i
i
“1367-Vidav-OPremocrtnem” — 2010/7/27 — 14:07 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 26 (1998/1999)
Številka 2
Strani 86–90
Ivan Vidav:
O PREMOČRTNEM IN KROŽNEM GIBANJU
Ključne besede: matematika, geometrija, fizika, gibanje, premica, kro-
žnica, vijačnica.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/26/1367-Vidav.pdf
c© 1998 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
Matematika I
o PREMOČRTNEM IN KROŽNEM GIBANJU
Telo , ki se giblj e premočrtno s konstantno hitrostjo, pride v enakih časih
enako daleč. Isto velja za telo, ki enakomern o kroži po krogu: v enakih
časih opiše enako dolge loke, enaki loki na kro gu pa imajo enake tetive.
Zato se telo tudi v tem primeru v enakih časih enako oddalji. Ali je še
kak drug način gibanja s to lastnostjo ?
P a denimo, da se točkasto telo giblje v ravnini tako, da pride v enakih
časih enako daleč. To pomeni : če je v času tI v točki TI in v času t2 v T2
in če je nadalje v času t~ v točki T{, v času t; pa v T~ , potem je razd alja
T{T~ enaka razdalji TIT2, br ž ko je razlika časov enaka, to se pravi, brž
ko je t ; - t~ = t2 - tI .
Zazn amujmo s To lego našega telesa v nekem začetnem času t = Oin
s T(t) njegovo lego v poljubnem času t. Tu seveda privzamemo , da telo
ne dela skokov. Zato je točka T(t') tako blizu točke T(t), kakor želimo,
če je le časovna razlika t' - t dovolj majhn a.
Telo pr ide čez nekaj časa v neko sosednjo točko T2 =1- To (primer ,
da te lo miruje, seveda izključimo) . Zaznamujemo ta čas z 27, tako da je
T2 = T (27). Pišimo
k = 0,1 ,2,3, .. .
V času t = kr se je potemtakem telo premaknilo iz točke To v Tk. Dobimo
zaporedj e točk To, TI ,T2, . . . Vse daljice TkTk+ I so enako dolge, saj pride
telo iz vsake točke Tk v naslednjo Tk+! v enakem času 7 . Isto velja za
daljice TkTk+2, ki so tudi vse med seboj skladne (te lo se pr emakne iz Tk
v Tk+2 v času 27), skladne so tudi daljice TkTk+3 itd .
Ker je T2 =1- To in ToTI = TIT2, so To, TI in T2 različne točke . Ležijo
lahko vse tri na isti pr emici ali pa so oglišča trikotnika, ki je seveda v
ravnini , v kateri se giblje telo. Oglejmo si obe možnosti:
(1) To, TI , T2 so na isti pr emici , ki jo imenuj mo p (slika 1). Očitno je TI
med To in T2. (Samo v te m pr imeru je namreč TaTI = TIT2 . ) Kje leži
točka T3? Če T3 ne bi bila na pr emi ci p , bi bile točke TI , T2 , T3 oglišča
pravega t rikot nika. Strani ce tega trikotnika so T IT2 = TaTI = a, T2T3 =
= TaTI = ain TIT3 = ToT2 = 2a. Vsota strani c T IT2 in T2T3 je a+a = 2a ,
to rej je enaka tretj i stranici T IT3 = 2a. Toda v pravem trikotniku je vsota
dveh st ranic vselej večja od tretj e stranice. Zato morajo biti oglišča TI ,
T2 in T3 na ist i pr emi ci. Torej leži tudi točka T3 na premi ci p , in sicer na
nasprotni strani točke T2 kakor TI .
IMatematika
a a a a
To T2
Slika 1.
p
T4
Slika 2a .
S ~S/\
...,
,,,
Če izhajamo iz trojke TI , T2 , T3 namesto iz trojke To, TI , T2 , ugot o-
vimo, da je tud i točka T4 na premici p. Tako nad aljuj emo in vidimo, da
so v tem primeru vse točke Tk na premici p.
(II) . To, TI , T2 so oglišča trikotnika, in sicer enakokrakega z vrhom v
TI , ker je TaTI = TIT2 (sliki 2a in 2b) . Naj bodo njegovi koti o , (3 in "/.
Kje leži v tem primeru točka T3? Trikotnika ToTIT2 in TIT2T3 sta skladna
(uj emata se v vseh stranicah : TaTI = TIT2 , TIT2 = T2T3 in ToT2 = TIT3),
zato imata pripadajoči očrtani krožnici K in K' enak polmer. Ker gresta
obe krožnici skozi točki TI in T2 , imamo spet dve možnosti :
(Ila) Središči S in S' krožnic K T I
in K' ležita na isti st rani st ranice
TI T2 . V tem primeru središči sov-
padata in prav tako obe krožnici , to- To~:::E----:';-~--'1
rej S' = S in K = K' . (Središče
krožnice, ki je očrtana enakokrake-
mu trikotniku, leži na isti strani kra-
ka kakor trikotnik. V našem prim eru
sta torej oba trikotnika ToTIT2 in
TIT2T3 na isti st rani st ranice TIT2 ,
kakor kaže slika 2a .) Ker se kro žnici
K in K' ujemata, ima št irikot nik
TaTIT2T3 očrtano krožnico, namreč K = K'
K =K' .
K'
o
,,,,,,,,,
is
Slika 2b.
Matematika I
(lIb) Središči S in S' sta na nasprotnih straneh st ranice TI T2 • Isto
velja v tem primeru za trikotnika ToTIT2 in TIT2T3 , ki sta tudi na nasprot-
nih straneh imenovane stranice (slika 2b) . Enakokraki trikotnik TI T2T3
ima pr i vrhu T2 kot " pri TI in T3 pa sta kota enaka cl; = {3. Zato je
štirikotnik ToT2T3TI paralelogram, nasprotne stranice so v njem vzpored-
ne. Očrtane krožnice ta št irikotnik nima. Krožnici IC in IC' sta namreč tu
različni .
Poiščimo zdaj točko T4 ! Oglejmo si najprej primer (Ila) . Ker sta
št irikot nika ToTIT2T3 in TIT2T3T4 skladna (ujemata se v vseh stranicah
in oheh diagonalah), premore tudi št irikotnik TIT2T3T4 očrtano krožnico.
Ta krožnica pa je IC , saj gre IC skozi oglišča TI, T2 in T3 (slika 2a) . To
pa pomeni, da je tudi točka T4 na krožnici IC . Če tako nadaljujemo,
ugotovimo, da ležijo vse točke Tk v pr imeru (Ila) na krožnici IC .
V primeru (lIb) štirikotnik TIT3T4T2 nima očrtane krožnice, ker
je skladni štirikot nik ToT2T3TI nima. Zato ležit a trikotnika TIT2T3 in
T2T3T4 na nasp rotnih straneh stranice T2T3 (slika 2b) . Točke TI, T3 , T4
in T2 so oglišča paralelograma in je zato stranica T2T4 vzporedna stranici
TIT3 . Ker je t udi stranica ToT2 vzporedna stranici TIT3 , vidimo, da so v
tem pr imeru točke To, T2 in T4 na isti premici.
Vzemimo zdaj zaporedj e točk
j = 0,1 ,2,3, . . .
Telo pride iz točke Tj v naslednjo točko Tj +! pri vsakem j v času ~ .
Novo zaporedje vsebuje pr ejšnj e: pri j = 2k je namreč T~k = T(2k . ~) =
= T (h) = Tk. Glede lege točk Tj imamo seveda tudi zdaj tri možnosti:
• (1) Vse točke Tj so na isti pr emici . To velja potem tudi za točke
T~k = Tk, tako da so vse točke Tj na premici p. Za prvotno zaporedje
nastopi torej primer (1) .
• (Ila) Vse točke Tj ležijo na krožnici, ki je očitno krožnica IC , na kateri
so točke T k - Torej imamo pri prvotnem zaporedju T k prav t ako primer
(Ila) .
• Če nastopi za zaporedj e Tj primer (lIb), so točke T~ = To, T~ = TI in
T~ = T2 na isti premici. To pa pomeni, da nastopi za zaporedje Tk pr imer
(1). Ker smo izčrpali vse možnosti za zaporedje Tj in se pr imer (Ilb) za
prvotno zaporedje pr i t em ni po javil, sklepamo, da primer (lIb) sp loh ni
mogoč. Tako smo dokazali, da so vse točke Tk prvotnega zaporedja bodisi
na prem ici p bodisi na kro žnici IC.
Matematika
Izb erimo poljubno naravno število n ::::: 1 in postavimo
891
T (j . ~ ) = T;n ) ,
n
j = 0,1 ,2 , ...
Za vsak n dobimo zaporedje točk Tcin),T~n) , . .. Kakor za zaporedje Tk
dokažemo, da ležijo vse točke te h zap oredij bodisi na premici bodisi na
kro žnici. Ker je T~~) = T(kn . ~) = T(kr) = Tk, je prvotno zaporedje
. vsebovano v vsakem izmed naših zaporedij. Če so torej vse točke Tk na
premici p , velja isto za vse točke T;n ) pri poljubnem j in poljubnem n.
Kad ar pa ležijo točke Tk na kro žnici K , so tudi vse točke T;n ) na K.
Naj bo t poljuben čas in se vprašajmo, kje je telo ob času t, se pravi,
kje leži točka T (t ). Denimo, da so vse točke zap oredja Tk na premici p.
Izračunajmo kvocient tir. Če je racionalen , npr. enak ulomku jin, je
t = [t Ln; točka T(t) = T(j .~) = TJn) pa leži, kakor smo pravkar ugotovili ,
. na premici p. Če kvocient tir ni racionalno število, izb erimo ulomek j in ,
ki se zelo malo razlikuje od tega kvocienta. Potem se jrln zelo malo
razlikuje od t. Ker te lo ne naredi nobenega skoka , je pripadajoča točka
T;n )zelo blizu točke T(t) . Toda točka T;n ) je na premici p. To pa
pomeni , da so na premici p točke , ki so poljubno blizu točke T(t). To je
očitno mogoče le tedaj , kadar je tudi T (t) na p. Torej za vsak t , naj bo
kvocient tir racionalen ali iracionalen , leži T (t ) na premici p. Podobno se
prepričamo, da so vse točke T( t) na krožnici K , kadar nastopi za zaporedj e
Tk primer (Ila) in so vse točke Tk na K. Tako smo dokazali t rditev
(A) Če se točkasto telo giblje v ravnini tako, d a se v enakih
. časih enako oddalji, je njegov tir premica ali krožnica.
Torej točka ne more potovati po elipsi tako, da bi prišla v enakih
časih vedno enako daleč.
Krožnica je ravninska krivulja, pri kateri imajo enako dolgi loki
enako dolge tetive. Ali je še kaka druga krivulja s to last nostjo?
Pa naj bo K ravninska krivulja (K ni premica), pri kateri pripadajo
enakim lokom enake tetive. Če se točkasto telo giblje po t ej krivulji s
konstantno hitrostjo, opiše v enakih časih enako dolge loke, tem lokom
pa pripadajo enako dolge tetive. Zato pride telo v enakih časih enako
daleč. Po trditvi (A) je tir K krožnica. Torej:
Matematika - Zanimivosti - Razvedrilo I 
'Ihdihv [A) - kot d o p  jo je postad David WtR z Oklahmdl 
hats U n i v d b  u &Q&U hericar t  Math. Monthly, (2N71, Problem , 
.05?3T- mdi v i5£mwwci&o g m e j a  in 30 l W  dekariemg fudi a 
t j e M  ~~ Vmk v diikren- gaametriji &wtml&~~, 
la ims tofhrb bib Y v- lmmt;ku nstsnlm do- hi-. V', 
gomjem dofaarm &mm pdmli, da hi- olxhjja, bmv& sama ta, 
& z W E  ne napfavl mhenega &oh 
'Jh wma obm~amli gibmje o xajvnini, Kaka je v pmskmu? Vi- I 
RWCS ja p~)~tomka rid&. U p i i  jo Ed;ka, ki &-Q krdi 
~3 kr&ci, kdnica w ~pe s bnstantno hitrwtjs prernikq v am& 
l r n d d  qa-is*o lciohice. I% i&h &-ti, d;s pride tdo, ki Be 
$blje s Lkix&mko hitrw@o po vija.Wci, v enekih && & dad&. 
Po W'je t&& edbir prmtomh k r i d a  s to lastnostjo. VeIja namreE 
rditiEw,. kt p SR. ZY aei ,boma ~~ 
'C) &t ma bi%dto bh gibue v tr%- prostom tab, 
da pride o &wih enalca dale& je ajegov tk bodisi I premb WM kmdnica hdisi