i i “1367-Pisanski-Kockasti” — 2010/7/27 — 14:10 — page 1 — #1 i i i i i i List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN 0351-6652 Letnik 26 (1998/1999) Številka 2 Strani 84–85 Tomaž Pisanski: KOCKASTI DODEKAEDER Ključne besede: zanimivosti, razvedrilo, matematika, geometrija, teo- rija grafov, pravilna telesa, skeleti, grafi. Elektronska verzija: http://www.presek.si/26/1367-Pisanski.pdf c© 1998 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije c© 2010 DMFA – založništvo Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo- ljeno. Zanimivosti - Razvedrilo I KOCKASTI DODEKAEDER Namen prispevka je opozoriti, da je potrebno razlikovati med geometrij- skim telesom in njegovim skeletom: grafom. Medtem ko je telo geome- trijski pojem, ki ima oglišča, robove in ploskve, pa je njegov graf le kom- binatorični pojem, v katerem postanejo oglišča točke (ali vozlišča) grafa, robovi pa povezave grafa. Medtem ko je mogoče npr. izmeriti dolžino roba telesa, je povezava le oznaka za sosednost točk grafa. Več o grafih najdete v knjižici Drago Bajc, Tomaž Pisanski: Najnujnejše o gteiiti, Ljubljana, DMFAS, 1985 . Pravilna telesa so občudovali že v stari Grčiji. O tem govori tudi njihovo poimenovanje, saj jim pravijo tudi platonska telesa. Eden mate- matičnih čudežev, ki se skriva v njih, je simetrija. Simetrije so namreč v nekem smislu največ, kar lahko pričakujemo pri telesih. To ima tudi povsem praktične posledice, npr. v kemiji. Čeprav je število znanih mo- lekul ogromno, njihove simetrije lahko razvrstimo v zelo majhno število predalčkov. Bralec, ki ga tole nematematično govorjenje ne prepriča, se bo moral seznaniti z različnimi zahtevnejšimi matematičnimi pojmi. Naj- pomembnejši koncept, ki manjka, je pojem grupe. K s 1 D c Slika 1. Dodekaeder. Pravilna telesa so tetraeder, oktaeder, heksaeder - kocka, dodekaeder iri ikozaeder. Prve tri dobro poznamo in jih srečamo tudi v šoli -. Tetraeder je pravilna tristrana piramida, oktaeder je pravilna štiristrana bipiramida. To pomeni, da ga lahko dobimo tako, da zlepimovzdolž obeh osnovnih ploskev dve pravilni štiristrani piramidi. O kocki najbrž ni potrebno iz- gubljati besed. Zanimivosti - Razvedrilo Na sliki 1 si lahko ogledamo, kako je videti dodekaed er, če ga po- gledamo od zgora j . Naštejemo 20 oglišč, 30 robov in 12 petkotnih lic. Zanimivo pa je, da je mogoče dodekaedru nadeti kockasto obliko (slika 2). s L G H R F Q p o .----"-'W--;.-- .. K E " , ', , D A B c Slika 2. Če graf s slike 1 narišemo drugače, dobimo kockasti dod ekaed er. .......... ..•....... • ............. ,.. ....... ~ . ~..._...~~.....•. ! .~ _..__.._. ........•....... . "; ::: . . ~ . 0 .... ..... . . ...-. . . Slika 3. Skelet t ega t elesa je graf, ki ga poznamo v kemiji in špor t u . Nedavno je Siemion Fajtlowicz, matematik z Univerze v Houstonu, · Teksas , na nekem znanstvenem srečanju v ZDA prikazal zanimiv graf (slika 3) . Če ga narišemo drugače , dobimo te lo, ki ga dob ro poznajo navdušeni špo rtniki, v prejšnjem desetletju pa je povzročilo t udi majhno revolucijo v kemiji ogljika. Tomaž Pisanski