UGOTAVLJANJE PREMIKOV JOCK V GEODETSKI MREŽI DETERMINING POINT DISPLACEMENTS IN A GEODETIC NETWORK Simona Savšek-Safič, Tomaž Ambrožič, Bojan Stopar, Goran Turk POVZETEK V članku je opisan postopek preizkušanja domnev o premikih točk v geodetski mreži kot vmesna faza med izravnavo posameznih terminskih izmer in podrobno deformacijsko analizo. Za testno statistiko, ki predstavlja razmerje med premikom in natančnostjo premika točke, s simulacijami določimoporazdelitveno funkcijo. Na podlagi porazdelitvene funkcije določimo kritično vrednost testne statistike ob izbrani stopnji značilnosti testa. Sestavimo ničelno hipotezo, ki predpostavlja, da se točka ni premaknila. Kritično vrednost primerjamo z vrednostjo testne statistike in določimo dejansko tveganje za zavrnitev ničelne hipoteze. V nadaljevanju je podan praktični primer uporabe testa na primeru simulirane geodetske mreže. Testna statistika se izkaže kot enostavna in uporabna, saj uspešno odkrije točke z značilnimi premiki. ABSTRACT The article describes the procedure for testing the statistical significance of point displacements in the geodetic network as the intermediate stage between the adjustment of respective epoch measurements and an in-depth deformation analysis. For the test statistics, a cumulative distribution function presenting the relation between the displacement and the displacement accuracy is determined by simulations. On the basis of the cumulative distribution function a critical value of the test statistic for a selected level of significance is determined. The null hypothesis presupposes that the point is not moved, it is composed. A comparison of the critical value to the test statistic value is made and the actual risk level for rejecting the null hypothesis is estimated. Further on, a practical example of implementing the test in a simulated network is given. The test statistics proved to be simple and applicable, owing to the fact that the points with significance displacements were singled out successfully. kljuČne besede deformacijska analiza, simulacija, porazdelitvena funkcija, testiranje, značilni premiki key words deformation analysis, simulation, distribution function, testing, significance displacements 1. UVOD Deformacijska analiza v osnovi predstavlja postopek ugotavljanja premikov domnevno mirujočih točk ter določanja značilnih premikov točk v geodetski mreži. Napačne predpostavke o mirovanju točk v geodetski mreži imajo lahko hude posledice tako z vidika interpretacije ugotovljenih premikov kot tudi napovedovanja porušitve objektov. Zelo pomembno vlogo pri ugotavljanju premikov točk ima statistično testiranje. Podrobno poznavanje postopkov in praktične izkušnje so nujno potrebne za pravilno interpretacijo ocenjenih premikov točk. Deformacijska analiza se zaradi nezadostnega poznavanja matematičnega ozadja pogosto obravnava kot prezahtevna za običajno geodetsko prakso in zato neuporabna metoda ugotavljanja premikov. V praksi se pogosto uporablja test za ugotavljanje statistične značilnosti premika kot razmerje med premikom in pripadajočo natančnostjo premika točke. Običajno izračunano vrednost testa primerjamo s faktorjem 3, 5 ali več, kar predstavlja pregrobo oceno. Za obravnavani test zato s simulacijami določimo dejansko porazdelitveno funkcijo, na osnovi katere izračunamo pravo kritično vrednost ob izbrani stopnji značilnosti testa. Na ta način lahko veliko natančneje opredelimo statistično značilne premike. Pri presoji o značilnosti premikov je za uporabnika zelo uporabna informacija o dejanskem tveganju za zavrnitev ničelne hipoteze, zato jo je koristno izračunati. Ob predpostavki, da natančno določimo porazdelitveno funkcijo, je predlagana testna statistika enostavna in primerna za praktično uporabo. Predstavlja prvo oceno dogajanja v geodetski mreži. Izvedemo jo lahko takoj po izravnavi dveh terminskih izmer in se naknadno odločimo, ali je podrobna deformacijska analiza potrebna ali ne. 2. ANALIZA POSAMEZNE TERMINSKE IZMERE Če želimo premike točk objekta ugotoviti z geodetskimi opazovanji, moramo referenčne točke izbrati izven obravnavanega objekta ter značilne točke na objektu. Glede na zahtevano natančnost določitve premikov točk morajo biti opazovanja vestno opravljena z ustreznim instrumentarijem in s preizkušenimi metodami izmere. Opazovanja v geodetski mreži izravnamo in ocenimo kakovost geodetske mreže. Pri mrežah za ugotavljane premikov točk je pomembno, da pred izmero izvedemo oceno kakovosti mreže, kjer poleg natančnosti obravnavamo tudi merila zanesljivosti, občutljivosti ter stroškov vzpostavitve predvidene mreže (Caspary, 2000). Za ugotavljanje premikov točk sta posebej pomembni zanesljivost in občutljivost v mreži, zato moramo odkrivanju in prisotnosti neodkritih grobih pogreškov v opazovanjih nameniti veliko pozornosti. V fazi projektiranja in optimizacije mreže zagotovimo, da so opazovanja čim bolj občutljiva, saj je verjetnost odkrivanja grobih pogreškov v takšnih opazovanjih večja. Dobro projektirana mreža za ugotavljanje premikov naj v čim večji meri omogoča odkrivanje in izločanje grobo pogrešenih opazovanj, hkrati pa naj bo vpliv morebitnih neodkritih grobih pogreškov na neznanke čim manjši (glej diagram 1). Testiranje razmerja med a posteriori referenčno varianco dg in a priori referenčno varianco Og imenujemo globalni test modela. Z njim ugotavljamo prisotnost grobo pogrešenih opazovanj v mreži, vendar le v primeru zanesljivo znane a priori referenčne variance. V primeru, da globalni test kaže na neskladje med opazovanji tig 55 in modelom, moramo pregledati, odkriti in izločiti grobo pogrešena opazovanja z Baardovo metodo (angl. Data Snooping). V primeru, ko a priori varianca ni zanesljivo znana, pregledujemo in odkrivamo grobe pogreške s Popovo (angl. Data Screening) ali dansko metodo. Po skrbni analizi in oceni kakovosti posamezne terminske izmere ocenimo premike in izračunamo ü natančnost ocene premikov točk med dvema terminskima izmerama. Pri mnogih inženirskih nalogah daje ocena razlike položajev točk med dvema terminskima izmerama popolnoma zadovoljive informacije o premikih. To velja v primeru zadostnega števila stabilnih točk ali če so premiki nekajkrat večji od natančnosti premika. Pri posebnih geodinamičnih raziskavah pa sklepamo, da je podrobna deformacijska analiza po enem izmed znanih postopkov nujna (Delft, Fredericton, Hannover, Karlsruhe, München idr.). Diagram 1: Oblika mreže ter izravnava posamezne terminske izmere (Caspary, 2000) 3. TESTIRANJE ZNAČILNOSTI PREMIKOV Osnova za ugotavljanje premikanja zgrajenega objekta ali naravnega dela zemeljskega površja je določitev spremembe položajev točk objekta. Točke med seboj povezujemo v mreže, ki jih opazujemo v vnaprej določenih časovnih terminih, imenovanih terminske izmere. O premikih točk med dvema terminskima izmerama lahko sklepamo izključno za identične točke, izmerjene v dveh terminskih izmerah. V praksi se pogosto zgodi, da je kakšna točka uničena ali pa jo moramo zaradi spremenjenih okoliščin dodati v mrežo. Neidentične točke izločimo bodisi v postopku izravnave bodisi s S-transformacijo (Mierlo, 1978). Po izravnavi dveh terminskih izmer lahko določimo premike točk s pripadajočimi merili natančnosti ocenjenih premikov, torej sprememb položajev točk. 3.1 Ocena premika in natančnost ocene premika V geodetskih mrežah, ki so vzpostavljene za ugotavljanje premikov, je pogosto postavljena zahteva o natančnosti ocene premikov geodetskih točk. V primeru, da so ocenjeni premiki nekajkrat večji od natančnosti le-teh, lahko iz razlike položajev točk sklepamo na verjetne premike. Testne statistike za testiranje premikov običajno poleg ocene premikov vključujejo tudi natančnost ocene premikov, zato jo je potrebno izračunati. Premike točk ugotavljamo na osnovi primerjave koordinat točk v dveh terminskih izmerah. Predpostavimo, da obravnavamo koordinate točke T v ravnini v času t in t + At. Da bi lahko izračunali natančnost ocene premika točke, moramo poleg koordinat točke poznati tudi kovariančno matriko koordinat točke za posamezno terminsko izmero. Naj bo T^ (yt, x^) položaj točke T v času t in E, pripadajoča kovariančna matrika ter položaj točke T v času t + At s pripadajočo kovariančno matriko S^+^r yA CT CT yA 2 "i m - yt+At yt+At^t+At Predpostavimo, da so koordinate v času t nekorelirane s koordinatami v času t + At. Kovariančno matriko koordinat identičnih točk yt, xt, y^ +^t , xt+^t lahko zapišemo: 0 0 0 0 0 0 ct' yt+^ ^ yi+äi^t+M 0 0 ^t+Ai (1) Premik točke T v ravnini izračunamo po enačbi d = -y,y + -X, y Ob upoštevanju zakona o prenosu varianc in kovarianc zapišemo varianco premika kjer je Jacobijeva matrika J^ enaka dd 8d dd dy, dx, dy„ dd Ay Ax Ay Ax ~d ~~d ~d ~d (4) Če enačbi (1) in (4) vstavimo v (3), dobimo izraz za varianco premika točke fAyl (o 2 , „2 ' Vd ) ki jo uporabimo za testiranje premika s testno statistiko (6). (5) 3.2 Določitev porazdelitvene funkcije testne statistike s simulacijami V deformacijski analizi posamezno terminsko izmero običajno izravnamo kot prosto mrežo. S tem zagotovimo najboljšo linearno nepristransko oceno neznank ter neodvisnost testnih statistik od izbranega datuma mreže. Po izravnavi najmanj dveh terminskih izmer je mogoče določiti premik točke d po enačbi (2) ter standardno deviacijo premika cr,^ po enačbi (5). Ker sta to dve količini, ki ju lahko izračunamo pred podrobno deformacijsko analizo, ju je smiselno uporabiti v statističnem testu. V praksi pri presoji premikov pogosto računamo testno statistiko T = (6) in jo primerjamo s kritično vrednostjo glede na izbrano stopnjo značilnosti testa a. Premike točk je mogoče z zadostno verjetnostjo odkriti šele tedaj, ko so premiki statistično značilno večji od natančnosti ocene premikov. Porazdelitveno funkcijo za testno statistiko (6) določimo analitično ali s simulacijami (Rubinstein, 1981). Če predpostavimo, da so pogreški opazovanj normalno porazdeljeni e ~N{0,cs^) , so enako porazdeljujejo tudi količine, ki so linearne funkcije opazovanj x~iV(|j,j,a?) . Premik točke izračunamo po enačbi (2). Ker Ay in Ax izračunamo kot razliko dveh normalno porazdeljenih slučajnih spremenljivk, sta tudi Ay in Ax normalno porazdeljeni. To seveda ne velja za premik točke d , ki je nelinearna funkcija Ay in Ax . V takem primeru je težavno analitično določiti obliko in tip porazdelitvene funkcije. Porazdelitveno funkcijo za obravnavano testno statistiko zato določimo s simulacijami (Savšek-Safic, 2002). Za generiranje vzorca normalno porazdeljene slučajne spremenljivke uporabimo metodo Box in Müller (Box et al., 1958; Press et al., 1992). Naj bosta M1i = 1,..., n in M2i = 1,..., n dva vzorca slučajnih spremenljivk U1 in U2, ki sta neodvisni in enakomerno porazdeljeni na intervalu (0,1). Vzorec dveh neodvisnih standardizirano normalno porazdeljenih slučajnih spremenljivk Z1 in Z2 izračunamo tako, da izračunamo Zjj = 2 In Mj,. sin(27tM2,.) Z2i = cos(2;IM2, ). (7) Če želimo generirati vzorec normalno porazdeljenih Ay^ in Ax, izračunamo (8) Natančnost ocene razlike koordinat točke v dveh terminskih izmerah izračunamo + CJ (9) ^t+At kjer so variance koordinat ter Mav in S pomočjo simuliranih normalno porazdeljenih slučajnih spremenljivk (8) izračunamo d po enačbi (2) in a^ po enačbi (5) ter tako v n ponovitvah s simulacijo določimo porazdelitveno funkcijo testne statistike (6) za posamezno točko in pripadajočo kritično vrednost glede na izbrano stopnjo značilnosti testa a . Natančnost ocene koordinat točk v posamezni terminski izmeri je za različne točke različna. Zato je porazdelitvena funkcija testne statistike (6) za vsako točko drugačne oblike. Testno statistiko testiramo glede na postavljeno ničelno in alternativno hipotezo: Hg -. d = 0 ; točka miruje in djtO; točka se je premaknila. Testno statistiko (6) primerjamo glede na kritično vrednost, ki jo pridobimo na osnovi simulirane porazdelitvene funkcije. Če je testna statistika manjša od kritične vrednosti ob izbrani stopnji značilnosti testa a, je tveganje za zavrnitev ničelne hipoteze preveliko. V tem primeru zaključimo, da premik ni statistično značilen. Če je testna statistika večja od kritične vrednosti, je tveganje za zavrnitev ničelne hipoteze manjše od izbrane stopnje značilnosti testa a . Zato upravičeno zavrnemo hipotezo in na ta način potrdimo, da je obravnavani premik statistično značilen. Za lažjo odločitev izračunamo dejansko tveganje za zavrnitev ničelne hipoteze. Dejansko tveganje ttj, izračunamo iz simulirane porazdelitvene funkcije pri izračunani vrednosti testne statistike T. Dejansko tveganje za zavrnitev ničelne hipoteze primerjamo s stopnjo značilnosti testa a . Obravnavamo dva primera: ttj. >a : zavrnemo ničelno hipotezo; premik točke je statistično značilen ali ne zavrnemo ničelne hipoteze; premik točke ni statistično značilen. Uporabnik, glede na dejansko tveganje in posledice napačne odločitve, presodi, ali je tveganje zanj še sprejemljivo ali ne. Odločitev ima za posledico uvrstitev določene točke med mirujoče ali med točke, ki so se premaknile, zato mora biti izbira stopnje značilnosti testa zelo premišljena. 4. PRIMER TESTIRANJA ZNAČILNOSTI PREMIKOV V SIMULIRANI MREŽI Opazovanja so simulirana s programom Som za standardno deviacijo opazovanj, ki znaša cy„ = 1" za kotna opazovanja in cj,^ = 5 mm za dolžinska opazovanja (glej sliko 1 ter preglednici 1 in 2). Geodetski datum je določen na način proste mreže s težiščem vseh točk v mreži. Obravnavamo dve terminski izmeri ter identično vrsto in število opazovanj. V postopku testiranja ničelne hipoteze H,^ : d = 0 se odločimo za enotno stopnjo značilnosti testa a = 5%. Porazdelitvene funkcije testne statistike simuliramo s programom Premik za vse točke v mreži. Simulacijo izvedemo na osnovi 99999 iteracij z začetno vrednostjo za Laheyjev generator slučajnih spremenljivk, ki znaša 0.7. Izračunane premike primerjamo z znanimi (simuliranimi) vrednostmi. V nadaljevanju podajamo vse potrebne vhodne podatke za izravnavo kakor tudi izravnane vrednosti koordinat točk mreže v posamezni terminski izmeri. MERILO MREŽE MERILO HORIZ. PREM I KO V Slika 1: Mreža opazovanj s simuliranimi premiki Točka Ničelna terminska izmera Tekoča terminska izmera Od Do Opazovana smer Dolžina Opazovana smer Dolžina 0 1 II [m] 0 1 II [m] 1 6 314 59 58.6 848.5203 315 00 08.3 848.5437 1 7 32 00 18.4 943.4058 32 00 18.0 943.4930 1 2 90 00 00.6 1000.0017 89 59 48.8 1000.0107 2 1 269 59 58.1 1000.0077 269 59 50.2 1000.0037 2 7 327 59 41.6 943.3963 327 59 50.8 943.4170 2 3 33 41 24.9 1081.6692 33 41 27.8 1081.6608 3 2 213 41 23.2 1081.6572 213 41 27.7 1081.6665 3 7 264 48 19.6 1104.5400 264 48 28.5 1104.5072 3 4 326 18 35.0 721.1132 326 18 35.0 721.1192 4 3 146 18 33.4 721.1152 146 18 34.9 721.1152 4 7 224 59 59.9 989.9525 225 00 00.3 989.9073 4 5 275 42 39.1 1004.9917 275 42 37.1 1004.9992 5 4 95 42 37.9 1004.9861 95 42 36.1 1004.9865 5 7 159 26 39.7 854.4009 159 26 29.0 854.3696 5 6 218 39 36.1 1280.6231 218 39 35.9 1280.6217 6 5 38 39 35.0 1280.6242 38 39 34.6 1280.6267 6 7 79 41 43.7 1118.0403 79 41 36.3 1118.0745 6 1 134 59 59.5 848.5338 135 00 10.4 848.5325 6 259 41 42.2 1118.0366 259 41 36.6 1118.0680 5 339 26 38.3 854.4000 339 26 28.6 854.3591 4 45 00 00.9 989.9507 45 00 03.6 989.8993 3 84 48 21.1 1104.5387 84 48 29.6 1104.5055 2 147 59 40.6 943.3984 147 59 50.6 943.4008 1 212 00 19.3 943.3992 212 00 15.7 943.4907 Preglednica 1: Simulirana opazovanja dveh terminskih izmer tig 55 Točka Premik-d Smer-v [mm] [°] 1 40 210 2 12 330 3 5 150 7 50 30 Točka Približne koordinate 1 1000.0000 1000.0000 2 2000.0000 1000.0000 3 2600.0000 1900.0000 4 2200.0000 2500.0000 5 1200.0000 2600.0000 6 400.0000 1600.0000 7 1500.0000 1800.0000 Preglednica 2: Vrednosti premikov Preglednica 3: Približne koordinate točk v obeh terminskih izmerah Točka Ničelna terminska izmera Tekoča terminska izmera Koordinatne razlike j>i [m] X2 [m] d}[m] d,[m] 1 999.9988 999.9995 999.9821 999.9599 -0.0167 -0.0396 2 2000.0013 1000.0012 1999.9899 1000.0085 -0.0114 +0.0073 3 2600.0037 1899.9984 2600.0039 1899.9942 +0.0002 -0.0042 4 2200.0004 2500.0000 2200.0015 2500.0007 +0.0011 +0.0007 5 1199.9988 2600.0007 1199.9983 2599.9966 -0.0005 -0.0041 6 399.9973 1599.9989 399.9991 1599.9972 +0.0018 -0.0017 7 1499.9997 1800.0013 1500.0252 1800.0429 +0.0255 +0.0416 Preglednica 4: Izravnane koordinate točk proste mreže posamezne terminske izmere S simulacijami določimo porazdelitveno funkcijo za posamezno točko za testno statistiko (6). Na sliki 2 prikazujemo porazdelitveno funkcijo za primer točke 2 v simulirani mreži. Porazdelitvena funkcija ima za vsako točko v mreži drugačno obliko. V praksi navadno rečemo, da se je točka premaknila, če je premik točke večji od trikratne oz. petkratne vrednosti natančnosti določitve premika točke, ali z drugimi besedami, da je T >3 oz^ ^ 5 . Za obravnavano točko 2 lahko iz slike 2 odčitamo, da kritična vrednost pri izbrani stopnji značilnosti testa a = 5% znaša T,^, = 2.445 . Pri T = 3 je stopnja tveganja 1.18%, pri T = 5 pa 0.00%, torej je dejansko tveganje ob zavrnitvi ničelne hipoteze resnično minimalno. Slika 2: Porazdelitvena funkcija za testno statistiko T =-= 4.724 za točko 2 V postopku testiranja je zelo pomembno, da izračunano vrednost testne statistike primerjamo glede na pravilno kritično vrednost dejanske porazdelitvene funkcije za testno statistiko (6) pri izbrani stopnji značilnosti testa. V obravnavani simulirani mreži (slika 1) se izračunana kritična vrednost pri izbrani stopnji značilnosti testa a = 5% za prikazano simulirano porazdelitveno funkcijo spreminja od 2.431 do 2.459 (preglednica 5). Vidimo, da se za posamezne točke kritične vrednosti ne razlikujejo bistveno. Izračunali smo še kritične vrednosti za točke v mreži Pesje Premogovnika Velenje (Stopar et al., 2001). V mreži Pesje se izračunana kritična vrednost pri izbrani stopnji značilnosti testa a = 5% spreminja od 2.267 do 3.405. Pri mrežah, kjer datum določajo dane točke, kritična vrednost v nekaterih primerih preseže celo vrednost 7. Zaključimo lahko, da je zelo pomembno pravilno določiti porazdelitveno funkcijo testne statistike za posamezno točko mreže in ne privzeti neke v geodetski praksi najpogosteje uporabljene vrednosti za kritično vrednost. Točka Simulirani premil< Dejanski premik rf[mm] arf[mm] T aA%) d sin, [mm] premaknila 1 40.0 da 43.0 2.7 15.931 2.459 0.00 2 12.0 da 13.5 2.9 4.724 2.445 0.00 3 5.0 da 4.2 2.6 1.646 2.438 25.45 4 0.0 ne 1.3 2.6 0.499 2.447 88.41 5 0.0 ne 4.1 2.8 1.466 2.450 33.98 6 0.0 ne 2.5 2.7 0.903 2.431 66.37 7 50.0 da 48.8 1.9 25.838 2.435 0.00 Preglednica 5: Testiranje značilnosti premikov v simulirani mreži Iz preglednice 5 lahko zaključimo, da statistično značilne premike nedvoumno odkrijemo na točkah 1 in 7, ker je premik d > lOa^ . Vrednost testne statistike je bistveno večja od njene kritične vrednosti, zato je dejansko tveganje za zavrnitev ničelne hipoteze minimalno. S predlagano testno statistiko odkrijemo tudi premik na točki 2, kjer je premik d>Ac5,i. Simulirani premik na točki 3 je premajhen, da bi ga lahko odkrili, saj je premik d <1x5^ . Dejansko tveganje za zavrnitev ničelne hipoteze je v primeru točke 3 preveliko, zato premika ne odkrijemo, saj ni statistično značilen. Dejansko tveganje za zavrnitev ničelne hipoteze na domnevno mirujočih točkah je občutno preveliko, da bi hipotezo smeli zavrniti. Za te točke torej ne moremo trditi, da so se premaknile. 5. ZAKLJUČEK Naročnik od izvajalca geodetskih del ne pričakuje zgolj podatkov o premikih točk, temveč tudi zagotovilo o kakovosti ocenjenih premikov. Zaželeno je, da naročnik sodeluje pri vrednotenju ocenjenih premikov. Glede na posledice, ki jih napačna odločitev lahko povzroči, pa se naročnik odloči o tem, ali je tveganje zanj še sprejemljivo ali ne. Ugotavljamo, da je testna statistika (6) ob simulirani porazdelitveni funkciji primerno orodje za testiranje značilnosti premikov točk v geodetski mreži. Glede na to, da premik in natančnost premika pridobimo na enostaven način, je predlagani postopek smiseln in daje zelo dobre rezultate. Na ta način dobimo prvo oceno o dogajanju v obravnavani mreži. Iz testnega primera je razvidno, da je presoja o značilnosti premika neposredno odvisna od kritične vrednosti pri izbrani stopnji značilnosti testa. Pravilno oceno premika dobimo le, če je kritična vrednost določena glede na dejansko porazdelitveno funkcijo testne statistike. Na ta način natančneje določimo faktor, ki se v praksi pogosto uporablja le približno npr. 3ct,, ali Sct,^ . Glede na zahtevnost naloge in posledice se odločimo, ali bomo izvedli podrobno deformacijsko analizo po eni izmed znanih metod ali to ni potrebno. Simulacijo porazdelitvene funkcije in testiranje značilnosti premikov s simulirano porazdelitveno funkcijo smo dodali v obstoječo programsko opremo Premik za izračun horizontalnih premikov in natančnosti premikov točk (Ambrožič et al., 2002). LITERATURA Ambrožič, T., Turk, G., Stopar, B., Navodila za uporabo programa Premik ver. 2.0, feb. 2002. Interna izdaja, 2002 Box G.E.P., Müller,M.E., A note on the generation of random normal deviates. Annals of Mathematical Statistisc, 1958, letnik 29, str. 610-611 Caspary, W.F., Concepts of Network and Deformation Analysis. Kensington, School of Surveying, The University of New South Wales, 2000 Mierlo, /. van, A testing Procedure for Analysing Geodetic Deformation Measurements. Bonn, FIG Symposium on Deformation Measurements, 1978 Press, W.H., Teukolsky, S.A., Vetterling, W.T., Flannery, B.P., Numerical recipes in Fortran: the art of scientific computing. Cambridge, Cambridge University Press, 1992 Rubinstein, R.Y., Simulation and the Monte Carlo Method. New York, John Wiley & Sons, 1981 Savšek-Safič, S., Optimalna metoda določanja stabilnih točk v deformacijski analizi. Doktorska disertacija. Ljubljana, FGG OGG, 2002 Stopar B., Ambrožič T., Potočnik D., Koželj M., Prostorsko spremljanje deformacij v primarni in sekundarni oblogi pri izdelavi podzemnih objektov, 2001, 53 strani, 67 strani pril. ilust., Ljubljana asist. dr. Simona Savšek-Safič, univ. dipl. inž. geod. Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Jamova 2, SI-1000 Ljubljana, Slovenija e-pošta: ssavsek@fgg.uni-lj.si doc. dr. Tomaž Ambrožič, univ. dipl. inž. geod. Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Jamova 2, SI-1000 Ljubljana, Slovenija e-pošta: tambrozi@fgg.uni-lj.si izr. prof. dr. Bojan Stopar, univ. dipl. inž. geod. Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Jamova 2, SI-1000 Ljubljana, Slovenija e-pošta: bstopar@fgg.uni-lj.si izr. prof. dr. Goran Turk, univ. dipl. inž. gr. Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Jamova 2, SI-1000 Ljubljana, Slovenija e-pošta: gturk@fgg.uni-lj.si Recenzenta: dr. Dušan Kogoj, dr. Boštjan Kovačič Prispelo v objavo: 20. december 2002