METODE ODKRIVANJA GROBIH POGRESKOV V GEODETSKIH OPAZOVANJIH METHODS OF GROSS ERROR DETECTION IN GEODETIC OBSERVATIONS Dejan Grigillo, Bojan Stopar UDK: 528.1 POVZETEK Včlanku opisujemo tri metode ugotavljanja in iskanja morebiti grobo pogrešenih opazovanj. Osnovo za vse metode predstavljajo nadštevilna opazovanja. Globalni test modela s t. i. Data Snoopingom je najpogosteje uporabljena metoda za iskanje grobo pogrešenih opazovanj, vendar zahteva zanesljivo poznavanje stohastičnih lastnosti opazovanj. Zato sta kot alternativi predstavljena še t. i. test t in t. i. danska metoda. Na enostavnem primeru ravninskega geodetskega četverokotnika, z opazovanimi šestimi dolžinami in tremi horizontalnimi koti, so predstavljene vse tri metode iskanja grobih pogreškov. KLJUČNE BESEDE grobi pogrešek, izravnava, po metodi najmanjših kvadratov, statistična hipoteza, Data Snooping, test T, danska metoda Klasifikacija prispevka po COBISS-u: 1.02 ABSTRACT The article describes three methods of gross error detection and their localization in geodetic surveying. The prerequisite for any gross error detection procedure is the availability of a set of redundant observations. The global model test with Data Snooping is the most commonly used method for gross error detection, however, it assumes that the a priori precision of observations is reliably known. As alternatives, the t test and the Danish method are presented. An example of gross error detection in a plane cross-braced quadrilateral is given for all three methods. KEY WORDS gross error, least squares adjustment method, statistical hypothesis, Data Snooping, t test, Danish method UVOD Tehnološki razvoj prinaša vedno kakovostnejši in vse bolj prefinjen merski instrumentarij, merski postopki in obdelava opazovanj postajajo vse bolj avtomatizirani. To po eni strani geodetu omogoča kakovostno, hitro in dokaj enostavno izvedbo izmere ter vrednotenje pridobljenih rezultatov, po drugi strani pa postajata merski instrumentarij in obdelava podatkov opazovanj vedno bolj domena »črne skrinjice«. Poleg prednosti se tako tudi zmanjšuje operaterjev nadzor nad izvedbo meritev, pridobljenimi rezultati in njihovo kakovostjo. Operater mora v taki situaciji pogosto preprosto zaupati pridobljenim rezultatom. Kljub tehnološkemu napredku pa terenska opazovanja, zapis in obdelava opazovanj niso in nikoli ne bodo idealni. Merski postopek obremenjujejo številni vplivi, rezultat katerih so pogreški opazovanj. Klasična teorija pogreškov loči slučajne, sistematične in grobe pogreške. Slučajni pogreški so neizbežni in jih obravnavamo kot naravno lastnost opazovanj. Sistematične pogreške c;: ICS lahko z uporabo kalibriranega ali kompariranega instrumentarija, z ustrezno metodo izmere ali z modeliranjem v matematičnem modelu izravnave v celoti odpravimo. Grobi pogreški so rezultat malomarnosti operaterja in/ali nepravilnosti delovanja merskega instrumenta. Odkrivanje grobih pogreškov, nastalih med zapisom opazovanj, prenosom podatkov, njihovo obdelavo in izravnavo, je lahko drago in dolgotrajno, če se ga ne lotimo sistematično. Da bodo rezultati geodetske izmere praktično uporabni, mora biti del vsake izmere spremljanje njihovega pojavljanja, njihovo odkrivanje in odstranjevanje. V splošnem lahko rečemo, da med samo izmero lahko odkrijemo le grobe pogreške, ki izstopajo po velikosti. Če imamo na razpolago nadštevilna opazovanja, je treba obravnavati opazovanja glede prisotnosti grobih pogreškov tudi pred izravnavo ter po izravnavi opazovanj v matematičnem modelu. Pred izravnavo opazovanj izvajamo analizo opazovanj na osnovi skladnosti opazovanj in pogojev, ki jih morajo ta izpolniti (izpolnjevanje pogojnih enačb). Predhodna ocena prisotnosti grobo pogrešenih opazovanj omogoča odkrivanje grobih pogreškov, ki so po velikosti manjši od pogreškov, ugotovljenih med samo izmero. Odkrivanje grobih pogreškov na osnovi rezultatov izravnave temelji na analizi popravkov opazovanj. Težava, ki nastane med izravnavo opazovanj, obremenjenih z grobimi pogreški, je v tem, da izravnava teži k porazdelitvi njihovega vpliva tudi na popravke drugih opazovanj. Postopke, ki omogočajo odkrivanje grobo pogrešenih opazovanj, vključuje večina programske opreme, namenjene za izravnavo opazovanj v geodeziji. Članek naj bi vzpodbudil kakovostnejšo izrabo tovrstnih računalniških programov, saj se analizam rezultatov opravljenega dela zaradi nepoznavanja metod odkrivanja grobo pogrešenih opazovanj največkrat izognemo. V prispevku obravnavamo metode odkrivanja grobih pogreškov v opazovanjih na osnovi rezultatov izravnave v matematičnem modelu enostavne geodetske mreže. 1 MODEL GAUSS-MARKOVA (MGM) MGM je linearen matematični model, ki ga sestavljajo funkcijske in stohastične povezave spremenljivk, vključenih v model. Povezuje slučajni vektor opazovanj l s slučajnim vektorjem neznank A. Enačbe MGM-ja lahko zapišemo kot (Caspary, 1988; Kuang, 1996): E(1) = BA, (aliv + BA = f) = (1.1) ob morebitno prisotnih datumskih vezeh: H^A = 0. (1.2) li:^ opazovanj l, popravkov opazovanj v in neznank A. Oznake in simboli imajo naslednji pomen: E(-) pričakovana vrednost, l vektor opazovanj, B matrika koeficientov neznank, v vektor popravkov opazovanj, cfN yTpv (1.3) D(-) disperzija slučajnega vektorja, f vektor odstopanj, H datumska matrika, A vektor neznank, Gq referenčna varianca a priori, P matrika uteži vektorja opazovanj. Predoločen sistem ^ ^ BA = f lahko rešimo po metodi najmanjših kvadratov, ob kateri moramo izpolniti pogoj: v + BA = f ob: CD = v^Pv = minimum in H^A = 0. Rešitev je naslednja (Kuang, 1996): N = B^PB , A = (N + HH^) B^Pf R = I-B(N + HH^) B^P, v = Rf, i=l+v, kjer je: N matrika koeficientov normalnih enačb, R matrika nadštevilnosti, 1 vektor izravnanih opazovanj. Referenčno varianco a posteriori izračunamo: (1.4) (1.5) kjer je r = n - n0 število nadštevilnih opazovanj oziroma število prostostnih stopenj v matematičnem modelu; n-število opazovanj; n0-minimalno število opazovanj, potrebnih za enolično rešitev problema. V matematičnem modelu nastopajo še naslednje količine: Qaa=(N + HH'')-'N(N + HH'')-' Q^^P'-BCN + HH'^r'B^ in pripadajoče kovariančne matrike: = C^OQaA' ^yy = «^oQw ^ü = "^oQü " matrika kofaktorjev neznank, matrika kofaktorjev popravkov opazovanj, matrika kofaktorjev izravnanih opazovanj (1.6) Ol CŠ to 2 METODE ODKRIVANJA GROBIH POGREŠKOV Osnova za vse postopke ugotavljanja prisotnosti grobih pogreškov pred izravnavo ali na osnovi rezultatov izravnave so statistični testi. Ti so povezani s porazdelitvijo verjetnosti popravkov opazovanj ter njihovo skladnostjo z znano ali predpostavljeno porazdelitvijo opazovanj. Postopek statističnega testiranja hipotez lahko predstavimo z zaporedjem korakov (Kuang, 1996): 1. določitev ničelne hipoteze H0 in alternativne hipoteze Hj; 2. določitev testne statistike T; 3. določitev porazdelitve verjetnosti za testno statistiko T pod H0; 4. izbira stopnje značilnosti testa a; 5. izbira jakosti testa 1-ß; 6. izračun mejnih vrednosti kritičnega intervala; 7. odločitev glede zavrnitve H0. Pri testiranju hipotez se lahko pojavita dve napaki (Krakiwsky et al., 1999). Napaka I. vrste je zavrnitev H0, ko je ta pravilna. Verjetnost, da storimo napako I. vrste, imenujemo stopnja značilnosti testa in jo označimo z a. Verjetnost, da je odločitev pravilna, ko ničelno hipotezo sprejmemo in je ta pravilna, imenujemo stopnja zaupanja in je enaka 1-a. Napaka II. vrste je opredeljena kot napaka, ki jo storimo, kadar sprejmemo H0, ko je ta napačna. Verjetnost, da storimo napako II. vrste, označimo z ß. Verjetnost, da zavrnemo H0, ko je ta napačna, imenujemo jakost testa in jo označimo z 1-ß. Kot ničelno hipotezo v splošnem postavimo naslednjo trditev: H0 : Model je pravilen in popoln; porazdelitvene predpostavke se ujemajo s stvarnostjo. (Med opazovanji ni grobih pogreškov.) ^^ iS I Is ^^ •iS c;: 1 C3 2.1 Globalni test modela Po izravnavi izvedemo globalni test modela, s katerim testiramo skladnost referenčne variance a posteriori cjg in referenčne variance a priori Qq . Pod predpostavko ničelne hipoteze H0 bi morali biti referenčni varianci statistično skladni. Na tej podlagi tvorimo testno statistiko (Caspary, 1988): T = v^Pv r -cj ^ 2 (2.1) ki ima pod predpostavko ničelne hipoteze H0 porazdelitev x2 z r prostostnimi stopnjami: T|H„~z'(r). (2.2) Pričakovana vrednost testne statistike je kar število prostostnih stopenj r oziroma število nadštevilnih opazovanj v modelu: E(T|H„) = r , iz česar izhaja: /a o' I Ho )= 1 oziroma E (a^ /a^ \ Ho)= CT^ (2.3) (2.4) Za stopnjo značilnosti globalnega testa modela običajno izberemo a = 0,05. Na podlagi izbrane vrednosti a izračunamo kritično vrednost xf-a/2(r) testne statistike T. Testno statistiko nato primerjamo s kritično vrednostjo. Če velja: T xf-a/2 W , je treba raziskati, zakaj so ali model ali opazovanja ali uteži opazovanj nepravilni. Raziskavi lahko pripomorejo nadaljnji statistični testi. Kadar H0 zavrnemo, se v praksi omejimo na dve alternativni hipotezi (Kuang, 1996): • H1_1: nepravilne uteži opazovanj; • H1_2: prisotnost grobih pogreškov v opazovanjih. Problem rešujemo postopoma. Najprej preverimo možnost, da smo opazovanjem dodelili napačne uteži. Če zavrnemo H0 zaradi slabo ocenjene natančnosti opazovanj, so popravki še vedno normalno porazdeljeni. V primeru ko so popravki po svoji velikosti glede na natančnost uporabljenega instrumentarija primerno veliki in je referenčna varianca a posteriori d^ prevelika glede na a^ , je možen vzrok za zavrnitev H0 slabo sestavljena kovariančna matrika opazovanj L in jo je treba (2.6) Izravnavo ponovimo z uporabo kovariančne matrike 2 . Ničelne hipoteze sedaj ne moremo zavrniti. Če pa so bili v prvem koraku izravnave prisotni tudi popravki opazovanj, ki so preveliki glede na natančnost uporabljenega instrumentarija, moramo opazovanja testirati glede na prisotnost grobih pogreškov v opazovanjih. Težava, ki se pri tem pojavi, je naslednja: s povečanjem vrednosti elementov kovariančne matrike zmanjšamo uteži opazovanj, kar oteži iskanje grobih pogreškov. Ničelno hipotezo globalnega testa lahko zavrnemo tudi, kadar testna statistika ne doseže spodnje Ol ^^ iS I o Od pogrešeno opazovanje, preseže kritično vrednost z verjetnostjo 1-ß0. Ta verjetnost je opredeljena 392 meje kritične vrednosti, ki jo izračunamo kot lid/ii^) . Če je: T<5d/2(r), (2.7) pomeni, da smo podcenili natančnost opazovanj, torej ima referenčna varianca a priori preveliko vrednost (opazovanja so natančnejša od naše predpostavke - a^ ). 2.2 Iskanje grobih pogreškov z metodo pregledovanja popravkov opazovanj Data Snooping Metodo je leta 1968 predlagal Baarda. Osnovne predpostavke metode so naslednje (Ambrožič, 1996): • opazovanja in popravki opazovanj so normalno porazdeljeni; • zanesljivo poznamo referenčno varianco a priori uj^ ; • razen za eno grobo pogrešeno opazovanje velja model Gauss-Markova. Data Snooping je sestavljena metoda. V prvem koraku z globalnim testom ugotavljamo eventualno prisotnost grobo pogrešenih opazovanj. V drugem koraku s pregledovanjem posameznih popravkov opazovanj lociramo in odstranimo grobo pogrešena opazovanja. Z Data Snoopingom lahko odkrijemo le eno grobo pogrešeno opazovanje naenkrat. Ostale grobe pogreške odkrivamo postopoma in s ponovitvijo postopka potem, ko smo izločili odkriti grobi pogrešek. Ničelna hipoteza Data Snoopinga je naslednja: H0 : med opazovanji ni grobih pogreškov. Določiti je treba tudi stopnjo značilnosti a0 in stopnjo jakosti (1- ß0) enodimenzionalnega testa, s katerim bomo testirali posamezne popravke. Običajni vrednosti sta naslednji: a0 = 0,001, ßo = 0,20. Prisotnost grobega pogreška med opazovanji določimo z globalnim testom, s katerim hkrati preverimo vse popravke opazovanj. Data Snooping predpostavlja, da zanesljivo poznamo referenčno varianco a priori, zato v primeru zavrnitve ničelne hipoteze globalnega testa sprejmemo alternativno hipotezo H1: H1: eno grobo pogrešeno opazovanje je povzročilo zavrnitev H0. Če ničelno hipotezo zavrnemo, se testna statistika porazdeljuje po necentralni porazdelitvi x2 s parametrom necentralnosti X in r prostostnimi stopnjami: I ^^^^^^^ (2.8) ii? Pri tem je parameter necentralnosti X neposredno odvisen od vrednosti a0 in ß0 ter r. X predstavlja tŠs premik pričakovane vrednosti testne statistike, tako da testna statistika vzorca, ki vsebuje grobo z enačbo (Caspary, 1988): P={x'(r,\,)>xf-„(r)}=l-ßo (2.9) in je prikazana na sliki 1 (vrednosti ustrezajo obravnavanemu primeru v razdelku 3). 0.2 0.1 10 15 20 r = 4 = 17,0751 x2 = vTpv/a2 25 Slika 1: Funkcija gostote verjetnosti porazdelitve x2 pri danih a, in r: Polna linija: centralna porazdelitev x2 za r = 4 in k = 0. Črtkana linija: necentralna porazdelitev x2 za r = 4 in X0 = 17,0751. Nekatere vrednosti za izbrana a0, ß0 in r = 1 (predpostavljen je en grobi pogrešek) so podane v preglednici 1. ßo a 0,00001 0,00005 0,0001 0,0005 0,001 0,01 0,025 0,05 0,10 5,6987 5,3372 5,1721 4,7623 4,5721 3,8574 3,5230 3,2416 0,20 5,2588 4,8972 4,7322 4,3224 4,1322 3,4175 3,0830 2,8000 0,30 4,9416 4,5814 4,4161 4,0067 3,8165 3,1002 2,7658 2,4844 Preglednica 1: Vrednosti -J^za a^, ß0 in r = 1. Ol Pred izvedbo globalnega testa je treba izračunati njegovo stopnjo značilnosti a. Stopnja značilnosti a r-dimenzionalnega testa mora ustrezati enodimenzionalnem pregledu popravkov s stopnjo značilnosti a0 in jakostjo 1-ß0 tako, da grobi pogrešek povzroči zavrnitev ničelne hipoteze globalnega testa z verjetnostjo 1-ß0. To dosežemo z uporabo istega parametra necentralnosti X0 za oba testa (Caspary, 1988): >io=>.(a,ßo,r) = X(ao,ßo,l) (2.10) ^^ iS I I3 ^^ a Zaradi implicitne oblike enačbe (2.10) se za pridobivanje vrednosti a raje uporabljajo nomogrami. Nekatere izračunane vrednosti a za ß0 = 0,20 prikazuje preglednica 2: ßo= 0,20 Oo r 0,0001 0,0005 0,001 0,01 0,025 0,05 1 0,0001 0,0005 0,0010 0,0100 0,0250 0,0502 2 0,0003 0,0015 0,0028 0,0233 0,0524 0,0955 3 0,0007 0,0030 0,0055 0,0384 0,0796 0,1351 4 0,0013 0,0050 0,0089 0,0542 0,1054 0,1695 5 0,0021 0,0076 0,0130 0,0703 0,1296 0,1997 6 0,0031 0,0106 0,0177 0,0862 0,1520 0,2263 7 0,0044 0,0141 0,0229 0,1018 0,1728 0,2499 8 0,0058 0,0179 0,0284 0,1169 0,1921 0,2711 9 0,0075 0,0220 0,0343 0,1315 0,2100 0,2902 10 0,0094 0,0265 0,0404 0,1455 0,2266 0,3075 11 0,0115 0,0311 0,0467 0,1589 0,2421 0,3233 12 0,0138 0,0360 0,0532 0,1717 0,2565 0,3378 13 0,0162 0,0410 0,0598 0,1840 0,2700 0,3511 14 0,0188 0,0462 0,0664 0,1958 0,2827 0,3634 15 0,0216 0,0515 0,0731 0,2070 0,2946 0,3748 Preglednica 2: Vrednosti a za a0 in ß0 = 0,20 pri različnih prostostnih stopnjah r. Če zaradi prisotnosti grobega pogreška zavrnemo ničelno hipotezo, moramo za odkritje grobega pogreška pregledati posamezne popravke opazovanj. Za vsak popravek V; izračunamo njegov standardizirani popravek (Caspary, 1988): U; =- V, v, oV^ (2.11) ■'OMIViV, kjer je diagonalni element matrike kofaktorjev popravkov opazovanj, ki pripada popravku Vj . Posamezne standardizirane popravke nato primerjamo s kritično vrednostjo pri izbrani stopnji značilnosti a0. Standardizirani popravki u^ so standardizirano normalno porazdeljeni: uJHo~N(0,l), (2.12) kar nam omogoča izračun kritične vrednosti u . Kritična vrednost standardizirane normalne "o porazdelitve je odvisna le od a0. Popravek označimo kot popravek verjetno grobo pogrešenega opazovanja v primeru, če (Caspary, 1988): U: >U l-a„/2 (2.13) Metoda omogoča tudi izračun najmanjšega grobega pogreška, ki ga bo test še prepoznal (Caspary, 1988): V Oi 1 Pili IVjVi (2.14) Če grobi pogrešek doseže vrednost V,,j, potem je verjetnost za odkritje tega pogreška enaka 1 -ß0, medtem ko je verjetnost, da zavržemo dobro opazovanje, enaka a0. Izračunamo lahko tudi faktor kgj , ki nam pove, kolikokrat mora grobi pogrešek preseči standardno deviacijo opazovanja, da ga bo mogoče odkriti z verjetnostjo 1-ß0 (Caspary, 1988): koi = Pi-qy, v,v. (2.15) Iz enačb (2.14) in (2.15) lahko neposredno izračunamo velikost grobega pogreška, ki ga lahko odkrijemo z metodo Data Snooping. Ob predpostavki, da so uteži opazovanj zanesljivo poznane, je velikost grobega pogreška, ki ga še lahko odkrijemo, odvisna le od parametra necentralnosti ^. Če izračunamo: ali (2.16) lahko iz preglednice 1 odčitamo stopnjo značilnosti in stopnjo jakosti testa za odkrivanje želene velikosti grobega pogreška. 2.3 Lociranje grobih pogreškov Ko smo odkrili popravke verjetno grobo pogrešenih opazovanj, je naslednji korak lociranje grobih pogreškov. To pomeni, da je treba ugotoviti, ali so odkriti popravki verjetno grobo pogrešenih opazovanj Vj posledica grobih pogreškov v opazovanjih l^. V splošnem je uspešnost lociranja grobih pogreškov odvisna od geometrije matematičnega modela in od števila in velikosti grobih pogreškov v opazovanjih. Splošna zahteva je, da mora biti natančnost opazovanj med seboj podobna - primerljiva ter da mora biti število grobih pogreškov v opazovanjih manjše, kot je skupna nadštevilnost sistema. Ol Ker imamo opravka z grobimi pogreški majhne velikosti, je pravilno lociranje verjetno grobo pogrešenih opazovanj močno odvisno od geometrijskih lastnosti problema. V primeru da med opazovanji obstaja samo eno grobo pogrešeno opazovanje, lahko zaradi koreliranosti popravkov opazovanj popravek verjetno grobo pogrešenega opazovanj^, kaže na prisotnost grobega pogreška v opazovanju samo, če ima to opazovanje dominantno število nadštevilnosti rii. Število nadštevilnosti posameznih opazovanj predstavljajo diagonalni členi matrike nadštevilnosti R (Kuang, 1996; Seemkooei, 2001): R = I-B(N + HH^) B^^P . Število nadštevilnosti rii je dominantno, če velja: lü > m ax {| j = l..n; j i} , (1.5) (2.17) pri čemer so rjj izvendiagonalni členi matrike nadštevilnosti R. V obratnem primeru (rii t l-a„/2 (2.21) je nakazana možnost, da pripada poprave^, verjetno grobo pogrešenemu opazovanju. Test t tako kot Data Snooping temelji na predpostavki, da je le eno opazovanje v MGM-ju obremenjeno z grobim pogreškom. Če opazovanja vključujejo več grobih pogreškov, je priporočen naslednji pragmatični pristop, za katerega pa ni nujno, da bo dal ustrezne rezultate. Opazovanje z največjo testno statistiko izpustimo in ponovimo izravnavo z n-1 opazovanji, kar nam da nove popravke in novo oceno za a posteriori referenčno varianco dg . Izračunamo novo vrednost za a0 in ponovimo test z r-1 prostostnimi stopnjami. Postopek ponavljamo, dokler niso označeni vsi verjetni grobi pogreški. Ko so nekateri popravki označeni kot preveliki, je postopek lociranja in odstranitve grobih pogreškov iz opazovanj enak kot pri postopku Data Snooping. Težava pri uporabi testa t je v tem, da je referenčna varianca a posteriori dg obremenjena s prisotnostjo grobih pogreškov v opazovanjih. Večji kot so grobi pogreški, večja bo vrednost d g , ki bo na ta način zmanjševala vrednost testne statistike T^. Ob uporabi testa t tako lahko nekateri manjši grobi pogreški ostanejo neodkriti. 2.5 Danska metoda Osnovna zamisel danske metode je v tem, da večji popravki pripadajo manj natančnim opazovanjem, in obratno. Pri oceni parametrov v MGM s pomočjo izravnave po metodi najmanjših kvadratov zato zamenjamo a priori uteži z novimi, ki so funkcija popravkov opazovanj. Nova izravnava nam poda nove popravke, iz katerih ponovno izračunamo nove uteži. Postopek ponavljamo do konvergence (dokler ni razlika med zaporednimi utežmi manjša od želene vrednosti). Postopek običajno zahteva 5 do 10 iteracij. Danska metoda ne sloni na statistični teoriji. Ne potrebuje nobenih predpostavk glede stohastičnih lastnosti opazovanj, zato tudi ni treba izvajati nobenih statističnih testov. Za izračun novih vrednosti uteži je bilo predlaganih več funkcij. (Leick, 1995) predlaga naslednjo funkcijo za izračun novih uteži: Ol Pi+1 =Pif(Vi),i = l..n; f(Vi) = 1; za v. exp C-Gi , V V 1 y % 21-a(r)). 1-0,0089*2 Pregled popravkov opazovanj Kritična vrednost standardizirane normalne porazdelitve U^^^g qqj : ^i-ao/2 = 3,2905 Vrednosti standardiziranih popravkov u. prikazuje preglednica 3. Opazovanje Ui (2.11) Voi (2.14) K (2-15) d, 1,0080 0,0686 m 8,0379 d. 3,3115 0,0909 m 13,3315 d, 4,1142* 0,0574 m 7,6447 d4 2,8442 0,0993 m 14,0680 d, 2,1549 0,0536 m 6,1251 d. 3,3765 0,0549 m 6,5657 a, 0,9483 0,000218 4,5018 a, 1,4601 0,000221 4,5550 a, 1,1066 0,000232 4,7893 Preglednica 3: Standardizirani popravki, najmanjši prepoznavni grobi pogreški in faktor k pri Data Snoopingu. Standardizirani popravek opazovanja dj najbolj presega kritično vrednost! Število nadštevilnosti meritve dj (element matrike R): rjj = 0,2922 Izvendiagonalni elementi matrike R (1.4): rji 0*i) = [0,0736; 0,1249; 0,1007; -0,2331; -0,2957; -0,0009; -0,0010; 0,0008] Verjeten grobi pogrešek! Ker r.. « |r63|, moramo biti pri izločanju opazovanja previdni! 3.2.2 Test t - rezultati odkrivanja grobih pogreškov Izbrana stopnja značilnosti n-dimenzionalnega testa a: Stopnja značilnosti enodimenzionalnega testa a0 (2.19): Kritična vrednost testa (2.20): Testne statistike opazovanj T. (2.18): a = 0,05 a0 = 0,0057 = 1,9435 Opazovanje T. Opazovanje T, d, 0,4887 a, 0,4598 d, 1,6054 a. 0,7079 da 1,9946* a, 0,5365 d4 1,3789 d, 1,0447 d. 1,6369 Ol Preglednica 4: Vrednosti testnih statistik pri testu t. Testna statistika opazovanja d3 je presegla kritično vrednost. Možen grobi pogrešek! Matrika R je enaka kot v primeru Data Snoopinga. 3.2.3 Danska metoda - rezultati odkrivanja grobih pogreškov Konstanta c: 2 Konvergenčni pogoj: pi+1 - p^ < 10-6; i = 1..n Število potrebnih iteracij: 6 Pregled uteži: Opazovanje a priori uteži (P,) a posteriori uteži (P^) d, 0,137253 0,137253 d, 0,214994 0,214994 d, 0,177185 0,00000001* d4 0,200542 0,200542 d, 0,130611 0,130611 d. 0,143279 0,0141214 a, 4254,517030 4254,517030 a. 4254,517030 4254,517030 a, 4254,517030 4254,517030 Preglednica 5: Uteži v prvi in šesti iteraciji danske metode. Utež opazovanja d3 je bistveno spremenjena. Verjeten grobi pogrešek! ^^ iS I §§ ^^ Is ^^ a 4 ZAKLJUČEK Odkrivanje grobih pogreškov znotraj same izravnave izkorišča nadštevilnost in celotno geometrijo matematičnega modela. Zato je še posebej občutljivo na manjše grobe pogreške. Iskanje grobih pogreškov se zato izvaja le v primerih, ko je odkrita njihova morebitna prisotnost na osnovi popravkov opazovanj, ki nimajo pričakovane porazdelitve verjetnosti. Takšni popravki opazovanj (angl. outliers) so najboljši namig, kje iskati problematična opazovanja. S tem se lahko izognemo nepotrebnemu in neorganiziranemu iskanju po celotnem nizu opazovanj. Pomembno je razumeti, da pri pojavu popravka, ki ni zadovoljil posameznega testa, še ne pomeni, da gre v opazovanju za grobi pogrešek. Opazovanje le označimo, ga preverimo in sprejmemo odločitev o tem, ali ga bomo obdržali ali zavrgli. Izpuščanje opazovanj »na slepo« ni nikoli priporočljivo. Grobi pogrešek enega opazovanja ima običajno učinek tudi na popravke drugih opazovanj, zato se lahko samo na osnovi rezultatov statističnega testa poleg grobo pogrešenega opazovanja kot sumljiva označijo tudi druga opazovanja. Če je med opazovanji označeno kot verjetno grobo pogrešeno eno ali več opazovanj, se prične iskanje morebiti prisotnega grobega pogreška. Tudi v primerih, ko test označi samo eno opazovanje kot grobo pogrešeno, se lahko zgodi, da nam izravnava z izpuščenim označenim opazovanjem ne bo dala zadovoljivih rezultatov. V tem primeru je treba opazovanje vrniti v vektor opazovanj in iskati grobi pogrešek drugje. Literatura in viri: Ambrožič, T. (1996). Ocena, stabilnosti točk v geodetski mreži. Magistrska naloga. Ljubljana: Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Oddelek za geodezijo. Caspary, W. F. (1988). Concepts of Network and Deformation Analysis. School of Surveying, The University of New South Wales, Kensington, N.S.W., Australia. Krakiwsky, E. J., Craymer, M. R., Szabo, D. J., Vanicek, P. (1999). Development and Testing of In-Context Confidence Regions for Geodetic Survey Networks. Spletna stran, datum dostopa: 6. 10.2003, (URL): www2.geod.nrcan.gc.ca/ ~craymer/pubs/incontext99.pdf Kuang, S. (1996). Geodetic Network Analysis and Optimal Design: Concepts and Applications, Ann Arbor Press, Inc. ZDA. Leick, A. (1995). GPS Satellite Surveying. John Willey & Sons, Canada. Seemkooei, A. A. (2001). Comparison of Reliability and Geometrical Strength Criteria in Geodetic Networks. Journal of Geodesy, št. 75, str. 227-233. Ol mag. Dejan Grigillo, univ. dipl. inž. geod. FGG - Oddelek za geodezijo, Jamova 2, SI-1000 Ljubljana e-pošta: dgrigill@fgg.uni-lj.si izr. prof. dr. Bojan Stopar, univ. dipl. inž. geod. FGG - Oddelek za geodezijo, Jamova 2, SI-1000 Ljubljana e-pošta: bstopar@fgg.uni-lj.si Prispelo v objavo: 6. november 2003