Game distinguishing numbers of Cartesian products - Gravier, Sylvain (Ars mathematica contemporanea, 2018)
Razlikovalno število grafa ?$H$? je s simetrijo povezana grafovska invarianta, katere raziskovanje se je začelo pred dvema desetletjema. Razlikovalno število ?$D(H)$? je najmanjše celo število ?$d$?, takšno da ima ?$H$? razlikovalno ?$d$?-barvanje. Razlikovalno ?$d$?-barvanje je barvanje ?$c \colon V(H) → \{1,…,d \}$?, ki je invariantno samo za trivialni avtomorfizem. V tem članku nadaljujemo s študijem nedavno vpeljane igralne različice tega parametra. Razlikovalna igra je igra z dvema igralcema, Blagim in Lumpom, z nasprotnima ciljema. Ta igra se igra na grafu ?$H$? s fiksno množico ?$d \in \mathbb{N}$? barv. Igralca izmenično izbirata vozlišča grafa ?$H$? in jih barvata z eno od ?$d$? barv. Igra se konča, ko so vsa vozlišča pobarvana. Tedaj Blagi zmaga, če je ?$d$?-barvanje razlikovalno, sicer pa zmaga Lump. Ta igra definira dve novi invarianti, in sicer minimalno število barv potrebnih za to, da ima Blagi zagotovljeno zmagovalno strategijo, odvisno of tega, kdo igro začne. Vrednost invariante je lahko neskončna. V tem članku se osredotočimo na kartezične produkte, na grafovsko operacijo dobro raziskano v klasičnem primeru. Podamo zadostne pogoje glede reda dveh povezanih faktorjev ?$H$? in ?$F$?, ki sta si tuja, kar zagotavlja, da je eno od igralnih razlikovalnih števil kartezičnega produkta ?$H \square F$? končno. Če je ?$H$? takoimenovan involutivni graf, podamo zgornjo mejo za red ?$D^2(H)$? za eno od dveh igralnih razlikovalnih števil produkta ?$H \square F$?. Končno, z delno uporabo prejšnjega rezultata, izračunamo natančno vrednost teh invariant za kartezične produkte vzajemno tujih si ciklov. Izkaže se, da je vrednost bodisi neskončna bodisi enaka 2, odvisno od sodosti produktnega reda.
Keywords: avtomorfizem grafa; kombinatorična igra; razlikovalno število