'Geometrij a 


z. 
nižje gimnazije. 


Spisal 
='z'.. -trite= 

V berilo vtisneni h je 126 slik. 

Drugi bistveno neizpremenjen odtis . 

Ljubljani, 

Natisnila in založila Ig. v. Kleinmayr & Fed. Bamberg . 

1891 . 


Kazalo. 


Osnovni pojmi o prostornih tvorih. 

Stra n 
1 .) Ogledovanje kocke . . 1 
2.) Ogledovanje cilindra . . . 2 
3.) Zveza med telesi, ploskvami, črtami in točkami . . 3 
4 .) Preme in krive črte . . . . 4 
5.) Ravne in krive ploskve . 6 
6.) Oglata in okrogla telesa . 7 
7.) Geometrija . . . 7 

Planimetrij a. 

I. črte . 7 
l.) Mer premih črt . 7 
2.) O dolžini daljic . . . 9 
3.) Kakó je meriti daljice . 1 1 
O lzotih 1 3 
1.) Kakó koti postajajo in kakó jih zaznamenujemo 1 3 
2.) O velikosti kotov 1 3 
3 .) O iztegnenih, otlih in izbočenih kotih . 14 
4.) O pravih, ostrih in topih kotih . . . . 1 5 
5.) Kakó je meriti kote . . . . 16 
6.) O sokotih in sovršnih kotih . . . . 1 8 
7 .) O protikotih, izmeničnih kotih in prikotih . 19 
C) trilsotrli31.]a. . . 23 
l.) Pojasnila . . . . 23 
2.) O trikotnikovih stranicah . . 24 
3.) O trikotnikovih kotih . . 2 5 
4.) O jednakosti, podobnosti in skladnosti . . 27 
5 .) O načrtovanji trikotnikov in njih skladnosti . . 28 
6.) O nekaterih glavnih svojstvih trikotnikovih in njih uporabi 34 
I"57-Četv-erolzotn.ii . 42 
1.) Pojasnila . . . 42 
2 .) O kotih četverokotnikovih . 42 
3 .) Koliko je vrst četverokotnikov . . 42 
4 .) Kakó je načrtovati četverokotnike . 45 


Stran 

TT. Mxs.ogo]zot=ilmi 48 

1.) Pojasnila . . . 48 
2.) O kotih mnogokotnikovih . . . 48 

. 

3.) Kolikovrstni so mnogokotniki . . . 49 ' 
4.) Kako je načrtovati mnogokotnike . . 5 0 

O veličiszi prero.očrtxzih 1il~ov . . , 51 

1 } Obseg in ploščina	 5 1 
2.) Ploščina kvadrata . •. 52 
3.) Ploščina pravokotnika . 53 
4.) Ploščina trikotnika . . . . 59 
5.) Ploščina trapeza in trapezoida 6 2 
6.) Ploščina pravilnega in nepravilnega mnogokotnika . . •. 64 
7.) Pitagorov izrek . . . 67 
8.) Kakó je pretvarjati premočrtne like . . 69 
9) Kakó je deliti premočrtne like . . . 72 

T'II. O podob osti preit cčrtriib 1i1zo-tr . 75 
1.) O sorazmernosti daljic . . . 7 5 
2.) O sorazmernosti premočrtnih likov . •, 77 
3.) O podobnosti trikotnikov . . . . . . 78 
4.) O najimenitnejših svojstvih podobnih trikotnikov . 8 2 
5.) Načrtovanje, opirajoče se na podobnost trikotnikov . •. 84 
6.) O podobnosti mnogokotnikov . . . . 88 


Osnovni pojmi o prostornih tvorih . 


1. Ogledovanje kocke . * 
§ 1. Kocka (Wičrfel, slika I .) zavzima na vse strani omejen 
prostor. Na vse strani omejen prostor imenujemo telo (K~rpeO. 
Kocka je telo . 

Kocka razprostira se v trojno mer : od desne slika lna 
levo, od spredaj navzad, od spodaj nav zgor. 
Razsežnost (Ausdehnung) od desne na levo 
imenujemo navadno dolžino (Lange), od spredaj 
navzad širino (Breite) in od spodaj navzgor višin o 
(Fl~he) . 

Vsako telo ima trojno razsežnost : dolžino, širino in višino 

(globočino, debelino) . 
Imenuj različna telesa in pokaži na njih vse tri raz s e ž n os ti . (Knjiga, ravnilo, 
omara, šolska soba, i . t. d. ) 

§ 2. Kocko omejuje šestero ploskev (.Aachen). Te so : spodnja, 
zgornja, sprednja, zadnja, desna in leva ploskov . Kocko meječ e 
ploskve so ravne (eben) ploskve. 

Pokaži ploskve, katere lnej šolsko sobo, knjigo, omaro, šolsko tablo . 
Vsaka kockina ploskev razprostira se v dvojno mer, pr . 
sprednja .ploskev od desne na levo in od spodaj navzgor . 
Ploskev ima le dvojno razsežnost : dolžino in širino 
(višino). 
Vso telo m(jee:e ploskve skupaj imenujemo njega p o-v r š j e 

(Oberfleiehe) . 

§ 3. Vsako koekino ploskev omejujejo štirje robovi ali štir 
robo v n e črte (Kanten, Kantenlinien) . Robovna črta (robovniea ) 
postane tani, kjer se stikata dve ploskvi . 

Kocka (od lesa, lepenke ali pločevine), katera se ogleduje, postavi naj s o 
tRkei na mizo ali stojalo, da je jedna njena ploskov proti učencem obrnena . 

1 


Kocka ima vseh skupaj 12 robov : sprednji spodnji, sprednji 
zgornji, sprednji desni, i. t. d . 

Koekini robovi so preme črte (gerade Linien) , 

-Vsak kockin rob razteza se lc v j e d n o mer, v dolžino. 

Črta ima lc jedno razsežnost, dolžino . 
Vse ploskev meječe črte skupaj imenujemo nje obseg (Urnfang) . 
(hrte ni moči narisati, ker je le dolga . Poteze, s katerimi predoéujemo črt e 


na papirji ali na tabli, imajo razven dolžine zmerom tudi toliko širine in debeline , 
kolikor treba, da so vidne ; te poteze tedaj niso črte, nego le njih znamenja . 

§ 4. Vsak kockin rob omejuje dvoje oglišč (Eckpunkte) . 

Oglišče postane tam, kjer se stikajo tri ploskve . 
Kocka ima vseh skupaj 8 oglišč .- Ta so : sprednje dolnje desno, 
sprednje dolnje levo, sprednje zgori-ije desno, i. t. d. 
Koekina oglišča se ne raztezajo v no b e dn o mer ; ona niso 

niti dolga, niti široka, niti debela . 

Točka nima nikakcršne razsežnosti. 

Točke ne moremo narisati, ker nima nobedne razsežnosti ; moremo si jo l e 

misliti . Pike, s katerimi predočujemo točke na papirji, so le znamenja toéek ; te 
pike imajo, če jih naredimo še tako majhne in drobne, vender le zmerom nekolik o 
dolžine, širine in debeline, kajti sicer bi jih ne videli . 

Takisto si ogledamo lahko 

il) pokončno tristranično prizmo, 

b) tetraeder, 

c) pokončno četverostranično okrajšano piramido . 

2. Ogledovanje cilindra. 
5. Cilinder ali valj (slika 2.) zavzhna na vse strani omeje n 
prostor, tedaj je telo. Razteza se v trojno mer, v dolžino, širino i n 
višino ; vender sta mu dolžina in širina jednaki . 
Cilinder omejujejo tri ploskve . Izmed teh sta dv e

Slika 2 . 

ravni ploskvi, tretja pa je kri v a (krumm) ploskev . 
'-„. Vsaka izmed obeh ravnih ploskev ima točko, kater a 
je jednako oddaljena od vseli toček obsega. Tako ploskev 

imenujemo krožno ploskev ali k rožnino (Kreis


,jieiche). 

Cilinder ima le dva roba in le-ta sta krivi črti , 
kateri omejujeta krožnini ; te krivi črti imenujemo (črti ) 
"	 krožnici (Kj~eislinien). 


() g l i š č cilinder nima. 

Takisto je moči ogledati 

a) pokončen stožec , 

b) pokončen okrajšan stožec , 

c) kroglo . 

3 . Zveza med telesi, ploskvami, črtami in točkami . 
§ 6'. Meje telesu so ploskve. Ploskev ne nahajamo le zunaj 
na telesu, nego misliti si jih moremo tudi znotraj v njeni ; kajti 
vsako telo si mislimo lahko razdeljeno na dele, in skupna mej a 
dveh sosednih delov ploskev. 

Meje ploskvi so črte. 'Črte niso le na vnanji strani ploskve , 
tudi znotraj v njej si jih moremo misliti, tvoreče skupno mejo dve h 
sosednih delov ploskve . 

Meji črte sta točki. Točke niso le na koncih črte, nego tudi 
znotraj v črti in tu tvorijo skupno mejo dveh sosednih delov črte. 

Kjer je kaj omejenega, morajo biti tudi meje ; kjer je tedaj 
telo, morajo biti tudi ploskve ; kjer so ploskve, tam so tudi točke. 
Ploskve, črte in točke niso nikjer same zá-se, nego povsod le n a 
telesih. 

Telesa, ploskve, črte in točke imenujemo p r o s t o r n e tvor e 

(Raumgebilcle) . 

Telesa, ploskve in črte razprostirajo se v prostoru in zato ji h 
imenujemo prostorne količine (Raumgróssen) . 

Telo jc prostorna količina trojne razsežnosti, ploskev prostorn a 
količina dvojne razsežnosti, črta prostorna količina le jedne razsežnosti. 
Točka nima nikake razsežnosti, tedaj tudi ni prostorn a 
količina . 

§ 7. Deli telesa so zopet telesa, deli ploskve so ploskve in 
deli črte zopet črte . 

Ploskev ni del telesa. Če položimo še toliko ploskev drugo n a 
drugo, ne bomo dobili nikdar telesa, nego vselej le ploskev. 

Ploskev, ki meji vodo in na vodi plavajoče olje, ni ne od vode ne od olja , 
sploh od nikakeršne tvarine . 

Crta ni ne del ploskve, ne del telesa . Ako položimo še toliko 

črt drugo poleg druge, ne dobimo ne ploskve ne telesa, nego vselej 
zopet le črto. 

Črta, ki je meja med dvema ploskvama, izmed katerih je jedna rodeče , 
druga višnjevo pobarvana, ni ne nudeča ne višnjeva ; ta črta sploh nima nikakeršne 
barve . 

i. 

Točka ni del črte. Ako zložimo še toliko toček skupaj, ne 
dobimo nikdar črte, nego vselej le točko . 

§ 8. Telesa, ploskve, črte in točke so med seboj v tesni zvez i 
ne le gledé omejitve, nego tudi gledé načina, kako postajajo. Pot, 
katero v prostoru premikajoča se točka za seboj pušča, je črta . Ako 
se črta v prostoru premika toda prema črta ne v svojem po


daljšku napis* ploskev. Telo pa postane, ako se premika ploske v 
v prostoru, toda ne samo v svojem razdaljšku. 

Po zraku letečo iskro vidimo kot črto . Ako povaljamo ravno pobarvan dro t 
po listku paphja, ima sled podobo ploskve. Potisnimo deščico z jedno njeno mejn o 
ploskvijo v mehko ilovico, potem pa jo vzemimo zopet iz nje : globina, katero vidimo 
v ilovici, je dolga, široka in globoka ; moramo jo tedaj za telo smatrati . 

9. Da zaznamenujerno točko, zapišemo zraven pike, k i 
jo predočuje, črko ali število. Takó pravimo n. pr. točka a, točka l . 
Da z a z na,menuj emo črto, zapišemo na vsako njeno krajišče 
črko ali število in potem izgovorimo te drugo za drugo ; II . pr. 
črta ab. 

Ako nam je z a z n am en ovat i ploskev, imenujemo vse črte , 
ki jo mejé. 
Telo pa zaznam e j orno , imenujoč vse ploskve, ki je mejé . 

4. Preme in krive črte, 
§ 10. Ako se točka vedno v isto mer v prostoru premika, nastane 
prema črta ali prema (gerade Linie, Gerade). Ako pa 
premikajoča se točka svojo mer vedno izpreminja, je črta, ki je 
takó postala, kriva črta (krurnme Linie) . 

Prosto padajoč kamen pada v premi črti na zemljo ; če ga pa zaženeš na pošev, 
napisuje krivo črto . Napeta nit nam predočuje premo črto . 
Imenuj različna telesa, na katerih so a) preme, h) krive črte . 

§ 11. l .) Skozi jedno točko moremo brez števila premih čr t 

potegniti, in sicer v vse mogoče meri . 

2.) Ako je pa še druga točka dana, je izmed vseh prejšnji h 

merij preme le jedna sama, v kateri gre prema skozi obe dve točki . 

Dve točki določujeta premo črto po polnem . 

3.) Prema črta je najkrajša črta med dvema točkama. Nje 
dolžino imenujemo razdalj o ali raz s t. o j (Entfernung, Abstand) teh 
dveh toček . 


Za geometrijsko risanje premih črt služi nam ravnilo. 

l.) Načrtaj dve točki ter ji zveži z golo roko s premo črto . 

2.) Načrtaj tri točke, ki ne ležé v jedni premi ter zveži po dve točki s premo . 
Koliko prem je mogoče tu načrtati ? 

3.) Koliko premih črt je moči potegniti skoz 4, 5, 6 toéek ? 

§ 12. Neomejeno premo deli vsaka v nji ležeča točka n a 
dva dela ; vsak tak del razteza se le v jediio mer neomejeno . Prelilo, 
katero jedna točka na pol omejuje, imenujemo trak (Strahi), z 
dvema točkama po polnem omejeno premo pa, daljico (Strecke). 
Daljico meječi točki imenujemo `nje k r aj išči (Endpunkte) . 

13. Med krivimi črtami je krožnica najjednostavnejša in 
najvažnejša. Ako zavrtimo v ravnini daljico AO (slika 3.) okoli nepremičnega 
krajišča O v isto mer toliko, da 
Slika 3 .

se povrne zopet v svojo prvo ležo, napiše 

drugo vrteče se krajišče A krivo črto ; le-to 
imenujemo k r o ?z, nieo ali krog (Kreislinie , 
Kreis). 

Iz tega, kakó je krožnica postala, izva


jamo, da so vse njene točke jednako oddaljen e 
od točke O, ki je znotraj nje . To točko imenujemo 
zatorej k r o g o v o središče (Mittel


punkt, Centru] l) . 

Vso v sebe se povračujočo krožnico zovemo tudi periferij o 
ali obod (Perz"pherie, Kreisumjáng) in vsak njen del, kakor AB, 
lok (Boge&. 

Premo, katera veže središče s katero koli točko periferije, kako r 

OA, OB, OC, imenujemo polum e r (Halbmesser, Radius) . Polume r 

kaže razdaljo točke v obodu od središča ; ker so pa vse točke periferije 
od središča jednako oddaljene, morajo biti v istem krogu vs i 
polumeri jednaki. 

Za geometrijsko risanje krožnice služi nam šestil o 

(Cirkel) . 

Načrtaj 

a) kakeršen koli krog ; 

b) z danega središča kakeršen koli krog ; 

c) z danim polumerom krog v kakeršni koli leži ; 

d) krog z danega središča z danim polumerom . 
Kaj tédaj določuje ležo in veličino krogovo po polnem? 



5. Ravne in krive ploskve . 
§ 14. Ploskev, v kateri je móei na vse strani preme črte 
potezati, imenujemo ravno ploskev ali ravnino (ebene FNehe , 
Ebene); n. pr. ploskev na kocki, stena v sobi. Ploskev, v kateri se 

ne dadé na vse strani preme črte potezati, imenujemo krivo ploskev 
(kl.umme Fl~che) ; n. pr. obstranska ploskev na cilindru, n a 
kateri se morejo le v jedilo mer, ploskev na krogli, na kateri n i 

moči v nobedno mer premih črt potegniti . 

Na kockino ploskev dá se ravnilo na vse strani takti položiti, da ni nikje r 
prostora med ravnilom in ploskvijo ; na krogli ni to mogoče v nobedno mer . --
Kocka stoji lahko z jedno celo ploskvijo na mizi, krogla pa se mize dotika v jedn i 
sami točki . Dve ravnini dasta se takó druga na drugo položiti, da se krijeta ; nikda r 
pa ne more kriti ravnine kriva ploskev . 

Povej več teles, na katerih so a) ravne, h,) krive ploskve . 
Kakó se preiskuje z ravnilom, je-li ploskev ravna ? 


§ 15. 1.) Skoz j e d n o samo točko moči je položiti brezštevilno 
ravnin v vseh ležah, ki se le misliti dadé . 

2.) Tudi dve točki še ne določujeta leže ravnini . Mislimo s i 
namreč skoz te dve točki premo črto potegneva in skoz le-to ravnin o 
položeno ; ta ravnina dá se vrteti okoli preme in pride na ta nači n 
še v brezštevilno lež, a v vsaki izmed teh lož gre vender še sko z 

dani dve točki . 

3.) Ako pa vzamemo še tretjo zunaj one preme ležečo točko . 
ima ravnina med vsemi prejšnjimi ležami le jedno tako, da gre ne 
le skoz oni dve točki v premi, nego tudi skoz tretjo zunaj prem e 
ležečo točko. Skoz tri točke, katere ne ležé v jedni premi črti, 
misliti si moremo tedaj le jedno ravnino položeno . Ravnino do ločujejo 
tedaj tri ne v jedni premi ležeče točke p o 
polnem . 

Paličica in listek papirja zadostujeta, da se to predoéi . 

§ 16. Neomejeno ravnino deli vsaka v nji ležeča prema na 
dva dela ; vsak tak del razprostira se le na jedni strani te prem e 
neomejeno in zarad tega ga imenujemo n a pol omejeno ravnino . 
Ravnino, katero omejujejo črte po polnem, imenujemo raven li k 
(ebene Figur.). Lik je premočrten (gradlinig), krivočrten (krunzmlini& 
ali r a z n o črten (ge?nisehtlinig), kadar ga meje preme, kriv e 
ali preme in krive črte . Preme, ki mejé premočrten lik, imenujemo 
njega stranice (Seiten). 


O. Oglata in okrogla telesa . 
17. Telo, katero meji, same ravnine, imenujemo oglato ali 
r a v n o pl o s k o telo (eckiger, ebenMchiger Kvrper) ; n. pr. kocka, 
omara. Telo, katerega ne omejujejo same ravnine, imenujemo okrogl o 
ali kriv oplosk o telo (rund er, krummjláchiger K~rper) ; pr. cilinder, 
katerega omejujejo dve ravni in jedna kriva ploskev, krogla , 
katero meji jedna sama kriva ploskev . 
Imenuj več oglatih in tudi več okroglih teles , 

7. Geometrija. 
18. Nauk o prostornih količinah imenujenw g e o m(-t r i j o . 
Geometrijo delimo na dva glavna dela : na planimetri j o in 
st ereometrijo. 

P l a n im etri tja ali ravni nomerstvo je nauk o svojstvi h 

tistih prostornih količin, ki ležé v jedni in isti ravnini ; stereom et 
r ij a ali telesornerstvo pa se peča z onimi prostornimi količinami , 
katerih si ne moremo v jedni sami ravnini ležečih misliti, nego katere 
se še zunaj nje v prostoru raztezajo . 

Planimetrij a. 

I. Preme črte. 
l. Mer premih črt . 
§ 19. l .) Premo, katera Trna mer svinčnice, j. prosto viseče 
niti, katero napenja svinčena krogla, imenujemo vertikaln o 
ali navpično (vertical, lothrecht) . 

Skoz jedno točko dá se potegniti le jedna vertikalna prelila . 
Ravnino, katero položimo skoz kako vertikalno premo, imenujemo 
vertikalno ravnino. 
Na papirji ali tabli predočujemo vertikalno črto s premo, katero 
potegnemo od zgoraj navzdol ali pa obratno . 
Potegni na svoji tablici premo od zgoraj navzdol in potem daj tablici ták o 
težo, da bode prema res vertikalna, 


2.) Premo, katera ima mer paličice, plavajoče na mirni vodi , 
ali mer prečke (gredelnice), ki je na obéh stranéh jednako obtežena , 
imenujemo horizontalno, vodoravno ali neprevesno (horizontal, 
wasserrecht, wagrecht) . 

Skoz jedno točko je moči potegniti brezštevilno horizontalnih 
prem. 

Ravnino, v kateri se dadé na vse strani horizontalne črte 
potezati, imenujemo horizontalno ravnino, n . pr. tla v sobi, 
površje mirno stoječe vode. 

Na papirji ali tabli predočuje nam horizontalno črto prema , 
potegnena od leve proti desni ali obratno . 

3.) Premo, katera ni ne vertikalna ne horizontalna, imenujem o 
poševno (schief oder schrdg) . 

Naloge. 

l.) Katere robovn.e črte in ploskve so vertikalne, katere horizontalne na kocki , 

stoječi na horizontalni ravnini. ? 

2.) Katero mer imajo robovi tetraedra, stoječega na horizontalni ravnini ? 

3.) Imenuj druge stvari, na katerih so a) vertikalne, b) horizontalne, c) po


ševne črte . 

4.) Načrtaj več toček v a) vertikalni, b) horizontalni, c) poševni meri . 

5.) Načrtaj v jednakih razdaljah štiri horizontalne črte . 

6.) Takisto načrtaj štiri vertikalne črte . 

7.) Prav tako načrtaj štiri poševne črte, in sicer a) od leve spodaj proti desn i 

navzgor, b) od leve zgoraj proti desni navzdol . 

20. Dve premi, ležeči v isti ravnini, imata isto ali raz lično 
mer. 
Dve premi, kateri imata isto mer ,

Slika 
kakor ab in cd (slika 4.), imenujem o

b 
v z p o red n i (parallel) ; ker sta povso d 

c .- 

d druga od druge jednako oddaljeni, ne 
moreta se nikdar sniti, če bi ji še takó podaljšali . Da sta ab in cd 
vzporedni, zaznamenujemo takó-le : ab f cd . 

Dva vzporedna traka sta v isto mer ali v nasprotno mer obrnena, 
ali ona sta v istem ali pa v nasprotnem smislu vzporedna . 

Dve prelili črti, ki nimata iste meri , 

Slika 5. ' 

kateri se tedaj na jedni strani druga 
B drugi bližata, na drugi strani pa druga 
od druge oddaljujeta, kakor AB in CD 
---------------(slika 5 .), imenujemo n e v z p o r e d n i (nicht 

C --D 

parallel) ; zadosti podaljšani morata s e 


9 

v jedni točki sniti. V tem slučaji pravilno, da s e premi seeet a , 

ter imenujemo skupno točko njiju presečišče (Durchschnittspunkt). 

Dve nevzporedni premi imenujemo na oni strani, kjer se drug a 
drugi bližata, primični (convergierend), na nasprotni strani pa o d 


m i č n i (divergierend). 

Takó sta HA. in DC v mer proti primični, AB in CD pa 
v nasprotno mer odmični . 

Naloge. 
1.) Moreta-li se dve nevzporedni premi sekati v dveh točkah? Zakaj ne ? — 
Dve premi imata tedaj le j e dno presečišče. 

2.) Kateri robovi so na kocki vzporedni, kateri niso ? 

3.) Kakšno medsebojno težo imajo robovi a) tetraedra, b) okrajšane piramide ? 

4.) Imenuj več stvarij, na katerih so a) vzporednice, b) nevzporednice . 

5.) Ali sta dve vertikalni črti vzporedni? Zakaj nista? — Toda zemeljsko površje 
je od zemeljskega središča jako oddaljeno, zato se razločujeta za majhne daljic e 
na zemlji meri dveh vertikalnih črt takó malo, da ji moremo kar za vzporedn i 

smatrati . 

6.) Imenuj vzporedne črte, ki so a) vertikalne, b) horizontalne, c) poševne . 

7.) Načrtaj premo in potem v kakeršni koli razdalji vzporednico z njo . 

8.) Načrtaj premo in v jednakih razdaljah štiri vzporednice z njo . 

9.) Načrtaj vertikalno premo, zaznamenuj v nji 5 toček in skoz le-te potegn i 
vzporednice . 
10.) Kaká se dad(- s pomočjo ogelnikov (Winkelbrett) vzporednice potegniti ? 

2. O aorŽini daljic, 
21. Z ozirom na dolžino sta dve daljici ali j e d ri a k i al i 
nejednaki. 
Dve daljici sta j e d n a k i , ako imata krajišči jednc isto razdaljo , 
kakor krajišči druge . Ako položimo izmed dveh jednakih daljic AB 
in CD (slika 6.) izhodišče (Anfangs-

Slika b .

punkt) C druge na izhodišče A prve 

1

in drugo v mer prve, potem mora tudi B 
krajišče D na krajišče B pasti ter druga 

c t–			ID 

daljica prvo po polnem kriti . 
Ako hočemo zaznamenovati, da sta daljici AB in CD jednaki , 
pišemo : AB -,.-- CD . 
Dve daljici sta 'leje dna k i, ako sta razdalji mod njiju kra


jiščema nejednaki, in sicer je ona večja, pri kateri sta krajišč i 
drugo od druzega bolj oddaljeni, druga pa je manj š a . Dve nejednaki 
daljici, kakor MIV in PR (slika 7 .) se ne moreta kriti. 


10 

Slika 7 . Znamenje nejednakosti je > ali < ;
Mi MN PR čitaj : daljica MN je večja nego 
PR; in PR < MN čitaj : daljica PR je

PI---R 
manjša od MN. 

Naloge. 

Kakci bodeš s šestilom raziskava], je-li sta dve daljici jednaki ali nejednaki? 
2.) Načrtaj dve jednaki daljici, kateri sta a) horizontalni, b) vertikalni , 
c) poševni . 
3.) Načrtaj tri, štiri take daljice. 

22. Z daljicami se prav tako lahko računa kakor s števili . 
Ako podaljšamo daljico AB (slika 8 .) 
Slika S. 

za daljico BC, je daljica AC tolika, koli-
A 
-
C 
1 keršni sta daljici AB in BC skupaj, ali A C 
je vsota daljic AB in BC ; tedaj 

AC=AB+BC. 

Obratno pa je AB razlika med AC in BC, namreč 

AB =AC— BC. 

Naloge. 

1.) Načrtaj dve nejednaki vzporednici ter določi njiju vsoto in razliko . 
2.) Katero lego je treba dvema daljicama dati, da ji je xnóči seštevati ali 
od§tevati? 

23. Ako načrtamo na katero koli premo (slika 9 .) jednake 
daljice AB, BC, CD, . . . , KL, je 
Slika 9 . 

A D E F G H K L 

AC 2krat tolika kakor AB, AD škrat . . AL 10krat tolika kako r 
AB ; na ta način dobimo tedaj 2-, 3-, 4-, . . l0kratno daljico AB . 
Zatorej je AC = 2 AB, AD = 3 AB, . .., AL= 10 AB; dalje je 

AE= 2 AC, AL= 5 AC, AL= 2 AF. 

Obratno pa je AB polovica od AC, tretjina od AD, Oti del 
AC AE 

od AE , IOti del od AL; ali AB= AB AD AB

2'3 ' 4 
AL AGAJ 

tudi je AC —3—, AE =---2 

AB= -I-o-; 


11 


Nal o g e . 
l .) Katera daljica je jednaka v sliki 9 . : 
a) vsoti BD+ DG? 
h) razliki AE AD ? 
c) trojni daljici A C + (:D? 
d) četvrni daljici .~l D CD? 
2.) Načrtaj daljico, ki je 2-, 3-, 4krat tolika kakor druga dana daljica . 
3.) Načrtaj daljico, katera je 1-, -, dane daljice . 
4.) Načrtaj 10 vzporednic, izmed katerih je druga dvakrat daljša od prve , 
tretja škrat daljša od prve, i. t, d., deseta tokrat daljša od prve . 
5.) Načrtaj daljico in razpolovi jo. 
(i .) Načrtaj štiri vzporednice, izmed katerih je vsaka naslednja le polovica 
prejšnje. 
7 .) Načrtaj več daljic in razdeli jih na oko mereč na 2, 4, 8, 3, 6, 12, 5 , 
10, 7, 9 jednakih delov . 

Kakó se preme geometrij s k o de lé, pokazali bomo pozneje . 

3. Kakó je meriti daljice . 
24. Kadar določujemo kakemu predmetu veličino, pravimo, 
da ga merimo . 
Ako nam je meriti prostorno količino, treba, da vzamemo isto vrstno 
prostorno količino za jednoto in potem moramo poiskati, kolikokrat 
ima dana količina v sebi ono količino, katero smatramo z a 
jednoto. Vsako količino je moči meriti le z istovrstno količino, tedaj 
črto le s črto. Ako hočemo tedaj kako daljico meriti, t. j. nje dolžino 
določiti, vzeli bodemo katero koli zna-no daljico za jednot o 
d olg o s t n i rn e r i ter poiskali, kolikokrat ima le-to v sebi ona daljica, 
katero je treba meriti . Število, katero nam to pové, imenujemo 
mersko število (Masszahl) daljice. 

V avstro-ogerski državi je meter j e d rx ot a novi d o l g o s t ni 
meri. 
Meter () delimo na 10 decimetrov (dm) po 10 centimetrov 
(cm) po 10 milimetrov (mm) . 
Pojasni to na meterski palici . 
1000 metrov je l kilometer (km), 10000 metrov je l miriameter 
(pm) . 

Ako hočemo izmeriti kako daljico, n . pr. črto, katero smo po 
sobi po dolzem potegnili, poskusimo, kolikokrat je móei meter n a 
to daljico položiti. Ako se dá n. pr. meter natanko 8krat nanjo položiti, 
je nje dolžina 8krat tolika kakor dolžina metra. V tem slučaji 


12 

pravimo : daljica meri 8 metrov ali ona je 8 metrov dolga ; 8 je 
mersko število daljice oziraje se na meter kot dolgostno jednoto . 

Naloge. 
1.) Izmed dveh daljic je prva 12 m 5 drn 6 cm, druga 7 m 3 dm 9 cm dolga ; 
kolika je njiju vsota ? 
2.) Ako je (slika 9.) AB 6 .63 »t, BC 2. 26 m, kolika je AC ? 
3.) Izmed dveh drogov meri daljši 2 m 3 +Im, krajši 1 m 9 dm ; za koliko s e 

razločujeta njiju dolžini ? 

4.) Izmed dveh drogov meri manjši 2 m 18 cm, razlika med obema pa znaš a 

0 . 29m ; kolik je večji drog in kolika dolžina obeh skupaj ? 
5.) Neka daljica meri 7 m 4 dm 11 c»t, druga pa je 5krat tako dolga; kolika 
je dolžina drugi ? 
6.) 4m 3 cim 2cm dolgo bruno treba je razžagati na štiri jednake kose ; 
kakó dolg bo vsak kos ? 
7.) Kolika je daljica, ako znaša nje tretjina 1 m 4 dm 7 cm ? 
8.) Neke ceste, ki bo 9km 348m dolga, dodelan je šesti del ; koliko cest e 

je treba še narediti ? 

25. Ako treba daljše črte res meriti, služijo nam metersk e 
palice (Meterstdbe) ali merske vrvice (Messchnur) ali mersk i 
lanee (Messkette). 
Za merjenje manjših dolžin rabijo nam merila (Masst~be) ; 

to so paličice od lesa ali od kovine, na katerih je zaznamenovan a 
dolžina jedne ali več dolgostnih jednot in pa nižji razdelki . 
V sliki 10. je načrtana dolžina decimetra in njega razdelite v 
na centimetre in milimetre . 

Slika 10 . 

Ne miz

wueuunnuuu~~~mim~m~ 

Naloge. 
l.) Izmeri te-le razsežnosti : a) dolžino in širino šolske table ; b) širino in 
višino vrat in oken ; c) dolžino, širino in višino šolske sobe . Predno pa v resnic i 

kako dolžino meriš, presodi jo vselej poprej na oko mereč, da oko uriš . 

2.) Potegni daljico, povej nje dolžino v cm in mm na oko mereč, in o pra


vosti rezultata prepričaj se s pomočjo gornjega merila . 

3.) Načrtaj dve nejednaki daljici ter določi prav tako njiju dolžino . 

4.) Zveži tri dane točke A, B, C, katere ne ležé v jedni premi, z daljicam 

AB, AC, BC, potem pa določi le-tem dolžino . 

5.) Načrtaj s pomočjo merila daljico, katera meri a) 7 cm, b) 3 cm 5 mm , 

c) 63 mn2 . 

6.) Načrtaj daljico, katera meri 4 ctn 7 min, in podaljšaj jo za 2 cm 1 mm . 


13 

7.) Načrtaj daljico 58 inrn in skrajšaj jo za 29 min . 
8.) Načrtaj I cm 6 mm dolgo daljico in potem 2-, 3-, 4-, 5krat toliko daljico . 
9.) Načrtaj daljico, ki meri 6 cm in potem nje polovico, tretjino, četrtino, petino . 


II. € kotih. 
l. Kakó koti postajajo in kakó jih zaznamenujemo . 
§ 26. Ako potegnemo od točke A (slika 11 .) dva traka AB 
in AC, razločita se le-ta gledé meri drug od druzega. Veličino raz like 
med merima teh dveh trakov, stikajočih se v skupni točki, 
imenujemo k o t (Winkel). Znamenje za kot j e 

Misliti si moremo, da je kot na ta način postal, da se je vrte l 
trak AB v ravnini okoli svojega jiča A, dokler ni prišel v drug o 
ložo A C ; veličina tega vrteža določuje kot. 

S šestilom lahko pokažemo, da koti res takti postajajo . 
Traka AB in AC, katera tvorita kot, 
imenujemo njega kraka (Schenkel) , točko A 
pa, v kateri se stikata, njega v r h (Scheitel) . 

Kot zaznamenujemo ali s črko pri vrhu, 
ali z majhno črko, katero zapišemo blizo vrh a 
med kraka, ali s tremi črkami, izmed kateri h 
izgovarjamo in pišemo najprej črko pri jednem B 
kraku, potem črko pri vrhu in na zadnje črko pri druzem kraku . 
Kot v sliki 11. imenujemo ali kot A, ali kot n, ali kot BAC ali CA B. 

2. O velikosti kotov . 
§ 27. V e l i k o s t i k o t o v e ne določuje dolžina krakov, nego 
le velikost vrteža, katerega je treba, da pride jcden krak v 
ležo druzega. Dva kota sta j e d n a k a, ako je treba isto tolikega 
vrteža, da postane vsak izmed njiju . 

Ako položimo dva jednaka kota tako jednega na druzega, da 
padeta vrh in jedcn krak prvega na vrh in jeden krak druzega , 
padel bode tudi drugi krak prvega na drugi krak druzega, kot a 
se tedaj krijeta. 

Dva kota sta noj e d n a k a, ako ne potrebujeta za svoj postanek 
isto tolikega vrteža. Kateri izmed dveh nejednakih kotov 


1. 4 
je večji, kateri manjši? Kako se prepričaš, kateri izmed dveh nejednakih 
kotov je večji, kateri manjši, ako položiš jednega na druzega ? 

§ 28. Ako vrtimo v kotu BAC (slika 1.2 .)

Slika 12 . 

krak AC od AB okoli vrha A, dokler ne pride 
v ležo AD, postane kot BAD, kateri je tolik, 

x 
x 
kolikeršria sta kota BAC in CAD skupaj ; kot 
BAD je tedaj vsota kotov BAC in CAD teda j 

BAD . BAC -f -CAD. 
B Ako zavrtimo v kotu BAD krak AD za 

kot CA D proti AB, takó da pride v ležo AC, 
ostane nam še kot BAC. Ta kot je tedaj diferenca kotov BAD in 
CAD ; zatorej 

BAC BAD . CAD. 

Koti se dadé tedaj kakor druge količine seštevati in odštevati . 
Katero ležo treba dati vrhu in krakoma dveh kotov, ako ja načrtamo, da . 
dobimo njiju vsoto, in katero ležo, da dobimo njiju diferenco ? 
§ 29. Ako so koti AOB, BOC, COD, DOE, EOF (slika 13 .) jednaki, 
je AOC 2krat tolik kakor AOB,

. 

Slika 13. 

A OD škrat tolik, ~C A OE 4krat tolik, . AOF 
krat tolik kakor AOB, ali AOC 

/ .F 

2 AOB, A OD 3 AOB, 
AOE 4 AOB, . A OF AOB. 

'. L7 

Obratno pa je kot AOB polovica od AOC, 
B tretjina od AOD, četrti del od AOE in peti 

_ A 

del od AOF; ali AOB AOC 
AOD A OE 5 . A OF. 

. 2. 

Naloge. 
1.) Imenuj v sliki 13. vse jednostavne in vse sestavljene kote, in tudi dele , 
s katerih so poslednji sestavljeni . 

2.) Kateri kot je j ednak : 
fL) vsoti <X BOC + CVFi ., 
b) diferenci AOF COF? 


3.) Načrtaj, na oko mereč, tri kote, izmed katerim je drugi 2krat, tretji 
5krat tolik kakor prvi . 

4.) Razdeli, tudi na oko mere, kot na dva jednaka dela, na 3, 4, 5, 6 jeclnakih 
delov . 

3 . 0 iztegnenih, otlih in izbočenih kotih. 
§ 30. Kot, kateremu ležita kraka z oziroYn na. vrh v nasprotno 
mer, katera tedaj tvorita premo črto, imenujemo i z t e g n e n k o t 

(yestreekter oder yerader Winkel.) . V si i z tegn en i koti so jedn a k i . 


15 

Kot, ki je manjši od iztegnenega , 
imenujemo otel kot (hohler Winkel) ; kot Slika 14 . 
pa, ki je večji od iztegnenega, izboče n 

/$ 

kot (erhabener Winkel) . 
V sliki 14. je AOC iztegnen, AO B 
otel in AOD izbočen kot. 
Da postane iztegnen kot, treba je .A. 

l) 
natanko polovice vrteža, za otel kot letenj , 

in za izbočen kot več nego pol vrtež a 
premičnega traka . 

Pri vsakem otleni kotu je na drogi strasti krakov tudi izbočen 
kot ; sicer pa razumevamo zmerom otel kot, kadar govorilno o kot u 
dveh trakov, če ILrekolila nasprotnega ne omenjamo . 

Kot, kateri postane, akó se trak po polnem okoli zavrti, imenujemo 
poln kot (voller Winkel). Poln kot je dvakrat tolik kako r 
iztegnen . Otel kot in oni izbočeni kot, kateri je na drugi strani 
krakov prvega, tvorita skupaj ziiicront poln kot . 

4. O pravih, ostrih in topih kotih . 
§ 31 . Otle kote delimo na prave, ostre in tope. 
Prav kot (rechter Winkel) je polovica iztegnenega ; da postane , 

treba, da se zavrti premični trak natanko za četrti del. laznnllie


nujenno ga navadno s črko R . 
Vsi pravi koti so j ednaki. 
Kot, ki je manjši od pravega, ime-Slika 15 . 
nujento o ste r (spitz), in kot, ki je večji 1) B 
od pravega, a manjši od iztegnenega, to p 
(stuynpf) kot. 
Ako je v sliki 15. AOB BOC, 
je vsak polovica iztegnenega kota AOC, tedaj A 
__4 o e 
vsak prav kot ; A OD je oster, COD top kot . 

()stre in tope kote imenujemo nasproti pravim kotom tudi poševne 
kote (schiefe Winkel). 

Naloge . 

l.) Kakšni koti so a) na kocki, b) na tetraedru ? 

2.) Poišči na predmetih v sobi pravih kotov . 

3.) Ob kateri uri tvorita kazalca na uri prav kot, ob kateri uri iztegnen kot ? 
4.) Načrtaj prav kot z jednakima krakoma . 
5.) Načrtaj prav kot, kateremu je jeden krak trikrat daljši od druzega . 



16 

32. O dveh prav kot tvorečih premah pravimo : druga stoji 
na drugi pravokotno (senkrecht), ter imenujemo vsako izmed njih 
z ozirom na drugo pravokotnico (Senkrechte). O dveh poševen 
kot oklepajočih premah pa pravimo, da stoji druga na drugi poševno 
(schief). V sliki 15 . stoji BO pravokotno na AO, kar pišemo 
takó-le : BO ±AO ; DO pa stoji poševno na AO ali na CO . 

Naloge . 
I .) Kakó stojé drug na druzem robovi a.) kocke, b) tetraedra ? 
2.) Pokaži na predmetih v šolski sohi preme, katere stojé druga na drug i 

a) pravokotno, b) poševno . 
3.) Naértaj premo ter potegni od raznih toček zunaj nje pravokotnice na njo . 
4.) v čem se razločujejo pravokotnice od vertikalnic ? 
5.) Katero mer ima prema, ki stoji pravokotno na a) vertikalni, b) horizon


talni, (9 poševni premi ? 
6.) Je-li izmed dveh pravokotnic jedna zmerom vertikalna, druga horizon


talna? (Prečka in jeziček pri vagi . ) 

7.) Imenuj dve taki pravokotnici, izmed katerih je jedna horizontalna, drug a 
vertikalna . 

5, Kakó je meriti kote, 

33. Ako vrtimo daljico AO (slika 16 .) v ravnini okoli krajišča 
O takó, da preide s časoma v leže BO, CO, DO, . . ., načrtuje 
drugo krajišče lok kroga, vrteča se daljica pa tvori v svoji vsakikratni 
leži s prvotno težo kot ; lok in kot sta tem večja, za čim ve č 
srno daljico zavrteli . Ako zavrtimo daljico okrog in okrog, dobim o 
največji lok, t. j. obod, in največji kot, ki je ob središči mogoč, 

t. j. poln kot. 
Ako sta kota AOB in COD jednaka , 

Slika 16 . 

jednaka sta tudi pripadajoča loka AB in CD . 
Ako položimo namreč kot COD (v ta name n 
si ga izrežimo) takó na kot AOB, da pad e 

A vrh O na O, in krak CO na AO, pasti mora 
zarad jediiakosti kotov tudi krak DO na BO ; 
a potem se morata tudi loka CD in AB po 
polnem kriti, kajti vse njiju točke so od O 
jednako oddaljene . 

Takisto lahk o dokažemo, da morata kota A OB in COD jednaka 
biti, ako sta loka AB in CD jednaka . 
Iz tega izvajamo : 
l .) V vsakem krogu pripadajo jednakini kotom ob sre


dišči jednaki loki. 


17 

2.) V vsakem krogu pripadajo jednakini lokom jednak i 

koti ob središči . 

34. S polnočjo poslednjih dveh izrekov nam je móči veličin o 
kotov na jako jednostaven način določevati . 
Jednota ločni meri je ločna stopinja (Bo.qengrad), t. j. 
360ti del oboda . Treba nam meriti krogov lok, to preiskujemo, 

kolikokrat ima dani lok ločno jednoto v sebi . Da moremo tudi. manjše 
loke meriti, delimo ločno stopinjo na 60 ločnih minut, in ločn o 
minuto na 60 ločnih s e k u n d . Ločne stopinje, minute in sekunde 
,zaznamenujemo z °, " . 

Razdelimo li krogov obod na 360 jednakih delov, takó da je vsa k 

tak del ločna stopinja, ter poteg-nemo k vsakemu razdelišču pólumer , 
potem dobimo okoli središča 360 kotov ; vsi ti koti znašajo poln kot , 
ter so med seboj jednaki, ker pripadajo jednakiiri lokom . Vsak tak kot , 
ki pripada ločni stopinji, imenujemo tudi stopinjo, in sicer kotno 

stop i n j o (Winkelgrad). K o t n a stopi ntja, t. j. 360ti del polnega 
kota rabi nam kot j e d n o t a kotni meri ; delimo jo na 60 kotni h 
minut, in vsako kotno minuto na 60 kotnih s e k u n d . Kot meriti 

bi morali prav za prav preiskujoč, kolikokrat ima dani kot kotn o 
jedlloto v sebi. V resnici pa tega ne preiskujemo neposredno, nego 
kote merimo posredno s pripadajočimi krogoviiiii loki takó-le sklepajoč 
: Vsak kot iiiia prav toliko kotnih stopin), kotni h 
minut in kotnih sekund, kolikor ima ločnih stopinj , 
ločnih minut in ločnih sekund lok, katerega z njegovega 
vrha n a č rtam o. Kotne stopinje, minute in sekunde zaznamenujemo 
prav takó kakor ločno stopinje in njih nižje razdelke z ", " . 

Vzemimo, da je lok vo so Slika 17 . 
AB (slika 17 .) četrti del 
krogovega oboda ter razdeljen 
na 90 jednaki h 
delov. Ako si mislimo 
vsako razdelišče zvezano 
s središčem O, zaznamenuje 
število stopinj, 
katere ima vsak lok, ob 
jednem tudi število kotnih 
stopinj pripadajočega 
kota . 


Takó ima kot AOC Jedno stopinjo, ali AOO = 1 0, kot AOD 
5 stopinj, ali AOD 5°, AOE 20°, AOF 40°, 

AOG 55°, AOH 73°, ACB = 90°. 

Poln kot ima tPdo.j 360°, iztegi-len 180°, Otel I11e11J nego 180° , 
izbočen več nego 180°, dalje prav kot 90°, oster lllenj nego 90" , 
top več nego 90 ", a inenj nego 1800 . 

Naloge . 
l.) Kolik kot napiše kazalec na uri v 1, v 2, 5, 12 urah ? 
2 .) Kolik kot napise minutni kazalec v 1 mi, v 1, 5, 10, 30 časovnih minutah? 


3 } Kolik kot oklepata kazalca na uri ob 1 , 2., 5., 6 ., S., 9., 11 uri ? 

4.) Poišči vsoto test-le kotorn : 3 7" 48' 35 " , 28° 39 ' in 78" 9 ' 55 " . 
5.) Knlika je diference kotov 128° 15' 31" in 69° 42' 18" ? 
6.) Izračunaj 2-, 3-, 4-, 5kratnik od 18° 35', od 9° 12' 48". 
7.) Določi polovico, tretji, četrti, peti del od 72" 2 7', od 58" 20 ' 

Slika 18 . 35. Kote merimo in 11a


črtav alllo , kadar ni treba po


sebne natančnosti, s pomočjo 

kotomera ali transportc;rJ a 

(Transporteur). Transportér je 

na stopinje razdeljen pollakro g 

(slika 18 .), čegar premer je rob 

AB, zareza C pa središče . 

Naloge . 
1.) Kakci izmeriš s transporterjem kot na papirji ? 
2.) Načrtaj več kotov, presodi njih veličino, najprej na oko mereč, potem p a 
jih izmeri s transporterjem . 
3.) Potegni z jedne točke v premi na jedni njeni strani več trakov, dobljene , 
drug poleg drnzega leveče kote izmeri in seštej . Kolika jim je vsota? Kolika mora 
biti prava vsota ? 
4.) Potegni z točke tri, štiri ali več trakov, kote okoli te ločke umeri i n 
seštej . 
5.) Kakó načrtaš s transporterjem kot, ki ima določeno število stopinj ? 
6.) Načrtaj kot, ki ima 20°, 30°, 50", 90°, 15°, 650, 24°, 79", 81°, 100°, 150', 
142°, 180°, 209°, 270°, 326'' . 

6. O sokotih in sovršnih kotih , 
§ 36. Dva kota, katera imata isti vrli in jeden skupen krak, 
druga njiju dva kraka po tvorita premo, in sicer v nasprotno mer, 
i1nelllljenlo sokota (NehenwZnkel) . Ako podaljšamo kotu Jeden kra k 


19 

čez vrh, dobimo njega sokot . V sliki 1 9 . je Slika 19 . 
AOB sokot od B 0C ; takisto sta AOD in B 
COD sokota. 
Dva sokota sta zmerom jednaka iztegnenemu 
kotu ali dvema pravima kotoma ; 
vsota dveh sokotov je jednaka dvema A-
pravima kotoma ali 180°. 

Sokot pravemu kotu je prav kot, ostremu kotu top in topemu oster . 
1.) Kolik je sokot od 630? 1800 — 63"= 1170. 
2.) Izračunaj sokot od 10", 39', 850, 100", 134", 150 48', 79" 13' 52" . 


37. Dva kota, katera tvorita dve premi na nasprotnih s i 
stranéh svojega presečišča, zovemo sovršna kota (Scheitelwinkel) . 
Ako podaljšamo kotu oba kraka čez vrh, do-

Slika 20.

bimo njega sovršni kot . V sliki 20 . sta a in c, 
b in d sovršna kota . 
Oba dva sovršna kota tvorita isti dve 
premi ; te sta pa na jedni strani svojega pre


sečišča druga od druge za toliko odklonjeni , 
za kolikor na drugi. Odtod izvajamo : 

Vsaka dva sovršna kota sta jednaka. 

Da je ta izrek resničen, razvidno je tudi iz zgoraj navedene ga 
svojstva sokotov. Ker je namreč b sokot od a in e, velja 

a + b = 2 R, 

b + c = 2 R. 
Ako sta pa dve količini jednaki treti' jednaki sta uidi iliecl 

seboj ; tedaj 

a±bb . c. 
Ako odštejemo b h, ostan e 
(t = c; 
ker jednako od jednaeega odšteto, dá jednako . 

Pokaži na isti način, da je b = tZ . 

Ako nam je znan izmed štirih kotov a, h, e, d jeden, mciei 
nam je določiti druge tri . Vzemimo, da je n . pr . a = 500 ; kolik je c, 
kolika sta h in d? 

7. O protikotih, izmeničnih kotih in prikotih. 
§ 38. Dosedaj smo govorili le o kotih s skupnim vrhom ; sedaj 
se hočemo pečati tudi s koti, ki so ob dveh različnih vrhih . Taki 
koti postanejo, kadar preseč(' dve premi tretja . 

2* 


Slika 21 . Ako sta AB in CD (slika 21.) presekani 

E premi, EF pa sekajoča prema ali prečnic a 
(Transversale), postane okoli obeh presečišč 
osem kotov ; ti koti imajo zarad važnih svojih 
svojstev odnošajev posebna, imena . 

Kote c, d, m in n, ki so med preseka nima 
premama , imenujemo notranje kote,

P 
F druge štiri, a, b, o, p pa vnanje kote. 


Jeden vnanji m jeden notranji kot ob različnih -vrhih, pa n a 
isti strani prečnice , zovemo pr o t i kota (Gegenwinkel) ; protikota sta 
a in m, b in e in o, d in p. 

Dva vnanja ali pa dva notranja kota, ležeča ob različnih vrhi h 
in na nasprotni strani prečnice, imenujemo izmenična kot a 
(Weehselwinkel) ; izmenična kota sta a in p, b in o, n in e, d in m. 

Dva vnanja ali pa notranja kota, ležeča ob različnih vrhih i n 
na isti strani prečnice, imenujemo prikota (Anwinkel). Takó sta 
a in o, b in p vnanja, (° in m, d in n notranja prikota . 

Naloge . 

l.) Poiči v sliki 21 . h kotu a sovrkni kot, oba sokota, protikot, izmeničn i 

kot in prikot ; prav takó h kotu b, k d, m, )1, o, l). 
2.) Recimo, da je kot a = 98" in m = 110° ; koliki so potem drugi koti ? 
3.) PoiA(‘,'i protikote, izmenične kote in prikote v sliki 22 ., I., II. in III. 

Slika 22 . 

A 

F A D F B ED 

4.) Povej dalje protikote, izmenične kote in prikote v sliki 23., I., in sicer 
-vzemi najprej A R in CD, in potem EF' in CD za presekani premi ; v II. najprej 
oziraje se na prečnico AC in potem oziraje se na prečnico BC ; -v III. za vse tan i 
mogoče slučaje . 

Slika 23 . 

I. IT. 
C 

F

A 
E¦	 Im	 B DE 


--D A 


21 

39. Posebno znameniti so odnošaji protikotov, izmenični h 
kotov in prikotov, kadar sta presekani premi AB in CD (slika 24. ) 
vzporedni . 
Pomikamo li premo AB ob premi EF 

Slika 24 . 

takó navzdol, da ostane vsikdar s svojo prvotno 
Ido vzporedna, potem tvori prva z drugo 

vsikdar iste štiri kote, kajti premikajoča se A 

B

AB ne izpreminja svoje meri glcdé EF. Kadar d 
pride tedaj AB v ležo CD, krijeta se po dva 
protikota, torej sta jednaka ; vsaka dva izme-n 

nična kota izpremenita se v sovršna kota, sta 
torej tudi jednaka ; po dva prikota postaneta 
sokota, njiju vsota je tedaj jednaka 2 R. Zarad 

tega je 

l.) a = m, 2.) a=l), 3.) a + o = 2 R, 

b = n, b = o, b + p = 2 R, 

c = o, cn, c + = 2 R, 

d=p, d = m, d + n = 2R; t. j . : 

Ako presečc dve vzporednici tretja prema, st a 

l .) po dva protikota jednaka ; 

2.) po dva izmenična kota jednaka ; 

3.) po dva prikota skupaj jednaka dvema pravima 
kotoma. 

Vzemimo, da je a 112° ; kolik je vsak izmed ostalih sedniili kotov ? 

Iz ravnokar dokazanega izreka izvajamo : 

Ako sta dva protikota ali dva izmenična kota nejednaka, ali 
ako znašata dva prikota več ali menj od 2 R, ne moreta biti presekani 
premi vzporedni ; tem-več stikati se morata zadosti podaljšan i 
v točki, in sicer na oni strani, kjer je vsota notranjih prikotov 
manjša od 2 R. 

§ 40. Dve premi, kateri seče tretja takó, da sta dva 
protikota jednaka, sta vzporedni. 

Ako je (slika 24.) n. pr. a = m, mora biti AB CD. Kajti, ako 
pomikamo AB navzdol proti CD, ostaja kot a le tedaj jednak, kada r 
premikajoča se svoje -meri ne izprerninja, t. j. kadar ostaja AB 
s svojo prvotno ležo vzporedna ; da je tedaj a =m, treba, da j e 
tudi zadnja teža CD s prvotno vzporedna . 

Izmed treh svojstev dveh prem, kateri seče tretja, namreč, da 
so protikoti jednaki, izmenični koti jednaki, in da znašata po dv a 


22 

prikota 2R, ni nobedno samo zá-se mogoče, nego kjer je jedno , 
tam sta vsikdar tudi drugi dve. Zatorej izvajamo iz prejšnjega izreka 
še ta-le dva : 

Dve premi, kateri seče tretja takó, da sta dva izmenična 
kota jednaka, sta vzporedni. 
Dve premi, kateri seče tretja takó, da znašata dv a 
prikota skupaj 2R, sta vzporedni. 

Ako tedaj vemo, da sta dva protikota ali dva izmenična kot a 
jednaka, ali da znašata dva prikota skupaj 2 R, móči nam je vsikdar 
sklepati, da sta presekani premi vzporedni . 

Iz tega je razvidna velika važnost, katero imajo protikoti , iz


menični koti in prikoti . Da bi nam bilo mrči za gotovo trditi, d a 
sta dve premi vzporedni, morali bi pokazati, da se še takó podaljšan i 
ne stikata. Takó podaljšati ji pa ne moremo ; zatorej določujemo 
vzporedno ležo dveh prem kar s koti, katere dobimo, ako preSečem o 
te dve premi s tretjo . 

41. Vzemimo, daje (slika 25.) ,4B_J MN 
Slika 25 . 
in CD _L_ MN. Ker je a = R, b R, tedaj a = b , 

A morata biti premi AB in CD vzporedni, kajt i 

oni tvorita s tretjo MN, katera ji seče, jednak c 

protikota. 

Iz tega izvajalno : 

 ,a b Dve premi, kateri stojita na tretj i 
M B D 

pravokotno, sta vzporedni . 

Obratno : Ako stoji jedna izmed dveh vzporednic pravokotno 
na kaki premi, stoji tudi druga pravokotn o 
na nji, 

Kajti : Ako je MN CD BAB, je a = R in b a (ker 
sta protikota), torej mora biti tudi b R, t. j. CD _L MN. 

Pravokotnica med dvema vzporednicama kaže njiju razdalj o 
ali raz stoj . V sliki 25 . je BD razdalja vzporednic AB in CD. 

Potegni 2 vzporednici in med njima 6 pravokotnic v jednakih razdaljah . 

42. Recimo, da je (slika 26 .) AB , DE
Slika 2( . 
in AC DI?. Kotam in a imata na isto stra n 
obrnene ali v istem smislu vzporedne krak e 
a _B in sta jednaka, kajti oba sta jednaka skupnemu 
protikota o ; tedaj m = a. Kota n in a 
imata tudi paroma vzporedne krake, toda le

n rrL 
DE 


dva vzporedna kraka sta na isto stran, druga 


23 

dva pa sta na nasprotno stran obrnena. Ker je n m= 2R in 
in=a, je tudi fl + a = 2 R. 
Odtod izvajamo : 

Dva kota, katerih kraki so paroma v istem smisl u 
vzporedni, sta j ednaka ; dva kota pa, katera imata l e 
dva kraka v istem smislu, druga dva v nasprotnem smisl u 
-vzporedna, sta jednaka 2R. 

43. Vzemimo, da je (slika 27.) DE AB in DF AC. 
Mislimo si kraka DE in DF kota EDF trdno zvezana in zavrtimo 
ja okoli vrha D za 90 0, takó, da prideta v leži D' in DF'. 
V l. so kraki kotov E'DF' in BAC v istem smislu vzporedni 
; tedaj je E'DF' BAC ter tudi EDF BAC.

<r 

Slika 27. 

H. 
77' 

A E B AEB 

V II. so kraki kotov BAC in E'DF' tudi paroma vzporedni, 
vender sta dva kraka v istem, druga dva pa v nasprotnem smisl u 
vzporedna. Zatorej je E'DF' + BAC = 2 R, tedaj tudi. 
EDF BAC 2 .R. 

Dva kota, katerih kraki stojé paroma pravokotn o 
drug na druzem, sta ali j ednaka, ali pa je njiju vsot a 
jednaka 2R. 

Kedaj velja prvo kedaj drugo ? 

. Cl CII trikotnikih. 

l, Pojasnila. 

3 . Vsako ravno ploskev, katero omejujejo tri daljice, zovemo 
trikotnik (Dreieck, te tri daljice imenujemo njega stra nice 
(Seiten) in njih vsoto trikotnikov obseg (Umfang) . 

Slika 28 . Trikotnik ima šestero sestavin , 
C 

tri stranice in tri kote . V trikotniku ABC 
(slika 28.) so AB, AC in BC stranice, A, 
B in C pa koti. Vsaka stranica ima dva 
priležna kota in jeden nasproten kot ; n . pr. 
stranici AB sta kota A in B priležna, ko t 
C pa ji je nasproten . 

Katera dva kota sta priležna stranici ,IC, katera stranici BC? Katera kota 
sta tema dvema stranicama nasprotna ? 

Vsak kot, n. pr. A, oklepata dve stranici AB in AC, tretja B C 
pa mu je nasprotna. 
Kateri dve stranici oklepata kot B, kateri kot C? Kateri stranici sta kotoma B 
in C nasprotni? 

§ 45. Podaljšamo h -v trikotniku 
jedno stranico, potem tvori ta podaljšek 
Slika 29 . s stično trikotnikovo stranico kot, katereg a 
inienujemo vnanji kot (Aussenwinkel) 

trikotnikov ; kote v trikotniku pa zoveni o 
njega notranje (innere) kote . 
V sliki 29 . je CBD vnanji kot tri


A D kotnika ABC, njegov sokot ABC je njemu 
priležni, kota BAC in ACB pa sta njemu 
nasprotna notranja kota trikotnikova . 

Podaljšaj vsako trikotnikovo stranico na obédve strani ; koliko vnanjih koto v 
dobiš na ta naéin? Kakšna sta po dva izmed njih? Imenuj k vsacemu -vnanjemu 
kotu njega notranji priležni in obariva njemu nasprotna kota. 

2. O trikotnikovih stranicah. 
§ 46. V vsakem trikotniku je vsota dveh strani c 

večja od tretje. 
Ta izrek je sam ob sebi jasen ; kajti, če treba od A do B 
priti, je očividno ovinek čez AC in CB (slika 28.) daljši nego prema 

pot čez AB; tedaj AC BO AB. 

Oziraje se na dolžino stranic delimo trikotnike na : j e d n 
a k o s t r a n i č n e (gleichseitig), v katerih so vse t r i stranice jednake; 
j e d n a k o k r a k c (qleichsehenlclig), v katerih sta le d v e stranic i 
jedriaki ; in raznostranične (ungleichseitig), v katerih ni nobedn a 
stranica drugi jednaka . 


V sliki 30. predočuje jcdnakostraničen, II . jednakokrak 
in IIL raznostraničen trikotnik. 

Slika 30 . 

I . II. 
C 
AB 

Načrtaj a) jednakostraničen, jednakokrak, c) raznostraničen trikotnik . 

47. Trikotnik si moremo misliti na vsako stranico postavljen ; 
to stranico zovemo potem o s n o v n i c o (Grundlinie). Osnovnici nasprotno 
oglišče imenujemo vrh (Scheitel), in pravokotnico, spuščen o 
z vrha na osnovnico, v i š i n o (Hóhe) trikotni -
kovo . Ako si mislimo trikotnik ABC (slika 31 .) 
na AB postavljen, je AB osnovnica, C vrh in 
Slika 31 . 
C 
CD njega višina. 
V j e d n a k o k r a k e m trikotniku jemljemo 
vsikdar nejednako stranico za osnov-
nico ; jednaki stranici imenujemo trikotnikova A D 
kraka (Schenkel) . 
Imenuj v sliki 30., II. osnovnico, vrh in kraka . 

3. O trikotnikovih kotih . 
§ 48. Da zvemo, kolika je vsota vsem kotorn a, b, c kacega 
trikotnika ABC (slika 32.), načrtajrno jih vse okoli istega vrha C 
druzega poleg druzega . V ta namen potegnim o 

Slika 32 .

skoz C premo DE vzporedno z AB. Na ta 

način dobimo kota m in n; kot m pa je kakor 
izmenični kot jednak kotu a, in kot n kakor 
izmenični kot jednak kotu b. Vsota kotom 

a, b, c je tedaj tolika, kolikeršna ie vsota 
kotom ni, c, n. Vsota zadnjih treh kotov pa 
je jednaka iztegnenemu kotu ali dvema pravima 
; zatorej mora biti tudi vsota kotov a, b in c jednaka dvema 
pravima. 


26 

V vsakem trikotniku znaša vsota notranjih tre h 
kotov dva prava ali 180". 

49. Iz tega važnega izreka izvajamo : 
a) V vsakem trikotniku je vsota dveli kotov manjš a 
od2. . 
More li imeti trikotnik dva prava kota, ali dva topa kota, ali prav in 
top kot? V vsakem trikotniku morata hiti tedaj najrnenj dva kota ostra . 
Z oz ironi na kote razlo -

Slika 33 . 

čujemo ostrokotne (spitz-

I.
-H. 

ivinkliy), pravokotn o

C 

(rechtwinklig) in top o k 
o tn e (stztmpfwinklig) tri kotnike 
. 

V ostrokotnem trikotniku 
(slika 33., I.) so vsi 
koti ostri ; pravokote n 

trikotnik (slika 33., II.) rola jeden prav in dva ostra kota in 
topokoten (slika 33., II1.) jedeii top in dva ostra kota. V 
pravokotnem trikotniku imenujemo pravemu kotu nasprotn o 
stranico B ° hipotenuzo, prav kot oklepajoči stranici Ali in 
AC pa kateti. 

b) Ako sta znana v trikotniku dva kota, najdemo tretj i 
kot, o(ištevši znane dva kota od 18O ° . 

c) Ako sta dva kota j ednega trikotnike j ednaka dvem a 
kotoma druzega trikotnika, je1nak je tudi tretj i 
kot v prvem trikotniku tretjemu kotu v druze m 
trikotniku. 

cl) V pravokotnem tri kotni kU je vsota obeh dveh ostri h 
kotov jednaka pravemu kotu. Ako je tedaj je1eii oster 
kot znan, moči je najti druzega . 

Naloge. 
1 .) V trikotniku sta dva kota : 


a) 37° in 71°; d) 45" 32' 18" in 62° 50' 57" ; 

b) 82° » 48°; e) 64" 4 7' 33" » 77° 18' 41" ; 
c) 50° 48' » 17° 39' ; fj 108" 5' 29" 38° 43' 31" ; 
kolik je tretji kot ? 
2 .) V pravokotnem trikotniku je jeden oster kvo t 
tt) 03", b) 37 0, c) 27°, 15', cl) 580 12' 48" ; 

kolik je drugi? 


27 

50. Prištejemo li (slika 34.) h kotu b vnanji kot In, dobim o 
18(J' za vsoto, ker sta ta dva kota sokota ; isto vsoto, namreč 180 0 , 
dobimo pa tudi, prištevši h kotu b kota a 
Slika 34 .

in c. Vnanji kot m mora, tedaj tolik biti kakor 
a in c skupaj. Iz tega izvajamo : C 

Vnanji kot trikotnikov je jedna k 
vsoti obeh dveh notranjih njemu ne 
priležnih kotov. 

Vnanji kot je torej vselej večji od jed-nega 
izmed notranjih njemu nasprotnih kotov . 

Naloge . 
l.) V trikotniku sta dva notranja kota 38° 35' 28" in 69 0 18' 46 " . koli k 
je nasprotni vnanji kot ? 
2.) V trikotniku znaša vnanji kot 86", in jeden izmed notranjih njemu nepriležnih 
kotov 57° 48' ; kolik je vsak izmed druzih dveh trikotnikovih kotov ? 
3.) Načrtaj ob vsakem trikotnikovem oglišči vnanji kot ; kolika je vsota -vse m 
tein vnanjim kotom ? 

51. Vzamemo li v topokotne m 
trik o tn i k u ABC (slika 35.) jedno izmed Slika 35 . 
stranic, oklepajočih topi kot, za osnovnico , C 
D. pr. AR, potem ne more pasti pravokotnica, 
spuščena z vrha na osnovnico, notri v tri


kotnik ; kajti sicer bi dobili trikotnik s topi m 

in pravim kotorn, kar pa ni mogoče . Višina 

D A

CD jc tedaj zunaj trikotnika, in osnovnico 
AB treba čez A podaljšati . 
Načrtaj ostrokoten, topokoten in pravokoten trikotnik in v vsakem vse mogoče 
višine ter povej potem, kakci v vsakem višina stoji . 

4, O jeanakosti, podobnosti in skladnosti, 

52. Dolžina krivi črti je lahko ista kakor kaki premi ; krivočrtno 
omejen travnik ima lahko isto površje kakor četverokoten ; 
četverorobovna posoda drži lahko toliko vode kakor okrogla . V vseh 
teh slučajih je veličina ista, oblika pa različna . Dve prostorni količini 
imata tedaj lahko isto veličino, če tudi nimata ob jednein ist e 
oblike. Dve prostorni količini, imajoči isto veličino, imenujem o 
jcdnaki (gleich) . 

Med dve jednaki količini stavimo jednačaj (=) . 


28 

53. D-ve premi črti imata vsikdar isto obliko, da si tudi st a 
različne dolžine ; prav tako imata tudi dva kroga, dve kocki isto 
obliko, če se tudi po veličini razločujeta. Prostorne količine morejo 
imeti tedaj isto obliko, da si tudi niso jednako velike . Dve prostorn i 
količini, imajoči isto obliko, zavemo podobni (cihnlich) . 

Med dve podobni prostorni količini stavimo znamenj e 

§ 54. Dve prostorni količini imenujemo skladni (congruent) , 
če imata isto veličino in isto obliko, če nista tedaj samo jednaki, 
nego tudi podobni . Dve skladni prostorni količini razločujet a 
se le po mestu, na katerem se nahajata ; če položimo drugo na drugo , 
morata se v vseh svojih razsežnostih skladati, t . j . jedria mora drugo 
po polnem kriti. 

Ker sta dve skladni prostorni količini jednaki in podobni, stavimo 
med nji znamenje cNc . 

Kar smo tu navedli o jednakosti, podobnosti in skladnosti pro


stornih količin sploh, velja tudi za trikotnike . 

5. O načrtovanji trikotnikov in njih skladnosti . 
§ 55. Dva trikotnika sta skladna, t. j . imata isto veličino 
in isto obliko, če se, drug na druzega položena, po polnem krijeta . 
Da je pa to mogoče, morata imeti trikotnika vseh šestero 
sestavin, namreč vse tri stranice in vse tri kote, paroma jednake. 

V skladnih trikotnikih so jednakiiii stranicam jedtlaki 
koti nasprotni, jednakim kotom so pa jednake stranice 
nasprotne. 

Dostikrat pa nam je móči iz menj nego šesterih sestavin sklepati, 
da sta dva trikotnika skladna ; kajti veličina nekaterih stranic 
in kotov trikotnikovih določuje veličino druzih, n. pr. veličina dveh 
kotov določuje veličino tretjega kota. 

I)a spoznamo, koliko paroma jednakih sestavin je potrebnih , 
da sta dva trikotnika skladna, in katere so te sestavine, treba nam 
le preiskovati, s koliko in s katerimi sestavinami je moči načrtati 
trikotnik določene veličine in oblike ; kajti vsi trikotniki, kateri imaj o 
te sestavine paroma jednake, so potem skladni . 

l .) j e d n o samo dano sestavino, bodi si kot, . bodi si stranica, 
moči je načrtati brezštevilno različnih trikotnikov, imajoči h 
ono sestavino. Jedila sestavina tedaj ne določuje veličine in oblik e 
trikotniku . 


29 

2.) Tudi z dvema sestavinama : z dvema kotoma, z jedn o 
stranico in jedniiri priležnim kotom, z jedno stranico in tej nasprotnim 
kotom, ali z dvema stranicama, nam je moči načrtati brezštevilno 
trikotnikov, v katerih sta dani sestavini jednaki, druge pa, nejednake. 
D v e sestavini tedaj tudi ne določujeta veličine in oblike trikotniku 
. 

3.) Ako so dane tri sestavine trikotnikove, morajo biti te : 

a) vsi trije koti ; 

h) jedna stranica in dva kota (dva priležna ali jedel' priležen in 

nasprotni kot) ; 

c) dve stranici in kot, katerega le-te oklepata ; 

dve stranici in jeden izmed nasprotnih kotov ; 

e) vse tri stranice . 

V trikotniku določujeta dva kota tretji kot ; z dvema kotoma 
pa ni moči načrtati določenega, trikotnika, zatorej tudi trije koti n e 
določujejo veličine in oblike trikotniku. Prvi izmed navedenih pet 
slučajev nam tedaj ne podaja toliko, da bi mogli določen trikotni k 
načrtati . 

Treba nam tedaj le še zadnje štiri slučaje preiskati . 

56. Načrtaj trikotnik, ako je dana jedna stranic a 
in dva kota . 
Kota sta ali dani stranici priležna, ali pa ji je jeden prileten , 
drugi nasproten. 
a) Vzemimo, da je (slika 36 .) a dana stranica, in da znašata 
kota 58° in 47° in sta ji priležna. 

Potegni AB = a ; s teni si določil dvoje trikotnikovih oglišč, 
A in B. Načrtaš li v A_ kot 58° in v B kot 47°, določujeta ti prem i 
A() in BC, kateri tvorita s stranico A B ta dva kota, mer druge in 
tretje trikotnikove stranice ; tretje oglišče C more biti tedaj le presečišče 
teh dveh prem . 

Dane tri sestavine dadé tedaj trikotnik ABC in ta ima po pol


nem določeno veličino in obliko . 

a 

1 '

80
A 



Ako načrtaš z istimi tremi sestavinami drug trikotnik A'B'C , 
ima ta isto veličino in obliko kakor ABC. Položimo li ta dira trikotnika 
takó jeduega na druzega, da padejo njiju jedi-lake sestavine druga 
druga n drugo, kriti Marata se po pollIenl ; trikotnika sta tedaj skladna . 

Iz tega izvajamo : 

1 .3 Jedll€l stranica in I1j1 priležna kota določujejo tri kotnik 
po polnem . 
2 .) (l, izrek o skladnosti .) Dva trikotnika sta skladna, ak o 

imata jedno stranico in tej priležna kotil parom a 

jednake. 

ó) Ako `o dani v trikotniku jedra stranica, jeden priležen i n 
nasprotni kot, znan je tudi tretji kot potom pa je dana jedra stranica 
in tej priležna kota . Ta sIucaj izprenlfIlllllo tedaj lahko v prejšnji 
a), in potem velja obče: D e d na stranica in dva k o ta

ti


določujejo trikotnik po polnem . 

Naloge . 
l .) Naérta j s pomočjo merila in transporte l ja trikotnik s stranico 1 cm 9 mni n 
in priležninl t kotoma (19 r3 in 41°. 
2.) Poskusi navrtati trikotnik s stranico 2 cm in kotoma 105" in 75 ". Ilnk:čm n 
morata biti l)rile :na kota, da je nl i) i trikotnik naLrtatl 
3.) Načrtuj trikotnik, v katerem meri jedna stranica 27 inin, jedeh izmed pri ]
e ni]h kotov 59° in nasprotni kot 72°. 
4.) Nnčrtaj pravokoten trikotnik, ako sta elan a 

jedna kateta = 15 mm in priležni ostri kot = 57 ° 
b} jedna kateta = 3 cm in nasprotni kot = 630, 
c) hipotenuza — 2 cm in jeden izmed priležnih kotov 

57. Načl•taj trikotnik, ako sta dani dve stranic i 
in kot, katerega le-te oklepata. 
Vzemimo, da sta a in b (slika 37 . ) 

Slik. 37 . 

dani stranici in da znaša kot, katerega 
oklepata, 50°. 

l) I)a načrtaš s temi tremi sestavinami 
trikotnik, načrta] najprej kot 
A 50°, potem pa na njega kra


5o' 

kih dani stranici a in b. Na ta 

način si določil ležo ogliščema B 
in C, tedaj tudi tretjo stranico. ABC je potem oni trikotnik, kater i 
ima dane tri sestavine. 

Ako načrtaš z istimi tremi sestavinami 5e drug trikotnik, imet i 
mora le-ta isto veličino in obliko kakor A BC . 


31 

Iz tega izvajalllo : 

e 

1 .t I)ve stranici in kot, katerega te dve stranici oklt, pata, 
določujejo trikotnik po polnem . 
2 .) (ll. izrek o skladnosti.) Dva trikotnika sta skladna, ak o 
imata dve stranici in kot, katerega te clve stranic i 
oklepata, paroma jednake. 

Naloge . 
1 .) Načrtaj trikotnik s stranicama 2 cm in 3 cm, kateri oklepata kot 62" . 
2 ) Dve daljici merita 17 y3tnz in 12 mrti ; načrtaj z njima trikotnik, v ka


terem znad kot med njivna 1 .) 45", 2 .) 82" . 
3.) Načrtaj jednakokrak trikotnik, čegar krak meri 38 mm in kot pri vrhu 72" . 
4.) Načrtaj pravokoten trikotnik, čegar kateti merita 2 cui 2 mm in 2 em 6 ;tlim . 
5.) Načrtaj jednakokrak pravokoten trikotnik, v katerem znaAa kateta 2 c»> . 

58. Načrtaj trikotnik, ako sta dani dve stranici i n 
kot, kateri jc jedni izmed teh dveli stranic nasproten. 
Dani kot je nasproten ali večji ali manjši izmed danih dve h 
strani e . 

cr) 'Vzemimo, da sta (slika 38 .) a in b dani stranici, izmed ka


terih je a > b, in da znaša večji stranici nasprotni kot 71 " . 

Navrtaš li kot 71 ° in n a 
njega kraku AC manjšo stra-Slika 38 . 
nico b, določil si dvoje tri-"-- 
_ t,, 
kotnikovih oglišč, A in C . b 
Tretje oglišče B mora biti v 
drugem kraku AB, in sicer / 
od oglišča C za daljico (t /71 ° 
oddaljeno ; ono mora biti 
tedaj ob jednem tudi v krož


nici, katero načrtaš s C s polumeroin a . Itijcr se tedaj sečeta krožnica 
in krak AB, tam je oglišče B. Krožnica pa seče krak AB v 
dveh točkah B in B ' in zarad tega dobimo dva trikotnika A BC in 
A B'C. Izmed teh dveh pa ini.a le prvi trikotnik A BC dane tri sestavine 
; drugi A B 'C rola sicer tudi dani stranici, nima pa danega kot a 
nego njegov sokot in zato iie zadostuje nalogi . 

Drugi trikotnik, katerega načrtaš z istimi tremi sestavinami , 
imeti mora isto veličino in obliko kakor ABC. 
Iz tega izvajamo : 
1.) Dve stranici in kot, kateri je večji izmed teh dve h 

stranic nasproten, določujejo trikotnik po polnem. 


32 

2 .) (111 . izrek o skladnosti.) Dva trikotnika sta skladna, 
ako imata dve stranici in kot, kateri je večji izme d 
teh stranic nasproten, paroma jednake . 

Naloge. 
l .) Načrtaj trikotnik, čegar dve stranici znašata 1 cm in 1 cm 5mm, drugi 
izmed teh stranic nasprotni kot pa 76'. 
2 .) Načrtaj pravokoten trikotnik, čegar hipotenuza meri 5cm, jedna kateta 
pa 3cm. 
a) Recimo, da, sta (slika 39.) ct in b dani dve stranici, in sice r 
a < b, in da. znaša manjši izmed teh stranic nasprotni kot 42". 

Na isti način kakor 

Slika 39 . 

zgoraj pri a) dobimo dva tri


a 

kotnika ABC in AB'C; oba dva 
imata dane tri sestavine ,

b 

a različno veličino in obliko . 

Dve stranici in kot, kateri j e 
z! manjši izmed teh stranic na-

A sproten, tedaj ne določujej o 

trikotnika. 
§ 59. Načrtaj trikotnik, ako so dane vse tri stranice. 
Vzemimo, da so (slika tO .) rt, b, c dolžine danih treh stranic . 

Ako naČrtaŠ daljico AP = a, določiš dvoje trikotnikovih oglišč, A 
in B. Če je b dolžina drugi 

Slika 40 . 

stranici A C, mori, biti tretj e 
oglišče C od A za daljico b 
oddaljeno ; C mora tedaj biti 
v krožnici, katero napišeš z 
A s polumerom b. Da je c 
dolžina tretji stranici BO, 
treba, da je oglišče C tudi v 
krožnici, načrtani z B s polumerom 
c, Tretje oglišče C 
mora biti tam, kjer se sečeta 

C"---- te dve krožnici. Ker pa imata, 
krožnici dvoje presečišč C in 
C', dobimo dva trikotnika 
ABC in ABC', imajoča dane tri stranice. Toda obadva trikotnik a 
imata isto veličino in obliko ; kajti, če zavrtimo trikotnik ABC' okol i 

A.B in ga položimo na trikotnik A BO, krijeta se trikotnika popolnoma . 

33 

Drugi trikotnik, katerega načrtamo z istimi tremi sestavinami , 
mora imeti isto veličino in obliko kakor ABC. 

Odtod izvajamo : 

Tri stranice določujejo trikotnik popolnoma. 
2.) (IV. izrek o skladnosti.) Dva trikotnika sta skladna , 
ako imata vse tri stranice paroma jednake. 
Nalog e . 
l .) Načrtaj trikotnik s stranicami 8 mm, 10mm, 11 mm, takisto druzega s 
stranicami 2 cm, 1 cm 6 mm, 1 cm 1 mm . 
2.) Dolžina trem danim daljicam je 2 cm, 3 cm in lcm, poskušaj s tem i 

tremi stranicami trikotnik načrtati . 

3.) Načrtaj jednakokrak trikotnik, čegar osnovnica meri 24 mm, krak pa 19 mm . 

4.) Načrtaj jednakostraniéen trikotnik s stranico 1 cm 8 mm . 

§ 60. Načrtaj trikotnik, kateri je z danim trikot nikom 
skladen. 

Da to nalogo rešiš, vzemi tri take sestavine danega trikotnika , 

katere trikotnik po polnem določujejo in s temi načrtaj novi trikotnik . 
Najpripravnejše so za načrtovanje vse tri stranice. Najprej načrtaj 
tedaj na kako premo jedno stranico danega trikotnika, potem p a 
načrtaj z nje krajišč z drugima dvema stranicama dva loka, kater a 
se sečeta ; to presečišče je tretje oglišče iskanega trikotnika. 

Načrtaj razne trikotnike in k vsacemn skladen trikotnik . 

61 . Načrtaj kot, kateri je jednak danemu kotu BA C 
(slika 41 .) 
Slika 41 . 

Potegnivši DE načrtaj z A s kakeršnim koli polumerom lok , 
kateri seče kraka danega kota v M in N ; z istim polumerom načrtaj 
tudi z D lok, sekajoč DE v E; dalje načrtaj z razdaljo MN 
z E lok, kateri seče z D načrtani lok v F. Ako potegneš sedaj DP', 
je EDF .=--.-RAC. 

Kajti DEF c-•...) AMN (po IV . izreku o skladnosti) ; tedaj 
morata jednakima stranicama EP' in MN nasprotna kota EDF in 
MAN jednaka biti . 

3 


34 

§ 62. Vrtimo li narazen kraka kota A BC 

Slika 42 . 

slika 42.), ne izpremenivši jima dolžine, veča s e 

DA ne le kot, nego tudi krajišči krakov oddaljujeta s e 
bolj in bolj . Ako potegnemo tedaj A C in A D, imat a 
trikotnika ABC in ABD dve stranici paroma jednaki, 
namreč AB AB, BC BD ; tretja stranica 
AP pa je v A, ABD večja od tretje stranic e 
AC v '\ ABC. Ob jedrieiii je stranici A D nasprotni 
kot ABD v ABD večji nego stranici AC na 


sprotni kot ABC v ^\ ABC. 
Iz tega izvajamo : 
1.) Ako sta v dveh trikotnikih dve stranici paroma jed raki, 
kota med njima pa nejednaka, nasprotna j e 

večjemu izmed teh kotov tudi večja stranica. 

.Ako sta v dveh trikotnikih dve, stranici paroma jed raki, 
tretji stranici pa nejednaki, nasproten j&vetj i 
izmed teh stranic tudi večji kot. 

G. O nekaterih glavnih svcjstvih trikotnikovih in njih uporabi . 
63. Vzemimo, da je (slika 43.) CDI_ A.B .
Slika 43 . 

Zavrtimo li od CD trak okoli točke C v leto CA ,

C 

in potem drug trak za isto toliko na drugo stra n 
v težo CB, potem razločujeta se pravokotna trikotnika 
CDA in CDB, katera smo na ta način dobili , 
le po leži, veličina in oblika pa sta jima jednaki 
če položimo tedaj jednega na druzega, krijeta se v 

vseh svojih sestavinah po polnem. Zatorej so te-le 

AD daljice in ti-le koti jednaki : 
AC BC. Trikotnik A BC je tedaj jednakokrak ; A B je njega 
osnovnica, C pa vrh. 
2.) AD BD. V jednakokrakem trikotniku A BC razpolavlja tedaj 
prema CD osnovnico A B . 
3.) a = h. V jednakokrakeni trikotniku ABC sta kota na osnovnici 
jediiaka . 
4.) c = d. Prema CD razpolavlja torej v jednakokrakeui trikotniku 
ABC kot pri vrhu ACB. 

111 

n . To velja že po pogoji, ker je CD_ Al-3. 

35 


1-z tega premišljevanja izvirajo ti-le izreki : 

r l) V vsakem jednakokrakem trikotniku sta kota n a 
osnovnici jednaka ; ali : Ako sta v trikotniku (Ive stri 


. 

nici jednaki, jednaka sta tudi njima nasprotna kota. 
V jednakostraniénem trikotniku so vsi koti jedn 
a k i , vsak znaša torej 60° . 
b) Ako sta jednaka v trikotniku dva kota, jednaki sta 
tudi nasprotni stranici. 

e) Pravokotnica, katero spustimo v jednakokrake m 
trikotniku z vrha na osnovnico, razpolavlja osnovnico 
in kot pri vrhu. 

Višina razpolavlja osnovnico ne le v jednakokrakem nego tudi v jednako


straničnem trikotniku . 

d) Prema, katera veže v jednakokrakem trikotniku vrh 
s sredo osnovnice, stoji na osnovnici pravokotno te r 
razpolavlja kot pri -vrhu. 

e) Prema razpolavljajoča v jednakokrakem trikotnik u 
kot pri vrhu, pravokotna je na osnovnici ter jo raz polovijo. 


Pravokotnica, katero postavimo v jednakokrake m 
trikotniku v sredi osnovnice, gre skoz vrh tel' razpolavlja 
kot pri vrhu. 

Naloge . 
l .) Kolik je v jednakokrakem trikotniku vsak kot na osnovnici, ~e je ko t 
pri vrhu prav kot ? 
2.) V jednakokrakem trikotniku znaša kot pri vrhu a) 23° 35', b) 65° 10' 36" , 
e) 118 ° 48' 29"; kolik je vsak kot na osnovnici ? 
' .) Kolik je v jednakokrakem trikotniku kot pri vrhu, ako znaša kot n a 
osnovnici. a) 15° 12', l)) 48" 5' 49", c) 73° 41' 17" ? 
4.) V jednakokrakem trikotniku znaša vnanji kot pri vrhu ct) 82° 13' 55" , 

b) 

113° 51' 10", () 136° 17' 32" ; kolik je vsak kot trikotnikov ? 
5) Vnanji kot, katerega tvori v jednakokrakem trikotniku podaljšan a 
osnovnica, znaša a) 120° 53' 37", b) 144° 31' 29", c) 151° 47' 23" ; kolik je vsak 
kot trikotnikov ? 

6 .) Načrtaj jednakokrak trikotnik, ako sta dana : 
a) osnovnica in prileže"' kot ; 
b) osnovnica in nasprotni kot ; 


c) krak in kot na osnovnici ; 
d) krak in kot pri vrhu . 


§ 64. Postavi na premo BC v točki A (slika 44 .) pravokotnico. 


3* 


36 

(O Prema, katera, veže v jednakokrakem trikotniku sredo osnov nice 
z vrhom, stoji na osnovnici pravokotno ( 63, d). Da 

tedaj to nalogo rešiš, načrtaj jednakokrak 

Slika 44 . 

trikotnik MND takó, da pade njega osnov-
D

>--vica v dano premo BC, in dana točka A 
v sredo osnovnice ; točko A in vrh I) zveži 
potem s premo . 

Ako treba tedaj v dan i točk i n a 

premo pravokotnico postaviti, od


reži z one točke na obéh stranéh na prem i

4 Ne 

jednake kose, s presečišč načrtaj z isti m 
polumerom dva loka, katera se sečeta v točki. Prema, katera 
veže to presečišče in dano točko, je zahtevana pravokotnica. 

l)) Vzemimo, da je dana točka A krajišče dani premi A13, kakor 
v sliki 45 . V tem slučaji podaljšaj premo čez to krajišče in 
potem postopaj kakor prej . Ce se pa prema čez to krajišče n e 
dá podaljšati, načrtaš zahtevano pravokotnico lahko takó-le : Z 
A načrtaj s kakeršnim koli pohunerom lok, sekajoč 11B v točk i 
D; z istim polumerom presekaj z D prejšnji lok v E, pote m 
pa napiši z E nov lok, kateri seče skoz D in E potegnen o 
premo v F. Prema AF je potem pravokotna na AR . 

Lahko se prepričaš, da si nalogo pra v 
Slika 45 . razrešil. Iz načrtovanja je namreč razvidno , 
F 

da je trikotnik ADE jednakostraničen, tedaj 
vsak njegov kot jednak 60 ° . Trikotnik AEF 
je jednakokrak, torej sta kota na osnovnici 
F in EAF jednaka ; ker je pa AEF 
= 120°, znašata obadva kota na osnovnici 
skupaj 60', tedaj kot EAF = 
Zatorej DAF EAD + EA F 

17 B = 60 ° + 30 °= 90 °, in zarad tega AF! A B. 

Naloge . 

I.) Načrtaj jednakostraničen trikotnik, čegar višina meri 1 o . 
2.) Načrtaj jednakokrak trikotnik, ako sta dani : 

a) osnovnica in višina ; 

ako sta dana krak in višina . 

§ 65. Načrtaj nad dano daljico kakor hipotenuz o 
pravokoten trikotnik. 


37 


Vzemimo, da je (slika 46 .) AB dana Slika 46 . 
daljica in O nje središče . Naertaš li z O C 
s polumerom A O polukrog ter potegneš 
s katere koli njegove točke C premi A C 
in BC, dobiš trikotnik ACB, 
pri C pravokoten . 
kateri jc 
O 

Kajti , če potegneš CO, je v jednakokrakeni trikotniku AOC 
kot m a, prav takó v jedriakokrakeni trikotniku BOC n h, 
tedaj tudi vsota in -~--n jednaka vsoti a + b ; koti m, n, h in a pa 
so koti trikotnika ACB, tedaj znaša njih vsota dva prava, zatorej 

+ n ali kot ACB kakor polovica one vsote jedeii prav kot . 
Ker je točka C katera koli točka v polukrožnici, dobiš brezštevilno 
trikotnikov, zadostujočih nalogi, t.j . naloga je nedoločen a. 

§ 66. Ako je (slika 47 .) AB BD, torej trikotnik ABD jednakokrak, 
sta kota na osnovnici m in )1 jednaka. Podaljšamo li AD 
do katere koli točke, n. pr. C, ter poteg-

Slika 47 . 

nemo BC, potem je kot ABC očividno 

A 

večji nego m ; ACB pa je prav za tolik o 
manjši od n, kajti tretji trikotnikov kot 
A ostal je neizpremenjen . 

V trikotniku ABC je tedaj stranica 
ACs AB in tudi kot ABC ACB. 
Iz tega izvajamo : 

V vsakem trikotniku je večji stranici večji kot nasproten 
; in obratno : 
2.) V vsakem trikotniku je večjemu kotu večja stranic a 
nasprotna. 

V pravokotnem trikotniku je hipotenuza, v topokotnem trikotniku 
pa topemu kotu nasprotna stranica največja . 

67. Potegnemo li od točke A 
(slika 48.) do preme BC pravokotnico Al) 
Slika 48 . 

in več poševnih daljic, AE, AF, AG, 

A 

dobimo pravokotne trikotnike A DE, ADF, 
ADG, v katerih je AD kateta, AE, AF, 
AG pa so hipotenuze. Ker pa je v pravo


kotnem trikotniku hipotenuza večja od ka tete, 
je tudi vsaka izmed poševnih daljic BD G C 
AE, AF, AG večja nego pravokotnica AD. 


Iz tega izvira : 
l .) Pravokotnica je najkrajša prema, katero je moč i 
od kake točke do preme črte potegniti. 

Pravokotnica služi tedaj tudi v to, da morimo razdalj o ali 
ra z s to j točke od preme . 

Ako je v sliki 48 . DE= DF, kriti morata se trikotnika ADE 
in ADI', drug na druzega položena, popolnorna ; potem pa je tudi 
AE AF, t. j. : 

2.) Dve poševni daljici, kateri sta od podnožišč a 
(Fusspunkt) pravokotnice jednako oddaljeni, sta jednaki. 
V pravokotnem trikotniku ADF je kot A FD oster, torej njegov 
sokot AFG top, in zarad tega v trikotniku AFG stranica AG A F, t. j. : 
3.) Izmed dveh poševnih daljic je ona večja, katera 

je od podnožišča pravokotnice bolj oddaljena. 

68. Vzemimo, da sta trikotnika ABC in ABD (slika 49 .), 
katera smo načrtali nad osnovnico AR, jednakokraka, da je tedaj 

AC BO AD BD. 
Potegnemo li skoz vrha C in D daljico CD , 

Slika 49 . 

potem dobimo trikotnika ACD in BCD; ta dva 

C sta skladna, ker imata vse tri stranice paroma 
jednake. Ako tedaj zavrtimo v mislih trikotnik 
ACD okoli daljice CD toliko, da pade na tri kotnik 
BCD, krijeta se popolnoma ne le ob a 
dva trikotnika, nego tudi daljici AE in BE. 

B Koti, kateri se krijejo, morajo biti pa jednak i 
in prav tako tudi daljice. Tedaj je 
1.) a = b in c = d, 
\\\~~'7 2.) AE BE, 
3.) m=n, ali CD AB. 

Ako načrtamo tedaj nad skupno osnovnico dv a 
jednakokraka trikotnika ter potegnemo skoz njiju vrha 

Slika 50. premo, razpolavlja ta 1 .) kota pri vrhih , 
C 2.)skupno osnovnico ter stoji 3.) pravokotno 
na tej osnovnici. 
V prejšnji sliki sta jednakokraka trikotnika 
na nasprotnih stranéh skupne osnovnice . 

Prav takó lahko tudi sklepamo, če sta jednakokraka 
trikotnika na isti strani osnovnice, kakor 
v sliki 50. Izrek, katerega smo tu dokazali, 


39 

velja tedaj, bodi-si da sta jednakokra.ka trikotnika na isti, bodi - si 
da sta na nasprotnih stranéh osnovnice . 

69 . S pomočjo prejšnjega izreka razrešiš lahko več jako 
važnih nalog. 
Razpolovi dani kot RAC (slika 51 .) . 

Da to nalogo razrešiš, treba najprej, da 

Slika 51 . 
načrtaš jednakokrak trikotnik, v katerem j e .A 
dani kot BAC kot pri vrhu ; to pa dosežeš . 
ako zvežeš, odsekavši na krakih danega kota 

jednaka kosa, krajišči M in N. Potem načrtaj 
nad osnovnico MN še drug jednakokrak tri kotnik 
MND ter potegni skoz vrba premo Al) . 

Na ta način dobiš tó-le razrešitev : 

B

Da razpoloviš dan kot, načrtaj z 
njegovega vrha lok, kateri nii proseče oba 
dva kraka ; s teli presečišč načrtaj z istim 

polumerom zopet dva loka, katera se seeeta ; prema, katera veže t o 

zadnje presečišče s kotovim vrhom, razpolavlja kot . 

Nalog e 

) Na staj različne kote in razpolovi jih . 

2.) Razdeli kot na 4, na 8 jednakih delov . 

3.) Potegni v trikotniku z vsakega oglišča prem, razpolavljajočo kot oh 
onem oglišči - k o t no r a z p o 1 o v n i e o (Wt,ékel-Hulhierung:,.Iinie) . V koliko 
točkah sičejo se vse tri kotne razpolovnice ? 

70. Razpolovi daljico AB 
Slika 52 .
(slika 52.) . 

Tu treba načrtati nad A B dva j edriakokraka 
trikotnika ter njiju vrha s prem o 
CD zvezati . Razrešitev je tedaj ta-le : 

Da razpoloviš dano daljico, na -A 
črtaj z njenih krajišč loke, izmed katerih s e \ ¦,,,,, 
rečeta dva nad in dva pod daljico ; prema, 
katero potegneš skoz te presečišči, razpo


lavlja dano daljico . 
Naloge . 
1.) Potegni več daljic in vsako razdeli, najprej mereč na oko in pote m 
geometrijsko na dva jednaka dela . 

2.) Razdeli daljico tla 4, na 8 jednakih delov . 
3) Razpolovi v trikotniku vse tri stranice ter zvei sredo vsake stranice z 


nasprotnim ogliščema premo — sr e d i š n i c o (Mittellinie). — V koliko točkah se 

rečejo te središnice? 


4 .) Razpolovi trikotniku vsako stranico, ter postavi v razpoloviščih pravokotnice 
— sredinske pravokotnice ("Mittelsenkrechte) . — V koliko točkali se 
sečejo vse tri pravokotnice ? 

71 . Spusti na premo BC (slika 53 .) s točke A zunaj 
nje pravokotnico. 
Ker je prema, ki veže vrha dveh 
Slika 53. jednakokrakih trikotnikov, postavljenih 
nad isto osnovnico, pravokotna na tej 
osnovnici, treba tu najprej načrtati tri-
)3 
",,= ' 
.,, , E 
,," --'N C 
kotnik, kateremu je dana točka A vrh , 
in čegar osnovnica pade v dano prem o 
» BO ; tak trikotnik pa dobiš, oko načrtaš 
z A z dosti velikim polumerom lok, 
' ii' sekajoč dano premo v točkah M in N; 
te točki določujeta osnovnico MN. Ako 

načrtaš nad to osnovnico še drug jednakokrak trikotnik MND ter 
potegneš AD, stati mora AD, tedaj tudi AE pravokotno na BO. 

Da spustiš tedaj s točke pravokotnico na premo, načrtaj 
z one točke z dosti velikim polumerom lok, sekajoč premo v 
dveh točkah ; s teh toeek načrtaj zopet z istim polumerom dva loka , 
katera se sečeta. Prema, ki gre skoz to zadnje presečišče in dan o 
točko, je iskana pravokotnica . 

1.) Načrtaj zunaj preme več toček ter spusti od vsake pravokotnico n a 
premo . 

2.) Načrtaj trikotnik ter spusti z vsakega oglišča pravokotnico na nasprotno 
stranico — višino — V koliko točkali sečejo se vse tri višine ? 

72. Kakó geometrijsko nekatere kote načrtavamo. 
1 .) Načrtaj kot a) 90', b) 45°, c) 135°. 
a) Potegni dve premi, kateri stojita druga na drugi pravo


kotno (po § 64. ali § 71 .) . 
b) Načrtaj kot 90 ° in le-tega razpolovi . 
c) Načrtaj kot 45° in njegov sokot . 
2 .) Načrtaj kot & 60°, b) 30°, (a) 120 °, d) 150° . 

a) Načrtaj jednakostraničen trikotnik . 

b) Razpolovi kot 60'. 

c) Načrtaj h kotu 60 ° sokot. 

d) Načrtaj h kotu 30 ° sokot. 
§ 73. Potegni skoz točko C (slika 54.) zunaj preme AB 
s to vzporednico. 


Spusti s C na AB pravokotnico CD, v C Slika 54. 
pa postavi na CD pravokotnico CF; CF in A B F 
stojita pravokotno na CD, torej sta vzporedni . 
Nalogo rešiš lahko tudi takó-le : 
Skoz C (slika 55 .) potegni premo, katera A B D 
seée dano premo A B v D, v točki C pa na -
črtaj h kotu .B DC jednak protikot . V ta na-Slika 55. 
men načrtaj z D lok MN, potem s C z istim 
polumerom lok PR in slednjič s P z razstojem 
toček M in N lok, kateri seče lok PR v R. 
Ako potegneš skoz točki C in R premo, j e 
POR -_= CDB, tedaj CR 1 AB. 
§ 74. Pomika li se po kraku AE kota 
EAK (slika 56 .) prema kakeršne koli dolžine , 
D 
n. pr. AF vzporedno takó navzdol, da posta-Slika 56 . 
nejo na onem kraku jednaki odseki AB, BC, 
CD, DE ter da pride premikajoča se prem a 
zapored v leže BGL, CHM, DJN, EK, jed-B L 
F 
naki so med seboj tudi odseki AG, GH, HJ, C H m 
JK, katere smo na ta način na drugem kraku D 

AK dobili. 
To izražujemo lahko takó-le : 
Ako razdelimo v trikotniku jedno stranico na ve č 

jednakih delov ter potegnemo skoz vsako razdelišče vzporednico 
z drugo stranico, razdelimo s tem tudi tretjo stranico 
na prav toliko jednakih delov. 

§ 75. Razdeli dano daljico AB (slika 57.) na več, n. pr. 
pet jednakih delov. 
Skoz krajišče A potegni trak AZ, 

Slika 57 . 

kateri oklepa z dano daljico kater i 
koli kot ; potem načrtaj na AZ pet 
jednakih, sicer pa kolikor bodi dolzih 
daljic do C. Ako zvežeš C z drugi m 
krajiščem B, dobiš trikotnik ABC, 
v katerem je razdeljena stranica A C 
na pet jednakih delov ; da razdeliš 
tudi AB na pet jednakih delov, potegni skozi vsako razdelišč e 
daljice AC vzporednico s OB . 

Razdeli daljico na 3, 6, 7, 9, 10, 12 jednakih delov . 


IV, Četvev ,o, k o•triki. 

l. Pojasnila , 
76. Ravno ploskev, katero meje štiri daljice, imenujem o 
četverokotnik (Viereck). 
Vsak četverokotnik ABCD (slika 58.) inia 

Mika 58 . štiri stranice in štiri kote . Vsoto vseh četverokotnikovih 
stranic imenujemo njega ob s e g. 
Daljico AC, vežočo dvoje nasprotnih oglišč četverokotn 
i kovi h, zovemo diagonalo (prekotnico) . 

Na koliko trikotnikov raztvori diagonala četvero kotnik? 
Koliko diagonal je v četverokotniku mogočih ? 

2 . O kotih četverokotnikovih . 
77. Ako potegnemo v četverokotniku ABCD (slika 58 .) diagonalo 
AC, raztvorimo četverokotnik na dva trikotnika in vsi štirj e 
koti četverokotnikovi znašajo prav toliko , kolikor znaša vseh šest 
kotov v obeh dveh trikotnikih ; koti v obeh dveh trikotnikih pa 
znašajo 4 R. Iz tega izvajamo : 
V vsakem četverokotniku je vsota vsem kotom jednaka 
štirim pravim ali 3 6 O°. 
Kolik je v četverokotniku vsak kot, ako so vsi štirje koti jednaki ? 

3. Koliko je vrst četverokotnikov . 
78. Oziraje se na težo nasprotnih stranic razločujem o 
troje četverokotnike . 
Četverokotnik, v kate 


. 

I . 
slika 59 . 
II. III . 
drugo vzporedna, imenujemo 
rem ni nijedna stranica s kako 
trapezoid (slika 59., I.) . 
Četverokotnik, v katerem sta 
dve nasprotni stranici vzporedni, 
drugi dve pa ne, zo


vemo trapez (slika 59 ., II.) . Četverokotnik pa, v katerem sta p o 
dve nasprotni stranici vzporedni, imenujemo vzporednik ali paralelogram 
(slika 59., III. . 


Trapez, v katerem sta nevzporedni stranici jednaki, imenujem o 
ednak okra k. 

79. Vzemimo, da je (slika 60 .) AB CD in ADI! BC, da je 
tedaj A BCD paralelogram. Ako potegnemo 
Slika 60 .

diagonalo BD, sta izmenična kota m in n, 
in prav takó tudi izmenična kota p in r 
j ednaka ; zatorej j e L\ A B D CBD (po 

I. izreku o skladnosti), tedaj AB = CD in ;~ ~,n,
A/ B 
r1 

AD BO. 
Odtod izvajamo : 

l .) Diagonala deli vsak paralelogram na dva skladn a 
trikotnika. 

2.) V vsakem paralelogramu sta po dve nasprotni stranici 
jednaki ; ali : 
Vzporednice med vzporednicami so jednake. 

Iz druzega izreka izvira tudi : 
Pravokotnice med vzporednicami so jednake . 
V paralelogramu so jednake vse stranice, ako sta jednaki dv e 

stikajoči se stranici . 

Paralelograme delimo tedaj oziraje se na dolžine njih stranic 
na jednakostranične in raznostranične . 

§ 80. Ker je (slika 60.) p r in n m, je tudi p + n 
r + m, ali B D. Prav takó pokažeš lahko, da je 
A = C. 
V paralelogramu sta tedaj po dva in dva nasprotn a 
kota jednaka. 
Ako je -v paralelogramu jeden kot prav kot, pravi so tudi vs i 
drugi ; ako je jeden kot poševen, poševni so tudi vsi drugi . 

Oziraje se na veličino kotov razločujemo torej pravokotn e 
in poševnokotne paralelograme . 

V paralelogramu znaša jeden kot a) 48 0 18', b) 940 35' 40" ; kolik je vsa k 
izmed ostalih treh kotov ? 

§ 81. Oziraje se na 

Slika 61 . 
veličino kotov in stranic II. 111. IV . 
dobimo te-le štiri vrste pa ralelogramov 
: poševnokotni 
raznostranični paralelogram 
ali romboid (slika 61 ., I.); 



44 

poševnokotni jednakostranični paralelogram ali romb (slika 61 ., II.) ; 
pravokotni raznostranični paralelogram ali pravokotnik (Rechteek, 
slika 61 ., HI.) ; in pravokotni jednakostranični paralelogram ali kva drat 
(slika 61., IV.) . 

V romboidu niso jednaki niti koti niti stranice, v rombu so 
stranice jednake, v pravokotniku so koti jednaki, v kvadratu so 
stranice in koti jednaki . 

V rombu ima jedeh kot a) 58° 12' 43", b) 109° 28' 15" ; kolik je vsak iz med 
druzih teh kotov ? 

Cetverokotnik, v katerem sta po dve stranici jednaki, toda po 
dve stikajoči se in ne po dve nasprotni, kakor ADBC v sliki 49 . , 
imenujemo delto i d. 

82. Potegnemo li v paralelogramu 
Slika 62 . 

ABCD (slika 62.) diagonali AC in BD, potem 

je A OB c¦...? CCD (po I. izreku o sklad


nosti), , ker je AB = CD, ~tn = n, p r; za


torej morajo biti jednakini kotom nasprotne 

stranice jednake, tedaj A O = CO, BO = DO. 

Iz tega izvajamo : 
V vsakem paralelogramu razpolavljata diagonal i 
druga drugo . 

Raz ven tega lahko dokažeš, uporabljujoč izreke o skladnost i 
trikotnikov, da imajo diagonale v paralelogramih še ta-le svojstva : 

1.) V pravokotniku sta diagonali jednaki. 

2.) V rombu stojita diagonali pravokotno druga na drugi. 

3.) V kvadratu sta diagonali jednaki ter stojit a 

pravokotno druga na drugi. 

§ 83. Ako potegneš v trapezu ABCD (slika 63 .) CEH DA, 
razstaviš ga na paralelogram AECD in trikotnik ,ECB ; le-temu so 
stranice obe nevzporedni stranici trapezovi i n 

Slika 63 . diferenca njega vzporednih stranic. 

c Ako je trapez ABCD jcdriakokrak, jed


D 

nakokrak jc tudi trikotnik BBC, tedaj kot 

B CEB = A . Prav takó je potem pot 

AL— E B BCD = D . 

Iz tega izvajamo : 

1 .) V jednakokrakem trapezu sta kota, na vsak 
vzporedni stranici jednaka. 


45 

na 
kateri koli vzporedni stranici jednaka. 
§ 84. Paralelogram si mislimo lahko postavljen na katero kol i 
stranico ; le-to smatramo potem za osnovnico ; pravokotnica, kater o 
spustimo na osnovnico od nasprotne stranice, je potem njega višina. 

2.) Obratno : Trapez je jednakokrak, ako sta kota 

V pravokotniku je jedria izmed dveh stikajočih se strani c 
osnovnica, druga pa višina . 

V kvadratu smatramo lahko vsako stranico za osnovnico al i 
višino . 
V trapezu je višina pravokotnica, katero spustimo od jedri e 
izmed obeh vzporednic na drugo . 

4 . Eakó je načrtovati četverokotnike . 
85. Načrtaj z dano stranico a (slika 64 .) kvadrat. 
Načrtaj si najprej pravi kot A, potem pa 

odreži na njega krakih AD = a ter Da-

Slika 64 .

črtaj z B in D z istim polumerom a dva loka , 

katera se seeeta v C. Ako potegneš BC in CD , 
je AB CD zahtevani kvadrat . 

Ako načrtaš z isto stranico a še drug kvadrat, 
imeti mora le-ta isto veličino in isto oblik o 
kakor prvi, tedaj mora biti s prvim skladen . 

Katere sestavine določujejo tedaj kvadrat p o 
polnem ? 

Naloge . 

1.) Načrtaj kvadrat, čegar stranica meri 241nm . 
2.) Načrtaj kvadrat, kateri ima l. dn't v obsegu. 
3.) Načrtaj kvadrat, kateri ima isti obseg, kakor dan pravokotnik . 
4.) Načrtaj kvadrat, čegar diagonala meri 26 min . 


§ 86. Načrtaj pravokotnik, ako sta dani dve stikajoči 

se stranici a in b (slika 65 .) , 
Načrtaj pravi kot A in AB = a, AD=b, Slika 65 . 
potem pa napiši dva loka, in sicer z B s polua 
merom b in z D s polumerom a ; presečišče C b 
je četrto oglišče zahtevanega pravokotnika . 
Dva pravokotnika sta tedaj skladna, če Li' 
imata dve stikajoči se stranici paroma jednaki . 
Koliko in katere sestavine tedaj določujejo pravo-
kotnik po polnem? A B 


Naloge. 
l.) Načrtaj pravokotnik s stranicama 26 mm in 18mm . 
2.) Načrtaj pravokotnik, ako sta dani stranica = 22 mm in diagonal a 

--= 31 mm . 

3.) Načrtaj pravokotnik, éegar diagonala meri 32mm in v katerem oklepat a 
diagonali kot 60° . 

§ 87. Načrtaj paralelogram, ako sta dani dv e 
stranici a in b in kot, II . pr. 70 0 , katerega te dve stra nici 
oklepata (slika 66 .) . 

Najprej načrtaj kot 

A = 70° ter naredi AB = a,

Slika 66 . 

C A D b, potem pa napiši z

a 

 

B in D s polumerom b in a 
b dva loka, katera se v C seČeta; 
ABCD je zahtevani 

paralelogram . 

Koliko in katere sestavin e 

določujejo tedaj po polnem a) romb , 
b) romboid ? 

Naloge . 
l.) Načrtaj romb, 
a) ako sta dana stranica in jeden kot (34mm, 30 0 ) ; 
I)) ako sta dani stranica in jedna diagonala (2 4mm, 32m»;) ; 
c,) ako sta dani obe dve diagonali (18mm, 28mm). 
2.) Načrtaj romboid , 
a) ako sta dani dve stranici (25mm in 33mm) in kot med njima (60 0 ) ; 
b) ako sta dani dve stranici in jedna diagonala (22 mm, 29 mm, 35mm) ; 
c) ako sta dani obe dve diagonali in kot med njima (36mm, 43mm, 60 0 ) . 

88. Načrtaj tra -
Slika 67 . pez, ako je dana jedn a 
a vzporedna stranica a,

C 

b obe nevzporedni stra -
Ini ock:sl :lej

l1c 1 abiiko6tt~. .)(.:ts:a) , 

katerega 

n c (slika 

AB Načrtaj kot A = 68 ° in 
naredi AB a, AD c. 

Skoz D potegni potem vzporednico z AB ter načrtaj z B s polumerom 
b lok, sekajoč ono vzporednico v C . Ako potegneš še BC, 
dobiš trapez A BCD, kateri ima vse štiri dane sestavine . 


47 

Koliko in katere sestavine določujejo po polnem a) trapez sploh, b) jednakokrak 
trapez ? 
Ako sta med danimi sestavinami obe vzporedni stranici, načrta§ trapez s 
polnočjo trikotnika, čegar osnovnica je jednaka diferenci obeh vzporednih stranic . 

Naloge. 
l .) Načrtaj trapez, čegar -vzporedni stranici merita 28 rana in 22 mm, jedn a 
nevzporedna stranica pa 17 mm, in v katerem oklepata le-ta in prva vzporedn a 
stranica kot 60°. 
2 .) Načrtaj trapez, 
a) ako sta dani obe vzporedni stranici in kota, katera sta jedni izmed 
teh stranic priležna ; 
b) ako sta dani obe vzporedni stranici, jeden igned priležnih kotov 
in -vi§ina ; 
ako sta dani obe vzporedni stranici, jedna ne-vzporedna stranica 
in jeden kot ; 
d) ako sta dani obe nevzporedni stranici, jedna vzporedna stranica i n 
jeden kot . 
3 .) Načrtaj jednakokrak trapez, 
a) ako sta dani obe vzporedni stranici in višina (28 min, 2 cm, 16mm) ; 
b) ako sta dani obe vzporedni stranici in jeden kot (32 mm, 24 mm, 120 °) ; 
c) ako sta dani obe vzporedni stranici in jedna nevzporedna stranic a 
(26 mm, 32 mm, 18 mm) . 

§ 89. Načrtaj četverokotnik, kateri je skladen z danlln 
četverokotnikom A BCD (slika 68.) . 
Potegneš li diagonalo 

BD ter načrtaš L::., EFH Slika 68 . 
z', A BD in nad FH FGH D C H 
BCD, potem je četvero,,, 
kotnik EFGH ,-,,~ ABCD . Si-
cer pa ni treba diagonale BD 
res potegniti in trikotnikov po A -
polnem načrtati, kajti glavna 

stvar je, da določiš novemu četverokotniku vsa štiri oglišča E, F, 
G, H; ta pa določiš z ozirorn na, prejšnje načrtovanje takó-le : 
Načrtaj EF =	=- A B, z E in F napiši potem s polumeroma i-1 D 

in BD dva loka, katera se sečeta v H; dalje napiši s F in H s 
polumeroma BC in DC dva loka, katera se v G sečeta, ter potegn i 
EH, HG in GF. 


V. Mnocr okcrtnik]l. 
l. Pojasnila. 
90. Vsako od več daljic omejeno ravno ploskev imenujem o 
mnogokotnik ali poligon (Vieleck, Polygon) . 
Mnogokotnik ima prav toliko stranic, kolikor kotov ; vsaki stranici 
sta dva kota priležna in vsak kot oklepata dve stranici . 

Mnogokotnik ima tri, štiri, pet, šest, . . stranic in potem ga 
imenujemo trikotnik, četverokotnik, peterokotnik, šestero kotnik, 
i. t. d. 

Daljico, vežočo dvoje oglišč, ki nista v isti stranici, imenujem o 
diagonalo. 
Ali je tu(')či v trikotniku (Fagunalo potegniti ? 
Koliko diagonal moreš potegnit v četverokotniku od jednega oglišča in n a 
kolik() trikotnikov raztvoriš na ta način četverokotnik ? 
Koliko diagonal moreš potegniti od jednega oglišča v peterokotniku, kolik o 
v šestero-, deseterokotniku, in na koliko trikotnikov raztvoriš na ta način petero-, 
šestero-, deseterokotnik ? 

tevilo diagonal, katere je moči v mnogokotnik u 
od jednega oglišča potegniti, ie vsikdar za 3 manjše neg o 
število stranic ; število trikotnikov pa, katere na ta nači n 
dobimo, je za 2 manjše nego število stranic. 

Koliko diagonal je moči sploh potegniti v četvero-, petero-, šestero-, desetero kotniku? 


2. O kotih mnogokotnikovih . 
§ 91. V mnogokotniku so koti lahko ostri, pravi, topi in tudi 
izbočeni . 
Načrtaj mnogokotnik, kateri ima vse te vrste kotov . 


V mnogokotniku znaša vsota vseh kotov dvakrat toliko 
pravih, kolikor ima mnogokotnik stranic, menj štir i 
prave. 

Ako potegneš od točke O, ki je znotraj

Slika 69 . 

v mnogokotniku ABCDEF (slika 69 .), do vseh 

F oglišč preme črte, dobiš toliko trikotnikov, kolikor 
ima mnogokotnik stranic ; v vsakem take m 
trikotniku znašajo koti dva prava, tedaj koti v 
vseh teh trikotnikih tolikokrat po 2 prava, ko likor 
ima mnogokotnik stranic. Med koti teh 
trikotnikov pa niso _le vsi koti mnogokotnika , 


L9 

nego tudi koti okoli točke O, ki niso koti nmogokotnikovi ; Iu-ti pil 
znašajo 4 prave . Da dobimo tednj vsoto vseli mnogokotnikovil i 
kotov, treba, da odštejemo od -vsot(' kotov v vseh trikotnikih še' 
4 prave . 

Kolika je vsota vsem kotom v pt, tero- S(stero-, sedmero-, 4)smero-, devetero-, 
-desetero-, dva-nasterokot-nik"l ? 

3. Kolikovrstni so mnogokotniki . 
92. 1‘lnogokotnik, v katerem so vse stranice jeclnakc, imenujemo 
jed na k o s t raničen ; mnogokotnik, v katerem so vsi kot i 
jednaki , j e dn a k oko t en ; mnogokotnik , v katerem so vse stranic e 
in vsi koti jediiaki, pra vilen (; egelm~ssig) . Romb je n . pY . jednakostraničen, 
pravokotnik jednakokoten, kvadrat pravilen čet‘-erokotnik . 

Ker so v- pravilnem mnogokotniku vsi koti jednaki, izračunat i 
nam jc lahko veličino jedriega izmed njih; v to treba nam le vsot o 
vseh kotov poiskati ter le-to s številom kotov deliti . 

Takó znaša n. pr. vsak kot 

v pravilnem trikotnik u 180° 
=,-,- Go o ,

3 

četverokotnik u 360" 
,---_-90',

4 
540"

» » peterokotnik u 5 
= 0, 

720° 

» šesterokotniku = 120 0 , i .t. d. 

93. V vsakem pravilnem mnogokotniku je neka točka, katera 
je od vseh strank' in od vseli oglišč jednako od(laljem ' . To 
točko imenujemo zarad tega središče (Mittelpunitt) pravilnega 
ilmo,gokotnika . 
Vzemimo, da je AR( 'DEF (slika 70 . ) 

pravilen mnogokotnik inO njega središče, Slika 70 . 

potem je ,W — BO , = 
EO FO, in trikotniki AOB, BO(' , 
('OD, POE, KOF, FO .t so skladni. 
Ako potegnemo tedaj v pra


vilnem mnogokotniku preme črt e 
od središča do vseh oglišč, raz 


tvorimo mnogokotnik na toliko 

/ 
skladnih trikotnikov, kolikor ima A a8 
mnogokotnik stranic. 


Preme .10, BO, CO, . . . razpolavljajo im oo .okotnikove kote 
B, . . ., kajti a = b, c = d. . . . 

Ako nam je tedaj najti središče pravilnega ,mnogokotnika, 
treba le, da razpolovimo dva njegova kota ; presečišče te h 
dveh razpolovnic je iskano središče . 

Spustimo li s središča O na mnogokotnikove stranice pravokotnice 
OG, OH, OJ, . . jednake so le-te kot razdalje točke () 
od stranic A B, BO, CD, . 

Kakó je načrtovati mnogokotnike. 

94. Načrtaj peterokotnik, ako so dane stranice a, b, 
d, in koti med njimi 132°, 125°, in 84" . 
Slika 71 . 

a 

AB 
Načrtaj (slika 71 .) AB = a in v B kot 132 0 ; na novem krak u 
odreži. BC b. v C pa načrtaj kot 125 0; dalje naredi CD = c, -v 
D pa načrtaj kot 84" ter odreži DE = d. Ako potegneš še AE, je 
A BUDE zahtevani peterokotnik . 
Načrtaj šesterokotnik, v katerem oklepajo stranice z dolžinami 22mm, 37mm , 
18 mm?, 25 mm, 29,nm po vrsti kote 90 0, 150', 60°, 150° . 

§ 95. Načrtaj pravilen peterokotnik, ako je dana nj eg a 
stranica a (slika 72 .) . 

Ker znaša v pravilnem peterokotniki' 

Slika 72 . 

vsak kot 108", znani so vsi koti in vs e

(, 

stranice in načrtovanje izvršilno prav taki, 
D kakor smo v § 94. učili . 
Načrtaj pravilen šesterokotnik, čegar stranic a 
znaŠa 2 mm . 
Kakci je načrtovati pravilne mnogokotnike, povedali 
bodemo obširneje pri nank-u o k-rogn . 

96. Naértaj mnogokotnik, ka teli 
je skladen z danim mno :Yokotni B 


kom ABCPEF (slika 73 .) . 


51 

Slika 73. 

Ako si mislimo mnogokotnik z diagonalami na trikotnike raz 

 


deljen, treba le, da načrtamo trikotnik GHJcAA N', nad GJ trikotnik 
GJK ' ? ACD, nad GK trikotnik GKL cv ADE, in nad GL 
trikotnik GLM ti AEF, potem je šesterokotnik GHJKL1lI 

ABC.LlE . 

Sicer pa ni ravno treba; da si te trikotnike res načrtalno ; vsakakor 
zadostuje, ako si točke G, J, K, L, M takó določilno, da 
si moremo one trikotnike med njimi misliti . V ta namen načrtanl o 

GH A I3 ter napišemo z G in H s polumeroma A C in BO dva lok a 

njiju presečišče mali dri točko J; poteh napišemo z G in J s poltilnerolna 
AD in CD dva loka, katera se sečeta tir točki K, i. t. d. 
I`Tačrtnj petero-, osmero-, desetero-i

kotnik in k vsakemu ilnti~ni skladn 
mnogokotnik . 

VI. +[7 VP11Li xl l pr-e aLir t iih iihov. 
1 . Obseg in ploščina . 
97. Vsak lik lnejé črte . Vse lIk meječe črte skupaj iillPlltt-
Jeirlo njega obseg, ravno ploskev pa, katero ntejf, , njega ploščinsko 
vsebino ali ploščino (F1ccheninhc1). 
Premočrtnemu liku določilno obseg, ako seštejelno dolžino vsil i 
njegovih stranic. Ako je pa lik jednakostrainčell, jednak je obse g 
dolžini jedec stranice, pomnoženi s številom stranic. (Obseg premo _ 
črtnemu liku določiti ni tedaj nikakor tetko . 

,' 98. Ako naje je določiti ploščino kacC11111 liku, vzamemo 
katero koli znano ploskev za mersko jednoto ter preiskujemo, koliko krat 
ima ploskev, katero nam je izmeriti, le-to jedi-loto ~sebi ; števila , 
katero to povt'', imenujemo mersko š t e v i l o ploskve . 

Za jednoto ploskovni nieri rabi nam sploh kvadrat , 

čegar stranica je jednaka dolgostni jednoti ; da jo zaznaniellujLlllo, 


52 

postavimo pred ime dolgostne jednote še besedo kvadratni , tedaj 
kvadratni meter (m''), kvadratni decimeter ((Im") . . . 

Kaj pomenja tedaj m', cm', i. t. d. ? 

Ploščina lika nam je znana, ako -vemo, koliko meri m <2 , 
(hm", t. d. Ako bi tedaj hoteli izmeriti n. pr. mizno ploskev, položil i 
bi nanjo kvadratni decimeter tolikokrat, kolikorkrat je. to mogoče ; 
ako bi dobili ostanek, ki je manjši od kvadratnega decimetra, položil i 
bi nanj, kolikorkrat mogoče, kvadratni centimeter . Ali tako nepo sredno 
merjenje ploskev bi bilo prezamudno in dostikrat celó nemogoče. 
Zatorej določujemo ploščino likom navadilo posredno ; 
v ta namen merimo z dolgostno jednoto one daljice, od katerih j e 
zavisna -veličina likava ter potem iz merskih števil teli daljic s 
pomočjo prav jednostavnili sklepov ploščino i z r a č it navam o. 

Dva lika, imajoča isto ploščino ; imenujemo ploščin s k o 
jedi-laka (j1iehoigleich) . 

2. Ploščina kvaarata, 
99. Ako meri stranica kvadrata ABCD (slika 74.) 3 dm 2 , m~ či 
nam je ob stranici AB 3 kvadratne decimetre položiti, pravokotni k 
IBEF meri tedaj 3 drn' ; prav- takó meri pravo-, 
kotnik FEGH zopet 3 dm" in pravokotnik HGCD 

Slika 74 . 

tudi 3 (im". Imamo torej skupaj 3kra.t 3 9 dm 2 . 
Ako bi merila stranica kvadratova 3m, zna-

H ;G 

šala bi ploščina 9 m2 . 

--- Načrtaj kvadrat, čegar stranica meri 4 em „ 

ter poišči, koliko im:A cm'', in sicer na ta način , 

da mu razdeliš stranice in zvežeš razdelišča, ka


kor treba. 

Mersko število kvadratove ploščine tedaj najdemo , 
ako množimo mersko število -n .je o ove stranice samo s 
seboj . 

Ste-vilo samo s seboj nmožiti ali na drugo potenco povišati, 
pravi se zarad tega, tudi to število na kvadrat povišat i 
ali k v a d r o v a t i . 

Prejšnji izrek izražujemo navadno krajše takó-le : 
Pl o š e i n a k v a d r a t o v a j e je d n a k a d r u g i p o t e -n 
-njegove stranice. 
Ako ponlenj :i » mersko §tevilo plo§éine in s mersko stranice kva dratove, 
je 

p =,.,2. 


53 

§ 100. Kvadrat, čegar stranica meri 10 din, ima 10 X 10 = 
Ut ) = dm2 ; tak kvadrat je pa lin2 ; tedaj- je 
1 m 2 = 100 dm2 . 

Prav tako izvajamo : 

1 din(' = 100 cm' , 
1 em' = 100 mm 2 . 

100 m' imenujemo kakor mero za površino zemljišč a r (a) , 
100 arov ali 10000in 2 pa hektar (ha). 1!r m= 1000(0 ha.

2 

101. Naloge. 
1.) V kvadratu meri stranica (o 15 in, b) 3 m 2 din 8 cin, (:) 5 .!4-in , 
d) 2'195 in ; kolik je njega obseg ? 
2.) Izračunaj ploščino kvadrata, čegar stranica meri a) 37 m , 

1m 8 dm 7 cm, c) 9-1 m, d) 3 .82 m, 2 m 5. 35 din. 
3.) V kvadratu ima stranica a) 3 . 714 I)) 6 din 4 cin 5 litin ; 

m) kolik mu je obseg, n) kolika ploščina ? 
4.) Kolika je stranica kvadrata, čegar obseg znaša 2'58 in ? 
5.) Kvadrat ima v obsegu a) 2 8 m, b) -t m 3 dm 8 cin,

. 

(.) 19 -356 cim ; kolika je m) stranica, n) ploščina ? 
6.) Kolika jc a) vsota, b) diferenca kvadratoma dveh daljic , 
ako meri prva 5in 3 dm, druga pa 8in 1 din 5 cin? 
7.) Vrt ima obliko kvadrata, čegar vsaka stranica meri 22 . 5 in ; 
kolika je površina vrtu.? 

8.) Kvadratasto steno treba z deskami obiti ; koliko stane le-t a 
oboj, ako meri kvadratova stranica 4 2 in in se plača za vsak kvadratni 
meter po 12-J2,--O. ? . 

9.) Koliko velja 12 kvadratastih steklenih plošč, ako meri stranica 
vsake plošče 4. 8 din in se računa m po 3 gld. 40 kr.?

2 

3 . Ploščina pravokotnika in poševnokotnega paralelograma . 
102. Recimo, da nam je določiti ploščino pravokotnika Ahat rI) 
(slika 75 .), čegar osnovnica A. 6 m in višina AD = 4m. 
Ako razdelimo osnovnico na 6 in 
višino na štiri jednake dele, takó tedaj, 

Slika 75 . 
da je vsak tak del jednak in, ter potegnemo 
skoz vsako razdelišče v višini	 
vzporednico z osnovnico, raztvorili srn o 
pravokotnik na ta način na jednake 

; : 

proge. Ako potegnemo potem tudi skoz 1'

;

vsako razdelišče v osnovnici vzpored-_ 

niso z višino, raztvorimo vsako progo 


54 

na 6 kvadratov, izmed katerih ima vsak i IjG Pravokotnik 1111 a 
torej 4 proge po 6 n`Z, -tedaj skupaj 6 X 4 ? 4 in '. 

začrtaj pravokotnik, čegar osnovnica meri . cin, višino pa 3 cm, 
ter pouči *ga ploščine prav takó, kakor selo ravnokar pokazali . 
NaČ rtaj pravokotnik, čegar osnovnica meri 4 (°1n in višina 3 cin, 

ter določi, primerno ga raztvorlVŠi, nega ploščino . 

Mersko število pravokotllikove ploščine najdemo , 
oko 111nOžiino lasersko število osnovnice z merskim štev 
llolll Višine . 

Ta izrek izražujelllo krajše takó-le : 
Pravokotnikova ploščina je jcclnaka prodnkttl i z 


.Y 

s.osnovnice in višine

Ako zaznalnenujelno v pravokotniku mersko število osnovnice z o, mersko šte


vilo višine z v in mersko število ploščine s p, j e 

p = v X r. 
Ako delimo produkt dveh faktorjev z jednllu izmed teli dveh faktorjev, dobimo 
drugi faktor. Tedaj je 
v - -, z, --i r 

r~ 

v 

Pri računanji morata se meriti osnovnica (dolžino) in višin a 
(širina) z isto dolgostno jednoto ; od te je zavisno poteh tudi ime, 
ploskovne jednote . 

103. Pretvori poševnokotlii paralelogram ABC D 
slika 76.) na pravokotnik. 
V točkah A in B postavi na 
osnovnico AB pravokotnici, kateri se-

Slika 76 . 

četa nasprotno stranica in nje podaljšek 
v točkah E in F. Pravokotna trikot-
F i nika BFC in AED sta skladna (po 

I. izreku o skladnosti) . Zatorej dobim o 
prav toliko ploskev, če dodamo k četverokotniku 
ABFD trikotnik BFC ali 
pa trikotnik AED. Ako prištejemo k 
ABFD trikotnik BFC, dobimo poševrlokotni paralelogram ABCD ; če 
prištejemo pa k ABFD trikotnik AEI;, dobimo pravokotnik ABFE. 
Poševnokotni paralelogram ABCD in pravokotnik ABFE sta tedaj 

ploščinsko jednaka . 

Da to pretvorbo predočiš, izreži trapez ABFD in trikotnik BFC iz debeleg a 
papirja (lepenke) ter položi trikotnik taki k trapezu, da bode imel jedenkrat leto 


55 


fin', drugikrat pa 1~ AED; v prveni slučaji dobiš poševnokotni paralelogram , 
v drugeni pa pravokotnik ; ploščina pa mora biti obema jednaka , ker sta ~dva 
z istih sestavin sestavljena . 

AB 1)a ni osnovnica le poševnokotnemu paralelogramu nego 
tudi pravokotnikova in prav takó je tudi BF višina obeh četvero kotnikov 
; zatorej je razvidno, da nam je mUči vsak poševnokote n 
paralelogram pretvoriti na pravokotnik, ki ima isto osnovnico i n 
isto višino kakor paralelogram . 

§ 104. Ploščina pravokotnika (slika 76 .) je jednaka 
merskenm številu osnovnice AB, pomnoženemu z merskim številom 
višine BF; tedaj je tudi ploščina prav tolikega poševnokotnega para


lelograma ABCD jednaka AB X BF; t.j. : 

Ploščina poševnokotnega paralelograma je jednaka 
produktu iz osnovnice in višine. 

Ako je pr. osnovnica AB 8 m, višina BF = 4 In, potem 
je 8 X 4 = 32 m2 ploščina paralelograma ABCD. 

Iz prejšnjega izvajalno : Dva paralelograma, katera imata 

isto osnovnico in isto višino, sta ploščinsko jednaka. 
O tem se tudi neposredno lahko prepričamo, če načrtamo dv a 
taka paralelograma ABCD in ABEF (slika . 77 .) . 

Trikotnika ADF in BOE sta 
skladna, kar lahko dokažemo. Ako Slika 77. 
vzamemo od paralelograma ABCD 

— /
, 
mesto trikotnika BOE, izpremeni s e 
oni paralelogram v paralelogram 
ABEF; obadva sta tora] ploščinsk o A 
jednaka. 

trikotnik A DF ter ga položimo na ,/ 

Kakšno ložo moreta skupni osnovnici nasprotni stranici CD in EP' tudi 

še imeti in kakó predočiš v teh slučajih, da sta paralelograma ploščinsko jednaka ? 

105. Vzemimo, da je ABCD (slika 78.) romb ; potem stojita 
diagonali AC in BD pravokotno druga 
Slika 78 .

na drugi ter se razpolavljata v točki O. 
Potegnivši skoz oglišča preme, vzpo-M 

r 

redne z diagonalama, dobimo pravokotnik 
,11.NP_R, čegar osnovnica in 
višina sta jednaki rombovima diago 


nalama. Romb pa je natanko polovica 
tega pravokotnika, tedaj velja izrek : P

B 


56 

Ploščina rollibova .~e jc(iniika polovici produkta i z 
obeli dveh diagonal . 

Prav taki lahko dokažeš : 

Ploščina kvadratov]] je jednaka l)olo-iei clritge potellccllegove 
diagonal e. 

106. logu. 
.

1.) V pravokotniku meri osnovnica 3 . 4 m in višina 28 
kolik mu je obseg ? 

2.) V pošcvnkotnem paralt'logranlu merita dve stilajo(!i s( ' 
stranici 3 m 8 din in gdm 5cin ; kolik je paralelogramov obseg ? 

3.) V pravokotniku meri osnovnica 23 din , višina pa 15 din ; 

kolika je ploščina ? 
4 .) Izračunaj ploščino pravokotniku, ako meri 

(f) dolžina 7 4 in, širina 3 .5 na ; 
b) » 3 in 1 din 2 cin, 1 in 5 dm 9 cin ; 
e) 18ž din, » = 11-- din ; 
d) » 5.154 m, » 2 . 351)1 . 
5. Kolika je ploščina pravokotniku, č'cgar dolžina Rje' 53 .2 in , 
višina 1)a dolžine? 
6.) V pravokotniki] znaša ra) osnovnica 6 m 5 dnz , višina pa 
2 in 7 din; b) osnovnica 4 din 9 tint , višina 8 cin ; kolik mu je obseg 

in kolika ploščina ? 

7.) V pravokotniku znaša obseg 24 ni , osnovnica pa 9 . 2 in ; 
kolika e višina ?

. 
8.) Pravokotnik je 9 in -1 diu širok in inia 86 m 2 dm v obsegu ; 

kolika je c,) dolžina, b) ploščina tega pravokotnika ? 

9.) V pravokotniku znaša 

cc) ploščina 34 dira" in dolžine 4 dyn ; 

b) ploščina 21 in 92 r1~It ~' 40 cilr 2 in dolžina 6 m 3 (lin; ko


lika je širina? 

10.) V drugem pravokotniku znaša 

rr) ploščina 6 . 12 m 2 , širok pa je 1 . 6m. 

b) ploščina 16 m" 19 din ` 80 cm 2, širok pa je 2 mit ti dna 4 tata , 

kolika je dolžina ? 

11 .'r Y ]iošcvuokotneln paralelogramu meri osnovnica 3 . 4 in, 
višina pa 1 ' I y G; kolik ie razstoj osnovnici priležnima stranicama . 
ako meri jedrn], 3 In ? 
12.) V pravokotniku znaša obseg 200 ni , osnovnica pa jo dvakrat 
tolika kakor višina ; kolika je a) osnovnica, b) višina, () ploščina ? 
13.) Pravokotnik je 7 dm dolg in 6 dm širok ; kolikokrat so 

poveva njegova ploščina, ako mu dolžino in širino podvojimo ? 

14.) Za koliko se zmanjša ploščina pravokotniku, čegar dolžin a 
mori 4 .56 m in širina 3 . 45 m, ako mu zmanjšamo vsako stranic o 
za o•75m ? 


5! 

15.) Xačrtaj 16 d Jn dolg in 4 din širok pravokotnik ; s tega na redi 
drug pravokotnik, imajoč za 1 din manjšo osnovnico, a za 1 din 
večjo širino, in takovo načrtovanje pravokotnikov nadaljuj toliko 
časa, da bosta dolžina in širina jedrski. Poten primerjaj v teli 
pravokotnikih zaporedoma obsege med seboj in ploščine med seboj . 
Kateri izmed njih ima največjo ploščino ? 

16.) V rombu meri stranica 12 dni in razstoj nasprotnih dveh 
stranic 8 din ; kolik inu je obseg in kolika ploščina ? 

17.) Izračunaj ploščino romba, čegar diagonali sta ca) 3 iii 5 dm 
in 5 rn 4 din, h) 1 .04m in 0 .85)n dolgi. 

18.) Kolika je ploščina kvadratu, čegar diagonala meri a) 2 an , 
h) 3 . 5 m , c) 1 1n 4drn 8mm? 

19.) Kvadrat ima isti obseg kakor pravokotnik, čcgar stranic i 
merita 48 m in 3 2 m ; za koliko je ploščina prvega večja od ploščine 
druzega ? 

20.) Romboid, eegar osnovnica meri 28 cm in višina 22 cm , 

treba pretvoriti na ploščinsko jednak 16 cin visok pravokotnik : 
koliko bode merila pravokotnikova osnovnica ? 
21.) Koliko kvadratnih centimetrov je nxóči izrezati z 52 cm 
dolge in 40 cJJC široke pole papirja ? 
22.) Pravokotna steklena plošča jc 0 . 4m dolga in 3 dm široka ; 
kolika ji je ploščina ? 

23.) Neka njiva ima obliko paralelograma ter je na jedni stran i 
2 7 m 4 dm dolga, dotična višina pa znaša 10 m 2 dm ; kolika je xij c 
ploščina? 

24.) frcalo ima 18 . 8 dm v obsegu in 6 . 2 dr višine ; kolika 
jc nega širina ? 

25.) Kolika je ploskev 1 In 8 d)n dolgi in 1 m 3 dm široki mizi ? 

26.) Kolika je ploskev, katero pokriva 4' 5 sla dolga in 4 (Im 
široka deska ? 
27.) Kmet kupi njivo, ki ima, kakor se mu je reklo, 1 oral a 

0 . 863 2 Iia. 'IM jo izmeriti ter najde, da je 284 )n dolga in 30 m 
široka ; je-li mu bila velikost njive prav povedana ? 
28.) Vrt ima obliko pravokotnika ter je 348 . 4 m dolg, njega 
širina pa znaša 4 dolžine ; koliko hektarov meri ta vrt ? 
29.) Med dvema potoma ležeč travnik ima obliko romboida , 
čegar osnovnica znaša 396 '4 m, dotična višina pa 1 6? • 5 Jn ; koliko 
hektarov meri travnik ? 

30.) Njiva ima 7 . 174 ha ploščine in 168 . 5 mn višine ; kolika 
je dolžina? 
31.) Od 283 7 11 dolzega polja hočejo odločiti prav toliko dolg, 

38 . 205 a velik kos ; koliko širino bode imel ta kos ? 
32.) Koliko dreves je nl~či nasaditi ob obsegat vrta, ki jc 1 44 m 
2 dm dolg in 85 m 5 dm širok, ako stojé drevesa po 4 jn 2 dm narazen 
33.) V sobi treba 64 m 2 stene s tapetami prevleči ; vzelnó 
se 38 cm široke tapete; koliko tapet se potrebuje, -ako je vsaka 
1 Jlr dolge ? 


58 

3 4-.) Koliko je vredno 1 . 2 mn dolgo in 64 cin širsko zrcalo, ak o 

se računa kvadratni meter po 86 gld . ? 

35.) 270 in dolgo in 150 mn široko njivo hočejo zamenjati z a 
drugo prav takó rodovitno ; dolžina le-tLj znaša dolžine one njive ; 
kolika bode morala biti širina drugi njivi' ? 

36.) Pravokotna njiva je petkrat daljše nego široke ter ion a 
196 in v obsegu ; koliko ima arov ? 
37.) Koliko sená dá 104 . 8 an dolg in 47 .5 in širok travnik , 

ako se računa na 1 ar poprek 28 kilogramov sená ? 

38.) Njiva ima 25 . 8173 Pirc ploščine in 546 . 4 mn dolžine ; a) kolika 
je širina, b) kolik obseg, c) kolika vrednost, ar po 12 . 6 Od. ? 

39.) Koliko stane stavbišče, imajoče 25 in dolžine in 19m širine, 

ako se plača kvadratni meter po 4 Od. ? 
40.)Za 32 .5 m dolgo in 15 . 2 m široko stavbišče plača se 
3064 gld. ; po čem je kvadratni metel° ? 

41.) Koliko barvila je treba, da se z njim pobarvajo tla, k i 
so 9 m dolga in 6 m 4 dm široka, ako se računa na vsak kvadratn i 
meter 26 dekagramov barvila? 

42.) Koliko velja 10 nakladov (furnirov) po 8 dm clolzlh in 

2. 8 (Im širocih, ako se plača kvadratni decimeter po 18 kr . ? 
43.) 67 . 5 mn dolgo zemljišče se vzame za 46 gld. 98 kr. v najem ; 
kolika mu je širina, ako se računa za kvadratni meter 3 kr. naj etnščine ? 

44.) 43 .5 rn dolg in 18 .4m širok vrt se je kupil za 400 .2 Od . ; 

po čem se je plačal kvadratni meter ? 

45.) 127 m dolga in 4 . 3 m široka cesta se je pomastila ; po 

četo se je računal kvadratni meter, ako stane vse delo 12 Od. ? 

46.) Zrcalo je 2 m 8 dm visoko in 1 m 9 dna široko ; okvir pa 
je 4 cm širok ; kolika je ploščina vidne zrcalne ploskve ? 

47.) Nekdo dá v dveh sobah nov pod položiti ; prva soba irzr a 
obliko kvadrata, čegar stranica meri 62 dm, druga pa je 85 din dolg 
in 63 dm širok pravokotnik . Koliko stane vse delo, ako se plač a 
kvadratni meter po 2 gld . 20 kr. ? 

48.) Njiva je 124 m dolga in 20 mn široka ; koliko pšenice j 
treba za setev, ako se je poseje na 1 I2a, hi ? 

49.) Nekdo kupi dvojega jednako dobrega papirja ; prvi je 
42 cm dolg in 33 cena širok in knjiga velja 60 kr. ; drugi je 60 cm 
dolg in 40 cm širok, knjiga pa velja 80 kr. ; kateri papir je dražji .? 

50.) A ima kvadratast vrt, čegar stranica je 91m dolga ; B pa 
ima pravokoten vrt, ,čegar dolžina znaša 95 in in ploščina 76 arov ; 
koliko metrov plotú mora jeden več vzdrževati nego drugi ? 

51.) A obzida kvadratast vrt, kateremu meri stranica 23 m, 

B pa ploščinsko jednak pravokoten vrt, čegar dolžina znaša 48 m ; 
kateremu treba več obzidja napraviti? 


59 

52.) Sprednjo stran 25m dolge in 13 m visoke hiše treba na mazati 
z oljnato barvo ; koliko bo to stalo, ako se računa za kvadratni 
meter 85 kr. in je treba za vrata in okna deseti del odbiti ? 

53.) Sobo, v kateri so stene 23m dolge in 4m široke, treb a 

s tapetami prevleči ; koliko zvitkov 12m (lolzih in T; širocih tapet 
se bode za to potrebovalo, in koliko bodo tapete veljale, ako se 
računa zvitek po 3 gld. 75 kr. ? 

54.) 'vežo, 14 . 4m dolgo in 2 . 2m široko, treba položiti ka


menite plošče. Koliko plošč bo treba, ako je vsaka 3 dm dolga in 
2 din široka, in koliko bodo veljala tla, ako stane vsaka plošča z 
vlaganjem vred 1* gld. ? 

55.) Nekdo ima pravokoten 64 . 5m dolg in 41 . 2m širok vrt. 

Napraviti hoče na kraji vrta okrog in okrog 3 4m široko pot ; ko 

lika ploščino bo imela ta pot ? 

56.) Po sredi pravokotnega vrta, ki je 32 . 4m dolg in 20 . 7 m 

širok, vodi po dolzem in po čez 1 . 6m široka pot ; koliko ostan e 
še vrta? 

57.) 6 .5 m dolgo in 4 . 8 m široko streho treba s pločevino 
pokriti ; vsaka plošča je 42cm dolga in 36cm široka . Koliko plošč 
se potrebuje, ako se mora pri vsaki plošči zarad spoja 3cm dolžin e 
in 3cm širine odbiti ? 

58.) Druga streha je 34 . 1m dolga in 3 6m visoka ; koliko 
treba strešnih opek, da se pokrije, ako so opeke 24 cm dolge in 19 c m 
široke, in ako pokriva vsaka opeka sosedno opeko 351nm po čez i n 
421nm po dolzem ? 

59.) Na denarničino mizo, 1 . 4 m dolgo in 1 . 2m široko, naprav i 
se nova kamenita plošča, katera pušča 7cm lesenega robil ; koliko 
stane le-ta plošča, ako se plača kvadratni meter po gld. ? 

60.) 12 drn dolga in 9 cim široka mizna plošča olepotičena j e 
na sredi z rombom, čegar diagonali merita 4 dni in 3 dm; za koliko 
je miza večja od romba ? 

4. Ploščina trikotnika. 
107. Vsak trikotnik ABC (slika 79.) moremo smatrati za 
polovico paralelograma ABDC, ki ima jednako osnovnico in isto vi šino 
CE kakor trikotnik ; da to dokažemo, 
treba le skoz oglišči B in C potegniti vzporednici 
z nasprotnima stranicama. Ker je 
tedaj ,/¦, ABC ABDC in ABDC 
AB X CE, je 
Slika 79 . 
ABC X AB CE; t . j. : A. E BI 

Ploščina trikotnikova je jednaka polovici produkt a 
iz osnovnice in višine. 


6[) 

.‘ko iaznanleniljen10 v trikotniku merska :iteviln osnovnice, iwine in ploseine , 
oziroma z o, r, in je

p, 

DX T 

in obratno 

r fJ 

Recimo, da meri v trikotniku 1i . pr. osnovnica 10 in in višina 
_ 10 X 7 

l Ill , potenj rje njega ploščina - -2---a 5m '. 

V p r a v o k o t n c iii trikotniku jeniljcnto navadno jedilo kateto 
za osnovnico, druga jc potem višina . Ploščina pravokotneg a 
trikotnika je toru jednaka polovici produkta iz obe h 
katet. 

Vzemimo, da meri Il . pr . V pravokotnem trikotniku jcdna kateta 
3 m 5 din n in druga 2 m 4 din, potem j e 

3 in 5 din 3 .5 m, 

2 mn 4 din 2. 4 era, 

3 . 5 X 2 . 4 
4. 2 m= ploščina. 
2 
Iz izrekov, katere smo tu navedli, izvajamo tudi 
Dva trikotnika, illiajoča jcdiiako osnovnico )11 jed


uako višino, sta ploščinsko jednaka. 

108. Naloge. 
I .) Kolik je obseg trikotniku, &gar stranice merijo 2 111 4 din , 
2 m in 3m ?

7c111L 

2 .) Kolik je obseg jecblakostralllcilcliju trikotniku, ;a stranlca 
znaša a) . 5 1)1, b) 7 ni 5 (lrn 8 eni? 

3 .) V jednakokrakeiii trikotniku meri osnovnica 2 . 6 m, vsak 
krak pa po 2 . 1 mn ; kolik mu je obseg ? 

4.) Kolika je stranica jecliiakostrariičneniu trikotniku , ako znaš a 
njega obseg 5 In 7 6(?fl ? 

5 .) V jechtakokrakent trikotniku meri obseg 4.89 m , osnovnic a 
pa I . 25m ; kolik je vsak krak ? 
6 .) Kolika je ploščina trikotniku, Čcgal' osnovnica meri 5 m 
4 d m in vesina 3 IYYI5 drn ? 
7.) V trikotniku znaš a 

(L) 
osnovnica L m 8 din, višina 1 in 5thu ; 

h) » 2 ` 345 m11 , -7 2 4 nz ; 

c) »254 src, » 1 4 rn ; 

(I) 1 rja 5 drl, » din 8 e iit 
kolika je ploščina? 


61 

Si Ploščina pravokotnega trikotnika Znaša 8 . 58 iii'', osnovnica 
pa 3 .25 žit ; kolika je višina ? 

9.) V pravokotnem trikotnika merita kateti 5 .41)n in 4 " 58 n) ; 

kolika je ploščina ? 
10.) Izračunaj ploščino pravokotnega trikotnika, čegar katet i 
merita : a) 7 .9 ))t in 3 .9 m, b) 49 in 5 dm in 37 m 8 cin . 
11.) V pravokotnem trikotnika znaša ploščina 27 a)l 56 r/// / 
25 jedna kateta pa 5 )n 25 c117, kolika je druga kateta ? 

12.) Stranice nekega trikotnika merijo 344 cm, 183 ena, 450 eni , 
in višina, spuščena ndprvo stranico, 16 7 •5 cm ; koliki sta višini , 
spuščeni na drugi dve stranici ? 

13.) Kolika je vsota dvema trikotnikoma, ako meri višina vsacega 
po 17 •4 mn, osnovnica prvega 28 5 m in druzega 24 . 1 m . 

14.) V trikotniku znaša osnovnica 6m, višina pa 3 n) 2 em ; 
kolika je višina dvakrat tolikega trikotnika, ako znaša njega osnovnica 
8 m ? 

15.) Trikotnik je ploščinsko jednak pravokotniku, čegar osnovnica 
meri 15 .2 m in višina 8-4 in ; kolika je trikotnikova višina , 
ako znaša njega osnovnica 12m ? 

16.) Trikotnik je ploščinsko jednak paralelogramu, čegar osnovnica 
meri 16 m in višina 12 . 5 ni kolika je trikotnikova osnovnica , 
ako znaša nega višina 2 0 7n ? 

17.) Koliko višino ima trikotnik, čegar osnovnica meri 8 ' 1 

1JJ, 

če .je ploščinsko jednak kvadratu s stranico 5 . 4m ? 

18.) 'ravnil ima obliko trikotnika, čegar osnovnica znaša 172 . 4 ni , 
višina pa 31 ' 5 mn ; koliko arov ima travnik ? 

19.) Njiva ima obliko pravokotnega trikotnike, čegar kateti merit a 
1031n in 67 . 6 m ; koliko jc njiva vredna, ako se računa ar po 11 gld. ? 
20.) Koliko stane trioglata pleliasta plošča, imajoča osnovnic o 

4 . 6 nZ in višino 3 ' 2 n2 , ako tehta kvadratni gnetel' 14 kilogramov 
in velja kilogram 64 kr . ? 
21.) Trioglato polje, ima osnovnico 5() • 48 11Z in je ploščinsko 
,ječlnako kvadratastemu polju, čegar stranica meri 32 . 42m ; koliko 
višino ima prvo polje ? 

22.) Trioglato 67 ž nZ dolgo in 28 m visoko njivo hočejo zame -
niti za pravokotno, prav tak(} rodovitno in 17 J)t 5 din široko njivo ; 
koliko dolžina mora imeti druga njiva ? 

23.) Kački -meri osnovnica 1 1 " 2 111, višina pa 4 . 5m ; kolike ji 

je 

ploščina'? 

24.) Dve kački, katerima meri osnovnica po 12 m 4 dm in višina 
po 18 in 8 dni, treba z opekami pokriti ; le-te so 3 dnt dolge in 
2 din široke 111 ležé po dcalZelll in po šlrocelll 0 . 4 din druga na drugi ; 
koliko strešnih opek se potrebuje za to, ako jih je treba 4°J0 ve č 
računati, ker se jih nekaj polomi? 


5. Ploščina trapeza in trapezoida . 
§ 109. Vsak trapez A BCD (slika 80.) deli diagonala BD na dva 
trikotnika A BD in BCD ; le-ta -imata trapczovi vzporedni stranic i 
A B in CD za osnovnici in njiju skupila višina 
Slika 80 . DE je ob jednein tudi trapezova višina . Toda 
‘,"'¦ ABD X A B X DE, 
BCD X CD X DE ; 
tedaj trapez ABCD 45., B± CD) X DE ; tj . : 
Ploščina trapezova je jednak a 
polovici produkta iz vsote obeh -vzporednih 
stranic in višine. 

Ako zaznamenujemo trapezu -vzporedni stranici z in b, vi§ino z r in 
ploéino s P. je 

Ako znašata n. pr. v trapezi' vzporedni stran ici 16m in 10m , 
višina pa 11 m, je 
16 + 10 

X 11 = ~2 X 11 = 13X11 = 143 ploščina. 

2 


§ 110. Ako nam je določiti ploščino trapezoida, raz delimo 
ga z diagonalo na dva trikotnika, izračunajmo jima ploščino , 
vzemši diagonalo za skupno osnovnico, za višini pa pravokotnici , 
spuščeni z nasprotnih oglišč na to diagonalo ter seštejmo ploščin i 
teli trikotnikov. 

§ 111. Naloge. 

L) 'četverokotniku (trapezu ali trapezoidu) merijo stranice p o 

vrsti 13 m 5 á‘n, 12 m 4 dm, 27 m 3 (Im, 191;1 2 dm; kolik je obseg? 
2.) Trapez je 5-4 n visok, vzporedni stranici pa merita 6 . 8 )i l 

m 4 .2m ; kolika je ploščina ? 
3.) Izračunaj ploščino trapeza, ako merit a 

(I) vzporedni stranici 3 m 4dm in 7m 2dm, višina pa 4m 2 cim 
b) » » 12 .745m in 8-655m, » » 88m . 
4.) V trapezu meri ploščina 567 dm 2 , vzporedni stranici pa 3 . 6 m 
in 2 . 7m ; kolika je višina ? 
5.) V trapezu meri ploščina 124 .8 m'., višina 6 .4m in jedila 
izmed vzporednih stranic 12 . 8m, kolika je druga vzporedna stranica ? 
6.) V trapezoidu meri diagonala, vežoča dvoje oglišč, 5 . 24m, 
njena razstoja od druzih dveh oglišč pa 3 . 56m in 2 . 35m ; kolika 
je plošči-na temu četverokotniku ? 


63 

7.) četverokotniku sta diagonali pravokotni druga na drugi ; 
kolika je njega ploščina, ako znašajo razdalja vseh štirih oglišč o d 
presečišča diagonal po vrsti 42 dm, 38 dm, 15 dm in 55 dm ? 

8.) Kolika je dolžina 5 . 2m široeega pravokotnika, ako je le-ta 

ploščinsko jednak trapezu, čegar -višina ima 6 . 3m, in éegai. vzporedni 
stranici znašata llm in 9 . 4m ? 

9.) Stavbišče ima obliko trapeza, čegar vzporedni stranici znašata 
35 m 2 dm in 33 m 5 dm, višina pa 21 m 4 dm ; kolika je njeg a 
ploščina? 

10.) Drugo trapezasto stavbišče je dolgo ob jedni vzporedn i 
stranici 23 m, ob drugi 21 m in meri 41 7 m2 57 dm 2; kolika je 
njega širina ? 

11.) Koliko ploskev ima trapezasto pobe, čegar -vzporedn i 
stranici sta 14 . 3m in 10-5 m dolgi in za 63 . 4)n druga od druge 
oddaljeni? 

12.) Deska je 42 din dolga in na jednein konci 4 dm, -na drugem 
3 dm široka ; kolika je jedna njenih ploskev ? 
13.) Trapezasto polje je 238 m dolgo, na jediieui konci 26m , 
na druzem 22 . 5m široko ; koliko arov meri le-to polje ? 
14.) Travnik ima obliko trapeza, čegar vzporedni stranici merita 
168 . 42m in 109 .3m, in čegar ploščina znaša 1 .5ha; kolik 

je razstoj obeh vzporednih stranic ? 
15.) Dvorišče ima obliko trapeza, čegar vzporedni stranic i 
merita 20m 4 dm in 18m 5 dm, oddaljeni pa sta druga od drug e 

za 15m ; le-to dvorišče treba pomostiti s kamenitimi ploščami ; 
koliko tacih plošč je treba za pomoščenje, ako meri vsaka 25 1in2 ? 
16.) Pri kamenoseku je naročena trapezasta plošča ; vzporedn i 

stranici meriti ji morata 1 . 9m in 1 . 2m, njiju razstoj pa 1 . 1 m ; 
koliko stane plošča, ako se računa in " bo 15 gld. 54 kr. ? 

17.) Trapezast vrt, kateri je 9 . 6m širok in na jednein konc i 

20 . 75m, na druzem pa 14 . 25m dolg, prodal se je za 480 gld ; po 
čem kvadratni metel' ? 

18.) Njivo, katera je 109m dolga, na jedneiu konci 56 . 2 m 
in na,druzem 46 . 8m široka, treba z režjó obsejati ; koliko treba v 

to reži, ako se računa na 32 arov 1 hektoliter ? 
19.) Strešna ploskev ima obliko trapeza, čegar vzporedni stra


nici merita, 15 m 8 dm in 11 m 6 dm, njiju razstoj pa 6 m 2 cim ; 

koliko stane pokrivanje, ako treba za kvadratni meter 1 gld . 12 kr. 

plačati? 

20.) Streha ima dve trikotniški ploskvi, dve pa trapezasti ; 

trikotnika in trapeza imata isto višino, -namreč 3-6m ; osnovnica 
vsacega trikotnika meri 8m, vzporedni stranici vsneega trapeza p a 
znašata po 18m in 10)n ; koliko opek treba, da se pokrije le-t a 
streha, ako krije vsaka opeka 5 rim' ? 


G . Ploščina pravilnega in nepravilnega mnogokotnika . 
§ iiM, Vzemimo, da je O (slika 81 .) središče pravilnemu mnogo kotniku 
ABCDEF. Potegnemo li od središča do vseli oglišč prelile , 
raztvorili smo mnogokotnik na toliko trikotnikov, kolikor ima stranic . 

Razstoj OG središča od jcdne stranice j o 
Slika 81 . skupna višina vseh teni trikotnikom, ako 
vzamemo lllnogokotllikove stranice za nji -
Ilove osnovnice . Ker pa je ploščina trikotnikova 
jcldnaka polovici produkta iz osnov -
nice in višine . j flnnknjC torej ploščin a 
lilnogokotllikova polovici produkta iz vsot e 
osnovnic vseh trikotnikov, t. j. Iz Illnogo -
kotnikGvc'ga obsega, in skupne višine te h 
A G trikotnikov, t. j . iz rnzstoja med središčem 
in dedno stranico. 

Ploščina pravilnega mnogokotnika je tedaj jedllak n 
polovici produkta iz njegovega obsega in razstoja me d 
središčem in jedno stranico. 

Akn iainamennjen o v pravilnem mnogokotniku nitse zg, razstoj sredi , a r))1 
()Inc

jstranice in I)le éino oziroma i o, i~ in p, je 
v X 1 . 

--2--.

j --= 

Rec11110, da meri 11 . pr. v pravilnem šesterokotniku strtlnit'tl 3 j11 
81 em in razstoj središča od jedne strtlllicie 3 jtm 3 din, dobim o 
stranica 3 m 81 rin = 381 tisi, 1143 X 330 377190 r in 
obseg = 2286 cm, 37 mg 71 drn2 9O e )/i 2 
razstoj 3 mn 3 din 330 en ; šesterokotnikov€l ploščina . 

V pravilnem mnogokotniku ni razstoj središča od jedne stranice 
kalikercl-i koli, Nego ravna se liti prav določen način po dolžini 
stranice. Da dob1111G mlmreč razstoj središča od jed-n o 
treba polnnožiti mersko števila stranic e 

v jednakostr€111ičnelu trikotniku z 0 . 28868 , 

kvadratu » () . 5ti00( ) , 

> pravilnem peterokotniku » 0 . 68819 , 
šesterokotniku 0 • 86603 , 
oslllerokotnikci l • 20711 , 
deseterokotnikil Y • 53884 , 

» dvanajsterokotniku » 1 •86603 . 


65 

§ 113. Ploščino nepravilnega mnogokotnika nam je 
m~ei na dvojen način določiti 

a) Mnogokotnik razdeli z diagonalami na trikotnike ter izračuna j 
ploščino vsaeenm izmed njih ; ako sešteješ ploščine vseh trikotnikov, 
dobiš ploščino mnogokotnikovo . 

Recimo, da nam je 

izračunati ploščino mno


gokotniku A B ODET 

(slika 82.). V ta namen 
razložimo ga na trikotnike, 
in vzemimo, da j e 


AC = 12 .8m, Bb 

= 6. 9m, AD = 20 .8m , 
Ce = 10 4 m, EP = 8m , 
AE = 13 8 m in F 


.9m .f 5 

Tedaj dobimo 

AC X Bb 12.8X6 .9

trikotnik A BO = 

22 
AD X G) 20 .8 X 10 .4 

ACD = 

22 
AD Ee 20 .8 X 8

ADE ----


22 
AlX F/' 13 .8 X 5 .9

A~;F= = 40 .71 ,

22 
mnogokotnik ABCDEF 276 . 23 m 2 . 
h) Skoz dvoje najbolj od-

Slika 83 .

daljenih oglišč potegn i 
premo in na le-to spusti 
z vseh druzih ogliš č 
pravokotnice. Na ta način 
razdelil si mnogokotnik 
na pravokotn e 
trikotnike in trapeze, 
katere treba vsakeg a 
zri-se izračunati in potem 
sešteti. 


5 


66 

Vzemimo, da je (slika 83.) Bb 6 .8'm, Cc 10 .6 i , 
Dd 10 .1 ?n, Ff 8 .3m, Gg = 6 .2ni, Rh = 9 .2m; dalje 
Ab 5 .6m, bh 2 .6m, hc = 4'2m, cg 4 .67n, g/.= 3m, 

fd = 2'8m, dE 5 . 8m. 

Račun sestavimo lahko takó-le : 

Faktorji
Mnogokotnikov e 


Produkt i

sestavine Osnovnice ali vsote 

Višin e

vzporednih stranic 

ABb Bb = 6 .8 Ah= 5 .6 38.08 
Trap. BbcC Bb + Cc 17.4 bc = 6.8 118-32 
» CcdD Cie+ Dd = 20.7 cd 10.4 215.28 
IME Dd 10.1 dE= 5.8 58.58 
EFf Ff = 8-3 fE= 8.6 71 .38 
Trap. Ffg G JiY +Gg 14.5 fg = 3 43 .50 
» GghH Gg + Hh 15 .4 gh -7= 8 .8 135 52 
AhH Hh = 9 .2 Ah 8 2 75. 44 

756 .10 
Mnogokotnik ABCDEFGH 378 05 m 2 
Tu smo produkte najprej sešteli in še le njihovo vsoto z 2 delili , mesto d a 
bi bili vsak produkt posebej z 2 delili . 

§ 114. Naloge. 

l.) V pravilnem peterokotniku meri stranica 4 m 7 dm ; kolik 
mu je obseg ? 
2.) Kvadratova stranica znaša 3 . 6m ; kolika, mora biti stra'
lica pravilnega šesterokotnika, da. ima le-ta isti obseg kakor kvadrat ? 
3.) Kolika je ploščina pravilnega, osmerokotnika, čegar stranic a 
ima 1 .667 m? 
4.) Nekdo hoče postaviti šesterostranično pravilno utico s stranico 
3 m ; koliko- prostora potrebuje v to ? 
5.) Neka tla imajo obliko pravilnega dvanajsterokotnika, čega r 
stranica meri 3 . 1 m ; kolika. jim je ploščina ? 

6.) Peterokotnik je sestavljen s treh trikotnikov, katerim merijo 
osnovnice 215 m, 182 . 5)n in 72 m, višine pa v istem redu 22 ?n, 
34m in 16 .8m ; kolika mu jc ploščina ? 

7.) Načrtaj nepravilen sedmerokotnik in z njim skladen mnogokotnik 
; v prvem potegni one daljice, katere so za izračunanje ploščine 
potrebne, po § 113 .a), v druzem po § 113 . b) ; le-te daljic( 
izmeri s pomočjo merila, katero si načrtal, potem pa izračunaj ploščino 
kakor srno v § 113 . učili . 

8.) Vrt ima obliko šesterokotnika in se dir na te-le trikotnik e 
razstaviti : 


67 


v trikotniku A mori osnovnica 36'6 m, višina 6 -6 m, 

» B » » 42.4m, » 20 m, 

» C » » 42 .4m, 22 m, 

» D » 28 .4 m, » 9.8 m, 

koliko arov pl,Ačine ima le-ta vrt ? 

7. Pitagorov izrek . 
115. Odrežemo li na krakih pravega kota A (slika 84.) daljic i 
AB = 4 dm in AC 3 dm, ter potegnemo daljico BO, prepričamo s e 
lahko, da meri le-ta natanko 
Slika 84. 

5 dm. Načrtamo li v tem pravo kotnem 
trikotniku BAC nad hipotenuzo 
in obema katetam a 
kvadrate, potem najdemo, le-te 
raztvorivi na kvadratne decimetre, 
da ima kvadrat nad hipotenuzo 
25 dm2, kvadrat nad 
kateto AB 16 cim(' in kvadrat 
nad drugo kateto AC 9 dm 2. 

V pravokotnem tri kotniku 
je tedaj kvadra t 
nad hipotenuzo jedna k 
vsoti kvadratov nad obem a 
katetama. 

Ta imenitni izrek imenuje se po P i t a g o 1tt , kateri ga je izmlel, 
Pitagorov izrek. 

V prejnjem trikotniku smo dali stranicmn določeno dolžino. 
Sicer pa nam je lahko dokazati, da velja Pitagorov izrek za kakerše n 
koli pravokoten trikotnik BA C (slika 85 .). 

V ta namen načrtuj nad Slika 8 . 

hipotenuzo BC kvadrat BODE 
ter spusti s toček D in E na 
AB in njen podaljk,k pravokot-/ N' 


/

niči DF in EG ; dalje spusti na 
DF pravokotnici CH in EJ. 

Iz tega načrtovanja izvira, da --III /' 

so pravokotni trikotniki BAC, 
EG B, EJD in MK, katere ho 


A

čelno po vrsti z L, II., III. in IV . 


68 

zaznamenovati, skladni ; dalje, da nam predstavlja AFHC kvadrat 
nad kateto AC in FGEJ kvadrat nad kateto AB. Kvadrat nad hipotenuzo, 
namreč BODE, je sestavljen z lika BCHJE in trikotnikov 

M. in IV. ; vzamemo li od tega kvadrata prej imenovana trikotnika , 
ter ja denemo na mesto trikotnikov I. in II., potem izprPtllenl se 
prejšnji kvadrat v lik ACHJEG, kateri je pa jednak kvadratom a 
nad obema katetama, namreč FGEJ in AFHC. Kvadrat nad hipotenuzo 
ima tedaj prav toliko ploščino kakor kvadrata nad katetam a 
skupaj, kar hočemo talk-le pisati : 
BC2 A. B2+ A C'. 

Ta dokaz nam je moči prav lahko predačiti, ako izrežemo lik f;CHJE 
in trikotnik:t I. in II. iz lepenke ; ako položimo k onemu liku trikotnika take , 
da imata ležo M. in IV., dobimo kvadrat nad hipotenuzo ; ako pa ja položim o 
spodaj v leŽo I. in II., dobimo kvadrata nad obema katetama ; iz tega pa izvira, 
da je ploščina v obeh slučajih jedra, in ista . 

Iz Pitagorovega izreka izvajamo obratno : 
Kvadrat glad jedno kateto j e jednak diferenci me d 


. 

kvadratom nad hipotenuzo in kvadratom nad drugo kateto. 

§ 116 . Načrtaj kvadrat, kateri je jednak vsoti dve h 

G 2

danih kvadratov. 
Vzemimo, da sta rr. in b 
Slika 86 . 
D 
(slika 86 .) stranici danih dveh kvadratov 
. Ako načrtaš s tepla dvema 
stranicama kakor katetama pravo koten 
trikotnik RAC in nad liipof 
tenuzo BC kvadrat BODE, je ta 
tolik, kolikeršna sta kvadrata ABFG 
in ACRJ, katera imata ri, in b za 
stranici, skupaj . 
J A 1 .) Načrtaj dva kvadrata, kateri h 
stranici merita 5 c m in 12 ~m, in prsten i 
kvadrat, kateri je jednak vsoti onih dve h 
kvadratov. 
.) Načrtuj kvadrat, kateri je jed


nak vsoti treh kvadratov, katerih stranice 
so dane . 

117 . Načrtaj kvadrat, kateri je jednak diferenc i 
clvPll danili kvadratov. 

69 

Recimo, da sta a in b (slika 87 . ) 

Slika 87 . 

stranici danih dveh kvadratov . Ako 

(t 

načrtaš v A prav kot in narediš AB 
jednako stranici b manjšega kvadrata, 
ter dalje napišeš s polumerom a z 
B lok, sekajoč AC v C, potem j e 
nad AC načrtani kvadrat ACDE jednak 
diferenci kvadratov BCFG in 
ABHJ, katerih stranici sta a in b . 

Načrt:1j dva kvadrata s stranicam i 

 __

J'

18 cttt in 29 cin in potem kvadrat, kateri j e 

jednak diferenci prejgnjih dveh kvadratov. 

8. Kakó je pretvarjati premočrtne like . 
118. Premočrten lik pretvorimo (verwandeln) na druzega, 
ako načrtamo lik, kateri zadostuje gotovim pogojem ter je danem u 
ploščinsko jednak. 
Pretvori dan trikotnik ABC (slika 88 .) na jedriakok 
rakega. 
Potegneš li skoz B vzporednico z AC, imeti 

Slika 88 . 

morajo vsi trikotniki, katerim je AC osnovnica , 
vrb pa v oni vzporednici, isto ploščino . BE 


Da dobiš izmed teh trikotnikov onega, k i 
je jednakokrak, razpolovi osnovnico v D, v tej 
točki postavi na AC pravokotnico DE ter potegni 
A E in CE ; trikotnik ACE je jediiakokrak 
in danemu trikotniku ABC jednak. 

§ 119. Pretvori dan trikotnik ABC (slika 89 .) na pravo kotnega. 
v A postavi na Slika 89. Slika 90. 
AC pravokotnico, skoz D 13 D 

~ 

B pa potegni vzpored nico 
z AC, sekajočo ono 
pravokotnico v D. Ako 
potegneš CD, je ACD 

A 

A

zahtevani trikotnik. 


120 . Pretvori dan trikotnik ABC (slika 90, na druzega, 
kateri bode imel dani kot In . 
Skoz B potegni vzporednico z AC, v A pa načrtuj kot CAD m, 
eegar krak seče ono vzporednico v D. Ako potegneš CD, je ACD 
zahtevani trikotnik . 

121 . Pretvori dan trikotnik ABC (slika 91 .) na druzega, 
kateri bode imel dano osnovnico a. 
Na AC načrtaj a od A do

Slika 91 . 
a B D ter potegni BD ; dalje potegn i 
BD, točki D in E pa zveži 
z daljico DE. Trikotnika CED in 
CEB imata isto osnovnico CE i n 
jednako višino, tedaj sta jediiaka . 
Dodaš li k ACE trikotnik CED , 
dobiš ADE; ako prišteješ pa k 
ACE trikotnik CEB, dobiš ACB ; trikotnik ADE, kateri ima dan o 
osnovnico a, jednak je torej danemu trikotniku ABC . 

122 . Pretvori trikotnik ABC (slika 92 .) Da druzega , 
kateri bode imel dano višino v . 
V A postavi na AC pravo-

Slika 92 . 
DE kotnico ter odreži na njej A D --,-. v, 
skoz D pa potegni z AC vzpored


v nico, sekajočo podaljšano stranico 
AB v E. Ako potegneš še CE, 
dalje BF EC in slednjič EF, j e 

A AFE zahtevani trikotnik . 

Naloge . 

Nah-taj trikotnik s stranicami 4cm, 3 cm in 2 cm ter ga pretvor i 

a) na jednakokrak trikotnik z osnovnico 5 cm ; 

b) na pravokoten triko4nik s kateto 3 cm ; 
c) na trikotnik s kotorn 60 0 ; 
d) na trikotnik z osnovnico 35 mm ; 
e) na trikotnik z višino 26 mm ; , 
f) na trikotnik s kotom 30 0 in osnovnico 3 cm ; 
g) na trikotnik s kotom 45 0 in višino 25 mm . 


123. Pretvori trikotnik ABC (slika 93.) na pravo kotnik. 

71 

V A in C postavi pravokotnici na AC, Slika 93 . 
stranico AB pa razpolovi v D ter potegn i 
skoz D z AC vzporednico, sekajočo oni 
dve pravokotnici v E in F. . Pravokotnik 
ACFE je potem jednak trikotniku ABC, 
ker je vsak polovica pravokotnika ACGH. A 

§ 124. Pretvor i pravokotnik ABCD (slika 94.) n a 
kvadrat. 

Podaljšaj stranici AB in AD čez A Slika 94. 
ter naredi BE BC. Ako načrtaš dalje s G 
srede O daljice BE s polumerom OB lok, 
sekajoč podaljšano AD v F, potem je trikotnik 
BFE pri F pravokoten ( 65 .). Kvadrat 
BFGH, katerega načrtaš nad BF, je 
danemu pravokotniku ABCD ploščinsko 
jednak. 

Da to izprevidiš, potegni premi EH 
in FC ; trikotnik EBH jc potem polovica 
kvadrata BFGH, in CBF polovica pravo kotnika 
ABCD. Trikotnika EBH in CBF 

sta pa skladna, tedaj tudi ploščinsko jednaka; 
zatorej morata biti jednaka tudi oba dvakrat tolika lika, 
namreč kvadrat BFGH in pravokotnik ABCD. 


125. l .) Pretvori dan paralelogram na pravokotnik. 
Razrešitev navedli srno že v § 102 . 
2.) Pretvori dan paralelogram na druzcga, kateri bod e 
imel dan kot. 
Razrešitev podobna je oni naloge v § 120 . 

3.) Pretvori dan paralelogram na druzeg, kateri bod e 
imel dano stranico. 
Pretvorbo izvršiš oziraje se na § 121 . 

126. Pretvori kateri koli premočrten lik ABCDE 
(slika 95.) na trikotnik. 
Potegni diagonalo AD in skoz E z njo vzporednico, sekajoč o 
podaljšano AB v F. Potegneš li DF, pote ni je četverokotnik BODI' 
jednak peterokotniku ABCDE; kajti obadva razločujeta se lev tem , 
da je sestavljen četverokotnik BCDF s četverokotnika ABCD in 
trikotnika ADF, peterokotnik ABCDE pa z ABCD in trikotnika 


Slikar 95 . 

ADE; a trikotnika A DIi' in ADE sta 

o . jcdnaka, kajti oba imata isto osnovnic o 
AD in jednako vi illo ; vsled tega sta 
tudi lika BC DF in A 13C DE ploščin sk o 
E; jednaka. Sedaj treba le še čPtverokot,`\\ 
nik I3CDF v trikotnik pretvoriti. T ta 
namen potegni diagonalo 13D, zkoz C 

a 

z njo vzporednico, sekajočo podaljšan o 

AB v točki G, in slednjič daljico DG ; 
trikotnik FGD je potenj jednak čettiTerokotniku .BCD ' (zakaj?), tedaj 
tudi peterokotniku ABCDE. 

Dani peterokotnik treba torej pretvoriti najprej na četverokotnik 
in le-tega na trikotnik . 

1tiT a l og e. 
1.) Načrtaj šesterokotnik ter ga pretvori zaporedoma na peterokotnik, n a 
četverokotnik in na trikotnik . 
Vsak premočrten lik je meči tedaj pretvoriti na trikotnik, potem na pravo kotnik 
in slednjič na kvadrat . 
S pomočjo take pretvorbe je lnóči določiti na prav jednostaven način ploščino 
vsakemu mnogokotniku ; za to treba le s kakim merilom izmeriti stranico kvadratu , 
na katerega srno mnogokotnik pretvorili, ter mersko število te stranice samo s sebo j 
pomnožiti . 
2.) Načrtaj tri skladne, nepravilne osrnerokotnike, ter določi ploščin o 
prvemu in druzeinu, kakor srno v § 109 . učili, tretjemu pa, pretvorivši ga nit 
kvadrat . 

9 . Kakó je deliti premočrtne like . 
Slikar, 96 . § 127. Razdeli trikotnik AI3 C 
C (slika 96 .) z oglišča C na d v a jednaka 
dela. 

Razpolovi stranico ~B v D te r 
potegni CD . Trikotnika ADC in BCD 
imata jednaki osnovnici in isto višino, 

torej sta jednaka. 

Slika 97 . 

Razdeli trikotnik na tri, štiri, pet jednakil r 

C 

delov . 

128. Razdeli trikotnik ABC 
(slika 97 .) s katere koli točke D, le žeče 
v j edni stranici, na dv a 
t-1 B____ 

DE jednaka dela. 


73 

Razpolovi .AB v E ter potegni CD in 0E ; trikotnik ,I CD j e 
potem za ODE manjši nego polovica od ABC. 

Ako potegneš tedaj EF CD in še DF, je CDF , ODE, 
torej ABFC ACE in zato ADFC jedna, BDF pa druga 
polovica trikotnika ABC. 

129. Razdeli trikotnik ABC (slika 98 .) s točke -v- nje m 
leže(:,'e na dva jednaka dela. 
Razpolovi A B v točki D ter potegni 
CD. Ako je dana točka v CD, po tem 
je ta prelila sama iskana razpolovnica 
; ako je dana točka zunaj CD, kako r 

n. pr. tu točka O, potem potegni OD in 
vzporedno z njo CE. Zvežeš li O s C 
in E, potem lahko dokažeš, da sta četvero kotnika 
AEOC in BELIC jednaka, torej 
vsak polovico trikotnika ABC. 
130. Razdeli trikotnik ABC (slika 99 .) takó na tr i 
jednake dele, da se bodo sekale razdclnice, p o t eg nen e 
z oglišč, v skupni točki znotraj trikotnika. 
Razdeli stranico AB v točkah D 
in E na tri jednake dele, ter potegni CD 

Slika 99 . 

in CE; trikotniki ACD, DCE, BCE so 

potem jednaki . Potegneš li še DF A C 

in EG BC, potem so od presečišča H 
potegnene preme AH, L H, CH iskane razdelnice. 
Kajti ACH ACD 

3 Q ABC; dalje 7\ BCH= BCE 
, ABC; tedaj mora biti tudi osta


nek, namreč ABH tretjina L¦,ABC . 

§ 131 . Razdeli trikotnik ABC (slika 10(J .) s točke D, 
ležeče v jcdiii stranici, na tri jednake dele. 
Potegni CD, AB pa razdeli v toč-

Slika 100 . 
kah E in F na tri jednake dele ter po-c 
tegni daljici EG in FH vzporedno s CD . 
Zvežeš li točko D z G in H s premama 
DG in DH, potem sta le-te iskani raz delnici. 
Kajti Q ACE L¦, ECF 
BCF ABC. A trikotnika 


74 

ADG in ACE sta ploščinsko jednaka in prav takó tudi trikotnika 
BDH in BCF; tedaj jc ADG ABC in ,L BDH= ABC ; 
vsled tega mora biti tudi ostanek CGDH= ABC. 

132 . Razdeli paralelogram takó na več jednaki h 
delov, da bodo vse razdelnice z jedno stranico vzporedne. 
Razdeli stranici, kateri sta tej stranici priležni, na toliko jednakih 
delov, kolikor jih je zahtevanih, skoz razdelišea pa potegn i 
preme ; paralelogrami, katere si na ta način dobil, imajo jednak o 
osnovnico in isto višino ; oni so torej jednaki . 

§ 133. Razdeli trapez takó na več jednakih delov , 
da bodo sekale razdelnice obedve vzporedni stranici . 

Vsako izmed obeh vzporednih stranic razdeli na toliko jednaki h 

delov, kolikor jih je zahtevanih, skoz razdelišča pa potegni preme ; 
le-te so iskane razdelnice. 

§ 134. Razdeli trapez ABCD

Slika 101 . 

(slika 101 .) z oglišča D na dva jednaka 
dela. 

Na večjo vzporedno stranico AB 
načrtaj od A do E manjšo CD, razstoj 
BE pa razpolovi v F ter potegni DF; 

A _e F B 

na ta način razdelil si dani trapez na 
dva dela ADF in BCDF, katera sta ploščinsko jedriaka (zakaj?) . 

Slika 102 . 

§ 135. Razdeli trapez A BCD

D a, HC 

(slika 102 .) s točke E, ležeče v jedn i 
stranici vzporednici, na dva jcd


/ 

naka dela. 
Razpolovi obe stranici vzporednic i 

B v točkali F in G ter naredi HG EF. 
Ako potegneš daljico EH, potem sta trapeza AEHD in BERO jednaka, 
kar lahko dokažeš ; EH je tedaj iskana razdelnica . 

Slika 103 . § 136. Razdeli trapezoid n a 

več jednakih delov. 

Treba li n. pr. trapezoid jABCD 
(slika 103.) razdeliti na štiri jeclnake 
dele, potem potegni diagonalo'AC ter j o 

C razdeli na štiri jednake dele , razdelišča 
pa zveži z nasprotnima oghscema s premami 
; trapezoidi ABED, BFDE, BGDF 
in BCDG, katere si na ta način dobil, 
so jednaki . 


75 


VII. O podo1iosti preiortiih likov. 
1. O sorazmernosti daljic. 
137. Daljico, katero je moči na drugi daljici jcdenkrat al i 
večkrat brez ostanka načrtati, imenujemo mero druge daljice . Takó 
je v sliki 104., kjer vzamemo, da je AB BC CL) = DE = EF, 
daljica AB mera daljic AB, AC, CF, sploh vseh ondi načrtanih daljic . 
Slika 104 . 
A B C D 
1-	 
	 _	 

Primerjajoč daljici A. in AF vidimo, da ima AB skupno mero 
AB 'krat, AF pa 5krat v sebi ; daljici AB in AF sta si tedaj kako r 
števili 1 in 5, ali njiju razmerje je 1 : 5 . Takisto se prepričamo, 
da sta 
daljici AB in AC v razmerji l : 2, 

» AC » AB » 2: l, 

» BD »AF » 2: 5, 

CF » AE » 3: 4, i.t. d. 

138, Kakó izražujemo razmerje dveh daljic s števili . 

V ta namen treba načrtati manjšo daljico kolikorkrat je mogoče 
na večjo. 
Ako ima večja daljica manjšo večkrat, n . pr. 5krat v sebi, in 
sicer brez ostanka, potem je 1 :5 razmerje med manjšo in večjo 

daljico. 

Ako se pa manjša daljica ne dá na večjo natanko načrtati , 
nego ima n. pr. PO (slika 105.) daljico MN 2krat v sebi in ostane k 
RO, potem treba iskati tretje daljice, katera je skupna mera daljicama 
MN in RO. V ta namen treba načrtati ostanek RO na manjšo 
daljico MN ; vzemimo, da ima MN daljico RO jedenkrat v sebi in je 

Slika 105. 

-iN 

SN ostanek . Ta ostanek načrtamo zopet na prejšnji RO, recimo, da 
ima RO daljico SN 2krat v sebi in je TO novi ostanek . Ta ostanek 


76 

TO načrtamo zopet na prejšnji ostanek 8N, kateri ga ima natank o 

2krat v sebi. TO ic skupna mera daljicama MN in PO, kajti 
SN = 2 TO, 
RO= 2 SN --[- TO = 5 TO, 

MN RO +$N= 7 TO, 
PO = 2 MX+ RO =--. ----- 19 TO. 


Mero TO ima tedaj daljica MN 7krat in daljica PO 19krat v 
sebi ; zarad tega sta si daljici .M'N in PO kakor števili 7 in 19, ali 

7 : 19 je razmelje med MN in PO. 
Načrtaj več parov daljic ter izrazi na ravnokar omenjeni način razmerj e 
med vsakima dvema daljicama s števili . 

§ 139. 1 .) Razdeli daljico MN (slika 106.) na dva dela , 
katera sta si, kakor pr. števili 3 : 5 . 

Slika 106 . 
P 

Najprej razdeli MN na 3 + 5 = 8 jednakih delov ter vzem i 
od teh 3 za prvi iskani del MP, druzih 5 pa za drugi del PN. 
2 .) Razdeli daljico AB (slika 107 .) takó na tri dele , 
da si bodo le-ti kakor števila 2, 3, 4 . 
Skoz A potegni kateri kol i 

Slika 107 . 

trak AZ, nanj načrtaj od A do 
C 2 jednaka dela, od C do I) 
3, od D do E pa 4 prav tolike 
dele ter potegni BE. Potegne š 
li skoz točki C in h še premi 
(JF in DG vzporedno z BE, 
potem ima AB 2+3+4=9 
jednakih delov, AF pa ima 2 

taka dela, FG ima 3, GB pa 4 take dele, tedaj so si AF, FG in 
GB kakor števila 2, 3 in 4 . 
Naloge. 
l .) Potegni daljico ter jo razdeli v razmerji 4 : 3 . 
2.) Razdeli daljico na štiri dele, kateri so si kakor števila 1, 3, 4, 6 . 
3.) Načrtaj trikotnik, v katerem so si stranice kakor števila 3, 4, 5 . 
4.) Načrtaj jednakokrak trikotnik, v katerem je razmerje med osnovnico i n 
krakon) 2 : 3. 


77 


§ 140. Daljici AB 
in CD (slika 108.) sta 
v razmerji 5 : 3„ raz-A' ___ -t 
Slika 108 . 
B 
I' _ 
~rje daljic EF in GH 
je tudi 5 ; Ako po-C D 
-r-
stavimo med ti jednak i 

razmerji AB: C D in E F : GH jednačaj , dobimo s o r a z m e r e al i 
p r o p o r c i j o AB : CD = EF : GH, katero čitamo : AB in CD sta 
si kakor EF in GH, ali : razmerje med AB in CD jc jednako razmerju 
med EF in GH. 

V tem slučaji pravimo : daljici AB in EF sta sorazmern i 
(propo~tioniert) z d a l j i c.a m a CD i n G H. 

Je-li CD = EF, potem imenujemo AB : CD= CD :GH staln o 
s or a z merij e («etige Proportion) ; CD je sr ed n j a eom e tri j s ka 
s o r a z m e r n i e a med AB in GH. 

2. O sorazmernosti premočrtnih likov. 
§ 141. Ako zaznamenujeta P in p plošni, S in stranici 
dveh kvadratov, potem je po § 99 

. 

P= S2, p = tedaj 

P:p=82:s2; t. j. : 

Ploščini dveh kvadratov sta si kakor drugi potenc i 
j ~j u s tran ic

. 

§ 142. Ako zaznamenujemo ploščini dveh paralelogramov ali 
trikotnikov oziroma s P in la ali I in 1)6 , in dotični osnovniei z 
O in o in višini z V in v, dobimo po §§ 100., 103. in 103 . 

P= O X V , p = o X v, in 
XV 

o X v 
PA O pz\ = tedaj
= 
2' 2 
P:p=O X V: o X v, in 
P~,:pd= O X V: o X v; tj .: 

Ploščini dveh paralelogramov ali trikotnikov sta s i 
kakor produkta iz njih osnovnic in višin. 

Za V= izpremenita se prejšnji sorazmerji v ti-le : 

p = O : o, in 
P:pes = O : o; t. j. : 


78 

Ploščini dveh paralelogramov ali trikotnikov, katera 
imata jednako višino, sta si kakor njiju osnovnici . 
Za a = o dobimo prav takó : 

P: p = V: v, in 
.P,,,, : pa = V:v; t. j. : 
Ploščini dveh paralelogramov ali trikotnikov z .i ed 
nako osnovnico sta si kakor njiju višini . 

3. O podobnosti trikotnikov . 
143. Dva trikotnika imenujemo po d o b n a (~hnlieh), ak o 
imata isto obliko, a različno veličino . 
1)a določimo natančneje pojem o 

Slika 109 . 

podobnosti dveh trikotnikov, potegnim o 

v trikotniku ABC (slika 109 .) s stranic o 
AB vzporednico DE ter prh-neljajmo stranice 
in kote trikotnikov A BC in DEC. 
Tu najdemo najprej, da imata trikotnik u 
jednake kote ; kajti kot C je obema 
trikotnikoma skupen ; kota BAC in EDC 
B sta jednaka kakor protikota, in pra v 
takó tudi kota A BC in DEC. Da zvem o 
odiiošaje med stranicami, poiščimo najprej razmerje med AC in DC 

(slika 109 .) ;' vzemimo, da je Ca njiju skupna mera ; recimo dalje , 
da ima le-to AC 5krat, DC 2krat v sebi, tedaj AC: DC 5 : 2. 
Potegnemo li skoz vsako razdelišče stranice AC vzporednico z AB , 
razdelimo tudi BC s tem po § 74. na 5 med seboj jednakih delov : 
le-teh ima EC 2, tedaj BC : EC = 5 : 2 . Ako potegnemo slednji č 
skoz vsako razdeliš& stranice A(' tudi vzporednico z BC, razdelim o 
tudi AB na 5 , DE pa na 2 jednaka dela, in sicer so posamičn i 
deli stranice AB prav toliki, kolikeršna sta dela stranice DE, 
kajti vzporednice med vzporednicami so jednake ; tedaj velja tudi 
AB: DE = 5 : 2 . teh dveh trikotnikih je torej razmerje me d 
vsakima dvema stranicama, kateri sta jednakima kotorna nasprotni , 

isto, namreč 5 : 2 . 

Ako potegnemo tedaj v trikotniku vzporednico z 
jedno stranico, dobimo manjši trikotnik ; le-ta in dani 
trikotnik imata jednake kote in sorazmerne stranice . 


79 

Vzemimo, da se pomikata v tri-Slika 110 . 
kotniku ABC točki A in B v stranicah 
AC in BC proti C, in sicer takó, da 

ostane daljica, ki ji veže, namreč A'B', 

..

A"B" , . v vsaki novi leži z AB vzporedna, 
potem je vsak naslednji trikotnik 
A'B 'C, A"B"C manjši od prejšnjega, a 

A

oblika ostane vsem neizpremenjena . Vsi 
ti trikotniki imajo torej pravi sto obliko ; oni so si tedaj podobni . Ob 
jednem pa je iz ravnokar dokazanega izreka razvidno, da imata 
po dva in dva izmed teh trikotnikov paroma jednake kote, in t a 
je razmerje med stranicami, katere so jednakim kotorn nasprotne , 
isto . Odtod izvajamo : 

Dva trikotnika sta si podobna, ako imata vse kot e 
paroma jednake in jednakim kotom nasprotne stranic e 
sorazmerne. 
V podobnih trikotnikih imenujemo jednakim kotom nasprotn e 
stranice i s t o l e ž n e (homolo9) stranice . 

Iz zadnjih dveh izrekov izvajamo pa tudi : 

Ako potegnemo v trikotniku vzporednico z jedn o 
stranico, dobimo manjši trikotnik, kateri je danem u 
podoben . 

144. Da sta si dva trikotnika podobna, treba šestero 
svoj stev, namreč : vsak izmed treh kotov jednega trikotnika mora 
biti jednak jednemu kotu v druzem trikotniku, in vsaka stranica 
jednega trikotnika mora biti z istoležno stranico druzega trikotnik a 
v istem razmerji . 

Ako imata dva trikotnika troje sestavin paroma jednakih, skle


pamo večidel že, da sta skladna ; prag takó sklepamo lahko tudi, da 
sta si dva trikotnika podobna, ako je danih le nekaj za podobnos t 
potrebnih svojstev ali pa tudi druzih pogojev, po katerih se ona 
svojstva sama ob sebi razumevajo. Slučaje, v katerih se more to 
zgoditi, navajamo v nastopnem. 

145 . Vzemimo, daje v tri -Slika 111 . 
kotnikih ABC in DEF slika 111 . } 
kot A D, B E, tedaj tudi 
C = F. Ako naredimo CG = DP' 
ter poteg-nemo A B, je ~g E 
Grh~C DEF (po I. izreku o 
skladnosti), a ,A,GHC, 
torej tudi. ABC DEF. 


Odtod izvajamo : 

(L izrek o podobnosti .) Dva trikotnika sta si podobna , 
ako imata vse tri kote paroma jednake. 

Toda, če sta v dveh trikotnikih dva kota paroma jednaka, 
morata biti jednaka tudi tretja dva kota ; tedaj lahko sklepamo, d a 
sta si dva trikotnika podob-na, če imata le dva kota paroma 
jednaka. 

Kateri pogoj zadošča, da sta si dva jednakokraka, kateri, da sta si dv a 

pravokotna trikotnika podobna ? 

Dva jednakostranična trikotnika sta si vsikdar podobna . 

Načrtaj več podobnih trikotnikov, v katerih se nahajata kota 60 0 in 45 0 . 

146. Vzemimo, da je v trikotnikih ABC in 1)EF (slika 111 . ) 
A C; DF BO : EF in kot C= 
Ako naredimo CG I)F ter potegnemo GH AB, je 
AC: CG BO: OH. V tem in prejšnjem sorazmerji so prvi trij e 

členi jednaki, tedaj morata biti tudi četrta člena jednaka, torej 

CH EF. Potem pa je GHC DEF (po H. izreku o sklad nosti) 
; a ABC c,.,) GHC, tedaj tudi ABC DEF; t. j. : 

(II. izrek o podobnosti.) Dva trikotnika sta si podobna , 
ako sta dve stranici prvega sorazmerni z dvema stra nicama 
druzega, in kota, katera te stranice oklepajo , 
jednaka. 
147. Recimo, da je v trikotnikih ABC in DEF (slika 111 . ) 
_A(': I)F BC : EF, A C > B C, DF EF, in kot B E. 
Naredimo CG DF ter potegnimo GH-AB, potem j e 
A C : CG B C : CH. To in prejšnje sorazmerje imata prve tri 

člene jednake, tedaj morata imeti tudi četrta člena jednaka, torej 

CII, EF. Potem pa je GHC L¦, DEF (po M. izreku o skladnosti) 
; a ABC GHC, tedaj tudi ABC DEF. 
Odtod izvajamo : 

(III. izrek o podobnosti.) Dva trikotnika sta si podobna , 
ako sta dve stranici jed-nega sorazmerni z dvema stra nicama 
druzega iri večjima izmed teli stranic nasprotn a 
kota jednaka. 
§ 148. Vzemimo, da je v trikotnikih ABC in DEF (slika 111 .) . 

AC: DF BO : EF, 
AC : 1F AB: 1)E 


81 

Ako naredimo CG DF ter potegnemo GH ' A B, potem velja 

AC: CG BO : CH, in 
AC: CG AB : GB: 

V prvem in tretjem sorazmerji so prvi trije členi jednaki, tedaj 
morata biti tudi četrta člena jednaka, torej CH EF. Prav tak ó 
izvajamo iz druzega in četrtega sorazmerja, da je GJI= DE. Po-
tem pa je Q GRC DEF (po IV. izreku o skladnosti) ; toda 

.ABC c,,..) Gel C, torej tudi ABC e-¦,) QDEF; t. j . : 

(IV. izrek o podobnosti .) Dva trikotnika sta si podobna, 
ako so vse tri stranice jednega sorazmerne z vsemi trem i 
stranicami druzega trikotnika. 
§ 149. Iz I. izreka o podobnosti izvajamo še ta-le dva : 

l.) Dva trikotnika sta si podobna, ako imata parom a 
vzporedne stranice. 
Vzemimo, da je v trikotnikih ABC in DEF (slika 112 .) stra


nica AB DE, AC DF in BC EF. 

Ker so koti, katerih kraki so v istem smislu vzporedni, jed naki, 
je kot A = D, B E in C =11 ; tedaj ABC c,.) DEF. 
Katere stranice so v taeih dveh trikotnikih istoležne ? 

Slika 112 . Slika 113. 

2 .) Dva trikotnika sta si podobna, ako so njiju stra nice 
paroma druga na drugi pravokotne. 
Recimo, da je v trikotnikih ABC in DEF (slika 113 .) stranica 
ABE DE, AC DF in BC EF. 
Po § 43. je tu kot A = a, Bb in C = e, tedaj 

L¦, ABC D.E.F. 

Katere stranice so v tacih dveh trikotnikih istoležne? 


150. Vzemimo, da je trikotnik ABC (slika 114.) pri C pravo koten 
in CD _L na hipotenuzi AB . 
V trikotnikih A BC in ACD je A CB ADC R in 
A A ; tedaj tudi B ---= n, in zarad tega ABC -,,:) ,Q ACD. 
V trikotnikih ABC in BCD 
ACB BDC R in B=B; 
Slika 114 . tedaj tudi A = m, in zategadelj 
BC 7.) BCD. 
.oko je pa ABC ACD 
in ABC (.,3 BCD, je tud i 

ACD 

L) Ker so pa v podobnih trikotnikih 
j ednakim kotom nasprotn e 
stranice sorazmerne, velj a 

zarad ABC r:..,). ACD. . .AB :AC = A C: AD, 1 
ABC . . . AB: BC BC : BI). f 

2 .) Prav taki je tud i 

za-rad ACD BCD . . AD CD : BD. 

Če spustimo tedaj v pravokotnem trikotniku z vrh a 
pravega kota pravokotnico na hipotenuzo, j e 

l .) vsaka kateta danega trikotnika srednja soraz 


..

mernica med vso hipotenuzo in tej katet i 
ležnim odsekom hipotenuze ; 
2.) pravokotnica srednja sorazincrniea med obem a 
odsekoma hipotenuze. 

4. O najimenitnejših svojstvih podobnih trikotnikov . 
Slika 115 . 

§ 151. Vzemimo, ca 
je (slika 115.) trikotnik 
ABC c'.‘) DEF; vzemimo 

dalje, da sta v teh trikot nikih 
AB in DE osnovnici , 
CG in FH pa višini. 

Ker je po pogoji ko t 
A , D in m = n, je 


ACG c,•. .~ Dni, tedaj (G : FH 4 (` ; DE. Zarad podobnost i 
trikotnikov ABC in DET velja pa tildi AB: DE= t(]: DE; tedaj 
tudi ( J G : Ii'I I,AB : D IH ' , 
j 
. . 

t. 
3 podobnih trikotnikih so si višine kako r 
osnovnice. 

152. 
(imeje vsaka trikotnikova stranica dvakrat, trikrat, štirikra t 
tolika, kolikeršna je istoležna stranica v druzem podobnem trikotniku , 
potem je tudi vsota vseh stranic, t . j . obseg prvega trikotnika dvakrat, 
trikrat, štirikrat tolik, kolikeršel1 je obseg drlxzega trikotnika . 

V( podobnih trikotnikih sta si obsega kakor vsak i 
dve istoležni stranici. 

153. Ako razdelilno v trikotniku MN (slika 116 .) stranico 
AM na pet jednakih delov ter potegnemo skoz vsako razdelišče 
vzporednico z MN, dobimo podobn e 
trikotnike ABC, ADE, MV, . . .; Slika 116 . 
če potegnemo dalje skoz vsako raz-A 
deli5če v stranici A M vzporednice z 
fAN, in prav takó tudi skoz vsako 
razdeliš& stranice A N vzporednic e 
z AM, dobimo trikotnike, kateri imajo 
vsi isto ploščino kakor ABC. 

Trikotnik ADE ima 4 trikotnik e 
in izmed teh je vsak jednak ABC; 
ploščini trikotnikov ADE ABC sta

iIl 

si tedaj kakor 4 : 1. Istokežne stranico teh dveh trikotnikov pa s o 
si kakor 2 : 1, tedaj njih kvadrati kakor 4 : I . Ploščini teh dveh 
trikotnikov sta tedaj v prav istem razmerji kakor kvadrati njih 
istoležnih stranic . 

Iz lfridEejane slike je dalje razvidno, da je v trikotnikih AFG 
in ABC razmerje ined ploščinama in tudi med kvadratoma vsakih 
dveh istoležnih stranic 9 : l . 

3 trikotnikih A LIJ in A 1JIN je 16 : 25 razmerje med plošči nama 
in ob jedneni tzxcli raze ietjc med kvadratoma vsakih dveh 
istoležnih stranic . 

Odtod izvajamo : 

Ploščine podobnih trikotnikov so v Istem razmerj 
kakor kvadrati njih istoležnih stranic . 


G. 

Ako je tedaj v kacem trikotniku vsaka stranica 2-, 3-, 4-, 5-, 
6krat tolika, kolikeršna je istoležna stranica v podobnem trikotniku , 
potem je ploščina prvega trikotnika 4-, 9-, 16-, 25-, 36krat tolik a 
kakor ploščina druzega trikotnika . 

5. Načrtovanje, opirajoče se na podobnost trikotnikov . 
§ 154. Dane so tri daljice AB, CD in EF (slika 117.) ; 
poišči četrto sorazmernico. 

Slika 117 . 
-1B 

/

C, D 

Načrtaj kakeršen koli kot G, na njega krakih odreži GH AB, 
GJ = CD, GK EF, potem potegni HK in s to vzporedno JL ; GLje 
četrta sorazmernica daljic AB, CD in EF. Kajti GRK (-v GJL, 
tedaj GH: GJ GK: GL, ali AB: CD = EF: GL . 

§ 155. Poišči srednjo sorazmernieo k danima daljicama 
AB in CD (slika 118 .) . 
Na kateri koli premi na-

Slika 118. črtaj ME' AB in NP = CD , 

A ,--


v N pa postavi na MP pravo-
CI— lD kotnico ; potem pa načrtaj, raz,-" 
polovivši MP v O, z O s polumercon 
031 = OP lok , sekajoč 
ono pravokotnico v R; NR je 
srednja sorazmernica med AB 

in CD. Kajti po § 65. je trikotnik MRP pri R pravokoten, tedaj 
(po § 150., 2.) M.N:NR = NR: NP, ali AB: NR NR : CD. 

156. Povečaj ali zmanjšaj več danih daljic A B, CD , 
EF,.. . (slika 119.) v danem razmerji. 
Recimo, da treba dane daljice povečati n . pr. v razmerji 3 : 4 . 
V ta namen potegni trak OP, na tein načrtaj od O najprej tri, in 
potem tudi od O štiri jednake in prav tolike dele kakor so prvi ; 
v točkah p in P postavi pravokotnici pr in PR ; na bližjo pravokotnico 
pr načrtaj daljice pl AB, pm = CD, pn EF, . . . , potem 


85 


pa potegni skoz točko O in točke Slika 119 . 
m, n, .. . trakove, sekajoče bolj AB 
oddaljeno pravokotnico v točkah		 D 

L, M, N, . . PL, PM, PN so 

iskane, v danem razmerji pove


čane daljice. Da je res takó, razvidno 
je iz podobnosti trikotniko v 
Opl in OPL, Opija in OPM, i. t. d . 

Ako bi hoteli dane daljice 
zmanjšati v razmerji 4 : 3, načrtali 
bi jih na bolj oddaljeno pravokotnico 
PR; na bližji pravokotnici Pi* dobili bi potem v danem 
razmerji umanjene daljice . 

Vzemimo, da razmerje, v katerem treba dane daljice povečati 
ali zmanjšati, ni izraženo s števili nego z daljicami. V tem slučaj i 
načrtaj na premo OP od O mesto jednakih delov, kateri izražujej o 
razmerska števila, razmerske črte, sicer pa delaj kakor prej . 

§ 157. Razdeli dano daljico na več jednakih delov. 

a) Jedno razrešitev te naloge navedli smo že v § 7 5 . ; a ona 
je težavna in se dá le težko brez pogreškov izvesti, ker treba ve č 
vzporednic potegniti . 

h) Jednostavnejša je ta-le razrešitev : 
Vzemimo, da treba daljic o 


Slika 120. 

AB (slika 120.) n. pr. na 7 jednakih 

A --[B 

delov razdeliti. V ta namen potegni 
trak MZ; nanj načrtaj 7 jednakih, 
sicer pa kakeršnih koli delov do 
N, nad MN pa načrtaj jednakostraničen 
trikotnik MNO. Narediš 
li Om On = A B ter potegneš mn, 
potem je Omn jednakostraniče n 
trikotnik (zakaj?), tedaj mn jednaka 
AB in vzporedna z MN. Ako m Rs N z 
potegneš potem še od O do razdelišč 
stranice MN preme OR, OS, . . ., sekajoče mn v točkah r, 
s, . .., razdelil si v,-„teh točkah mn . A B na 7 jednakih delov . 

Kajti Q Omr c¦..) ,/¦, OMR, Ors c,..) ORS, i. t. d. ; a trikotniki 
OMR, ORS, . . . so jednaki, ker imajo isto višino in jednak e 
osnovnice ; zarad tega morajo biti jednaki tudi trikotniki Omr, Ors, . .; 


86 

ker pa imajo le-ti isto vidno, imeti morajo tudi jednake osnovnice . 
Deli mr, rs, . . ., daljice mri so torej jednaki . 

c} Kadar treba določiti prav majhne dele kake daljice, služi 
nam ta-le razrešitev : 

Recimo, da treba 11 B (, slika 121.) n. pr. 
Slika 121 . na 10 jednakih delov razdeliti . v ta name n 
c: 
a 
postavi v A in B pravokotnici na AB, na 
b vsako izmed njih načrtaj do C in D 10 jed-
d 
~, II{~lzih delov, potem pa zveži prvi dve, drug i 
dvoj, . . . razdelišči s prerilo. Nalogo si raz -
rešil, ako potegneš sedaj v pravokotniku ABCD 
diagonalo AD. Kajti trikotnika Dal5 in DA B 
sta si podobna, tedaj mora biti razmerje ab : AB 
jednako razmerju Db : DB ; toda Db je de-
seti del od DD, tedaj mora biti tudi ab deseti 
del od A.B . Prav takó izvajamo, da je 
cc~ AB, ef -,=ó AB, . . . ?72n AB. 

158. Daljic, katere samo v naravi res izmerili, navadno n e 
načrtavalno na papir v njih pravi veličini nego v o Ill a l j en e lI I 
merili' . Določeno dolžino, pr. 1 centimeter na papirji, vzamemo
II . 
namreč za določena dolžino, n. 1fr. 1 meter ali 20 metrov ti-resnici . 
Merilo, na katerem so one dolgostne mere, katere naril za resničn o 
Illeljenje rabijo, zlnanjšane, imenujemo o IIe a l j e 11 o IIe e r i l o (ver


jii yter Masstab) . 

( inaljella poprečna merila 1lacrtavanl0 opiraje se na 1 e) r., ('), 
kakó razdeliti daljico na več jednakih delov . 
1 .) Načrtaj tisočinsko merilo, t. j. poprečno meril o 
za decimalno mero. 

Na trak .IX slika 122.) na+rtaj 10 jednakih delov AB, BO, 
CD, . ..; vsak tak del naj velja za 10 dolgostnih jednot. V krajiščih 
postavi pravokotnice in na te načrtaj zopet deset jednakih, sicer p a 
kakeršnih koli delov . Ako potegneš sedaj skoz zadnji dve razdeliše i 
daljico, vzporedna je le-ta s prvo daljico in nji jednaka ter tudi na 
10 jednakili delov razdeljena . Potem potegni skoz po dvoje nasprotnih 
razdelišč preme ; le-te so ali -vzporedne z A X ali pa na nji pravokotne. 
Dalje potegni v katerem koli razdelku diagonalo C 200 in na 
ta način si razdelil tudi AB na 10 jednakih delov. Kajti ab je deseti 
del od CD, tedaj tudi od AB ; prav takó ima ca 2 taka dela, ef 3 


87 

dele, i. t. d . Te dele načrtaj sedaj na AB in EO, in sicer je najpripravnejše, 
da načrtaš najprej 9 delov, namreč mu, oda do 90 in 
od E do 10 in prav takó tudi na AB ; potem načrtaj takisto 8, 7 , 
6, 5 delov. Slednjič potegni skoz 0 in F, in prav takó skoz vsaki 
dve naslednji razdelišči prečnice ali transverzale, k razdeliščenl pa 
zapiši števila, kakor jih vidiš v sliki . 

Slika 122 . 

ti0

E 908o'obo5o40i0 mC? tDD DU 

y1 

7l

in 

AF J 

DX 

Vsa daljica ADX irrra 14)00 delov ; AB je deseti del, tedaj im a 
100 delov ; BF je deseti del od AB in ima 10 takih delov ; o 1 je 
po načrtovanji deseti del od BF, torej iilia 1 tak del, kakeršnili im a 
tisa daljica 1()00; ji 2 ima dva taka dela, i. t. d . 

Ako vzamemo, da, velja vsa daljice ADX za 1 meter, je Ali 
1 decimeter, BF 1 centimeter, o 1 1 milimeter . 
2.) Načrtaj orlraljeno tisočdelno merilo, na katerem veljata 2 cm 
prave velikosti za 1 din. 
3.) Načrtaj s pomočjo tega merila na katero koli premo 3 dtn , 
2 cha 8 cm, 1 rlm 7 cm 5 mm, 239 mm, 304 mm dolgo daljico . 

4.) Načrtaj trikotnik, čegar stranice merijo 21 cm, 18 cin in 16 cm . 

5.) Načrtaj kvadrat s stranico 145 mm . 

6.) Potegni tri daljice in določi jim s pomočjo gornjega meril a 

dolžino v milimetrih. 
7.) Načrtaj 4-, 5-, (iterostranr(:,en mnogokotnik in določi nru obseg . 
8.) Razmerje med dvema daljicama je 3 : 4 ; prva je 12(1 mm 
dolga ; načrtaj obe dve daljici. 

,' 159. 1 .) Načrtaj nate dano daljico DE (slika 123 .) tri kotnik, 
kateri je podoben danemu trikotniku ABC. 
a) V D načrtaj kot EDF BAC in v E kot DEF .1 BC; 
njiju kraka sečeta se v F, in DEF je zahtevaiii trikotnik . 


88 

h) K AC in B C poišči daljici . kateri sta v razmerji AB : DE 
izpremenjeni (§ 154.) ; s prvo načrtaj lok z D, z drugo pa z 
E; ako potegneš od presečišča F teh dveh lokov do D in E 
premi, je DEF ABC. 

2.) Načrtaj kak trikotni k 

Slika 123 . 

in potem tak temu podoben 
trikotnik, da je razmerje me d 
istoležnimi stranicami v prvem 
in druzem trikotniku l .) 5 : 3, 
2.) 2 : 5. 

3.) V trikotniku ABC j e 
E razmerje stranic AB : A C 4 : 5, 

in kot A, katerega te dve stranici 
oklepata, znaša 60' ; načrtaj nad stranico 248mm trikotnik, 
kateri je podoben trikotniku ABC . 

O. O podobnosti mnogokotnikov . 
160. Dva mnogokotnika imenujemo p o d o b n a, ako imata 
isto obliko . 
Da določimo svojstva podobnih mnogokotnikov natančneje, potegnimo 
v mnogokotniku ABCDEF (slika, 124 .) od A diagonale AC, 
AD in AE. Mislimo si, da se pomikajo točke B, C, D, E, F v pre


mah AB, AC, AD, AE, AF takó 

Slika 124 . 

proti točki A, da ostanejo daljice 

B'C', C'D', . . . B"C", C"D". .. v 
vsaki novi leži z istoležnimi stra


---E 

nicami BC, CD, . . . vzporedne ; 

na ta način dobivamo manjše i n 
manjše mnogokotnike AB ' C'D 'EPP' ', 
AB"C"D"E"F", ., a vsi imajo 

očividno isto obliko kakor dan i 

mnogokotnik, tedaj so si podobni . 
Kot A je vsem mnogokotnikom skupen ; a tudi drugi koti ostali s o 
neizpremenjeni, kajti stranice pomikale so se vzporedno ; vsi ti mnogokotniki 
imajo torej v istem redu jednake kote. Po § 147. so pa tudi 
stranice vsakega novega mnogokotnika sorazmerne z istoležnimi stranicami 
danega mnogokotnika„ 

V podobnih mnogokotnikih so tedaj koti v istem 
redu jednaki in istoležne stranice so "sorazmerne. 


89 

Vsi pravilni mnogokotniki z istim številom stranic so si podobni . 
Iz prejšnjega izvajamo dalje : 
a) Istoležne diagonale delé podobne mnogokotnike na 
podobne trikotnike. 
h) V podobnih mnogokotnikih so istoležne diagonale v 
istem razmerji kakor istoležne stranice. 

§ 161. Ako je v kaeem mnogokotniku vsaka stranica 2krat, 
3krat, 4krat tolika kakor istoležna stranica v podobnem mnogo kotniku, 
potem je tudi vsota vseh stranic, t . j. obseg prvega mnogokotnika, 
2krat, 3krat, 4krat tolik, kolikeršen je obseg druzeg a 
mnogokotnika . 

Obsegi podobnih mnogokotnikov so si tedaj kakor 
vsaki dve istoležni stranici. 

V kakem razmerji sta obsega dveh pravilnih mnogokotnikov z istim številom 
stranic? 

§ 162. Ako potegnemo v dveh podobnih mnogokotnikih, iz med 
katerih ima prvi dvakrat tolike stranice kakor drugi, istoležne 
diagonale, raztvorimo ja na trikotnike ; vsak trikotnik prvega mnogo kotnika 
je (po § 157.) 4krat tolik kakor istoležni trikotnik druzega 
mnogokotnika, tedaj je tudi vsota vseh trikotnikov v prvem mnogo kotniku, 
t.j. njega ploščina, 4krat tolika kakor vsota vseh trikotnikov, 

t. j. ploščina druzega mnogokotnika. Ploščini teh dveh mnogokotnikov 
sta si tedaj kakor 4 : l ; a v istem razmerji sta tudi kvadrata vsaki h 
dveh istoležnih stranic . 
Ploščine podobnih mnogokotnikov so si kakor kvadrati 
istoležnih stranic. 

Ako načrtamo tedaj lik, katerega smo v naravi res izmerili, v 
omalj eni meri takó na papir, da znaša na papirji vsaka njegov a 
stranica le ----, i á, . . . prave izmerjene dolžine, znaša likov a 
ploščina na papirji I, Q,... ploščine podobnega, res izmerjenega 
lika . 

V kakem razmerji sta ploščini dveh pravilnih mnogokotnikov z istim številom 
stranic ? 

163. Ako sečejo prečnice trakove, katere potegnem o 
od točke S (slika 125 .), sorazmerno v točkah A in a, B in b, 
C in c, _7 potem sta si mnogokotnika ABCI) . .. in abcd 
podobna. 

Sliki 125. 

Vzemimo, (la vela SA 8« SIj : SC po_ 

tem sta si trikotnika SAB in Scch podobna in prav takó tudi SBC 
in Sbc, Sel) in Seti, . .. , tedaj A I3 : ceh BC : bc, kajti obedv e 
razmerji jednaki sta razmerju SB : Sb . Prav takó dobimo tudi 
BC: hc CD: ccd, . . . V mnogokotnikih ABt'D . . . in abcd . . 
so tedaj istoležne stranice sorazmerne . 

Ker je dalje AB` ceh, BO I' lic , CD cd, . , so tudi koti A i n 
a, I3 in h, C iii c, . . . paroma jednaki . 

Mnogokotnika sta si toru podobna .

f 

Iva podobna mnogokotnika iii0či je . primerno ja prciiiakniv'i, 
vsikdar v tako ložo spraviti, da rečejo ijijiria ogliča trakove, kater e 
potegnemo od točke S , sorazmerno . Tako težo dveh podobnih mnogokotnikov 
imenujemo p e r s p e k t i v n o (pe~spectivisch~) ležo , točko S 
pa podobni 'č e{ ~hnliclikeit, spuu/ t), in sicer v tia n j e ali Il o t r a nj C'. 
Podobiii5če je vnanje, kadar sta po dve istolcžiii stranici v obe h 
mnogOkotilikilc na isti strani, notranje pa, kadar sta na nasprotni h 
stranéh te točke. 1)va podobna in perspektivno ležeča mnogokotnika 
imata vnanje podobiiiče, kadar so stranice, oklepajoča jednakc kote , 
v istem smislu vzporedne ; nasprotno pa imata notranje podohni5če, 
kadar so le-te stranica v nasprotnem smislu vzporedne . 

Dva podobna in perspektivno ležeča pravilna mnogokotnika 
zadostrrjet€i obema ravno naredcniiiia pogojema, torej imata vnanj e 
in notranje liodobnišče. Prvo je na daljici, katera veže sifediči obeh 
mnogokotnikov, drugo pa na podalj'ku te daljice . 

164. Naloge. 
l .) Načrtaj nad dano daljico GH (slika 12(3.) mnogo kotnik, 
kateri je podoben danemu mnogokotniku ABCDE. 
Potegni diagonali A C in A D ter naredi A M GH-; dalje 
potegni MIV- BC, NP, CD, PR DE in mnogokotnik ABCDE ~.. . 
AMNPR . Ako načrtaš sedaj nad GH mnogokotnik GHJh'L, kateri 
je z AMNPR Skladen, je le-ta zahtevani mnogokotnik . 


Slika 126 . 

Točke N, P, R dobiš lahko tudi na ta način, da zmanjša š 
daljice A(], AD, AE v razmerji AB : CI-1 ter potem te zmanjšan e 
daljice načrtaš od A do N, P, R. 

2.) Naertaj četverokotnik, kateri je danemu četverokotnik u 
podoben, a novi mnogokotnik ima naj le na pol tolik obse g 
kakor dani . 

3.) Načrtaj kakeršen koli peterokotnik in potem še drug 
prvemu podoben peterokotnik, in sicer naj bo razmerje med stranicami 
prvega in druzega 10 : 3. 

4.) Načrtaj dva podobna, šesterokotnika, v katerih imajo istoležne 
stranice razmerje 4 : 5. 

--.¦--.-