     
P 48 (2020/2021) 44
Kocka Soma
N R
Kocko Soma je iznašel Piet Hein (1905–1996), ko
je študiral naravoslovje. Leta 1936 je poslušal pre-
davanja Wernerja Heisenberga o kvantni mehaniki.
Ker je predavatelj govoril o delitvi prostora na koc-
ke, je začel iz enotskih kock sestavljati telesa. Ime-
novali jih bomo gradniki. Odločil se je, da bodo
imeli gradniki le tri ali štiri enotske kocke in da
med njimi ne bo kvadrov. Takih gradnikov, ki
imajo štiri enotske kocke, je šest, s tremi pa je
eden. Ko je imel gradnike, jih je začel sestavljati.
Ugotovil je, da lahko iz teh sedmih gradnikov se-
stavi kocko. Imenoval jo je kocka Soma. Hein se je
kasneje uveljavil kot literat, izumitelj in še kaj.
V Preseku so kocko Soma že omenjali [1]. Tokrat
se bomo posvetili možnim legam gradnikov pri se-
stavljanju kocke in načinom zapisovanja leg. Dodali
bomo še primer telesa, ki ga lahko zložimo iz teh
gradnikov.
Igra je bila prvič objavljena leta 1958 v reviji Sci-
entific American, vendar ni vzbudila splošnega zani-
manja. Priljubljena je postala šele, ko je o njej v isti
reviji julija 1969, v rubriki Mathematical Games, pi-
sal Martin Gardner [2]. Kasneje je o tem objavil še
več člankov.
Iz omenjenih gradnikov lahko sestavimo kocko na
240 različnih načinov, kar so šele v osemdesetih le-
tih prejšnjega stoletja dokazali Christoph Peter-Orth,
Jon Brunvoll s skupino avtorjev in mnogi drugi. Pri
tem iskanju in zapisovanju rešitev so si pomagali z
računalniki.
Na sliki 1 je fotografija gradnikov kocke Soma.
Gradnike si lahki predstavimo tudi s programom Ge-
ogebra. Pri sestavljanju se morajo gradniki med se-
boj dotikati po celih ploskvah enotskih kock. Gra-
dnike lahko izdelate sami iz lesenih kock ali iz pa-
pirja. Navodila za papirnate gradnike najdete na
spletu, če v iskalnik vtipkate Origami sonobe Soma
cube. Če imate 3D tiskalnik, pa jih natisnite.
Oznake gradnikov in njihove možne lege
Najprej gradnike označimo s številkami od 1 do 7,
kakor kaže slika 1. Opazimo, da sta gradnika 5 in
6 zrcalno simetrična. Gradnik 1 sestavljajo tri enot-
ske kocke, vse ostale gradnike pa štiri enotske kocke,
skupaj torej 27 enotskih kock, kar je ravno prostor-
nina kocke z robom tri enote. Različni avtorji bar-
vajo gradnike različno, poleg tega nekateri gradnike
označujejo s črkami V, L, T, Z, A, B in P.
SLIKA 1.
Sedem gradnikov, sestavljenih iz enotskih kock.
     
P 48 (2020/2021) 4 5
Kam lahko postavimo posamezni gradnik? Gra-
dnik 1, 4, 5, 6 in 7 lahko postavimo tako, da pokrijejo
en vogal ali pa nobenega (slika 2).
SLIKA 2.
Zgoraj. Gradniki 1, 4, 5, 6 in 7 ne pokrivajo vogalov sestavljene
kocke. Spodaj. Tloris gradnikov v legi, ko ne pokrivajo vogalov
kocke.
Gradnik 2 lahko pokrije nič, enega ali dva vogala.
Gradnik 3 (zaradi boljše vidljivosti je na skicah te-
mno rjave barve namesto barve lesa) pa lahko po-
krije dva vogala ali pa nobenega (slika 3).
Kako začeti?
Nekateri avtorji predlagajo, da začnemo z naslednjo
nalogo. Iz samo dveh gradnikov sestavite skulpturo
na sliki 4. Katere pare gradnikov lahko uporabimo?
Odgovor: (2,5) ali (2,8). Poskusite.
Sestavljamo kocko
Za sestavljanje kocke sta torej najpomembnejši legi
gradnikov 2 in 3. Imamo naslednje možnosti:
Gradnika 2 in 3 pokrijeta po dva vogala, ostane še
pet gradnikov, od katerih eden ne sme pokrivati
vogala (primer uravnotežene kocke).
Gradnik 2 pokrije dva vogala, gradnik 3 nobenega,
ostalih pet gradnikov pa ne more pokriti šest vo-
galov, zato na ta način ne moremo sestaviti kocke,
saj nimamo pokritih vseh osem vogalov.
Gradnik 3 pokrije dva vogala, gradnik 2 pokrije en
vogal, potem mora ostalih pet gradnikov pokriti
vsak po en vogal. Kako v tem primeru sestavimo
kocko, pa opišimo v naslednjem primeru.
SLIKA 3.
Gradnik 2 pokriva nǐc, dva ali en vogal, gradnik 3 pokriva dva
vogala ali nobenega.
SLIKA 4.
Iz samo dveh gradnikov sestavite to skulpturo.
     
P 48 (2020/2021) 46
Gradnik 3 pokrije dva vogala, vsi ostali gradniki
pa po en vogal
Poskušajmo zapisati, kako sestavimo kocko. Dogo-
vorimo se, da bomo sestavljena telesa opisovali po
plasteh, nekako tako, kot so npr. po plasteh predsta-
vljeni načrti za sestavljanje Lego kock.
Za primer vzemimo, da iz gradnikov sestavimo
kocko, ki ji rečejo tudi uravnotežena kocka, to pa
zato, ker jo lahko podpremo z enim samim prstom
na sredini spodnje osnovne ploskve, pa se ne sesuje
na sestavne dele.
Spodnja plast
2 4 6
4 4 6
4 5 3
Srednja plast
2 6 6
5 5 3
7 5 3
Zgornja plast
2 2 1
7 1 1
7 7 3
Kako smo iz gradnikov sestavili kocko, kaže slika
5. Oglejmo si najprej spodnjo plast. Sestavlja jo ena
od enotskih kock gradnikov 2, 3 in 5, dve enotski
kocki gradnika 6 in gradnik 4. Kako to zapišemo? V
prvi vrstici prvega stolpca tabele je vpisana številka
gradnika, katerega enotska kocka je v najnižji plasti
zgoraj levo, to je enotska kocka rumenega gradnika,
ki ima številko 2. V drugem stolpcu prve vrstice je
zapisana številka gradnika, katerega enotska kocka
je v najnižji plasti v zgornji vrstici na sredini, to je
enotska kocka rdečega gradnika, ki ima številko 4, in
tako naprej, vrstico za vrstico in plast za plastjo.
Sprva so mislili, da je možno sestaviti uravnote-
ženo kocko na en sam način, potem pa je Stuart Col-
lins leta 1998 ugotovil, da je takih možnosti več. Sle-
dil je plaz in z leti so dodajali nove rešitve za uravno-
teženo kocko. Leta 2012 je Hartwig Beusch zapisal
27 načinov sestavljanja uravnotežene kocke, pri če-
mer niso vštete zrcalne ali rotacijske simetrije.
Literatura
[1] F. Savnik, Pozabljeno med vsakdanjostmi, Pre-
sek, 33 (2005/2006), 7–9, DMFA – založništvo,
Ljubljana.
[2] M. Gardner, The 2nd Scientific American book
of mathematical puzzles & diversions, Univer-
sity of Chicago Press, Chicago, 65–77, 1987.
SLIKA 5.
Prva slika. Le gradnik 4 leži (ves) v prvi plasti, ostale gradnike
vidimo v prerezu. Druga in tretja slika. Sestavljanje kocke iz
gradnikov.
[3] Soma cubes, dostopno na www.
mathematische-basteleien.de/somacube.
htm, ogled 18. 1. 2021.
ˆ ˆ ˆ