     
P 47 (2019/2020) 5 7
in na enak način zaradi vzporednosti premice r in
daljice D′T
TA : TE′ = D′A : D′B = λ.
Zato je TE = TE′ in je T razpolovišče daljice EE′.
Pokazali smo, da je kot ∠E′BE pravi, zato po obra-
tu Talesovega izreka točka B leži na krogu s preme-
rom EE′ in središčem T ter velja
TB = TE = TE′.
S tem smo dokaz končali. Po pravkar dokazanem
namreč velja
TA : TB = TA : TE = λ.
Tako smo dobili iskano alternativno definicijo kro-
žnice: Apolonijeva krožnica je množica točk C , ki so
od gorišč A in B oddaljene v predpisanem razmerju
AC : BC = λ 6= 1.
Zaključek
Sedaj lahko rešimo problem prestrezanja ladje, ki
smo ga zastavili na začetku sestavka. Recimo, da
se v nekem trenutku nahajamo v točki B, ladja pa v
točkiA. Ladjo bomo lahko prestregli, če bo ob nekem
času t obstajal trikotnik ABC s krakoma AC = v1t
in BC = v2t. Vse takšne točke C ležijo na Apo-
lonijevi krožnici z goriščema A in B in razmerjem
v1 : v2. Prav tako mora točka prestrezanja ležati na
premici, ki jo določa tir plovbe ladje. Zato moramo
čoln usmeriti v točko, ki je presek nosilke tira ladje
in Apolonijeve krožnice.
Prav tako znamo narisati trikotnik s podatki c, tc
in b : a. Najprej narišemo osnovnico AB = c in njeno
razpolovišče označimo z S. Potem je točka C presek
krožnice s središčem S in polmerom tc ter Apoloni-
jeve krožnice z goriščema A in B in razmerjem b : a.
Radovedni bralec lahko s pridobljenim znanjem
skuša narisati paralelogram z danima stranicama a
in b in razmerjem diagonal e : f .
×××
www.presek.si
www.dmfa-zaloznistvo.si
Prometna
ureditev
Zelenega
gaja
N N
Prebivalci ulice Zeleni gaj, ki je bila del cone z
omejitvijo hitrosti 30 km/h, so v času vsakodnev-
nih prometnih konic opazili, da se je promet v sicer
mirnem okolju povečal. Nekateri so si po njihovi
ulici skrajšali pot, drugi pa so se le skušali izogniti
čakanju v koloni. Ker pa se je večini mudilo, ome-
jitve hitrosti niso upoštevali (ali pa je sploh niso
opazili). Tako je prej mirna cesta postala nevaren
poligon za pešce, kolesarje in otroke. Zato so se
prebivalci odločili, da se obrnejo na občino s pro-
šnjo za postavitev hitrostnih ovir.
Občinski uradniki so prošnjo proučili, nato pa po-
licistom naročili, da en teden merijo hitrost vseh vo-
zil, ki se peljejo po ulici Zeleni gaj. Ko so prejeli vse
meritve, so prošnjo zavrnili z obrazložitvijo, da je
povprečna hitrost enaka 35 km/h, kar ni veliko od-
stopanje od omejitve.
Na kakšen način bi se pobudniki umiritve prometa
lahko pritožili na odločitev občine, ko so prejeli ta-
belo izmerjenih hitrosti (tabela 1)?
Iz danih podatkov izračunaj povprečno vrednost,
mediano in modus. Izračunaj še delež voznikov, ki
se držijo omejitve.
     
P 47 (2019/2020) 58
b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b
b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b
b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b
b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b
b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b
od 70 km/h – 90 km/h 103
od 60 – 70 km/h 624
od 50 – 60 km/h 1998
od 40 – 50 km/h 2066
od 30 – 40 km/h 1313
do 30 km/h 1220
hitrost število avtomobilov
TABELA 1.
Kako izračunamo povprečno vrednost?
Dani podatki so porazdeljeni v frekvenčne razrede.
Število avtomobilov predstavlja frekvence posame-
znih razredov. Za izračun povprečne vrednosti (arit-
metične sredine) izračunamo povprečje vsakega in-
tervala in za vsak podatek predpostavimo, da je enak
povprečju pripadajočega intervala.
Povprečno vrednost dobimo tako, da posamezne
srednje vrednosti razredov pomnožimo s frekven-
cami in delimo s skupnim številom podatkov. Za prvi
razred je povprečna vrednost 15, ki jo dobimo kot
sredino intervala med 0 in 30:
X = 15 · 1220+ 35 · 1313+ 45 · 2066
1220+ 1313+ 2066+ 1998+ 624+ 103+
+ 55 · 1998+ 65 · 624+ 80 · 103
1220+ 1313+ 2066+ 1998+ 624+ 103
= 43,13.
Tako izračunana povprečna vrednost se razlikuje od
prave, je pa izračun hitrejši in v primeru tako poda-
nih podatkov edini mogoč.
Kako izračunamo mediano?
Mediana ali središčnica je hitrost, za katero velja, da
je vsaj polovica voznikov vozila počasneje in vsaj po-
lovica hitreje. Ker je vseh voznikov 7342, je mediana
povprečna vrednost hitrosti 3671. in 3672. voznika.
Ker je 1220+ 1313 < 3671 in 1220+ 1313+ 2066 >
3672, sta oba voznika vozila od 50 do 60 km/h. Zato
bo tudi mediana v tem razredu. Izračunamo jo tako,
da na interval od 50 do 60 enakomerno razporedimo
vse voznike tega razreda. Prvemu pripišemo hitrost
50 km/h, zadnjemu pa 60 km/h. Zato interval med
50 in 60 razdelimo na 2066− 1 enakih delov. Ker je
1220 + 1313 voznikov vozilo manj kot 50 km/h, je
3671. voznik (3671− (1220+ 1313)− 1). med 2065
hitrostmi znotraj intervala.
Enako izračunamo še hitrost 3672. voznika in iz-
računamo njuno povprečje:
Me = 50+ 3671,5− (1220+ 1313+ 1)
2066− 1 (60− 50)
= 55,51.
Mediana je višja in bi že lahko prepričala občinske
veljake, saj je polovica voznikov vozila hitreje kot
55 km/h v območju umirjene vožnje.
Kako izračunamo modus?
Modus ali gostiščnica je najpogostejša vrednost. Pri
porazdelitvi v frekvenčne razrede imenujemo razred
z najvećjo frekvenco modalni razred. Modalni razred
je v našem primeru interval od 40 do 50 km/h, mo-
dus pa izračunamo po formuli:
Mo = 40+(50−40) 2066−1313
(2066−1313)+(2066−1998)
= 49,17.
Za modus tako izberemo vrednost znotraj modal-
nega razreda, čigar razdalja do sosednjih razredov
je sorazmerna spremembi frekvence.
Previdni vozniki
Za konec izračunajmo še delež voznikov, ki vozi po
predpisih:
1220
7342
= 0,1662 = 16,62%.
Po pritožbi in daljši statistični razpravi so se na
občini le zganili in postavili hitrostne ovire. Zdaj pa
se pritožujejo vozniki.
×××
www.obzornik.si
www.dmfa.si