Zbornik gozdarstva in lesarstva, Ljubljana, 41, 1993, s. 203 - 236 GDK 123.456 Math.Subj.Class. 91A22 ŠTIRI POSPLOŠITVE PORAZDELITVE BETA Anton CEDILNIK 1 Izvleček Porazdelitve, opisane v tem sestavku, imajo isti kompleksno analitični funkcijski izraz kot običajna porazdelitev beta, nosilci pa so omejeni, na eno stran omejeni ali neomejeni inter- vali. Te porazdelitve analiziramo, izračunamo momente, določimo racionalne transformacije in izpeljemo še nekaj limitnih izrekov. [(ljučne besede: porazdelitev beta, limitni izrek FOUR GENERALIZATIONS OF BETA DISTRIBUTION Anton CEDILNIK 1 Abstract The distributions, described in the article, have the same complex-analitic functional expres- sion as the usual beta distribution law; however, the supports are bounded, one side bounded or unbounded intervals. We analyse these distributions, calculate the moments, determine rational transformations and deduce some limit theorems. [( ey words: beta distribution, limit theorem 1 Dr., docent, Biotehniška fakulteta, Oddelek za gozdarstvo, 61000 Ljubljana, Večna pot 83, Slovenija 204 Zbornik gozdarstvn in lesar.stM, 41 ------------·-····- ----·-·----- KAZALO 1 lTVOD ..................................................................................... 205 :Z DEFINICIJA PORAZDELITVE UETA ................................. 20G :J OPIS PORAZDELITVE BETA ............................................. 212 4 MOJ'vfENTI ............................................................................. 217 5 TRAI\SFORMACl.JSKl IZREKI.. .......................................... 220 6 LIMIT~I IZREKI ................................................................... 224 VTRI ................. : ...................................................................... 2:Hj l. UVOD 205 Cedilnik, A .: Štiri posplošitve porazdelitve beta Pomembnost porazdelitve beta v gozdarskih in nasploh bioloških vedah je nesporna, ker ima nasproti normalni porazdelitvi (katere uporaba je pretirana) kar nekaj pred- nosti. Prva prednost je njena omejenost. Mnoge količine v biotehniških vedah so omejene, vendar jim prilagajamo normalno porazdelitev zaradi domnevne podobnosti, ker so njihovi histogrami pač značilne "zvonaste" oblike. Porazdelitev debelin dreves je že taka količ.ina, ki paje brez dvoma omejena tako navzgor kot navzdol. Seveda je res, da gre normalna porazdelitev daleč proč od srednje vrednosti zelo hitro proti O, vendar se vseeno sliši groteskno, da je verjetnost za, na primer, negativno debelino drevesa neničelna. Druga prednost beta porazdelitve je nesimetričnost poljubne stopnje. Že omenjena debelina drevesa je znač.ilen primer slučajne spremenljivke, kije v nekaterih (naravnih) sestojih asimetrična v desno, v drugih (redčenih sestojih) pa v levo; prilagajanje take porazdelitve na Prokrustovo posteljo normalne porazdelitve pomeni hudo izgubo informacije, da o dvomljivih rezult.atih niti ne govorimo. Naslednja prednost beta porazdelitve so parametri. Že osnovna porazdelitev beta ima dva, afino deformirana pa ima kar štiri in vsaj dva sta zelo preprosto obvladljiva, kar pa njune učinkovitosti pri prilagajanju prav nič ne zmanjša. Eksponentna parametra imata, resnici na ljubo, to slabo stran, da povzročita hudo neelementarnost porazdelitvene funkcije; izraža se namreč z nepopolno funkcijo beta, ki je precej bolj sitna kot Gaussov integral ( oziroma funkcija napak) pri normalni porazdelitvi. Posplošeno porazdelitev beta, natančneje, njeno gostoto verjetnosti bomo definirali z istim izrazom, s katerim je definirana navadna porazdelitev beta, le da bodo parametri v splošnem poljubna kompleksna števila, nosilec gostote pa bo kateri koli interval med singularnimi toč.kami. Kot kompleksna analitična funkcija je torej gostota za vse posebne primere ista. Ti posebni primeri so štirje: navadna beta porazdelitev, ena navzdol neomejena, ena navzgor neomejena in še ena na obe strani neomejena. Izkazalo se bo, da smo tako dobili tudi Snedecorjevo in Studentovo porazdelitev, kar kaže na intimno zvezo med temi porazdelitvami. Vse štiri porazdelitve bomo podrobno opisali in izračunali njihove momente. Raziskali bomo, kako se porazdelitve spreminjajo, če slučajne spremenljivke utrpijo racionalno transformacijo. Videli bomo, da so prvi trije posebni primeri, omenjeni v prejšnjem odstavku, v tesnem sorodstvu, zadnji, neomejeni tip pa racionalne transformacije v splošnem ne povezujejo s prejšnjimi. V zadnjem poglavju bomo izpeljali limitne 206 Zbornik gozdarstvo iu l,,sw·slua, 41 ·------------------------- izreke za obravnavane porazdelitve. Limitne porazdelitve so gama in njej sorodne porazdelitve ter normalna porazdelitev. 2. DEF1NICI.JA PORAZDELITVE llETA l. DEFINICIJA Posplošena porazdelitev bela je zvezna porazdelitev, podana z gostoto ( ) { A(J.: p ;x: = o , ,:EDCIR} , xEIR-1) (1) Pri tem so A, p, q, a, b kompleksna števila, p, q f/:. 1), 1) pa je odprt interval, katerega krajiši'i sta dve izmed sinr;ularnih lo('k p, q, ±cX). Števila A, p, q, a, b in območje 1) morajo biti seveda izbrani tako, da je funkcija p(x) za vsak x E IR realna nenegativna in da je (2) Najprej uveljavimo zahtevo po realnosti funkcije p(x) na ·v. p( x) = A • exp [ a • Ln ( x - p) + b • Ln ( x - q)] (3) Ln ( x: - p) 1 ' ( 2 lnl x + iArg (x ]'1 - ip2) l 2 . 2 . Ln (x - q) = 2 ln[(x - q1) + q2] + 1Arg (x - q1 iq2) a · Ln (x - p) + h · L11 (x- q) = R1 ·! iH.2 = J . ') ., (ft1 ln[(,: - p1f + p2] - a2Arg (x P1 - ip2) + +ib1 ln[(x - q1)2 + q~] - b2Arg (x - q1 - ic12)) + '( A ( . . 1 1 [( . 2 2] +ia1 rg x-p1 1p2)+ri2 ll x-p1) +P2 + . I 2 ,, +b1Arg(x q1~1q2)+ 2b2ln[(x-qi) +q2] (4) p(x) = [(A1 cos R 2 - A2 sin R2) + i(A1 sin R2 + A2 cos R2)] · exp R1 (5) 207 Cedilnik, A.: Štfri pm,plo.ifitve pomzdditne beta Zahteva po realnosti je torej na V: (6) Ker je ta izraz konstanten na nepraznem odprtcrn intervalu, je nJeg;ov odvod tam enak O: (7) Recimo, da je A 1 cos R:i - ib sin R2 = O za nek x E 1). Pomnožimo to enai.'.ho z A 1 in enačbo (6) z A2 pa dobimo: (Ar + 11~) ('.OS R2 O, kar da: cos R2 = o, saj je nujno A f O in z njim tudi: IAl2 = Ai + A~ =:/ O. Potem pa iz obeh pogojev dobimo še: A1 sin R2 = -A2 sin R2 = O, kar da še: sin R2 O in s tem protislovje. Torej je povsod na 1); Ker je: A,g (x-A-iµ) = { iz česar dobimo: dR2 =O cfa: - .• arctan x;>- - 1 + 2br 2krr 1r + 2k1r ard.an ,r-\ + "'- + '2hr ,, 2 ' Jt > o , Jt = o , Jl = 0 , fl, < () d ( \ . ) I' -d. Arg x - /1 - 1;1 = ( \) 2 . ,, , J.: X - /\ + /l~ dobimo iz identitete (8) naslednjo identiteto: a2J: + ,11112 - a2J>1 b2J: + b11J2 - b-.u/1 (J:-p1)2+p~ + (x q1)2+q~ ::::O. (8) } , k E Z, (9) {10) ( 11) Če pomnožimo enačbo z obema imenovalcema, dobimo na levi polinom, katerega vsi koeficienti morajo biti enaki O. To nam da štiri enačbe: ( 12) (13) - 2a1p2q1 + 2a2p1q1 + a2qi + a2q~ - 2b1p1q2 + 2b2P11/1 + b2Pi + b2p~ = O (14) a1p2qf - a2J)t(Ji + 01/>1'1~ - <1.2JJ11/~ + h1Jiilf2 ·- b2pfq1 + l11JJ~l/:i b2]!~1/1 = O (15) Upošt.evajino (12) v (l:J): (16) 208 Zbornik gozdarstva in lesarstva, 41 To vstavimo v (14): Pomnožimo to enačbo s (p1 - q1) in upoštevajmo (16): Sedaj pa ( 16) pomnožimo s (p1 - qi) in iz dobljenega ter iz ( 17) izračunajmo: - 2(p1 - q1)b1q2 = a2[(P1 - q1) 2 + (p~ - qrn - 2(p1 - q1)a1p2 = a2[(P1 - q1) 2 - (p~ - qn) (15) pomnožimo z -2(p1 - q1) in upoštevajmo (19) ter (20): (17) (18) (19) (20) a2[(P1 - q1) 2 + (p2 + q2) 2] · [(P1 - q1) 2 + (P2 -q2)2] = O (21) Sedaj pa napravimo analizo vseh možnosti! (1) Pl =p q1. a2 = b2 = O (sledi iz (21)), a1p2 = b1q2 = O (sledi iz (19) in (20)). (1.1) P2 =p O, q2 =p O. (1.2) P2 =p O, q2 = O. (1.3) P2 = O, q2 -::j; O. bi= o (1.4) P2 = q2 = O. (2) Pl = q1. a1p2 + b1q2 = O (sledi iz (16)), a2(P~ - qn = O (sledi iz (17)), a1p2(P~ - q~) = O (sledi iz (15)). (2.1) P2 # ±q2. (2.1.1) P2 =p O, q2 =p O. a1 =bi= O. (2.1.2) P2 =p O, q2 = O. a1 = O. (2.1.3) P2 = O, q2 -::j; O. b1 = O. (2.2) P2 = q2. 209 Cedilnik, A.: ,',tiri posplo.iiitvc pornzdditve /,da (2.2.1) P2 /= 0. (2.2.2) ])2 = o. (2.:3) P2 = --q2 i 0. Postavimo: A = IAI exp(iArg A). Za x EV je tedaj: p(x) = IAI exp i(R2 + Arg A) · exp R1. To pa. porneni, da je 111u:ino Arg A izl,rat.i Lako, da p(:r) 11e bo sarno rcahrn., pač pa !.udi new:'gat.ivna funkcija, n0 glr-d<' na to, lmkše11 je siccr H 2 . Poslednji kritrij je tedaj normativni pogoj, ki dopusti nasledje štiri možnosti: p( ;i::) p(;i::) f!( J:) p(.r) -oo < X < Pl < q1 'f.ll ' 1 > , .Jt = (q ·•11)•+'- 'l'(a)r'(b) ( ) A. (p-x)a-1 P2 X. =. (q-r)a+b; -OO < J; < p < q a > O, b > O, A (q-p)•r(a+b) r( aJJ'( /,) , r J:-Jl)a 1 p3(;i::) = AL-___ - .. ·)-::-n:-· q < p < ;i: < oo • ix-q1ffTt1} a > O, I> > O, A p-q\br(a+b I'(a)r(b , ~xr,[h c.rcta11(px-q)l. . -~ ., ,·, , /1 . , __ . qr , -X, , .. • t <, 00 [(p:r-qF+l] , (26) (27) (28) (29) (30) (31) (33) 210 Zbornik gozdarstva in lesarstva, 41 Pri tem smo izhajali iz naslednjih rezultatov: /1 x"'- 1(1 - x}13- 1dx = B(a, (3) = f(a)f(/3) Jo f(a+/3) (a>0,/3>0) l s (x - r)"'(s - x}13dx = (s - r)"'+P+l f(a + l)f(/3 + 1) r r(a+/3+2) (a > -1, (3 > -1, r < s) Integral (:35) s substitucijo :2: = r + (s - r)t prevedemo na integral (34). Jr (r-x)"'(s-x}"3dx= (s-r)"'+p+1r(a+l)f(-a-/3-l) -oo r(-/3) (a > -1, a + (3 < -1, r < s) Integral (36) s substitucijo x = r1-_~t prevedemo na integral (34). 100 ,6 (s - r)"'+P+l f(/3 + l)f(-a - (3 - 1) s (x - r')"' (x - s) dx = -~----'--r-( _-0-'-)--'-----'- (/3 > -1, a + (3 < -1, r < s) Integral (37) s substitucijo x = -t prevedemo na integral (36). f 00 exp[b arctan(px - q)](x - 9.. t !!.:t!. P dx = -oo [(px - q) 2 + 1] 2 1 f 1 = --J e6t(cost)°_"_ 1(sint)"dt = --F. (a b) p"+l _J!: p"+l " ' 2 (p> 0,0::; n < a) Pri tem smo uporabili substitucijo px - q = tan t. Integrirajmo obe strani naslednje enačbe od - ½ do ½ ! d -[e6\ cos t)°-"- 2(sin t)"+1] = dt = bit( cos t)a-n-2(sin t)"+1 - ( a - n - 2)e6t ( cos t)°-"-3 (sin t)"+ 2 + (34) (35) (36) (37) (38) +(n + l)e6t(cost)a-n-l(sint)" (39) S preureditvijo dobljene enačbe tedaj ugotovimo: b n + 1 Fn+2(a, b) = 2F,.+1(a, b) + ---Fn(a, b) a-n- a-n-2 (40) 211 Cedilnik, A.: Štiri posplošitve porazdelitve beta V naslednjem integralu uporabimo substitucijo t = -z: To nam da: Fo(a, b) = 1![;; (e6t + e-bt)(cos t)°- 1dt = F0 (a, -b) Integrirajmo od - 1 do 1 še obe strani naslednje enačbe! S preureditvijo dobljene enačbe še uvidimo: b F1(a, b) = --1 Fo(a, b) = -F1(a, -b) a- ( 41) (42) (44) Če imamo rezultat (42), nam enačbi (40) in (44) induktivno O: • a(a + 1) F0 (a + 2, b) = b2 + (a + l)2 Fo(a, b) To pa že tudi pove, da se splača tabelirati funkcijo F0 (a, b) le na območju 2 :S a :S 4, b 2: O. Povejmo še nekaj preprostih lastnosti funkcije F0(a, b) ! ( b) 8F0(a, b) 0 8Fo(a, b) 0 Fo a, > O, ob > za b > O, oa < . (49) (50) 212 Zllot·nik gozdarstva in lc.rnrstt1(1, 41 ---------------- limF0 (a,b) =· lirn F0 (a,b) O, Jim F'o(a,b)==- (51) (l--•O a-~ (X) b-+00 2a-lf(1.)2 Fn(a,O) = r( 2 1 { oo, limp1(x) = q~p' 3'/q o. & < 1 b = I b > 1 (57) -oo, ~ (q-p )2' lim p~(x) = oo, x'-,p ~ (q-p)2> o, a < 1 a = 1 l2 213 Cedilnik, A.: Štiri posplošitve porazdelitve beta lim p~ (x) = x/q oo, a( a-1) (q-p )2 ' -oo, a(-a-1) (q-p)2 ' o, b < 1 b=l l2 (58) Ekstrem funkcije P1(x) na intervalu (p, q): l. a < 1 & b < 1 ==;, minimum X (1 - a)q + (1 - b)p 2-a-b (59) (60) r(a + b)(2 - a - b) 2-a-b P1(x) (q - p)f(a)f(b)(l - a)l-a(l - b)1-b 2. a > 1 & b > 1 ==;, maksimum: x= p q Slika 1 Gostota porazdelitve B1(p,q,a,b) (a-l)q+(b-l)p a+b-2 (61) 1----;:;~--' b= l 1 ' bornik guzdm·stva in le.,wrsttm, 41 ------------------- (B) B2 (p,q,a,b) I'(a+b)(a l)a- 1(b-I)b---! Pl (X) = -;---'---;-:;::-;'~~-'-~-..!.-- ( q - p)I'(a)I'(b)(a + b - 2)a+l>-2 lim p2 (x) = { x/p 00 ' b -;=;,, o, oo, b( b+ l) (q-p)2> -oo, b(o+l) - (q-.-:);y,·, o, a < 1 a = l (1, > 1 a < I a l l2 Ekstrem funkcije P2(:i:) na intervalu (-00,p): a >O==} maksimum: , _ (a+b)p-(a- l)q J. - --------- b + l (62) (63) (64) (G5) ·al a 2 (66) (67) (68) Bks!,rem funkcije p3 (;x:) 11a intervalu (p, CX)) : a > O -"} rnaksimnm: J.: = P:,( X) /\ .. b 1 p-QK 1 l l _2 ____ _ i/r, ~>1 p Slika 5 Gostota porazdelitve B3(p,q,a,b) Slika 6 Porazdelitvena funkcija B:lp,q,a,b) 216 Zbornik gozdarstva in lesarstva, 41 (D) B4 (p,q,a,b) p P4(q/p) = Fo(a, b) Ekstrem funkcije p4 (x): maksimum pri 1 b X= -(--+q) p a + 1 p • exp[barctan ¾iJ p4(x) = Fo(a, b)[C!1 )2 + l)!!.:}l Slika 7 Gostota porazdelitve B4(p,q,a,b) 2. TRDITEV (71) (72) Simetrične so le porazdelitve B1(p,q,a,a) (središče pri (p + q)/2) in B4 (p,q,a,O) (središče pri q/p). Dokaz: Porazdelitvi B2 in B3 seveda ne inoreta biti simetrični. Že iz oblike po- razdelitve B 1 pa vidimo, da je potrebno za simetrijo: a > 1 {:=} b > 1, a < 1 {:=} b < 1. Torej ima simetrična porazdelitev razen v primeru a = b = 1 ekstrem, ki je seveda točno na sredini med p in q: (a-l)q+(b-l)p p+q a + b- 2 = - 2- => aq + bp = ap+ bq => (a - b)(q- p) =O=> a = b Očitno pa je to tudi zadostno za simetričnost. Naj bo sedaj z > O. 2 2 1 - z2 1 1 - z2 1 + z > 1- z => 1 >-1--2 => -1--2 - (1 2)2 > o +z +z +z 217 Cedilnik, A.: Štiri posplošitve porazdelitve beta Nedoločni integral tega izraza arctan z - 1;z2 je strogo naraščajoča funkcija. Ker je pri z = O vrednost te funkcije O in ker je povsod zvezna, sledi za pozitivne z: z arctan z - --2 > O l+z To pa spet pomeni, da je njen nedoločeni integral z• arctan z - ln(z2 + 1) za z > O strogo nara.<§čajoča funkcija, prav tak pa je tudi njegov antilogaritem ez arctan z 1 + z2 • Pri z = O ima ta funkcija vrednost 1, zato je zaradi njene zveznosti in sodosti: ez arctan z 1 2 > 1, +z Vz i= O (73) Vzemimo sedaj, da je neka porazdelitev B4 (p, q, a, b) simetrična. Ker ima en sam maksimum, mora biti: 1 b 1 b p4(-(--1 + q) + c) = p4(-(--1 + q) - c), pa+ pa+ Ve E IR. Naj bo b c=~-~ p(a + 1) Potem je: p eb arctan «2:i p Fo(a, b) [C!1 )2 + 1J!!f! Fo(a, b) oziroma 2b 2b e a+I arctan a+r -----=l ( ...1L)2 + 1 a+l Ta enač.ba pa za (2b)/(a + 1) i= O nima rešit.ve, kot sledi iz (73). • 4. MOMENTI (A) B1(p,q,a,b) (x-c)" [(:z: - p) + (p- c)r = t (~) (x - p/(p - c)"-k (74) 218 Zbornik gozdarstva in lesarstva,· 41 mn(c) = A1 iq (x - cr(x - p)°-1(q - x)b-ldx = = t (n} -er-k( - l r(a + b)f(a + k) k=O k p q p r(a)r(a+b+k) (75) m1 (O)= aq + bp = E(B1(P, q, a, b)) (76) ZI = a+b Z2 = m (O)= (aq + bp)2 + aq2 + bp2 2 (a+b)(a+b+l) (77) m2 = ab(q - p) 2 m2(z1) = (a + b)2(a + b+ l) = D(B1(P, q, a, b)) (78) o-(B1(p,q,a,b)) = q- p ✓ ab a+b ·a+b+l (79) 2ab(b - a)(q - p)3 (80) m3 = m (z) -3 1 -(a+b)3(a+b+l)(a+b+2) A(B1(p,q,a,b)) = 2(b-a) Ja+b+l (81) a + b + 2 ab (B) B2(p,q,a,b). Uporabimo (74) in dobimo: _ ( ) = ~ (n) (-l)k( _ )n-k( _ )k f(a + k)f(b - k) mn c ~ k p c q P ( ) ( ) k=O • r a r b (82) Momenti eksistirajo samo za n < b. a Z1 = p - b _ l ( q - p) = E( B2 (p, q, a, b)) (83) Z2 [(b - l)p - a(q - p)]2 - (b - l)p2 + a(q2 - p2 ) (84) - (b- l)(b-2) ni2 = a(a + b- l)(q-p) 2 (b _ l)2(b _ 2) = D(B2(P, q, a, b)) (85) o-(B2(P, q, a, b)) = q-p ✓a(a+b-1) (86) b-1 b-2 m3 = -2a(a + b - 1)(2a + b - l)(q - p)3 (87) (b - 1)3(b - 2)(b - 3) A(B2(P, q, a, b)) -2(2a+b-1) b-2 (88) = b-3 a(a+b-1) 219 Cedilnik, A.: Štiri posplošitve porazdelitve beta (C) B3(p,q,a,b). Spet uporabimo (74) in dobimo formulo za mn(c), kije enaka (82); od tod podobnost ali celo enakost formul pri (B) in (C). ( )= ~(n)( _ )n-k.( _ )kf(a+k)f(b-k) mn C ~ k p C . p q r(a)f(b) Momenti eksistirajo samo za n < b. a Z1 = p + b _ l (p - q) = E( B3 (p, q, a, b)) z2 = [(b - l)p + a(p- q)]2 - (b - l)p2 - a(p2 - q2 ) (b- l)(b-2) m2 = a(a+b- l)(p-q) 2 (b _ l)2(b _ 2) = D(B3(p, q, a, b)) O !:__P(X < bp+aqx) = .:!:__Fx(bp+aqx) = dx b + ax dx b + ax ab(q-p) bp+aqx _ f(a+b)(¾/xa- 1 (b + ax)2Px( b + ax ) - r(a)f(b)(¾ + x)a+b To pa je gostota porazdelitve b B3(0,--,a,b) = F(2a,2b). • a 4. POSLEDICA Naj bo X slučajna spremenljivka, y = aX + /3 m a'Y ~ 1 # O. rX+8 ° Če je X porazdeljena po zakonu B1 (p, q, a, b), je: y = a(q - p)Z + (ap + /3). r(q-p)Z+(w+«S) Če pa je X porazdeljena po zakonu B2(p, q, a, b) ali B3 (p, q, a, b), je: y = (aq + /3)Z - (ap + /3) (-yq + 8)Z - ('YP + 8) Pri tem je Z slučajna spremenljivka, porazdeljena po zakonu f3(a, b). 222 7,/)()rnik yo;;darstvn in le.rnrstva, 41 ···----- --· - ---- ··--·""-" --·--·· r.. IZREK Naj bo Z slučajna spremenljivka. porazdeljena po zakonu f3(a, b). y :..z+µ B1(µ, >. + µ, a, b) B1(,\+p,/t,l1,a) y ,\z-t + fl lJ;,(>. + Ji, 11, b, a) B2(>. + /t, fl, b, a) y B:1(,\, /t. a, b) U2(>., Jt, a, b) Dokaz gre podulino kot dokaz izr('ka ::L 6. POSLEDICA X X /J(a,b) ===>- 1-X F(y,h) =• Y ' (za >. > O) (za >. < O) (za >. > O) (za >. < O) (za,\> /t) (za A < µ) f3(b,ct) F(h, g) Opomba: 7., Jl('kaj truda se da ugotoviti, da razen transforma,ij iz izreka 5 nobena druga irnnsforrnacija iz posledice ,1 ne da porazd,·litve t ip,t 111,2,:J- 7. IZREK X B4(J1, q, a, /1). y ,\X I p I ) (P.. ,,~ 1) >1 .\, · .\ , a, .> B ( ..J!.... ~ 1) 4 __ .,_, -.\ ,a,-, Dokaz je preprnst. 8. IZREK Tedaj je Y sluč.ajna spremenljivka z gostoto py(x) = { 1 ebx(l'OS x)a-1 ro(~,b)" · , O, (za >. > O) (za;..< O) 223 Cedilnik, A.: Štiri posplošitve porazdelitve beta Dokaz: d d { py(x) = dxP(arctan(pX - q) < x) = dx 1, o, P(X< tan;+q), x>1r. - 2 X< _1r_ - 2 -f O) B2(µ, Jt - .\, 2 , 2) (za,\ < O) y z a(pX - q)2 1 l+(pX-q)2 F(l, a) J3(i,½) Dokaz: Dokažimo le za ,\ > O, za ,\ < O bi bil dokaz podoben. py(x) • 10. IZREK • Bodita X : 1 (r, a) in Y : ,(s, b) neodvisni slučajni spremenljivki, porazdeljeni po porazdelitvi gama. Potem: 224 Zbornik 90:e:da1·stvc1 i11 frsarsfrtl, 41 Posebna primera: --------------- \X...!- A y , /l B3(Jt, Jt - ·~•, a, b) B2(µ, I' - -;_', a, b) B1(7,~,a,b) Bi(f,;,b,a) F(2a, 2b) f3(a, b) (,\ > O) (.\ 111') (.\s < Jtr) Dokaz je povsem klasi ten. 6. LIMITNI IZREKI 11. LEMA Naj bo ,,\ E !R. Tedaj je ( 1 + ¾ )b naraščajoča funkcija argumenta b za ¾ > -1 in je: Dokaz: ,\ b Jt · f(b) = (l + -) + - b b rl f(b) = (I db .\ )"[ , ·t·· _,\) - !ni l b b A ____ 1-] _ /l b 1 + % V oglatem oklepaju imarno funkcijo z g(z) = ln(l + z) - l + z r,(O) O, f/(z) > O za z> O, g'(z) < O za - l -] , oziroma f(b) je za ft O narai;čajoča funkcija povsod, kjer je je i > -l. Sedaj pa izraze v oglate111 oklepa.ju izrazimo z vrstami i11 dobimo: 225 Cedilnik, __ /\_:_:_'.-~tiri posplošitve J)ornzrlelitvc lldll Gled1° na to, da je 1; 1 < ½, je vsota v gnrnj('JI I izrazu zagotovo med ¼ lil J oziroma enaka¼+ iil(b), iJ(b) E (O, 1). Za p = O je tedaj fhf(b) > O, J(b) je strogo naraščajoča funkcija, ,,ato: J(b) < limb-.co J(b), kar da: Ta rezultat pa takoj izkoristimo za nadaljnji sklep: za Jt = 2~2 c\ jf~ -//r,J(I,) < O,J(b) je strogo pa,dajofa funkcija, kar da: (! + ¾)b + 2;02 e>- > e>-. To pa je že končna ocena. • 12. IZREK Gostota p1(x, b) porazdditve Bi (p, ¾, a, /)) (za r > O) po točkali in po normi prostora L 1 (IR) konvcrgira 7, rastoi.'irn b proti go,;1.oti p(:r) { r" ( )a-1 -1·(x-1>) r(a)x-p, e o ' X> p} , J.: '.:::P (za. p - O je t.o kar porm:delit,cv 1(r, a)); pornzd,,litvn1a fu11kcija porazdelitve B1 (p, t, a, b) pa po točkah konvergira z rastočim b proti porazdelitveni funkciji J~rxo p(t)dt. Dokaz: Naj bo x > p neko fiksno število in b > m l + 2a + r(:!x p). Za p < t s x velja: r(.-t)b-l r" 1 1 (t b) . (t)I - 1 . r (t )a-1 -rd-p)I -P1 , - P - r(a)r(b)(t - p)a+b-1 - r(a) - p e , - Pri tem 1·e l::. = r a+b) er(t-p)(b-rt )b-1_ r(b (b-rp )• b-,·p Fuukcijo I' izrazimo s Stirlingovo formulo: kjer je O< r(::) < 226 Zbornik gozdarstva in lesarstva, 41 Po prejšnji lemi je (l+;fb)b = 1 - 2a;:, < 1, t?1 E (O, 1). r.+-:-,. je naraščajoča funkcija argumenta b, zato je y l+a/b 1 at?2 JI+1 = 1 - 2b < 1, t?2 E (O, 1). e- l~b < eT(a+b)-T(b) < e 12(:+b) < e,½,;- e- l~b > 1 - _l_ e.½. < 1 + _!_ • eT(a+b)-T(b) = 1 + 3t?3 - l t? E ·(o 1) 12b' 6b 12b ' 3 ' . To pa še da: eT(a+b)-T(b) < 1 + ...L 6m Zlahka tudi dobimo: ( a + b t = ( 1 + a + rp t < max { 1; ( m + a t} b - rp b - rp m - rp b (1 _ r(t-p))b-rp ( ) er(t-p)(-=.!.!_ )b-1 = b-rp (l _ r t - P rp-1 b - rp e-r(t-p) b - rp Prvi faktor ima po lemi zgornjo mejo 1 in spodnjo mejo 1 ~ 2;~t~~~r; drugi faktor pa ima za meji 1 in (1- rJ."~:,)yp-I. in sicer je 1 zgornja meja za pr-1 ~ O in spodja meja za rp- 1 < O. Torej je: 6 = ( 1 - 2a2t?1 )(1 - m?2 )( 1 + 3'!93 - 1 )A(t)B(t) 3b 2b 12b t < . - . - . 1 2r,(o:-pr A(t) 1 za p < _ x, pri cemer Je se. - 3(b-rp < < , (1- r(x - p))lpr-11 < B(t) < (1 + 2r(x - p))lrp-11. m - rp m- rp Ocenimo sedaj še zgornjo mejo funkcije Pl ( t, b): 7'a 1 1 m + a b - rt Pi(t, b) < f( ) (t - pr- (1 + -6 ) max{l; (--)a}(-b -)b-l a m m- rp -rp (b-rt/-I=(l- r(t-p)~/-I b - rp b - 1 227 Cedilnik, A:: Štiri posplošitve porazdelitve beta b-1 m-1 r-b-- ~ rmin{l;---} = R > O. -rp m- rp (b-rt)6_ 1 :S (l- R(t-p))6_ 1 b- rp · b - 1 Ta izraz je po lemi narai~čajoča funkcija argumenta b, zato ga lahko navzgor ocenimo z njegovo limito, ko gre b prek vseh mej, toje z e-R(t-p)_ Torej je: P1(t, b) ~ C(t - p)°- 1e-R(t-v), kjer je C izraz neodvisen od t in b. Izberimo si poljuben l > O. Očitno eksistira tako število M, > m, da iz b > M, sledi 1.6. - 11 < {. Najprej vzemimo: t = x. To nam da za b > M, : kar je ekvivalentno trditvi: Jim P1 (x, b) = p(x ). b--+OO Znova pustimo t teč.i od p do x in naj bo b > M,. I Lxoo P1(t, b)dt - lxoo p(t)dtl = l 1x [p1(t, b) - p(t)]dtl :S [X a [X '.S }p IP1(t,b)- p(t)ldt < r(a) }p (t - p)°- 1e-r(t-p)Edt < < f-r- · (t - p)°- 1e-r(t-i>)dt = l, a loo f(a) P kar je ekvivalentno trditvi: b~~ lxoo Pi(t, b)dt = l~ p(t)dt. Spet si izberimo f > O in naj sedaj t teče od p do oo. 1-: IP1(t, b) - p(t)ldt < 1x IP1 (t, b) - p(t)ldt + 100 Pl (t, b )dt + 100 p(t)dt < 228 Zl>ornik gozrforsl11a iri le,rnT'st!•n, 4 1 ------------------------- 1x 100 100 < !Pt (t, b) - p(t)jdt + C (l - p)"- 1 e-R(t-p)dt + p( t)dt. p X X Izberimo najprej x tako velik, da je v::;ota drng('ga. in tretjega dr,1ia n1a11jša od E/2. Nato poiščimo tak Men, da izb> Me; 2 sledi: l' IP1 ( t' b) - p( t) 1 < ~. Tako sni,J 11ašli za i:d,rani ctako število 1H,;2, da izb> Me/2 sledi: lim IIP1(t, b) - p(t)ll1 = O. • b-+ oc 13. POSLEDICA Izrek 12 velja tudi za porazdelitvi: s b s B 1 (p + /; , ~ + b , Cl, b), pri r > O in poljubnem .s. Dokaz: Č:e je X : B1 (11, ¾, a, b) slučajna spremenljivka iu je v - v s i - .\ ·I - b ter , X +w X=l- X' sta Y in Z slu(·ajni spn'menljivki, porazdeljeni po gornjih dveh zakonih; pri tem je bs - r·bp2 - spr '-4,-' = b2 Očitno jt' lim Y lim Z = Jim X. • b-+oo b-c,., b-co 14. POSLEDICA Na način, opis;rn v iuek11 12, konvergira poraztlditev F(g, h) z rnstocirn h k po„ razdelitvi ,(g/2, g/2). 15. LEMA 229 r.'edi/nik, A.: .~tiri po$plositve porazdelitve beta Za vsak b E R in vsak x E [O, ·V velja: Dokaz: Ta neenačba je ekvivalentna neenač.bi (cos a; / 1 · ch(ln:) :S l. Za x = O velja enakost. Č:e pokažemo, da je leva stran neenačbe padajoča funkcija, je trditev že dokazana. ~[(cosxf ch(b,:)] = -b2 (cos xf 1 sin :i:: ch(ln:) + b(c:os xf sh(bx) rh = b(cosxf ch(bx)[th(bx)- btan:r] Recimo, da je b > O. Potem je predznak odvoda enak predznaku izraza v oglatem oklepaju. (f! . -2b2 th(bx) . . .. -d ., th(bx) = ---(--·! (b ))'' 'S O===} th(ln:) Je konk,ivna funkc1Ja . . X'" C 1 X ~ . . d2 (b - 2b tan x O b . k k f k „ 7z tan :i::) = (. )2 2: ===} tan x Je onve ·sna un c1Ja. c;,X COSX d · t.h(ln:)l,,=o d:i· d -(bta11;1::)lx,=ii = b d;i: Zato je b tan x 2'. th( bi:) in izraz v oglatem oklepaju, z njim pa tudi cel odvod, je negativen. Za b O je gornja neenai'ha trivialna, za II < O pa tudi velja, ker st.a obe strani sodi funkciji argurneut.a. b. • Vemo, da velja: Fo(a, b) 2: 1'~1(a, O) (b E IR). Velja pa. še ena taka ocena! 16. TRDITEV Za a > /;2 je: Fo(a,b) :S F0(a b2 ,0). 230 Zbornik gozdarstva in lesarstva, 41 Dokaz: 17. TRDITEV Dokaz: Fo(a,b) = 211t/2 ch(bt)(cost)°- 1dt:::; :S 2 t"1\cost)a- 1-"2 dt = F0 (a - b2 ,0). • Jo Jim va,Fo(a, b) = v'21r, a-+oo 'v'b E IR va,2a-lr(Q-)2 va,Fo(a, b) 2: vlaFo(a, O)= f(a) 2 -> .../2i vaFo(a,b) :s; vaFo(a- b2 ,0) = ✓ a ~ b2 ~Fo(a-b2 ,0)-+ .../2i 18. TRDITEV Za a ~ 1 je: Fo(a, 2b) ~ r 0 (e,rb/2 + e-1tbf2 )F'o(a, lJ). Pri tem je~ ena od relacij <,>ali=· Dokaz: Za a ~ 1 je 1 ~ (sin t) 0 - 1 za O :s; t $ 1T' /2 in zato: 1,r/2 . __ :21" (e2bt+e-2bt)(sin2t)"-ldt. () To je ob substituciji z = 1r /2 2t enako: • 19. TRDITEV Za vsak a > O je Dokaz: Naj bo b > O. Substit11irajn10: kjer je 231 Cedilnil:, A .: iltfri po8plošit1!f! ponizdelitve beta Jim bae-,rb/ 2 Fo(a, b) == r(a) b-+cx.) , 1(' b(- - t) = z. 2 e-1rb/ 2 < t?(a, b) < l. bae-1rbf2 R(a, b) r( ) / •C> a-1 -z i J( .. a, b)11'aba a - z e cz + ___;,,~-'--- . nb/2 f',,rhf 2 2aa lini b" b-·-•OO R(a, b) = f(a). Naj bo sedaj a 2: 1 in b > O. 1'<1(a,b) < H(a,b) > liw sup F0 (a,b)b''r· ,;b/'.! < r(a). b-r.,.,.J Nato pa namerno a:::; 1 in b > O. Fo(a, b) 2: R(a, b) ~ fon inf Ji'o(a, b)bae-1rbf2 2: f(a). b-oo Todc1, i upošl,evanjcrn f,.,rrnulr, (·1D) dohirnu: Fa(a, b) b2 + ( a + 1 )2 F (. 2 b) b2 + ( a + 1 )2 R( 2 1 · ) oa+, < a+ ,J). a ( a + I · - a( a + 1) · · 232 Zbornik gozdarstva in lesarstva, 41 . b2 +(a+ 1)2 lim sup bae-1rb/ 2 Fo(a, b) < lim -----ba+2e-7rbf2 R(a + 2, b) = b-+oo - b-+oo b2a(a + 1) = r(a + 2) = r(a). a(a + 1) Torej trditev zagotovo velja za a E (O, l]. Za tak a je tudi: Trditev potemtakem drži za a E (O, l] U (2, 3]. Sedaj pa naj boa E (1, 2]. r12 Fo(a,b) > Jo (it-e-bt)(cost)°- 1 sintdt= j 1r/2 b i\cost)°- 1 sin tdt = F1 (a + 1, b) = -F0 (a + 1, b) -1r/2 a bae-1rb/2 Fo(a, b) 2 ~ba+le-1rb/ 2 Fo(a + 1, b)--> ~r(a + 1) = r(a). a . a Trditev sedaj velja že na intervalu a E (O, :3]. Dokažimo s popolno indukcijo še naslednjo trditev: Za vsako naravno število n in vsak a iz intervala (n, n + l] velja enačba v tej trditvi. Za n = 1 smo trditev že dokazali. Recimo, da trditev velja za n ::; k in postavimo: n =k+ l. Tedaj je a =k+ 1 + c, c E (O, l]. --> (a - 2)(a - l)f(a - 2) = r(a). • V dokazu smo mimogrede srečali poseben primer naslednje neenačbe: 20. TRDITEV Fo(a, b) > ~Fo(a + 1, b), Va > O in Vb. - a 233 Cedilnik, A.: /;";tfri posploiiitvc pornzrlclitve l,eta ---------·· ··--- --- ----· ·- Dokažemo jo na enak način, k posebej moramo ohravnavati možnosti, ko je b > O ali b < O. 21. IZREK Naj bo s > O in m poljubno realno število. Gostota p4(x,a) porazdelitve B4(J/(sfa), rn/(sfa), a, b) po točkah in po normi prostora[} (IR) konvPrgira z rnsto- čirn a proti gostoti p(x) poraidelitve N(m,s); porazdelitvena fuukcija porazdditve B4 (I/(sfa), m/(sy'a), a, b) pa po točkah konvergira z rastočima proti porazdelitveni funkciji porn.z(lelitve N(m, s). V posebnem konvergirata na on1enjen,-: na.čin(, gos- tota in porazdelitvena f'unkcija porazdelitve S(f) z naraščajočim f proti gostoti in porazdelitveni funkciji standardizirane normalne porazdelitve. Dokaz: 1 b arctan( t-;:) -:--r::-f !i'ya. 1 •'V" Fo(a, b)[( ~✓,_n:i + IJ-41- 1 _ - .!.(.!..=.!!!, )21 ~-·-f' 1, $. = sv'21r· kjerjt'Z (t-m)/siH Vnaprej obravnavajmo samo tako velike a, da je Za lzl < fo j,, za pa je še $ . ------<~ faFo(a, b) ' · z 2z 1 arctan r;;I > 3 r;;, ya •.ya ya lzl 2 e•"/2 2ez'/2 --~--<-- (1 + z2 /2)a/2 2 + z2 a/2 · (z E IR). Za jzj < paJe e'"2 12 1 4z2 l<--...,,..,.,,..--<---=-<1+ (1 + z2 /2)a/2 1 _ 2z2 ~-a/2 3a Zato: ,.,"/ 2 4z 2 , 12 :::: 1 + -,-iJ;;, iJ;, E (O, 1). ( 1 + ':__)a/2 .3a a/2 'T' • . 'I ~ L§_ ioreJ Je za 1z < max{2,lbl} = c : Najprej fiksirajmo t in z njim z. Če gre a prek vseh mej. gre ,6. proti 1 in IP.1(t, a) - p(t)j prot;i O, s frnwr je konvergenca gostot po točkah dokazana. Izberimo sedaj nek fiksen :r. E, , 1-xoo p4(t, a)dt -1~ p(t)dtj::; 1-xoo IP1(t, a) - p(t)jdt :S < rll-sR [p1(/, a) ·l p(l.)]dt + /'"' IP1(t, !/) - p(t)jdl < ./ _ 00 • r1t-sFl < 235 Cedilnik, A.: .'ltiri posplolitve pornzclditve beta Vzemimo poljuben e > O in poiščimo tak R > l "'-_;m 1, da je cel prvi člen manjši od e/2. Potem lahko še določimo taka> cR, daje 1~ - lj < t:/2, kar nam da: . E l j "-:;"' 6<-·+-- 2 -.j2ir -R To je dokaz konvergence porazdelitvenih funkcij po točkah. Spet si izberemo poljubE'n s > O in poi.ščemo tak R, da je prvi člen manjši od e/2. Nato določimo še taka > cR, da je 1~ - 1 I < c/2, pa je: -, E 1 JH .-·•'/2E I , E € b < C: ·l· -- -_ C ' -(Z< - + '.2 ~ -U '.2 2 2 dz To pa je konvergenca gostot po normi prostora L1 (IR). 22. IZREK Naj ho r > O in s,u poljubni števili. Gust.ota p4 (i:, b) pornzdelitve B4 (¼b, Jb - u, a, b) po t.o<:kah konvergira z rastočim b proti gostot.i: ('.e je X slučajna sprerrwnljivka. z gostoto verjetnosti p(J:), je Y sprernenljivka, porazdeljena po zakonu 1 (r, a). Dokaz: p4(X, b) (1 ] 1' _-·-- b''e-nl,/'.' F'o(a, b) l(J: Jim b"e-1rb/ 2 F, (a b) b o ' -+oo r(a). E. • 1 slučajna X-s 236 Zbornik gozdarstva in fr.rnrstl!(l, 41 lim [(x b-co 1tr s+ b lim i[arctan ~(x..:s+'n-½1 A. b-00 x =s===;,- A = Jim e-b(½-arctanu] = O b-oo J: (cr-ar,:t,rn b-oo .r: >s== • A !!f)] - o py(x) .:!_p(_l _ < x) = .:!_ { P((X <. s) f (X,> s+¼)), dx X - s · dx P(s +;O xO x {J } x