i
i
“580-Milosevic-Stirje” — 2010/6/3 — 9:42 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 10 (1982/1983)
Številka 1
Strani 4–6
Dragoljub M. Miloševíc, prevod Peter Petek:
ŠTIRJE DOKAZI
Ključne besede: matematika.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/10/580-Milosevic.pdf
c© 1982 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
MATEMATIKA
STr RJE DOKAZ 1
Angleški matematik W.Sowyer je v svoj i knjigi Prel ude to Mathe-
matics (Predigra matematike) zapisal zanimivo peda goš ko misel:
"Cesto je koristneje, da rešimo eno samo nalogo na tri različne
načine , kot pa da rešimo tri naloge na en način. Ko rešujemo is-
to nalogo na različne načine, jih lahko prime rjamo, da ugotovimo ,
ka t e r i je krajši, učinkovitejši in elegantnejši. Tako si pridobi-
vamo in dograjujemo sposobnost za reševanje nalog."
Pokazali bomo štiri različne dokaze izre ka:
te s t a di a gona Li t rapeza medsebojno pravokotni , je vsota kvadra-
tov teh diagonaL enaka kvadratu vsote vzporednih stranic t rapeza .
Dokaz 1. Na sli ki 1 je trapez ABCD . Osnovni ci AB in CD sta ozna-
čeni z a in b , diagonali AC in BD sta e in f . Točki M in N sta
sredini kra kov, presečišča daljice MN z diagonalama s mo označi­
li E in F. Ke r sta daljici ME in FN srednjici tr i kotni kov ACDi n
BCD , velja ME FN t e D b / 2. Od tod pa, ker je MN = (a+b)/2,
dobimo
EF = MN - (ME + FN ) = (a + b ) / 2 - b = (a - b)/2.
Konstruiramo EG vzporedno z BD . Ke r je četverokotnik BFEG para-
lelogram, je EG = BF . In ke r MN razpolavlja diagonali trapeza,
imamo AE = e/2 in BF = f/2 in zato EG = f / 2. Hipotenuzo AG tri-
kotnika AEG izračunamo: AG = a - (a- b)/2 = (a+b)/2. Uporabimo
Pitagorov izrek v trikotniku AEG :
(e/2) 2 + (f/2) 2 = (( a+b)/2) 2
4
e 2 + f2 = (a+b)2
i n dokaz je končan.
S 11 ka S Il ka 2
B
Dokaz 2. Poglejmo sliko 2. S črkama x in y smo označili daljici
OD in OC in je zato Aa = e - y in BO = f - x, če sta e in f
diagonali. Iz podobnost i trikotnikov ABO in CDO sklepamo, da
velja sorazmerje
(e - y ) y
od koder izračunamo:
ci - x ) x = a b
( a + b ) . y = b , e
( a + b) . x : b .f
Enačbi ( 1) i n (2) kvadr iramo in sešte jemo:
( a + b )2 (x2 + y2 ) = b 2 • ( e 2 + f2 )
Za pravokotn1 trikotnik CDO vel ja Pitago rov izrek :'
x 2 + y2 = b 2
Iz (3) in (4) sledi:
e 2 + f 2 ( a + b) 2
( 1)
(2)
(3)
(4)
Dokaz 3. Diagonalo CA podaljšamo ta ko, da je daljica AE s kladna
z CO. in diagonalo DB podalj šamo do P ta ko. da je BP skladno z
Do(slika 3). Vzporedno s podal jš kom BP potegnemo še dalji co Aa.
čet verokotnik ABPG je paralelogram, zato je PG = AB = a . Trikot-
nika AEG i n OCD sta skladna: AE = OC po kons t r ukci j i,
5
EAQ = COD - 90' i n  ABO - OCD (kota  z vzporednina krakona). 
Sktadnost na r  pr inese so = CD = b .  Tore j  Je EF = a + a. Spet u- 
porab'lmo Pitagorov i r r e k ,  t o k r a t  za tri ko tn i  k Em, i n  tahtevuna 
enakost Je  pred namf , 
Ookaz 4. Na s l i k i  4 sao k o n s t r u i r a l i  vzporednico Qd lagona l i  
RC. Ker j e  AB = CD = b ,  iaamo BE = AB + A8 = b + a.  T r i k o t n i k  
Bm j e  pravokoten i n  fato 
s2 + f X  = ( r ~ + b ) ~