i i “2-4-Legisa-naslov” — 2009/3/26 — 14:34 — page 1 — #1 i i i i i i List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN 0351-6652 Letnik 2 (1974/1975) Številka 4 Strani 136–142 Peter Legiša: NEKAJ O RAZDALJI Ključne besede: matematika. Elektronska verzija: http://www.presek.si/2/2-4-Legisa.pdf c© 1974 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije c© 2009 DMFA – založništvo Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo- ljeno. NEKAJ O RAZDALJI Pojem r azdalje ima za različne l judi in o b razl ičnih p r i ložno - s tih.različne pomene . Za p i lota je razd a l ja med toč kama zračna razdalja, se pr a v i dolžina njune zveznice . Ce pa u s tav i mo a vto ob cesti in vprašamo mimoidočega, kolikšna j e razdal ja med Ljub - ljano in Ma r i bo rom, nam bo vsak odgovori l , d a j e od Ljubljane do Ma r ibora 1 3 5 kilometrov . Teh 135 ki lometrov je precej več , kot je z račna razda l ja med Ljub lj ano in Mariborom . Tak i h p r imerov je mnogo . Denimo , da st a n u jemo v mes tu , v kate - r e m so vse ulice r a vn e in se s ekajo le pra vokotna . Za prebivalce tega mes ta dolžina zveznice med točkama (razen v primeru , ko toč ­ k i le ž ita na i sti ul ici) ni ustrezno merilo za r a zdaljo . Zanje je razdalj a med točkama dolž ina n a jkrajše povezave med n j ima. Vsi ve - mo, d a j e tak i h n a jkrajših povezav med danima točkama l ahko več. Na sl . l j e n a r i s a n de l ulične mreže take ga mesta i n najkra jši po - vezavi med križiščema A in B. ~tjBBD B · C [ I ~Jc:::J1 .JICJC A I In IlIli 5 1. 1 5 1. 2 q p To le mesto i n njegove prebivalce sem navedel le zato, da bi la- že razumeli nas l edn j o s i t uac i jo . I ma mo r a vn i no in na n j ej p remi c i p in q , k i s e s ekata p ravoko t na . Na ravni n i i mamo š e točkas t de - lec. Ta del e c i ma pose bno l astnost : iz rav ni n e ne more , po ravni - ni pa se lahko p remi ka le vzporedno premici p ali premi ci q. Si - cer pa lahko počne k a rko l i. Po dobnost z mes t om in ljudmi v n j e m je očitna : pre bivalec mesta, ·k i n ima ravno h e l i kopt e r j a , mora pač ho d i t i po ulicah . (Pra v tako dobr a je p r i mer j a va s trdn javo na š aho vsk i deski.) 136 Narišimo s i s liko ! Na l i s t u p aplr]a po tegnimo premi c i p i n q . Z ačetno l e go delca označ imo z A . Poskus imo se vž ive t i v po lo ž a j naš ega de l c a . Ce j e B po l j ubna to čka na r avnini , j o d e lec goto vo lah ko obišče . To lah k o s tori celo na neskončno načinov . Den imo , da je kdo d e lcu, k i se je odp r a v i l na pot o d to čke A do t očke B , nas k r ivaj obesil na hrbet pre l ukn jano vrečko s kašo - tako kot kraljičn i v Ande rsenov i p ravl j i c i . Ko dele c p r ide v točko B, j e za s abo pustil sled , k i ji pravimo ti r de lca med točko A i n toč ­ ko B . Ti r de lca med t o čko A in točko B j e v sploš nem ne k a ve čkrat pravokotno pre lomljena črta ( g l e j s l.2) . Pojavi se vpraš a n je, kolik š na je do lžina na jkrajšega t i r a de l - ca med dan im a točkama. Po t e g nimo skozi točko A vzporednico premi- c i p i n s ko z i B vzporednico p r e mi c i q. Presečišče dob l jenih pre- mic o značimo s C. (s l .3 ) Trdimo , da za de lec ni mogoče naj ti ti r a med A in B , ki bi bil k rajši , kot je tir, sestavljen iz dalj ic AC in CB. (Seveda pa v sploš nem t i r, sestavl jen iz daljic AC i n CB, ni edin i najkrajš i t ir med A i n B. ) Vzemimo pol juben ti r na še ga de lca med točkama A i n B. Vsota do lžin tis t ih d a lj i c v tiru, k i so vzporedne p remic i p, je očit ­ no večja ali kvečjemu enaka dolžini dal jice AC . Prav tako ugo to - vimo , d a j e vsota do lž in da l jic , k i so v zpo redne premic i q, večja a li kvečjemu enaka do lž ini dal jice CB. Sp lošno bomo dolž ino dalj i- ce T 1T 2 ( kj e r st a T I ' T2 po ljubni točki na ravnini) označili s ~2' Tako l a h ko reč emo, da je dolžina najkrajšega tira za de lec med točkama A in Benaka AC+CB. Delec z vso upravičenost jo trd i , da j e z a n j razd a l j a med dvema t o č kama do lž i na n a jkraj š e ga t ira med njima. Da ne bo priš lo do zmešnjave, se dogovor imo takole : " ra z da~ j a" ( v narekova j i h ) na j pome ni razdal jo , kot j o ra zume de- lec ; razda ~ja b rez narekova jev pa navadno razdal jo med točkama ( dol ž i no zveznice) . " Ra z dal j o " med t o čk ama A i n B bomo označil i z r(A ,B ), r a z dal j o med istima točkama pa , kot smo že r e kl i , z AB . Situacijo na sl.3 l a h ko na kratko povz amemo tako le: r (A ,B) = AC + CB Denimo, da je naš delec int e li ge ntno bit je , ki ve nekaj o a rit - metik i , nič pa o geometri ji. Delec ž ivi v ravn i n i. Za t o mu posku- simo razložiti neka j po jmov iz ravninske geometri je, in to kar na 137 ravnini, po kate r i se g ib l je . Ker de lec vsakič , ko re čemo b e s edo razdalja, razume " razdalja", na stanej o prav z a bavni nesporazumi. Začn imo s k ro ž nico . Gotovo b omo delcu rekli : krožnica s sredi- ščem v to čki A in polmerom a j e mno žica ( ge ometrijs ko mesto) točk na ravnini, ka te r i h razdalja o d A je e naka a. Delec nam e sto razda- lja sliši "razdalja" i n se l oti risanja " krožnice ". Po s ku s i mo u- go t o v i t i , kakšna bo nj ego va slika. Nič h udega ne bo, č e pre mici p in q vzporedno prema k nem o , tako d a se s e kata v t očki A ( sl.4). I š č emo vs e tiste točke B , za kat ere je r(A,B)=a. Za točko B, ki l eži na premici p ali na p r e mi c i q, j e o č itno r(A, B)=A B. Ce t orej od točke A odmerimo na premicah p in q r a zd a l j o a, dobimo štiri točke P, Q, P: Q: ki l eže na naši "krožnici" . q p Q' SI. 3 SI. 4 Na j bo zda j B poljubna to č k a , ki l e ž i desno od q i n nad p i n za katero j e r(A ,B) =a. Potegnima skozi B vzporednico premic i q. Presečišče dobl jene premice spremico p označ imo s C. Kot smo v ide- l i , je r( A, B) = A~ +CB = a . Ker je t u d i AC+CP = a , j e CP=CB. Vemo , da je AP=AQ. Zato sta t rik o t n i k a PAQ i n PCB podobna . Od tod s kle - pamo , da l e ž i t o č k a B n a zveznic i točk P in Q. " Ra z dalja" vsake točke na dal j ic i PQ od točke A j e očitno enaka a . Tore j je tis ti del "krožnice " , ki l e ž i desno od q i n nad p , natančno dal jica PQ. Od tod takoj vidimo, da j e delčeva " k r o ž ni c a" ravno rob kvadrata PQP' Q' (sl . 5) . Te hniki bodo rekli , da je bi l naš poskus razložiti d c l c u , k a j je krožn ica , čista polomija . Za tehnika res ni vseeno, a li so ko- lesa pri avtomobi lu okrogla al i kvadrat ična. Hatematik pa se za 138 q Q p' Q/ S lo 5 p p svinčnik EE!P ~/ buciki slo 6 t a ke ma lenkos t i vč asih ne zme n i . Ra vno na sprotno, vsakega p r a vega ma t emat ika bo t a primer s po d bod e l , d a bo po skušal ugo to v i t i , kako s i de lec pre d s tavlja še ka j d rugega . Za e lipso so bral ci verj e t no ž e s lišal i . Ti s t im , k i j e n e po z- n a jo , bern poveda l , kako j o na r iš emo . Lis t p a p i r j a po ložimo n a pod- l a go i n z abodemo skoz e n j d ve buei k i . Po tem i z k o sa niti na p r av i mo z a nko , j o na pnemo n a o b e bu e i k i in s v i nč n i k ter r išemo (sl . 6) in p a z imo , da os tane nitka ve s čas nape ta . Do b i mo o v a l e n lik , k i g a i me nu jemo eZ i psa . Točki , v kat e r i h s ta zapičeni b u e i k i , i me nuj emo g o rišč i e lipse . Odš t e j e mo o d do lž i ne n i t i do lž ino z ve z n i ce med go riščema . Po l o v i - c a dob l jene ga št e vi la se im enuje ve Lik a poZos el i pse . Rečemo lah- ko : e lipsa z gorišč ema Gi ' G2 in ve l i ko po l o sjo a j e množ ica točk, z a k a te re je vsot a r a z dal j od točk Gi i n G2 enaka 2a . Ug an imo , k a j bo n a podl a g i t e g a stavka nari s al d e lec ( ki besedo razd alja r a zu - me ko t "razdalj a ") . Tis temu , k a r bo nar i sal , rec i mo "eZi psa". Da bo stvar lažja , i z b e r i mo gorišč i Gi i n G2 t a ko, d a l e žit a n a pre- mic i p i n d a p r emica q po t eka s ko z i Gi ' Oz nač imo G1G2 = 2e . I š č e­ mo t o r e j t a ke točke A , da j e r( G 1, A ) + r ( G 2, A) = 2a . Vz e l i bomo tudi , da je a>e . ( Če j e a i n n ad p, j e t o re j dal j i ca , k i je v z po r e d na da l j ic i G1G2 i n j e za a-e nad njo . Na j bo A to čka naše " e Li p s e " , k i Le ž i, d e s no od q' i n nad p ( sl. 7) . Spus t i mo i z A p ra voko t n ico na p r emico p i n preseč išče obeh pre mic o z nač imo z D. Potem j e r ( Gl, A) = G1D + DA = G1 G2 + G2D + + DA = G1G2 + r ( G2 ,A) . '.lako j e 2a = d Gl' A ) + r (G2 ,a) = G1G2 + + 2r ( G2 ,A ) = 2e + 2r (G2 ,A ) . Od tod v id imo , d a j e r( G2 ,A) = a -e . Točka A l e ž i to r e j na " kro žni c i" s sred iš č em v G 2 i n polmerom a- e. De l " k r o ;:n i c e " , k i l ež i desno o d q ' i n nad p , p a z n amo na risati. Odme r i mo od t oč ke G2 po premic i q > navzgor raz d al j o a -e t e r o d G2 po p na desno e nako r azd a lj o i n dob l jen i točk i zve;:emo . l d a j igr a - j e l a hko nari š e mo ce l o " e l ipso " . q q' q q' ~ -- l!______ 1', A a -e r'-, 45~ G j C G2 D P P 51. 7 51. 8 Dokončno po do bo naš e e l ipse l ahko vidit e na s l iki 8. Tr et j a s tva r , s kate ro se bomo s popri j e l i , je parabo l a. Ime j mo na n as~ ravn in i premico s in tOČko F , k i ne l e ži na p r emi ci s . Pa- r ab o La z go riščem F i n v odnico s j e množi ca to čk ( na r a vn i n i ) , k i s o e nako odd a l jene od p remice s i n t OČke F . T ip ič no parabo lo i ma- mo na s l i k i 9. Za naš dele c j e "ra zdalj a " med točko A i n p remi co s dolžina n a j - kra jšega tira , ki se začne v A in konča na s . O z nač i mo "raZda l jo " med p remico s i n t očko A z r ( s , A ). Dele c bo d e f i nic i jo parabol e r a z ume l t a kol e: " p a r a bo l a " z vod nico s i n gorišč em F j e mno ž ica tak i h točk A , d a j e r( s ,A) = r( F, A). Poj dimo gl eda t , k a j p ravz a - 140 prav j e ta " p a r a bo l a" . Vzemimo , da je premi ca s kar premica q i n d a premica p poteka skozi točko F . Presečiš če premic p i n q označ imo z R . Sko z i F potegnimo vzpo - r e d n i c o premici q in j o označimo s q'. Naj bo T razpo l o v iš če da - ljice RF. Točk a T go t ovo leži na " p a r a boli", s a j je r (s, T) = r (F ,T ) . Označ imo TF = e . Naj bo A točka na " para bo li" i n na j A l e ži med q in q' te r nad p . Spu s t i mo sko zi A vzporedn i c o premici q . Presek do b l j ene pr e mi ce s p označimo z D ( s lo 10) . • Ker je r(s, A) RD in r(F,A) DF+DA, mora biti RD DF+DA. Upo š t e va j mo , d a j e RD +DF = 2e i n da . j e RD = e + TD , pa v idimo , d a - l-j e 1'D = 2" DA. Naj bo P t ista t oč .ka na premici q' , ki l e ži n ad F s R q q' p A I / I / I T D F TF :FP = 1' 2 RT=TF p S lo 9 5 1. 1 0 s F S lo 11 Slo 12 141 m ar katrsrlrp je IT a 49. K ~ F j e ~ r m a ~ j a WlBp * 122 RElbX, eta S~iketnika Fa i n PFP PprQohna* 8d tod @klspanw* da 1 Isid& aru da- Ijici PP, Vsaka tol5ka BAjiau TP js w v ~ d a na " p ~ a b l i ~ . If atY dal L'paFabala"t ki YeBi darn@ rad qJ in xmt3 pa 30 kar paltrak, bi j a v~pim-den p LFI ea &alas v P. tTo M e $=hi atlahka ua~.otov%li) Pa~,rabela j a napilsaaa na sliki i t * Za &an- Zla d w t~lraai. $ 8 Naa h a t w d iR II msliGnf % ~ & , g k i na aahli munid in a n W po- .$time Otavile. PoiBilinw w e tiste toEke t? M ~ v n f n i , t a )Late- r% j.e = I = r al Najdmo &ah& dve b & k i , ano faaka ali pa nra- h n a take toeke ((a turn e+ lahke t&ej p~ugrikbl), hkOm ohl ike pe 34 var l&ko mno%ioa t&ih teak C w ravntni, 641 1. r l A , G > 1 P U B , ~ ~ * a? 5 1 (Ta RaPaga j a grimema pmdvscsm &a crradnjalsl~e. ) #