IZ RAZREDA
46
Matematika v šoli, št. 1., letnik 24, 2018
Število 41
dr. Marko Razpet
Posamezna naravna števila imajo lahko prav zanimive lastnosti. 
Dobro znana so nam soda in liha števila, praštevila, sestavlje-
na števila, večkotniška (trikotniška, kvadratna, petkotniška …) 
števila, središčna večkotniška števila, podolžna števila, uglajena 
števila itd. Lahko pa imajo zanimive lastnosti tudi števke števila 
v izbranem številskem sistemu mestnih vrednosti.
Oglejmo si nekaj primerov, v katerih sodeluje praštevilo 41, ki s 
praštevilom 43 sestavlja praštevilski dvojček.
1. Leonhard Euler (1707–1783) je leta 1772 našel trinom  
P(n) = n
2
 + n + 41, ki nam da veliko praštevil, ko vanj vstav- 
ljamo po vrsti n = 0, 1, 2, …, 39:
41, 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151, 173, 197, 223, 251, 
281, 313, 347, 383, 421, 461, 503, 547, 593, 641, 691, 743, 797, 
853, 911, 971, 1 033, 1 097, 1 163, 1 231, 1 301, 1 373, 1 447,  
1 523, 1 601. To je seznam 40 praštevil, ki je prekinjen s  
P(40) = 1 681 = 41
2
. Na seznamu ni vseh praštevil med 40 in 
1 602. Teh je 240. Manjka jih kar 200, na primer 59, 67, 73, 
79, 89, 101.
Preproste polinomske formule za n-to praštevilo ni, je pa Eu-
ler vzpodbudil druge matematike, da so začeli resno študirati 
praštevila.
Opomba. Za naravno število n izraz n
2
 +n = n(n + 1) v 
P(n) definira tako imenovano n-to podolžno število. Po-
lovica n-tega podolžnega števila je n-to trikotniško število  
T
n
 = n(n + 1)/2.
2.  Število 41 lahko, če se ne oziramo na vrstni red sumandov, na 
en sam način zapišemo kot vsoto dveh in treh kvadratov, to je
41 = 4
2
 + 5
2
, 41 = 1
2
 + 2
2
 + 6
2
;
z uporabo treh zaporednih faktoriel pa tudi v obliki
41 = 1!
2
 + 2!
2
 + 3!
2
.
Število 41 je hipotenuza primitivnega pitagorejskega trikotni-
ka s katetama 9 in 40, ker je 9
2
 + 40
2
 = 41
2
. To sledi iz splošnih 
formul
a = m
2
 - n
2
, b = 2mn, c = m
2
 + n
2
,
s katerimi s primerno izbiro naravnih števil m in n dobimo 
stranice pitagorejskega trikotnika. Za m = 5 in n = 4 res dobi-
mo a = 9, b = 40 in c = 41.
3.  Število 41 lahko, če se ne oziramo na vrstni red sumandov, na 
en sam način izrazimo kot vsoto dveh zaporednih naravnih 
števil:
41 = 20 + 21.
Naravnim številom, ki se dajo izraziti kot vsota dveh ali več 
zaporednih naravnih števil, pravimo uglajena števila. Število 
načinov zapisa vsote, pri čemer se ne oziramo na vrstni red su-
mandov, meri uglajenost števila. Število 41 je uglajeno število 
z uglajenostjo 1. Vsa naravna števila razen potenc števila 2 so 
uglajena. Zaradi tega so najbolj zanimive njihove uglajenosti 
in postopek, kako dano število zapisati kot vsoto zaporednih 
naravnih števil.
4.  Število 41 lahko na dva načina izrazimo kot vsoto zaporednih 
praštevil:
41 = 11 + 13 + 17, 41 = 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13.
5.  Kub števila 41 se da zapisati kot vsoto treh kubov na dva načina:
41
3
 = 40
3
 + 17
3
 + 2
3
, 41
3
 = 33
3
 + 32
3
 + 6
3
.
6.  Število 41 je vsota treh sumandov oblike n! + n
n
:
41 = (1! + 1
1
) + (2! + 2
2
) + (3! + 3
3
).
7.  Števki 4 in 1 v desetiškem zapisu imata nekaj zanimivih last-
nosti:
4! + 1! = 5
2
, 4
2
 + 1
2
 = 17 (praštevilo).
Število 41 v petiškem sistemu zapišemo kot 131, kar pomeni  
1 ∙ 5
2
 + 3 ∙ 5 + 1, kar je res 41. Ker se 131 prebere naprej in 
nazaj enako, je v petiškem sistemu 41 palindromno število.
8. Število 41 je za 1 povečan štirikratnik četrtega trikotniškega 
števila:
41 = 4 ∙ T
4
 + 1 = 4 ∙ 4 ∙ 5/2 + 1.
Ker trikotniška števila 
ponazorimo s številom 
enakih krožcev, zlože-
nih v trikotnik, lahko 
4 take trikotnike z 10 
krožci zložimo v kvad-
rat, ki mu na sredini 
dodamo še en krožec. 
Zato je 41 peto središč-
no kvadratno število. 
Lahko pa si mislimo 
tudi pet koncentričnih 
kvadratnih okvirov z 1, 
4, 8, 12 in 16 krožci (sli-
ka 1). Vseh krožcev je 1 + 4 + 8 + 12 + 16 = 41.
9. Število 41 je kongruentno. Po definiciji je naravno število k 
kongruentno, če obstaja pravokotni trikotnik z racional-
nimi stranicami a, b, c (a
2 
+ b
2
 = c
2
), ki ima ploščino enako  
k (k = ab/2). Števila a, b, c s k niso natančno določena, celo 
nešteto jih je. Najmanjše kongruentno število je 5. Pitagorej-
ski trikotnik iz točke 2 ima ploščino 180 = 6
2
 ∙ 5. Če njegove 
stranice delimo s 6, dobimo pravokotni trikotnik s stranicami 
a = 3/2, b = 20/3, c = 41/6, za katere je a
2
 + b
2
 = c
2
 in ab/2 = 5. 
Zato je 5 kongruentno število.
Odgovor, kdaj je k kongruentno število, ni preprost. Z veliko 
truda ugotovimo, da za a = 40/3, b = 123/20, c = 881/60 velja 
a
2 
+ b
2
 = c
2
 in ab/2 = 41. Torej je 41 tudi kongruentno število.
Zgodi se lahko, da kongruentnemu številu k ustreza pravokot-
ni trikotnik, katerega stranice se izražajo z okrajšanimi ulom-
ki, ki imajo ogromne števce in imenovalce. ■
Slika 1: Peto središčno kvadratno 
število.