        P 48 (2020/2021) 4 19 Virialni teorem K̌ S Virialni teorem je pomembna fizikalna enačba, ki povezuje kinetično in potencialno energijo sis- tema delcev v stacionarnem stanju. Leta 1870 ga je prvi formuliral nemški fizik in matematik Ru- dolf Clausius, ki je bil eden od utemeljiteljev ter- modinamike. Kasneje so ga nadgradili mnogi fi- ziki in astronomi ter uporabili v raznih področjih fizike. Viralni teorem je zelo uporaben v astrofi- ziki, saj je močno orodje, s katerim iz opazovanj dinamike delov sistema izračunamo ključne lastno- sti sistema; pogosto je to njegova masa. Pri tem je govora o zvezdnih kopicah, ki so gravitacijsko ve- zane skupine zvezd; o galaksijah, pri katerih iz gi- banja zvezd izračunamo t. i. virialno maso; o jatah galaksij, ki so gravitacijsko vezane skupine gala- ksij, in še o kakšnih drugih, ki bodo podrobneje opisani v članku. Najprej se bomo podali v izpe- ljavo teorema in si nato ogledali, kako je teorem opozoril na obstoj temne snovi. Izpeljava Zamislimo si, da imamo sistem več delcev, tj. točka- stih teles. Recimo, da kot Mali princ plujemo po pra- znem vesolju, ko iz žepa zagrabimo pest N frnikol in jih posujemo po prostoru. Gibanje naših frnikol opi- SLIKA 1. Slika Jate v Berenikinih kodrih posneta s kamero Advanced ca- mera for surveys na vesoljskem teleskopu Hubble. Vidno polje je veliko 9,01ˆ6,40 ločnih minut in zajema le središčni del jate. Sicer se jata na nebu razprostira na območju, večjem od dveh stopinj, foto: NASA, ESA, Hubble Heritage Team (STScI/AURA). šemo v inercialnem sistemu. Položaje matematično zapišemo z radij vektorji r, torej vektorji, ki kažejo od koordinatnega izhodišča do delcev. Hitrost je po definiciji časovni odvod položaja v “ drdt , gibalna ko- ličina pa p “ m drdt . Začnimo z definiranjem količine Q: Q ” ÿ i pi ¨ ri, (1) pri čemer sta pi gibalna količina in ri radij vektor delca i. Vsota teče po vseh delcih sistema. Na dolgo bi vrsto zapisali kot řN i“1, a v literaturi je navada, če gre vsota po vseh možnih vrednostih, ki jih sumacij-         P 48 (2020/2021) 420 ski indeks i lahko zavzema (tukaj od 1 do N), potem samo napišemo ř i. Časovni odvod količine Q je dQ dt “ ÿ i ˆ dpi dt ¨ ri ` pi ¨ dri dt ˙ . (2) Enačbo (1) lahko zapišemo še drugače. Namesto gi- balne količine i-tega delca vstavimo njeno definicijo mi dri dt ter namesto ri ¨ dri dt zapišemo 1 2 d dt ` r 2i ˘ : dQ dt “ d dt ÿ i mi dri dt ¨ ri “ d dt ÿ i 1 2 d dt ` mir 2 i ˘ “ 1 2 d2I dt2 . (3) Na koncu prepoznamo izraz za vztrajnostni moment i-tega delca, vsota po vseh delcih pa da celotni vztraj- nostni moment sistema: I “ ř i Ii “ ř imir 2 i . Ena- čimo oba izraza za časovni odvod ((2) in (3)) in do- bimo 1 2 d2I dt2 ´ ÿ i pi ¨ dri dt “ ÿ i dpi dt ¨ ri. (4) Drugi člen na levi strani lahko še nadalje izračunamo: ´ ÿ i pi¨ dri dt “´ ÿ i mivi¨vi “ ´2 ÿ i 1 2 miv 2 i “ ´2K. Na koncu prepoznamo izraz za kinetično energijo i- tega delca, vsota po vseh delcih pa nam da skupno kinetično energijo sistema K. Ko ta rezultat vnesemo v enačbo (4) in upoštevamo drugi Newtonov zakon Fi “ dpidt , pridemo do izraza 1 2 d2I dt2 ´ 2K “ ÿ i Fi ¨ ri (5) Na desni strani enačbe imamo količino, ki se imenuje Clausiusov virial ali na kratko le virial. Sila, ki deluje na delec, izvira iz ostalih delcev v sistemu. To zapi- šemo kot Fi “ ř j,j‰i Fij . Fi je skupna sila, ki deluje na delec i, Fij pa je sila, s katero deluje delec j na delec i. Vsota teče po vseh delcih j, seveda z izjemo delca i, saj ta ne deluje s silo sam nase. Uporabimo še en trik ri “ 12 ` ri ` rj ˘ ` 12 ` ri ´ rj ˘ in zapišimo virial malo drugače ÿ i Fi ¨ ri “ ÿ i ¨ ˝ ÿ j,j‰i Fij ˛ ‚¨ ri “ 1 2 ÿ i ¨ ˝ ÿ j,j‰i Fij ˛ ‚¨ ` ri`rj ˘ ` 1 2 ÿ i ¨ ˝ ÿ j,j‰i Fij ˛ ‚¨ ` ri´rj ˘ . Po tretjem Newtonovem zakonu velja Fij “ ´Fji. Za- mislimo si, da dvojno vrsto v prvem členu zadnjega izraza na dolgo razpišemo. Ko prva vrsta po i pride do delca k in druga vrsta po j pride do delca l, bo ta člen vrste 12Fkl prk ` rlq. V nekem drugem členu te vrste pa imamo obratno, i “ l in j “ k. Ta člen je 1 2Flk prl ` rkq. Ker sta si sili po tretjem Newtonovem zakonu ravno nasprotni, se ta dva člena odštejeta. To sklepanje velja za vsak par delcev, zatorej je celo- tna vrsta enaka nič. Tako lahko virial zapišemo kot ÿ i Fi ¨ ri “ 1 2 ÿ i ÿ j,j‰i Fij ¨ ` ri ´ rj ˘ . (6) Tipično v astrofiziki delca med sabo interagirajo preko gravitacijske sile. Njena definicija kot vektor- ska količina je Fij “ G mimj r 2ij rj ´ ri rij , (7) pri čemer je rij “ ∣ ∣ ∣rj ´ ri ∣ ∣ ∣ razdalja med delcema i in j. Izraz za gravitacijsko silo (7) vnesemo v izraz za virial (6) in računamo: ÿ i Fi ¨ ri “ ´ 1 2 ÿ i ÿ j,j‰i G mimj r 3ij ` rj ´ ri ˘2 “ ´1 2 ÿ i ÿ j,j‰l G mimj rij . (8) V zadnjem izrazu smo dobili izraz za gravitacijsko potencialno energijo med delcema Uij “ ´ Gmimj rij . Seveda velja Uij “ Uji, to je ena in ista količina. Po- dobno kot smo imeli prej, imamo v vrsti v zadnjem izrazu (8) pri enem členu i “ k, j “ l ter pri nekem drugem členu i “ l, j “ k. Zato se nam v vrsti dva- krat pojavi potencialna energija para delcev k in l in         P 48 (2020/2021) 4 21 je vsota vrste enaka dvakratniku celotne gravitacij- ske potencialne energije sistema U. Končno lahko iz- računamo virial: ÿ i Fi ¨ri “ ´ 1 2 ÿ i ÿ j,j‰i G mimj rij “ 1 2 ÿ i ÿ j,j‰i Uij “ U. (9) Vrnimo se k naši prvotni izpeljavi. V izrazu (5) virial nadomestimo s potencialno energijo sistema: 1 2 d2I dt2 ´ 2K “ U. (10) Naslednji korak je, da zapišemo časovno povprečje te enačbe. Povprečje matematične funkcije izraču- namo po istem kopitu kot povprečje diskretnih koli- čin, npr. meritev. Seštejemo vse meritve in delimo s številom meritev. Ker je funkcija zvezna, namesto, da seštevamo, integriramo ter namesto, da delimo s številom sumandov, delimo z velikostjo integracij- skega intervala. Matematično definiramo kot xf y “ şb a f pxq dx b ´ a . Časovno povprečje pa samo pomeni, da funkcijo ča- sa integriramo po časovnem intervalu. Ravno to na- redimo na enačbi (10) 1 2 B d2I dt2 F ´ 2xKy “ xUy. Povprečje drugega odvoda vztrajnostnega momenta lahko izračunamo: B d2I dt2 F “ 1 τ ż τ 0 d2I dt2 dt “ 1 τ ˆ dI dt ˇ ˇ ˇ ˇ τ ´ dI dt ˇ ˇ ˇ ˇ 0 ˙ . (11) Če je sistem periodičen, kot na primer dvojne zvez- de, lahko za τ določimo periodo sistema in se člena zadnjega izraza odštejeta. Če pa to ne velja, pa pov- prečje vseeno pade na nič, če le dovolj dolgo pov- prečimo, torej τ Ñ 8. To velja za sisteme, ki so že dosegli statistično ravnovesje, oz. rečemo, da so virializirani. V takem primeru je odvod dIdt omejen med največjo in najmanjšo vrednostjo, razlika v okle- paju v (11) je končna količina, faktor 1τ pa gre proti nič, ko gre τ proti neskončnosti. Sedaj, ko imamo A d2I dt2 E “ 0, smo končno prispeli do virialnega teo- rema 2xKy ` xUy. “ 0 (12) Celotna mehanska energija je E “ K ` U , zato velja še xEy “ ´xKy, xEy “ 1 2 xUy. Potencialna energija satelita v krožni Zemljini orbiti je U “ ´GMmr , pri čemer je M masa Zemlje, m masa satelita in r polmer kroženja. Ker je njegova krožilna hitrost v “ b GM r , je kinetična energija K “ mv2 2 “ GMm 2r . Tako res velja U “ ´2K. Mehanska energija satelita je E “ U ` K “ ´GMm2r , tako da velja tudi E “ ´K “ 12U . Pomen in primer uporabe Fritz Zwicky je bil švicarski astronom, ki je večino ži- vljenja deloval na California Institute of Technology ter bil del osebja na observatorijih Mount Wilson in Palomar. V času med in po drugi svetovni vojni se je ukvarjal z raketnim pogonom. Znan je po mnogih stvareh; ena od teh je, da je skupaj z Walterjem Ba- adom skoval termin supernova. Te je zavzeto iskal na nočnem nebu s primerjanjem fotografksih plošč na oko; v življenju jih je odkril kar 120. Je tudi oče termina nevtronska zvezda. Leta 1937 je objavil čla- nek, dolg pol strani, v katerem je predlagal, da bi kot posledica takrat še sveže Einsteinove splošne teorije relativnosti galaksije delovale kot gravitacijske leče. To bi dalo novo preizkušnjo za novo teorijo gravita- cije ter omogočilo opazovanja sicer pretemnih, zelo oddaljenih objektov. Nenazadnje bi to bil način me- ritve mase galaksije, ki deluje kot leča. Tako bi lahko razjasnili neujemanje njegovega predhodnega odkri- tja, ki se tiče našega virialnega teorema. Leta 1933 je Zwicky objavil članek, v katerem je komentiral takratno novo tehniko določevanja raz- dalj do izvengalaktičnih meglic (kot so takrat rekli galaksijam) preko rdečega premika in možne teore- tične kozmološke razlage tega pojava. Eno poglavje članka nosi naslov Komentarji o disperziji hitrosti v Jati v Berenikinih kodrih. V njem najprej omeni opa- zovane razlike v hitrosti galaksij od 1500 do 2000         P 48 (2020/2021) 422 SLIKA 2. Fritz Zwicky, foto: Caltech, Palomar Observatory. km/s. Če je sistem Jate v Berenikinih kodrih (ang. Coma cluster) v mehaničnem stacionarnem stanju, potem zanjo velja virialni teorem (12). Privzemimo, da je masa porazdeljena enakomerno po Jati, da po- enostavimo oceno. Jata ima približen polmer R en milijon svetlobnih let in vsebuje 800 galaksij, vsaka z maso 109 mas Sonca. Tako imamo maso M « 800 ¨ 109 ¨ 2 ¨ 1030 kg “ 1,6 ¨ 1042 kg. Potencialna energija gravitacijsko vezane homogene krogle je U “ ´3 5 GM2 R . Specifična potencialna energija Jate, torej potencial- na energija na maso, je ǫp “ U M « ´64 ¨ 108m 2 s2 . Specifična kinetična energija je potemtakem ǫk “ ´ ǫp 2 “ 32 ¨ 108m 2 s2 . Če to enačimo z v̄ 2 2 , je povprečna hitrost v̄ “ 80 km s . V enem od prejšnjih poglavij izvornega članka je za- pisana opazovana povprečna hitrost galaksij te jate, ki je 7500 km/s, kar je mnogo več, kot smo naraču- nali. Kot pravi Zwicky po zadnjemu rezultatu: »Da bi pridobili, kot opazovano, zmeren Dopplerjev efekt 1000 km/s ali več, bi morala povprečna gostota Jate v Berenikinih kodrih biti vsaj 400-krat večja kot izra- čunana na podlagi opazovanj svetle snovi /. . . /. Če bo to potrjeno, bo vodilo do presenetljivega rezul- tata, da je gostota temne snovi mnogo večja od go- stote svetle snovi.« Ta Zwickyjev članek je prelomen v zgodovini razi- skovanja vesolja, kajti je eno od pionirskih del, kjer so astronomi prišli na sled obstoju temne snovi. Av- tor je podal močan argument za njen obstoj kot re- šitev neujemanja rezultatov novih opazovanj. Dolgo časa so zamisel obravnavali kot le eno izmed možno- sti za razlago uganke; široko sprejeta je postala šele v 70-ih in 80-ih letih z odkritji ravnih rotacijskih kri- vulj galaksij. Predstavljen izračun, ki sledi originalnemu članku, naj služi kot primer pomembnosti virialnega teore- ma v astrofiziki. Več ostalih računskih primerov pa si lahko obetate v prihodnjih številkah Preseka. Literatura [1] B. W. Carroll in D. A. Ostlie, Introduction to mo- dern stellar astrophysics, Addison-Wesley Publi- shing Company, Inc. 1996. [2] Palomar Skies dostopno na palomarskies. blogspot.com/2008/02/happy-birthday- fritz-zwicky.html, ogled 24. 12. 2020. [3] Wikipedia contributors, »Fritz Zwicky«, Wi- kipedia, The Free Encyclopedia, dostopno na en.wikipedia.org/w/index.php?title= Fritz_Zwicky&oldid=980194858, ogled 23. 12. 2020. [4] Angleški prevod originalnega članka, dostopno na ned.ipac.caltech.edu/level5/March17/ Zwicky/frames.html, ogled 23. 12. 2020. ˆ ˆ ˆ www.dmfa-zaloznistvo.si