Lea Kozel, dr . Mara Cotič, dr . Amalija Žakelj Kognitivno-konstruktivistični model pouka matematike v 1. triletju Pr ejeto 21.1 1.2019 / Spr ejeto 12.05.2020 Znanstveni članek UDK 373.091.31:51:373.3 KLJUČNE BESEDE: osnovna šola, prvo triletje, učni načrt, pouk matematike, kognitivno-konstrukti- vistični model pouka, aktivne metode dela, znanje, motivacija POVZETEK – V prispevku pr edstavljamo teor etično osmišljeni kognitivno-konstruktivistični model pouka matematike v prvem triletju osnovne šole in njegovo praktično aplikacijo. Konstruktivistične teorije zna- nja temeljijo na pr edpostavki, da posameznik obli- kuje svoje znanje z lastnim izgrajevanj em znanja, s pr oblemskim učenjem, ki je usmerjeno k odkrivanju, je povezano z vsakdanjim življenjem, osnovano na primerih, notranje motivirano ter socialno. V empi- ričnem delu raziskave smo z uporabo eksperimental- ne metode pedagoškega raziskovanja v šolski praksi z učenci 3. razr eda osnovne šole evalvirali uporabo kognitivno-konstruktivističnega modela pouka ma- tematike v prvem triletju osnovne šole. Na podlagi analize dobljenih r ezultatov raziskovanja ugotavlja - mo, da lahko pri učencu pričakujemo kakovostnejše znanje, če je aktivno soudeležen v usvajanju znanja pri pouku. Učenci, ki so bili deležni kognitivno-kon - struktivističnega modela pouka matematike, so bili pomembno uspešnejši pri r eševanju matematičnih nalog na vseh matematičnih podr očjih. Received 21.1 1.2019 / Accepted 12.05.2020 Scientific paper UDC 373.091.31:51:373.3 KEYWORDS: primary school, first educational cycle, syllabus, teaching mathematics, cognitive-constructiv- ist model of teaching, active methods of work, knowl- edge, motivation ABSTRACT – The paper pr esents a theor etically de- signed cognitive-constructivist model of teaching mathematics in the first education cycle of primary school, along with its practical application. Construc- tivist theories of knowledge ar e based on the assump- tion that individuals shape their knowledge with their own construction of the latter , with pr oblem-solving learning that is discovery-oriented, linked with every- day life, case-based, internally motivated and social. In the empirical part of the r esear ch, the applica- tion of the cognitive-constructivist model of teaching mathematics in the first educational cycle of primary school was evaluated using the experimental method of educational r esear ch in school practice. Based on the analysis of the obtained r esear ch outcomes, we find that higher quality knowledge can be expected fr om students if they wer e actively involved in the acquisi- tion of knowledge. Students who r eceived mathemat- ics teaching accor ding to the cognitive-constructivist model performed significantly better in solving mathe- matical tasks in all ar eas of mathematics than students who r eceived traditional teaching methods. 1 Uvod Marentič-Požarnik (2000, str. 10) meni, da je “učenje vsaka sprememba v vedenju, informiranosti, znanju, razumevanju, stališčih, spretnostih ali zmožnostih, ki je trajna in ki je ne moremo pripisati fizični rasti ali razvoju podedovanih vedenjskih vzorcev”. Te- orija učenja, ki se je poleg behaviorizma, kognitivizma, konektivizma razvila v zadnjem stoletju na Zahodu in je pomembno vplivala tudi na učenje in poučevanje matematike (De Corte, 2013; Walling, 2014), je konstruktivizem. Konstruktivizem kot teorija učenja temelji na tem, da so učenci aktivno vključeni v proces pridobivanja znanj, tudi v tesni interakciji z lokalno skupnostjo. Imajo določena 4 Didactica Slovenica – Pedagoška obzorja (2, 2020) predhodna znanja, veščine in izkušnje, ki jih lahko v avtentičnih situacijah povežejo z resničnim svetom, jih nadgradijo, in tako postanejo sposobni reševati težave (Bass, 2012; Cankar et al., 2013). Avtentične situacije vplivajo na njihovo čustveno, družbeno in fizič- no angažiranost, pa tudi na razvoj odnosov (Mueller in Anderson, 2014). Konstruktivistične teorije znanja temeljijo na predpostavki, da znanje ni preno- sljivo, posameznik ga oblikuje z lastnim izgrajevanjem (Plut-Pregelj, 2003), učenje je problemsko, usmerjeno k odkrivanju, povezano z vsakdanjim življenjem, osnovano na primerih, intristično motivirano ter socialno (Šteh, 2004). Zagovorniki konstruktivi- stične teorije menijo, da bi prav konstruktivistične teorije znanja morale postati glavno izhodišče posodabljanja kurikula (Rutar Ilc, 2002). 2 Opredelitev teoretičnih izhodišč raziskave Številne raziskave (Bransford, Brown, Cocking, 2000) so pokazale, da je trajnost in uporabnost znanja, ki je pridobljeno na t. i. aktivni način, večja, kot če je to znanje zgolj privzeto, saj so učenci, ki so z aktivnim preiskovanjem odkrili določene matematične koncepte, to znanje uporabili v novih in netipičnih situacijah, medtem ko so učenci, ki so se z istimi matematičnimi koncepti le seznanili (se naučili na pamet), v novih situa- cijah odpovedali (Rutar Ilc, 2002). Kognitivni psihologi (Piaget, Vigotski, Bruner, Bransford, Marzano, v Rutar Ilc, 2002) so poudarili pomen takšne aktivnosti, pri kateri učenec sam, ob premišljeni učite- ljevi podpori v procesu raziskovanja in odkrivanja, analiziranja in povezovanja, prihaja do lastnih spoznanj oziroma jih izgrajuje. Mešinović (2019) opozarja, da je pri pouku z raziskovanjem ključno, da učitelj prepozna pravilnost idej, ki so si jih učenci oblikovali s samostojnim odkrivanjem, ter poda ustrezno povratno informacijo, da lahko učenec, ki si je oblikoval napačne oz. nepopolne predstave, le-te popravi ali dopolni. Tudi pri t. i. transmisijskem pristopu, kjer gre pretežno za prenašanje gotovih znanj, so učenci do neke mere aktivni, saj poslušajo učiteljevo razlago in jo skušajo dojeti. Kljub temu pa učenci niso aktivni v večini pomembnih faz spoznavnega postopka, am- pak so le seznanjeni s spoznanji, ki so rezultat spoznavne poti, ki jo je opravil nekdo drug, sami pa ne gredo skoznjo (Rutar Ilc, 2002). Aktivni pristop, ki je utemeljen v lastnem odkrivanju in izgrajevanju spoznanj s pomočjo različnih dejavnosti in miselnih procesov ter postopkov, ki jih te dejavnosti spodbujajo, je tisti, ki v bolj pasivnem privzemanju gotovih znanj omogoča ponotranje- nje pojmov, principov in zakonitosti, s tem pa tudi trajnost in transferno vrednost znanja (Rutar Ilc, 2002). Za doseganje zahtevanih ciljev sodobnega šolanja je pomembno transmisijski (behavioristični) model pouka dopolniti s sodobnim kognitivno-konstruktivističnim ali transformacijskim modelom pouka. Ta zahteva problemsko naravnane metode in pristope, kjer je učitelj pozoren ne samo na količino, temveč tudi na kakovost učen- čevega predznanja. Učitelj načrtno izrablja učenčeve izkušnje, stališča in poglede, jih sooča z nepopolnostjo in konfliktnostjo ter s prilagojeno podporo pomaga učencem pri rekonstrukciji znanja. Pri kognitivno-konstruktivističnem modelu je poudarjen pomen 5 Koz el, dr . Cotič, dr . Ž akelj: Kognitivno-konstruktivistični model pouka matematike... učenčeve aktivnosti v vseh učnih etapah, pomen sodelovanja in izmenjavanja izkušenj ter pogledov med učenci in načrtnega pridobivanja spretnosti učenja. Pri takem pouku učenec postopoma prevzema vse večji del odgovornosti za proces pridobivanja znanja in osebnega razvoja ter se usposablja za vseživljenjsko učenje (Valenčič Zuljan, 2002). Konstruktivizem se v teoriji in praksi izraža v številnih smereh. Vsem je skupna edukativna filozofija, da je učenec glavni konstruktor lastnega znanja. Zato je znanje produkt lastnega miselnega procesiranja in se zaradi specifičnosti posameznika izraža v individualnih različicah. Konstruktivistični učni proces opredeljujejo kriteriji: □ situacijsko učenje – miselne izkušnje so odvisne od avtentičnih učenče- vih aktivnosti, ki se izražajo pri problemskem pouku, študijah primerov, projektnem učnem delu, pri pouku, pri katerem je rezultat učenja osmi- šljen z izkustvenim učenjem; □ socialno kognitivni konflikt – proces učenja, kjer imajo učenci možnost in priložnost konfrontirati lastne miselne percepcije z ostalimi v skupini in na osnovi tega karakterizirati, stabilizirati svoj pojmovni konstrukt; □ sodelovanje in ne tekmovanje, kjer imajo učenci možnost preverjati in primerjati svoj pojmovni koncept z drugimi. Pri načrtovanju, organiziranju in izvedbi učenja so učiteljem konstruktivistom po- membne predvsem značilnosti pouka, kot so: poudarek na učenju in ne poučevanju; spodbujanje učenčeve radovednosti in iniciativnosti; učenje kot proces in ne dogodek; izkušenjsko učenje pod drobnogledom kritične učiteljeve presoje; usmerjena učiteljeva pozornost na učenčeve miselne navade, razumevanje, uporabo značilnih kognitivnih pojmov; spodbujanje sodelovalnega učenja; izpostavljanje učencev v realnem doga- janju; preverjanje učenčevih prepričanj in stališč (Krapše, 2002). Kukanja Gabrijelčič (2015) pri tem opozarja, da je za kakovostno poučevanje potrebno sočasno permanen- tno izobraževanje učiteljev s področja predmeta, ki ga poučujejo, ter širšega pedagoške- ga in psihološkega področja. Zahteve po spremenjenem načinu dela učiteljev je namreč potrebno koherentno uravnotežiti z bogatimi, strokovnimi priložnostmi na področju nadaljnjega izobraževanja in izpopolnjevanja. 3 Metodologija 3.1 Opr edelite v pr oblema Sodobne šolske reforme po svetu si prizadevajo pri učencih doseči osmišljeno in trajno znanje in to je razlog, da se posodabljajo kurikulumi, učni načrti in posledično pouk matematike. Za izvedbo raziskave smo se odločili, da bi raziskali in posodobi- li obstoječi vzgojno-izobraževalni proces pri pouku matematike, ki poteka v okviru osnovnošolskega izobraževanja. Problem raziskave je bil usmerjen na oblikovanje in evalviranje eksperimentalne- ga kognitivno-konstruktivističnega modela pouka matematike, ki temelji na aktivnem vključevanju učenca v učni proces in smo ga izgradili na osnovi tujih raziskav, upošte- vajoč slovenski prostor. 6 Didactica Slovenica – Pedagoška obzorja (2, 2020) V šolski praksi smo z učenci 3. razreda izvedli eksperiment, s katerim smo žele- li ugotoviti, ali je uporaba eksperimentalnega kognitivno-konstruktivističnega modela pouka statistično pomembno vplivala na dosežke učencev pri znanju matematike. 3.2 Namen in cilji raziskave □ Izhajajoč iz raziskav (Jennings, 1994; Butler in Winne, 1995, v Šteh, 2000) o ko- gnitivno-konstruktivističnem modelu pouka razviti in evalvirati eksperimentalni ko- gnitivno-konstruktivistični model pouka matematika, pri katerem je učenec v vlogi aktivnega soustvarjalca v učnem procesu. □ Evalvirati kognitivne dosežke učencev. □ Z uporabo eksperimentalnega kognitivno-konstruktivističnega modela pouka razvi- jati miselne strategije in veščine pri učencih na posameznih matematičnih področjih. 3.3 Hipoteze Splošna hipoteza □ HS: Učenci, ki bodo deležni eksperimentalnega kognitivno-konstruktivističnega modela pouka matematike, bodo uspešnejši pri reševanju matematičnih nalog na vseh matematičnih področjih (pri aritmetiki in algebri, geometriji z merjenjem, ob- delavi podatkov ter logiki in jeziku) kot učenci, deležni behaviorističnega pouka matematike. Specifične hipoteze □ H1: Eksperimentalna skupina učencev bo uspešneje kot kontrolna skupina učencev reševala matematične naloge aritmetike in algebre. □ H2: Eksperimentalna skupina učencev bo uspešneje kot kontrolna skupina učencev reševala matematične naloge geometrije z merjenjem. □ H3: Eksperimentalna skupina učencev bo uspešneje kot kontrolna skupina učencev reševala matematične naloge drugih vsebin (obdelave podatkov ter logike in jezika). □ H4: Eksperimentalna skupina učencev bo uspešneje kot kontrolna skupina učencev reševala matematične naloge zadnje taksonomske ravni (problemska znanja) Ga- gnejeve taksonomije. □ H5: Med eksperimentalno in kontrolno skupino učencev ne bo statistično pomemb- nih razlik v reševanju matematičnih nalog prve in druge taksonomske ravni (osnov- no in konceptualno znanje ter proceduralno znanje) Gagnejeve taksonomije. 3.4 Opis raziskovalne metod ologije Uporabili smo eksperimentalno metodo pedagoškega raziskovanja. Eksperiment je bil izveden v obstoječih oddelkih osnovnih šol. To pomeni, da pred eksperimentom ni bila opravljena izenačitev oddelkov do slučajnostnih razlik. Skupino učencev, ki je bila deležna eksperimentalnega faktorja, smo poimenovali eksperimentalna skupina. Skupi- 7 Koz el, dr . Cotič, dr . Ž akelj: Kognitivno-konstruktivistični model pouka matematike... no učencev, ki ni bila deležna eksperimentalnega faktorja, smo poimenovali kontrolna skupina. Eksperimentalni faktor je vključeval eksperimentalni kognitivno-konstruktivi- stični model pouka matematike, ki smo ga izgradili na osnovi tujih raziskav, upošteva- joč slovenski prostor. V eksperimentalni in kontrolni skupini so poučevale profesorice razrednega pouka, izenačene po stopnji izobrazbe. Vzorec oseb Raziskava je potekala na vzorcu 240 učencev 3. razreda štirih naključno izbranih obalnih osnovnih šol, in sicer je bilo 100 učencev vključenih v eksperimentalno sku- pino, 140 učencev pa v kontrolno skupino, pri čemer smo upoštevali vsa raziskovalna načela v povezavi z raziskovanjem z vključevanjem otrok (Štemberger, 2019). Vse iz- brane osnovne šole so bile mestne šole z izenačenimi solidnimi pogoji za delo. Merski instrumentarij in njegove karakteristike V raziskavi smo tradicionalno metodologijo empiričnega raziskovanja dopolnili s kvalitativno metodologijo pedagoškega raziskovanja. V raziskavi je bil v okviru em- piričnega raziskovalnega pristopa uporabljen pedagoški eksperiment. Da smo dobili popolnejše podatke, smo jih analizirali kvantitativno in kvalitativno. Kvantitativno smo analizirali podatke s testi znanja (dva testa znanja iz matematike). Kvalitativno smo analizirali podatke s sprotnimi delovnimi razgovori med učitelji, s pisno in ustno anali- zo učiteljevih priprav na pouk matematike in projekte ter s prisostvovanjem raziskoval- ca pri posameznih urah. Za namene raziskave smo oblikovali dva testa znanja. 3.5 T est znanja Začetno in končno znanje iz matematičnih vsebin eksperimentalne in kontrolne skupine učencev smo preverjali z začetnim in končnim testom znanja. Naloge v obeh testih znanja smo oblikovali z upoštevanjem Gagnejeve taksonomije (Cotič in Žakelj, 2004) in matematičnih vsebin 3. razreda glede na učni načrt za matematiko (Žakelj et al., 2011). Karakteristike obeh testov znanja (objektivnost, zanesljivost in veljavnost) so bile dokazane na pilotskem vzorcu 102 učencev 3. razreda dveh naključno izbranih obalnih šol. Začetni test znanja je bil sestavljen iz 16 nalog. Učenci v raziskavi so test reševali v enem dnevu, in sicer 2 šolski uri. Končni test znanja je bil sestavljen iz 18 nalog. Tudi ta test so učenci v raziskavi reševali v enem dnevu, in sicer 2 šolski uri. Za- četni in končni test znanja sta primerljiva tako po vsebinah kot po taksonomskih ravneh. Postopek Začetni test znanja sta kontrolna in eksperimentalna skupina reševali pred začet- kom eksperimenta, končni test znanja pa sta reševali po zaključenem eksperimentu ob enakih pogojih in z istim testatorjem. Raziskava je potekala 8 mesecev. V času raziskave je v eksperimentalni skupini potekal pouk matematike v 3. razredu tako, da je bil uporabljen eksperimentalni kognitivno-konstruktivistični model pouka. Pri pouku matematike so profesorice razrednega pouka eksperimentalni skupini podaja- 8 Didactica Slovenica – Pedagoška obzorja (2, 2020) le tekočo učno snov z uporabo eksperimentalnega kognitivno-konstruktivističnega mo- dela pouka, ki smo ga izgradili na osnovi tujih raziskav, upoštevajoč slovenski prostor. Statistične obdelave Podatke v empiričnem delu smo analizirali z računalniškim programom za statistič- no analizo SPSS 17.0. Uporabljeni so bili naslednji statistični postopki: □ analiza kovariance; □ frekvenčna analiza, s katero je bila izdelana deskriptivna statistika: arit- metična sredina (M), standardna napaka aritmetične sredine (SEM), me- diana (Me), modus (Mo), standardna deviacija (SD), varianca (V AR), ko- eficient asimetrije (KA), koeficient sploščenosti (KS), minimalna (min.) in maksimalna vrednost (maks.); □ Kolmogorov-Smirnovov test normalnosti porazdelitve; □ T-test (Cochran-Coxova aproksimativna metoda t-testa) za ugotavljanje razlik v znanju matematičnih vsebin (aritmetike, geometrije z merjenjem, obdelave podatkov, logike in jezika) med učenci eksperimentalne in kon- trolne skupine na začetku in na koncu eksperimenta; □ T-test (Cochran-Coxova aproksimativna metoda t-testa) za ugotavljan- je razlik v znanju na vseh taksonomskih ravneh Gagnejeve taksonomije med učenci eksperimentalne in kontrolne skupine na začetku in na koncu eksperimenta. 4 Rezultati in razprava Rezultate smo tolmačili v skladu z dokazovanjem postavljenih hipotez. Pri tem smo upoštevali, da je največje dopustno tveganje za zavrnitev hipoteze 5 % (izbrana vre- dnost za stopnjo pomembnosti je 0,05). Če je bila pri t-testu raven statistične pomemb- nosti nižja od 0,05, je pomenilo, da se eksperimentalna in kontrolna skupina statistično pomembno razlikujeta glede na preverjano hipotezo. Analiza razlik v matematičnem znanju v začetnem stanju med učenci eksperimentalne (ES) in kontr olne skupine (KS) Med eksperimentalno in kontrolno skupino pri začetnem testu znanja ni prišlo do statistično pomembnih razlik v znanju matematike, saj so vse profesorice razrednega pouka, vključene v raziskavo, poučevale s tradicionalnimi učnimi metodami in oblika- mi dela. Analiza razlik v matematičnem znanju v končnem stanju med učenci eksperimentalne (ES) in kontr olne skupine (KS) Ob koncu raziskave smo ponovno izmerili razlike v znanju matematike med učenci eksperimentalne in kontrolne skupine s končnim testom znanja, ki je zajemal 19 nalog. Naloge so prav tako kot v začetnem testu preverjale znanje vseh matematičnih vsebin, 9 Koz el, dr . Cotič, dr . Ž akelj: Kognitivno-konstruktivistični model pouka matematike... določenih z veljavnim učnim načrtom za matematiko (Žakelj et al., 2011), in sicer so bile to naloge aritmetike in algebre, geometrije in merjenja, logike in jezika ter obdela- ve podatkov. V končnem testu znanja so naloge tako kot v začetnem testu za ustrezno rešitev zahtevale znanje vseh taksonomskih stopenj Gagnejeve taksonomije (Cotič in Žakelj, 2004), in sicer so bile v test vključene naloge, ki preverjajo osnovno in koncep- tualno, proceduralno in problemsko znanje. Učenci tako eksperimentalne kot kontrolne skupine so test reševali v istem dnevu dve šolski uri. Analizo razlik v matematičnem znanju med učenci eksperimentalne in kontrolne skupine smo opravili z analizo variance in s t-testom. Prikazali smo tudi opisno statisti- ko za odvisne spremenljivke, vključene v analizo variance. T abela 1: Parametri opisne statistike za odvisne spremenljivke končnega testa, vključe- ne v analizo variance (n = 240) M SEM Me Mo SD VA R KA KS min. maks. TKSKUP 109,430 2,057 115,500 131,000 22,533 507,743 –1,127 0,749 34,000 135,000 TKARI 62,900 1,018 67,000 71,000 11,159 124,528 –1,912 3,794 18,000 73,000 TKARI1 25,483 0,382 27,000 29,000 4,194 17,596 –1,994 3,969 10,000 29,000 TKARI2 32,550 0,600 35,000 37,000 6,574 43,224 –1,918 3,641 5,000 38,000 TKARI3 4,866 0,151 6,000 6,000 1,654 2,738 –1,504 1,378 0,000 6,000 TKGEM 28,741 0,520 30,000 35,000 5,699 32,479 –0,682 –0,555 14,000 36,000 TKGEM1 13,466 0,403 14,500 18,000 4,422 19,562 –0,571 –0,729 2,000 19,000 TKGEM2 5,775 0,060 6,000 6,000 0,668 0,445 –3,340 10,787 3,000 6,000 TKGEM3 9,500 0,166 10,000 11,000 1,824 3,328 –1,778 4,344 1,000 11,000 TKLOG 9,858 0,447 11,000 15,000 4,901 24,022 –0,623 –0,843 0,000 15,000 TKLOG2 9,858 0,447 11,000 15,000 4,901 24,022 –0,623 –0,843 0,000 15,000 TKOBD 7,9333 0,374 10,000 12,000 4,103 16,836 –0,651 –1,102 0,000 12,000 TKOBD3 7,933 0,374 10,000 12,000 4,103 16,836 –0,651 –1,102 0,000 12,000 TKNIVO1 38,950 0,718 41,000 45,000 7,875 62,031 –1,218 1,151 13,000 48,000 TKNIVO2 48,183 0,908 51,000 58,000 9,948 98,975 –1,164 0,985 15,000 59,000 TKNIVO3 22,300 0,565 24,000 28,000 6,196 38,397 –0,970 0,229 4,000 29,000 Iz tabele parametrov za posamezne spremenljivke je razvidno, da večina spremen- ljivk ni normalno porazdeljena, zato smo poleg aritmetične sredine in standardnega odklona izračunali tudi stopnjo asimetrije, ki nam jo prikazuje koeficient asimetrije. V našem primeru gre za prevladujočo asimetričnost v levo. Iz tabele parametrov lahko razberemo tudi stopnjo sploščenosti, ki nam jo prikazuje koeficient sploščenosti. V našem primeru je več kot polovica spremenljivk porazdeljena koničasto, manj kot polovica pa sploščeno. Poglejmo si še aritmetične sredine doseženih točk pri končnem testu znanja. 10 Didactica Slovenica – Pedagoška obzorja (2, 2020) Slika 1: Primerjava aritmetičnih sredin doseženih točk med eksperimentalno (ES) in kontrolno (KS) skupino pri končnem testu znanja Pri končnem testu znanja je bilo mogoče doseči 136 točk. Iz grafa je razvidno, da so pri primerjavi aritmetičnih sredin eksperimentalne in kontrolne skupine razlike v številu doseženih točk zelo velike, saj je aritmetična sredina doseženih točk pri končnem testu znanja pri eksperimentalni skupini 122 točk, pri kontrolni skupini pa 100,5, kar pomeni, da je razlika aritmetičnih sredin med skupinama znašala 21,5 točke. Z uporabo analize variance in s t-testom smo ugotovili statistično pomembne razlike v doseženih točkah pri končnem testu znanja med učenci eksperimentalne in kontrolne skupine. Končni test znanja je vseboval naloge vseh štirih matematičnih področij, in sicer aritmetike in algebre, geometrije in merjenja, logike in jezika ter obdelave podatkov. S testom, ki so ga učenci 3. razreda reševali na koncu šolskega leta, smo želeli preveriti njihovo znanje matematičnih vsebin, usvojenih v 3. razredu. Tako učenci kontrolne kot eksperimentalne skupine so dokazali dobro usvojeno znanje, kar je temelj za nadgra- dnjo matematičnih vsebin v nadaljnjih letih šolanja. Poglejmo še znanje otrok pri posameznih matematičnih vsebinah. Analiza razlik v znanju pri aritmetiki in algebri med učenci eksperimentalne in kontr olne skupine na koncu raziskave Primerjava aritmetičnih sredin doseženih točk pri aritmetiki in algebri na vseh ta- ksonomskih stopnjah na koncu raziskave kaže, da so bili učenci eksperimentalne skupi- ne boljši pri reševanju nalog iz aritmetike in algebre kot učenci kontrolne skupine, saj so pri aritmetičnih nalogah osnovnega in konceptualnega znanja dosegli 3,3 točke več, pri aritmetičnih nalogah proceduralnega znanja 3,6 točke več in pri aritmetičnih nalogah problemskega znanja 0,6 točke več. Učenci tako kontrolne kot eksperimentalne skupine so najbolje reševali naloge iz aritmetike in algebre, kjer so morali števila zapisovati, primerjati po velikosti, urejati, zapisovati predhodnik in naslednik danega števila ter nadaljevati zaporedje števil. Zelo dobro sta obe skupini rešili nalogi, kjer so učenci morali pisno seštevati in odštevati brez prehoda do 1000 ter rešiti račune poštevanke. Težave so se začele pri reševanju računov s prehodom v obsegu do 100, predvsem pri učencih kontrolne skupine, in sicer izrazi- teje pri računski operaciji odštevanja. Največ napak pa so učenci naredili pri reševanju MOŽN E  TOČ K E E S K S 136 122 1 0 0 , 5 Doseže ne  točke 11 Koz el, dr . Cotič, dr . Ž akelj: Kognitivno-konstruktivistični model pouka matematike... sestavljenega matematičnega problema, in sicer so prvi del danega matematičnega pro- blema v glavnem rešili pravilno, zapletlo se je pri drugem delu, ko so morali uporabiti podatke iz prvega dela naloge, da so lahko rešili drugi del matematičnega problema. To nakazuje na nezmožnost medsebojnega povezovanja podatkov, slabe strategije reševa- nja matematičnega problema ter nerazumevanje problema, kar je neposredno povezano z branjem in izluščanjem bistvenih podatkov ter s slabšo pismenostjo učencev, kar se je kazalo izraziteje pri učencih kontrolne skupine. Opisanih težav je bilo pri učencih eks- perimentalne skupine znatno manj. Tudi zapis ulomka za del celote je nemalo učencem kontrolne skupine povzročal težave, saj veliko učencev ni znalo uporabiti simbolnega zapisa za ulomek. Slika 2: Primerjava aritmetičnih sredin doseženih točk na koncu raziskave med eks- perimentalno (ES) in kontrolno (KS) skupino pri aritmetiki in algebri na vseh taksonomskih stopnjah Analiza razlik v znanju pri geometriji in merjenju med učenci eksperimentalne in kontr olne skupine na koncu raziskave Primerjava aritmetičnih sredin doseženih točk na koncu raziskave pri geometriji in merjenju na vseh taksonomskih stopnjah kaže, da so bili učenci eksperimentalne sku- pine boljši pri reševanju geometrijskih nalog, ki so zahtevale osnovno in konceptualno znanje, saj so dosegli 5,3 točke več kot kontrolna skupina. Bolje so reševali tudi naloge problemskega znanja, kar so dokazali s tem, da so dosegli 0,9 točke več kot kontrolna skupina. Pri geometrijskih nalogah proceduralnega znanja pa je eksperimentalna skupi- na dosegla 0,1 točke manj kot kontrolna skupina. Učenci eksperimentalne skupine so za točko bolje kot učenci kontrolne skupine reševali naloge iz geometrije in merjenja, ki so zahtevale problemsko znanje, in sicer so morali učenci rešiti problemsko nalogo iz merjenja. Učenci obeh skupin so na osnovi danih podatkov zelo dobro sklepali in povezovali podatke, da so uspešno rešili matema- tični problem. Obe skupini sta bili skoraj izenačeni pri reševanju geometrijske naloge, TKARI1 TKARI2 TKARI3 29 38 6 27,4 34,6 5,2 24,1 31 4,6 M o ž n e  toč ke ES KS 12 Didactica Slovenica – Pedagoška obzorja (2, 2020) ki je zahtevala proceduralno znanje in kjer so se morali učenci orientirati v mreži. Pri tej nalogi so učenci obeh skupin znatno izboljšali rezultat v primerjavi z nalogo z istim ciljem v začetnem testu znanja. Največ napak pa so učenci obeh skupin naredili pri na- logah iz geometrije in merjenja, kjer so morali prepoznati in poimenovati geometrijska telesa in like. Predvsem so učenci kontrolne skupine pri teh nalogah delali napake pri navajanju lastnosti geometrijskih teles in likov (ploskev, rob, stranica, oglišče). Slika 3: Primerjava aritmetičnih sredin doseženih točk na koncu raziskave med ekspe- rimentalno (ES) in kontrolno (KS) skupino pri geometriji in merjenju na vseh taksonomskih stopnjah Analiza razlik v znanju pri drugih vsebinah (obdelavi podatkov ter logiki in jeziku) med učenci eksperimentalne in kontr olne skupine na koncu raziskave Primerjavo aritmetičnih sredin doseženih točk na koncu raziskave pri logiki in je- ziku smo opravili le na taksonomski stopnji, kjer gre za proceduralno znanje. Iz grafa lahko razberemo, da so bili učenci eksperimentalne skupine boljši pri reševanju logič- nih nalog proceduralnega znanja, saj so dosegli 4,6 točke več kot kontrolna skupina. Učenci eksperimentalne skupine so bili pri reševanju nalog iz logike in jezika boljši kot učenci kontrolne skupine. Predvsem so učenci kontrolne skupine delali napake pri razvrščanju večkratnikov v drevesni prikaz, saj pri danih večkratnikih niso upoštevali obeh lastnosti razvrščanja. Učenci obeh skupin niso imeli težav pri zapisovanju parov otrok v Carrollov prikaz. Kljub temu pa so učenci obeh skupin pri tej nalogi izgubili točko, ker so pozabili odgovoriti na dano vprašanje. TKGEM1 TKGEM2 TKGEM3 19 6 11 16, 5 5 , 7 10, 1 11, 2 5 , 8 9 Možn e  toč ke ES K S 13 Koz el, dr . Cotič, dr . Ž akelj: Kognitivno-konstruktivistični model pouka matematike... Slika 4: Primerjava aritmetičnih sredin doseženih točk na koncu raziskave med ekspe- rimentalno (ES) in kontrolno (KS) skupino pri logiki in jeziku na vseh takso- nomskih stopnjah Primerjavo aritmetičnih sredin doseženih točk na koncu raziskave pri obdelavi po- datkov smo opravili le na taksonomski stopnji, kjer gre za problemsko znanje. Iz grafa je razvidno, da so bili učenci eksperimentalne skupine boljši v reševanju nalog obdelave po- datkov iz problemskega znanja, saj so dosegli 3,6 točke več kot učenci kontrolne skupine. Slika 5: Primerjava aritmetičnih sredin doseženih točk na koncu raziskave med eks- perimentalno (ES) in kontrolno (KS) skupino pri obdelavi podatkov na vseh taksonomskih stopnjah TK LO G1 TK LO G2 TK LO G3 0 15 0 0 12,5 0 0 7, 9 0 Možne  toč ke ES KS TKO B D1 TKO B D2 TKO B D3 00 12 00 10 00 6 , 4 Možne  toč ke ES KS 14 Didactica Slovenica – Pedagoška obzorja (2, 2020) Učenci eksperimentalne skupine so dobro reševali nalogo iz obdelave podatkov, pri kateri so morali na osnovi izpolnjenega stolpičnega prikaza izpolniti preglednico, iz katere so iskali podatke in nadalje odgovorili na zastavljena vprašanja. Pri tej nalogi je večina učencev kontrolne skupine izgubljala točke, ker ni upoštevala legende danega prikaza s stolpci. S tem, ko so naredili napako pri štetju v povezavi z legendo prikaza, so tudi napačno odgovorili na zastavljena vprašanja o številu obiskovalcev za posamezne dneve v tednu. Analiza razlik v znanju matematike na vseh taksonomskih ravneh (osnovno in konceptualno znanje, pr oceduralno znanje, pr oblemsko znanje) Gagnejeve taksonomije (Cotič in Žakelj, 2004) med učenci eksperimentalne in kontr olne skupine na koncu raziskave Slika 6: Primerjava aritmetičnih sredin doseženih točk na koncu raziskave med ekspe- rimentalno (ES) in kontrolno (KS) skupino na vseh taksonomskih stopnjah Iz grafa je razvidno, da se aritmetične sredine doseženih točk pri končnem testu znanja vseh taksonomskih stopenj med eksperimentalno in kontrolno skupino razli- kujejo na vseh treh taksonomskih stopnjah, in sicer pri osnovnem in konceptualnem, proceduralnem in problemskem znanju, v prid eksperimentalne skupine. Če podrobneje pogledamo rezultate, opazimo, da je eksperimentalna skupina pri končnem testu znanja naloge osnovnega in konceptualnega znanja v povprečju bolje reševala za 8,6 točke, na- loge proceduralnega znanja za 8,1 točke, naloge problemskega znanja pa za 5,4 točke. Z analizo variance in t-testom smo ugotovili, da so vse aritmetične sredine dosežkov učencev na vseh taksonomskih stopnjah statistično pomembne. Predstavljeni podatki nam prikazujejo, da so v končnem stanju raziskave opazne večje razlike v aritmetičnih sredinah doseženih točk med eksperimentalno in kontrolno skupino kot v začetnem stanju raziskave. Učenci eksperimentalne skupine so dosegli višje število točk v celotnem končnem testu znanja, in sicer na vseh treh taksonom- skih stopnjah (TKNIVO1, TKNIVO2, TKNIVO3) in pri vseh posameznih matematič- nih vsebinah (TKARI, TKGEM, TKLOG, TKOBD), razen pri nalogah proceduralnega TK NIVO1 T K N IVO2 TK NIVO3 48 59 29 43,9 5 2 ,9 25,4 35,3 4 4 ,8 20 Mož n e  točke ES KS 15 Koz el, dr . Cotič, dr . Ž akelj: Kognitivno-konstruktivistični model pouka matematike... znanja iz geometrije in merjenja, kjer so učenci kontrolne skupine dosegli za 0,1 točke boljši rezultat kot učenci eksperimentalne skupine. Iz grafa lahko razberemo, da so učenci kontrolne skupine najbolje reševali nalo- ge, ki so od njih zahtevale proceduralno znanje, to je znanje poznavanja in uporabe enostavnih in kompleksnih postopkov, ki ga delimo na rutinsko proceduralno znanje (izvajanje rutinskih postopkov, uporaba pravil) in kompleksno proceduralno znanje (uporaba ter obvladovanje postopkov in algoritmov, reševanje rutinskih besedilnih na- log), saj so pri teh nalogah v primerjavi z nalogami drugih taksonomskih stopenj dosegli najvišje število možnih točk. Medtem ko so učenci eksperimentalne skupine najbolje reševali naloge, ki so zahtevale osnovno in konceptualno znanje, ki vključuje pozna- vanje pojmov in dejstev ter priklic znanja, poznavanje posameznosti: znanje izoliranih informacij, poznavanje specifičnih dejstev: znanje definicij, formul, izrekov, poznava- nje terminologije: seznanjenost z osnovnimi simboli in terminologijo, ter konceptualno znanje, ki pa sestoji iz razumevanja pojmov in dejstev, in sicer prepoznavanja pojmov in prepoznavanja terminologije in simbolike. Obe skupini, tako eksperimentalna kot kontrolna skupina, pa sta najslabše reševali naloge problemskega znanja, katerih elementi so prepoznavanje in oblikovanje pro- blema (iz besedila ali konkretne situacije oblikovati problem), preverjanje podatkov (preveriti, ali je dovolj podatkov, ali podatki manjkajo), izbiranje strategij reševanja (kako bomo problem rešili), uporaba znanja ter miselnih veščin (na kakšen način ga bomo rešili) in metakognicija (ali sem izbral najboljši način za rešitev problema), kjer so učenci obeh skupin dosegli najnižje število točk od danih v primerjavi z ostalimi taksonomskimi stopnjami. T abela 2: Prikaz razlik dosežkov učencev eksperimentalne in kontrolne skupine pri končnem testu znanja (t-test) Levenov test homogenosti varianc t-test F P t 2P TKSKUP 9,471 0,003 6,018 0,000 TKARI 11, 529 0,001 3,779 0,000 TKGEM 8,362 0,005 7,168 0,000 TKLOG 9,205 0,003 5,805 0,000 TKOBD 40,406 0,000 5,321 0,000 TKNIVO1 14,851 0,000 6,967 0,000 TKNIVO2 5,794 0,018 4,774 0,000 TKNIVO3 5,472 0,021 5,175 0,000 Z analizo variance in s t-testom smo ugotavljali statistične pomembnosti med raz- likami v dosežkih učencev eksperimentalne in kontrolne skupine pri končnem testu znanja. Iz predstavljenih podatkov lahko razberemo, da so omenjene razlike pri konč- nem testu znanja večje kot pri začetnem testu in vse so statistično pomembne. Učenci eksperimentalne skupine so dosegli boljše rezultate v celotnem končnem testu znanja, 16 Didactica Slovenica – Pedagoška obzorja (2, 2020) tako pri vseh nalogah različnih matematičnih vsebin kot tudi posameznih taksonomskih stopenj, razen pri nalogah, ki so zahtevale proceduralno znanje pri geometriji in merje- nju, saj so tu za 0,1 točke omenjene naloge bolje reševali učenci kontrolne skupine. Iz zgornje razpredelnice je razvidno, da so prav vse merjene razlike med eksperimentalno in kontrolno skupino statistično pomembne. Iz dobljenih rezultatov lahko sklenemo, da je do statistično pomembnih razlik v dosežkih med eksperimentalno in kontrolno skupino pri končnem testu znanja prišlo zaradi vnosa eksperimentalnega kognitivno-konstruktivističnega modela pouka in s tem preusmeritve pouka z učitelja na učenca ter uporabe sodobnih metod dela (problemski pouk, konstruktivizem, projektno delo, sodelovalno učenje …). Čeprav so učiteljice, ki so poučevale v eksperimentalni in kontrolni skupini, izva- jale pouk matematike po učnem načrtu (Žakelj et al., 2011), je prišlo v eksperimentalni skupini do statistično pomembnih razlik, saj je bil koncept pouka matematike v ekspe- rimentalni skupini drugače zastavljen. Učiteljice eksperimentalne skupine so bile med vzgojno-izobraževalnim procesom pri matematiki zelo pozorne, da so pouk zastavile tako, da je bila v ospredju učenčeva lastna aktivnost v procesu pridobivanja znanja tako, da so uporabile kognitivno-kon- struktivističen model pouka. Na ta način so si učenci izgradili samozaupanje v lastne sposobnosti, saj so jih učiteljice s sodobnimi metodami dela (razgovor, diskusija, ek- speriment, izkustveno učenje, projektno delo, problemski pouk …) navajale na samo- stojnost, spodbujale k ustvarjalnosti, predvsem pa k metakogniciji, torej k razmišljanju o postopku reševanja nalog, o rešitvah, ki so jih dobili, in kaj so se z nalogami naučili. Na ta način so učiteljice eksperimentalne skupine prevzele vlogo moderatorja in ne le prenašalca znanja. Na podlagi analize dobljenih rezultatov smo potrdili našo splošno hipotezo, da bodo učenci, ki bodo deležni eksperimentalnega kognitivno-konstruktivističnega mo- dela pouka matematike, uspešnejši pri reševanju matematičnih nalog na vseh matema- tičnih področjih (pri aritmetiki in algebri, geometriji z merjenjem, obdelavi podatkov ter logiki in jeziku) od učencev, deležnih behaviorističnega pouka matematike. 5 Sklep Iz analize rezultatov raziskave lahko sklenemo, da ima kognitivno-konstruktivi- stični model pouka matematike v 1. triletju osnovne šole, ki smo ga eksperimentalno preizkusili v praksi, pozitivne učinke na znanje matematike. Ugotavljamo, da lahko pri učencu pričakujemo kakovostnejše znanje, če je pri pouku v usvajanju znanja aktivno soudeležen. Aktivno učenje temelji na logičnem sklepanju in empiričnem preverjanju, vključuje dialog, tako s samim seboj kot z drugimi, ter izkušnje (Lebarič, Kobal in Kolenc, 2002). Kljub temu da smo v raziskavi ugotovili, da ima kognitivno-konstruktivistični mo- del pouka matematike v 1. triletju osnovne šole pozitivne učinke na znanje matematike, pa analiza rezultatov tudi opozarja, da v obeh skupinah ostaja največja nevralgična točka reševanje problemskih matematičnih nalog. Podobno kažejo tudi raziskave (Ja- 17 Koz el, dr . Cotič, dr . Ž akelj: Kognitivno-konstruktivistični model pouka matematike... pelj Pavešič in Svetlik, 2012; Martin in Mullis, 2013), v katerih avtorji navajajo, da je največja nevralgična točka učenja matematike v osnovni šoli bralno razumevanje mate- matičnih nalog. Tako kot navaja Dawe (1983), da je uspešno učenje matematike pove- zano z dobrim znanjem maternega jezika, tudi Clarkson in Williams (1994) opozarjata, da napredovanje pri branju pomeni večje možnosti tudi za napredovanje pri reševanju matematičnih besedilnih problemov, saj ima v besedilnih problemih oboje, matematič- no in nematematično besedilo, vpliv na uspešnost reševanja. Rezultati tako nakazujejo tudi potrebo po nadaljnjem razvoju pristopov učenja in poučevanja jezikovne dimenzije matematike kot sicer posebne, a integralno nedeljive komponente matematike. Mate- matični jezik razvijamo z interpretiranjem matematičnih dejstev in konceptov, z re- ševanjem besedilnih problemov, s spodbujanjem formalnega in kreativnega pisanja, z izražanjem matematičnih idej skozi različne sporazumevalne dejavnosti, z metodami za razvoj matematičnega besedišča, navajanjem na aktivno poslušanje, z dejavnostmi za spodbujanje interesa za matematiko idr. (Žakelj et al., 2018). V prispevku obravnavani teoretično osmišljeni kognitivno-konstruktivistični model pouka in njegova praktična aplikacija sta lahko izhodišči za nadaljnje proučevanje in uporabo v vzgojno-izobraževalni praksi matematike oziroma ju je mogoče uporabiti pri reviziji in snovanju učnega programa matematike, da bi učiteljem tako omogočili načrtovanje optimalne kombinacije aktivnih metod (razgovor, diskusija, eksperiment, izkustveno učenje, projektno delo, problemski pouk …) in pristopov poučevanja za iz- boljšanje dosežkov učencev pri pouku matematike. Učiteljem praktikom z izkušnjami in tudi tistim, ki si izkušnje pri poučevanju šele pridobivajo, pa bodo v pomoč pri obli- kovanju učinkovitih učnih strategij. Kot pravijo Sentočnik in sodelavci (2006), je naloga šole podpirati in omogočati razvijanje kompetenc pri učencih, ki bodo v podporo takšnega učenja, da bodo znali delati povezave, prepoznavati vzorce, organizirati posameznosti v celoto in izgrajevati razumevanje v vsej njegovi kompleksnosti. Lea Kozel, Mara Cotič, PhD, Amalija Žakelj, PhD The Cognitive-constructivist Model of Teaching Mathematics in the First Education Cycle This paper pr esents a theor etically designed cognitive-constructivist model of teaching mathematics in the first education cycle of primary school and its practical application. Constructivist theories of knowledge ar e based on the assumption that in - dividuals build their knowledge with their own construction of knowledge, with pr oblem learning that is oriented towar ds discovery , linked with everyday life, based on exam - ples, internally motivated and social. Mar entič-Požarnik (2000, p. 10) state that “learning is every change in the behav - iour , informedness, knowledge, understanding, attitudes, skills or competences that is permanent and cannot be attributed to physical gr owth or development of inherited behavioural patterns.” The theory of learning, which, besides behaviourism, cognitiv - ism and connectivism, was developed in the W est in the last century and which has 18 Didactica Slovenica – Pedagoška obzorja (2, 2020) significantly influenced the learning and teaching of mathematics is constructivism (De Corte, 2013; W alling, 2014). Constructivism as a theory of learning is based on students’ active participation in the acquisition of knowledge, also in close interaction with local community . Stu - dents possess certain pr eviously acquir ed knowledge, skills and experiences, which, in authentic situations, they ar e able to r elate to the r eal world and to upgrade, thus becoming able to solve pr oblems (Bass, 2012; Cankar et al., 2013). Authentic situations influence their emotional, social and physical involvement as well as the development of their attitudes (Mueller & Anderson, 2014). Constructivist theories of knowledge ar e based on the assumption that knowledge is not transferrable; individuals shape it with their own construction (Plut-Pr egelj, 2003), learning is based on solving pr oblems, oriented towar ds discovery , linked to everyday life, case-based, intrinsically motivated and social (Šteh, 2004). Supporters of the con - structivist theory believe that it is constructivist theories of knowledge pr ecisely that have become the main starting point of the modernisation of the curriculum (Rutar Ilc, 2002). Even in the so-called transmission appr oach, which is pr edominantly about the transfer of finite knowledge and skills, students ar e active to a certain degr ee, as they listen to the teacher ’ s explanation and trying to compr ehend it. In most of the important stages of the cognition pr ocedur e, students ar e nevertheless not active but mer ely in - formed about the findings that r esult fr om the cognition path somebody else has walked, while they never embark on it themselves (Rutar Ilc, 2002). The active appr oach, which is gr ounded on one’ s own discovery and construction of findings with the support of various activities and mental pr ocesses stirr ed to by these activities is what makes – in otherwise mor e passive acquisition of knowledge – inter - nalisation of concepts, principles and rules possible, and thus also durability of knowl - edge and its transfer value (Rutar Ilc, 2002). For the attainment of the r equir ed aims of contemporary schooling, it is necessary to supplement the transmission (behaviouristic) with a modern cognitive-constructivist or transformational model of teaching. This r equir es pr oblem-solving orientation of methods and appr oaches, wher e the teacher pays attention not just to the quantity but also to the quality of students’ pr eknowledge. The teacher deliberately exploits student’ s experiences, attitudes and views, confr onts them with the imperfection and contradicto - riness, and with adapted support helps students with the r econstruction of knowledge. In the cognitive-constructivist model, the importance of student’ s activity , cooperation and exchange of views among learners as well as planful acquisition of learning skills is accentuated in all learning stages. In this kind of teaching, the student assumes an incr easing part of r esponsibilities for the acquisition of knowledge and for personal development, and is trained for lifelong learning (V alenčič Zuljan, 2002). In theory and in practice, constructivism is expr essed in various dir ections. Com - mon to all of them is the educational philosophy that the student is the main construc - tor of her/his own knowledge. Knowledge is ther efor e a pr oduct of one’ s own mental pr ocessing and, due to the specificities of every individual, it is expr essed in individual varieties. 19 Koz el, dr . Cotič, dr . Ž akelj: Kognitivno-konstruktivistični model pouka matematike... In the empirical part, the application of the cognitive-constructivist model of teach - ing mathematics in the first education cycle of primary school was evaluated using the experimental method of educational r esear ch in school practice. Contemporary school r eforms ar ound the world namely endeavour to r each mean - ingful and lasting knowledge with students, and this is the r eason why curricula, syllabi and, consequently , the teaching of mathematics have been modernised. W e have decided to carry out a r esear ch to examine and update the existing educational pr ocess of teach - ing mathematics in the framework of primary school education. The pr oblem of the r esear ch focused on the formation and evaluation of the ex - perimental cognitive-constructivist model of teaching mathematics, based on active in - volvement of the student in the learning pr ocess, built on the basis of for eign r esear ch and taking into account the Slovenian school space. For this purpose, the following general and specific hypotheses wer e set. General hypothesis: □ HG: The students who will r eceive the experimental cognitive-theor etical model of teaching mathematics will perform better in solving mathematical tasks in all ar eas of mathematics (arithmetic and algebra, geometry with measur ement, data pr oces - sing and logic, and language) than the students who will r eceive the behaviourist teaching of mathematics. Specific hypotheses: □ H1: The experimental gr oup will perform better in solving mathematical tasks in geometry with measur ement than the contr ol gr oup of students. □ H2: The experimental gr oup will perform better in solving mathematical tasks in arithmetic and algebra than the contr ol gr oup of students. □ H3: The experimental gr oup will perform better in solving mathematical tasks in other ar eas (data pr ocessing and logic) than the contr ol gr oup of students. □ H4: The experimental gr oup will perform better in solving mathematical tasks of the highest taxonomy level (pr oblem-solving knowledge) accor ding to Gagne than the contr ol gr oup of students. □ H5: Between the experimental and the contr ol gr oup ther e will be no statistically significant differ ences in solving mathematical tasks of the first and of the second taxonomy levels (basic and conceptual knowledge and pr ocedural knowledge) ac - cor ding to Gagne’ s taxonomy . The experiment was carried out in differ ent primary school classes. This means that prior to the experiment, no equalisation of classes to eliminate random differ ences was performed. The gr oup of students who r eceived the experimental factor was named the experimental gr oup. The gr oup of students who did not r eceive the experimental factor was named the contr ol gr oup. The experimental factor consisted of the experimental co - gnitive-constructivist model of teaching mathematics constructed on the basis of for eign r esear ch, taking into account the Slovenian school space. In the contr ol gr oup, teaching was performed accor ding to the transmission model. In the experimental gr oup, prima - ry school teachers, graduates fr om university study pr ogrammes, took part, equalised r egar ding their education levels. 20 Didactica Slovenica – Pedagoška obzorja (2, 2020) The r esear ch was performed on a sample of 240 thir d-grade students fr om random - ly selected primary schools in the coastal r egion of Slovenia – the experimental gr oup consisted of 100 students and the contr ol gr oup of 140. All of the selected schools wer e urban schools with equally favourable working conditions. In the study , the traditional method of empirical r esear ch was complemented with the qualitative methodology of educational r esear ch. The educational experiment was applied in the framework of the empirical r esear ch appr oach. T o obtain mor e complete data, the latter wer e analysed quantitatively and qualitatively . Quantitatively , data was analysed with knowledge tests (two tests in the knowledge of mathematics), and quali - tatively with on-going working conversations with teachers, written and oral analysis of teachers’ lesson plans and pr oject plans, and with r esear chers attending individual classes. For the purpose of the r esear ch, two knowledge tests wer e designed. The r esults wer e interpr eted in consistence with pr oving the set hypotheses. In this, 5 % wer e taken into account as the highest risk allowed for the r ejection of the hypoth - esis (the selected value for the significance level is 0.05). If in the t-test the level of statistical significance was lower than 0.05, this meant that with r egar d to the tested hypothesis the experimental and the contr ol gr oup differ ed at the level of statistical significance. W ith the analysis of variance and with the t-test, the level of statistical significance was determined for the differ ences in the performance of students in the experimental and the contr ol gr oup in the final test. W e can discern fr om the pr esented data that the analysed differ ences between the gr oups wer e gr eater in the final than in the initial test and they wer e all statistically significant. The students in the experimental gr oup achieved better outcomes in the entir e final test of knowledge, both in all tasks in differ - ent mathematical contents as well as individual taxonomy levels, except in the tasks that r equir ed pr ocedural knowledge in geometry and measur ement, as in solving these tasks the students of the contr ol gr oup performed by 0.1 points better that their peers in the experimental gr oup. Absolutely all the measur ed differ ences between the experimental and the contr ol gr oup wer e statistically significant. Based on the analysis of the obtained r esults, we conclude that higher quality knowledge can be expected when the student is actively involved in the acquisition of knowledge. The students who r eceived the teaching of mathematics accor ding to the cognitive-constructivist model performed significantly better in solving mathematical tasks in all ar eas of mathematics and in all taxonomy levels. Based on the analysis of the obtained r esults, our general hypothesis was confirmed that the students who r eceive the teaching of mathematics accor ding to the cognitive- constructivist model of teaching mathematics will perform better in solving mathemati - cal tasks in all ar eas of mathematics (arithmetic and algebra, geometry with meas - ur ement, data pr ocessing and logic, and language) and in all taxonomy levels than the students who r eceive the teaching of mathematics accor ding to the transmission or behaviourist model. 21 Koz el, dr . Cotič, dr . Ž akelj: Kognitivno-konstruktivistični model pouka matematike... LITERATURA 1. Bransford, J.D., Brown, A.L., Cocking, R.R. (2000). How People learn. Washington D.C.: Na- tional Academy Press. 2. Bass, R. (2012). Disrupting Ourselves: the Problem of learning in Higher education. Educouse Review, 47, št. 2, str. 1–13. 3. Cankar, F., Deutsch, T., Zupan, B., Setnikar-Cankar, S. (2013). Schools and promotion of inno- vation. Croatian Journal of Education, 15 (Sp. Ed. No. 2), str. 179–211. 4. Clarkson, S.P., Williams, W.H. (1994). Are You Assessing Reading or mathematics? Conferen- ce Paper ED 393666. Pridobljeno dne 01.12.2018 s svetovnega spleta: http://files.eric.ed.gov/ fulltext/ED393666.pdf. 5. Cotič, M., Žakelj, A. (2004). Gagnejeva taksonomija pri preverjanju in ocenjevanju matematič- nega znanja. Sodobna pedagogika, 55, št. 1, str. 182–192. 6. Dawe, L. (1983). Bilingualism and Special Education: Issues in Assessment and Pedagagogy. Clevedon, England: Multilingual Matters. 7. De Corte, E. (2013). Zgodovinski razvoj razumevanja učenja. V: H. Dumont, D. Istance, F. Be- navides (ur.). O naravi učenja: uporaba raziskav za navdih prakse. Ljubljana: Zavod Republike Slovenije za šolstvo, str. 37–64. 8. Japelj Pavešić, B., Svetlik, K. (2012). Odzivi šol na dosežke učencev v raziskavi TIMSS 2011: mednarodna raziskava trendov znanja matematike in naravoslovja. Ljubljana: Center za upo- rabno epistemologijo, Pedagoški inštitut. Pridobljeno dne 30.10.2018 s svetovnega spleta: htpp://timsspei.blog.arnes.si. 9. Krapše, T. (2002). Učitelj v procesu (re)konstrukcije učenčevih znanj. V: Zupan, A. (ur.). Mode- li poučevanja in učenja. Zbornik prispevkov. Ljubljana: Zavod RS za šolstvo, str. 18–26. 10. Kukanja Gabrijelčič, M. (2015). Profesionalni razvoj učiteljev in težave pri delu z nadarjenimi učenci. Didactica Slovenica – Pedagoška obzorja, 30, št. 1, str. 112–128. 11. Lebarič, N., Kobal, D., Kolenc, J. (2002). Motivacija za učenje in samopodoba. Ljubljana: Psi- hološka obzorja. Društvo psihologov Slovenije, 15, št. 3, str. 23–38. 12. Marentič Požarnik, B. (2000). Psihologija učenja in pouka. Ljubljana: DZS. 13. Marentič Požarnik, B. (2004). Konstruktivizem v šoli in izobraževanje učiteljev. Ljubljana: Center za pedagoško izobraževanje Filozofske fakultete. 14. Martin, M.O., Mullis I.V .S. (ur.) (2013). International Association for the Evaluation of Educa- tional Achievement. IEA. TIMSS and PIRLS 2011: Relationships among reading, mathematics, and science achievement at the fourth grade – Implications for early learning. United States: TIMSS & PIRLS International Study Center, Lynch School of Education, Boston College And International Association for the Evaluation of Educational Achievement (IEA). 15. Mešinović, S. (2019). Učenje z odkrivanjem pri pouku geometrije v osnovni šoli. Didactica Slovenica – Pedagoška obzorja, 34, št. 3–4, str. 19–33. 16. Mueller, S., Anderson, A.R. (2014). Understanding the entrepreneurial learning process and its impact on students’ personal development: a european perspective. International journal of management education, 12, št. 3, str. 500–511. 17. Plut-Pregelj, L. (2003). Poslušanje v šoli – med ozaveščanjem, učenjem in zgledom. Vzgoja in izobraževanje: revija za teoretična in praktična vprašanja vzgojno-izobraževalnega dela, 34, št. 2, str. 4–10. 18. Rutar Ilc, Z. (2002). Aktivni učenec: zakaj in kako? V: Zupan, A. (ur.). Modeli poučevanja in učenja. Zbornik prispevkov. Ljubljana: Zavod RS za šolstvo, str. 10–17. 19. Sentočnik, S., Schollaert, R., Jones, J., Coffey, S., Bizjak, C., Rupnik Vec, T., Rupar, B., Pušnik, M. (2006). Vpeljevanje sprememb v šole: konceptualni vidiki. Ljubljana: Zavod Republike Slovenije za šolstvo. 20. Šteh, B. (2000). Kakovost učenja in poučevanja v okviru gimnazijskega programa. Doktorsko delo. Ljubljana: Univerza v Ljubljani, Filozofska fakulteta. 21. Šteh, B. (2004). Koncept aktivnega in konstruktivnega učenja. V: B. Marentič Požarnik (ur.). Konstruktivizem v šoli in izobraževanje učiteljev. Ljubljana: Filozofska fakulteta, str. 149–163. 22 Didactica Slovenica – Pedagoška obzorja (2, 2020) 22. Štemberger, T. (2019). Raziskovanje o otrocih/z otroki: vprašanje participativnega raziskovanja z otroki. Didactica Slovenica – Pedagoška obzorja, 34, št. 1, str. 3–18. 23. Valenčič Zuljan, M. (2002). Kognitivno-konstruktivistični model pouka in nadarjeni učenci. Didactica Slovenica – Pedagoška obzorja, 17, št. 3–4, str. 3–12. 24. Walling, D.R. (2014). Designing learning for tablet classrooms: innovations in instruction. Cham, New York: Springer. Pridobljeno dne 15.09.2018 s svetovnega spleta: https://books.goo- gle.si/. 25. Žakelj, A. (2003). Kako poučevati matematiko. Teoretična zasnova modela in njegova didaktič- na izpeljava. Ljubljana: Zavod Republike Slovenije za šolstvo. 26. Žakelj, A. (2004). Procesno-didaktični pristop in razumevanje pojmovnih predstav v osnovni šoli. Doktorsko delo. Ljubljana: Filozofska fakulteta. 27. Žakelj, A., Prinčič Röhler, A., Perat, Z., Lipovec, A., Vršič, V ., Repovž, B., Senekovič, J., Bre- gar Umek, Z. (2011). Učni načrt, Program osnovna šola, Matematika. Ljubljana: Ministrstvo za šolstvo in šport, Zavod RS za šolstvo. 28. Žakelj, A., Cotič, M., Felda, D., Mešinović, Sa. (2018). The importance of reading literacy in learning mathematics. V: Lepičnik-V odopivec, J. (ur.), Jančec, L. (ur.), Štemberger, T. (ur.). Im- plicit pedagogy for optimized learning in contemporary education, (Advances in Educational Technologies and Instructional Design (AETID) Book Series). Hershey, PA: Information Sci- ence Reference, (an imprint of IGI Global), 2018, str. 205–223. Pridobljeno dne 10.04.2018 s svetovnega spleta: https://www.igi-global.com/book/implicit-pedagogy-optimized-learning- -contemporary/192052. Lea Kozel (1978), asistentka za didaktiko matematike na Pedagoški fakulteti Univerze na Primor - skem v Kopru. Naslov: Ulica Danila Zelena 6, 6000 Koper , Slovenija; T elefon: (+386) 031 261 682 E-mail: lea.kozel@pef.upr .si Mara Cotič (1954), r edna pr ofesorica za didaktiko matematike na Pedagoški fakulteti Univerze na Primorskem v Kopru. Naslov: Budičinova 3, 6000 Koper , Slovenija; T elefon: (+386) 041 449 784 E-mail: mara.cotič@pef.upr .si Amalija Žakelj (1958), r edna pr ofesorica za didaktiko matematike na Pedagoški fakulteti Univerze na Primorskem v Kopru. Naslov: Podpeška 93 A, 1351 Br ezovica pri Ljubljani, Slovenija; T elefon: (+386) 041 784 936 E-mail: amalija.zakelj@pef.upr .si