M A TE M A TI K A +F IZ IK A +A ST R O N O M IJ A +R A ČU N A LN IŠ TV O # presek letnik 39 ( 2 0 1 1 / 2 0 1 2 ) š t e v il k a 1 1 ISSN 0351-6652 • prepogibanje papirja in podvojitev kocke • valovne brazde • astronomija v šoli — kaj pa sedaj • urejanje z mrežami Odgovarjanje na vprašanja in obratno Izjemno povečevanje števila novih dejstev in po- datkov je povzročilo, da tudi vrhunski strokovnjaki za posamezna področja ne morejo popolnoma sle- diti vsem novostim. Računalniki, ki sicer lahko ob- delajo ogromne količine podatkov, do sedaj niso bili sposobni razumevanja vprašanj, postavljenih v obi- čajnem jeziku. IBM-ov računalnik Watson, ki je zma- gal na ameriškem kvizu Jeopardy!1, pa zna odgovo- riti na vprašanja, postavljena v neformalnem jeziku, v katerih se lahko pojavljajo tudi fraze z malenko- stnimi razlikami v pomenih ali celo z več pomeni. Teorija grafov, formalna logika in statistika nam po- magajo pri izdelavi zapletenih algoritmov, ki so spo- sobni odgovoriti na takšna vprašanja v razumnem času. Watsonovi očetje želijo ustvariti tehnologijo, ki bi bila sposobna še veliko več, kot le zmagati na tele- vizijskem kvizu. Programerji se trudijo razviti sis- teme, ki bi v kratkem času hitro in strokovno odgo- vorili na vprašanja iz realnega življenja, od najbolj enostavnih, ki se na primer pojavijo pri tehnični pod- pori uporabnikom, do bolj zapletenih, kot so na pri- mer poizvedovanja zdravnikov pri iskanju pravilne diagnoze. Večina raziskovanja poteka na področju računalniške znanosti, matematika pa pomaga pri razširitvi uporabe tehnologije na druga področja in pri zmanjševanju velikosti in stroškov strojne opre- me, ki sestavlja takšne sisteme za obvladovanje vpra- šanj in odgovorov. Tisti, ki jih ta tema zanima, si lahko preberejo še več v letos izdani knjigi Stephena Bakerja Final Jeopardy: Man vs. Machine and the Quest to Know Everything in na spletni strani http://www-03.ibm.com/innovation/us/watson/. Slika 1 POJASNILO: Gornji prispevek je prevod iz rubrike „The Mathematical Moments“, ki jo objavlja Ameriško ma- tematično društvo AMS na spletni strani www.ams.org/mathmoments. 1Jeopardy! je ameriški kviz, ki med drugim pokriva področja zgodovine, literarure, umetnosti, popularne kulture, znanosti, športa in zemljepisa. Tekmovalci morajo zastaviti vprašanje na odgovor, ki je podan v obliki namigov. Kviz teče že od leta 1964, trenutno ga predvaja mreža CBS. 1 • Izjemno povečevanje števila novih dejstev in podatkov je povzročilo, da tudi vrhunski strokovnjaki za posame- zna področja ne morejo popolnoma slediti vsem novostim. Računalniki, ki sicer lahko obdelajo ogromne količine po- Odgovarjanje na vprašanja in obratno Izjemno povečevanje števila novih dejstev in po- datkov je povzročilo, da tudi vrhunski strokovnjaki za posamezna področja ne morejo popolnoma sle- diti vse novostim. Računalniki, ki sicer lahko ob- delajo ogromne količine podatkov, do sedaj niso bili sposobni razumevanja vprašanj, postavljenih v obi- čajnem jeziku. IBM-ov računalnik Watson, ki je zma- gal na ameriškem kvizu Jeopardy!1, pa zna odgovo- riti na vprašanja, postavljena v neformalnem jeziku, v katerih se lahko pojavljajo tudi fraze z alenko- stnimi razlikami v pomenih ali celo z več pomeni. Teorija grafov, formalna logika in statistika na po- magajo pri izdelavi zapletenih algoritmov, ki so spo- sobni odgovoriti na takšna vprašanja v razumnem času. Watsonovi očetje želijo ustvariti tehnologijo, ki bi bila sposobna še veliko več, kot le zmagati na tele- vizijskem kvizu. Programerji se trudijo razviti sis- teme, ki bi v kratkem času hitro in strokovno odgo- vorili na vprašanja iz realnega življenja, od najbolj enostavnih, ki se na primer pojavijo pri tehnični pod- pori uporabnikom, do bolj zapletenih, kot so na pri- mer poizvedovanja zdra nikov pri iskanju ravilne diagnoze. Večina raziskovanja potek na področju računalniške znanosti, mate tika pa pomaga pri r zširitv uporabe te nologije na druga področja in pri zmanjševanju velikosti in stroškov strojne opre- me, ki sestavlja takšne sisteme za obvladovanje vpra- šanj in odgovorov. Tisti, ki jih ta tema zanima, si lahko preberejo še več v letos izdani knjigi Stephena Bakerja Final Jeopardy: Man vs. Machine and the Quest to Know Everything in na spletni strani http://www-03.ibm.com/innovation/us/watson/. Slika 1 POJASNILO: Gornji prispevek je prevod iz rubrike „The Mathematical Moments“, ki jo objavlja Ameriško ma- tematično društvo AMS na spletni strani www.ams.org/mathmoments. 1Jeopardy! je ameriški kviz, ki med drugim pokriva področja zgodovine, literarure, umetnost , popularne kulture, znan sti, šp rta zemljepisa. Tekmovalci m rajo zastavi i vprašanje na odgovor, ki je podan v obliki n migov. Kvi teče že od let 1964, trenutno ga predv ja mreža CBS. 1 fraze z malenkostnimi razlikami v pome ih ali celo z več pomeni. Teorija grafov, for alna logika in statistika nam pomagajo pri izdelavi zapletenih algoritmov, ki so sposob- ni odgovoriti na takšna vprašanja v razumnem času. Watsonovi očetje želijo ustvariti tehnologijo, ki bi bila sposobna še veliko več, kot le zmagati na televizijskem kvi- zu. Programerji se trudijo razviti sisteme, ki bi v kratkem času hitro in strok vno odgovorili na vpr šanja iz realnega življenja, d najbolj enostavnih, ki se na primer pojavijo pri tehnični podpori uporabnikom, do bolj zapletenih, kot so na primer poizvedovanja zdravnikov pri iskanju pra- vilne diagnoze. Večina raziskovanja poteka na področju računalniške znanosti, matematika pa pomaga pri razši- ritvi uporabe tehnologije na druga področja in pri zmanj- ševanju velikosti in stroškov strojne opreme, ki sestavlja takšne sisteme za obvladovanje vprašanj in odgovorov. Tisti, ki jih ta tema zanima, si lahko preberejo še več v letos izdani knjigi Stephena Bakerja Final Jeopardy: Man vs. Machine and the Quest to Know Everything in na spletni strani http://www-03.ibm.com/innovation/us/watson/. Odgovar janje na vpraša ja in obr tno Presek list za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje letnik 39, šolsko leto 2011/2012, številka 1 Uredniški odbor: Vladimir Batagelj, Tanja Bečan (jezikovni pregled), Mojca Čepič, Mirko Dobovišek, Vilko Domajnko, Bojan Golli, Andrej Guštin (astronomija), Marjan Jerman (matematika), Martin Juvan, Maja Klavžar, Damjan Kobal, Lucijana Kračun Berc (tekmovanja), Andrej Likar (fizika), Matija Lokar, Aleš Mohorič (odgovorni urednik), Marko Petkovšek (glavni urednik), Marko Razpet, Andrej Taranenko (računalništvo), Marija Vencelj, Matjaž Vencelj, Matjaž Zaveršnik. Dopisi in naročnine: DMFA–založništvo, Presek, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana, telefon (01) 4766 553, 4232 460, telefaks (01) 4232 460, 2517 281. Internet: www.presek.si Elektronska pošta: presek@dmfa.si Naročnina za šolsko leto 2011/2012 je za posamezne naročnike 16,69 eur – posamezno naročilo velja do preklica, za skupinska naročila učencev šol 14,61 eur, posamezna številka 3,76 eur, dvojna številka 6,89 eur, stara številka 2,71 eur, letna naročnina za tujino pa znaša 25 eur. Transakcijski račun: 03100–1000018787. Devizna nakazila: SKB banka d.d. Ljubljana, Ajdovščina 4, 1513 Ljubljana, swift (bic): SKBASI2X, iban: SI56 0310 0100 0018 787. List sofinancirata Javna agencija za raziskovalno dejavnost Republike Slovenije ter Ministrstvo za šolstvo in šport Založilo DMFA–založništvo Tehnična urednica Tadeja Šekoranja Oblikovanje in ilustracija Polona Šterk Košir, Ines Kristan Tisk Tiskarna Pleško, Ljubljana Naklada 2250 izvodov © 2011 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije – 1849 Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez poprej šnjega dovoljenja založnika ni dovoljeno. Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana Presek objavlja poljudne in strokovne članke iz matemati- ke, fizike, astronomije in računalništva. Poleg člankov objavlja prikaze novih knjig s teh področij in poročila z osnovnošolskih in srednješolskih tekmovanj v matematiki in fiziki. Prispevki naj bodo zanimivi in razumljivi širšemu krogu bralcev, učen- cem višjih razredov osnovnih šol in srednješolcem. Članek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev) in se- dež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo). Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih lahko veči- noma razumemo ločeno od besedila. Slike v elektronski obliki morajo biti visoke kakovosti (jpeg, tiff, eps, ...), velikosti vsaj 8 cm pri ločljivosti 300 dpi. V primeru slabše kakovosti se slika primerno pomanjša ali ne objavi. Avtorji člankov, ki želijo ob- javiti slike iz drugih virov, si morajo za to sami priskrbeti do- voljenje (copyright). Zaželena velikost črk je vsaj 12 pt, razmak med vrsticami pa vsaj 18 pt. Prispevke pošljite odgovornemu uredniku na naslov uredni- štva DMFA–založništvo, Uredništvo revije Presek, p. p. 2964, 1001 Ljubljana ali na naslov elektronske pošte presek@dmfa.si. Vsak članek se praviloma pošlje vsaj enemu anonimnemu re- cenzentu, ki oceni primernost članka za objavo. Če je prispevek sprejet v objavo in če je besedilo napisano z računalnikom, po- tem uredništvo prosi avtorja za izvorno datoteko. Le-te naj bodo praviloma napisane v eni od standardnih različic urejevalnikov TeX oziroma LaTeX, kar bo olajšalo uredniški postopek. Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo ob- javo v elektronski obliki na internetu. k o l o f o n n a v o d i l a s o d e l a v c e m P r e s e k a z a o d d a j o p r i s p e v k o v • m a t e m a t ič n i t r e n u t k i m a t e m a t i č n i t r e n u t k i 2 presek 39 (2011/2012) 1 datkov, do sedaj niso bili sposobni razumevanj vprašanj, postavlje nih v običajnem jeziku. IBM-ov ra- čunal ik Wat on, ki je zmagal na ameriškem kvizu Jeopardy! 1 , pa zna odgovoriti na vprašanja, po- stavljena v neformalnem jeziku, v katerih se lahko pojavljajo tudi varja je a v raša ja i rat Izje no povečevanje števila novih dejstev in po- datkov je povzročilo, da tudi vrhunski strokovnjaki za posa ezna področja ne orejo popolno a sle- diti vse novosti . Računalniki, ki sicer lahko ob- delajo ogro ne količine podatkov, do sedaj niso bili sposobni razu evanja vprašanj, postavljenih v obi- čajne jeziku. IB -ov računalnik atson, ki je z a- gal na a e iške kvizu Jeopardy!1, pa zna odgovo- riti na vprašanja, postavljena v nefor alne jeziku, v katerih se lahko pojavljajo tudi fraze z alenko- stni i razlika i v po enih ali celo z več po eni. Teorija grafov, for alna logika in statistika na po- agajo pri izdelavi zapletenih algorit ov, ki so spo- sobni odgovoriti na takšna vprašanja v razu ne času. atsonovi očetje želijo ustvariti tehnologijo, ki bi bila sposobna še veliko več, kot le z agati na tele- vizijske kvizu. Progra erji se trudijo razviti sis- te e, ki bi v kratke času hitro in strokovno odgo- vorili na vprašanja iz realnega življenja, od najbolj enostavnih, ki se na pri er pojavijo pri tehnični pod- pori uporabniko , do bolj zapletenih, kot so na pri- er poizvedovanja zdravnikov pri iskanju pravilne diagnoze. Večina raziskovanja poteka na področju računalniške znanosti, ate atika pa po aga pri razširitvi uporabe tehnologije na druga področja in pri z anjševanju velikosti in stroškov strojne opre- e, ki sestavlja takšne siste e za obvladovanje vpra- šanj in odgovorov. Tisti, ki jih ta te a zani a, si lahko preberejo še več v letos izdani knjigi Stephena Bakerja Final Jeopardy: an vs. achine and the uest to Kno Everything in na spletni strani http:// -03.ib .co /innovation/us/ atson/. Slika 1 P JAS IL : ornji prispevek je prevod iz rubrike „The athe atical o ents“, ki jo objavlja eriško a- te atično društvo S na spletni strani .a s.org/ ath o ents. 1Jeopardy! je a eriški kviz, ki ed drugi pokriva področja zgodovine, literarure, u etnosti, popularne kulture, znanosti, športa in ze ljepisa. Tek ovalci orajo zastaviti vprašanje na odgovor, ki je podan v obliki na igov. Kviz teče že od leta 1964, trenutno ga predvaja reža CBS. 1 Odgovarjanje na vprašanja in obratno Izjemno povečevanje števila novih dejstev in po- datkov je povzročilo, da tudi vrhunski strokovnjaki za posamezna področja ne morejo popolnoma sle- diti vsem novostim. Računalniki, ki sicer lahko ob- delajo ogromne količine podatkov, do sedaj niso bili sposobni razumevanja vprašanj, postavljenih v obi- čajnem jeziku. IBM-ov računalnik Watson, ki je zma- gal na ameriškem kvizu Jeopardy!1, pa zna odgovo- riti na vprašanja, postavljena v neformalnem jeziku, v katerih se lahko pojavljajo tudi fraze z malenko- stnimi razlikami v pomenih ali celo z več pomeni. Teorija grafov, formalna logika in statistika nam po- magajo pri izdelavi zapletenih algoritmov, ki so spo- sobni odgovoriti na takšna vprašanja v razumnem času. Watsonovi očetje želijo ustvariti tehnologijo, ki bi bila sposobna še veliko več, kot le zmagati na tele- vizijskem kvizu. Programerji se trudijo razviti sis- teme, ki bi v kratkem času hitro in strokovno odgo- vorili na vprašanja iz realnega življenja, od najbolj enostavnih, ki se na primer pojavijo pri tehnični pod- pori uporabnikom, do bolj zapletenih, kot so na pri- mer poizvedovanja zdravnikov pri iskanju pravilne diagnoze. Večina raziskovanja poteka na področju računalniške znanosti, matematika pa pomaga pri razširitvi uporabe tehnologije na druga področja in pri zmanjševanju velikosti in stroškov strojne opre- me, ki sestavlja takšne sisteme za obvladovanje vpra- šanj in odgovorov. Tisti, ki jih ta tema zanima, si lahko preberejo še več v letos izdani knjigi Stephena Bakerja Final Jeopardy: Man vs. Machine and the Quest to Know Everything in na spletni strani http://www-03.ibm.com/innovation/us/watson/. Slika 1 POJASNILO: Gornji prispevek je prevod iz rubrike „The Mathematical Moments“, ki jo objavlja Ameriško ma- tematično društvo AMS na spletni strani www.ams.org/mathmoments. 1Jeopardy! je ameriški kviz, ki med drugim pokriva področja zgodovine, literarure, umetnosti, popularne kulture, znanosti, športa in zemljepisa. Tekmovalci morajo zastaviti vprašanje na odgovor, ki je podan v obliki namigov. Kviz teče že od leta 1964, trenutno ga predvaja mreža CBS. 1 varja je a v raša ja i rat Izje no povečevanje števila novih dejstev in po- datkov je povzročilo, da tudi vrhunski strokovnjaki za posa ezna področja ne orejo popolno a sle- diti vse novosti . Računalniki, ki sicer lahko ob- delajo ogro ne količine podatkov, do sedaj niso bili sposobni razu evanja vprašanj, postavljenih v obi- čajne jeziku. IB -ov računalnik atson, ki je z a- gal na a eriške kvizu Jeopardy!1, pa zna odgovo- riti na vprašanja, postavljena v nefor alne jeziku, v katerih se lahko pojavljajo tudi fraze z alenko- stni i razlika i v po enih ali celo z več po eni. Teorija grafov, for alna logika in statistika na po- agajo pri izdelavi zapletenih algorit ov, ki so spo- sobni odgovoriti na takšna vprašanja v razu ne času. atsonovi očetje želijo ustvariti tehnologijo, ki bi bila sposobna še veliko več, kot le z agati na tele- vizijske kvizu. Progra erji se trudijo razviti sis- te e, ki bi v kratke času hitro in strokovno odgo- vorili na vprašanja iz realnega življenja, od najbolj enostavnih, ki se na pri er pojavijo pri tehnični pod- pori uporabniko , do bolj zapletenih, kot so na pri- er poizvedovanja zdravnikov pri iskanju pravilne diagnoze. Večina raziskovanja poteka na področju računalniške znanosti, ate atika pa po aga pri razširitvi uporabe tehnologije na druga področja in pri z anjševanju velikosti in stroškov strojne opre- e, ki sestavlja takšne siste e za obvladovanje vpra- šanj in odgovorov. Tisti, ki jih ta te a zani a, si lahko preberejo še več v letos izdani knjigi Stephena Bakerja Final Jeopardy: an vs. achine and the uest to Kno Everything in na spletni strani http:// -03.ib .co /innovation/us/ atson/. Slika 1 P JAS IL : ornji prispevek je prevod iz rubrike „The athe atical o ents“, ki jo objavlja eriško a- te atično društvo S na spletni strani .a s.org/ ath o ents. 1Jeopardy! je a eriški kviz, ki ed drugi pokriva področja zgodovine, literarure, u etnosti, popularne kulture, znanosti, športa in ze ljepisa. Tek ovalci orajo zastaviti vprašanje na odgovor, ki je podan v obliki na igov. Kviz teče že od leta 1964, trenutno ga predvaja reža CBS. 1 matematika Prepogibanje papirja in podvojitev kocke (Marko Razpet) Kazuo Haga – Origamics (Marko razpet) fizika Prvi mikroskopi (Janez Strnad) Valovne brazde (Andrej Likar) Dobro uglašena steklenica – odgovor naloge – Poizkuševalnica doma (Gorazd Planinšič) razvedrilo Naravoslovna fotografija (Maša Koren) Nagradna križanka (Marko Bokalič) Rešitev nagradne križanke Presek 38/6 (Marko Bokalič) Barvni sudoku Futošiki Križne vsote računalništvo Urejanje z mrežami (Damjan Strnad) matematični trenutki Odgovarjanje na vprašanja in obratno astronomija Astronomija v šoli – kaj pa sedaj (Andrej Guštin) Poskusni praktični del tekmovanja v znanju astronomije (Andrej Guštin) tekmovanja Srečanje najuspešnejših mladih matematikov, fizikov in astronomov 2011 (Barbara Rovšek) 31. tekmovanje iz znanja fizike (Barbara Rovšek) Rešitve nalog z regijskega fizikalnega tekmovanja srednješolcev Slovenije v šolskem letu 2009/10 (Bojan Golli) 2 4–7 7–8 10–12 12–15 18–19 22–23 23–25 26–29 31 16–17 30 7, 19 21 23 9 20–21 priloga k a z a l o Kazalo Slika na naslovnici: Popolni Lunin mrk, ki smo ga 15. junija lah- ko občudovali tudi v naših krajev, je bil zelo temen. V urbanih osvetljenih krajih je bila v sredini mrka Luna na nebu težko opa- zna. Naslednji Lunin mrk bo 10. decembra letos, a bodo v naših krajih vidne le zadnje faze mrka, saj bo Luna pred tem pod obzor- jem. (Foto: Andrej Guštin) 3Presek 39 (2011/2012) 1 4 m a t e m a t i k a S prepogibanjem papirja lahko preprosto rešimo marsikatero geometrijsko nalogo. Umetnost pre- pogibanja papirja, ki je doma na Japonskem, se je razvila v pravo matematično veščino, o čemer se lahko prepričamo, če vzamemo v roke na primer knjigo [1]. Oglejmo si prepogibanje kvadrata in pri tem izve- dimo vse potrebne račune, ki niso posebno težki. Shajali bomo pravzaprav le z elementarno geome- trijo. Slika 1 Na stranici CD kvadrata ABCD vzemimo poljubno točko M , nato pa kvadrat prepognemo tako, da ogli- šče A pokrije točko M . To pomeni v geometrijskem jeziku, da oglišči A in B prezrcalimo prek simetrale daljice AM . Pri tem se točka B prezrcali v točko R, točka A pa seveda v točko M . Simetrala daljice AM seka stranico DA v točki P , stranico BC pa v točki Q. Pravokotni trapez ABQP se prezrcali v pravo- kotni trapez MRQP in zelo preprosto sklepanje nas privede do zaključka, da so si pravokotni trikotniki PMD, MSC in SQR med seboj podobni. Da bo računanje čim bolj enostavno, vzemimo stra- nico kvadrataABCD za enoto: |AB| = |BC| = |CD| = |DA| = 1. Vpeljimo spremenljivko x kot razdaljo med točkama D inM , torej x = |DM|. Zanjo velja re- lacija 0 < x < 1. Pri vsem tem je zanimivo, da se vse stranice trikotnikov PMD, MSC in SQR izražajo z x racionalno, to pomeni brez kakršnihkoli korenov. Ker je |AP | = |PM| = 1−|PD|, dobimo s Pitagoro- vim izrekom: |PM|2 = x2 + |PD|2 = x2 + (1− |PM|)2 = x2 + 1− 2|PM| + |PM|2. Iz tega takoj sledi |PM| = (1 + x2)/2, nato pa še |PD| = |AP | = (1− x2)/2. V trikotnikuMSC je seveda stranica |MC| = 1−x. Podobnost trikotnikov PMD inMSC pa nam pomaga izraziti še preostali stranici trikotnika MSC s spre- menljivko x. Iz razmerja |MS| : |MC| = |PM| : |PD| dobimo |MS| = (1 + x2)/(1 + x), iz razmerja |SC| : |MC| = |DM| : |PD| pa |SC| = 2x/(1+ x). Prav tako nam podobnost trikotnikov PMD in SQR pomaga izraziti stranice slednjega s spremenljivko x. Iz |SR| = |MR| − |MS| = |AB| − |MS| = 1− |MS| dobimo |SR| = x(1− x)/(1+ x). Iz razmerja |QR| : |SR| = |PD| : |DM| dobimo |QR| = (1 − x)2/2, iz razmerja |QS| : |QR| = |PM| : |DP | pa nazadnje |QS| = (1− x)(1+ x2)/(2(1+ x)). Če sta a in b kateti pravokotnega trikotnika ter c njegova hipotenuza, potem je njegova ploščina p dana z obrazcem p = ab/2, njegov polovični obseg je s = (a+b+ c)/2, polmer včrtanega kroga = p/s 2 Prepogibanje papirja in podvojitev kocke • slika 1. Prepogibanje kvadrata presek 39 (2011/2012) 1 marko razpet S prepogibanjem papirja lahko preprosto rešimo marsikatero geometrijsko nalogo. Umetnost pre- pogibanja papirja, ki je doma na Japonskem, se je razvila v pravo matematično veščino, o čemer se lahko prepričamo, če vzamemo v roke na primer knjigo [1]. Oglejmo si prepogibanje kvadrata in pri tem izve- dimo vse potrebne račune, ki niso posebno težki. Shajali bomo pravzaprav le z elementarno geome- trijo. Slika 1 Na stranici CD kvadrata ABCD vzemimo poljubno točko M , nato pa kvadrat prepognemo tako, da ogli- šče A pokrije točko M . To pomeni v geometrijskem jeziku, da oglišči A in B prezrcalimo prek simetrale daljice AM . Pri tem se točka B prezrcali v točko R, točka A pa seveda v točko M . Simetrala daljice AM seka stranico DA v točki P , stranico BC pa v točki Q. Pravokotni trapez ABQP se prezrcali v pravo- kotni trapez MRQP in zelo preprosto sklepanje nas privede do zaključka, da so si pravokotni trikotniki PMD, MSC in SQR med seboj podobni. Da bo računanje čim bolj enostavno, vzemimo stra- nico kvadrataABCD za enoto: |AB| = |BC| = |CD| = |DA| = 1. Vpeljimo spremenljivko x kot razdaljo med točkama D inM , torej x = |DM|. Zanjo velja re- lacija 0 < x < 1. Pri vsem tem je zanimivo, da se vse stranice trikotnikov PMD, MSC in SQR izražajo z x racionalno, to pomeni brez kakršnihkoli korenov. Ker je |AP | = |PM| = 1−|PD|, dobimo s Pitagoro- vim izrekom: |PM|2 = x2 + |PD|2 = x2 + (1− |PM|)2 = x2 + 1− 2|PM| + |PM|2. Iz tega takoj sledi |PM| = (1 + x2)/2, nato pa še |PD| = |AP | = (1− x2)/2. V trikotnikuMSC je seveda stranica |MC| = 1−x. Podobnost trikotnikov PMD inMSC pa nam pomaga izraziti še preostali stranici trikotnika MSC s spre- menljivko x. Iz razmerja |MS| : |MC| = |PM| : |PD| dobimo |MS| = (1 + x2)/(1 + x), iz razmerja |SC| : |MC| = |DM| : |PD| pa |SC| = 2x/(1+ x). Prav tako nam podobnost trikotnikov PMD in SQR pomaga izraziti stranice slednjega s spremenljivko x. Iz |SR| = |MR| − |MS| = |AB| − |MS| = 1− |MS| dobimo |SR| = x(1− x)/(1+ x). Iz razmerja |QR| : |SR| = |PD| : |DM| dobimo |QR| = (1 − x)2/2, iz razmerja |QS| : |QR| = |PM| : |DP | pa nazadnje |QS| = (1− x)(1+ x2)/(2(1+ x)). Če sta a in b kateti pravokotnega trikotnika ter c njegova hipotenuza, potem je njegova ploščina p dana z obrazcem p = ab/2, njegov polovični obseg je s = (a+b+ c)/2, polmer včrtanega kroga = p/s 2 S re ogi a je a irja la o re rosto reši o arsi atero geo etrijs o alogo. et ost re- ogi a ja a irja, i je o a a Ja o s e , se je raz ila ra o ate atič o ešči o, o če er se la o re riča o, če za e o ro e a ri er jigo [1]. glej o si re ogiba je kva rata i ri te izve- i o vse otreb e rač e, ki iso oseb o težki. S ajali bo o ravza rav le z ele e tar o geo e- trijo. Slika 1 a stra ici kva rata vze i o olj b o točko , ato a kva rat re og e o tako, a ogli- šče okrije točko . o o e i v geo etrijske jezik , a oglišči i rezrcali o rek si etrale aljice . Pri te se točka rezrcali v točko , točka a seve a v točko . Si etrala aljice seka stra ico v točki P , stra ico a v točki . Pravokot i tra ez P se rezrcali v ravo- kot i tra ez P i zelo re rosto skle a je as rive e o zaklj čka, a so si ravokot i trikot iki P , S i S e seboj o ob i. a bo rač a je či bolj e ostav o, vze i o stra- ico kva rata za e oto: | | | | | | | | 1. elji o s re e ljivko kot raz aljo e točka a i , torej | |. a jo velja re- lacija 0 1. Pri vse te je za i ivo, a se vse stra ice trikot ikov P , S i S izražajo z racio al o, to o e i brez kakrš i koli kore ov. er je | P | |P | 1 |P |, obi o s Pitagoro- vi izreko : |P |2 2 |P |2 2 (1 |P |)2 2 1 2|P | |P |2. Iz tega takoj sle i |P | (1 2)/2, ato a še |P | | P | (1 2)/2. trikot ik S je seve a stra ica | | 1 . Po ob ost trikot ikov P i S a a o aga izraziti še reostali stra ici trikot ika S s s re- e ljivko . Iz raz erja | S| : | | |P | : |P | obi o | S| (1 2)/(1 ), iz raz erja |S | : | | | | : |P | a |S | 2 /(1 ). Prav tako a o ob ost trikot ikov P i S o aga izraziti stra ice sle jega s s re e ljivko . Iz |S | | | | S| | | | S| 1 | S| obi o |S | (1 )/(1 ). Iz raz erja | | : |S | |P | : | | obi o | | (1 )2/2, iz raz erja | S| : | | |P | : | P | a aza je | S| (1 )(1 2)/(2(1 )). ˇe sta i kateti ravokot ega trikot ika ter c jegova i ote za, ote je jegova lošči a a a z obrazce /2, jegov olovič i obseg je s ( c)/2, ol er včrta ega kroga /s 2 . , , , , . , . . , , . , . , . , . , , . , : . , . . , , , . , : , . . . : : , : : . . . : : , : : . , , , . , , , , . , . . , , . , . , . , . , , . , : . , . . , , , . , : , . . . : : , : : . . . : : , : : . , , , li bomo pravzaprav le z elem ntarno geom trijo. A D α α α β β β M P R B C S Q 5 m a t e m a t i k a • tabela 1. Trikotniki za poljubni x = |DM |. tabela 2. Stranice trikotnikov pri x =1/2 Presek 39 (2011/2012) 1 S prepogibanjem papirja lahko preprosto rešimo marsikatero geometrijsko nalogo. Umetnost pre- pogibanja papirja, ki je doma na Japonskem, se je razvila v pravo matematično veščino, o čemer se lahko prepričamo, če vzamemo v roke na primer knjigo [1]. Oglejmo si prepogibanje kvadrata in pri tem izve- dimo vse potrebne račune, ki niso posebno težki. Shajali bomo pravzaprav le z elementarno geome- trijo. Slika 1 Na stranici CD kvadrata ABCD vzemimo poljubno točko M , nato pa kvadrat prepognemo tako, da ogli- šče A pokrije točko M . To pomeni v geometrijskem jeziku, da oglišči A in B prezrcalimo prek simetrale daljice AM . Pri tem se točka B prezrcali v točko R, točka A pa seveda v točko M . Simetrala daljice AM seka stranico DA v točki P , stranico BC pa v točki Q. Pravokotni trapez ABQP se prezrcali v pravo- kotni trapez MRQP in zelo preprosto sklepanje nas privede do zaključka, da so si pravokotni trikotniki PMD, MSC in SQR med seboj podobni. Da bo računanje čim bolj enostavno, vzemimo stra- nico kvadrataABCD za enoto: |AB| = |BC| = |CD| = |DA| = 1. Vpeljimo spremenljivko x kot razdaljo med točkama D inM , torej x = |DM|. Zanjo velja re- lacija 0 < x < 1. Pri vsem tem je zanimivo, da se vse stranice trikotnikov PMD, MSC in SQR izražajo z x racionalno, to pomeni brez kakršnihkoli korenov. Ker je |AP | = |PM| = 1−|PD|, dobimo s Pitagoro- vim izrekom: |PM|2 = x2 + |PD|2 = x2 + (1− |PM|)2 = x2 + 1− 2|PM| + |PM|2. Iz tega takoj sledi |PM| = (1 + x2)/2, nato pa še |PD| = |AP | = (1− x2)/2. V trikotnikuMSC je seveda stranica |MC| = 1−x. Podobnost trikotnikov PMD inMSC pa nam pomaga izraziti še preostali stranici trikotnika MSC s spre- menljivko x. Iz razmerja |MS| : |MC| = |PM| : |PD| dobimo |MS| = (1 + x2)/(1 + x), iz razmerja |SC| : |MC| = |DM| : |PD| pa |SC| = 2x/(1+ x). Prav tako nam podobnost trikotnikov PMD in SQR pomaga izraziti stranice slednjega s spremenljivko x. Iz |SR| = |MR| − |MS| = |AB| − |MS| = 1− |MS| dobimo |SR| = x(1− x)/(1+ x). Iz razmerja |QR| : |SR| = |PD| : |DM| dobimo |QR| = (1 − x)2/2, iz razmerja |QS| : |QR| = |PM| : |DP | pa nazadnje |QS| = (1− x)(1+ x2)/(2(1+ x)). Če sta a in b kateti pravokotnega trikotnika ter c njegova hipotenuza, potem je njegova ploščina p dana z obrazcem p = ab/2, njegov polovični obseg je s = (a+b+c)/2, polmer včrtanega kroga = p/s 2 S prepogibanje papirja lahko preprosto reši o arsikatero geo etrijsko nalogo. etnost pre- pogibanja papirja, ki je do a na Japonske , se je razvila v pravo ate atično veščino, o če er se lahko prepriča o, če vza e o v roke na pri er knjigo [1]. glej o si prepogibanje kvadrata in pri te izve- di o vse potrebne račune, ki niso posebno težki. Shajali bo o pravzaprav le z ele entarno geo e- trijo. Slika 1 a stranici C kvadrata BC vze i o poljubno točko , nato pa kvadrat prepogne o tako, da ogli- šče pokrije točko . To po eni v geo etrijske jeziku, da oglišči in B prezrcali o prek si etrale daljice . Pri te se točka B prezrcali v točko , točka pa seveda v točko . Si etrala daljice seka stranico v točki P , stranico BC pa v točki . Pravokotni trapez B P se prezrcali v pravo- kotni trapez P in zelo preprosto sklepanje nas privede do zaključka, da so si pravokotni trikotniki P , SC in S ed seboj podobni. a bo računanje či bolj enostavno, vze i o stra- nico kvadrata BC za enoto: | B| |BC| |C | | | 1. Vpelji o spre enljivko x kot razdaljo ed točka a in , torej x | |. Zanjo velja re- lacija 0 x 1. Pri vse te je zani ivo, da se vse stranice trikotnikov P , SC in S izražajo z x racionalno, to po eni brez kakršnihkoli korenov. Ker je | P | |P | 1 |P |, dobi o s Pitagoro- vi izreko : |P |2 x2 |P |2 x2 (1 |P |)2 x2 1 2|P | |P |2. Iz tega takoj sledi |P | (1 x2)/2, nato pa še |P | | P | (1 x2)/2. V trikotniku SC je seveda stranica | C| 1 x. Podobnost trikotnikov P in SC pa na po aga izraziti še preostali stranici trikotnika SC s spre- enljivko x. Iz raz erja | S| : | C| |P | : |P | dobi o | S| (1 x2)/(1 x), iz raz erja |SC| : | C| | | : |P | pa |SC| 2x/(1 x). Prav tako na podobnost trikotnikov P in S po aga izraziti stranice slednjega s spre enljivko x. Iz |S | | | | S| | B| | S| 1 | S| dobi o |S | x(1 x)/(1 x). Iz raz erja | | : |S | |P | : | | dobi o | | (1 x)2/2, iz raz erja | S| : | | |P | : | P | pa nazadnje | S| (1 x)(1 x2)/(2(1 x)). Če sta a in b kateti pravokotnega trikotnika ter c njegova hipotenuza, pote je njegova ploščina p dana z obrazce p ab/2, njegov polovični obseg je s (a b c)/2, pol er včrtanega kroga /s 2 S prepogibanjem papirja lahko preprosto rešimo marsikatero geometrijsko nalogo. Umetnost pre- pogibanja papirja, ki je doma na Japonskem, se je razvila v pravo matematično veščino, o čemer se lahko prepričamo, če vzamemo v roke na primer knjigo [1]. Oglejmo si prepogibanje kvadrata in pri tem izve- dimo vse potrebne račune, ki niso posebno težki. Shajali bomo pravzaprav le z elementarno geome- trijo. Slika 1 Na stranici CD kvadrata ABCD vzemimo poljubno točko M , nato pa kvadrat prepognemo tako, da ogli- šče A pokrije točko M . To pomeni v geometrijskem jeziku, da oglišči A in B prezrcalimo prek simetrale daljice AM . Pri tem se točka B prezrcali v točko R, točka A pa seveda v točko M . Simetrala daljice AM seka stranico DA v točki P , stranico BC pa v točki Q. Pravokotni trapez ABQP se prezrcali v pravo- kotni trapez MRQP in zelo preprosto sklepanje nas privede do zaključka, da so si pravokotni trikotniki PMD, MSC in SQR med seboj podobni. Da bo računanje čim bolj enostavno, vzemimo stra- nico kvadrataABCD za enoto: |AB| = |BC| = |CD| = |DA| = 1. Vpeljimo spremenljivko x kot razdaljo med točkama D inM , torej x = |DM|. Zanjo velja re- lacija 0 < x < 1. Pri vsem tem je zanimivo, da se vse stranice trikotnikov PMD, MSC in SQR izražajo z x racionalno, to pomeni brez kakršnihkoli korenov. Ker je |AP | = |PM| = 1−|PD|, dobimo s Pitagoro- vim izrekom: |PM|2 = x2 + |PD|2 = x2 + (1− |PM|)2 = x2 + 1− 2|PM| + |PM|2. Iz tega takoj sledi |PM| = (1 + x2)/2, nato pa še |PD| = |AP | = (1− x2)/2. V trikotnikuMSC je seveda stranica |MC| = 1−x. Podobnost trikotnikov PMD inMSC pa nam pomaga izraziti še preostali stranici trikotnika MSC s spre- menljivko x. Iz razmerja |MS| : |MC| = |PM| : |PD| dobimo |MS| = (1 + x2)/(1 + x), iz razmerja |SC| : |MC| = |DM| : |PD| pa |SC| = 2x/(1+ x). Prav tako nam podobnost trikotnikov PMD in SQR pomaga izraziti stranice slednjega s spremenljivko x. Iz |SR| = |MR| − |MS| = |AB| − |MS| = 1− |MS| dobimo |SR| = x(1− x)/(1+ x). Iz razmerja |QR| : |SR| = |PD| : |DM| dobimo |QR| = (1 − x)2/2, iz razmerja |QS| : |QR| = |PM| : |DP | pa nazadnje |QS| = (1− x)(1+ x2)/(2(1+ x)). Če sta a in b kateti pravokotnega trikotnika ter c njegova hipotenuza, potem je njegova ploščina p dana z obrazcem p = ab/2, njegov polovični obseg je s = (a+b+ c)/2, polmer včrtanega kroga = p/s 2 in polmer očrtanega kroga r = c/2. Takoj opazimo, da se poleg stranic a, b in c trikotnikov PMD, MSC in SQR izražajo racionalno s spremenljivko x tudi p, s,  in r . Rezultate zberimo v tabelo. Razpredelnica 1 Takoj opazimo drobno zanimivost: trikotniku MSC včrtani krog ima polmer, ki je enak kateti pra- vokotnega trik tnika SQR nasproti oglišču Q. Če izberemo x = 1/2, dobimo po krajšem računu stranice, zapisane v naslednji tabeli. Razpredelnica 2 To pomeni, da so trikotniki PMD, MSC in SQR egipčanski. Tako pravimo vsakemu pravokotnemu trikotniku, ki ima kateti in hipotenuzo v razmerju 3 : 4 : 5 oziroma 4 : 3 : 5. Tak trikotnik je bil starim Egipčanom osnova za konstrukcijo pravega kota. Za x = 1/2 ima trikotnikMSC stranico |SC| = 2/3 in zato je |BS| = 1/3. To pomeni, da tedaj točka S določa tretjino kvadratove stranice BC . Drugače po- vedano, s prepogibanjem lahko razdelimo stranice kvadrata na tri dolžinsko enake dele. Slika 2 Razdelimo stranicoAB po prej opisanem postopku na tri enake dele s točkama X1 in X2. S prepogiba- njem kvadrata, opisanem na začetku, dobimo iz njiju na daljici MR ustrezni točki T1 in T2. Vprašajmo se sedaj, kako je treba izbrati točko M , da bo točka T1 obenem ležala na daljici X2X3, pri čemer je X3 pre- sečišče vzporednice stranici BC skozi X2 in CD. Odgovor je preprost: trikotnik MT1X3 mora pri dani zahtevi biti podoben trikotniku MSC . Veljati mora relacija |MX3| : |MT1| = |MC| : |MS|, ki jo zapišemo v obliki 1− x − 1/3 1/3 = 1− x (1+ x2)/(1+ x) , ki jo najprej poenostavimo v 2− 3x = 1− x 2 1+ x2 , nato pa v kubično enačbo 3x3 − 3x2 + 3x − 1 = 2x3 + (x − 1)3 = 0 . Zapišimo jo v obliki (1− x)3 = 2x3 . 3 in polmer očrtanega kroga r = c/2. Takoj opazimo, da s poleg stranic a, b in c trikotnikov PMD, MSC in SQR izražajo racionalno s spremenljivk x tudi p, s,  in r . Rezultate zberimo v tabel . R zpredelnica 1 Takoj opazimo drobno zanimivost: trikotniku MSC včrtani krog ima polmer, ki je enak kateti pra- vokotnega trikotnika SQR nasproti oglišču Q. Če izberemo x = 1/2, dobimo po krajšem računu stranice, zapisane v naslednji tabeli. Razpr delnica 2 To pomeni, da so trikotniki PMD, MSC in SQR egipčanski. Tako pravimo vsakemu pravokotnemu trikotniku, ki ima kateti in hipotenuzo v razmerju 3 : 4 : 5 oziroma 4 : 3 : 5. Tak trikotnik je bil starim Egipčanom osnova za konstrukcijo pravega kota. Za x = 1/2 im trikotnikMSC stranico |SC| = 2/3 in zato je |BS| = 1/3. To pomeni, da tedaj točka S dol ča tretjino kvadratove stranic BC . Drugače po- vedano, s prepogibanjem l hko razdelimo stran ce kvadr ta na tri dolžinsko enake dele. Slika 2 Razdelimo stranicoAB po prej opisanem postopku na tri enake dele s točkama X1 in X2. S prepogiba- njem kvadrata, opisanem na začetku, dobimo iz njiju na daljici MR ustrezni točki T1 in T2. Vprašajmo se sedaj, kako je treba izbrati točko M , da bo točka T1 obenem ežala n daljici X2X3, pri čem r je X3 pre- sečišče vzporednice stranici BC skozi X2 in CD. Odgovo je preprost: trikotnik MT1X3 mora pri d ni zahtevi biti podoben trikotniku MSC . Veljati mora relacija |MX3| : |MT1| = | C| : |MS|, ki jo zapiše o v obliki 1− x − 1/3 1/3 = 1− x (1+ x2)/(1+ x) , ki jo najprej poenostavimo v 2− 3x = 1− x 2 1+ x2 , nato pa v kubično enačbo 3x3 − 3x2 + 3x − 1 = 2x3 + (x − 1)3 = 0 . Zapišimo jo v obliki (1− x)3 = 2x3 . 3  a b c p s  r PMD x 1− x2 2 1+ x2 2 x(1− x2) 4 1+ x 2 x(1− x) 2 1+ x2 4 MSC 2x 1+ x 1− x 1+ x2 1+ x x(1− x) 1+ x 1 x(1− x) 1+ x 1+ x2 2(1+ x) SQR x(1− x) 1+ x (1− x)2 2 (1− x)(1+ x2) 2(1+ x) x(1− x)3 4(1+ x) 1− x 2 x(1− x)2 2(1+ x) (1− x)(1+ x2) 4(1+ x) 2 a b c p s  r P D x 1− x2 2 1+ x2 2 x(1− x2) 4 1+ x 2 x(1− x) 2 1+ x2 4 SC 2x 1+ x 1− x 1+ x2 1+ x x(1− x) 1+ x 1 x(1− x) 1+ x 1+ x2 2(1+ x) S R x(1− x) 1+ x (1− x)2 2 (1− x)(1+ x2) 2(1+ x) x(1− x)3 4(1+ x) 1− x 2 x(1− x)2 2(1+ x) (1− x)(1+ x2) 4(1+ x) 2  a b c p s  r PMD x 1− x2 2 1+ x2 2 x(1− x2) 4 1+ x 2 x(1− x) 2 1+ x2 4 MSC 2x 1+ x 1− x 1+ x2 1+ x x(1− x) 1+ x 1 x(1− x) 1+ x 1+ x2 2(1+ x) SQR x(1− x) 1+ x (1− x)2 2 (1− x)(1+ x2) 2(1+ x) x(1− x)3 4(1+ x) 1− x 2 x(1− x)2 2(1+ x) (1− x)(1+ x2) 4(1+ x) 2 a b c p s  r P x 1− x2 2 1+ x2 2 x(1− x2) 4 1+ x 2 x(1− x) 2 1+ x2 4 SC 2x 1+ x 1− x 1+ x2 1+ x x(1− x) 1+ x 1 x(1− x) 1+ x 1+ x2 (1+ x) S R x(1− x) 1+ x (1− x)2 2 (1− x)(1+ x2) 2(1+ x) x(1− x)3 4(1+ x) 1− x 2 x(1− x)2 2(1+ x) (1− x)(1+ x2) 4(1+ x) 2  a b c p s  r PMD x 1− x2 2 1+ x2 2 x(1− x2) 4 1+ x 2 x(1− x) 2 1+ x2 4 MSC 2x 1+ x 1− x 1+ x2 1+ x x(1− x) 1+ x 1 x(1− x) 1+ x 1+ x2 2(1+ x) SQR x(1− x) 1+ x (1− x)2 2 (1− x)(1+ x2) 2(1+ x) x(1− x)3 4(1+ x) 1− x 2 x(1− x)2 2(1+ x) (1− x)(1+ x2) 4(1+ x) 2 s 2 2 ( 2) ( ) 2 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( )2 ( )( 2) ( ) ( )3 ( ) ( )2 ( ) ( )( 2) ( )  a b c p s  r PMD x 1− x2 2 1+ x2 2 x(1− x2) 4 1+ x 2 x(1− x) 2 1+ x2 4 MSC 2x 1+ x 1− x 1+ x2 1+ x x(1− x) 1+ x 1 x(1− x) 1+ x 1+ x2 2(1+ x) SQR x(1− x) 1+ x (1− x)2 2 (1− x)(1+ x2) 2(1+ x) x(1− x)3 4(1+ x) 1− x 2 x(1− x)2 2(1+ x) (1− x)(1+ x2) 4(1+ x) 2  a b c p s  r PMD x 1− x2 2 1+ x2 2 x(1− x2) 4 1+ x 2 x(1− x) 2 1+ x2 4 MSC 2x 1+ x 1− x 1+ x2 1+ x x(1− x) 1+ x 1 x(1− x) 1+ x 1+ x2 2(1+ x) SQR x(1− x) 1+ x (1− x)2 2 (1− x)(1+ x2) 2(1+ x) x(1− x)3 4(1+ x) 1− x 2 x(1− x)2 2(1+ x) (1− x)(1+ x2) 4(1+ x) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 D c r S S c s r 2 2 ( 2) ( ) 2 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( )2 ( )( 2) ( ) ( )3 ( ) ( )2 ( ) ( )( 2) ( ) a b c p s  r P x 1 x 2 1 x 2 x(1 x ) 4 1 x 2 x(1 x) 2 1 x 4 SC 2x 1 x 1 x 1 x 1 x x(1 x) 1 x 1 x(1 x) 1 x 1 x 2(1 x) S x(1 x) 1 x (1 x) 2 (1 x)(1 x ) 2(1 x) x(1 x) 4(1 x) 1 2 x(1 x) 2(1 x) (1 x)(1 x ) 4(1 x) 2  c s r PM 1 2 2 1 2 2 (1 2) 4 1 2 (1 ) 2 1 2 4 MS 2 1 1 1 2 1 (1 ) 1 1 (1 ) 1 1 2 2(1 ) SQ (1 ) 1 (1 )2 2 (1 )(1 2) 2(1 ) (1 )3 4(1 ) 1 2 (1 )2 2(1 ) (1 )(1 2) 4(1 ) 2 c s r 2 2 ( 2) ( ) 2 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( )2 ( )( 2) ( ) ( )3 ( ) ( )2 ( ) ( )( 2) ( )  a b c p s  r PMD x 1− x2 2 1+ x2 2 x(1− x2) 4 1+ x 2 x(1− x) 2 1+ x2 4 MSC 2x 1+ x 1− x 1+ x2 1+ x x(1− x) 1+ x 1 x(1− x) 1+ x 1+ x2 2(1+ x) SQR x(1− x) 1+ x (1− x)2 2 (1− x)(1+ x2) 2(1+ x) x(1− x)3 4(1+ x) 1− x 2 x(1− x)2 2(1+ x) (1− x)(1+ x2) 4(1+ x) 2 b  P 1 2 1 2 1 4 1 2 1 2 1 4 S 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 S 1 1 1 2 1 1 2 1 1 4 1 1 2 1 2 1 1 1 4 1 2 c s r 2 2 ( 2) ( ) 2 S 2 ( ) ( ) 2 ( ) S ( ) ( )2 ( )( 2) ( ) ( )3 ( ) ( )2 ( ) ( )( 2) ( )  b c s  r PMD − 2 2 1+ 2 2 (1− 2) 4 1+ 2 (1− ) 2 1+ 2 4 MS 2 1+ 1− 1+ 2 1+ (1− ) 1+ 1 (1− ) 1+ 1+ 2 2(1+ ) SQR (1− ) 1+ (1− )2 2 (1− )(1+ 2) 2(1+ ) (1− )3 4(1+ ) 1− 2 (1− )2 2(1+ ) (1− )(1+ 2) 4(1+ ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 x 2 2  a b c a : b : c PMD 1/2 3/8 5/8 4 : 3 : 5 MSC 2/3 1/2 5/6 4 : 3 : 5 SQR 1/6 1/8 5/24 4 : 3 : 5 2 a b c a : b : c P 1/2 3/8 5/8 4 : 3 : 5 SC 2/3 1/2 5/6 4 : 3 : 5 S R 1/6 1/8 5/24 4 : 3 : 5 2  a b c a : b : c PMD 1/2 3/8 5/8 4 : 3 : 5 MSC 2/3 1/2 5/6 4 : 3 : 5 SQR 1/6 1/8 5/24 4 : 3 : 5 2  a b c a : b : c PMD 1/2 3/8 5/8 4 : 3 : 5 MSC 2/3 1/2 5/6 4 : 3 : 5 SQR 1/6 1/8 5/24 4 : 3 : 5 2  a b c a : b : c PMD 1/2 3/8 5/8 4 : 3 : 5 MSC 2/3 1/2 5/6 4 : 3 : 5 SQR 1/6 1/8 5/24 4 : 3 : 5 2  a b c a : b : c PMD 1/2 3/8 5/8 4 3 : 5 MSC 2/3 1/2 5/6 4 3 : 5 SQR 1/6 1/8 5/24 4 3 : 5 2  a b c a : b : c PMD 1/2 3 5/8 4 : 3 : 5 MSC 2/3 1 2 5/6 4 : 3 : 5 SQR 1/6 1/8 5/24 4 : 3 : 5 2 a b c a : b : c P D 1 2 3 5/8 4 : 3 : 5 SC 2 3 1 2 5/6 4 : 3 : 5 S R 6 1 8 5/24 4 : 3 : 5 2  a b c a : b : c PMD 1/2 3/8 5/8 4 : 3 : 5 MSC 2/3 1/2 5/6 4 : 3 : 5 SQR 1/6 1/8 5/24 4 : 3 : 5 2  a b c a : b : c PMD 1/2 3/8 5/8 4 : 3 : 5 MSC 2/3 1/2 5/6 4 : 3 : 5 SQR 1/6 1/8 5/2 4 : 3 : 5 2  a b c a : b : c PMD 1/2 3 5/8 4 : 3 : 5 M C 2/3 1 2 5/6 4 : 3 : 5 SQR /6 1/8 5/24 4 : 3 : 5 2 1 a b c a : b : c P 1/2 3/8 5/8 4 : 3 : 5 SC 2/3 1/2 5/6 4 : 3 : 5 S R 1/6 1/8 5/24 4 : 3 : 5 2 a b c a : b : c P 1/2 3/8 5/8 4 : 3 : 5 SC 2/3 1/2 5/6 4 : 3 : 5 S R 1/6 1/8 5/2 4 : 3 : 5 2 a b c a : b : c P 1 2 3 5/8 4 : 3 : 5 SC 2 3 1 2 5/6 4 : 3 : 5 S R 6 1 8 5/24 4 : 3 : 5 2 : : / : : / : : 1/ / : :  a b c a : b : c PMD 1/2 3/8 5/8 4 : 3 : 5 MSC 2/3 1/2 5/6 4 : 3 : 5 SQR 1/6 1/8 5/24 4 : 3 : 5 2  a b c a : b : c PMD 1/2 3/8 5/8 4 : 3 : 5 MSC 2/3 1/2 5/6 4 : 3 : 5 SQR 1/6 1/8 5/24 4 : 3 : 5 2  a b c a : b : c PMD 1/2 3 5/8 4 : 3 : 5 MSC 2/3 1 2 5/6 4 : 3 : 5 SQR 1/6 1/8 5/24 4 : 3 : 5 2 6 m a t e m a t i k a MD A U P Z slika 2. Kocka z robom |MC | ima dvakrat večjo prostornino kot kocka z robom |DM |. slika 3. Po dvakratnem prepogibanju kvadrata. • Naloga Korenimo in dobimo 1− x x = 3 √ 2 . To pa pomeni, da tedaj točka M deli daljico CD na dva dela, katerih dolžini sta v razmerju 3 √ 2. Kocka z robom 1− x ima takrat dvakrat večjo prostornino kot kocka z robom x. S tem smo se približali rešitvi problema podvojitve kocke, enemu od treh zname- nitih matematǐcnih problemov antike. Preostala dva sta problem tretjinjenja kota in problem kvadrature kroga. Naloga Kvadrat ABCD lahko prepognemo še tako, da ogli- šče B pokrije točko M . To pomeni, da oglišči A in B prezrcalimo prek simetrale daljice BM . Ta simetrala seka stranico DA v točki U , stranico BC pa v točki V . Slika 3 Daljici PQ in UV se sekata v točki Z . Utemeljite, zakaj je Z enako oddaljena od stranic DA in BC ter zakaj so razdalje |ZA|, |ZB| in |ZM| enake. Rešitev Trikotniku ABM očrtamo krog. Njegovo središče je ravno v točki Z , kjer se sekajo vse tri simetrale trikotnikovih stranic. Ker daljici PQ in UV ležita na dveh od teh simetral, tretja simetrala pa razpolavlja stranico B, je točka Z enako oddaljena od stranic DA in BC , razdalje |ZA|, |ZB| in |ZM| pa so očitno res enake. 4 Koreni o in dobi o 1− x x = 3 √ 2 . To pa po eni, da tedaj točka deli daljico C na dva dela, katerih dolžini sta v raz erju 3 √ 2. Kocka z robo 1− x i a takrat dvakrat večjo prostornino kot kocka z robo x. S te s o se približali rešitvi proble a podvojitve kocke, ene u od treh zna e- nitih ate atǐcnih proble ov antike. Preostala dva sta proble tretjinjenja kota in proble kvadrature kroga. Naloga Kvadrat ABC lahko prepogne o še tako, da ogli- šče B pokrije točko . To po eni, da oglišči A in B prezrcali o prek si etrale daljice B . Ta si etrala seka stranico A v točki U , stranico BC pa v točki V . Slika 3 Daljici P in UV se sekata v točki Z . Ute eljite, zakaj je Z enako oddaljena od stranic A in BC ter zakaj so razdalje |ZA|, |ZB| in |Z | enake. Rešitev Trikotniku AB očrta o krog. Njegovo središče je ravno v točki Z , kjer se sekajo vse tri si etrale trikotnikovih stranic. Ker daljici P in UV ležita na dveh od teh si etral, tretja si etrala pa razpolavlja stranico AB, je točka Z enako oddaljena od stranic A in BC , razdalje |ZA|, |ZB| in |Z | pa so očitno res enake. 4 Korenimo in dobimo 1− x x = 3 √ 2 . To pa pomeni, da tedaj točka M deli daljico CD na dva dela, katerih dolžini sta v razmerju 3 √ 2. Kocka z robom 1− x ima takrat dvakrat večjo prostornino kot kocka z robom x. S tem smo se približali rešitvi problema podvojitve kocke, enemu od treh zname- nitih matematǐcnih problemov antike. Preostala dva sta problem tretjinjenja kota in problem kvadrature kroga. loga Kvadrat ABCD lahko prepognemo še tako, da ogli- šče B pokrije točko M . To pomeni, da oglišči A in B prezrcalimo prek simetrale daljice BM . Ta simetrala seka stranico DA v točki U , stranico BC pa v točki V . Slika 3 Daljici PQ in UV se sekata v točki Z . Utemeljite, zakaj je Z enako oddaljena od stranic DA in BC ter zakaj so razdalje |ZA|, |ZB| in |ZM| enake. Rešitev Trikotniku BM očrtamo krog. jegovo središče je ravno v točki Z , kjer se sekajo vse tri simetrale trikotnikovih stranic. er daljici PQ in V ležita na dveh od teh simetral, tretja simetrala pa razpolavlja stranico B, je točka enako oddaljena od stranic D in B , razdalje | |, | B| in | M| pa so očitno res e ake. presek 39 (2011/2012) 1 in polmer očrtanega kroga r = c/2. Takoj opazimo, da se poleg stranic a, b in c trikotnikov PMD, MSC in SQR izražajo racionalno s spremenljivko x tudi p, s,  in r . Rezultate zberimo v tabelo. Razpredelnica 1 Takoj opazimo drobno zanimivost: trikotniku MSC včrtani krog ima polmer, ki je enak kateti pra- vokotnega trikotnika SQR nasproti oglišču Q. Če izberemo x = 1/2, dobimo po krajšem računu stranice, zapisane v naslednji tabeli. Razpredelnica 2 To pomeni, da so trikotniki PMD, MSC in SQR egipčanski. Tako pravimo vsakemu pravokotnemu trikotniku, ki ima kateti in hipotenuzo v razmerju 3 : 4 : 5 oziroma 4 : 3 : 5. Tak trikotnik je bil starim Egipčanom osnova za konstrukcijo pravega kota. Za x = 1/2 ima trikotnikMSC stranico |SC| = 2/3 in zato je |BS| = 1/3. To pomeni, da tedaj točka S določa tretjino kvadratove stranice BC . Drugače po- vedano, s prepogibanjem lahko razdelimo stranice kvadrata na tri dolžinsko enake dele. Slika 2 Razdelimo stranicoAB po prej opisanem postopku na tri enake dele s točkama X1 in X2. S prepogiba- njem kvadrata, opisanem na začetku, dobimo iz njiju na daljici MR ustrezni točki T1 in T2. Vprašajmo se sedaj, kako je treba izbrati točko M , da bo točka T1 obenem ležala na daljici X2X3, pri čemer je X3 pre- sečišče vzporednice stranici BC skozi X2 in CD. Odgovor je preprost: trikotnik MT1X3 mora pri dani zahtevi biti podoben trikotniku MSC . Veljati mora relacija |MX3| : |MT1| = |MC| : |MS|, ki jo zapišemo v obliki 1− x − 1/3 1/3 = 1− x (1+ x2)/(1+ x) , ki jo najprej poenostavimo v 2− 3x = 1− x 2 1+ x2 , nato pa v kubično enačbo 3x3 − 3x2 + 3x − 1 = 2x3 + (x − 1)3 = 0 . Zapišimo jo v obliki (1− x)3 = 2x3 . 3 in p lmer očrtanega k oga r = c/2. Takoj opazimo, da se poleg stranic a, b in c tri otnikov PMD, MSC in SQR izražajo racionalno s spr menlji ko x tudi p, s,  in r . Rezultate zberimo v tabelo. Ra pred lnica 1 Takoj opazim drobno zanimivost: trikotniku MSC včrtani krog ima polmer, ki je enak kateti pra- vokotnega trikotnika SQR nasproti oglišču Q. Če izberemo x = 1/2, dobimo po krajšem računu stranice, zapisane v naslednji tabeli. R zpredelnica 2 To pomeni, da so trikotniki PMD, MSC in SQR egipčanski. Tako pravimo vsakemu pravokotnemu trikotniku, ki ima ka eti n hipotenuzo v razmerju 3 : 4 : 5 oziroma 4 : 3 : 5. Tak tr otnik je bil st rim Egipčanom osnova za konstru cijo pravega kota. Za x = 1/2 ima trikotnikMSC stranico |SC = 2/3 in zato je |BS| = 1/3. To pomeni, da tedaj točka S določa tretjino kvadratove stranice BC . Drugače po- vedano, s prepogibanjem lahko razdelimo stranice kvadrata na tri dolžinsko enake dele. Slika 2 Razdelimo stranicoAB po prej opisanem postopku na tri enake dele s točkama X1 in X2. S prepogiba- njem kvadrata, opisanem na začetku, dobimo iz njiju na daljici MR ustrezni točki T1 in T2. Vprašajmo se sedaj, kako je treba izbrati točko M , da bo točka T1 obenem ležala na daljici X2X3, pri čemer je X3 pre- sečišče vzporednice stranici BC skozi X2 in CD. Odgovor je preprost: trikotnik MT1X3 mora pri dani zahtevi biti podoben trikotniku MSC . Veljati mora relacija |MX3| : |MT1| = |MC| : |MS|, ki jo zapišemo v obliki 1− x − 1/3 1/3 = 1− x (1+ x2)/(1+ x) , ki jo najprej poenostavimo v 2− 3x = 1− x 2 1+ x2 , nato pa v kubično enačbo 3x3 − 3x2 + 3x − 1 = 2x3 + (x − 1)3 = 0 . Zapišimo jo v obliki (1− x)3 = 2x3 . 3 in pol er očrtanega kroga r c/2. Takoj opazi o, da se poleg str nic a, b in c trikotnikov P , SC in S izražajo racionalno s spre enlji ko x tudi p, s,  in r . Rezultate zberi o v tabelo. Razpredelnica 1 Takoj opazi drobno zani ivost: trikotniku SC včrtani krog i a pol er, ki je enak kateti pra- vokotnega trikotnika S nasproti oglišču . Če izbere o x 1/2, dobi o po krajše računu stranice, zapisane v naslednji tabeli. Razpredelnica 2 To po eni, da so triko niki P , SC in S egipčanski. T ko pravi o vsake u pravokotne u trikotniku, ki i a kateti in hipotenuzo v raz erju 3 : 4 : 5 oziro a 4 : 3 : 5. Ta rikotnik je bil st ri Egipčano osnova za konstrukcijo pravega kota. Za x 1/2 i a trikotnik SC stranico SC| 2/3 in zato je |BS| 1/3. To po eni, da tedaj točka S določa tretjino kvadratove stranice BC . rugače po- vedano, s prepogibanje lahko razdeli o stranice kvadrata na tri dolžinsko enake dele. Slika 2 Razdeli o stranico B po prej opisane postopku na tri enake dele s točka a 1 in 2. S prepogiba- nje kvadrata, opisane na začetku, dobi o iz njiju na daljici ustrezni točki T1 in T2. Vprašaj o se sedaj, kako je treba izbrati točko , da bo točka T1 obene ležala na daljici 2 3, pri če er je 3 pre- sečišče vzporednice stranici BC skozi 2 in C . dgovor je preprost: trikotnik T1 3 ora pri dani zahtevi biti podoben trikotniku SC . Veljati ora relacija | 3| : | T1| | C| : | S|, ki jo zapiše o v obliki 1 x 1/3 1/3 1 x (1 x2)/(1 x) , ki jo najprej poenostavi o v 2 3x 1 x2 1 x2 , nato pa v kubično enačbo 3x3 3x2 3x 1 2x3 (x 1)3 0 . Zapiši o jo v obliki (1 x)3 2x3 . 3 in polmer očrtanega kroga r = c/2. Takoj opazimo, da se poleg stranic a, b in c trikotnikov PMD, MSC in SQR izražajo racionalno s spremenljivko x tudi p, s,  in r . Rezultate zberimo v tabelo. Razpredelnica 1 Takoj opazimo drobno zanimivost: trikotniku MSC včrtani krog ima polmer, ki je enak kateti pra- vokotnega trikotnika SQR nasproti oglišču Q. Če izberemo x = 1/2, dobimo po krajšem računu stranice, zapisane v naslednji tabeli. Razpredelnica 2 To pomeni, da so trikotniki PMD, MSC in SQR egipčanski. Tako pravimo vsakemu pravokotnemu trikotniku, ki ima kateti in hipotenuzo v razmerju 3 : 4 : 5 oziroma 4 : 3 : 5. Tak trikotnik je bil starim Egipčanom osnova za konstrukcijo pravega kota. Za x = 1/2 ima trikotnikMSC stranico |SC| = 2/3 in zato je |BS| = 1/3. To pomeni, da tedaj točka S določa tretjino kvadratove stranice BC . Drugače po- vedano, s prepogibanjem lahko razdelimo stranice kvadrata na tri dolžinsko enake dele. Slika 2 Razdelimo stranicoAB po prej opisanem postopku tri ena e dele s to kama X1 in X2. S prepogiba- njem kvadrata, opisanem na začetku, dobimo iz njiju na daljici MR ustrezni točki T1 in T2. Vprašajmo se sedaj, kako je treba izbrati točko M , da bo točka T1 obene ležala na daljici X2X3, pri čemer je X3 pre- sečišče vzporednice stranici BC skozi X2 in CD. Odgovor je preprost: trikotnik MT1X3 mora pri dani zahtevi biti podoben trikotniku MSC . Veljati mora relacija |MX3| : |MT1| = |MC| : |MS|, ki jo zapišemo v obliki 1− x − 1/3 1/3 = 1− x (1+ x2)/(1+ x) , ki jo najprej poenostavimo v 2− 3x = 1− x 2 1+ x2 , nato pa v kubično enačbo 3x3 − 3x2 + 3x − 1 = 2x3 + (x − 1)3 = 0 . Zapišimo jo v obliki (1− x)3 = 2x3 . 3 in polmer očrtanega kroga r = c/2. Takoj opazimo, da se poleg stranic a, b in c trikotnikov PMD, MSC in SQR izražajo racionalno s spremenljivko x tudi p, s,  in r . Rezultate zberimo v tabelo. Razpredelnica 1 Takoj opazimo drobno zanimivost: trikotniku MSC včrtani krog ima polmer, ki je enak kateti pra- vokotnega trikotnika SQR nasproti oglišču Q. Če izberemo x = 1/2, dobimo po krajšem računu stranice, zapisane v naslednji tabeli. Razpredelnica 2 To pomeni, da so trikotniki PMD, MSC in SQR egipčanski. Tako pravimo vsakemu pravokotnemu trikotniku, ki ima kateti in hipotenuzo v razmerju 3 : 4 : 5 oziroma 4 : 3 : 5. Tak trikotnik je bil starim Egipčanom osnova za konstrukcijo pravega kota. Za x = 1/2 ima trikotnikMSC stranico |SC| = 2/3 in zato je |BS| = 1/3. To pomeni, da tedaj točka S določa tretjino kvadratove stranice BC . Drugače po- vedano, s prepogibanjem lahko razdelimo stranice kvadrata na tri dolžinsko enake dele. Slika 2 Razdelimo stranicoAB po prej opisanem postopku na tri enake dele s točkama X1 in X2. S prepogiba- njem kvadrata, opisanem na začetku, dobimo iz njiju na daljici MR ustrezni točki T1 in T2. Vprašajmo se sedaj, kako je treba izbrati točko M , da bo točka T1 obenem ležala na daljici X2X3, pri čemer je X3 pre- sečišče vzporednice stranici BC skozi X2 in CD. Odgovor je preprost: trikotnik MT1X3 mora pri dani zahtevi biti podoben trikotniku MSC . Veljati mora relacija |MX3| : |MT1| = |MC| : |MS|, ki jo zapišemo v obliki 1− x − 1/3 1/3 = 1− x (1+ x2)/(1+ x) , ki jo najprej poenostavimo v 2− 3x = 1− x 2 1+ x2 , nato pa v kubično enačbo 3x3 − 3x2 + 3x − 1 = 2x3 + (x − 1)3 = 0 . Zapišimo jo v obliki (1− x)3 = 2x3 . 3 in polmer očrtanega kroga r = c/2. Takoj opazimo, da se poleg stranic a, b in c trikotnikov PMD, MSC in SQR izražajo racionalno s spremenljivko x tudi p, s,  in r . Rezultate zberimo v tabelo. Razpredelnica 1 Takoj opazimo drobno zanimivost: trikotniku MSC včrtani krog ima polmer, ki je enak kateti pra- vokotnega trikotnika SQR nasproti oglišču Q. Če izberemo x = 1/2, dobimo po krajšem računu stranice, zapisane v naslednji tabeli. Razpredelnica 2 To pomeni, da so trikotniki PMD, MSC in SQR egipčanski. Tako pravimo vsakemu pravokotnemu trikotniku, ki ima kateti in hipotenuzo v razmerju 3 : 4 : 5 oziroma 4 : 3 : 5. Tak trikotnik je bil starim Egipčanom osnova za konstrukcijo pravega kota. Za x = 1/2 ima trikotnikMSC stranico |SC| = 2/3 in zato je |BS| = 1/3. To pomeni, da tedaj točka S določa tretjino kvadratove stranice BC . Drugače po- vedano, s prepogibanjem lahko razdelimo stranice kvadrata na tri dolžinsko enake dele. Slika 2 Razdelimo stranicoAB po prej opisanem postopku na tri enake dele s točkama X1 in X2. S prepogiba- njem kvadrata, opisanem na začetku, dobimo iz njiju na daljici MR ustrezni točki T1 in T2. Vprašajmo se sedaj, kako je treba izbrati točko M , da bo točka T1 obenem ležala na daljici X2X3, pri čemer je X3 pre- sečišče vzporednice stranici BC skozi X2 in CD. Odgovor je preprost: trikotnik MT1X3 mora pri dani zahtevi biti podoben trikotniku MSC . Veljati mora relacija |MX3| : |MT1| = |MC| : |MS|, ki jo zapišemo v obliki 1− x − 1/3 1/3 = 1− x (1+ x2)/(1+ x) , ki jo najprej poenostavimo v 2− 3x = 1− x 2 1+ x2 , nato pa v kubično enačbo 3x3 − 3x2 + 3x − 1 = 2x3 + (x − 1)3 = 0 . Zapišimo jo v obliki (1− x)3 = 2x3 . 3 in pol er očrtanega kroga r = c/2. Takoj opazi o, da se poleg stranic a, b in c trikotnikov P , SC in S R izražajo racionalno s spre enljivko x tudi p, s,  in r . Rezultate zberi o v tabelo. Razpredelnica 1 Takoj opazi o drobno zani ivost: trikotniku SC včrtani krog i a pol er, ki je enak kateti pra- vokotnega trikotnika S R nasproti oglišču . Če izbere o x = 1/2, dobi o po krajše računu stranice, zapisane v naslednji tabeli. Razpredelnica 2 To po eni, da so trikotniki P , SC in S R egipčanski. Tako pravi o vsake u pravokotne u trikotniku, ki i a kateti in hipotenuzo v raz erju 3 : 4 : 5 oziro a 4 : 3 : 5. Tak trikotnik je bil stari Egipčano osnova za konstrukcijo pravega kota. Za x = 1/2 i a trikotnik SC stranico |SC| = 2/3 in zato je |BS| = 1/3. To po eni, da tedaj točka S določa tretjino kvadratove stranice BC . Drugače po- vedano, s prepogibanje lahko razdeli o stranice kvadrata na tri dolžinsko enake dele. Slika 2 Razdeli o stranicoAB po prej opisane postopku na tri enake dele s točka a X1 in X2. S prepogiba- nje kvadrata, opisane na začetku, dobi o iz njiju na daljici R ustrezni točki T1 in T2. Vprašaj o se sedaj, kako je treba izbrati točko , da bo točka T1 obene ležala na daljici X2X3, pri če er je X3 pre- sečišče vzporednice stranici BC skozi X2 in C . Odgovor je preprost: trikotnik T1X3 ora pri dani zahtevi biti podoben trikotniku SC . Veljati ora relacija | X3| : | T1| = | C| : | S|, ki jo zapiše o v obliki 1− x − 1/3 1/3 = 1− x (1+ x2)/(1+ x) , ki jo najprej poenostavi o v 2− 3x = 1− x 2 1+ x2 , nato pa v kubično enačbo 3x3 − 3x2 + 3x − 1 = 2x3 + (x − 1)3 = 0 . Zapiši o jo v obliki (1− x)3 = 2x3 . 3 A X 1 X 2 X 3 T 1 T 2 D M P B C C V Q B S R Q 7 m a t e m a t i k a • marko razpet Literatura • Korenimo in dobimo 1− x x = 3 √ 2 . To pa pomeni, da tedaj točka M deli daljico CD na dva dela, katerih dolžini sta v razmerju 3 √ 2. Kocka z robom 1− x ima takrat dvakrat večjo prostornino kot kocka z robom x. S tem smo se približali rešitvi problema podvojitve kocke, enemu od treh zname- nitih matematǐcnih problemov antike. Preostala dva sta problem tretjinjenja kota in problem kvadrature kroga. Naloga Kvadrat ABCD lahko prepognemo še tako, da ogli- šče B pokrije točko M . To pomeni, da oglišči A in B prezrcalimo prek simetrale daljice BM . Ta simetrala seka stranico DA v točki U , stranico BC pa v točki V . Slika 3 Daljici PQ in UV se sekata v točki Z . Utemeljite, zakaj je Z enako oddaljena od stranic DA in BC ter zakaj so razdalje |ZA|, |ZB| in |ZM| enake. Rešitev Trikotniku ABM očrtamo krog. Njegovo središče je ravno v točki Z , kjer se sekajo vse tri simetrale trikotnikovih stranic. Ker daljici PQ in UV ležita na dveh od teh simetral, tretja simetrala pa razpolavlja stranico AB, je točka Z enako oddaljena od stranic DA in BC , razdalje |ZA|, |ZB| in |ZM| pa so očitno res enake. 4 ratura [1] K. Haga, Origamics: Mathematical Explorations Through Paper Folding, World Scientific, 2008. 6 Origami je verjetno vsem dobro znana tradicio- nalna japonska umetnost prepogibanja kvadratnih kosov papirja, s čimer dobimo zanimive in za oko prijetno oblikovane dve- ali trirazsežne objekte, ki najpogosteje ponazarjajo živali in cvetje. S sesta- vljanjem več, tudi različno velikih in obarvanih objektov z nekoliko truda lahko naredimo precej velike in zapletene samostoječe izdelke. Nekaj od teh poznamo že iz otroških let, na primer papir- nata letala, papirnata pokrivala ali čake in papir- nate barčice. Postopoma pa spoznamo, da je ob prepogibanju pa- pirja možno obravnavati kar precej geometrije in al- gebre. Robove kvadratnega ali pravokotnega kosa papirja in prepogibne črte imamo za dele premic, oglišča in presečišča prepogibnih črt pa za točke. Že po nekaj prepogibih lahko namreč opazujemo kote in like na papirju ter začnemo odkrivati in dokazo- vati različne odnose med njimi. S tem beseda ori- gami postane neustrezna, zato je v naslovu tukaj predstavljene knjige uporabljena beseda origamics, kar bi bilo smiselno posloveniti z besedo origamika, ki nas spominja na besede, kakršne so matematika, fizika, keramika. Prepogibanje papirja je z lahkoto našlo svoje mesto tudi v šolah in na seminarjih za učitelje matematike. Čeprav je ta dejavnost videti bolj eksperimentalne in spretnostne vrste, ji vendar moramo priznati, da je naravnana tudi v študij geo- metrije, ki je v naših šolah, pa tudi drugje po svetu, že nekoliko zanemarjena. Origamika je potemtakem hkrati zanimiva in poučna tako za učitelje kot tudi za njihove učence. Pokukajmo še malo v vsebino knjige. Začetek je namenjen prepogibanju kvadratnega kosa papirja. Spoznamo tri tako imenovane Hagove izreke. Na- našajo se na razmere, ki nastanejo, ko prepognemo kvadrat tako, da eno od njegovih oglišč pade na na- sprotno stranico. Z dolžino enega od odsekov lahko izrazimo dolžine preostalih daljic na papirju, in to racionalno, kar pomeni brez uporabe korenov. To nas v posebnih primerih pripelje do pitagorejskih tri- kotnikov, o katerih smo v Preseku že večkrat pisali, in deljenja daljic na več dolžinsko enakih delov. Nato sledi posplošitev Hagovih izrekov, na primer pravo- kotnega kosa papirja, ki ima razmerje stranic √ 2 : 1. Papirji formata A4, kakršne uporabljamo za izpis na računalniških tiskalnikih, imajo ravno to lastnost. Z dvema prepogiboma kvadratnega kosa papirja, pri čemer dve sosednji oglišči preideta na naspro- tno stranico, pridemo do presečišč, ki imajo glede na stranice in druge točke prav zanimive lastnosti in jih je mogoče razložiti že s preprosto osnovnošolsko geometrijo. S prepogibanjem na vsaki strani različno obarva- nega papirja dobimo v barvi spodnje strani različne like. Če izbrano oglišče kvadratnega kosa papirja po- 2 Origami je verjetno vsem dobro znana tradicio- nalna japonska umetnost prepogibanja kvadratnih kosov papirja, s čimer dobimo zanimive in za oko prijetno oblikovane dve- ali trirazsežne objekte, ki najpogosteje ponazarjajo živali in cvetje. S sesta- vljanjem več, tudi različno velikih in obarvanih objektov z nekoliko truda lahko naredimo precej velike in zapletene samostoječe izdelke. Nekaj od teh poznamo že iz otroških let, na primer papir- nata letala, papirnata pokrivala ali čake in papir- nate barčice. Postopoma pa spoznamo, da je ob prepogibanju pa- pirja možno obravnavati kar precej geometrije in al- gebre. Robove kvadratnega ali pravokotnega kosa papirja in prepogibne črte imamo za dele premic, oglišča in presečišča prepogibnih črt pa za točke. Že po nekaj prepogibih lahko namreč opazujemo kote in like na papirju ter začnemo odkrivati in dokazo- vati različne odnose med njimi. S tem beseda ori- gami postane neustrezna, zato je v naslovu tukaj predstavljene knjige uporabljena beseda origamics, kar bi bilo smiselno posloveniti z besedo origamika, ki nas spominja na besede, kakršne so matematika, fizika, keramika. Prepogibanje papirja je z lahkoto našlo svoje mesto tudi v šolah in na seminarjih za učitelje matematike. Čeprav je ta dejavnost videti bolj eksperimentalne in spretnostne vrste, ji vendar moramo priznati, da je naravnana tudi v študij geo- metrije, ki je v naših šolah, pa tudi drugje po svetu, že nekoliko zanemarjena. Origamika je potemtakem hkrati zanimiva in poučna tako za učitelje kot tudi za njihove učence. Pokukajmo še malo v vsebino knjige. Začetek je namenjen prepogibanju kvadratnega kosa papirja. Spoznamo tri tako imenovane Hagove izreke. Na- našajo se na razmere, ki nastanejo, ko prepognemo kvadrat tako, da eno od njegovih oglišč pade na na- sprotno stranico. Z dolžino enega od odsekov lahko izrazimo dolžine preostalih daljic na papirju, in to racionalno, kar pomeni brez uporabe korenov. To nas v posebnih primerih pripelje do pitagorejskih tri- kotnikov, o katerih smo v Preseku že večkrat pisali, in deljenja daljic na več dolžinsko enakih delov. Nato sledi posplošitev Hagovih izrekov, na primer pravo- kotnega kosa papirja, ki ima razmerje stranic √ 2 : 1. Papirji formata A4, kakršne uporabljamo za izpis na računalniških tiskalnikih, imajo ravno to lastnost. Z dvema prepogiboma kvadratnega kosa papirja, pri čemer dve sosednji oglišči preideta na naspro- tno stranico, pridemo do presečišč, ki imajo glede na stranice in druge točke prav zanimive lastnosti in jih je mogoče razložiti že s preprosto osnovnošolsko geometrijo. S prepogibanjem na vsaki strani različno obarva- nega papirja dobimo v barvi spodnje strani različne like. Če izbrano oglišče kvadratnega kosa papirja po- 2 i i j j i i - l j i j i i j , i i i i i ij li - li i j , i j j j j i li i j . - lj j , i li li i i i j li l i j li i l j i l . j i i l , i i - l l , i i l li i i - i . , j i j - i j i j ij i l- . li i j i i i l i , li i i i i . j i i l j i li i j i i i - i li ji i. i- i , j l j lj ji lj i i , i il i l l i i i i , i i j , i , i , i . i j i j j l l j i l i i ji i lj i . j j i i lj i l i , ji i i, j i ij - ij , i j i l , i j , li j . i i j i i i i i lj i ji . j l i ji . j j i j i j . i i i . - j , i j , , j i li - i . l i l i i l i li lji i j , i i l , i . i i i i lj i j i i- i , i i li, i lj j lji l i i l . l i l i i i , i - i j , i i j i : . i ji , lj i i l i i i l i i , i j l . i i j , i ji li i i - i , i i , i i j l i i i i l i i ji j l i i l ij . i j i i li - i j i i j i li li . i li i j - r ga e er et o se o ro z a a tra c o a a a o s a et ost re og a a a rat oso a r a, s č er o o za e za o o r et o o o a e e a tr razsež e o e te, a ogoste e o azar a o ž a c et e. S sesta a e eč, t raz č o e o ar a o e to z e o o tr a a o are o rece e e za ete e sa osto eče z e e. e a o te oz a o že z otroš et, a r er a r ata eta a, a r ata o r a a a ča e a r ate arč ce. Posto o a a s ozna o, a e ob re og ban u a r a ožno obravnavat kar rece geo etr e n a gebre. obove kva ratnega a ravokotnega kosa a r a n re og bne črte a o za e e re c, og šča n reseč šča re og bn h črt a za točke. Že o neka re og b h ahko na reč o azu e o kote n ke na a r u ter začne o o kr vat n okazo vat raz čne o nose e n . S te bese a or ga ostane neustrezna, zato e v nas ovu tuka re stav ene kn ge u orab ena bese a or ga cs, kar b b o s se no os oven t z bese o or ga ka, k nas s o n a na bese e, kakršne so ate at ka, z ka, kera ka. Pre og ban e a r a e z ahkoto naš o svo e esto tu v šo ah n na se nar h za uč te e ate at ke. ˇe rav e ta e avnost v et bo eks er enta ne n s retnostne vrste, ven ar ora o r znat , a e naravnana tu v štu geo etr e, k e v naš h šo ah, a tu rug e o svetu, že neko ko zane ar ena. r ga ka e ote take hkrat zan va n oučna tako za uč te e kot tu za n hove učence. Pokuka o še a o v vseb no kn ge. Začetek e na en en re og ban u kva ratnega kosa a r a. S ozna o tr tako enovane agove zreke. a naša o se na raz ere, k nastane o, ko re ogne o kva rat tako, a eno o n egov h og šč a e na na s rotno stran co. Z o ž no enega o o sekov ahko zraz o o ž ne reosta h a c na a r u, n to rac ona no, kar o en brez u orabe korenov. o nas v osebn h r er h r e e o tagore sk h tr kotn kov, o kater h s o v Preseku že večkrat sa , n e en a a c na več o ž nsko enak h e ov. ato s e os oš tev agov h zrekov, na r er ravo kotnega kosa a r a, k a raz er e stran c 2 : 1. Pa r for ata 4, kakršne u orab a o za z s na računa n šk h t ska n k h, a o ravno to astnost. Z ve a re og bo a kva ratnega kosa a r a, r če er ve sose n og šč re eta na nas ro tno stran co, r e o o reseč šč, k a o g e e na stran ce n ruge točke rav zan ve astnost n h e ogoče raz ož t že s re rosto osnovnošo sko geo etr o. S re og ban e na vsak stran raz čno obarva nega a r a ob o v barv s o n e stran raz čne ke. ˇe zbrano og šče kva ratnega kosa a r a o 2 O i i j v j n v d b n n di i - n ln j p n k u n p p ib nj kv d nih k v p pi j i d bi ni iv in k p ij n blik v n dv - li i n bj k ki n jp j p n j j iv li in v j - vlj nj v udi li n v likih in b v nih bj k v n k lik ud l hk n di p j v lik in pl n j i d lk N k j d h p n i kih l n p i p pi - n l l p pi n p k iv l li k in p pi - n b i p p p d j p p i j p - pi j i p j ij i l- R d li p p pi j i p p i i d l p i li i p i p p i i p p j p p i i l p j i li p pi j d i i i d - i li d d ji i d i- i p j l j p d lj ji p lj d i i i il i l p l i i d i i i p i j d i fi i i p i j p pi j j l l j di l i i ji i lj i C p j d j id i lj p i l i p ji d p i i d j di dij - ij i j i l p di d j p li j O i i j p i i i i p i lj di ji j l i ji j j p p i j d p pi j p i i H i N - j i j p p d d d j i li p d - p i d l i d d l i i d l i p li d lji p pi j i i l p i p T p i p i i p ip lj d pi j i i- i i pi li i d lj j d lji d l i i d l N l di p pl i H i i p i p - p pi j i i j i √ pi ji A p lj i pi l i i i l i i i j l d p p i d p pi j p i d d ji li i p id p - i p id d p i i i j l d i i d p i i l i i ji j l i i p p l ij p p i j i i li - p pi j d i i p d j i li li C i li d p pi j p - t t t t t , t t t , t t . t , t t t t t . t t t, t t , t t . t , r r r t r r tr r . r t r t r r rt r , r r rt t . r r t r t r r t t r . t r t tr , t t r t r r , r t r , , r t t , , r . r r t t t r t t t . r t t t r t r t t r t , r r r t , r t t tr , , t r t , r . r t t r t t t t t . . t r r t r . tr t r . r r , t , r r t t , r t tr . r r t r , t r , r r r r . r r r t r tr t , t r r r t , . t t r , r r r t r , r r tr : . r f r t , r r r t , r t t t. r r t r , r r r t r t tr , r r , tr r t r t t r t r r t tr . r tr r r r r tr r . r r t r ri i j rj s r r i i - l j s s r i j r i s irj s i r i i i i rij li - li rir s j i j s j rj j i li i j s s - lj j i r li li i i r i j li r l r i r j li i l s s j i l j i r š i l ri r ir- l l ir ri l li i ir- r i s s je e i j - i j i ecej e e ije i l- e e e e li e s i j i e i e c e i ele e ic lišc i esecišc e i i c c e e e j e i i l ec je e i li e i j e c e i i i - i lic e se e ji i e ese i- i s e e s e je sl j e s lje e ji e lje ese i ics i il s isel sl e i i ese i i i s s i j ese e š e s e i i e i e i je i j je l šl s je es i š l i se i ji ci elje e i e e je ej s i e i lj e s e i e l e i s e s e s e ji e i i je i š ij e - e ije i je ši š l i je s e e e li e je i i je e e i i i i c ci elje i ji e ce ce j še l se i ji e ce e je e je e i j e s i j i i e e e i e e - š j se e e i s ej e e e je i lišc e - s s ic l i e e se l i i l i e e s li ljic i j i ci l e i e e e s se i i e i i elje i ejs i i- i e i s ese e ec is li i elje j ljic ec l i s e i el sle i s l ši e i i e i e - e s i j i i e je s ic i ji š e lj i is c l iš i is l i i i j l s s e e i e s i j i ce e e s se ji lišci ei e s - s ic i e esecišc i i j le e s ice i e c e i i e l s s i i ji je ce l i i e s e s s š ls e e ij e i je s i s i lic - e i j i i s je s i lic e li e e i lišce e s i j - , , . , . , , . , . , . . , , , , , , . . , , , , , . . . . . , , , . , , . , , . , , : . , , . , , , . . , , . , . , , . , . , . . , , , , , , . . , , , , , . . . . . , , , . , , . , , . , , : . , , . , , , . . Kazuo Haga— Origamics Presek 39 (2011/2012) 1 ešitev Barvni sudoku V 5× 5 kvadratkov moraš vpisati začetna naravna števila od 1 do 5, tako da bo v vsaki vrstici, v vsakem stolpcu in v kvadratkih iste barve nastopalo vseh 5 števil. 1 • Barvni sudoku 5 3 4 2 5 8 m a t e m a t i k a stavimo v različne lege, lahko tudi izven kvadrata, in ga do konca prepognemo, dobimo trikotnike, štiri- kotnike in petkotnike. Zanimivo se je vprašati, kdaj dobimo katerega od naštetih likov. Mimogrede se porodi še kup drugih vprašanj. Prav tako nam prepogibanje kvadratnega oziroma pravokotnega kosa papirja prinaša veliko lepih na- log, če izberemo točko v ravnini papirja in vanjo za- poredno prepognemo vsa oglišča. Lahko pa dolo- čimo tudi ravno črto v ravnini papirja in vanjo zapo- redno prepogibamo dele njegovih stranic. Prepogi- banje papirja, kot je razloženo v knjigi, lahko usme- rimo celo v napeto igro med udeleženci. Knjiga bralca vseskozi ne le vzpodbuja, da prepo- giba kos papirja, ampak tudi, da opazuje oblike, ki jih pri tem dobi, da jih med seboj primerja in samo- stojno postavlja hipoteze za odnose med dobljenimi geometrijskimi objekti ter jih poskuša tudi dokazati. Pri tem ni treba znati več kot Pitagorov izrek in po- znati lastnosti podobnih trikotnikov ter nekaj alge- bre za računanje. Knjiga je primerno branje za učitelje in učence od višjih razredov osnovne šole naprej. Njena vse- bina je natančno in logično razporejena ter bogato likovno opremljena. Učitelji in profesorji bodo po prebrani knjigi na prepogibanje papirja morda gle- dali nekoliko drugače in ga pogosteje vključevali v pouk oziroma predavanje. Z veseljem pa jo bo zago- tovo vzel v roke tudi marsikdo, ki se z geometrijo že dolgo ni ukvarjal. O avtorju Kazuo Haga je upokojeni profesor biologije na uni- verzi v Tsukubi na Japonskem. S prepogibanjem pa- pirja se je v službi ukvarjal med poteki dolgotrajnih bioloških eksperimentov in za sprostitev med napor- nim delom z mikroskopom. Opisana knjiga obrav- nava samo košček njegovih dognanj, do katerih je prišel pri prepogibanju papirja. 3 , , , , . , . . , . . , , . , , , , , . . . . . , . . . , . • Origami je verjetno vsem dobro znana tradicio- nalna japonska umetnost prepogibanja kvadratnih kosov papirja, s čimer dobimo zanimive in za oko prijetno oblikovane dve- ali trirazsežne objekte, ki najpogosteje ponazarjajo živali in cvetje. S sesta- vljanjem več, tudi različno velikih in obarvanih objektov z nekoliko truda lahko naredimo precej velike in zapletene samostoječe izdelke. Nekaj od teh poznamo že iz otroških let, na primer papir- nata letala, papirnata pokrivala ali čake in papir- nate barčice. Postopoma pa spoznamo, da je ob prepogibanju pa- pirja možno obravnavati kar precej geometrije in al- gebre. Robove kvadratnega ali pravokotnega kosa papirja in prepogibne črte imamo za dele premic, oglišča in presečišča prepogibnih črt pa za točke. Že po nekaj prepogibih lahko namreč opazujemo kote in like na papirju ter začnemo odkrivati in dokazo- vati različne odnose med njimi. S tem beseda ori- gami postane neustrezna, zato je v naslovu tukaj predstavljene knjige uporabljena beseda origamics, kar bi bilo smiselno posloveniti z besedo origamika, ki nas spominja na besede, kakršne so matematika, fizika, keramika. Prepogibanje papirja je z lahkoto našlo svoje mesto tudi v šolah in na seminarjih za učitelje matematike. Čeprav je ta dejavnost videti bolj eksperimentalne in spretnostne vrste, ji vendar moramo priznati, da je naravnana tudi v študij geo- metrije, ki je v naših šolah, pa tudi drugje po svetu, že nekoliko zanemarjena. Origamika je potemtakem hkrati zanimiva in poučna tako za učitelje kot tudi za njihove učence. Pokukajmo še malo v vsebino knjige. Začetek je namenjen prepogibanju kvadratnega kosa papirja. Spoznamo tri tako imenovane Hagove izreke. Na- našajo se na razmere, ki nastanejo, ko prepognemo kvadrat tako, da eno od njegovih oglišč pade na na- sprotno stranico. Z dolžino enega od odsekov lahko izrazimo dolžine preostalih daljic na papirju, in to racionalno, kar pomeni brez uporabe korenov. To nas v posebnih primerih pripelje do pitagorejskih tri- kotnikov, o katerih smo v Preseku že večkrat pisali, in deljenja daljic na več dolžinsko enakih delov. Nato sledi posplošitev Hagovih izrekov, na primer pravo- kotnega kosa papirja, ki ima razmerje stranic √ 2 : 1. Papirji formata A4, kakršne uporabljamo za izpis na računalniških tiskalnikih, imajo ravno to lastnost. Z dvema prepogiboma kvadratnega kosa papirja, pri čemer dve sosednji oglišči preideta na naspro- tno stranico, pridemo do presečišč, ki imajo glede na stranice in druge točke prav zanimive lastnosti in jih je mogoče razložiti že s preprosto osnovnošolsko geometrijo. S prepogibanjem na vsaki strani različno obarva- nega papirja dobimo v barvi spodnje strani različne like. Če izbrano oglišče kvadratnega kosa papirja po- 2 Origami je verjetno vsem dobro znana tradicio- nalna japonska umetnost prepogibanja kvadratnih kosov papirja, s čimer dobimo zanimive in za oko prijetno oblikovane dve- ali trirazsežne objekte, ki najpogosteje ponazarjajo živali in cvetje. S sesta- vljanjem več, tudi različno velikih in obarvanih objektov z nekoliko truda lahko naredimo precej velike in zapletene samostoječe izdelke. Nekaj od teh poznamo že iz otroških let, na primer papir- nata letala, papirnata pokrivala ali čake in papir- nate barčice. Postopoma pa spoznamo, da je ob prepogibanju pa- pirja možno obravnavati kar precej geometrije in al- gebre. Robove kvadratnega ali pravokotnega kosa papirja in prepogibne črte imamo za dele premic, oglišča in presečišča prepogibnih črt pa za točke. Že po nekaj prepogibih lahko namreč opazujemo kote in like na papirju ter začnemo odkrivati in dokazo- vati različne odnose med njimi. S tem beseda ori- gami postane neustrezna, zato je v naslovu tukaj predstavljene knjige uporabljena beseda origamics, kar bi bilo smiselno posloveniti z besedo origamika, ki nas spominja na besede, kakršne so matematika, fizika, keramika. Prepogibanje papirja je z lahkoto našlo svoje mesto tudi v šolah in na seminarjih za učitelje matematike. Čeprav je ta dejavnost videti bolj eksperimentalne in spretnostne vrste, ji vendar moramo priznati, da je naravnana tudi v študij geo- metrije, ki je v naših šolah, pa tudi drugje po svetu, že nekoliko zanemarjena. Origamika je potemtakem hkrati zanimiva in poučna tako za učitelje kot tudi za njihove učence. Pokukajmo še malo v vsebino knjige. Začetek je namenjen prepogibanju kvadratnega kosa papirja. Spoznamo tri tako imenovane Hagove izreke. Na- našajo se na razmere, ki nastanejo, ko prepognemo kvadrat tako, da eno od njegovih oglišč pade na na- sprotno stranico. Z dolžino enega od odsekov lahko izrazimo dolžine preostalih daljic na papirju, in to racionalno, kar pomeni brez uporabe korenov. To nas v posebnih primerih pripelje do pitagorejskih tri- kotnikov, o katerih smo v Preseku že večkrat pisali, in deljenja daljic na več dolžinsko enakih delov. Nato sledi posplošitev Hagovih izrekov, na primer pravo- kotnega kosa papirja, ki ima razmerje stranic √ 2 : 1. Papirji formata A4, kakršne uporabljamo za izpis na računalniških tiskalnikih, imajo ravno to lastnost. Z dvema prepogiboma kvadratnega kosa papirja, pri čemer dve sosednji oglišči preideta na naspro- tno stranico, pridemo do presečišč, ki imajo glede na stranice in druge točke prav zanimive lastnosti in jih je mogoče razložiti že s preprosto osnovnošolsko geometrijo. S prepogibanjem na vsaki strani različno obarva- nega papirja dobimo v barvi spodnje strani različne like. Če izbrano oglišče kvadratnega kosa papirja po- 2 torju presek 39 (2011/2012) 1 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije vsako leto organizira vrsto tekmovanj iz znanja za učence osnovnih in dijake srednjih šol. Osnovnošolci tekmujejo v matematiki za Vegova, v fiziki za Stefanova in v astronomiji za Domin- kova priznanja poleg tega pa še v razvedrilni ma- tematiki. Srednješolci tekmujejo iz znanja fizike ter na nekaj različnih tekmovanjih iz znanja ma- tematike (za gimnazijce, za dijake poklicnih, sre- dnjih tehniških in strokovnih šol, tekmujejo tudi iz razvedrilne in iz poslovne matematike). Ob zaključku vseh teh tekmovanj je DMFA Slovenije pripravilo slovesno podelitev nagrad vsem najbolj- šim. Prireditev je bila v sredo, 18. maja 2011, v Kolo- seju v Ljubljani. Na prireditvi so razglasili tudi ekipe srednješolcev, ki so zastopale Slovenijo na medna- rodnih olimpijadah. Nagrajence so pozdravili in jim čestitali številni častni gostje, dekani in prodekani fakultet vseh slovenskih univerz. Med častnimi gosti sta bila tudi minister za šolstvo in šport Igor Lukšič ter državni sekretar na Ministrstvu za visoko šolstvo in znanost József Györkös. Slika 1 Prireditev je zelo zabavno in učinkovito povezo- val talent Peter Poles (ki je nekoč tudi sam osvojil srebrno Vegovo priznanje). Med prireditvijo so igrali glasbeniki pihalnega orkestra glasbene šole Konser- vatorija za glasbo in balet iz Ljubljane pod vodstvom dirigenta, prof. Jožeta Kregarja. V plesni točki sta nastopili mladi plesalki, učenki oddelka za sodobni ples Neža in Brina Vadnjal. Koreografinja in njuna mentorica je prof. Jana Kovač Valdés. Slika 2 Prireditev kljub razglasitvi več kot 160 nagrajen- cev ni trajala predolgo. Po prireditvi so se vsi v pred- verju okrepčali s prigrizki, potem pa si ogledali dan- ski film Boljši svet, z oskarjem 2011 nagrajeni danski film. 2 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije vsako leto organizira vrsto tekmovanj iz znanja za učence osnovnih in dijake srednjih šol. Osnovnošolci tekmujejo v matematiki za Vegova, v fiziki za Stefanova in v astronomiji za Domin- kova priznanja poleg tega pa še v razvedrilni ma- tematiki. Srednješolci tekmujejo iz znanja fizike ter na nekaj različnih tekmovanjih iz znanja ma- tematike (za gimnazijce, za dijake poklicnih, sre- dnjih tehniških in strokovnih šol, tekmujejo tudi iz razvedrilne in iz poslovne matematike). Ob zaključku vseh teh tekmovanj je DMFA Slovenije pripravilo slovesno podelitev nagrad vsem najbolj- šim. Prireditev je bila v sredo, 18. maja 2011, v Kolo- seju v Ljubljani. Na prireditvi so razglasili tudi ekipe srednješolcev, ki so zastopale Slovenijo na medna- rodnih olimpijadah. Nagrajence so pozdravili in jim čestitali številni častni gostje, dekani in prodekani fakultet vseh slovenskih univerz. Med častnimi gosti sta bila tudi minister za šolstvo in šport Igor Lukšič ter državni sekretar na Ministrstvu za visoko šolstvo in znanost József Györkös. Slika 1 Prireditev je zelo zabavno in učinkovito povezo- val talent Peter Poles (ki je nekoč tudi sam osvojil srebrno Vegovo priznanje). Med prireditvijo so igrali glasbeniki pihalnega orkestra glasbene šole Konser- vatorija za glasbo in balet iz Ljubljane pod vodstvom dirigenta, prof. Jožeta Kregarja. V plesni točki sta nastopili mladi plesalki, učenki oddelka za sodobni ples Neža in Brina Vadnjal. Koreografinja in njuna mentorica je prof. Jana Kovač Valdés. Slika 2 Prireditev kljub razglasitvi več kot 160 nagrajen- cev ni trajala predolgo. Po prireditvi so se vsi v pred- verju okrepčali s prigrizki, potem pa si ogledali dan- ski film Boljši svet, z oskarjem 2011 nagrajeni danski film. 2 slika 1. Minister Igor Lukšič je čestital dijak m, ki so se uvrstili v eki- po za m tematično olimpijado 2011 Amsterdamu. Ekipo je vodil Gregor Dolinar. slika 2. Peter Poles, nagrajenci – srednješolci – v prvi tekmoval i sku- pini pri f ziki ter častni podelje lci nagrad, Jurij Bajc, Andrej Likar in Ciril Dominko. • 9 barbara rovšek Srečanje najuspeš ejših mladih matematikov, fizikov in astronomov 2011 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije vsako leto organizira vrsto tekmovanj iz znanja za učence osnovnih in dijake srednjih šol. Osnovnošolci tekmujejo v matematiki za Vegova, v fiziki za Stefanova in v astronomiji za Domin- kova priznanja poleg tega pa še v razvedrilni ma- tematiki. Srednješolci tekmujejo iz znanja fizike ter na nekaj različnih tekmovanjih iz znanja ma- tematike (za gimnazijce, za dijake poklicnih, sre- dnjih tehniških in strokovnih šol, tekmujejo tudi iz razvedrilne in iz poslovne matematike). Ob zaključku vseh teh tekmovanj je DMFA Slovenije pripravilo slovesno podelitev nagrad vsem najbolj- šim. Prireditev je bila v sredo, 18. maja 2011, v Kolo- seju v Ljubljani. Na prireditvi so razglasili tudi ekipe srednješolcev, ki so zastopale Slovenijo na medna- rodnih olimpijadah. Nagrajence so pozdravili in jim čestitali številni častni gostje, dekani in prodekani fakultet vseh slovenskih univerz. Med častnimi gosti sta bila tudi minister za šolstvo in šport Igor Lukšič ter državni sekretar na Ministrstvu za visoko šolstvo in znanost József Györkös. Slika 1 Prireditev je zelo zabavno in učinkovito povezo- val talent Peter Poles (ki je nekoč tudi sam osvojil srebrno Vegovo priznanje). Med prireditvijo so igrali glasbeniki pihalnega orkestra glasbene šole Konser- vatorija za glasbo in balet iz Ljubljane pod vodstvom dirigenta, prof. Jožeta Kregarja. V plesni točki sta nastopili mladi plesalki, učenki oddelka za sodobni ples Neža in Brina Vadnjal. Koreografinja in njuna mentorica je prof. Jana Kovač Valdés. Slika 2 Prireditev kljub razglasitvi več kot 160 nagrajen- cev ni trajala predolgo. Po prireditvi so se vsi v pred- verju okrepčali s prigrizki, potem pa si ogledali dan- ski film Boljši svet, z oskarjem 2011 nagrajeni danski film. 2 i , i i l ij l i i j i j i i ij ji l. l i j j i i , i i i iji i - i j l il i - i i. j l i j j i j i j li i ji i j - i ( i ij , ij li i , - ji i i i i l, j j i i il i i l i ). lj j j l ij i il l li j lj- i . i i j il , . j , l - j j lj i. i i i l ili i i j l , i l l ij - i li ij . j ili i ji i li il i i j , i i i l l i i . i i i il i i i l i I i i i i i l i . li i i j l i i i - l l l ( i j i jil i j ). i i ij i li l i i i l l l - ij l i l i j lj i i , . j . l i i ili l i l l i, i l i l i i j l. j i j i j . l . li i i lj l i i j - i j l l . i i i i - j li i i i, i l li - i l lj i , j j i i l . t t t t t t t t t t t f t t t t t t t t t t t t t t t t t r r t r r r t r r r t r t r t r r r t t t t t r f t t r t t t t t r t rt r t r r r t r tr t t t J f r r r t t t t t r t r r r r r t r r tr r t r t t r t r f J t r r t t t r r r t r r f J r r t r t t r tr r r r t r r r r r t t r r r š o a e a o , z o as ro o o S o e e sa o e o orga z ra rs o e o a z z a a za če ce os o a e sre šo . s o ošo c e e o a e a za ego a, z za S e a o a as ro o za o o a r z a a o eg ega a še raz e r a e a . Sre ešo c e e o z z a a z e er a e a raz č e o a z z a a a e a e za g az ce, za a e o c , sre e š s ro o šo , e e o z raz e r e z os o e a e a e . b zak čk vse e ek ova e F S ove e av o s oves o o e ev ag a vse a bo š . P e ev e b a v s e o, 18. a a 2011, v o o se v L b a . a e v so azg as ek e s e ešo cev, k so zas o a e S ove o a e a o o a a . ag a e ce so oz av čes a š ev čas gos e, eka o eka ak e vse s ove sk ve z. e čas gos s a b a s e za šo s vo š o go L kš č e žav sek e a a s s v za v soko šo s vo z a os ózse yö kös. S ka 1 P e ev e ze o zabav o č kov o ovezo va a e Pe e Po es k e ekoč sa osvo s eb o egovo z a e . e e v o so g a g asbe k a ega o kes a g asbe e šo e o se va o a za g asbo ba e z L b a e o vo s vo ge a, o . ože a ega a. es očk s a as o a esa k , če k o e ka za so ob es eža B a a a . o eog a a a e o ca e o . a a ovač a és. S ka 2 P e ev k b azg as v več ko 160 ag a e cev a a a e o go. Po e v so se vs v e ve ok e ča s g zk , o e a s og e a a sk Bo š sve , z oska e 2011 ag a e a sk . 2 D u v ik v fi ik v in n v l v nij v k l ni i v k v nj i n nj u n n vnih in dij k dnjih l n vn l i k uj j v iki V v v fi iki n v in v n iji D in- k v p i n nj p l p v v d ilni - iki dnj l i k uj j i n nj fi ik n n k j li nih k v njih i n nj - ik ( i n ij dij k p kli nih - dnjih hni kih in k vnih l k uj j udi i v d iln in i p l vn ik ) O lju u h h nj j D A l nij p ip il l n p d li n d n j lj- i i di j il d j K l - ju ju lj ni N p i di i l ili udi ip dnj l i p l l nij n dn - dnih li pij d h N j n p d ili in ji i li ilni ni j d ni in p d ni ul h l n ih uni d ni i i il udi ini l in p I u i d ni n ini u i l in n n G li i di j l n in u in i p - l l n l ( i j n udi jil n V p i n nj ) d p i di ij i li l ni i pih ln l n l K n - ij l in l i ju lj n p d d di i n p K j V pl ni i n pili l di pl l i u n i dd l d ni pl N in in V dnj l K finj in njun n i j p n K V ld li i di lju l i i n j n- ni j l p d l p i di i i p d- ju p li p i i i p p i l d li d n- i fil lj i j n j ni d n i fil t t t , t t t t . t t t , t f t t t t . t t t t t , , t t , t t t t . t t r r t r . r r t r , . , . r r t r t r , t r . r r t t t t t , r f t t r . t t t t t r t rt r t r r r t r tr t t t J f r . r r t t t t t r t r r r . r r t r r tr r t r t t r t , r f. J t r r . t t t , r . r r t r r f. J . r r t r t t r tr r . r r t r r r r r , t t, r r . r š i i i s r l ij s l r i ir rs j i j s i i ij sr ji š l s š l i j j i i i i i s r iji i - ri j l š r ril i - i i r j š l i j j i j i r j r li i ji i j - i ( i ij ij li i sr - ji iš i i s r i š l j j i i r ril i i sl i ) lj c se e e j je l e ije i il sl es eli e se j lj- ši i e i e je il s e j l - sej j lj i i e i i s l sili i e i e s e ješ lce i s s le l e ij e - i li ij je ce s ili i ji ces i li š e il i c s i s je e i i e i l e se sl e s i i e e c s i i s i s il i i is e š ls i š I šic e i se e i is s is š ls i s se s li i e i e je el i ci i e - l le e e les ( i je e c i s s jil s e e i je) e i e i ij s i li l s e i i i l e es l s e e š le se - ij l s i le i j lj e s i i e e e j les i c i s s ili l i les l i ce i el s i les e i i j l e j i j e ic je c l és li i e i e lj l si i ec je - ce i j l e l i e i i s se si e - e j e c li s i i i e si le li - s i l ljši s e s je je i s i l , . , . , , , . . , . , . , . , . . . , . . , . . . . , , . Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije vsako leto organizira vrsto tekmovanj iz znanja za učence osnovnih in dijake srednjih šol. Osnovnošolci tekmujejo v matematiki za Vegova, v fiziki za Stefanova in v astronomiji za Domin- kova priznanja poleg tega pa še v razvedrilni ma- tematiki. Srednješolci tekmujejo iz znanja fizike ter na nekaj različnih tekmovanjih iz znanja ma- tematike (za gimnazijce, za dijake poklicnih, sre- dnjih tehniških in strokovnih šol, tekmujejo tudi iz razvedrilne in iz poslovne matematike). Ob zaključku vseh teh t kmovanj j DMFA Slovenije pripravilo slovesno podelitev nagrad vsem najbolj- šim. Prireditev je bila v sredo, 18. maja 2011, v Kolo- seju v Ljubljani. Na rireditvi so razgl sili tudi ekipe srednješolcev, ki so zastopale Slovenijo na medna- rodnih olimpijadah. Nagrajence so pozdravi i in j m čestit l številni častni gostje, dek ni in prodekani fakultet vseh slovenskih univerz. Med častnimi g sti ta bila tudi m nister za šolstv in šport Igor Lu šič ter ržavni sekretar na Ministrstvu za visoko šolstvo in z an st József Györkös. Slika 1 Prireditev je zelo zabavno in učinkovito povezo- val talent Peter Poles (ki je nekoč tudi sam osvojil srebrno Vegovo priznanje). Med prireditvijo so igrali glasbeniki pihalnega orkestra glasbene šole Konser- vatorija za glasbo in balet iz Ljubljane pod vodstvom dirigenta, prof. Jožeta Kregarja. V plesni točki sta n stopili mladi plesalki, uče ki ddelka za s dobni pl s Neža in Brina Vadnjal. Koreografinja in njuna mentorica je prof. J na Kovač Valdés. Slika 2 Prireditev kljub razglasitvi več kot 160 nagrajen- cev ni trajala predolgo. Po prireditvi so se vsi v pred- verju okrepčali s prigrizki, potem pa si ogledali dan- ski film Boljši svet, z oskarjem 2011 nagrajeni danski film. 2 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije vsako leto organizira vrsto tekmovanj iz znanja za učence osnovnih in dijake srednjih šol. Osnovnošolci tekmujejo v matematiki za Vegova, v fiziki za Stefanova in v astronomiji za Domin- kova priznanja poleg tega pa še v razvedrilni ma- tematiki. Srednješolci tekmujejo iz znanja fizike ter na nekaj različnih tekmovanjih iz znanja ma- tematike (za gimnazijc , za dijak poklicnih, sre- dnjih tehniških in strokovnih šol, tekmujejo tudi iz razvedrilne in iz oslovne matem tike). Ob zaključku vseh teh tekmovanj je DMFA S oven je pripr v lo slovesno podelitev nagr d vsem najbolj- šim. Prireditev je bila v sredo, 18. maja 2011, v K lo- eju v Ljubljan . Na prireditvi s razgla ili tud e ipe sre nješolcev, ki so zast pale Slovenijo na medna- r ih limpijadah. Nagrajence so pozdravili in jim čestitali številni častni gostje, dekani in prodekani fakultet vseh slovenskih univerz. Med častnimi gosti sta bila tudi minister za šolstvo in šport Igor Lukšič ter državni sekretar na Ministrstvu za visoko šolstvo in znanost József Györkös. Slika 1 Prireditev je zelo zabavno in učinkovito povezo- v l talent Peter Poles (ki je ek č tudi sam svojil sr brno Vegovo priznanje). Med prireditvijo so igrali glasbeniki pihalneg rkestra gl sbene šole Konser- vatorija za glasbo in balet iz Ljubljane pod vodstvom dirigenta, prof. Jožeta Kregarja. V plesni točki sta nastopili mladi plesalki, učenki oddelka za sodobni ples Neža in Brina Vadnjal. Koreografinja in njuna mentorica je prof. Jana Kovač Valdés. Slika 2 Prireditev kljub razglasitvi več kot 160 nagrajen- cev ni trajala predolgo. Po prireditvi so se vsi v pred- verju okrepčali s prigrizki, potem pa si ogledali dan- ski film Boljši svet, z oskarjem 2011 nagrajeni danski film. 2 Pr sek 39 (2011/2012) 1 t e k m o v a n j a 10 f i z i k a Prvi mikroskopi janez strnad • Mikroskop so izumili na Nizozemskem na koncu 16. stoletja, kot kaže, prej kot teleskop. Kasneje pa je razvoj mikroskopa zaostal za razvojem te- leskopa. Eden od prvih fizikov, ki so vešče opa- zovali z mikroskopom, je bil Robert Hooke (1634 – 1703), znan po zakonu o odvisnosti med spre- membo oblike prožnih teles in silo. Hooke je bil precej vihrav gospod in se je loteval šte- vilnih nalog; pogosto je preskočil na novo, preden je končal prejšnjo. Tako so njegove zamisli večkrat dokončali drugi, a Hooke si je potem lastil prven- stvo. Zaradi tega se je zapletal v spore s številnimi naravoslovci. Po izidu njegove knjige O uri na nihalo leta 1673 se je tako zapletel v oster spor o nihalih na vzmet tudi s Christiaanom Huygensom. Hooke je zavaroval svoje odkritje z latinskim anagramom, to je z izrekom s premešanimi črkami. V knjigi O zmo- žnosti vračanja (slika 1) leta 1678 je razkril anagram: „Kakor podaljšek, tako sila.“. Danes pravimo: „Spre- memba oblike je sorazmerna s silo.“. To je slavni Hookov zakon, ki velja za prožna telesa, med njimi za kovinsko prizmo in vijačno vzmet, dokler sila, ki nateza ali stiska telo, ni prevelika. Slika 1 Proti koncu 16. stoletja so na Nizozemskem se- stavili zbiralno in razpršilno lečo v mikroskop. Veli- kokrat v tej zvezi omenjajo Zacchariasa Janssena in njegovega očeta Hansa in leto 1590 ali 1597. Neka- teri temu podatku ne zaupajo. Tudi Galileo Galilei je izdelal nekaj mikroskopov; ime mikroskop je nastalo prav v njegovem krogu leta 1625. Kaže, da se Galilei z mikroskopom ni dokopal do kakega pomembnega odkritja, zato je mikroskope, ki jih je izdelal, podaril drugim. Slika 2 Slika 3 Medtem ko naj bi objektiv teleskopa imel čim dalj- šo goriščno razdaljo, naj bi objektiv mikroskopa imel čim krajšo. Pri kratki goriščni razdalji pomanjkljivo- sti leč pridejo bolj do izraza kot pri dolgi. Zato so mikroskop za načrtno opazovanje majhnih predme- tov začeli uporabljati pozneje kot teleskop za opazo- vanje neba. Drobne predmete je opazovalo več nara- voslovcev. Med njimi poleg fizikov Hooka in Galileija omenjajo Italijana Marcela Malpighija in Nizozemca Antonija van Leeuwenhoeka, ki sta pomembna pred- vsem za biologijo. Tedaj so opazovali tudi z lupo, to je z eno samo zbiralno lečo. Hooke pa je sestavil 2 Mikroskop so izumili na Nizozemskem na koncu 16. stoletja, kot kaže, prej kot teleskop. Kasneje pa je razvoj mikroskopa zaostal za razvojem te- leskopa. Eden od prvih fizikov, ki so vešče opa- zovali z mikroskopom, je bil Robert Hooke (1634 – 1703), znan po zakonu o odvis osti med spre- membo oblike prožnih teles in silo. Hooke je bil precej vihrav gospod n se je loteval šte- vilnih nalog; pogosto je pr skočil na n vo, preden je končal prejšnjo. Tako s njegov zamisli večkrat dokončali drugi, a Hooke si je potem lastil prven- stvo. Zaradi tega se je zapletal v spore s številnimi naravoslovci. Po izidu nj gove knjige O uri na nihalo let 1673 se e tako zapletel v oster spor nihalih na vzmet tudi s Christiaanom Huygensom. Hooke je zavaroval svoje odkritje z latinskim an gramom, to je z izrekom s premešanimi črkami. V knjigi O zmo- žnosti vračanja (slika 1) leta 1678 je razkril anagram: „Kakor podaljšek, tako sila.“. Danes pravimo: „Spre- memba oblike je sorazmerna s silo.“. To je slavni Hookov zakon, ki velja za prožna telesa, med njimi za kovinsko prizmo in vijačno vzmet, dokler sila, ki nateza ali stiska telo, ni prevelika. Sli a 1 Proti koncu 16. t letja so na Nizozemskem se- stavili zbiralno in azpršilno lečo v mikroskop. Veli- kokrat v tej zvezi omenjajo Zacchari sa Jansse a in njegovega očeta Hansa in l to 1590 ali 1597. Neka- teri te u podatku ne zaupajo. Tudi Galileo Galilei je izdelal nekaj mikroskopov; ime mikroskop je nastalo prav v njegovem krogu leta 1625. Kaže, da se Galilei z mikroskopom ni dokopal do kakega pomembnega odkritja, zato je mikroskope, ki jih je izdelal, podaril drugim. Slika 2 Slika 3 Medtem k naj bi objektiv teleskopa imel čim dalj šo goriščno razdaljo, naj bi objektiv mikroskopa imel čim krajšo. Pri kratk g riščni razdalji pomanjkljivo- sti leč pridejo bolj do izr za kot pri dolgi. Zato so mikroskop za načrtno opazovanje majhnih predme tov začeli uporabljati pozneje kot teleskop za opaz - vanje n ba. Drobne predmete je opazovalo več n ra- voslovcev. Med njimi poleg fizikov Hooka in Galileija omenjajo Italijana Marcela Malpighija in Nizozemca Antonija van Leeuwenhoeka, ki sta pomembna pred- vsem za biologijo. Tedaj so opazovali tudi z lupo, to je z eno samo zbiralno lečo. Hooke pa je sestavil 2 Mikroskop so izumili na Nizozemskem na koncu 16. stoletja, kot kaže, prej kot teleskop. Kasneje pa je razvoj mikroskopa zaostal za razvojem te- leskopa. Eden od prvih fizikov, ki so vešče opa- z vali z mikroskopom, je bil Robert Ho k (1634 – 1703), znan po zakonu o odvisnosti med spre- membo oblike prožnih t les in silo. Hooke je bil precej vihrav gospod in se je loteval šte- vilnih nalog; pogosto je preskočil na novo, preden je končal prejšnjo. Tako so njegove zamisli večkrat dokončali drugi, a Hooke si je potem lastil prven- stvo. Zaradi tega se je zapletal v spore s številnimi naravoslovci. Po izidu njegove knjige O uri na nihalo leta 1673 se je tako zapletel v oster spor o nihalih na vzmet tudi s Christiaanom Huygensom. Hooke je zavaroval svoje odkritje z latinskim anagramom, to je z izrekom s premešanimi črkami. V knjigi O zmo- žnosti vračanja (slika 1) leta 1678 je razkril anagram: „Kakor podaljšek, tako sila.“. Danes pravimo: „Spre- memba oblike je sorazmerna s silo.“. To je slavni Hookov zakon, ki velja za prožna telesa, med njimi za kovinsko prizmo in vijačno vzmet, dokler sila, ki nateza ali stiska telo, ni prevelika. Slika 1 Proti koncu 16. stoletja so na Nizozemskem se- stavili zbiralno in razpršilno lečo v mikroskop. Veli- kokrat v tej zvezi omenjajo Zacchariasa Janssena in njegovega očeta Hansa in leto 1590 ali 1597. Neka- teri temu podatku ne zaupajo. Tudi Galileo Galilei je izdelal nekaj mikroskopov; ime mikroskop je nastalo prav v njegovem krogu leta 1625. Kaže, da se Galilei z mikroskopom ni dokopal do kakega pomembnega odkritja, zato je mikroskope, ki jih je izdelal, podaril drugim. Slika 2 Slika 3 Medtem ko naj bi objektiv teleskopa imel čim dalj- šo goriščno razdaljo, naj bi objektiv mikroskopa imel čim krajšo. Pri kratki goriščni razdalji pomanjkljivo- sti leč pridejo bolj do izraza kot pri dolgi. Zato so mikroskop za načrtno opazovanje majhnih predme- tov začeli uporabljati pozneje kot teleskop za opazo- vanje neba. Drobne predmete je opazovalo več nara- voslovcev. Med njimi poleg fizikov Hooka in Galileija omenjajo Italijana Marcela Malpighija in Nizozemca Antonija van Leeuwenhoeka, ki sta pomembna pred- vsem za biologijo. Tedaj so opazovali tudi z lupo, to je z eno samo zbiralno lečo. Hooke pa je sestavil 2 i i ili i . l j , , j l . j j j i l j - l . i i , i - li i , j il ( ), i i - li i l i il . j il j i i j l l - il i l ; j il , j l j j . j i li li i, i j l il - . i j l l il i i l i. i i j ji i i l l j l l i li i i i . j l j i j l i i , j i i i i. ji i - ti j ( li ) l j il : lj , il . . i : - li j il . . j l i , i lj l , ji i i i i ij , l il , i li i l , i li . li i . l j i - ili i l i il l i . li- j i j j i i j i l li . - i j . i lil lil i j i l l j i ; i i j l j l . , lil i i i l i j , j i , i ji j i l l, il i . li li j i j i l i l i lj- i lj , j i j i i i l i j . i i i i lji j lji - i l i j lj i i l i. i j j i - li lj i j l - j . j l - l . ji i l i i lil ij j j I lij l l i ij i i ij , i - i l ij . j li i l , j i l l . j il ros o so z a zoze s e a o c 16. sto et a, ot aže, re ot te es o . as e e a e raz o ros o a zaosta za raz o e te es o a. E e o r z o , so ešče o a z a z ros o o , e o ert o 1634 – 1703 , z a o za o o o s ost e s re e o o e rož t es s o. ooke e b rece v rav gos o se e oteva šte v a og; ogosto e reskoč a ovo, re e e ko ča re š o. ako so egove za s večkrat oko ča r g , a ooke s e ote ast rve stvo. ara tega se e za eta v s ore s štev aravos ovc . Po z egove k ge r a a o eta 1673 se e tako za ete v oster s or o a a vz et t s r st aa o yge so . ooke e zavarova svo e o kr t e z at sk a agra o , to e z zreko s re eša črka . k g z o ž os vrača a s ka 1 eta 1678 e razkr a agra : „ akor o a šek, tako s a.“. a es rav o: „S re e ba ob ke e soraz er a s s o.“. o e s av ookov zako , k ve a za rož a te esa, e za kov sko r z o v ač o vz et, ok er s a, k ateza a st ska te o, reve ka. S ka 1 Prot ko c 16. sto et a so a zoze ske se stav zb ra o raz rš o ečo v krosko . e kokrat v te zvez o e a o acc ar asa Ja sse a egovega očeta a sa eto 1590 a 1597. eka ter te o atk e za a o. a eo a e e z e a eka krosko ov; e krosko e asta o rav v egove krog eta 1625. aže, a se a e z krosko o oko a o kakega o e b ega o kr t a, zato e krosko e, k e z e a , o ar r g . S ka 2 S ka 3 e te ko a b ob ekt v te esko a e č a šo gor šč o raz a o, a b ob ekt v krosko a e č kra šo. Pr kratk gor šč raz a o a k vo st eč r e o bo o zraza kot r o g . ato so krosko za ačrt o o azova e a re e tov zače orab at oz e e kot te esko za o azo va e eba. rob e re ete e o azova o več ara vos ovcev. e o eg z kov ooka a e a o e a o ta a a arce a a g a zoze ca to a va Lee e oeka, k sta o e b a re vse za b o og o. e a so o azova t z o, to e z e o sa o zb ra o ečo. ooke a e sestav 2 ik k p i u ili n Ni k n k n u l j k k p j k l k p K n j p j v j ik k p l v j - l k p d n d p vih fi ik v ki v p - v li ik k p j bil R b H k ( ) n n p k nu dvi n i d p - b blik p nih el in il H j il p j ih p d in j l l - ilnih n l p j p il n n p d n j n l p j nj T nj i li d n li d u i H i j p l il p n- Z di j pl l p ilni i n l i i idu nj nji O u i n nih l l j pl l p nih lih n udi Ch i i n Hu n H j l j d i j l in i n j i p ni i i V nji i O - n ti nj ( li ) l j il n K p d lj il D n p i p - li j n il T j l ni H n i lj p n l d nji i in p i in ij n d l il i n li i l ni p li li i n u l j n Ni - ili i ln in p iln l i p V li- j i nj j Z h i n n in nj H n in l li N - i u p d u n up j Tudi G lil G lil i j i d l l n j i p i i p j n l p nj u l K d G lil i i p ni d p l d p n d i j j i p i jih j i d l l p d il d u i li li d n j i j i l p i l i d lj- i n d lj n j i j i i p i l i j i i i ni d lji p nj lji - i l p id j lj d i p i d l i Z i p n n p nj jhnih p d - li up lj i p n j l p p - nj n D n p d j p l n - l d nji i p l fi i H in G lil ij nj j I lij n l lpi hij in Ni An nij n uw nh i p n p d- i l ij T d j p li udi lup j n i ln l H p j il . , , . . , , , . ; , . , . . . , . : , . . : . . , , , , , . . . . . ; . , , , , . , . . . . , . , . i r s s i ili i s st l tj t r j t t l s s j j r j i r s st l r j t - l s r i i i s š - li i r s j il rt e ( – ) is sti s r - li r i t l s i sil e je il recej i r s i se je l te l šte- il i l st je res cil re e je c l rejš j s je e isli ec r t c li r i e si je te l stil r e - st r i te se je let l s re s šte il i i r sl ci i i je e ji e ri i l let se je t letel ster s r i li et t i s risti e s e je r l s je ritje l ti s i r t je i re s re eš i i cr i ji i z - ž sti r c j (sli ) let je r ril r „ r ljše t sil “ es r i „ re- e li e je s r er s sil “ je sl i z i elj r teles e ji i i s ri i ij c et ler sil i te li stis tel i re eli li r ti c st letj s i e s e se- st ili ir l i r ršil lec i r s eli- r t tej e i e j j cc ri s J sse i je e cet s i let li e - teri te t e j i lile lilei je i el l e j i r s i e i r s je st l r je e r let e se lilei i r s i l e e e ritj t je i r s e i ji je i el l ril r i li li e te j i je ti teles i el ci lj- š rišc r lj j i je ti i r s i el ci r jš ri r t i rišc i r lji j lji - sti lec ri ej lj i r t ri l i t s i r s crt je j i re e- t celi r lj ti eje t teles - je e r e re ete je l ec r - sl ce e ji i le i i lileij e j j It lij rcel l i ij i i e c t ij ee e e i st e re - se i l ij e j s li t i l t je e s ir l lec e je sest il prese 39 (2011/2012) 1 11 f i z i k a Mikroskop so izumili na Nizozemskem na koncu 16. stoletja, kot kaže, prej kot teleskop. Kasneje pa je razvoj mikroskopa zaostal za razvojem te- leskopa. Eden od prvih fizikov, ki so vešče opa- zovali z mikroskopom, je bil Robert Hooke (1634 – 1703), znan po zakonu o odvisnosti med spre- membo oblike prožnih teles in silo. Hooke je bil precej vihrav gospod in se je loteval šte- vilnih nalog; pogosto je preskočil na novo, preden je končal prejšnjo. Tako so njegove zamisli večkrat dokončali drugi, a Hooke si je potem lastil prven- stvo. Zaradi tega se je zapletal v spore s številnimi naravoslovci. Po izidu njegove knjige O uri na nihalo leta 1673 se je tako zapletel v oster spor o nihalih na vzmet tudi s Christiaanom Huygensom. Hooke je zavaroval svoje odkritje z latinskim anagramom, to je z izrekom s premešanimi črkami. V knjigi O zmo- žnosti vračanja (slika 1) leta 1678 je razkril anagram: „Kakor podaljšek, tako sila.“. Danes pravimo: „Spre- memba oblike je sorazmerna s silo.“. To je slavni Hookov zakon, ki velja za prožna telesa, med njimi za kovinsko prizmo in vijačno vzmet, dokler sila, ki nateza ali stiska telo, ni prevelika. Slika 1 Proti koncu 16. stoletja so na Nizozemskem se- stavili zbiralno in razpršilno lečo v mikroskop. Veli- kokrat v tej zvezi omenjajo Zacchariasa Janssena in njegovega očeta Hansa in leto 1590 ali 1597. Neka- teri temu podatku ne zaupajo. Tudi Galileo Galilei je izdelal nekaj mikroskopov; ime mikroskop je nastalo prav v njegovem krogu leta 1625. Kaže, da se Galilei z mikroskopom ni dokopal do kakega pomembnega odkritja, zato je mikroskope, ki jih je izdelal, podaril drugim. Slika 2 Slika 3 Medtem ko naj bi objektiv teleskopa imel čim dalj- šo goriščno razdaljo, naj bi objektiv mikroskopa imel čim krajšo. Pri kratki goriščni razdalji pomanjkljivo- sti leč pridejo bolj do izraza kot pri dolgi. Zato so mikroskop za načrtno opazovanje majhnih predme- tov začeli uporabljati pozneje kot teleskop za opazo- vanje neba. Drobne predmete je opazovalo več nara- voslovcev. Med njimi poleg fizikov Hooka in Galileija omenjajo Italijana Marcela Malpighija in Nizozemca Antonija van Leeuwenhoeka, ki sta pomembna pred- vsem za biologijo. Tedaj so opazovali tudi z lupo, to je z eno samo zbiralno lečo. Hooke pa je sestavil 2 mikroskop z dvema lečama (slika 2). Nekateri ome- njajo, da je mikroskopu z dvema lečama dodal še tretjo. Bil je med prvimi, ki so mikroskop znali upo- rabljati in z njim vešče opazovati. Leta 1665 je izdal knjigo Mikrografija. Pri tem je pokazal izrazit obču- tek za risbo. S svojimi risbami drobnih predmetov je zbudil veliko pozornost sododbnikov. Med njimi so bile risbe bolhe (slika 3), uši, čebele in njenega žela, muhe in njenega očesa. Pri risanju so mu prišle prav izkušnje, ki si jih je pridobil kot vajenec pri sli- karju. Po mnenju znanega zgodovinarja botanike je treba Hooka šteti med štiri opazovalce iz 17. stoletja, ki so „si z resnim razmišljanjem prizadevali upora- biti moč razuma ter pri opazovanju skozi napravo razkriti pravo naravo mikroskopskih predmetov in pojasniti tajnosti njihove zgradbe“. Hooke je v pluti z mikroskopom opazil kvadraste oblike. Spominjale so ga na meniške celice, zato jih je imenoval celice. Po opazovanjih rastlinskega tkiva je opozoril na po- men tekočine v celici, ki so ga biologi spoznali precej pozneje. Pri teleskopu je predmet zelo oddaljen in objektiv da njegovo pomanjšano, obrnjeno in pravo sliko v svoji goriščni ravnini. To sliko postavimo v goriščno ravnino okularja in jo opazujemo v zelo veliki raz- dalji – kot pri lupi. Pri mikroskopu postavimo pred- met v majhno razdaljo pred goriščno ravnino objek- tiva. Povečana, obrnjena in prava slika nastane v ve- liki razdalji. Čim večja je razdalja, tem bolj je slika povečana. Kot pri teleskopu to sliko postavimo v go- riščno ravnino okularja in jo opazujemo v zelo veliki razdalji. Povečava mikroskopa je x′d/ff1. Pri tem je d normalna vidna razdaja, po dogovoru 25 cm, x′ razdalja med notranjima goriščnima ravninama objektiva in okularja, f goriščna razdalja objektiva in f1 goriščna razdalja okularja. Robert Hooke je v sporu o vzmeteh za ure s Chri- stiaanom Huygensom leta 1675 svoje odkritje zava- roval z anagramom ceiiinosssttuv. Tri leta pozneje je razkril rešitev: Ut tensio sic vis (natezanje tako, kakor sila). To je Hookov zakon. 3 mikroskop z dvema lečama (slika 2). Nekateri ome- njajo, da je mikroskopu z dvema lečama dodal še tretjo. Bil je med prvimi, ki so mikroskop znali upo- rabljati in z njim vešče opazovati. Leta 1665 je izdal knjigo Mikrografija. Pri tem je pokazal izrazit obču- tek za risbo. S svojimi risbami drobnih predmetov je zbudil veliko pozornost sododbnikov. Med njimi so bile risbe bolhe (slika 3), uši, čebele in njenega žela, muhe in njenega očesa. Pri risanju so mu prišle prav izkušnje, ki si jih je pridobil kot vajenec pri sli- karju. Po mnenju znanega zgodovinarja botanike je treba Hooka šteti med štiri opazovalce iz 17. stoletja, ki so „si z resnim razmišljanjem prizadevali upora- biti moč razuma ter pri opazovanju skozi napravo razkriti pravo naravo mikroskopskih predmetov in pojasniti tajnosti njihove zgradbe“. Hooke je v pluti z mikroskopom opazil kvadraste oblike. Spominjale so ga na meniške celice, zato jih je imenoval celice. Po opazovanjih rastlinskega tkiva je opozoril na po- men tekočine v celici, ki so ga biologi spoznali precej pozneje. Pri teleskopu je predmet zelo oddaljen in objektiv da njegovo pomanjšano, obrnjeno in pravo sliko v svoji goriščni ravnini. To sliko postavimo v goriščno ravnino okularja in jo opazujemo v zelo veliki raz- dalji – kot pri lupi. Pri mikroskopu postavimo pred- met v majhno razdaljo pred goriščno ravnino objek- tiva. Povečana, obrnjena in prava slika nastane v ve- liki razdalji. Čim večja je razdalja, tem bolj je slika povečana. Kot pri teleskopu to sliko postavimo v go- riščno ravnino okularja in jo opazujemo v zelo veliki razdalji. Povečava mikroskopa je x′d/ff1. Pri tem je d normalna vidna razdaja, po dogovoru 25 cm, x′ razdalja med notranjima goriščnima ravninama objektiva in okularja, f goriščna razdalja objektiva in f1 goriščna razdalja okularja. Robert Hooke je v sporu o vzmeteh za ure s Chri- stiaanom Huygensom leta 1675 svoje odkritje zava- roval z anagramom ceiiinosssttuv. Tri leta pozneje je razkril rešitev: Ut tensio sic vis (natezanje tako, kakor sila). To je Hookov zakon. 3 slika 1. Risb iz Hookove knjige O zmožnosti vračanja slika 2. Hookov mikroskop slika 3. Risba bolhe iz Hookove Mikrografije • Presek 39 (2011/2012) 1 12 f i z i k a Plovila pri gibanju po vodni gladini puščajo za seboj klinasto sled−brazdo. Ali lahko kaj povemo o hitrosti plovila, če natanko opazujemo in preme- rimo brazdo? Po gladini plitve luže na hitro potegnimo s tanko šibo. Za šibo opazimo na gladini klinasto brazdo, kot jo vidimo na sliki 1. Slika 1 Hitreje kot potegnemo, ožji je kot na vrhu brazde. Ali lahko z merjenjem tega kota ugotovimo hitrost šibe? Odgovor je pritrdilen. Po Huygensovem na- čelu je namreč potujoča šiba vir valovanj, ki se ši- rijo od trenutne lege šibe koncentrično na vse strani. Na sliki 2 je šiba prvotno v točki A, potem pa s hi- trostjo v potuje proti točki B, ki jo doseže po času t = AB v . Valovi se od točke A med tem časom razši- rijo koncentrično na razdaljo rA = ct. Iz ostalih točk na daljici AB se prav tako širijo valovi, le da imajo na voljo manj časa, torej je tudi razdalja, do katere pripotujejo, krajša. Tako v točki B valovanje pravkar nastaja. Koncentrični krogi nakazujejo mesta, do ka- terih prispe posamezno valovanje. Vsi valovi se le na brazdi ojačajo, drugje pa močno oslabijo. Za kot ϑ med smerjo potovanja valov v brazdi in hitrostjo v velja preprosta zveza: cosϑ = ct vt = c v . Pogoj, da se naredi brazda, je torej c v < 1 ali v > c. Šiba se mora po gladini gibati hitreje od va- lov. Hitrost šibe torej res lahko izmerimo tako, da merimo kot brazde, ki je preprosto povezan s kotom ϑ, poznati pa moramo tudi hitrost valovanja na gla- dini. Ta je pri plitvi vodi podana kot c2 = gh, kjer je h globina vode, g pa težni pospešek. Slika 2 Brazda za ladjami in čolni pa ni tako preprosta. V globoki vodi je hitrost valovanja odvisna od va- lovne dolžine. Pravimo, da ima to valovanje disper- zijo. Daljši valovi potujejo hitreje kot krajši. Hitrost valov je podana z enačbo c2λ = gλ/2π , kjer je λ nji- hova valovna dolžina. Hitrost cλ, ki meri potovanje valovnih dolin in hribov, imenujemo tudi fazna hi- trost. Razmere na sliki 3 so zato bolj zapletene kot na sliki 2. Valovanje za plovilom sestavlja množica valovnih brazd pri različnih kotih ϑ. Manjši koti ϑ pripadajo hitrim, to je dolgim valovom, večji pa va- lovom s krajšo valovno dolžino. Najhitrejši valovi, ki 2 • andrej likar Valovne brazde Plovila pri gibanju po vodni gladini puščajo za seboj klinasto sled−brazdo. Ali lahko kaj povemo o hitrosti plovila, če natanko opazujemo in pre e- rimo brazdo? Po gladini plitve luže na hitro potegnimo s tanko šibo. Za šibo opazimo na gladini klinasto brazdo, kot jo vidimo na sliki 1. Slika 1 Hitreje kot potegnemo, ožji je kot na vrhu brazde. Ali lahko z merjenjem tega kota ugotovimo hitrost šibe? Odgovor je pritrdilen. Po Huygensovem na- čelu je namreč potujoča šiba vir valovanj, ki se ši- rijo od trenutne lege šibe koncentrično na vse strani. Na sliki 2 je šiba prvotno v točki A, potem pa s hi- trostjo v potuje proti točki B, ki jo doseže po času t = AB v . Valovi se od točke A med tem časom razši- rijo koncentrično na razdaljo rA = ct. Iz o talih točk na daljici AB se prav tako širijo valovi, le da imajo na voljo manj časa, torej je tudi razdalja, do katere pripotujejo, krajša. Tako v točki B valovanje pravkar nastaja. Koncentrični krogi nakazujejo mesta, do ka- terih prispe posamezno valovanje. Vsi valovi se le na brazdi ojačajo, drugje pa močno oslabijo. Za kot ϑ med smerjo potovanja valov v brazdi in hitrostjo v velja preprosta zveza: cosϑ = ct vt = c v . Pogoj, da se naredi brazda, je torej c v < 1 ali v > c. Šiba se mora po gladini gibati hitreje od va- lov. Hitrost šibe torej res lahko izmerimo tako, da merimo kot brazde, ki je preprosto povezan s kotom ϑ, poznati pa moramo tudi hitrost valovanja na gla- dini. Ta je pri plitvi vodi podana kot c2 = gh, kjer je h globina vode, g pa težni pospešek. Slika 2 Brazda za ladjami in čolni pa ni tako preprosta. V globoki vodi je hitrost valovanja odvisna od va- lovne dolžine. Pravimo, da ima to valovanje disper- zijo. Daljši valovi potujejo hitreje kot krajši. Hitrost valov je podana z enačbo c2λ = gλ/2π , kjer je λ nji- hova valovna dolžina. Hitrost cλ, ki meri potovanje valovnih dolin in hribov, imenujemo tudi fazna hi- trost. Razmere na sliki 3 so zato bolj zapletene kot na sliki 2. Valovanje za plovilom sestavlja množica valovnih brazd pri različnih kotih ϑ. Manjši koti ϑ pripadajo hitrim, to je dolgim valovom, večji pa va- lovom s krajšo valovno dolžino. Najhitrejši valovi, ki 2 Plovila ri gibanju po vodni gladini pušč jo za seboj klinasto sled−brazdo. Ali lahko kaj povemo o hitrosti plovila, če natanko opazujemo in preme- rimo brazdo? Po gladini plitve luže na hitro potegnimo s tanko šibo. Za šibo opazim na gladini klin sto brazdo, kot jo vidimo na sliki 1. Slika 1 Hitreje kot potegnemo, ožji je kot na vrhu brazde. Ali lahko z merjenjem teg kota ugotovimo hitrost šibe? Odgovor je pritrdilen. Po Huygensovem na- čelu je namreč potujoča šiba vir valovanj, ki se ši- rijo od trenutne lege šibe koncentrično na vse strani. Na sliki 2 je šiba prvotno v točki A, potem pa s hi- trostjo v potuje proti točki B, ki jo doseže po času t = AB v . Valovi se od točke A m d tem časom razši- rijo koncentrično na razdaljo rA = ct. Iz ostalih točk na daljici AB se prav tako širijo valovi, le da imajo na voljo manj časa, torej je tudi razdalja, do katere pripotujejo, krajša. Tako v točki B valovanje pravkar nastaja. Koncentrični krogi nakazujejo mesta, do ka- terih prispe posamezno valovanje. Vsi valovi se le na brazdi ojačajo, drugje pa močno oslabijo. Za kot ϑ med smerjo potovanja valov v brazdi in hitrostjo v velja preprosta zveza: cosϑ = ct vt = c v . Pogoj, da se naredi brazda, je torej c v < 1 ali v > c. Šib se mora po g adini gibati hitreje d va- lov. Hitrost šibe torej res lahko izmerimo tako, da merimo kot brazde, ki je preprosto povezan s kotom ϑ, poznati pa moramo tudi hitrost valovanja na gla- dini. Ta je pri plitvi vodi podana kot c2 = gh, kjer je h globina vode, g pa težni pospešek. Slika 2 Brazda za ladjami in čolni pa ni tako preprosta. V globoki vodi je hitrost valovanja odvisna od va- lovne dolžine. Pravimo, da ima to valovanje disper- zijo. Daljši valovi potujejo hitreje kot krajši. Hitrost valov je podana z enačbo c2λ = gλ/2π , kjer je λ nji- hova valovna dolžina. Hitrost cλ, ki meri potovanje valovnih dolin in hribov, imenujemo tudi fazna hi- trost. Razmere na sliki 3 so zato bolj zapletene kot na sliki 2. Valovanje za plovilom sestavlja množica valovnih brazd pri različnih kotih ϑ. Manjši koti ϑ pripadajo hitrim, to je dolgim valovom, večji pa va- lovom s krajšo valovno dolžino. Najhitrejši valovi, ki 2 Plo i a ri gi a j o o i gla i i ščajo za se oj li asto sle raz o. li la o aj o e o o itrosti lo ila, če ata o o az je o i re e- ri o raz o? Po gla i i litve l že a itro oteg i o s ta ko šibo. a šibo o azi o a gla i i kli asto braz o, kot jo vi i o a sliki 1. Slika 1 itreje kot oteg e o, ožji je kot a vr braz e. li la ko z erje je tega kota gotovi o itrost šibe? govor je ritr ile . Po yge sove a- čel je a reč ot joča šiba vir valova j, ki se ši- rijo o tre t e lege šibe ko ce trič o a vse stra i. a sliki 2 je šiba rvot o v točki , ote a s i- rostjo ot je roti točki B, ki jo seže o čas t . alovi se o točke e te časo razši- rijo ko ce trič o a raz aljo rA ct. Iz ostali točk a aljici se rav tako širijo valovi, le a i ajo a voljo a j časa, torej je t i raz alja, o katere ri ot jejo, krajša. ako v točki valova je ravkar astaja. o ce trič i krogi akaz jejo esta, o ka- teri ris e osa ez o valova je. si valovi se le a braz i ojačajo, r gje a oč o oslabijo. a kot e s erjo otova ja valov v braz i i itrostjo  velja re rosta zveza: cos ct t c . Pogoj, a se are i br z a, je orej c 1 ali c. Šiba se ora o gla i i gibati itreje o va- lov. itrost šibe torej res la ko iz eri o tako, a eri o kot braz e, ki je re rosto oveza s koto , oz ati a ora o t i itrost valova ja a gla- i i. a je ri litvi vo i o a a kot c2 , kjer je globi a vo e, a tež i os ešek. Slika 2 Braz a za la ja i i čol i a i tako re rosta. globoki vo i je itrost valova ja o vis a o va- lov e olži e. Pravi o, a i a to valova je is er- zijo. aljši valovi ot jejo itreje kot krajši. itrost valov je o a a z e ačbo c2λ /2 , kjer je ji- ova valov a olži a. itrost cλ, ki eri otova je valov i oli i ribov, i e je o t i faz a i- trost. az ere a sliki 3 so zato bolj za lete e kot a sliki 2. alova je za lovilo sestavlja ožica valov i braz ri različ i koti . a jši koti ri a ajo itri , to je olgi valovo , večji a va- lovo s krajšo valov o olži o. aj itrejši valovi, ki 2 l . , . , . , . . , . , , . . , , , , . . , . , . : , , . . , , , . , , . . . , . . , . , , . . . , , . , mikroskop z dvema lečama (slika 2). Nekateri ome- njajo, da je mikroskopu z dvema lečama dodal še tretjo. Bil je med prvimi, ki so mikroskop znali upo- rabljati in z njim vešče opazovati. Leta 1665 je izdal knjigo Mikrografija. Pri tem je pokazal izrazit obču- tek za risbo. S svojimi risbami drobnih predmetov je zbudil veliko pozornost sododbnikov. Med njimi so bile risbe bolhe (slika 3), uši, čebele in njenega žela, muhe in njenega očesa. Pri risanju so mu prišle prav izkušnje, ki si jih je pridobil kot vajenec pri sli- karju. Po mnenju znanega zgodovinarja botanike je treba Hooka šteti med štiri opazovalce iz 17. stoletja, ki so „si z resnim razmišljanjem prizadevali upora- biti moč razuma ter pri opazovanju skozi napravo razkriti pravo naravo mikroskopskih predmetov in pojasniti tajnosti njihove zgradbe“. Hooke je v pluti z mikroskopom opazil kvadraste oblike. Spominjale so ga na meniške celice, zato jih je imenoval celice. Po opazovanjih rastlinskega tkiva je opozoril na po- men tekočine v celici, ki so ga biologi spoznali precej pozneje. Pri teleskopu je predmet zelo oddaljen in objektiv da njegovo pomanjšano, obrnjeno in pravo sliko v svoji goriščni ravnini. To sliko postavimo v goriščno ravnino okularja in jo opazujemo v zelo veliki raz- dalji – kot pri lupi. Pri mikroskopu postavimo pred- met v majhno razdaljo pred goriščno ravnino objek- tiva. Povečana, obrnjena in prava slika nastane v ve- liki razdalji. Čim večja je razdalja, tem bolj je slika povečana. Kot pri teleskopu to sliko postavimo v go- riščno ravnino okularja in jo opazujemo v zelo veliki razdalji. Povečava mikroskopa je x′d/ff1. Pri tem je d normalna vidna razdaja, po dogovoru 25 cm, x′ razdalja med notranjima goriščnima ravninama objektiva in okularja, f goriščna razdalja objektiva in f1 goriščna razdalja okularja. Robert Hooke je v sporu o vzmeteh za ure s Chri- stiaanom Huygensom leta 1675 svoje odkritje zava- roval z anagramom ceiiinosssttuv. Tri leta pozneje je razkril rešitev: Ut tensio sic vis (natezanje tako, kakor sila). To je Hookov zakon. 3 mikroskop z dvema lečama (slika 2). Nekateri ome- njajo, da je mikroskopu z dvema lečama dodal še tretjo. Bil je med prvimi, ki so mikroskop znali upo- rabljati in z njim vešče opazovati. Leta 1665 je izdal knjigo Mikrografija. Pri tem je pokazal izrazit obču- tek za risbo. S svojimi risbami drobnih predmetov je zbudil veliko pozornost sododbnikov. Med njimi so bile risbe bolhe (slika 3), uši, čebele in njenega žela, muhe in njenega očesa. Pri risanju so mu prišle prav izkušnje, ki si jih je pridobil kot vajenec pri sli- karju. Po mnenju znanega zgodovinarja botanike je treba Hooka šteti med štiri opazovalce iz 17. stoletja, ki so „si z resnim razmišljanjem prizadevali upora- biti moč razuma ter pri opazovanju skozi napravo razkriti pravo naravo mikroskopskih predmetov in pojasniti tajnosti njihove zgradbe“. Hooke je v pluti z mikroskopom opazil kvadraste oblike. Spominjale so ga na meniške celice, zato jih je imenoval celice. Po opazovanjih rastlinskega tkiva je opozoril na po- men tekočine v celici, ki so ga biologi spoznali precej pozneje. Pri teleskopu je predmet zelo oddaljen in objektiv da njegovo pomanjšano, obrnjeno in pravo sliko v svoji goriščni ravnini. To sliko postavimo v goriščno ravnino okularja in jo opazujemo v zelo veliki raz- dalji – kot pri lupi. Pri mikroskopu postavimo pred- met v majhno razdaljo pred goriščno ravnino objek- tiva. Povečana, obrnjena in prava slika nastane v ve- liki razdalji. Čim večja je razdalja, tem bolj je slika povečana. Kot pri teleskopu to sliko postavimo v go- riščno ravnino okularja in jo opazujemo v zelo veliki razdalji. Povečava mikroskopa je x′d/ff1. Pri tem je d normalna vidna razdaja, po dogovoru 25 cm, x′ razdalja med notranjima goriščnima ravninama objektiva in okularja, f goriščna razdalja objektiva in f1 goriščna razdalja okularja. Robert Hooke je v sporu o vzmeteh za ure s Chri- stiaanom Huygensom leta 1675 svoje odkritje zava- roval z anagramom ceiiinosssttuv. Tri leta pozneje je razkril rešitev: Ut tensio sic vis (natezanje tako, kakor sila). To je Hookov zakon. 3 mikroskop z dvema lečama (slika 2). Nekateri ome- njajo, da je mikroskopu z dvema lečama dodal še tretjo. Bil je med prvimi, ki so mikroskop znali upo- rabljati in z njim vešče opazovati. Leta 1665 je izdal knjigo Mikrografija. Pri tem je pokazal izrazit obču- tek za risbo. S svojimi risbami drobnih predmetov je zbudil veliko pozornost sododbnikov. Med njimi so bile risbe bolhe (slika 3), uši, čebele in njenega žela, muhe in njenega očesa. Pri risanju so mu prišle prav izkušnje, ki si jih je pridobil kot vajenec pri sli- karju. Po mnenju znanega zgodovinarja botanike je treba Hooka šteti med štiri opazovalce iz 17. stoletja, ki so „si z resnim razmišljanjem prizadevali upora- biti moč razuma ter pri opazovanju skozi napravo razkriti pravo naravo mikroskopskih predmetov in pojasniti tajnosti njihove zgradbe“. Hooke je v pluti z mikroskopom opazil kvadraste oblike. Spominjale so ga na meniške celice, zato jih je imenoval celice. Po opazovanjih rastlinskega tkiva je opozoril na po- men tekočine v celici, ki so ga biologi spoznali precej pozneje. Pri teleskopu je predmet zelo oddaljen in objektiv da njegovo pomanjšano, obrnjeno in pravo sliko v svoji goriščni ravnini. To sliko postavimo v goriščno ravnino okularja in jo opazujemo v zelo veliki raz- dalji – kot pri lupi. Pri mikroskopu postavimo pred- met v majhno razdaljo pred goriščno ravnino objek- tiva. Povečana, obrnjena in prava slika nastane v ve- liki razdalji. Čim večja je razdalja, tem bolj je slika povečana. Kot pri teleskopu to sliko postavimo v go- riščno ravnino okularja in jo opazujemo v zelo veliki razdalji. Povečava mikroskopa je x′d/ff1. Pri tem je d normalna vidna razdaja, po dogovoru 25 cm, x′ razdalja med notranjima goriščnima ravninama objektiva in okularja, f goriščna razdalja objektiva in f1 goriščna razdalja okularja. Robert Hooke je v sporu o vzmeteh za ure s Chri- stiaanom Huygensom leta 1675 svoje odkritje zava- roval z anagramom ceiiinosssttuv. Tri leta pozneje je razkril rešitev: Ut tensio sic vis (natezanje tako, kakor sila). To je Hookov zakon. 3 www.presek.si www.dmfa-zaloznistvo.si www.dmfa.si slik 1. Brazda na plitvi luži, ko po gladini hitro povlečemo s tanko šibo. presek 39 (2011/2012) 1 13 f i z i k a • Plovila pri gibanju po vodni gladini puščajo za seboj klinasto sled−brazdo. Ali lahko kaj povemo o hitrosti plovila, če natanko opazujemo in preme- rimo brazdo? Po gladini plitve luže na hitro potegnimo s tanko šibo. Za šibo opazimo na gladini klinasto brazdo, kot jo vidimo na sliki 1. Slika 1 Hitreje kot potegnemo, ožji je kot na vrhu brazde. Ali lahko z merjenjem tega kota ugotovimo hitrost šibe? Odgovor je pritrdilen. Po Huygensovem na- čelu je namreč potujoča šiba vir valovanj, ki se ši- rijo od trenutne lege šibe koncentrično na vse strani. Na sliki 2 je šiba prvotno v točki A, potem pa s hi- trostjo v potuje proti točki B, ki jo doseže po času t = AB v . Valovi se od točke A med tem časom razši- rijo koncentrično na razdaljo rA = ct. Iz ostalih točk na daljici AB se prav tako širijo valovi, le da imajo na voljo manj časa, torej je tudi razdalja, do katere pripotujejo, krajša. Tako v točki B valovanje pravkar nastaja. Koncentrični krogi nakazujejo mesta, do ka- terih prispe posamezno valovanje. Vsi valovi se le na brazdi ojačajo, drugje pa močno oslabijo. Za kot ϑ med smerjo potovanja valov v brazdi in hitrostjo v velja preprosta zveza: cosϑ = ct vt = c v . Pogoj, da se naredi brazda, je torej c v < 1 ali v > c. Šiba se mora po gladini gibati hitreje od va- lov. Hitrost šibe torej res lahko izmerimo tako, da merimo kot brazde, ki je preprosto povezan s kotom ϑ, poznati pa moramo tudi hitrost valovanja na gla- dini. Ta je pri plitvi vodi podana kot c2 = gh, kjer je h globina vode, g pa težni pospešek. Slika 2 Brazda za ladjami in čolni pa ni tako preprosta. V globoki vodi je hitrost valovanja odvisna od va- lovne dolžine. Pravimo, da ima to valovanje disper- zijo. Daljši valovi potujejo hitreje kot krajši. Hitrost valov je podana z enačbo c2λ = gλ/2π , kjer je λ nji- hova valovna dolžina. Hitrost cλ, ki meri potovanje valovnih dolin in hribov, imenujemo tudi fazna hi- trost. Razmere na sliki 3 so zato bolj zapletene kot na sliki 2. Valovanje za plovilom sestavlja množica valovnih brazd pri različnih kotih ϑ. Manjši koti ϑ pripadajo hitrim, to je dolgim valovom, večji pa va- lovom s krajšo valovno dolžino. Najhitrejši valovi, ki 2 Plovila pri gibanju po vodni gladini puščajo za seboj klinasto sled−brazdo. Ali lahko kaj povemo o hitrosti plovila, če natanko opazujemo in preme- rimo brazdo? Po gladini plitve luže na hitro potegnimo s tanko šibo. Za šibo opazimo na gladini klinasto brazdo, kot jo vidimo na sliki 1. Slika 1 Hitreje kot potegnemo, ožji je kot na vrhu brazde. Ali lahko z merjenjem tega kota ugotovimo hitrost šibe? Odgovor je pritrdilen. Po Huygensovem na- čelu je namreč potujoča šiba vir valovanj, ki se ši- rijo od trenutne lege šibe koncentrično na vse strani. Na sliki 2 je šiba prvotno v točki A, potem pa s hi- trostjo v potuje proti točki B, ki jo doseže po času t = AB v . Valovi se od točke A med tem časom razši- rijo koncentrično na razdaljo rA = ct. Iz ostalih točk na daljici AB se prav tako širijo valovi, le da imajo na voljo manj časa, torej je tudi razdalja, do katere pripotujejo, krajša. Tako v točki B valovanje pravkar nastaja. Koncentrični krogi nakazujejo mesta, do ka- terih prispe posamezno valovanje. Vsi valovi se le na brazdi ojačajo, drugje pa močno oslabijo. Za kot ϑ med smerjo potovanja valov v brazdi in hitrostjo v velja preprosta zveza: cosϑ = ct vt = c v . Pogoj, da se naredi brazda, je torej c v < 1 ali v > c. Šiba se mora po gladini gibati hitreje od va- lov. Hitrost šibe torej res lahko izmerimo tako, da merimo kot brazde, ki je preprosto povezan s kotom ϑ, poznati pa moramo tudi hitrost valovanja na gla- dini. Ta je pri plitvi vodi podana kot c2 = gh, kjer je h globina vode, g pa težni pospešek. Slika 2 Brazda za ladjami in čolni pa ni tako preprosta. V globoki vodi je hitrost valovanja odvisna od va- lovne dolžine. Pravimo, da ima to valovanje disper- zijo. Daljši valovi potujejo hitreje kot krajši. Hitrost valov je podana z enačbo c2λ = gλ/2π , kjer je λ nji- hova valovna dolžina. Hitrost cλ, ki meri potovanje valovnih dolin in hribov, imenujemo tudi fazna hi- trost. Razmere na sliki 3 so zato bolj zapletene kot na sliki 2. Valovanje za plovilom sestavlja množica valovnih brazd pri različnih kotih ϑ. Manjši koti ϑ pripadajo hitrim, to je dolgim valovom, večji pa va- lovom s krajšo valovno dolžino. Najhitrejši valovi, ki 2 Plovila pri gibanju po vodni gladini puščajo za seboj klinasto sled−brazdo. Ali lahko kaj povemo o hitrosti plovila, če natanko opazujemo in preme- rimo brazdo? Po gladini plitve luže na hitro potegnimo s tanko šibo. Za šibo opazimo na gladini kli ast brazdo, kot jo vidimo na sliki 1. Slika 1 Hitreje kot potegnemo, ožji je kot na vrhu brazde. Ali lahko z merj njem tega kota ugoto imo hitrost šibe? Odgovor j pritrdilen. Po Huygensovem na- čelu je namreč potujoča šiba vir valova j, ki se ši- rijo od trenutne lege šibe koncentričn na vse strani. Na sliki 2 je šiba prvotno v točki A, potem pa s hi- trostjo v potuje proti točki B, ki jo doseže o času t = AB v . Valovi se od točke A med tem časom razši- rijo koncentrično na razdaljo rA = ct. Iz ostalih točk na dalji i AB se pr v tako širijo valovi, le da imajo voljo manj časa, torej je tudi razdalja, do katere prip tujejo, krajša. Tako v točki B valovanje pravkar nastaja. K ncentrični kr gi na azujej mesta, do - terih prispe posamezno valovanje. Vsi valovi se le na brazdi ojačaj , drugje pa moč o oslabijo. Za kot ϑ med smerjo potovanja v lov v brazdi in hitrostjo v velja prepr sta zveza: cosϑ = ct v = c v . Pogoj, da se naredi brazda, je torej c v < 1 ali v > c. Šiba se mora po gladini gibati hitreje od va- lov. Hitrost šibe torej res lahko izmerimo tako, da merimo kot brazde, ki je preprosto povezan s tom ϑ, poznati pa moramo tudi hitrost valovanja na gla- dini. Ta je ri plitvi v di podana kot c2 = gh, kjer je h globina vode, g pa težni pospešek. Slika 2 Brazda za ladjami in čolni pa ni tako preprosta. V globoki vodi je hitrost valov nja odvisna od v - lovne dolžine. Pravim , da ima to valovanje disper- zijo. Daljši valovi potujejo hitreje kot kr jši. Hitrost val v je pod na z enačbo c2λ = gλ/2π , kjer je λ nji- hova valovn dolžina. Hitrost cλ, ki meri potova je valovnih dolin in hribov, imenujemo tudi fazna hi- trost. Razmere a sliki 3 so zato bolj zapletene kot na liki 2. Valovanje za pl vilom sestavlja m ožica v lovnih brazd pri ra ličnih k tih ϑ. Manjši k ti ϑ pripadajo hitrim, to je dolgim valovom, večji pa va- lovom s krajšo valovno lžino. Najhitrejši valovi, ki 2 Plovila pri gibanju po vodni gladini puščajo za seboj klinasto sled−brazdo. Ali lahko kaj povemo o hitrosti plovila, če natanko opazujemo in preme- rimo brazdo? Po gladini plitve luže na hitro potegnimo s tanko šibo. Za šibo opazimo na gladini kli ast brazdo, kot jo vidimo na sliki 1. Slika 1 Hitreje kot potegnemo, ožji je kot na vrhu brazde. Ali lahko z merj njem tega kota ugoto imo hitrost šibe? Odgovor pritrdilen. Po Huygensovem na- čelu je namreč potujoča šiba vir valova j, ki se ši rijo od trenutne lege šibe koncentričn na vse stran . Na sliki 2 je šiba prvotno v točki A, potem pa s h - trostjo v potuje proti točki B, ki jo doseže o času t = AB v . Valovi se od točke A med tem časom razši- rijo koncentrično na razdaljo rA = ct. Iz ostalih točk na dalji i AB se pr v tako širijo valovi, le da imajo vo o manj časa, torej je tudi razdalja, do katere prip tujejo, krajša. Tako v točki B valovanje pravkar nastaja. K ncentrični kr gi na azujej mesta, do - terih prispe posamezno valovanje. Vsi valovi se le na brazdi ojačaj , drugje pa moč o oslabijo. Za kot ϑ med smerjo potovanja v lov v brazdi in hitrostjo v velja prepr sta zveza: cosϑ = ct v = c v . Pogoj, da se naredi brazda, je torej c v < 1 ali v > c. Šiba se mora po gladini gibati hitreje od va- lov. Hitrost šibe torej res lahko zmerimo tako, da merimo kot brazde, ki je preprosto povezan s tom ϑ, poznati pa moramo tudi hitrost valovanja na gla- dini. Ta je ri plitvi v di podana kot c2 = gh, kjer je h globina vode, g pa težni pospešek. Slika 2 Brazda za ladjami in čolni pa ni tako preprosta. V globoki vodi je h trost valov nja odvisna od v - lovne dolžine. Pravim , da ima to valovanje disper zijo. Daljši valovi potujejo hitreje kot kr jši. Hitrost val v je pod na z enačbo c2λ = gλ/2π , kjer je λ nji- hova valovn dolžina. Hitrost cλ, ki meri potova e valovnih dolin in hribov, imenujemo tudi fazna hi- trost. Razmere a sliki 3 so zato bolj zapletene kot na liki 2. Valovanje za pl vilom sestavlja m ožica v lovn h brazd pri ra ličnih k tih ϑ. Manjši k t ϑ pripadajo hitrim, to je dolgim valovom, večj pa va- lovom s krajšo valovno ž no. Najhitrejši valovi, ki 2 j - i i lj o i i - j i i i l i Plovila pri gibanju po vodni gladini puščajo za seboj klinasto sled−brazdo. Ali lahko kaj pove o o hitrosti plovila, če natanko opazuje o in pre e- ri o brazdo? Po gladini plitve luže na hitro potegni o s tanko šibo. Za šibo opazi o na gladini kli ast brazdo, k t jo v d o na s iki 1. Slika 1 Hitreje kot potegne o, ožji je kot na vrhu brazde. Ali lahko z erj nje tega kota ugoto i o hitrost šibe? Odg vor j pritrdilen. Po Huygensove na- čelu je na reč potujoča šiba vir valova j, ki se ši- r jo od trenutne l ge šibe koncentričn na vse strani. Na sliki 2 je šiba prv tno v točki A, pote pa s h trostjo v po uje proti točki B, ki jo doseže o č su = AB v . Valovi se od točke A ed te časo razši- rijo koncentrično na razdaljo rA = ct. Iz o talih točk na dalji i AB se pr v tako ši ijo valovi, le da i ajo voljo anj časa, torej je tudi razdalja, do katere prip tujejo, krajša. Tako v točki B valovanje pravkar staja. K ncentrični krogi na azujej esta, do - terih prispe posa ezno valovanje. Vsi lovi se le na brazdi ojačaj , drugje pa oč o oslabijo. Za kot ϑ ed s erjo potovanja v lov v brazd in hitrostjo v velja prepr sta zveza: cosϑ = ct vt = c v . Pogoj, da se naredi brazda, je torej c v < 1 ali v > c. Šiba se ora po gl dini giba i hitreje od va- lov. Hitrost šibe torej res lahko iz eri o tako, da eri o kot brazde, ki je preprosto povezan s to ϑ, poznati pa ora o tudi hitr st valovanja na gla- dini. Ta je ri plitvi v di odana kot c2 = gh, jer je h gl bina vode, g pa težni pospešek. Slika 2 Brazda za ladja i in čolni pa ni tako preprosta. V globoki vodi je hitrost valov nja odvisna od v - lovne dolžine. Pr vi , da i a to valo anje disper- zijo. Daljši valovi po ujejo hitreje kot kr jši. Hitrost val v je pod na z enačbo c2λ = gλ/2π , kjer je λ nji hova v ovna dolžina. Hitrost cλ, i eri potova je nih doli in hribov, i enuje o tudi fazn h trost. Raz ere a sliki 3 s zato bolj zaplete e kot n liki 2. Valovanje za pl vilo sestavlja ožica v lovnih brazd pri ra ličnih k tih ϑ. Manjši k ti ϑ pripadajo hitri , to je do gi valovo , večji pa va- lov s krajšo valovno lžino. Najhitrejši valovi, ki 2 l ila ri i a j i la i i šcaj za se j i ast sle raz . li la aj em itr sti l ila, ce ata az jem i re e- rim raz ? P gla i i litve l e a itr teg im s ta ši . a ši a im a gla i i li ast ra , ot j vi im a sli i . Sli a itreje t teg em , ji je t a vr ra e. li la merj jem tega ta g t im itr st ši e? gov r e ritr ile . P yge s vem a- cel je amrec t j ca ši a vir val va j, i se ši rij tre t e lege ši e ce tric a vse stra . a sli i je ši a rvot v t c i , tem a s - tr stj t je r ti t c i , i j se e cas . al vi se t c e me tem cas m ra ši- rij ce tric a ra alj rA ct. I stali t c a alji i se r v ta širij val vi, le a imaj v ma j casa, t rej je t i ra alja, atere ri t jej , rajša. a v t c i val va je rav ar nastaja. ce tric i r gi a a jej mesta, - teri ris e same val va je. si val vi se le a ra i jacaj , r gje a m c sla ij . a t me smerj t va ja v l v v ra i i itr stj velja re r sta ve a: c s ct c . P g j, a se are i ra a, je t rej c ali c. Ši a se m ra gl i i gi a i itreje va- l v. itr st ši e t rej res la merim ta , a merim t ra e, i je re r st ve a s t m , ati a m ram t i itrost val va ja a gla- i i. a je ri litvi v i p a a t c2 , kjer je glo i a v e, a te i s eše . Sli a ra a a la jami i c l i a i ta re r sta. gl i v i je tr st val v ja vis a v - l v e l i e. Pravim , a ima t val va je is er ij . aljši val vi t jej itreje t r jši. itr st val v je a e ac c2λ / , jer je ji- va val v a l i a. itr st cλ, ki meri t va e valov i lin i ri v, ime jem t i fa a i- tr st. a mere a sli i so at lj a letene t a li i . al va je a l vil m sestavlja m ica v l v ra ri ra lic i ti . a jši t ri a aj itrim, t je lgim val v m, vecj a va- l vom s rajš val v . aj itrejši val vi, i Plovi a pri gibanju po vodni gladini puščajo za seboj klinasto sled−brazdo. Ali lahko kaj pove o o hitrosti plovila, če natanko opazujemo in preme- rimo brazdo? Po gladini plitve luže na hitro potegnimo s tanko šibo. Za šibo opazimo na gladini klinasto brazdo, kot jo vidimo na sliki 1. Slika 1 Hitreje kot potegnemo, ožji je kot na vrhu brazde. Ali lahko z merjenjem tega kota ugotovimo hitrost šibe? Odgovor je pritrdilen. Po Huygensovem na- čelu je namreč potujoča šiba vir valovanj, ki se ši- rijo od trenutne lege šibe koncentrično na vse strani. Na sliki 2 je šiba prvotno v točki A, potem pa s hi- rostjo v potuje proti točki B, ki jo doseže po času t = AB v . Valovi se od točke A med tem ča om razši- rijo koncentrično na razdaljo rA = ct. Iz ostalih točk na daljici AB se prav tako širijo valovi, le da imajo na voljo manj časa, torej je tudi razdalja, do katere pripotujejo, krajša. Tako v točki B valovanje pravkar nastaja. Koncentrični krogi nakazujejo mesta, do ka- terih prispe posamezno valovanje. Vsi valovi se le na brazdi ojačajo, drugje pa močno oslabijo. Za kot ϑ med smerjo potovanja valov v brazdi in hitrostjo v velja preprosta zveza: cosϑ = ct vt = c v . Pogoj, da se naredi br zda, je orej c v < 1 ali v > c. Šiba se mora po gladini gibati hitreje od va- lov. Hitrost šibe torej res lahko izmerimo tako, da merimo kot brazde, ki je preprosto povezan s kotom ϑ, poznati pa moramo tudi hitrost valovanja na gla- dini. Ta je pri plitvi vodi podana kot c2 = gh, kjer je h globina vode, g pa težni pospešek. Slika 2 Brazda za ladjami in čolni pa ni tako preprosta. V globoki vodi je hitrost valovanja odvisna od va- lovne dolžine. Pravimo, da ima to valovanje disper- zijo. Daljši valovi potujejo hitreje kot krajši. Hitrost valov je podana z enačbo c2λ = gλ/2π , kjer je λ nji- hova valovna dolžina. Hitrost cλ, ki meri potovanje valovnih dolin in hribov, imenujemo tudi fazna hi- trost. Razmere na sliki 3 so zato bolj zapletene kot na sliki 2. Valovanje za plovilom sestavlja množica valovnih brazd pri različnih kotih ϑ. Manjši koti ϑ pripadajo hitrim, to je dolgim valovom, večji pa va- lovom s krajšo valovno dolžino. Najhitrejši valovi, ki 2 Plovila pri gibanju po vodni gladini puščajo za seboj klinasto sled brazdo. li lahko kaj pove o o hitrosti plovila, če natanko opazuje o in pre e- ri o brazdo? P gladini plitve luže na hitro potegni o s tanko šibo. Za šibo opazi o na gladini klinasto brazdo, kot jo vidi o na sliki 1. Slika 1 itreje kot potegne o, ožji je kot na vrhu brazde. li lahko z er enje tega kota ugotovi o hitrost šibe? dgovor je pritrdilen. Po uygensove na- čelu je na reč potuj ča šiba vir valovanj, ki se ši- rijo od trenutn lege šibe koncentrično na vse str ni. a sliki 2 je šiba prvo no v točki , pote pa s hi- trostjo v potuje proti točki B, ki jo doseže po času t B v . Valovi se od točke ed te časo razši- rijo koncentrično na razdaljo rA ct. Iz ostalih očk na daljici B se prav tako širijo valovi, le da i ajo voljo anj časa, to ej je tudi razdalja, do katere p potujejo, krajša. Tako v točki B valovanje pravkar nastaja. Koncent ični krogi n kazujejo esta, do k - terih prispe posa ezno valovanje. Vsi valovi se le na brazdi ojačajo, drug e pa očno oslabijo. Za k t ϑ ed s erjo potovanja valov v brazdi in hitrostjo v velja preprosta zveza: cosϑ ct vt c v . Pogoj, da se naredi brazda, je torej c v 1 ali v c. Šiba se ora po gladini gibati hitreje od v - lov. itr st šibe torej res lahk iz eri o tako, da eri o kot brazde, ki je reprosto povezan s oto ϑ, pozn ti pa ora o tudi hitrost valovanja na gla- dini. Ta je pri plitvi vodi podana kot c2 g , kjer je globina vode, g pa težni pospešek. Slika 2 Brazda za ladj i in čolni pa ni tako preprosta. V glob ki vodi je hitrost valovanja odvisna od va- lovne dolžine. Pravi o, da a to valovanje d sper- zijo. aljši valovi potujejo hi reje ot k ajši. itrost l je podana z enačbo c2λ gλ/2 , kjer je λ n i- hova valovna dolžina. itrost cλ, ki eri potovanje v lovn h dolin in hr bov, i enuje o tudi fazna hi- trost. Raz ere na sliki 3 so za o bolj z pletene kot na sliki 2. Valovanje za plovilo sestavlja nožica val vnih brazd pri različnih kotih ϑ. anjš koti ϑ pripadajo hitri , to je dolg valovo , večji pa va- lovo s krajšo valovno dolžino. ajhitrejši valovi, ki 2 l il i i j i l i i j j li l . li l j m i i l il , j i - i l i i li l i i i . i i l i i li , j i i li i . li i j , ji j . li l j j i i i j i il . - l j j i i l j, i i- ij l i i i. li i j i i , i- j j i i , i j . l i i- ij i lj . I li lji i i ij l i, l i j lj j , j j i lj , i j j , j . i l j j . i i i j j , - i i l j . i l i l i j j , j l ij . j j l i i i j lj : . j, i a , j j li . i l i i i i i j - l . i i j l i i , i , i j , i i i l j l - i i. j i li i i , j j l i , i . li l j i i l i i . l i i j i l j i - l l i . i , i l j i - ij . lj i l i j j i j j i. i l j , j j ji- l l i . i , i i j l i li i i , i j i i- . li i lj l li i . l j l il lj i l i i li i i . j i i i j i i , j l i l , ji - l j l l i . j i j i l i, i l il i i j i l i i j j li l . li l j i i l il , j i - i l i i li l i i i . i i l i i li , j i i li i . li i j , ji j . li l j j i i i j i il . - l j j i i l j, i i- ij l i i i. li i j i i , i- j j i i , i j . l i i- ij i lj . I li lji i i ij l i, l i j lj j , j j i lj , i j j , j . i l j j . i i i j j , - i i l j . i l i l i j j , j l ij . j j l i i i j lj : . j, i , j j li . i l i i i i i j - l . i i j l i i , i , i j , i i i l j l - i i. j i li i i , j j l i , i . li l j i i l i i . l i i j i l j i - l l i . i , i l j i - ij . lj i l i j j i j j i. i l j , j j ji- l l i . i , i i j l i li i i , i j i i- . li i lj l li i . l j l il lj i l i i li i i . j i i i j i i , j l i l , ji - l j l l i . j i j i l i, i Plovila pri gibanju po vodni gladini puščajo za seboj klinasto sled−brazdo. Ali lahko kaj povemo o hitrosti plovila, če natanko opazujemo in preme- rimo brazdo? Po gladini plitve luže na hitro potegnimo s tanko šibo. Za šibo opazimo na gladini klinasto brazdo, kot jo vidimo na sliki 1. Slika 1 Hitreje kot potegnemo, ožji je kot na vrhu brazde. Ali lahko z merjenjem tega kota ugotovimo hitrost šibe? Odgovor je pritrdilen. Po Huygensovem na- čelu je namreč potujoča šiba vir valovanj, ki se ši- rijo od trenutne lege šibe koncentrično na vse strani. Na sliki 2 je šiba prvotno v točki A, potem pa s hi- trostjo v potuje proti točki B, ki jo doseže po času t = AB v . Valovi se od točke A med tem časom razši- rijo koncentrično na razdaljo rA = ct. Iz ostalih točk na daljici AB se prav tako širijo valovi, le da imajo na voljo manj časa, torej je tudi razdalja, do katere pripotujejo, krajša. Tako v točki B valovanje pravkar nastaja. Koncentrični krogi nakazujejo mesta, do ka- terih prispe posamezno valovanje. Vsi valovi se le na brazdi ojačajo, drugje pa močno oslabijo. Za kot ϑ med smerjo potovanja valov v brazdi in hitrostjo v velja preprosta zveza: cosϑ = ct vt = c v . Pogoj, da se naredi brazda, je torej c v < 1 ali v > c. Šiba se mora po gladini gibati hitreje od va- lov. Hitrost šibe torej res lahko izmerimo tako, da merimo kot brazde, ki je preprosto povezan s kotom ϑ, poznati pa moramo tudi hitrost valovanja na gla- dini. Ta je pri plitvi vodi podana kot c2 = gh, kjer je h globina vode, g pa težni pospešek. Slika 2 Brazda za ladjami in čolni pa ni tako preprosta. V globoki vodi je hitrost valovanja odvisna od va- lovne dolžine. Pravimo, da ima to valovanje disper- zijo. Daljši valovi potujejo hitreje kot krajši. Hitrost valov je podana z enačbo c2λ = gλ/2π , kjer je λ nji- hova valovna dolžina. Hitrost cλ, ki meri potovanje valovnih dolin in hribov, imenujemo tudi fazna hi- trost. Razmere na sliki 3 so zato bolj zapletene kot na sliki 2. Valovanje za plovilom sestavlja množica valovnih brazd pri različnih kotih ϑ. Manjši koti ϑ pripadajo hitrim, to je dolgim valovom, večji pa va- lovom s krajšo valovno dolžino. Najhitrejši valovi, ki 2 slika 2. Vsak točka na poti AB, ki jo naredi šiba, je izvor va- lovanja. Če je hitrost šibe večja od hitrosti valov na gladini, se močno o ačeno valovanje pojavi kot izra- zita brazda na gladini. slika 3. V globoki vodi ima valovanje disperzijo. Le-ta vodi do množi- ce brazd pri različnih valovnih dolžinah. Na sliki smo z rdečo nakazali brazde pri večji valovni dolžini, z m dro pri manjši, z zeleno in rumeno pa valove z valovn dolžino med tema dvema. Barve so izbrane skladn z optičnim spektrom, kjer ima rdeča najdaljšo, modra pa najkrajšo valovno dolžino. Se- veda nastopajo vse možne valovne dolžine, od najkrajše pri ϑ ≈ 90° do najdaljše pri ϑ ≈ 0°. jih ladja ali čoln še lahko vzbudita, ne morejo prese- gati njene hitrosti, saj mora v brazdi veljati v > c . Ker so najhitrejši prav dolgi valovi, je najdaljša va- lovna dolžina valov v brazdi podana kar z enačbo v2 = gλmax 2π ali λmax = 2πv2 g . Z naraščajočim kotom ϑ se valovne dolžine kraj- šajo. Slika 3 Poskus, kjer bi opazovali brazde pri različnih hi- trostih čolna, bi bil prezahteven. Najeti bi morali čoln z močnim motorjem in preko GPS sistema urav- navati njegovo hitrost. Zato smo se odločili, da bomo valovno brazdo izračunali. Račun je sicer pojmovno zahteven in terja kar nekaj računalniškega časa, a je kljub vsemu cenejši in zanesljivejši. Na tem mestu ga ne kaže podobno obravnavati. Slika 4a–f Brazde za čolnom, ki se začne gibati s konstan- tno hitrostjo v iz koordinatnega izhodišča do razda- lje vt, so prikazane na slikah 4 a-f. Na teh slikah so razdalje brezdimenzijske, normalizirane na vre- dnost vt. Razdalja AB je na slikah torej enaka 1, namesto koordinat x in y pa prikazujemo brezdi- menzijski koordinati ξ in η, pri čemer velja ξ = x vt , η = y vt . Za čas t smo izbrali 20 s, saj se v njem že lepo raz- vijejo stacionarne brazde. Fotografije najpogosteje prikazujejo brazdo za čolni ali ladjami, ki plujejo s hitrostmi okrog 4 ms−1. Pri teh ima brazda zna- čilno obliko z izrazitimi stranskimi valovi, med njimi pa vidimo valove, ki sledijo plovilu (glej slike 4a–c). Pri večjih hitrostih pa ne moremo spregledati vedno daljših stranskih valov, kar se kaže tudi na naših sli- kah, kjer so razdalje že skrajšane sorazmerno s hi- trostjo čolna. To razumemo, saj je največja valovna dolžina v brazdi sorazmerna s kvadratom hitrosti. Slika 5 3 jih ladja ali čoln še lahko vzbudita, ne morejo prese- gati njene hitrosti, saj mora v brazdi veljati v > c . Ker so najhitrejši prav dolgi valovi, je najdaljša va- lovna dolžina valov v brazdi podana kar z enačbo v2 = gλmax 2π ali λmax = 2πv2 g . Z naraščajočim kotom ϑ se valovne dolžine kraj- šajo. Slika 3 Poskus, kjer bi opazovali brazde pri različnih hi- trostih čolna, bi bil prezahteven. Najeti bi morali čoln z močnim motorjem in preko GPS sistema urav- navati njegovo hitrost. Zato smo se odločili, da bomo valovno brazdo izračunali. Račun je sicer pojmovno zahteven in terja kar nekaj računalniškega časa, a je kljub vsemu cenejši in zanesljivejši. Na tem mestu ga ne kaže podobno obravnavati. Slika 4a–f Brazde za čolnom, ki se začne gibati s konstan- tno hitrostjo v iz koordinatnega izhodišča do razda- lje vt, so prikazane na slikah 4 a-f. Na teh slikah so razdalje brezdimenzijske, normalizirane na vre- dnost vt. Razdalja AB je na slikah torej enaka 1, namesto koordinat x in y pa prikazujemo brezdi- menzijski koordinati ξ in η, pri čemer velja ξ = x vt , η = y vt . Za čas t smo izbrali 20 s, saj se v njem že lepo raz- vijejo stacionarne brazde. Fotografije najpogosteje prikazujejo brazdo za čolni ali ladjami, ki plujejo s hitrostmi okrog 4 ms−1. Pri teh ima brazda zna- čilno obliko z izrazitimi stranskimi valovi, med njimi pa vidimo valove, ki sledijo plovilu (glej slike 4a–c). Pri večjih hitrostih pa ne moremo spregledati vedno daljših stranskih valov, kar se kaže tudi na naših sli- kah, kjer so razdalje že skrajšane sorazmerno s hi- trostjo čolna. To razumemo, saj je največja valovna dolžina v brazdi sorazmerna s kvadratom hitrosti. Slika 5 3 jih ladja ali čoln še lahko vzbudita, ne morejo prese- gati njene hitrosti, saj mora v brazdi veljati v > c . Ker so najhitrejši prav dolgi valovi, je najdaljša va- lovna dolžina valov v brazdi podana kar z enačbo v2 = gλmax 2π ali λmax = 2πv2 g . Z naraščajočim kotom ϑ se valovne dolžine kraj- šajo. Slika 3 Poskus, kjer bi opazovali brazde pri različnih hi- trostih čolna, bi bil prezahteven. Najeti bi morali čoln z močnim motorjem in preko GPS sistema urav- navati njegovo hitrost. Zato smo se odločili, da bomo valovno brazdo izračunali. Račun je sicer pojmovno zahteven in terja kar nekaj računalniškega časa, a je kljub vsemu cenejši in zanesljivejši. Na tem mestu ga ne kaže podobno obravnavati. Slika 4a–f Brazde za čolnom, ki se začne gibati s konstan- tno hitrostjo v iz koordinatnega izhodišča do razda- lje vt, so prikazane na slikah 4 a-f. Na teh slikah so razdalje brezdimenzijske, normalizirane na vre- dnost vt. Razdalja AB je na slikah torej enaka 1, namesto koordinat x in y pa prikazujemo brezdi- menzijski koordinati ξ in η, pri čemer velja ξ = x vt , η = y vt . Za čas t smo izbrali 20 s, saj se v njem že lepo raz- vijejo stacionarne brazde. Fotografije najpogosteje prikazujejo brazdo za čolni ali ladjami, ki plujejo s hitrostmi okrog 4 ms−1. Pri teh ima brazda zna- čilno obliko z izrazitimi stranskimi valovi, med njimi pa vidimo valove, ki sledijo plovilu (glej slike 4a–c). Pri večjih hitrostih pa ne moremo spregledati vedno daljših stranskih valov, kar se kaže tudi na naših sli- kah, kjer so razdalje že skrajšane sorazmerno s hi- trostjo čolna. To razumemo, saj je največja valovna dolžina v brazdi sorazmerna s kvadratom hitrosti. Slika 5 3 jih ladja ali čoln še lahko vzbudita, ne morejo prese- gati njene hitrosti, saj mora v br zdi veljati v > c . Ker so aj itrejši pr v d lgi valovi, je najdaljša va- lovna dolžina valov v brazdi podana kar z enačbo v2 = gλmax 2π ali λmax = 2πv2 g . Z naraščajočim kotom ϑ se valovne dolžine kraj- šajo. Slika 3 Poskus, kjer bi opazovali brazde pri različnih hi- trostih čolna, bi bil prez hteven. Najeti bi morali čoln z m č im motorjem in preko GPS sistema urav- navati njegovo hitrost. Zato smo se odločili, da bomo v lovno brazdo izračunali. Račun je sicer pojmovn z hteven in terja k r nekaj računalnišk ga časa, a je kljub vsemu cenejši i z nesljivejši. Na tem mestu ga ne kaže podobno obrav avati. Slika 4a–f Brazde za čolnom, ki se začne gibati s konstan- tno hitrostjo v iz koordinatnega izhodišča do razda- lje vt, so prika ane na slikah 4 a-f. Na teh slikah so razdalje brezdime zijske, normaliziran na vre- dnost vt. Razdalja AB je na slikah torej e aka 1, namesto koordinat x in y pa prikazujemo brezdi- menzijski k ordinati ξ in η, ri čemer v lja ξ = x vt , η = y vt . Za čas t smo izbrali 20 s, saj se v njem že lepo raz- vijejo stacionarne brazde. Fotografij najpog steje prikazujejo brazdo za čolni ali ladjami, ki pluj jo s hitrostmi okrog 4 ms−1. Pri teh ima brazda zna- čilno bliko z izraziti i stranskimi valovi, med njimi pa vidimo valove, ki sledijo plovilu (glej slike 4a–c). Pri ečjih hitr stih pa ne moremo spregledati vedno daljših stranskih valov, kar se kaže tudi na naših sli- k h, kjer so razdalje že skrajšane sorazmerno s hi- trostjo čolna. To razumemo, s j je največja valovna d lžina v br zdi soraz rna kvadr tom hitrosti. Slika 5 3 Presek 39 (2011/2012) 1 do lgi va lov i kr at ki v al ov i vt c x t A A vt ct B B ϑ 1 ϑ 1 14 f i z i k a slika 4a - 4e. Izračunani valovi za plovili z različnimi hitrostmi, ki so označene na posamezni sliki. Plovila so startala v koordinatnem izhodišču in potovala čas t = 20s s konstantno hitrostjo. • jih ladja ali čoln še lahko vzbudita, ne morejo prese- gati njene hitrosti, saj mora v brazdi veljati v > c . Ker so najhitrejši prav dolgi valovi, je najdaljša va- lovna dolžina valov v brazdi podana kar z enačbo v2 = gλmax 2π ali λmax = 2πv2 g . Z naraščajočim kotom ϑ se valovne dolžine kraj- šajo. Slika 3 Poskus, kjer bi opazovali brazde pri različnih hi- trostih čolna, bi bil prezahteven. Najeti bi morali čoln z močnim motorjem in preko GPS sistema urav- navati njegovo hitrost. Zato smo se odločili, da bomo valovno brazdo izračunali. Račun je sicer pojmovno zahteven in terja kar nekaj računalniškega časa, a je kljub vsemu cenejši in zanesljivejši. Na tem mestu ga ne kaže podobno obravnavati. Slika 4a–f Brazde za čolnom, ki se začne gibati s konstan- tno hitrostjo v iz koordinatnega izhodišča do razda- lje vt, so prikazane na slikah 4 a-f. Na teh slikah so razdalje brezdimenzijske, normalizirane na vre- dnost vt. Razdalja AB je na slikah torej enaka 1, namesto koordinat x in y pa prikazujemo brezdi- menzijski koordinati ξ in η, pri čemer velja ξ = x vt , η = y vt . Za čas t smo izbrali 20 s, saj se v njem že lepo raz- vijejo stacionarne brazde. Fotografije najpogosteje prikazujejo brazdo za čolni ali ladjami, ki plujejo s hitrostmi okrog 4 ms−1. Pri teh ima brazda zna- čilno obliko z izrazitimi stranskimi valovi, med njimi pa vidimo valove, ki sledijo plovilu (glej slike 4a–c). Pri večjih hitrostih pa ne moremo spregledati vedno daljših stranskih valov, kar se kaže tudi na naših sli- kah, kjer so razdalje že skrajšane sorazmerno s hi- trostjo čolna. To razumemo, saj je največja valovna dolžina v brazdi sorazmerna s kvadratom hitrosti. Slika 5 3 jih ladja ali čoln še lahko vzbudita, ne morejo prese- gati njene hitrosti, saj mora v brazdi veljati v > c . Ker so najhitrejši prav dolgi valovi, je najdaljša va- lovna dolžina valov v brazdi podana kar z enačbo v2 = gλmax 2π ali λmax = 2πv2 g . Z naraščajočim kotom ϑ se valovne dolžine kraj- šajo. Slika 3 Poskus, kjer bi opazovali brazde pri različnih hi- trostih čolna, bi bil prezahteven. Najeti bi morali čoln z močnim motorjem in preko GPS sistema urav- navati njegovo hitrost. Zato smo se odločili, da bomo valovno brazdo izračunali. Račun je sicer pojmovno zahteven in t ja kar nekaj računalniškega časa, a je kljub vsemu cenejši in zanesljivejši. Na tem estu ga e kaže podobn obrav avati. Slika 4a–f Brazde za čolnom, ki se začne gibati s konstan- tno hitrostjo v iz koordinatnega izhodišča do razda- lje vt, so prikazane na slikah 4 a-f. Na teh slikah so razdalje brezdimenzijske, normalizirane na vre- dnost vt. Razdalja AB je na slikah torej enaka 1, namesto koordinat x in y p prikazujemo brezdi menzijski k ordinati ξ i η, pri čemer velja ξ = x t , η = y vt . Za čas t smo izbrali 20 s, saj se v njem že lepo raz- vijejo stacionarne brazde. Fotografije najpogosteje prikazujejo brazdo za čolni ali ladjami, ki plujejo s hitrostmi okrog 4 ms−1. Pri teh ima brazda zna- čilno obliko z izrazitimi stranskimi valovi, med njimi pa vidimo val ve, ki sledijo plovilu (glej slike 4a–c). Pri večjih hitrostih pa ne moremo spr gledati vedno daljših stranskih valov, kar se kaže tudi na naših sli- kah, kjer so razdalje že skrajšane sor zmerno s hi trostj čolna. To razumemo, saj je največja valovna dolž na v br zdi sorazmerna s kvadratom hitrosti. Slika 5 3 presek 39 (2011/2012) 1 a) c) b) d) 15 f i z i k a slika 5. Zelo hiter čoln (v = 20ms—1) 4s po startu še ne razvije zelo dolgih valov, zato se zdi sled za njim ozka. V plitvi vodi je brazda tem ožja, čim hitrejša je šiba. Pri valovih v globoki vodi se zdi, da je širina brazde praktično neodvisna od hitrosti plovila. Va- lovi z različnimi valovnimi dolžinami za plovilom na- mreč interferirajo tako, da so velike amplitude zbra- ne vzdolž več ali manj enakih smeri glede na smer gibanja plovila, ne glede na njegovo hitrost. Pojav lahko povežemo z valovanjem na odprti gladini. Tam vidimo, da se hribi in doline premikajo dvakrat hi- treje kot mesta, kjer so amplitude valov največje. Pravimo, da grupa valov potuje počasneje kot valovi sami. Pri valovih v globoki vodi je grupna hitrost ravno polovica fazne hitrosti. Z opazovanjem brazd plovil v globoki vodi lahko določimo hitrosti plovil, če opazujemo obliko stran- skih valov v brazdi. V plitvi vodi je oblika brazde pri vseh hitrostih enaka, različna pa je njena odprtost. Pri zelo hitrih čolnih, ki vozijo s hitrostmi blizu 100 kmh−1, je brazda spet ozka. Zelo dolgi valovi, ki jih tak čoln sicer lahko vzbudi, se pojavijo zelo daleč za čolnom, tam pa jih težko opazimo (slika 5). 4 V plitvi vodi je brazda tem ožja, čim hitrejša je šiba. Pri valovih v globoki vodi se zdi, da je širina brazde praktično neodvisna od hitrosti plovila. Va- lovi z različnimi valovnimi dolžinami za plovilom na- mreč interferirajo tako, da so velike amplitude zbra- ne vzdolž več ali manj enakih smeri glede na smer gibanja plovila, ne glede na njegovo hitrost. Pojav lahko povežemo z valovanjem na odprti gladini. Tam vidimo, da se hribi in doline premikajo dvakrat hi- treje kot mesta, kjer so amplitude valov največje. Pravimo, da grupa valov potuje počasneje kot valovi sami. Pri valovih v globoki vodi je grupna hitrost ravno polovica fazne hitrosti. Z opazovanjem brazd plovil v globoki vodi lahko določimo hitrosti plovil, če opazujemo obliko stran- skih valov v brazdi. V plitvi vodi je oblika brazde pri vseh hitrostih enaka, različna pa je njena odprtost. Pri zelo hitrih čolnih, ki vozijo s hitrostmi blizu 100 kmh−1, je brazda spet ozka. Zelo dolgi valovi, ki jih tak čoln sicer lahko vzbudi, se pojavijo zelo daleč za čolnom, tam pa jih težko opazimo (slika 5). 4 jih ladja ali čoln še lahko vzbudita, ne morejo prese- gati njene hitrosti, saj mora v brazdi veljati v > c . Ker so najhitrejši prav dolgi valovi, je najdaljša va- lovna dolžina valov v brazdi podana kar z enačbo v2 = gλmax 2π ali λmax = 2πv2 g . Z naraščajočim kotom ϑ se valovne dolžine kraj- šajo. Slika 3 Poskus, kjer bi opazovali brazde pri različnih hi- trostih čolna, bi bil prezahteven. Najeti bi morali čoln z močnim motorjem in preko GPS sistema urav- navati njegovo hitrost. Zato smo se odločili, da bomo valovno brazdo izračunali. Račun je sicer pojmovno zahteven in terja kar nekaj računalniškega časa, a je kljub vsemu cenejši in zanesljivejši. Na tem mestu ga ne kaže podobno obravnavati. Slika 4a–f Brazde za čolnom, ki se začne gibati s konstan- tno hitrostjo v iz koordinatnega izhodišča do razda- lje vt, so prikazane na slikah 4 a-f. Na teh slikah so razdalje brezdimenzijske, normalizirane na vre- dnost vt. Razdalja AB je na slikah torej enaka 1, namesto koordinat x in y pa prikazujemo brezdi- menzijski koordinati ξ in η, pri čemer velja ξ = x vt , η = y vt . Za čas t smo izbrali 20 s, saj se v njem že lepo raz- vijejo stacionarne brazde. Fotografije najpogosteje prikazujejo brazdo za čolni ali ladjami, ki plujejo s hitrostmi okrog 4 ms−1. Pri teh ima brazda zna- čilno obliko z izrazitimi stranskimi valovi, med njimi pa vidimo valove, ki sledijo plovilu (glej slike 4a–c). Pri večjih hitrostih pa ne moremo spregledati vedno daljših stranskih valov, kar se kaže tudi na naših sli- kah, kjer so razdalje že skrajšane sorazmerno s hi- trostjo čolna. To razumemo, saj je največja valovna dolžina v brazdi sorazmerna s kvadratom hitrosti. Slika 5 3 jih ladja ali čoln še lahko vzbudita, ne orejo prese- gati njene hitrosti, saj ora v brazdi veljati v > c . Ker so najhitrejši prav dolgi valovi, je najdaljša va- lovna dolžina valov v brazdi podana kar z enačbo v2 = gλmax 2π ali λmax = 2πv2 g . Z naraščajoči koto ϑ se valovne dolžine kraj- šajo. Slika 3 Poskus, kjer bi opazovali brazde pri različnih hi- trostih čolna, bi bil prezahteven. Najeti bi orali čoln z očni otorje in preko GPS siste a urav- navati njegovo hitrost. Zato s o se odločili, da bo o valovno brazdo izračunali. Račun je sicer poj ovno zahteven in terja kar nekaj računalniškega časa, a je kljub vse u cenejši in zanesljivejši. Na te estu ga ne kaže podobno obravnavati. Slika 4a–f Brazde za čolno , ki se začne gibati s konstan- tno hitrostjo v iz koordinatnega izhodišča do razda- lje vt, so prikazane na slikah 4 a-f. Na teh slikah so razdalje brezdi enzijske, nor alizirane na vre- dnost vt. Razdalja AB je na slikah torej enaka 1, na esto koordinat x in y pa prikazuje o brezdi- enzijski koordinati ξ in η, pri če er velja ξ = x vt , η = y vt . Za čas t s o izbrali 20 s, saj se v nje že lepo raz- vijejo stacionarne brazde. Fotografije najpogosteje prikazujejo brazdo za čolni ali ladja i, ki plujejo s hitrost i okrog 4 s−1. Pri teh i a brazda zna- čilno obliko z izraziti i stranski i valovi, ed nji i pa vidi o valove, ki sledijo plovilu (glej slike 4a–c). Pri večjih hitrostih pa ne ore o spregledati vedno daljših stranskih valov, kar se kaže tudi na naših sli- kah, kjer so razdalje že skrajšane soraz erno s hi- trostjo čolna. To razu e o, saj je največja valovna dolžina brazdi soraz erna s kvadrato hitrosti. Slika 5 3 jih ladja ali čoln še lahko vzbudita, ne morejo prese- gati njene hitrosti, saj mora v br zdi veljati v > c . Ker so aj i ejši pr v d lgi valovi, je najdaljša va- lovna dolžina valov v brazdi podana kar z enačbo v2 = gλmax 2π ali λmax = 2πv2 g . Z naraščajočim kotom ϑ se valovne dolžine kraj- šajo. Slika 3 Poskus, kjer bi opazovali brazde pri različnih hi- trostih čolna, bi bil prez hteven. Najeti bi morali čoln z m č im motorjem in preko GPS sistema urav- navati njegovo hitrost. Zato smo se odločili, da bomo v lovno brazdo izračunali. Račun je sicer pojmovn z hteven in terja k r nekaj računalnišk ga časa, a je kljub vsemu cenejši i z nesljivejši. Na tem mestu ga ne kaže podobno obrav avati. Slika 4a–f Brazde za čolnom, ki se začne gibati s konstan- tno hitrostjo v iz koordinatnega izhodišča do razda lje vt, so prika ane na slikah 4 a-f. Na teh slikah so razdalje brezdime zijske, normaliziran na vre- dnost vt. Razdalja AB je na slikah to ej e aka 1, namesto koordinat x in y pa prikazujemo brezdi- menzijski k ordinati ξ in η, ri čemer v lja ξ = x vt , η = y vt . Za čas t smo izbrali 20 s, saj se v njem že lepo raz- vijejo stacionarne brazde. Fotografij najpog steje prikazujejo brazdo za čolni ali ladjami, ki pluj o s hitrostmi okrog 4 ms−1. Pri teh ima brazda zna- čilno bliko z izraziti i stranskimi valovi, med njimi pa vidimo valove, ki sledijo plovilu (glej slike 4a–c). Pri ečjih hitr stih pa ne moremo spregledati vedno daljših stranskih valov, kar se kaže tudi na naših sli- k h, kjer so razdalje že skrajšane sorazmerno s hi trostjo čolna. To razumemo, s j je največja valovna d lžina v br zdi soraz rna kvadr tom hitrosti. Slika 5 3 jih ladja ali čoln še lahko vzbudita, ne morejo prese- gati njene hitrosti, saj mora v br zdi veljati v > c . Ker so aj i ejši pr v d lgi valovi, je najdaljša va- lovna dolžina valov v brazdi podana kar z enačbo v2 = gλmax 2π ali λmax = 2πv2 g . Z naraščajočim kotom ϑ se valovne dolžine kraj- šajo. Slika 3 Poskus, kjer bi opazovali brazde pri različnih hi- trostih čolna, bi bil prez hteven. Najeti b morali čoln z m č im motorjem in preko GPS sistema urav- navati njegovo hitrost. Zato smo se odločili, da bomo v lovno brazdo zračunali. Račun je sicer pojmovn z hteven in terja k r nekaj računalnišk ga časa, a je kljub vsemu cenejši i z nesljivejši. Na tem mestu ga ne kaže podobno obrav avati. Slika 4a–f Brazde za čolnom, ki se začne gibati s konstan- tno hitrostjo v iz koord natnega izhodišča do razda lje vt, so prika ane na slikah 4 a-f. Na teh slikah so razdalje brezdime zijske, normaliziran na vre- dnost vt. Razdalja AB je na slikah to ej e aka 1, namesto koordinat x in y pa prikazujemo brezdi- menzijski k ordinati ξ in η, ri čemer v lja ξ = x vt , η = y vt . Za čas t smo izbrali 20 s, saj se v njem že lepo raz- vijejo stacionarne brazde. Fotografij najpog steje prikazujejo brazdo za čolni ali ladjami, ki pluj o s hitrostmi okrog 4 ms−1. Pri teh ima brazda zna- čilno bliko z izraziti i stranskimi valovi, med njimi pa vidimo valove, ki sledijo plovilu (glej slike 4a–c). Pri ečjih hitr stih pa ne moremo spregledati vedno daljših stranskih valov, kar se kaže tudi na naših sli- k h, kjer so razdalje že skrajšane sorazmerno s h trostjo čolna. To razumemo, s j je največja valovna d lžina v br zdi soraz rna kvadr tom hitrosti. Slika 5 3 www.presek.si www.dmfa.si Presek 39 (2011/2012) 1 e) r a z v e d r i l o 16 Nagradna kr ižanka presek 39 (2011/2012) 1 r a z v e d r i l o 17 n a g r a d n i r a z p i s • Črke iz označenih polj po vrsti zapišite na Preseku priloženo dopisnico, dodajte tudi svoje ime, priimek in naslov. Dopi- snice pošljite na Presekov naslov (poštni- na je že plačana) do 15. oktobra 2011, ko bomo izžrebali tri nagrajence, ki bodo za nagrado prejeli Presekov paket. Presek 39 (2011/2012) 1 Izidi poskusov – če ste pravilno izvedli poskuse, ste opazili naslednje. Izid prvega poskusa Čim več vode nalijemo v stekle- nico, tem višji je ton s katerim steklenica zapoje. Tr- ditev lahko zapišemo tudi tako: čim krajši je zračni stolpec v steklenici, tem višja je frekvenca s katero zapoje steklenica (glej nadaljevanje). Izid drugega poskusa Steklenica v kateri smo razto- pili šumečo tableto zapoje z nižjim tonom kot kon- trolna steklenica (t. j. steklenica v katero smo nalili enako vode, toda brez dodatka šumeče tablete). Raz- lika tonov je majhna, a opazna. Izid tretjega poskusa Po pihanju v prvo steklenico preko slamice sta višini tonov s katerima zapojeta steklenici zopet enaki. Za razumevanje poskusov potrebujemo najprej nekaj osnovnega znanja. Na kratko o zvoku Za nastanek zvoka potrebujemo zvočilo (na pri- mer struna na kitari). Nihanje zvočila povzroča sti- skanje in razpenjanje zraka. Takšna motnja v zraku se širi od zvočila po prostoru v obliki valovanja. Zvok je torej valovanje, ki ga slišimo. Pomembno spoznanje je, da pri zvoku vsi valovi potujejo tako rekoč z enako hitrostjo, ki v zraku znaša približno 340 m/s. V drugih plinih je hitrost zvoka lahko znatno drugačna. Odvisna je od vrste plina in od njegove temperature. Mislimo si, da mirujemo in opazujemo gibanje zračnih molekul, med tem ko gre mimo nas zvočni val. Ker vsi valovi potujejo z enako hitrostjo lahko sklepamo, da kratki valovi večkrat v sekundi zani- hajo zračne molekule kot dolgi valovi. Število niha- jev v časovni enoti imenujemo frekvenca. Zvočno va- lovanje z visoko frekvenco (t. j. visoki toni) ima to- rej krajšo valovno dolžino kot valovanje z nizko fre- kvenco (nizki toni). Zveza med hitrostjo valovanja c, valovno dolžino λ in frekvenco ν je c = λν Bralcem, ki bi radi izvedeli več o zvoku in o raz- ličnih nihanjih in valovanjih, priporočamo v branje knjigo Janeza Strnada Svet nihanj in valovanj, ki je pred kratkim izšla v zbirki Knjižnica Sigma [1]. Zakaj steklenica poje, ko pihamo preko njenega roba? Podrobna obravnava pokaže, da se steklenica na- polnjena z zrakom obnaša podobno kot vzmetno ni- halo: del zraka v vratu steklenice predstavlja maso, ki niha, del zraka v širokem delu pa vzmet, ki se sti- ska in razpenja (glej sliko). Slika 1 2 18 f i z i k a • gorazd planinšič Dobro uglašena steklenica o d g o v o r n a l o g e p o iz k u š e v a l n ic a d o m a kratk o zvoku Izidi poskusov – če ste pravilno izvedli poskuse, ste opazili naslednje. Izid prvega poskusa Čim več vode nalijemo v stekle- nico, tem višji je ton s katerim steklenica zapoje. Tr- ditev lahko zapišemo tudi tako: čim krajši je zračni stolpec v steklenici, tem višja je frekvenca s katero zapoje steklenica (glej nadaljevanje). Izid drugega poskusa Steklenica v kateri smo razto- pili šumečo tableto zapoje z nižjim tonom kot kon- trolna steklenica (t. j. steklenica v katero smo nalili enako vode, toda brez dodatka šumeče tablete). Raz- lika tonov je majhna, a opazna. Izid tretjega poskusa Po pihanju v prvo steklenico preko slamice sta višini tonov s katerima zapojeta steklenici zopet enaki. Za razumevanje poskusov potrebujemo najprej nekaj osnovnega znanja. Na kratko o zvoku Za nastanek zvoka potrebujemo zvočilo (na pri- mer struna na kitari). Nihanje zvočila povzroča sti- skanje in razpenjanje zraka. Takšna motnja v zraku se širi od zvočila po prostoru v obliki valovanja. Zvok je torej valovanje, ki ga slišimo. Pomembno spoznanje je, da pri zvoku vsi valovi potujejo tako rekoč z enako hitrostjo, ki v zraku znaša približno 340 m/s. V drugih plinih je hitrost zvoka lahko znatno drugačna. Odvisna je od vrste plina in od njegove temperature. Mislimo si, da mirujemo in opazujemo gibanje zračnih molekul, med tem ko gre mimo nas zvočni val. Ker vsi valovi potujejo z enako hitrostjo lahko sklepamo, da kratki valovi večkrat v sekundi zani- hajo zračne molekule kot dolgi valovi. Število niha- jev v časovni enoti imenujemo frekvenca. Zvočno va- lovanje z visoko frekvenco (t. j. visoki toni) ima to- rej krajšo valovno dolžino kot valovanje z nizko fre- kvenco (nizki toni). Zveza med hitrostjo valovanja c, valovno dolžino λ in frekvenco ν je c = λν Bralcem, ki bi radi izvedeli več o zvoku in o raz- ličnih nihanjih in valovanjih, priporočamo v branje knjigo Janeza Strnada Svet nihanj in valovanj, ki je pred kratkim izšla v zbirki Knjižnica Sigma [1]. Zakaj steklenica poje, ko pihamo preko njenega roba? Podrobna obravnava pokaže, da se steklenica na- polnjena z zrakom obnaša podobno kot vzmetno ni- halo: del zraka v vratu steklenice predstavlja maso, ki niha, del zraka v širokem delu pa vzmet, ki se sti- ska in razpenja (glej sliko). Slika 1 2 Izidi poskusov – če ste pravilno izvedli poskuse, ste opazili naslednje. Izid prvega poskusa Čim več vode nal jemo v stekle n co, tem višji je ton s katerim steklenica zapoje. Tr- ditev lahko zapišemo tudi tako: čim krajši je zračni stolpec v st klenici, tem viš a je frekvenca s katero zapoje steklenica (glej nadaljevanje). Izid drugega poskusa Steklenica v kateri smo razto pili šum čo tableto zapoje z nižjim ton m k t kon- trolna steklenic (t. j. steklenica v katero smo nalili en k v de, toda brez dodatk šumeče tablete). Raz- lika tonov je majhna, a opazna. Izid tretjega poskusa Po pihanju v p vo steklenico preko slamice sta višini tonov s katerima zapojeta steklenici zopet enaki. Z razumevanje poskusov potrebujemo najprej nekaj osnovnega znanja. Na kratko o zvoku Za nast nek zvoka potrebujemo zvočilo (na pr mer struna na kitari). Nih nje zvočila povzroča sti- kanje in razpenjanje zraka. Takšna motnja v zraku se ši i od zvočila po prostoru v obliki valovanja. Zvok je t rej valovanje, ki ga slišimo. Pomembn spoznanj je, da p i zv ku vsi valovi potujejo tako rekoč z enako hitrostjo, ki v zraku naš približno 340 m/s. V drugih plinih je hit ost zvoka lahko znatno drugačna. Odvisna je od vrste plina in od njegove temperature. Mislimo si, da miruje o in opazujemo gibanje zračnih molekul, med tem ko gre mimo nas zvočni va . Ker vsi valovi potujejo z enako hitrostjo lahko sklepamo, da kratki valovi večkr t sekundi zani hajo zračne molekule kot dolgi valovi. Šte ilo nih je v časovni en ti imenujemo frekvenca. Zvočno va lovanje z is ko frekve co (t. j. visoki toni) ima to rej krajšo valov o dolžino kot valovanje z nizko fre- kvenco (nizk t ni). Zveza med hitrostjo valovanja c, valovno dolžino λ in frekvenco ν je c = λν Bralcem, ki bi radi izvedeli več o zvoku in o raz- ličnih nihanjih in valovanjih, priporoč mo v bran knjigo Janeza Strnada Svet niha j in valovanj, ki je pred kratkim izšla v zbirki Knjižnica Sigma [1]. Zakaj steklenica poje, ko pihamo preko njenega roba? Podrobna obravnava pokaže, da se steklenica a polnjena zrakom obnaša podobno kot vzmetno ni- halo: del zrak v ratu steklenice predstavlja maso, ki n ha, del zr ka v širokem delu pa vzmet, ki se sti- ska in razpenja (glej sliko). Slika 1 2 Vsako nihalo ima svojo značilno frekvenco s ka- tero zaniha, če ga vzbudimo. Če udarimo po ustju steklenice z dlanjo, bo zrak v steklenici zanihal z značilno frekvenco. Lahko sklepamo, da je značilna frekvenca steklenice odvisna od oblike steklenice in od lastnosti plina v njej. Ko pihamo preko roba steklenice nastajajo v njej zračni vrtinci, v katerih se zrak neurejeno stiska in razpenja. Tako nastane mešanica zvočnih valov z različnimi valovnimi dolžinami in ustreznimi različ- nimi frekvencami. Tiste frekvence, ki so v bližini značilne frekvence steklenice močno vzbujajo niha- nje zraka v steklenici, zato se kmalu ojačijo in pre- vladajo nad ostalimi frekvencami. Steklenica, na ka- tero pihamo, torej poje z značilno frekvenco, ki je določena z obliko steklenice in lastnostmi plina v steklenici. Razlage izidov poskusov Prvi poskus: Opazili smo, da je ton s katerim zapoje steklenica tem višji, čim več vode dolijemo. Oblika steklenice (oziroma tistega dela steklenice, v katerem niha zrak) vpliva na značilno frekvenco steklenice. Izkaže se, da čim manjša je prostornina zraka v steklenici (brez vratu), tem večja je sila, ki jo potrebujemo za stiskanje zraka v njej. Če upora- bimo primerjavo je to tako, kot če bi pri vzmetnem nihalu pri enaki masi uporabili tršo vzmet. Nihalo s tršo vzmetjo bo zanihalo z višjo frekvenco. Z doda- janjem vode smo torej zmanjšali prostornino zraka v steklenici in s tem povečali značilno frekvenco s katero steklenica zapoje. Drugi poskus: Opazili smo, da je ton s katerim za- poje steklenica v kateri smo raztopili šumečo tableto nekoliko nižji kot ton s katerim zapoje enaka stekle- nica z enako dodane vode a brez šumeče tablete. Če bi sodili le na podlagi prejšnjega razmisleka, bi pričakovali, da bo steklenica v katero dodamo ta- bleto pela z nekoliko višjim tonom, saj tableta izpo- drine nekaj vode (spomnite se, da je bila višina vode v začetku v obeh steklenicah enaka). Očitno v tem primeru vpliva na izid poskusa še nekaj drugega po- leg dviga gladine tekočine. Med raztapljanjem šumeče tablete izhaja iz teko- čine plin ogljikov dioksid (CO2). Vemo, da je gostota CO2 večja od gostote zraka (temperatura in tlak sta ves čas približno enaka). Zato lahko sklepamo: ko CO2 napolni vso steklenico je masa plina v vratu ste- klenice nekoliko večja kot tedaj, ko je bil v stekle- nici zrak. Zopet uporabimo primerjavo z nihalom: vzmetno nihalo z večjo maso niha z nižjo frekvenco kot nihalo z manjšo maso, če je vzmet v obeh pri- merih enaka. Značilna frekvenca steklenice, ki je na- polnjena s CO2 je torej nekoliko nižja od enake ste- klenice napolnjene z zrakom, zato zapoje z nižjim tonom. Vpliv dviga gladine zaradi dodatka tablete je pri tem zanemarljiv. Podrobna analiza pokaže, da se zaradi spremembe plina nekoliko spremenijo tudi 3 kaj steklenica poje, ko piham preko njenega roba? presek 39 (2011/2012) 1 Vsako nihalo ima svojo značilno frekvenco s ka- tero zaniha, če ga vzbudimo. Če udarimo po ustju steklenice z dlanjo, bo zrak v steklenici zanihal z značilno frekvenco. Lahko sklepamo, da je značilna frekvenca steklenice odvisna od oblike steklenice in od lastnosti plina v njej. Ko pihamo preko roba steklenice nastajajo v njej zračni vrtinci, v katerih se zrak neurejeno stiska in razpenja. Tako nastane mešanica zvočnih valov z različnimi valovnimi dolžinami in ustreznimi različ- nimi frekvencami. Tiste frekvence, ki so v bližini značilne frekvence steklenice močno vzbujajo niha- nje zraka v steklenici, zato se kmalu ojačijo in pre- vladajo nad ostalimi frekvencami. Steklenica, na ka- tero pihamo, torej poje z značilno frekvenco, ki je določena z obliko steklenice in lastnostmi plina v steklenici. Razlage izidov poskusov Prvi poskus: Opazili smo, da je ton s katerim zapoje steklenica tem višji, čim več vode dolijemo. Oblika steklenice (oziroma tistega dela steklenice, v katerem niha zrak) vpliva na značilno frekvenco steklenice. Izkaže se, da čim manjša je prostornina zraka v steklenici (brez vratu), tem večja je sila, ki jo potrebujemo za stiskanje zraka v njej. Če upora- bimo primerjavo je to tako, kot če bi pri vzmetnem nihalu pri enaki masi uporabili tršo vzmet. Nihalo s tršo vzmetjo bo zanihalo z višjo frekvenco. Z doda- janjem vode smo torej zmanjšali prostornino zraka v steklenici in s tem povečali značilno frekvenco s katero steklenica zapoje. Drugi poskus: Opazili smo, da je ton s katerim za- poje steklenica v kateri smo raztopili šumečo tableto nekoliko nižji kot ton s katerim zapoje enaka stekle- nica z enako dodane vode a brez šumeče tablete. Če bi sodili le na podlagi prejšnjega razmisleka, bi pričakovali, da bo steklenica v katero dodamo ta- bleto pela z nekoliko višjim tonom, saj tableta izpo- drine nekaj vode (spomnite se, da je bila višina vode v začetku v obeh steklenicah enaka). Očitno v tem primeru vpliva na izid poskusa še nekaj drugega po- leg dviga gladine tekočine. Med raztapljanjem šumeče tablete izhaja iz teko- čine plin ogljikov dioksid (CO2). Vemo, da je gostota CO2 večja od gostote zraka (temperatura in tlak sta ves čas približno enaka). Zato lahko sklepamo: ko CO2 napolni vso steklenico je masa plina v vratu ste- klenice nekoliko večja kot tedaj, ko je bil v stekle- nici zrak. Zopet uporabimo primerjavo z nihalom: vzmetno nihalo z večjo maso niha z nižjo frekvenco kot nihalo z manjšo maso, če je vzmet v obeh pri- merih enaka. Značilna frekvenca steklenice, ki je na- polnjena s CO2 je torej nekoliko nižja od enake ste- klenice napolnjene z zrakom, zato zapoje z nižjim tonom. Vpliv dviga gladine zaradi dodatka tablete je pri tem zanemarljiv. Podrobna analiza pokaže, da se zaradi spremembe plina nekoliko spremenijo tudi 3 Vsako nihalo ima svojo značilno frekvenco s ka- tero zaniha, če ga vzbudimo. Če udarimo po ustju steklenice z dlanjo, bo zrak v steklenici zanihal z značilno frekvenco. Lahko sklepamo, da je značilna frekvenca steklenice odvisna od oblike steklenice in od lastnosti plina v njej. Ko pihamo preko roba steklenice nastajajo v njej zračni vrtinci, v katerih se zrak neurejeno stiska in razpenja. Tako nastane mešanica zvočnih valov z različnimi valovnimi dolžinami in ustreznimi različ- nimi frekvencami. Tiste frekvence, ki so v bližini značilne frekvence steklenice močno vzbujajo niha- nje zraka v steklenici, zato se kmalu ojačijo in pre- vladajo nad ostalimi frekvencami. Steklenica, na ka- tero pihamo, torej poje z značilno frekvenco, ki je določena z obliko steklenice in lastnostmi plina v steklenici. Razlage izidov poskusov Prvi poskus: Opazili smo, da je ton s katerim zapoje steklenica tem višji, čim več vode dolijemo. Oblika steklenice (oziroma tistega dela steklenice, v katerem niha zrak) vpliva na značilno frekvenco steklenice. Izkaže se, da čim manjša je prostornina zraka v steklenici (brez vratu), tem večja je sila, ki jo potrebujemo za stiskanje zraka v njej. Če upora- bimo primerjavo je to tako, kot če bi pri vzmetnem nihalu pri enaki masi uporabili tršo vzmet. Nihalo s tršo vzmetjo bo zanihalo z višjo frekvenco. Z doda- janjem vode smo torej zmanjšali prostornino zraka v steklenici in s tem povečali značilno frekvenco s katero steklenica zapoje. Drugi poskus: Opazili smo, da je ton s katerim za- poje steklenica v kateri smo raztopili šumečo tableto nekoliko nižji kot ton s katerim zapoje enaka stekle- nica z enako dodane vode a brez šumeče tablete. Če bi sodili le na podlagi prejšnjega razmisleka, bi pričakovali, da bo steklenica v katero dodamo ta- bleto pela z nekoliko višjim tonom, saj tableta izpo- drine nekaj vode (spomnite se, da je bila višina vode v začetku v obeh steklenicah enaka). Očitno v tem primeru vpliva na izid poskusa še nekaj drugega po- leg dviga gladine tekočine. Med raztapljanjem šumeče tablete izhaja iz teko- čine plin ogljikov dioksid (CO2). Vemo, da je gostota CO2 večja od gostote zraka (temperatura in tlak sta ves čas približno enaka). Zato lahko sklepamo: ko CO2 napolni vso steklenico je masa plina v vratu ste- klenice nekoliko večja kot tedaj, ko je bil v stekle- nici zrak. Zopet uporabimo primerjavo z nihalom: vzmetno nihalo z večjo maso niha z nižjo frekvenco kot nihalo z manjšo maso, če je vzmet v obeh pri- merih enaka. Značilna frekvenca steklenice, ki je na- polnjena s CO2 je torej nekoliko nižja od enake ste- klenice napolnjene z zrakom, zato zapoje z nižjim tonom. Vpliv dviga gladine zaradi dodatka tablete je pri tem zanemarljiv. Podrobna analiza pokaže, da se zaradi spremembe plina nekoliko spremenijo tudi 3 prožne lastnosti spodnjega dela steklenice, ki pred- stavlja vzmet. V našem primeru se izkaže, da ima CO2 nekoliko večjo stisljivost kot zrak, kar je tako, kot če bi tršo vzmet nadomestili z mehkejšo. Ta sprememba še dodatno vpliva na zmanjšanje zna- čilne frekvence steklenice. Tretji poskus: Opazili smo, da je po pihanju s sla- mico v prvo steklenico ton s katerim zapojeta ste- klenici zopet enak. S pihanjem smo nadomestili CO2 v steklenici z zrakom, ki smo ga izdihnili iz pljuč. Ker je v izdih- njenem zraku le približno 5% CO2, so lastnosti plina v steklenici po pihanju praktično enake kot preden smo vanjo vrgli tableto. Izid tega poskusa tudi pod- krepi privzetek, ki smo ga naredili pri prejšnji raz- lagi: sprememba višine tekočine v steklenici (zaradi dodane tablete) res zanemarljivo malo vpliva na spre- membo višine tona, saj sta po pihanju tona s kate- rima zapojeta steklenici enaka. 4 Literatura [1] J. Strnad, Svet nihanj in valovanj, Knjižnica Si- gma, 90, DMFA – založništvo, Ljubljana 5 19 zlage izidov poskusov Literatura r e š it e v b a r v n i s u d o k u s s t r a n i 7 • • • f i z i k a Presek 39 (2011/2012) 1 1 5 3 2 4 5 4 2 3 1 3 2 1 4 5 4 3 5 1 2 2 1 4 5 3 barbara rovšek 31.tekmovanje iz znanja fizike za Stefanova priznanja • V šolskem letu 2010/2011 je v organizaciji Dru- štva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije potekalo 31. tekmovanje osnovnošolcev iz znanja fizike za bronasta, srebrna in zlata Stefanova pri- znanja. Letos se je državno tekmovanje prvič odvi- jalo na treh mestih. Poleg dveh stalnih, Pedagoške fakultete v Ljubljani in Fakultete za naravoslovje in matematiko Univerze v Mariboru, so letos dr- žavno tekmovanje gostili tudi na Primorskem, na Osnovni šoli Dragomirja Benčiča – Brkina v Hrpe- ljah pri Kozini. Šolskega tekmovanja, ki je bilo 2. marca 2011, se je udeležilo 4455 učencev osmih razredov in 4342 učencev devetih razredov s 433-ih šol po Sloveniji. Podelili smo 2901 bronastih Stefanovih priznanj. Na področno tekmovanje se je uvrstilo 892 učencev osmih in 923 učencev devetih razredov. Slika 1 Področna tekmovanja so potekala 25. marca 2011 v 15-ih regijah, kar je v eni regiji več kot lansko leto. V posebnih kategorijah so tekmovali tudi učenci šol, na katerih izvajajo pouk fizike s fleksibilnim pred- metnikom. Na področnih tekmovanjih je prejelo sre- brna Stefanova priznanja 994 učencev. Državno tekmovanje za zlato Stefanovo priznanje je potekalo 9. aprila 2011 na Pedagoški fakulteti v Ljubljani, na Fakulteti za naravoslovje in matema- tiko v Mariboru in Osnovni šoli Dragomirja Benčiča – Brkina v Hrpeljah pri Kozini. Državnega tekmova- nja za zlato Stefanovo priznanje se je udeležilo 133 najboljših mladih fizikov iz osmih in 151 iz devetih razredov. Državno tekmovanje je najbolj naporno, naloge pa najtežje. Trajalo je štiri šolske ure. Po- lovico časa so tekmovalci reševali teoretične naloge, polovico časa so eksperimentirali. V obeh razredih skupaj so tekmovalci osvojili 113 zlatih priznanj. V 8. razredu je prejelo nagrade sedem učen- cev: 1. nagrada Aljaž Eržen, OŠ Ivana Tavčarja, Gorenja vas, mentorica Anica Podobnik 2. nagrada Rok Krumpak, OŠ Šmarje pri Jelšah, mentorica Martina Petauer Jure Marinko, OŠ Ledina, Ljubljana, mentorica Maja Glavič Egon Peršak, OŠ Lenart, mentor Daniel Divjak Nace Pintar, OŠ prof. dr. Josipa Plemlja, Bled, mentorica Helena Vojvoda 2 V šolskem letu 2010/2011 je v organizaciji Dru- štva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije potekalo 31. tekmovanje osnovnošolcev iz znanja fizike za bronasta, srebrna in zlata Stefanova pri- znanja. Letos se je državno tekmovanje prvič odvi- jalo na treh mestih. Poleg dveh stalnih, Pedagoške fakultete v Ljubljani in Fakultete za naravoslovje in matematiko Univerze v Mariboru, so letos dr- žavno tekmovanje gostili tudi na Primorskem, na Osnovni šoli Dragomirja Benčiča – Brkina v Hrpe- ljah pr Kozini. Šolskega tekmovanja, ki je bilo 2. marca 2011, se je udeležilo 4455 učencev osmih razredov in 4342 učencev devetih razredov s 433-ih šol po Sloveniji. Podelili smo 2901 bronastih Stefanovih priznanj. Na področno tekmovanje se je uvrstilo 892 učencev osmih in 923 učencev devetih razredov. Slika 1 Področna tekmovanja so potekala 25. marca 2011 v 15-ih regijah, kar je v eni regiji v č k t lansko leto. V posebnih kategorijah so tekmov li tudi učenci šol, na katerih izvajajo pouk fizike s fleksibilni pred metnikom. Na področ ih tekmovanjih je prejelo sre- brna Stefanova priznanja 994 učencev. Državno tekmovanje za zl to St fanovo priznanje je p tekalo 9. aprila 2011 na Pedagoški fakulteti v Ljubljani, na F kulteti za naravoslov e in matema- tik v M riboru in Osnovni šoli D ag mirja B nčiča – Brkina v Hrpeljah pri Kozini. Državnega tekm va- nja za zlato Stefanovo priznanje se je udeležilo 133 najboljših mladih fiziko iz osmih in 151 devetih razredov. Državno tekmovanje je najbolj naporno, naloge pa najtežje. Trajalo je štiri šolsk ure. Po lovico časa so tekmovalci reševali teoretične naloge, polovico časa so eksperimentirali. V obeh razredih skupaj so tekmovalci osvojili 113 zlatih priznanj. V 8. razredu je prejelo nagrade sedem učen- cev: 1. nagrada Aljaž Eržen, OŠ Ivana Tavčarja, Gorenja vas, mentorica Anica Podobnik 2. n grada Rok Krumpak, OŠ Šmarje pri Jelšah, mentorica Martina Petauer Jure Marinko, OŠ Ledina, Ljubljana, mentorica Maja Glavič Egon Peršak, OŠ Lenart, mentor Daniel Divjak Nace Pintar, OŠ prof. dr. Josipa Plemlja, Bled, mentorica Helena Vojvoda 2 l l t j i iji - t t ti , i i t l ij t l . t j l i j i t , i l t t f i- j . t j t j i i- j l t ti . l t l i , f lt t j lj i i lt t l j i t ti i i , l t - t j tili t i i i li i j i i - lj i i i. l t j , i j il . r , j l il i r r i ti r r -i l l iji. lili r ti t f i ri j. r t j j r til i i ti r r . li r t j t l . r -i r ij , r j i r iji t l l t . i t rij t li t i i l, t ri i j j i i il i r - t i . r i t ji j r j l r - r t f ri j . r t j l t t f ri j j t l . ril i f lt ti j lj i, lt ti r l j i t - ti ri r i i li irj i r i r lj ri i i. r t - j l t t f ri j j l il j lj i l i i i i i i ti r r . r t j j j lj r , l jt j . r j l j tiri l r . - l i t l i r li t r ti l , l i ri tir li. r r i j t l i jili l ti ri j. . j j l - : . r j , I rj , r j , t ri i i . r , rj ri J l , t ri rti t r J i , i , j lj , t ri j l i , rt, t r i l i j i , r f. r. J i l lj , l , t ri l j š s / r r š s r s š r s sr r r s s r r r s s š r s r r r s s r s r rs s š r r – r r r s e e e c se e e e ce ce s e ce ce e e e s š e e s s e c e e se e s ce ce s ce ce e e e c e s e c e e e e c s e se e s e ce c š e e s e s e e c e e e e s e e ce ce e e e e e e š e e s e e s š r c c – e e e e e se e e e š s e e e e e e e e e e š š s e c c s s e c eše e e c e e c c s s e s e e e e s s e c s r r r r l c e s e c c e e š e c e e e e c c š e e e s e e e c e e o ke e u 2010 2011 e v o gan zac u va a e a kov, fiz kov n a ono ov S oven e po eka o 31. ek ovan e o novno o cev z znan a fiz ke za b ona a, eb na n z a a S e anova p znan a. Le o e e d žavno ek ovan e p v č odv a o na eh e h. Po eg dveh a n h, Pedago ke aku e e v L ub an n Faku e e za na avo ov e n a e a ko n ve ze v a bo u, o e o d žavno ek ovan e go ud na P o ke na novn o ago a Benč ča B k na v pe ah p oz n . Šo k ga k ovan a, k b o 2. a a 2011, ud ž o 4455 uˇ n v o h az dov n 4342 uˇ n v d v h az dov 433 h o po S ov n . Pod o 2901 b ona h S anov h p znan . a pod oˇno k ovan uv o 892 uˇ n v o h n 923 uˇ n v d v h az dov. S ka 1 Pod oˇna k ovan a o po ka a 25. a a 2011 v 15 h g ah, ka v n g veˇ ko an ko o. V po bn h ka go ah o k ova ud uˇ n o , na ka h zva a o pouk fiz k fl k b n p d n ko . a pod oˇn h k ovan h p o b na S anova p znan a 994 uˇ n v. žavno k ovan za z a o S e anovo p znan po ka o 9. ap a 2011 na P dago k aku v L ub an , na Faku za na avo ov n a a ko v a bo u n novn o ago a Benˇ ˇa B k na v p ah p Koz n . žavn ga k ova n a za z a o S anovo p znan ud ž o 133 na bo h ad h fiz kov z o h n 151 z d v h az dov. žavno k ovan na bo napo no, na og pa na ž . T a a o o ke u . Po ov o ˇa a o k ova va o ˇn na og , po ov o ˇa a o k p n a . V ob h az d h kupa o k ova o vo 113 z a h p znan . az e e e e a a e se e ce cev 1 až Eržen, Š vana Tavˇa a, o n a va , n o a n a Podobn k 2 n g ada Rok Kru pak, Š Š a p ah, n o a a na P au ure ar nko, Š L d na, L ub ana, n o a a a av ˇ Egon Per ak, Š L na , n o an v ak ace P ntar, Š p o . d . o pa P a, B d, n o a na Vo voda 2 V l l j i iji D - i i i l ij l j l i j i i l i- j j j i i- j l i l l i l j lj i i l l j i i U i i l - j ili i i , i li D i j i i H - lj i K i i l j i j il j l il i i i -i l l iji lili i i i j N j j il i i i li j l -i ij j i iji l l i ij li i i l i i j j i i il i - i N i ji j j l - i j D j l i j j l il i l i j lj i l i l j i - i i i O i li D i j i i H lj i i i D - j l i j j l il j lj i l i i i i i i i D j j j lj l j j j l j i i l - l i l i li i l l i i i li i j l i jili l i i j V 8 du j p j lo n g d d uˇ n . A O I j G j i A i i . a m O j i l i i O i j lj i j Gl i O D i l Di j N O i l lj l i H l j š ls m l t / j r i iji r - št m t m ti , i i str m l ij t l . t m j s š l i j i r st , sr r i l t t f ri- j . t s s j r t m j r i i- j l tr m sti . l st l i , š f lt t j lj i i lt t r sl j i m t m ti i r M ri r , s l t s r- t m j stili t i rim rs m, Os i š li r mirj i – r i r - lj ri i i. ls e te m j , i je il . m rc , se je ele il ce ce smi r re i ce ce e eti r re s -i š l l e iji. elili sm r sti tef i ri j. r c te m je se je rstil ce ce smi i ce ce e eti r re . li r c te m j s te l . m rc -i re ij , r je e i re iji c t l s let . se i te rij s te m li t i ce ci š l, teri i j j i e s e si il im re - met i m. r c i te m ji je rejel sre- r tef ri j ce ce . r te m je l t t f ri je je te l . ril e š i f lteti j lj i, lteti r sl je i m tem - ti M ri r i s i š li r mirj cic – r i r elj ri i i. r e te m - j l t tef ri je se je ele il j ljši ml i i i smi i i e eti r re . r te m je je j lj r , l e jte je. r j l je štiri š ls re. - l ic c s s te m lci reše li te retic e l e, l ic c s s e s erime tir li. e r re i s j s te m lci s jili l ti ri j. . r r j r j l r m - : lj , I c rj , re j s, me t ric ic i . r , m rje ri Jelš , me t ric M rti et er J M i , e i , j lj , me t ric M j l ic š , e rt, me t r iel i j i , r f. r. J si lemlj , le , me t ric ele j o e e 2010 2011 e o ga zac a a e a o z o a o o o S o e e o e a o 31 e o a e o o o o ce z z a a z e za o a a e a z a a S e a o a z a a Le o e e ža o e o a e č o a o a e e Po eg e a Pe ago e a e e L a Fa e e za a a o o e a e a o e ze a o o e o ža o e o a e go a P o e a o o ago a e č ča a e a oz Šo k ga k ova a k b o 2 a a 2011 ž o 4455 ˇ v o az ov 4342 ˇ v v az ov 433 o o S ov Po o 2901 b o a S a ov z a a o oˇ o k ova v o 892 ˇ v o 923 ˇ v v az ov S ka 1 Po oˇ a k ova a o o ka a 25 a a 2011 v 15 g a ka v g veˇ ko a ko o o b ka go a o k ova ˇ o a ka zva a o o k z k k b ko a o oˇ k ova o b a S a ova z a a 994 ˇ v žav o k ova za z a o S e a ovo z a o ka o 9 a a 2011 a P ago k ak v L b a a Fak za a avo ov a a ko v a bo ov o ago a Be ˇ ˇa B k a v a oz žav ga k ova a za z a o S a ovo z a ž o 133 a bo a z kov z o 151 z v az ov žav o k ova a bo a o o a og a a ž a a o o ke Po ov o ˇa a o k ova va o ˇ a og o ov o ˇa a o k a ob az k a o k ova o vo 113 z a z a s c c v ž Erže Š va a avˇa a o a va o a a Po ob k n g a a r p Š Š a a o a a a P a re r Š L a L b a a o a a a av ˇ E Per Š L a o a v ak ce P t r Š o o a P a B o a a o vo a 2 V l k l tu j v ni iji D u- tv t tik v, fi ik v in t n v l v nij p t k l . t k v nj n vn l v i n nj fi ik b n t , b n in l t t f n v p i- n nj . t j d vn t k v nj p vi dvi- j l n t h tih. l dv h t lnih, d k f kult t v jublj ni in kult t n v l vj in t tik Univ v ib u, l t d - vn t k v nj tili tudi n i k , n n vni li D i j B n i B kin v H p - lj h p i K ini. l t nj , i j il . r , j ud l il u n ih r r d in u n d tih r r d -ih l p l niji. d lili r n tih t f n ih pri n nj. N p dr n t nj j u r til u n ih in u n d tih r r d . li dr n t nj p t l . r -ih r ij h, r j ni r iji t l n l t . V p nih t rij h t li tudi u n i l, n t rih i j j p u fi i fl i ilni pr d- tni . N p dr nih t njih j pr j l r - rn t f n pri n nj u n . Dr n t nj l t t f n pri n nj j p t l . pril n d i f ult ti ju lj ni, n ult ti n r l j in t - ti ri ru in O n ni li Dr irj n i r in Hrp lj h pri K ini. Dr n t - nj l t t f n pri n nj j ud l il n j lj ih l dih fi i i ih in i d tih r r d . Dr n t nj j n j lj n p rn , n l p n jt j . Tr j l j tiri l ur . - l i t l i r li t r ti n n l , p l i p ri ntir li. V h r r dih up j t l i jili l tih pri n nj. V 8. az edu je p ejelo nag ade ede uˇen- e : 1. r A ja n, O I n T rj , G r nj , nt ri Ani d ni 2. a r d Rok K um ak, O rj pri J l h, nt ri rtin t u r Ju a inko, O din , ju lj n , nt ri j Gl i gon ak, O n rt, nt r D ni l Di j Na in a , O pr f. dr. J ip l lj , l d, nt ri H l n V j d š s / r r š s r s š r s sr r r s s r r r s s š r s r r r s s r s r rs s š r r – r r r s e e e c se e e e ce ce s e ce ce e e e s š e e s s e c e e se e s ce ce s ce ce e e e c e s e c e e e e c s e se e s e ce c š e e s e s e e c e e e e s e e ce ce e e e e e e š e e s e e s š c c – e e e e e se e e e š s e e e e e e e e e e š š s e c c s s e c eše e e c e e c c s s e s e e e e s s e c s r r r r l c e s e c c e e š e c e e e e c c š e e e s e e e c e e , . , . . , , , . , . , . . . . , e . , . . e . , e . . , . e . , . . nag ada , , , , , , , , , , , . . , , V šolskem letu 2010/2011 je v organizaciji Dru- štva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije potekalo 31. tekmovanje osnovnošolcev iz znanja fizike za bronasta, srebrna in zlata Stefanova pri- znanja. Letos se je državno tekmovanje prvič odvi- jalo na treh mestih. Poleg dveh stalnih, Pedagoške fakultete v Ljubljani in Fakultete za naravoslovje in matematiko Univerze v Mariboru, so letos dr- žavno tekmovanje gostili tudi na Primorskem, na Osnovni šoli Dragomirja Benčiča – Brkina v Hrpe- ljah pri Kozini. Šolskega tekmovanja, ki je bilo 2. marca 2011, se je udeležilo 4455 učencev osmih razredov in 4342 učencev devetih razredov s 433-ih šol po Sloveniji. Podelili smo 2901 bronastih Stefanovih priznanj. Na področno tekmovanje se je uvrstilo 892 učencev osmih in 923 učencev devetih razredov. Slika 1 Področna tekmovanja so potekala 25. marca 2011 v 15-ih regijah, kar je v eni regiji več kot lansko leto. V posebnih kategorijah so tekmovali tudi učenci šol, na katerih izvajajo pouk fizike s fleksibilnim pred- metnikom. Na področnih tekmovanjih je prejelo sre- brna Stefanova priznanja 994 učencev. Državno tekmovanje za zlato Stefanovo priznanje je potekalo 9. aprila 2011 na Pedagoški fakulteti v Ljubljani, na Fakulteti za naravoslovje in matema- tiko v Mariboru in Osnovni šoli Dragomirja Benčiča – Brkina v Hrpeljah pri Kozini. Državnega tekmova- nja za zlato Stefanovo priznanje se je udeležilo 133 najboljših mladih fizikov iz osmih in 151 iz devetih razredov. Državno tekmovanje je najbolj naporno, naloge pa najtežje. Trajalo je štiri šolske ure. Po- lovico časa so tekmovalci reševali teoretične naloge, polovico časa so eksperimentirali. V obeh razredih skupaj so tekmovalci osvojili 113 zlatih priznanj. V 8. razredu je prejelo nagrade sedem učen- cev: 1. nagrada Aljaž Eržen, OŠ Ivana Tavčarja, Gorenja vas, mentorica Anica Podobnik 2. nagrada Rok Krumpak, OŠ Šmarje pri Jelšah, mentorica Martina Petauer Jure Marinko, OŠ Ledina, Ljubljana, mentorica Maja Glavič Egon Peršak, OŠ Lenart, mentor Daniel Divjak Nace Pintar, OŠ prof. dr. Josipa Plemlja, Bled, mentorica Helena Vojvoda 2 V šolskem letu 2010/2011 je v organizaciji Dru- štva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije potekalo 31. tekmovanje osnovnošolcev iz znanja fizike za bronasta, srebrna in zlata Stefanova pri- znanja. Letos se je državno tekmovanje prvič odvi- jalo na treh mestih. Poleg dveh stalnih, Pedagoške fakultete v Ljubljani in Fakultete za naravoslovje in matematiko Univerze v Mariboru, so letos dr- žavno tekmovanje gostili tudi na Primorskem, na Osnovni šoli Dragomirja Benčiča – Brkina v Hrpe- ljah pri Kozini. Šolsk ga tekmovanja, ki je bilo 2. marca 2011, se je udeležilo 4455 uč ncev osmih razred v in 4342 učencev devetih razredov s 433-ih šol o Sloveniji. P elili smo 2901 bronastih Stefanovih priznanj. Na področ o tekmovanje se je uvrstil 892 učencev osmih in 923 učencev devetih razredov. Slika 1 Področna tekmovanja so potekala 25. marca 2011 v 15-ih regijah, kar je v eni regiji eč kot lansko leto. V posebnih kategorijah so tekmovali tudi učenci šol, na katerih izvajajo pouk fizike s fleksibilnim pred metnikom. Na področ ih tekmovanjih je prejelo sre- brna Stefanova priznanja 994 učencev. Državno tekmovanje za zl to Stefanovo priznanje je potekalo 9. prila 2011 na Pedagoški fakul ti v Ljubljani, na Fakulteti za naravoslovje n matema- tiko v Mariboru in Osnovni šoli Dr gomirja Benčiča – Brkina v Hrp ljah pri Kozini. Državnega tekmova- ja za zlato Stefanovo priznanje se je udeležilo 133 najboljših mladih fizikov iz osmih i 151 iz devetih razredov. Državno tekmovanje je najbolj naporn , naloge pa najtežje. Trajalo je štiri šolske ure. Po- lovico časa o tekmovalci r šev teoretične naloge, polovico časa s eksperimentirali. V obeh razredih skupaj so tekmovalci osvojili 113 zlatih priznanj. V 8. razredu je prejelo nagrade sedem učen- cev: 1. nagrada Aljaž Erže , OŠ Ivana Tavčarja, Gorenja vas, mentorica Anica Podobnik 2. nagrada Rok Krumpak, OŠ Šmarje pri Jelšah, mentorica Martina Petauer Jure M rinko, OŠ Ledina, Ljubljana, mentorica Maja Glavič Egon erš k, Š Lenart, mentor Dani l Divjak Nace P ntar, OŠ prof. dr. Josipa Plemlja, Bled, mentorica Helena Vojvoda 2 V šolskem letu 2010/2011 je v organizaciji Dru- štva matematikov, fizikov in astr n mo Slovenije potekalo 31. tekmovanje osnovnošolcev iz znanja fizike za bronasta, srebr a in zlata Stefanova pri- znanja. Letos se je državno tekmovanje prvič dvi- jalo na treh mestih. Poleg dveh stalnih, Pedag ške fakultete v Ljubljani in Fakultete za naravoslovje in matematiko Univerze v Mariboru, so letos dr- žavno tekmovanje gostili tudi na Primorskem, na Osnovni šoli Dragomirja Benčiča – Brkina v Hrpe- ljah pri Kozini. Šolskega tekmovanja, ki je bilo 2. marca 2011, se je udeležilo 4455 učencev osmih razredov in 4342 učencev devetih razredov s 433-ih šol po Sloveniji. Podelili smo 2901 bronastih Stefanovih priznanj. Na področno tekmovanje se je uvrstilo 892 učencev osmih in 923 učencev devetih razredov. Slika 1 Področna tekmovanja so potekala 25. marca 2011 v 15-ih regijah, kar je v eni regiji več kot lansko leto. V posebnih kategorijah so tekmovali tudi učenci šol, na katerih izvajajo pouk fizike s fleksibilnim pred- metnikom. Na področnih tekmovanjih je prejelo sre- brna Stefanova priznanja 994 učencev. Državno tekmovanje za zlato Stefanovo priznanje je potekalo 9. aprila 2011 na Pedagoški fakulteti v Ljubljani, na Fakulteti za naravoslovje in matema- tiko v Mariboru in Osnovni šoli Dragomirja Benčiča – Brkina v Hrpeljah pri Kozini. Državnega tekmova- nja za zlato Stefanovo priznanje se je udeležilo 133 najboljših mladih fizikov iz osmih in 151 iz devetih razredov. Državno tekmovanje je najbolj naporno, naloge pa najtežje. Trajalo je štiri šolske ure. Po- lovico časa so tekmovalci reševali teoretične naloge, polovico časa so eksperimentirali. V obeh razredih skupaj so tekmovalci osvojili 113 zlatih priznanj. V 8. razredu je prejelo nagrade sedem učen- cev: 1. nagrada Aljaž Eržen, OŠ Ivana Tavčarja, Gorenja vas, mentorica Anica Podobnik 2. nagrada Rok Krumpak, OŠ Šmarje pri Jelšah, mentorica Martina Petauer Jure Marin o, OŠ Ledina, Ljublja a, mentorica M ja Glavič Egon Perš k, Š Lenart, mentor Daniel Divjak Nace Pintar, OŠ prof. dr. Josipa Plemlja, Bled, mentorica Helena Vojvoda 2 k n a O , o o v . , n . o . , o , , . , . , . . . . , . , . . . , . . , . . , . . , , , , , , , , , , , . . , , šols e let 2010/2011 je orga izaciji r - št a ate ati o , zi o i astr o Slo e ije ote alo 31. te o a je os o ošolce iz z a ja zi e za ro asta, sre r a i zlata Stefa o a ri- z a ja. Letos se je rža o te o a je r ič i- jalo a tre esti . Poleg e stal i , Pe ag š e fa ltete Lj lja i i Fa ltete za ara oslo je i ate ati o i erze ari or , so letos r- ža o te o a je gostili t i a Pri ors e , a s o i šoli rago irja e čiča – r i a r e- lja ri ozi i. Šolsk ga t k ova ja, ki je bilo 2. arca 2011, se je eležil 4455 č cev os i razre v i 4342 če cev eveti r zr ov s 433-i š l o Slove iji. P elili s o 2901 bro asti Stefa ovi riz a j. a o roč o tek ova je se je vrstil 892 če cev os i i 923 če cev eveti razre ov. Slika 1 P roč a tek va ja so otekala 25. arca 2011 v 15-i egija , kar je v e i regiji eč ot la sko leto. oseb i k tego ija so tek ovali t i če ci šol, a kateri izvajajo o k zike s ksibil i re - et iko . a o roč i tek va ji je rejelo sre- br a Stefa ova riz a ja 994 če cev. ržav o tek ova je zl to Stefa ovo riz a je je otek lo 9. rila 2011 a Pe agoški f k lt ti v Lj blja i, a Fak lteti za aravoslo je i ate - tiko v ribor i s ov i šoli r go irja Be čiča – Brki a v r lja ri o i i. ržav ega tek ova- ja za zlato Stefa ovo riz a je se je eležilo 133 jboljši la i zikov iz os i i 151 iz veti razre ov. ržav o tek ova je je ajbolj a or , al ge a ajtežj . rajalo je štiri šolske re. Po- lovico časa o tek ovalci r šev li teoretič e aloge, olovico časa s eks eri e tirali. obe razre i sk aj so tek ovalci osv jili 113 zlati riz a j. . r r j r j l r s c - c v: . nagra a lj ž Erže , Š Iva a avčarja, ore ja vas, e torica ica Po ob ik . nagra a r p , Š arje ri Jelša , e t ric rti a Peta er J re ri , Š Le i a, Lj blj a, e torica ja lavič E erš Š Le art, e tor a i l ivjak ce Pi t r, Š rof. r. Josi a Ple lja, Ble , e torica ele a ojvo a 2 presek 39 (2011/2012) 1 i. nagrada ii. nagr da r r je prejelo nagrade s dem učencev: slika 1. P d te movanje v Hrpeljah 20 t e k m o v a n j a 3. nagrada Rok Borovničar, OŠ Lucija, mentorica Lijana Turk Lovro Pečnik, OŠ Jurija Dalmatina, Krško, men- torica Petra Trupej V 9. razredu je prejelo nagrade osem učen- cev: 1. nagrada Luka Lodrant, OŠ Franja Goloba, Prevalje, men- torica Marija Sirk Polanšek 2. nagrada Gregor Ekart, OŠ Janka Glazerja, Ruše, mentor Anton Cencič Miha Rihtaršič, OŠ Ivana Groharja, Škofja Loka, mentorica Majda Jeraj Urban Stanič, OŠ Vodmat, Ljubljana, mentorica Majda Šebenik 3. nagrada Matevž Poljanc, OŠ Križe, mentorica Neža Po- ljanc Žan Štokar, OŠ Jožeta Gorjupa, Kostanjevica na Krki, mentor Saša Silič Lenart Treven, OŠ Žiri, mentorica Ina Čarić Jakob Jazbec, OŠ Srečka Kosovela, Sežana, men- torica Mojca Štembergar Slika 2 Zahvaljujemo se vsem, ki so pripomogli k uspešni izvedbi šolskih, področnih in državnih tekmovanj, mladim tekmovalkam in tekmovalcem ter njihovim mentorjem pa iskreno čestitamo za dosežene rezul- tate. 3 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , . 3. nagrada Rok Borovničar, OŠ Lucija, mentorica Lijana Turk L vro Pečnik, OŠ Jurija Dalmatina, Krško, men- torica Petra Trupej V 9. razredu je prejelo nagrade osem učen- cev: 1. nagrada Luka Lodrant, OŠ Franja Goloba, Prevalje, men- torica Marija Sirk Polanšek 2. nagrada Gregor Ekart, OŠ Janka Glazerja, Ruše, mentor Anton Cencič Miha Rihtaršič, OŠ Ivana Groharja, Škofja Loka, mentorica Majda Jeraj Urban Sta ič, OŠ Vodmat, Ljubljana, mentorica Majda Šebenik 3. nagrada Matevž Poljanc, OŠ Križe, mentorica Neža Po- lj c Žan Štokar, OŠ Jožeta Gorjupa, Kostanjevica na Krki, mentor Saša Silič Lenart Treven, OŠ Žiri, ment ric Ina Čarić Jakob Jazbec, OŠ Srečka Kosovela, Sežana, men- torica Mojca Štembergar Slika 2 Zahvaljujemo se vsem, ki so pripomogli k uspešni izvedbi šolskih, področnih in državnih tekmovanj, ladim tekmovalkam in tekmovalcem ter njihovim mentorjem pa iskreno čestitamo za dosežene rezul- tate. 3 o n 3. nagrada Rok Borovničar, OŠ Lucija, mentorica Lijana Turk L vro Pečnik, OŠ Jurija Dalmatina, Krško, men- torica Petra Trupej V 9. razredu je prejelo nagrade osem učen- cev: 1. nagrada Luka Lodr nt, OŠ Franja Goloba, Prevalje, men- torica Marija Sirk Polanšek 2. nagrada Gregor Ekart, OŠ Janka Glazerja, Ruše, mentor Anton Cencič Mih R htaršič, OŠ Ivana Groharja, Škofja Loka, mentorica Majda Jeraj Urban Sta ič, OŠ Vodmat, Ljubljana, mentorica Majda Šebenik 3. nagrada Matevž Poljanc, OŠ Križe, mentorica Neža Po- lj c Ža Štoka , OŠ Jožeta Gorjupa, Kostanjevica na Kr i, mentor Saša Silič Lenart Treven, OŠ Žiri, ment ric Ina Čarić Jakob Jazbec, OŠ S ečka Kosovela, Sežana, men- torica Mojca Štembergar Slika 2 Zahvaljujemo se vsem, ki so p ipomogli uspešni izve bi šolskih, področnih in državnih tekmovanj, ladim tekmovalkam in tekmovalcem ter jihovim mentorjem pa iskreno čestitamo za dosežene rezul- tate. 3 . r i , cij , e t ric ij r i , J rij l ti , rš , e - t ric etr r ej . r r j r j l r - : . r , r j l , re lje, e - t ric rij ir l še . r , J l erj , še, e t r t e cic i ši , I r rj , fj , e t ric j Jer j i , t, j lj , e t ric j e e i . r lj , Š ri e, e t ric e a - lja c , J et rj , st je ic r i, e t r š ilic , iri, e torica I ric J J , ec s el , e , e - t ric jc te er r li lj je se se , i s i li s eš i i e i š ls i , r i i r i t j, l i te l i te lce ter ji i e t rje is re cestit se e e re l- t te. 3. nagrada R k Borovničar, OŠ Lu ija, m nto i a Lijana Turk L vro Pečnik, OŠ Jurija Dalmatina, Kr ko, m n- tori a P tra Trup j V 9. az edu je p ejelo nag ade ose učen- cev: 1. nagrada Luka Lodrant, OŠ Franja Goloba, Pr valj , m n- tori a Marija Sirk Polan k 2. nagrada Gregor Ek t, OŠ Janka Glaz rja, Ru , m ntor Anton C n iˇ Mih Rihtar ič, OŠ Ivan Groharja, Škofja Loka, m ntori a Majda J raj Urban Sta ič, OŠ Vodmat, Ljubljana, m ntori a Majda Š b nik 3. n grada Matevž Po janc, O Križ , m ntori N ž Po- lj n Ža Š okar, OŠ Jož ta Gorjupa, Ko tanj vi a na Krki, m ntor Sa a Siliˇ Lenart Treven, OŠ Žiri, m nt ri Ina Čari´ Jakob Jazbec, OŠ Sr ˇka Ko ov la, S žana, m n- tori a Moj a Št mb rgar Slika 2 Zahvaljuj mo v m, ki o pripo ogli k u p ni izv dbi ol kih, podro nih in drž vnih t kmovanj, ladim t kmovalkam in t kmoval m t r njihovim m ntorj m pa i kr no ˇ titamo za do ž n r zul- tat . 3 . , cij , e ic ij o , ij l i , š , e - ic e ej r r j r j l r m . , j l , e lje, e - ic ij i l še . , l e j , še, e e cic a š , I a j , j , e ic j e j n , , j lj , e ic j e e i . l , Š i e, e ica e a - lja c t , e j , s je ic i, e š ilic , i i, e o ica I ic , ec s el , e , e - ic jc e e li lj je se se , i s i li s eš i i e i š ls i , i i i j, ml i e l i e lce e ji i e je is e ces i se e e e l- e. 3. nagrada Rok Borovničar, OŠ Lucija, mentorica Lijana Turk L v o Pečnik, OŠ Jurija Dalmatina, K ško, men- torica Petra Trupej V 9. r zredu je prejelo n gr de osem uče cev: 1. nagrada Luka Lodrant, OŠ Franja Goloba, Prevalje, men- toric Marija Sirk Polanšek 2. nagr da Gregor Ek rt, OŠ J ka Glazerja, Ruše, mentor Anton Cencič Miha Riht šič, OŠ Ivana Groharja, Škofja Loka, mentorica Majda Jeraj U b Stanič, Š Vodmat, Ljubljana, mentorica ajda Šebenik 3. n gr da tevž Poljanc, OŠ Križe, mentorica Neža Po- lj nc Ž n Štokar, OŠ Jožeta Gorjupa, Kostanjevica na Krki, ment r Saša Silič Le ar Treve , OŠ Žiri, m ntorica Ina Čarić J kob Jazbec, OŠ Sr čka Kosovela, Sežana, men- torica Mojca Štembergar Slik 2 Zahvaljujemo se vsem, ki so pripomogli k uspešni izvedbi šolskih, področnih in državnih tekmovanj, mladim tekmovalkam in tekmovalce ter njihovim mentorjem pa iskreno estitamo z dosež ne rezul- tate. 3 Presek 39 (2011/2012) 1 i. nagrada ii. nagrada iii. n grada iii. nagrada V 9. razr du je prejelo nagrade osem učencev: slika 2. Nagrajenci so prav enakomerno razporejeni po Sloveniji. Na zemljevidu so označeni kraji, od koder prihajajo najboljši mladi fiziki. www.pre ek.si www.dmfa.si • 31425 52143 15234 43512 24351 Futošiki 3 1 5 5 ≡2 ≡3 ≡3 rešitev • • • Futošiki V n×n kvadratkov moraš vpisati začetna naravna števila od 1 do n, tako da bo v vsaki vrstici in v vsa- kem stolpcu nastopalo vseh n števil ter, da bodo iz- polnjene vse relacije. Oznaka ≡ n pomeni, da sta sosedni števili kongruentni po modulu n. 1 21 t e k m o v a n j a a s t r o n o m i j a 22 Delavnice so namenjene učiteljem astronomskih predmetov v osnovni šoli, mentorjem astronom- skih krožkov v osnovni in srednji šoli, mentorjem tekmovalcev iz znanja astronomije in tudi tistim, ki bi astronomijo v pedagoško dejavnost na svoji šoli radi šele vpeljali. Enodnevne delavnice bodo potekale v dveh sklopih. 1. sklop – teoretični del (popoldanski del delavnice) Kaj so osnove astronomije in kako jih poučevati? Kako izboljšati pouk astronomije s sodobnimi računalniškimi programi in multimedijskimi pripo- močki? Praktično delo v razredu – aktivnosti učencev. Kaj morajo tekmovalci državnega tekmovanja v znanju astronomije znati? Literatura in drugi astronomski viri v tiskani obliki in na svetovnem spletu. 2. sklop – astronomska opazovanja (večerni del de- lavnice) Uporaba teleskopov pri pouku astronomije. Primeri praktičnih vaj, njihova priprava, izvedba in vrednotenje dela učencev. Primeri iz praktǐcnega dela tekmovanja v znanju astronomije. Delavnice bodo v septembru in oktobru 2011, or- ganizirane pa bodo regijsko. Termini in lokacije 22. september – zahodna Slovenija (OŠ Koper) 29. september – severovzhodna Slovenija (OŠ Selnica ob Dravi) 6. oktober – osrednja Slovenija (Gimnazija Šentvid) 12. oktober – Prekmurje (Gimnazija Murska Sobota) Ura začetka delavnice bo objavljena naknadno. Za- želeno je, da udeleženci s seboj prinesejo šolske ali lastne teleskope. Kotizacija je 30 evrov, za člane DMFA 20 evrov. Račun za kotizacijo bomo poslali na šolo, kjer ste zaposleni, takoj po končanem seminarju. Prijave in dodatne informacije na elektronskem na- slovu gustinvesolje@gmail.com. 2 d r u š t v o m a t e m a t i k o v, f i z i k o v i n a s t r o n o m o v s l o v e n i j e v a b i n a d e l a v n i c e andrej guštin Astronomija v šoli — kaj pa sedaj? • Delavnice so na enjene učitelje astrono skih pred etov v osnovni šoli, entorje astrono - skih krožkov v osnovni in srednji šoli, entorje tek ovalcev iz znanja astrono ije in tudi tisti , ki bi astrono ijo v pedagoško dejavnost na svoji šoli radi šele vpeljali. Enodnevne delavnice bodo potekale v dveh sklopih. 1. sklop – teoretični del (popoldanski del delavnice) Kaj so osnove astrono ije in kako jih poučevati? Kako izboljšati pouk astrono ije s sodobni i računalniški i progra i in ulti edijski i pripo- očki? Praktično delo v razredu – aktivnosti učencev. Kaj orajo tek ovalci državnega tek ovanja v znanju astrono ije znati? Literatura in drugi astrono ski viri v tiskani obliki in na svetovne spletu. 2. sklop – astrono ska opazovanja (večerni del de- lavnice) Uporaba teleskopov pri pouku astrono ije. Pri eri praktičnih vaj, njihova priprava, izvedba in vrednotenje dela učencev. Pri eri iz praktǐcnega dela tek ovanja v znanju astrono ije. Delavnice bodo v septe bru in oktobru 2011, or- ganizirane pa bodo regijsko. Ter ini in lokacije 22. septe ber – zahodna Slovenija (OŠ Koper) 29. septe ber – severovzhodna Slovenija (OŠ Selnica ob Dravi) 6. oktober – osrednja Slovenija (Gi nazija Šentvid) 12. oktober – Prek urje (Gi nazija Murska Sobota) Ura začetka delavnice bo objavljena naknadno. Za- želeno je, da udeleženci s seboj prinesejo šolske ali lastne teleskope. Kotizacija je 30 evrov, za člane DMFA 20 evrov. Račun za kotizacijo bo o poslali na šolo, kjer ste zaposleni, takoj po končane se inarju. Prijave in dodatne infor acije na elektronske na- slovu gustinvesolje@g ail.co . 2 l i j i lj i i li, j - i i i ji li, j l i j ij i i i i , i i ij j ji li i l lj li. l i l l i . . l i i l ( l i l l i ) j ij i ji i i lj i ij i i l i i i i i l i ij i i i - i i l i i . j j l i j j ij i i i i i i i i i li i i l . . l j ( i l - l i ) l i ij . i i i i j, ji i , i i j l . i i i i l j j ij . l i i , - i i ij . i i i l ij . l ij ( ) . l ij ( l i i) . j l ij ( i ij i ) . j ( i ij ) l i j lj . - l j , l i j i j l li l l . i ij j , l . i ij l li l , j l i, j i j . ij i i ij l - l i lj il. . t t t t t t t t t t t t t t t r t tr t t tr r r r t r r t r r t t r t r t tr t t r t r r tr r t t t tr r r t r tr r r r t r r r t r r r t t tr t r t r r r r r t r r t r r r t r r t t r r r r t r t r t t t r r t r t t r r t f r tr t pres k 39 (2011/2012) 1 a s t r o n o m i j a 23 Po tem, ko smo zelo uspešno začeli s tekmovanji v znanju astronomije za osnovne in srednje šole, smo organizatorji pri DMFA veliko razmišljali tudi o praktičnem delu tega tekmovanja. Opazovanja oz. praktične astronomske metode so namreč ne- ločljivi del astronomije. Razmišljali smo, da bi po šolah še bolj spodbudili praktično delo s teleskopi in drugimi astronomskimi meritvami. Tudi tek- movanje samo, smo menili, bi lahko prispevalo k poglobitvi in razširitvi astronomskega znanja med učenci, dijaki in njihovimi mentorji. Zato smo 12. marca letos na Fakulteti za matema- tiko in fiziko v Ljubljani organizirali poskusni finalni del tekmovanja v znanju astronomije, na katerega smo povabili devet osnovnošolcev in osem srednje- šolcev, ki so dosegli najboljše rezultate na „teoretič- nem“ delu tekmovanja decembra lani. To je bil po- memben test za organizatorje tekmovanja in sesta- vljavca nalog, saj predhodno ni bilo mogoče oceniti nivoja praktičnega znanja tekmovalcev, pa tudi ne metod ocenjevanja njihovih meritev, rezultatov in iz- delkov. Zato finalistov tudi nismo ocenjevali; vsi pa so za svoj trud prejeli simpatične praktične nagrade. Pokazalo se je, da so osnovnošolci mnogo bolj ve- šči praktičnega dela v atronomiji kot srednješolci, da njihovi mentorji zelo dobro delajo in da teleskopi ter druga šolska astronomska oprema niso namenjeni le nabiranju prahu. Kar se tiče srednjih šol se bo ver- jetno sčasoma slika izboljšala, saj se bodo tja vpisali nadobudni mladi astronomi, ki so astronomska zna- nja dobro utrdili že v osnovni šoli. Bralci si lahko naloge s praktǐcnega dela astronom- skega tekmovanja ogledajo v nadaljevanju. Slika 1 Meritev navideznega premera Lunine ploskvice Na najmanj dva načina izmeri premer Lune v ko- tnih stopinjah. Na razpolago imaš pripomočke za tri metode mer- jenja, lahko pa meritve izvedeš tudi po svoje. Pred meritvami dobro razmisli, kako jih boš izvedel, kaj moraš pripraviti v predavalnici, kaj in kako boš me- ril. Pri vsakem načinu merjenja meritve večkrat po- novi. Vse meritve vestno zapiši. Poskusi oceniti na- pako, ki je nastala zaradi metode merjenja. Če se ti zdi napaka prevelika, poskusi znova. Če je mo- goče, poskusi metodo merjenja izboljšati. Po opazo- vanjih pripravi kratko poročilo, ki naj za vsako me- todo merjenja vsebuje: kratek opis metode merjenja, opis sestave naprav za merjenje, opis postopka merjenja, 2 Po tem, ko smo zelo uspešno začeli s tekmovanji v znanju astronomije za osnovne in srednje šole, smo organizatorji pri DMFA veliko razmišljali tudi o praktičnem delu tega tekmovanja. Opazovanja oz. praktične astronomske metode so namreč ne- ločljivi del astronomije. Razmišljali smo, da bi po šolah še bolj spodbudili praktično delo s teleskopi in drugimi astronomskimi meritvami. Tudi tek- movanje samo, smo menili, bi lahko prispevalo k poglobitvi in razširitvi astronomskega znanja med učenci, dijaki in njihovimi mentorji. Zato smo 12. marca letos na Fakulteti za matema- tiko in fiziko v Ljubljani organizirali poskusni finalni del tekmovanja v znanju astronomije, na katerega smo povabili devet osnovnošolcev in osem srednje- šolcev, ki so dosegli najboljše rezultate na „teoretič- nem“ delu tekmovanja decembra lani. To je bil po- memben test za organizatorje tekmovanja in sesta- vljavca nalog, saj predhodno ni bilo mogoče oceniti nivoja praktičnega znanja tekmovalcev, pa tudi ne metod ocenjevanja njihovih meritev, rezultatov in iz- delkov. Zato finalistov tudi nismo ocenjevali; vsi pa so za svoj trud prejeli simpatične praktične nagrade. Pokazalo se je, da so osnovnošolci mnogo bolj ve- šči praktičnega dela v atronomiji kot srednješolci, da njihovi mentorji zelo dobro delajo in da teleskopi ter druga šolska astronomska oprema niso namenjeni le nabiranju prahu. Kar se tiče srednjih šol se bo ver- jetno sčasoma slika izboljšala, saj se bodo tja vpisali nadobudni mladi astronomi, ki so astronomska zna- nja dobro utrdili že v osnovni šoli. Bralci si lahko naloge s praktǐcnega dela astronom- skega tekmovanja ogledajo v nadaljevanju. Slika 1 Meritev navideznega premera Lunine ploskvice Na najmanj dva načina izmeri premer Lune v ko- tnih stopinjah. Na razpolago imaš pripomočke za tri metode mer- jenja, lahko pa meritve izvedeš tudi po svoje. Pred meritvami dobro razmisli, kako jih boš izvedel, kaj moraš pripraviti v predavalnici, kaj in kako boš me- ril. Pri vsakem načinu merjenja meritve večkrat po- novi. Vse meritve vestno zapiši. Poskusi oceniti na- pako, ki je nastala zaradi metode merjenja. Če se ti zdi napaka prevelika, poskusi znova. Če je mo- goče, poskusi metodo merjenja izboljšati. Po opazo- vanjih pripravi kratko poročilo, ki naj za vsako me- todo merjenja vsebuje: kratek opis metode merjenja, opis sestave naprav za merjenje, opis postopka merjenja, 2 , , . . . , . , , , . . , , . , , , . ; . , , . , , . . . , . , , , . . . , . , . , . , : , , , t , s l s š li s t ji j str ij s i sr j š l , s r i t rji ri li r išlj li t i r ti l t t j . j . r ti str s t s r - l lji i l str ij . išlj li s , i š l š lj s ili r ti l s t l s i i r i i str s i i rit i. i t - j s , s ili, i l ris l l it i i r širit i str s j i, ij i i ji i i t rji. t s . rc let s lteti te - ti i i j lj i r i ir li s s i l i el te j j str ije, tere s ili e et s š lce i se sre je- š lce , i s se li j ljše re lt te „te retic- e “ el te j ece r l i. je il - e e test r i t rje te j i sest - lj c l , s j re i il ce ce iti i j r tic e j te lce , t i e et ce je j ji i erite , re lt t i i - el . t list t i is ce je li; si s s j tr rejeli si tic e r tic e r e. l se je, s s š lci lj e- šci r tic e el tr iji t sre ješ lci, ji i e t rji el r el j i teles i ter r š ls str s re is e je i le ir j r . r se tice sre ji š l se er- jet sc s sli i ljš l , s j se tj is li i l i str i, i s str s - j r tr ili e s i š li. r lci si l l e s r tic e el str - s e te j le j lje j . li erite i e e re er i e l s ice j j i i ri r r - t i st i j . r l i š ri c e tri et e er- je j , l erit e i e eš t i s je. re erit i r r isli, ji š i e el, j r š ri r iti re l ici, j i š e- ril. ri s e ci erje j erit e ec r t - i. se erit e est iši. s si ce iti - , i je st l r i et e erje j . e se ti i re eli , s si . e je - ce, s si et erje j i ljš ti. - ji ri r i r t r cil , i j s e- t erje j se je: r te is et e erje j , is sest e r erje je, is st erje j , Po e ko o ze o u pe no zače ek ovan v znan u a ono e za o novne n edn e o e o o gan za o p F ve ko az a ud o p ak čne de u ega ek ovan a pazovan a oz p ak čne a ono ke e ode o na eč ne oč v de a ono e az a o da b po o ah e bo podbud p ak čno de o e e kop n d ug a ono k e va Tud ek ovan e a o o en b ahko p peva o k pog ob v n az v a ono kega znan a ed učenc d ak n n hov en o Za o o 12 a a o na Faku za a a ko n fiz ko v L ub an o gan z a po ku n fina n d k ovan a v znan u a ono na ka ga o povab d v o novno o v n o dn o v k o do g na bo zu a na o ˇ n d u k ovan a d b a an To b po b n za o gan za o k ovan a n a v av a na og a p dhodno n b o ogoˇ o n n vo a p ak ˇn ga znan a k ova v pa ud n od o n van a n hov h v zu a ov n z d kov Za o fina ov ud n o o n va v pa o za vo ud p pa ˇn p ak ˇn nag ad Pokaza o da o o novno o nogo bo v ˇ p ak ˇn ga d a v a ono ko dn o da n hov n o z o dob o d a o n da kop d uga o ka a ono ka op a n o na n n nab an u p ahu Ka ˇ dn h o bo v no ˇa o a ka zbo a a a bodo a vp a nadobudn ad a ono k o a ono ka zna n a dob o u d ž v o novn o B a ahko na og p ak ˇn ga d a a ono k ga k ovan a og da o v nada van u S ka 1 v nav d zn ga p a Lun n p o kv a na an dva nač na z e p e e Lune v ko n h op n ah a azpo ago a p po oˇk za od n a ahko pa v zv d ud po vo P d va dob o az kako h bo zv d ka o a p p av v p dava n ka n kako bo P v ak naˇ nu n a v v ˇk a po nov V v v no zap Po ku o n na pako k na a a za ad od n a Č zd napaka p v ka po ku znova Č o goˇ po ku odo n a zbo a Po opazo van h p p av k a ko po oˇ o k na za v ako odo n a v bu k a k op od n a op av nap av za n op po opka n a 2 , , D A . . . R , . , , , . . , , . , , , . ; . , , . , , . . N . N , . , , , . . . , . , . , . , : , , , t , s l s š li s t ji j str ij s i sr j š l , s r i t rji ri li r išlj li t i r ti l t t j . j . r ti str s t s r - l lji i l str ij . išlj li s , i š l š lj s ili r ti l s t l s i i r i i str s i i rit i. i t - j s , s ili, i l ris l l it i i r širit i str s j i, ij i i ji i i t rji. t s . rc let s lteti te - ti i i j lj i r i ir li s s i l i el te j j str ije, tere s ili e et s š lce i se sre je- š lce , i s se li j ljše re lt te „te retic- e “ el te j ece r l i. je il - e e test r i t rje te j i sest - lj c l , s j re i il ce ce iti i j r tic e j te lce , t i e et ce je j ji i erite , re lt t i i - el . t list t i is ce je li; si s s j tr rejeli si tic e r tic e r e. l se je, s s š lci lj e- šci r tic e el tr iji t sre ješ lci, ji i e t rji el r el j i teles i ter r š ls str s re is e je i le ir j r . r se tice sre ji š l se er- jet sc s sli i ljš l , s j se tj is li i l i str i, i s str s - j r tr ili e s i š li. r lci si l l e s r tic e el str - s e te j le j lje j . li erite i e e re er i e l s ice j j i i ri r r - t i st i j . r l i š ri c e tri et e er- je j , l erit e i e eš t i s je. re erit i r r isli, ji š i e el, j r š ri r iti re l ici, j i š e- ril. ri s e ci erje j erit e ec r t - i. se erit e est iši. s si ce iti - , i je st l r i et e erje j . e se ti i re eli , s si . e je - ce, s si et erje j i ljš ti. - ji ri r i r t r cil , i j s e- t erje j se je: r te is et e erje j , is sest e r erje je, is st erje j , , , . . . , . , , , . . , , . , , , . ; . , , . , , . . . , . , , , . . . , . , . , . , : , , , • andrej guštin Poskusni praktični del tekmovanja v znanju astronomije Astronomija v šoli — kaj pa sedaj? • Delavnice so namenjene učiteljem astronomskih predmetov v osnovni šoli, mentorjem astronom- skih krožkov v osnovni in srednji šoli, mentorjem tekmovalcev iz znanja astronomije in tudi tistim, ki bi astronomijo v pedagoško dejavnost na svoji šoli radi šele vpeljali. Enodnevne delavnice bodo potekale v dveh sklopih. 1. sklop – teoretični del (popoldanski del delavnice) Kaj so osnove astronomije in kako jih poučevati? Kako izboljšati pouk astronomije s sodobnimi računalniškimi programi in multimedijskimi pripo- močki? Praktično delo v razredu – aktivnosti učencev. Kaj morajo tekmovalci državnega tekmovanja v znanju astronomije znati? Literatura in drugi astronomski viri v tiskani obliki in na svetovnem spletu. 2. sklop – astronomska opazovanja (večerni del de- lavnice) Uporaba teleskopov pri pouku astronomije. Primeri praktičnih vaj, njihova priprava, izvedba in vrednotenje dela učencev. Primeri iz praktǐcnega dela tekmovanja v znanju astronomije. Delavnice bodo v septembru in oktobru 2011, or- ganizirane pa bodo regijsko. Termini in lokacije 22. september – zahodna Slovenija (OŠ Koper) 29. september – severovzhodna Slovenija (OŠ Selnica ob Dravi) 6. oktober – osrednja Slovenija (Gimnazija Šentvid) 12. oktober – Prekmurje (Gimnazija Murska Sobota) Ura začetka delavnice bo objavljena naknadno. Za- želeno je, da udeleženci s seboj prinesejo šolske ali lastne teleskope. Kotizacija je 30 evrov, za člane DMFA 20 evrov. Račun za kotizacijo bomo poslali na šolo, kjer ste zaposleni, takoj po končanem seminarju. Prijave in dodatne informacije na elektronskem na- slovu gustinvesolje@gmail.com. 2 Presek 39 (2011/2012) 1 r in in lokacije Križne vsote • Naloga reševalca je, da izpolni bele kvadratke s štev- kami od 1 do 9, tako, da je vsota števk v zaporednih belih kvadratkih po vrsticah in stolpcih enaka številu, ki je zapisano v sivem kvadratku na začetku vrstice (stolpca) nad (pod) diagonalo. Pri tem pa morajo biti vse števke v posamezni vrstici (stolpcu) različne. 54 135 64 86 52 67 11 17 17 9 9 10 14 7 6 7 11 17 8 9 9 10 14 7 rešite v • • • a s t r o n o m i j a 24 • meritve, izračune, rezultate, oceno merskih napak in komentar. 1. metoda – ocena premera Lunine ploskvice s pri- ročnimi sredstvi. Pripomočki: kartonček z luknjico, merilo, tračni meter. Namig: Je pomembno, kako je luknjica velika in kako daleč od očesa mora biti? Tabela 1 2. metoda – ocena premera Lunine ploskvice s ca- mero obscuro. Pripomočki: kartonska cev, aluminijasta folija, paus papir, lepilni trak, elastike, merilo, tračni me- ter, zobotrebec. Namig: Ali dolžina cevi in velikost luknjice vpli- vata na natančnost meritve? Tabela 2 3. metoda – ocena premera Lunine ploskvice s tele- skopskim opazovanjem. Pripomočki: teleskop ali daljnogled na stojalu, što- parica. Namig: Izkoristi vrtenje Zemlje! Ali sploh potre- bujem sledenje? Ali sploh potrebujem teleskop? Dodatni podatek za srednješolce: deklinacija Lune v času opazovanja je +23,5◦. Dodatna naloga S teleskopom poišči na Luninem površju krater Manilius in izmeri njegov relativni premer glede na premer Lune. Namig: Pomagaj si s fotografijo Lune in s štopa- rico. Slika 2 Praktična naloga v primeru oblačnega vremena Določitev vrtilne dobe sonca s sončevimi pegami Tudi Sonce se vrti. Eno od metod določanja nje- gove vrtilne dobe ponujajo dolgožive Sončeve pege. Te se zaradi vrtenja Sonca navidezno premikajo po ploskvici Sonca, same pa se po Soncu ne premikajo. V prilogi je zaporedje posnetkov Sonca v beli sve- tlobi. Na osnovi teh posnetkov določi vrtilno dobo Sonca. 3 meritve, izračune, rezultate, oceno merskih napak in komentar. 1. metoda – ocena premera Lunine ploskvice s pri- ročnimi sredstvi. Pripomočki: kartonček z luknjico, merilo, tračni meter. Namig: Je pomembno, kako je luknjica velika in kako daleč od očesa mora biti? Tabela 1 2. metoda – ocena premera Lunine ploskvice s ca- mero obscuro. Pripomočki: kartonska cev, aluminijasta folija, paus papir, lepilni trak, elastike, merilo, tračni me- ter, zobotrebec. Namig: Ali dolžina cevi in velikost luknjice vpli- vata na natančnost meritve? Tabela 2 3. metoda – ocena premera Lunine ploskvice s tele- skopskim opazovanjem. Pripomočki: teleskop ali daljnogled na stojalu, što- parica. Namig: Izkoristi vrtenje Zemlje! Ali sploh potre- bujem sledenje? Ali sploh potrebujem teleskop? Dodatni podatek za srednješolce: deklinacija Lune v času opazovanja je +23,5◦. Dodatna naloga S teleskopom poišči na Luninem površju krater Manilius in izmeri njegov relativni premer glede na premer Lune. Namig: Pomagaj si s fotografijo Lune in s štopa- rico. Slika 2 Praktična naloga v primeru oblačnega vremena Določitev vrtilne dobe sonca s sončevimi pegami Tudi Sonce se vrti. Eno od metod določanja nje- gove vrtilne dobe ponujajo dolgožive Sončeve pege. Te se zaradi vrtenja Sonca navidezno premikajo po ploskvici Sonca, same pa se po Soncu ne premikajo. V prilogi je zaporedje posnetkov Sonca v beli sve- tlobi. Na osnovi teh posnetkov določi vrtilno dobo Sonca. 3 meritve, izračune, rezultate, oceno merskih napak in komentar. 1 ce a pre era Lunine ploskvice s pri ročnim sredstvi. kartonček z luknjico, merilo, tračni meter. Je pomembno, kako je luknjica velika in kako da č od očesa mora biti? Tabela 1 2. m toda – ocena premera Lu ine l skvice s ca- mero obscuro. Pripomočki: kartonska cev, aluminijasta folija, paus papir, lepilni trak, elastike, merilo, tračni me ter, zobotrebec. Namig: Ali dolžina cevi in velikost luknjice vpli- vata na natančnost meritve? Tabela 2 3. metoda – ocena premera Lunine ploskvice s tele- skopskim opazovanjem. Pripomočki: t leskop ali daljnogle na stojalu, što parica. Namig: Izkoristi vrte je Zemlj ! Ali sploh p tre- bujem slede je? Ali sploh potrebujem teleskop? Dodatni podatek za srednješolce: deklinacija Lune v času opazovanja je +23,5◦. Dodatna naloga S teleskopom poišči na Luninem površju krater Manilius in izmeri njegov relativni premer glede na premer Lune. Namig: Pomagaj si s fotografijo Lune in s štopa- rico. Slika 2 Praktična naloga v primeru oblačnega vremena Določitev vrtilne dobe sonca s sončevimi pegami Tudi Sonce se vrti. Eno od metod določanja nje- gove vrtilne dobe ponujajo dolgožive Sončeve pege. Te se zaradi vrtenja Sonca navidezno premikajo po ploskvici Sonca, same pa se po Soncu ne premikajo. V prilogi je zaporedje posnetkov Sonca v beli sve- tlobi. Na osnovi teh posnetkov določi vrtilno dobo Sonca. 3 meritve, izračune, rezultate, oceno merskih napak in komentar. 1. metoda – ocena premera Lunine ploskvice s pri- ročnimi sr dstvi. Pripomočki: kartonček z luknjico, merilo, tračni meter. Namig: Je pomembno, kako je luknjica v lika in kako daleč od očesa mora biti? Tabela 1 2. met d – ocena premera Lunine ploskvice s ca- mero obscuro. Pripomočki: kartonska cev, aluminijasta folija, paus papir, lepilni trak, elastike, merilo, tračni me- ter, zobotrebec. Namig: Ali dolži a ce i in velikost luknjic vpli- vata na natančnost meritve? Tabela 2 3. metoda – ocena premera Lunine ploskvice s tele- skopskim opazovanjem. Pripomočki: teleskop ali daljnogled na stojalu, što- parica. Namig: Izkoristi v tenje Zemlje! Ali sploh potr bujem sledenje? Ali sploh potrebujem teleskop? Do atni podatek za srednješolce: eklinacija Lune v času opazovanja je +23,5◦. D datna nalog S teleskopom poišči na Luninem po ršju krater Manilius in izmeri njegov relativni premer glede na premer Lune. Namig: Pomagaj si s fotografijo Lune in s štopa- rico. Slika 2 Praktična naloga v primeru oblačnega vremena Določitev vrtilne dobe sonca s sončevimi pegami Tudi Sonce se vrti. Eno od metod določanja nje- gove vrtilne dobe ponujajo dolgožive Sonč ve pege. Te se zaradi vrtenja Sonca navidezno premikajo po pl skvici Sonca, same pa se po Soncu ne premikajo. V prilogi j zaporedje posnetkov Sonca v beli sv tl bi. Na osn vi teh posnetk v določi vrtilno dobo Sonca. 3 presek 39 (2011/2012) 1 Po tem, ko smo zelo uspešno začeli s tekmovanji v znanju astronomije za osnovne in srednje šole, smo organizatorji pri DMFA veliko razmišljali tudi o praktičnem delu tega tekmovanja. Opazovanja oz. praktične astronomske metode so namreč ne- ločljivi del astronomije. Razmišljali smo, da bi po šolah še bolj spodbudili praktično delo s teleskopi in drugimi astronomskimi meritvami. Tudi tek- movanje samo, smo menili, bi lahko prispevalo k poglobitvi in razširitvi astronomskega znanja med učenci, dijaki in njihovimi mentorji. Zato smo 12. marca letos na Fakulteti za matema- tiko in fiziko v Ljubljani organizirali poskusni finalni del tekmovanja v znanju astronomije, na katerega smo povabili devet osnovnošolcev in osem srednje- šolcev, ki so dosegli najboljše rezultate na „teoretič- nem“ delu tekmovanja decembra lani. To je bil po- memben test za organizatorje tekmovanja in sesta- vljavca nalog, saj predhodno ni bilo mogoče oceniti nivoja praktičnega znanja tekmovalcev, pa tudi ne metod ocenjevanja njihovih meritev, rezultatov in iz- delkov. Zato finalistov tudi nismo ocenjevali; vsi pa so za svoj trud prejeli simpatične praktične nagrade. Pokazalo se je, da so osnovnošolci mnogo bolj ve- šči praktičnega dela v atronomiji kot srednješolci, da njihovi mentorji zelo dobro delajo in da teleskopi ter druga šolska astronomska oprema niso namenjeni le nabiranju prahu. Kar se tiče srednjih šol se bo ver- jetno sčasoma slika izboljšala, saj se bodo tja vpisali nadobudni mladi astronomi, ki so astronomska zna- nja dobro utrdili že v osnovni šoli. Bralci si lahko naloge s praktǐcnega dela astronom- skega tekmovanja ogledajo v nadaljevanju. Slika 1 Meritev navideznega premera Lunine ploskvice Na najmanj dva načina izmeri premer Lune v ko- tnih stopinjah. Na razpolago imaš pripomočke za tri metode mer- jenja, lahko pa meritve izvedeš tudi po svoje. Pred meritvami dobro razmisli, kako jih boš izvedel, kaj moraš pripraviti v predavalnici, kaj in kako boš me- ril. Pri vsakem načinu merjenja meritve večkrat po- novi. Vse meritve vestno zapiši. Poskusi oceniti na- pako, ki je nastala zaradi metode merjenja. Če se ti zdi napaka prevelika, poskusi znova. Če je mo- goče, poskusi metodo merjenja izboljšati. Po opazo- vanjih pripravi kratko poročilo, ki naj za vsako me- todo merjenja vsebuje: kratek opis metode merjenja, opis sestave naprav za merjenje, opis postopka merjenja, 2 Po tem, ko sm zelo uspešno začeli s tekmovanji v zna ju astr no ije za osnovne in srednje š le, smo rganizatorji pri DMFA veliko razmišljali tudi o praktičnem delu tega tekmovanja. Opazovanja oz. praktične astronomske metode so namreč ne- ločljivi del astronomije. Razmišljali smo, da bi po šolah še bolj spodbudili praktično delo s teleskopi in drugimi astronomskimi meritvami. Tudi tek- movanj samo, smo menili, bi lahko prispevalo k poglobitvi in razširitvi astronomskega znanja med učenci, dijaki in njihovimi mentorji. Zato smo 12. m rca le os na Fakulteti za matema- tiko in fiziko v Ljubljani org nizirali poskus i fin lni del tekmovanja v znanju astron m je, na katerega smo povabili devet osnov šolcev in osem srednje- šolce , ki so dosegli naj oljše rezultate na „te retič- nem“ de u tekmovanja decembra lani. To j bil po- memben test za organizatorje tekmovanja in sesta vljavca nalog, saj predhodno ni bilo mogoče ocenit ivoja praktičneg znanja te m valcev, pa tudi ne metod ocenjevanja njihovih meritev, rezultatov in iz- delkov. Zato finalistov tudi nismo ocenjevali; vsi pa o za svoj trud prejeli simpatične praktične nagrade. Pokazalo se je, da so osnovnošolci mnogo bolj ve- šči praktičnega dela v atronomiji kot srednješolci, da nj hovi mentorji zelo dobro delajo in da teleskopi ter druga šolska astronomska oprema niso namenjeni le nabiranju prahu. Kar se tiče srednjih šol se bo ver- jetno sčasoma slika izboljšal , saj se bodo tja vpisali nadobudni mladi astronomi, ki so astronomska zna- nj dobro utr ili že v osnovni šoli. Bralci si lahko naloge s praktǐcnega dela astronom- skega tekmovanja ogledaj v nadaljevanju. Slika 1 Meritev navideznega p emera Lunine ploskvice Na najmanj dva načina izmeri premer Lune v k tnih stop nj h. Na razpolago imaš pripomočke za tri metode mer- jenja, lahko pa meritve izv deš tudi po svoje. Pred meritvami dobro razmisli, kako ih boš izvedel, kaj moraš ripraviti v p edavalnici, kaj in kako boš me- ril. Pri vsakem načinu merjenja meritve večkrat po- novi. Vse meritve vestno zapiši. Poskusi oceniti na- pako, ki je nastala zaradi metode merjenja. Če se ti zdi napaka prevelika, poskusi znova. Če je mo- goče, poskusi metodo merjenja izboljšati. Po opazo- vanjih pripravi kratko poročilo, ki naj za vsako me- todo merjenja vsebuje: kratek opis metode merjenja, opis sestave naprav za merjenje, opis postopka merjenja, 2 Meritev navideznega premera Lunine ploskvice oddaljenost kartončka od očesa (cm) zorni kot Lune (°) 50 0,573 51 0,562 52 0,551 53 0,541 54 0,531 55 0,521 56 0,512 57 0,503 58 0,494 59 0,486 60 0,477 61 0,470 62 0,462 63 0,455 64 0,448 65 0,441 a s t r o n o m i j a 25 Slika 3 Pripomočki: posnetki Sonca, paus papir, merilo. Namig za srednješolce: Sonce je krogla! Zemlja kroži okoli Sonca! 4 meritve, izračune, rezultate, oceno merskih napak in komentar. 1. metoda – ocena premera Lunine ploskvice s pri- ročnimi sredstvi. Pripomočki: kartonček z luknjico, merilo, tračni meter. Namig: Je pomembno, kako je luknjica velika in kako daleč od očesa mora biti? Tabela 1 2. metoda – ocena premera Lunine ploskvice s ca- mero obscuro. Pripomočki: kartonska cev, aluminijasta folija, paus papir, lepilni trak, elastike, merilo, tračni me- ter, zobotrebec. Namig: Ali dolžina cevi in velikost luknjice vpli- vata na natančnost meritve? Tabela 2 3. metoda – ocena premera Lunine ploskvice s tele- skopskim opazovanjem. Pripomočki: teleskop ali daljnogled na stojalu, što- parica. Namig: Izkoristi vrtenje Zemlje! Ali sploh potre- bujem sledenje? Ali sploh potrebujem teleskop? Dodatni podatek za srednješolce: deklinacija Lune v času opazovanja je +23,5◦. Dodatna naloga S teleskopom poišči na Luninem površju krater Manilius in izmeri njegov relativni premer glede na premer Lune. Namig: Pomagaj si s fotografijo Lune in s štopa- rico. Slika 2 Praktična naloga v primeru oblačnega vremena Določitev vrtilne dobe sonca s sončevimi pegami Tudi Sonce se vrti. Eno od metod določanja nje- gove vrtilne dobe ponujajo dolgožive Sončeve pege. Te se zaradi vrtenja Sonca navidezno premikajo po ploskvici Sonca, same pa se po Soncu ne premikajo. V prilogi je zaporedje posnetkov Sonca v beli sve- tlobi. Na osnovi teh posnetkov določi vrtilno dobo Sonca. 3 meritve, izračune, rezultate, oceno merskih napak in komentar. 1. metoda – ocena premera Lunine ploskvice s pri- ročnimi sr dstvi. Pripomočki: kartonček z luknjico, merilo, tračni meter. Namig: Je pomembno, kako je luknjica velika in kako daleč od očesa mora biti? Tab la 1 2. metoda – ocena premera Lunine ploskvice s ca- mero obscuro. Pripomočki: kartonska cev, aluminijasta folija, paus papir, lepilni trak, elastike, merilo, tračni me- ter, zobotrebec. Namig: Ali dolžina cevi in vel kost luknji vpli vata na natančnost meritve? Tabela 2 3. metoda – ocena premera Lunine ploskvice s tele- skopskim opazovanjem. Pripomočki: teleskop ali daljnogled na stojalu, što- parica. Namig: Izkoristi vrtenje Zemlje! Ali sploh potre- bujem sledenje? Ali sploh potrebujem teleskop? Dodatni podatek za srednješolce: deklinacija Lune v času pazovanja je +23,5◦. Dod tna naloga S teleskopom poišči na Luninem površju krater Manilius in izmeri njegov relativni premer glede na premer Lune. N mig: P m gaj si s fotografijo Lune in s štopa- rico. Slika 2 Praktična naloga v primeru oblačnega vremena Določitev vrtilne dobe sonca s sončevimi pegami Tudi Sonce se vrti. Eno od metod določanja nje- gove vrtilne dobe ponujajo dolgožive Sončeve pege. Te se zaradi vrtenja Sonca navidezno premik jo po ploskvici Sonca, same pa se po Soncu ne premikajo. V prilogi je zaporedje posnetk v Sonca v beli sve- tlobi. Na osnovi teh posnetkov določi vrtilno dobo S nca. 3 Presek 39 (2011/2012) 1 tna nalog r ktična naloga v primeru oblačnega vremena premer slike Lune (mm) zorni kot Lune pri dolžini camere obscure 65 cm (°) zorni kot Lune pri dolžini camere obscure 65 cm (°) 1 0,088 0,044 2 0,176 0,088 3 0,264 0,132 4 0,353 0,176 5 0,441 0,220 6 0,529 0,264 7 0,617 0,309 8 0,705 0,353 9 0,793 0,397 10 0,881 0,441 11 0,970 0,485 12 1,058 0,529 13 1,146 0,573 14 1,234 0,617 15 1,322 0,661 16 1,410 0,705 26 r a č u n a l n i š t v o damjan strnad Urejanje z mrežami Urejanje podatkov je ena najpogostejših opera- cij, ki jo izvajamo s pomočjo računalnikov, zato tudi ne čudi obstoj velikega števila različnih al- goritmov urejanja. Najpomembnejše mesto med njimi zagotovo pripada algoritmu hitrega urejanja (quick sort), ki ima med algoritmi urejanja s pri- merjanjem teoretično najugodnejšo časovno zah- tevnostO(n logn) glede na število podatkovn. Ve- liko programerskih knjižnic zato že vključuje funk- cije tipa sort, ki temeljijo prav na hitrem urejanju. Klasični pristop k problemu urejanja je procedura- len — algoritem urejanja je procedura, ki z zapo- redjem primerjav in zamenjav uredi statičen seznam podatkov v določenem vrstnem redu. V tokratnem prispevku se bomo problema urejanja lotili z druge plati — podatki so tisti, ki potujejo skozi topolo- ško povezano strukturo vozlišč in na izhod prispejo ustrezno urejeni. V našem primeru bo omenjena struktura mreža, vozlišča pa bodo opravljala funk- cijo primerjav in zamenjav. Za demonstracijo princi- pov urejanja z mrežami bomo uporabili seznam na- ravnih števil, ki ga bomo urejali v nepadajoče zapo- redje. Posplošitev na druge tipe podatkov ali ureje- nosti je neposredna. Oglejmo si mrežno strukturo, ki je prikazana na sliki 1. Njeno osnovo tvorijo povezave, ki vzporedno potekajo od leve proti desni in si jih lahko predsta- vljamo kot cevi ali vodnike, po katerih se pretakajo podatki. Podatki (v našem primeru števila) vstopajo v mrežo na levi strani in se pomikajo proti izhodu na desni. Na določenih mestih v mreži sta po dva vodnika povezana med seboj v obliki križišča oz. vo- zlišča, ki je v mreži zaradi preglednosti ponazorjeno samo s prečno povezavo. Vsako tako vozlišče deluje kot primerjalnik (comparator), ki izvaja primerjavo med dvema številoma na vhodu in ju po potrebi za- menja tako, da manjše število preusmeri na zgornji izhod, večje pa na spodnjega. Podrobna struktura in zgled delovanja primerjalnika sta prikazana na sliki 2. Na izhod mreže zato števila pridejo v drugačnem vrstnem redu, kot so bila razvrščena na vhodu. Ta- kšni mreži rečemo primerjalna mreža (comparison network), njeno delovanje na primeru vhodnega za- poredja števil 9,1,6,4 pa je prikazano na sliki 3. Slika 1 Slika 2 Slika 3 Urejevalna mreža (sorting network) je poseben pri- 2 Urejanje podatkov je ena najpogostejših opera- cij, ki jo izvajamo s pomočjo računalnikov, zato tudi ne čudi obstoj velikega števila različnih al- goritmov urejanja. Najpomembnejše mesto med njimi zagotovo pripada algoritmu hitrega urejanja (quick sort), ki ima med algoritmi urejanja s pri- merjanjem teoretično najugodnejšo časovno zah- tevnostO(n logn) glede na število podatkovn. Ve- liko programerskih knjižnic zato že vključuje funk- cije tipa sort, ki temeljijo prav na hitrem urejanju. Klasični pristop k problemu urejanja je procedura- len — algoritem urejanja je procedura, ki z zapo- redjem primerjav in zamenjav uredi statičen seznam podatkov v določenem vrstnem redu. V tokratnem prispevku se bomo problema urejanja lotili z druge plati — podatki so tisti, ki potujejo skozi topolo- ško povezano strukturo vozlišč in na izhod prispejo ustrezno urejeni. V našem primeru bo omenjena struktura mreža, vozlišča pa bodo opravljala funk- cijo primerjav in zamenjav. Za demonstracijo princi- pov urejanja z mrežami bomo uporabili seznam na- ravnih števil, ki ga bomo urejali v nepadajoče zapo- redje. Posplošitev na druge tipe podatkov ali ureje- nosti je neposredna. Oglejmo si mrežno strukturo, ki je prikazana na sliki 1. Njeno osnovo tvorijo povezave, ki vzporedno potekajo od leve proti desni in si jih lahko predsta- vljamo kot cevi ali vodnike, po katerih se pretakajo podatki. Podatki (v našem primeru števila) vstopajo v mrežo na levi strani in se pomikajo proti izhodu na desni. Na določenih mestih v mreži sta po dva vodnika povezana med seboj v obliki križišča oz. vo- zlišča, ki je v mreži zaradi preglednosti ponazorjeno samo s prečno povezavo. Vsako tako vozlišče deluje kot primerjalnik (comparator), ki izvaja primerjavo med dvema številoma na vhodu in ju po potrebi za- menja tako, da manjše število preusmeri na zgornji izhod, večje pa na spodnjega. Podrobna struktura in zgled delovanja primerjalnika sta prikazana na sliki 2. Na izhod mreže zato števila pridejo v drugačnem vrstnem redu, kot so bila razvrščena na vhodu. Ta- kšni mreži rečemo primerjalna mreža (comparison network), njeno delovanje na primeru vhodnega za- poredja števil 9,1,6,4 pa je prikazano na sliki 3. Slika 1 Slika 2 Slika 3 Urejevalna mreža (sorting network) je poseben pri- 2 , , . , l . , . , . , . , . , . . , . , , . . . , . , , , . . , . , . j j t j j t j i - ij i j i j j l i t t i i t j li t il li i l- it j j j j t ji i t i l it it j j ( i t) i i l it i j j i- j j t ti j j - t t l t il t - li i ji i t lj j f - ij ti t i t ljij it j j l i i ri t r l r j j j r r - l l rit r j j j r r i - r j ri rj i j r i t ti t l r t r t r t ri r l r j j l tili r l ti t i ti ti i t j j i t l - tr t r li i i ri j tr r j i ri r j tr t r r li r lj l f - ij ri rj i j tr ij ri i- r j j r i r ili - r i t il i r j li j - r j l it r ti t li r j - ti j r l j i r tr t r i j ri li i j t rij i r t j l r ti i i i ji l r t - lj t i li i t ri r t j t i t i ( ri r t il ) t j r l i tr i i i j r ti i i l i ti r i t i j li i ri i - li i j r i r i r l ti rj r t li l j t i j l i ( t ) i i j ri rj t il i j tr i - j t j t il r ri r ji i j j r tr t r i l l j ri rj l i t ri li i i r t t il ri j r r t r t il r r - i r i r i j l ( is t ) j l j ri r - r j t il , , , j ri li i li li li j l (s ti t ) j ri- j j j j j i - ij, i j i j j l i , i i j li il li i l- i j j . j j ji i i l i i j j ( i ), i i l i i j j i- j j i j j - l l il . - li i ji i lj j - ij i , i ljij i j j . l i i i l j j j - l l i j j j , i - j i j i j i i l . i l j j l ili l i i i i, i j j i l - li i i i j j i. i j , li lj l - ij i j i j . ij i i- j j i ili - i il, i j li j - j . l i i li j - i j . l j i , i j i li i . j ij , i j l i i i i ji l - lj i li i , i j i. i ( i il ) j l i i i i j i i i. l i i i i j li i i i . - li , i j i i l i j . li l j i j l i ( t ), i i j i j il i j i - j , j il i ji i , j j . i l l j i j l i i li i . i il i j , il . - i i i j l ( i t ), j l j i - j il , , , j i li i . li li li j l ( ti t ) j i- re a e o at o e e a a ogoste š o era c , o z a a o s o oč o rač a o , zato t e č o sto e ega šte a raz č a gor t o re a a. a o e e še esto e zagoto o r a a a gor t trega re a a c sort , a e a gor t re a a s r er a e teoret č o a go e šo časo o za te ost ( og )l g e e a šte o o at o . e o rogra ers ž c zato že č e f c e t a sort, te e o ra a tre re a . as č r sto k rob e re a a e roce ra e a gor te re a a e roce ra, k z za o re e r er av za e av re stat če sez a o atkov v o oče e vrst e re . tokrat e r s evk se bo o rob e a re a a ot z r ge at o atk so t st , k ot e o skoz to o o ško oveza o str kt ro voz šč a z o r s e o strez o re e . aše r er bo o e e a str kt ra reža, voz šča a bo o o rav a a f k c o r er av za e av. a e o strac o r c ov re a a z reža bo o orab sez a a rav štev , k ga bo o re a v e a a oče za o re e. Pos oš tev a r ge t e o atkov a re e ost e e osre a. g e o s rež o str kt ro, k e r kaza a a s k 1. e o os ovo tvor o ovezave, k vz ore o oteka o o eve rot es s a ko re sta v a o kot cev a vo ke, o kater se retaka o o atk . Po atk v aše r er štev a vsto a o v režo a ev stra se o ka o rot z o a es . a o oče est v rež sta o va vo ka oveza a e sebo v ob k kr ž šča oz. vo z šča, k e v rež zara reg e ost o azor e o sa o s reč o ovezavo. sako tako voz šče e e kot pr er a k co para or , k zva a r er avo e ve a štev o a a v o o otreb za e a tako, a a še štev o re s er a zgor z o , več e a a s o ega. Po rob a str kt ra zg e e ova a r er a ka sta r kaza a a s k 2. a z o reže zato štev a r e o v r gač e vrst e re , kot so b a razvršče a a v o . a kš rež reče o pr er a a reža co par so e ork , e o e ova e a r er v o ega za ore a štev 9 1 6 4 a e r kaza o a s k 3. S ka 1 S ka 2 S ka 3 re eva a reža sor g e ork e osebe r 2 U j nj p d k v j n n jp j ih p - ij, ki j i v j p j un lnik v, udi n udi b j v lik vil li nih l- i v u j nj . N jp bn j d nji i v p ip d l i u hi u j nj (qui k ), ki i d l i i u j nj p i- j nj i n n ju dn j vn h- vn O n n l d n vil p d k vn. V - lik p kih knji ni vklju uj unk- ij ip , ki ljij p v n hi u j nju. Kl i ni p i p p l u u j nj j p du - l n l i u j nj j p du , i p - dj p i j in nj u di i n n p d d l n n du. V n p i p u p l u j nj l ili d u pl i p d i i i, i p uj j i p l - p n u u li in n i h d p i p j u n u j ni. V n p i u nj n u u , li p d p lj l un - ij p i j in nj . Z d n ij p in i- p u j nj i up ili n n - nih il, i u j li n p d j p - dj . pl i n d u ip p d li u j - n i j n p dn . O l j i n u u , i j p i n n li i . Nj n n ij p , i p dn p j d l p i d ni in i jih l h p d - lj i li dni , p ih p j p d i. d i ( n p i u il ) p j n l i ni in p i j p i i h du n d ni. N d l nih ih i p d dni p n d j li i i i . - li , i j i di p l dn i p n j n p n p . V li d luj i j lni ( t ), i i j p i j d d il n h du in ju p p i - nj , d nj il p u i n nji i h d, j p n p dnj . d n u u in l d d l nj p i j lni p i n n li i . N i h d il p id j d u n n du, il n n h du. T - ni i i j ln ( i n n tw ), nj n d l nj n p i u h dn - p dj il , , , p j p i n n li i . li li li U j ln ( tin n tw ) j p n p i- l r t st š r , s r , t t st št r r t r . š st t r r t tr r s rt , r t r s r r t r t š s t st ( ) št t . r r rs t f t s rt, t r tr r . s c r st r e re e r ce r e r te re e r ce r , re e r er e re st t ce se t ce e rst e re . t r t e r s e se r e re t r e t t s t st , t e s t š e str t r šc r s e stre re e . še r er e e str t r re , šc r f c r er e . e str c r c re re r se r šte , re e ce re e. s š te r e t e t re e st e e sre . e s re str t r , e r s . e s t r e e, re te e e r t es s re st t ce e, ter se ret t . t še r er šte st re e str se r t es . ce est re st e e se r šc . šc , e re r re e st r e s s rec e . s t šce e e t r er c r r , r er e e šte tre e t , še šte re s er r , ec e s e . r str t r e e r er st r s . re e t šte r e r c e rst e re , t s r ršce . š re rece r er rež c r s e r , e e e r er e re šte e r s . re e rež s r e r e se e r j j j j j i - ij, i j i j j l i , i i j li il li i l- i j j . j j ji i i l i i j j ( i ), i i l i i j j i- j j i j j - l l il . - li i ji i lj j - ij i , i ljij i j j . l i i i l j j j - l l i j j j , i - j i j i j i i l . i l j j l ili l i i i i, i j j i l - li i i i j j i. i j , li lj l - ij i j i j . ij i i- j j i ili - i il, i j li j - j . l i i li j - i j . l j i , i j i li i . j ij , i j l i i i i ji l - lj i li i , i j i. i ( i il ) j l i i i i j i i i. l i i i i j li i i i . - li , i j i i l i j . li l j i j l i ( t ), i i j i j il i j i - j , j il i ji i , j j . i l l j i j l i i li i . i il i j , il . - i i i j l ( i t ), j l j i - j il , , , j i li i . li li li j l ( ti t ) j i- presek 39 (2011/2012) 1 • 27 r a č u n a l n i š t v o • Urejanje podatkov je ena najpogostejših opera- cij, ki jo izvajamo s pomočjo računalnikov, zato tudi ne čudi obstoj velikega števila različnih al- goritmov urejanja. Najpomembnejše mesto med njimi zagotovo pripada algoritmu hitrega urejanja (quick sort), ki ima med algoritmi urejanja s pri- merjanjem teoretično najugodnejšo časovno zah- tevnostO(n logn) glede na število podatkovn. Ve- liko programerskih knjižnic zato že vključuje funk- cije tipa sort, ki temeljijo prav na hitrem urejanju. Klasični pristop k problemu urejanja je procedura- len — algoritem urejanja je procedura, ki z zapo- redjem primerjav in zamenjav uredi statičen seznam podatkov v določenem vrstnem redu. V tokratnem prispevku se bomo problema urejanja lotili z druge plati — podatki so tisti, ki potujejo skozi topolo- ško povezano strukturo vozlišč in na izhod prispejo ustrezno urejeni. V našem primeru bo omenjena struktura mreža, vozlišča pa bodo opravljala funk- cijo primerjav in zamenjav. Za demonstracijo princi- pov urejanja z mrežami bomo uporabili seznam na- ravnih števil, ki ga bomo urejali v nepadajoče zapo- redje. Posplošitev na druge tipe podatkov ali ureje- nosti je neposredna. Oglejmo si mrežno strukturo, ki je prikazana na sliki 1. Njeno osnovo tvorijo povezave, ki vzporedno potekajo od leve proti desni in si jih lahko predsta- vljamo kot cevi ali vodnike, po katerih se pretakajo podatki. Podatki (v našem primeru števila) vstopajo v mrežo na levi strani in se pomikajo proti izhodu na desni. Na določenih mestih v mreži sta po dva vodnika povezana med seboj v obliki križišča oz. vo- zlišča, ki je v mreži zaradi preglednosti ponazorjeno samo s prečno povezavo. Vsako tako vozlišče deluje kot primerjalnik (comparator), ki izvaja primerjavo med dvema številoma na vhodu in ju po potrebi za- menja tako, da manjše število preusmeri na zgornji izhod, večje pa na spodnjega. Podrobna struktura in zgled delovanja primerjalnika sta prikazana na sliki 2. Na izhod mreže zato števila pridejo v drugačnem vrstnem redu, kot so bila razvrščena na vhodu. Ta- kšni mreži rečemo primerjalna mreža (comparison network), njeno delovanje na primeru vhodnega za- poredja števil 9,1,6,4 pa je prikazano na sliki 3. Slika 1 Slika 2 Slika 3 Urejevalna mreža (sorting network) je poseben pri- 2 Urejanje podatkov je ena najpogostejših opera- cij, ki jo izvajamo s pomočjo računalnikov, zato tudi ne čudi obstoj velikega števila različnih al- goritmov urejanja. Najpomembnejše mesto med njimi zagotovo pripada algoritmu hitrega urejanja (quick sort), ki ima med algoritmi urejanja s pri- merjanjem teoretično najugodnejšo časovno zah- tevnostO(n logn) glede na število podatkovn. Ve- liko programerskih knjižnic zato že vključuje funk- cije tipa sort, ki temeljijo prav na hitrem urejanju. Klasični pristop k problemu urejanja je procedura- len — algoritem urejanja je procedura, ki z zapo- redjem primerjav in zamenjav uredi statičen seznam podatkov v določene vrstnem redu. V tokratnem prispevku se bomo problema urejanja lotili z druge plati — podatki so tisti, ki potujejo skozi topolo- ško povezano strukturo vozlišč in na izhod prispejo ustrezno urejeni. V našem primeru bo om njena struktura mreža, vozlišča pa bodo opravljala funk- cijo primerjav in zamenjav. Za demonstracijo princi- pov urejanja z mrežami bomo uporabili seznam na- ravn h štev l, ki ga bomo urejali v epadajoče zapo r dje. Posplošitev na druge ti e podatkov ali ureje nosti je neposredna. Oglejmo si mrežno strukturo, ki je prikazana na sliki 1. Njeno osnovo tvorijo pov zave, ki vzporedno otekajo od leve pro i desni in si jih lahko predsta vljam kot cevi ali vodnike, po katerih se pretaka podatki. Podatki (v našem primeru števila) vstopajo v mrežo na l vi strani in se pomikajo proti izhodu na desni. Na določenih mestih v mreži sta po dva v dnika pove ana med seboj v obliki kr žišča oz. vo zlišča, ki je v mreži zaradi preg ednosti ponazorjeno samo s prečno povezavo. Vsako tako vozlišče deluje k t primerjalnik (comparator), ki izvaja primerjavo med dvema številoma na vhodu in ju po potrebi za- menja tako, da manjše število preusmeri na zgor ji izhod, večje pa na spodnjega. Podrobn struktura in zgled delovanja primerjalnika sta prikazana na sliki 2. N izhod mreže zato števila p idejo v drugačnem rstn m redu, kot so bila razvrščena na vhodu. Ta- kšni mreži rečem pr merjalna mreža (com arison network), nj no delovanje na primeru vhodnega za poredja št il 9,1,6,4 pa je prikazano na sliki 3. Slika 1 Slika 2 Slika 3 Urejevalna mreža (sorting network) je poseben pri- 2 mer primerjalne mreže, ki vsako zaporedje števil na vhodu vrne na izhodu v urejeni obliki. Urejevalna mreža za urejanje n števil ima zato n vhodnih in prav toliko izhodnih povezav. Ključnega pomena za to, ali je neka primerjalna mreža tudi urejevalna, je pravilna postavitev primerjalnikov. Slika 4 tako pri- kazuje urejevalno mrežo za štiri števila in primer de- lovanja na istem vhodnem zaporedju. Slika 4 Za ureditev zaporedja n števil lahko zgradimo več različnih urejevalnih mrež, ki se med seboj razliku- jejo po številu in postavitvi primerjalnikov. Pri tem želimo minimizirati prostorsko in časovno zahtev- nost urejanja z mrežo. Prostorska zahtevnost ureje- valne mreže za n vhodov je sorazmerna s številom potrebnih primerjalnikov, časovna zahtevnost pa z njeno globino (depth). Globina mreže je definirana kot število plasti primerjalnikov. Pri tem so v isto plast združeni tisti zaporedni primerjalniki, ki lahko zamenjavo izvedejo istočasno, ker delujejo na neod- visnih podatkih. Slika 5 prikazuje urejevalno mrežo s slike 4, ki ima posebej označene plasti z njihovimi globinami. Prikazana mreža se imenuje urejevalna mreža z liho-sodim premeščanjem (odd-even transpo- sition network), saj se po plasteh izmenjujejo primer- jalniki z lihimi in sodimi indeksi zgornjih vhodnih povezav. To tudi omogoča enostavno posplošitev na večje mreže, kot prikazuje slika 6 za osem vhodov. Globina mreže z n vhodi je natanko n, število pri- merjalnikov pa n(n− 1) 2 (torej reda O(n2)). Slika 5 Slika 6 Oglejmo si še dva konkretna primera urejevalnih mrež. Mreža na sliki 7 izvaja t. i. mehurčno urejanje (bubble sort), ki je sicer zelo znan klasični algoritem urejanja. Če upoštevamo možnost hkratnega izva- janja neodvisnih primerjav, lahko mrežo s slike 7a preoblikujemo v tisto na sliki 7b. S tem smo glo- bino mreže znižali s petnajst na devet, sicer pa sta mreži ekvivalentni, saj izvedeta popolnoma iste za- menjave. Globina mreže za mehurčno urejanje n vhodov je enaka 2n − 3, število primerjalnikov pa je enako kot pri mreži za liho-sodo urejanje. Glo- bina obeh doslej opisanih mrež torej narašča line- arno, število primerjalnikov pa kvadratično s števi- lom vhodov. Za urejanje velikega števila podatkov to ni praktično, zato potrebujemo bolj učinkovite ure- jevalne mreže. 3 mer primerjalne mreže, ki vsako zaporedje števil na vhodu vrne na izhodu v urejeni obliki. Urejevalna mreža za urejanje n števil ima zato n vhodnih in prav toliko izhodnih povezav. Ključnega pomena za to, li je neka primerjalna mreža tudi urejevalna, je pravilna postavitev primerjalnikov. Slika 4 tako pri- kazuje urejevalno mrežo za štiri števila in primer de- lovanja na istem vhodnem zaporedju. Slika 4 Za ureditev zaporedja n števil lahko zgradimo več različnih urejevalnih mrež, ki se med seboj razliku- jejo po številu in postavitvi primerjalnikov. Pri tem želimo minimizirati prostorsko in časovno zahtev- nost urejanja z mrežo. Prostorska zahtevnost ureje- valne mreže za n vhodov je sorazmerna s številom potrebnih primerjalnikov, časovna zahtevnost pa z njeno globino (depth). Globina mreže je definirana kot število plasti primerjalnikov. Pri tem so v isto plast združeni tisti zaporedni primerjalniki, ki lahko zamenjavo izvedejo istočasno, ker delujejo na neod- visnih podatkih. Slika 5 prikazuje urejevalno mrežo s slike 4, ki ima posebej označene plasti z njihovimi globinami. Prikazana mreža se imenuje urejevalna mreža z liho-sodim premeščanjem (odd-even transpo- sition network), saj se po plasteh izmenjujejo primer- jalniki z lihimi in sodimi indeksi zgornjih vhodnih povezav. To tudi omogoča enostavno posplošitev na večje mreže, kot prikazuje slika 6 za osem vhodov. Globina mreže z n vhodi je natanko n, število pri- merjalnikov pa n(n− 1) 2 (torej reda O(n2)). Slika 5 Slika 6 Oglejmo si še dva konkretna primera urejevalnih mrež. Mreža na sliki 7 izvaja t. i. mehurčno urejanje (bubble sort), ki je sicer zelo znan klasični algoritem urejanja. Če upoštevamo možnost hkratnega izva- janja neodvisnih primerjav, lahko mrežo s slike 7a preoblikujemo v tisto na sliki 7b. S tem smo glo- bino mreže znižali s petnajst na devet, sicer pa sta mreži ekvivalentni, saj izvedeta popolnoma iste za- menjave. Globina mreže za mehurčno urejanje n vhodov je enaka 2n − 3, število primerjalnikov pa je enako kot pri mreži za liho-sodo urejanje. Glo- bina obeh doslej opisanih mrež torej narašča line- arno, število primerjalnikov pa kvadratično s števi- lom vhodov. Za urejanje velikega števila podatkov to ni praktično, zato potrebujemo bolj učinkovite ure- jevalne mreže. 3 mer primerjalne mreže, ki vsako zaporedje števil na hodu vrne na izhodu v urejeni obliki. Urejevalna mreža za urej nje n števil ima zato n vhodnih in prav toliko izhodnih povezav. Ključnega pom n z to, ali je neka prime jalna mreža tu i ur jeval a, je pravil a p stavitev primerjalnikov. Slika 4 tako pri kazuje urejevalno mrežo za štiri števila in primer de- lovanj na is em vhodnem zaporedju. Slika 4 Za ureditev zaporedja n števil lahko zgradimo več različnih urejevalnih mrež, ki se med seboj razliku- jejo po številu in postavitvi primerjalnikov. Pri tem želimo minimizirati prostorsko in časovno zahtev- nost urejanja z mrežo. Prostorska zahtevnost ureje- valne mreže za n vhodov je sorazmerna s številom potrebnih primerjalnikov, časovna zahtevnost pa z njeno globino (depth). Globina mreže je definirana kot število plasti primerjalnikov. Pri tem so v isto plast združeni tisti zaporedni primerjalniki, ki lahko zamenjavo izvedejo istočasno, ker delujejo na neod- visnih podatkih. Slika 5 prikazuje urejevalno mrežo s slike 4, ki ima posebej označene plasti z njihovimi globinami. Prikazana mreža se imenuje urejevalna mreža z liho-sodim premeščanjem (odd-even transpo- sition network), saj se po plasteh izmenjujejo primer- jalniki z lihimi in sodimi indeksi zgornjih vhodnih povezav. To tudi omogoča enostavno posplošitev na večje mreže, kot prikazuje slika 6 za osem vhodov. Globina mreže z n vhodi je natanko n, število pri- merjalnikov pa n(n− 1) 2 (torej reda O(n2)). Slika 5 Slika 6 Oglejmo si še dva konkretna primera urejevalnih mrež. Mreža na sliki 7 izvaja t. i. mehurčno urejanje (bubble sort), ki je sicer zelo znan klasični algoritem urejanja. Če upoštevamo možnost hkratnega izva- janja neodvisnih primerjav, lahko mrežo s slike 7a preoblikujemo v tisto na sliki 7b. S tem smo glo- bino mreže znižali s petnajst na devet, sicer pa sta mreži ekvivalentni, saj izvedeta popolnoma iste za- menjave. Globina mreže za mehurčno urejanje n vhodov je enaka 2n − 3, število primerjalnikov pa je enako kot pri mreži za liho-sodo urejanje. Glo- bina obeh doslej opisanih mrež torej narašča line- arno, število primerjalnikov pa kvadratično s števi- lom vhodov. Za urejanje velikega števila podatkov to ni praktično, zato potrebujemo bolj učinkovite ure- jevalne mreže. 3 mer primerjalne mreže, ki vsako zaporedje števil na vhodu vrne na izhodu v urejeni obliki. Urejevalna mreža za urejanje n števil ima zato n vhodnih in prav toliko izhodnih povezav. Ključnega pomena za to, ali je neka primerjalna mreža tudi urejevalna, je pravilna postavitev primerjalnikov. Slika 4 tako pri- kazuje u ejevalno mrežo za štiri števila in p imer de- lovanja na istem vhodnem zaporedju. Slika 4 Za ureditev zaporedja n števil lahko zgradimo več različnih urejevalnih mrež, ki se med seboj razliku- jejo po številu in postavitvi primerjalnikov. Pri tem želimo minimizirati prostorsko in časovno zahtev- nost urejanja z mrežo. Prostorska zahtevnost ureje- valne mrež za n vhodov je sorazmerna s številom potrebnih primerjalnikov, časovna zahtevnost pa z njeno globino (de th). Globina m eže je definirana kot število plasti primerjalni v. Pri tem so v isto plast združeni tisti zapo edni primerjalniki, ki lahko z m njavo izvedejo istočasno, ker delujejo na ne d- visnih podatkih. Slika 5 prikazuje urejeval mrežo s slike 4, k ima posebej označene plasti z njihovimi globinami. Prikazana mreža se imenuj ureje alna mreža z liho-sodim premeščanjem (odd-even transpo- sition network), sa s p pla teh i m njujejo primer jal iki z lihimi in sodimi nd ksi zgornjih vhodnih povezav. To tudi mogoča enostavn pospl šite na večje mreže, k t prikazuje slika 6 za osem vhodov. Globina mreže z n vhodi je natanko n, število ri merjalnikov pa n(n− 1) 2 (torej reda O(n2)). Slika 5 6 Oglejmo si še dva konkretna primera urejevalnih mrež. Mreža na sliki 7 izvaja t. i. mehurčno urejanje (bubble sort), ki je sicer zelo znan klasični algoritem urejanja. Če upoštevamo možnost hkratnega izva- janja neodvisnih pri erjav, lahko mrežo s slike 7a preoblikujemo v tisto na sliki 7b. S tem smo glo- bino mreže z ižali s petn jst na d vet, sicer pa sta mreži ekvivalentni, saj i vedeta popolnom iste za- m njave. Globina mreže za mehurčno urej nje n vhodov je enaka 2n − 3, število primerjalnikov p je enako kot pri mreži za ho-sodo urejanje. G a ob h doslej opisanih mrež torej narašča line- arno, šte lo primerj lnikov pa kvadratično s števi lom vhodov. Za urejanje velikega števila podatkov to ni praktično, zato potrebujemo bolj učinkovite ure- valne mreže. 3 Presek 39 (2011/2012) 1 slika 1. Pr merjaln mreža s štirimi vhodi slika 2. Zgradba in delovanje primerjalnika slika 3. Delovanje primerjalne mreže na vhodnem zaporedju 9; 1; 6; 4 slika 4. Urejeval a mreža za štiri vhode s i 5. Vzporedno delovanje urejevalne mreže z liho-sodim preme- ščanjem 9 a min(a,b) b max(a,b) 1 1 4 6 9 4 6 > 28 r a č u n a l n i š t v o slika 7. Mreža za mehurčno urejanje šestih vhodov: a) zaporedna struktura; b) vzporedna struktura. slika 8. Mreža za bitonično urejanje osmih vhodov • Slika 7 Ena takšnih je urejevalna mreža za bitonično ure- janje (bitonic sort), prikazana na sliki 8 pri urejanju osmih vhodov. Zaradi prekrivanja so sočasne pri- merjave narisane zaporedno, a tesneje skupaj. Kot dodaten namig o tem, katere primerjave se izvedejo vzporedno, je pod mrežo zapisana njihova globina. Slika 8 Bitonična urejevalna mreža je sestavljena iz pona- vljajočih se konfiguracij primerjalnikov v različnih velikostih, ki so na sliki označene s sivimi bloki. Po- samezni blok z n vhodi v tem primeru imenujemo združevalec[n] in ima značilno strukturo, ki vklju- čuje podstrukturi imenovani obračalec in čistilec. Pri- mer za n = 8 prikazuje slika 9a, splošen primer pa slika 9b. Takšna hierarhǐcna zgradba omogoča re- kurzivno gradnjo večjih bitoničnih mrež. Slika 10 tako prikazuje posplošeno zgradbo bitonične ureje- valne mreže za urejanje n podatkov, kjer je n po- tenca števila 2. Bitonično mrežo za urejanje poljub- nega številan < 2k podatkov dobimo preprosto tako, da iz bitonične mreže za urejanje 2k podatkov od- stranimo odvečne vhode in primerjalnike na njih. Slika 9 Slika 10 Število potrebnih primerjalnikov za bitonično ure- janje n podatkov je reda O(n logn), globina bito- nične urejevalne mreže pa narašča z O(log2n). Po- dobne lastnosti kot bitonična urejevalna mreža imajo še nekatere druge mreže, kot npr. urejevalna mreža z liho-sodim zlivanjem (odd-even merging network). V teoriji obstajajo še učinkovitejše urejevalne mreže z globino samo O(logn), ki pa so neuporabne pri praktičnih vrednostih n. Sublinearno časovno zahtevnostO(log2n) (prime- ren izraz za postavljanje v družbi) dosežemo s so- časnim izvajanjem primerjav/zamenjav, predstavlja pa glavno prednost (učinkovitih) urejevalnih mrež pred proceduralnim urejanjem. Njihova bistvena sla- bost je hitra rast števila potrebnih primerjalnikov, ki pomeni praktično omejitev za neposredno izvedbo urejevalnih mrež s strojno opremo. Tudi število so- časnih primerjav za praktične primere (npr. urejanje milijon podatkov) preseže število paralelnih proce- sov oz. niti, ki jih lahko izvajamo na današnjih pro- cesorjih in operacijskih sistemih. Kljub temu pa je danes tudi povprečen računalnik opremljen s kosom strojne opreme, ki lahko uspešno zadosti paralel- 4 Slika 7 Ena takšnih je urejevalna mreža za bitonično ure- janje (bitonic sort), prikazana na sliki 8 pri urejanju osmih vhodov. Zaradi prekrivanja so sočasne pri- merjave narisane zaporedno, a tesneje skupaj. Kot dodaten namig o tem, katere primerjave se izvedejo vzporedno, je pod mr žo z pisan njihova globina. Slika 8 Bitonična urejevalna mreža je sestavljena iz pona- vljajočih se konfiguracij primerjalnikov v različnih velikostih, ki so na sliki označene s sivimi bloki. Po- samezni blok z n vhodi v tem primeru imenujemo združevalec[n] in ima značilno strukturo, ki vklju- čuje podstrukturi imenovani obračalec in čist lec. Pri mer za n = 8 prikazuje slika 9a, splošen p imer pa slika 9b. Takšna hierarhǐc a zgradba omogoča re kurziv o gradnjo večjih bi oničnih mrež. Slika 10 tako prikazuje posploše o zgradbo bitonične ure e valne mreže za ureja je n pod tkov, kjer je n po tenca števila 2. Bitonično mrežo za urejanje poljub- neg številan < 2k podatkov dobimo prepr st tako, da i bitonične mreže za urejanje 2k podatkov od- stranimo odvečne vh d in primerjalnike na njih. Slik 9 10 Število potrebnih primerjalnikov za bitonično ure- janje n podatkov je reda O(n logn), globina bito- nične urejevalne mreže pa narašča z O(log2n). Po- dobne lastnosti kot bitonična urejevalna mreža imajo še nekatere druge mreže, kot npr. urejevalna mreža z liho-sodim zlivanjem (odd-even merging network). V teoriji obstajajo š učinkovitejše urejevalne mreže z globino samo O(logn), ki pa so neup rabne pri praktičnih vrednostih n. Sublin arno časovno zahtev ostO(log2n) (prime- ren izraz za postavljanje v družbi) dosežemo s so- časnim izvajanjem primerja /zamenjav, predstavlja pa glav prednost (učinkovitih) urejevalnih mrež ed proceduralnim urejanjem. Njihova bistvena sla- bost je hitra rast števila potrebnih primerjalnikov, ki pomeni praktično omejite za neposredno izvedbo urejevalnih mrež s strojno opremo. Tudi število so- časnih prime jav za praktične prime (npr. urejanje milijon po atkov) preseže število par lelnih proce s v oz. niti, ki jih lahko izvajamo na današ jih pro- cesorjih in operacijskih sistemih. Kljub temu pa je danes tudi povprečen računalnik opremljen s kosom strojne opr me, ki lah o uspešno zadosti par lel- 4 Slika 7 Ena takšnih je urejevalna mreža za bitonično ure- janje (bitonic sort), prikazana na sliki 8 pri urejanju osmih vhodov. Zaradi prekrivanja so sočasne pri- merjave narisane zaporedno, a tesneje skupaj. Kot dodaten namig o tem, katere primerjave se izvedejo vzporedno, je pod mrežo zapisana njihova globina. Slika 8 Bitonična urejevalna mreža je sestavljena iz pona- v jajočih se konfiguracij primerjalnikov v različnih velikostih, ki so na sliki značene s sivimi bloki. Po- samezni blok z n vhodi v tem primeru imenujemo združevalec[n] in ima značilno strukturo, ki vklju- čuje podstrukturi imenovani obračalec in čistilec. Pri- mer za n = 8 prikazuje slika 9a, splošen primer pa slika 9b. Takšna hierarhǐcna zgradba omogoča re- kurzivno gradnjo večjih bitoničnih mrež. Slika 10 tako prikazuje posplošeno zgradbo bitonične ureje- valne mreže za urejanje n podatkov, kjer je n po- tenca števila 2. Bitonično mrežo za urejanje poljub- nega številan < 2k podatkov dobimo preprosto tako, da iz bitonične mreže za urejanje 2k podatkov od- stranimo odvečne vhode in primerjalnike na njih. Slika 9 Slika 10 Število potrebnih primerjalnikov za bitonično ure- janje n podatkov je reda O(n logn), globina bito- nične urejevalne mreže pa narašča z O(log2n). Po- dobne lastnosti kot bitonična urejevalna mreža imajo še nekatere druge mreže, kot npr. urejevalna mreža z liho-sodim zlivanjem (odd-even merging network). V teoriji obstajajo še učinkovitejše urejevalne mreže z globino samo O(logn), ki pa so neuporabne pri praktičnih vrednostih n. Sublinearno časovno zahtevnostO(log2n) (prime- ren izraz za postavljanje v družbi) dosežemo s so- časnim izvajanjem primerjav/zamenjav, predstavlja pa glavno prednost (učinkovitih) urejevalnih mrež pred proceduralnim urejanjem. Njihova bistvena sla- bost je hitra rast števila potrebnih primerjalnikov, ki pomeni praktično omejitev za neposredno izvedbo urejevalnih mrež s strojno opremo. Tudi število so- časnih primerjav za praktične primere (npr. urejanje milijon podatkov) preseže število paralelnih proce- sov oz. niti, ki jih lahko izvajamo na današnjih pro- cesorjih in operacijskih sistemih. Kljub temu pa je danes tudi povprečen računalnik opremljen s kosom strojne opreme, ki lahko uspešno zadosti paralel- 4 presek 39 (2011/2012) 1 mer primerjalne mreže, ki vsako zaporedje števil na vhodu vrne na izhodu v urejeni obliki. Urejevalna mreža za urejanje n števil ima zato n vhodnih in prav toliko izhodnih povezav. Ključnega pomena za to, ali je neka primerjalna mreža tudi urejevalna, je pravilna postavitev primerjalnikov. Slika 4 tako pri- kazuje urejevalno mrežo za štiri števila in primer de- lovanja na istem vhodnem zaporedju. Slika 4 Za ureditev zaporedja n števil lahko zgradimo več različnih urejevalnih mrež, ki se med seboj razliku- jejo po številu in postavitvi primerjalnikov. Pri tem želimo minimizirati prostorsko in časovno zahtev- nost urejanja z mrežo. Prostorska zahtevnost ureje- valne mreže za n vhodov je sorazmerna s številom potrebnih primerjalnikov, časovna zahtevnost pa z njeno globino (depth). Globina mreže je definirana kot število plasti primerjalnikov. Pri tem so v isto plast združeni tisti zaporedni primerjalniki, ki lahko zamenjavo izvedejo istočasno, ker delujejo na neod- visnih podatkih. Slika 5 prikazuje urejevalno mrežo s slike 4, ki ima posebej označene plasti z njihovimi globinami. Prikazana mreža se imenuje urejevalna mreža z liho-sodim premeščanjem (odd-even transpo- sition network), saj se po plasteh izmenjujejo primer- jalniki z lihimi in sodimi indeksi zgornjih vhodnih povezav. To tudi omogoča enostavno posplošitev na večje mreže, kot prikazuje slika 6 za osem vhodov. Globina mreže z n vhodi je natanko n, število pri- merjalnikov pa n(n− 1) 2 (torej reda O(n2)). Slika 5 Slika 6 Oglejmo si še dva konkretna primera urejevalnih mrež. Mreža na sliki 7 izvaja t. i. mehurčno urejanje (bubble sort), ki je sicer zelo znan klasični algoritem urejanja. Če upoštevamo možnost hkratnega izva- janja neodvisnih primerjav, lahko mrežo s slike 7a preoblikujemo v tisto na sliki 7b. S tem smo glo- bino mreže znižali s petnajst na devet, sicer pa sta mreži ekvivalentni, saj izvedeta popolnoma iste za- menjave. Globina mreže za mehurčno urejanje n vhodov je enaka 2n − 3, število primerjalnikov pa je enako kot pri mreži za liho-sodo urejanje. Glo- bina obeh doslej opisanih mrež torej narašča line- arno, število primerjalnikov pa kvadratično s števi- lom vhodov. Za urejanje velikega števila podatkov to ni praktično, zato potrebujemo bolj učinkovite ure- jevalne mreže. 3 mer primerjalne mreže, ki vsako zaporedje števil na vhodu vrne na izhodu v urejeni obliki. Urejevalna mreža za urejanje n števil ima zato n vhodnih in prav toliko izhodnih povezav. Ključnega pomena za to, ali je neka primerjalna mreža tudi urejevalna, je pravilna postavitev primerjalnikov. Slika 4 tako pri- kazuje urejevalno mrežo za štiri števila in primer de- lovanja na istem vhodnem zaporedju. Slika 4 Za ureditev zaporedja n števil lahko zgradimo več različnih urejevalnih mrež, ki se med seboj razliku- jejo po številu in postavitvi primerjalnikov. Pri tem želimo minimizirati prostorsko in časovno zahtev- nost urejanja z mrežo. Prostorska zahtevnost ureje- valne mreže za n vhodov je sorazmerna s številom potrebnih primerjalnikov, časovna zahtevnost pa z njeno globino (depth). Globina mreže je definirana kot število plasti primerjalnikov. Pri tem so v isto plast združeni tisti zaporedni primerjalniki, ki lahko zamenjavo izvedejo istočasno, ker delujejo na neod- visnih podatkih. Slika 5 prikazuje urejevalno mrežo s slike 4, ki ima posebej označene plasti z njihovimi globinami. Prikazana mreža se imenuje urejevalna mreža z liho-sodim premeščanjem (odd-even transpo- sition network), saj se po plasteh izmenjujejo primer- jalniki z lihimi in sodimi indeksi zgornjih vhodnih povezav. To tudi omogoča enostavno posplošitev na večje mreže, kot prikazuje slika 6 za osem vhodov. Globina mreže z n vhodi je natanko n, število pri- merjalnikov pa n(n− 1) 2 (torej reda O(n2)). Slika 5 Slika 6 Oglejmo si še dva konkretna primera urejevalnih mrež. Mreža na sliki 7 izvaja t. i. mehurčno urejanje (bubble sort), ki je sicer zelo znan klasični algoritem urejanja. Če upoštevamo možnost hkratnega izva- janja neodvisnih primerjav, lahko mrežo s slike 7a preoblikujemo v tisto na sliki 7b. S tem smo glo- bino mreže znižali s petnajst na devet, sicer pa sta mreži ekvivalentni, saj izvedeta popolnoma iste za- menjave. Globina mreže za mehurčno urejanje n vhodov je enaka 2n − 3, število primerjalnikov pa je enako kot pri mreži za liho-sodo urejanje. Glo- bina obeh doslej opisanih mrež torej narašča line- arno, število primerjalnikov pa kvadratično s števi- lom vhodov. Za urejanje velikega števila podatkov to ni praktično, zato potrebujemo bolj učinkovite ure- jevalne mreže. 3 er pri erjalne reže, ki vsako zaporedje števil na vhodu vrne na izhodu v urejeni obliki. rejevalna reža za urejanje števil i a zato vhodnih in prav toliko izhodnih povezav. Ključnega po ena za to, ali je neka pri erjalna reža tudi urejevalna, je pravilna postavitev pri erjalnikov. Slika 4 tako pri- kazuje urejevalno režo za štiri števila in pri er de- lovanja na iste vhodne zaporedju. Slika 4 Za ureditev zaporedja števil lahko zgradi o več različnih urejevalnih rež, ki se ed seboj razliku- jejo po številu in postavitvi pri erjalnikov. Pri te želi o ini izirati prostorsko in časovno zahtev- nost urejanja z režo. Prostorska zahtevnost ureje- valne reže za vhodov je soraz erna s število potrebnih pri erjalnikov, časovna zahtevnost pa z njeno globino (depth). lobina reže je definirana kot število plasti pri erjalnikov. Pri te so v isto plast združeni tisti zaporedni pri erjalniki, ki lahko za enja o izvedejo istočasno, ker delujejo na neod- visnih podatkih. Slika 5 prikazuje urejevalno režo s slike 4, ki i a posebej označene plasti z njihovi i globina i. Prikazana reža se i enuje urejevalna reža z liho-sodi pre eščanje (odd-even transpo- sition net ork), saj se po plasteh iz enjujejo pri er- jalniki z lihi i in sodi i indeksi zgornjih vhodnih povezav. To tudi o ogoča enostavno posplošitev na večje reže, kot prikazuje slika 6 za ose vhodov. lobina reže z vhodi je natanko , število pri- erjalnikov pa ( 1) 2 (torej reda ( 2)). Slika 5 Slika 6 glej o si še dva konkretna pri era urejevalnih rež. reža na sliki 7 izvaja t. i. ehurčno urejanje (bubble sort), ki je sicer zelo znan klasični algorite urejanja. Če upošteva o ožnost hkratnega izva- janja neodvisnih pri erjav, lahko režo s slike 7a preoblikuje o v tisto na sliki 7b. S te s o glo- bino reže znižali s petnajst na devet, sicer pa sta reži ekvivalentni, saj izvedeta popolno a iste za- enjave. lobina reže za ehurčno urejanje vhodov je enaka 2 3, število pri erjalnikov pa je enako kot pri reži za liho-sodo urejanje. lo- bina obeh doslej opisanih rež torej narašča line- arno, število pri erjalnikov pa kvadratično s števi- lo vhodov. Za urejanje velikega števila podatkov to ni praktično, zato potrebuje o bolj učinkovite ure- jevalne reže. 3 r ri rj l r , i r j t il r i r j i li i. r j l r r j j t il i t i i r t li i i . lj t , li j ri rj l r t i r j l , j r il t it ri rj l i . li t ri- j r j l r tiri t il i ri r - l j i t r j . li r it r j t il l r i r li i r j l i r , i j r li - j j t il i t it i ri rj l i . ri t li i i i ir ti r t r i t - t r j j r . r t r t t r j - l r j r r t il tr i ri rj l i , t t j l i ( t ). l i r j ir t t il l ti ri rj l i . ri t i t l t r i ti ti r i ri rj l i i, i l j i j i t , r l j j - i i t i . li ri j r j l r li , i i j l ti ji i i l i i. ri r i j j l li -s i š j ( - t s - siti t ), j l t i j j j ri r- j l i i li i i i i i i i r ji i . t i t l it j r , t ri j li . l i r i j t , t il ri- rj l i (t r j r 2 ). li li l j i r t ri r r j l i r . r li i i j t. i. j j ( l s t), i j i r l l i i l rit r j j . t t r t i - j j i i ri rj , l r li r li j ti t li i . t l - i r i li t j t t, i r t r i i l t i, j i t l i t - j . l i r r r j j j , t il ri rj l i j t ri r i li - r j j . l - i l j i i r t r j r li - r , t il ri rj l i r ti t i- l . r j j li t il t t i r ti , t tr j lj i it r - j l r . mer primerjalne reže, ki vsako zaporedje števil na vhodu vrne na izhodu v urejeni obliki. Urejevalna mreža za urejanje n števil ima zato n vhodnih in prav toliko izhodnih povezav. Ključnega pomena za to, ali je neka primerjalna mreža tudi urejevalna, je pravilna postavitev primerjalnikov. Slika 4 tako pri- kazuje urejevalno mrežo za štiri števila in primer de- lovanja na istem vhodnem zaporedju. Slika 4 Za ureditev zaporedja n števil lahko zgradimo več različnih urejevalnih mrež, ki se med seboj razliku- jejo po številu in postavitvi primerjalnikov. Pri tem želimo minimizirati prostorsko in časovno zahtev- nost urejanja z mrežo. Prostorska zahtevnost ureje- valne mreže za n vhodov je sorazmerna s številom potrebnih primerjalnikov, časovna zahtevnost pa z njeno globino (depth). Globina mreže je definirana kot število plasti primerjalnikov. Pri tem so v isto plast združeni tisti zaporedni pri erjalniki, ki lahko zamenjavo izvedejo istočasno, ker delujejo na neod- visnih podatkih. Slika 5 prikazuje urejevalno mrežo s slike 4, ki i a posebej označene plasti z njihovimi globinami. Prikazana mreža se imenuje urejevalna mreža z liho-sodim premeščanjem (odd-even transpo- sition network), saj se po plasteh izmenjujejo primer- jalniki z lihimi in sodimi indeksi zgornjih vhodnih povezav. To tudi omogoča enostavno posplošitev na večje mreže, kot prikazuje slika 6 za osem vhodov. Globina mreže z n vhodi je natanko n, število pri- merjalnikov pa n(n− 1) 2 (torej reda O(n2)). Slika 5 Slika 6 Oglejmo si še dva konkretna pri era urejevalnih mrež. Mreža na sliki 7 izvaja t. i. mehurčno urejanje (bubble sort), ki je sicer zelo znan klasični algoritem urejanja. Če upoštevamo možnost hkratnega izva- janja neodvisnih primerjav, lahko mrežo s slike 7a preoblikujemo v tisto na sliki 7b. S tem smo glo- bino mreže znižali s petnajst na devet, sicer pa sta mreži ekvivalentni, saj izvedeta popolnoma iste za- menjave. Globina mreže za mehurčno urejanje n vhodov je enaka 2n − 3, število primerjalnikov pa je enako kot pri mreži za liho-sodo urejanje. Glo- bina obeh dosl j opisanih mrež torej narašča lin ar o, število primerjalnikov pa kvadratično s števi- lo vhod v. Za urej nje velikeg števila podatkov to ni pr ktično, zato potrebujemo bolj učin ovite ure- jevaln mreže. 3 slika 6. Urejevalna mreža z liho-sodim premeščanjem za osem vhodov a) b) 29 r a č u n a l n i š t v o nim potrebam za izvajanje urejevalnih mrež. To je grafična kartica (oz. natančneje, grafični procesor na kartici), na katero se iz centralnega procesorja seli vedno več algoritmov in obdelav. O tem pa morda kdaj drugič. 5 slika 9. Zgradba strukture združevalec[n]: a) za n = 8; b) za splošen n slika 10. Rekurzivna gradnja bitonične mreže www.dmfa-zaloznistvo.si www.dmfa.si www.presek.si Slika 7 Ena takšnih je urejevalna mreža za bitonično ure- janje (bitonic sort), prikazana na sliki 8 pri urejanju osmih vhodov. Zaradi prekrivanja so sočasne pri- merjave narisane zaporedno, a tesneje skupaj. Kot dodaten namig o tem, katere primerjave se izvedejo vzporedno, je pod mrežo zapisana njihova globina. Slika 8 Bitonična urejevalna mreža je sestavljena iz pona- vljajočih se konfiguracij primerjalnikov v različnih velikostih, ki so na sliki označene s sivimi bloki. Po- samezni blok z n vhodi v tem primeru imenujemo združevalec[n] in ima značilno strukturo, ki vklju- čuje podstrukturi imenovani obračalec in čistilec. Pri- mer za n = 8 prikazuje slika 9a, splošen primer pa slika 9b. Takšna hierarhǐcna zgradba omogoča re- kurzivno gradnjo večjih bitoničnih mrež. Slika 10 tako prikazuje posplošeno zgradbo bitonične ureje- valne mreže za urejanje n podatkov, kjer je n po- tenca števila 2. Bitonično mrežo za urejanje poljub- nega številan < 2k podatkov dobimo preprosto tako, da iz bitonične mreže za urejanje 2k podatkov od- stranimo odvečne vhode in primerjalnike na njih. Slika 9 Slika 10 Število potrebnih primerjalnikov za bitonično ure- janje n podatkov je reda O(n logn), globina bito- nične urejevalne mreže pa narašča z O(log2n). Po- dobne lastnosti kot bitonična urejevalna mreža imajo še nekatere druge mreže, kot npr. urejevalna mreža z liho-sodim zlivanjem (odd-even merging network). V teoriji obstajajo še učinkovitejše urejevalne mreže z globino samo O(logn), ki pa so neuporabne pri praktičnih vrednostih n. Sublinearno časovno zahtevnostO(log2n) (prime- ren izraz za postavljanje v družbi) dosežemo s so- časnim izvajanjem primerjav/zamenjav, predstavlja pa glavno prednost (učinkovitih) urejevalnih mrež pred proceduralnim urejanjem. Njihova bistvena sla- bost je hitra rast števila potrebnih primerjalnikov, ki pomeni praktično omejitev za neposredno izvedbo urejevalnih mrež s strojno opremo. Tudi število so- časnih primerjav za praktične primere (npr. urejanje milijon podatkov) preseže število paralelnih proce- sov oz. niti, ki jih lahko izvajamo na današnjih pro- cesorjih in operacijskih sistemih. Kljub temu pa je danes tudi povprečen računalnik opremljen s kosom strojne opreme, ki lahko uspešno zadosti paralel- 4 Slika 7 Ena takšnih je urejevalna mreža za bitonično ure- janje (b tonic sort), prikazan na sliki 8 pri ureja ju osmih vhodov. Zaradi prekrivanja so sočasne pri- merjave nar sane zaporedno, a t sneje skupaj. K t dodate namig o tem, katere primerjave se izvedej vzpor dno, je pod režo zapisana njihova globina. S 8 Bitonična urejevalna mreža je sestavljena iz pona vljajočih se konfigura ij primerjalnikov v različnih v likostih, ki so na sliki označene s sivimi bloki. P - s mezni blok z n vhodi v tem primeru imenujemo združevalec[n] in ima značilno strukturo, ki vklju- čuje podstrukturi imenovani obračalec in čistilec. Pri- mer za n = 8 prikazuje slika 9a, splošen primer pa s b. Takšna hierarhǐcna zgradba omogoča re- kurzivno gradnjo večjih bitoničnih mrež. Slika 10 tako prikazuje posplošeno zgradbo bitonične ureje- valne mreže za urejanje n podatkov, kjer je n po- tenca števila 2. Bitonično mrežo za urejanje poljub- neg številan < 2k podatkov dobimo preprosto tako, da iz bitonične mreže za urejanje 2k podatkov od- stranimo odvečne vhode in primerjalnike na njih. Slika 9 Slika 10 Število potrebnih primerjalnikov za bitonično ure janje n pod tkov je reda O(n log ), globina bito- nične urejevalne mreže pa narašča z O(log2n). Po- dobne lastnosti kot bitonična urejevaln mreža imajo še nekatere druge mreže, kot npr. u ejevalna mreža z liho-sodim zlivanje (odd-eve merging network). V teoriji obstajajo še uči kovitejše urejevaln mreže z globino samo O(logn), ki a so neuporabne pri praktičnih vrednostih n. Sublinearno časovno zahtevnostO(log2n) (prime r n izraz za ostavljanje v družbi) dosež o s so- č snim izvajanjem primerjav/zamenjav, predstavlja pa glavno prednost (učinkovitih) urejevalnih mr ž pred roceduralnim urejanjem. Njihova bistvena sla- bost je hitra rast števila potr bnih primerjalnik v, ki pomeni pra tičn omejitev za posredno izvedbo urejevalnih mrež s strojn opremo. Tudi števil so- časnih primerjav za praktične primere (npr. urejanje milijon podatkov) preseže število paralelnih proce- sov oz. niti, ki jih lahko izvajamo na današnjih pro- cesorjih in operacijskih sistemih. Kljub temu pa je danes tudi povprečen računalnik opremljen s kosom strojne opreme, ki lahko uspešno zadosti paralel- 4 Presek 39 (2011/2012) 1 a) b) r a z v e d r i l o 30 r e š i t e v n a g r a d n e k r i ž a n k e p r e s e k 3 8 / 6 • Za nagradno križanko iz šeste številke 38. le- tnika Preseka smo prejeli 10 pravilnih rešitev. Na- gradno geslo se je glasilo Petštevna simetrija. Izž- rebani reševalci, Stanko Gajšek iz Ljubljane, Ži- ga Berčič iz Dobrunj in Žiga Gosar iz Ljublja- ne so razpisane nagrade prejeli po pošti. presek 39 (2011/2012) 1 Naravoslovna fotografija r a z v e d r i l o 31 • n a r a v o s l o v n a f o t o g r a f ij a maša koren foto: Maša Koren Presek 39 (2011/2012) 1 Fotografija je nastala ob sončnem vzhodu, na Ma- lem Lošinju. Tako, kot ob vseh sončnih vzhodih je tudi v tem primeru svetloba mehka. Na sliki vidimo poudarjene sončne žarke in sonce kot oranžno ža- rečo kroglo. Ker sem sonce ujela ravno pod pra- vim zornim kotom, na fotografiji skoraj ni odseva leč objektiva, ki se mu je pri takih fotografijah težko izogniti. Nastavitve na fotoaparatu so bile: ISO 200, f16 in čas 1/200. Ali znate pojasniti, zakaj je Sonce nizko nad obzorjem drugačne barve, kot opoldne, kaj pa na fotografiji vidne žarke pod Soncem? Na sliki poiščite odsev leč (namig: je levo nad Soncem in zelenkasto rožnat). Odgovore pošljite na presek@dmfa.si. 2 Fotografija je nastala ob sončnem vzhodu, na Ma- lem Lošinju. Tako, kot ob vseh sončnih vzhodih je tudi v tem primeru svetloba mehka. Na sliki vidimo poudarjene sončne žarke in sonce kot oranžno ža- rečo kroglo. Ker sem sonce ujela ravno pod pra- vim zornim kotom, na fotografiji skoraj ni odseva leč objektiva, ki se mu je pri takih fotografijah težko izogniti. Nastavitve na fotoaparatu so bile: ISO 200, f16 in čas 1/200. Ali znate pojasniti, zakaj je Sonce nizko nad obzorjem drugačne barve, kot opoldne, kaj pa na fotografiji vidne žarke pod Soncem? Na sliki poiščite odsev leč (namig: je levo nad Soncem in zelenkasto rožnat). Odgovore pošljite na presek@dmfa.si. 2 www.presek.si M A TE M A TI K A +F IZ IK A +A ST R O N O M IJ A +R A ČU N A LN IŠ TV O # presek letnik 39 ( 2 0 1 1 / 2 0 1 2 ) š t e v il k a 1 1 ISSN 0351-6652