KRATKOCASNE VŽiGALICE
67. Sestavi tri kvadrate iz 10 vžigalic, nato še iz 11, 12, 13, ... Vsakokrat mo-
raš, kot smo domenjeni , porabiti vse vžigalice, kvadrati pa so lahko raz-
lično veliki!
68. Položi na mizo v ravni vrsti osem
vžigalic:
Prestavljaj po eno vžigalico na
levo ali na desno, in sicer vedno
čez dve vžigalici na tretjo, tako
da dobiš 4 pare prekrižanih vži-
galic .
Par prekrižanih vžigalic šteje se-
veda dve vžigalici. Dokaži, da je
8 najmanjše število vžigalic, za
katero je igra sploh mogoča!
Kako najlaže ugotoviš, kako mo-
raš prestavljati vžigalice?
69. Položi na mizo v ravni vrsti 12
vžigalic! Prenašaj po eno vžigali-
co čez tri vžigalice na četrto, da
dobiš 4 trojice prekrižanih vži-
galic;
Dokaži, da je 12 najmanjše števi-
lo vžigalic, za katero je igra sploh
mogoča!
****
70 . Poskusimo nalogi 68 in 69 po-
splošiti I Najmanj koliko vžiqa-
lic moraš imeti, da jih lahko pre-
urediš v nekaj skupin po n vži-
galic, tako da prenašaš po eno
vžigalico čez n vžigalic na
naslednjo, na levo ali desno
stran?
71. Sestavi vzorec, v katerem bo 30
kvadratov! Kolikšno je najmanj -
še število vžigalic, ki jih moraš
vzeti iz vzorca, da v njem ne bo
več nobenega kvadrata?
~ ~
r ~
~ ~
r ~- -
72. (Besedilo glej na str. 191)
V tretji številki devetega letn ika smo začeli
po delih objevljati to zbirko nalog, ki jo je
za Presek napisal Roman Rojko. Naloge
bomo objavljali tudi v prihodnjih številkah
Preseka.
PRESEK list za mlade matamatike, fizike, astronama in računalnikarje
16 letnik,leto 1988/89, številka 3, strani 129 - 192
VSEBINA
188
186
137
152
168
170
164
141
146
149
1,130
132
138
140
Šahovski kralj izbira vzorec (Marko Razpet)
Jojo (Janez Strnad) .• .. •.. .. . . .. . .
Opazuj šestzvezdje (Marijan Pros'n) .
Turingova nagrada (Sandi Klavžar) . .. .. .•
Srečanjemladih raziskovalcev (Pavla Ranzinger,
Marija Vencelj, Anton Moljk) . . . . . o • •• •
Profesor Ivan V idav - častni član slovenskega društva
matematikov, fizikov in astronomov (Peter Legiša) . .
Gardner M., Ahal Pa te imam (Zvonimir Bohte) ..• .
Strnad J o, Iz take so snovi kot sanje
(Norma Mankoč - Borštnik) .. . . . • . . . . . .. . .. . 150
Naše nebo in Zemlja 1989 o • • • • • 163
Šahovski kralj izbira vzorec na zaslonu (Marko Razpet) 152
Želva gre na sprehod (Matija Lokar) . o • • o • • • • • 154
O igri petnajst in permutacijah (Sandi Klavžar) 159
32 . republiško tekmovanje srednješolcev iz matematike
(Angelca Jaklič) .
19. zvezno tekmovanje osnovnošolcev iz matematike
-t' -4Aleksamtar.turišicl--
Rešitve str. 184 (Aleksander Potočnik) .... • .
26. republiško tekmovanje srednješolcev iz fizike
(Iztok Kukman) . . o •• • ••••• " . o •• o •• •
3. republiško tekmovanje iz računalništva za osnovnošolce
(Ivan Gerll čl 176
Naloge bralcev - Rešitev str. 189 (Drago ljub M. Miloševič,
prev . Peter Petek) o •• •• • • • • •
Matematični krožek - Rešitev str. 190 (Boris Lavrič)
4. šolsko tekmovanje iz matematike za srednješolce -
Rešitve iz P-1, str o 48 (Darjo Feldal .
Odgovor na nagradno vprašanje iz P-IV /5. str . 265
(Boris Lavrič) . .. . .. . . .. . . . .• . . . . . ..
Slikovna križanka Področja Preseka - rešitev iz P-2
(Bruno Gričar) . . . . . . . . . . . . • . . • . . . . . . . 189
Brez besed - Rešitev str . 152 (Boris Lavrič) 148
ANEKDOTA - Einstein (Iz Biltena rep. tekm. iz fizike) 158
KRIŽANKA - Častni član društva (Marko Bokalič) '" 183
Kratkočasne vžigalice - Rešitev str . 191 (Roman Rojko) . 11
Šahovski kralj je izbral naslovnico - glej članek na str . 130. I
Ponatisi knjig iz Knjižnice Sigma " o • • • • • • • • • • • IV
(Foto Marjan Smerke)
NA OVITKU
RAZVEDRILO
REŠiTVE NALOG
NALOGE
RAČUNALNiŠTVO
TEKMOVANJA
NOVE KNJIGE
MATEMATIKA
FIZIKA
ASTRONOMIJA
NOVICE
."
129
, , ', . . ,,'.')'" , .
, . .~. '. . .
--;/.. rlRTErlRTIKR
SAHOVSKI KRALJ IZBIRA VZOREC
V šesti številki lanskega Preseka smo govorili o šahovskem kralju z omejeno
svobodo gibanja. Kraljevo sprehajanje po šahovnici z osnovnico, ki šteje n kva-
dratov, je kar dvakrat omejeno: kralj ima na razpolago le polja pod diagonalo in
na njej (slika 1), če se more, pa se lahko premakne le v treh dovoljenih smereh:
(x, y) -+ (x + 1, yI, (x, y) -+ (x, y+ 1), (x, y) -+ (x + 1, y+ 1)
Spraševali smo se po številu q(x, y) različnih poti, po katerih lahko pride
kralj s polja (O, O) na polje (x, y). Pri tem je O~ y ~ x. Če je y> x, je seveda
q(x, y) = O. Posebej vzemimo q(O, O) = 1. Potem je očitno q(x, O) = 1 za vsak
x ~ O. S preprostim premislekom smo ugotovili, da lahko števila q(x, yI izra-
čunamo samo s seštevanjem po formuli: .
q(x, yI = q(x - 1, yI + q(x, y - 11+ q(x - 1, y - 11, 1 ~ y ~ x (1I
Po tej formuli dobimo najprej števila q(x, 1I za x ~ 1, nato q(x, 21 za x ~2 in
tako naprej. Na ta način lahko tvorimo poljubno velik trikotnik števil q(x, yI.
Na vsako polje (x, yI napišemo ustrezno število q(x, y). Tvorba števil je jasna:
v spodnjo vrsto vpišemo same enice, nato pa seštevamo z leve proti desni po
tri, kakor je označeno na sliki 1. Na prvi pogled opazimo, da števila q( x,yl
y=o
-
y =4 9O
y=3 22 68
..-.-:..
y=2 6 1'9 30
y=1 2 4 Hi& \§
I 1 1 1 1 1
x=o x t: 1 x=2 x=3 x=4
y=o
ro---
y=4 O
y=3 1 2
y=2 O 1 O
y=1 2 1 O 2
I 1 1 1 1 1
x=O x=1 x=2 x=3 x=4
Slika 1 Slika 2
hitro naraščajo, če povečujemo števili x in y. Razen v začetni vrstici imamo
povsod drugje sama soda števila. Zato se je smiselno vprašati, kje so števila
130
q(x, yI. ki so deljiva s kakšn im številom p, p ~ 3. Najzan imivejši so primeri , ko
je IJ praštev ilo.
Pretežko bi bilo odgovoriti na vprašanje, ali je na pr imer štev ilo
q (3535 , 2525) deljivo s številom p = 17. Pač pa lahko sesta vimo tabelo ostan-
kov pri de ljenju šte vil q ix, y) s štev ilom p. Tako kot smo sestavili prejšnjo tabe-
lo, naredimo novo po formuli (1), čim pa vsota preseže p, odštejemo od nje
to likokrat p , da dobimo rezultat med O in p - 1. Za p =3 pa dob imo sliko
2 . Če je na mestu (x , y ) število O, potem je število q(x, y) deljivo sp.
Na prvi pogled to ni nič posebnega, to pa zato, ker je številski trikotnik na
sliki 2 premajhen. Toda z računalnikom si lahko privoščimo precej večji tri-
kotn ik. Napisati je treba program, ki nariše točko (x, yI. če je število q(x, y)
deljivo s p , sicer pa naj ne nariše ničesar. Na ta način dobimo zanimive vzorce .
Za p = 3, O ~ x ~ 250, O~ y ~ x dobimo na primer (temnim področjem
ust rezajo števila q (x, y), ki so del jiva s 3) :
Slika 3
Podobno lahko sestavimo sliko deljivosti števil q(x, y) tud i za druga števila.
Prav tako bi lahko raziskovali Pascalov in Stirlingov, pa morda še kakšen števil-
ski trikotnik. Prva dva sta obširno obdelana v članku Marte Sved: Divisibility-
With Visibility. Objavljen je v reviji The Mathematical Intelligencer, letnik 10
(1988) , številka 2.
Naš šahovski kralj je bil celo tako prijazen, da je sodeloval pri izbiri naslov-
ne strani ovitka . Za p = 7 smo dobili spodnji, za p =5 pa zgornji trikotnik. Pri
tem je spodnji rob osnovnica spodnjega, zgornji rob pa osnovnica zgornjega
trikotnika, tako da je najbolje, da pri gledanju zgornjega Presek obrnete.
Marko Razpet
131
1."-'-1'/o,-,L ""
JOJO
Le kdo ne pozna igrače jojo (slika 1)7 Vrvico navijemo na vreteno med kole-
soma iz lesa ali iz kake druge snovi. Nato krajišče vrvice držimo v roki in jojo
spustimo z vretenom v vodoravni legi. . Jojo sespusti in zopet dvigne skoraj do
enake višine. Igra se ponavlja, dokler jojo ne obmiruje. Po tem spominja jojo na
žogo, ki odskakuje od tal do vse manjše višine. Ne samo, da je jojo počasnejši
kot žoga; kar smo rekli, velja le, če roka, s katero držimo vrvico, miruje. Z gi-
banjem roke lahko dosežemo, da sejojo giblje zelo zapleteno.
Jojo ni edina igrača, katere delovanje lahko pojasnimo s fiziko . V času, v
katerem očitajo fiziki , da se vse bolj oddaljuje od vsakdanjega življenja, utegne
biti razpravljanje o jojoju prav osvežilno . Toda v fiziki vsakdanjega življenja in
v fiziki igrač postanejo pojavi hitro preveč zapleteni.
Preden se lotimo gibanja jojoja, povejmo nekaj iz njegove zgodovine. Z
njim so se igrali vsaj že v stari Grčiji pred okoli dva tisoč leti (slika 2). Poznali
pa so ga tudi na Kitajskem. Od tam so ga v 18. stoletju zanesli najprej v Anglijo,
nato v Francijo in Nemčijo. Tedanji jojoji iz stekla ali slonovine so bili precej
dragoceni.
Ime jojo je skoval v prijavi patentnemu uradu ameriški poslovnež šele leta
1930. V sodelovanju z lastnikom časopisov je tedaj povzročil največjo jojojev-
sko mrzlico vseh časov. Časopisi so vsiljivo vabili na tekmovanja z jojojem; na
tekmovanje pa se je lahko prijavil samo tisti, ki je pridobil tri nove časopisne
naročnike. Poročajo, da so leta 1931 v tridesetih dneh v Philadelphii prodali
kar tri milijone jojojev. Dandanes je mogoče kupiti jojo kot dokaj ceneno otro-
ško igračo, nekatera podjetja pa jojoje z znamenji svojih izdelkov delijo v
reklamne namene. Današnji jojoji so navadno iz lesa ali iz plastične snovi.
-
Slika 1. Jojoji iz zbirke
profesorja W. BUrgerja. Iz
njegovih člankov Das
Jaja - ein physikalisches
Spielzeug, Physikalische
Blatter 39 (1983) 401 in
The Yo-yo: A toy
f1ywheel, American
Scientist 72 (1984) 137
so prevzete slike tega
prispevka.
132
Slika 2. Jojo na antični g~ki posodi (okoli
leta 450 pred našim štetjem).
Slika 3. Jojo s tanko vrvico Ia). Maxwello-
vo kolo lahko obravnavamo kot jojo s
tanko vrvico (b),
a)
b)
Najlaže je obravnavati jaja, če ima tako tanko vrvico, da lahko zanemari-
ma njeno debelina (slika 3). Tedaj lahko privzamemo, da sevrvica ves čas navi-
ja na vreteno z enako debelina, na katero je pritjena, ali se z njega odvija.
Najglobljo točko doseže jaja, ko se odvije vsa vrvica. V bližini najnižje
točke preide vrvica z ene strani vretena na drugo, ko se jaja preneha spuščati in
se začne dvigati (slika 4). To sezgodi tako hitro - v nekaj stotinkah sekunde -
da lahko obravnavamo pojav kot trk, podobno kot odboj žogeod tal.
Nekoliko bolj zapleteno je obvladati jaja z debelo vrvico. Upoštevati mo-
ramo, da se vrvica pri dvigovanju [ojoja navija na vreteno, na katerem je je
navite čedalje več (slika 5). Tako z dvigovanjem narašča navidezna debelina
vretena. Tudi v tem primeru je hitrost v najvišji točki enaka nič in v najnižji
največja, in to enaka kot pri enakem [ojoju z enako dolgo tanko vrvico. V vme-
snih točkah pa je hitrost jojaja z debelo vrvico večja, zato pride ta hitreje iz
najvišje točke v najnižjo in spet nazaj v najvišjo.
Novejši [ojo]] nimajo vrvice pritrjene na vreteno, ampak imajo okoli vrete-
na navito zanko (slika 6). Zaradi tega se jaja v najnižji točki vrti, ne da bi se
133
Slika 4. Gibanje jojoja v bl ižini naJnlzJe
točke lahko obravnavamo kot trk. (zgoraj)
Slika 5. Jojo z debelo vrvico. (desno zgoraj)
Slika 6. Novejši jojo z zanko. (desno)
Slika 7. "Jomega, jojo z možgani." (spodaj)
134
spuščal ali dvigal. V tej točki jojo "spi" - je "len". "Zbudimo" ga tako, da se
udarimo po roki ali hitro sunemo z roko navzgor, in s tem povečamo trenje
med vrvico in vretenom. Zanka tedaj neha drseti po vretenu, se navije nanj in
jojo se začne dvigati enako kot navadni jojo. Tako ima izkušen igralec več
možnosti pri izbiri gibanja jojoja. Ker ni lahko z nenadnim gibom roke "zbudi-
ti" jojo, so si zamislili leni jojo s centrifugalno sklopko. Pod imenom jo mega ga
prodajajo v ZDA za okoli 10 dolarjev (slika 7). Vrvica je pritrjena na zunanji
del ležaja, v katerem se vrti vreteno v najnižji točki. Dokler se jojo hitro vrti, je
torej sklopka odprta. Ko postane vrtenje dovolj počasno, se sklopka zapre,
prepreči vrtenje vretena v ležaju in jojo se začne dvigati.
To še ni vse. Patentni uradi dobivajo nove prijave. Poleg jojoja s trakom
namesto vrvice so začeli izdelovati še druge, bolj zapletene vrste. Razmišljanje
o jojoju ni samo igračkanje, saj so jojoju podobno napravo uporabili pri evrop-
skih umetnih satelitih ESRO I in ESRO II. Raketa, ki je dvignila satelit, se je
zavrtela stokrat v minuti. To je bilo za satelit sam preveč, ta naj bi se zavrtel
samo dvajsetkrat v minuti. Po ločitvi od rakete so zadnjo stopnjo zavrli z
napravo podobno jojoju. Okoli nje sta bili naviti vrvici s telesoma na krajiščih.
Satelit se je začel vrteti počasneje, ko sta se vrvici odvili in telesi odleteli v
vesolje.
Izkušeni igralci z jojojem se ravnajo po občutku. Glavni podatek zanje je
napetost vrvice. Jojoju dovajajo energijo tako, da roko pospešeno premikajo
navzgor, ko se jojo spušča, in navzdol, ko se jojo dviga. Pri tem zmorejo vrago-
lije, ki jim celo z zapletenimi računi ni lahko slediti (slika 8).
***
Pospremimo prejšnje razmišljanje z nekaj enačbami. Izhajamo od izreka o
kinetični in potencialni energiji. Če zanemarimo trenje in upor, ne opravlja dela
nobena zunanja sila razen teže. Zato je vsota kinetične in potencialne energije
konstantna. Če spustimo jojo, ko miruje, vzamemo, da je vsota kinetične in
potencialne energije enaka nič:
.!. mv 2 + .!. J w2 - mgz = O
2 2
Pri tem v potencialni energiji - mgz merimo globino z > O navpično navzdol.
t mv 2 je translacijska kinetična energija, v kateri je m masa jojoja in v hitrost
njegovega težišča. t Jw2 je vrtiIna kinetična energija, v kateri je J vztrajnostni
moment jojoja okoli osi vretena in w kotna hitrost okoli te osi.
Najprej obdelajmo jojo s tanko vrvico z vretenom s konstantnim radijem
ro. Hitrost težišča določa enačba v = car«. Dobimo jo, ko upoštevamo, da se
135
vrvica odvije za obseg vretena, ko se vreteno enkrat zavrti : v =2rrro /to. Pri tem
je to čas enega vrtljaja in w =2 rr/to kotna hitrost.
Iz zapisanih enačb sledi preprosta zveza med hitrostjo težišča in globino
~ =2gzl(1 +J/mr02)
Enačba se le po dodatku v imenovalcu loči od zveze med hitrostjo in globino
pri prostem padanju. Težišče jojoja se spušča ali dviga s pospeškom
g/(1 +J/mr021. ki je manjši od pospeška prostega padanjag.
Najglobjo točko doseže [o]o, ko se odvije vsavrvica z dolžino I in je z = I. V
tej točki se gibanje težišča sunkovito obrne. Pri tem debelina vrvice ni po-
membna.
Pač pa je treba pri jojoju z debelo vrvico upoštevati debelino vrvice pr i
dvigovanju iz najnižje lege. Razmik med kolesoma je navadno precej večji od
širine vrvice, zato moramo vpeljati efektivno debelino vrvice d. Dob imo jo ta -
ko. da ploščino efektivnega osnega preseka vrvice Id izenačimo s ploščino kolo-
barja med vretenom z radijem ro in največjim krogom. ki ga pokrije vrvica, z
radijem rl ' Velja torej Id =rrrl 2 - rrro2. S tem postane efektivna debelina vre-
tena r odvisna od globine . V najnižji točki velja enačba rrr =rrro 2 in je r =ro,
v najvišji točki enačba rrr = rrro 2 + Id in je r = r l . vmes, v globini z. pa
enačba nr" =rrr0 2 +d(J-z) injer=Jrl2 -zd/rr 'slika 10) .
Slika 8. Figura z jojojem, znana kot " ne-
beška raketa".
,..".-------
;,tI" .................
/" ........
I
Slika 10. Efektivni rad ij vretena r in
efektivna debelina vrvice d.
136
Za jaja z debelo vrvico velja tedaj enačba
v2 = 2gzj(1 + Jim?)
Slika 9. Odvisnost hit rosti
od globine za jaja s tanko
vrvico (sklenjeno) in za ja-
j a z debelo vrvico [ č rtka­
no) . Sklenjena krivul ja je
parabola
v = .J 2gz/( , -+-Jlmf1).
č rtkana kr ivulja je precej
bolj zapletena.
T
!
1
rft:\\iJc~.~
11
d
I
!
-1 ro i-
Upoštevati je potrebno spremenljivi radij vretena r. V zapleteno računanje se ne
moremo spuščati. zato raje premis limo. Hitrost težišča je v najvišji točki enaka
ni č , ker je globina enaka nič. To velja za jaja s tanko vrvico in za jaja z
debelo vrvico. Hitrost težišča je enaka za obe vrsti [ojoja tudi v najnižji točki ,
saj je tedaj r = ro. V vmesnih točkah pa je hitrost jojaja z debelo vrvico večja
od hitrosti jojoja s tanko vrvico. Jaja z debelo vrvico torej v krajšem času pride
iz najvišje točke v najnižjo kot jaja s tanko vrvico, če ima sicer enake lastnosti
(slika 9). Pospešek pri jojoju z debelo vrvico najprej močno naraste, pade na
n ič in je naposled celo negativen, ne ostane pa konstanten kot pri [ojoju s
tanko vrvico.
Janez Strnad
NALOGE BRALCEV
1. Kako bomo z dvema loncema, šestlitrskim in osemlitrskim, zajeli iz reke
1 liter vode?
2. Kako je sestavljena tabela števil? Katero število še manjka?
7 7 1
6 2 Dragoljub M. Miloševi6
5 125 3 Prev. Peter Petek
4 256 4
137
OPAZUJ 5ESTZVEZDJE
V jasnih zimsk ih večerih in nočeh lahko občuduješ lepoto zvezdnega neba . Če
t e lepote še nisi opazoval, to stori č im p rej. Predno pa greš na sveži zrak, se
toplo obleci, sicer te bo mraz kmalu prisilil, da boš z opazovanjem prenehal.
Poglejm o pr vo sliko . Prikazuje značilna zimska ozvezdja, kot jih vidiš sredi
decembra oko li polnoči, januarja in februarja pa v večernih urah. V sliko smo
vrisali nek aj vesoljskih obj ektov, ki so zanimivi za opazovanje z daljnogledom .
Od teh se nek oliko pobliže seznanimo z zvezdo Kestor, drugo najsvetlejšo zve-
zdo v ozv ezdju Dvojčkov. Dobro si vtisni v spom in sliko zimskih ozvezdij, po-
sebno pa oz vezdja Dvojčkov, da boš to zvezdo zn al hitro in brez težav izslediti
na ne bu .
S prostim očesom vid iš zvezdo Kastor kot enojna. Če pa jo pogledaš z
lO-centimetrskim daljnogledom, jo vid iš dvojno. Dvojna zvezda je tak sestav
dveh zvezd, v katerem krožita zvezdi za radi medsebojne privlačnosti druga
oko li dru ge, kot na primer pleš eta plesalec in plesalka. Takih zvezd je v vesolju
mn ogo. Skoraj vsaka druga ali tretja zvezda je dvojna . Zvezdi, ki sestavljata
Kast or r se gib ljet a druga okoli druge v razdalji okoli sto astronomskih enot, to
Sl ika 1. Značilna ozvezdja, ki jih
opazuješ sredi zim e v večernih urah. Z
daljnogledom lahko opazuješ naslednje
vesoljske objekte : M 35, M 36, M 37 ,
M 38 , M 41 - razsute ali odprte zvezdne
kopice; M 42 - Orionova meglica , v odli-
čnih opazovalnih razmerah vidna celo s
prostim očesom; a Dvojčkov (Kastorl -
t rizvezdje (sicer šestzvezdje}, kotni razmik
med notranjima dvema spekt raino dvojn i-
ma zvezdama 2", oddal jenost 45 svet lo -
b nih let . Glej še knjižico Preseko va z ve-
zdna karta, Presekova knji žnica 8, 1981.
(desno)
Sli ka 2. Zgradba zvezde Kastor - shema.
Sestavljajo jo t ri spekt raino dvojn e zvezde.
Notranj a para zvezd op azujemo s prosti-
mi očm i kot eno zvezd o, z 8 do 1Q-cent i-
met rskim daljnogledom pa kot dvo j no
zvezdo; a.e. pomeni ok rajšavo za astro-
nomsko enoto, k i meri 150 .10 6 km.
138
-
je sto razdalj med Zemljo in Soncem , druga drugo pa obkrožita približno v
500 letih . Natančne raziskave so pokazale, da je vsaka izmed teh zvezd spet
dvojna; zvezdi v tem paru krožita druga okoli d ruge v razdalji komaj nekaj sto-
tink astronomske enote in se obkrožita le v nekaj dneh. Gre torej za tesne
dvojne zvezde, ki pa jih ti s svojim daljnogledom ne moreš odkriti. Da pa so
take zvezde res v vesolju, astronomi odkrijejo s posebnimi daljnogiedi. Z njimi
fotografirajo spektre zvezd in jih natančno pregledajo. Dve zvezdi, ki sta zelo
blizu skupaj, od Zemlje pa sta zelo oddaljeni, dajeta namreč dva spektra. Ta
fotografirajo in tako odkrijejo sestave dveh zvezd, ki jih prav zato imenujemo
spektra/no dvojne zvezde.
Posebno zanimivo za zvezdo Kastor je še, da ni sestavljena samo iz dveh
spektroskopskih zvezd, torej ni le štirizvezdje, pač pa kar šestzvezdje (slika 2).
Vključuje namreč še tretjo spektraino dvojno zvezdo, ki kroži okrog težišča
prvih dveh spektroskopskih zvezd v razdalji okoli tisoč astronomskih enot.
Marijan Prosen 139
TURINGOVA NAGRADA
Vsi prav gotovo poznate Nobelovo nagrado. Od 1901 jo podeljujejo za fiziko ,
kemijo, medicino, literaturo in mir, od leta 1969 pa tudi za dosežke vekonomi-
ji. Ste se že vprašali , zakaj ne obstaja Nobelova nagrada za matematiko? Pravijo ,
da je razlog povsem preprost . Ustanovitelj nagrade, A . Nobel (1833 - 1896),
naj bi namreč imel zasebne težave z nekim matematikom. Seveda pa matemati -
ki zato niso brez nagrad. Največje priznanje zanje je Fieldsova medalja in ta
matematiku pomeni toliko kot Nobelova nagrada.
Tudi za dosežke na področju računalništva ne obstaja Nobelova nagrada .
To je seveda povsem razumljivo, saj za časa Alfreda Nobela ne moremo govoriti
o kakšnem razcvetu računalniške znanosti. Zanje obstajajo druge nagrade, med
katerimi je najbolj cenjena Turingava. Od leta 1966 dalje jo podeljuje organiza-
cija ACM (Association for Computing Machinery). imenuje pa se po angleškem
matematiku A. Turingu (1912 - 1954). ki se je ukvarjal tudi z računalništvom
(pa naj še kdo reče, da matematika in računalništvo nista v sorodu) . Turing je v
letih 1936 - 1938 delal na Univerzi v Princetonu skupaj z znanim logikom
A. Churchem in iz tega obdobja izvirajo njegova najpomembnejša dela. Med
drugim je vpeljal koncept stroja, ki ga imenujemo Turingov stroj iri predstavlja
enega najpomembnejših konceptov sodobnega teoretičnega računalništva.
Poglejmo si seznam dosedanjih nagrajencev.
1966
1967
1968
1969
1970
1971
1972
1973
1974
1975
1976
A. Perlis
M. V. Wilkes
R. M. Hamming
M. Minsky
J. H. Wilkinson
J. McCarthy
E. Dijkstra
C. Bachman
D. Knuth
A. NewelI in H. Simon
M. Rabin in D. Scott
1977
1978
1979
1980
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
J. W. Backus
R. W. Flovd
K. E. Iverson
C. A. R. Hoare
E. F.Codd
S.A.Cook
D. M. Ritchie in K. Thompson
N. Wirth
R. M. Karp
J . Hopcroft in R. Tarjan
J. Cocke
Med nagrajenci so mnoga znana imena. Pri nas je verjetno še najbolj znan
N. Wirth, saj sta v slovenščino prevedeni dve njegovi knjigi: "Računalniško pro-
140
gramiranje" in "Računalniško programiranje, 2. del", ki sta pri DMFA SRS
izšli v zbirki Izbrana poglavja iz matematike. Če pazljivo berete Presek, ste
spoznali tudi D. Knutha. M. Lokar je v 6. številki lanskega Preseka na kratko
opisal enega najboljših urejevalnikov besedil TEX, katerega avtor je sam Knuth.
Za konec na kratko predstavimo še nagrajenca za leto 1987. J. Cocke je dokto-
riral iz matematike (kaj sem rekel!) leta 1956 in od tedaj dela v raziskovalnih
laboratorijih IBM. Njegovi glavni področji raziskovanja sta teorija prevajalnikov
in arhitektura zmogljivih računalnikov. Na obeh področjih je dosegel nekaj
temelj nih rezu Itatov.
Sandi K/avtar
SRECANJE MLADIH RAZISKOVALCEV
3. junija 1988 je bilo v Ljubljani 22. srečanje mladih raziskovalcev in inova-
torjev Slovenije, ki ga organizira Zveza organizacij za tehnično kulturo - gi-
banje Znanost mladini.
Iz astronomije so predstavili šest nalog. Najštevilnejša je bila udeležba iz
Srednje šole tehniških usmeritev in družboslovja iz Kočevja, kjer je pet dijakov
pod vodstvom profesorice Darje Žužek - Delač obdelovalo tri teme.
Emil Žagar je izdelal nalogo Merjenje svetlobne hitrosti. Meril je čase izsto -
pov Jupitrovega satelita lo iz planetove sence. Hitrost svetlobe je določal iz
razlik med merjenim časom med dvema izstopoma in dejanskim časom. Do
razl ik pride, ker se razdalja med Zemljo (opazovalcem) in Jupitrom stalno spre-
minja in ker je hitrost svetlobe sicer velika , pa vendarle končna.Tako je pono-
vil poskus danskega astronoma Olafa Romerja iz leta 1676, toda z natančnejši­
mi podatki, pri izračunu pa si je pomagal z računalnikom. Emilova naloga je
bila ocenjena kot najboljša, zato smo _mu predlagali, da se udeleži zveznega
tekmovanja mladih raziskovalcev v Peci, kjer je dobil zlato medaljo.
Karmen Skender in Toni Kavčič sta se lotila Izdelave vertikaine sončne
ure. Vodilo naloge je bila ideja, da bi na šoli naredili sončno uro. S pomočjo
gnomona sta izmerila zemljepisno širino za šolo in azimut stene, kjer bo ura, ter
za te vrednosti izračunala lege časovnih črt za številčnico. Naredila sta tudi
pomožno piramido za postavitev kazalca. Dokončna izdelava ure je sedaj v ro-
kah obrtnika.
141
Andreja Drobnič in Saša Mlekuž sta da li svojemu de lu naslov Opazovanje
sonč n i h peg v ob dobju pol leta. Vsak dan, ko so vremenske prili ke dopuščale,
sta opazovali sliko Sonca na zaslonu šo lskega daljnogleda. Risali sta lege peg,
določali njihove heliografske koordinate in ugotavljali Wolfova relat ivno štev i-
lo, ki je dokaj zaneslj iva mera Sončeve dejavnosti.
Jure Dobnikar, Marijan Adam in Denis Džongalič, dijaki Srednje naravo-
slovne šole Miloš Zidanšek iz Maribora, so izdelali nalogo Merjenje spektra
sončne svetlobe po prehodu skozi atmosfero. Spočrneno termobaterijo in
barvnimi filtri so merili gostoto svetlobnega toka v posameznih delih spektra
sončne svetlobe v odvisnosti od višine Sonca tekom dneva. Dobljene rezu ltate
so skušali razložiti z absorpcijo in sipanj em v Zemljinem ozračju.
Boštja n Košir, d ijak Srednje naravoslovne šo le iz Ljubljane, je pod vod-
stvom Aleša Dolžana, inženirja fizike, ugotavljal Albedo Jupitrovih satelitov. S
fotoelektričnim fotometrom je izmeril navidezne sije štirih velikih Jupitrovih
satelitov. Izmeril je tudi večino drugih podatkov, ki jih je potreboval pri izraču­
nu albeda. Rezultati se ujemajo z vrednostmi iz literature v mejah natančnosti
meritev.
Tonček Žižek, dijak Srednješolskega centra iz Murske Sobote, je v svoji
142
nalogi Libracija obravnaval Iibracijo Lune. To so navidezna in prava nihanja
Lune, ki omogočajo, da vidimo z Zemlje 417 Lunine površine, čeprav obrača
Luna Zemlji le eno stran . Tonček je obravnaval navidezna nihanja, ki jih je pri-
kazal z lastnima posnetkoma Lune. Njegov mentor je bil profeso r Edo Dečko.
Z veseljem ugotavljamo, da se zanimanje za tovrstno dejavnost med dijaki
povečuje. Če je tu še prizadeven mentor, uspeh ne more izostati.
Pavla Ranzinger
Prvič so v okviru te akcije raziskovali in se predstavili tudi mladi matemati-
ki z desetim i raziskovalnimi nalogami. Večino nalog - kar devet - so prispevali
učenci Srednje naravoslovne šole v Ljubljani, ena (z dvema avtorjema) pa je
prišla s Srednje družboslovne, ekonom ske in matematično naravoslovne šole
"Jože Lacko" na Ptuju.
Ledino so orali : t retješoica s Ptuja Andreja Čič in Andrej Mršek z mentor -
jema prof. Vlasto Kokol - Voljčevo in prof. Stanetom Šenvetrom ter Ljubljan-
čani: tretješolec Jaka Cimprič in drugošolec Martin Raič pod vodstvom prof.
Ivana Puclja; drugošoici Barbara Drinovec z mentorico prof . Olgo Arnuševo,
Anamar ija Borštnik z mentorico prof. Mileno Strnadovo, Andrej Bauer, Primož
Potočnik, Renata Novak, Boštjan Račič in Gregor Kamnikar pa pod vodstvom
mag. Marije Vencelj.
Predstavimo na kratko njihove naloge:
Andreja Čič, Andrej Mršek: Algebra matrik s programsko knjižnico. Nalo-
ga obravnava algebro matrik višjih redov. Izdelani so tudi nekateri ustrezni
programi v Turbo Pascalu 4 .0.
Jaka Cimprič: Apolonijeva naloga. Prikazani so trije načini (algebraičen,
z inverzijo in s ciklografsko projekcijo) reševanja Apolonijeve naloge - poiskati
vse kro žnice, ki se dotikajo treh danih krožnic .
Martin Raič: Uporaba kompleksnih, dualnih in dvojnih števil v geometriji.
Naloga predstavi in geometrijsko ponazori kompleksna, dualna in dvojna šte -
vila. Izpeljani so pogoji za kolinearnost in koncikličnost točk v ravnini. Navaja
nekaj splošnejših primerov uporabe.
Barbara Drinovec: Logistična krivulja. V nalogi je predstavljena logistična
funkcija, ki verneje opisuje naravno rast kot eksponentna funkcija . Ilustrirana
je s primerom širjenja novic v šoli.
Anamarija Borštnik: Gibanja v ravnini. Poleg gibanj v ravnini naloga obra-
vnava in s primeri ilustrira tudi raztege. Uporabi jih pri geometrijski razlagi
strukture Mandelbrotove množice z zaporednimi preslikavami osnovnega
vzorca.
143
Gregor Kamnikar: Praktična pravila za računske operacije. Vsebina te na-
loge je poiskati in razložiti ozadje nekaterih računskih pra vil, ki jih poznamo že
iz osnovne šol e (npr. deljivost števil) , ter poiskati njihove posplošitve.
Renata Novak: Eulerjeva premica in znamenite točke trikotnika. Znano je,
da so v po ljubnem trikotniku središče očrtane krožnice, težišče in višinska
točka kolinearne točke. Naloga se ukvarja s potrebnim in zadostnim pogojem
za to, da bo t udi " četrta znamen ita to č ka", to je sred iš če vrčtane krožn ice,
ležala na premici skozi prve tr i toč ke.
Primož Potočnik: Posplošitve Pitagorovega in sorodnih izrekov v IR2 in
R 3 • Naloga pokaže, da je Pitagorov izrek le poseben pr imer splošnejšega izreka
v ravnini. Nato išče in najde tud i njegovo posplošitev v 3-dimenziona lnem
prostoru, kjer pravokotni trikotnik nadomesti pravokotn i tetraeder . Posploši
tudi Evklidov in višinski izre k.
Boštjan Račič: Težišče sistema točk. V nalogi je z več vidikov obravnava-
no težišče sistema točk. Poseben poudarek je na geo metrijsk i določitvi težišča
s pomočjo težiščnic poljubnega reda.
Andrej Bauer: Višinska točka, Eulerjeva krožn ica in Eulerjeva premica v
tetivnih večkotnikih. Naloga se najprej ukvarja z zan imivimi lastnostmi višinske
točke, Eulerjeve premice in Eule rjeve krožnice v trikotniku . Nato išče in najde
presenetljivo smiselno posplošitev teh pojmov za tetivne večkotnike.
Marija Vencelj
Prijetno je bilo gledati in poslušati dijake s sedmih srednjih šol, ki so z
navdušenjem kazali fizikalne poskuse in meritve, in razlagali rezultate, k i so jih
dosegli.
B. Peček je zgradil ultrazvočni detektor za snemanje zvočnih signalov ne-
topirjev in žužel k (SŠ EN Ljubljana, mentor prof. dr . M. Gogala in D. Knific).
1\'1. Hočevar, J. Prudič in D. Pavlin so pokazali supe rprevodnost keramične
tablete, ki so jo sami pripravili. Tableta je lebd ela nad magnetom v tekočem
dušiku zaradi Meissnerjevega efekta . (SŠEN Ljub ljana, mento rji ing. S. Bernik,
d r. M. Hrovat, N. Kastelič in M. Kneževič ).
J . Kraševec in B. Kirn sta študira la vpliv prevodnosti med elektrodama pri
elektroerozijskem procesu obdelave površ in in sta zgrad ila ustrezno vezje (SNŠ
Ljubljana, mento rja ing. G. Lakovič in prof. C. Dominko).
D. Dolenc, Ž. Kušar in N. Schweiger sta določ ila spekter žarkov beta iz
stroncija 90 z merjenjem sevanja Čerenkova v stek lu ple ksi (SNŠ Ljubljana,
mentorja dr . D. Zavrtanik in M. Starič) .
Pri naslednj ih petih nalogah je bi l mentor prof. V. Pet runa (SŠT DU Črno-
144
melj): F. Flek in M. Sajovic sta proučevala podhlajevanje fiksirja po posnetem
računalniškemgrafu časovnega poteka merjene temperature.
S. Samarin in L. Vraničar sta merili težnostni pospešek na sedem načinov
in ocenili njihovo uporabnost za šolo.
S. Blažič, J. Fir, R. Jakša in M. Pavlišič so posneli računalniške grafe
uklonskih in interferenčnih pojavov z lasersko in belo svetlobo.
M. Skala in T. Trček sta napisala programe za risanje električnih silnic
okrog točkastih nabojev in izdelala slike nekaterih polj.
M. Mesarič in I. Zrinski sta proučevala kotaljenje valja po klancu in vpliv
trenja in lepenja ter določala čas gibanja valja s pomočjo fotodiode, ustreznega
vezja in računalnika (SCTPU Murska Sobota, mentorja prof. E. Dečko in prof.
A. Kuhar).
M. Kristan je izdelal računalniško simulacijo valovnih pojavov na vrvi
(SŠPRNMU Kranj. mentor prof. D. Zupan) .
B. Arbiter, D. Donlagič, B. Lorger, B. Peršak in E. Poš so obravnavali in
demonstrirali prenos informacij z laserskimi curki (SNŠ Miloš Zidanšek Mari-
bor, mentor prof. 1. Dregarič) .
U. Stritih in R. Poljak sta izdelala merilnik človekovih skokov s tenzio-
metrijsko ploščo in vezje za računalniški prikaz poteka značilnih količin.
Predstavila sta analizo nekaterih skokov športnikov (SŠPRNMU Kranj, mentor-
ja prof. S. Kocijančič in V. Strojnik).
Eksperimente in meritve so dijaki izvajali z novimi senzorji, ustrezno prire-
jenimi vezji in z računalnikom. Udeleženci srečanja so si pridobili nova znanja
in spretnosti in so prepričljivo predstavili svoje naloge. Na postavljena vpra-
šanja so ' v splošnem dobro odgovarjali. Dobra je tudi večina poročil pisanih na
okrog 20 straneh tipkopisa v ustrezni strokovni obliki. Po mnenju komisije
(A. Likar, M. Hribar, B. Golli, M. Javornik, A. Moljk) zaslužijo dijaki, profesorji
in drugi mentorji pohvalo in priznanje.
Če bi imeli mentorji čas za ponovne popravke in izboljšave rokopisov in za
utrjevanje razumevanja fizikalnih osnov, bi se dijaki še več naučili in poročila
bi bila lahko širše koristna. Sploh je škoda, da predstavitev nalog ni bolj javna
in bi ji prisostvovalo več dijakov. Opis eksperimentov bi lahko predstavili tudi
v Preseku. Gotovo bi bilo spodbudno, da bi vsaj na svojih šolah dijaki predstavi·
li v več razredih svoje raziskave.
Letos je 12 nalog predstavilo 29 dijakov. To je razveseljivo, glede na preko
tri tisoč dijakov naravoslovne usmeritve pa je število skromno. Vsaj nekaj pro-
centov naj bi jih bilo, da bi bil zagotovljen znanstveni podmladek za naš razvoj.
Saj so dijaki, ki sodelujejo pri razpisanih raziskovanjih, verjetno bodoči
inventivni fiziki.
Anton Moljk
145
PROFESOR IVAN VIDAV - ČASTNI ČLAN SLOVENSKEGA
DRUŠTVA MATEMATIKOV, FIZIKOV IN ASTRONOMOV
Profesor Ivan Vidav je osred nja osebnost slovenske povojne matemat ike. Več
desetletij je s poučeva njem, raziskovanj em, pisanjem knj ig in vzgojo novih
srednješolskih in univerzitet nih učite lj ev ut iral po t razvoju matematič n i h zna-
nosti pri nas. Vsem, ki so v tem času št udirali na matemat i čnem oddelku (in
nekaterih d rug ih teh ničnih smereh). njegovih zaslug sko raj ni treba predstavljati
- tako očitne so in splošno priznane.
Širša javnost pa o vsem tem morda ni najbolje seznanjena. Glavni vzrok za
to je že kar prislovična skromnost profesorja Vidava. Prav ta nam je preprečila,
da bi letos sk upaj praznovali njegovo sedemdesetlet nico. Ivan Vidav se je na-
mreč rodil leta 191 8 na Opči na h nad Trsto m. Klas ično gimnazijo je konča l v
Mariboru (kamor so se v času fašizm a zatekle mnoge pri morske d ružine). Leta
1941 je d iplomiral na ljubljanski un iverzi. Že mesec dn i kasneje je obran il
doktorsko d isertacijo, pri kateri mu je bil mento r znani matemat ik J osip
Plemelj. Leta 1946 je postal docent, leta 1953 pa redni profesor na oddelku za
matematiko ljubljans ke univerze. Dolga leta je bil pred sto jn ik tega odde lka.
Pred dvema letoma je odšel v pokoj. vendar kot zas lužni pro fesor še naprej pre-
dava našim št udentom matematike na dodip lomskem in pod ip lomske m štu dij u.
Profeso r Vidav je zna nstveno de loval na več področj i h, kar je danes že
redkost. Njegova disertacija obravnava snov, s katero se je proslavil t ud i Jos ip
Plemelj. Pozneje se je Vidavovo zanimanje preusmerilo na nova pod ročja mate-
matične analize in algebre. Odkri l je več izrekov; nekate ri se zdaj po njem t udi
imenujejo. Leta 1970 je profesor Vidav prejel Kid r i čevo nagrado za del o iz
matematične fizike, povezano z nekaterimi problemi jed rske fiz ike .
Neizbrisen vp liv profesorja Vidav a na slovensko matematiko kaže t ud i po -
datek, da je bil mento r kar petnajstim dokto ra ntom . Toli ko in še več ljud i je
vpeljal v znanstveno del o in jim v ta namen našel plod ne teme na naj raz l ičnej­
ših matematičnih področjih .
Profesor Vidav je znan tudi kot odličen pisec knjig. Njegova Višja mate ma-
tika I je doživela mnogo ponatisov. Zelo uporab ljan un iverzitetn i učbenik je
tudi njegova Algebra. Javnosti je pred stavil življenje in delo svoj ega u č i te lja
Josipa Plemlja. N aj več Vidavov ih knjig pa obravnava teme s pod iploms kega št u-
dija . Mladim bralcem priporočam kn jižici Števila in matematične tecrije ter
Rešeni in nerešeni prob lemi mat ematike (zbirka Sigma), ki ne zahtevata po-
sebne matematične izobrazbe in sta prava mala bise ra.
Kot predavatelj je profeso r Vidav vzor . Zmeraj je odlično pripr avljen, za-
piskov skoraj nikoli ne upo rab lja. Dokaze pod aja ko liko r mogoče krat ko in
146
enosta vno, pri odgovorih poslušalcem pa zmeraj pride do izraza jasnost in
hitr ost njegove misli.
Končno naj povem , da je profesor Vidav tudi prije ten sogovornik, ki zna
s pr imerne odda ljenosti ocenjevati položaj okrog nas in tudi dlje od nas.
Profeso r Vidav je največj i del svojega življenja posvetil matematiki. Njego-
va delavnost in požrtvovalnost sta že obrodili lepe uspehe in tudi priznanja
(Avnojska nagrada leta 1981, Žagarjeva nagrada leta 1988) . Profesor Vidav je
red ni čla n Slovenske akadem ije znanosti in umetnosti.
Z željo, da bi nam in matematični vedi še mnogo da l, se tudi ta zapis
pridružuje čestitkam ob profesorjevem življenskem jubileju in imenovanju za
častnega člana slovenskega Društva matematikov, fizikov in astrono mov.
Peter Legiša
147
BREZ
BESED
BorisLavrič
.JIAu..lt1>
Ludos M(1t~L - Bud impeita.
148
/"l" se 1/1" 1/-c'I_'VC " 'L be
Gardner M., AHA! PA TE IMAM: Paradoksi za napenjanje možga-
nov in razvedrilo, Državna založba Slovenije, Ljubljana 1988,
227 str. (Z logiko v leto 2000)
Pred kratkim je izšla pri Državni Založbi Slovenije v zbirki Z LOG IKO V
LETO 2000 v prevodu Tamare Bohte zanimiva poljudna knjižica Martin
Gardner: Ahal Gotcha - paradoxes to puzzle and delight. V tej knjigi priznane-
ga avtorja del s področja rekreacijske matematike so zbrani mnogi bolj ali manj
znani paradoksi z raznih področij matematike. Naslovi poglavij so : Logika,
Število, Geometrija, Verjetnost, Statistika in Čas.
Krokodil in otrok
, 1 /
-;O~
I v>
--- -~~
, \ :/
--D~
- , \ ',
Grški filozofi so radi
pr ipovedovali o krokodilu , ki je
materi iztrgal otroka .
Krokodil: Ali bom pojedel
tvojega otroka? Če boš
odgovorila pravilno, ti bom
otroka vrnil nepoškodovanega .
Mati: Ojoj! Mojega otroka boš
poj edel.
Krokodil: Hm. Kaj naj storim?
Če ti otroka vrnem , pomeni . da
nisi pov edala pr avilno . Moral bi
ga bil pojesti .. . Dobro , torej ti
ga ne bom vrn il.
~lati: Pa ga moraš. Ce boš
mojega otroka pojedel. sem
povedala pr avilno. torej mi ga
moraš vrniti .
Ubogi krokodil je bil tako
osupel. da je otroka izpustil.
Matiga je zgrabila in stekla proč .
Krokodil: Presnero! Ko bi bila
rekla. da bom otroku vrnil. hi bil
imel slasten obed .
149
o tem, kaj so paradoksi in kakš en po men so imeli za razvoj matem ati ke,
najlepše govo ri avto r sa m v predgovoru, ki ga navajamo v celoti (str. 15 1).
Knjiga je p rimerno čtivo za vsakega bra lca, ki ima os novno izobrazbo iz
elementarne matemati ke. Napisa na je na nešo lski in nesuhoparen način. Para -
doksi so vpeljani v o bliki vprašanj, preprosti h t rditev in vsi so ilustri rani kot
nekakšen strip (glej pr imer na prejšnj i stran i). Temu ved no sledi jasna raz laga.
Z vonimir Bohte
Strnad J., IZ TA KE SO SNOVI KOT SA NJE - Od atomov do
kvarkov. Mladinska knji ga, Ljubljana 1988, 153 str.
Knjiga s poetičnim naslovom Iz take so snovi kot sanje ima ilustrativn i pod na-
slov Od atoma do kverk ov. Avtor jo je nameni! t istemu rado vednemu in zah te-
vnemu br alcu, ki b i rad razumel zgrad bo narave od najmanjših grad n ikov do
nastanka in razvoja veso lja .
Poleg poljudnega te ksta p rinaša kn jiga št evilne slike , diagrame in preg le-
d n ice z opi si poskusov ter pojavov. Tekst je Strnad podkrepil s štev iln imi po -
datk i ter dodal še zadn je no vosti iz svet a f izike, tik preden je odnese l rokopis v
uredništvo.
Knjiga popelje b ralca skozi zgodovino fizik e t er mu poskuša približati
razburlj ivo življenje raz iskovalcev, ki se jim z vsak im odgovo rom porajajo nova,
štev ilnejša vprašanj a . Nikoli dosl ej ni bila fizika t ako ambiciozno neučakana v
že lji, da bi s poskusi in teorijami po gledala naravi kar najglobije v nederje .
Posebna od lika knjige so skrbno zbrani in urejen i poda t ki te r bogate
ilust racije . Prevede ne pesrni pa vzbujajo prij et no mise l, da je t udi znanost
poezija, četud i posebne vrste.
Avtorjeva uvod na beseda, k i nos i datum febr uar 1986, t rpk o izzveni v
tožbo, ker je kn jiga čakala na izid poltretj e leto . V svetu znanost i se v dveh in
pol let ih mnogo zgod i. V tem času sta t eo rija in eksperiment utirala pot ideji,
da seže naš svet več kot samo v štiri d imenzije in da z razsežn imi kvantnimi
de lci mnogo laže poenot imo zakon e na rave ko t s točkastim i .
Doslej so take vrste knjige izhajale le v jez ik ih , ki dopuščajo velike nak lade.
Naše založbe se se odločale le za prevode in ponatise. Zato sp rejemamo pol ju -
d no knjigo izp od peresa domačega znan stvenika še posebej navdušeno.
Norma Mankoč Borštn ik
150
Če spremenimo opazko Desdemone v »To so stari in nov i
pa radoksi, ki na s zabavajo med odmorom za kosil o«,
po tem to ni slab op is te knjige . Beseda paradoks ima
mnogo pomeno v, tu pa jo uporabl jam v širšem smislu ,
tako da je pa radoks vsa k rezultat , ki je tako nasproten
zdravi pameti in int uiciji, da sproži takojšnje pre senečenj e .
Obstajajo štirje glavni tipi ta kih paradoksov:
1. Trditev, ki je videti napačna , a je dejansko resnična .
2. Trditev, ki je videti resnična, a je dejansko napačna.
3. D okazovanje , ki se zdi br ezh ibno, ki pa vod i v
logi čno protislovje. (Ta tip pa radoksa običajno imenujemo
zmo ta. )
4. Trditev, ka tere t očnos t ali napačnost je n eod ločlj iva .
Par adoks i v matematiki , kakor tudi v znanosti , so lah ko
veliko več kot ša le . Vodijo lahko do glo bokega razumeva-
nja. Z a prve grške mislece je bil nadležen paradoks, da
niso mogli natančno izmeriti di agonale kvadrata s stra-
nico 1, pa če so imeli še tako fino razdeljeno ravnilo . T o
vzne rni rjaj oč e dejstvo je odprlo velikansko področje teo-
rije iracionalnih števil. Ma tematikom 19. stoletja se je
zde lo izredno paradoksno , da se dajo vsi člani neskončne
množice postav iti venolično in povratno enolično kore-
sponden co s člani ene od njenih pravih podmnožic in da
lahko obst ajata dve neskončni mn ožici, kater ih člani se ne
dajo postaviti v enolično in povratn o enoli čno kor espon-
de nco . Ti pa rad oksi so vo dili do razvoja modern e teorije
množic, ki pa je imela močan vpliv na filozofijo znanosti .
Od paradoksov se lahko veliko naučimo. Presenet ljivi
so ko t do bri čarovn i šk i triki , tako da hočemo takoj vedeti,
kako so na rejeni . Čarovniki nikoli ne izdajo , kako kaj
nar ed ijo, ma tematiki pa nim am o pot rebe po tem , da bi
imeli skr ivnosti. Vsesko zi sem se zelo trud il, da sem
razlagal v netehn i čnem jeziku in čim kraj še , zakaj je vsa k
pa radoks paradoksen . Če vam to vzbudi željo po branju
drugih kn jig in č l ankov, iz ka terih bi se še več nauči l i, ne
boste osvojili sam o veli ko pomembne matematike , ampa k
se boste pri tem tudi zabavali . V Liter aturi in priporočlji­
vem bra nju na koncu kn jige je z zvezdico označenih nekaj
lahko razumljivih ber il.
151
SAHOVSKI KRALJ IZBIRA VZOREC NA ZASLONU
Računalnik je idealno sredstvo, s katerim lahko pričaramo na prikazovalniku
deljivost števil q(x, V). Ta števila na dokaj naraven in enostaven način definira
šahovski kralj, ki se lahko premika le v treh dovoljenih smereh. Tu je program,
ki v črno-beli tehniki nariše prelepe vzorce. Če je število q{x, V) deljivo z danim
številom P, program nariše točko (x, V), sicer pa jo pusti belo. Za primerjavo
lahko občudujemo dva vzorca hkrati, za modula PI in P2' S preprosto spre-
membo lahko gledamo le en vzorec, ki ga lahko še primerno povečamo. Pro -
gram je narejen za računalnik Spectrum 48K v Hisoftovem pascalu HP4T (ali
druge izboljšane verzije). Kdor ima priložnost delati na kakem dobrem ose -
bnem računalniku, opremljenim z barvnim ekranom, naj poskusi obarvati vsa-
ko točko drugače, odvisno od števila q(x, v)(mod p). Dobil bo lepe reč i. Za-
nimivo je morda to, da so slike najlepše, vsaj za avtorjev okus, ko .je P prašte-
vilo (glej naslovno stran, PI =5,P2 = 7). Sam program je morda zanimiv, ker
skrbno varčuje s pomnilnikom, potrebuje samo dva celoštevilska vektorja.
Program je na naslednji strani.
Marko Razpet
MATEMATICNI KROŽEK
1. Množico P naj tvorijo vsi pravokotniki, pri katerih ena od stranic meri
največ 10, druga najmanj 50, dolžini obeh pa sta naravni števili.
Dokaži, da sta dva pravokotnika iz P skladna tedaj in le tedaj, kadar imata
enako dolgo diagonalo.
2. Janez in Micka z brega okroglega jezera opazujeta kvadratast otok na sredi
jezera. Micka stoji najbližje otoku, Janez pa najdlje od njega, a kljub temu
ga oba vidita pod enakim kotom. Koliko meri otok, če je od Micke odda-
ljen 100 m?
3. V kakšnem zaporedju si slede cifre na mestu enic v desetiškem zapisu števil
n =1,2,3, .oo
Boris Lavrič
152
10 PROGRAM KINGPATH;
20 (* program rise tocke * )
30 (* deljivosti stevil * )
40 (* otx, Y) s stevilom P * )
50 CONST M = 127;
60 VAR J , Pl, P2, P, X, V : INTEGER;
70 C: CHAR ;
80 A, B : ARRAV [O oo MI OF INTEGER;
90 (* A - prvotno zaporedje *)
100 (* B - novo zaporedje * )
110 PROCEDURE PLOT (U, V : INTEGER) ; (* narise tocko *)
120 BEGIN
130 INUNE (253,33,58,92,221,70,2,221,78,4,205,229,34);
140 END;
150 BEGIN
160 REPEAT
170 PAGE;
180 WRITELN ('Ko bo slika narisana, pritisni K');
190 WRITELN ('za konec in drugo tipko za nov primer!');
200 WRITELN ('Vnesi modul Pl 1'); READ (P1);
210 WRITELN ('Vnesi modul P2 1') ; READ (P2);
220 PAGE;
230 FOR J := O TO 1 DO
240 BEGIN
250 IF J = O THEN P := P1
260 ELSE P := P2;
270 (* postavi prvo zaporedje na 1 *)
280 FOR X := O TO M DO A ( X 1:= 1;
290 FOR V := O TO M - 1 DO
300 BEGIN
320 B ( Ol := 1;
330 (* odpiramo zanko, v kateri iz *)
340 ( * starega zaporedja dobimo novo *)
350 FOR X := V + 1 TO M DO
360 BEGIN
380 B ( X J := (A ( X 1+ A ( X-1 1+ B ( X-1 1) MOD P;
390 IF B [X 1= O THEN
400 CASE J OF
410 O : PLOT (X, V); (* prvi modul *)
420 1 : PLOT (X+M+1, V) (* drugi modul *)
430 END
440 END;
450 ( * postavi novo prvo zaporedje *)
460 FOR X := V TO M DO A (X J := B (X 1;
470 END;
480 END;
490 ( * caka, da gledamo sliko *)
500 REPEAT C := INCH UNTIL C <> CHR(O);
510 UNTIL C = ' K ';
520 END. 153
ŽELVA GRE NA SPREHOD
Slika 1
Slika 2
O O
O
O
O
O O O O
O O O
O O O
O O
O O
O
O
O O
O
O O
O O
O O O
O O
o O O O
O
O O
O O
O O O
O O O
O O O O
O
O
O
Bilo je sončno nedeljsko popoldne. Žel va, ki jo bralci Preseka že dobro pozna-
mo iz člankov o programskem jeziku logo in grafiki, se je odločila, da gre na
potep. Vendar se nikakor ni mogla odločiti, kam naj gre.
"Grem pa kar malo pohajkovat," se je odločila.
Rečeno, storjeno. A naša želva, redoljubna kot je, mora tudi v pohajko-
vanje vnesti nekoliko reda. Zato se je odločila, da bo pohajkovala po pravilu:
deset korakov naprej, nato se bo obrnila v desno, napravila dvajset korakov, se
spet obrnila v desno, napravila trideset korakov naprej, šla desno, štirideset
korakov naprej. obrat v desno in petdeset korakov naprej. Potem pa znova od
začetka: deset korakov, desno, dvajset korakov, desno, oo. A poglej. čez nekaj
časa se ji je zazdelo, da hodi ponovno po poti, ki jo je že prehodila. Hodila je še
nekaj časa in bila v to vedno bolj prepričana.
"Pa poglejmo, kaj se dogaja," si
je mislila.
Nabrala si je nekaj kamenja in
na vsakem koraku izpustila kamen.
ln resl Čez nekaj časa je naletela na
položeno kamenje.
"Ha! Izgubiti se torej ne mo-
rem!"
To jo je tako razveselilo, da se je
še nekaj časa sprehajala po izbranem
pravilu. Nato pa se je počasi odpravi-
la proti domu. Ko se je zazrla nazaj,
je opazila, da kamni, položeni na pot,
tvorijo zanimiv vzorec.
"Zanimivo, zanimivo," je zarnr-
mrala in pohitela domov. Tam je ta -
koj sedla za računalnik .
"Poskusimo pot narediti še tu.
Kako sem že hodila? Deset korakov
naprej, to bo FD 10. Desno, to je
RT 90. Pa spet FD 20, RT 90,
FD 20. Opsl Napak, 30 korakov sem
napravila. Torej še 10 naprej. FD 10.
ln spet RT 90, FD 40, RT 90:'
"Tako še FD 50 in RT 90. Pa
154
I
....- L
I
"Očitno moram to ponovit i
večkrat! FD 10, RT 90 , FD 20 ,
RT 90, FD 30, RT 90, ... "
ln končno je bil pred želvo vzo-
rec, kot ga je naredila na sprehodu.
Vzorec ji je bil tako všeč, da ga
je risala vedno znova. A kmalu jo je
motilo, da mora natipkati toliko uka-
zov, preden ga nariše . Razmišljala je Slika 3
in razmišljala in - končno!
"Osnovni vzorec moram vendar ponoviti štirikrat, da dobim celo sliko.
Ponavljanje ukazov mi omogoča ukaz REPE"T. Ampak, kako ga že napišem
prav? Aha! Tule v Preseku bo pisalo . Torej REPEAT, presledek, število pono-
vitev, zame 4, nato pa seznam ukazov, ki naj se ponove. Kje je že oglati pred-
klepaj, da označim za četek seznama? Sedaj pa FD 10, RT 90, FD 20, RT 90 .
Dobro, da hodim na tečaj angleščine. Sicer si nikoli ne bi zapomnila , da je RT
zasuk v desno. Tako se le spomnim na right. Kje sem že ostala? FD 30,
RT 90 , oo. Še oglati zaklepaj za konec seznama ukazov in končano."
Na ekranu je bil naslednji program
poglejmo" in na zaslonu je zagleda la
sliko 2.
REPEAT 4 [ FD 10 RT 90 FD 20 RT 90
FD 30 RT 90 FD 40 RT 90 FD 50 RT 90 )
Želvi pa žilica ni dala miru . Tipkanja ji je bilo že vedno preveč. Spomnila
se je, da lahko več ukazov združi v enega in ga nato lahko uporablja kot vgraje-
ne ukaze, npr . FD, RT 90, REPEAT. To v logu naredimo tako, da za ukazom
TO navedemo ime novega ukaza in natipkamo ukaze, ki naj ta novi ukaz sesta-
vljajo. Da smo z določitvijo novega ukaza končali, povemo tako, da uporabimo
ukaz END. Ko je želva natipkala
TO VZOREC
REPEAT 4 [ FD 10 RT 90 FD 20 RT 90
FD 30 RT 90 FD 40 RT 90 FD 50 RT 90 )
END
je njen logo sedaj poznal poleg ostalih še ukaz VZOREC, ki je narisal sliko.
Želva je morala sedaj natipkati le še VZOREC in slika se je prikazala na za-
slonu.
155
Vzorec, ki ga je želva tako risala, je le eden iz skupine geometrijskih
vzorcev, ki jih imenujemo spirolstersli, in sicer spirolateral petega reda. Vpeljal
jih je angleški biokemik Frank Odds. Njihovo ime izvira iz dveh korenov:
/atera/, ki označuje ravno površino, in spira za spira le, ki tvorijo osnovni vzo-
rec. Spirolaterali so ravninski vzorci, ki jih dobimo s pomočjo enostavnih pra-
vil. Najlaže jih opišemo s pomočjo želvine grafike. Želva se premakne za enoto
naprej. se obrne za določeni kot, premakne za dve enoti, obrne, premakne za
tri enote in tako naprej. dokler dolžina premika ne doseže določenega naravne-
ga števila n, ko postopek ponovimo. Kot sukanja je vedno isti. Število n imenu-
jemo red spirolaterala. Na sliki so spirolaterali reda 1 - 8.
o
2
o
3 4
6 7
Slika 4
8
Kot vidimo, so nekateri spirolaterali zaključeni in drugi spet ne. Tako spi-
rolaterala reda 4 in 8 nista zaključena (se ne vrneta v izhodišče). Ni težko po-
kazati, da ne dobimo zaprtih likov za rede 4, 8, 12, 16, ..., torej za večkratnike
4 . Da se vrnemo v izhodišče pri redih 2, 6, 10, 14, ..., potrebujemo dve pono-
vitvi osnovnega vzorca, pri lihih redih pa potrebujemo po štiri ponovitve.
Nobenega razloga ni, da se vedno obrnemo za 90° . Prav tako zanimive like
dobimo, če vzamemo npr. kote 36°,45° (glej sliko 5).
Da ločimo med posameznimi spirolaterali, moramo te ustrezno označiti.
Med različnimi predlogi se je uveljavila oznaka RK, kjer R označuje red spirola -
terala in K kot obračanja. Tako npr. 7 4 5 označuje spirolateral sedmega reda s
156
I
Slika 5
kotom obračanja 45 stopinj. Napišimo v LOGU program, ki bo narisal poljuben
osnovni vzorec spirolaterala
TO SPIRO :REO :KOT :ENOTA
MAKE "EN :ENOTA
REPEAT :REO [ FO :EN
RO :KOT
MAKE "EN :EN + :ENOTA 1
END
Še zanimivejše vzorce dobimo, če dovolimo enega ali več zasukov v naspro-
tno smer. Tako na sliki vidimo nekaj zanimivih vzorcev, ki so nastali na ta
način.
mr ~
(o). (e)
( b ) (d )
~ (e)
Slika 6. (a) red 6, črta 3 gre v levo (b) red 6, črti 3 in 5 gresta v levo (c) red 7,
črta 7 gre v levo (d) red 7, črte 1, 2 in 3 gredo v levo (f) red 9, le črta 6 gre v
desno
157
Označevanje je sedaj nekoliko zapletenejše, saj moramo določiti še smeri.
To storimo z zgornjimi indeksi. Če jih pišemo levo od reda, pomenijo, da gredo
te črte v levo, ostale pa v desno . Tako oznaka 1,799 0 označuje spirolateral de-
vetega reda z zasuki za 900 , pri katerem gresta črti 1 in 7 v levo, ostale pa v
desno. Zgornje indekse pišemo vedno le na eni strani. Čeprav oznaki 1,2,4 4 4 5 in
4:5 označujeta isti spirolateral, uporabljamo zadnjo, ker zahteva manj pisanja.
Kako bi sedaj sestavili program za risanje spirolaterala? Pošljite nam svoje
rešitve, prav tako pa slike spirolateralov, ki so vam najbolj všeč. Za konec pa še
nekaj spirolateralov.
Matija Lokar ?
EINSTEIN
Nemški fizik in matematik Albert Einstein je potoval z vlakom. V oddelek pri -
de sprevodnik in zahteva vozne listke. Einste in išče po vseh žepih, po prtljagi,
na klopi in pod njo, toda listka nikjer.
"Bom pa malo pozneje prišel!" reče ljubeznivi sprevodnik, ki je prepoznal
učenjaka.
"S tem mi ne bo dosti pomagano," odgovori resno ustanovitelj relativno-
stne teorije, "če ne najdem voznega listka , ne bom vedel, kam potujem."
158
~ .
o IGRI PETNAJST IN PERMUTACIJAH
Igra Petnajst je bila včasih zelo priljubljena. Okrog leta 1880 so jo igra li prav
vsi, ta ko kot pred časom razvpito Rubikovo kocko . Najbolj vnet i reševalci so
se lahko celo preizkušali na štev ilnih tekmovanjih. Med vrhuncema popular-
nosti igre Pet najst in Rubikove kocke je poteklo pribl ižno 100 let in če bi zlo-
rab ili matematično indukcijo , b i lahko zak lj uč il i, da se bo naslednja igra, ki bo
prep lavila svet, spet pojavila čez približno 100 let. Če danes pogledamo, kako
je z obema igrama , ugotovimo, da ju skoraj ne srečamo več. Le tu in tam se še
pojavita. Ravno pred kratk im sem v trafiki videl igro "Enaintr ideset", ki je igra
Petnajst z nekaj več ploščicami.
O igri Petnajst je Presek že pisal (Tomaž Pisanski : Petnajst in podobne igre,
Presek 1982-83, št . 4). Najprej se spom nimo , za katero igro gre. Na kvadratu
4 x 4 so razporejene ploščice, ki so označene s števili od 1 do 15, eno mesto pa
je prazno . Z zapored nim premikanjem poskušamo ploščice spraviti v urejen po-
ložaj. V vsakem koraku lahko premaknemo le eno izmed ploščic, ki so po stra-
nici sosednje praznemu prostorčku. Na slik i 1a je primer začetne razporeditve,
ki jo moramo spraviti v končno razporeditev na sliki 1b. Znak * na sliki ozna-
čuj e prazno mesto. V prvem ko raku lahko premaknemo le ploščico 3 ali pa 9.
Če premaknemo ploščico 3, lahko v naslednjem kora ku premaknemo ploščico
5 , 15 a li pa 3 . Tako premikamo ploščice, dokler ne pridemo do končne razpo-
redit ve ali dok ler ne obupamo .
7 14 1 11
12 2 6 8
13 4 15 9
10 5 3 "
Slika 1a
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 •
Slika 1b
Končna razpored itev je vedno taka, kot je prikazano na sliki 1b. Ker lahko
vsako razporeditev ploščic preprosto prevedemo v obliko, kjer je prazno mesto
v spodnjem desnem kotu, privzemimo, da je tudi v začetni razporeditv i prazno
mesto v spodnjem desnem kotu . V omenjenem članku Tomaža Pisanskega je
opisan algoritem, kako iz poljubne začetne razporeditve poskušamo priti do
končne razporeditve. Včasih postopek uspe, drugič pa ne. V resnici algoritem
pripel je do končne razporeditve v natanko polovici primerov in to so vsi prime-
ri, ko je igra rešljiva. Algor item je naslednji : Najprej uredimo ploščice 1,2,3,4,
5 , 6, 7 in 8. Teh ploščic ne bomo več premikali . Nato uredimo še ploščici 9 in
13, nato še 10 in 14 . Tudi teh ploščic ne premikamo več. Za urejanje nam pre-
159
ostanejo samo še p loš č i ce 11,12 in 15 . V polovici primerov jih lahko uredimo,
v ostalih pa ne.
Vprašajmo se, kako bi lahko iz začetne razporeditve ugotovili, al i je igra
rešlj iva ali ne. Z nekaj znanja o permutacijah bo od govor pre prost. To pa je tud i
zadosten raz log, da si naj prej ogledamo nekaj osnovnih dejstev o perm ut acijah,
ki so eden najpomembnejših pojmov v kombinatorik i.
o permutacijah
Imejmo n elementov, ki so urejen i v do lo čenem vrstnem redu. Ime na Ana,
Krist ina , Peter, Simon in Ž iga so na pri mer urejena po abeced i. Če ta imana
premešamo , na pri mer Simon, Žiga, Peter, Kristina , Ana , potem smo napravili
permutacijo teh imen. Odslej bomo identificiral i elemente, k i jih permut iramo ,
kar s prvimi nnaravn imi števili. Če permutacija elemente 1,2 , 3, 4, 5, 6, 7 raz -
poredi v vrstni red 3,5,7, 1, 2,4,6 bo mo to kraj še zap isal i:
(
1 234567)
3571246
V zapisu permutacije torej v zgornjo vrst ico zapišemo št evila od 1 do n, v
spodnjo pa nj ihovo razpo red it ev. Permutacijo, kjer so elementi tudi v spodnji
vrstici razporejeni od 1 do n , imenujemo identična permutacija.
Koliko je vseh permutacij f1 elementov? Takole razmislimo . Na prvem
mestu lahko stoji katerokol i izmed n števil. Ko na prvem mestu stoji neko šte-
vilo, je na d rugem mestu lahko katerokoli izmed preostalih n - 1 števil. Ko
postopek nadaljujemo, imamo na predzadnjem mestu na izbi ro še dve števili,
na zadnjem pa le še eno samo . Vseh mo žnih permutacij je torej
n . (n -- 1) . (n - 2 ) ' oo 2 .1. Dobljeno število označimo z n! (izgovarjamo n-fa-
ku/teta).
Za vajo izp iši vse permutacije t re h in štirih elementov!
Če v permutacij i med seboj zamenjamo dva elementa, potem pravimo, da
smo napravili transpozicijo. Z zaporedjem transpozicij lahko vsako permutacijo
prevedemo na identično permutacijo. Če drugače ne, potem najprej zamenja-
mo element, ki je na prvem mestu , z enico; nato element, ki je na drugem
mestu, z dvojko in tako do konca , dokler niso vsi elementi v spodnji vrstici na
pravem mestu . Na sliki 2 je primer zaporedja transpozicij. ki permutacijo
( 1 2 3 4 S ) ed id . • oo3412 S prev eVI entr čno perrnutacqo. .
/1
/'
(
12345)
34125
160
(
12345) (12345) (12345) (12345)
--+ 31425 --+ 32415 --+ 12435 --+ 12345
V našem primeru smo začetno permutacijo privedli do identične s štirimi
transpozicijami. Seveda bi lahko to naredili tudi drugače. Najmanj transpozicij
bi naredili, če bi najprej zamenjali 1 in 3, nato pa še 2 in 4. Poskušaj sedaj še
nekaj drugih zapored ij in preštej. koliko transpozicij si napravil! Gotovo si opa-
zil, da si vedno potreboval sodo število transpozicij. To ni nič presenetljivega.
Dokažemo namreč lahko , da če dano permutacijo pretvorimo v identično per-
mutacijo s sodim številom transpozicij. potem je na noben način ne moremo z
lihim in obratno . Tega ne bomo dokazovali. Dokaz lahko najdemo v knjigi
Ivana Vidava Algebra, Ljubljana 1980, na strani 63. Zaradi te lastnosti pravimo
permutacijam, ki jih spravimo do identične s sodim številom transpozicij. sode
permutscije, ostalim pa tihe perrnutecije. Sodih permutacij je ravno toliko, kot
je lihih.
Vprašajmo se, kako učinkovito določimo parnost permutacije, t.j. ali je
permutacija soda ali liha . Ugotavljanje parnosti po zgornji definiciji gotovo ni
najprimernejše; če je permutacija nekoliko daljša, moramo prepisovat i vrstice
kot nori, pa še zmotimo se lahko (če se sodokrat ni nič hudega) . Vzemimo
I d . " (123456789) P . led' k "ed" Inas e njo parrnutaci]o: 796314582 . o vrsti zas ujrno, am gr o ee-
menti permutacije: 1 gre v 7, 7 v 5 in 5 v 1. Krog je sklenjen. Naprej: 2 gre v 9
in 9 v 2. 3 gre v 6, 6 v 4 in 4 v 3. Element 8 pa gre kar sam vase. Račun zapiše-
mo takole:
(
1 2 3 .. 5 6 7 89)
7 9 6 3 1 .. 5 8 2 = (175)(29)(364)(8).
Pravimo, da smo permutacijo zapisali s tujimi cikli. Cikle imenujemo tuje, ker
vsak element permutacije nastopa v natanko enem ciklu. Vsak cikel zase je tudi
permutacija. Cikel (1 7 5) moramo razumeti takole: 1 gre v 7, 7 v 5,5 v 1, vsi
ostali elementi: 2, 3,4,6,8 in 9 pa se preslikajo vase. Skoraj očitno je, da se da
vsaka permutacija zapisati s tujimi cikli, zato tega ne bomo dokazovali.
Kako ugotovimo parnost cikla? Število elementov, ki nastopajo v zapisu
cikla, imenujemo dolžine cikla. Dokaži, ali pa vsaj na primerih preizkusi, da
velja: če je dolžina cikla sodo število, potem je cikel Iiha permutacija, sicer pa
je soda. V našem primeru so vsi cikli sodi, izjema je le cikel ( 29 ). Za vsak po-
samezen cikel znamo določiti njegovo parnost. Kako pa iz dolžin tujih ciklov
perrnutacijs ugotovimo parnost permutacije? Ko urejamo elemente v nekem
ciklu, so elementi ostalih ciklov nedotaknjeni, saj so cikli tuji! Torej ured imo
prvi cikel, drugi cikel in tako do konca . Število vseh napravljen ih transpozicij
je enako vsoti števil transpozicij po posameznih tujih ciklih .
Izpeljali smo naslednji recept za ugotavljanje parnosti. Najprej permutacijo
161
zapišemo s tujimi cikli in vsakemu ciklu pr iredimo njegovo do lžino zmanjšano
za 1. Nato števila seštejemo in če je vsota sodo število, je permutacija soda,
sicer pa liha. Na prvi pogled mo rda nekoliko zapleteno, ko pa napravite nekaj
primerov, postane postopek zelo enostaven. V gornjem prime ru imamo ra čun:
2 + 1 + 2 + O = 5, torej je permutacija liha. Še en primer: permutacijo s slike 2
zapišemo s cikl i (1 3)(2 4)(5). otrej računamo 1 + 1 + 0= 2, zato je permuta-
cija soda.
Nazaj k igri Petnajst
Sedaj že dovolj vemo o permutacijah, da uženemo igro Petnajst . Najprej začetn i
razporeditvi ploščic pri redimo permutacijo. To napravimo tako, da po vrsticah
preberemo števila na kvadratu. Začetni razporeditvi s slike 1 pripada perrnuta-
cija
(~
234
14 1 11
5 6 7 8
12 2 6 8
9
13
10 11
4 15
12
9
13 14 15
10 5 3 :)
Če koga moti * kot element permutacije, lahko * mirno zamenja s šte-
vilom 16 . Kaj se zgodi s to permutacijo, ko napravimo en premik ploščice?
Natanko ena transpozicija, kje r se zamenjata element * in neka ploščica. In
kako pridemo od začetne razporeditve do končne? Z zaporedjem t ranspozicij,
ki pa seveda niso poljubne, saj vedno premaknemo *. Če smo prišli do
končne razporeditve, potem trdimo, da smo napravili sodo število premikov
prazne ploščice. Res! Prazna ploščica je na koncu na istem mestu kot na za-
četku. Zato se je morala pomakniti navzgor tolikokrat kot navzdol in levo toli-
kokrat kot desno. Torej zaključimo. Če je permutacija, ki pripada začetni
razporeditvi (z * v spodnjem desnem kotu) , tiha, potem igra Petnajst nima
rešitve.
Permutacijo k začetni razporeditvi s slike 1 zapišemo s tujimi cikli:
(17621451291310411153)(8)(*)
Račun 13 + O + O = 13 nam pove, da je permutacija liha, torej naloga s slike 1
nima rešitve.
Igro Petnajst tako povsem obvladamo . Algoritem reševanja je na'slednji:
1. Če * ni v spod njem desnem kotu, razpored itev popravi v tako obliko.
2. Začetni oz. dobljeni razporeditvi priredi permutacijo.
3. Ugotovi parnost permutacije .
4 . Če je permutacija liha, igra nima rešitve, sicer pa z algoritmom z za-
četka članka reši nalogo .
162
Za kon ec pa tole. Nekateri so konec prejšnjega stoletja mirne duše ponujali
1000 S (kar je bil tedaj še veliko večji denar kot danes) vsem, ki bi rešili začetni
položaj igre Petnajst, v katerem sta med seboj zamenjani le ploš čici 14 in 15.
Kdor je članek razumel, bo takoj ugotovil : ustrezna permutacija je Iiha, torej
rešitve ni. Vsi reševalci so se torej trud il i zaman in zastonj .
Sandi Klavlar
NAROČILNICA DRUŠTVU MATEMATIKOV, FIZIKOV
IN ASTRONOMOV SR SLOVENIJE
61111 Ljubljana, pp 64
Za našo šolo naročamo izvodov brošure
NASE NEBO IN ZEMLJA 1989
Brošura vsebuje, kot vsako leto tudi letos, množico tabelaričnih podatkov o
nebesnih telesih: Soncu, Luni, planetih, kometih, satelitih (naravnih in ume-
tnih) ter vidnejših zvezdah. Opisani so nekateri nebesni pojavi s pripombami,
ki so koristni astronomom-amaterjem pri šolskih krožkih in domači zabavi.
V dodatku pa so kronološki pregledi potresov v minulem letu na področju
Slovenije, Jugoslavije ter močnejših potresov drugod po svetu. Na naslovni
strani je znana in že večkrat uporabljena fotograf ija E. Aldrina, ki je 20. julija
1969 skupaj z N. Armstrongom kot prvi človek stopil na Lunina tla. Priho-
dnje leto bo torej minilo že dvajset let od tega za človeštvo tako pomembne-
ga dogodka. Knjigotržka cena brošure je 10.000 din (8.000 din).
Kraj in datum Podpis .
Šola
Točen naslov
163
IcnI'7Ll~R/~JR
32. REPUBLIŠKO
MATEMATIKE
TEKMOVANJE SREDNJEŠOLCEV IZ
To pomlad so mlad i matematik i slovensk ih srednjih šol pomerili svoje moč i v
Kranju . ISKRA - srednja šola je prevzela organ izacijo tekmovanja, ISK RA
SOZD pa pokroviteljstvo. Nekateri tekmovalci so prišli v Kranj že v petek,
1. aprila in prespali v dijaškem domu .
Popoldne je v Iskrinem šo lskem cen t ru Jože Vrabec predaval za učence
kranjskih srednjih šol.
V soboto je po skromni zakuski vse udeležence tekmovanja in goste po-
zd ravil ravnatelj šole Franc Lebar, nekaj vzpodbudnih besed pa jim je namenil
č lan kolegijskega poslovodnega organa ISKRE Jo že Godec. Tud i predstavn ik i
radia in televeizije so bili pr isotni in po Valu 202 obveščali o te kmovanju in
okrogli mizi. Ko so se učenci ubadali z nalogam i, so namreč sprem ljevalc i spre-
govorili o tekmovanjih srednješolcev iz matematike v naslednjih let ih.
Vseh tekmovalcev je bilo 161 in .to 49 prvošolcev, 43 drugošolcev ,36 t re-
tješolcev in 33 četrtošolcev. Za reševanje nalog, ki j ih je izbrala republiška te -
kmovalna komisija, so imeli dve uri in pol časa .
Naloge za prvi letnik
1. Šestmestno število se začenja s cifro 1. Če to enko prestav imo na zadnje
mesto, je novo šestmestno število trikrat večje od prvotnega . Po išči prvo -
tno število.
2. Pokaži, da je.Ja=1 +~ + -V'C=1" < .je (ab + 1) + 1, če so a,
b in e poljubna realna števila, ki niso manjša od 1.
3. Pet športnikov je sodelovalo na namiznoteniškem turnirju, vsak je z vsakim
igral po eno tekmo . Prvi igralec je XI-krat zmagal in YI-krat izgubil, dru -
gi X2 -krat zmagal in Y 2 -krat izgubil, ..., peti X s -krat zmagal in Ys -krat
izgubil. Pokaži, da velja:
XI
2 +X2 2 + X3 2 + X4 2 + Xs 2 = YI 2 + Y2 2 + Y3 2 + Y4 2 + Ys 2
4. V poljubnem trikotniku ABC naj bo Mrazpolovišče stranice AB, P pa po -
ljubna točka med A in M . Vzporednica k zvezn ici PC skozi M seka stranico
BC v točki D. Za razmerje r med ploščinama trikotnikov PBD in ABC
velja:
164
a) 1/2 < r < 1, odvisno od položaja točke P
b) r = 1/2, ne glede na po ložaj točke P
c) 1/ 2 ~ r < 1, od visno od položaja to č ke P
d) 1/3 < r < 2/3, odv isno od položaja točke P
e) r = 1/3, ne glede na položaj točke P
Utemelji svojo izbiro !
Naloge za drugi letn ik
1. Naj bosta a in b zaporedn i naravni šte vili, c pa njun produkt. Če je D =
=a2 +b 2 + c2 , je VO:
a) v vsakem primeru iracionalno število ,
b) v nekaterih primerih iraciona lno , v drugih racio nalno število ,
c) ved no liho štev ilo,
d) vedno naravno šte vilo; toda včasih liho , včasih pa sodo ,
e ) vedno sodo štev ilo.
Utemelji svojo izbiro !
2 . Reši enačbo :
log3x· log4x·logsx = log3x· log4x + log4x ·iogsx + logsx. log3x
3. Dan je krog s središčem S in polmerom r. V njegov i notranjosti leži točka
M.
a) Kje naj leži točka M, če moremo krogu včrtati kvadrat, ki ima točko M na
eni od stranic?
b) Točka M je postavljena tako , da se da včrtati kvad rat, ki ima M na en i od
stranic . Načrtaj ta kvadrat!
4 . Včrtani krog t rikotnika ABC ima središče v točk i S, očrtan i pa v točk i T.
Podaljšek daljice AS seka očrtano krožnico v točki D. Kateri odgovor
velja za poljuben trikotnik:
a) CD =BD = TD
b) AS= CS=SD
c) CD =CS=BD
d ) CD =SD =BD
e) TB = TC =SD Utemelj i svojo izb iro !
Naloge za t retji letnik
1. Pokaži : izmed štirih poljubnih realnih števil lahko izberemo dve taki (ozna-
č imo ju na primer z x in v). da velja
165
2. Dana je enačba x + l x + ~ + Jx + ~ = a. Ugotovi, pri katerih realnih
a je rešljiva in jo reši.
3. Stranico BC pravilnega petkotnika ABCDE podaljšamo do točke F, tako
da je C med B in F in da je CF = d. Zveznica AF sekastranico CD v točki
G. Izrazi dolžino CG z dolžino stranice petkotnika a in razdaljo d!
4. Skozi točko T, ki leži v notranjosti trikotnika ABC, načrtamo premico p,
tako da seka stranici AC in AB in da ne gre skozi nobeno oglišče tr ikotni-
ka. Naj pomenijo ha, hb in he oddaljenosti točk A, B in C od premice p.
Dokaži, da velja
ha' SSCT = hb' SATC + he ' SAST
(Pri tem pomeni na primer SSCT ploščino trikotnika BCT, analogno velja
za druge trikotnike) .
Naloge za četrti letnik
1. Dana je kvadratna parabola y = x 2 in točka T(2, O) . Poišči krivuljo, na ka-
teri ležijo temena kvadratnih parabol, ki gredo skozi T iri se dotikajo dane
parabole !
2. V kakšnem razmerju so stranice pravokotnega trikotnika , če tvorijo sinusi
notranjih kotov aritmetično zaporedje?
3. Naj bo n poljubno naravno število in Xl, X 2, •••, X n realna števila, večja od
1/2. Dokaži, da velja:
vx; +...rx; + ... +vx;,;;:. VXI +x2+" ,+ xn+ n- 1
4. V deželi oblike kvadrata s stranico 2 km je vladal kralj, ki se je nekega dne
pet minut pred dvanajsto odločil, da bo ob sedmih zvečer priredil sprejem
za vse prebivalce svoje kraljevine. Točno opoldne je poslal kurirja, da pone-
se novico med ljudi. Vsak, ki je zvedel za povabilo, je nemudoma sklenil,
da bo pomagal kurirju pri obveščanju sodeželanov.
Kurir je bil vajen "hitrih" kraljevih odločitev, zato je znal organizirati pre-
našanje sporočil tako , da so prišli vsi prebivalci pravočasno na sprejem. Pa
še to: vedel je , da vsi (tudi on sam) prehodijo 3 km na uro.
Bi tudi ti znal organizirati obveščanje tako, da ljudje ne bi zamudili?
Po tekmovanju so odšli vsi udeleženci tekmovanja na kosilo v dijaški dom
blizu šole, nato pa na Bled, kjer so si ogledali Plemljevo hišo in grad. Da so
nekateri matematiki zelo življenjski, so dokazali z vprašanjem, ki so ga postavili
ob prihodu na Bled . Zanimalo jih je, kje je biljard.
Proti večeru smo se spet zbrali v šoli v Kranju. Člani komisije in spremlje-
166
valci so medtem pregledali naloge, zato so si lahko tekmovalci ogledali rezul-
tate in se pritožili. Umestne pripombe so pregledovalci upoštevali.
Letošnje tekmovanje je bilo prvič podaljšano na dva dneva. Preko Izobra -
ževalne skupnosti smo uspeli dobiti dovolj sredstev, da smo vsem tekmovalcem,
ki so ostali čez noč v Kranju, omogočili brezplačno večerjo, prenočišče in
zajtrk.
Skupaj z učenci Šolskega centra Iskra smo še pozno v noč urejali vse po-
trebno za uradno razglasitev, ki je bila v nedeljo, 3. aprila. Žal je večina tekmo-
valcev že odpotovala domov in so na razglasitev prišli le predstavniki posame-
znih šol.
Priznanja so osvojili:
1. letnik
2. nagrada:
pohvale:
2. letnik
1. nagrada:
3. nagrada:
pohvale:
3. letnik
1. nagrada:
3. nagrada:
pohvale:
Blaž KORITNIK (SNŠ Ljubljana). Marko PETRUŠiČ (SNŠ Lju-
bljana), Marko PAVLlŠIČ (SŠEK Črnomelj). Dušanka KOCI(~
(STŠMT Celje), Bogdan TERTINEK (SNŠMZ Maribor);
Polona PETERLE (SŠPTNU Novo mesto), Tomislav LUŠIČ
(SŠNMEU Trbovlje). Tobi PUTRIH (SNŠ Ljubljana). Primož
ŠKU LJ (SNŠ Ljubljana). Urška DEMŠAR (SŠEN Ljubljana).
Boštjan DRINOVEC (SNŠ Ljubljana), Aleksander URŠiČ (NSC
Nova Gorica), Matjaž KOBAL (SNŠ Ljubljana)
Andrej BAUER (SNŠ Ljubljana)
Renata NOVAK (SNŠ Ljubljana), Marko KERN (SŠPRNMU
Kranj), Gregor DOLINAR (SŠPRNMU Kranj), Marko ŽERDIN
(SNŠMZ Maribor);
Alenka KAVKLER (SNŠMZ Maribor). Martin RAiČ (SNŠ Lju-
bljana), Sašo JEZERNIK (SNŠMZ Maribor), Borut LESJAK
(SŠPRNMU Kranj). Borut NOVAK (CSUI Jesenice). Gašper FI-
JAVŽ (SNŠ Ljubljana). Roman MODIC (SNŠ Ljubljana), Klemen
ČAS (CSŠ Titovo Velenje). Mateja ŽEPiČ (SŠPRNMU Kranj).
Tadej ŽANCER (SNŠ Ljubljana)
Andraž OBLAK (SNŠ Ljubljana)
Zoran SLANIČ (SNŠMZ Maribor)
Tatjana OZBiČ (STNŠ Postojna). Marjan JERMAN (SŠNMEU
Trbovlje), Matej KLEMENČiČ (SNŠ Ljubljana). Jaka CIMPRiČ
(SNŠ Ljubljana). Timotej EČIMOVIČ (SNŠ Ljubljana). Andrej
VILFAN (SNŠ Ljubljana)
167
4. letnik
1. nagrada: Matej KOLAR (STŠMT Celje)
3 . nagrada: Edi VOVK (ISKRA SŠ Kranj), Ambrož PONDELEK (SNŠ Lju-
bljana). Gregor SMREKAR (SŠR Ljubljana), Andrej FAJFAR
(SNŠ Ljubljana)
pohvale: Andrej LAMOVEC (SNŠ Ljubljana). Renato BERTALANiČ
(SCTPU M. Sobota). Tomaž VOLK (SNŠ Ljubljana). Božo SKOK
(SPNMŠ Koper). Mitja ŠTERMAN (NSC Nova Gorica). Emil ŽA-
GAR (SŠTUD Kočevje). Bor PLESTENJAK (SNŠ Ljubljana).
Tomaž SLIVNIK (SNŠ Ljubljana), Dušan PETROViČ (CSŠ Tito-
vo Velenje). Robert JERAJ (SŠPRNMU Kranj). Simon ABOL·
NAR (TSCBB Nova Gorica), Marko ROBNIK (SEKRŠ Titovo
Velenje), Jerica MAVER (NSC Nova Gorica), Andreja DROBNIČ
(SŠTUD Kočevje), Andreja GOMBOC (SCTPU Murska Sobota).
Vredne praktične nagrade sta prispevala pokrovitelj ISKRA SOZD in združeno
delo Gorenjske. Ob odhodu so tekmovalci dobili še bilten, ki ga je pripravil
organizator . Upamo , da so ti dnevi vsem ostali v prijetnem spominu.
Angelca Jaklič
19. ZVEZNO TEKMOVANJE OSNOVNOŠOLCEV IZ
MATEMATIKE
Zvezno tekmovanje mladih matematikov osnovnošolcev je bilo v soboto, 4. ju -
lija 1988, v osnovni šoli Heroj Ivan Muker v Smederevski Palanki. Tekmovalci
so se tu zbrali že v petek popoldne. V soboto je bila ob 9. uri najprej svečana
otvoritev tekmovanja, nato pa so učenci dve uri in pol reševali precej zahtevne
naloge, njihovim mentorjem pa so organizatorji medtem pripravili kratek semi-
nar o delu z nadarjenimi matematiki. Po kosilu so si tekmovalci in mentorji
ogledali mesto, tekmovalna komisija pa je medtem pregledala izdelke.
Tekmovalo je 40 sedmošolcev in 55 osmošolcev. Med njimi so po sklepu
republiške tekmovalne komisije Slovenijo zastopali: sedmošolca Karmen Flis
(OŠ Danila Kumar , Ljubljana) in Mitja Štrukelj (OŠ IX. korpusa NOVJ, Nova
Gorica) ter osmošolci Sašo Dolenc (OŠ Majde Verhovnik, Ljubljana). Mojca
Vilfan (OŠ Maks Pečar, Ljubljana). Janez Viher (OŠ Slavko Šlander, Maribor),
Jernej Stare (OŠ Prežihov Voranc, Ljubljana) in Tomaž Cedilnik (OŠ Ledina,
Ljubljana).
Naši tekmovalci so se na tekmovanju solidno odrezali , saj je Sašo Dolenc
osvojil III. nagrado, Janez Viher pa pohvalo.
168
7. razred
1. Šestino skupne količine nekega blaga so prodali z 20% dobičkom, polovi-
co pa z 10% izgubo. Z najmanj koliko odstotnim dobičkom morajo prodati
ostanek blaga, da bodo pokrili izgubo?
2. Naravno število n je zapisano v desetiškem sestavu s šestdesetimi sedmica-
mi in z nekaj ničlami. Dokaži, da je vrednost ulomka -E-"i-~?... celo število in
da vrednost ulomka ...!!-{-~- ni celo število.
3. Določi naravna števila n i, n2, ... , nk (ni nujno, da so med seboj različna).
tako da bo ni .n2 ... nk = 1988 in ni + n2 + ... + nk = 1988 (k> 1). Koliko
je različnih rešitev?
4. Na simetrali zunanjega ~.!a ob_~lišč~f tri~~nikaA8C je izbrana polju-
bna točka M. Dokaži, da je MA + M8 ;;;. AC + 8C .
5. V notranjosti enakokrakega trikotnika 6.A8C (XC = Be,"4AC8 = 80°)
je dana točka O, tako da je "48AO = 10° in "4A80 = 30°. Izračunaj kot
"4ACO.
8, razred
1. Dve ladji kreneta istočasno iz krajev A in 8 druga drugi naproti. Vsaka od
njih se, takoj ko pride v drugi kraj, obrne in vrne v prvotn i kraj . Prvič se ladji
srečata 5 km od kraja A, drugič pa 3 km od kraja 8. Kolikšna je razdalja med
Ain 8?
2. Dane so linearne funkcije y =-1, y =t x - 4, y =4x + ~ in y =2x + 7.
Izračunaj koordinate oglišč in ploščino štirikotnika, ki ga omejujejo grafi danih
funkcij .
3. Dokaži, da je razlika števila, ki je zapisano s sto enicami, in števila , ki je
zapisano s petdesetimi dvojkami, kvadrat naravnega števila.
4. N~~tranici CO pravokotnika A8CO je izbrana točka M, tako da je OM =
= 2. CM . Premici AC in 8 M se sekata pravokotno. Izračunaj kot "480M, kjer
je točka O presečišče diagonal.
5.:..._V_!!.otra.!!~s~.!."ik0!!llk~~8C je izbrana poljubna točka M. Dokaži, da je
AM· 8C + 8M .AC + CM ' A8 ;;;. 4p, kjer je p ploščina trikotnika A8C.
Aleksander Potočnik
169
26. REPUBLlSKO TEKMOVANJE SREDNJESOLCEV IZ
FIZIKE
Letos je bilo republi ško tek movanje iz f izike 7. maja v Mariboru. Organiz irala
ga je Srednja naravoslovna šola Miloša Zidanška, potekalo pa je v prostorih
Višje ekonomske komercialne šole. Ob otv oritvi sta tekmovalce in njihove men-
torje pozdravila ravnatelj šole ter dekan mariborske fakultete.
Od 159 tekmoval cev iz 19 srednj ih šol j ih je v skupini A (mehanika)
tekmovalo 62, v skupini B (energija) 47, v skupini C (elektromagnetika) 42 in v
skupini D (optika) 8. Medtem , ko so učenci reševali zahtevne teoretične nalo-
ge, so se nji hovi mentorji ter člani tekmovalne komisije zbrali na posvetu o
vsebini in oblik i prihodnj ih republiških tekmovan j iz f izike. Po daljši razpravi , v
kateri je sodeloval tudi prof. dr. Anton Moljk , so udeleženci prišli do zaključka,
da je potrebno na novo oblikovat i program za skupin i B in D.
Ob zaključku je tekmovalna komisija razglasila rezultate in podeli la pri-
znanja naslednjim tek movalcem :
Skupina A:
2. nagrada:
3. nagrada:
pohvale:
Skupina B:
1. nagrada:
2. nagrada:
3. nagrada:
pohvale:
Skup ina C:
1. nagrada:
2. nagrada:
3. nagrada:
170
Matjaž PIHLER (SNŠ Ljubljana)
Bojan RAMŠAK (SEŠ Ljubljana)
Aleš ČASAR (SCTPU Murska Sobota)
Jože ROVTAR, Gregor MALI (SŠPRNMU Kranj ). Rok PESTO-
TNIK , A leš TOMAŽEV iČ , Matej ŠiKOVEC (SNŠ Ljubljana) ,
T ine TR ETJAK (SŠTNPU Ravne na Koroškem)
Andre j VILFAN (SNŠ Ljubljana)
Igor ZRINSK I (SCTPU Murska Sobota)
Marijan ADAM (SNŠ Maribor) , Andrej ZRIMŠEK, Gregor
ČERNE, Janez VENCELJ (SŠPRNMU Kranj)
Vid BOBNAR , Griša OGRI ZEK, Tadej ŽO NTAR (SŠPRNMU
Kranj) , Jaka CIMPRiČ, Andrej PANGERŠiČ, Andraž OBLAK
(SNŠ Ljubljana). Marko GORČENKO , Janez BREST (SNŠ Mari-
bor), Miha MESARiČ (CSU I Murska Sobota)
And rej LAM OVEC (SNŠ Ljubljana)
Krištof OŠTI R SEDEJ (SŠPRNMU Kranj ) , Andrej FAJ FA R
(SNŠ Ljubljana)
A lešMOHORiČ (SŠPRNMU Kranj) , Tomaž VOLK (SNŠ
Ljublj ana)
pohvale: Gregor SMREKA R (SŠR Ljubljana), Igor GREŠOVNIK (SŠTNPU
Ravne na Koroškem), Edvin DUR I Č (SEŠ Ljubljana;' Beno
ARB ITER (SNŠ Maribor)
"O, čudo !
laj tuka j j ~ od l ič n ih bitij zbra nih !
lako je človek l ep I
O krasni n ovi sve t , kje r b iva t a k i e n r odI "
iz Biltena organ izatorjev. 171
Skupina O:
2. nagrada:
3. nagrada:
pohvale:
Andreja GOMBOC (SCTPU Murska Sobota)
Robert JERAJ (SŠPRNMU Kranj)
Blaž LORGER (SNŠ Maribor), Mitja ŠTERMAN (NSC Nova
Gorica), Anton KOS (CSUI Jesenice), Lars KR ISTAN (SNŠ
Ljubljana)
Komisija je določila ekipo za zvezno tekmovanje iz fizike v Zagrebu. Te·
kmovanja so se udeležili: Matjaž Pihler, Andrej Vilfan, Igor Zrinski, Marijan
Adam, Gregor Černe, Andrej Lamovec, Krištof Oštir Sedej, Andrej Fajfar,
Aleš Mohorič, Tomaž Volk, Andreja Gomboc in Robert Jeraj.
Skupina A - mehanika
1. Motorist vozi motorno kolo, ki ima kolesa s premerom 0,6 rn, razdalja
med njunima osema pa je 1, 5 m . Skupno težišče motorja in motorista je po
višini trikrat višje od razdalje osi koles nad tlemi, v vzdolžni smeri pa se nahaja
na sredini med osema. Koeficient trenja med gumo in cesto je 0,9. Izračunaj
razmerje zavornih poti pri maksimalnem možnem zaviranju, če motorist
zavira samo z zadnjo ali samo s prednjo zavoro.
2. Kolikšna sme biti hitrost motorista iz prejšnje naloge, da sezračnica med
vožnjo ne bo praznila? Ventil na motornem kolesu kaže slika 1. Koeficient
zemti, ki potiska ventil proti osi kolesa, je 75 Nim, vzmet je stisnjena na
dolžino 1,5 cm, neobremenjena pa jedoiga 3,5 cm. Maso vzmeti zanemarimo,
masa ventila pa je O, 2 g. Sila, s katero plin v zračnici pritiska na ventil, je 1 N.
Slikal Slika 2
3. Na klancu z nagibom 30° sta povezani preko škripca utež z maso M in po-
soda v obliki kocke, ki je do polovice napolnjena z vodo. Masa vode v posodi je
m, maso posode pa zanemarimo. Posoda z vodo se giblje po klancu navzgor
(slika 2).
a) Določi največje možno razmerje M/m tako, da bo voda ostala v posodi, če
ni trenja med posodo in klancem.
172
bl Kolikšno pa je to razmerje, če upoštevamo, da je koeficient trenja med po-
sodo in klancem 0,2 ?
4. Okrogla plošča z radijem 5 m inz maso 100 kg se vrti okoli svoje geome-
trijske osi . Po njej hodi mož z maso 60 kg s konstantno hitrostjo 1 mis glede
na ploščo, tako da se ves čas giblje po isti ravni črti, ki gre skozi središče plo-
šče. Ob času t = O, ko mož krene iz središča, se plošča vrti s frekvenco O, 1 S-I.
Ko pride do roba, se v trenutku obrne in nadaljuje hojo po isti črti.
al Kako se frekvenca vrtenja plošče spreminaj s časom? Kolikšna je največja
in kolikšna najmanjša frekvenca? Nariši graf odvisnosti frekvence od časa.
b) Zapiši, kako se kotni pospešek spreminja s časom .
c) Določi silo, s katero mož pri hoji odriva ploščo v prečni smeri. Kolikšna je
ta sila, ko gre mož skozi SIedišče plošče, kolikšna tik preden doseže rob in
kolikšna takoj po obratu? Nariši graf odvisnosti sile od časa. (Napotek: za-
piši enačbo gibanja samo za ploščo, tako da moža šteješ k okolici.)
dl Določi časovni potek sile, s katero mož odriva ploščo v smeri hoje.
e) Skiciraj pot moža po plošči, ki bi imela idealno gladko površino (brez
trenja). če bi imel mož v središču hitrost 1 mis v radialni smeri:
i) za opazovalca, ki se vrti hkrati s ploščo in
ii) za opazovalca, ki miruje glede na okolico.
Na skici jasno označi smer vrtenja plošče.
Skupina B - energija
1. Zračni tlak ob morju je 1010 mbara, temperatura zraka in vode je 25°C.
Litrsko steklenico zamašimo, jo potopimo 5 m pod vodno gladino z vratom
navzdol ter jo odpremo tako, da voda vdre v steklenico. Koliko vode je v ste-
klenici kmalu potem, ko smo jo odprli? Koliko vode je v steklenici po daljšem
času? Gostota morske vode je 1, 1 kgdm-3 , razmerje specifičnih toplot za
zrak pa je 1,4.
2. Na diagramu pIV) je narisana
krožna sprememba (1-2-3-1) ide-
alnega plina . Stanje plina v točki 1
je: Po = 1 bar, Vo = 1 m3 , To =OoC.
Volumen plina v točki 3 je 2 m 3 •
Isto krožno spremembo nariši na di-
agramu V (n in diagramu p(T)! Zna-
čilne točke na diagramih (1,2,3)
opremi s podatki, ki opišejo stanje
plina v teh točkah!
p
0(0,0) V
173
3. Ladja ima ravno d no in v njem luknjo veliko 1/1000 celotne pov ršine dna .
Stene ladje so navpične in visoke 20 m . Ali lah ko doseže 1, 5 km oddaljeno
o ba lo , če je sprva poto pljena za 15 m? Kljub po ta pljanju ves čas vozi s hitro -
stjo 5 mis.
4. Na testu avtomo bila UNO 60 so dobi li naslednje rezu ltate:
masa vozila z vozn ikom 900 kg
največja moč 43 kW
največja hit rost 157 km/h (v IV prestavi)
moč, potrebna za konstantno hitrost 100 km/h: 12,50 kW
pora ba pri hitrosti 100 km/ h: 5,3 I
pospešek 0 - 80 km/h: 8,7 s
pospešek 0- 100 km/h: 13, 8 s
al Do loč i , kako se moč motorja pri enakomerni vožnji spreminja s hitrostjo.
Pred postavi, da je upo r vsota sile, ki je neodvisna od hit rosti, in sile, ki
narašča s kvadratom hitrost i.
bl Določi koef icient zračnega upora Cu ' če je preč n i presek avtomobila
2,2 m2 in gostota zraka 1,20 kg/m 3 •
cl Določi mehansk i izko riste k moto rja pri hitrosti 100 km /h, če je sežigna
toplota bencina 43, 1 MJ/kg in gosto ta 0,731 kg/!.
d l Izračunaj pospešek pri hitrost i 90 km / h v III prestavi, če je razmerje pre -
nosov med III in IV prestavo 1,374 in če je navo r motorja skoraj neodv i-
sen od šte vila vrtl jajev. Izraču nan i po spešek primerjaj z izme rjenim.
Skupina C - e lektromagneti ka
1. Statič n i voltmete r kaže nap etost 1000 V. Z njega prenašamo naboj na
enak, vendar v začetku nenaelektren voltmeter, s kroglico na izo liranem drža ju.
Ko se s kroglico prvič dotaknemo voltmetra, pade napetost s 1000 V na 800 V.
Kolikšno napetost kažeta voltmetra po daljšem času ? Izgube naboja pri prena-
šanj u zanem ar imo.
2. Osem ravnih žic z uporom 1 ohm na meter zvarimo v obliko piram ide z
osnovno ploskvijo 20 x 20 cm in višino 30 cm . Magnetn o polje je vzporedno z
višino in vsako sekundo naraste za O, 1 T. Kolikšen tok teče v stranicah, ki
t vorijo osnovno ploskev?
3. Konstru iraj tuljavo, v kateri naj bo v 4 dm 3 prostornine približno homoge-
no magnetno polje z gostoto 500 gaussov . Na voljo imaš bakreno žico s preme-
rom O, 8 mm in specifičnim uporom 17, 5.10-9 nm ter izvor napetosti z
močjo 200 W. Če hočemo imeti približno homogeno magnetno polje v sredini
tulj ave na do lžini enega premera tuljave , mora biti razmerje med dolži no in
premerom tulj ave vsaj 3 : 1. Porabi ti želimo čim manj bakrene žice.
174
4. Dve dolg i planp aralelni kovinski
p lošč i , ki sta razmaknjen i za 2 mm,
potopimo v vodo , kot kaže slika . Za
kolik o se dvigne voda med pl ošč a­
ma, ko pri klj učimo med plošč i na-
petost 700 V?
Ev = 80, PV = 1000 kg/m 3 ,
Eo = 8, 85 .10-1 2 AsV- 1 m-1
Skupina O - op tika
U,.......---0 0- - ...,
1. 1 cm de bela stekle na plošča ima na eni ploskvi vzporedne ravne zare ze v
razda lji 10- 6 m . Na d rugo gladko ploskev pad a snop enobarvne svet lobe z
valovno dolžino 500 nm pod kotom 45° ta ko, da so zareze pravokotne na
ravnino žarka in vpadne pravokotnice . Pod kakšn imi koti glede na vstopajoč
snop žarko v izstopa svetloba na drugi str ani plošče ?
2. Ob jasnem , sončnem dnevu se igramo z zbiraino l e čo . V gorišče l eče posta -
vimo na obe h straneh počrnje no krožno p l ošč ico, tako da slika sonc a nastane
na sred ini ploščice . Do katere te mperat ure bi se plošč ica segrela, če b i se hla-
d ila samo s sevanjem? Sonce vid imo pod zorni m kot om O, 5° , gostota svetlo-
bnega toka je 1 kW/m2 , leča ima premer O, 2 m in gor išč no razdaljo O, 5 rn,
premer črne plošč ice pa je 1 cm.
0= 5,67.10-8 Wm-2K-4
3. Pravokotno na planparalelno ploščo pada enobarvna svet loba . Spodnja in
zgorn ja površina imata z obeh st rani enako odboj nost. Izračunaj koeficient
odbojnosti površine , če plošča pre pusti 90% vpadne svetlobe. Zanemari abso r-
bcijo svet lobe v plošči.
4. Pri nočnem lovu si ribič sveti s svet ilko, katere snop ima gostoto energi j-
skega toka 200 W/m2 • Spe kter sveti lke je prib ližno ena komeren na intervalu
valovnih do lžin med 400 nm in 500 nm , drugod pa je zanemarljivo majhen.
Med malico je ribič nepazljiv in v vod o mu pade nož . Do kolikšne globine ga
s svojo svetilko lahko še vid i, če ima rezilo odboj nost 1? Kakšne barve je
tak rat? Nariši pr ib ližen spek ter svet lobe, ki jo oko ta krat zazna l
Absorbcijski koefic ient za svetlobo pri 400 nm je O, 15 m- 1 , pr i 500 nm je
O, 2 m- 1 , vmes pa se spreminja linea rno. Relativna občutljivost očesa pri
400 nm je O in linearno narašča do 1 pri 500 nm . Oko še zazna energijski tok
z gostoto 3 .10-9 W/ m2 pri 500 nm .
Tr anscenden t no enačbo za globin o reši iterat ivno.
Iztok Kukman
175
3. REPUBLISKO' TEKMOVANJE IZ RACUNALNISTVA ZA
OSNOVNOSO LCE
V prostorih Srednje šole za Računalništvo v Ljubljani je konec aprila 1988 po -
tekalo 3. republiško tekmovanje iz znanja računalništva za osnovnošolce. Te-
kmovanja se je udeležilo 57 učencev iz vse Slovenije. Tekmovali so v treh skupi-
nah, in sicer:
najmlajši tekmovalci (1. do 4. razred OŠ) so tekmovali v reševanju nalog v
jeziku logo;
srednja skupina (5. do 6. razred OŠ) je tekmovala iz osnov znanja računal­
niške tehnike, algoritmov in obvladanja jezika basic in pascal;
starejša skupina (7. in 8. razred OŠ) je reševala zahtevnejše naloge s po-
močjo osebnih računalnikovPartner in Sokol.
Tekmovali so učenci, ki so že predhodno dokazali svoje znanje s področja
računalništva na šolskih (136 šol in okoli 3500 učencev) in regijskih tekmo-
vanjih v Mariboru, Novem mestu, Kranju, Ljubljani, Kopru, Celju in Novi Go-
rici (okoli 200 učencev).
Ob samem tekmovanju je bila zanimiva in privlačna tudi predstavitev
strojne in programske opreme slovenskih proizvajalcev, še posebej pa je prite-
gnil pozornost prenosni računalnik GEPARD z zaslonom na tekoče kristale.
Udeleženci tekmovanja so tudi z zanimanjem prisostvovali demonstraciji
Radio kluba Triglav Ljubljana in programom za računalnik ATAR 1.
Organizator tekmovanja je bila ponovno ZOTK Slovenije ob pomoči
Fakultete za elektrotehniko Ljubljana, Pedagoške fakultete iz Maribora, Sre-
dnje šole za računalništvo Ljubljana in Zavoda za šolstvo SRS.
Tekmovanje so podprli: Iskra Delta, Intertrade, revija MOJ MIKRO, Avto-
tehna, Paralele Ljubljana, Institut Jože Štefan. Še posebej se je izkazal KONIM,
ki je z lepimi nagradami (mikroračunalnikiza najboljše) podprl izvedbo tekmo-
vanja.
Na tekmovanju so bili doseženi naslednji rezultati:
1. skupina: 1. mesto: Gorazd GERLIČ,Maribor
2. mesto: Mitja ŠLENC, Ljubljana
3. mesto: Žiga RAMŠAK, Ljubljana
2. skupina: 1. mesto: Damjan LANGO, Koper
2. mesto: Marko MAČEK, Ljubljana
3. mesto: Boris NOVAK, Žiri
3. skupina: 1. mesto: Miha PETERNELJ, Kranj
2. mesto: Gregor ŠEGA, Ljubljana
3. mesto: Uroš MIDIČ, Ljubljana.
176
Med šolami je po številu doseženih točk na prvem mestu OŠ 15. DIVIZI-
JE , Novo mesto, kat eri je KONIM podaril eno izmed glavnih nagrad - to je
osebn i rač u n a l n i k AMIGA 1000. Tudi ostali udeleženci so prejeli pr iznanja in
iepe nagrade, npr. Commodore 4 p lus , Galaksija ipd.
Strokovna komisija, ki je ocenjevala izdelke tekmovalcev je mnenja, da je
prikazano znanje na zadovolj ivo visokem nivoju. Doseženi rezultati so vzpodbu-
da vsem mlad im , mentorjem, šolam in organizatorjem tekmovanja navkljub
mačehovskemuod nosu družbe do opremlj anja šol z r ač u na l n i k i.
Ivan Ger/ič
Naloge za jezik logo
1. Angleški jezik, ki ga uporabljamo v logu , nekatere moti, saj b i raje upora-
bljal i ukaze za želvo v slovenskem jez iku . Sestavi postopek (proceduro -
podprogram) za ukaz FORWAR D oz . FD, ki ju prevedi v NAPREJ in NP.
2. Gorazd je za svojega bratca Marka pripravil programa OBZIDJE in ŽAGA,
katerih rezultat lahko vidiš na spodnji slik i. Toda, pravilno zap isana pro-
grama je pomešal z nepravilnimi. Pomagaj mu med spodaj zap isan imi pro-
gram i izbrati pravilne (PRAVILNE OBKROŽI!).
TO OBZIDJE
REPEAT 5 [STOLP]
END
TO STOLP
REPEAT 2 [ FD 15 RT 90 ]
REPEAT 4 [ FD 15 RT 90 ]
END
TO OBZ IDJE
REPEAT 7 [STOLP]
END
TO STOLP
REPEAT 2 [ FD 15 RT 90 ]
REPEAT 2[FD15LT90]
END
TO ŽAGA
REPEAT 5 [ ZOB]
END
TO ZOB
RT 30
FD 10 RT 120 FD 10 ·
LT 150
END
TO ŽAGA
REPEAT 3 [ ZOB ZOB]
END
TO ZOB
REPEAT 10 { FD 10 RT 60]
END
177
3. Dobro si oglej spodnje slike in
zanje zapiši oz. dopolni progra-
me!
TO TRIKOTNIK: A
Iz dveh trikotnikov sestavi romb,
kot ga vidiš na sliki!
Iz štirih rombov nariši trak!
Iz trikotnikov lahko izrišeš tudi
program OKRASEK, ki gaprika-
zuje slika! Napiši program!
4. S podprogramom (proceduro)
LOK lahko napišeš program
VETERNICA, ki izriše spodnjo
sliko. Opravi to!
TO LOK: R
REPEAT 9 [FD:R RT 10]
END --------
, .{ / --
\ ... ( / ' :
~ ~ \ t >: - ..........
'<, '
. - / r;-....... -""""'-,
""-.- -"'"' I '" ". ,
-,./ ]\ -..
--" o I
- - / ~
.r
\/\/\/\/\
178
5. Marko je želel nar isati hiše, kot
to prikazuje spodnja slika . Poma-
gaj mi pr i t em delu !
6. Marku sta bili zelo všeč spodnji slik i, toda ni in ni ju znal narisat i. Za po-
moč je poprosil brata Gorazda, ki je nekaj časa razmišljal in opazoval sli k i,
nato pa vsklikni l: "Seveda, z rekurz ijo je to zelo enostavno!"
S pomočjo rekurzije tudi t i reši ta dva problema!
Ilir;:
7. S pomočjo rekurzije (torej brez ukaza REPEAT) napiši tudi program iz
naloge 51
8. Dobro si oglej spodnja okraska in zanju zapiši programi
179
Naloge za 5.-6. razred
1. Napiši program, ki prečita dolžino stranic pravokotnika A in B na eno de-
cimalko natančno. Pravokotnik pričnemo barvati skvadratki 3 x 3 mm v
levem spodnjem vogalu pravokotnika. Barvni kvadratek vključimo v pravo-
kotnik, če je več kot polovica površine kvadratka znotraj pravokotnika.
Program naj izpiše število potrebnih kvadratkov, da pravokotnik čim bolj
izpolnimo.
2. Založba takole izračuna ceno knjige:
osnovna cena broširane knjige je 2500 din in še po 90 din za vsako stran;
če število strani prekorači 300 strani, je potrebno uporabiti močnejšo ve-
zavo, kar poveča ceno knjige še za 1200 din;
če je število strani večje od 550 strani, je potrebna še kvalitetnejša vezava,
kar poveča ceno knjige še za 1000 din.
Sestavi program, ki bo prebral število strani in izpisal cene knjige .
3. Zamislimo si drevo, sestavljeno iz elementov od a(l) do aIN). Sliko dreve-
sa za N = 15 prikazuje naslednja slika :
a(1)
--------- ------a(2) a(3)-: <. / <.
a(4) a(5) a(6) a(7)
/\ /\ /\ /\
a(8) a(9) a(10) a(1n a(12) a(13) a(14) a(15)
** * **
N=3
** ** * ****
Sestavi program, ki prebere, v kateri vrstici in na katerem mestu v vrstici se
nahaja element ter izračuna in izpiše indeks elementa na tem mestu .
Primer : 2. element v 3. vrstici ima indeks 5 .
Smučarske skoke ocenjuje 5 sodnikov, z ocenami od 1 do 20. V skupni
oceni se najmanjša in največja ocena ne upoštevata, iz ostalih pa izračuna ­
mo povprečno oceno.
Napiši program, ki prebere vse ocene in izpiše skupno oceno skoka.
Napiši program, ki prebere Iiho število N, ki ni večje od 71, in izriše spo-
dnji lik v N vrsticah. *
Primera: N = 11 * * *
***********************************************
*180
5.
4.
Naloge za 7.-8. razred
1. Imamo tarčo, sestavljeno iz treh krogov s središčem v koordinatnem izho-
dišču. Napiši program, ki bo prečital 10 strelov vobliki podanih koordinat
x, y in izračunal rezultat v točkah. Zadetek na krožnico se šteje k notra-
njemu krogu.
Premeri krogov so 5, 15 in 25 centimetrov. Zadetek v notranji krog prine-
se 10 točk, v srednji krog 5 točk in v zunanji krog 3 točke.
2. Podjetje za prodajo sladoleda je postavilo prodajna mesta ob križiščih 8
ulic. Ulice so ošteviIčene s številkami od 1 do 8. Število prodanih siadole-
dov na posameznem križišču si vsakodnevno zapisujemo.
Napiši program, ki bo prebral enodnevne podatke o prodaji sladoleda in
izpisal, na kateri ulici so prodali največ sladoleda. Če je takih ulic več, naj
izpiše vse. Razpored ulic prikazuje slika.
181
2. Ob prihodu avtobusa na postajo vtipkamo v računalnik čas prihoda in čas
postanka avtobusa na postaji. Napiši program, ki izračuna in izpiše čas
od hoda avto busa z avtobusne postaje.
Primer: prihod postanek odhod
10 30 1 50 12 20
23 50 O 15 O 05
Podatek 1030 pomeni, da je ura 10 in 30 minut.
4. Zamislim o si drevo, sestavljeno iz elementov od a(l) do eiN) , Sliko dreve-
sa za N = 15 prikazuje slika pri 3. nalogi za 5.-6. razred.
Sestavi program , ki prebere zaporedno številko elementa in izpiše , v kateri
vrsti se ta element nahaja in na katerem mestu v te j vrsti se ta element na-
haja.
5. Ozek most so opremili s semaforjem in senzorjem . Klic funkcije SEMA-
FOR vrne vrednost 1, če gori zelena luč , in vrednost O, če gori rdeča luč.
Klic funkcije SENZOR vrne vrednost 1, če je avtomobil ob semaforju, in
vrednost O,če avtomobila ni ob semaforju.
Napiši program, ki bo ob koncu vsakega zelenega inte rvala izp isal število
avtomobilov, ki so prečkali reko.
PRESEK list za mlade matematike, fizike, ast roname in računalnikarje
16. letnik, šolsko leto 1988/89, številka 3 , strani 129 - 192
UREDN IŠK I ODBOR : V ladimir Batagelj, Dušica Boben (pisma bralcev , stavljenje teksta),
Darjo .Feida (tekmovanja iz mate matike). Franci Forstnerič. Bojan Goll i (tekmovanja iz
fi zi ke), Marjan H ribar, Damjan Kobal (razvedri lo) , Jože Kotnik, Edvard K ramar, Sandi
K lavžar (računalništvo) , Andrej Kmet, Peter K rižan (f izika) , Boris Lav rič (matemat ika,
odgovorni ured nik), Gorazd Lešnjak, Matija Lokar, Franci Obla k , Peter Petek (prem isli in
reši) , Pavla Ranzinger (astronomija), Tomaž Sku lj, Marj an Smerke (svetovalec za fotograf i-
j o ), Niko Prijate lj (glavni urednik), T anja Bečan (jezik ovn i preg led), Miha Šta lec (risbe),
Ciril Velkovrh (urednik, nove knjige, novice) .
Dopise pošiljajte in list naročajte na naslov: D ruštvo mate matikov , fi z ikov in astronomov
SRS - Pod ružn ica Ljubljana - Kom isija za t isk, Presek, Jadranska c. 19 , 6111 1 Lj ubljana,
p.p , 64, tel. (061) 265-061 /53, št. žiro raču na 50101-678-47233. Naročnina za šolsko
let o 1988/89, vplačana do 31 . 12. 1988 , je za posamezne naročnike 10.000.- din , za
člane društva 8000.- d in, za skupinska naročila šol 5000.- din , posamezna številka
2000.- d in (15'b0.- d in).
Li st sof inancirajo Izobraževalna, Kultu rna in Raziskovalna skupnost Sloven ije
Ofset t isk Časopisno in grafično podjetje DE LO , Ljubljana
© 1988 Dru štvo matematikov, f izi kov in astronomov SRS - 930
182 ISSN 0351-6652
SLIKOVNA KRIŽANKA - CASTNI ClAN DRUSTVA
SESTAV IL
MARKO
BOKALIČ 1------1
SVOBODA
STRAN
DEL
ELEKTRO-
MOTORJA
QVENJE·
NOST
RAS TL INA
CVETNICA
LESENA
K L ADA
KON ICA
SMUČ i
INDI JSKI
H RAST
STAREJŠ i
Ž iVAHEN
PLES
FRANC.
SLIKAR
(AUGUSTE )
M IRNO
VAŠKO
RAZ PO-
LOŽENJE
NOTRANJ ·
SK I KRAJ
NAJVEČJA
. Ž IV AL OBROK
NA SVE TU ODP LAČ i LA
DOM Al; E
MOŠK O
IME
ŠVED. IME
FI N. MESTA
TU RKU
PL O D
LDZN ICA
SPA NJ E
POKLON
SLADEK
JUŽ NI
SA DEŽ
ČRN I
OVES
HALOGEN
KE M IJSK I
ELEMEN T
NEKDANJ 1
OKOS TJ E JAPONSKI
PREM IER
183
DCL/-l'C /"°1ne:
I "LJ I ~L "'L_ J
19. ZVEZNO TEKMOVANJE OSNOVNOŠOLCEV IZ
MATEMATIKE - Rešitev s str.1G8
7. razred
1. Naj bo k skupna količina blaga in c plan irana cena. Iz danih podatkov do-
bimo enačbo ~. 0,2 c + 4.x. c = 4- O,1 .c, kjer je x iskani ulomek. Rešitev
enačbe je x = O, 05, kar pomeni, da morajo ostanek blaga prodati s 5% do-
bičkom.
A'
A
8
2. Vsota cifer števila n je 60.7 = 420. Torej je n deljivo s 3 in zato je tudi
n - 27 deljivo s 3. Ker 420 ni deljivo z 9, tudi n ni deljivo z 9 in zato tudi
n + 27 ni deljivo z 9.
3. Ker je 1988 = 2.2.7.71 in 2 + 2 + 7 + 71 = 82 je ena izmed rešitev
nl.n 2 •••• nk = 2.2.7 .71.1.1. 'OO .1 (1906 enic). Rešitev je 10 (kolikor je
različnih načinov razcepa števila 1988).
4. Točko A prezrcalimo preko si-
!!l~ale z~~njega kota ob C, zato je
CA' = CA . Lahko je dokazati, da
sta trikotni~ ACMJn A 'CM skladna,
z~~ je A'~ =~~ . O<!!~d do.!?!...mo
MA + MB = MA' + MB > BA'=
-- -- -- - -
= BC +CA' = BC +A C
5. Naj bo M presečišče višine CD
trikotnika in premice BO. Trikotnik
ABM je enakokrak, zato je "4MAB =
= "4MBA = 30°. Tako je tudi
"4CAM = 20° = "4MAO. Poleg tega je
"4ACD = 40° in "4AOM = "40AB +
+ "40BA = 40°. Trikotnika AOM in
AMC imata po dva enaka kota in
skupno stranico ~M, z~2. sta skla -
dna. Torej velja AO = AC in zaradi
"4CAO = 40° dobimo "4ACO = 70°. 4
c
184
8. razred
x
y=-1
1. Označimo razdaljo med A in B z x , hitrost ladij z V1 in Vz, čas do prvega
srečanja s t1 in čas od prvega do drugega srečanja s tz . Tedaj je V1 t 1 = 5,
Vz t1 = X - 5, V1 tz = 3 + (x - 5) in Vz tz = 5 + (x - 3). Iz x ::--2 = -~i~­
dobimo 12x - X Z = O in zaradi x > O, x = 12.
2. Označimo oglišča z A, B, C in
D. Njihove koordinate soA(-4, -1) ,
B(2, -1), CIB, 5) in 0(-2, 3) .
P =-} AE.ED + 1- (ED +BF). i8-+
1 -- _ Z.4 4+ 5 4+ 1: BF. V8F - -"2 + -"2-' +
+ _\i- = 32.
y= 2x+7
B
B
185
c
A
3. 111...11 -222...22=i'(10100-1)-i'(1050-1)=
= i' (10100 - 1 - 2.1050 + 2) = i' (10Z .50 - 2.1050 + 1) = (.J...Q:'~::..1_)Z
Ker je 1050 - 1 deljivo z 9, je deljivo tudi s 3 in je s tem trditev dokazana.
4. Naj bo E središče stranice BC. O M
Tedaj je DE 1 BC. Točka V (glej sli-
ko) je višinska točka trikotnika OBC,
zato je tudi CV lOB. DV je tudi
srednj ica trikotnika DBM, zatoav = t OM = MC. Štirikotnik
OVCM je tedaj paralelogram, zato
OM il CV in odtod OM lOB.
A
5. Naj bosta Bl in Cl nožišči pra-
vokotnic iz B in C na premico AM.
Tedaj je PA 8M = -} AM.BB~ in
PACM = -} AM.cc;. ,odtod pa
PA BM +PACM = t AM (iiB~ + cc;.)
~ i- iM.Bc. Podobno dobimo
PACM + P8CM ~ 1- CM.AB in
PA8M+P8CM ~ -}BM.AC.
Ko seštejemo zadnje tri ocene, dobi-
mo neenakost, ki jo je bilo treba do-
kazati.
SOL. TEK. IZ MAT. ZA SREDNJEŠOLCE - Rešitev iz P-2, str.
Prvi letnik
1. Opazimo, da so faktorji simetrični glede na število 1240, zato izberemo
x = 1240 in pišemo
(x - 2)(x - 5)(x + 2)(x + 5) - (x - 1)(x - 6)(x + 1) (x + 6) - 8(x - 3)(x + 3)=
= (x 2 - 4) (x 2 - 25) - (x 2 - 1)(x 2 - 36) - 8 x 2 + 72 = 136
2. Štirimestno število, v katerem je prva cifra enaka tretji, druga pa četrti,je
vedno deljivo s 101, kar se vidi iz: 1000a + 100b + 10a +b =101 (10a +b).
3. Če z x označ imo delež, ki ga venem dnevu opravi človek, in z y delež, ki
ga prispeva traktor , velja: 12(30x + 2y) = 1 in 10(20x + 3y) = 1. Rešitev
sistema je x = 1/1000 in y = 2/75. Odtod sklepamo, da oprav i 40 ljudi z
enim traktorjem venem dnevu 1/15 dela , torej pospravijo krompir v 15
dneh .
4. Nalogo prevedemo v ravninski
problem, če ene od stranskih ro-
bov piramide zamenjamo s polo-
vicami d iagonal kvadrata, druge
pa s krivuljami od oglišč kvadra-
ta do neke točke zunaj kvadrata.
Drugi letnik,
\ oS 1. Najprej načrtamo pravokotnico
\ .
\ : I na dano premico iz središča kro -
\ 0 ' i C'I<;!- ._ ._ ._,_. _ ._.l;1 ga. Denimo, da ta seka premico v
i\ / ~ točki T. Izberimo točki A' in 8'
\ / : na premici tako, da je T razpolo-
' 1 višče daljice A '8', in načrtajmo
" : / I kvadrat A '8'C'D', ki ga podo-
" 1 I bnostno povečamooziroma
A' T B' zmanjšamo.
2. Rešimo sistem 2x + 3y - 13 = O, x - y + 1 = O, pa imamo a = (2 ,3 ,1) .
3. Dolžina vektorja aje...;3, dolžina b pa 3, skalami produkt a-b = -9/2.
Vektor s = (b - 5a) 16, zato s-s = (b-b - 1Oa-b + 25a·a) 136 in odtod dobi -
mo dolžino vektorja s : V129/6 .
4. Isto kot 4 . naloga za prvi letnik .
186
Tretji letnik
211 X11
y
-11/2
Ker ne gre skozi izhodišče, je a =1= -1 /4. Druga koord inata temena mora
biti 4, zato -(4 + 4a (4a + 1)) /(4a) = 4, kar da a = -1 .
Dano enačbo kvadriram o: sin2 (a /2) + 2 sin (a/2) cos(a/2) + cos?(a/2) =
= 5/9, od koder dobim o sin a = -4/9.
a) Ker je Y = 3 + 4cosx + cos2x=
= 3 + 4 cosx + cos2 X - sin2 x =
= 2( 1 + 2 cosx + cos2 x) =
= 2(1 + COSX) 2, funkcij a ne zav-
zema negativne vrednosti.
b) Upoštevajmo točko al, pa
imamo Y = (1 + cosx) ..y2
Za pravilno šeststrano pokončno piramido z osnovnim robom a in višino v
je prostornina Vp = a
2 v ..;3/2, njej včrtan stožec pa ima prostornino
Vs = 11 r2 v/3 = 11 a2 v/4. Torej je razmerje VsIVp = 11 ..;3/6 . Poglejmo
še, kako je s površinama: Pp = 3a(a ..;3/2 + VI ) in PS = 11rir + s) =
= 11 a 0 (a 0/2 + V I )/ 2 t er PsIPp = 11 V3/6 (tu je v fo rmulah upora -
bljena oznaka VI za st ransko višino pi ramide in s za stranico stožca).
2.
1.
3.
4.
Četrti letnik
1. Iz pogojev naloge dobim o b = a + d in c = a + 2d (aritmetično zaporedje).
Diskriminanta enačbe je zato D = 4(a2 + 2ad + d2) - 4a(a + 2d) = 4d2 :>
:> O, zato ima enačba realne rešitve.
2. Členi zapredja bn se končajo s cifro 4 ali 9 , zato so skupni členi vsi kvadra-
t i naravnih števil , ki se končajo s 4 ali 9. Izbrati moramo torej n = lOk + 2,
lOk + 3, lOk + 7 ali lOk + 8 (k :>O) van, če dopuščamo možnost bo =
= 4, sicer pa a2 izvzamemo.
3. Če s p in q označimo koordinati središča, z r pa polmer krožnice, potem
velja : p = (Xl + x2) /2, q = (YI + Y2)/2 in r2 = (X2 - xI!2 /4 +
+ (Y2 - yI!2/4. To upoštevamo v enačbi krožnice (x _ p)2 + (y _ q) 2 =
= r2 , združimo člene, ki vsebujejo x, Xl in X2' in člene , ki vsebujejo Y, YI
in Y2' razstavimo razliki kvadratov (npr. (x - (Xl + X2)/2)2 -
- (X2 - x d 2 / 4 = (x - x zl(x - xI! in podobno za y). Pa je rezultat tu .
4. Naje.r~ izr2..~namo dolžino katete BD v trikotniku ABD in ugotovimo, da
je BD = AC , zato sta AB in CD vzporedni. Poleg tega je ploščina tr iko-
tnika ADC enaka ploščini trikotnika SDC , kjer S pomeni središče daljice
AB. Naloga se torej prevede v iskanje ploščine deltoida SDTC, za katero pa
lahko z uporabo trigonometrije ali podobnosti ugotovimo, da meri 175/6.
Darjo Fe/da 187
ODGOVOR na nagradno vprašanje iz P-XV/5, str. 265
Z nagrado ne bo nič, saj tudi z odgovori tokrat ni bilo nič. Zato skupaj razmi-
slimo o postavljenih vprašanjih.
Dokažimo najprej, da točka M ne more ležati zunaj trikotnika. Na slikah 1
A
Slika 1 Slika 2
in 2 sta narisana oba značilna položaja točke M zunaj trikotnika ABC. V prvem
primeru nam trditev potrjujejo ocene
Slika 3
B'
8
Slika 4
8
AM +BM +CM > AM +BM ;;;:. AN +BN ;;;:'AC +BC +CC
v drugem pa jo dokazuje očitna neenakost
AM + BM + CM > AD + BD + CD
188
Denimo, da velja "4CAB > 120 0 • Iskana točka M po prejšnjem leži v tri-
kotniku ABC (ali na njegovem robu), M' pa v trikotniku AB'C'. Zato velja
(glej sliko 3) ocena
AM +BM +CM = BM +MM'+M'C~ AA +BA +CA
torej M sovpada z ogliščemA.
Če naj bi točki M in M' (v tem primeru) ležali na daljici BC, kot je zapisa -
no v do.!5~zu (P.=-l<V/5..!..~r. 264), bi bili razvrščeni v '~~ačnem" z~.Eredju.
Vsota AM + BM + CM bi bila tako za dolžino 2 MM' daljša od BC' (glej
sliko 4) .
Boris Lavrič
DVE NALOGI - Rešitev s str. 137
1. Na sliki je prikazano, kako dobi-
mo polovico prostornine lonca
vode. Potem le še dopolnimo iz
večjega manjši lonec do vrha in v
večjem loncu ostane želen 1 liter
vode.
2. Števila iz srednje kolone so po-
tence, katerih osnove so v prvi
koloni, eksponenti pa v tretji.
Zato manjka 6 2 = 36.
Dragoljub M. Miloševic
prev. Peter Petek
SLIKOVNA
PODROCJA
Rešitev iz P-2
KRI2ANKA
PRESEKA
L
EK
T I
A i V A S
ANJ E
"1:':" URA
189
MATEMATICNI KROŽEK - Rešitve s str. 163
1. Označimo dolžino dveh pravokotnikov iz P z av bl in az, b z ter brez
škode predpostavimo, da je al ~ bl, az ~ bz in al ~ az. Če sta diagonali
obeh pravokotnikov enako dolgi, veljaal z +bl Z = az z +bzz, torej
azz -al z =b l
Z -bz
z = (bl -bz)(b l +bz)
Leva stran enakosti zaradi predpostavke za P ne presega 99. Če velja
bl '* bz, na desni dobimo več kot 100, torej pridemo do protislovja. Zato
jeb l =bz in tedaj šeal =az.
2. Poglejmo na sliko, kjer točka J
označuje Janezov, točka M pa
Mickin položaj. Zaradi podobno-
sti pravokotnih trikotnikov JKL,
MNS in enakosti
r = SJ = SM , m = SL = LK
velja
__,-_ = ~~ =:f! = .!.::_"2.
m.../2 SN- CK m
Od tod dobimo r = (2 + .,fi)m in nato KM = 2m = r - vi m =
=SM - sI< = KM =100 m.
3. Zaznamuj mo zadnjo cifro v desetiškem zapisu števil n in an zaporedoma z
x in y. Če je x E { O, 1,5, 6 } , potem je očitno y = x. Za x = 4 dobimo
y = 6, ker je eksponent m izraza an = nm v tem primeru sodo število. Po-
dobno ugotovimo, da pri x = 9 velja y = 9. Pri pogoju n > 2 za x E {2, 8 }
najdemo y = 6, ker je eksponent m tedaj deljiv s štiri. Z x = 3 in x = 7 je
nekoliko več dela. Tudi tu je y odvisen od ostanka, ki ga da pri deljenju s
štiri eksponent m. V obeh primerih (x = 3, x = 7) je n lih, zato velja
m = n2 k - 1, k E IN. Brž vidimo, da tedaj m in n dasta pri deljenju s štiri
ista ostanka (1 ali 3). Od tod najdemo iskani y. Če je x = 3, za n = 3,13,
23, 33, ... dobimo izmenoma y = 7, 3, 7, 3, , pri x = 7 pa imamo za
n = 7, 17, 27, 37, ... zaporedoma y = 3, 7, 3, 7, Zaporedje ostankov y
se torej od tretjega člena a3 naprej periodično ponavlja speriodo 20:
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 .
y 147656369 0163656769 0167 .
190 Boris Lavrič
72. V škatli imamo toliko vžigalic, da lahko iz njih sestavimo katerikoli par
pravilnih likov, ki so spodaj narisani, pri čemer vsakokrat porabimo vse
vžigalice. Stranice likov niso predpisane, torej so kakršnekoli. Za lažje
razmišljanje si oglejmo primer, ko je v škatlici enajst vžigalic! Iz njih bi
lahko sestavili trikotnik (iz 6 vžigalic) in petkotnik (iz 5 vžigalic). pet-
kotnik (5) in šestkotnik (6). kvadrat (8) in trikotnik (3), ne moremo pa
sestaviti kvadrata in petkotnika, niti trikotnika in šestkotnika. Ugotovi
zdaj. najmanjše število vžigalic v škatlici, da bomo še lahko sestavili vsak
par likov!
KRATKOCASNE V21GALlCE Rešitev z II. str. ovitka
... in tako naprej.
67.
10 --
14 F===.
11
-------.
~
--------"
15
12 13fI1
L~
16 Pr-=
~~~
191
~
II
68 . Nalogo najlaže rešimo tako, da gremo nazaj od končnega vzorca k začetne­
mu in si zapomnimo poteze. Potek pa je takle:
~ ~ ~ ~
~ ~ x ~
~
Rešitev je lahko seveda več. Premikamo rdečo vžigalico . Igra je mogoča z
najmanj 8 vžigalicami. To bomo dokazali tako, da bomo šli nazaj od dveh in
treh prekrižanih vžigalic.
Očitno ne more nobena vžigali-
ca skočiti čez dve.
Tudi tu ne more nobena vžiga-
lica čez dve.
Tu moramo opozoriti, da mora vsaka vžigalica pristati na tretji, ko igramo na-
prej, oziroma lahko premaknemo le tako vžigalico, ki je na drugi vžigalici, ko
igramo nazaj.
69. Potek reševanja bomo tokrat opisali drugače (tudi prej bi lahko storili ta-
ko). Vžigalice oštevilčimo s številkami od 1 do 12, nato pa premikamo: 7 na
11, 6 na 11, 8 na 2, 9 na 2, 10 na 12, 5 na 12, 3 na 1, 4 na 1. Da je 12 najmanj-
še število vžigalic, pri katerem je igra še mogoča, bomo zopet dokazali z raz-
mišljanjem v obratni smeri. Začnimo z eno samo trojico, tu ni mogoča nobena
poteza. Dve in tri trojice pa se ustavijo po dveh potezah:
192
69. -
-
-
-
~ * ~ ~
~ * ~~ *
~~ * ~ *
~ * ~ * .~
70. Ko smo nalogo posplošiti, smo na lepem začeli govoriti o skupinah namesto
o prekrižanih vžigalicah. Zakaj? Kar poskusi prekrižati 20 vžigalic! Poskusi to
še narisati! Torej bomo imeli namesto n prekrižanih vžigalic skupino z n vžiga-
licami. Premišljujemo spet nazaj. Pri eni skupini z n vžigalicami ni mogoča no-
bena poteza . Pri dveh skupinah lahko naredimo le n - 1 potez (dobimo n - 1-
krat po eno vžigalico, skupino z n vžigalicami in eno vžigalico) , potem pa se
stvar ustavi. Tudi pri treh skupinah se ustavi po n - 1 potezah, le da pridemo
tu do teh vzorcev:
n,n-1 krat 1,n,1
i, n, 1, n, n-i-1 (O~ i ~ n - 1)
V nobenem primeru ni več mogoče narediti poteze. Če pa imamo vsaj 4 skupi -
ne, lahko zmeraj naredimo v n potezah zaporedje n samostojnih vžigalic, čez
katere potem nosimo vžigalice iz drugih skupin. Prepričaj se o tem še praktič­
no! Vzemi najprej tri skupine po 5 vžigalic, nato jim pa dodaj še četrto!
71. Odstraniti je treba najmanj 9 vži-
galic:
72. V škatlici imamo 36 vžigalic.
Sestavljamo pa takole:
trikotnik (12) in kvadrat (24).
trikotnik (6) in petkotnik (30).
trikotnik (6) in šestkotnik (30),
kvadrat (16) in petkotnik (20),
kvadrat (12) in šestkotnik (24).
petkotnik (30) in šestkotnik (6) .