i
i
“800-Bezek-pitagora” — 2010/5/25 — 11:27 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 14 (1986/1987)
Številka 1
Strani 8–11
Danijel Bezek:
PITAGORA IN NJEGOVA ŠOLA
Ključne besede: matematika, pitagorejci.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/14/800-Bezek.pdf
c© 1986 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
PITAGORA IN NJEGOVA ŠOLA
Glavna značilnost grške matematične misli je bil razumski pristop. Osnovna
značilnost razumskega pristopa ni bilo toliko iskanje praktičnih in koristnih
postopkov na podlagi empiričnih izkušenj, ampak iskanje vzročno-posledičnih
zvez po logični poti. Temu pristopu je ostala zvesta večina grških filozofskih
šol, ki jih je matematika zanimala. Nekatere od šol so se v okviru tega pristopa
ukvarjale z bolj realnimi problemi in vprašanji (npr. sofisti), druge šole pa so se
nagibale k bolj mističnim razlagam in iskanju mističnih zvez med števili in ure -
jenostjo sveta . Med take šole spada tudi tako imenovana "šola pitagorejcev".
Ime je dobila po idejnem voditelju te šole - Pitagori (gr. T{vtlarOpa~, okoli
580 - 500 pr.n.št.). Nekaj nam o šoli, njenih učencih in delovanju izda v verze
prelita naloga :
"Reci Pitagora srečni, potomec Modric helikonskih, tole mi zdaj odgovori:
dej, koliko vrlih učencev v tvoji se hiši sedaj ubada na poti k modrosti?"
"Tole povem Polikrat, da se matematiko krasno vseh polovica uči, nesmr-
tno prirodo spoznati hoče nato četrtina. Sedmina vseh mojih učencev rada
molčala bi le, besede razmišljala večne . Z njimi še žene so tri, med njimi
je prva Teana. To so nasledniki vsi, kar meni so dale jih muze."
---
1•V smislu pitagorejskih nazorov rsce-
mo pozitivno celoštevilsko rešitev
enačbe:
Pitagorejci so se veliko ukvarjali s števili in prišli na tem področju do vrste za-
nimivih odkritij. To jih je navdušilo do take mere, da so poskušali zakonitosti
in lastnosti iz geometrije, kozmologije in glasbe povezati s števili in številskimi '
razmerji.
Med mnogimi primeri, ki predstavljajo povezavo med geometrijo in števili,
je tudi naslednja naloga:
Za katere pravokotnike je številska vrednost obsega enaka številski vred·
nosti ploščine?
V gornji enačbi ločimo količini
a in b, tako da dobimo:
8
2(a +b) =ab (1)
2b
b-2
Ker zahtevamo, da je a naravno šte-
vilo, mora biti števec večkratnik ime-
nova Ica (2b = alb - 21 in a E NI.
Upoštevajmo to in najdemo vse rešitve za ain b. Ni jih veliko. Zahtevano lastnost
imata le dva pravokotnika. Obe rešitvi sta bili znani tudi pitagorejcem. Poišči
jih!
Enačbo 2(a + bl = ab lahko preoblikujemo tako, da nastopata ain b na isti
strani enačbe. Tako dobimo enačbo:
2ab
a + b
Izraz 2(abl/(a + bl imenujemo harmoničnasredina količin ain b .
Nalogo o pravokotniku lahko zdaj povemo takole. Poišči taki naravni šte-
vili a in b, da bo njuna harmonična sredina enaka 4.
Postavimo si še splošnejšo nalogo . Poišči vse take trojice naravnih števil
(x, a, bl, da bo x harmonična sredina števil a in b,
(Navodilo: Poglej, kako smo rešili posebni primer za x = 4, in tako reši naloge
za ostale x = 1,2,3, . oo ).
Zgodovina matematike povezuje pojem harmonične sredine z imenom
Arhita iz Tarenta (gr. Apxtra~, IV. stol. pr ,n .št.). Poleg Pitagore je bil eden naj-
vidnejših predstavnikov pitagorejske šole. Njemu pripisujejo tudi uvedbo pojma
aritmetične sredine ((a + bl/21 in geometrične sredine (~l števil a in b,
Izraz za harmonično sredino x = 2ab/(a + bl lahko še nekoliko preobliku-
jemo: x (a + bl = 2ab in od tod (a + bl/2a = b/x, nakar vstavimo namesto x
kar izraz za harmonično sredino in dobimo sorazmerje:
(a + bl/2 : a = b : 2ab I (a + bl
V dobljenem sorazmerju nastopata kot zunanja člena aritmetična in harmoni-
čna sred ina. Pitagorejci so to sorazmerje imeli za višek popolnosti.
Razmišljanje o harmonični sredini in številih končajmo z nalogo:
Ji 1;2I
V1 V2
.. v=l ••
Kolesar prevozi prvo polovico poti
enakomerno s hitrostjo 8 mis, drugo
polovico poti pa s hitrostjo 12 mis.
Izračunaj povprečno hitrost vožnje.
9
Rešitve:
1. Pitagora ima 28 učencev. Matematiko raziskuje 14 učencev, prirodo 7 učen­
cev, 4 učenci se ukvarjajo s filozofijo . Med njimi so tudi 3 učenke, za katere pa
ne vemo, s čim se ukvarjajo . Pri tem smo seveda predpostavili, da se nihče ne
ukvarja z več kot enim področjem.
2. Celoštevilska vrednost obsega in celoštevilska vrednost ploščine sta si enaki,
ko je 2ab / (a + b) =4. Brž najdemo prvo rešitev: a =b =4. Druga rešitev pa je
a = 6 in b = 3, tretja pa a = 3, b = 6. Ker b - 2 deli 2b =2(b - 2) + 4, mora
b - 2 deliti 4, zato ni drugih rešitev v naravnih številih.
3. Trojico naravnih števil (x, a, b) poiščemo iz enačbe x = 2ab/(a +b), oziroma
iz preoblikovane enačbe: xa = b(2a - x). Prvo rešitev že poznamo a =b =x. S
sklepanjem najdemo še drugo rešitev. Če je x liho število, potem je 2b = x + 1
in a = x (x + 1)/ 2. Če je x sodo število, potem je 2b =x + 2 in a = x( x+ 2)/4.
Sestavimo zdaj tabelo in v njej preverimo rezu ltat za x =4. Preostal i del tabele
izpolni sam.
REŠiTEV ŠTEVILO x ŠTEVILOa ŠTEVILOb
1. rešitev liho ali sodo a=x -b =x
2. rešitev Iiho število a =xIx + 1)/2 b=(x+1)/2
sodo število a=x(x+2)/4 b =(x + 2)/2
1. rešitev 1
2. rešitev 1
1. rešitev 2
2. rešitev 2
1. rešitev 3
2. rešitev 3
1. rešitev 4 4 4
2. rešitev 4 6 3
l. rešitev 5
2. rešitev . 5
10