i
i
“Mohar-o-posojilih” — 2010/5/12 — 10:18 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 13 (1985/1986)
Številka 1
Strani 20–23
Bojan Mohar:
O POSOJILIH
Ključne besede: matematika, srednješolska matematika, uporabna
matematika, obrestno-obrestni račun.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/13/747-Mohar.pdf
c© 1985 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
/""-,...,,,"-'."/"n lt: n irin
o POSOJILIH
V času , ko je naša deže la vse bolj zadolžena, je zelo pomembno vedeti tudi kaj
o posojilih. Zato si oglejmo , kako lahko i z r ač u n amo višino mesečne anu itete
najetega kredita. Če morda še ne veš, snuitete je znesek , ki ga moraš plačati
vsak mesec, da v dogovorjenem roku vrneš posojilo .
Na banki lahko dobimo na pr imer posojilo, ki ga bomo odplačevali 5 let ,
obresti pa bodo 50% letno. Za nakup stanovanj pa so krediti ugodnejši : 15 let
in 5%. Kolikšna bo mesečna anuiteta za vsakega od kreditov, č e posojilo znaša
10000,00 din?
Da bo računanje lažje, bomo vpelja li naslednje oznake :
n višina posojila (din)
d doba odplačevanja (let)
p . . . . . . . . . . . . . . . . obrestna mera
(npr. p = 0 .05 za 5% obr. me ro)
a . . . . . . . . . . . . . . . . mesečna anuiteta (neznano)
Omeniti mo ramo , da se obresti zaračunajo vsako leto en krat in da se odplačani
znesek ne obrestuje več. Z vsakim mesecem je torej znesek dolga za a ma njš i,
na koncu vsakega leta pa se k odplačanemu znesku dodajajo obresti.
Za rešitev problema je ugodno razm išljati malo drugače. Banka nam je
posodila znesek n d in. Ta znesek bomo odplačevali d let. Če ga ne b i odplače­
vali sproti , bi morali zarad i obresti plačati znesek n + obresti v d let ih. Koliko
znesejo te obresti , bomo izračunali kasneje . Po drugi strani pa plačujemo me-
sečne obroke in si lahko mislimo , da jih nalagamo na posebno (svojo) hranilno
knji žico al i bančni račun , kjer se nam obrestujejo po obrestni meri, ki velja za
posojilo. Namesto da bi upošteval i, da smo banki vsak mesec dol žni manj (in
nam banka ne bo več zaračunavala obresti za ta znesek) , imamo znesek na naš i
knjižici . Zanj dobimo ravno toliko obrest i, kot jih moramo plačati bank i. Skle-
pamo torej lahko takole : d let mesečno nakazujemo po a dinarjev na poseben
račun. Banka ga bo obrestovala po meri p. Končni znes ek mora biti enak n
plus ob resti v dletih.
Oglejmo si sedaj, kako se posoj ilo n obrestuje z leti. PO prvem letu k znes-
ku pr ištejemo enoletne obresti p .n dinarjev in imamo tako skupaj n + pn =
20
I
= n(l + p) dinarjev. V drugem letu se obrestuje že novi znesek, zato je za
p.n.(1 + p) obrest i in skupna vsota se poveča na (n .(1 + p)) .(1 + p) = n( 1 + p) 2.
Ravno tako vidimo, da je po treh letih vsota enaka n(1 + p) 3 itd . Znesek se po
d letih poveča na n( 1 + p)d .
Kaj pa je z odplačevanjem? Prvi mesec vplačamo a dinarjev in ta vsota se
nam bo obrestovala d let minus en mesec. Drugi obrok se nam bo obrestoval
dva meseca manj kot d let itd. V d letih odplačevanja bomo na "našem raču­
nu" nabrali skupaj naslednjo vsoto:
a + obresti za (d - 1/12) let +
+ a + obresti za (d - 2 /12) let +
+ a + obresti za (d - 3/12) let +
+ a + obresti za (d - 12d112) let
Skupaj bomo torej vplačali 12d mesečnih obrokov po a dinarjev in zanje
dobili tudi nekaj obresti . Koliko bo teh obresti, bo najteže izračunati.
Najprej poglejmo, koliko dobimo pri odplačevanju venem letu:
od prvega obroka : a +a.p. 11/12 =a(1 + 11p112)
od drugega obroka : a + e.p , 10 /12 = a( 1 + 1Dpi 12)
od enajstega obroka: a + a.p. 1/12 =a(l + p /12)
od dvanajstega obroka: a = a( 1 + Dpi 12)
Skupno dobimo:
Al =a(l + l1p /12) + ... +a(1 +OpI12) =
~ a [ 12 + p( 11 + 10 + ... + 1)112 ] = a [ 12 + P .11 .12/24] =
= a [ 12 + l1p/2 ]
Znesek Al se nam bo obrestoval še d - 1 leto, zato bomo od njega dobili
skupno :
V drugem letu ravno tako "odplačarno" A 1 dinarjev , ki se nam potem obrestu-
jejo celih d - · 2 let. Torej dobimo zanje :
21
dinarjev. Podobno dobimo iz obrokov tretjega leta skupno
B 3 = Al .(1 + p)d- 3 dinarjev itd.
V vseh d letih odplačevanjapa zberemo:
A =Al (1 + p)d-l + A 1 (1 + p)d-2 + oo . + A d 1 + p) + A 1 =
=A 1 [(1 +p)d-l + (1 +p)d-2 + '" + (1 +p) + 1] =
=A 1 . [(1 +p)d- 1] /[(1 +p) - 1] = a(12 + llpl2) .[(l +p)d -l]lp
Kako smo izračunali vsoto iz oglatega oklepaja v gornji formuli?
Ker je (xd - 1) = (x - 1)(Xd- 1 + Xd- 2 + ... + x + 1), sledi xd- 1 + Xd-2 +
+ 'oo + x + 1 = (Xd - 1) I (x - 1), kar je uporabljeno zgoraj za x = 1 + p .
Ta formula ne velja za x = 1 (to je p = O). Zakaj misliš, da je tako?
Zdaj smo že pri koncu. Odplačano mora biti enako dobljenemu posojilu ,
povečanemu za obresti :
a.(12 + llpl2)[(l +p)d -l]lp=n.(l +p)d
in
a = n.( 1 + p)d. p i [( (1 + pId - 1) (12 + llp l2) 1 (1)
Ko sem izpeljal formulo (lJ. sem jo seveda takoj preizkusil na primeru.
Pri nakupu pohištva sem najel potrošniški kredit v višini 92000 din z dobo od-
plačevanja 5 let in 25% obrestno mero. Na ta račun mesečno plačujem 2851
din. In glej ga zlomka! Ogoljufali so me! Prav gotovo , saj po formuli (1) dobim
mesečno anuiteto 2558 din. V petih letih bom torej plačal 12.5.(2851-2558)=
= 17580 preveč.
Kaj je narobe? Vse skupaj sem še enkrat preveril na podatkih za nek drug
kredit in tudi to se ni ujemalo . Očitno je nekaj narobe z našo formulo. PO
krajšem poizvedovanju sem izvedel , da kredite odplačujemo z letnimi in ne
mesečnimi anuitetami. To pomeni, da se 12 mesečnih obrokov za letno anuite-
to ne začne obrestovati z mesecem plačila , ampak šele ob poteku leta, ko smo
torej vplačali že vseh 12 obrokov letne anuitete. V gornji izpeljavi je torej vse v
redu, le znesek Al, ki ga dobimo pri odplačevanju venem letu, je enak 12a in
ne (12 + llp I2)a. Od tod pa izračunamo mesečno anuiteto:
22
n.p.(l +p)d
12. [(1 +p)d -1 ]
(2)