ISSN 0351-6652 Letnik 18 (1990/1991) Številka 4 Strani 202-205
Gregor Pavlic:
GEOMETRIJSKO SEŠTEVANJE NEKATERIH ŠTEVILSKIH VRST
Ključne besede: matematika, geometrija, teorija števil. Elektronska verzija: http://www.presek.si/18/1050-Pavlic.pdf
© 1991 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije © 2010 DMFA - založništvo
HFUEflHTIKR
GEOMETRIJSKO SEŠTEVANJE NEKATERIH ŠTEVILSKIH VRST
(A) Aristotel v enem od svojih del piše, kako so Pitagorejci znali poiskati vsoto prvih n lihih števil z uporabo geometrije.
Vzemimo kvadrat ABCD sstranico dolžine j AB \ = n in ga dopolnimo do večjega kvadrata AB'C'D' s stranico dolžine j AB' \ = n + 1 (slika l). 0'9--_pC'
n + 1
A	B
Slika I. Ploščina lika BB'C'D'DC je enaka razliki ploščin obeh kvadratov.
Slika 2. Gnomon G2.5-
OsenČeni iik BB'C'D'DC na sliki 1 so Pitagorejci imenovali gnomon. Bolj splošno je gnomon "širine" k in dolžine m sestavljen iz dveh pravokot-nikov z osnovnico k in višino m — k ter kvadrata s stranico k. Označili ga bomo s simbolom Gfc m.
Njegova ploSčina meri

G		1,3
G	V	
Slika 3.
P(Gk.m) = 2mk-k2 (1)
In sedaj k nalogi. Vzemimo kvadrat s stranico dolžine 1 (lahko ga imenujemo tudi gnomon Giri) in mu dodajmo gnomon Gi,2, temu dodajmo gnomon Gi 3 in tako naprej do gnomona Gi.n. Na ta način smo sestavili kvadrat z osnovnico dolžine n.
Ker velja zapored: p(Gi.i) = = 1.p(Gi.2) = 3.....p(Glifl) =
= 2n — 1, je naloga fe rešena: 1 +
3 + ... -f (2r> — 1) = n2
(B) Z uporabo formule
1 + 2 + 3 +... + „=*!+!)
(2)
kije geometrično utemeljena na 28. strani Pl, lahko izračunamo tudi vsoto bolj neobičajne številske vrste:
S„ = l-2 + 2-3 + 3-4+... + n-(n + l)
Delimo zgornjo enakost z 2
Sn 1-2 2-3 3-4	n-(n + l)
= —--1--r--1" ~ +	-¿
2 2 2 2 2
in za vsak sumand na desni uporabimo formulo (2). Dobimo
-2- = 1 + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) + ... + (1 + 2 + ... + n)
Nariiimozdaj pravokotnik ABCD zosnovnico dolžine | AB |= (1+2+...+n) in višino (n + 2) in ga razdelimo na pravokotnike, kot kafe slika 4.
A
*	..L.	
* h"	2	......
h	2	1
Ll		
2	6	12
r
Slika 4.
Ploščina pravokotnika ABCD
p = (l + 2+ ... + n)(n + 2) =
_ n(n+ l)(n + 2)
je vsota ploščine osenčenega lika pod stopničasto krivuljo
pi = I ■2 + 2- 3 + 3 - 4+ ...+ n(r7+l) in ploščine lika nad njo
P2 = 1 + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) + ... + (1 + 2 + ... + n)
Zato velja p(ABC D) = Sn + j^n =	Od tod pa 2e dobimo iskano
formulo:
c -t -i^Li , , , . , . / . n(n+l)(n + 2) — l-2 + 2- 3+ 3- 4+ ... + n(n+l) = —-^--
Z njeno pomoEjo lahko najdemo vsoto kvadratov prvih n naravnih Števil.
Zapišemo
1-2 + 2- 3 + 3- 4+... + n-(n + 1) = = 1(1 + 1) + 2(2 + 1) + 3(3 + 1) + ... + n(n + 1) = =s (l2 + 22 + 32 + ... + n7) + (1 + 2 + 3 + ... + n)
in že dobimo
¿a + 22 + 32 + + n7 = "(n + 1)(n + 2) _ "(n + j) _
_ n(n + l)(2n+ 1) ' 6
(C) Za konec izpeljimo še for- mulo za vsoto kubov prvih n naravnih števil na način, ki ga je v svojem pomembnem delu Fakhri opisa! arabski matematik Alkarkhi na prehodu iz 10. v 11. stoletje.
Naj ima kvadrat ABCD osno:	■*	vnico | AB |= (l + 2 + ... + n).
Razdelimo ga na n gnomonov
□__I ...I_
12 3	n
Slika 5.
Gitl, fj2tl+2» £¡3,1+2+3.....
Ploščina /c-tega gnomona lega zaporedja je po (1) in (2) enaka
2
Torej je vsota ploščin vseh gnomonov ravno vsota kubov prvih n naravnih števil
l*+2* + „. + n* = ll + 2 + „. + n? =
Gregor Pavlič
Literatura
[1]	M. Sevdič, Matematička čitanka, Naktadni zavod Hrvatske, Zagreb 1947
[2]	D.E. Smith, A/story of mathematics, Dover publ., New York 1923