i
i
\Cedilnik" | 2022/9/19 | 8:15 | page 89 | #1
i
i
i
i
i
i
VARIACIJE NA MOIVREOVO TEMO
ANTON CEDILNIK
Biotehni  ska fakulteta
Univerza v Ljubljani
Math. Subj. Class. (2010): 12D05, 13-01
  Ze iz srednje   sole poznano Moivreovo formulo za potenciranje kompleksnih   stevil
posplo  simo na vse variante dvorazse  zne enotske algebre nad poljubnim poljem.
VARIATIONS ON A THEME OF DE MOIVRE
We generalize Moivre’s formula for exponentiating complex numbers, well known from
high school, to all variants of two-dimensional unital algebras over any  eld.
Uvod
Algebra { matemati  cna struktura in ne poglavje matematike − je vektorski
prostor z dodatno operacijo, imenovano mno  zenje, ki je distributivna in
homogena. Bolj podrobno:   ce je A vektorski prostor nad komutativnim
obsegom (poljem)F in ima preslikava (a;b)∈A
2
(a b∈A lastnosti
∀(a;b;c)∈A
3
∶ (a+b) c=a c+b c;a (b+c)=a b+a c;
∀( ;a;b )∈F×A
2
∶ ( a ) b=a ( b )=  (a b);
potem urejeni par (A; ) imenujemoF-algebra.
  Ce ni nevarnosti nesporazuma, po stari navadi namesto a b pi  semo kar
ab. Pa tudi  ab namesto   (a b).
Najprej nekaj nujnih de nicij. Razse  znost (dimenzija) algebre (A; ) je
kar dimenzija vektorskega prostora A.
Algebra (A; ) je asociativna,   ce je
∀(a;b;c)∈A
3
∶ (ab)c=a(bc);
in komutativna,   ce je
∀(a;b)∈A
2
∶ab=ba:
Obzornik mat. ﬁz.69 (2022) 3 89
i
i
\Cedilnik" | 2022/9/19 | 8:15 | page 90 | #2
i
i
i
i
i
i
Anton Cedilnik
Algebra (A; ) je enotska (unitalna),   ce v njej obstaja element e ≠ 0
(enota) z lastnostjo
∀a∈A∶ea=ae=a:
Algebri (A; ) in (B;○) sta izomorfni,   ce obstaja taka obrnljiva linearna pre-
slikava U ∶A→B (izomor zem ), da je
∀(a;b)∈A
2
∶U(a b)=U(a)○U(b):
Izomorfnih algeber navadno sploh ne razlikujemo, saj se pri njih vse z alge-
brsko strukturo povezane re  ci ujemajo.
Zelo preprosto je dokazati, da je enotski algebri izomorfna algebra tudi
enotska in da vsak izomor zem ohranja enoto.
Izomorfni algebri imata seveda isto dimenzijo. Klasi cirati algebre iz
razreda algeber z dolo  ceno dimenzijo pomeni razdeliti ta razred na pod-
razrede tako, da sta poljubni algebri iz istega podrazreda izomorfni, po-
ljubni algebri iz razli  cnih podrazredov pa sta neizomorfni. Navadno   zelimo
iz vsakega podrazreda odlikovati po en primerek, ki ga potem okli  cemo za
kanonskega in je klasi kacija dana kar s spiskom teh kanonskih algeber.
Moivreova formula
Primer, ki je tu   se posebej zanimiv, je realna algebra kompleksnih   stevil
(C; ); torej mno  zica vseh kompleksnih   stevil kot realen dvorazse  zni vek-
torski prostor skupaj z obi  cajnim mno  zenjem kompleksnih   stevil. Zaradi
raz  ci  s  cevanja pojmov se spla  ca omeniti: skalarji so tu realna   stevila, vek-
torji so kompleksna   stevila. V zapisu  ab =   a b je leva pika mno  zenje
realnega in kompleksnega   stevila, desna pika pa mno  zenje kompleksnih   ste-
vil; piki torej predstavljata razli  cni operaciji, leva je mno  zenje vektorja s
skalarjem, desna pa je mno  zenje vektorjev.
Znano Moivreovo formulo je leta 1707 odkril francoski matematik Abra-
ham de Moivre (abra  am d @mu  avr, 1667{1754). V sodobni obliki se takole
glasi:
∀(n;’)∈Z×R∶ (cos’+i sin’)
n
= cos(n’)+i sin(n’):
90 Obzornik mat. ﬁz.69 (2022) 3
i
i
\Cedilnik" | 2022/9/19 | 8:15 | page 91 | #3
i
i
i
i
i
i
Variacije na Moivreovo temo
Dokaz gre s popolno indukcijo. Ponovimo ga, ker bo model za dokazovanje
v prihodnje.
n= 0∶ Formula trivialno velja.
n=k∶ Predpostavljamo: (cos’+i sin’)
k
= cos(k’)+i sin(k’)
n=k+ 1∶ (cos’+i sin’)
k+1
= (cos’+i sin’)
k
(cos’+i sin’)
= [cos(k’)+i sin(k’)](cos’+i sin’)
= [cos(k’) cos’− sin(k’) sin’]+i[cos(k’) sin’+ sin(k’) cos’]
= cos((k+ 1)’)+i sin((k+ 1)’)& (Konec popolne indukcije.)
n< 0∶
  Ce ozna  cimo n=−m in je m> 0; je
(cos’+i sin’)
n
= (cos’+i sin’)
−m
=   1
cos’+i sin’
  m
=   cos’−i sin’
(cos’+i sin’)(cos’−i sin’)
  m
= (cos’−i sin’)
m
= [cos(−’)+i sin(−’)]
m
= cos(−m’)+i sin(−m’)= cos(n’)+i sin(n’)
Najpomembnej  sa uporaba Moivreove formule je seveda potenciranje kom-
pleksnih   stevil. Napi  simo ustrezno formulo kar brez (splo  sno znanega) do-
kaza za kompleksno   stevilo x+iy ≠ 0∶
∀n∈Z∶ (x+iy)
n
=r
n
[cos(n’)+i sin(n’)];
kjer jer =+
»
x
2
+y
2
in cos’=
x
r
; sin’=
y
r
. Ta formula se lahko ob primerni
interpretaciji uporabi tudi za ne-cele n, a ta zgodba nas tu ne bo zanimala.
Klasi kacija dvorazse  znih enotskih algeber
Kdaj so se matematiki za  celi zanimati za dvorazse  zne posplo  sitve realne
algebre kompleksnih   stevil, mi ni uspelo ugotoviti. Najstarej  sa najdena
letnica v tej zvezi je bila 1848 v [4]. Sprva so premi  sljevali le o spremenjeni
naravi imaginarne enote i, potem pa se je z razvojem teorije vektorskih
prostorov nad poljubnim poljem naravno odprlo vpra  sanje, kaj   ce realna
  stevila nadomestimo s kakim drugim poljem.
Zastavimo si nalogo klasi cirati vse dvorazse  zne enotske algebre nad
poljubnim poljem F! Bazo algebre naj vedno sestavljata enota e in   se en
element u. Potem ima vsaka multiplikacijska tabela take algebre zelo pre-
prosto obliko (glej tabelo 1). Skalarja   in  sta strukturni konstanti in sta
v na  celu   se povsem poljubna, bo pa klasi kacija odvisna ravno od njiju.
89–98 91
i
i
\Cedilnik" | 2022/9/19 | 8:15 | page 92 | #4
i
i
i
i
i
i
Anton Cedilnik
e u
e e u
u u  e +  u
Tabela 1. Dvorazse  zna enotska algebra.
Preprosto je dokazati, da so vse te algebre komutativne in asociativne.
Le kot zanimivost omenimo   se, da za vsak element c= e + u; ( ;  )∈F
2
,
velja kvadrati  cna ena  cba c
2
−T(c)c+N(c)e = 0, kjer sta funkcionala T in
N podana takole: T(c) = 2  +  ;N (c) =   2
+    −  2
  . Dokaz je zelo
preprost: v izpeljavi
0=c
2
−T(c)c+N(c)e
= [  2
e+ 2  u +  2
( e + u )]−T(c)[ e + u ]+N(c)e
= [  2
+  2
  −T(c)  +N(c)]e+[2   +  2
  −T(c)  ]u
morata v zadnjem delu oba koe cienta biti enaka ni  c zaradi linearne ne-
odvisnosti elementov e in u. T je linearen (aditiven in homogen), N pa je
multiplikativen in 2-homogen, tj. za a, b, c iz algebre in skalar   velja:
T(a+b)=T(a)+T(b);
T( c )= T (c);
N(ab)=N(a)N(b);
N( c )=  2
N(c):
Tudi nekak  sno konjugiranje lahko uvedemo:  e + u ∶= (  +   )e− u .
Bralec bo zlahka dokazal naslednje relacije, kjer stac ind elementa algebre,
  pa skalar:
c±d=c±d;  c =  c; cd=cd:
c=c; c+c=T(c)e; cc=N(c)e:
Imejmo   se eno tako algebro, enota naj bo f, drugi element bazev pa naj ima
kvadrat v
2
= f +  v;( ;   ) ∈F
2
.
  Ce sta algebri izomorfni, obstaja izomor-
 zem U z vrednostma U(e) = f;U(u) = xf +yv;(x;y) ∈F
2
. Ker obrnljivi
operator linearno neodvisna elementa preslika spet v linearno neodvisni sliki,
mora biti y ≠ 0: Naredimo tale ra  cun:
(  + x )f + yv =U( e + u )=U(u
2
)
=U(u)
2
= (xf +yv)
2
= (x
2
+ y
2
)f +(2xy+  y
2
)v:
92 Obzornik mat. ﬁz.69 (2022) 3
i
i
\Cedilnik" | 2022/9/19 | 8:15 | page 93 | #5
i
i
i
i
i
i
Variacije na Moivreovo temo
Takoj sledita ena  cbi
  + x =x
2
+ y
2
;  y = 2xy+  y
2
:
Poenostavimo:
  =−x
2
−  xy+ y
2
;   = 2x+  y: (1)
Povzemimo: algebri s paroma strukturnih konstant ( ;  ) in ( ;   ) sta izo-
morfni natanko tedaj, ko obstaja tak par (x;y ≠ 0) ∈F
2
, da sta ena  cbi (1)
izpolnjeni.
Preden nadaljujemo, se spomnimo, kaj je karakteristika polja − ozna  cili
jo bomo s simbolom charF. Recimo, da velja sklep
1
n∈N∧∀  ∈F∶n  = 0 ⇒ n= 0:
Potem je charF= 0. Nasprotno od tega pa obstaja tako najmanj  se naravno
  stevilo n> 0 , da je za vsak  izF veljan  = 0, in tedaj je charF=n. Izka  ze
se   se, da je neni  celna karakteristika nujno pra  stevilo. Ve  c o tem najdemo v
[2, str. 107].
Sistem (1) obravnavajmo najprej v primeru char F ≠ 2. Tedaj je x =
1
2
  −
1
2
  y in
4  +  2
= (4  +  2
)y
2
: (2)
Iz ena  cbe (2) razberemo, da je algebra s poljubnim parom strukturnih kon-
stant ( ;   ) izomorfna algebri s parom (4  +  2
; 0) (izbrali smo y = 2), torej
da smemo predpostavljati   =   = 0. Ena  cba (2) se mo  cno poenostavi:
  = y
2
, problem pa razpade na tri mo  znosti:
•   = 0 in zato tudi   = 0;
•   ni kvadrat in tak je potem tudi   ;
•   je neni  celni kvadrat in potem je lahko   = 1 pri izbiri y =  −1~2
.
Povzemimo te ugotovitve z nekoliko spremenjenimi oznakami!
Izrek 1 (Klasi kacija dvorazse  znih enotskih algeber s karakteristiko ≠2).
  Ce je algebra podana s tabelo 1, je ena od naslednjih tipov:
A. char F≠ 2;  =  = 0.
1
Ali je 0 naravno   stevilo ali ne, je bolj kot ne stvar okusa, saj enotnega mnenja med
matematiki po svetu ni. V tem   clanku velja, da so naravna   stevila pa  c mo  ci kon  cnih
mno  zic. Torej N=Z
+
∪{0} in zato 0∈N.
89–98 93
i
i
\Cedilnik" | 2022/9/19 | 8:15 | page 94 | #6
i
i
i
i
i
i
Anton Cedilnik
B. char F≠ 2;  = 0;  ni kvadrat; dve taki algebri s parametroma   1
in   2
sta izomorfni natanko tedaj, ko je   1
  2
kvadrat.
C. char F≠ 2;  = 0;  = 1.
Opozoriti je treba, da ta klasi kacija dejansko ni popolna, saj je neizomorf-
nih algeber tipa B lahko   se mnogo − v primeru F = Q (polje racionalnih
  stevil) jih je celo neskon  cno. A kaj ve  c se ne da povedati,   ce o obravnava-
nem polju ni  c ne vemo.
Zdaj pa se omejimo na primer char F= 2. Spomnimo na tri nenavadne
posledice take karakteristike: za vsak par ( ;  )∈F
2
je 2  = 0;−  = ; (  +
  )
2
=  2
+  2
.
Sistem (1) se takole poenostavi:
  =x
2
+  xy+ y
2
;   =  y: (3)
  Ce je   = 0, je tudi  = 0.
  Ce pa je   ≠ 0, lahko z izbiroy =  −1
dobimo  = 1.
Problem klasi kacije zato razpade na dva dela:   =   = 0 in   =   = y =
1. Nadaljevanje gre v istem slogu in brez odve  cnih besed napi  simo kon  cni
rezultat.
Izrek 2 (Klasi kacija dvorazse  znih enotskih algeber s karakteristiko 2).
  Ce je algebra podana s tabelo 1, je ena od naslednjih tipov:
D. char F= 2;   =  = 0.
E. char F = 2;   = 0;   ni kvadrat; dve taki algebri s parametroma   1
in
  2
sta izomorfni natanko tedaj, ko je re  sljiva ena  cba   2
= x
2
+  1
y
2
z
neznankama x;y.
F. char F= 2;   = 1;   = 0.
G. charF= 2;   = 1; ∀x∈F∶x
2
+x+  ≠ 0; dve taki algebri s parametroma
  1
in  2
sta izomorfni natanko tedaj, ko je re  sljiva ena  cba   2
=x
2
+x+  1
z neznanko x.
Tudi klasi kacija v izreku 2 ni popolna pri algebrah tipov E in G. Po-
polno klasi kacijo lahko dobimo le,   ce o polju vemo vsaj to, kako je z re  si-
tvami kvadrati  cnih ena  cb.
Klasi kacija realnih algeber zelo preprosto sledi iz izreka 1. Le tri algebre
obstajajo:
A. F=R;   =  = 0:
94 Obzornik mat. ﬁz.69 (2022) 3
i
i
\Cedilnik" | 2022/9/19 | 8:15 | page 95 | #7
i
i
i
i
i
i
Variacije na Moivreovo temo
B. F=R;   = 0;  =−1.
C. F=R;   = 0;  = 1.
Elementom algebre A pravimo dualna   stevila in tistim iz algebre C razcepno-
kompleksna   stevila . Algebra B je pa seveda kar algebra kompleksnih   stevil.
2
Klasi kacija kompleksnih algeber je   se bolj preprosta; samo dve sta:
A. F=C;   =  = 0:
C. F=C;   = 0;   = 1
  Se zadnji primer, tokrat z najmanj  sim poljem Z
2
, ki ima le elementa 0 in 1,
se  stevanje in mno  zenje pa izvajamo po modulu 2:
0+ 0= 1+ 1= 0 0= 0 1= 1 0= 0;
0+ 1= 1+ 0= 1 1= 1:
Potem z uporabo izreka 2 dobimo tole klasi kacijo s tremi kanonskimi alge-
brami:
D. F=Z
2
;   =  = 0:
F. F=Z
2
;   = 1;   = 0.
G. F=Z
2
;   =  = 1.
Tile posebni primeri primaknejo predzadnji kamen  cek h klasi kaciji, namre  c
eksistenco tipov algeber iz izrekov 1 in 2. Le   se eksistenco tipa E bi bilo
treba dokazati, a se bomo temu izognili; izka  ze se namre  c [2, str. 285], da je
polje s karakteristiko 2, ki ima vsaj kak  sen ne-kvadrat, nujno neskon  cno.
Potenciranje v dvorazse  znih enotskih algebrah
  Ce nam je Moivreova formula dana, je dokaz njene pravilnosti − kot smo
videli na za  cetku − dokaj preprost. Podobno je s formulami za potenciranje
v poljubni dvorazse  zni enotski algebri. Zato bomo tu samo navedli vse
formule, skoraj vse dokazovanje pa prepustili marljivemu bralcu.
Povsod naj bo c = e + u ≠ 0;( ;  ) ∈F
2
in n ∈Z. Trivialni potenci v
vseh primerih: c
0
=e;c
1
=c.
A.   = 0∶ c
n
= 0 za n> 1
  ≠ 0∶ c
n
=  n
e+n 
n−1
 u
2
Pedantno povedano: Algebra tipa B je izomorfna realni algebri kompleksnih   stevil.
89–98 95
i
i
\Cedilnik" | 2022/9/19 | 8:15 | page 96 | #8
i
i
i
i
i
i
Anton Cedilnik
B. c
n
=
1
2
      +  √
    n
+    −  √
    n
  e+
1
2
√
        +  √
    n
−    −  √
    n
  u
Formulo razumemo tako, kot da
√
  v resnici obstaja vF; bolj strokovno
pravimo, da ra  cunamo v enostavni korenski raz  siritvi polja F [2, str.
308].
  Ce res izra  cunamo tako potenco za neki konkreten n, v rezultatu
√
  ne nastopa ve  c.
C. c
n
=
1
2
[(  +  )
n
+(  −  )
n
]e+
1
2
[(  +  )
n
−(  −  )
n
]u, v primeru  2
=
  2
le za n≥ 0
D.   = 0∶ c
n
= 0 za n> 1
  ≠ 0∶ c
2n
=  2n
e;c
2n+1
=  2n
( e + u )
E. c
2n
= (  2
+  2
  )
n
e; c
2n+1
= (  2
+  2
  )
n
( e + u )
F. c
n
=  n
e+[  n
+(  +  )
n
]u, v primeru   (  +  )= 0 le za n≥ 0
G.   = 0∶ c
n
=a
n
e
  ≠ 0 ∶ c
n
=   n
([B
n+1
+(  + 1)B
n
]e+B
n
u), kjer je   ∶=    −1
in   ∶=
  2
+  +  . Koe cienti B
n
zado  s  cajo diferen  cni ena  cbi
B
n+2
+B
n+1
+ B
n
= 0; B
0
= 0; B
1
= 1:
Re  sitev tega diferen  cnega problema je (za n> 0):
B
2n
= 1+
n
Q
k=1
   n− int
k+1
2
n−k  +  n− 1− int
k
2
n−k     k
;
B
2n+1
= 1+
n
Q
k=1
  n− int
k+1
2
n−k    k
;B
−n
=  −n
B
n
:
V formulah za tip G nastopa v binomskih simbolih funkcija celi del intx,
ki jo pogosto ozna  cujejo tudi s simbolom   x  . Ta funkcija priredi realnemu
  stevilu x najve  cje celo   stevilo, ki ni ve  cje od x.
  Se tole mimogrede omenimo: koe cienti B
n
zado  s  cajo   se eni zanimivi
identiteti: B
2
n+1
+B
n+1
B
n
+ B
2
n
=  n
. Dokaz je dokaj preprost in tu povejmo
samo, da sledi iz ra  cuna c
n+1
c
−(n+1)
=e.
Formul za tip G doslej   se nisem zasledil nikjer v matemati  cni litera-
turi. Vem pa iz [3], da jih je leta 2014 izpeljal slovenski matematik Marko
Petkov  sek, zato bom te formule imenoval Petkov  skove formule ; glej tudi [4].
Pri tipih B, E in G se vse potence dajo neomejeno izra  cunati, v posebnem
tudi potencac
−1
zac≠ 0, kar pomeni, da v takih algebrah lahko de niramo
deljenje (zato jih tudi imenujemo algebre z deljenjem). Ker so te algebre
asociativne in komutativne in imajo deljenje, so to dejansko polja, raz  siritve
96 Obzornik mat. ﬁz.69 (2022) 3
i
i
\Cedilnik" | 2022/9/19 | 8:15 | page 97 | #9
i
i
i
i
i
i
Variacije na Moivreovo temo
prvotnega polja F v istem smislu, kot je polje C raz  siritev polja R. Iz
a
b
=ab
−1
in formul za potenciranje dobimo za ( ; ; ;  )∈F
4
; e + u ≠ 0:
B.
 e + u
 e + u
=     2
−  2
    −1
[(   −    )e+(   −   )u]
E.
 e + u
 e + u
=     2
+  2
    −1
[(   +    )e+(   +   )u]
G.
 e + u
 e + u
=     2
+   +  2
    −1
[(   +   +    )e+(   +   )u]
Za konec pa   se nekaj besed o dokazovanju formul za potenciranje. Dokazi
se − kot   ze re  ceno − lahko naredijo na na  cin, ki smo ga prikazali v razdelku
Moivreova formula za originalno Moivreovo formulo. No, vsaj pri tipih B, E
in G ni nobene bistvene razlike. Nekoliko ve  c pazljivosti zahtevajo preostali
tipi, ker je treba   se ugotoviti, katere potence sploh obstajajo.
B. Russell, angle  ski matematik in  lozof, je izrekel tole misel: Kdaj
pa kdaj se je dobro vpra  sati o sleherni stvari, ki se vam zdi samoumevna .
Sledimo tej misli in se vpra  sajmo, kaj sploh so potence − ne pozabimo
namre  c, da gre tu za »eksoti  cno okolje « algebre in ne za neko   stevilsko
mno  zico.
Enotski kolobar [2, str. 84] je taka posplo  sitev polja, v kateri ne zahte-
vamo eksistence inverznega elementa za neni  celne elemente in torej deljenje
ni vedno izvedljivo. Pa   se komutativnosti mno  zenja tudi ne zahtevamo ve  c.
Prav lahko je videti, da so vse algebre A − G taki kolobarji.
V kolobarju K z enoto e se potenciranje de nira kot mno  zenje enakih
faktorjev:
∀a∈K ∀n∈N∶a
0
∶=e;a
n+1
∶=aa
n
:
Za te potence veljata osnovna zakona:
∀a∈K ∀(m;n)∈ (N)
2
∶a
m
a
n
=a
m+n
;(a
m
)
n
=a
mn
: (4)
Od tod dalje pa velja splo  sno sprejet dogovor: Ostale potence s celo  stevil-
skimi ali celo racionalnimi eksponenti naj bodo de nirane tako, da zakona
(4) ostaneta veljavna. S popolno indukcijo lahko   se doka  zemo
∀(a;b)∈K
2
∀n∈N∶ [ab=ba⇒ (ab)
n
=a
n
b
n
=b
n
a
n
]: (5)
Glede na to, da je polje realnih   stevil tudi enotski kolobar, je naravno vpra-
  sanje, zakaj v splo  snem kolobarju privzamemo 0
0
= e, pri delu z realnimi
  stevili pa ne. Odgovor je preprost: zahteva 0
0
= 1 povzro  ci nezveznost
potenciranja,   cemur se pa radi izognemo. Primer: Za funkcijo
f(x)∶=   (lnSxS)
−1
ln 2 x≠ 0
0 x= 0
(6)
89–98 97
i
i
\Cedilnik" | 2022/9/19 | 8:15 | page 98 | #10
i
i
i
i
i
i
Anton Cedilnik
velja
lim
x→0
SxS
f(x)
= 2≠ 1= S0S
f(0)
Pri delu s   stevilskimi kolobarji zato 0
0
pustimo nede niran.
Pomemben argument za smiselnost ena  cbe 0
0
=e je naslednji. V kolo-
barju lahko obstaja kak  sen nilpotent, torej tak r ∈ K, da je r ≠ 0 = r
k
za
nekik ∈Z
+
(v algebrah tipov A in D jeu tak element). Potem mora veljati:
e=r
0
=r
0⋅k
= (r
k
)
0
= 0
0
. Element 0 pa v nobenem kolobarju ne more imeti
negativnega eksponenta, ker bi to vodilo v protislovje: 0 = 0 0
−1
= 0
1
0
−1
=
0
1−1
= 0
0
=e:
Potence neni  celnega elementa z negativnimi eksponenti so najtesneje
povezane z inverznim elementom: a
−1
je de niran z identiteto aa
−1
=a
−1
a=
e. Ti ena  cbi na splo  sno nista re  sljivi in tak element potem nima potenc
z negativnimi eksponenti.
  Ce pa re  sitev obstaja, je ena sama, ker   ce bi
obstajali dve re  sitvi a
−1
= b in a
−1
= c, bi sledilo: b = eb = (ca)b = c(ab) =
ce=c
Druge potence z negativnimi eksponenti so de nirane z identiteto a
−n
=
(a
−1
)
n
. Zaradi lastnosti (5) je a
−n
a
n
= (a
−1
)
n
a
n
= a
n
(a
−1
)
n
= a
n
a
−n
in
(a
−1
)
n
a
n
= (a
−1
a)
n
= e
n
= e, zato a
−n
= (a
n
)
−1
, kar potrjuje, da so take
potence dobro de nirane.
Kot primer dokazujmo formulo za potenciranje v algebri tipa C. Ozna-
  cimo p =
1
2
(e+u) in q =
1
2
(e−u). p in q sta linearno neodvisna in sta
idempotenta: p
2
=p, q
2
=q, pa   se pq = 0 in  e + u = (  +  )p+ (  −  )q.
Mimogrede: prav tale zadnja dekompozicija je vzrok, da elementom algebre
tipa C nad realnimi   stevili re  cemo razcepno-kompleksna   stevila.
S popolno indukcijo doka  zemo, da je ( p +"q)
n
=  n
p+"
n
q za vsako celo
  stevilo n. Seveda mora v primeru n< 0 biti   ≠ 0≠".
Elementi oblike  p ali "q pa ne morejo imeti negativnih eksponentov.
Kot primer re  sujmo ena  cbo za inverz elementa p. Obstajati morata taka
skalarja x;y, da je pp
−1
= p(xp+yq) = e = p+q. Sledi: xp = p+q, kar pa
zaradi linearne neodvisnosti p in q ni mogo  ce.
LITERATURA
[1] M. Petkov  sek in H. Zakraj  sek, Solving linear recurrence equations with polynomial co-
e cients, Computer algebra in quantum  eld theory , Texts Monogr. Symbol. Comput.,
Springer, Vienna, 259{284, 2013.
[2] I. Vidav, Algebra, Mladinska knjiga, Ljubljana 1972.
[3] Osebni kontakt.
[4] Split-complex/number, dostopno na en.wikipedia.org/wiki/Split-complex\
_number, ogled 2. 9. 2022.
98 Obzornik mat. ﬁz.69 (2022) 3