i
i
“1367-Pisanski-Kockasti” — 2010/7/27 — 14:10 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 26 (1998/1999)
Številka 2
Strani 84–85
Tomaž Pisanski:
KOCKASTI DODEKAEDER
Ključne besede: zanimivosti, razvedrilo, matematika, geometrija, teo-
rija grafov, pravilna telesa, skeleti, grafi.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/26/1367-Pisanski.pdf
c© 1998 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
Zanimivosti - Razvedrilo I
KOCKASTI DODEKAEDER
Namen prispevka je opozoriti, da je potrebno razlikovati med geometrij-
skim telesom in njegovim skeletom: grafom. Medtem ko je telo geome-
trijski pojem, ki ima oglišča, robove in ploskve, pa je njegov graf le kom-
binatorični pojem, v katerem postanejo oglišča točke (ali vozlišča) grafa,
robovi pa povezave grafa. Medtem ko je mogoče npr. izmeriti dolžino roba
telesa, je povezava le oznaka za sosednost točk grafa. Več o grafih najdete
v knjižici Drago Bajc, Tomaž Pisanski: Najnujnejše o gteiiti, Ljubljana,
DMFAS, 1985 .
Pravilna telesa so občudovali že v stari Grčiji. O tem govori tudi
njihovo poimenovanje, saj jim pravijo tudi platonska telesa. Eden mate-
matičnih čudežev, ki se skriva v njih, je simetrija. Simetrije so namreč
v nekem smislu največ, kar lahko pričakujemo pri telesih. To ima tudi
povsem praktične posledice, npr. v kemiji. Čeprav je število znanih mo-
lekul ogromno, njihove simetrije lahko razvrstimo v zelo majhno število
predalčkov. Bralec, ki ga tole nematematično govorjenje ne prepriča, se
bo moral seznaniti z različnimi zahtevnejšimi matematičnimi pojmi. Naj-
pomembnejši koncept, ki manjka, je pojem grupe.
K
s
1
D
c
Slika 1. Dodekaeder.
Pravilna telesa so tetraeder, oktaeder, heksaeder - kocka, dodekaeder
iri ikozaeder. Prve tri dobro poznamo in jih srečamo tudi v šoli -. Tetraeder
je pravilna tristrana piramida, oktaeder je pravilna štiristrana bipiramida.
To pomeni, da ga lahko dobimo tako, da zlepimovzdolž obeh osnovnih
ploskev dve pravilni štiristrani piramidi. O kocki najbrž ni potrebno iz-
gubljati besed.
Zanimivosti - Razvedrilo
Na sliki 1 si lahko ogledamo, kako je videti dodekaed er, če ga po-
gledamo od zgora j . Naštejemo 20 oglišč, 30 robov in 12 petkotnih lic.
Zanimivo pa je, da je mogoče dodekaedru nadeti kockasto obliko (slika 2).
s
L
G
H
R
F
Q
p
o
.----"-'W--;.-- ..
K
E " , ', ,
D
A B c
Slika 2. Če graf s slike 1 narišemo drugače, dobimo kockasti dod ekaed er.
.......... ..•.......
• ............. ,..
.......
~ .
~..._...~~.....•.
! .~ _..__.._.
........•....... . "; ::: .
. ~
. 0
....
..... . .
...-. . .
Slika 3. Skelet t ega t elesa je graf, ki ga poznamo v kemiji in špor t u .
Nedavno je Siemion Fajtlowicz, matematik z Univerze v Houstonu, ·
Teksas , na nekem znanstvenem srečanju v ZDA prikazal zanimiv graf
(slika 3) . Če ga narišemo drugače , dobimo te lo, ki ga dob ro poznajo
navdušeni špo rtniki, v prejšnjem desetletju pa je povzročilo t udi majhno
revolucijo v kemiji ogljika.
Tomaž Pisanski