. Predvidoma bo vsaj ena od skupin našla rešitev in to lahko služi kot povratna informacija za vse ostale skupine. Za risanje grafov lahko dijaki uporabljajo milimetrski papir, karo papir ali računalnik. Dijakom, ki so uspešno prišli do vsote 1 + 3 + ⋯ + (2𝑛 − 1), lahko kot vizualni pripomoček ponudimo kocke za dokaz brez besedne razlage. Variacije na podlagi didaktičnih spremenljivk Med izvajanjem scenarija se moramo držati predvidenih didaktični in adidaktičnih faz, fazo reševanja pa moramo izpeljati adidaktično. Pomembno je, da izpeljemo fazo verifikacije, v kateri dijaki ovrednotijo predstavljene rešitve. Nekatere dele scenarija lahko tudi spremenimo. V tem poglavju bomo predstavili didaktične spremenljivke ali dele scenarijev, ki jih lahko spremenimo ter tudi okoliščine, v katerih je potrebno posredovanje učitelja. Didaktično okolje (Milje): Problem lahko predstavimo na različne načine. Učitelj lahko problem opiše, uporabi prezentacijo ali video posnetek. Hitrost 40 km/h je izbrana naključno in jo lahko nadomestimo tudi z drugo, vendar pa zaradi pomembnosti, da dijaki opazijo pravilo, priporočamo, da uporabimo večkratnik števila 10. Padanje hitrosti za 10 km/h vsake 0,4 sekunde smo izbrali zato, ker je to realistično, hkrati pa dijakom omogoča, da opazijo pravilo in se zato naj ne spreminja. Tabeli sta predvideni kot pomoč pri urejanju podatkov, vendar pa ne zahtevamo, da ju dijaki uporabljajo, saj lahko pridejo do splošnih zaključkov brez računanja zavorne poti za različne hitrosti. Tabeli sta podani samo deloma, zato morajo dijaki, ki ju uporabljajo, sami določiti število vrstic, ki jih morajo izračunati v prvi tabeli, in katere hitrosti je potrebno vključiti v drugo. 26 Učitelj naj v tabeli ne vpisuje dodatnih podatkov, saj tako omogoči dijakom, da razvijajo spretnosti raziskovanja. Dijake se lahko spodbuja, da za risanje, predstavitve in računanje uporabljajo IKT, vendar pa se lahko scenarij izpelje tudi brez uporabe IKT. Učitelj lahko pripravi tudi svoje gradivo za uporabo IKT. Če se odloči za to možnost, mora poskrbeti, da IKT dijakom nudi le pomoč pri izračunavanju in predstavljanju podatkov, ne sme pa jih usmerjati k zaključkom. Trajanje posameznih faz lahko prilagodimo glede na dijake, vendar se izogibamo prevelikim odstopanjem. Če med adidaktično fazo skupine ne najdejo splošne formule, ki povezuje zavorno pot z začetno hitrostjo, lahko učitelj zastavi naslednja vprašanja:  Ali opazite kakšno pravilo med dobljenimi vrednostmi zavorne poti?  Lahko dobljene vrednosti grafično predstavite? Ali lahko povežete grafične in računske prikaze?  Kakšna je hitrost vozila, ko se ustavi?  Če ste pri izpolnjevanju tabel določili zavorno pot za različne začetne hitrosti, ali lahko naredite enako za splošno hitrost v?  Katere fizikalne formule vam lahko pri tem pomagajo?  Kako vam lahko pri iskanju formul ali povezav pomaga tehnologija? Učitelju ni potrebno poučevati vsake skupine posebej. Zraven tega ni nujno, da s skupino ostane, dokler ne odgovorijo na zastavljena vprašanja. Ta vprašanja lahko obravnava kot manjšo devolucijo (prenos) nekega omejenega problema in nato dovoli dijakom, da adidaktično nadaljujejo s fazo reševanja in formulacije. Učitelj naj ne spodbuja razprave o nadaljnjih vprašanjih in naj dijakov ne usmerja k odgovorom. Skupine, ki naletijo na težave pri dokazovanju formule 1 + 3 + 5 + ⋯ + (2𝑛 − 1) = 𝑛2, lahko učitelj dodatno usmeri:  za vsako dobljeno vsoto narišite točko in opazujte;  označite vsoto s S in jo dvakrat zapišite, vendar v različnem zaporedju: od prvega do zadnjega in od zadnjega do prvega. Ni nujno, da dijaki formulo dokažejo v adidaktični fazi. Dobro je, če vsaj opazijo, da je dobljena vsota enaka 𝑛2, dokaz pa se nato izvede didaktično v fazi verifikacije. Dijaki bodo začetne hitrosti določali sami. Verjetno bodo izbirali hitrosti 50, 60, 70 . . km/h. Če izberejo hitrosti, ki niso večkratniki števila 10, bodo imeli več težav pri določanju trenutka, ko hitrost postane 0, ker vrednot ne bo večkratnik 0,4 s. V tem primeru bo težje določiti pravilo. O izbiri hitrosti se lahko pogovorimo v fazi verifikacije. Učenci lahko zavorno pot predstavijo z ulomki ali decimalnimi števili. Zapis z decimalnimi števili bo zgolj približen, zato nekaterih pravil ne bo možno opaziti. O razliki med obema zapisoma se ravno tako pogovorimo v fazi verifikacije. V fazi institucionalizacije je pomembno, da se pogovorimo o večini (ali tudi vseh) strategij, o katerih smo govorili v razredu, in jih povežemo med seboj. 27 Opažanja iz prakse V nekaterih skupinah so dijaki delali napake v izračunih in zato dobili napačne vrednosti zavornih poti za nekatere začetne hitrosti. V prvi fazi formulacije lahko učitelj naroči učencem iz različnih skupin, da primerjajo rezultate in popravijo napačne. Nekateri dijaki so predvidevali, da je odvisnost med hitrostjo in zavorno potjo linearna. Z uporabo podatkov iz tabele so določili linearno funkcijo. V nekaterih skupinah so dijaki poskušali z risanjem točk, tako da ležijo na premici ali kot graf odsekoma linearne funkcije. V tem primeru lahko učitelj dijake vpraša za pojasnilo, zakaj mislijo, da je odvisnost linearna, ali poznajo kakšne lastnosti linearne funkcije in ali lahko katere od teh lastnosti najdejo v podatkih. Dijaki bi naj prišli do zaključka, da odvisnost ni linearna, ker kvocient razlik ni konstanten. 28 V nekaterih skupinah so pot prikazali na x-osi. Nekateri dijaki so uporabili IKT. Ko so dijak ugotovili, da bi odvisnost lahko bila kvadratna, so prišli do kvadratne regresije. 29 V nekaterih skupinah so dijaki uporabili ulomke in dobili vsote zaporednih lihih števil. Dijaki so prišli do vsot nekih drugih zaporedij. V tem primeru naj učitelj zaključi njihovo delo v fazi institucionalizacije. 30 Nekateri dijaki so risali grafe v-t za različne začetne hitrosti in izračunali zavorno pot kot ploščino pod grafom. V tem primeru naj učitelj nadaljuje s to idejo v fazi institucionalizacije in nariše graf v-t za splošno hitrost v. Nekateri dijaki so uporabili formule 𝛥𝑣 𝑠 𝑣 𝑎 = , 𝑣̅ = in 𝑣̅ = 0+𝑣 𝑡 𝑡 2 ter dobili formulo 𝑣2 − 𝑣20 = 2𝑎𝑠 (1). Ker je hitrost v za pot, enako celotni zavorni poti, enaka 0, sledi 𝑣2 𝑠 = − 0 , kjer je pospešek 2𝑎 a vzet z negativnim predznakom. 31 Formulo (1) lahko dobimo tudi tako, da izločimo čas t v formulah 𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡 in 𝑎 𝑠 = 𝑣0𝑡 + 𝑡2 ali pa dijaki 2 formulo poznajo že iz fizike. Z uporabo formule (1) bodo dijaki ugotovili kvadratno odvisnost zavorne poti od začetne hitrosti avtomobila brez računanja konkretnih vrednosti. Skupine, ki se lotijo problema na ta način, bodo verjetno pri delu hitrejše kot ostali, zato jih lahko usmerimo k dodatnim aktivnostim: pregledajo lahko tabeli in se osredotočijo na zahtevane podatke v tabelah (npr. zakaj je povprečna hitrost pomemben podatek?); naročimo jim, naj grafično predstavijo odvisnost zavorne poti od začetne hitrosti; pripravijo lahko razlago pomembnosti hitrostnih omejitev v okolici šol ali raziščejo odvisnost poti ustavljanja od začetne hitrosti (Predlogi za nadaljnje preiskovanje 1). Zaključek Opazimo lahko, da nekateri dijaki pridejo do zaključkov z opazovanjem dobljenih vrednosti, nekateri pa poskušajo opisati, kako je zavorna pot povezana s hitrostjo tik pred zaviranjem. Glejte spodnjo tabelo: Vrednosti Odvisnost Dijaki izračunajo zavorno pot za nekaj hitrosti, Dijaki s pregledom rezultatov na primer 40km/h in 70km/h, in zaključijo, da ugotovijo, da odvisnost ni linearna je zavorna pot pri 70km/h predolga, zato (pri višjih hitrostih se sprememba predlagajo hitrostno omejitev 40km/h. hitrosti odraža v bistveno večji spremembi zavorne poti). Dijaki izpolnijo tabelo z več podatki, na primer Dijaki s pregledom vrednosti v tabeli Hitrost ugotovijo, da bi odvisnost lahko bila 30 40 50 60 70 80 90 (km/h) kvadratna, ker se pri podvojeni Zavorna 5 8.89 13.89 20 27.22 35.56 45 hitrosti zavorna pot podaljša s pot (m) in ob primerjanju vrednosti dajejo predloge. faktorjem 4. (primerjajo 30 km/h in 60 km/h). 32 70 Dijaki narišejo 70 60 točke in dajejo predloge glede Dijaki narišejo točke in ugotovijo, da na položaj točk. bi odvisnost lahko bila kvadratna ter nariše 60 jo graf. 50 50 40 40 30 30 20 20 10 10 80 60 40 20 20 40 60 80 80 60 100 40 120 20 140 20 160 40 180 60 20080 220 100 240 120 260 140 160 180 200 220 240 260 Dijaki ugotovijo, da je odvisnost kvadratna in uporabijo IKT za kvadratno regresijo. Dijaki ugotovijo, da je odvisnost kvadratna in uporabijo podatke iz tabel, da določijo koeficiente kvadratne funkcije. Dijaki uporabijo argumente, da dokažejo, da je odvisnost kvadratna (glej Možni načini, kako lahko dijaki dosežejo standarde znanja). Čeprav je računanje in zbiranje podatkov v tem scenariju pomembno, bi morali dijaki čutiti potrebo po nadaljnjem raziskovanju in ugotavljanju odvisnosti. Če se vsi dijaki zadovoljijo z odgovori, ki jih pridobijo s pregledom številk, lahko učitelj v fazi institucionalizacije razloži, kaj pomeni »določiti odvisnost«. Orodja za evalvacijo Ob koncu ure ali ob začetku naslednje ure lahko dijakom zastavimo nekaj nalog: 1. Dva avta se peljeta po cesti. Hitrost enega je trikratnik hitrosti drugega. Bo zavorna pot hitrejšega vozila trikratnik zavorne poti drugega vozila? Utemeljite odgovor. Odgovor: Ne. Zavorna pot je kvadratno odvisna od hitrosti tik pred zaviranjem. Zato bo zavorna pot hitrejšega vozila devetkratnik zavorne poti drugega vozila. 2. Vozilo se premika s hitrostjo 80 km/h. Do katere hitrosti moramo zmanjšati hitrost gibanja, da se bo zavorna pot razpolovila? Odgovor: Hitrost moramo zmanjšati na četrtino prvotne hitrosti, torej na 20 km/h. 33 3. Na zavorno pot vpliva začetna hitrost in tudi vremenski pogoji na cesti. Nekega dne so izvedli meritev in ugotovili, da se je vozilo, ki se je premikalo s hitrostjo 40 km/h, ustavilo po 10 metrih. Po koliko metrih se bo pri enakih pogojih ustavilo vozilo, ki se premika s hitrostjo 70 km/h? Odgovor: Zavorna pot je kvadratno odvisna od začetne hitrosti, zato sklepamo, da lahko to odvisnost zapišemo ⅆ(𝑣 2 . V tej nalogi bi to pomenilo, da velja 0) = 𝑘𝑣0 𝑑 1 ⅆ(40) = 10 , zato je 𝑘 = = . Vozilo, ki se premika s hitrostjo 70 km/h, se bo 𝑣2 0 160 ustavilo po 702 ⅆ(70) = = 30,625 ≈ 30,6 𝑚 . 160 Predlogi za nadaljnje preiskovanje 1. Pot ustavljanja vozila je sestavljena iz dveh delov: reakcijske poti in zavorne poti. Pot, ki jo vozilo prevozi od trenutka, ko voznik opazi potrebo po zaviranju, do trenutka, ko dejansko začne zavirati, imenujemo reakcijska pot. Reakcijski čas voznika je 1 s in se lahko podaljša zaradi utrujenosti voznika, bolezni, zaradi uživanja alkohola ali drog. Reakcijski čas voznika pod vplivom alkohola (0,5 g/l alkohola v krvi) je 1,5 s. Predvidevamo, da se v obdobju reakcijskega časa vozilo premika s konstantno hitrostjo. Pot, ki jo vozilo prevozi od trenutka zaviranja do trenutka, ko se ustavi, imenujemo zavorna pot. Zavorna pot je v največji meri odvisna od hitrosti pred začetkom zaviranja (tj. začetne hitrosti) in pogojev na cesti, lahko pa je odvisna tudi od stanja vozila. Če zanemarimo stanje vozila, lahko zavorno pot izračunamo s formulo 𝑣2 𝑠 = , kjer je v hitrost v kilometrih na uro, μ pa je koeficient trenja, 254𝜇 ki je odvisen od pogojev na cesti: Koeficient trenja 𝝁 Suho cestišče Mokro cestišče nov asfalt 0,7 – 0,8 0,5 – 0,6 star, umazan asfalt 0,6 – 0,7 0,25 – 0,45 prod, majhno kamenje 0,6 – 0,7 0,3 – 0,5 sneg 0,2 – 0,4 led 0,05 – 0,1 a) Raziščite, kako je reakcijska pot odvisna od hitrosti pred zaviranjem za voznika z reakcijskim časom 1 s in za voznika z reakcijskim časom 1,5 s. b) Ugotovite, kako je zavorna pot odvisna od hitrosti pred zaviranjem za suh in moker asfalt ter za cestišče, prekrito s snegom. c) Ugotovite, kako je pot ustavljanja odvisna od hitrosti pred zaviranjem za različne reakcijske čase in različne pogoje na cesti. 2. Koliko diagonal ima štirikotnik, petkotnik, šestkotnik in n-kotnik? 3. Koliko (največ) kosov pice lahko dobimo, če jo prerežemo dva, tri, štiri ali n krat? 4. Enakostranični trikotnik s stranico dolžine n cm razdelimo na enakostranične trikotnike s stranico dolžine 1 cm. Koliko takšnih trikotnikov dobimo? 5. S pomočjo matematike opišite pot žoge v prostih metih pri košarki. 34 Utemeljitev in pogled na scenarij z vidika RME Pomembnost in uporabnost Znanje iz scenarija je povezano z vsakodnevnimi izkušnjami z vozili in zaviranjem. Učenci ugotovijo, da hitrost pred zaviranjem vpliva na dolžino zavorne poti. Znanja in spretnosti, povezane s temo kvadratne odvisnosti, se pojavljajo na mnogih področjih. Preiskovalne veščine Preiskovanje je prisotno v vseh fazah scenarija. Dijake je potrebno navaditi na preiskovanje in jih pogosteje postavljati v situacije, kjer uporabljajo tak način dela. Tako dijaki med razvijanjem matematičnih kompetenc razvijajo tudi preiskovalne veščine. Med izvedbo scenarija bodo dijaki tvorili primere, sistematično eksperimentirali, organizirali podatke, oblikovali hipoteze, iskali in utemeljevali formule, sodelovali in komunicirali. Preiskovalne veščine morajo biti vključene v povratni informaciji v fazi potrditve in institucionalizacije. Možnosti za nadaljevanje učnih ur Scenarij je lahko del sklopa več učnih ur na temo kvadratne odvisnosti in lastnosti kvadratnih zaporedij in kvadratnih funkcij.  Predznanje: Za poglavje o kvadratnih odvisnostih se pričakuje, da bodo dijaki razumeli koncept in lastnosti funkcije, še posebej linearne funkcije, ter koncept in lastnosti aritmetičnega zaporedja.  Uvod: primer avtomobila, ki zavira, lahko uporabimo kot bogat odprti problem. Utemeljitev scenarija  Horizontalna matematizacija: Matematični jezik uvedemo za opis situacije. Dijaki naredijo prvi neformalni model situacije – scenarij zavorne poti, uvede se kvadratna odvisnost.  Vertikalna matematizacija: Matematika, ki jo uporabljamo v problemu, se nadalje razvija. Model postane natančnejši, splošnejši. Dijaki proučujejo vzorce števil in njihovih vsot. Dijaki preučujejo kvadratna zaporedja in njihove lastnosti: prve razlike so linearne, druge pa konstantne. Poleg tega, vsote členov v linearnih (aritmetičnih) zaporedjih so kvadratna zaporedja. Posplošitev – kvadratna funkcija: prvi odvod je linearen, drugi pa konstanten. Nadalje, integral linearne funkcije je kvadratna funkcija. 35 MERIA modul »Vodnjaki v puščavi – uvod« Delitev ravnine s simetralami Učni scenarij Standardi Delitev ravnine s simetralami parov danih točk v ravnini. znanja (pričakovani dosežki) Splošni cilji Konstrukcija simetrale. Razumevanje karakterizacijo simetrale kot množico točk, ki so od danih dveh točk enako oddaljene. Lastnosti simetral in njihovih presečišč v trikotnikih in štirikotnikih in lastnosti točk v delih ravnine, ki jih določajo simetrale. Uporaba simbolnega zapisa d(P, X) < d(P, Y). Preiskovalne veščine: sistematično preizkušanje in risanje območij ali robov območij, ki so določena z danimi točkami (oziroma razdaljami do danih točk). Jasna predstavitev ugotovitev z odločitvijo, katere premice je treba uporabiti. Interdisciplinarne veščine: dijaki lahko povežejo ozemeljske probleme ali konflikte (geografijo) z geometrijskimi načini predstavljanja in reševanja teh problemov. Pri uporabi navigacije za robote se lahko uporabijo drugi problemi. Potrebno Pitagorov izrek in trikotniška neenakost (posebej za dokaz). matematično predznanje Letnik Dijaki, stari 15–16 (oziroma kadar se uvedejo simetrale) Trajanje 40 minut, z interaktivnim programčkom 70 minut Potrebni učni listi, papir, IKT in MERIA interaktivni programček: material https://meria-project.eu/applet/voronoi/voronoi.html Dodatne strani: http://alexbeutel.com/webgl/voronoi.html https://www.desmos.com/calculator/ejatebvup4 Problem V puščavi je nekaj vodnjakov. Dijak mora pobarvati posamezne dele puščave tako, da je za vsako točko v posameznem pobarvanem delu ravnine tisti vodnjak, ki se nahaja v istem delu pobarvane ravnine, od vseh ostalih vodnjakov dani točki najbližji. 2 2 Problem in zemljevid puščave sta bila predstavljena v knjigi » Geometry with Applications and Proofs, Voronoi Diagrams« avtorjev A. Goddijn, M. Kindt, W. Reuter 36 Faza Dejavnosti in navodila učitelja Dejavnosti in odzivi dijakov Devolucija Učitelj predstavi pojem »delitvene Dijaki prevzamejo vlogo točke v (Prenos) 1 črte«: recimo, da imata dijaka X in puščavi in se z dvigom rok (didaktična) Y nekaj bonbonov. Bonbon boš opredeljujejo glede najbližjega vzel od tistega dijaka, ki ti je vodnjaka. Opazujejo, kako se 5 minut najbližje. Učitelj izbere dva dijaka opredeljujejo drugi. X in Y ter ostale dijake vpraša: kdo je bližje dijaku X in kdo bližje dijaku Y? Na koncu dvignejo roke tisti, ki se ne morejo odločiti. Institucionaliz Učitelj povzame ključne Dijaki poslušajo in so zmožni acija ugotovitve: problem je ugotoviti, povezati utemeljitev in zapis s (Oblikovanje katere točke imajo 'isto razdaljo' svojim delom. ustaljenega in izziv je, kako najti tak postopek, zapisa) ki bo omogočal najti vse točke s to (didaktična) lastnostjo. Učitelj se z dijaki dogovori za uporabo oznak (npr. 2 minuti d(A,C) 1 in poizkušajo različne vrednosti (kjer je 𝑎 = 2 pravilna vrednost). »Poizkušajo« pomeni s skiciranjem ali risanjem grafov. Z opisom premice kot 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, zaključijo 𝑎 + 𝑏 = 1. Torej lahko za vsak naklon 𝑎 izračunajo 𝑏. Nekateri dijaki lahko dobijo aproksimacijo za 𝑎 z uporabo dveh točk na narisani premici in uporabo Δ𝑦. Δ𝑥 Numeričen primer: Dijak lahko dobi Δ𝑦 0,6 𝑎 = = = 2. Δ𝑥 0,3 Iz 𝑎 + 𝑏 = 1 sledi 𝑏 = −1. Validacija je najverjetneje vizualna, toda lahko je tudi numerična – predvidoma predlagana s strani učitelja, saj je metoda podobna. Izberite dve točki na paraboli in izračunajte Δ𝑦 ; na primer 0,21 (1 , 1) in (1,1 , 1,21) . Tedaj Δ𝑦 = = Δ𝑥 Δ𝑥 0,1 2,1, kar je dokaj blizu pravilnega odgovora. Dijaki lahko preverijo pravilnost rešitve tudi z računanjem presečišč med parabolo in premico (algebraična validacija). Če dijaki poznajo kvadratne enačbe in diskriminante, lahko nadaljujejo z reševanjem sistema enačb: 𝑦 = 𝑥2, 𝑦 = 𝑎𝑥 + 1 − 𝑎, in dobijo 𝑥2 − 𝑎𝑥 + 𝑎 − 1 = 0. Enačba bo imela eno rešitev, če bo diskriminanta enaka 0: 𝑎2 − 4(𝑎 − 1) = 0 ⇒ 𝑎 = 2. 4. Reševanje s krožnico: Dijaki izberejo krožnico. Če so dijaki izbrali krožnico, lahko izberejo enačbo 𝑥2 + 𝑦2 = 1 in točko (√2 , √2) , ki ustreza kotu 𝜋 . Če se spomnijo, da je polmer 2 2 4 krožnice pravokoten na tangento, lahko ugotovijo 𝑎 = −1. Od tu lahko določijo enačbo tangente. 67 Če učitelj naroči dijakom, da izberejo drugo točko (𝑥, 𝑦) , lahko določijo naklon tangente 𝑎 iz naklona premice skozi izhodišče in točko (𝑥, 𝑦), ki je enak 𝑦 . Torej 𝑎 = 𝑥 𝑥 𝑥 − = − (v splošnem), toda 𝑦 √1−𝑥2 najverjetneje bodo dijaki to naredili le za posamezno konkretno točko. Če dijaki poznajo in uporabljajo vektorje, je ta razmislek nekoliko lažji. 5. Z računalnikom (GeoGebra in podobni) Če dijaki uporabljajo GeoGebro, bodo verjetno uporabljali podobne korake in razmisleke kot sicer. Razlika je v tem, da računalnik izračuna enačbo premice hitreje in nariše natančen prikaz izbrane krivulje. Z računalnikom lahko dijaki preizkusijo več možnosti v manj časa in zato lahko opazijo kaj, česar ne bi s papirjem in svinčnikom. Na primer:  Nekateri lahko najdejo gumb za risanje tangente in nadaljujejo tam.  Mogoče narišejo krivuljo in poljubno “dobro” premico skozi točko na krivulji in neko drugo točko. Nato sliko približajo in preverijo, ali izgleda v redu. Za boljše prileganje lahko premikajo drugo točko. Nato lahko izberejo možnost, ki se jim zdi najboljša, in preberejo enačbo premice s pomočjo orodja v programu.  Nekateri bi lahko začeli tako, da sliko povečajo, dokler graf krivulje ne izgleda raven. Nato lahko izberejo dve točki na grafu, iz katerih določijo enačbo premice (ali vsaj narišejo bolj ali manj tangento).  Lahko preverjajo, ali ima njihova premica presečišča s krivuljo (v tem primeru je pomembno, ali so narisali premico ali poltrak). Računalnik jim lahko tudi prikaže presečišča med premico in krivuljo. Nato lahko opazijo: kadar spremenijo naklon premice s fiksno točko na krivulji, spremenijo tudi (drugo) presečišče s krivuljo (na to smo opozorili tudi v institucionalizaciji). Ker takoj vidijo rezultat, lahko pridejo do hipoteze, da je najboljša rešitev, ko točki 𝐴 in 𝐷 sovpadata. 68 Pojasnilo glede materialov za dijake Zamisel načrtovanja znane oblike bi morala dijake navdušiti v fazi devolucije (prenosa), saj vpelje kontekst iz resničnega življenja, v katerem je gladkost pomembna na intuitivni ravni. Če dijakom oblika smučarske skakalnice ali otroškega tobogana ni dovolj zanimiva, jim lahko učitelj pove, da enaka načela veljajo tudi pri gradnji železnic, vlakcev smrti ipd. (osredotočiti se morajo na združevanje enega ukrivljenega dela z linearnim delom). To dijakom govori tudi o aktualnosti problema. Razen možne uporabe IKT za izvedbo scenarija ne potrebujemo dodatnih gradiv. Variacije na podlagi didaktičnih spremenljivk V scenariju so možne naslednje spremembe, ki ne spremenijo njegovih ciljev: Didaktično okolje (Milje): izberemo lahko drugačne slike, ki pa morajo vsebovati ukrivljen in raven del. Po možnosti naj bo predmet, ki ga načrtujemo, sestavljen iz enega ukrivljenega in enega ravnega dela. Dijakom mora biti čim bolj znan. V nekaterih primerih dijaki v prvih minutah prve faze reševanja (delovanja) nimajo ideje, kaj bi storili, ali njihovo delo ne vsebuje produktivnega matematičnega dela. V tem primeru lahko učitelj delo prekine in se pogovori o prvih spoznanjih dijakov in njihovih izzivih, pri tem pa jih usmeri v pogovor o tem, kaj pomeni enakomerna vožnja. Nato s fazo reševanja nadaljuje. Če se je učitelj odločil izpustiti stavek »Vpeljite koordinatni sistem in poiščite enačbo za en ukrivljeni del in enačbo za ravni del.« iz devolucije (opisa naloge), lahko doda vmesni pogovor o nujnosti vpeljave koordinatnega sistema za matematizacijo problema. Ob koncu pogovora bi morali dijaki razumeti, da morajo delati s koordinatnim sistemom in konkretnimi funkcijami/enačbami za ukrivljen del in za premico. Pred nadaljevanjem učitelj preveri, ali dijaki razumejo geometrijski pomen dobrega in slabega ujemanja ukrivljenega dela in premice (rešitev zahteva ne le zvezno, ampak gladko krivuljo). Po tem pogovoru dijaki nadaljujejo s fazo reševanja, kot je opisana v scenariju. Dijaki lahko uporabljajo geometrijska programska orodja, npr. GeoGebra, Geometer’s Sketchpad, Desmos, Wolfram Alpha (ali Mathematica), Maple, MATLAB, Octave idr. Lahko uporabljajo tudi grafični kalkulator ali mobilni telefon z geometrijskim programskim orodjem. Priporočamo, da dijakom predstavimo tudi to možnost, odločitev o uporabi pa naj bo njihova. Trajanje posamezne faze se lahko spremeni glede na delo dijakov, vendar razlika ne sme biti prevelika glede na predlagano. V fazi reševanja (delovanja) naj dijaki sami izberejo enačbe za ukrivljen del. Samo v primeru, da nekatere skupine (ali celoten razred) po 10 minutah nimajo nikakršne zamisli, s katero bi nadaljevali, lahko učitelj opomni te skupine (ali razred), kakšne možnosti imajo, npr. cos 𝑥, 1 ali 𝑥2 (vendar ne krožnica). Ko se dijaki odločijo za funkcijo, 𝑥 ki opisuje ukrivljen del, se faza reševanja nadaljuje. 69 Če le nekateri dijaki rešujejo s krožnico, jim učitelj individualno postavi nadaljevalna vprašanja, ki so opisana v scenariju. S tem se izogne prekinjanju razmišljanja ostalih dijakov. Če ni dijakov, ki rešujejo s krožnico, lahko to rešitev učitelj omeni v fazi verifikacije (potrditve) ali fazi institucionalizacije, vendar ne pred tem. Opažanja iz prakse Nekaj splošnih ugotovitev:  Učna ura je bila učiteljem in dijakom v glavnem všeč.  V nekaterih primerih so se dijaki preveč osredotočali na obliko ukrivljenega dela in jih je učitelj moral opozoriti, da načrt mora vsebovati tudi raven del, ki ga morajo združiti z ukrivljenim delom.  Nekateri dijaki so se ukvarjali z uporabnimi malenkostmi tobogana, ki niso povezane z gladkostjo, zato je moral učitelj res dobro preveriti, ali dijaki razumejo, kaj geometrijsko pomeni dobro in kaj slabo ujemanje.  Nekateri učitelji in dijaki so uporabili IKT, npr. GeoGebro, Geometer’s Sketchpad, Desmos graph mobilno aplikacijo, grafični kalkulator. Skupine, ki so uporabljale IKT, so raziskale več zamisli. Nekateri dijaki so začeli na papirju in rešitev preverili z IKT. Drugi pa obratno.  V nekaterih preizkusnih izvedbah scenarija so dijaki že poznali odvode in večina teh je ugotovila, da je prava rešitev tangenta.  Nekateri dijaki so razpravljali o tem, kaj bodo spreminjali: parabolo, naklon premice, njeno začetno vrednost.  Nekateri dijaki niso ugotovili, da bi nekje lahko uvedli parameter: na primer 𝑎 ali 𝑏 v enačbi 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 oziroma 𝑎, 𝑏 ali 𝑐 v enačbi 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, ali celo Δ𝑥 kot parameter. Pristopi načrtovanja dijakov so povezani z različnimi predstavami, ki jih imajo o tangentni premici. 1. Pristop z »mejno« premico (Bounding line approach): izberejo prosto premico in jo premikajo (translirajo in rotirajo), dokler nima premica (navidezno) samo enega presečišča s krivuljo v izbranem območju. 2. Pristop s sekanto (Secant line approach): izberejo tako točko na krivulji, v kateri se bo tangenta krivulje dotikala; nato izberejo drugo točko na krivulji in obe točki povežejo s premico. Drugo točko približujejo prvi, da dobijo boljše prileganje. 3. Pristop z linearno aproksimacijo (Linear approximation approach): Dijaki izberejo točko na krivulji, narišejo premico in spreminjajo njen naklon, dokler se vizualno ne prilega krivulji. Nekateri dijaki so za krivuljo izbrali krožnico in upoštevali dejstvo, da je tangenta pravokotna na polmer. Temu rečemo reševanje s krožnico. 70 Dijaki spreminjajo parametre parabole in premice. Na koncu najdejo dobro rešitev. Izgleda, da se osredotočajo na presečišča in rezultat vrednotijo vizualno. Ta skupina spreminja le parameter 𝑏 v enačbi 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 in tako poišče približek za rešitev. Rešitev prikažejo na grafičnem kalkulatorju. 71 Ta skupina je uporabila pristop s sekanto (2): določili so enačbo premice skozi dve bližnji točki na krivulji za približek linearnega dela. Za iskanje enačbe premice so uporabili numerične metode: pišejo, da so izbrali točko, kjer se kosinus konča (𝑥 = 5𝜋/4 ), in drugo točko malo pred njo ( 99 𝑥 = ∙ 5𝜋/4 ). 100 Tudi ta skupina je uporabila pristop s sekanto (2). Enačbo so razbrali z ekrana. 72 Ta skupina je poskušala z reševanjem s krožnico. Vedeli so, da je tangenta pravokotna na polmer (validacija je torej geometrijska: uporabijo izrek iz ravninske geometrije). Težave so imeli, ko so želeli z navpično translacijo doseči, da bi se premica in krožnica sekali. 73 Tudi ta skupina rešuje s krožnico. Poznajo točko (√2 , √2) na enotski krožnici 2 2 in konstruirajo premico z naklonom -1 skozi to točko. Ta skupina nariše graf parabole 𝑦 = 𝑥2 . Nato želijo doseči ujemanje tangentne premice v eni točki na način, ki je podoben pristopu linearne aproksimacije (3). Naklon premice določajo tako, da izmerijo Δ𝑥 in Δ𝑦 in izračunajo kvocient. Validacija je vizualna. Ena skupina dijakov je uporabila diskriminanto, da bi določila, kdaj je med premico, ki je kandidatka za tangento, in parabolo eno presečišče. Izbrali so parabolo 𝑦 = 0,25 (𝑥 − 6)2 + 2 s temenom (6 , 2) in skušali poiskati vrednost parametra 𝑏 v enačbi premice 𝑦 = −𝑥 + 𝑏 z uporabo diskriminante. 74 Orodja za evalvacijo Za hiter test pridobljenega znanja lahko učitelj postavi naslednja vprašanja: 1. Učitelj nariše poljubno krivuljo in premico, ki očitno ni tangenta. Nato vpraša dijake, ali mislijo, da je taka oblika primerna za železnico. Dijaki pojasnijo, zakaj ne. 2. 1 Določite enačbo tangente na enotsko krožnico v točki ( , √3). 2 2 3. Ocenite naklon parabole 𝑦 = 𝑥2 v točki (2, 4). Predlogi za nadaljnje preiskovanje 1. Pojem mejne premice ( bounding line) in razlika med njo in tangento. 2. Evklidov pojem tangente – taka premica, da nobena druga ravna črta ne more potekati med njo in krivuljo. 3. Po tem, ko dijaki spoznajo limito diferenčnega količnika kot odvod funkcije, lahko izračunajo formulo za odvod enostavne funkcije, na primer 𝑓(𝑥) = 𝑥2, 𝑓′(𝑥) = 2𝑥. V razredu lahko nato razpravljate o tem, kaj to pomeni za tangente te funkcije. Utemeljitev in pogled na scenarij z vidika RME Pomembnost in uporabnost  Realno življenje: problem je povezan z vsakodnevno izkušnjo dijakov. Objekte, ki jih načrtujejo, poznajo in razumejo, kakšen je rezultat različnih oblik. Naloga izkorišča njihovo predhodno poznavanje pojma gladkosti, posebej njihove telesne izkušnje spuščanja po gladkem toboganu.  Področje dela: Dijaki se naučijo načrtovati in matematizirati oblike, ki jih srečujejo v resničnem življenju. Naučijo se povezati predmet z matematičnim prikazom. Obliko predmeta poenostavijo iz tridimenzionalnega prostora v krivuljo. Te veščine so pomembne pri načrtovanju (na primer v arhitekturi) in modeliranju v profesionalnih kontekstih.  Nadaljnje možnosti: Scenarij je uvod v odvod in matematično analizo. Preiskovalne veščine Dijaki se naučijo poenostaviti problem in uporabiti matematiko za opis tistega dela, ki ga obravnavajo. Postavljajo hipoteze in jih testirajo. Načrtujejo primere in primerjajo različne rešitve. Odločajo se o tem, katera rešitev je bolj primerna. Lahko zagovarjajo boljšo rešitev in svoje argumente posredujejo drugim. Lahko predvidevajo in posplošijo svoje rezultate. Možnosti za nadaljevanje učnih ur Scenarij je lahko del niza učnih ur o odvodu. Predznanje, ki ga zahteva od dijakov, zajema: risanje funkcij, linearne funkcije in premice, primere nelinearnih funkcij. Kasneje v nizu učnih ur se lahko problemu tobogana posvetimo bolj formalno, z limitami in odvodi. Če uvajamo implicitno odvajanje, lahko izpostavimo povezavo z reševanjem s krožnico. Uporabimo implicitno odvajanje na krožnici in rezultat, ki ga dobimo s pomočjo implicitnega odvoda, primerjamo z intuitivno geometrijsko rešitvijo tega scenarija. Ko primerjamo rešitve, ki so jih ustvarili dijaki, znanje o implicitnem odvodu dodatno preverimo. 75 Utemeljitev scenarija  Horizontalna matematizacija: Problem je postavljen v bogat kontekst, ki je dijakom znan. Vsi vedo, kaj pomeni, ali je tobogan gladek ali ne. Dijake povabimo, da uporabijo matematični jezik in modelirajo situacijo: koordinatni sistem, predstaviti trirazsežno obliko tobogana z dvorazsežno krivuljo, predstavitev krivulje z enačbami.  Vertikalna matematizacija: V nekaterih primerih dijaki razvijajo svoje zamisli z uvedbo parametrov in pri tem razpravljajo, kateri parameter uporabiti (kaj parametrizirati). Nekateri uporabijo druge matematične metode, kot so algebra (diskriminanta) ali diferenčni količniki (naklon premice). Od tu naprej imajo velik potencial za nadaljnjo matematizacijo. Če so dijaki uporabili pristop sekante, je naraven prehod k uvedbi naklona krivulje kot limite diferenčnega količnika. Če uporabijo algebraične metode in se osredotočijo na izračun presečišč, imamo možnost razpravljati o tem, zakaj želijo imeti (lokalno) eno presečišče in mogoče raziščemo večkratnost presečišč kot prvi korak k izračunu naklona krivulje. Če dijaki uporabijo približevanje slike kot metodo potrditve, imamo naravno povezavo do pristopa lokalne aproksimacije naklona krivulje. Neformalni modeli/rešitve dijakov so lahko zelo raznoliki. Učitelj mora premostiti razlike med njimi (reševanje/potrditev), da bo lahko izvedel skupno institucionalizacijo. Institucionalizacija mora biti zgrajena na zamislih, ki so jih predlagali dijaki. Na primer, dijaki so raziskovali situacijo v GeoGebri: Premikali so točko 𝐵. Učitelj jih usmeri, da ugotovijo, da to ustreza premikanju presečišča 𝐷. To lahko pripelje do razprave o diferenčnih količnikih in limitah (na neformalen način). Nato lahko na ta način definiramo odvod. 76