i
i
“1169-Strnad-Milena” — 2010/7/19 — 11:28 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 21 (1993/1994)
Številka 2
Strani 66–74
Milena Strnad:
ESCHERJEVO ISKANJE NESKONČNOSTI
Ključne besede: matematika.
Elektronska verzija:
http://www.presek.si/21/1169-Strnad-Milena.pdf
c© 1993 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
/""-'-/""-,."/"'" ICI,' "'"
ESCHERJEVO ISKANJE NESKONČNOSTI
Veliko matematikov občuduje dela nizozemskega slikarja Mauritsa Cornelisa
Escherja . Na srečanje z njim smo se v Preseku dolgo pripravljali . Govorili
smo o Moebiusovem traku, o ornamentih na traku in ravnini ter otlakovanju
ravnine.
Maurits Cornelis Escher je bil rojen leta 1898 v Leeuwardnu na Ni-
zozemskem. V mladosti je največ slikal krajine, predvsem majhna italijanska
in španska obmorska mesta. Te slike so polne topline, preprostosti in lepote.
Na njih je igro svetlobe tako mojstrsko prikazal, da je bilo pričakovati njegov
razvoj v odličnega krajinarja . Toda leta 1936 je obiskal čudovito mavrsko za-
puščino iz 13. in 14. stoletja, Alhambro v Granadi. Njeni abstraktn i geome-
trijski ornamenti so ga tako prevzeli, da je popolnoma prelomil z dotedanjim
liričnim slikanjem . Odslej je zavzeto proučeval simetrijske vzorce in tlakovanja
ravnine, v čemer je prepoznal enega od načinov, da likovno izrazi neskončnost .
V tej smeri je ustvaril svoja občudovanja vredna dela . Prvo priznanje , za
katero se ni posebno prizadeval , je dobil šele kakih deset let pred smrtjo leta
1972, v zadnjih desetletjih pa njegova slava narašča.
Escherjeva dela zaman iščemo po znanih svetovnih galerijah. Njegova
umetnost živi predvsem v knjigah, v njegovih zbranih delih ter kot likovna
oprema številnih matematičnih in fizikalnih knjig. Sam je rad poudarjal, da
ima več skupnega z matematiki kot z drugimi slikarji, čeprav je vsa matematič­
na spoznanja, od preprostih do zelo zahtevnih, kot so skladnost, podobnost ,
neskončnost in upodabljanje trirazsežnih predmetov na ravnini, uporabljal
povsem intuitivno, ne da bi poznal njihov globlji matematični pomen. Sam je
trdil, da v srednji šoli ni nikoli imel rad matematike in da sploh nikoli pri tem
predmetu ni dobil dobre ocene . Dejal je celo: Smešno je, da sem, tako se
zdi, šaril po matematičnih teorijah, ne da bi vedel, kaj se dogaja. V domišljiji
si me predstavljajte v družbi z vsemi temi učenimi ljudmi, kot da sem njihov
dolgo izgubljeni brat. Zdi se mi, da se ne zavedajo dejstva, da sem zares
neveden v matematiki.
Tudi poznejši poskus Escherjevega prijatelja kanadskega matematika
H.S.M .Coxetra, da bi ga naučil nekaj matematike, je bil zaman . Escher sploh
ni sledil njegovim razlagam iz neevklidske geometrije.
Escherjeve slike, v katerih je skušal upodobiti neskončnost, lahko raz-
vrstimo v tri skupine:
67
neskončni sklenjeni trakovi,
tlakovanja ravnine,
limitni prehodi.
Z deli iz prve skupine smo se srečali pri Moebiusovem traku (Presek 16
(1988/89) str.321) in Ornamentih na traku (Presek 19 (1991/92) str .130) .
V njih nismo občudovali le simetrične razporeditve vzorcev in njihovega po-
navljanja , temveč predvsem način, s katerim je Escherju uspelo ponazoriti
neskončnost. Spomnimo se njegovih mravelj, pa čete konjenikov, ki se brez
konca in kraja gibljejo po Moebiusovem traku .
Pri sklenjenih trakovih in še bolj v delih iz druge skupine - pri tlakovanju
ravnine - izstopa Escherjeva posebnost . Za razliko od svojih davnih vzornikov
za osnovni motiv ni uporabljal abstraktnih, stiliziranih vzorcev , ampak slike
Slika 1.
68
živih ali bajeslovnih bitij, kot so vojščaki, konjeniki, Pegazi, ptice, leteče ribe,
h rešči ... Poleg tega iz njegovih del veje pridih hudomušnosti, ki se tedaj , ko se
ponorčuje iz zakonov narave , sprevrže v grotesknost . Tako sta znani njegovi
sliki Vzpenjanje in spuščanje, na kateri se vojščaki neprestano vzpenjajo po
stopnicah in pri tem znova in znova prihajajo v izhodiščni položaj (slika 1) ,
in Vodni mlin , katerega kolo neprestano poganja varljivo speljani krožni tok
vode (slika 2). Obe sliki tako vzbujata občutek nenehnega gibanja .
Slika 2.
69
Vendar s tlakovanj i ravnine ali pravilnimi delitvami ravnine, kot jih je sam
imenoval, Escher ni zadostil svojim iskateljskim hotenjem. Menil je , da z njimi
ni uspel prikazati neskončnosti, ampak "le njen drobec , del plazilskega vesol-
ja" . Zato seje po letu 1955 lotil še tretjega načina ponazarjanja neskončnosti,
limitnih prehodov. Ti temeljijo na posebni uporabi podobnosti. Ta zahteva
zgolj to , da se ohrani oblika vzorca, ne pa njegova velikost.
Slika 3.
Slika 4.
70
V teh delih je dosegel vtis ne-
skončnosti na dva načina . Najprej je
pomanjševal vzorec iz središča risbe
navzven , tako da je vzorec na robu
slike Krožne meje I poniknil (slika
3) . 5e močnejši vtis neskončnosti pa
je dosegel tako, da je pomanjševal
vzorec z roba navznoter in je vzorec
poniknil v središču slike Vse manjše
in manjše (slika 4). Vzorce je po-
manjševal v geometrijskem zapored-
ju 1, 1/2, 1/4, 1/8 •.. . , tako da so
ostali sami sebi podobni .
Zanimivo je, da je v nekaterih
delih iz skupine Krožne meje Escher
sledil celo modelu Poincarčjeve ne-
evklidske geometrije. V njih se bit-
ja gibljejo in ustrezno povečujejo ali
pomanjšujejo po lokih, ki so pra-
vokotni na obod kroga . Escherju
ni bila tuja niti logaritemska spirala .
Na njeni osnovi je narisal nekaj svo-
jih nalepših del. na primer Vrtince
(slika 5). Slika 5.
Že v Ornamentih na traku smo skozi matematična očala pogledali na dela
starih mojstrov, ki so vzbudila Escherjevo zanimanje. S primerjavo ugotovimo,
koliko Escher presega stare mojstre, čeprav vsi izhajajo iz ist ih matematičnih
osnov .
Najprej primerjajmo starogrški motiv, pri katerem dosežemo napolnitev
ravnine z zasukanimi kvadrati, ki imajo vrisano krivuljo (slika 6a) . z Escherje-
vimi letečimi konji Pegazi (slika 6b) . Oba ornamenta temeljita na uporabi ist e
simetrijske grupe, generirane z dvema translacijama. Razlika med slikama je
v tem, da prva uporablja samo osnovni način tlakovanja ravnine, druga pa
je obogatena z uporabo dualnosti osnovnega, samega po sebi nesimetričnega
motiva, ki se kaže v uporabi dveh barv. Bele Pegaze je umetnik razporedil
po ravnini tako, da sestavljajo njihovo ozadje sami črni Pegaz i. Ti hkrati
izpolnjujejo vso ravnino med vsemi sosednjimi belimi Pegazi . Vse povedano
Slika 6a . Slika 6 b.
71
velja tudi v primeru, če začnemo premislek s črnimi Pegazi. Pri tem so vsi
Pegazi med seboj skladni.
Analizirajmo še staroperujski vzorec iz stiliziranih labodov (slika 7a) in
Escherjevo Pravilno delitev ravnine /II (slika 7b). Obema je spet skupna ista
simetrijska grupa .
Slika 7a . Slika 7b .
72
Le si mislimo staroperujski vzorec prepreden z vodoravnimi in navprc-
nimi črtami med posameznimi stiliziranimi labodi, vidimo, da je ornament
zgrajen le z uporabo sestave translacije vzdolž vodoravnih pasov in drsnega
zrcaljenja med sosednjimi navpičnimi pasovi . Escher pa je ravnino tlakoval
z nesimetričnimi belimi in črnimi konjeniki, ki jahajo drug mimo drugega v
nasprotnih smereh. Vzorec je enajst let pred tem uporabil tudi v Moebiusovem
traku. Iz slike vidimo, da so beli konjeniki, ki popolnoma napolnjujejo ravnino
med črnimi, njihova zrcalna slika.
Notranja , vzorcu lastna simetrija , pa je skupna osnova japonskemu vzor-
cu iz I9.stoletja (slika 8a), vzorcu iz Alhambre (slika 8b) in Escherjevi Pravilni
delitvi ravnine" (slika 8c).
Slika 8a . Slika 8b .
Slika 8e .
73
S primerjanjem bi lahko še nadaljevali, saj je Escher v svojih delih mojstr-
sko uporabljal kar trinajst različnih kristalografskih grup, kar potrjuje njegov
zanesljiv občutek za matematične zakone. Zato matematiki, ki poznajo
njegova dela, Escherja toliko bolj občudujejo .
Neskončnost je nekaj, kar vznemirja razmišljujočega človeka. Vsakdo si
jo zamišlja po svoje, v vsakomur živi v njemu lastni predstavi. Escherja je
neskončnost tako vznemirila , da jo je iskal polovico svojega življenja , čeprav
se je zavedal , da njegova rešitev tega vprašanja ne bo zanimala širokega kroga
ljudi . Na njegovih slikah se rea lnost in dom išljija tako mojstrsko prepletata,
da si vsakdo , ki jih gleda, lahko obdrži lastno predstavo o neskončnosti .
* * *
Globoka , globoka neskončnost. Mir. Sanjariti daleč od vsakdanjih sk rbi,
jadrati na premcu jadrnice po mirnem morju proti nenehno odmikajočemu
se obzorju; strmeti v hiteče valove in poslušati njihovo enakomerno mehko
mrmranje; zasanjati se v nezavednost.. .
M.C.Escher
* * *
Tri naloge s tlakovanjem
Bralci naj poskusijo rešiti tri naloge iz tlakovanja ravnine, ki so prevzete
iz revije Mathematics in School.
Naloga 1. Nadaljujte začeta t lakova nj a ravnine (a) , (b) in (c) . ki uporabljajo
isti osnovni vzorec. Poskušajte najti vsaj še dva druga načina tlakovanja rav-
nine z istim osnovnim vzorcem.
a) b) c)
74
Naloga 2. Nakazane so tri različne možnosti za tlakovanje ravnine (a) , (b) in
(c) z istim osnovnim vzorcem . Poskušajte najt i še kak drug način tlakovanja
z istim osnovn im vzorcem .
Naloga 3. Danih je dvajset različnih osnovnih vzorcev. Z vsakim izmed njih
poskušajte tlakovati ravnino . Ali vsak osnovni vzorec dopušča več različnih
možnosti za tlakovanje?
[}fJ
•
A
Milena Strnad