IZ TEORIJE ZA PRAKSO 11 Matematika v šoli, št. 1., letnik 23, 2017 Primeri prilagoditev in opor pri reševanju matematičnih problemskih nalog na razredni stopnji Vesna Vršič Zavod RS za šolstvo Povzetek Reševanje matematičnih problemov predstavlja najvišjo taksonomsko raven znanja pri matematiki. Opre- deljujemo ga kot sposobnost uporabe obstoječih znanj v novih situacijah, uporabo kombinacij več pravil in pojmov, sposobnost uporabe konceptualnega in proceduralnega znanja. V prispevku problemske naloge ra- zumemo kot besedilne naloge, situacije, vzete iz vsakdanjega življenja, in didaktično usmerjene naloge iz ma- tematičnih okoliščin, ki so za učence nove in je za njihovo reševanje treba poiskati nove poti. Pri pouku je zelo pomembno, da učence sistematično in postopoma vpeljujemo v reševanje problemskih nalog, da omogočimo učencem, da si pridobijo čim več izkušenj z reševanjem različnih problemskih nalog, da omogočimo reševanje problemskih nalog na različne načine in da učencem pri reševanju pomagamo z različnimi prilagoditvami in oporami. Ključne besede: problemske naloge, dobra poučevalna praksa, prilagoditve oblik dela in gradiv, opore Examples of Adjustments and Support in Solving Mathematical Problems at the Primary Level Abstract The solving of mathematical problems presents the highest taxonomic level of mathematical knowledge. It is defined as the ability to use existing knowledge in new situations; to use combinations of several rules and con- cepts; and the ability to use conceptual and procedural knowledge. The paper views mathematical problems as word problems, situations taken from everyday life, and didactically-oriented tasks with mathematical cir- cumstances, which are new to the students and for which they must find new ways to solve. During lessons, it is very important that students are systematically and gradually introduced to problem solving; that we enable students to gain as much experience as possible with solving various mathematical problems; that we enable the solving of problems in different ways; and that we help students to solve them by providing various adjustments and support. Keywords: mathematical problems, good teaching practice, adjustments to work methods and materials, su- pport Uvod Različni strokovnjaki v našem šolskem sistemu s področja poučevanja matemati- ke si prizadevajo, da bi z različnimi pristo- pi čim bolj spodbudili miselne aktivnosti učencev pri pouku in jih tako pripeljali do razumevanja matematičnih pojmov in konceptov, ustreznega obvladovanja pos- topkov in algoritmov ter uporabe znanja v novih situacijah. S tem bi dvignili raven znanja naših učence in tudi raven mate- matične pismenosti. V učnem načrtu za matematiko iz leta 2011 je po celotni vertikali osnovne šole zasnovan sklop Matematični problemi in problemi z življenjskimi situacijami, ki z didaktično opredeljenimi cilji poskuša postopoma in sistematično vpeljati učen- ce v uporabo znanja ob reševanju proble- mov. Operativni cilji sklopa se nanašajo na razvijanje občutljivosti oziroma zazna- vo »problema« v matematičnih situacijah ali okoliščinah, na uporabo različnih rep- rezentacij (konkretnih, grafičnih, didak- tičnih …) za namene predstavljanja prob- lemske situacije in spoznavanja problema z različnih zornih kotov, na razvijanje in iskanja ustreznih strategij reševanja prob- lema ter na razvijanje kognitivnih in meta- kognitivnih zmožnosti. Tudi pri matema- tiki moramo razvijati bralne veščine, tako IZ TEORIJE ZA PRAKSO 12 Matematika v šoli, št. 1., letnik 23, 2017 tehniko branja kot razumevanje preb- ranega, ki so pogoj za učenčevo razume- vanje besedila oz. konteksta in informa- cij. Cilje omenjenega sklopa naj bi učitelji uresničevali ob različnih vsebinah iz geo- metrije in merjenja, aritmetike in algebre ter drugih vsebin. Kako razumemo pojem »matematični problem« Poznamo veliko razlag pojma »matema- tični problem«. Mnogi avtorji ga interpre- tirajo kot situacijo, ki je za posameznega učenca nova in neznana ter je na doslej znani način ne more rešiti, saj je za njego- vo rešitev treba poiskati nove poti in upo- rabljati drugačne miselne koncepte. Take naloge najpogosteje v učencu spodbudijo občutek nelagodja, saj si ne zna razložiti nekaterih dejstev, v začetku ne uvidi poti do rešitve, se ne spomni, da bi podobno nalogo že kdaj reševal. Če faza frustracije traja predolgo in učenec ni zmožen pois- kati pretekle izkušnje, ki bi mu pomagala pri reševanju, ali ne najde orodij oz. ideje za rešitev problema, potem naloga zanj predstavlja »nerešljivi problem«. Magaj- na Z. (2003, str. 130) pravi, da pri pouku matematike pogosto uporabljamo izraz »problem« kot sopomenko za težko nalo- go ali tudi za besedilno nalogo. Na razredni stopnji se učenci pri matema- tiki najprej srečajo z reševanjem besedil- nih nalog, ki so po mnenju Frobisherja (Vršič, 2010, str. 49) primeri šolskih na- log, vzeti iz konteksta okolja in ciljno usmerjeni ali kot jim pravijo nekateri »oblečeni računi«. Take naloge se v uč- beniških gradivih pojavljajo ob zaključ- ku posameznih sklopov. Namenjene so poglabljanju in uporabi znanja iz vsebin, ki so jih obravnavali. Najpogosteje so to vsebine iz aritmetike in so povezane z uporabo računskih operacij seštevanja in odštevanja ter množenja in deljenja. Cotič M. (1999, str. 7) pri definiciji ma- tematičnega problema navaja tri njihove komponente: • začetno stanje ali situacija, v kateri je dana vsebina problema z ustreznimi podatki in informacijami, • cilj, ki ga mora reševalec problema doseči, • pot od začetnega stanja do cilja, ki jo mora reševalec poiskati, da reši prob- lem. Tako loči probleme z zaprto potjo in za- prtim ciljem, z odprto potjo in zaprtim ciljem ter odprto potjo in odprtim ciljem. Problemske naloge s preveč podatki, s premalo podatki, z več rešitvami, ki jih prištevamo k problemom z odprto potjo in zaprtim ciljem ter problemi iz logi- ke, učence spodbujajo k divergentnemu mišljenju, jim omogočajo pridobivanje izkušenj ob uporabi različnih pristopov, jih vpeljujejo v različne strategije reševan- ja in jim omogočajo izgrajevanje lastnih konceptov reševanja. Ker so v učbeniških gradivih take naloge redko zastopane, jih morajo učitelji poiskati v dodatnih stro- kovnih gradivih. Še redkeje so v učbe- niških gradivih učiteljem in učencem na voljo odprte problemske naloge, kjer cilj problema ni očiten in je treba situacijo raziskati. Pri odprtih problemih je treba učence navajati, da razmišljajo v različ- nih možnih smereh. Zavedajo se naj, da so tudi pri matematiki lahko ustvarjalni in da ni vedno samo ene pravilne poti re- ševanja ali celo samo ene pravilne rešitve. Nekateri strokovnjaki take naloge poime- nujejo tudi raziskovalne. Pri reševanju odprtih problemov so učencem še posebej v pomoč njihove izkušnje z reševanjem, fleksibilnost in fluentnost pri iskanju reši- tev in to, da niso usmerjeni zgolj v rezultat oziroma rešitev naloge, temveč so v enaki meri pozorni tudi na pot reševanja. Različni pristopi in dobra poučevalna praksa Reševanje problemov zahteva višje misel- ne procese od razumevanja besedila (kon- teksta), analize in sinteze podatkov, upo- rabe matematičnih orodij in veščin pri re- ševanju, do vrednotenja smiselnosti poti reševanja in rešitve. Problemsko znanje pri matematiki opredeljujemo kot spo- sobnost uporabe obstoječih znanj v novih situacijah, uporabo kombinacij več pra- vil in pojmov pri soočenju z novo situa- cijo, sposobnost uporabe konceptualnega in proceduralnega znanja. S problemskim znanjem povezujemo tudi pojma odkri- vanje in raziskovanje (Žakelj, 2004). Pri reševanju problemov mora učenec povezovati različna znanja, spretnosti in načine mišljenja. Da bo učenec razu- mel zapisano problemsko situacijo, mora razumeti prebrano, imeti širok besedni zaklad, razumeti matematično strokov- no terminologijo in poznati učinkovite bralne strategije, ki mu bodo pomagale pri analitičnem razmišljanju, primerjanju in povezovanju podatkov, pri ločevanju bistvenih podatkov od manj bistvenih, postavljanju smiselnih vprašanj (pod- vprašanj), razdelitvi naloge na manjše korake itd. Učitelji se morajo zavedati kompleksnosti znanja, ki jih od učencev zahteva reševan- je matematičnih problemov, in tako skrb- no in sistematično načrtovati pouk, ki bo učence uvajal v reševanje matematičnih problemskih nalog. V didaktiki poznamo različne pristope: • Učitelj kot »model reševalca«, ki učencem predstavi svoje reševanje Učitelj učencem predstavi svojo miselno pot reševanja problemske naloge tako, da ob reševanju glasno opisuje, razlaga, kaže svoj način razmišljanja. Tako učitelj de- monstrira svoj model reševanja problems- ke naloge. K predstavitvi svojega načina reševanja naloge spodbuja tudi učence in tako lahko tudi učenci postanejo modeli. • Vodeni pristop k reševanju Vodeni pristop reševanja učitelji uporab- ljajo, ko imajo učenci še malo izkušenj z reševanjem problemskih nalog. Velik poudarek je na razvijanju strategije reše- vanja. V začetku je učencem v pomoč, če jih učitelji vodijo skozi reševanje po ustal- jenem zaporedju korakov, da si lahko za- pomnijo posamezne korake in izoblikuje- jo strategijo reševanja problemskih nalog. Pri tem lahko učitelji uporabljajo različne modele. V učbeniških gradivih (npr. Co- tič, 2015, str. 24) lahko zasledimo zapis korakov reševanja: Potek reševanja problema: • Preberi nalogo. • Podčrtaj podatke. • Naredi načrt reševanja. • Napiši račune. • Zapiši odgovor. • Preglej svojo rešitev. IZ TEORIJE ZA PRAKSO 13 Matematika v šoli, št. 1., letnik 23, 2017 Kavkler M. (2015, str. 70) predstavlja zapis korakov ob slikovni podpori: 1. Preberem nalogo in razmislim, kaj želi od mene. 8 2. Obkrožim števila, ki so pomembna. Odšli 3. Podčrtam ključne besede in premislim njihov pomen. Koliko jih 4. Podčrtam vprašanje. 5. Naredim načrt reševanja (narišem skico). 6. Napišem račune in jih izračunam. 7. Ponovno preberem vprašanje. 8. Zapišem odgovor. 9. Preverim smiselnost rešitve. vanja mora učitelj paziti, da bodo učencu pomagali in ga smiselno usmerjali pri re- ševanju, zato naj bodo splošni. V razvojnem projektu NAMARS smo s petimi učitelji razrednega pouka v letih od 2010 do 2013 vpeljevali pristop k re- ševanju matematičnih problemov na razredni stopnji in korake reševanja zas- novali iz posameznih faz problemskega pouka. a) Razumevanje problemske naloge Učitelji so preverjali, kako učenci razu- mejo besedilo oziroma kontekst naloge, zato so jim zastavljali tudi vprašanja, ki so se navezovala na besedilo naloge npr. Kje so se igrali učenci?. Ob vprašanju, kaj se je zgodilo/kaj se do- gaja (prinesel, zgubil …), so učenci pos- kušali izpostaviti ključno besedo, ki jih je usmerila v iskanje ustreznega matematič- nega orodja oz. računske operacije. Ob izpostavljeni ključni besedi so si učenci postavljali vprašanje, npr. ali jih bo imel (sedaj) več ali manj, in tako utrjevali in poglabljali razumevanje računskih ope- racij seštevanje in odštevanje. Nekateri so si iz tako pridobljenih ključnih besed ustvarili plakat, ki jim je pri samostojnem reševanju pomagal, da so se spomnili last- ne izkušnje reševanja problemske naloge. b) Predstavitev problemske naloge z različnimi reprezentacijami Učitelji so navajali učence, da razumevan- je problemske naloge prikažejo s konkret- nimi materiali, z risanjem ali oblikovan- jem skice, iz katere so izpisali tudi po- datke iz naloge. Tako oblikovano preds- tavitev vsebine problemske naloge so ob- novili s svojimi besedami. Učence se je spodbujalo, da so ob prob- lemski nalogi zastavljali tudi vprašanja, pozneje tudi podvprašanja. Za oblikovan- je podvprašanj so primerne kompleksne problemske naloge, katerih struktura be- sedila je že bolj zapletena in od učencev zahteva, da nalogo razdelijo na posamez- ne korake. c) Reševanje Učitelji so vodili učence do »praga re- šitve« potem pa jih pustili, da so sami izpeljali postopek reševanja in predstavili rešitev problemske naloge. Vloga učitelja je bila, da učence usmeri v razmišljanje, da sproti preverjajo postopek reševanja in smiselnost rešitev. č) Vrednotenje in refleksija Učenci so se v tej fazi skušali zavedati last- nih strategij reševanja problemskih nalog, se zavedati svojih močnih in šibkih pod- ročij. Učencem smo tako želeli približati siste- matičen pristop k reševanju problemskih nalog in ustvariti možnosti za razvoj last- nih strategij. Omenjeni pristop je lahko eden izmed načinov dobre poučevalne prakse, ki je namenjen vsem učencem, hkrati pa omogoča učencem, ki potre- bujejo več časa in podpore pri reševanju problemskih nalog, da strategijo nadgra- dimo in vanjo vnesejo različne prilago- ditve in opore 1 . Te korake lahko imajo učenci zapisane na plakatu in obešene v razredu na vidnem mestu ali pa si jih zapišejo na kartončke (opora) in jih zalepijo na prvo stran zvez- ka ali ob rob mizice. Učitelji lahko učence navajajo na uporabo akronimov kot npr. PIPS (Kavkler, 2007, str. 102): Preberi besedilo in poišči vse pomembne podatke v besedilu problema. Ilustriraj besedilni problem (nariši sliko, grafični prikaz). Pretvori besede v račun, ga izračunaj in napiši odgovor. Sistematično preglej celoten potek reševanja besedilnega problema. Pomembno je, da s temi modeli učencem pomagamo (Kavkler, 2009), da bodo zna- li pristopiti k samostojnemu reševanju in usvojitvi preprostih strategij reševanja po modelu. Pri izbiri modelov strategij reše- 1 Spoznanja učiteljev s tega projekta in njihovi primeri šolske prakse so bili predstavljeni na matematični konferenci KUPM 2012 (Maribor, 23. in 24. avgust 2012), na strokovnem posvetu o bralni pismenosti (Rogla, 2012), na seminarju Pristopi k reševanju matematičnih problemov na razredni stopnji, različnih delovnih srečanjih z učitelji in objavljeni v zbor- nikih (Fleksibilni predmetnik – priložnost za izboljšanje kakovosti vzgojno-izobraževalnega dela, http://www.zrss.si/zalozba/knjigarnica/podrobno?publikacija=528, 1. mednarodna Konferenca o učenju in poučevanju matematike - KUPM 2012, http://www.zrss.si/zalozba/digitalna-bralnica/podrobno?publikacija=9, Opolnomočenje učencev z izboljšanjem bralne pismenosti in dostopa do znanja, http://www.zrss.si/zalozba/digitalna-bralnica/podrobno?publikacija=50, ) ter v reviji Razredni pouk, letnik 16, številka 2-3/2014. IZ TEORIJE ZA PRAKSO 14 Matematika v šoli, št. 1., letnik 23, 2017 Učenci z učnimi težavami pri reševanju matematičnih problemov Učne težave na področju matematike se najpogosteje pri učencih kažejo kot po- časnejše usvajanje matematičnih vsebin, slabše razvite številske predstave, nerazu- mevanje matematičnih pojmov in koncep- tov, težave s pomnjenjem izvajanja pos- topkov in strategij, organizacijske težave itd. Pri tem izstopata področje aritmetike in reševanje matematičnih (besedilnih) problemov. Učenci s specifičnimi učnimi težavami imajo težave pri reševanju ma- tematičnih problemov (Kavkler, 2007, str. 101) zaradi: • kompleksnosti jezika, nepoznavan- ja besednjaka, nepoznavanja vsebine problema, nerazumevanja matematič- ne terminologije, • težave pri uporabi reprezentacij (kon- kretnih, slikovnih, didaktičnih …) za predstavitev problema, • nerazvitosti številskih predstav, • neobvladovanja aritmetičnih veščin (razumevanje algoritmov), • bralnih težav (nerazumevanje prebra- nega), • pomanjkljivo razvitih kognitivnih in metakognitivnih strategij, • manjše kapacitete delovnega spomina in priklica podatkov iz dolgotrajnega spomina, • kompleksnosti problema itd. Na začetku šolanja ima precej učencev te- žave pri reševanju matematičnih proble- mov, tudi tisti, ki nimajo težav na aritme- tičnem področju in tudi ne s percepcijo ali pomnjenjem. Kot ovira se v mnogih pri- merih pojavi slabo usvojena tehnika bran- ja, nerazumevanje prebranega, skromen besedni zaklad, nepoznavanje matematič- nega izrazoslovja in simbolike ter osebne značilnosti učencev, kot so nesistematič- nost pri delu, manjša vztrajnost, nepozor- nost, anksioznost itd. Pri mnogih učen- cih se pojavi odpor do reševanja prob- lemskih (besedilnih) nalog, saj jim učna neuspešnost znižuje motivacijo, zaznava- jo sebe kot neučinkovite in manj zmožne pri reševanju takih nalog. Pogosto se taki učenci sploh ne lotijo reševanja. Strokovnjaki in tudi izkušnje iz prakse ka- žejo, da večini učencem pri učenju zados- tuje dobra poučevalna praksa (Magajna, L., 2008), nekateri učenci pa potrebujejo pri delu dodatne prilagoditve in opore. Kako lahko učitelji organizirajo delo v razredu in prilagajajo pristop reševanja zmožnostim učencev: a) Z učenci, ki imajo težave, dlje časa uporabljajo vodeni pristop Ko so ostali učenci v razredu že zmožni samostojno reševati problemske naloge, učitelj lahko učence s težavami na tem področju zbere v manjšo skupino in jih še naprej vodi pri reševanju. Pri tem jim pri- lagaja tempo dela, izbira najbolj primerne didaktične pripomočke za predstavitev problema, omogoča tiho in glasno bran- je besedila in razgovor o prebranem, jih vodi pri oblikovanju skice itd. b) Učence navajajo na sodelovalno delo (v dvojicah ali manjših skupinah) Pristop je zlasti primeren, če imajo učenci težave pri branju in razumevanju prebra- nega ter še ne obvladajo strategije reševan- ja. Učitelj delo organizira tako, da učenca najprej drug drugemu prebereta prob- lemsko nalogo, zastavljata vprašanja o prebranem, skupaj narišeta skico in van- jo izpišeta podatke, nato si predstavita strategijo reševanja. Nato vsak samostoj- no reši problemsko nalogo. Ob koncu re- ševanja primerjata rezultate naloge in pot reševanja ter skušata razložiti, zakaj sta tako reševala. Priporočljivo je, da obliku- jemo dvojice učencev z različnimi zmož- nostmi in predznanjem. c) Učenci sodelujejo v manjših skupinah Člani skupine lahko rešujejo enako prob- lemsko nalogo ali pa različne glede na zahtevnost ali vsebino. Če učenci rešujejo enako problemsko nalogo, je smiselno, da naloga omogoča, da se jo reši po različ- ni poti (odprti, kompleksni problem) ali da ima naloga (raziskovalni problem) več rešitev. Namen takega pristopa je, da si učenci med seboj predstavijo različne ide- je reševanja, postavijo si različna vprašan- ja (ali podvprašanja), poiščejo manjkajoče podatke … T ako bodo manj zmožni učen- ci ob pomoči sošolcev izpeljali nalogo na »že znan« način, poiskali manj rešitev, poiskali odgovore na vprašanja manjše zahtevnosti, hkrati pa bodo seznanjeni in imeli uvid v reševanje problemskih nalog zmožnejših učencev. Vsak član skupine naj ob koncu predstaviti delo in dobljene rezultate, kaj so delali in kaj so odkrili. Pri refleksiji je zelo pomembno, da učenci osmišljajo lastno delo. č) Samostojno individualno reševanje Tudi od učencev z učnimi težavami priča- kujemo, da bodo znali samostojno rešiti problemske naloge, torej opravljajo ena- ko dejavnost kot njihovi sošolci (Kavkler, 2008), vendar bodo pri delu potrebovali prilagoditev problemske naloge. S pomoč- jo prilagoditev lahko učenci »dokažejo« usvojenost znanja, vendar na drugačen način. Kako lahko prilagajamo gradiva za re- ševanje problemskih nalog? a) V zapisu besedila naloge poudarimo ključne podatke in ključne besede. Primer naloge: Skupina 20 učencev je za skupinsko vstopnico v Tehniški muzej plačala 48 evrov. Če bi učenci kupili posamezne vstopnice, bi vsak učenec plačal za vstopnico 3 evre. Koliko evrov so učenci privarčevali z nakupom skupinske vstopnice? b) V problemski nalogi z več podatki vsak nov »sklop« podatkov zapišemo v novo vrstico. Primer naloge: Kolesarska proga je dolga 915 km. Kolesarji jo v celoti želijo prevoziti v štirih dneh. • Prvi dan so prevozili 218 km, • drugi dan 32 km manj kot prvi dan, • tretji dan 35 km več kot drugi dan. Koliko km proge morajo prevoziti četrti dan? c) Ob nalogi pripravi slovarček manj znanih besed ali matematične termi- nologije. IZ TEORIJE ZA PRAKSO 15 Matematika v šoli, št. 1., letnik 23, 2017 Primer naloge: Za koliko se razlika števil 785 in 437 razlikuje od razlike števil 877 in 348? č) Pripravimo skico, ki jo morajo učenci dopolniti glede na dane podatke (pri- pravljeno že ob zapisu naloge ali na samostojnem učnem listu). Primer naloge: Iz stiskalnice so dobili 15 litrov sadnega soka. Pripravili so štirinajst steklenic po liter in osem steklenic po pol litra. Napolnili so že 10 steklenic po en liter in 5 steklenic po pol litra. a) Pobarvaj steklenice napolnjene s sokom. b) Koliko steklenic bodo še napolnili s preostalo količino soka? c) Koliko steklenic bo ostalo praznih? d) K problemski nalogi z veliko podatki pripravimo preglednico, kamor učenec izpiše- jo dane podatke iz naloge. Primer naloge: Likovni krožek obiskuje 11 učencev 1. razreda, 8 učencev 2. razreda in 9 učencev 3. razreda. Pravljični krožek obiskuje 14 učencev 1. razreda, 11 učencev 2. razreda in nekaj učencev 3. razreda. Pravljični krožek obiskuje 5 učencev več kot likovni krožek. Koliko učencev 3. razreda obiskuje pravljični krožek? DOPOLNI PREGLEDNICO: Likovni krožek obiskuje: 1. RAZRED 2. RAZRED 3. RAZRED ŠTEVILO UČENCEV Pravljični krožek obiskuje: 1. RAZRED 2. RAZRED 3. RAZRED ŠTEVILO UČENCEV e) H kompleksni nalogi pripravimo podvprašanja (zapisana že ob nalogi ali na dodat- nem učnem listu, vprašanja so lahko zapisana tudi na posameznih trakovih). Primer naloge: Mihaela bere za domače branje knjigo Anastazija Krupnik, ki ima 144 strani. Knjigo želi prebrati v desetih dneh. Prvi dan je prebrala 12 strani v knjigi, drugi dan tri strani več kot prvi dan, v naslednjih treh dneh pa je prebrala polovico vseh strani v knjigi. Koliko strani mora še prebrati v preostalih dneh, če želi knjigo prebrati do konca? Naslednja vprašanja naj te vodijo pri reševanju problemske naloge: • Koliko strani v knjigi je prebrala drugi dan? • Koliko je polovica Vseh strani v knjigi? • V kolikih dneh je prebrala polovico vseh strani v knjigi? • Koliko strani v knjigi ji je preostalo še do konca? IZ TEORIJE ZA PRAKSO 16 Matematika v šoli, št. 1., letnik 23, 2017 f) Kompleksno nalogo strukturiramo na več delov. Primer naloge: Marija in njena sestra Lucija se odpravita od doma istočasno in se peljeta s kolesi do šole, ki je oddaljena 6 km. 1. Marija vozi svoje kolo tako, da prevozi 3 km v 17 minutah in vozi s stalno hitrostjo. Koliko časa bo potrebovala Marija, da pride do šole? 2. Lucija vozi kolo tako, da prevozi 1 km v 6 minutah in vozi s stalno hitrostjo. Koliko časa bo potrebovala Lucija, da pride do šole? 3. Katera prispe v šolo prej? g) Skrajšamo vsebino zapisa naloge. Primer naloge: Revija PIL je mesečnik za mlade od 9. do 12. leta. Na leto izide 14 številk, od tega sta dve obsežnejši in dve tematski. Cena ene številke Pila v prosti prodaji je 3,49 €. Cena za individualne naročnike je 3,16 €, za naročnike v šoli pa 2,95 €. Naročnina se poravna v dveh obrokih. Naročnina za tujino se poravna vnaprej in znaša 122 €. Razišči, katera oblika naročnine bi bila cenovno najbolj ugodna. Primer prilagojene naloge: Na leto izide 14 številk revije Pil. Cena ene številke Pila v prosti prodaji je 3,49 €. Cena za individualne naročnike je 3,16 €, za naročnike v šoli pa 2,95 €. Razišči, katera oblika naročnine bi bila cenovno najbolj ugodna. Že pri vodenem delu moramo učence navajati, da uporabljajo različne opore, ki jim pomagajo pri razmišljanju in reševan- ju. Opore so lahko: kartončki z zapisom korakov reševanja ali zapis akronima, barvni kartončki za izpis podatkov, kon- kretni material (gumbi, krožci, palčke, vrvice …), modeli (likov, teles, desetiške enote, deli celote, denar, ura …), podla- ge z različnimi preglednicami, didaktični material (številski trak, stotični kvadrat …), podlage s preglednicami za pisni al- goritem. Slika 1: Prazen stotični kvadrat, namenjen podpori pri izvajanju postopka seštevanja in odštevanja Opore so učinkovite, če učence podpirajo pri razmišljanju, nikakor pa ne smejo po- nujati že »gotovih« rezultatov, zato mora učitelj strokovno presodili, kdaj številski trak, stotični kvadrat, tabela s poštevanko res spodbuja učence k razmišljanju ali jim zgolj ponuja lažjo pot oziroma že gotove rezultate. Na različnih izobraževanjih uči- telje spodbujamo, da učence pri usvajanju računskih operacij navajajo na uporabo »praznega« številskega traku ali številske osi, prav tako tudi stotičnega kvadrata, kjer jim zapis ponuja le vizualno podpo- ro, s katero si pomagajo pri predstavlji- vosti. Tako oblikovana gradiva so lahko prelepljena s folijo in tako pripravljena omogočajo, da jih bodo lahko učenci več- krat uporabljali. Pri delu v praksi je bilo ugotovljeno, da znajo učenci bolj ceniti in smiselno uporabljati opore, ki jih sami izdelajo. Zato priporočamo, da učitelji na- menijo čas npr. pri dopolnilnem pouku, dodatni strokovni ali skupinski pomoči temu, da si učenci izdelajo opore, ki jih bodo uporabljali pri delu. Slika 2: Primer izdelane lastne opore modela ure (lastna fotografija) IZ TEORIJE ZA PRAKSO Matematika v šoli, št. 1., letnik 23, 2017 Zaključek Reševanje problemskih nalog predstavlja najvišjo taksonomska raven znanja pri matematiki, ki od reševalca zahteva uporabo različnih vrst znanja, razvitost zahtevnejših miselnih sposobnosti, poznavanje in uporabo različnih strategij ter razumevanje matematičnih pojmov in konceptov. V tako zahtevno delo pa lahko uve- demo učence le postopno in sistematično. Učitelji naj bi učencem omogočili, da si pridobijo čim več izkušenj z reševanjem problemskih nalog, zato je pomembno, da so v pouk vključene čim bolj pogosto kot izhodišče za obravnavo nove učne vsebine ali ponovitev predznanja ali poglabljanje znanja in izhajajo iz vseh vsebin- skih sklopov. Problemske naloge naj pri pouku ne bi bile načrtovane kot popestritev pouka ali kot naloge, namenjene zmožnejšim učencem, ali za domače delo. Učitelji, ki so sodelovali v projektu, so ugotovili, da so problemske naloge zmožni rešiti tudi učenci, ki imajo težave pri matematiki, če so bili deležni sistematičnega vodenja pri delu ter se jim je omogočal drugačen pristop k reševanju problemskih nalog. ■ Viri Cotič, M. (1999). Matematični problemi v osnovni šoli: Teoretična zasnova modela in njegova didaktična izpeljava. Ljubljana: Zavod RS za šolstvo. Cotič, M. et. al. (2015). Svet matematičnih čudes 5, učbenik za matematiko v 5. razredu osnovne šole. 2. izdaja. Ljubljana: DZS. Kavkler, M. et. al. (2007). Učenci s specifičnimi učnimi težavami: skriti primanjkljaji – skriti zakladi, Ljubljana: Društvo Bravo. Kavkler, M. et. al. (2008). Razvoj inkluzivne vzgoje in izobraževanja – izbrana poglavja v pomoč šolskim timom. Priročnik za učitelje. Ljubljana: Zavod RS za šolstvo. Kavkler, M. (2009). Modeli in strategije za obravnavo učencev z učnimi težavami – vpliv na spremembe v poučevalni praksi. Sodobna pedagogika, letnik 60 (126), številka 1, str. 362–375. Kavkler, M. (2015). Težave pri učenju matematike: strategije za izboljšanje razumevanja in učnih dosežkov učencev. Ljubljana: Društvo Bravo. Magajna, L., idr. (2008). Učne težave v osnovni šoli: koncept dela. Ljubljana: Zavod RS za šolstvo. Magajna, Z. (2003). Problemi, problemsko znanje in problemski pristop pri pouku matematike. Matematika v šoli, letnik X, številka 3-4, str. 129-138. Vršič, V . (2010 ). Matematični problemi - izziv za učitelje in učence. Razredni pouk, letnik 11, številka 3, str. 47–51. Žakelj, A. (2004). Uporaba Gagnejeve taksonomije pri pouku matematike, Matematika v šoli, številka 11, str. 64–83. Žakelj, A., idr. (2011). Učni načrt. Matematika. [elektronski vir]. Ljub- ljana: Zavod RS za šolstvo. 17 Foto: Shutterstock