UNIVERZA V LJUBLJANI BIOTEHNIŠKA FAKULTETA MARIJAN BLEJEC Statistične metode v gozdarstvu in lesarstvu LJUBLJANA 1969 UNIVERZA V LJUBLJANI BIOTEHNIŠKA FAKULTETA MARIJAN BLEJEC Statistične metode v gozdarstvu in lesarstvu LJUBLJANA 1369 iMi-U 233851 Izdala in založila IV otehniška fakulteta v Ljubljani Tiskala Univerzitetna tiskarna v Ljubljani Naklada 500 izvodov PHKDOOVOE ■Narava pojavov v goz-darstvu je tipična za raziskovanje s statistič¬ nimi metodami. Že opisovanje in analiza sestojev, ki obsega obsežno delovne področje raziskovalnega dela in operative, odpira veliko mož¬ nosti za uporabo statističnih metod. Enako je z biometričnimi proble¬ mi, ki se javljajo v raziskavah gozda. Ne najmanj pomembna je tudi predelava lesa, ki je ozko povezana z gozdarstvom. Tudi na tem sek¬ torju s statističnimi metodami z uspehom rešujemo specifične proble¬ me. "Statistične metode v gozdarstvu in lesarstvu" v dani obliki pred¬ stavljajo uvod v matematično-statistične metode na področju gozdar¬ stva. Študentu naj bi služile kot učbenik, praktiku in raziskovalcu pa kot priročnik in informator o osnovnih statističnih metodah, ki jih uporabljamo v problemih iz gozdarstva. Knjiga je napisana po predavanjih is statističnih metod, ki sem jih imel v razdobju 195£ do 1964 na gozdarskem oddelku Biotehniške fa¬ kultete v Ljubljani. ZaBnova je zgrajena za potrebe gozdarske in lesno-predelovalne smeri oddelka. Čeprav je delo napisano na osnovi potreb dvab po predmetu različnih smeri, je problematika posameznih poglavij aktualna v obeh področjih, seveda z različno težo. Delo je razdeljeno v 14 poglavij. Prvih sedem poglavij obravnava si¬ stematiko množičnih pojavov, statistična opazovanja in osnovne para¬ metre. 3 Bazen analiziranja množičnih pojavov z metodami statističnega opiso¬ vanja je v gozdarstvu osrednje važnosti proučevanje odvisnosti mod pojavi. Zaradi tega je problemom korelacije posvečeno razmeroma ob¬ sežno osmo poglavje. Z vedno večjimi potrebami po vse številnejših podatkih se kompletna opazovanja tudi v gozdarstvu in lesarstvu dostikrat izkažejo kot ne¬ ustrezna iz več razlogov. Izmed metod, s katerimi z delnim opazova¬ njem ocenjujemo statistične podatke, obsežno deseto poglavje nadrob¬ no obravnava sodobno metodo delnega opazovanja - vzorčenje. S pra¬ vilno zasnovanim vzorcem dobimo razmeroma hitro in poceni kvalitet¬ ne ocene, katerih natančnost moremo regulirati in določiti. Metode preskušanja hipotez na osnovi vzorčenja, obravnavane v enaj¬ stem poglavju, so osnova večine sodobnih statističnih metod. Iz nje - so se razvile različne samostojne discipline. Med njimi imajo pose¬ ben pomen statistične metode planiranja eksperimentov, ki jih s pri¬ dom uporablja strokovnjak v gozdarstvu in lesnopredelovalni indu¬ striji. Osnovne metode statističnega planiranja eksperimentov so da¬ ne v dvanajstem poglavju. Tipična metoda, ki se je tudi razvila iz teorije preskušanja hipotez, je statistična kontrola kvalitete. V trinajstem odstavku so podane osnove metod statistične kontrole kva¬ litete, ki jih uporabljamo pri masovni proizvodnji. Za raziskovanja v gozdarstvu ni najmanj pomembno tudi štirinajsto poglavje, ki se ukvarja s statističnimi metodami proučevanja dinami¬ ke pojavov, Z metodami analize časovnih vrst proučimo marsikatero značilnost in zakonitost o časovni dinamiki pojavov iz gozdarstva. Osnova za večino primerov, ki sem jih uporabil za ilustraoijo posa¬ meznih metod, je gradivo raziskav Inštituta za gozdno in lesno go- 4 spodarstvo Slovenije (ICELG) in Inštituta za tehnologijo lesa pri gozdarskem oddelku Biotehniške fakultete. Za prijaznost in pomoč, ki mi je hila s tem izkazana, se vsem najlepSe zahvaljujem. M. Blejec & -// //_ f' 1. MNOŽIČNI pojavi Proučevanje množičnih pojavov . .. ...... ........... 17 Statistične enote .o*..... .».. 2o Statistični znalci .. 21 Populacije... 24 Parametri .. 27 2. GRUPIRANJE Zaokroževanje podatkov ... Grupiranje vrednosti znakov .. 3° Načela grupiranja .. 3o Grupiranje numeričnih znakov .................... 32 Grupiranje nenumeričnih znakov .................. 36 3. ELEMENTARNI PARAMETRI Število enot in vsote .......................... 39 Statistične vrste.... 4o Frekvenčne porazdelitve .. 44 Str. Sestavljanje frekvenčnih porazdelitev ........ 44 Grafično prikazovanji frekvenčnih porazdelitev 48 Kumulativne frekvenčne porazdelitve.. 54 4. RELATIVNA. ŠTEVILA Vrste primerjav .................................. 59 Strukture .. 60 Enostavne strukturne vrste........... gl Kombinirane Btrukturne vrste .. 63 Indeksi . 65 Indeksi s stalno osnovo .. 65 Verižni indeksi... 67 Koeficienti in gostote .. 69 Koeficienti .. 69 Gostote .. 71 5. KVANTILI Ranžirna vrsta. Rang .. 77 Kvantilni rang .. 78 Kvantili .. 80 Izračunavanje kvantilnih rangov in kvantilov iz frekvenčnih porazdelitev ...................... 81 6. SREDNJE VREDNOSTI Vrste srednjih vrednosti .. 91 Mediana .. 92 Lastnosti mediane .. 92 8 Str. Modus ..... 93 Izračunavanje modusa iz frekvenčnih porazdeli¬ tev ..... 94 Lastnosti modusa .. 98 Aritmetična sredina ... 98 Lastnosti aritmetične sredine ... 99 Izračunavanje aritmetične sredine iz negrupira- nih podatkov ............................... loo Izračunavanje aritmetične sredine iz frekvenč¬ nih porazdelitev ........................... loo neposredna metoda.. loo Metoda s pomožnim znakom u ................ lo3 Metoda kumulativ ... lo5 Aritmetična sredina aritmetičnih sredin .. lo7 Harmonična sredina ... lo9 Izračunavanje.sumarnih relativnih Števil ...... 111 Kvadratična sredina 112 Geometrijska sredina ... 114 Zveze med srednjimi vrednostmi .. 117 7. MERE VARIACIJE Vrste mer variacije .. 121 Variaoijski razmak .. 122 Kvartilni odklon ..... 123 Povprečen absoluten odklon ... 125 Varianca in standardni odklon ... 12? Izračun varianco in standardnega odklona ...... 128 Izračun variance in standardnega odklona iz ne- grupiranih podatkov. Neposredna metoda ..... 128 Metoda pomožnega znaka u ... Izračun variance in standardnega odklona iz frek¬ venčnih porazdelitev ..... ^32 9 Str. Metoda pomožnega znaka u ....................... 132 Metoda kumulativ .... 134 Sheppardov popravek .. 136 Izračunanje skupne temeljnioe iz frekvenčne poraz¬ delitve primerov .. 137 Zveza standardnega odklona z normalno porazdelitvi¬ jo .....,.y....... 138 Skupna varianca. 140 Relativne mere variacije ....... 143 8 .KORELACIJA Funkcijske odvisnosti .. 147 Korelacijske odvisnosti .. 149 Vzročne in čiste korelacijske odvisnosti .. 150 Prikazovanje korelacijskik odvisnosti ................ 15° Korelacijski grafikon. I 5 I Korelacijska tabela .. 153 Značilnosti korelacijskih odvisnosti ................. 155 Določanje regresijskih krivulj ....................... 157 Prostoročna metoda .. 157 Metoda sredin .. 157 Analitična metoda za določanje regresijskih krivulj 162 Mera stopnje odvisnosti .............................. 163 Linearna regresija in korelacija ... 165 Izračunavanje pokazateljev za linearno regresijo in korelacijo. 167 Proučitev linearne regresije in korelacije iz kore¬ lacijske tabele .. 171 Krivuljčna regresija in korelacija .. ?...... 175 .Regresijske krivulje tipa « a+bx-f-cx 177 lo Str« Določanje regresijskih krivulj iz vrste graja¬ nih sredin ............... ............... 178 Določanje regresijskih krivulj s transformacijami. 183 Multipla regresija in korelacija .................... 198 Linearna multipla regresija in korelacija ........ 2oo Krivuljčna multipla regresija in korelacija .. 2ol Parcialni korelacijski koeficient .... 2o4 9. TEORETIČNE PORAZDELITVE Pomen proučevanja teoretičnih porazdelitev.. 2o^ Normalna porazdelitev. 2o8 Opis normalne porazdelitve . 2o9 Standardiziran znak z.. 212 Standardizirana normalna porazdelitev .. 213 Prilagoditev normalne porazdelitve stvarni poraz¬ delitvi .. 217 Verjetnostni grafikoni .. 22o Verjetnostne porazdelitve ........................ 226 Pojem tveganja .. 227 10. VZORČENJE - OCENJEVANJE PARAMETROV Metode delnega opazovanja..... 233 Vzorčenje .. 234 Osnovna populacija. Enota opazovanja. 235 Enote vzorčenja.... • * .... 236 Vzorec .. 236 Populacija vseh možnih vzorcev ... 238 Teoretične vzorčne porazdelitve .. 240 11 Str. Enostavno slučajnostno vzorčenje .. 2 41 Ocenjevanje aritmetične sredine. 241 Točkovna ocena. Odklon zaupanja. Intervalna ocena. Razmak zaupanja .................... 243 Nepristranska ocena variance in povprečnega kvadratičnega odklona ... 245 Preskus zakonitosti vzorčenja na shematični po¬ pulaciji .. 247 Ocenjevanje parametrov z enostavnim slučajnost- nim vzorčenjem na splošno. 254 Ocenjevanje agregata Y, strukturnega deleža Pj& in števila enot z dano značilnostjo H . 255 Tehnika izbora enostavnega slučajnostnega vzorca 261 Loterijski način .. 262 Tablice slučajnostnih številk. 263 Primer za ocenjevanje z enostavnim slučajnost- nim vzorcem .. 268 Določanje velikosti vzorca pri zahtevani natanč¬ nosti ocene. 277 Določanje velikosti vzorca za oceno povpreč¬ ja . 277 Velikost vzorca pri predpisani relativni na¬ tančnosti .. 279 Določanje števila enot v vzorcu za ocene pa¬ rametrov Hy f Y, PJŽ, H .. 28o Stratifioirano vzorčenje .. 282 Osnova in lastnosti .. 282 Razmestitev enot vzorčenja po stratumih ...' 284 Proporcionalna razmestitev .. 284 Optimalna razmestitev. 286 Optimalna razmestitev glede na stroške.. 287 12 Str. Primer za ocenjevanj® b stratifioiranim vzor¬ čenjem ...... Vzorčenje v skupinicah ..... 297 Vrste skupinic ..... 299 Primer vzorčenja skupinic iregularnih povrSin 3 oo Vzorčenje v pasovih . 3 o 5 Primer za ocenjevanje s progami ... 3°5 Sistematično vzorčenje ..... 3°-7 Osnova... 3 o 7 Sistematično vzorčenje kot vzorec skupinic... 3 o 9 Sistematično vzorčenje na površinah.. 311 Ocenjevanje parametrov s sistematičnim vzorče¬ njem .... 312 Ocenjevanje variance za ocene parametrov .... Primer za sistematično vzorčenje .. 314 Vzorčenje v dveh in več stopnjah .. 318 Osnova .... 318 Prednosti in pomanjkljivosti . 320 Ocenjevanje agregata in varianca za oceno agregata z vzorčenjem v dveh stopnjah. 321 Ocenjevanje po metodi razmerij . 322 Osnova in ocena agregata ... 322 Varianca ocene za agregat po metodi razmerij 323 Primeri za uporabo metode razmerij .......... 324 Primer za ocenjevanje po metodi razmerij. 325 Vzorčenje v dveh fazah ...... 327 Vzorčenje v dveh fazah pri metodi razmerij... 327 Vzorčenje v dveh fazah pri stratifikaciji.... 329 Primera za ocenjevanje z vzorčenjem v dveh fa¬ zah pri stratifikaciji . 331 Varianca ocene z vzorčenjem v dveh fazah..... 33^ 13 Str. Reetavljanje planov vzorčenja v praksi ... 332 11 . VZOHČENJE - PBESEUŠA 1 TJL HIPOTEZ Osnova ..... 333 Ničelna hipoteza .... 336 Preskušanje hipotez z malimi vzorni .. 339 Preskušanje hipoteza e sredini. ................. 339 Preskušanje značilnosti razlik med aritmetičnimi sredinami... 344 Preskušanje hipotez o varianci ... 346 Preskušanje razlik med variancama .............. 350 Enostavna analiza variance ..................... 356 Preskušanje hipotez e velikimi vzorci .. 360 Preskušanje značilnosti razlik za velike vzorce.... 362 12 . STATISTIČNO PLANIRANJE POSKUSOV Osnove statističnega plana poskusa ... 369 Plan poskusa, slučajnost, ponavljanje poskusa..... 370 Čisto slučajnostni poskus .... 376 Metoda slučajnostnih blokov. 376 Metoda parov .. 379 Latinski kvadrat . 382 Hierarhična razdelitev .. 383 Faktorski poskusi .. 352 Čisti učinek in interakcija .. 392 M .'5I in analiza dvofaktorskega poskusa .. 396 Trofalctorski poskus 40I Faktorski poskus tipa 2 P ...................... 408 14 Str. Delni hlok± - spiit plot .. 413"— Drugi plani poskusov ......................... 419 l3o STATISTIČNA KONTROLA KVALITETE Osnove .. 421, Kontrola proizvodnega procesa .. 422 Kontrolne karte .. 423 Kontrolna karta za aritmetično Bredino ... 424 Normalna in poostrena kontrola .. 426 Druge kontrolne karte za numerične znake.. 427 K otnbinirane kontrolne karte . 43 o Kontrolne karte za atrihutivne znake . 43o Kontrola prevzema. 432 Enojni, dvojni trojni, sekvencialni plan.. 434 14. PROUČEVANJE DINAMIKE POJAVOV Osnove ........ 439 Analiza diiiamike pojavov ..... 443 Trend. 445 Določanja trenda z ortogonalnimi polinomi hinomskih funkcij . 446 Eksponentni trend .. 456 Proučevanje periodična komponente .. 461 Metoda vsot .. 461 Metoda korigiranih vsot . 465 Metoda kvocientov na vrsto drsečih sredin. 469 Prot dinamične sezonske komponente. 47o . . ' ■ ■ . ■ 1. možičui POJAVI Proučevanje množičnih pojavov 1.1 Če se omejimo na prirodo, spoznamo, da je sestavljena iz ne¬ šteto stvari, rastlin, živali, dogodkov in drugih pojavov,Ti so med seboj različni ali podobni, sorodni ali tuji, povezani in odvisni, vplivajo drug na drugega itd. Vsaka izmed teh rastlin,ži¬ vali, dogodkov ali na kratko pojavov se v prostoru in času pojav¬ lja v velikem številu. Vse te pojave imenujemo množične pojave. V večini znanostih, v prirodoslovnih pa še posebej, ima izolirano opazovanje posameznih primerov omejen pomen. Že dolgo ravno v pri¬ rodoslovnih znanostih izkoriščamo dejstvo, da ss šele pri opazova¬ nju velikega števila sorodnih pojavov pokažejo zakonitosti, kate¬ rih z individualnim opazovanjem ne moremo odkriti, Metode proučevanja množičnih pojavov so specifične. Bazvila se je posebna znanstvena disciplina proučevanja množičnih pojavov - sta¬ tistika. Ta se ukvarja z opisovanjem, raziskavo in analizo množič¬ nih pojavov. Statistika je z n a n o s t , ki s kvanti¬ tativnim proučevanj e® množičnih p javov s specifičnimi metodami od- o- 17 kriva zakonitosti množičnega po¬ javljanja in podaja kvalitativno sliko proučevanega pojava. Statistika ima torej svoj predmet proučevanja - množične pojave, specifične meto¬ de kvantitativnega proučevanja in svoje področje - odkrivanje zako¬ nitosti množičnega pojavljanja. Gozdarstvo je tipično področje, kjer je večina pojavov, ki jih pro¬ učujemo, množičnih. Tako je množično drevo določene drevesne vrste, ker v prostoru in času nastopa v velikem Številu. Iz istega vzroka je množičen pojav določena vrsta insekta, posek drevesa, veja, list drevesa, izvrtek iz drevesa pri gozdarskih poskusih itd. Zato so statistične metode važno orodje pri proučevanju pojavov v gozdarst¬ vu. Pri statističnem proučevanju množičnih pojavov združujemo sorodne pojeve, ki jih nameravamo proučevati, v statistično množico ali populacijo. Posamezen pojav v po¬ pulaciji imenujemo etatistična enota ali na kratko e n o t a . V gozdarstvu je najobičajnejša populacija se¬ stoj, enote te populacije pa morejo biti posamezna drevesa v prou¬ čevanem sestoju. Populacija je določena z opredeljujočimi po¬ goj i , ki predpisujejo, kateri pojavi so enote proučevane popu¬ lacije in katere ne. Tako je npr. proučevani sestoj opredeljen ta¬ kole: enote populacije so vsa drevesa, ki rastejo v sestojih gozdno gospodarskega območja H.N. na dan 3o. junija 196o, S temi opredelju¬ jočimi pogoji je točno določeno, iz katerih dreves je sestavljena populacija. Tako ne spada v populacijo drevo, ki je bilo posekano 29 . junija 196o, niti dre"-; -a, ki rastejo na negozdnih površinah gozdnega gospodarskega območja N.H. 18 čeprav so posamezne enote v smislu opredeljujočib pogojev med se¬ boj sorodne, se mod seboj razlikujejo v najrazličnejših značilnostih. V konkretnem proučevanju niti ne moremo niti nimamo interesa prouče¬ vati vseh značilnosti enot. Značilnosti enot, ki so predmet konkret¬ nega proučevanja, imenujemo statistične znake ali na kratko znake; Tako so v proučevanjih v gozdarstvu znaki: vrsta drevesa, premer drevesa v prsni višini, višina drevesa, veli¬ kost krošnje itd., če proučujemo lesno maso, Vrsta drevesa, starost, višina, jakost napadenoati z določenim insektom itd, pa so znaki, če proučujemo okuženost gozda itd. Statistični znaki imajo v principu za vsako enoto različno vred¬ nost znaka. Pravimo, da statistični znaki variirajo. Va¬ riiranje znakov je eden izmed osnovnih lastnosti znakov. V našem primeru so drevesa različne vrste, premeri dreves so različni, ena¬ ko je z višino dreves in razsežnostjo krošnje, starostjo dreves pri aeenodohnem sestoju, jakostjo napadenosti z insekti itd. Značilno¬ sti enot, ki ne variirajo, so torej za vse enote iste. Te niso pred¬ met statističnega proučevanja. Tako statistično niti ni možno niti nima smisla proučevati starosti pri enodobnem sestoju ali vrsto goz¬ da pri čistem smrekovem Bestoju, ker sta starost in vrsta za vsa drevesa ista. Tudi populacije imajo značilnosti. Pravimo jim parametri populacijo. Parametri so izvedeni oziroma odvisni od vrednosti zna¬ kov enot. Tako je parameter število dreves v gozdu, število dreves iane vrste, skupen volumen vseh dreves v sestoju, povprečen premer Ireves v sestoju, odstotek okuženih dreves, mere variabilnosti pre¬ mera itd. Ugp+ri 'j-tv.ja in izračunavanje parametrov za populacije je jsnovni . U j op:/.-, .vanj* populacij in eden izmed obširnih in važnih problemov statistike. 19 Statistične enot« 1.3 Po zgornjem splošnem uvodu smatramo za statistično enoto vsak pojav, ki v času in prostoru množično nastopa in je predmet statističnega proučevanja. Po tej opredelitvi morejo biti statisti¬ čne enote v gozdarstvu najrazličnejši pojavi. Itajpogostejša enota je drevo. Enota pa more biti tudi veja, list ali izvrtek na dreve¬ su, posamezen gozdni škodljivec, gozdna parcela ali gozdno gospo¬ darstvo, posamezen poskus trdnosti lesa, če proučujemo lastnoeti lesa, posek drevesa, odprema hloda iz gozda itd. Formalno je važna delitev enot naia)r ealne enote in b) dogodke. Realne enote so npr. drevo, gozdni škodljivec, parcela, gospodarstvo itd., ker v času in prostoru dalj časa ob¬ stajajo. Dogodki kot enote pa so posek drevesa, spravilo hlodov iz gozda itd., ker se v času dogode. Dogodek se dogodi v trenutku ali v razmeroma krajšem časovnem razdobju. Kot bomo spoznali kasneje, je ta delitev enot važna zaradi časovne opredelitve populaoij, ki je različna za populacije realnih enot in za populacije dogodkov. Statistične enote so bodisi: a) enostavne enote ali b) agregati. Tako je enostavna enota npr. drevo, če prou¬ čujemo gozd, ali list drevesa, če raziskujemo lastnosti listov. Agregati pa so skupinice enostavnih enot. Agregat pa imenujemo skupnost dreves na eni parcelici, enem gospodarstvu itd. 2o Statistični znaki 1.4 Statistični snaki dajo enotam vsebino. Znaki so tiste značil¬ nosti enot, ki so predmet konkretnega proučevanja. Zato more neka značilnost pri enem proučevanju biti znak opazovanja,. pri dru¬ gem pa ne. Tako širina branike pri določanju volumna v nekem sesto¬ ju ni znak, medtem ko je pri raziskavi kvalitete lesa širina brani¬ ke važen znak. 1.5 Vrste statističnih znakov. Vsebinsko delimo statistične znake v tele skupine: a) krajevne, b) časovne in o) stvarn.e. Stvarne znake pa naprej delimo v atributivne in numerične. Krajevni so vsi znaki,ki določajo kraj,kjer je enota,ali kjer se je zgodil za enoto pomemben dogodek. Tako je krajevni znak mesto, kjer raste drevo, kraj, kjer so parcele ali gospodarstva, ki jih proučujemo itd. C a s ovni znaki so znaki, ki so v zvezi s časom, ki je ka¬ korkoli pomemben za proučevano enoto. Tako je časovni znak čas,ko je bila vsajena sadika, čas poseka itd. Vsi drugi znaki so stvarni. Glede na to, kako izražamo vrednosti znakov, stvarne znake delimo na: atributivne in numerične. ktributivni znaki so vsi oni stvarni znaki, katerih vrednosti izražamo z besedami oziroma opisno. Tako je atributiven z nak npr. okuženost z insekti, če vrednosti znaka izražamo z: oku¬ sen, neokužen. Enako je vrsta drevesa atributiven znak, ker posa¬ mezne vrste dreves označujemo z besedami: bukev, javor, smreka,ma- °esen, bor itd. Atributiven znak je tudi vrsta tal, na katerem ra¬ ste drevo, redka ali gosta poraslost v okolici drevesR itd. 21 2a »umori č n e antike izražamo vrodnosti številčno. Po tem, katere vrednosti na danem razmaku številčne premice mora zavzeti numeričen srt.-. 'imamo* a) nezvezne .1 n a k e » ki morejo zavzeti s- tj »katere, običajno cele vrednosti in b) zvezne z' n a k e j ki morejo zavzeti ve e vrednosti na danem razmaku. Ne¬ zvezen numerični znak je npr. Število novih odganjkov v enem letu, število vej r-. - 'evasu, Število dreves »a parceli, število storžev ra smreki itd. Zvezni znak.: pa so npr. volumen drevesa; trdnost, merjena z utieoo pri določeni sili, premer drevesa, specifična te¬ ža lesa itd. Prednosti prvih .0 samo cela fe ovila, ker drevo ne mo¬ re imeti 25 ,1 vej, paro©;.,.. m 12 in 1/4 dreves itd. Pač pa je vo¬ lumen dreves lahko teoretično '--saka vrednost v določenih mejah. 1.6 Posebna odlika numeričnih znakov je, da se dajo enote popula¬ cije urediti po nedvoumnem vrstnem redu po vrednosti numerič¬ nih znakov. To dopušča za časovne in numerične znake poglobljeno analizo. Teh lastnosti kraje .i in atributivni znaki nimajo. Vendar moremo tudi vrednosti nekaterih atributivnih znakov urediti po ve¬ likosti. Tako moremo opredeliti okuženost z vrednostmi: neokužen, malenkostno okužen, srednje okužen, precej okužen, popolnoma oku¬ žen. Enako kvaliteto lesa označujemo ss prav slaba, slaba, dobra, prav dobra in odlična. Ozadje teh atributivnih znakov je vedno nek numeričen znak, ki ga včasih niti ne moremo določiti, včasih pa ni potrebe, da ga numerično izrazimo. Tako ja pri znaku okuženost osno¬ va število insektov ali odstotek vej, ki je napaden, v osnovi kva¬ litete morda trdnost lesa, ki se da numerično izraziti, ali enako¬ mernost branik, ki se da tudi na en ali drug način numerično izra¬ ziti, Za atributivne znske te vrste moremo včasih uporabiti neka¬ tere metod- onalize, ki sc sioer uporabne samo za numerične znaka. 22 1.7 Za analizo je posebno važna vsebinska delitev znakov ms a) faktorialne in b) rezultativne. kaktorialni znaki izražajo jakost faktorjev, ki vplivajo na določe¬ no značilnost, ki je rezultat teb. faktorjev. Rezultat delovanja fak¬ torjev pa je izražen z rezultativnim znakom. Tako so faktorialni zna¬ ki npr. kvaliteta tal, starost drevesa, povprečna letna temperatu¬ ra, količina letnik padavin, relativna višina drevesa itd. Rezulta- tivan znak, ki je izraz delovanja vseh teb faktorjev, pa je širina branike v določenem letu, prirast itd. Običajno vpliva več bistve¬ nih faktorjev na velikost rezultativnega znaka. Jasno je, da jo nemogoče naenkrat proučevati vse faktorje, ki vplivajo na rezulta— tiven znak, bodisi ker jih je preveč ali pa je njih delovanje tako kompleksno, da ne moremo vseh upoštevati. 1»8 Po drugem načelu delimo numerične unake nas a) eksten¬ zivne inb) intenzivne. Ekstenzivni znaki na- ^zujejo količine, ki jih moremo seštevati v smiselno količino (npr. volumne posameznih dreves v volumen sestoja). Intenzivni znaki pa nakazujejo kakovost. Tako je npr. intenziven znak specifična teža lesa za posamezno drevo, povprečna širina branike itd. Vsota vred¬ nosti intenzivnih znakov nima vsebinskega pomena. 1.9 Variiranje statističnih znakov. Vsak znak ima določeno število vrednosti. Najmanjše število vred¬ nosti znaka je dva, ker značilnost, ki je za vso enote ena in ista, ni statistični znak, temveč kvečjemu opredeljujoč pogoj. Največje število vseh možnih vrednosti je neomejeno. Vsi zvezni ** i*Jci imajo teoretično neomejeno število možnih vrednosti, ker mor. j zavzeti v se možne vrednosti na danem razmaku. Tako ima volumen dreves teo¬ retično neomejeno možnih vrednosti; isto je z višino drevesa, s 23 specifično "težo Ima itd, Pojav, da j« vrednost določenega znaka od enote do enote različno, imenujemo variabilnost znakov. To, da ima veS enot v populaciji eno in isto vrednost za dan znak, ni v nasprotju z definicijo variira¬ nja. Bistvo variiranja znaka je v tem, da nimajo vse enote populaci¬ je istih značilnosti, ne pa v tem, da hi morale vse enote imeti med seboj različne vrednosti danega znaka. Variabilnost vrednosti znakov je sna izmed osnovnih značilnosti mno¬ žičnih pojavov. Zato ss statistika ukvarja predvsem z variabilnostjo pojavov v najrazličnejših oblikah in z najrazličnejšimi metodami.Po¬ sebno podrobno moremo proučevati variabilnost numeričnih znakov. Za¬ to je tudi največ statističnih metod, ki se ukvarjajo z analizo nu¬ meričnih znakov. 1.10 Pojmu znaka in vrednosti znakov ustreza v matematiki pojem spremenljivke. Kot ima znak različne vrednosti, take tudi spre¬ menljivka zavzema različne vrednosti. Paktorialnemu znaku ustreza po¬ jem neodvisne, rezultativnemu znaku pa pojem odvisne spramsnljivke. Zaradi te ozke sorodnosti med statističnimi znaki in spremenijivka- mi v matematiki, ki se izkaže predvsem pri proučevanju numeričnih znakov, privzemamo iz matematike simbole za spremenljivke: z, y, z, u, «, v itd. in z njimi zaz n a m ujemo statistične znake. Populacije l.U Populacija je skupnost istovrstnih pojavov, ki so opredelje¬ ni z opredeljujočimi pogoji. Pojavi, ki so enote dane popula¬ cije, morajo zadoščati tem opredel ju j očim pogojem. Populacije mora— 24 mo opredeliti krajevno, časovno in stvarno. Tako je populacija dre¬ vesa na gozdnih površinah v občini A na dan 3o. junija 196o oprede¬ ljena: krajevno (območje občine A), časovno (30. junija 1960 ob pol¬ noči) in stvarno (vsa drevesa na površinah, ki jih v smislu defini¬ cije smatramo kot gozdne površine). Sestoj, ki je sestavljen iz posameznih dreves, je v gozdarstvu najpo¬ gostejša populacija. To populacijo proučujemo v različnih oblikah. 1.12 Sestoj je sestavljen iz končnega števila enot - dreves, Take populacije Imenujemo končne populacija. Končna populacija je na primer tudi populacija gospodarstev, ki imajo gozd v Sloveniji 31. decembra 196o. Ta populacija je končna, ker je število gospo¬ darstev v Sloveniji določeno. Končna populacija je tudi gozdna površina, če jo razdelimo v enote tako, da jo z vodoravnimi in navpičnimi pasovi razdelimo v kvadrate 25 m x 25 m, ki so enote populacije. Znaki teh enot so npr, število dreves določene vrste na elementarnih kvadratnih površinicah, sesta¬ va tal, volumen vseh dreves na osnovnih površinicah, število okuže¬ nih dreves itd. Oe pa vzamemo, da je enota površine na gozdni površini vsak kvadrat 2 5 m 2 25 m, ne glede na način, kako kvadrat leži, in se posamezni kvadrati med seboj prekrivajo, dobimo populacijo, ki ima ne¬ skončno število enot, 2a zvezne populacije, ki so take narave kot gozd¬ na površina, za katero niso enote vnaprej dane in ločena med seboj, ®oremo glede na določitev enote sestaviti populaoije s končnim ali Neskončnim številom enot. 25 Tudi posamezno drevo moremo smatrati kot zvezno populacijo, ki je sestavljena iz koščkov lesa npr. 3 cd i 5 on i 2 cm volumna. Drevo moremo razžagati na take ploščice, ki jih je v tem primeru končno število. Znaki teh enot so npr. teža, trdnost, mesto, kjer je "bila ploščica v deblu, število branik itd. Iz drevesa pa dobimo neskonč¬ no populacijo koščkov lesa, če predpostavljamo, da moremo koščke le¬ sa odrejene oblike in velikosti izrezati iz debla na katerikoli na¬ čin. i 1.13 Ce preskušamo npr. vpliv impregnacije lesa na trdnost lesa, sestavimo v ta namen poskus, pri katerem vzamemo dva koščka lesa, ki sta po kvaliteti čim bolj enaka in en košček impregniramo, drugega pa ne. Na konou poskusa merimo razliko v trdnosti med impre¬ gniranim in neimpregniranim koščkom lesa. Takih poskusov napravimo več. Če hočemo rezultate teh poskusov posplošiti, smatramo izvedene poskuse kot nekaj enot iz neskončne,umišljene - hipotetične popula¬ cije vseh možnih enakih poskusov pod enakimi pogoji. V raziskovalnem delu pogosto smatramo skupnost poskusov pod enakimi pogoji kot del iz umišljenih - hipotetičnih popula¬ cij , To delamo vselej, kadar zaključke poskusov posplošujemo. 1*14 Delne populacije, če drevesom v populaciji dre" / \ vesa za sestoje gozdnega gospodarskega območja N.N konec leta 196o dodamo nov opredeljujoč pogoji listavec, iz osnovne populacije izdvojimo novo populacijo: drevesa listavcev v sestojih gozdnega go¬ spodarskega območja N.H konec leta. Vsa drevesa v tej delni populaciji so enote osnovne populacije, ker zadoščajo vsem opredeljujočim pogojem za osnovno populacijo, V tem smislu so stvar¬ no izvršeni poskusi, ki jih smatramo kot enote hipotetične populacij« vseh možim.h poskusov pod enakimi pogoji, tudi delna populacija, ker 26 so to oni poskusi iz hipotetične populacije, ki so hili resnično izvršeni. / 1*15 Za analizo populacij je posebno pomembno razdeliti osnovno / populacijo po danem znaku v več delnih populacij tako, da je vsaka enota osnovne populacije v eni, a v eni sami delni populaciji. Ce razdelimo drevesa v sestoju v delne populacije po drevesnih vr¬ stah, dobimo osnovo za proučevanje sestoja po drevesnih vrstah. Če razdelimo drevesa v populaciji po debelini v delne populacije po de¬ belinskih stopnjah, dobimo osnovo za uvid v sestav po debelini dre¬ ves itd. Parametri J -»16 Vsak numerični podatek o populaciji je parameter populacije. Ena izmed osnovnih nalog statističnega proučevanja množičnih Pojavov je izračunavanje parametrov o populaciji. V nadaljevanju se bomo ukvarjali z elementarnimi parametri, ki jih dobimo z enostavnim preštevanjem ali seštevanjem podatkov za enote populacij. Iz osnovnih podatkov pa najprej podatke analizira- ®o tako, da izračunavamo različne izvedene paramet- r e kot so: relativna števila, srednje vrednosti, mere variacije, m ere korelacije itd. 2. CKOTTRAirJE Zaokroževanje podatkov 2.1 Numerične podatke, kot so npr. premer, višina, volumen in sta¬ rost dreves,merimo samo do določene stopnje natančnosti. Te Podatke zaokrožujemo do natančnosti, ki je potrebna za praktično upo¬ rabo. Premere dreves zaokrožujemo na centimetre, višine dreves na decimetre ali metre, starost na leta itd. Podatke zaokrožujemo na dva načina. Premer dreves zaokrožujemo na centimetre na najbližjo celo vrednost v cm ali pana najvišjo celo vrednost v cm. Po Prvem načinu zaokrožimo npr. premer 32,7 cm na 33 om, ker je to naj¬ bližja cela vrednost in se od prave vrednosti razlikuje le za 0,3 om. Po drugem načinu pa zaokrožimo premer na 32 cm, ker je 32 om naj¬ višja vrednost v zaokroženih enotah (cm), ki ni večja kot obravna¬ van premer. Prednost pri prvem načinu zaokroževanja je, da je v aplošnem razlika med pravo in zaokroženo vrednostjo vedno manjša kot polovica razmaka, na katerega zaokrožujemo. Izkaže pa se, da je Pri nadaljnji obdelavi zaokroženih podatkov bolje, če jih zaokrožu¬ jemo na najvišjo celo vrednost, čeprav je razlika med pravo in zao¬ kroženo vrednostjo lahko tudi večja kot pri prvem načinu. ^e zaokrožujemo pa samo numeričnih znakov, če navajamo čas pogozdo- 29 vanja, je včasih zadosti, da povemo, v katerem letu je bil sestoj osnovan in ni potrebe, da povemo tožno do dneva, kdaj je bilo zasa¬ jeno posamezno drevo« Tudi krajevne podatke zaokrožujemo. Tako običajno ne navajamo točne¬ ga kraja, kjer je bilo drevo posekano, temveč zadošča, če navedemo, v katerem sestoju ali odseku je rastlo posekano drevo. Grupiranje vrednosti znakov 2.2 Zaokroževanje, ki ga poznamo iz vsakdanjega življenja, se uje¬ ma z grupiranjem vrednosti znakov, ki ga uporabljamo v statistiki. Za znake z velikim številom vrednosti običajno ni potrebno oziroma je nepregledno navajati podatkov za vse vrednosti. V takih primerih sorodne vrednosti znakov grupiramo v grupe. Pri krajevnih, časovnih in zveznih numeričnih znakih, ki imajo neomejeno število vseh mož¬ nih vrednosti, pa je grupir. je nujno potrebno, ker je število vseh možnih osnovnih vrednosti neomejeno. Z grupiranjem izgubimo na natančnosti, pridobimo pa na preglednosti, ki je v večini primerov statističnega proučevanja bistvena. P.azen tega pa se zakonitosti in tipičnosti pri množičnih pojavih pokažejo šele, če pojav nastopa v velikem številu. To pa dosežemo s tem, da podatkov ne navajamo individualno, temveč po grupah. Načela grupiranja 2.3 Izvedba grupiranja je odvisna od vrste znaka, ki ga grupiramo, od v ehinskih razlogov in cilja statističnega proučevanja. Po pravilu ni enotnih načel in navodil za sestavljanje grup. 3o Za vse znake pa veljajo neka splošna načela. Za vse vrste znakov mora "biti grupiranje enolično. To po¬ meni, da mora biti grupiranje izvedeno tako, da vsaka osnovna vred¬ nost spada v eno in eno samo grupo. V tej zvezi je poseben problem mejnih vrednosti. Tako je pri časovnem grupiranju treba paziti in določiti, v katero grupo spada na primer pri grupiranju v dneve mo¬ ment ob koncu enega in začetku drugega dne. Pri geografskih grupah je podoben problem pri odločitvi, kam spadajo meje med posameznimi grupami. Sporno more biti, kam spada, drevo, ki raste točno na meji med dvema geografskima grupama., Vse individualne vrednosti v eni grupi pri grupiranem znaku so izenačene in dobe neko novo- grupno vrednost. Tako Pri zaokroževanju štejemo, da imajo vsi premeri v grupi od 32,5 cm do 33,5 cm skupno-grupno vrednost 33 cm in se ne oziramo na podrob¬ nejše vrednosti. ^ri časovnih grupah vso trenutke enega dne združujemo v dneve in je za vse trenutke enega dneva grupna vrednost datum itd. Enako je ime občine grupna vrednost za vse kraje občine, če grupiramo kraje T grupe po občinah. Q rupe vsakega znaka moremo naprej grupirati v grupe viš¬ jega reda, enako kot grupiramo individualne vrednosti.Gru¬ po premerov po en oentimeter združujemo v debelinske stopnje, ki °o sestavljene iz petih grup po en centimeter. Tako dobimo drugo debelinsko stopnjo, če združimo premere 5 cm, 6 cm, 7 cm, 8 cm ? 9 era v novo grupo - drugo debelinsko stopnjo. Enako časovne grupe - dneve združujemo v grupe višje stopnje - tedne, meseca, leta; geografske grupe - občine v okraje itd. Grupe imajo torej iste lastnosti kot vrednosti znake.. Imajo svoje ime, vrednost ki jih označuje, in jih moremo grupirati kot osnovne bednosti ?,jr. u, * 31 Posamezne znake moremo grupirati po različnih načelih. Za vsak znak moremo sestaviti različne grupe, ker je za vsak znak več načel, po katerih izvedemo grupiranj e. Omenili smo že, da je načelo grupiranja sorodnost med vrednostmi, ki so v eni grupi. Načelo sorodnosti pa je lahko različno. Tako zemljišče grupiramo po lastniškem ali vsebin¬ skem načelu. Po prvem združujemo v grupe vsa zemljišča, ki so last istega lastnika, po drugem pa zemljišča, ki so si vsebinsko podobna, zasajena z isto vrsto drevja itd. Enako imamo upravno teritorialno grupacijo, če je načelo geografske¬ ga grupiranja pripadnost v isto upravno teritorialno grupo, ali ra¬ jone, če je načelo geografskega grupiranja vsebinsko. Grupiranje numeričnih znakov 2.4 Pri numeričnih znak i h je merilo sorodnostj dveh vrednosti absolutna razlika med njima. Grupam za numerič¬ ne znake pravimo razredi . Vsak razred je od drugega razreda razmejen z mejo razreda tako, da nobena vred«03t v raz redu, ki je pod mejo, ni večja, nobena vrednost v razredu, ki je nad njo, pa ni manjša kot meja razreda. Samo mejo štejemo bodisi v spod¬ nji ali v zgornji razred. Tako je 25 cm meja med peto in šesto debe¬ linsko stopnjo, ker vključuje peta debelinska stopnja premere med 20 cm do 25 om, šesta pa premere od 25 cm do 30 om. S predpisom določi¬ mo ali spada meja (25 om) v spodnji ali zgornji razred. To v grupaci¬ ji tudi naznačimo. Če vključimo meje razredov v spodnje razrede, debe¬ linske stopnje označimo z* 32 bo pa meje razredov vključene v zgornje razrede, je razvidno iz naslednje grupacije: 1 . det. stop. 2 . deti.. stop. 3 . deti. stop. 4 . deti. stop. do pod 5 c® 5 cm do pod 10 cm 10 cm do pod 15 om 15 cm do pod 20 cm itd. Ker iz grupacije: 1. deti. stop. 2. deti» stop. 3. deti. stop. 4. deti. stop. itd. - 5 cm 5 cm - 10 om 10 om - 15 om 15 om - 20 om ni razvidno, v katere razrede spadajo meje razredov, ta grupacija enolična in je zato pomanjkljiva. zaokrožujemo premera na najvižje cele vrednosti, moremo grupacijo v debelinske stopnje pisati tudi takole: 1 . det. st op 2 . deti. stop. 3 . deti. stop. 4. det), stop. itd. 0 om ~ 4 om 5 om - 10 om - 14 cm 15 cm - 19 om 33 Zgornja grupacija ni enolična in ne spada vsaka izmed vrednosti v en sam razred le navidezno. Premer 14,7 cm spada v 3 . det. stopnjo, ker zaokrožen premer 14 cm vključuje vse premere do pod 15 cm. Ha prvi pogled pa kaže, da se spodnja in zgornja meja dveh. zaporednih razredov ne prekrivata. Iz navedenega primera vidimo, zakaj zaokroževanje na najbližjo celo vrednost ni primerno. Pri tem načinu zaokroževanja so namreč meje med posameznimi razredi 4,5 cm, 9,5 cm, 14,5 cm, 19,5 om in zato iz njih ne moremo sestaviti pravih debelinskih stopenj, za katere so meje razredov 5 cm, 10 cm, 15 cm, 20 om itd. Vsak razred ima širino razreda, ki je razlika med zgornjo in spodnjo mejo razreda. Če zaznamujemo na splošno kateriko¬ li razred z indeksom k, a i^. fflin spodnjo, z zgornjo mejo raz¬ reda, z ±. R pa širino razreda, je po zgornji definiciji ‘k s min ( 2 . 1 ) Kot smo omenili, ima vsaka grupa neko grupno vrednost, ki reprezon- tira vse vrednosti razreda. Ta grupna vrednost je pri numeričnih zna¬ kih sredina razreda,kijo zaznamujemo z 3^, izraču¬ namo pa po obrazcu v « x u f win + X k,m ax ( 2 .2) k 2 Pri analizah smatramo, da sc vse vrednosti v razredu enake grupni vrednosti — sredini razreda, ker se nobena vrednost v razredu ne razlikuje od nj6 za več kot za polovico Širine razreda. 2V5 Nezvezne numerične znake grupiramo po istih načelih kot zvezne. Vendar je glade na to, da so za 34 nezvezne numerične znake vrednosti izolirane, nekaj tehničnih raz¬ lik v grupiranju. če vzamemo kot primer za nezvezni znak število dreves na površinah lo a v določenem gozdnem sestoju, morejo hiti grupe naslednje* 0 - 9 dreves, 10 - 19 dreves, 20 - 39 dreves, 40 in več dreves, Ne¬ pravilna je grupacija 0 - 10, 10 - 20, 20 - 40, 40 in več, Ta gru¬ pacija ni enolična, ker so meje vključene v dveh razredih. Tudi za nezvezne razrede določamo meje razredov, širine razredov in sredine razredov po istih obrazcih kot za zvezne znake, če teoretič¬ no predpostavljamo, da vsaka individualna vrednost za nezvezni znak Predstavlja grupo, ki obsega razmak, širok 1, individualna vrednost Pa je sredina tega enotinega razmaka. Tako npr. vrednost 9 dreves teoretično predstavlja vrednosti v zveznem razmaku od 8,5 do 9,5*Sa- Prav vemo, da je število dreves nezvezen numeričen znak. Če to upo¬ števamo, so pri zgornjem primeru teoretične meje 9,5» 19,5* 29,5, 39,5 dreves. Ker je npr. v drugem razredu spodnja meja 9,5* zgor¬ nja meja pa 19,5, j e Širina razreda i g » 19,5 - 9,5 » 10, sredina nazreda pa 9,5 + 19,5 ,. Tako izenačimo postopek r 2 " 2 “ 1 ^» 5 » grupiranja zveznih in nezveznih znakov. Zveznim vrednostim v dolo¬ čenem razmaku pripišemo sredino razreda, ki je reprezentant v razma¬ ka, nezveznim vrednostim pa pripišemo enotin razmak, ki predstav¬ lja razmak, na katerega se nanaša posamezna nezvezna vrednost. 2.6 Iz zgornje grupacije dreves sklepamo, da morejo hiti širine posameznih razredov glede na pojav, ki ga proučujemo in glede aa cilj proučevanja, različne. Zadnji razred 40 in več dreves pa ima oel6 Gamo spodnjo mejo.Za take razrede,ki imajo samo spodnjo ali samo zgornjo mejo, ne moremo določiti niti sredine niti širine raz- 35 rada. imenujemo jih odprte razrede, tvorimo jih pa takrat, kadar pričakujemo, da je le za nekaj enot podatek nad ali pod določeno vrednostjo. Ti podatki pa zelo variirajo. Za formalno statistično analizo je najprimerneje, če so Širine vseh razredov enake, vsi razredi pa zaprti. Iz vsebinskih razlogov pa to ni vedno najboljSe. 2.7 Grupiranje nenumeričnih znakov. Časovne znake grupiramo v naravne časovne razma¬ ke, ure, dneve, tedne, mesece, leta, petletja ali desetletja, če¬ prav je dolžina posameznih izmed njih različna (npr. pri mesecih). Vedno pa ne združujemo zaporednih časovnih razmakov v večje grupe. Tako npr. pri sezonskem proučevanju pojavov združujemo v eno grupo iste mesece za več let. Grupe sestavljamo iz vseh januarjev, vseh februarjev, vseh marcev itd. za več zaporednih let, iz njih pa pro¬ učujemo, kakšne so sezonske razlike npr. v sečnji. Če pa proučujemo časoven razvoj sečnje v daljšem razdobju, združimo vse mesece posa¬ meznih let v letna razdobja. Grupiranje je torej ozko povezano s ci¬ ljem analize. Omenili smo že, da se pri krajevnih grupaoijah navadno oslonimo na teritorialne razdelitve, ki so izvedene v dru¬ ge - običajno administrativne namene. Najmanjše teritorialne grupe, ki pridejo v poštev v gozdarstvu, so paroele, sestoji oziroma odse¬ ki. Te združujemo po različnih načelih dalje v višje grupe: oddelke, gospodarske razrede, gospodarske enote itd. Razen zgornjega grupira¬ nja pa poznamo tudi vsebinsko krajevno grupiranje v rajone. V rajo¬ ne združujemo vse kraje z istimi značilnostmi pojava. Ker je rajo- nizaoija težaven posel, dostikrat združujemo v rajone manjše admi¬ nistrativne enote po pretežnosti. 36 Problematika grupiranja atributivnih znakov je specifična. Načelo sorodnosti je dano s kako lastnostjo, ki jo posa¬ mezna vrednost atributivnega znaka izraža. Tako posamezne vrste dre¬ ves grupiramo v listavce ali drevesa z mehkim in trdim lesom in po¬ dobno. 37 ■ ■ . . 3. ELEMENTARNI PARAHETEI 3-1 Število enot in vsote. Najenostavnejši parametri o statistični populaciji so absolutni podatki, kate~ r ' 6 dobimo s preštevanjem enot v populaciji in s seštevanjem vredno¬ ti numeričnjk znakov. Osnoven parameter je število enot v populaci- ji. Dobimo {ja, če preštejemo, koliko enot sestavlja populacijo. Ta~ ko dobimo število dreves v sestoju, če je populacija, ki jo prouču- jemo, sestavljena iz dreves v sestoju. Število enot v populaciji do¬ govorno zaznamujemo vedno z N (numerus). Preprost parameter je lesna zaloga v sestoju. To dobimo, če volumen Posameznik dreves (vrednosti znaka "volumen drevesa”) seštejemo.Po¬ dobno dobimo skupno temeljnico, če seštejemo temeljnica posameznik dreves v sestoju. Vsote podatkov v populaciji zaznamujemo s veliki- črkami X, Y, Z, U, V, analogno kot zaznamujemo z x, y, z, u, v “kake. Glede na to velja zveza i N y-r* M oznaka za seštevanje od 1 do N; ■= ( 3 . 1 ) individualna vrednost. 3.2 Statistične vrste. Vendar ti parametri, čeprav so pomembnij povedo o populaciji razmeroma malo. če pa prešte¬ vamo enote ali seštevamo podatke po grupaii določenega znaka, dobimo zelo dober vpogled v sestav populacije in osnovo za analizo. Za populacijo — "posekana drevesa v letu 1966 v SFRJ'', je skupna pose¬ kana bruto lesna masa 17.065 tisoč m^, Ta podatek je pomemben, vendar da razmeroma malo informacij o posekani lesni masi. Če pa seštejemo posekano lesno maso po drevesnih vrstah, spoznamo sestav posekarega lesa po vrstah. Tako dobimo niz podatkov-parametrov, ki kompleksno prikazujejo sestav posekane lesne mase po vrstah lesa. Tabela 3.1 Posekana bruto lesna masa po vrsti lesa v letu 1966 v SFRJ v tisoč m3 .(Vir SG 1967) Tak niz istovrstnih podatkov, od katerih se vsak nanaša na eno iz¬ med vrednosti ali na grupo vrednosti določenega, znaka, imenujemo statistično vrsto. Ker je v našem primeru posekana lesna masa razdeljena po atributivnem znaku — vrsta dreves, irnenu- 4o Jemo to statistično vrsto - atributivno statistično vrsto v n e vrste. Analogno je časovna vrsta niz istovrstnih podatkov, od katerih se vsak nanaša na določen zaporeden časovni trenutek ali razmak. Primer za časovno vrsto je izvoz gozdnih sortimentov na glavna skla- liiSča po letih v SFRJ. P&bela 3.2 Izvoz gozdnih sortimentov na glavna skladišča v SFRJ v razdobju 1946-1966 v tisoč (Vir« SG 1959--1967) P® navedene časovne vrste moremo zasledovati časovni razvoj izvo- aa Posekane lesne mase v ..razdob ju 1946-1958. Iz njs opazimo izre- 4en porast prvaka v razdobju od leta 1946 do leta 1949, ko je po- 41 s ek: največji (12326 tisoč m^) in ustaljen posek v naslednjem Tazdob- ju 1950-1959, kar je rezultat planiranega poseka. Nazorneje kot iz tabele moremo slediti časovnemu razvoju poseka iz grafičnega prikaza na sliki 3.1. # m 5 Slika 3.1 Izvoz gozdnih sortimentov na glavna skladičča v SFRJ v razdobju 1946-1966. Z linijskim grafikonom je prikazana časovna vrsta v pravokotnem ko¬ ordinatnem sistemu tako, dž. je abscisna os časovna os, na ordinatno os pa nanašamo podatek, V našem primeru je to obseg izvoza. Velikost podatka merimo s skalo,ki daje odnos med enoto mere(m^)in geometrijsko 42 velikostjo - dolžino. Sistem pomožnih črt, ki olajšujejo čitanje grafikona, imenujemo mrežo grafikona. Velikost podatka je prikaza¬ na z oddaljenostjo ustrezne točke od abscisne osi. Kako odberemo na ordinatni - količinski skali, kolik je uvoz, je za leto 1948 nakaza¬ no na sliki. Ker se posek nanaša na celo leto, nanašamo točke po pra¬ vilu nad sredine razmakov, ki pomenijo na abscisi leta. V primeru,da v grafikonu prikazujemo časovno vrsto podatkov, ki se nanašajo na določene časovne momente, pa rišemo točke točno nad mesto, ki na Časovni skali ustreza danemu momentu. Tak primer bi imeli, če bi gra¬ fično prikazovali časovno vrsto lesne mase stoječega lesa. Ti podat¬ ki so momentni ker se stanje lesne zaloge za stoječi sestoj nanaša n& določen datum oziroma trenutek. H K ombinirani podatki . Včasih dobimo osnovo za analizo, če preštevamo ali seštevamo podatke po kombinaciji dveh ali več znakov hkrati. Tako dobimo kombinirano tabelo. Primer kombinirane tabele je pregled gozdnega fonda po družbenih sektorjih in kvaliteti gozda v tabeli 3.3 Tabela 3.3 Lesna masa gozdnega fonda v FLRJ v lotu 1958 po družbe¬ nih sektorjih in kvaliteti gozda (v milijon m3) Vir: SG 1959) 43 Frekvenčna porazdelitev 3.5 Za statistično analizo množičnih pojavov so posebno pomembne statistične vrste, ki za numeričen znak pokažejo, koliko enot ima vrednosti v posameznih razredih. Take statistične vrste imenuje¬ mo frekvenčne porazdelitve, ker pokažejo po¬ gostnost pojavljanja vrednosti. Število enot v posameznem razredu imenujemo frekvenca. Dogovorno zaznamujemo v frekvenčni porazdelit¬ vi frekvence s f oziroma s f, . kadar hočemo z indeksom k nazna— k' čiti, da se frekvenca nanaša na konkretne razrede v frekvenčni poraz¬ delitvi. V frekvenčnih porazdelitvah nimamo pregleda o točnih vred¬ nostih znaka v populaciji, ker pokaže sam 6 kolike enot ima vrednost v posameznih razredih. Pač pa da, če je pravilno sestavljena, kom¬ pleksen in nazoren pregled o variiranju vrednosti v populaciji. 3.6 Sestavljanje frekvenčnih po raz¬ delitev. Iz neurejene vrste individualnih podatkov za posamezne enote tehnično sestavimo frekvenčno porazdelitev po več metodah. Za manjše in enostavnejše populacije je prikladna metoda črtic. Po tej metodi sestavimo najprej obdelovalno tabelo, v kateri so za raz¬ rede predvidena večja polja. Ko po vrsti pregledujemo posamezne vrednosti, za vsak podatek napravimo v ustreznem razredu črtico. To ponavljamo, dokler ne izčrpamo celotne populacije. Ha konou v posa¬ meznem razredu preštejemo črtice. Število črtio v vsakem razredu je enako številu enot, ki imajo vrednosti v danem razredu. V praksi uporabljamo več načinov črtanja, črtice moremo enostavno nizati dru¬ go poleg druge ( ////////////). Štetje črtio si olajšamo, če sestav¬ ljamo grupe po pet črtio tako, da s peto črtico štiri črtice prečr— temo (/•/■//■)♦ Uporabljamo pa tudi sistem, pri katerem sestavljamo 44 grupe po deset enot. To dosežemo s štirimi točkami za prve štiri enote. Za nadaljnje štiri enote k tem točkam narišemo stranice kva¬ drata, diagonali pa dopolnita deveto in deseto enoto • 3.7 Za populacijo premerov za N=53 dreves 27-letne marilandske topole so individualni podatki naslednji: 49 51 54 54 61 6o 64 68 74 57 54 62 37 51 49 45 51 58 43 56 43 61 45 68 33 51 48 41 53 58 72 54 49 48 55 55 36 64 49 44 41 69 52 58 47 5o 54 49 52 57 65 55 47. V sliki 3.2 je po vseh treh načinih naznačeno, kako sestavimo frek¬ venčno porazdelitev. Za prvi podatek (49 cm) smo vrisali črtico v razred 45—49 cm, za drugega (51 cm) v razred 5°~54 cm itd. do zad¬ njega podatka (47 °m)i za katerega smo vnesli črtico v razred 45-49 cm. 53=H Slika 3.2 Sestavljanje frekvenčna porazde¬ litve s črticami in točkami 45 3,8 Za večje populacije in Deli z-smetan e obdelav e metoda črtic ni preveč prikladna. Zamotanost posla in velika možnost napak so iiibs, ki govore proti uporabi te metode za večje obdelave. V takih primerih je primerneje, da podatke napišemo na individualne obdelo- val ne listke. Obdelovalne 1:. stke sortiramo p c. grupah i n ra zredih ustrezno s planom obdelave tako, 'da posamezne listke polagamo na kupe, ki ustrezajo posameznim grupam. Ha koncu sortiranja prešteje¬ mo listke • posameznih razredi in dohimo zanje frekvence,_S stroj¬ no obdelavo, ki v potreba}' po hitrih in obsežnih informacijah bolj ir bolj izpodriva ročno obdelavo ta posel pomembno slavijSamo in me¬ haniziramo. 3h9 Frekvenčne porazdelitve za pre¬ mer dreves, najznačilnejši primer frekvenčnih po¬ razdelitev v gozdarstvu so frekvenčne porazdelitve premerov dreves v prsni višini. Porazdelitve premerov za različne sestoje kažejo tipične ohlike, ki so pogoja« s tipom sestoja. Zate preglejmo frekvenčne porazdelitve za nekaj najznačilnejših tipov sestojev! V tabeli 3.4 imamo šest frekvenčnih porazdelitev premerov za raz¬ lične tipe sestojev. Prva in druga frekvenčna porazdelitev se nana¬ šata na enodohna smrekova sestoja A in B na Pokljuki. Oha sestoja sta raziskovalni ploskvi IGLG-a in obsegata vsak po en hektar po¬ vršine. Starost prvega sestoja je 13o do 14o let, starost drugega sestoja pa 12o do 13 o let. .frekvenčna porazdelitev C se nanaša na prebiralni jelov—bukov se¬ stoj na Snežniku (2 ha raziskovalne ploskve IGLG), porazdelitev i* P a prikazuje porazdelitev premerov za dvoetažni gozd površine 1 ha na Ov>.iCU, oddelek 13 h na raziskovalni ploskvi FAOT. V prvi etaži j8 zasajena marilandska topola e podrastom jelše v drugi eta— 46 ži. Ločeni frekvenčni porazdelitvi za topolo in jelšo sta podani v stolpcih in D^. Tabela 3.4 Frekvenčne porazdelitve za enodobna smrekova sestoja, za prebiralen jelkovo-bukov sestoj in dvoetažni se¬ stoj topole in jelše. 3 r i" Grafično prikazovanje frekven¬ čnih porazdelitev. Oencrvne zakonitosti in ti¬ pičnosti za posamezne vrste sestojev, ki jih izražajo frekvenčne po¬ razdelitve premerov, nazorneje in lepše kot iz tabele 3.4 proučimo iz grafičnega prikaza posameznih frekvenčnih porazdelitev. Grafično prikazujemo frekvenčne porazdelitve: a) s histogrami in h) s poligoni. S histogramom prikažemo frekvenčno porazdelitev s stolp¬ ci. Za vsak razred je frekvenca ponazorjena s stolpcem, ki je visok v sorazmerju s frekvenco. Skupnost Btolpoev za vse razrede da sliko celotne frekvenčne porazdelitve. Frekvenčni poligon pa dohimo, če za vsak razred v frekvenčni porazdelitvi narišemo nad sredino razreda točko, ki je od abscisne osi oddaljena v sorazmerju s frekvenco, te točks pa med seboj povežemo z daljicami. Poligon nazorneje in pravilneje prikaže stvarno variiranje vrednosti znaka kot histogram. V sliki 3.3 je za čisti smrekov sestoj A iz tabele 3.4 grafično prikazana frekvenčna porazdelitev premerov s histogramom in s poli¬ gonom. Iz slike moremo kompleksno analizirati variacijo premerov v sestoju. Največ premerov je v razredu 3° cm do 34 cm, čira bolj pa 3e od tega centra oddaljujemo, tem manjSe je število premerov. Frek¬ vence se od mesta največje gostitve zmanjšujejo na lavo in desno razmeroma enakomerno in je slika frekvenčne porazdelitve na obe strani od središča precej simetrična. Taka porazdelitev frekvenc je tipična za enodobne sestoje na izenačenem terenu, kjer so splošni pogoji rasti več ali manj enaki za celo ploskev. Frekvenčne porazdelitve, ki imajo tako obliko kot jo imamo v prime- 48 ru sestoja A v sliki 3»3, imenujemo zaradi tipične oblike e i - metrične in zvonaste, ker pa imajo eno samo me¬ sto gostitve, pa enovrSne ali unimodalne , Frekvenčna porazdelitev za čisti anodobni smrekov sestoj B na Po¬ kljuki na sliki 3»4 js Se vedno tipično zvonaste oblike, vendar je lai.no asimetrična v desno stran, f tabele 3»4 f Slika 3,4 Frekvenčni poligon za premere dreves v čistem anodobnem smrekovem sestoju B na Pokljuki Slika 3.5 kaže tipično porazdelitev premerov za prebiralen gozd. 49 Porazdelitev je zelo asimetrična v desno, ker močno prevladujejo drevesa z majhnim premerom, ker močnejša drevesa postopoma izsekava- jo. Porazdelitev za prebiralni gozd ima tipično obliko črke J, zato take porazdelitve imenujemo kar J- porazdelitve. Slika 3.6 ponazarja porazdelitev premerov za dvoetažni sestoj Otok. Kot je nakazano, je sestavljena iz dveh porazdelitev: porazdelitve za nasad marilandske topole (D^) in porazdelitve za podrast jelše (Pg). Porazdelitvi za posamezni et^ži sta tipično zvončaste oblike, cm Slika 3.5 Frekvenčni poligon za premere dreves v bukovo-jelovem sestoju na Snežniku skupna porazdelitev, ki je vsota frekvenc za obe etaži, pa odstopa od te lastnosti in nakazuje dva vrha (bimodalna porazdelitev), ker je sestavljena iz dveh unimodalnih porazdelitev. 5o cm Slika 3.6 Frekvenčni poligoni za dvoetažni sestoj Otok o.ll J r u g e frekvenčne porazdelitve. Zaradi pomembnosti frekvenčniii porazdelitev navedimo Se dva Primera. Frekvenčna porazdelitev v tabeli 3.5 podaja porazdeli- kav specifične teže lesa za 11=3376 preskusov na zeleni dulgaziji. •^■ekvenčna porazdelitev lepo pokaže variabilnost specifične teže le- Sa za zeleno duglazijo. Slika 3.7 nazorno pokaže, da je pcrazdeli- " ev specifičnih tež za zeleno duglazijo simetrična, zvonasta poraz¬ delitev, da je torej močno približana tipični porazdelitvi za pri- mei> » Se na pojav razen opredeljujočih pogojev vplivajo le slučajni v Plivi. Take porazdelitve imenujemo normalne porazdelitve. 51 Tabela 3.5 Frekvenčna porazdelitev specifične teže lesa za zeleno duglazijo (Po podatkih IGLIS-a) f 600 Slika 3.7 Porazdelitev specifičnih tež H-3376 preskusov za les za zeleno duglazijo 3.12 Za zadnji primer navedimo Se porazdelitev 11-1256 kmetijskih gospodarstev v hivšem okraju Novo mesto po gozdni površini po stanju leta 1956. Tabela 3.6 Kmetijska gospodarstva v okraju Novo mesto po gozdni povrSini Ta frekvenčna porazdelitev kaže, da je največ gospodarstev, ki ima¬ jo malo gozda. Število gospodarstev z večjo povrSino je vedno manj¬ še. Vendar ta zakonitost iz zgornje frekvenčne porazdelitve ni pov¬ sem vidna, ker so širine razredov različne, frekvence v posameznih Razredih pa so razen od drugih vplivov odvisne tudi od Širine raz¬ redov. Podrobnejši uvid v porazdelitev frekvenc, če so razredi ne- enaki, bomo dobili v naslednjem odstavku, ko bomo spoznali relativ- na Števila. ^•13 Problem širine razredov. Poseben pro¬ blem pri sestavljanju frekvenčnih porazdelitev je širina raz- r edov. Pri tem se namreč„kosata dva momenta. _Če je Širina razreda 53 premajhna, so frekvenoe v posameznih razredih močno pod vplivom slu¬ čajnih faktorjev. Zato ne pride dovolj do izraza množičnost pojavlja^- nja. Če na so razredi preširoki, je slika pregroba in zabriše osnov¬ ne težnje gostitve pojava. V sliki 3.8 ao vrisane tri frekvenčne porazdelitve premerov za isto populacijo premerov dreves v čistem smrekovem sestoju B na Pokljuki. V prvi frekvenčni porazdelitvi so širine razredov 1 cm, v drugi 5 cca > v tretji pa l-o cm. Iz slike nazorno vidimo, da je širina razreda 1 om v prvi porazdelitvi premajhna« Zaradi slučajnih vzrokov frekven¬ oe po razredih preveč nihajo. Širina lo om v tretji porazdelitvi pa je prevelika in ne pride do izraza zakonitost gostitve. Najboljša oziroma pravilna je druga frekvenčna porazdelitev, za katero so razre- di 5 cm. Bazredi so tako široki, da 3e izravnajo rezultati individu¬ alnih vplivov, niso pa preširoki, tako da pride dobro do izraza za¬ konitost gostitve premerov. Določnega pravila o velikosti razredov v posameznih primerih ni. Število razredov je lahko večje, če je populacija obsežnejša, in mora biti manjše, če je populacija manj obsežna. Običajno dobimo primarno sliko o variabilnosti pojava, če vzamemo glede na obseg po¬ pulacije število razredov mod deset in dvajset. 3«14 kumulativne frekvenčne porazde¬ li t v e .Iz frekvenčne porazdelitve dobimo s postopnim se¬ števanjem frekvenc kumulativno frekvenčno porazdelitev. V tabeli 3.7 je za primer spscifične težo lesa za zeleno duglazijo nakaza¬ no, kako iz frekvenčne porazdelitve izračunamo kumulativno frekvenč¬ no porazdelitev, če e F^ zaznamujemo člene v kumulativni frekvenč¬ ni porazdelitvi, iz frekvenčne porazdelitve izračunamo člene v kumu¬ lativni vrsti po obrazcu F *+r F k + K 7 * (3.2) cm Slika 3 o 8 Histogrami populacije premerov sa Sir:! smrekov sestoj B na Pokljuki pri ra,,.-ič- nik Širinah razredov >5 Zumulativo za naslada ji razred (fc+1) dobimo, 5e kmulativi v danem razredu prištejemo frekvenco iz i3tega razreda. Vrednost kumu- lative za prvi razred « 0 Tabela 3.7 Kumulativna frekvenčna porazdelitev za specifično težo za zeleno duglazijo Iz tabele 3.7 je razvidno, da v prvem razredu vzamemo, da je fcumu- lativa enaka nič, za vse druge razrede pa izračunamo kumulativne vrednosti po obrazcu 3.2, kontrola pri izračunavanju je zadnji člen v kumulativni vrsti, ki ja že pod črto, če ja kumulativna vrata iz- 5 « računana pravilno, je ta člen enak obsegu populacija H. Posamezni členi v kumulativni frekvenčni porazdelitvi povedo, koliko enot ima vrednosti, ki so manjše kot je spodnja meja ustreznega raz¬ reda, Tako na primer osmi člen v kumulativni vrsti Fg = 1942 pomeni, je bila v 1942 preskusih specifična teža manjša, kot je spodnja m eja ustreznega razreda, x Q . » 460 kg/m . o,mm w Podobno kot za frekvenčne porazdelitve da tudi za kumulativne poraz¬ delitve grafičen prikaz kompleksno sliko odvisnosti kumulativnih fiekveno od vrednosti znaka. V grafikonu ponazorimo kumulativno frek¬ venčno porazdelitev tako, da v pravokotnem koordinatnem sistemu nane¬ semo nad meje razredov točke, ki so od abscisne osi oddaljene v so¬ razmerju z vrednostjo ustreznega člena kumulative. Ko zvežemo te toč¬ ke med seboj, dobimo lomljeno črto, ki nazorno prikazuje kumulativ- n ° frekvenčno porazdelitev. Za unimodalne, simetrične in zvonaste frekvenčne porazdelitve ima slika kumulativne frekvenčne porazdelit¬ ve značilno obliko velike črke S, JDo značilnost opazimo tudi na na¬ šem primeru v sliki 3.9. kg/m 3 Slika 3,9 Kumulativna frekvenčna porazdelitev za speci¬ fično težo lesa za zeleno duglazijo 57 4. RELATIVNA ŠTEVILA 4.1 Vrste primerjav, že v prejšnjih odstavkih smo spoznali, da en sam podatek, kljub svoji operativni vrednosti, nima posebnega analitičnega pomena. Zato podatke navajamo v statis¬ tičnih vrstah, v katerih jih ne obravnavamo posamezno, temveč kot celoto. Tako dobimo vpogled v sestav populacije, če imamo podatke po grupah, uvid v variabilnost, če proučujemo frekvenčno porazdeli¬ tev kot celoto, ne pa posamezno frekvenco itd. Niz podatkov prouču¬ jemo kompleksno, če podatke med seboj primerjamo..Primerjava je naj¬ enostavnejši, obenem pa tudi najpogostejši prijem pri analizi sta¬ tističnih podatkov. Če primerjamo istovrstne podatke med seboj, ugo¬ tovimo: a) da je podatek večji ali manjši od podatka, s katerim ga pri¬ merjamo, b) za koliko je podatek večji ali manjši od podatka s kate¬ rim ga primerjamo in c) kolikokrat je podatek večji ali manjši od Podatka, s katerim ga primerjamo. Najboljše primerjamo podatke na tretji način, pri katerem z deljenjem primerjanih podatkov dobimo relativna števila, ki so zelo primerno sredstvo za analizo statis¬ tičnih podatkov. Relativna števila pa niso omejena samo na primerja¬ vo istovrstnih podatkov, ampak moremo z njimi primerjati tudi raz¬ novrstne podatke. V splošnem poznamo tri vrste relativnih števil. 0 s t r u k t ir — r a> h ali strukturnih deležih govorimo, če 59 primerjamo podatek za del populacije z istovrstnim podatkom za oelo populacijo. I n d e k b e dobimo, 5e primerjamo istovrstne po¬ datke za različne populacije, ki so med seboj sorodne. 0 sta¬ tističnih koeficientih in gostotah pa govorimo, če primerjame dva raznovrstna podatka za isto popula¬ cijo. 4.2 Strukture. Od skupno » 785 dreves v sestoju A je okuženih « 352 dreves, od skupno Bg = 1695 dreves v eestoju B pa Hj . 542 dreves, te hočemo primerjati okuženost v obeh sestojih, nima smisla primerjati absolutnega števila okuže¬ nih dreves in v obeh sestojih, ker je velikost sestojev raz¬ lična. Objektivno merilo okuženosti dobimo, če izračunamo, kakšen del dreves v posameznem sestoju je okuženih. Ta podatek dobimo,če število okuženih dreves delimo s skupnim številom dreves v sesto¬ ju. ha izrazimo ta delež v odstotkih, dobljeni kvocient pomnožimo s 100. Za pojave, za katere so deleži zelo majhni, izražamo struk¬ turne deleže v promilih. V takih primerih pomnožimo kvocient s 1000. Strukturni delež P° pove, koliki del od oelote 1 ima dano značilnost, strukturni odstotek P$>, koliki del od oelote 100, struk¬ turni delež izražen v promilih P°/oo pa pove, koliko del od celo¬ te 1000 ima dano značilnost. Z ohrazoi moremo vse tri vTste struk¬ tur izraziti takoles P°= jj 5 P% = 100$- ; P%o » mo ( 4 . 1 ) Pri tem sos P , PJo in P°/oo strukturni deleži, izraženi z delom od celote, v odstotkih in promilih, H « delni podatek. v našem primeru nazorno vidimo uporabnost strukturnih deležev.Za prvi sestoj je odstotek okuženih dreves 60 P.$ = 100 v drugem sestoju pa je " 100 1695 “ 32,0 f °* Okuženost drugega sestoja je torej znatno nižja kot okuženost v pr¬ vem sestoju, kljub temu, da je Število okuženih dreves v prvem sesto¬ ju manj Se. 4.3 Enostavne strukturne vrste. Struktu¬ re izračunavamo vselej, kadar primerjamo sestave več populacij, za katere so podatki za oeloto različno veliki. Zato strukture s pri¬ dom uporabljamo pri proučevanju frekvenčnih porazdelitev. Zaradi raz¬ ličnega obsega populacij frekvence v istih razredih za različne po¬ pulacije med seboj niso neposredno primerljive. Pač pa so med seboj primerljivi strukturni deleži - relativne frekven- V tabeli 4.1 sta dani frekvenčni porazdelitvi za sestoja A in B na Pokljuki iz tabele 3.4. Zanju sta izračunani frekvenčni porazdelit¬ vi relativnih frekvenc, ki ju moremo zelo dobro med seboj primerja¬ ti. Enako izračunamo tudi za relativne frekvence kumulativne frekvenč¬ ne porazdelitve. Iz tabele 4«1> še nazorneje pa iz slike 4.1» je razvidno, da je struktura dreves po premeru v obeh sestojih različna. 61 Tabela 4.1 Relativne frekvenčne porazdelitve za čista enodobna smrekova sestoja na Pokljuki Slika 4.1 Kumulativni porazdelitvi relativnih frekvenc za lista smrekova sestoja A. in B-iz t&hele 4.1 62 4«4 Kombinirane strukturne vrste. Za kom¬ binirano razdeljene podatke proučujemo sestav s tremi vrstami struktur. V tabeli 3,3 je npr. lesna masa v gojenih gozdovih, ki so last družbenega sektorja ( 64 I milj. m^), del treh populacij; a) skup¬ ne populacije (880 milj, m^), b) skupne lesne mase v gojenih gozdo¬ vih (771 milj. m^) in o) skupne lesne mase v družbenem sektorju 1700 ®ilj. m^). Analogno je z vsemi drugimi podatki v kombinacijski tabeli. Zato moremo sestaviti tri tabele struktur. Tabela 4.2 Strukturni 3e3tav lesnega fonda v FLRJ v letu 1958 po družbenih sektorjih in kvaliteti gozda K taheli A je celota skupni fond, v tabeli B posamezni, družbeni sektorji, v tabeli C pa ustrezne kvalitete gozda. Kateri način izmed navedenih treh uporabimo v konkr ' snem primeru sa analizo, je odvisno od problema in cilja analize. V zgornjem 63 primeru je najbolj poučna tabela 3, ki prikazuje kvalitetni sestav po posameznih sektorjih. Kvalitetni sestav v družbenem sektorju je znatno boljSi kot v privatnem sektorju. 4.5 Strukturni sestav po kombinaciji najlepše prikažemo v kvadratu. Če hočemo ponazoriti spremembe v kvalitetnem sestavu gozda po sektorjih, je najnazorneje, da kvadrat razdelimo v pokončne stolpce v sorazmerju z udeležbo posameznih sektorjev v celotnem fondu, dob¬ ljene stolpce pa dalje razdelimo v sorazmerju s kvalitetnim sestavom gozda iz tabele B. Po teh vodilih je izdelan grafikon v sliki 4.2. 100 90 80 70 60 SO 40 30 10 10 O 10 20 30 40 50 6 0 70 80 90 100 % družbeni sektor privatni Slika 4.2 Struktura lesnega fonda v FLRJ v letu 1958 po sestojih in kvaliteti Kadtem ko je v družbenem sektorju 92$ lesne mase v gojenih gozdovih, jo je v privatnem le 72 $• Obraten vrstni red pa imajo odstotki v degradiranih gozdovih in odstotki lesne mase iz grmičevja. 64 Indeksi 4.6 Indeksi s stalno osnovo« Omenili smo že, dn dobimo indekse, če primerjamo istovrstne podatke za različ¬ no p opulacije . Indekse moremo torej izračunati za izvoz gozdnih sor- timentov na glavna skladišča po letih v,SFRJ iz tabele 3.2. Če vza¬ memo, da je letni izvoz na glavna skladišča samostojna populacija, so podatki o izvoženi letni lesni masi istovrstni podatki za isto¬ vrstne populacije. Indeks il/o z osnovo ali bazo o dobimo, če poda¬ tek, ki ga pi-imerjamo (tekoči podatek Xp)* delimo s podatkom, s ka¬ terim ga primerjamo (osnovni ali bazični podatek Y q ), kvocient pa pomnožimo s sto. Z obrazcem moremo to napisati 4/o " 100 x u - 2> Indeks izvoza gozdnih sortimentov v letu 1958» de vzamsmo za osnovo & li bazo leto 1955» dobimo po zgornjem pravilu, če izvoz v letu 1958 delimo z izvozom v letu 1955» kvocient pa pomnožimo s 100 , 6998 la/a “ *» & ‘ 100 = W ’ 7 4.? Za dano časovno vrsto običajno izračunamo celo vrsto indeksov z isto - stalno bazo ali osnovo. Tako dobimo za »aS primer indeksno vrsto za izvoz s stalno bazo (leto 1939), 5e v sak člen v časovni vrsti primerjamo z izvozom v bazičnem letu U 39 - 7159). Indekse izračunavamo največ na eno decimalko. Če so pa razlike med Podatki znatne, pa najraje zaokrožujemo indekse na oels, ker so na- z ornejši. Pri indeksnih vrstah namreč ne gre za pretirano natančne »dnosa, temveč le za grob vtis o dinamiki pojava. 65 V tabeli 4«3 3® nanizana indeksna časovna vrsta izvoza na glavna skladišča v SERJ v razdobju 1956-1959 s stalno bazo 1939 » 100 Tabela 4*3 Indeksna časovna vrsta izvoza lesnih sortimentov na glavna skladišča v SFEJ v razdobju 1946-1956 (leto 1939 = 100) Indeksna vrsta z osnovo 1939 pokaže, da smo v letih 1948-195°» Po¬ sebno pa v letu 1949 (^ 49/39 “ 172 ) znatno presegli predvojni iz¬ voz na glavna skladišča, da pa je v razdobju 1953 do 1958 posek na grobo precej enak kot v letu 1939. Indeks I , m 172 za leto 49/39 1949 z osnovo 1939 pomeni, da je bil izvoz iz gozda v letu 1949 za 72 odstotkov večji kot v predvojnem letu 1939 - Vsebinski problem pri izračunavanju indeksov je predvsem izbira base. Pri tem ni enoličnega pravila, temveč se ravnamo pri izbiri baze po oilju analize. V splošnem pa izberemo za bazo člen oziro¬ ma čas, za katerega smatramo, da je stanje pojava tipično ali nor¬ malno. Lažje je povedati, kaj ni normalno kot kaj je tipično ozi- 66 roma normalno. Zato v splošnem ne jemljemo pri primerjavah. za dalj¬ ša razdobja kot osnovo leta tik prod vojno, med njo ali tik po njej, leta oziroma čas izjemnih ukrepov (npr. v naši vrsti leto 1949 )>le- ta slabih letin itd. Dostikrat vzamemo kot bazo večletna povprečja, ker smatramo, da se v povprečju notipičnosti izravnajo. Tako bi v našem primeru mogli vzeti za bazo povprečen letni izvoz v petletnem razdobju 1954-1958. 4.8 Verižni indeksi. Razen indeksov s stalno osno- -—i—-— »" ■ .. * 1 " 1 " * vo poznamo tudi indekse s premično osnovo. Najobičajnejši in¬ deksi s premično osnovo so verižni indeksi. Te dobimo, če z indeksi primerjamo po dva in dva zaporedna člena. Baza pri verižnih indek¬ sih je vedno predhodni člen. Tako dobimo verižni indeks za leto 1947 , Se podatek za leto 1947 primerjamo s podatkom za leto 1948,za leto 1948, če podatek za leto 1948 primerjamo s podatkom za leto 1947 itd. Verižni indeks za splošen člen k izračunamo po obraz¬ cu 4 = 100 ( 4 . 3 ) _Vrsta verižnih indeksov pokaže spremembe pojava od člena do člena, če se pojav ne spreminja, je vrsta verižnih indeksov enaka sto, ve¬ rižni indeksi pa so med seboj enaki, vendar različni od 100, če se Pojav spreminja v eksponenoialni funkciji. Za naš primer je vrsta verižnih indeksov podana v tabeli 4.4« 67 Tabela 4.4 Izvoz lesnih sortimentov na glavna skladišča v ELRJ v razdobju 1946-1958 Za leto 1946 verižnega indeksa ne moremo izračunati, ker ne poznamo predhodnega člena, Iz vrste verižnih indeksov vidimo, da izvoz iz gozda prva Štiri leta naglo narašča, po tem letu pa odkloni od 100, ki pomeni stagnacijo, niso preveliki. Verižne indekse izračunavamo na eno aeoimalko, Ker so razlike od člena do člena običajne majhne, hi bilo zaokroževanje na cele poene pregrobo. 4*9 Včasih namesto verižnih indekBov izračunavamo koefi¬ ciente dinamike K , ki so samo koeficienti k’ zaporednih členov in jih ne pomnožimo s 100. Zveza med njimi je to¬ rej enostavna i I k - 100 K k (4.4) če^pa od verižnega indeksa odštejemo 100, dobimo t e m p ras t i \-h - » (4.5) ki v odstotkih pokaže, za koliko se pojav spremeni od člena do čle¬ na. 68 Za leto 1247» sa katero je verižni indeks 1 - 163*6» je koefiei- 4 ( eni dinamike «■ 1*636, temp rasti pa T ^ *. +63,6. Koeficienti in gostote 4.10 Koeficienti. S koeficienti primerjamo med seboj raznovrstne podatke. Primerjana podatka pa morata biti ena¬ ko opredeljena. Razen tega pa mora biti primerjava vsebinsko upra¬ vičena. Vzemimo kct primer za izračunavanje in upor-abo koeficientov vred¬ nosti in težo smole, proizvedene v gozdovih v splošno družbenem sektorju v FLRJ v razdobju 1956-1958. Pabela 4*5 Proizvodnja smole v gozdovih splošno družbenega sektorja v FLRJ v^razdcbju 1956-1958 Razmerje vrednosti in proizvodnje za proizvedeno smolo pomeni, pov¬ prečno oeno smole v posameznih letih. Za leto 1956 je koeficient, ki vsebinsko pomeni povprečno ceno, če delimo vrednost s količino V 195b 237027 1315 180 din j kg inalogno dobimo za leto 1957 P, 128 din/kg in aa leto 1958* P. , 146888 1958 “ I650 o 89 din/kg, Izračunani koeficienti pokažejo, da je povprečna cena smole v le¬ tih 1956“1958 vztrajno padala, kar iz absolutnih podatkov o vred¬ nosti in količini ni neposredno razvidno. 4.11 Pomembne koeficiente dobimo tudi s primerjavo drugih podat¬ kov. S primerjavo posekane lesne mase s porabljenim časom za posek dobimo pokazatelje o produktivnosti dela, s primerjavo pose¬ kane lesne mase v določenem razdobju s povprečnim številom prebival¬ stva v tem razdobju, pokazatelj, ki pove, kakšna je preskrbljenost prebivalstva z lasom itd. Seveda morajo biti primerjani podatki ena¬ ko opredeljeni. Jasno je, da primerjamo posekano lesno maso s šte¬ vilom »ir,, ki so bile porabljene za posek prav tega lesa. Enako mo¬ ramo v letu 1958 posekano lesno maso v Sloveniji primerjati s pre¬ bivalstvom na istem teritoriju in v istem času. V tem primeru na¬ stopi problem, kako časovno enako opredeliti posekano lesno maso in prebivalstvo. Posekana lesna masa se nanaša na leto, medtem ko se število prebivalstva nanaša na določen moment. Iz momentnih po¬ datkov za prebivalstvo dobimo podatek o prebivalstvu, ki se nanaša na celo leto, če iz več podatkov o prebivalstvu izračunamo pov¬ prečje. Če imamo podatke za sredino vsakega meseca v letu, izraču¬ namo povprečno število prebivalstva Y tako, da podatke za vse me- seoe seštejemo, vsoto pa delimo z dvanajst. (4.6) razou (4.7) s« take, da seštejemo polovico momentnega podatka v začetku januarja, cele podatke za začetke drugih mesecev v letu in polovico podatka v začetku januarja naslednjega leta Y. s dobljeno vsoto pa delimo z 0 12. To je potrebno zato, da se izračunano povprečje nanaša točno na letni razmak. 4.12 Gostoto. S primerjavo raznovrstnih podatkov pa do¬ bimo tudi gostote. V primeru gostot primerjamo parametre,ki so vsota podatkov za populacijo, z ustreznim razmakom ali izmero 2 a nek znak. Take dobimo gostoto prebivalstva, če primerjamo prebi¬ valstvo na danem teritoriju s površino tega teritorija.- Enako govo¬ rimo o gostoti gozda, če primerjamo število dreves ali lesno mažo stoječega gozda s površino gozda itd. V gozdu, ki ima površino X c 7,57 ha, stoji Y =» 2274 dreves. Gostota gozda je torej a = j- = =300 dreves/ha Pri gostotah in pri koeficientih so smiselni tudi recipročni.poka¬ zatelji. Gostoto gozda moremo izraziti v številu dreves na enoto Površine (v našem primeru na 1 ha) ali s površino, ki odpade na. ono drevo. Ta drugi pokazatelj dohimo, če delimo površino s števi¬ lom dreves. a’= X _ 7,57 y 227 4 £} ; 353 a j dr zv o 4*13 Med relativna števila sodi tudi prirastek, na enoto časa v, ki je kvocient med prirastkom volumna Av in časovnim raz- n makom At (4.8) Relativni prirastke na enoto Sasa, ki pove, za koliko povprečno priraste v enoti časa enota volumna, izračunamo po obrazcu Razmerja relativnih sprememb dveh odvisnih količin imenujemo koeficient elastičnosti, zaznamujemo pa z E. Koeficienti elastičnosti so pomembni ekonomski pokazatelji. Pokažejo, kolika j>: relativna sprememba količino y, če se spremeni x v relativnem za enoto. Koeficient elastičnosti med volumnom in premerom pokaže, za koliko se pri določenem premeru spremeni v relativnem volumen dreve¬ sa, če se spremeni premer drevesa za lfo. 4.14 Pojem gostote je pomemben tudi pri proučevanju frekvenčnih porazdelitev, ki imajo neenake Širine razredov. Frekvence pri takih frekvenčnih porazdelitvah niso neposredno primerijive,ker so v bistveni meri odvisne od širine razredov, ki so različne.Vpliv različnih Širin razredov odpravimo, če izračunamo za vsak razred go¬ stoto frekvence g^. Gostota frekvence za vsak razred pove, koliki del od skupne frekvence v razredu odpade na enoto razmaka. Gosto¬ to frekvence izračunavamo po obrazcu r= 4y/v Ax/x (4.10) Ker je relativna gosto- 72 "to relativne frekvence g^_ po obrazcu ~ y 7 (4.11) Ta obrazeo kaže, da je frekvenca v danem razredu enaka £ = A4 .g° k ( 4 . 12 ) Frekvenca v danem razredu je torej odvisna od velikosti popula¬ cije N, od širine razreda 1^ in gostote relativne frekvence Medtem ko moremo za določen pojav spreminjati obseg populacije K in širine razredov, je gostota relativne frekvence najožje poveza¬ na z vsebino proučevanega pojava. 4.15 Kot primer za proučitev frekvenčne porazdelitve z neenakimi razredi vzemimo frekvenčno porazdelitev gozdnih'površin za M n 1256 anketiranih gospodarstev v okraju Novo mesto, iz tabele 3.6. Iz tabele 4.6 spoznamo, da frekvence ne podajajo neposredno zako¬ nitosti o variabilnosti pojava. Frekvenca je v prvem razredu sicer najvišja, potom pade na 208, nato v tretjem razredu zopet naraste na 282 in potem polagoma pada. V razredu od 2 ha — pod 4 ha je frek¬ venca izjemno velika, ker je širina razreda enkrat večja kot v pred¬ hodnem. Enako je tudi naprej, ker so razredi stal.no širši« Šele,če Proučimo vrsto za gostoto frekvenc g^, spoznamo pravo tendenco za¬ konitosti o variiranju gozdne površine po gospodarstvih. Gostota frekvenc je v prvem razredu največja, potem pa rapidnc pada, Če ae Površina veča. Iz tega zaključimo, da se kmetijska gospodarstva rasporejujejo po gozdni, površini v J-porazdelitvi in imamo največ gospodarstev z manjšo površino gozda, število gospodarstev z več- 73 •Tabela 4.6 Frekvenčna porazdelitev gozdnih površin za H 0 I 256 anketiranih gospodarstev v Novem mestu jini površinami gozda pa rapidno pada. Enak odnos kot med frekven¬ co in gostoto frekvence velja tudi za odnos med relativnim frekven¬ cami in gostoto relativne frekvenoe. Da je frekvenca pri frekvenčnih porazdelitvah z neenakimi razredi v bistveni meri odvisna od širine razreda, moramo upoštevati tudi pri grafični ponazoritvi takih frekvenčnih porazdelitev. Zanje v histogramu prikažemo frekvenoe v posameznih razredih s stolpci, za katere so širine v sorazmerju s širino razreda, višine pa v soraz¬ merju z gostoto frekvence. V takem grafikonu je ploščina stolpcev c f^) proporcionalna frekvenci i’^, vsota ploščin vseh stolp¬ cev pa (£f = N) obsegu populacije. 74 Slika 4.3 Grafični prikaz frekvenčne porazde¬ litve kmetijskih gospodarstev v Ho- vem mestu po gozdni površini 75 5. KVANT HI Banžirna vrsta. Rang. 5.1 Osnovne podatke, ki jih zberemo s statističnim opazovanjem, običajno pregledno prikažemo v frekvenčni porazdelitvi. Za manjše populacije pa osnovne podatke uredimo v ranžirno vrsto.S a n- Sirna vrsta je niz podatkov za posamezne enote populaoi- 10, ki so urejeni po velikosti. Vsaka enota oziroma podatek ima v ranžirni vrsti svoje mesto, ki je označeno z zaporedno številko - tangom. Rang za neko enoto je torej zaporedna številka v vr¬ sti, v kateri so enote populacije urejene po velikosti po proučeva¬ nem numeričnem znaku. Vzemimo za primer podatke o premerih za 19 modelnih dreves za čisti smrekov sestoj na Pokljuki. Neurejeni osnovni podatki so dani v ta¬ beli 5.1. Tabela 5.1 Premeri za 19 modelnih dreves v čistem smrekovem sestoju na Pokljuki 18, 36, 17, 33, 28, 39, 19, 25, 24, 3o, 21, 23, 32, 27, 44, 14, 31, 28, 34. J ako napisani podatki so nepregledni, ker so v istem vrstnem redu, kot so stala drevesa« Ranžirna vrsta teh podatkov je v tabeli 5.2. Tabela 5*2 Ranžirna vrsta o premerih za 19 modelnih dreves v čistem smrekovem sestoju A R 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 x 14 17 18 19 21 23 24 25 27 28 28 30 31 32 33 34 36 39 44 i*n 0 tv)t*w.w»4 Ker ima vsaka enota svoj rang R, smatramo rang za statistični znak. Čeprav je v zgornjem primeru rang za posamezno drevo določen po pre¬ meru drevesa, pa rang pove nekaj drugega kot premer. Če povemo, da je premer drevesa, ki ga proučujemo, 36 cm, ne vemo nič o tem ali je to drevo glede na ostala drevesa v sestoju majhno ali veliko.Med¬ tem pa spoznamo, da je drevo relativno debelo, če povemo, da je pro¬ učevano drevo s premerom 36 cm 17. po rangu od skupno R ■= 19 dreves. Samo dvoje dreves ima namreč večji premer, medtem ko je 16 dreves tanjših. Kvantilni rang 5.2 Kljub vsemu pa imajo rangi določeno hibo, Ker imajo populaci¬ je različne obsege, moramo za dano enoto razen ranga R t navesti še obseg populacije R, če hočemo z rangom nakazati mesto eno¬ te v populaciji..Tako je 17. enota po rangu v populaciji z 19 enota¬ mi razmeroma velika, medtem ko je 17. enota po rangu v populaoiji z R c 5OO enotami klasificirana kot majhna, ker ima 483 dreves večje premere, le 16 pa manjše kot je drevo z rangom 17. Zato je primerne¬ je, da izr .čarno mesto enote v populaoiji, namesto z rangom R in ob¬ segom populacije R, s kvantilnim rangom P. Kvantilni rang v relativ— 78 nem številu pove, na katerem mestu v ranžirni vrsti leži dana vred¬ nost, ker celoto merimo z 1, ne pa z H. Od enote, za katero je kvantilni rang P o 0 , 25 , jo 0,25 ali 25 ^ vseh enot manjših, 0,75 ali 75$ pa večjih od proučevane vrednosti. .Podobno velja za druge vred¬ nosti kvantilnega ranga. Enota s kvantilnim rangom P « 0,93 je ze¬ lo velika, ker je 0,93 del celote ali 93$ z manjšimi vrednostmi. Glavna prednost kvantilnega ranga je v tem, da mesto enote v popula¬ ciji podamo z eno samo vrednostjo. Bazen tega pa je to mesto določe¬ no nazorneje, ker je v vsakem primeru, ne glede na obseg populacije, celota merjena z enoto, če so kvantilni rangi izraženi z delom od ena, ali e sto, če so kvantilni rangi izraženi v odstotkih. 5.3 V tabeli 5*2 je rang določen samo za premere, ki jih imajo po¬ samezna drevesa, Zanje so rangi oela števila, Pojem ranga pa moremo razširiti tudi na druge vrednosti med najnišjo (x . «14 * mm cm) in najvišjo (x » 44 cm) vrednostjo v populaciji'. Tako šteje- max mo, da je na splošno rang za premer x = 37 cm, R (x = 37) med fi (x » 36) = 16 in E (x = 39) ■= 17, ker leži vrednost x = 37 om med 36 cm in 39 cm. Točen rang določimo z linearno interpolacijo. Razli¬ ka med x « 36 cm in x « 39 cm je enaka 3 cm,x m 37 cm pa je od 36 od¬ daljen za 1 cm. Ker je razlika med ustreznima rangoma 1, pripišemo vrednosti x « 37 cm rang R » 16 ■— . Enako določimo rang za polju¬ ben premer med 14 in 44 cm. Rang smatramo za zvezni znak. Praktično more zavzeti vse vrednosti na določenem razmaku. Vsakemu celemu ran¬ gu pripišemo enotin razmak, ki obsega polovico enote pod danim ran¬ gom, polovico enote pa nad njim. Tako pripišemo rangu R « 1 razmak od 0,5 do 1,5} rangu R = 2 razmak od 1,5 do 2,5 itd. do R « II raz¬ mak od R -0,5 do N + 0,5. Celoten ranžirni razmak sega orej od 0,5 B + 0,5, ima pa širino H. i; Glede na -to, da obsega rang razmak od 0,5 do H + 0,5* kvantilni rang pa razmak od 0 do 1, je zveza med rangom E In kvantilnim ran¬ gom P dana z obrazcem R =NP + 0,5 <5.i) in obratno n R-Ot 5 P= N , '/N)~ '1' (5.2) ... UvJc, Preskus z obrazoem 5.1 pokaže, da resnično ustreza P « 0, 3t»-« .0,5 in P » 1 rang E ■ H + 0,5 I2a urremer x ■ 36, za katerega je E * 16^po obrazou 5.2 izračuna- nmq, adajje kvantilni rang P m ^ 1 •» 0,82. 'i$a ^adbtek nazorno pokaže, da je premer proučevanega drevesa tako -vvdlik, ida ima 0,82 del vseh dreves ali 82 $ vseh dreves manjši pre- nser odd tproučevanega, SK-.vfam J t i 1 i 'j>XA Z obrazcem 5,1 in 5* 2 rešujemo dva po vsebini različna proble¬ ma. tCeiimamo dano vrednost x, moremo zanjo določiti ustrezni kvantilni rcang P^, ki nakaže mesto te vrednosti v populaciji, T5alngo moremo tudi obrniti in ss vprašati, kakšna vrednost ustre- rsa danemu kvantilnemu rangu P. Te vrednosti niso več karakteristike ^posameznih enot, ampak so parametri za populacijo. Ča npr. za dani sestoj poiščemo premer, ki ustreza kvantilnemu rangu P - 0,50, do¬ bimo vrednost x Q x Q je oni premer, od katerega ima polovica 6o dreves manjše, polovica pa večje premere. Ta vrednost karakterizi- ra populacijo in jo za mlad sestoj majhna, za starejši sestoj pa večja. Vrednost, s kateri razdelimo populacijo v dva po obsegu ena¬ ka dela, je pomemben parameter in jo imenujemo mediana. Na splošno imenujemo vrednosti ip, ki ustrezajo danim kvantilnim rangom P^ kvantile . . ...... Teoretično moremo izračunati kvantile za katerokoli vrednost kvantilnega ranga. V praksi pa običajno izračunavamo kvantile, ki razdelijo populacijo na dva (mediana), na štiri (kvartili), na de¬ set (decili) ali na sto (oentili) delov. Tako imamo tri kvantile 5.5 Izračunavanje kvantilnih rangov in kvantilov is frekvenčnih po¬ razdelitev. Običajno populacije nimajo nekaj desetin enot, temveč več sto ali tisoč. Zanje direktna pot za izračunavanje kvan- tilov preko ranžirne vrste ne pride v poštev, ker je preobsežna in fceprikladna. Pač pa moremo zanje oceniti vrednost kvantilov, če ima- ®o podatke urejene v frekvenčni porazdelitvi. Podobno kot so v ran¬ žirni vrsti vse vrednosti, ki so pod določeno vrednostjo, manjše,vse devet decilov in devetindevetdeset oentilov 81 vrednosti, ki so nad določeno vrednostjo, pa večje, valja tudi za frekvenčne distribuoije, Vse vrednosti v razredih, ki so pod danim razredom, so manjše, vse vrednosti v razredih nad da n im razredom, pa so večje, Frekvenčne porazdelitve imajo torej podobne lastnosti kot ranžirna vrsta, samo da ne veljajo za posamezne vrednosti, tem¬ več za vse enote v posameznih razredih. Če za frekvenčno porazdelitev izračunamo kumulativno porazdelitev in napravimo predpostavko, da je največja stvarna vrednost enot v posameznem razredu enaka zgornji meji razreda, so posamezni členi v kumulativni vrsti rangi, ki ustrezajo mejam razredov. Kumulativ¬ na porazdelitev tako nakaže range le za meje razredov, ne pa za vse vrednosti, ki se pojavljajo v populaciji. Vendar moremo kljub temu iz nje z linearno interpolacijo zadosti dobro oceniti range tudi zn vmesne vrednosti, če predpostavljamo, da se v prvem približku vred¬ nosti v posameznih razredih porazdeljujejo na vsem razmaku enakomer¬ no, V tabeli 5«4 je za frekvenčno porazdelitev specifičnih tež za ze¬ leno duglazijo iz tabele 3.5 pod zgornjimi prepostavkami nakazana zveza med mejami razredov in členi v kumulativni vrsti. Iz tabele 5«4 je razvidno, da je kumulativna vrsta obenem vrsta ran¬ gov za spodnje meje ustreznih razredov, V ranžirni vrsti ima npr. specifična teža x *> 4-80 kg/ui'’ rang „ 2395 * S frekvenčno porazdelitvijo moremo določiti ustrezne ran¬ ge tolikim vrednostim, kolikor imamo razredov. 82 Tabela 5*4 Kumulativna frekvenčna porazdelitev in okrnjena ranžirna vrsta za specifično težo lesa za zeleno duglazijo 5.6 Glede na to, da dobimo range za druge vrednosti z linearno interpolacijo, moremo iz frekvenčne porazdelitve oceniti kvanr- tilni rang za vsako vrednost z po naslednjem postopku: a ) Za frekvenčno porazdelitev izračunamo kumulativno vrsto. PoiSčemo, v katerem razredu leži vrednost x, za katero računamo kvantilni rang P^. Za ta "kvantilni razred" poiščemo spodnjo me- 83 jo x . , Širino razreda i , frekvenco f in kumulativo F . o,min’ o' o o c) Iz teh podatkov izračunamo pod zgornjimi predpostavkami E^ po obrazcu ~ fo + ‘o i 0 ( 5 « 7 ) *) Iz dobljenega dobimo ustrezni kvantilni rang P^ po znanem obrazcu ( 5 . 8 ) Ker je glede na to, da je obseg populacije H velik, običajno koli¬ čino 0,5 izpuščamo, ker je nebistvena. 5.7 Vzemimo kot primer, da moramo za določen les zelene duglazi¬ je oceniti kvaliteto, ki je dana s specifično težo. S presku¬ som ugotovimo, da je specifična teža preskušanega lesa x = 554 kg/m^. Zanima nas, ali je ta specifična teža lesa glede na sploSno kakovost lesa za zeleno duglazijo ugodna oziroma dobra ali ne. Od¬ govor na to vprašanje dobimo, če izračunamo kvantilni rang P , ki ustreza 1 = 554 kg/m . Po zgornjem navodilu najprej v tabeli 5*4 poiščemo, v katerem razre¬ du v frekvenčni porazdelitvi je ta vrednost. Kvantilni razred je to¬ rej razred 54° kg - pod 580 kg, količine, potrebne za izračunavanj e kvantilnega ranga, pa so: x 0 m i n “ 54o kg/m^j i o - 20 kg/m^; . 94 ; P^ » 322o. Iz teh podat¬ kov dobimo po obrazcu.5*7 najprej E x R x -3220 + % = 3285,8 84 po obrazcu 5*8 pa dalj© kvantilni rang * D _ 3 285 , 8 - 0,5 x" 3376 = 0,973 Kvaliteta lesa je relativno zelo dobra in le oa 3 /» lesa zelene duglazije dano kvaliteto presega. 5.8 Obratno za dan kvantilni rang P poiščemo ustrezni kvantil x z istimi predpostavkami po naslednjem postopku. P a) Enako kot pri določanju kvantilnih. rangov najprej izračunamo: kumulativno vrsto P, . k b) Po znanem obrazcu Rp-N.P+0,5 (5.9) izračunamo P ustrezni rang E . Količino 0,5 moremo izpustiti, ker P je običajno glede na N.P nebistvena. o) V kumulativni vrsti poiščemo, med katerima vrednostima kumulati— ve je izračunani rang E^ (F^ E^ < F^). Razred, za katerega je kumulativa F q , je kvantilni razred o. Zanj ugotovimo! spodnja-mejo x . , širino i , frekvenco f in kumulativo P . o, min o o on 4) Kvantilnemu rangu P ustrezni kvantil x ocenimo po P X p ^ Oj min + , R pt (5.1o) 5*9 Kot primer za izračunavanje kvantilov iz frekvenčnih porazde¬ litev sestavimo tablico deoilov za specifično težo lesa zele¬ ne duglazije iz tabele 5*4,« V tabeli 5*4 je že izračunana kumulativna 85 vrsta frekvenc. Sistematičen izračun vseh kvantilov hkrati je naka¬ zan v taheli 5«5« V taheli 5*5 smo n&jprej po obrazcu 5*10 izračunali P ustrezajoče range B^. Za vsak dobljeni rang smo v tabeli 5*4 poiskali, med ka¬ tera zaporedna člena v kumulativni vrsti pade posamezen B^, V stolpce (3), (4) in ( 5 ) smo vpisali ustrezne količine f Q in za kvantilne razrede. V glavi je za stolpce (6) do (9) nakazano, kako iz teh podatkov postopoma izračunamo po obrazcu 5»lo deoile. Tablica decilov more služiti kot pripomoček za relativno klasifika¬ cijo kakovosti lesa zelene duglazije glede na specifično težo. Tako moremo iz decilne tablice ooeniti, da je les s specifično težo 500 kg/m^ med osmim in devetim decilom, kar pomeni, da je najmanj 8c fjo lesa zelene duglazije, ki ima specifično težo manjšo, in naj¬ manj Ic^o lesa zelene duglazije, ki ima večjo specifično težo. Na¬ tančna vrednost kvantilnega ranga za specifično težo x = $00 kg/m^ je 0>823. Zgornja naša izjava se torej sklada s točnim rezultatom,sa¬ mo da je bolj groba. Točnejše vrednosti za kvantilne range dobimo iz centilnih skal. Z decili ocenimo kvantilni rang za posamezno vrednost na eno decimalko natančno. V tablici centilov pa bi dobili kvantilne range ocenjene na dve decimalki. 86 Tabela 5.5 Izračunanje decilov za specifično težo lesa za zeleno duglazijo 6. SEBDKTB VEEDHOSTI 6.1 Premer, višina, temeljnica ali volumen za posamezno drevo so rezultat vseh faktorjev, ki vplivajo na rast in razvoj dreve- Ba * Ker je učinek vseh faktorjev po pravilu za vsako drevo razli¬ čen, imajo posamezna drevesa različne premere, različne višine,te- ®eljnice in volumne. Če proučimo posamezne faktorje, jih moremo združiti v tri različne skupine. Proučujmo enodohen smrekov se- B ioj, ki raste na pobočju spremenljivo skalnatega terena. Iz teh Podatkov moremo klasificirati faktorje rasti tega sestoja. Ker je sestoj enodohen in smrekov, sta starost in drevesna vrsta za vsa črevesa sestoja ista. Faktorja starost in drevesna vrsta sta torej faktorja, ki vplivata na vsa drevesa enako - imenujemo jih s P 1 o š n e faktorje. Bazen splošnih faktorjev pa na Posamezno drevo vplivajo še drugi faktorji, katerih učinek se me- n ja od drevesa do drevesa. Ker je vpliv teh faktorjev različen za Posamezno enoto - drevo, jih imenujemo indivi dualne f a k t o r j a .V našem primeru je eden izmed individualnih vpli- v°v višinska lega drevesa, ker ja sestoj na pobočju. Pru. indivi¬ dualni faktor je skalovitost, ker se spreminja od drevesa do dre- v osa, oba ta faktorja moremo za posamezno drevo določiti, ker mo- 8 $ remo za vsako drevo ugotoviti višinsko lego ali stopnjo skal ovit o- sti terena, na katerem posamezno drevo raste. Razen tega pa na rast drevesa vplivajo še faktorji, ki jih ne moremo za vsako drevo na¬ tančno določiti, čeprav vplivajo na rast drevesa. To so mikrosestav zemlje, kakovost sadike, zasenčenost kraja itd. Te faktorje, kate¬ rih učinek ne moremo natančneje opredeliti, združujemo v skupino slučajnih faktorjev oziroma vplivov. če hi na pojav delovali samo splošni vplivi, hi hila vsa drevesa enaka. Njihov premer, višina, temeljnica in volumen hi hili pogoje¬ ni le s splošnimi faktorji: starostjo, drevesno vrBto in krajem, kjer sestoj raste. Zaradi individualnih vplivov pa se drevesa med seboj razlikujejo in to tem holj, čim večji je vpliv individualnih faktorjev. Individualni faktorji vplivajo na rast drevesa ugodno al; neugodno. Zato se premeri, temeljnioe, višine in volumni dreves od klanjajo navzgor in navzdol od premera, višine, temeljnioe in vo¬ lumna, ki hi ga imela, če hi nanj vplivali samo splošni faktorji. Premeri, višine, temeljnioe ali volumni zaradi individualnih vpli¬ vov variirajo okrog nekih idealnih vrednosti, ki so raz ul v: t samo splošnih vplivov. Ker hi hile te vrednosti za vse enote populacije enake, 30 parametri populacije, imenujemo pa jih srednje vrednosti. 6.2 Če je vpliv individualnih faktorjev majhen ali pa če cele na enote populacije vplivajo samo splošni in slučajni vplivi, ka¬ terih učinek je običajno majhen, se posamezna drevesa med seboj malo razlikujejo. V takem homogenem sestoju je volumen vseh dreves pre¬ cej izenačen. Za homogene populacije srednja vrednost volumna ni le pokazatelj splošnih vplivov. Ker se volumni za posamezna drevesa ma¬ lo razlikujejo od srednje vrednosti, smatramo srednjo vrednost tudi za reprezentanta vseh vrednosti populacije. Čim večji je vpliv in¬ dividualnih faktorjev, tem slabše srednja vrednost reprezentirs. eno¬ te v populaciji in obratno: srednja vrednost je tem boljši reprezen¬ tant za vrednosti enot v populaoiji, čim manjši je vpliv iadividual- 9o nih oziroma slučajnih faktorjev Jasno jo namreč, da srednji premer, srednja višina ali srednji vo¬ lumen “bolje reprezentira premere, višine in volumne posameznih dre¬ ves v sestoju, če je sestoj enodohen, istovrsten, na ravnini, z ena¬ kimi talnimi pogoji, kot pa če je obravnavani Bestoj prebiralen ali večetažen, na področju, ki je različno skalovit, Za drugi primer srednja vrednost ni niti približno reprezentant razmer v populaciji* Zato nimajo velike analitične vrednosti, čeprav jih moremo formalno izračunati. Vrste srednjih vrednosti 6.3 Parametrov, ki na en ali drug način kažejo centralno težnjo vrednosti znaka za populacijo, imamo več. Od njih bomo obrav¬ navali naslednje! a) mediano Me b) modus Mo o) aritmetično sredine z d) kvadratično sredino k e) harmonično sredino E f) geometrijsko sredi.no O Mediana in modus sta srednji vrednosti, ki sta dani z lego vredno¬ sti, medtem ko so druge štiri izračunane srednje vrednosti. Bazli- ka srednjih vrednosti po legi v primerjavi z izračunanimi srednjimi ■vrednostmi je v tem, da srednje vrednosti po legi niso odvisne od vseh vrednosti, medtem ko so izračunane srednje vrednosti odvisne od vseh vrednosti v populaciji. Ta lastnost je v nekem smislu pred¬ nost, v nekem smislu pa pomanjkljivost srednjih vrednosti pc legi. 91 Mediana 6.4 Mediana je vrednost, od katere ima polovica enot populacije manjše, polovica pa večje vrednosti. Zaradi ta svoje last¬ nosti mediana dobro služi kot srednja vrednost, ker je v vsakem primeru vrednost, ki se vsem individualnim vrednostim dobro pribli¬ žuje, ker je v sredini med njimi. Določanje mediane se sklada z določanjem kvantila x 0,50* Ker smo izračunanje kvantilov obravnavali že v prejšnjem poglavju, postop¬ ka ne bomo ponavljali. V prejšnjem poglavju smo izračunali mediano iz negrupiranib podat¬ kov o premerih za 19 smrekovih dreves na Pokljuki. Za ta primer je mediana, ki se sklada z drugim kvartilom, enaka Me * x. =28,00 cm, > pU Za specifično težo lesa za zeleno duglazijo pa smo v odstavku 5*9 izračunali, da je mediana, ki se v tem primeru sklada s petim aeoi- lom D , enaka Me » D_ = 45^ kg/m^. Polovica lesa za zeleno duglazi- jo ima torej manjšo specifično težo kot Me s 450 kg/m , polovica pa večjo. Oba zgornja parametra sta tipični lastnosti populacij, ne pa posameznih enot. 6.5 Lastnosti mediane. Prednost mediane je pred¬ vsem v tem, da je lahko razumljiva in zato priporočljiva kot opisni parameter. Velika prednost mediane pred izračunanimi srednji¬ mi vrednostmi je tudi ta, da moremo mediano določiti, četudi pozna¬ mo le vrednosti, ki leže okrog sredine v ranžirni vrsti urejenih vrednosti. Ta lastnost je posebno ugodna, kadar določamo srednjo vrednost is frekvenčnih porazdelitev z odprtimi razredi. Za frekvenč¬ ne porazdelitve z odprtimi razredi namreč običajno niti približno 92 ne vemo, kakšne so vrednosti v odprtih, razredih. Mediana je pri¬ poročljiva srednja vrednost tudi takrat, kadar so ekstremne vred¬ nosti take, da sumimo, da so izraz nekih drugih kvalitet in zato sploh ne spadajo v populacijo. Vsota absolutnih odklonov od neke stalne vrednosti je najmanjša, če te odklone računamo od mediane. Po tem načelu je mediana najbolj¬ ši reprezentant vseh vrednosti populacije. Pomanjkljivost mediane pa je v tem, da je le premalo odvisna od in¬ dividualnih vrednosti. Za dva različni populaciji je mediana ista, 5e je le polovica vrednosti manjših kot mediana, ne glede na to, kakšne so individualne vrednosti. Modus 6.5 Mediana pa ni vedno parameter, ki dobro reprezentira vredno¬ sti v populaciji. Za asimetrične in polimodalne distribucije more biti mediana oelo vrednost, od katere je večina vrednosti zelo različna. Zanje mediana ni reprezentant vrednosti v populaci¬ ji. Za take primere je veliko bolje, da vzamemo za srednjo vred¬ nost tisto vrednost, okrog katere se gosti največ vrednosti v po¬ pulaciji. Mesto največje gostitve vrednosti nekega znaka imenujemo ttajpogostejšo vrednost ali modus . £9 imamo frekvenčno krivuljo, ki ponazarja razporeditev vrednosti v populaciji, je modus enostavno poiskati. V tem primeru je modus a-tscisna vrednost za tisto točko na frekvenčni krivulji, za katero Oe ordinata, ki predstavlja gostoto frekvence, največja. To vidimo iz elike 6.1 93 Slika 6.1 Določanja modusa iz frekvenčne krivulje Za populacije z majhnim Številom enot in sa primere, v katerih vred¬ nosti posameznih enot niso grupirane v frekvenčni porazdelitvi, je neposredno nemogoče določiti modus. Modus moremo oceniti le za popu¬ lacije z razmeroma velikim številom enot, ki so grupirane v frek¬ venčni porazdelitvi, ker moremo le v tem primeru izslediti mesto največje gostitve. 6.6 Izračunavanje iz frekvenčnih porazdelitev. V frekvenčni porazdelitvi z enako Širokimi razredi iščemo modus v razredu, za katerega je frekvenca največja, ker predvidevamo, da je v tem razredu mesto največje go¬ stitve. Za frekvenčne porazdelitve z različno širokimi razredi pa iščemo modus v razredu, za katerega je gostota frekvence največja. Vendar se bomo omejili le na določanje modusa za frekvenčne poraz¬ delitve z enako širokimi razredi. Prvi približek modusa je sredina modalnega razreda, to je razreda z največjo frekvenco. Vendar je sredina modalnega razreda modus le 94 2 & simetrične frekvenčne distribucije« Za asimetrične distribucije pa se modus od sredina modalnega razreda odklanja v smer onega so¬ sednega razreda* v katerem je frekvenca večja« Zaznamujmo modalni razred z o, razred pred njim z -1, razred za mo¬ dalnim razredom pa s +1. Ustrezne sredine razredov so x , x * —j. o i + .,j ustrezne frekvence pa f 1 , in S parabolo druge stopnje, ki gre skozi točke s koordinatami (z f (2 , f ) in(i „.f —i. —1 O O v .{-J.* -fr-1 bližamo frekvenčno krivuljo v območju modusa. Kot ooano modusa vza¬ memo absciso najvišje točke v tej paraboli. Pri tej predpostavki izračunamo drugo oceno za modus po naslednjem postopku: a) v frekvenčni porazdelitvi poiščemo razred z največjo frekvenco ~ modalni razred. Modalni razred zaznamujemo z o, x .j© spod- o ? min nja meja, f Q pa frekvenca v modalnem razredu, f , je frekvenca v razredu pred modalnim razredom, f ^ pa je frekvenoa v razredu ze. modalnim razredom; ' c ) izračunamo diferenci sosednih frekvenos d+j~Fo F-t-f j °) modus Mo izračunamo iz zgornjih količin po obrazcu d-1 Mo=X 0j „i n + l +d +< 6.7 Proučujmo frekvenčno porazdelitev premerov za čisti smrekov enodobni sestoj B na Pokljuki, Proučevana frekvenčna porazdelitev je naslednja. 95 Tabela 6.1 Porazdelitev premerov za čisti, enodobni smrekov sestoj na Pokljuki. Iz zgornje frekvenčne porazdelitve sklepamo, da je modus v razredu 3o cm ~ 34 °m, kjer je frekvenca v tem razredu največja (93). Prva ocena modusa je torej M o « 32,5 ora, kar se modalni razred razteza od 3o cm do pod 35 om• Drugo ooeno modusa dobimo, če najprej iz frekvenčne porazdelitve v tabeli poiščemo potrebne količine za modalni razred 3o cm - 34 cm. Za modalni razred je spodnja meja x . « 3o cm, frekvenca f * 0| min o 93, širina razreda pa i - 5 cm. Frekvenca razreda pred modalnim 96 razredom je f ^ » 87, frekvenca razreda za modalnim razredom pa £ +1 « 74. Iz teh podatkov dobimo, da jes d-i = 93 - 87 «6; d+, = 93 -7*- f9; po obrazcu 6.1 pa dalje Mo=30 + 5j^=31,2cm Rezultat resnično pokaže, da je modus odklonjen od eredine r**r®- 4a x o « 32,5 om navzdol v smeri večje sosedne frekvenoe. 6.8 Kako grafično ocenimo modus iz histograma, je nakazano v sli¬ ki 6.2 Če zvežemo točko A s C, točko B pa z D, ja projekcija F Slika.6.2 Grafično določanje modusa Presečišča obeh daljio B na abscisno os - modus, Teoretično se ta Rezultat sklada z rezultatom, ki ga dobimo računsko. Eventuelne raz- like gredo na račun nenatančnega risanja, 6.9 Lastnosti modusa. Modus je srednja vrednost, ki ima že po svoji definiciji kvalitete reprezentanta indivi¬ dualnih vrednosti, ker je mesto, na katerem se gosti največ vredno¬ sti. Bnako kot mediana pa je tudi modus neobčutljiv za spremembe individualnih vrednosti. Modus ostane v dani populaciji nespreme¬ njen vse dotlej, dokler stopnja gostitve na nekem drugem mestu ne prekorači stopnje gostitve v modusu. Heterogene porazdelitve morejo imeti več mest gostitve« Tako imamo pri frekvenčni porazdelitvi posameznih karakteristik za drevesa v dvoetažnem sestoju običajno dva modusa. Eden izraža tipičnost za sno, drugi pa tipičnost za drugo etažo. Podobno imamo pri večmoda.1 nih porazdelitvah še več relativnih modusov« V vsakem takem primer pa običajno en modus izmed njih kaže mesto absolutno največje go¬ stitve. Aritmetična sredina 6.10 Izmed vseh srednjih vrednosti zaradi praktičnih in teore¬ tičnih lastnosti najpogosteje uporabljamo aritmetično sredi¬ no. Aritmetična sredina x je enostavne povprečje iz vseh indivi¬ dualnih vrednosti za vse ©note v populaciji, Dobimo jo, če vsoto vseh vrednosti delimo s Številom enot v populaciji Tf, Z obraz¬ cem definicijo aritmetične sredino zapišemo Aritmetično sredino zaznamujemo običajno z z , y ... Prečna črtica nad simbolom sa znak pomeni, da. gre »a povprečja ustreznih znakov. 96 Aritmetična sredina je izpeljana iz predpostavke, da je individu¬ alna vrednost x^ vsota rezultata splošnih vplivov x in rezultata individualnih vplivov (r^, - ž + e ± ). Nadaljnja predpostav¬ ka pa je, da se v vsoti rezultati individualnih vplivov uničijo.. Če seštejemo vse individualne vrednosti, dohimo glede na to N A/ AT X=iT xj=H (x+ harmonična sredina pa H- ±+± 1 1 ± + ± 7 + 9 ■ 2 ^ Harmonično sredino izračunavamo redkeje kot aritmetično. Kadar pa se osnovne vrednosti v populaciji porazdeljujejo asimetrično, njiho¬ vi reoiproki pa simetrično, harmonična sredina bolje reprezentira vrednosti populacije kot aritmetična sredina. 6.26 Hazen tega pa je harmonična, ne pa aritmetična sredina upra¬ vičena pri izračunavanju nekaterih relativnih števil. Vzemimo kot primer pet smrekovih dreves z enakim volumnom. Zanje so telesninski koeficienti: 0,38 0,36 0,41 0,35 0,40. Povprečen te- lesninski koeficient f izračunamo s harmonično sredino. f = S i . 1 . 1 0J8 + 0/6 0/7 1 0 , 7,5 — = 0,3786 c« Upravičenost zgornjega rezultata sledi iz naslednjega sklepanja.Po obrazcu 6 ,17 je povprečen telesninski koeficient 7 - TZ ijhif, ^ r V; _ nv = N (6.21) r L<;»i ZV h VD/f ZVfi llo Izpeljava tega obrazca se naslanja na to, da je V = g.h.f, iz tega dalje V/f » h,g in da je pri drevesih z enakimi volumni . M. j \ Izračunavanje suma r n ih relativnih Števil no, Ali pri praktičnem izračunavanju povprečnih vrednosti iz re¬ lativnih Števil uporabljamo aritmetično ali harmonično srebl¬ je odvisno od tega, katere količine so ponderi. To moremo ugotoviti v vsakem posameznem primeru iz strukture rela¬ tivnih števil. Ce vzamemo, da je za individualne enote, grupe in populacijo rela¬ tivno število kvocient dveh absolutnih podatkov, je sumarno relativ¬ no števiio E. _ y ~ X - kvocient vsot absolutnih podatkov Y in Z. Pl rx„ <«- 22 > k Sumarno relativno število pa izračunamo kot tehtano aritmetično sre¬ dino y x > l = rx *t - £ X * R * R' ix, Z** (6.23) kadar so ponderi absolutne količine, ki v relativnem številu nastopa¬ jo v imenovalcu. Tehtano harmonično sredino uporabljamo pri izračunavanji relativnih Števil, če so ponderi absolutni podatki, ki nastopajo v relativnem Številu v števcu. To vidimo iz zveze m (6.24) 6.28 Izračunajmo povprečno -temeljnico za dvoetažni sestoj, za ka~ 2 terega je povprečna temeljnica v prvi etaži g.^ » 0,050 m , - 2 x v drugi etaži pa g e 0,075 n . R^zen teh podatkov poznamo skupni ^2 2 temeljnici G^ « 50 ® in Gg ** 150 m za obe etaži. Povprečna temeljnica je kvocient med skupno temeljnioo in Številom dreves v sestoju g = G/N. Razen povprečnih temeljnic za vsako eta¬ žo pa poznamo še skupno temeljnioo, ki je v relativnem številu v imenovalcu. Po zgornjem pravilu v tem primeru izračunamo povprečno temeljnioo za dvoetažni sestoj po obrazcu za tehtano harmonično sredino 4 9i 92 50->-150 50 150 0^050 0,075 = 0,067m 2 Kvadratična sredina 6.29 Kvadratična sredina je kvadratni koren iz povprečij rvadra- tov iz individualnih vrednosti K xf N —L x 2 N y- (6.25) Kvadratično sredino samostojno redkeje uporabljamo kot druge izra¬ čunane vrednosti. Pomembna pa je predvsem zato, ker je najvažnejša mera variacije — standardni odklon kvadratična sredina odklonov in¬ dividualnih vrednosti od aritmetične sredine V gozdarstvu pa so še drugi problemi, y katerih uporabljamo kvadratične sredine. 112 če iščemo, kakšen povprečen premer bi morala imeti vsa drevesa v sestoju, da bi bila skupna temeljnica za tak sestoj enaka stvarni skupni temeljnici, spoznamo, da temu pogoju ustreza kvadratična sredina iz stvarnik premerov v sestoju. To zlahka spoznamo iz na¬ slednje zveze. če z zaznamujemo premer za posamezno drevo v sestoju, je W jr 2 temeljnica posameznega drevesa, 2_ ~T pa vsota temeljnio vseh i--l 4 1 Ti 2 4 *1 dreves v sestoju ali skupna tameljnica. Če s K zaznamujemo povpre- 5T 2 čen premer, je temeljnica povprečnega drevesa — K , skupna ta™ Ti 2 4 meljnioa vseh K dreves pa N — K . Zaradi zgornje zahteve, ki naj jo izpolni povprečen premer, velja Ti če to enačho delimo z N ^ , iz desne in leve strani pa poiščemo kvadratni koren, dohimo, da je Iskani povprečni premer je torej kvadratična sredina iz An£Livi(i»- alnih premerov. 5.31 Vzemimo kot shematičen primer pet dreves. Njihovi premeri so: 38 cm, 28 cm, 32 cm, 35 cm, 41 om. Povprečen premer, ki. dstreza pogoju, da je skupna temeljnica enaka kot skupna temeljni- °a, Če bi vseh pet dreves imelo enak povprečen premer, je K=jj ■\j( 38* + 28" +32 2 +35 2 +tf 2 ) =35,lem 313 Aritmetična sredina za isti primer je z o 34»8 cm, če napravimo preskus, kateri povprečen premer ustreza zahtevi glede skupne te- meljnice, dohirno: Skupna temeljnioa je torej 0,4836 1 /* 2 Za povprečen premer K m 35>1 um 0 S temeljnioa g. « 0,09676 m skup- uc 2 na temeljnioa petih povprečnih dreves pa 5 • 0,09676 *= 0,4838 m .Za aritmetične sredino premera z •> 34»8 cm pa dobimo, da je temeljni- ca povprečnega drevesa g- » 0,09541 m* 1 , skupna temeljnioa petih pov~ z 2 prečnih dreves pa le 5 • 0,09541 « 0,37705 ® • r Geometrijska sredina 6.32 Geometrijska sredina iz N vrednosti je li-ti koren iz produk¬ ta individualnih vrednosti. Po tsj definiciji je geometrijska sredina A/ j N t N " G - y Xy. ... Xyy - \J JT X/ (6.26) Iz definicije za geometrij?. .0 sredino sklepamo, da ima smisel izra¬ čunavati geometrijsko sredino le, če so osnovni, podatki večji od nič. 114 Izračunanje geometrijske sredine po osnovnem obrazcu je, razen za najenostavnejše primere, nemogoč. Pač pa jo razmeroma enostavno iz¬ računamo z logaritmi. Če levo in desno stran osnovnega obrazca lo¬ garitmiranje, dobimo log G = jj(log x, + logX 2 + '" +iogx N ) . (6.27) Logaritem iz geometrijske sredine je torej povprečje iz logaritmov individualnih vrednosti. Zaradi razmeroma zamotanega izračunanja in težjega tolmačenja geo¬ metrijske sredine ne izračunavamo pogosto. V poštev pride pri izra¬ čunavanju centralne tendence za J porazdelitev, če se zanje loga¬ ritmi individualnih vrednosti porazdeljujejo v normalni porazdelit¬ vi ali v porazdelitvi, ki je normalni podobna. S«'33 Bazen tega pa je geometrijska sredina logično upravičena za izračunanje povprečnega koeficienta dinamike pri proučevanju časovnih vrst. Vzemimo časovno vrsto, ki ima prvi člen Y q , zadnji člen in zaporedne koeficiente dinamike k l “ W k 2 " Y 2 //Y l .kjj - Y i/ Y N- 1* Vprašan ^ e d e » 3 kakšnim stalnim povprečnim koeficientom dinamike hi se moral razvijati pojav, da hi bil iz začetne vrednosti Y q po K razdobjih pojav na ravni Y^. Glede na definicijo koeficientov dinamike in povprečnega koeficienta dinamike veljajo med zgornjimi količinami naslednje zveze .... k^ Y 0 .k.k... k ^o.k (6.28) Če začetno vrednost Y o postopoma množimo z individualnimi koefici¬ enti dinamike, dobimo končno vrednost Y„. Zaradi definicije povpreč¬ ij nega koeficienta dinamike k pa enako dobimo končno vrednost T^, če začetno vrednost Y^ H krat pomnožimo s povprečnim koefioientom dinamike k. Iz zveze (6.28) dobimo dva obrazca, po katerih izraču¬ navamo povprečen koeficient dinamike Po obrazcu 6,29 je povprečen koeficient dinamike H-ti koren iz kvo¬ cienta med začetnim in končnim členom v časovni vrsti. V splošnem se stopnja korena ravna po časovnem razmaku med začetnim in končnim členom. Stopnja korena je enaka številu osnovnih razmakov med začet¬ no in končno vrednostjo pojava, za katerega izračunavamo povprečen koeficient dinamike. Po obrazcu 6.3o je povprečen koeficient dinamike geometrijska sre¬ dina iz individualnih koeficientov dinamike v razdobju, za katerega iščemo povprečje. 6/34 Vzemimo za primer razvoj površine gozdnih drevesnic v SFBJ. Povprečen koeficient dinamike izračunajmo z logaritmi. Če levo in desno stran zgornje enačbe logaritmiramo, dobimo Konec leta 1955 je bilo Y * 1383 ha drevesnic, koneo leta J J 1959 pa Y ^ “ 2677 ha. Povprečen letni koeficient dinamike v razdob¬ ju 1955-3-959 je po obrazcu 6.29 enak 116 log k = j-(log 2677~log 1385) = = ~ (3,M65 - J, M82 ) = 0,07171 Z antilogaritmiranjem dobimo, da je k » 1,1795* Površina gozdnih drevesnic se je v razdobju 1955-1959 vsako leto povešala povprečno za oa 18$. Za isti problem poiščemo povprečen koeficient dinamike, če poznamo individualne koeficiente dinamike o razvoju drevesnic v razdobju 1955-1959. Koeficienti dinamike v tem razdobju so k 5b = 1,067 k SJ - 1,077 k 58 = 1,27,6 k 59 = 1,352 Po obrazcu 6.3o je povprečen koeficient dinamike k=--^'k*.k 57 .k„.k s , = -^1,067.1,077. "1,246. 1,352 Tudi v tem primeru si pomagajmo z logaritmi: Če levo in desno stran logaritmiramo, dobimo log k = j dog 1,067 + log 1,077 + log 1,2kb+log 1,352) = = f (0J[)2816 + 0,03222 +0,09552 +0,13098)= 0,07172 2 antilogaritmiranjem dobimo, da je k « 1,1796. Razlika v rezultatu izvira iz zaokroževanja osnovnih koeficientov dinamike. 2veze med srednjimi vrednostmi ■■-.35 Vse štiri obravnavane izračunane srednje vrednosti so podobno definirane. Za vse velja, da so povprečja iz osnovnih ali dolo- 117 Šenih transi ortflir-ani.il podatkov enaka isti transformaciji iz ustrez¬ ne sredine« Tako je aritmetična sredina povprečje iz osnovnih po¬ datkov, Povprečje iz recipročnih podatkov je enako recipročni vred¬ nosti iz harmonične sredine. Povprečje iz kvadratov osnovnih podat¬ kov je enako kvadratu iz kvadratične sredine, povprečje iz logarit¬ mov osnovnih vrednosti pa logaritmu iz geometrijske srednje vredno¬ sti. ~ ^ ±- ±r~ ± h' n 2- x ; I i°S G ‘JiZ to 9*i ( 6 . 31 ) Če izrazimo vsako izmed navedenih sredin v eksplicitni ohliki, do- himo obrazce, ki smo jih navedli kot definicije posameznih sredin. 6.36 Če i 2 istih podatkov izračunamo vse Štiri izračunane srednje vrednosti: K, z, G in H, velja, da je K > x > G > H (6.32) Preiskusimo navedeno pravilo na shematičnem primeru za dve vredno¬ sti: 1 in 4- G~ 1A =2 ; H- j V 1 + k Vse Štiri sredine so med seboj enake le, če so vse individualne vrednosti med seboj enake. 118 6.37 Med. aritmetično sredino x in obema srednjima vrednostima po legi, mediano M^ in modusom M q , veljajo tudi določeni stal¬ ni odnosi. Za simetrične porazdelitve so aritmetična sredina x, mo¬ dus M^ in mediana med seboj enake (x = M 0 » M^), Za pox*azdelit~ ve, ki so asimetrične v levo, je aritmetična sredina manjša, modus Pa večji kot mediana (x < < M q ), Za porazdelitve, ki so asi¬ metrične v desno, pa je modus manjši, aritmetična sredina pa večja kot mediana (M o < M 0 < x). Razlike so tem večje, čim večja je stopnja asimetrije. Za zvezne, ne preveč asimetrične porazdelitve velja, da je razlika ®>ed aritmetično sredino in modusom približno trikrat večja kot raz¬ lika med aritmetično sredino in modusom r ~ f ^ ' > (x-Mo)= 3.(x-Mz) (6.33) Za ne preveč asimetrične porazdelitve moremo s tem obrazcem posred¬ no izračunati modus iz negrupiranih podatkov. Če za populacijo izra¬ čunamo aritmetično sredino x in določimo mediano Me, izračunamo iz teh dveh srednjih vrednosti modus Mo po obrazcu Mo = x ~3.(x~ Me) (6,34) ki ga dobimo iz obrazca 6.33. 119 7. 13ERS VAHIACUB T .. 7.1 Že v prejšnjih poglavjih smo poudarili, da je ena izmed osnov¬ nih značilnosti statističnih znakov variabilnost. Zaradi, vpli¬ va najrazličnejših faktorjev se značilnosti pojavov od enota do enote spreminjajo. Srednja vrednost je izraz splošnih faktorjev,ki s enakim učinkom vplivajo na vsako enoto. Tako je povprečna višina dreves rezultat splošnih faktorjev (starosti, vrste sestoja itd.). Zaradi individualnih vplivov (individualna lega dreves, zasenče— nost, kvaliteta sadike itd.) pa se višine dreves med seboj razliku¬ jejo. Cim večji so individualni vplivi, tem večje so razlike med ^evesi, oziroma odkloni višin posameznih dreves od povprečne viši— ne. Variabilnost oziroma učinek individualnih vplivov moremo torej peniti z odkloni od sredine. Z merami variacije z eno količino meri¬ co velikost variacije v populaciji. Z njim i merimo učinek individu- a lnih vplivov na ves sestoj, enako kot merimo s srednjimi vrednost- 04 učinek splošnih vplivov. Proučevanje variabilnosti v najrazlič- jših oblikah je osnova dobršnega dela Etatističnega proučevanja* n s t s mer variacije ^•2 Kot imamo več vrst. srednjih vrednosti, imamo tud več vrst mer var ir tijo ; , od kateri F- ms vsaka svoje prednosti in pomanj¬ kljivosti , -V i i m' i: na >j mei:; variabilnost pojava* Prednost snih je v lažjem razumevanju in določanju, prednost dru¬ gih pa v vežji analitiSni vrednosti. najobičajnejše mara variacija sos a) variaeijski razmak E, b) kvartilni odklon Q, o) povprečen absolutni odklon JU), d) standardni odklon 6 oziroma varianca čS 2 , iz katere je stan¬ dardni odklon izpeljan. 4.U it- ftr' h M ^ '<>-yv 04 navedenih mer variacije sta prvi dve dani z lego, zadnji dve pa sta izračunani iz podatkov za vse enote populacije. Zaradi tega sta solidnejši in stabilnejši kot mere variacije po legi. Zaradi poseb¬ nih lastnosti, ki so v zvezi s teorijo statistike, pa je najvažnejšr mera variacije varianca oziroma st an d ar dni odklon, ki je izpeljan iz variance. Variaoijski razmak 7.3 Najenostavnejša, a tudi najelabša mara variacija je variaoij¬ ski razmak R Xnv7X X min (7.1) ki je razlika med največjo in najmanjšo vrednostjo v populaciji. Iz ranžirne vrsto premerov za 19 modalnih smrekovih dreves v tabeli 5.2 povzamamo, da je premor najtanjšega drevesa x m ^ n “ ^-4 om > P r& " mer najdebelsjšega drevesa pa r f ■ 44 Tariacijaki razmak je to" rej R ~ X ma* ~ K.m H ‘30 cm Premeri devetnajstih modelnih dreves variirajo torej v variaoijskem razmaku: 30 cm. Včasih nakažemo variaoijski razmak tudi tako, da povemo najmanjSoc in največjo vrednost v populaciji. Tak način da večjo informacijo kot sam razmak variacije, ki ga moremo iz teh dveh podatkov nepo- v populaciji. Zato je ta mera variacije zelo podvržena indivi¬ dualnim vplivom, ker so ekstremne vrednosti dostikrat izraz netipič-- uih vplivov. Razen tega pa variaoijski razmak ni odvisen od razme¬ stitve vseh drugih vrednosti v razmaku variacije, ki bistveno vpli¬ vajo na variabilnost. H bednost variaci jskega razmaka pa je v tem, da je treba zanj pozna¬ ti samo obe skrajni vrednosti, kateri zlahka določimo, če so vredno¬ sti urejene v ranžirni vrsti. Zato zaradi lahkega določanja uporab— Ijamo variaoijski razmak vselej, kadar hočemo predvsem za manjše Populacije hitro in orientacijsko ooeniti variabilnost pojava. . /—- ^▼artilni odklon ^•5 Hibe, ki jih ima variacijaki razmak, deloma odpravimo s kvar— tilnim odklonom. Osnovna hiba variaoijskega razmaka izvira iz., 123 Pogosteje kot z deoilnim razmakom merimo variabilnost s kvartilnim razmakom, ki določa razmak, v katerem je osnovnih vrednosti iz populacije. Iz kvartilnega razmaka je izločena četrtina najmanjših in četrtina največjih vrednosti. ki je polovica kvartilnega razmaka. Kvartilni razmak oziroma kvartilni odklon pravilneje pokažeta varia¬ bilnost v populaciji kot variacijski razmak, ker sta določena iz sta¬ bilnega dela vrednosti v populaciji. V sliki 7-.1 je nakazano, kako je 'variacijski razmak neobčutljiv za različno razmestitev vrednosti v variacijskam razmaku, kako pa raz¬ lična razmestitev vpliva na kvartilni razmak oziroma kvartilni od¬ klon. Vendar pa tudi kvartilni odklon nima vseh prednosti, ki jih imajo iz¬ računane mere variacije. Te so odvisne od vseh vrednosti v populaciji in zato natančno merijo variabilnost. vzamemo za mero va- (7.2) */mnr x «ox Slika 7.1 S in Q pri različnih razmestitvah 124 7.6 Izračunavali j e kvartilnega odklona sovpada z izračunavanjem kvartilov, ki so posebna vrsta kvantilov, katere smo otravna- vali v posebnem poglavju. Za premere 19 modelnih smrekovih dreves, za katere smo že izračuna¬ li variacijski razmak, so v tabeli 5«3 izračunani kvartili. Za to populacijo je » 21,50 cm in m 32,75 cm. Kvartilni odklon pa je 0 - (32,75 - 21,5 o )/2 - 5.62 cm. Povprečen absoluten odklon 7.7 Ker je viSina posameznega drevesa x^ izraz delovanja indivi¬ dualnih in splošnih faktorjev na drevo, aritmetična sredina pa rezultat splošnih vplivov, sklepamo, da je razlika e^ ~ x re¬ zultat individualnih vplivov na enoto i. Odkloni od aritmetične sre¬ dine so pozitivni ali negativni. Za merjenje jakosti učinka indivi¬ dualnih vplivov na enoto i pa predznak ni pomemben. Zato vzamemo za merilo jakosti individualnih vplivov na enoto i absoluten odklon individualne vrednosti od sredine |x^ — x J . Za skupno merilo jako¬ sti individualnih vplivov na vse enote pa dobro služi aritmetična sredina iz individualnih absolutnih odklonov. Povprečen absoluten odklon je torej (7.3) Povprečen absoluten odklon od aritmetične sredine je mera variacije, s M je odvisna od vseh vrednosti v populaciji in je torej občutiji- v °jša in objektivnejša mera variabilnosti kot variacijski razmak ali kvartdlni odklon. nujno, da povprečen absoluten odklon izračunamo iz odklonov od s^itmetične sredine. Možno ga je izračunati iz absolutnih odklonov 125 od katerekoli srečuje vrednosti. Izkaže ee, da je teoretično in praktično celo bolj utemeljeno, da ga izračunamo iz odklonov od mediane. Povprečen absoluten odklon je namreč najmanjši Afifie = AT l X ' (7.4) če ga izračunamo iz odklonov od mediane. 7.8 Vzemimo v potrditev zgornje trditve shematičen primer petih dreves, za katere poznamo premere: 27 cm, 29 cm, 33 cm, 34 cm, 37 cm. Zanje izračunajmo povprečen absoluten odklon od aritmetične sredine AD - in od mediane JLD . Za zgornjih pet premerov je x « 32 cm in Me = 33 cm. Tabela 7 •'! Izračun povprečnega absolutnega odklona AD- ih ^ " ilK“ S ! " 16 / 5 “ 3 » 2 cra ’ - I5/5 ■> 3.0 om Eesnično je £D~ „ 3,2 ca večji kot AD * 3,0 om x Me 126 Varianca in standardni o d k 1 on 7.9 Teoretično najbolj utemeljeno in najboljše merilo variabilno¬ sti je varianca ali iz nje izpeljan standardni odklon. Anali¬ tično vrednost ima predvsem varianoa, kot opisni parameter pa upo¬ rabljamo običajno standardni odklon. , 2 Varianca, katero konvencionalno zaznamujemo s 6 (sigma kvadrat), je povprečen kvadratični odklon od aritmetične sredine.Iz r - ( ••]. . definicije sledi obrazec N M (7.5) Pri povprečnem absolutnem odklonu jakost individualnih vplivov me¬ rimo z absolutnim odklonom od sredine, pri varianci pa s kvadratom odklona od aritmetične sredine. Pri varianci torej smer učinka ir*- diviaualnih vplivov, ki za mero variacije ni bistvena, odpravimo s kvadriran j em. Varianca je izražena z enoto mere, ki je kvadrat enote mere za osnov¬ ni podatek, za katerega jo izračunamo. Zato je varianoa kot opisni Parameter težko razumljiva in neprikladna. V osnovni enoti mere iz¬ raženo mero variacije pa dobimo, če izračunamo iz varianoa kvadrat¬ ni koren. Ta parameter, ki ga imenujemo standardni od¬ klon zaznamujemo pa b 6 , je torej 1 -Všf- / N z ) 1 (7.5) Vse metode analize variabilnosti so zasnovane na analizi odnosov med variancami. Standardni odklon kot opisno merilo variabilnosti pa je Posebno važen zaradi zveze s eno izmed najvažnejših 'etičnih frekvenčnih porazdelitev — z normalno porazdelitvijo.' It': Izračunanje varianca in standard- naga odklon« 7.lo 1 Izračunanje variance oziroma standardnega odklona je zahtev¬ nejše kot izračunanjs drugih mar variacije. Ker pa pri eta¬ tističnem analiziranju podatkov dnevno naletimo, na izračunanje va¬ rianc in standardnih odklonov, je praktično pomembno poznati dolo¬ čene tehnične olajšave, s katerimi pridamo hitreje in enostavneje do rezultata. Enako kot sredina moramo tudi varianoo izračunati iz negrupiranih podatkov in oceniti iz grupiranih podatkov.- 7.11 Izračunanje variance in standard nega odklona iz negrupiranih po¬ datkov. neposredna metoda« Če vzamem- za osnovo obrazec 7*5» izračunamo varianco po naslednjem postopku; a) iz osnovnih podatkov izračunamo aritmetično sredino x , b) izračunamo individualne odklone posameznih vrednosti od aritme¬ tične sredine (x^-x) _ 2 c) dobljene individualne odklone kvadriramo (x^-x) d) varianco dobimo, če izračunamo povprečje iz kvadratov individu¬ alnih odklonov od aritmetične sredine 7.12 Za primer izračunajmo varianco za premere sedmih derves; 31 cm, 27 cm, 35 cm, 32 om, 2? cm, 36 om in 32 om. Po zgornjem pravilu izračunamo najprej aritmetično sredino e) standardni odklon je kvadratni koren iz variance X =131+27+35+32+29+36+32 ) : 7=222:7 * 31,71cm 128 Nadaljnji postopek ja nakazan v tabeli 7.2 Postopek je jasen. Edina težava je v tem, da eo običajno aritmetič¬ ne srsdine decimalna Števila. Zato so odkloni od aritmetične sredi¬ ne večmestna decimalna Stavila, zaradi česar so težave 3 kvadrira- njem. Tabela 7.2 Izračunanj e variance in standardnega odklona pa neposredni metodi za premere sedmih dreves S' x- hibo neposredne metode odpravimo z metodo pomožnega znaka u, Zlahka moremo dokazati, da je varianca od z tudi 6i- - u 2 /n v. I . 7 ) Vi$ Pri tem je razen znanih oznak pomožni, znak u. « x. - x odklon ir— 110 dividualnih vrednosti x. od poljubne vrednosti x , U « J* u. - veo- 3 2 0 i ta vseh vrednosti u^, ) n^ pa vsota kvadratov za pomožni znak za vse enote v populaciji. S tem obrazcem izračunamo varianco po tehle točkah: a) glede na osnovne -'rednosti izberemo poljubno okroglo vred¬ nost x q nekje med stvarnimi vrednostmi, s čimer zmanjšamo vred¬ nosti za pomožni znak uj b) izračunamo posamezne odklone u^ « x^ - Dobljene vrednosti kvadriramos u?: l o) poiščemo vsotos U « "^soto kvadratov d) dobljeni vsoti vnesemo v obrazec 7-7^ Z metodo pomožnega znaka u se izognemo zamudnemu kvadriranju in seštevanju večmestnih števil, kar je hiba neposredne metodr Če si moč najti neke vrednosti, ki bi mogla služiti kot ptr.ožno iz¬ hodišče za znak u, vzamemo, da je x o « 0. ¥ tem primeru obrazec 7.7 preide v 61 - x N ( 7 . 8 ) Pri tem pomeniš X m vsota osnovnih podatkov, “ vsota kvadratov osnovnih podatkov, H * število enot v populaciji. Ta ohrazeo je primeren za izračunavanje varianoe posebno v primerih- če jo računamo z računskim strojem in kvadriranje ni poseben pro¬ blem. 13o 6) I J ^ l \ 2 [b ' M 5 ! s ? 7.14 Za primerjavo z neposredno metodo izračunajmo po metodi pomožnega znaka u varianco za iste podatke. Izračunanja vari¬ ance po metodi pomožnega znaka u je nakazan v tabeli 7.3. Iz pre¬ gleda osnovnih vrednosti povzamemo, da je najugodneje, če vzamemo, da je x o » 32 cm. Tabela 7.3 Izračunanje variance za premere sedmih dreves po me¬ todi pomožnega znaka u u=-2 ~ t»o=r«? Ce vneseno dobljeno vmesne rezultate v obrazeo 7«7» dobimo f-2 = ji -U 7 /N _ b0-('2) 2 /7 _n x " N " 7 ' dobljeni rezultat se sklada z rezultatom, ki smo ga dobili po ne¬ posredni metodi, Ker dobimo z znatno lažjim postopkom isti rezul¬ tat, uporabljamo metodo pomožnega znaka v praksi skoro izključno. 131 7.15 Ii r.jJUam.j« v a r i a n o e ia stan¬ dardnega odklona iz frekvenčnih porazdelitev. Za populacije z velikim Številom enot mo¬ remo tudi varianco oceniti iz frekvenčne porazdelitve. Ocena varian¬ ce iz frekvenčne porazdelitve je po obrazcu r 6?= jj Y_\ ( y k ~x) 2 (7.9) ponderirana aritmetična sredina kvadratov odklonov sredin razredov od aritmetične sredine x • Pri tem so frekvence ustreznih raz¬ redov ponderi r) Ocena variance po tem obrazcu je tem boljša, čim manjši so razredi, ker frekvenčna porazdelitev z ožjimi razredi var¬ neje kaže sliko vseh vrednosti v populaciji. Iz istih razlogov kot pri negrupiranih podatkih pa je izračunanje variance po osnovnem obrazcu 7.9 zamudno in neprikladno. Zato ga v splošnem v praksi ne uporabljamo. Pač pa v praksi uporabljamo za frekvenčne porazde¬ litve, ki imajo enake razrede, dve metodi: metodo pomož¬ nega znaka u in metodo kumulativ .Pri obeh razširimo načeli, ki smo ju uporabili že pri izračunavanju aritmetične sredine iz frekvenčnih porazdelitev. 7.16 Metoda pomožnega znaka u. Pomožni znak u, ki je z osnovnim znakom x v zvezi x » x 0 +/.u ( 7 .io) smo uporabili že pri izračunavanju aritmetične sredine iz frekvenč¬ nih porazdelitev. Sredine razredov v frekvenčni porazdelitvi za znak u so ... -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3 ...» pri čemer velja vred¬ nost 0 za razred, za katerega je sredina razreda x . o Po metodi pomožnega znaka u izračunamo varianco po naslednjem po¬ stopku. 132 a) V frekvenčni porazdelitvi upeljcmo pomožni znak v .-3 ; "2 —1 0 4-1 +2 +3 • • * 5 b) frekvence pomnožimo z ustreznimi vrednostmi u^. Tako dobimo produkte f^u^j c) dobljene produkte f^u^ ponovno pomnožimo z ustreznimi vrednost¬ mi u^» da dobimo vrednosti 2 d) izračunamo vsoti J~ f « (J in ^ *k\ * e) dobljene izraze vnesemo v obrazce ; 6 *= /•*. K/N (7.11) in dobimo varianco. 7.17 Izračunavanje variance po metodi pomožnega znaka ponazori¬ mo na frekvenčni porazdelitvi premerov v čistem smrekovem sestoji! A na Pokljuki, iz tabele 3.4 Izračunanja je prikazano v tabeli 7.4- tabela 7.4 Izračunanje variance in standardnega odklona po metodi. pomožnega znaka u za premere dreves v čistem smrekovem sestoju A na Pokljuki 133 če dobljene podatke vnesemo v obrazca 7 * 11 } dobimo! 'k = £'fu 2 - U 2 /N - 1330 -( + 1%f/507‘ 13m,36b? 6 1 * f. K/N = S ! . 130i,36bj/507‘U,3178; ocena standardnega odklona pa je 6*-JP~.Tj64,317e=8,02 cm 7«18 Metoda kumulativ, Podobno kot aritmetično sredino moremo tudi varianco izračunati z metodo kumulativ« Postopek je naslednji* a) iz frekvenc f v frekvenčni porazdelitvi izračunamo enako kot pri izračunavanju aritmetične sredino prvo kumulativo P. b) Za izračun varianoe potrebujemo če drugo kumulativno vrsto frek¬ venc PF. To dobimo iz prve kumulativne vrste frekvenc, P, če po¬ stopek kumulativnega seštevanja ponovimo na prvi kumulativni vr¬ sti frekvenc P. c) Zadnji član (pod črto) v prvi kumulativni vrsti je enak obsegu populacije K, zadnji člen v drugi kumulativni vrsti (pod črto) je količina S^, vsota členov iz druge kumulativne vrste PF (brez zadnje- člena poi črto) pa je količina Sg„ 134 1) Is dobi jsnih podatkov dobimo varianco po obrazcifc.s č c, c ,^ K^s^SrSl/N; 4 ^.k/n (7,12) 7.19 Prednosti postopka kumulativ najlepše ponazorimo na primeru. Zaradi kontrole vzemimo isti primer kot pri postopku pomožne¬ ga znaka u, dobljene pomožne rezultate iz tabele 7.5 vnesimo v obrazec 7,12, K* 2. Sj + S, - Sj/A/ = 2.5222 +201 ~U2 f/ 507- / 304 , 366 ? ^ = / 2 . KjN-5 1 .130k, 3669/507=6^3178 * Y M?178 = 8,02 cm Tabela 7,5 Izračun variance za premere v čistem smrekovem sestoju A na Pokljuki iz tabele 3»4 4+14+79...■+1426+1919- » 5222 * s 2 Rezultat je skladen z rezultatom, ki smo ga dobili po metodi pomož¬ nega znaka u. Primerjava obeh metod pa govori v prid metode kumula- tiv, ker odpade za izračunanje pomožnih količin vsako množenje. Ba¬ zen tega pa dobimo kot postranski rezultat že kumulativno vrsto frekvenc, ki more služiti za analizo frekvenčne porazdelitve. 7.2o Sheppardov popravek. Ker je frekvenčna po¬ razdelitev le približna slika vrednosti v populaciji, ki je tem natančnejša, čim ožji so razredi, je tudi varianca, izračunana iz frekvenčne porazdelitve, le ocena variance, ki jo dobimo, če jo izračunamo iz individualnih vrednosti. Za unimodalne, ne preveč asi¬ metrične porazdelitve, se pri izračunavanju aritmetične sredine iz frekvenčnih porazdelitev učinek grupiranja v razrede v vsoti izrav¬ na. Pri izračunanju varianoe iz frekvenčnih porazdelitev pa dobimo sistematično preveliko oceno. TJčinek grupiranja je odvisen ou širi- ne razredov in znaša i /12. Oceno varianoe za unimodalne, ne preveč asimetrične porazdelitve, izračunano po prejšnjih postopkih, popra- vimo tako, da jo zmanjšamo za popravni člen i /12. Tako dobimo obra- Ta popravek imenujemo Sheppardov popravek. Cisti smrekov sestoj A na Pokljuki izpolnjuje pogoj za uporabo popravka, ker je porazdelitev unimodalna in se frekvence v na j niž¬ jih in najvišjih razredih približujejo nič. Popravljena varianoa je torej zeo (7.13) 6 2 po P - f/12-bk,3178'5 l /12 = 62,23k5 popravljen standardni odklon pa 136 Popravljena varianca je od variance <3* m 62,3190, ki ie izra™ pop čunana iz osnovnih, negrupiranih vrednosti, različna le za 0 , 141 ^, medtem ko je nepopravljena ocena variance prevelika za 3,2^. Izračunanje skupne tem: oljnice iz frekvenčne porazdelitve pre¬ merov, Kumulativne vrste iz frekvenčnih porazdelitev s pridom Uporabimo tudi za izračunanje skupne temeljnice iz frekvenčne po¬ razdelitve premerov po velikostnih stopnjah, če računamo, da je skupna temeljnica ■p _ ¥ r- ,2 G-rLd 2 , ( 7 . 13 ) iz lastnosti kumulativnih vrst izpeljemo obrazec, po katerem ja skupna temeljnics G- •^■(S,+ S,»N/8) (7.14) ča so izpolnjeni pogoji za uporabo Sheppardove korekture, skupno te- a aljnioo ocenimo po obrazcu G = 3 Y-(S,+S 2 *N/n') ( 7 . 15 ) ker je debelinska stopnja enaka i = 5 cm > t? * 3,1415926, je kon- i 2 stanta •=—- „ 39,27 = vsota prve kumulative v kumulativni frekvenčni porazdelitvi od. spodaj navzgor za frekvenčno porazdelitev, ki vsebuje tudi prvo ie- ^slinsko stopnjo (0 - 4) °2 «• vsota druge kumulative v kumulativni frekvenčni porazdelitvi od spodaj navzgor za frekvenčno porazdelitev, ki vsebuje tudi prvo dobe- finsko stopnjo (0 - 4), 137 R Število d &b 7.22 Za čisti 3mrakov sestoj na Pokljuki iz tabele 3.4 je v na¬ daljevanju nakazano izračunanje ocene za skupno temeljnioo po gornji metodi. Tabela 7.6 Izračunanje kumulativ, ki so potrebne za izračuna— nje skupne temeljnice Prvo in drugo kumulativo in vsoto druge kumulative zlahka izraču¬ namo na seštevalnem stroju z registrirnim trakom z uporabo subto- talov. S Sbeppardovo korekturo korigirana skupna temeljnica je po obrazcu 7.15 enaka: G - 39,27. (12019 +3661+507/12*6185?fcm z - 61.86m 2 7«23 Zveza standardnega odklona z normalno porazdelitvijo. Vari&cijski 138 7.23 Z v © 3 a standardnega odklona s normalno porazdelitvijo. Variacijskl razmak, kvartilni odklon in tudi povprečen absolutni odklon sc more variacije, za katere je pomen in smisel dokaj jasen. Navidezno manj jasen je standardni odklon, dokler ga ne obravnavamo v zvezi z last¬ nostmi nekih frekvenčnih porazdelitev. čeprav kasneje obravnavamo normalno porazdelitev posebej, navedimo nekaj lastnosti normalne porazdelitve v zvezi s standardnim odklo¬ nom,- Normalna porazdelitev je ena izmed osnovnih teoretičnih poraz¬ delitev in se v približku pod določenimi pogoji pogosto pojavlja tu¬ di v praksi. Vse normalno porazdelitve so si podobne, med seboj se razlukujejc samo pc aritmetični sredini in standardnem odklonu.Vsa- ka normalna porazdelitev je določena z aritmetično sredino in stan¬ dardnim odklonom. Č 6 prav so posamezne normalne porazdelitve glede ua različne aritmetične sredine in standardne odklone različne, ve¬ lja splošna zakonitost, da je v razmaku x ~ 6 do x + 6 68,27 ali okroglo 2/3 vseh vrednosti; v raz¬ maku x - 2.6 do x h- 2 6 95,45 $ ali okroglo 19 / 2 o vseh vrednosti in v razmaku x - 3 6 do x +36 99»73 okroglo 399/4°u ali praktično vse bednosti v populaciji. Zgornji odnosi valjajo strogo za normalno porazdelitev, Približno P® veljajo tudi za unimodalne, simetrične in zvonaste stvarne po¬ razdelitve. 139 Slika 7.2 Frekvence za normalno porazdelitev v razmakih z - 6 , z - 2(3 in i -3 6 Skupna varianca 7.24 Prednost varianca pred drugimi merami variacije je tudi v tem, da moremo iz podatkov o delnih populacijah izračunati skupno varianco, če poznamo za delne populacije, ki sestavljajo skupno populacijo, število enot R^, aritmetične sredine in va¬ riance 6 . Te možnosti nimamo za nobeno drugo mero variacije. 5e upoštevamo osnovne obrazce o varianci, moremo dokazati, da je skup- na varianca <6 enaka i£ N„6 2 k -6 ! „+M* (7.U) k=1 Prvi člen v obrazcu je tehtan povprečen kvadratični odklon grupnih sredin od skupne aritmetične sredine za celo populacijo ž. Dru- gi člen pa je tehtana aritmetična sredina iz grupnih varianc (3,. KI 7.25 Za primer Izračunajmo skupno varianco za premere v smrekovem sestoju raziskovalne ploskve št. 45 na Pokljuki,ki je raz- deljen po kakovosti v tri razrede. Za ta sestoj so osnovni po— datki dani v tabeli 7>7»V tej tabeli je nakazano isračunanje za skup¬ no varianco. 14o Tabela 7.7 Izračunan je skupne variance za premere dreves v smrek oveni sestoju na raziskovalni ploskvi St. 45 na Pokljuki (Virs IGLO). \o c— r<1 N O 00 t-— vo ^ r- D R a r~i m LT\ OŠ \o CM n 5- C"- CM o\ \o er/ r*4, '^3“ O 0 J« Uj Ul CM g >0 T? tr¬ as o CM ON r*~» O rH *> -tf- T}- o o c— VO ki UJ NO a nO a + C\l 3 " £ \D |H I ek« M* 0 <0 to d Girico Trajnik« 159 8.12 Č® imamo individualne poda.tke, ustreza posamezni vrednosti ena ali nekaj vrednosti za y. Zato za posamezne vrednosti x ne moremo izračunati aritmetične sredine za y. V tem primeru si pomagamo tako, da zgrupiramo enote po znaku x v razrede in izraču- namo za posamezne grupe povprečja in y^_. Kot točke na regresij- ski krivulji vzamemo točke e koordinatami (x^, y^). Grupe ne smejo biti niti preobširne (regresijska krivulja izravnana) niti premalo zasedene (učinek individualnih vplivov se ne odstrani). Ge je Število enot v populaciji majhno, dobimo po zgornjem postop¬ ku malo grup oziroma malo točk na regresijeki črti. V našem primeru v odvisnosti debeline skorje od premera iz tabe¬ le 8.2 dobimo samo dve grupni sredini, če vzamemo v vsako grupo po deset dreves. V takih primerih si pomagamo z drsečimi sredinami. Uredimo drevesa po velikosti premerov v ranžirno vrste. Če vzamemo vanje enote od 1 do lo, od 2 do 11, od 3 do 12 itd. do zadaje od 11 do 2o dobimo namesto dveh ločenih grup 11 grup, ki se sioej? med se¬ boj prekrivajo, dajo pa osnovo za izračun enajstih točk, Vi so na regresijski črti ali v njeni bližini. V tabeli 8.5 D® za primer nakazano, kako izračunamo vrsti drsečih sredin za premer in debeli¬ no skorje. Vsoto za prvih deset enot dobimo e seštevanjem prvih desetih podat¬ kov, npr. za premer; S «40+41+45+.. .4-52+53 » 477* Vsote podatkov od druge do enajste enote ni treba računati direkt¬ no. Ker poznamo vsoto prvih desetih podatkov, dobimo naslednjo vso¬ to, če enajsti podatek prištejemo, prvi podatek pa odštejemo od prve vsote; Torej S = 477 + 54 - 40 . 491 « Še enostavneje pa je, da prvi vsoti prištejemo razliko med enajstim in prvim podatkom; 16 o 477 + (+14) « 491« Iz te vsote dobimo na podoben način S^, , itd. do konca vrste. Če dobljene drseče vsote po deset podatkov za pre¬ mer in debeline skorje delimo z deset, dobimo enajst-člensko vrsto ko¬ ordinat za sredine in y^. Tabela 8.5 Izračun koordinat za regresijsko črto drsečih sredin za odvisnost debeline skorje od premera drevesa 161 _L__3i_____I 40 50 60 70 80 premer cm Slika 8.5 Regresijska črta drsečih sredin za od¬ visnost debeline skorje od premera dreves Dobljene drseče sredine so vneSene v kcrelacijski grafikon. Slika 8.5 pokaže, kako sta premer in debelina skorje pozi„ivno odvisna in da je regresija pracej linearna,. 8.13 A n a 1 i t i č n e metoda za določanje regresi j s k i h krivulj < Teoretično naj- listreznejša je za regresijsko analizo analitična metoda, -pri kate¬ ri poiščemo rsgresijsko krivuljo po metodi najmanjših kvadratov.Po tej metodi po predhodni analizi podatkov določimo najprej tip in analitično obliko funkcije y' = ‘ f(x,a t b t c...) (8.6) 162 ki glade na stvarne podatke ustreza kot regresijska funkcija, a.b.c... v obrazcu so parametri, ki določajo konkretno funkcijo danega tipa. Po metodi najmanjših kvadratov je izmed vseh močnih funkcij izbranega tipa regresijska funkcija tista, Za katero so vrednosti parametrov take, da zadoščajo pogoju, da je vsota kvadra¬ tov odklonov stvarnih vrednosti za y od ustreznih vrednosti y*' najmanjša £(y~y’) z = J^[y~f(x f a,b f c...)] 2 ~ F(a l b t c..J=min (a;7)} Po znanih pravilih za določanje ekstremov za funkcije več spremenljivk je izraz iz 8.7 najmanjši, če parametri zadoščajo potrebnemu, pogoju,, da so parcialni odvodi po posameznih parametrih enaki 0. .. HFCa,b } c...) — Q. dF(a,b,c..) __q ' dF(a,b,c...) _n._ da ’ db c)c Iz 8.8 dobimo toliko enačb, kolikor parametrov ima regresijska fttck—- oija. Iz zgornjega sistema enačb, ki jih imenujemo n o r m a-lm'« enačbe , izračunamo vrednosti za parametre za dano regresijsko’ funkcijo. 3.14 Mera stopnje odvisnosti. Če upoštevamo obrazce 8.4» 8.6 in 8.7 zaključimo, da je F'H(y-y? = H[bM* i : e k i koeficient, izraz v števcu in imenovalcu de¬ limo s številom enot H, u.o Birno v imenovalcu varianco za znak x, v števcu pa izraz ~x)(y-y) c *y = A/ ki ga imenujemo kovarianca. Eovarianoa je po definiciji povprečen produkt odklonov znakov i in y od ustreznih aritmetičnih sredin. Če vnesemo vrednosti parametrov v obrazec ( 8 . 13 ) za premi¬ co, dobimo, da je C x y y>=y +b i (x-x'>) br ( 8 - 18 ) ’.er moreno pri čistih korelacijskih povezavah iskati razen odvisno¬ sti y od i tudi odvisnost znaka x od y, dobimo z analognim skle¬ panjem poleg zgornje^, ki jo imenujemo prvo regresij- sko premico še drugo regresijsko premi o _ a xy x ,rr x + lb/y-y); ~pr (8.19) Oy 166 Medtem ko prvi regresijski koeficient \ Pove, za koliko se v epiognem spremeni vrednost za y, če se spre- meni x za enoto, pove drugi regresijski koe¬ ficient bg, za koliko se v splošnem spremeni x, če se y spre¬ gani za enoto. leterminacijski koeficient pri linearni korelaciji zaznamujemo z r , izračunamo pa ga po obrazvu 'Xy 4 & (8.2o) Kvadratni koren iz determinacijskega koeficienta, ki ga v splošnem imenujemo indeks korelacije, imenujemo pri linearni korelaciji koeficient korelaoije / yy 6y6 x u y ( 8 . 21 ) Koeficient korelacije r ima vrednosti med -1 do +1. Če je korela- xy °ija pozitivna, je korelacijski koeficient pozitiven, pri negativni linearni korelaciji pa je korelacijski koeficient negativen. Abso¬ lutna vrednost korelacijskega koeficienta pa je tem večja, čim večja 3® stopnja odvisnosti in je ena, kadar je odvisnost linearna in funk- ... c ijska. 8*16 Izračunavanje pokazateljev za y linearno regresijo in korelaci¬ jo. če izračunavamo pokazatelje linearne korelacijo, najprej izra¬ čunamo iz osnovnih podatkov za r in y količine x, in ** y c s _y.« Vse izmed teh količin, razen kovarianoe, še znamo izračunavati. ■Uhako kot pri izračunavanju varianc iz negrupiranih podatkov se tudi P^i izračunavanju pokazateljev linearne regresije in korelacije obne- 167 se metoda pomožnega znakac Pri tem uvedemo za znak i in za znak y pomožna znaka u=x-x 0 ; v=y-y 0 ( 8 . 22 ) tako, da od osnovnih vrednosti za znak x odštejemo neko ustrezno vrednost i , od y pa ustrezno vrednost y . tako da dohimo Šim pri- O O / hladnejše vrednosti za pomožna znaka u in v. Iz pomožnih vrednosti u in v izračunamo aritmetični sredini x in Iz teh vmesnih rezultatov pa izračunamo pokazatelje linearne korela¬ cije po obrazcih 8.18 do 8.21. 8.17 Iz korelacijskega grafikona v sliki 8.2 smo ugotovili, da je debelina skorje za marilandsko topolu linearno povezana s pre¬ merom drevesa. V tabeli 8.6 so po postopku, ki je nakazan v odstav¬ ku 8.16, izračunani pokazatelji linearne regresije in korelacije po she mi, ki tehnično najbolj ustreza izračunavanju. po obrazcih (8.23) pri čemer je D . ^Ju; Y «« ]Ttr 168 Tabela 8.6 Izračunanj e pokazovalcev linearne regresije in korela¬ cije za povezanost debeline skorjs in premera dreves za N = 20 dreves marilandskega topola (i ■= premer v cm, y = debelina lubja v mm) u . ♦ 104 O/N - ♦ 5,20 ♦*o ■ ♦ 50,00 55,20 v* £i v V/N y 51 2,55 30,00 27,45 £ u 2 * 2402 -U 2 /!-' - Xu ' 5 x ' 6* * 557 Iv 2 669 7l” - r 2 - 0,556 «y « 2,386 b x (x - x) • 27,45 <- 0,4-47 (x - 55,20) - 2,78 ♦ 0,'W»x b 2 (y - y) * 55,20 ♦ l,544(y - 27,45) - 12,82 * l,544y 65 line skorje (y) in premera dreves (x) za marilandski topol z regrssijskima premica¬ ma. 17o Proučitev linearne regresije in korelacije iz korelaoijske takele 8/18 če je Število enot v populaciji, ki jo proučujemo, veliko, odvisnost pregledno prikažemo v korelacijski tabeli. Iz kore- lacijske tabele ; v kateri so razredi za vsak znak enako široki, oce¬ nimo regresijske odnose in stopnjo korelacije iz kombinacijske ko- relacijske tabele podobno kot ocenimo aritmetične sredine in varian¬ ce iz frekvenčnih porazdelitev. Standardni postopek za proučitev linearne regresije iz korelaoijske tabele je naslednji; Osnova metode so pomožni znaki. Pomožne znake te vrste poznamo že iz poglavja za izračunavanje aritmetičnih sredin in variano. Ker ima- mo v primeru korelaoijske odvisnosti dva znaka, vpeljemo za x pomož¬ ni znak u, za y pa pomožni, znak v. ' Znaka u in v u = * 0 , w = Vrn , ( 8 . 24 ) k t^ v 07, Ly imata iste lastnosti, kot jih ima znak u pri izračunavanju aritme¬ tične sredine in variance. linearno regresijo obračunamo iz grupiranih podatkov po naslednjih s topnjah: a ) Za znak x vpeljemo pomožni znak u, za y pa pomožni znak v. Vred¬ nosti pomožnih znakov so vrste -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 ... • L) Iz korelaoijske tabele f izračunamo robne frekvenčne porazde¬ litve f(j^) in f(y m ). 171 o) Po znanih načelih izračunamo za pomožna znaka u in v produkte 2 2 f , f u * f v, f v in njihove vsote: u u * v v U^l_f u a ■ L f u u 2 ; V= Tf v v ; Lf v v 2 Za izračun variance na potrebujemo izraz H uv u v ® (8.25) ) / f uv dobimo, če vsako frekvenco v kombinacijski tabeli f po— -UV uv množimo,z ustreznim parom vrednosti u in v in vse produkte seSteje- Ta razmeroma kompliciran izraz izračunamo lažje tako, da najprej iz¬ računamo za vsako vrsto (vsak v) vsoto produktov ZTf u c U« te ' u. uv v vsote pomnožimo z ustreznimi vrednostmi v in izračunamo vsoto teh produktov iu v v »-z n w uv v y U ^ ( 8 . 26 ) Do enakega rezultata pridemo, če najprej izračunamo vsote 2_f v»V j UV u te vsote pomnožimo z ustreznimi u in seštejemo ( 8 . 2 ?) rv u =r iTfuv vu u a v Iz izrazov.2- u, Tu 2 , Tv, Tv 2 in Z uv pridemo do vmesnih in konč¬ nih količin, ki jih potrebujemo za izračun pokazateljev linearne re¬ gresije in korelacije po podobnih obrazcih kot za negrupirane podat- ?*x>+‘>77; «,=!>--£ ^m m Huv-~ s - L * Kuv . Kav 2~ iy Kv j r xy "VKu.Kv iy Auv b < > y ; =y+ 6 ,fx-x) ( 8 . 28 ) ; X' - X + b 2 (y-y) 172 Za primer vzemimo odvisnost letnega debelinskega prirastka y od debelinske stopnje z za 96 modelnih dreves na raziskoval¬ ni ploskvi 40. V izračunu pomožnih količin v tabeli so količine U = + 21, V =» + 12 in T- Z.uv = 22o izračunane na dva. načina« To služi za kontrolo pravilnosti izračuna pomožnih količin. Iz rezultatov v tabeli 8.7 js izračunanje pokazovalcev linearne regresije in korelacije po obrazcih 8.28 naslednji* H = +21 i_U/n - 1,09 Z q . 42,00 ž = 43,09 V ■» +12 i V/N » 0,0125 y * 0 - y s 0,9625 Tu 2 » 329 -U 2 /^ a -4.5936 K u = 324,4064 7"uv = 220 -UV/N - - 2.5936 K . 217,3750 uv rv 2 . 320 -U 2 /N a 1,500 K v - 318,500 0,1 , 217.3750 5 . 324,4064 0,013401 y’ - 0,9625 + 0,013401 (1 - 43,09) - 0,3851 + 0,013401i ^eterminacijski koeficient je K 2 uv K .K u v 217.3750 2 324,4064.318.500 0,457320 173 Tabela 8.7 Izračunanje pomožnih količin za linearno regresijo in korelacijo za odvisnost letnega debelin¬ skega prirastka od debelinske stopnje za 96 modelnih dreves korelacijski koeficient pa * = V 0,457320 = 0,676 Od skupne variabilnosti debelinskega prirastka je 45,7$ pojasnje¬ ne a odvisnostjo debelinskega prirastka od debelinskega razreda. KrivuljSna regresija in korelacija 8.2o Že Aosedaj smo srečali primere, da regresijske odvisnosti ri¬ so linearne. Zelo ilustrativen primer je korelacijski grafi¬ kon, ki kaže odvisnnost med premerom in volumnom za 50 modelnih, smrekovih dreves poskusnega sestoja na Pokljuki v sliki 8.3. Neli¬ nearno odvisnost kaže tudi regresijska črta sredine za specifično iežo lesa za zeleno duglazijo v sliki 8.4» 2egresijsko odvisnost za nelinearne primere moremo na splošno zapi- sati eksplicitno y-ffx;a,b,c...29) Pri tem je y odvisna, x neodvisna spremenljivka oziroma znak, a > b, c ... parametri regresijske funkcije, 'e pa rezultat 3lučaj- n °stnih vplivov. Pa dobimo vtis, kateri tip funkcije ustreza za po¬ samezne primere kot regresijska funkcija, je v sliki 8.7 nakazan po- ^ e k funkcij, ki jih najpogosteje uporabljamo za regresijske funkci¬ je. Pogosto iz vsebinskih, a tudi tehničnih razlogov predpostavljamo,da iegresijski model ^ = g(x;a / ib / c)+ ) *= min), naslednji: Lyfi a, a 1 Ef 1 ‘+a 2 rf 2 f< + . + apFfpfv Hyf 2 a aX^ 2 + a. 2 Ff/ + .--+a p Ff P f 2 (8.32) [yf P = a,n i f P +a 2 Lf 2 f p + .- +a p F fp vsota kvadratov odklonov pa r(y-yf=Fy 2 -a 2.3 y » a + bx + cz + dx ... Pogosto vzamemo kot regresijsko funkcijo polinom celih po¬ tenc v '~a+bx+cy 2 +dx 3 +- (8.34) Sistem normalnih enačb za tak polinom pa je iz 8.32 Fy = a 0 A/+a f Fx + a 2 Fx 2 - ( -a 3 Fx 3 Fyx = a 0 rx+a i ZY 2 +a 2 Lx :s + a 3 Fx* Fyx 2 = a 0 Fx u a^Fx J +a 2 Fx 4 + a 3 Fx 5 ( Fyx 5 =a 0 Fx 3 + a < Fx u ci 2 Zx s - , -a5 Fx* iz tega sistema enačb, ki je prirejen za prilagoditev polinoma tret- 0« stopnje, brez težav dobimo sistem normalnih enačb za parabolo dru- Se stopnje, če postavimo a = o in izpustimo zadnjo enačbo. Prav ta¬ ko Pa moremo sistem enačb po potrebi tudi brez težav razširiti na po- linom višjih stopenj. Iz strukturo sistema enačb za parabolo tretje s topaje ni težko razbrati sistema za parabole višjih stopenj. 177 Določanj'« regiesijskih krivulj i e vrste g r n p n i h poprečij 8*i2 V sistemu normalnih enačb so izrazi in ki jih izračunamo iz individualnih podatkov x in y za po¬ samezne enote. Dostikrat pa ne razpolagamo z individualnimi podatki za y, temveč z grupnimi sredinami y za posamezne vrednosti ali razrede vrednosti En tak primer je vrsta poprečnih prirastkov po debelinskih stopnjah. Za take primere dobi sistem normalnih enačb za parabolo druge stopnje obliko: rf k y, ^aN+bD k x„ +cD„Xjf B k y k x k s aD k x k +bBčl*cBč! ( 8 . 36 ) B k y k x£ = aBX + bB k xl + cBrt Zgornji sistem normalnih enačb zlahka razširimo na sistem normal¬ nih neenačb za parabole višjih redov ali za druge tipe krivulj. 5e razpolagamo le s poprečji za neodvisno spremenljivko y, grupna poprečja zamenjamo s sredinami razredov 8.23 Za raziskovalno ploskev št. 27 (Rakovec n, Poh.) imamo dane poprečne višine dreves v odvisnosti od debelinske stopnje in število dreves po debelinskih stopnjah. Slika nakazuje, da popreč¬ na višina sledi zakonitosti, Id. jo opišejo s parabolo druge stop¬ nje: Izračunanje prilagojene parabole druge stopnje poteka v na¬ slednjih fazah. Najprej izračunamo pomožne količine, ki jih potrebujemo v normal¬ nih enačbah . 178 V tabeli 8,3 smo namesto osnovnega znaka i (arsdina debelinske stopnja) uvedli pomožni znak u « i - 37,5 z izhodiščem v sredin debelinske stopnje 35“-*39» Tabela 3.8 Iz.računanje pomožrdh količin za prilagoditev parabole druge stopnje poprečnim eiSinam smreke na raziskovalni ploskvi št.27 Eakovec n.Poh, Iz vsot v tabeli 8,8 sestavimo sistem normalnih enačb! 83* + 19b + '2o5 p « 2526,3 19a +2opb f 1.33p ** 394,5 205a +133b ■> 1225p « 622o, o 8.24 Sistam normalnih enačb rešimo po Dcolittlovi metodi sistematič¬ no po naslednji slvami j 179 'Tabela 8.9 Shema za reševanje sistema normalnih enačb © © 18o 1» Ob robu in na vrhu sheme so številke) ki pomagajo pri tolmače¬ nju reševanja normalnih enačb. V sistemu normalnih enačb nastopajo¬ če pomožne količine tvorijo simetrično matriko, zato v vrste 1 na¬ pišemo trikotniško matriko iz diagonalnih členov in členov nad dia¬ gonalo iz matrike A_^, v zadnjo kolono pa pripišemo vrednosti -k-1 Sfy . B . 2. V stolpcu 2 izračunamo iz podatkov prve vrste kvociente ^ kot kaže shema. 3. V vrstah 3 podpišemo negativne vrednosti produktov koeficientov ustreznih stolpcev in A lfc 4. V vrsti 4 seštejemo vrednosti iz vrst 1 in 3 in dobimo 4 , halje postopamo s temi količinami podobno kot z ^. V stolpcu 5 izračunamo analogno stolpcu 2 kvociente K k. 21' ’2k.r lpcu ^ V vrstah 6 izračuna¬ mo vrstam 3 analogne produkte, vrsti 7 pa vsotam 4 analogne vsote. Za ciklom operacij 234 in 567 sledi analogen cikel 89.lo. V vrsti lo dobimo s frekvencami ponderirano vsoto kvadratov odklonov popre¬ čij od prilagojene parabole, v stolpcu 8 pa je edini koeficient K direktno parameter c. Ce naprej računamo z dobljenimi količi- y.32i nami, ko kažeta v shemi ciklični operaciji 11-12, dobimo b, z opera¬ cijama 13-14 pa parameter a. Metode moramo razširiti na poljubno šte¬ vilo parametrov. S cikličnim ponavljanjem operacij 2: izračunavanje kvocientov; 3* izračunavanje negativnih produktov; 4* z' izračunava¬ njem vsot pridemo po določenem številu postopkov končno do zadnjega Parametra. Za naš primer je po tej shemi potek izračunavanja parametrov naslednji* 181 Tabela 8,lo Izračunavanje parametrov za sistem normalnih enačb za prilagoditev parabole druge stopnje povprečnim višinam smreke. 83 19 205 2526,3 ~2o5 133 894,6 o,228916 - 4,3494o4 -46,92778o -578,31 o491 200,650596 86,o7222o 316,2895©9 622o, o -6239,657844 - 135,677442 -Z-2£^33i2£6_ 77441,51 - 76893,89 - 498,57 35,93 13,14 y’ = 3o,6169 + 1,674058 - 0,227847 f - » 5,2451 + 1,o1835jc - o # oo9H4 Izračunana vrsta prilagojena krivulje višin in stvarnih poprečij pa 4« v proučevanem področju naslednja: 2,46988o 30,437349 + 0,562755 - 0,383219 o,428966 1,576319 +o,o97739 1225 - 506,325400 - 36.922o56 681,752544 -o,227847_ -o,227547 3o,616885 l,674o58 •= 3o,6169 + 1,674058 u — o,227847 u Pri tem je u = --—, 5 Če vnesemo u v dobljeno funkcijo, dobimo: 102 y višina m Slika 8.8 Regresijska krivulja odvisnosti viši¬ ne od premera dreves. ■°olo6anje regresijskih krivulj s transformacijami . Razen s polinomi celih potenc pogosto opisujemo odvisnosti med pojavi tudi z drugimi funkcijami. Posebej so za proučeva^- 183 nje odvisnosti pomembne funkcije, ki so Se v osnovi dane v obliki fCy)=a i f 1 (x)+a J [ J (x)+ --'--+a p f p (x)+- ®ilne lastnosti, je ( 8 . 54 ) 185 Z logaritmiranjem to funkcijo prevedemo v standardni tip Log y= log a +blogx (8.55) Pri proučevanju take vrste odvisnosti uporabljamo logaritemsko transformacijo za x in za y. Značilno za to funkcijo je, da je razmerje relativnih sprememb med x in y , ki ga imenujemo tudi koe¬ ficient elastičnosti E, konstanten za vse vrednosti x. Druge standardne funkcije zgornjega tipa so še: Prva je logaritemska funkcija, druga in četrta sta paraboli, tret ja in peta pa hiperboli. Medtem ko imajo prve tri že ustrezno ob; ko (parametri v aditivni zvezi), to dosežemo pri četrti s kvadrat¬ nim korenom, pri peti pa z reciprokom. Razen zgornjih moremo sesta¬ viti seveda še druge dvoparametrske funkcije, pri katerih ata v eks¬ plicitni ali transformirani obliki parametra v aditivni zv r.i. V zgornjih funkcijah smo dohili standardno linearno odvisnost med spre¬ menljivkama s tremi transformacijami: logaritmi, kvadratnimi koreni in reciproki. Te transformacije se pogosto pojavljajo tudi v drugih funkcijah proučevanega tipa, ki jih nismo navedli. 8.28 V raziskavah v gozdarstvu je pogost primer, da je neodvisna spremeni.jivka v proučevanjih odvisnosti premer drevesa: Tako iščemo krivulje odvisnosti višine dreves od premera, odvisnost pri¬ rastka od premera ipd. Podatke imamo često grupirane po premeru v sredine debelinskih stopenj x, in kvadrate teh transformaoij, da po potrebi razpolagamo z ustreznimi transformiranimi vrednostmi za sredine debelinskih razredov. \/ debelinske stopnje. Zato v tabeli 8.11 navajamo logx, \Jx in l/x z» 186 8.11 Transformirane vrednosti sredin debelinskih stopenj 187 3 »29 Ali s-svarni podatki ustrezajo določeni regresijski Osveži / . zgornjega tipa, najlaže preskusimo z grafikoni®:' ormi- ranfh podatkov* Če namreč podatki kažejo m določeno regresioo ti- pa f(jr) k a + bg( 2 :). se toSie a koordinatami (X « g(x), T « '-•ste v meglioi. ki ima smer linearne zveze« 1 ie» primeru moramo osnovno podatke najprej ustrezno transformirati in transformirane podatke vnesti v grafikon. Prikladneje pa je, da sestavimo grafi¬ ten s transforriraniai tkalsat ia vanj vnašamo osnovne podatke di¬ rektno. Ha sliki 8,9 so po podatkih iz tabele 8.11 sestavljene skale sredin za debelinske stopnje za primer, če je neodvisna spre¬ menljivka x premer, podatki pa grupirani v debelinske stopnje. Za te primere skale debelinskih stopanj preriSeme s slike 8.9. Ha sli¬ ki 3.1o pa so narisane transformirane skale za neodvisno spremen¬ ljivko Y. 183 S- QD_ K"> O - QD - O - »O - "T - fn - cn - nO- Lr>~ *£> _ CN4_ vO - IT) - CD_ o- co- ro CH-* o- c»- co- m - c © d ir\ 8 cT ON 00 a H W K> -* —«N -O —m -1 *- -to L -a- Hi H I X S 8* -IX ' 189 £ x Cn O —IX Slika 8.10. Transformirane skale za a log X; Slika 8.11 Preskusni grafikon za ugotavljanje tipa regresijske funkcije za višin¬ sko krivuljo 8i^o Praktičen primer, ki smo ga rešili s pomožnimi transformira¬ nimi skalami, je odvisnost poprečne višine dreves od debelin¬ ske stopnje na ploskvi št. 27 n. Pok. iz tabele 8.8. Na preskusnem grafikonu v sliki 8.11 so narisane višinske krivulje za debelinske stopnje na treh skalah. Grafikon A ima za osnovo originalno netrans- formirano skalo, B ima za osnovo logx in C ima za osnovo -l/x. Za transformacijo -l/x smo se odločili zato, ker -l/x narašča z nara¬ ščanjem x. Zadnji dve skali! skali B in C smo prerisali s slike 8.1o. Ce primerjamo dobljene krivulje med seboj, vidimo, da d& edi¬ no skala C linearno smer odvisnosti. Iz tega sklepamo, da je za 19o opis odvisnosti višine dreve3 od velikostne stopnje primerna funk¬ cija Y*a+b-j (8.57) V tabeli 8.12 je za obravnavano višinsko krivuljo prilagojena hiper¬ bola tipa 8.57» v nadaljevanju pa obračunani pokazatelji regresije, Tabela 8.12 Izrafiunanje elementov transformirane linearne regre¬ sije za višine dreves v odvisnosti od premera B.X Y k A.3Z Y X UL . 2526,3 'Hf " 83 30,43734 Efx Ef 22,460 83 o,27o6o2 191 - F«* - - 6,376928 - - O, 299188 = £f jX - ^ — f -F - 672,9298 - ^g ia 3 _ » .. 12.460 -126932 £- *> Tfi 2 - ■ -= 77441.52 - ^§|* 3 " « 547,63 / JgL * 163,84432 0,9833 h — . hf — . _ 42 425516 Kj, 0,295188 T » I + B. (X - X ) ,200 30,43734 - 42.42516 (— - 0,270602) y* - 41,918 - Izračunani deterodnaci jeki koeficient pokaže, kaka en del varia¬ bilnosti aritmetičnih sredin je pojasnjen z uporabljano funkcije« 2 - r sy ni pravi deterrrdnaci jaki koefloient, Id. po definiciji kaže od¬ nos pojasnjene variance v primerjavi e celotno varianco y, as pa 8 varianco med aritmetičnimi sredinami. V primerjavi s parabolo dx*uge stopnje <4.* - je j*lza hiperbolo večji (0,983). 192 m Slika 8.12 Prilagojena hiperbola poprečnim viSinam smreke. 8.31 Vendar niso vse funkcije, ki so iz vsebinskih razlogov pri¬ merne za opis določene bioloSke ali druge zakonitosti, polino— mi ali funkcije tipa, ki so nakazani v prejSnjera odstavku. V tej zvezi so pomembne zlasti naslednje tri funkcijo: Modificirana eksponentna funkcija: y * K + O b - logistična ali Pearl - Heedova funkcija: y ~ j+afot . b * Sompertzova funkcija: y - K.CL m (8.58) Z zgornjimi tremi tipi funkcij zelo dobro opisujemo zakonitosti rasti naravnih, a tudi ekonomskih pojavov. Vse tri tipe funkcij na¬ vajamo v isti zvezi zato, ker se da druga funkcija z reciproki, tretja pa z logaritmiranjem prevesti v prvo - modificirano ekspo¬ nentno funkcijo, ki je od vseh treh tipov še najenostavnejša.Kljuh temu, da je modificirana eksponentna funkcija razmeroma enostavna, pa vseeno ne zadošča osnovnemu pogoju, ki ga naj izpolnjuje funkci¬ ja, da jo na standardni način proučimo po metodi najmanjših kvadra¬ tov. Parametri k, a in h namreč niso v aditivni zvezi. Zato se mo¬ ramo zateči k drugim metodam za določanje parametrov regresijskih funkcij, / 8.32 Ena izmed metod je metoda delnih vsot, ki predpostavlja, de. se v vsoti učinek siučajnostnih vplivov vsaj omili, če še ne uniči. Ta metoda v svoji standardni obliki predpostavlja, da so da¬ ne empirične vrednosti za ekvidistantne razmake za x in da je šte¬ vilo členov oziroma parov vrednosti mnogokratnik od tri. Preizkus, ali se določen pojav razvija v modificirani eksponentni funkciji, napravimo grafično, če vrsta prvih diferenc (diferenc dveh zapored¬ nih členov), narisana v pollogaritemskem grafikonu, poteka linear¬ no, je regresijska krivulja modificirana eksponentno. Sledeč temu pravilu in ustreznim transformacijam se ho pojav gibal v logistič¬ ni krivulji, če ho za modificirano krivuljo nakazani preskus veljal za recipročne vrednosti za y, v Gcmpertzovi p. takrat, če preskus velja za logy iz empiričnih vrednosti« Razen tega sklepamo, da se pojav razvija v logistični krivulji, če grafikon sukcesivnih prvih diferenc nakaže unimodalno, zvonasto krivuljo. Za Gompertzovo kri¬ vuljo pa je slika prvih diferenc unimodalna, v desno asimetrična krivulja. 194 8,33 Iz treh delnih vsot <^Y. i^Y, izračunamo parametre k, a, h in transformirane modificirane eksponentne funkcije različno, gl6de na to, ali je IT/3 = r sodo ali liho Število. V na¬ slednji tabeli so podani obrazci za izračun parametrov za oba pri¬ mera: N/3 =r*2m + 1 =Uh N/Z-r -2 m g sod x—3 ~Z~1 0 + 1+2+ 3.. b = ra-C, X..-5-5-1+1+3 +5 - - b 2r = a=rr s -r,)b « b‘- 1 (8.59) 2 ' U (b 2r ~1) 2 Za primer vzemimo 16o let staro bukovo drevo d 1.3 40,6 cm na raziskovalni ploskvi St. 1 .Grčarice* Preskus v zgornjem smislu pokaže, da rast ustrezno opiSe Gompertzova krivulja. Pa zago¬ tovimo potreben pogoj, da je Število členov trikratnik, izpustimo po¬ datek za leto 196o. Ker je v nagem primeru r = 15/3 lih, pridejo za izračun parametrov v poštev obrazci iz levega dela tabele 8.59» Pri tem dobimo* b f- 7,2572-6,516 6 6,61,66 -5,m - 0,21506 195 višina v m Slika 8.13 Višini “bukovega drevesa prila¬ gojena Gotapertzova funkcija 196 Tabela 8.13 Prilagoditev Gompertzove krivulje razvoju višine bukovega drevesa na raziskovalni ploskvi St. 1 Grčarice. 197 Z logaritmiranjem dobimo, da je b = o,73578. '.Dalje je: iogq =(L } -L 2 )b 2 ^- )2 -(7,2572-6,5166) 0,7357S 1 . . _ nifiLQ7 (0,21506-1) 2 ~ °> im a =0,68596 / , f fr _ f [, r,,, 7,2572-6,5^66 ^ - 5 [U- p—J - ? l 6 ’ 5 * 66 ' 0,21506-- — = 1,49038 k=30,950 Enačba prilagojene funkcije v eksplicitni obliki pa je Y * 3 0,930 . 0,68396 0,73578* Multipla regresija in korelacija 8.35 V dosedaj obravnavanih problemih smo proučevali odvisnost med dvema pojavoma oziroma znakoma. Točneje rečeno: proučevali smo odvisnost določenega rezultativnega znaka od enega samega fakto- rialnega znaka. Vse druge vplive smo obravnavali kot neproučevan skupen učinek individualnih faktorjev. Za količkaj kompleksnejšo ana¬ lizo pa ima ta način proučevanja korelacijekih odvisnosti omejen po¬ men. Bezultativni znaki kot so volumen, prirastek, posek itd. so v bistveni meri odvisni od več faktorjev. 198 Odvisnost med rezultativnim znakom y v odvisnosti od ved faktorial nih znakov Xp .... x proučujemo z multiplo regresije. itoltiplo regresijsko odvisnost moremo v eksplicitni obliki izraziti y*f (x, X 2 — Xp;e) ( 8 , 6 u) pri čemer jes y«=resultativen znak. , x_ ..... x. so proučevani '---/_.1' 2 ... . p faktorialni znaki, e pa je skupen učinek drugih individualnih, naj¬ večkrat Eiučajnostnih vplivov. Dostikrat privzamemo model, da je učinek proučevanih faktorjev z učinkom slučajnostnih faktorjev vezan aditivno y s 9(*i;Xi—-Xp)+e (8.6i) V tem primeru funkcija y '*g(x i; x z ~-x P ) (8.62) opiSe zvezo med y in proučevanimi faktorji, če ne hi hilo slučajnost- nih vplivov. Po analogiji odvisnosti med dvema znakoma dobimo multip- lo regresijsko funkcijo, geometrijsko pa regresijsko hiperploskev. 8o36 če povzamemo splosne pojme o proučevanju odvisnosti iz odvis¬ nosti med dvema znakoma, definiramo kot nepojasnjeno varianco varianco zaradi individualnih vplivov 6l - Z(y-y’) 2 (8f63) kot merilo jakosti odvisnosti pa pojmujemo determinaoijski koeficient multiple korelacije ^ y. V y Xy-- Yp = 1 " 7T (8.64) °y 199 in koeficient multipie korelacije Linearna relacija Ry.Y 1 Y l ..V.p = (8.65) multipla regresija in k o - 8.37 najenostavnejši primer multiple korelacijske odvisnosti je linearna multipla korelacijska odvisnost. Za tak primer je multipla odvisnost podana z linearnim modelom y=a+b i x i +b 2 x 2 + — b p Xp + krivuljšna multipla regresija in korelacij a ®*39 Proučevanje krivuljčne multiple regresije je seveda samota— C \ nejše kot proučevanje linearne multiple regresije. Poenostavimo 3° in na koncu prevedemo v sistem, ki je po tehniki podoben proučeva¬ nju linearne multiple regresije, če je možno regresijsko liinkcijo izra« 2 iti tako, da so parametri transformiranih funkcij med seboj v aditiv¬ ni zvezi. ^•4o Kot praktičen primer vzemimo odvisnost volumna dreves od pre¬ mera in višine.v 12o—letnem enodobnem smrekovem sestoju na raziskc v *lni ploskvi IGLISa! 3\ Vsebinska analiza nakazuje, da je odvisnost volumna (y v m ) od pre- (z^ v cm) in višine drevesa (x ? v m) opisana z regresijsko odvis¬ nostjo 2 ( 0 , y-a.x^ x i *E (8.72) če z go mj o enačbo lo gazi trni ramo, dobimo /ogy = loga + b, logXj +b 3 !ogx 1 + /og£ (8.73) iče primerjamo dobljeni transformirani model z modelom 8.66, vidimo, da ata modela identična, le da se v zgornjem primeru nanašajo podatki na .logaritme in ne na osnovne podatke. 8^:41 'Za enodcben smrekov sestoj imamo na razpolago podatke o preme¬ ru, višini in volumnu za n •» 5° dreves. Za te podatke smo po¬ iskali logaritme, iz logaritmov pa izračunali za regresijsko anali:. 'potrebne podatke* y= -0,1520 Xr 1,M02 X= 1,4068 r yi = 0,98502 6 y = 0,3214 6 Xi = om 6,^0,0923 r ys = O, 95967, r a = 0,92856 .Iz teh podatkov izračunamo regresijake koeficienta b ^ ^ ^ .obrazcih 8.69 byi.s ' 0,9830 2-0,95967.0,92856 ^ Q ^ 1-0 } 82856 1 & ;/2.1 ~ 0,95 ?L 7-0,98502.0,92856 31,023 1-0,92856 1 1 2o2 fiegresijBka ravnina transformiranih podatkov v standardizirani obli¬ ki jo Z y ~ by4 .2 Žj + Z z ali dalje I cgtlzAmi , 0 68708 ^r1,m ,0,36021 ^- iM! 0,5212 ’ D,12M ’ 0,2918 logy > = -4,292880 + 1,69514 logx 1 + 1,18399 logx z V eksplicitni obliki pa je zveza volumna s premerom in višino dana a funkcijo y’=5,0947.10~ s . x, i)69Si \ x 2 V 83 ” izračunamo še determinaoijski kvocient za logy, dobimo po obraz¬ cu 8.7o q! r y 2 4 + f y \-2r }/1 .r y2 .r n _ y -* ' = 0,98302 2 * 0 > 95967 1 - 2.0,98302 . 0,95967. 0, 92856 _ 1-0,92856 2 0’1353369249 0-1377 763 264 0,9822 *^i multipli korelacijski koeficient /7y .<2 --p,9822 = 0,9912 2o3 H c - n pokaže, da v zgornjem primeru le 1,78 % oelotne variabilno- y .!2 ati volumna smrekovih dreves ni pojasnjena s premerom in vičino. Parcialni korelaoijski koeficient 8.42 Znaka x^ in x^ moreta hiti. odvisna od enega ali vež istih faktorjev. Rezultat tega je zveza med znakoma 1 in 2, ki je pogojena s kompleksom skupnih faktorjev. Korelaoijski koeficient med znakoma 1 in 2 , če smo izločili vpliv enega ali več faktorjev, imenujemo parcialni korelaoijski koefici¬ ent. Parcialni korelaoijski koeficient linearne korelacije med zna¬ koma in Xg, če smo izločili linearni vpliv tretjega znaka x^, za¬ znamujemo z f , izračunati pa ga moremo iz enostavnih linearnih 12*3 korelacijskih koeficientov /%,>, ^" 03 » 50 °^ )razou log = loga + b r logx 1 + b 2 logx 2 1 log £ ( 8 . 73 ) 8,43 če po tem obrazcu izračunamo parcialni koefioient odvisnosti med volumnom (x) in višino (x 2 ), če smo izločili vpliv preme¬ ra (x^) za 5° dreves smrekovega sestoja na raziskovalni ploskvi IGLISa, dobimo po obrazcu - " r y 1 ' 1*0- - = 0 , 95967 - 0 , 9832 . 0,92856 \J(i - 0 . 98502^1 - 0 , 92856 3 ) s M68769488 / 0,336716796 / 0,68824 013777652264 Račun pokaže, da je odvisnost volumna od višine znatno manjša,. Se; izločimo vpliv premera in izračunamo parcialni korelacijski koefi¬ cient . Medtem ko je f = o,95967, je parcialni korelacijski koe— ficient med volumnom in višino, Se izločimo vpliv premera, la ^ 2,1 ° 68824 . 2o5 "" . ■ 9* TEORETIČNE PORAZDELITVE 9.1 Pomen proučeva n j a teoretičnih porazdelitev. Do sedaj obravnavane frekvenčne po¬ razdelitve so bile rezultat etatističnega opazovanja stvarnih po¬ pulacij. Stvarne frekvenčne porazdelitve so najrazličnejših oblile, odvisno od faktorjev in pogojev, v katerih se je proučevana . popu¬ lacija razvijala. Hazen porazdelitev, ki jih dobimo z opazovanjem stvarnih populacij, Pa imamo tudi teoretične frekvenčne porazdelitve, ki jih sestavimo na osnovi logičnih predpostavk ih izpeljemo matematično. Teoretične Porazdelitve so važne za razvoj statistične teorije in prakse ih jih uporabljamo v najrazličnejših postopkih pri statistični anali¬ zi. Proučevanje teoretičnih porazdelitev je važno iz več vidikov* a ) Pomemben problem, je proučiti, ali se stvarna porazdelitev sklada s teoretično porazdelitvijo, do katere pridemo z določenimi pred¬ postavkami. V nekaterih primerih iz tega sklepamo na stvarne po¬ goje, ki so identični pogojem, pod katerimi je sestavljena teo¬ retična porazdelitev. Tako sklepamo, da ja npr. sestoj enodoben in čist in da so nanj vplivali samo slučajni, nebistveni faktor¬ ji, če je stvarna porazdelitev premerov podobna normalni. Normal- na porazdelitev je namreč teoretično izdelana pod predpostavko, da na pojav razen slučajnih vplivov ne delujejo noheni drugi individu" alni vplivi. h) če ne poznamo stvarne porazdelitve, s teoretičnimi porazdelitva¬ mi ugotovimo, kakšna hi "bila približno stvarna porazdelitev poja¬ va, če poznamo faktorje in predpostavke, katerim stvarna popula¬ cija oziroma enote zadoščajo. Za dan sestoj poznamo število dre¬ ves, aritmetično sredino in standardni odklon, če predpostavlja¬ mo, da je sestoj enodoben in čist, sklepamo, da se premeri poraz¬ deljujejo v normalni porazdelitvi. Pri tej predpostavki moremo izračunati, koliko je približno stvarno število dreves v posamez¬ nih debelinskih stopnjah, ne da bi poznali individualne premere dreves. o) Posebno pomembne pa so teoretične porazdelitve v v zorčenju, ki je posebna in najpomembnejša metoda ocenjevanja v statistiki, in pri preizkušanju hipotez, ki je osnova za posebno statistične disci¬ plino - planiranje eksperimentov. Normalna porazdelitev 9.2 Normalna porazdelitev je ena izmed najvažnejših, a tudi najbolj poznanih teoretičnih porazdelitev. Veliko pojavov se porazdelju¬ je v unimodalni, simetrični in zvonasti ohliki, kar so tipične zna¬ čilnosti za normalno porazdelitev. Bazen tega je normalna porazdeli¬ tev osnova za izpeljavo raznih drugih, za statistično teorijo in 2 prakso važnih porazdelitev, kot so: t-porazdelitev, % -porazdelitev, P-porazdelitev. Pod določenimi pogoji preide v normalno porazdeli¬ tev večina teoretičnih porazdelitev: hinominalna, Poissonova, hiper- 2o8 2 geometrična in vse tri zgoraj naštete: t-poraz delitev, ^ -porazde¬ litev in F-porazdelitev. 9.3 Opis normalne porazdelitve. Normal¬ na porazdelitev je določena z dvema parametroma* aritmetično sredino IS in standardnim odklonom (x)dx-J p(x)dx-P(x 2 )-P(x i ) x< -<*> r~y,K) Slika 9.3 Kumulativna normalna porazdelitev 211 9.5 0 Za VBai;; o normalno porazdelitav je P(M) = 0,50. Zaradi simetri¬ je normalnih porazdelitev je za vsako normalno porazdelitev po¬ lovica populacije pod aritmetično sredino M. Nadalje je ne glede na velikost parametrov M in O' za vsako normalno porazdelitev P(x - M + Z . 6 ) -P(z) (9.4) Kumulativna relativna frekvenca za i » M + z 6 je za vsako normal¬ no porazdelitev odvisna samo od koeficienta z, nič pa od parametrov M in 6 . Iz tega sklepamo, da je tudi relativna frekvenca v razma¬ ku M - z 6 do M + z 6 pri stalnem koeficientu z enaka za vse dis¬ tribucije, ne glede na velikost M in 6 . To sledi iz zveze F°(M~ z6 4 x 4 M + z6 = P(x =M + z6) ~ P (x *=M~z6 ) - P (z)~P (~ z) Tako je relativna frekvenca razmaku enega standardnega odklona od aritmetične sredine navzdol in navzgor (od M - 6 do M + 6 ) za vse normalne porazdelitve enaka 0,6827, v razmaku od M - 2 6 do M + 2 6 enaka 0,9545» v razmaku od M - 36 do M + 3 6 enaka 0,9973 itd. 9.6 Standardiziran znak z. Pomen koeficienta 0 najbolje spoznamo iz zveze med količinami z, I, M in(0 . Iz obrazca X = M + ZČ) dobimo, da je x-M z - — (9.5) Za dano vrednost 1 je z, ki ga imenujemo standardizir » * 212 znak, odklon osnovne vrednosti i od aritmetične sredine M, merjen v standardnih odklonih 6 . Standardiziran znak z je neime¬ novano število in podaja mesto vrednosti v normalni porazdelitvi. Za vse vrednosti, ki so večje kot aritmetična sredina M, je z poziti¬ ven in obratno, za vrednosti z, ki leže pod aritmetično sredino, je z negativen. Za približno 2/3 (natančno 68,27$) vseh vrednosti v normalni porazdelitvi je z torej absolutno manjši kot 1. Analogno je za približno 19 / 2 o (natančno 95,45$) vseh vrednosti z absolutno manjši kot 2, za skoro vse (natančno 99,73$) vrednosti pa z absolut¬ no ni večji kot 3. Vzemimo sestoj, ki se normalno porazdeljuje in ima aritmetično sre¬ dino U « 35 om in 8 cm. Za drevo, ki ima premer z ■ 48 cm, ne vemo, ali je glede na ta sestoj drevo z velikim ali majhnim premerom, če pa izračunamo zanj ustrezni standardiziran znak 48-55 8 = + 1,625 spoznamo, da je drevo glede na drevesa vsega sestoja nad povprečjem in razmeroma veliko. Ustrezni z je namreč pozitiven in razmeroma velik. S standardiziranim znakom podobno, vendar na drug način kot s kvan- tilnimi rangi, določamo mesto enote v populaciji. 9.7 Standardizirana normalna porazde¬ litev. Če se z porazdeljuje v normalni porazdelitvi, se v normalni porazdelitvi porazdeljuje tudi standardiziran znak z, ker je z znakom z v linearni zvezi. Iz zveze V - X - M 6 213 zlahka dokažemo, da je za standardiziran znak aritmetična sredina M^-Oj standardni odklon pa 6 z •» 1. Standardiziran znak z ss torej porazdeljuje normalno s parametri i£ - 0 in 6 =1. z z Za to normalno porazdelitev, ki jo imenujemo standardizi¬ rano normalno porazdelitev, je gostota relativne frekvenoe , - — y (z) = vif e 2 kumulativna relativna frekvenca P(z) pa (9.6) p V‘vkiy fdz <5 - n V tablici 9.1 imamo tabelirane podatke za gostoto relativne frek¬ vence za standardizirano normalno porazdelitev *^(z) in relativne frekvence (z) v razmaku o do z ¥ z) ~ywf c 2 2 dz o-«) za pozitivne vrednosti za s. Ker je normalna porazdelitev simetrič¬ na, je CŽ iz) s kumulativno relativno frekvenco v enostavni zvezi P(z)=0,50 + $(z) (9.9) Zato iz tablic se. $5 (z) po obrazcu 9.9 dobimo posredno tudi kumulS'' tivne relativne frekvenoe P(z). Pri tem moramo upoštevati, da je $(-?) (9.1o) 214 Tabela 9.1 Gos+o+a relativne frekvence za sfandard!ztra no normalno porazdelt+ev 215 Tabel« 9.2 Relativna frekvenca porazde litev fp(z) za standardizirano norma I no 216 Zaradi enostavne zveze med osnovnim znakom in standardiziranim zna¬ kom tatilice za standardizirano normalno porazdelitev uporabljamo za katerokoli normalno porazdelitev tako, da najprej vrednosti za znak X prevedemo v ustrezne vrednosti za standardizirani znak, za dob- cami za normalno porazdelitev moremo rešiti problem, ki se v praksi Pogosto pojavlja« E dani frekvenčni porazdelitvi večkrat prilagajamo Ustrezno normalno porazdelitev, da ju v nadaljnji analizi primerjamo ra 9d seboj. Kot najbolje prilagojeno normalno porazdelitev smatramo ono, ki ima enak obseg II, enako aritmetično sredino II in enak stan¬ dardni odklon 6 kot stvarne* porazdelitev, kateri prilagajamo normal¬ no porazdelitev. ^o nalogo rešimo s tablicami za standardizirano normalno porazdeli— fsv, ki je dana v tabeli 9«2, takole: a ) Za stvarno frekvenčno porazdelitev, kateri hočemo prilagoditi nor¬ malno porazdelitev, poiščemo osnovne parametre: obseg populacije N, aritmetično sredino M in standardni odklon • Meje razredov iz stvarne porazdelitve najprej prevedemo po obraz— razdelitev poiščemo (z), ki ustrezajo mejam razred'' z,^ Ijene z pa poiščemo ustrezne vrednosti ordinat ali relativnih frekvenc. Prilagoditev normalne porazde¬ litve stvarni porazdelitvi.S tabli- 4 ) Po obrazcu 9,9: P(z) = 0,50 + ^ (z) izračunamo kumulativno vrsto relativnih frekvenc P(z). 217 e) Ce P( z) pomnožimo z obsegom populacije H, dobimo teoretično ku¬ mulativno frekvenčno porazdelitev F^_ , f) Razlike dveh zaporednih členov iz vrste F’ so teoretične frek- k vence f* za prilagojeno normalno porazdelitev. 9*9 Za primer prilagodimo normalno porazdelitev frekvenčni poraz¬ delitvi premerov za čisti smrekov seBtoj A na Pokljuki iz ta¬ bele 3.4« Sestoj ima N = 5°7 ireves. Zanj smo izračunali, da je arit¬ metična sredina 1! m 38,62 cm, standardni odklon pa 6= 7»89 cm. V tabeli 9.3 je nakazano izračunanje prilagojene normalne porazde¬ litve po postopku iz prejšnjega odstavka. 4 Tabela 9.3 Prilagoditev normalne porazdelitve za frekvenčno po~ "V' ■L Jr ‘k A \L ff X 218 Za spodnjo mejo v četrti debelinski stopnji je npr. ustrezna vred¬ nost za z. 4*nnn t = 15-38,62 = _o 99 k > m,n 6 7,89 5 V tabeli 9.3 so v zadnjem stolpcu vpisane še stvarne frekvence. Ce stvarne frekvence primerjamo z dobljenimi teoretičnimi frekven¬ cami za prilagojeno porazdelitev, vidimo, da razlike niso znatne. Večje razlike so edino v sedmi in osmi debelinski stopnji. Nenavadno je videti, da teoretične frekvence niso cela, temveč de¬ cimalna števila. Vendar je, glede na to, da so teoretične frekvence izračunane vrednosti, to umestno. --fctm—--!- m---- 10 15 20 25 30 35 M tO 0 50 55 bO 65 prgfnar cm Slik.;. 9.4 Frekvenčna porazdelitev premerov dreves v čistem smrekovem sestoju A na Pokljuki s prilagojeno normalno porazdelitvijo 21 ? 9.1o jetnostni grafikoni Standardiziran odklon z je z osnovnim znakom x v linearni zvezi (9.11) če zvezo med x in z narišemo v pravokotni koordinatni sistem, do¬ bimo premico, ki je tem bolj strma, dim manjši je 6, in tembolj položna, dim vedji je standardni odklon. Smerni koeficient 1/6 je obratno sorazmeren s standardnim odklonom 6 • Vse te premice imajo pozitiven smerni koeficient, ker je 6 pozitivna kolidina. Iz zgor¬ nje enadbe dalje sledi, da premica seka z os v aritmetidni sredini za x. Linearni z skali moremo prirediti skalo kumulativ relativnih frek¬ venc za normalno porazdelitev. Ta skala ni linearna, ampak je okrog 0.50 ali 50 ^ najgostejša, od :.a pa se na obe strani razmak med oen- tili veda, odvisno od gostote pri normalni porazdelitvi.. Tako skalo kumulativnih relativnih frekvenc za normalno porazdelitev imenuje¬ mo verjetnostno skalo. Zaradi zveze verjetnostne skale z z- skalo, je za normalno porazdelitev linija s koordinata¬ ma (x, P°(x) na grafikonu, v katerem je abscisna os linearna x - os, ordinatna skala pa verjetnostna premica. 9.11 Za kumulative relativnih frekvenc za stvarne frekvendne po¬ razdelitve dobimo na verjetnostnem grafikonu lomljeno črto.Ta ima linearno tendenco, de je stvarna porazdelitev podobna normalni porazdelitvi. Za porazdelitve, ki so asimetridne v desno, eo drte na verjetnostnem grafikonu degresivno narašdujode, za porazdelitve, ki so asimetridne v levo, pa so drte kumulativnih relativnih frek^e« 0 22o progresivno naraščujoče. Podobno odkrijemo z verjetnostnim grafiko¬ nom tudi druge lastnosti porazdelitev. Zato so verjetnostni grafiko¬ ni zelo uporaben pripomoček za analizo frekvenčnih porazdelitev glede normalnosti porazdelitve. 9.12 Za primer vzemimo iz tabele 8.3 frekvenčno porazdelitev za specifično težo zelene duglazije za širino branike 6.0 - 7.9 mm. Tabela 9.3 Frekvenčna porazdelitev za specifično težo za zeleno duglazijo pri širini branike 6.0 - 7.9 mm ■b ?jetnostni grafikon v sliki 9.4 nakaže, da je porazdelitev Preskušancev po specifični teži za razred širine branike 6.0-7.9 0,11 Precej normalna. Večji, a le navidezen odklon kaže porazdelitev v Prvem razredu. 221 * f% Slika 9.4 Verjetnostni grafikon za specifično težo zelene duglazije s širino "bra¬ nike 6.0-7.9 nun 9.13 V verjetnostnem grafikonu je razen stvarne porazdelitve (s), ki je dana z lomljeno črto, ocenjena tudi interpolirana teo¬ retična normalna porazdelitev (T) s premico* ki leži med točkami za stvarno porazdelitev. Iz- verjetnostnega grafikona moremo celo grafično oceniti aritmetič¬ no sredino (projekcija na x os iz presečišča premice T z linijo P $ >=> 5° ali z m 0). V našem primeru je ooena M » 411 kg/ni 1 . 222 s podobno tehniko ocenimo tudi 6 . Projekciji presečišč premice T 2 vodoravnima črtama pri z. + linz.-l sta oceni vrednosti M + 6 in M - 6 . Če ti vrednosti odštejemo in delimo z 2 , dobimo oceno za <5 .V našem primeru je II + <5 - 477, M -Č> «, 373, po na¬ kazanem postopku pa je (3 » 447 - , 37^ _ ^7 kg/ra"^. 9«l4 če je variacija v eno smer dušena z določeno naravno mejo (npr. premer drevesa ne more biti manjši od nič, kmetijsko gospodar¬ stvo ne more imeti površine pod določeno minimalno površino, trdnost določene vrste lesa ne more preseči določene zgornje meje), se vred¬ nosti kljub temu, da vplivajo na pojav samo slučajnostni vplivi, ne Porazdeljujejo v normalni porazdelitvi, temveč v asimetričnih poraz¬ delitvah. Pake porazdelitve so tembolj asimetrične, čim bliže je po¬ prečje naravni meji. Dostikrat se za take pojave porazdeljujejo v normalni porazdelitvi log (x - B) ali log (B - x) ali log x, če je kariera B = 0. Za take pojave pravimo, da se porazdeljujejo logarit- ®ično normalno. Ali se pojav porazdeljuje logaritmično normalno, pre¬ skusimo z verjetnostnim grafikonom, v'katerem abscisno - linearno skalo (glede na naravno mejo B) nadomestimo z logaritemsko skalo dogi, log(x - B) ali log(B - x). Pojav se porazdeljuje logaritemsko normalno, če ima kumulativa stvar¬ nih relativnih frekvenc linearno smer v logaritemsko normalnem gra¬ fikonu. 9*15 Pri analizi frekvenčnih porazdelitev primerov za enodobne smre¬ kove sestoje A in B na Pokljuki dobimo z verjetnostnimi grafiko¬ ni zanimive zakonitosti. Če frekvenčni porazdelitvi za ta dva sestoja (kumulativi relativnih frekvenc sta izračunani v tabeli 4.1) nariše- ®o na navadnem verjetnostnem grafikonu, zaključimo, da se premeri ne 223 L porazdeljujejo normalno, ampak asimetrično v desno (glej sliko 9.5)» Na logaritemsko-verjetnostnem grafikonu za premere za ta dva sestoja (slika 9»6 pa se lomljeni črti za kumulative relativnih frekvenc (razen ekstremnih) izravnajo v linearno smer, iz česar za¬ ključimo, da se proučevana enodohna smrekova sestoja porazdeljujeta logaritemsko - normalno. Če hočemo podobno kot pri navadnih verjet¬ nostnih grafikonih oceniti parametre porazdelitve iz logaritemsko r% Slika 9.5 Verjetnostni grafikon za frekvenčni po¬ razdelitvi premerov za enodohna smrekova sestoja A in B na Pokljuki 224 Slika 9.6 Logaritemsko verjetnostni, grafikon za frekvenčni porazdelitvi premerov za enodohna smrekova sestoja A in B na Pokljuki ' v ' e t'jetnostnega grafikona, moramo upoštevati, da aritmetično sredi>- no zamenja aritmetična sredina iz logaritmov (kar je identično z geometrijsko sredino), standardni odklon pa standardni odklon iz Relativnih odnosov med vrednostmi. 225 Verjetnostne porazdelitve 9.15 Predpostavljajmo, da poznamo osnove verjetnostnega računal (Glej Rajko Jamnik, Ljubljana, 1959* Matematika za gozdarje, str. 263-296). Porazdelitev relativnih frekveno smatramo kot verjet¬ nostno porazdelitev za določen statistični znak, če vzamemo kot po¬ skus v smislu verjetnostnega računa slučajnosten izbor posamezne eno¬ te populacije. Pogoj za slučajnostni izbor je, da ima vsaka enota enako možnost, da jo izberemo. Kot d ogodek v smislu verjetnostnega računa pa vzamemo dejstvo, da ima izbrana enota določeno vrednost znaka ali slučajnostne spremenljivke. Ta opredelitev verjetnosti se sklada z definicijo apriorne verjetnosti. Tako moremo za sestoj iz tabele 4«1 povzeti, da je verjetnost^ da slučajnostno izberemo iz¬ med K c 507 dreves drevo, za katerega je premer med 3o cm in 35. cm, enaka Pr = 0,233, ker je v tem razredu 23,3 /° od vseh enot v popula¬ ciji. Do verjetnosti pa pridemo aposteriorno tako, da ponavljamo slučaj¬ nosten izbor in iščemo relativno frekvenco pogostnosti, s katero iz¬ biramo slučajnostno iz populacije drevesa s premori 3o-35 5im večkrat poskus izbora ponovimo, tem bolj se relativna frekvenca po¬ gostnosti približuje verjetnosti, da s slučajnostnim izborom izbere¬ mo drevo s premerom 3o cm do 35 c®« Pod istimi pogoji smatramo za verjetnostne porazdelitve tudi relativ¬ ne frekvence pri teoretičnih porazdelitvah. Tablice relativnih frek¬ venc za teoretične porazdelitve so obenem verjetnostne porazdelitve za določene slučajnostne spremenljivke. Za normalno porazdelitev iz tablice o relativnih frekvencah ^(z) npf» razberemo, da je verjetnost, da iz normalno porazdeljene populacije slučajnostno izberemo enoto, za katero je standardiziran odklon vred- 226 nosti med z»0 in z-1,00, enaka Pr ■ 0,3413, ker je Pr(0 4 z 4 1) - ^(z) -y (p(z)dz =0j3ltt Verjetnost, da iz normalno porazdeljene populaoije slučajnostno iz¬ beremo enoto, za katero je standardiziran znak v razmaku od -1,96 do +1,96, je enaka Pr(-1,%4.±<, + 1,%) =0,95 Iz tablic za relativne frekvence za normalno porazdelitev dalje skle¬ pamo, da je verjetnost, da iz normalno porazdeljene populacije s slu- Sajnostnim izborom izberemo enoto, za katero je standardiziran znak s večji kot +1,645, enaka Pr»0,05. Podobno določamo verjetnost za z v Poljubnem razmaku. lojem tveganja 9.16 Gotovih dogodkov v življenju ni veliko. Za večino dogodkov je le neka določena verjetnost, da se zgode. Vendar smatramo do¬ godke, za katere je velika verjetnost, da se zgode, praktično za goto¬ va. Tako pri prečkanju ceste pričakujemo, da nas ne bo povozil avto, Seprav to ni gotovo in je neka verjetnost, da bomo povoženi.Pri pre¬ koračenju oeste zato tvegamo, da bomo povoženi, ker je določena verjet¬ nost, da se to zgodi. Če vzamemo, da se bo dogodek, ki je samo verje- i; en, zagotovo zgodil, več ali manj tvegamo. S t o p n j a tve¬ ganja je enaka verjetnosti, da se dogodek, ki ga napovedujemo, .5» zgodi o ^ s i zaključki, ki jih napravimo z metodami statistične indukcije, za¬ gatno vsebujejo določeno stopnjo tveganja. Pri teh sklepih stopnje kreganja ne poznamo samo, temveč jo moremo po želji uravnavati. 227 9.17 Pojem tveganja v etatističnem smislu podrobneje ponazori¬ mo na normalni porazdelitvi* VzemimOj da imamo idealen sestoj* v katerem se premeri dreves, merjeni v prsni višini, porazdeljujejo v normalni porazdelitvi. Za to populacijo je povprečen premer y «. 30 cm in standardni od¬ klon 6=3 cm. Hormalna krivulja relativnih frekvenc (ki je narisana v sliki 9.5) je slika o gostoti verjetnosti za slučajnostno spremenljivko - premer drevesa, če ima vsako drevo enako možnost, da ga izberemo iz populacije, ali z drugimi besedami, če drevo izberemo slučaj¬ nostno. Napravimo trditev: Če iz populacije dreves slučajnostno izberemo drevo, je premer izbranega drevesa večji kot y^ « 24,1 cm in manjši kot y = 35»9 cm. Kot vidimo iz slike, ta trditev ni Z absolutna in se more zgoditi, da slučajno izberemo drevo, ki ima ali manjši premer kot 24,1 cm ali večji premer kot 35»9 cm. V po¬ pulaciji so namreč drevesa, 1 imajo premere tudi izven tega raz¬ maka. Verjetnost, da se naša trditev ne uresniči, je O0*= 0,05. Tr¬ ditev je napravljena s tveganjem CC = 0,05. To pomeni: če poskus slučajnostne izbire dreves ponavljamo, v povprečju v petih od sto ali v enem od dvajset poskusov zgornja trditev ne drži. Če razmak zožimo, je tveganje večje. Če npr. trdimo: Slučajnostno izbrano drevo ima premer v razmaku od 25,1 cm do 34,9 cm, je tveganje te trditve OC ^ 0,10. Ta trditev se v povprečju v enem primeru od desetih izkaže za ne¬ pravilno. Nasprotno se stopnja tveganja zmanjša, če razmak razši¬ rimo. Tako je premer za slučajnostno izbrano drevo s tveganjem O lf<= 0,01 v razmaku med 22,3 cm do 37,7 cm. če to trditev presku¬ šamo in slučajnostno izbiramo drevesa, v povprečju le v enem od sto poskusov naša trditev ne drži. Zanesljivost te trditve je zelo 228 I i nu Slika 9*5 Verjetnostna porazdelitev premerov v nor¬ malno porazdeljenem sestoju z Y = 30 cm in 6» 3 om v elika. St opnjo zanesljivos ti, ki je verjetnost, da se določena trditev uresniči, i n stopnjo tveganja , ki je verjetnost, da se dolo¬ čena trditev na-Uresniči,, za normalno distribuirane slučajne spre¬ menljivke ugotovimo prek standardiziranega odklona z. Za normalno Porazdelitev je namreč relativna frekvenca v razmaku Y - z<6 do V + z Čs odvisna le od standardiziranega znaka z. 9*18 Kor je normalna porazdelitev ena izmed najvažnejših verjet¬ nostnih porazdelitev, podajamo neke običajne trditve o slu- * a jnostno izbranih enotah iz normalno porazdeljenih populacij in s topnje tveganja za te trditve* 229 Trditev: Če iz normalno porazdeljene populacije slučajnostno izbere¬ mo enoto, je standardizirani odklon z za vrednost x za to enoto v razmaku: Razmak Tveganje 06 -1,64 < z <+1,64 0,10 -1,96< z < +1,96 0,05 -2,58 < z < +2,58 0,01 -3,29 < z < +3,29 0,001 -1,28 < z 0,10 -1,64 < z 0,05 -2,32 < z 0,01 - 3,09 < z 0,001 z < + 1,28 0,10 z < + 1,64 0,05 z < + 2,32 0,01 z < + 3,09 0,001 Ce npr. trdimo, da je za vsako slučajnostno izbrano enoto iz nor¬ malno porazdeljene populacije standardiziran odklon z večji kot -2,32, je tveganje naše trditve CC m 0,01. To pomeni, da to trditev raziskovalec, ki jo preverja, z verjetnostjo 0,01 ovrže. 9.19 Običajno postavljamo etatistične trditve na stopnji tvega¬ nja CX> e 0,05 ali za trditve, ki morajo biti iz katerega ko¬ li vzroka zanesljivejše, na stopnji OC c 0,01. Stopnja tveganja OC ** 0,10 je razmeroma visoka, ker se trditev na tej stopnji tvega¬ nja izkaže kot napačna že v enem izmed desetih preskusov. Tveganje " 23o 0,001 pa je praktično zelo majhno. Pri trditvah, ki jih delamo s statističnimi metodami indukcije, se kosata dva momenta. .Trditev, ki jo napravimo, je lahko do ločnejš a, stopnja tveganja takih trditev pa je velika. Moremo pa trditev pri~ rediti tako, da je stopnja tveganja poljubno majhna, vendar je tr¬ ditev pri zmanjševanju tveganja holj in bolj nedoločna. To smo uvi¬ deli že v prejšnjem odstavku. Prvi štirje razmaki za standardizi¬ ran znak so večji in večji, čim bolj stopnjo tveganja manjšamo. Če trdimo, da je standardiziran odklon za slučajnostno izbrane enote iz normalno porazdeljene populacije v raznaku med —10,0 do +10,0, skoro nič ne tvegamo. Pač pa je ta razmak tako velik, da je brez pomena, ker da zelo nedoločeno predstavo o tem, kakšen je standar¬ diziran znak za izbrano enoto. Nasprotno pa je trditev, da leži standardiziran odklon z za slučajnostno izbrano enoto iz normal¬ ne populacije v razmaku med -1,0 do +1,0 zelo določen. Stopnja tve¬ ganja pa je pri tem tako velika ( Ot= 0 , 32 ), da ta trditev nima praktične vrednosti. 9.2o Podobni problemi nastopijo pri vseh sklepih statistične in¬ dukcije, ne glede na to, kako je slučajnostna spremenljivka porazdeljena. Vsaka trditev in sklep imata določeno stopnjo tvega¬ nja. Pri ponavljanem preskušanju moremo trditev ovreči v skladu s stopnjo tveganja, s katero je trditev postavljena. 231 lo. VZORČENJE - OCENJEVANJE PARAMETROV 10,1 Metode delnega opazovanja. Popol¬ no opazovanje ne zadovolji vedno večjih potreb po statistič¬ nih podatkih na nobenem področju in tudi ne v gozdarstvu« Dostikrat nimamo zadostnih finančnih in materialnih sredstev ter časa. Večkrat pa rezultat, ki ga iščemo, ni vreden naporov, ki bi bili potrebni., da bi ga iskali e popolnim opazovanjem. Ker so gozd in pojavi, ki so z njim v zvezi, populacije z izredno velikim številom enot, ni slučaj, da v gozdarstvu že razmeroma dolgo uporabljamo metode, s ka¬ terimi na lažji, cenejši in hitrejši način dobimo potrebne podatke, ki so, če že ne pravi rezultat, vsaj dobre in uporabne ocene. Izbor tipičnih "modelnih dreves", ki naj s svojimi značilnostmi predstav¬ ljajo celoto in na osnovi katerih sklepamo na celotno populacijo,je metoda, ki jo v gozdarstvu uporabljamo že dolgo. Vendar ima ta meto¬ da kljub svojim prednoatim omejeno vrednost, ker je subjektivna in 2ato ne vemo, v koliko je ocena izraz pravih razmer v populaciji. Subjektivne metode ocenjevanja bolj in bolj zamenjuje objekt iv na in znanstveno zasnovana metoda slučajnostnega izbora ali vzorčenja . Prednosti vzorčenja pred drugimi metodami ocenjevanja eso nesporne, kljub temu da v posameznih primerih z drugimi metodami dobimo zanes¬ ljivejše ocene. 10 o 2 V z o r č e n j e c Vzorčenje je metoda etatistične indukci¬ je- s katero iz delne populacije enot, ki jih iz osnovne popu¬ lacije izberemo naključno ali slučaj¬ no s t n o sklepamo na celoto. Vzorčenje ima predvsem tele pred¬ nosti: tfiUcbroji C _ Vzorčenje je objektivna metoda ocenjevanja. Hapako ooene, ki izvi¬ ra iz vzorčenja, moremo numerično oceniti. Razen tega jo moremo,gle— de na potrebe, tudi uravnavati. V primerjavi s oelotnim popisom pa se odlikuje vzorčenje po tem., da je znatno cenejše, hitrejše in do neke mere tudi kvalitetnejše« Pri vzorčenju sicer nastopa vzorčna napaka, ki izvira iz tega, da. j o oo ■ njevani podatek rezultat vzorčenja. ITe vzorčne napake, ki so rezul¬ tat nepravilnih osnovnih podatkov, nepopolnega zajetja vseh enot itd., so pri popisih zaradi velikega obsega dela pogoste v Pri vzor¬ čenju pa jih zmanjšamo na najmanjšo možno mero. Zaradi manjšega obsega opazovanja sta namreč izbor in delo opazovalcev ;»*w'iv:.eiKsyo; šft . Tako uspemo, da nevzorčne napake z vzorčenjem zmanjšam c. na no¬ vo nastalo vzorčno napako pa moremo določiti in uravnavati, i raz¬ iskovalnem delu pa je vzorčenje edino možna metoda opazovanja in proučevanja, če proučujemo tako imenovane hipotetične populacije« Ho debelini, višini, volumnu itd. Podobno so enote opazova¬ nja posamezna gospodarstva, ki imajo gozd, če proučujemo skupnost vseh takih gospodarstev v Sloveniji* Pri določenem posebnem prouče¬ vanju morejo biti enote opazovanja vsi listi določenega drevesa, ka¬ terega proučujemo. V vseh navedenih primerih so enote opazovanja med seboj ločeni, elementi, katerih število v osnovni populaciji je končno in točno določeno. 2vezne populacije, kot je npr* lesna masa danega drevesa, pa niso sestavljene iz nekih med seboj ločenih enot opazovanja. 235 Vzorčenje je edini način za proučevanje hipotetičnih osnovnih popu¬ lacij. Določeno število poskusov o učinkovanju danega zaščitnega sredstva je vzorec iz neomejeno velike hipotetične populacije vseh možnih poskusov, ki hi jih izvedli pod enakimi pogoji. 10,4 Enote vzorčenja. Enote opazovanja niso vse¬ lej prikladne za izbiranje v vzorec. Tako je vzorčenje veli¬ kega sestoja sila neprikladno, če so enote vzorčenja posamezna drevesa. Register vseh dreves, identifikacija posameznih izbranih dreves na terenu itd., je v tem primeru zamotan in obsežen posel. Zato za potrebe vzorčenja osnovno populacijo običajno razdelimo na vzorčne enote, ki so za vzorčenje prikladnejše kot osnovne enota. Zato površino sestoja razdeljujemo v prikladnejše enote - pasove ali iregularne površnioe, ki so določene z naravnimi mejami (potmi, potoki itd.). Edini namen razdelitve oEnovne popula¬ cije na vzorčne enote je omej. čiti in olajšati izbor. Vzorčne eno¬ te niso nujno povezane z vsebino pojava, Id. ga proučujemo. Prav posebno pride do izraza sestavljanje vzorčnih enot pri zvez¬ nih populacijah, za katere ne moremo vzeti za osnovo vzorčenja eno¬ te opazovanja, ker jih ni. Tako moremo na primer preučevati variabil" nost v značilnostih lesa za določeno drevo le, če drevo razdelimo na vzorčne enote (npr, kvadre določene stalne izmere itd.). Povr¬ šino sestoja razdelimo na končno število vzorčnih enot, vzorčnih površin. Če pa je npr. vzorčna enota kakorkoli položen kvadrat npr. s površino 25 a, moremo ta kvadrat na površino sestoja položiti na n 60 * mejeno mnogo različnih načinov, ki se morejo med seboj tudi delno prekrivati. V tam primeru je to neskončna populacija vzorčnih enot. 10,R Vzorec . Skupno st vzorčnih enot , ki jih iz osnovne po¬ pulacija izberemo slučajnostno, ds iz njih ocenimo podatke za osnovno populaoijo, imenujemo vzorec . , 236 Vzorec je populacija, ker ima svoje enote (vzorčne enote), te pa znake, ki so isti, kakor znaki za enote v osnovni populaciji, ka¬ kor vsaka populacija ima tudi vzorec svoje parametre. Ti so npr. ■vsota podatkov za vse enote v vzorcu, proporci, povprečja, varian¬ ce, korelacijski koeficienti itd.,izračunani iz podatkov vzorca. število enot v vzorcu običajno zaznamujemo z n, za razliko od Šte¬ vila enot v osnovni populaciji, ki ga zaznamujemo z H. Ker je teori¬ ja vzorčenja različna, če je število enot v vzorcu majhno ali veli¬ ko, razlikujemo male vzorce od velikih vzor¬ cev , glede na to, ali je število enot v vzorcu majhno ali veli¬ ko. Ostre meje med velikimi in malimi vzorci ni. Pač pa velja teorija ®alih vzorcev za vzorce z nekaj deset enotami,medtem ko imajo veliki vzorci običajno po več sto in tudi več tisoč enot. Medtem ko uporab¬ ljamo male vzorce predvsem pri eksperimentalnem delu in z njimi Predvsem preskušamo hipoteze, z velikimi vzorci največkrat nadome¬ ščamo popolna opazovanja in z njimi ocenjujemo parametre. 10.6 Po planu vzorčenja ima vsaka enota osnovne populacije dane verjetnost, da je vključena v vzoreo, Ta verjetnost morebiti z-a. posamezne enote enaka ali različna. Pri enostavnem s lučajnostnem vzorcu ima vsaka enota enako verjetnost, da je vključena v vzoreo. Pri stratif.icirs- n em slučajnem izboru ima vsaka enota določene¬ ga. dela - stratuma- enako verjetnost, da bo vključena v vzoreo. Če¬ prav enostaven slučajen vzoreo najpogosteje uporabljamo, je pri ne¬ kih metodah vzorčenja verjetnost izbora r a z - ■' 2 n a za vsako enoto. Imamo pa tudi metode delnega opazovanja, katerih je izbor vseh ostalih enot v vzorcu določen s slučajnost- Pio izborom prve enote vzorca... Tak primer je sistematič¬ ni- vzoreo ,ki zaradi tega ne sodi čisto med slučajnostne 237 vzorce, vendar ga zaradi njegovih posebnih prednosti zlasti v goz¬ darstvu pogosto uporahljamoe /7> Enota osnovne populacije, ki je izbrana v vzorec, more biti v na¬ daljevanju izbora ponovno izbrana, ali pa glede na plan vzorčenja nima ved možnosti, da je ponovno vključena v vzorec. Glede na to govorimo o vzorčenju s ponavljanjem, ka¬ dar more biti posamezna enota osnovne populacije izbrana v vzorec večkrat, in o vzorčenju brez ponavljanja, adar more biti posamezna enota osnovne populacije izbrana v vzo¬ rec enkrat samkrat. Teorija vzorcev s ponavljanjem je nekako eno¬ stavnejša kot teorija vzorcev brez ponavljanja, vendar v praksi po¬ gosteje uporabljamo vzorca brez ponavljanja, ker so bolj logični in dajo pri enako velikem vzorcu nekaj zanesljivejše ocene. Razli¬ ke med vzorci s ponavljanjem in vzorci brez ponavljanja pa se manj¬ šajo, čim večja je osnovna populacija. 10o7 Populacija vseh možnih vzorcev. Vzorec, ki ga slučajnostno izberemo iz osnovne populacije, ni edini možni vzorec. Če pod enakimi pogoji izbor ponovimo, dobi¬ mo vzorec, v katerem s veliko verjetnostjo niso iste enote kot v prvem vzorcu. Število vseh možnih različnih vzorcev je že za razmeroma majhne po¬ pulacije in vzorce presenetljivo veliko. Matematično je število vseh možnih različnih vzorcev hrez ponavljanja z n enotami, ki jih izberemo iz osnovne populacije, ki ima N vzorčnih enot, ena¬ ko številu vseh možnih kombinacij po n elementov iz kompleksa N elementov. S simbolom izrazimo to 238 število vseh slučajnostnih vzorcev s ponavljanjem pa je Se večje še ima osnovna populacija N enot, je Število vseh možnih različ¬ nih vzorcev s ponavljanjem z n enotami enako Številu vseh mož¬ nih kombinacij s ponavljanjem n elementov iz osnovnega kompleksa S elementov, torej (N+n-1) = N(N+1)(N+2)... (N+n -1) l « ' /.2.3... /7 Vzemimo za ilustracijo, kako veliko je število vseh možnih vzorcev. Populacijo z Nt»75 enotami in izbirajmo vzorce z n=25 enotami. Že t" tem primeru je število vseh možnih vzoroev brez ponavljanja 52,59 trilijonov, število vseh možnih vzorcev s ponavljanjem pa 181890 trilijonov. Že za neobičajno majhne populacije in vzorce je torej število vseh možnih vzorcev velikansko. V stvarnih primerih,- v ka¬ terih je v osnovni populaciji več sto oziroma več tisoč enot in imajo tudi vzorci po več sto enot, pa je število vseh možnih vzor¬ oev praktično neomejeno. ^0.8 Če proučimo skupnost vseh možnih vzorcev, spoznamo, da ima ta Bkupno3t vse lastnosti statističnih populacij. Vzorci so istovrstne količine, ki jih moremo šteti za enote v populaciji vseh kožnih vzoroev. Enote v populaciji vseh možnih vzorcev - vzoroi, imajo svoje znake, kot so povprečja, variance, relativna števila, koeficienti korelacije itd. v vzorcih. Ti znaki variirajo, ker so izračunani za vsak vzorec iz podatkov za različne enote iz osnov- he populacije. Skupnost vseh možnih vzorcev je torej populacija,v kateri so posamezni vzoroi enote, povprečja, proporci, variance, korelacijski koeficienti itd., izračunani iz vzorcev pa so znaki enot - vzoroev. Parametri v populaciji vseh možnih vzoroev pa so Povprečja, variance itd. iz povprečij, proporcev, varianc, korelacij¬ ah koeficientov itd, posameznih vzorcev. 239 10.9 Teoretične vzorčne porazdelit¬ ve. Neposredno proučevanje porazdelitev znakov in izraču¬ navanje parametrov za populacije vseh možnih vzorcev je zaradi o- gromnega števila vseh možnih vzorcev nemogoče. Praktično nemogoče je v stvarnih primerih sestaviti vse možne vzorce, za vsakega izmed njih izračunati npr. vzorčno povprečje, iz teh povprečij sestaviti frekvenčno porazdelitev, iz nje pa izračunati dalje aritmetično sre¬ dino in varianco iz povprečij za vse vzorce. Izkaže pa se, da pridemo do teh količin po krajši poti s teoretič¬ nim razglabljanjem, če zadosti podrobno poznamo osnovno populacijo. V dosti primerih moremo namreč sklepati na odnose v populaciji vseh možnih vzorcev, če poznamo osnovno populacijo. Te zakonitosti med osnovno populacijo in populacijo vseh možnih vzorcev pomaga odkri¬ ti verjetnostni račun. Prav zato, da veljajo osnovne zakonitosti med osnovno populacijo in populacijo vseh možnih vzorcev, je potreb¬ no, da je vzorec izbran tako, da je zagotovljena naključnost izbo¬ ra, ker le tedaj vsljajo teoretični izsledki o medsebojnih odnosih. Zakonitosti v populaciji vseh možnih vzorcev so za nekatere vrste osnovnih populacij in za nekatere probleme odkrili natančno, za dru¬ ge pa samo približno. V obeh primerih pa jih izkoriščamo v praksi pri ocenjevanju in sklepanju iz vzoroa na osnovno populacijo. Zakonitosti v populaciji vseh možnih vzorcev so odvisne od količi¬ ne, ki jo proučujemo, od osnovne populacije in od tipa vzorca, Ven¬ dar so pri velikih vzorcih te razlike vedno bolj zabrisane in so zakonitosti v populaciji vseh možnih vzorcev bolj in bolj enotne, čim večji je vzorec. Zato bomo splošna načela vzorčenja podrobno razložili na aritmetični sredini, ki je eden izmed najvažnejših in najpogostejših parametrov. Vse izsledke, ki veljajo za aritmetič¬ no Bredino, pa zlahka prenesemo tudi na druge parametre. 24 o E nostavno slučajnostno vzorčen.j 5 Ocenjevanje aritmetične sredine 10.10 Vzorčenje, pri katerem ima vsaka enota populacije enako verjetnost, da je izbrana v vzorec, imenujemo enostavne slučajnostno vzorčenje. Za enostavne slučajnostne vzorce, izbrane iz neomejene populacije, in za enostavne slučajnostne vzorce, ki so izbrani iz končnih po¬ pulacij z izborom s ponavljanjem, veljajo za aritmetične sredine ^ _ vzorcev y naslednje zakonitosti! a) Aritmetična sredina iz povprečij y za vse možne vzorce je ena¬ ka aritmetični sredini Y v osnovni populaciji. V skladu s pojmi iz verjetnostnega računa se ta zakonitost glasi tudi takole! Ma¬ tematično upanje za slučajnostno spremenljivko y slučajnostnih vzorcev je enako aritmetični sredini v populaciji My M(y) = E(y)=My ( 10 . 3 ) ti) Varianca aritmetičnih sredin v slučajnostnih vzorcih Var(y) je h krat manjša kot varianca znaka y v osnovni populaciji Var (p) n (10.4) Ce iz variance aritmetičnih sredin v vzorcih izračunamo kvadratni koren, dohimo standardni odklon za aritmetične sredine . vzorcih, ki ga na splošno imenu jamo standardna p o g J, e S k a 0 c e n e , zaznamujemo pa ga z SE. (10.5) 241 o) V praksi običajno proučujemo končne populacije z vzorci brez ponavljanja. Sanje pa veljajo za aritmetične sredine vseh vzorcev nekoliko drugačne zakonitosti. Matematično upanje za aritmetične sredine vzorcev brez ponavlja¬ nja je Se vedno enako aritmetični sredini v osnovni populaciji: M(y)=E(yhMy (lo.ž) varianca za aritmetične sredine v vzorcih pa je enaka Var(y)= 7 ^ S' N-n _ Sl N (10.7) Pri tem je S srednji kvadratični odklon za znak y, ki je izra- 7 čunan po obrazcu N w\2 S >' "n-T~ ( 10 . 8 ) 2 Razen neznatne spremembe, da je . , , . y zamenjan z nebistveno raz¬ ličnim izrazom S^, je v obrazcu dodan še korekturni fakte' , ki izraža, koliki del osnovne populacije je vključen v vzorec. d) He glede na to, ali gre za enostavno vzorčenje s ponavljanjem ali brez njega,/se aritmetične sredine y iz vzorcev porazdeljuje¬ jo v normalni porazdelitvi, če se znak X. porazdeljuje v osnovni populaciji v normalni porazdelitvi. Če se pa JT v osnovni populaciji ne porazdeljuje normalno, se aritmetične sredine y kljub temu porazdeljujejo v porazdelitvah, ki so normalni tem bolj podobne, čim večji je vzoreo. Ta približek je dokaj dober že pri razmeroma majhnih vzorcih, tako da praktično vzamemo, da se aritmetične sredine iz velikih vzorcev porazdelju¬ jejo v normalni distribuciji, ne glede na to, kakšna je porazdeli¬ tev znaka v osnovni populaciji. 242 Iz zgornjih zakonitosti povzamemo, da poznamo porazdelitev ppvpre- tev povprečij y , ki je za teorijo in prakso vzorčenja osnovnega Pomena. 10.11 Točkovna oeena. Odklon zaupanja. Intervalna ocena. E a z m a k zaupa- n j a . Glede na zakonitosti v populaciji sredin v vzorcih in gle¬ de na lastnosti normalne porazdelitve v zvezi s stopnjo tveganja na spločno postavimo trditev, da je aritmetična sredina za enostaven slučajnostni vzorec y s tveganjem 0(/ *. 0,05 v razmaku Aritmetične sredine iz vzorcev se tem holj goste okrog prave arit¬ metične sredine, čim manjša je standardna pogreška sredine. Ta pa je tem manjša, čim večji je vzorec. E taven slučajnostni vzorec z n » 400 drevesi, leži povprečje, izra¬ čunano iz vzorca, s tveganjem OC 0,05, v razmaku Povprečje iz vzoroa se torej s tveganjem CC « 0,05 odklanja od Pravega povprečja za največ 0,29 cm. Zato moremo vzeti povprečje iz vzorca y za oceno pravega povprečja My, To ooeno imenujemo My~ 1,96. SE(j) < y n -1 p Ta ocena je nepristranska ocena za varianco 6 , 6e je vzorec s ponavljanjem oziroma nepristranska ocena povprečnega kvadratične- 2 ga odklona S , če je vzoreo brez ponavljanja, ker je za vzorec s ponavljanjem £CSy) =6y (10.13a) in za vzorec brez ponavljanja £(s$l- S/ U0.13K) Dan izraz, ki ga izračunamo iz vzoroa, je namreč nepristranska ocena nekega parametra iz osnovne populacije, če je matematično upanje tega izraza enako parametru. Zato je tudi aritmetična sredina, izračunana iz vzoroa, zaradi obrazcev 10.3 in 10.6 nepristranska ocena aritmetične sredine v osnovni populaciji. Če v obrazcih 10.4 in 10.7 nadomestimo prave vrednosti za (j ^ in 2 2 y S z ooeno s_, dobimo ooeni varianc za aritmetično sredino. 246 Za vzorce s ponavljanjem je ocena variance Bredine enaka n (10.u) za vzorce Tare z ponavljanja pa var(y)= yf- &-(1-f) t 10 - 1 ?) 10.13 Preskus zakonitosti vzorčenja f \ na shematični populaciji . Zgor¬ nje zakonitosti za aritmetično sredino preskusimo na shematični Populaciji !5»5 enotami, iz katere izbiramo vzorce z n «. 3 eno¬ tami! Osnovni podatki za to populacijo so: \ - 1, I 2 - 2, Y 3 . 3, Y 4 „ 4, Y- = 5» Zanjo je: F* j (1+2+3 +Jr>5)*3 6y = j [(1-3) 2 +(2-3 f+(3~3) 2 +U-3 ) 2 +(5-3 ) 2 ]=2 Sy =~f[(1-3) 2 +-(2-3) 2 +(3-3) 2 +(J>-3) 2 +(5-3) 2 ] = 5/2 Najprej proučimo populacijo vzorcev s ponavljanjem in sestavimo sli¬ ko vseh možnih vzorcev s ponavljanjem s tremi enotami. Glede na o- krazsc 10.2 je Število vsah možnih vzorcev s ponavljanjem enako Številu kombinacij s tremi elementi s ponavljanjem iz kolektiva pe¬ tih elementov, torej: f N+n-1 \ j5 + 3-1\ 5 . 6.7 _ l n J \ 3 J ~ 1 . 2.3 ' •«. v eeh teh 35 različnih vzorcev pa se ne pojavlja z enako verjetnostjo. 247 Medtem ko .je samo ena možnost, da izberemo vzorec, v katerem v pr¬ vem. drugem in tretjem izvlečenju izberemo prvo enoto (lil), so npr. tri različne možnosti, da izberemo vzorec, v katerem sta dva¬ krat prva, enkrat pa druga enota (112 121 211) in Sest različnih možnosti za vzorec, v katerem je prva, druga in tretja enota (123 132 213 231 312 321). Ker je vsaka izmed teh permutacij ena- komožna, vseh možnosti pa je v celoti 125, je verjetnost, da izbe¬ remo v vzorec trikrat prvo enoto 1/125, da izberemo dvakrat prvo in enkrat drugo enoto 3/125 in verjetnost, da izberemo v vzorec prvo, drugo in tretjo enoto, enaka 6/125» Podobno je tudi za dru¬ ge podatke in kombinacije, V tabeli 10,1 so nanizani osnovni podatki o vsakem izmed petintri¬ desetih različnih vzorcev s ponavljanjem z ustrezne verjetnostjo - 2 P, ocena za aritmetično sredino y in ocena variance s . Sa vzorec., v katerega smo izbrali enote 113, je npr. Iz zgornjih podatkov za posamezne vzorce sestavimo najprej verjet¬ nostno porazdelitev za aritmetično sredino v vzorcih y kot slučaj- nostno spremenljivko, To verjetnpstnp porazdelitev dobimo tako, da seštejemo verjetnosti za vse vzoroe, ki. imajo enako aritmetično sre¬ dino. Tako dobimo tabelo 10,2, Iz dobljenih rezultatov spoznamo, da je res £(y) = 3 « My. Če pa izračunamo iz podatkov za populacijo po obrazcu 10,4 še 248 Tabela 10.1 Populacija vseh možnih vzorcev z n =3 enotami s ponav¬ ljanjem iz populacijo z H-5 enotami. Osnovna populaci¬ ja Ts 1 2 3 4 5 s Poznamo, da je tudi ta rezultat skladen z rezultatom, k ga dobimo Neposredno iz verjetnostne porazdelitve. Ostane še preskus stavka, je ocena variance iz vzoroa nepristranska ocena a: varianco v osnovni populaciji 6 • Ce podobno kot za povprečje iz vzorcev 249 Tabela 10.2 Verjetnostna porazdelitev za aritmetične sredine v vzorcih iz populacije T - 1, 2, 3, 4, 5 za vzorce z n-3 s ponavljanjem sestavimo verjetnostno porazdelitev še za oceno variance s , dobi¬ mo tabelo 10.3 Bezultat pokaže skladnost s teorijo. Matematično upanje za varian¬ co ocen je enako varianci v osnovni populaciji« E(s 2 ) - 6 2 - 2. 250 Tabela 10.3 Verjetnostna porazdelitev za ocene varianc 2 . s iz vzorcev E(e 2 ) IO.I4 Hapravimo za isto populacijo Y(1 234 5) podoben preskus še za vzorce brez ponavljanja. Število različnih vzorcev brez ponavljanja z n=2 enotami iz popula¬ cije z N=5 enotami je po obrazcu 10.1 enako (^) = (^) = c 10. n i. • d. « 3 Če proučimo, kakšna je verjetnost za izbor posameznega vzorca brez ponavljanja, spoznamo, da moremo v vzorec brez ponavljanja izbrati iste enote na toliko različnih načinov, kolikor je permutacij iz tt«3 alamentov, v našem primeru torej na 3 = 1.2.3 = 6 različnih na¬ činov (npr. 123 132 213 231 213 321). Ker ja skupno 5*4.3 = 60 raz¬ ličnih možnosti za vse vzorce, je verjetnost za vsak vzorec P « 6/60= 1/10. Vsak vzorec je pri vzorčenju brez ponavljanja enako verjeten. Vsi možni vzorci za naš primer ”30 nakazani v tabeli 10,4. Tabela 10.4 Vzorci "brez ponavljanja iz populacije Y(1 2345) Enako kot za vzorce s ponavljanjem sestavine tudi za vzorce brez po¬ navljanja verjetnostno porazdelitev za aritmetične sredine iz vzor¬ cev in izračunajmo matematično upanje in varianco za aritmetične sredine iz vzorcev. Tabela 10.5 Verjetnostna porazdelitev sredin y iz vzorcev brez ponavljanja 90/30-3-S(y) 30/90-l/3-Vax(?) 252 če Izračunamo E(y) in Var(y) posredno iz parametrov za osnovno po¬ pulacijo, dobimo po obrazcih 10.6 in 10,7 £Yy)=W/=3 Var( y)-^ N-n 5/2 5X3 _ 1_ N ~ 3 ’ 5 3 Dobljena rezultata sta v skladu z rezultati, ki jih dobimo nepo¬ sredno iz verjetnostne porazdelitve aritmetičnih sredin in vzor¬ cev. Preskusimo še stavek o nepristranosti ocene povprečnega kvadratič- 2 2 nega odklona s . Najprej sestavimo verjetnostno porazdelitev.za s , 2 tako da grupiramo rezultate iz stolpca za s iz tabele 10.4 2 -abela 10.6 Verjetnostna porazdelitev varianc s v vzorcih f - E(s 2 ) če matematično upanje za oceno variance s 2 izračunamo posredno iz 2 2 5 Parametrov za populacijo, dobimo po obrazcu 10.13b E(s ) = S ~ ^udi ta rezultata sta skladna. 253 p 25 _ ■as 20 125 i5_ 125 10 125 5 125 y y 1 2 3 i '5 6 7 '8 ' 9'10' h'12' T5'1lt ‘15 1blT IJTI7TT7TTTTT7 #2345 Slika lo.2 Verjetnostni porazdelitvi za povprečja iz vzorcev z in brez ponavljanja Iz verjetnostne porazdelitve aritmetičnih, sredin vzorcev s ponav¬ ljanjem v sliki lo .2 vidimo težnjo k normalni porazdelitvi, ki smo jo navedli kot zakonitost. Čeprav porazdelitev osnovnih podatkov ni normalna in gre za izjemno majhne vzorce, se aritmetične sredi¬ ne vzorcev porazdeljujejo v porazdelitvi, ki je simetrična, zvo¬ nasta, torej v porazdelitvi, ki ima iste značilnosti kot normalna. Ta težnja je manj vidna pri verjetnostni porazdelitvi sredin vzor¬ cev brez ponavljanja, ker je vsega le deset možnih različnih vzor¬ cev. I 0 .I 5 Ocenjevanje parametrov z enostav¬ nim slučajnostnim vzorčenjem na splošno. Zgornji zaključ¬ ki ne veljajo saiao za ocenjevanje aritmetične sredine, ampak pri ocenjevanju za katerikoli drug parameter z enostavnimi velikimi 254 vzoroi. V približku se namreč za katerikoli parameter C ocene o porazdeljujejo normalno s sredino G in standardnim odklonom SE(c) Ce s C zaznamujemo pravo vrednost ocenjevanega parametra, sc pa točkovno oceno tega parametra iz velikega vzorca, je odklon zaupa¬ nja za ooeno D(c)~ z. SL (c) (lo.l6) razmak zaupanja pa c-z.SE(c)-1) (lo.3o) analogen povprečnemu kvadratnemu odklonu S iz podatkov vzorca. 2 P i le da je izračunan Opomba. Če strukturne deleže izražamo v odstotkih, je P$ a 100.P in p?o c 100.p. Ker je Var (pyo) «= Var(lOO.p) n lOO^Var(p), moramo v tem primeru vse obrazce za izračunavanje variance pomnožiti s 2 100 , če ocenjujemo strukturne deleže v odstotkih. 10.18 Število enot z dano značilnostjo 5e H v populaciji dobimo t (10.31) strukturni delež P pomnožimo s skupnim številom enot v popul&- ciji H. Analogno kot pri oceni za vsoto pa dobimo oceno skupnega števila enot z dano značilnostjo če v obrazcu 10.31 pravo vrednost strukturnega deleža zamenjamo z oceno p Hsi 9 Np*Njf ( l0 -3 2 ) Podobno kot pri agregatih je varianca za oceno skupnega števila enot z dano značilnostjo za vzoroe brez ponavljanja enaka \hr(H S [) - N(N~n) = U(N-H) N(N-1) (10.33) var(U &l N NOV- n) n h (” - , h .l (10.34) n(n -1) 258 lo*19 Simbolika in obrazci za ocene parametrov My»Y } P in H eo sistematično nakazani v naslednjem pregledu* Znak za seštevanje število enot število enot z dano značilnostjo Strukturni delež Strukturni odstotek Individualna vrednost Vsota za znale y Povprečje Povprečni kvadratni odklon Varianoa Povprečni kvadratni odklon za strukturni delež Varianca strukturnega deleža Varianca Standardna pogreška Sdklon zaupanja Parametris Populacija N L i*i N H P P?» Y. x Y My s 2 7 4 p Prava vrednost Var SE P Vzorec n 5 n h P žfo h 7 7 2 s 7 =2 P 2 s P Ocena var 36 d , N p n Poprečje Uy = “ V. Y 1 “ Y / !8f 7- ~ 3 y i “ T//n W i«l 1 M Agregat N sl' n y 259 Variance ocen parametrov z vzorcem brez ponavljanja; Var(y) S 2 N~n var(y)* b 2 TT n ' H Var(Y B i Var(p) i var(Y sl )=K(H-n) s 2 var(p) n E c 2 2 S B Var(H B ^)«U(JJ-n) var(E B ^)c H(H-n) —^ Z a-V M Z (\-uyf -H i .. 1 ■ ■ N - 1 ZT (y ± - y ) 2 , 2 : __ n - 1 iti podan različno. Navadno je to spisek enot, ki so oštevilčene k Zaporednimi Številkami. Zelo prikladen okvir je tudi oštevilčena kartoteka enot populacije. Tudi geografska karta, v katero so vneše- enote populacijo glede na geografsko lego in zaznamovane z zapo¬ rednimi številkami, more biti nazoren okvir populaoije. če so enote geografska območja (seetoj, oddelek, gospodarska enota ali podob¬ no), je geografska karta teh območij, v kateri je vsako območje ozna¬ čeno z zaporedno številko, tudi primeren okvir vzorčenja. Kot okvir 261 vzorčenja moremo uporabiti tudi vsako drugo shemo oziroma način, iz katerega je možno identificirati enote osnovne populacije. lo,22 Loterijski način. Eden izmed načinov slu¬ čajnega izbora je loterijski način. Pri loterijskem nači¬ nu imamo v žari listke z zaporednimi številkami enot. V žari je to¬ rej toliko listkov, kolikor ja enot v populaciji. Enako možnost za izbor vsake enote ustvarimo tako, da oštevilčene listke dobro premešamo in iz žare "na slepo" potegnemo listek. Eno¬ to, ki ima izžrebano zaporedno številko, vzamemo kot enoto slučaj- nostnega vzorca. Postopek žrebanja enot vzorca ponavljamo vse do¬ tlej, dokler nimamo izžrebanega ustreznega števila enot n. Pri tem posamezne izžrebane listke pred izborom nove enote vračamo v žaro, če gre za izbor s ponavljanjem. Tako dosežemo, da ima ista izbrana enota možnost, da je ponovno vključena v izbor, če pa izbiramo vzo¬ rec brez ponavljanja, izžrebani listek izločimo, da ga ne moremo ponovno izbrati. Loterijski način slučajnostnega izbora pa je posebno za večje populacije zamuden in okorel. lo.23 Isti cilj dosežemo na drug način, brez listkov za vsako enoto. Vzemimo žaro, v kateri je deset enakih listkov, kroglic ali kook s številkami od 0 do 9 » če imamo populacijo z N m 999 enotami, do- oimo slučajnostno zaporedno številko tako, da s trikratnim žreba¬ njem sestavimo tromestno slučajnostno številko. Izbiramo seveda s ponavljanjem. Če dobimo s prvim žrebom številko 3, 2 drugim 1, b tretjim žrebom pa številko 3, da trojni žreb ustreza izžrebani za- 262 poredni Številki 313 P° prejšnjem načinu, V vzorec vključimo to¬ rej enoto, ki ima v okviru vzorčenja zaporedno številko 313. Pred¬ nost tega načina v primerjavi s prvim je v tem, da ni treba sestav¬ ljati obširnih žar, pomanjkljiv pa je v tem, da je treba za izbor ene same enote toliko žrebanj, kolikor mestno je število enot v po¬ pulaciji H. To pa je zamuden posel. lo,24 Tablice slučajnostnih številk. Hibe loterijskega izbora odpravimo s tablicami slučajnost¬ nih številk. Številke od 0 do 9 , ki jih enkrat izberemo, zabeležim slučajnostne številke moremo uporabiti za več različnih vzorcev. Tako dobimo tablice slučajnostnih števil, v katerih so zapisane šte¬ vilke od 0 do 9 ? kot, so bile po vrsti slučajnostne izbrane iz žare 2 desetimi številkami. En del iz tablic slučajnostnih številk iz knjige; Fisher and Tatesf Statistioal Tables for Biologioal, agri- °ultiral and medical researcb. je dana v tabeli 10.7. Večmestna slučajnostna števila iz teh tablic dobimo, če združimo več slučajnostnih številk v skupine. Vzemimo prvo vrsto iz tablic slučajnostnih številk iz tabele lo.7* °3 47 43 73 86 36 96 47 36 61 46 98 63 71 itd. Zaporedne številke enot, ki jih iz populacije z N =8324 izberemo v slučajnostni vzorec, določimo tako, da vzamemo po vrsti skupine po štiri slučajnostne šte¬ vilke. Prva izbrana enota ima zaporedno številko 0347« Skupine zaporednih štirimestnih slučajnostnih številk sos °347 4373 8636 9647 3661 4698 6371. 263 Tabel« 10.7 Slučajnosine ke Števil 46 93 C 42 53 32 32 90 79 05 03 72 31 62 43 17 37 93 77 04 74 96 10 50 52 42 07 49 17 46 79 63 86 83 12 46 07 45 32 00 56 76 42 34 CT7 13 89 51 97 12 25 16 64 36 45 59 34 20 15 37 44 22 78 71 91 38 96 57 69 77 84 57 53 75 91 67 19 00 02 94 37 79 78 45 87 75 66 34 86 82 264 Tabela 10.7 S lučaj nos+ne Številke (nadaljevanje) 65 Prva izbrana enota ima torej zaporedno Številko 347 (0 na prvem mestu odpade). Naslednja enota ima zaporedno Številko 4373. Slučaj- nostni številki 8636 in 9647 ne prideta v poštev, ker sta večji kot je obseg populacije in ima zadnja enota v populaciji zaporedno številko 8324 . Paš pa vključimo v vzoren Se enote z zaporednimi, številkami 3661, 4698 in 6371. Skupine slučajnostnih zaporednih številk pa se morejo med seboj tu¬ di delno prekrivati. Tako znatno povečamo obseg tablic slučajnost- nih številk. Če za zgornji primer tvorimo štirimestne skupine slu¬ čajno stnih številk tako, da slučajnostne številke premikamo po eno mesto, dobimo tele rezultate« Prva skupina 0347 ostane. Naslednjo skupino pa dobimo, če se v vrsti slučajnostnih številk premaknemo le za eno mesto. Druga skupina je torejt 3474. Naprej dobimo po is tem postopku nadaljnje skupine« 4743 7437 4373 3738 itd. Namesto sedmih skupin po štiri ločene slučajnostne številke, izmed katerih jih moremo le pet uporabiti kot zaporedne številke izbranih enot, dobimo 25 skupin, od katerih je 21 manjših kot 8324- Name .0 5 enot iz istega dela tablic slučajnostnih številk izberemo streza tej slušajnostni številki enota z zaporedno številko 1674. Po prvem n3šinu pa je to slučajnostno število neuporabno. Podobno reduciramo prva mesta skupin slušajnostnih številk za po¬ pulacije, katerih obseg N zašenja s številko 2. Številke 0, 3, 6 štejemo kot 0, slučajnostne številke 1, 4, 7 kot 1, slučajnostne številke 2, 5* S pa kot 2« Sistem je v tem, da je ustrezna prva številka ostanek slučajnostnega števila, če prvo slučajnostno šte- ■Vilko od 0 do 8 delimo s tri. Opozoriti moramo, da slučajnostae skupine, ki začenjajo z 9, izpuščamo. Analogno je pri populacijah , katerih obseg začne s številko 3, Merodajen ostanek, če delimo prvo slučajnostno številko 3 štiri, ne upoštevamo pa 8 in 9» v ® pa se število enot K začne s 4, je prva številka zaporednega števila ostanek, če delimo prvo slučajnostno številko s 5* 267 10.26 Primer a a ©oe&jevanj© z eno¬ stavnim slučajaostnim vzorcem. Uporabo različnih vrst vzorčenja, med njimi, tudi za enostavno slu- čajnostno vzorčenje, homo uporabili na shematični preskusni kvadrat¬ ni ploskvi s površino $1,6 ha. Ta je razdeljena na IT « 24 z 24 = 576 osnovnih površinio kvadratne ohlike po 10 a. kljub temu, da je pri¬ mer shematičen, je populacija zadosti velika, da bomo mogli na raz¬ ličnih primerih oceniti kvalitete posameznih vrst vzorčenja. V ski¬ ci ploskve v sliki 10.3 so nakazane osnovne površinice in vanje vpi¬ sani. podatki o volumnih na posameznih površinioah. M. podatki v na¬ daljevanju služijo za to, da z njihovo pomočjo dohimo podatke o iz¬ branih parcelah. V stvarnem primeru dohimo za izbrane enote te po¬ datke s opazovanjem na terenu. Prave vrednosti parametrov, katere bomo v nadaljevanju ocenjevali, scs Število parcel, za katere je volumen večji kot 30 m" s H «= 320. Odstotek parcel, na katerih ; volumen večji kot 30 m^ 1 P$ ■ 55»^* Skupen volumen sestojat Y «. 17439 m~ ; . Povprečen volumen na osnovno parcelo:My = 30,3 m'" 1 . 268 p2 1 $£, ji L.«, V 92 h -G ; 2^0 i? G ! ]UI2 |33£> h to PDf jVtt ] U\(p ' !vfo |S2f i fri Slika 10.3 Skica poskusne ploskve z If « 576 osnovnimi parce¬ licami e podatki o volumnih na osnovnih ploskvah. 269 10,27 Z enostavni® slučaj no stnim vzorcem "Dres ponavljanja n»72 osnovnih parcel na poskusni ploskvi ocanimes a) povprečni volumen na osnovno površino* y, h) slcupni volumen v sestojui Y^, o) odstotek osnovnih paroslio v sestoju, ki imajo volumen manjši kot 30 m^s p f> d) število parcelic v sestoju, nekaterih je volumen manjši ot 30 r? t H _ si Vzorčna enota jev našem primeru posamezna parcelica izmed 33=576 osnovnih parcelic. Osnovna populacija pa je sestavljena iz vseh 17=576 osnovnih parcelic. Glede na to, da so osnovne enote površine, je najprikladnejši okvir shematična karta sestoja, v kateri so posamezne vzročne enote - osnovne parcelice oštevilčene z zaporednimi številkami od 1 do 576 « Enostaven slučajnostni izbor n-12 osnovnih paroslio srez ponavlja¬ nja izvedemo tako, da iz tahlic slučajnostnih številk vzamemo kot zaporedne številka izbranih enot vsa tromestna alučajnostna števi¬ la c d 001 do 576« Tromestne siučajnostne številke sestavimo po dol©"" čenem pravilu, 7 našem primeru vzemimo po vrstnem roču tromestna števila iz zapore*’’ nih stolpcev v tahlioi e lučaj no sinih števil v dodatku. Najprej vzemimo kot tromestna slučajno stana števila prvo skupino tre" mestnih številk (prva, druga, tretja) is vsake vrste v tablioi slu" čajnosteih številk v dodatku, nato drugo skupina (četrte, pet®, ste siučajnostne številke) is vsake vrste, nato tretjo skupine it*" 27o Vs ® dotlej, dokler ne dobimo n»?2 slučaj no stoik troraestoik St eri.;:;., brez ponavljanja. n=72 tako ugotovljenih tromestnih slučajnostal Številk brez ponavljanja je nanizanih v tabeli 10*8. Iz te tabele je razvidno, da se je v izboru, pet tromestnih Številk ponovilo (&v). Izbrane parcele so v okvirju vzorca v sliki 10,3 uokvirjene, V ta ¬ beli 10.8, kakor tudi v sliki 10.4 so za izbrane parcele naveden,,. iu
  • jJ(lT-in) sl n 576.(576-72} 0,243936 72 983,55 se(H sl ) = Vvar(H sl ) ~ V 983,55 - 31,4 d(E ) - +(0,05.7l)»se(H .) = 2,00.31,4 - 62,8 sl Sl H ■= 344 - 63 Skupno število paroei, na katerih je volumen vešji kot 30 m" 5 , je e tveganjem OC s 0,05 ▼ mejah zaupanja med 281 in 407 * 5e za potrdi¬ lo teorije in za preskus stvarne zanesljivosti rezultata primerjal dobljeno oceno s pravim Številom paroei, ki smo ga dohili s pregl®" dom vseh paroei,_dobimo, da je pravo število paroei H * 320 v mejak zaupanja in da 3e ocena * 344 od pravega števila razlikuje zn 276 344 - 320 - 24 ali 100 Deločanje velikosti v s © r o s pri zahtevani natančnosti o o a n e 10.28 Določanje velikosti vzoroa za oceno povprečja. Pri dosedanjem obravnava™ nju ocenjevanja z vzorčenjem je "bila velikost vzoroa vnaprej znana in smo pri dani velikosti vzoroa ocenjevali parametre in njihovo zanesljivost. Pri planiranju vzoroev pa običajno nastopi problem določiti veli¬ kost vzoroa tako, da bo dal predpisano natančnost, če ne pazimo na velikost vzoroa, se zna zgoditi, da so ocene., ki jih dohimo, neuporabne ali pa imajo omejeno vrednost, ker so premalo zaneslji¬ ve, če je vzorec premajhen. Obratno pa je ocena glede na stvarne potrebe lablco predobra in smo po nepotrebnem vzeli prevelik vzo¬ rec. Zanesljivost ocene z enostavnim vzorcem je dana s standardno po- graško ocene SE ali pa z odklonom zaupanja 2tez.SE, ki pomeni siaj- večji odklon ocene od prave vrednosti pri danem tveganju 576 parcelicami in. skušajmo dolo¬ čiti, kako velik vzorec s ponavljanjem moramo vzeti, da se ocena povprečja od pravega povprečnega volumna na eno parcelo e tveganjem CC= 0,05 ne do odklanjala za več kot D(y) >=> 1 Za tveganje Cv«* 0,05 je z 1,96* Standardni odklon za volumen po paroalioak je r,si = £ K,si (3.0,4°) Varianca za oceno agregata s stratificiranim vzorčenjem Var(Y ) P 3 ^ str vsota varianc ocen agregatov po stratumih j (10/ 'Var(V$L r )- Var(y ijSl ) + Var(Y 2sL ) + "- + Var(y r ^)=Y_Var(V k J Iz teh dveh obrazcev moremo z upoštevanjem zvez med Y, Y, P in H, P r9 j mi vrednostmi in ocenami razviti analogne obrazce za prave vrednosti S ocene parametrov ali varianc za kateregakoli izmed navedenih štirih P* rametrov. 10,36 Razmesti e v enot vzorčenja po s tratumih . Pri stratifioiranem vzorčenju je ena is®® novnih nalog določiti, koliko enot od skupnega števila enot v vzor° u memo v posamezen siratum. Ta razmestitev namreč ni dana vnaprej.Pr^- drobnejšem študiju stratificiranega vzorčenja opazimo, da je od t eg a ’> 0 ii B io ■oC ko enot od skupnega števila enot v celotnem vzorcu je v posamezne® e mu, v bistveni meri odvisna zanesljivost ocene. Zato je ta problem + '° pomembnejši, ugF' 10.37 Proporcionalna razmestitev. Naje* 10 ® j ša rt mestitev, ki jo uporabljamo pri stratifioiranem vzorček ’ 284 proporcionalna razmestitev. Pri proporcionalni razmestitvi je veli¬ kost vzorcev v posameznih stratumih sorazmerna skupnemu številu enot v stratumih. Če 2 \ zaznamujemo skupno število enot, z rij, pa števi¬ lo enot v vzorcu v stratumu k, pri proporcionalni razmestitvi določi- mo po obrazcu n k = a. N k ; a-n/N (10.42) 10 0 38 Vzemimo naš kompleksen primer sestoja z ff « 576 parceli¬ cami, ki so razdeljene v tri stratume 1, 2 in 3. Osnovna razdelitev na stratum za to populacijo je nakazana v okvirju na eliki 10.5. Zanj je v tahali 10.10 nakazano, kako skupno n « ]2 enot vzorca razmestimo po stratumih pri proporcionalni razmestitvi. Razen te¬ ga je v isti taheli tudi nakazano, kolika je varianca za oceno skupnega volumna pri proporcionalni razmestitvi. Konstanta, s ka¬ tero pomnožimo da dobimo n^, je po obrazou 10.42 a = 72/576 » °»125. Tabela 10.10 Izračun števila en« po stratumih in variance agre¬ gata (lesne zaloge) pri proporcionalni razmestitvi na preskusni ploskvi N - 576 n- 72 33703 » V*r(T a= 1,05$ '' str,? str,p ' Stratificirano vzorčenje da v našem primeru -torej znatno boljše rezultate kot enostavno vzorčenje«, Medtem ko je relativen pogre¬ šek za oceno agregata Y z enostavnim vzorčenjem enak SI$(Y sl' 2,29‘/'b, je relativen pogrešek ocene pri stratifioiranem vzorčenju s proporcionalno razmestitvijo skrčen na S£5o( Y^^ 1,05^. Uspešnost posameznih vrst vzorčenja običajno merimo s primerjavo varianc ocen pri posameznih planih vzorčenja« To razmerje namreč približno pokaže, kolikokrat večji enostavni vzoreo hi morali vzeti, če bi z njim hoteli doseči isto natančnost, kot jo doseže¬ mo z določenim tipom vzorčenja, V našem primeru je to razmerje ?ar(Y Var(Y sl' str. 160180 33703 4,75 To pomeni: Če hočemo s enostavnim vzorcem doseči tako kvaliteto za ooeno lesne zaloge, kot jo dosežemo s stratifloiranim vzoroem s proporcionalno razmestitvijo enot s skupno n = 72 osnovnimi po— vreinj.oamij moramo v enostaven slučajen vzorec vzeti približno 4,75 krat več enot kot pri stratifioiranem vzorčenju« Stratifika¬ cija je v tem primeru zelo uspešna, 'arianoo ocene agregatov v posameznih stretumlh smo izračunali po znanem obrazcu 10,22 za izračunavanje variance za ocene agregatov z enostavnimi slučajmostnimi vzorci. 10,39 0 p t_i m a 1 n a— -r a z m e s t i t e v . Kljub uspešno¬ sti proporciOiialne razmestitve pri stratificiranem vzorče- 286 nju pa proporcionalna razmestitev ni najboljša. Ooena v pos&aez« Kih stratumih je tem zanesljivejša; čim manjša je variabilnost v etratumu in obratno. V stratumih, ki so zelo homogeni, je po¬ trebno za razmeroma dobro oceno vzeti sorazmerno manjše vzorce kot v variabilnejših stratumih. Iz tega zaključimo, da dobimo u- godnejšo razmestitev enot v stratumih, ce razen števila enot v posameznih stratumih pri določanju velikosti vzorcev upoštevajo tudi variabilnost, fiačun pokaže, da je optimalna razmestitev enoi v stratumih dana s obrazcem Hk~ Q. N k . S j, O ~ fl/1, H k .S k (IO.43) -o tem obrazcu dobimo dano število enot v vzorcu optimalno razme¬ ščeno po stratumih, če vzamemo, da je število enot v posameznem stratumu proporcionalno številu enot in standardnemu odklonu Sj_ v ustreznem stratumu. ^•0.40 Za naš primer je izračun optimalne razmestitve enot in va~ rianoe ocene za tak stratifioir&n vzorec nakazan za oceno B kupne lasne zaloge v tabeli 10.11. tabela 10,11 Izračun velikosti vzorcev v stratumih in varianca ocene skupne lesne zaloge na preskusni ploskvi pri optimalni razmestitvi 287 Število enot po stratumih dobimo po obrazen 10„43, pri čemer je a = n/ J = 72/1602,24 « 0,044937. Osnovne podatke o in smo dobili is tabele 10.9. Dalje je: SE(y slr>0 ) =-\/VarCy sir)0 ) = -\I~3085E = 175,b Belativen standardni pogrešek pa SE?S>(Y ) « 100«SE(Y )/Ys* SvTj O BUT 5 U = 100.175,6/17439 - 1,01^0 Primerjava variance za strabificirano vzorčenje z optimalno raz¬ mestitvijo s stratificiranim vzorčenjem s proporcionalno razme¬ stitvijo da Var(V str;P )/Vor(y str>0 ) = 33703/30850 = 1,092 . Da bi s proporcionalno razmestitvijo dobili enako zanesiji s ost kot z optimalno razmestitvijo n«-72 enot vzorca, bi morali vzeti približ¬ no za 37 » večji vzorec. 10.41 Optimalna razmestitev enot glede na stroške. Optimalna razmestitev, ki smo jo obravnavali v zgornjem odstavku, je optimalna glede na število enot. V praktičnem delu pa so pomembnejši element pri pla¬ niranju vzorca stroški opazovanja. Zato skušamo dalje iskati opti¬ malno razmestitev enot glede na skupne stroške opazovanja. Ta raz¬ mestitev je enaka pri optimalni razmestitvi glede na število enot, če so stroški za opazovanje ene enote v vseh stratumih enaki, Če p» 288 so stroški za opazovanje vzorčnih enot različni, more optimalna razmestitev glede na stroške bistveno odstopati od optimalne raz¬ mestitve glede na število enot. Glede na stroške je optimalno ti¬ sto število enot v posameznih stratumih, ki da pri istih.stroških najmanjšo skupno varianco in s tem najzanesljivejšo oceno. Vzemimo enostavno funkcijo stroškov, ki upošteva samo konstantno stroške in stroške, ki so v zvezi z opazovanjem posamezna enote vzor¬ čenja. Konstantni stroški so oni, ki niso odvisni od tega, kakšno Število enot vzamemo v vzoreo. To so stroški za pripravo ankete, za sestavo okvirja itd. V variabilne stroške pa vzemimo stroške, ki so v zvezi z opazovanjem posamezne enote. Pri enostavni funkciji stroškov predpostavljamo, da so stroški po posameznih stratumih Proporcionalni številu enot v vzorcih po stratumih. V tem primeru so skupni stroški dani s funkcijo £ri tem pomeniš C » skupni stroški. C q =» konstantni stroški, c v « variabilni, stroški, « stroški za opazovanje ene enote v ^Ti optimalni razmestitvi enot glede na stroške določimo število finot po posameznih stratumih po obrazcu 10,42 Za naš primer vzemimo, da so stroški, eb op&zo T nje ©ne ( 10 . 44 ) 8 trat umu; n. število enot v s trat umu k. n u = a -y~ k * a « C v / L N k S k ^Jč~ k (10.45) V c a osnovne parcele (potni stroški, stroški merjenja itd.) po s tr&tumih naslednji! c 2 - 2500din, c 3 - IbOOdin. 2.8 C i = 3600(fr. Stroški so različni zaradi različnega terena, velikosti teritori¬ ja sestoja itd. Če upoštevamo zgornje stroške na enoto po posamez¬ nih stratumih, znašajo spremenljivi stroški glede na število enot po stratumih. pri optimalni razmestitvi iz tahele 10. lis c i n j +c 2 n 2 +c 3 n 3 - 3600.12 + 2500.33 + 1600.27 * 168900din. Po nakazanem postopku določimo optimalno razmestitev enot po stratumih tako } da dohimo pri enakih spremenljivih stroških 168900 din čim manjšo varianco. Postopek izračuna optimalne razmestitve onot po stratumih glede na stroške je nakazan v tabeli 10.12. Tabela 10.12 Določitev optimalne razmestitve glede na stroške po stratumih za enote Konstanta a, s katero pomnožimo izraze ta dobimo števi¬ lo enot v posameznih stratumih, je o-C v /£N k S k ^[č k - 168900/76608-2,20i7 Iz variance za oceno agregata s stratificiranim vzorčenjem pri novi razmestitvi spoznamo, da smo za isti denar kot pri optimalni 29o razmestitvi glede na Število enot, dolili večji vzoreo in boljSe rezultate. Primerjava varianc za obe razmestitvi Var( V str>0 ) / Vor(y &tr c ) = 30850/30001 = % 028 namreč pokaže, da bi morali v stratifieiraa vzoreo pri optimalni razmestitvi no glede na stroške vzeti za več sredstev, če bi boteli z njim dobiti enako kvalitetno oceno kot s stratifieiranim vzorčenjem, pri katerem upoštevamo razlike v stroških opazovanja. 10,43 Primor za ocenjevanje s stra- tificiranim vzorčenjem. Omenili smo Že, da pri stratifioiranem vzorčenju v vsakem stratumu izvedemo samostojen, od drugih stratumov noodvisen vzoreo, da ocenimo iskani Parameter za vsak stratum posebej, iz; ocen za posamezne stratume pa sestavimo ooeno sa populacijo. Prva naloga pri izvedbi stratifiolranega vzorčsnja je izdelava ok¬ vira vzorčenja. Pri stratificiranem vzorčenju je okvir sestavljen Iz samostojnih seznamov enot po straturnih, ¥ jseznamu enot po posa¬ meznih stra turnih ima vsak stratum svojo posebno numeraoijo, ki omo¬ goča, da pri izboru identificiramo na slučajnosten način izbrane enote. Tudi pri stratificiranem vzorčenju more biti osnova, okvira seznam, kartoteka, geografska karta, skice in podobno, le da so okvirji sestavljeni po strat'umih. Vsak stratum smatramo za samostoj¬ no populacijo s samostojnim okvirjem in numeracijo. V sliki 10,5 je nakazan okvir vzorčenja za poskusni sestoj. Plos¬ kov ja glede na kvaliteto tal razdeljena v tri stratume; 1, 2 in 291 3«, Vsak straium ima v okviru samostojno numeraoijo paroelio. Okvir vzorčenja je v našem primeru shema ploskve z vpisanimi za¬ porednimi številkami parcelic v posameznem stratumu. Zaporedna številke izbranih paroel dobimo iz tablio slučajnost¬ nih številk v dodatku, Ker je skupno število osnovnih parcelic v prvem stratumu c 144» v drugem H„ ~ 192 in v tretjem 3, « 240, iz tablio slučajnostnih številk dobimo zaporedne šte¬ vilke izbranih parcelic po naslednjem pravilu: Od začetka tablic slučajnostnih številk sestavljamo drseče trimestno slučajnostne številke tako, da tromestno skupino pomikamo za eno alučajnostno številko. Ker je število enot v prvem stratumu pod 200, dobimo iz tromestne slučajnostne številka, ki je večja kot 200, zapored¬ no številko izbrane parcele tako, da od nje odštevamo ustrezen mnogokratnik od 200. Enako postopamo v drugem stratumu, ker tudi v njem število enot ni večje kot 200. V tretjem stratumu je šte¬ vilo enot « 240. Zanj od tromestnih slučajnostnih številk odštevamo po znanem postopku 300. Vendar slučajnostne številke,ki so večje kot 900, v tretjem stratumu ne pridejo v poštev, ker bi si" cer ne imela vsaka enota v stratumu enake možnosti, da jo izbere¬ mo in zato ocena ne bi bila nepristranska, V tabeli 10.13 je pri¬ kazan izbor vzorcev v posameznih stratumih. Poleg slučajnostne številke je v drugem stolpcu vpisana zaporedna številka paroele, ki usmreza posamezni slučajnostni številki. Iz tabele je razvid¬ no, da nskatere slučajnostne številke ne pridejo v poštev, ker so večje kot je skupno število enot po stratumik, V prvem stratumu dobimo na primer zaporedno številko izbrane par¬ cele, če ostanek tromestne slučajnostne številke, ki smo jo deli¬ li s 200 ni večji kot H^<=144, Po tem načelu ustreza prvi tromest- ni slučajnostni številka. 034 parcela z zaporedno številko 34, slu- 292 čajnoatna Številka 347 ne pride v poštev, ker je ostanek 347 - 200-147 večji kot 2^-144« Slučajnostmi Številki 474 ustreza paroela z za¬ poredno številko 474 - 400*.74 itd. Podobno postopamo pri drugem in Pri tretjem etratumu. 7 tretjem stolpcu je vpisan volumen na izbranih parcelah, oziroma iz slike 10.3. V četrtem stolpcu je z o naznačeno, če je volumen »a izbrani parceli manjgi ali enak 30 m'\ z 1 pa so označene par- °ele, na katerih je volumen večji kot 30 Izbrane parcele z vpisanimi osnovnimi podatki o volumnih bo vri¬ sane v okviru v sliki 10.5. Pa ocenimo skupen volumen in standardno pogreško oziroma meje za¬ upanja, najprej izračunamo iz osnovnih podatkov o vzorcih za vsak 2 B trat um posebej pomožne količine y- c in s^_. Iz teh količin pa dalje po obrazcih iz pregleda obrazcev v od¬ stavku 10.19 °°ene agregata - volumen y . in ocene varianc var (T ) za po- kj si k,s samezen stratum. Vsota ocen volumnov po stratumih je stratifioi— tana ocena volumna na celi ploskvi, vsota ocen varianc pa ocena tarianoe volumna s s tratifioiranim vzorcem. Analogno za oceno par- G el z volumnom nad 30m najprej preštejemo za posamezne stratume število paroel z nad 30 m' 1 volumna h^. in izračunamo s^» Iz teh -oličin pa dalje po obrazcih iz pregleda 10.19 izračunamo oceno Števila enot z nad 30 ^ in ocene variance tega števila V&1 ^Hk ) za posamezen stratum. Enako kot pri agregatu je vsota °°en po stratumih enaka stratifioirani oceni za oelotno ploskev. Pomožne količine in osnovni izračun stratificiranih ooen je naka- v tabeli 10 , 14 . 293 'Panela X0 o 23 Osnovni podatki o stratificir&nea vaorou na alta™ perimentalni ploskvi /. stratum 2. stratum 3.stralum Slika 10=5 Okvir za etratifioirano vzorčenje z vrisani¬ mi slučajnostno izbranimi parcelami po stra- tumih. pri optimalni razmestitvi. 2S5 10.14 Ocenitev lesne zaloge in števila paroelic z lesno zalogo nad 30 ur na poskusni ploskvi a stratifioiranim vzorče¬ nj em Iz varianc ocen izračunamo standardne pogreške in meje zaupanja: Be(Y str ) " V Tar ( T B tr ) - » 159,5 m 3 d(Y ) ■ 2,00 se(Y , ) «= 2,00.159,5 » 319 m 3 ' str str Prava lesna zaloga s tveganjem c*. ■ 0,05 ni manjša kot Y «=Y -d(Y ^ ) « 17512-319°17193 k in ne večja kot min str ' str' Y = Y +d(Y ) « 17512+319 » 17831 m . amx str str Če primerjamo dobljeni rezultat s pravo lesno zalogo Y <= 17439 ®' » vidimo, da ta vrednost leži v mejah zaupanja. Razlika ocene od pra¬ ve vrednosti Y - Y » 17512 - 17439 = + 73 m 3 jo komaj 0,43?& od St*T skupnega volumna. Dobljen ooena je znatno boljša, kot pa smo jo do*" s 296 1 k bili z anostavnim vzoroem Za Število parcel z lesno zalogo nad 30 m 3 pa je? S * (E str ) ” V^^etr) - 3/238,27 . 15,44 d(H Efe£i ) - 2,00.se(H gtr ) » 2,00.15,44 - 31 Pravo Število parcel z nad 30 m 3 je a tveganjem &. s> 0,05 večje k0t H min “ H B tr “ ^str* “ 339 “ 31 “ 308 in manjše kot H »H + d(H A ) « 339 + 31 » 370 max str ' str Ker je stratifikacija v našem primeru zelo uspešna, se ocen® \tr “ 339 od P rave S a Števila parcel z nad 30 m 3 H « 344 razliku¬ je samo za 5» Vzorčenje v skupinicah iO.44 Hiba enostavnega vzorčenja je med drugim tudi v tem, da so enote vzorčenja po vsej ploskvi razmeščene tako, da 00 v po- sameznih primerih stroški za pregled sne same enote znatni, ker v okolici te enote ni drugih enot is vzorca. Čeprav je to dejstvo za kvaliteto ocene ugodno, kar je vzorec tlj reprezentativen, če ec »note vzorca razmeščene po vsej ploskvi, je tak: vzorec ■ vrazmsruo drag, Te hibe ne odpravi niti straiifieir&no vzorčenj.,, pri katerem problem ostane, čeprav v okviru stratumov. Zato v dul ...tenih pri— m merih težimo za tem, da so sosedne osnovne enote vzorca združe¬ ne v skupinice. S slučajnim vzorcem v tem primeru ne izbiramo posamezne osnovne enote vzorca, temveč celotne skupinioe. Kvaliteta ocene za populacijo je predvsem odvisna od tega, kako so osnovne enote združene v skupinice, oziroma kakšne so lastnos¬ ti skupinic. IO.45 Kljub temu, da so skupinice sestavljene iz več osnovnih je osnovno vzorčenje skupinic zelo sorodno enostavnemu vzorčenju, le da so namesto osnovnih enot enote vzorčenja skupinice. vrednost agregata v skupinici k vsota vseh vrednosti osnovnih enot. Če je v populaciji M skupinic in s slučajnostnim vzorcem izbere¬ mo m enot, je po znanih stavkih za ocenjevanje agregata z enostav¬ nim vzorčenjem ocena agregata z vzorčenjem v skupinicah enot, jih smatramo kot samostojne enote vzorčenja. Zato m ( 10 . 47 ) k*1 varianoa za oceno agregata z vzorčenjem v skupinicah pa je ( 10 . 48 ) k»4 M- 1 298 Ocena variance pa je analogno ( 10 . 49 ) m var %k ~ M(M-m) ‘ Obrazci so analogni obrazcem za enostavno vzorčenje, le da se nanašajo na podatke o skupinicah.,, Analogni so tudi drugi obrazci za ocene varianc agregata, za ocene aritmetične Bredine itd« Pinioah sklepamo, da je ooena agregata z vzorčenjem v skupinicah Nežne skupinice. Iz tega spoznamo, da ocena z vzorčenjem v skupi- nicah ni odvisna od variabilnosti osnovnih podatkov v skupinicah, ampak samo od variabilnosti podatkov med skupinicami. Ta lastnost je ravno obratna kot pri stratificiranem vzorčenju, pri katerem ja zanesljivost ocene odvisna samo od variabilnosti znotraj skupin- stratumov. Zato pri stratificiranem vzorčenju težimo za tem, da so Razlike med stratumi čim večje, variabilnost znotraj stratumov pa Sim manjša. Pri vzorčenju v skupinicah pa je obratno ooena tem boljša, čim manjša je variabilnost med skupinicami. IO.46 Vrste skupinic . Osnovne enote združujemo v skupinice po različnih načelih« Kot sledi iz prejšnjega od- 6 i&vka pa pri sestavljanju skupinic težimo za tem, da združujemo snote tako, da so razlike med skupinicami čim manjše, -s vzamemo, da je v gozdarstvu osnovna enota drevo, združujemo dre- 'feaa v skupinice aa različne načine. Skupinica morejo biti vsa dre- T «ea na iregularnih pevr§inioafc,kisos J5 **avnimi mejami (poti, potoki) ali kako drugače (meje paroel) lah- Iz obrazca 10.48 za izračun variance agregata z vzorčenjem v sku- tem uspešnejša, čim manjša je varianca med vrednostmi T, za pose.-™ 299 ko doloCljive. Pri tem težimo za tem, da tako sestavljene skupi¬ nice niso med seboj preveč različne niti po obsegu niti po števi¬ lu dreves. Pogoste pa so v gozdarstvu skupinice regularnih p o - vršinic . Tako sestavljajo skupinice krogi z določenim ra¬ dijem, kvadrati z dano stranico, pravokotniki, pasovi oziroma proge. Posebna oblika vzorčenja v skupinicah je sistematič¬ no vzorčenje. Sistematični vzorci so po svoji naravi isIr¬ ki, da je v posebnih pogojih variabilnost med skupinicami tako majhna, da moremo eno samo skupinico vzeti za osnovo pri ocenjeva¬ nju parametrov populacije. 10.47 Primer vzorčenja skupinic iregularnih površin. Ha poskusni plosk¬ ih. smo osnovne enote (kvadratne površine po 10 a) po na¬ ravnem kriteriju v iregularno površinioa, ki so po obsegu različ¬ ne. Vsekakor moremo kombinirati vzorčenje v skupinicah s stratifi¬ kacijo. V sliki 10.6 imamo sestavljen okvir za stratificirano vzorčenje skupinic na poskusni ploskvi. V stratumu 1 je o 32 skupinic, v stratumu 2 je «> 43 skupinic, v stratumu 3 pa 15, » «= 58 skupinic. Ker je število skupinic v posameznih stratumih samo dvomestno šte¬ vilo, iz tablic slučajnostnih številk sestavimo samo dvomestne Blučajnostne številke. Kar je » 32, tablice racionalneje izkori¬ stimo, če slučajnostne številke do 32 smatramo kot zaporedne šte¬ vilke izbranih parcel. Iz slučajnostnih številk od 41 do 72 pa do¬ bimo zaporedna številk® izbranih parosl, če odštejemo od njih 40 * 3oe I stratum 2. st ra tum 3. straium Slika 10,6 Okvir za stratificirano vzorčenja v skupinioah z vrisanimi slučajnostno izbranimi skupinicami po stratumih. 3ol Podobno v stratumu 2 elušajnostne številke od 1 do 43 ustrezajo zaporednim številkam izbranih parcel, iz slušajnostnih številk od pl do 93 ?a dotamo zaporedne številke, še od njih odštejemo JO. Za stratum 3 pa izkoristimo kot zaporedne številke izbranih skupinic slušajnoBtne številke, ki so manjše kot = 58. 7 vzoreo vključimo 25$ skupinic in enote vzoroa razmestimo med stratumi proporcionalno številu skupinic, Tako dobimo, da je šte¬ vilo skupinic v Vzorcih po stratumihs iij = 6, m 2 * 11 in c 15. Po zgornjih pravilih 3 tablicami slušajnostnih števil izberemo ustrezno število skupinic. Podatki izbora so za posamezne stratu- me nakazani v tabeli 10 .15. SluSajnostne številke so dvomestne slušajnostne številke iz 21 . stolpca v tablici slušajnostnih šte¬ vilk. 3o2 Tabela 10,15 Podatki o izboru enot v stratifieiranem vzorcu. sku¬ pinic, (Sl. št, »slučajnostim številka, Z,št. „ za¬ poredna številka skupinice v okvirju, « volumen v izbrani sku¬ pinici, x. ■» število osnovnih parcel v skupinici), Stratum 1 3o3 Iz podatkov v tabeli .10 .15 ocenimo volumen in standardni pogre¬ šek oziroma meje zaupam ja za oceno volumna enako kot za enosta¬ ven stratificiran vzorec, le da se podatki nanaša.jo na skupinice. 10.16 Izračun variance za stratificirano vzorčenje skupinic na poskusni ploskvi Iz osnovnih podatkov po stratuaih smo izračunali ocene volumnov X za posamezne stratume po obrazcu 10.47, ocene variar za k, sl ocene agregatov pa po obrazcu 10.49» Vsota ocen za lesno zalogo po posameznih stratumib je stratificirana ocena za celoten sestoj, vsota varianc pa ocena variance za stratificirano oceno agregata. Po zgornjih rezultatih sta meji zaupanja - V 285705 ■ 534 ' 5 " 3 odklon zaupanja s tveganjem ck «* 0,05 P 6 3® čL^sk.str 5 - -t(0*05}30).se(T skjBtr ) - 2,04.534,5 - 1090 m 3 3 04 Pravi volumen je torej s tveganjem o( <* 0,05 v mejah T « 16921 - 1090. 10,48 Vzorfienje v pasovih. Zelo cenjen na¬ čin vzorčenja v skupinicah v gozdarstvu so pasovi ali proge. Prednost pasov pred skupinicami iregularnih ohlik je v laž¬ ji tehnični opredelitvi proge in v lažjem sestavljanju okvira. Vsebinsko pa so pasovi prikladnejši zato, ker je pri poznanem te¬ renu možno položiti proge v taki smeri, da je variabilnost zno¬ traj pasov velika, variabilnost med pasovi pa čim manjša, Če nam¬ reč za določen sestoj vemo, da se kvaliteta gozda spreminja v do¬ ločeni smeri (npr. v smeri največjega padca terena), usmerimo proge v tej 3meri in dobimo razdelitev populacije na enote z že¬ lenimi lastnostmi. Proge se lahko raztezajo od meje do meje sestoja in so lahko raz¬ lične dolžine, morejo pa biti tudi krajše in enako dolge. Pri vzorčenju prog površino sestoja razdelimo po zgornjem načelu v proge, ki so enote vzorčenja. S slučajnostnim izborom izberemo ustrezno število prog, katere proučimo v celoti. Iz podatkov o izbranih progah pa ocenimo parametre in standardne pogreške za celoto po obrazcih za ocenjevanje z enostavnim vzorčenjem, pri če¬ mer so posamezne proge vzorčne enote. IO .49 Primer za ocenjevanje e pro¬ gami . Za poskusni sestoj proučimo možnost up.rabe prog za ocenjevanje skupnega volumna v sestoju. Če preučimc akioo po¬ skusnega sestoja v sliki 10 . 3 , opazimo, da se kvaliteta sestoja ■bolj spreminja v smeri od leve na desno, kot pa v smeri od zgt>~ raj navzdol* Zato jo primerneje, da usmerimo proge horizontalne kot pa vertikalno« Zaradi potrditve zgornjega zaključka proučimo, kakšne rezultate da vzorčenje v vertikalnih in kakšne v horizontal- nik pasovih. Vzemimo, da so proge široke toliko kot osnovne kvadratične par¬ cele in da se raztezajo skozi vse dolžino oziroma širino sesto¬ ja. V vsako progo je torej vključenih 24 osnovnih parcelic. Za¬ radi možnosti primerjave kvalitet ocen, dobljenih s progami, s kvaliteto ooen po drugih metodah, vzemimo število osnovnih parce¬ lic v vzorčenju v progah enako številu pareelio pri enostavnem vzorčenju. V vzorec vključimo 3 naključno izbrane pasove, ki ima¬ jo skupno 3 x 24 «. 72 osnovnih parcelic. V sliki 10.7 je narisana shema okvira za vzorčenje v progah, če so proge orientirane navpično, in shema okvira, v katerem so pro¬ ge; orientirane vodoravno« Poleg oznake prog s zaporednimi šte¬ vilkami so v posameznih progah podatki o skupnem volumnu v posa¬ meznih pasovih. Ti podatki služijo za teoretično proučitev obeh sistemov vzorčenja. Za navpične proge iz sheme 10.7 dobimo, da je povprečen kvadrati- 2 čen odklon med progami S~ » 1S530. Ker je število prog v popula- p.n ciji H m 24 ., število prog v vzorcu pa m » 3 , j® varianca za oceno volumna z vzorcem v navpičnih progah Var(Y p _ n ) = M (M-m) =2U2i-3) = 3/29840 Nasprotno pa je vzorčenje v vodoravnih progah, ki so usmerjane v ~3o6 smarl intenzivne spremembe v kvaliteti sestoja, povprečen kvadra- 2 tičen odklon mee vodoravnimi progami S s 236,70. Ker jo tudi p.v za vodoravne proge M » 24 in M » 3, je varianca za ooeno lesne za¬ loge z vzorcem iz vodoravnih prog Var( y p . v )= M. ( M~m) = 24 . (' 24 - 3 ) = 37766 Primerjava varianc za obe oceni Var(Y P J 31298M Var(y p . v ) " 39766 Pokaže, da je razlika v zanesljivosti ogromna. Varianca za ooeno agregata s progami, usmerjenimi v smeri razlik v kvaliteti je sko¬ paj devetinsedemdesetkrat manjSa kot pri progah v obratni smeri. Sistematično vzorčenj® IO.50 Osnova » Čisti slučajnostni izbor s tablicami slučaj- nostnih številk ja kljub določenim poenostavitvam še vseeno razmeroma okoren. Zato v gozdarski praksi pogosto uporabljamo siste— etični izbor, ki je tehnično enostavnejši, more pa pod določenimi Predpostavkami zamenjati čisti slučajnostni izbor. Včasih pa da si¬ stematični izbor celo boljča rezultate kot čisti slučajnostni iz- kor. ®b.j enostavnejša oblika sistematičnega izbora je naslednja. Iz spis¬ ka vseh enot populacija izberemo v vzorec vsako e-to enoto, ustrezno 8 planirano velikostjo vzorca, s je stopinja vzorči¬ lo? •i 2 3 4 s 6 7 e 9 io a a n ik e it 17 / 8 19 20 2122 n ik d) navpični pasovi b) vodoravni pasovi Slika 10.7 Skena okvira vzorSenja v pasovih na poskus¬ ni ploskvi. 3o8 11 j » in pove, vsako katero enoto po vreti izberemo v siste¬ matičen vzorec. Če izbiramo vzorec, za katerega je vzorčni de¬ lež 10$, vključimo v sistematični vzoreo vsako deseto enoto iz spiska. Prvo enoto izberemo izmed prvih s enot s slučajnostnim "vzorcem. S prvo izbrano enoto pa so vse druge enote sistematič¬ nega vzorca dane avtomatično. Če s slučajnostnim izborom izbere¬ mo kot prvo enoto z zaporedno številko 3j ima druga enota v 10$ sistematičnem vzorcu zaporedno številko 13 , tretja 23 , četrta 33, Peta 43 itd., dokler ne izčrpamo celotne populacije. Stopinja s pri sistematičnem vzorčenju pove, vsako koliko enoto Po vrsti moramo vključiti v sistematični-vzorec. Stopinja pri sistematičnem vzorčenju je z vzorčnim deležem f, ki pove, koliki del od celotne populacije je vključen v vzoreo, v enostavni zve¬ zi. Stopinja sistematičnega vzorčenja s je recipročna vrednost vzorčnega deleža f, Obratno pa je vzorčni delež recipročna vred¬ nost Btopinje pri sistematičnem vzorčenju. N J_c--L s = 7 T ; 5 " I - > s (10.50) je vzorčni delež f m 0,02, pomeni, da v vzoreo vključimo 2$ enot populacije. Stopinja sistematičnega vzorčenja je za ta pri¬ mer enaka s *. l/0,02 c 5®* V sistematičen vzoreo izberemo vsako Petdeseto enoto. Obratno je vzorčni delež za sistematične vzorce, pri katerih je stopinja vzorčenja npr. s - 20, enak f ■* 1/20 o 0 , 05 . Sistematično vzorčenje kot vzorec skupinic l0«51 Sistematično vzorčenje je po svoji osnovi vzorčenje v sku— 3o9 pinicah. To razvidimo Iz naslednjega sklepanja, Če je znana sto¬ pinja vzorčenja s, moremo k vsaki Številki od 1 do s prirediti skup¬ nost enot, ki imajo zaporedne številke, ki bo za. mnogokratnik od s večje kot prva številka. Tako v prvo skupino spadajo enote z za¬ porednimi številkami 1, s+1, 2s+l, 3s+l, 4s+l v drugo enoto z za¬ porednimi številkami 2, a+2, 2s+2, 3»+2, 4s+2 v tretjo enoto z za¬ porednimi številkami 3j s+3, 2s+3, 3s+3» 4 b+ 3 in tako dalje do skupine s, v katero spadajo enote z zaporednimi številkami, s, 2.s, 3s, 4 s 5 .......... Populacijo tako razdelimo po določenem pravilu v s skupinic. Kot velja za vzorčenja v skupinicah, na splošno, da je ooona tem boljša, čim manjša je variabilnost med skupinicami, velja to tu¬ di za sistematično vzorčenje. Iz tega izhaja niz zaključkov o kva¬ liteti ocen a sistematičnim vzorčenjem. Predvsem je sistematično vzorčenje mnogo enostavnejše kot čisti slučajnostni vzorec in ga moremo zato izvajati neposredno na terenu. Bazen tega pa Se na prvi pogled kaže, da_da sistematični vzoreo boljše rezultate kot _ čisti slučajnostni vzoreo, ker je s teimiko sistematičnega izbo¬ ra zagotovljeno, da so enc.te razporejene enakomerno po vsej popu¬ laciji, kar ni vselej primer pri čistem elučajnostnem vzorčenju. če je vrstni red enot v okviru slučajnost.en in ni v pojavljanju nikeke zakonitosti, j.e sistematičen vzorec enakovreden čistemu slučajnostnsmu vzorčenju, ki ima, enako število enot. Če vrstnega reda pojavljanja gled.s na proučevani znak ne moremo smatrati kot slučajnostnega ampak so enote razmeščene po narav¬ nem vrstnem redu ,taku, da posamezni deli v spisku predstavljajo homogene celote, ima sistematični vzorec v sebi elemente vtrotifi- oir&nega vzorčenja a proporcionalna razmestitvijo. Zato dobimo z 31 » boljše ocene kot »■ Blatim Blučajnostnia VBorčenjam ozis - •, ooene, ki so ekvivalentne stratifioiracaemu vzorčenju, Sistematič¬ ni vzorec v tem primeru predstavlja v nekem smislu saraootratifi- kaoija, kar je vsekakor pozitiven element, Sistematičen vzorec da v splošnem boljše ocene kot čisti slučaj kostni vzorec tudi v primeru, če v okviru vzorfc-.vnja »mladim« so ko tendenco enakomernega spreminjanja pojava, ki ga proučujemo, Sistematično vzorčenje pa daje obratno slabše ocene kot čisti Blučajnostni vKorsCj 6© s© v spisku £r‘,&6jLJ.&cs1»j; fei £-voxi™ kujemo, periodične spreminja, s periodo* ki je mnogokratnik », linje sistematičnega vzorčenja. IO.52 Sistematično vzorčenje na p o ~ v r š i .11 a h . V prejšnjem odstavku smo navedli, kako izbiramo enote v sistematični vzorec, če je okvir vzorčenja spi- ®.«k enot,.Večkrat pa je v gozdarstvu okvir vzorčenja geogra fski karta oziroma sama ploskev ali sestoj na terenu. V teh primerih, način sistematičnega izbora prilagodimo novim pogojem. Pri okvi- i'h, ki je dan s spiskom enot, je stopinja za sistematično vzorče¬ nje dana s tem, da povemo vsaka kolika zaporedna enota v spisku j® vključena v izbor. Sto pinj a pri sistematičnem vzorčenju na pe~ ' r i , 2 inah pa pove, koliko je posamezna enota siste matič nega vzor- °a oddaljena, druga od druge. Primer sistematičnega vzorčenja ne. Površinah je naslednji sistem izbora. Vzemimo, da je vzorčna eno~ krog z radijem 5s 64 m ali površine 1 a, stopinja sistematič¬ nega izbora pa 50 m. Da Bietematično prepredemo celotno proučeva¬ lo ploskev s krogi, ploskev najprej prepredemo s sistemom vzpo¬ rednih daljic, ki. so oddaljene druga od druge po 5 ° ni« Na 5 ° me- 311 trskam odseku prve daljioe aa slučajnosten način določimo sredi¬ šče prvega kroga. SredJ.šos drugega kroga leži na isti daljici od¬ daljeno od središča prvega kroga 50 m. Središče naslednjega kroga leži na isti daljici oddaljeno od središča drugega kroga 5 » ® itd. Ko pridemo na prvi daljici do meje ploskve in ne moremo več odme¬ riti 5° m s da "bi izbrali srediSče naslednjega kroga, preidemo v obratni smeri na drugo daljico. Pri tem pa pri izboru upoštevamo ostanek v metrih iz prve daljice. Če je npr. srediSče zadnjega kroga na prvi daljici oddaljeno od meje 23 m, je srediSče prvega 'kroga na naslednji daljici od meje oddaljeno 50-23 *> 27 m. Posto¬ pek določanja drugih krogov v vzorcu ponavljamo po istem postop¬ ku vse dotlej, dokler ne preidemo v odsekih po 50 ® vseh daljic. Da se izognemo vplivu mejnega področja na ooeno, v gozdarstvu v praksi kroge pri sistematičnem vzorčenju določamo tako, da eo od rohov oziroma mej odmaknjeni vsaj 2 o -25 m. HakazarJ. postopek izbora js razviden iz sheme v sliki 10.7. Siste¬ matično vzorčenje na površinah ima pod enakimi pogoji kot siste¬ matično vzorčenje iz spiska enot prednosti oziroma pomanjkljivo- sti pred čistim slučajnostnim vzorčenjem. Periodičnosti, k;I so nevarne pri sistematičnem vzorčenju, se pri vzorčenju površin po¬ javljajo, kadar je na ploskvi več vzporednih pasev spreminjajoče se kvalitete. Sistematično vzorčenje na površinah .a da boljše rezultate kot čisti slučajnostmi vzoreo, če je populacija nehomo¬ gena. IO .53 Ocenjevanje parametrov s si - stematičnim vzorčenjem. S sistema¬ tičnim vzorčenjem ocenjujemo parametre z obrazci, ki so slični obrazcem za ocenjevanje z enostavnim slučajnostnim vzorčenjem. 312 Agregat in aritmetično sredino ocenjujemo po obrazcih ^5/5 = ^ V = s.y ; M S - IS = y/H (10.51) strukturni delež P in Število enot z dano značilnostjo H pa po obrazoih Psis-h/n ) H si s ~ j~jfT h ( 10 , 52 ) Pri Čemer pomeniš H «= število enot v populaciji j n *= število enot v sistematičnem vzorcu; y = vsota podatkov v sistematičnem vzor- °U; h a število enot z dano značilnostjo v sistematičnem vzorcu. IO.54 Ocenjevanje variance za ocena parametrov. Pri sistematičnem vzorčenju je po¬ pulacija skupinic sestavljena iz s skupinic. Od teh je v danem sistematičnem vzorcu v vsakem primeru izbrana le ena sama. Vari¬ anca za oceno agregata za ta primer je na obrazcu 10.22 enaka Varl Y s ; s )“ sls- 1 ) S^ ; ( 10 . 53 ) tem je: °ami. 2 S ysis s povprečen kvadratlCni odklon med skupini— ^sr pa je pri sistematičnem vzorčenju v vsakem primeru od s sku¬ pinic vključena v vzorec le enaj ne moremo iz nje oceni..;. pov— 2 Prečnega kvadratičnage odklona S 1° dejstvo je hita siste— Etičnega vzorca. m Ped določenimi predpost&vkaHd o vrstnem redu enot v populaciji pa moremo vseeno oceniti variance oziroma standardni pogrešek in meje zaupanja. če predpostavljamo, da je vrstni red enot glede na proučevano karakteristiko slučajnostan, smo nakazali, da je sistematičen vzoreo po svojih kvalitetah enakovreden čistemu slučajnostnemu vzorčenju. ¥ tem primeru moremo s sistematičnim izborom izbrane enote in podatke smatrati kot da so izbrani s slučajnostnim izbo¬ rom. Za ta primer upravičeno ocenimo varianc o ooene agregata po istem obrazcu kot za čisti slučajnostni vzorec po obrazcu. pri čemer pomeniš K = Število osnovnih enot v populaciji, n « Ste- 2 vilo enot v sistematičnem vzorcu in s - ocena varianoe za y iz 7 osnovnih podatkov v sistematičnem vzorcu. Izdelane so metode za ocenjevanje varianoe ocen tudi za primere, da razpored enot v okviru ni slučajnosten. Ena od teh je dana v primeru v nadaljevanju, druge pa presegajo naS okvir. 10.55 Primer za sistematično vzor¬ čenje. Vzemimo, da v naSem poskusnem sestoju ocenju¬ jemo lesno zalogo s sistematičnim vzorcem. Lesno zalogo ocenimo z n «. 64 osnovnimi parcelicami, ki jih izberemo s sistematičnim vzorčenjem. Eer ploskev sestoji iz K •» 5$6 osnovnih parcelic, do¬ bimo, da s sistematičnim vzoressm opazujemo na s«Jf/ru«576/64*«9 par¬ cel po eno, To pomeni, da v vsaki. ( V"9*»3) tretji vrsti določimo 314 lesno zalogo na vsaki tretji parcelici. Kot je razvidno iz sheme v sliki 10.7 pri prehodu iz ene vrste v drugo upoštevamo, da mora— ta hiti med vsako izbrano parcelo po dve parceli. Prva parcelica je izbrana s slučajnostnim vzorcem izmed 3x3«9 parcelic v skraj¬ nem zgornjem levem delu ploskve. Vse druge parcele pa so s prvo Parcelo določene s sistemom sistematičnega izbora. Oceno volum¬ na dobimo po obrazcu 10,52 in je y= fr 17289 Primerjava ocene s pravim volumnom v sestoju Y » 17439 pokaže, da je sistematično vzorčenje dalo zelo dober rezultat. Razlika je namreč samo Y . - X - 17289 ~ 17439 - -- 150 ali v odstotkih SIS "0,S6?fc. Ocena je tako dobra zato, ker je sestoj sestavljen iz v eč homogenih delov. hi ocenili varianoc za dobljeno oceno po obrazcu za slučajnost— ni vzorec, bi bila vsekakor previsoka, ker populacija ni dana v slučajnostnam vrstnem redu enot, temveč v naravnem vrstnem redu, fci kaze izrazite zakonitosti različne kakovosti v različnih de¬ lih sestoja. Ta varianca v tem primeru znaša Var(Y g ) - 207178. “S predpostavijemo, da v naravni razporeditvi v sestoju ni perio- ‘Učnih sprememb v kvaliteti, moremo smatrati, da je populacija se- stavljena iz n delnih populacij po s - 9 paroelio, v katerih je $0 ena parcelioa izbrana v vzoreo. 315 Slika 10,7 Sistematičen izbor na poskusni ploskvi Sistematično vzorčenje je v tem primeru enakovredno s stratifioi- rania vzorčenjem, ki ima n stratumov, v vsakem stratumu pa K/n=s enot, izmed katerih v vsakem stratumu izberemo po eno enoto, Ker pa iz ene same enote ne moremo oceniti varianoe, združimo po dva sosedna elementarna stratuma v nove stratume z = 2s enota¬ mi in smatramo, da smo iz vsakega vzeli v vzorec po dve enoti. Ocena variance agregata v stratumu je dana z znanim obrazcem S Y 2 var(Y^)=lI(N-n) • V našem primeru je E=2s, n=2, s^_ izraču¬ nan is dveh podatkov. S~ = ( y i~ ——) = 4 - ,, _ 0 -j 2 2 ^ l0 -55) je polovica kvadrata diference med obema vrednostima v stratu- rou. Varianco ocene agregata s sistematičnim vzorcem ocenimo v tem primeru po obrazcu 2 Var )/ 5 ; s =£" 2 s (2s-2) -jj “ s(s- (10.56) ker je ocena varianoe agregata s stratifioiranim vzorčenjem enaka vsoti ocen varianc v posameznih stratumih. Uporabimo to metodo v našem primeru pri predpostavki, da ni v po¬ pulaciji neke periodičnosti, ki bi onemogočila uporabo te metode. Kombinirajmo prvi dve izbrani parceli z volumnom 18 in 24, drugi dva z volumnoma 23 in 28 in tako dalje. Tako dobimo ustrezne raz¬ like: 317 «18-24= «6, čL 2 «23-28» -5, d «27-35= -8, ^»43-43=0 d_««34~34*“ 0, d,«32—35“ "3j d„«32-28= +4 itd« do nadnje raz- 5 o ( IšJce d^ 2 «34^35“ -3 I> 2 c d l * d 2 * d 3 * ••• + d 32 ' (-6) 2 +{-5) 2 +(-8) 2 + ... ... +(~1) 2 - 453 Po obrazcu 10*56 do‘bimo končno vax(I 8is ) « 9(9-1).453 . 32616 bs(Y g ) « ~\Jv ar Y gJ? “ '^/"32616 « 180,6 mf 1 odklon, zaupanja pas d(Y ) « -i;( 0 » c 5«32) aa(Y ) « 2,04.180,6 « 368 B.*.? SiS Ocena volumna je Y « 17289 - 368 s tveganjem d = 0,05« To je v skladu z dejanskim stanjem, ker je ocena, od prave vrednosti raz¬ lična le za 150 Vzorčenja v dveh in ved stopnjah 10*56 Osnova* Vzemimo, da. z vzorčenjem v skupinicah ocenjuje¬ mo gozdno površino v privatnih gospodarstvih v PLEJ. V sku r pinice združimo privatna gospodarstva v istih občinah* Pri vzor¬ čenju skupinic st vzorčne enote skupinioe-občine. Če ocenjujemo skupno gozdno površine z vzorčenjem v skupinicah, izberemo gno- 318 staven slučajnostni vzorec skupinio-občin in v izbranih obči nah Popišemo vsa. gospodarstva«. Oceno za skupno gozdno površino dobimo Po obrazcu IO.47 (T^ « ~ Y k ). Pri tem pomeni T fc skupno k*.l gozdno površino v posameznih izbranih občinah. Ta podatek dob?-;.» tako, da seštejemo podatke o gozdni povržim za vsa gospodarstva v posameznih izbranih občinah. Ker pa je število gospodarstev po občinah veliko, se izkaže, da je koristno, če gozdno površino v posameznih izbranih občinah ocenimo s samostojnimi slučajnostnimi vzorci v posameznih izbriv- hih občinah. Ocena za gozdno površino v izbrani občini k je pc znanem obrazcu enaka T k, si \ \ % y ki ' y ki pomeni i-1 gozdno površino za gospodarstvo i v občini k. če prave vrednosti z a gozdne površine v izbranih občinah v obrazcu za ocenjevanje z Vzorčenjem skupinio zamenjamo z ocenami Y ., dobimo novo oceno. K.y Si ^ak način vzorčenja in ocenjevanja imenujemo vzorčenje v dveh stopnjah. Pri zgornjem primeru vzorčenja v dveh stopnjah smo v Prvi stopnji izbrali vzorec enot prve stopnje - občin, v drugi stopnji pa v izbranih enotah prve stopnje samostojne vzorce enot ^ruge stopnje - gospodarstev. ™ a zlika med vzorčenjem v skupinicah in vzorčenjem v dveh stopnjah J® v tem, da pri vzorčenju v dveh stopnjah prave vrednosti agre¬ gatov v skupinicah zamenjamo z ocenami, ki jih dobimo z vzorci v ^rugi stopnji. 319 Če v posameznih gospodarstvih, ki jih izberemo z vzorčenjem v dveh stopnjah, ne premerimo vseh gozdnih paroel, temveč gozdne površine po posameznih izbranih gospodarstvih dalje ocenimo s sa¬ mostojnimi slučajnostnimi vzorci paroel, dobimo vzorčenje v treh stopnjah. V tem primeru so enote vzorčenja v prvi stopnji občine, enote vzorčenja v drugi stopnji gospodarstva znotraj izbranih ob¬ čin, enote tretje stopnje pa parcele v izbranih gospodarstvih. r 10.57 Prednosti in pomanjkljivosti. Vzorčenje v več stopnjah ima osnovne kvalitete vzorčenja v skupinicah. Odpravi namreč dve osnovni hihi enostavnega slučajnostnega vzorčenja. Če izvaja¬ mo enostaven slučajnosten vzorec gospodarstev za vso Jugoslavijo, je okvir vzorčenja spisek vssh gospodarstev v Jugoslaviji. Sestav¬ ljanje takega okvira in izbor iz njega je obsežno delo. Enako je s terenskim dslom pri izvedbi takega vzorčenja. Ker so posamezna gospodarstva pri enostavnem slučajnostnem vzorcu razmeščene več ali manj po vseb občinah v Jugoslaviji, je tehnična izvedba t.lite¬ ga vzorca komplicirana in draga, ker je za anketarje zamudno obi¬ skovanje posameznih, na slučajnosten način izbranih gospodarstev. Tehnika vzorčenja pa se v vzorčenjem v dveh ali več stopnjah za velike populacije zelo poenostavi. Za zgornji primer je pri vzor¬ čenju v dveh stopnjah okvir za izbor v prvi stopnji le spisek vseh občin v Jugoslaviji. Okvir za izbor v drugi stopnji pa so spi¬ ski gospodarstev le za one občine, ki so bile izbrane v pivi stop¬ nji. Bazen tega je bistveno olajšano tudi delo anketarjev. Pri vzorčenju v dveh stopnjah so gospodarstva, ki jih mora obiskati in popisati, združena le v občinah, ki smo jih izbrali v prvi stop¬ nji. Anketar gre v posamezno občino, da pregleda več gospodarstev. Tako se terensko delo pri vzorčenju v dveh ali več stopnjah bist¬ veno poenostavi in poceni. 32o Res je, da moram.: pri vzorčenju v dveh ali več stopnjah za isto zanesljivost ocen pregledati več osnovnih enot kot pri enostavnem slučajnostnem vzorčenju. Vendar dobimo z vzorčenjem v dveh ali Več stopnjah zaradi tehničnih prednosti pri enakih stroških za¬ nesljivejše ocene kot z enostavnim slučajnostnim vzorčenjem. IO .58 Ooenjevanje agregata in varianca za oceno agregata z vzor¬ čenjem v dveh stopnjah. Agregat ocenjujemo z vzorčenjem v R-Veh stopnjah po postopku, ki smo ga navedli v odstavku 10. 56 ,ta¬ ko da najprej ocenimo za vsako enoto prve stopnje agregat , iz teh pa skupen agregat Y„ ,. ■K-jSl d. ST y ~ K. $ y . y = 3l C v 2st rn > k,sl n k y*/ (10.57) Rri tem pomeni: Y_ = ocena agregata z vzorčenjem v dveh stop- 2st hjah; M = število enot v prvi stopnji; m = število enot v vzor- °U v prvi stopnji; Y . = ocena agregata v enoti k iz prve kj bi s topnjs z vzorcem v drugi stopnji; = število enot druge stop¬ nje v izbrani enoti k prve stopnje; r^_ = število enot v vzorcu ^fuge stopnje v enoti k prve stopnje; ■= osnovni podatek za ®aoto i druge stopnje v enoti k prve stopnje. Varianca za oceno agregata z vzorčenjem v dveh stopnjah izvira iz ^hriance vzorčenja v prvi in iz vari3.nc vzorčenja v drugi stopnji, ^računamo jo po obrazcu: M P Var(Y 2 J~ Var(Y sk ) + Var(y ksl ) (10.56) k*1 1 tem pomenit Var^^^) » varianca za oceno agregata z, vzorče¬ nem v dveh stopnjah; Vax(Y ) « varianca za oceno agregata iz SJC skupinic oziroma iz vzorca v prvi stopnji; Var(Y ) » varianca oce- ICj SJ. ne agregata Y^ v enoti k iz prve stopnje s slučajnostnim vzorcem v drugi stopnji. Ti prispevki so izračunani po znanih obrazcih 10.48 in 10.22. Oceno variance za oceno agregata z vzorčenjem v dveh stopnjah w(Y ) pa izračunamo po obrazcu M 2 m wr(y 2st ) - var(y sU ) + — 2 $ var(\ L ) ( 10 . 59 ) r k*1 ki je analogen obrazcu 10.58» le da so prave vrednosti zamenjane z ocenami. Ocenjevanje po metodi razmerij 10.59 Osnova in ocena agregata. Zanesljivost ooene za določen podatek znatno povečamo z metodo razmerij, če poznamo za celotno populacijo vrednost agregata za kak znak, ki je s prouče¬ vanim podatkom v korelaciji. Če npr. poznamo, kolika je skupna tem.eljnica za celoten sestoj, zelo uspešno ocenimo skupno lesno zalogo tako, da slučajnostno izberemo vzorec dreves in zanje iz¬ merimo volumen in temeljnioo. ?o metodi razmerij najprej za izbra¬ na drevesa izračunamo, kolik volumen v povprečju odpade na enoto temeljnice. Ta koeficient je razmerje med skupnim volumnom in skupno temeljnioo za vse izbrana drevesa. Oceno skupne lesne zalo¬ ge v sestoju pa dobimo, če to razmerje pomnožimo z znano skupno temeljnioo v vsem sestoju. V splošnem ocenjujemo agregat po metodi razmerij po obrazcu 322 %«'W ( 10 . 60 ) pri čemer pomeni: T - ocena agregata Y, izračunana iz eno- r.sl stavnega slučajnost naga vzorca po metodi razmeri j 5 X - prava vred¬ nost agregata, ki ga poznamo; y = g . vsota za znak y v i-1 n enotah vzorca, 1 o 5 x. i-1 1 vsota za znak x v enotah vzoroa. ■<: Sim tesnejša je povezava med proučevanim znakom in znakom, za ka¬ terega poznamo agregat za celoto, tem zanesljivejša je ocena. Ocena agregata po metodi razmerij pa ni nepristranska, temveč sa¬ mo dosledna ocena pravega agregata. To pomeni, da aritmetična sredina vseh ocen agregatov iz vseh možnih vzorcev ni enaka pra¬ vi vrednosti agregata, pač pa se ji tem bolj približuje, čim več¬ ji je vzorec. Zato za velike vzorce to pristranost zanemarimo in metodo razmerij s pridom uporabljamo pri ocenjevanju z velikimi vzorci. 10.60 Varianca ocene za agregat po metodi razmerij. Varianca za oceno agregata z metodo razmerij iz podatkov enostavnega slučajnostnega vzorca je približno Yarf/, sl ) = N(N~n) ~~ (10.61) tem je: r .y r N-1 ' X- Približek je tem boljši, čim večji je vzorec. 323 Ooeno približka za varianco var(I -) pa izračunamo po obraz- P f Bi vartV rsl i*N(N-n) (10.62) 2 2 Pri -tem je s analogen izraz kot S , samo da je izračunan iz r r podatkov iz vzorca. n s ; = Sfaj-r*;) 2 _ 5>f--2r Svjtj + r 1 Srf n-1 n -1 (10.63) Razviti obrazec v nadaljevanju obrazca 10.63 je operativni ob¬ razec in je prikladen za stvarno izračunavanje. 10.61 Primeri za uporabo metode razmerij v gozdarstvu. Ker obi¬ čajno razpolagamo z različnimi podatki za populacijo, na¬ vedimo nekaj primerov iz gozdarstva, v katerih moremo uporabiti metodo razmerij. Nakazali smo že, da po metodi razmerij ocenjujemo volumen, če poznamo skupno temeljnico. Znatno izboljšamo oceno volumna tudi, če pri vzorčenju površin, pri čemer so skupinice vsa drevesa na določeni površini, pozna¬ mo površino sestoja ali skupno število dreves v sestoju. Po metodi razmerij ocenjujemo različne podatke tudi, če razpola¬ gamo s podatki o proučevanem pojavu v preteklosti. Če smo pred petimi leti s popolno premerbo dobili skupno temeljnico sestoja, moremo po metodi razmerij oceniti, kolikšna je temeljnioa danes. 324 Tudi ocene na oko korigiramo po metodi razmerij. Če npr. na oko ocenimo volumen za vsa drevesa v sestoju in z enostavnim slučaj- nostnim vzorcem izberemo drevesa, za katera volumen določimo,mo¬ remo oceno lesne zaloge na oko popraviti po metodi razmerij. Podobno po metodi razmerij popravljamo tudi rezultate popisov. Vzemimo, da popisujemo v nekem okraju kmetijska gospodarstva,ki imajo gozdno površino. Popisujejo popisovalci, ki se zadovolje z uapovedmi gospodarjev kmetijskih, gospodarstev. Če izmed vseh go¬ spodarstev izberemo slučajnostni vzorec gospodarstev, v teh pa s podrobnim poizvedovanjem, izpiski iz katastra in drugimi doku¬ menti pridemo do natančnih podatkov, moremo po metodi razmerij popraviti podatke popisa. 10.62 Primer za ocenjevanje po metodi razmerij. Da prikažemo postopek ocenjevanja z metodo razmerij, vzemimo vzorčenje v skupinicah iz primera v odstavku 10.47» Volumen v posameznih skupinicah je vsekakor odvisen od velikosti skupinice. Ker po¬ znamo skupno površino ploskve (X=576), moremo pri ocenjevanju vo¬ lumna s skupinicami uporabiti metodo razmerij. Pri tem nas ne mo¬ ti, da imamo vključeno v plan vzorčenja stratifikacijo. Za vsak stratum posebej po metodi 'razmerij ocenimo volumen in varianco. Vsota ooen po stratumih je stratificirana ocena volumna, vsota Varianc po stratumih pa ocena variance za skupno oceno. Ker imamo v tabeli 10 . 14 , v kateri so vnešeni osnovni podatki o vzorčenju v skupinicah na naši poskusni ploskvi, že vse potrebne Podatke o vzorcu, izračunamo stratificirano oceno volumna po me¬ todi razmerij, kot je nakazano v tabeli 10 . 17 . 325 'Za. posamezen stratam smo ocenili volumen po obrazcu 10.60. Stra- tificirano vzorčenje skupinic po metodi razmerij da znatne "boljši Tabela 10.17 Izračun ocene volumna po metodi razmerij s stra- tificiranim vzorčenjem skupinic X - 576 17424 « Y . r.str rezultat kot enostavna stratificirana ocena skupinic. Medtem ko po metodi skupinic dobimo za oceno volumna Y ^ »16921, ki je od prave vrednosti različen za 518 m" 5 , po metodi razmerij iz iste¬ ga vzorca dobimo Y . » 17424 m^ od prave vrednosti različen , r,str le 15 m , To je delno slučajno, v veliki meri pa k izboljšanju ocene pripomore metoda razmerij. Izračun za oceno varianoe za stratificirano vzorčenje po metodi razmerij je nakazan v tabeli 10.18. Tabela 10.18 Izračun variance za stratificirano vzorčenje sku¬ pinic po metodi razmerij var(Y ) m 80060 ' r,str 326 Prvih sedete stolpcev donimo e preštevanjem,, seštevanjem, kvadri- ranjem in množenjem osnovnih podatkov iz vzorca, r za posamezen 2 stratum je r k » ^Vk’ \ r za posamezen stratum izračunamo iz Podatkov v prejšnjih stolpcih po obrazcu 10.63, var(Y ) po ob~ • k,r' razou 10.62. Za prvi stratum je račun naslednji: r ! - 7-J*! - 777/36 - 21,583 Po obrazcu 10.63 je S l,r “ ~i-T [81107-2.21,583.3738+21,5«3 2 .174 j » 115,17 la po obrazcu 10.62 Var(Y ..) » 32(32-8) = IIO 56 J.jTj Gl O 5e primerjamo dobljeno oceno variance var ( Y^ z oceno vari¬ ance za stratificirani vzorec skupinic var(Y ) iz odstavka 3i£ f & tl' 10 , 47 , dobimo mm 80060 2,57. Metoda razmerij je v znatni m «ri pripomogla k izboljšavi zanesljivosti ocene. Vzorčenje v dveh fazah - v Vzorčenje v dveh fazah pri metodi Razmerij 10,63 Pri ocenjevanju lesne zaloge v sestoju s pridom uporablja¬ mo metodo razmerij, če poznamo za proučevani sestoj skupno tsmeljnioo, če pa skupne temeljnice ne poznamo, moremo volumen ° c eniti v dveb fazah po metodi, ki je metodi razmerij zelo podob¬ na. 327 Analiza pokaže, da temeljnico določamo za posamezno drevo znatno lažje kot volumen. Zato skupno temeljnico za ves sestoj v prvi fa¬ zi vzorčenja ocenimo z velikim vzorcem. Tako dobimo za skupno te¬ meljnico zanesljivo oceno X^ Ker pa sta volumen in temeljnica v tesni korelacijski odvisnosti, dobimo zadosti zanesljivo oceno za razmerje med volumnom in temeljnico r z majhnim vzorcem v drugi fazi vzorčenja v dveh fazah. Iz dobljenih ocen za agregat X in razmerje K z vzorčenjem v dveh fazah sestavimo oceno za skupni volumen v sestoju po obrazcu %2f ~ ■ y i • ■— ( 10 . 64 ) ki je v osnovi sličen obrazcu za ocenjevanje agregata po metodi razmerij. V obrazcu 10. 64 pomeniš Y c ocena agregata z vzorčenjem v dveh Tfdz fazah; «» ocena agregata za dopolnilni znak z. r^ * = y 2 /z 2 = ocena razmerij H = Y/X z vzorcem v drugi fazi. = vsota podatkov za z v vzorcu v prvi fazi; z 2 , y 2 » vsoti podatkov za z in y v vzorcu v drugi fazi. Zgornjo metodo vzorčenja v dveh fazah uporabljamo vselej, kadar ocenjujemo agregat za podatek, ki ga določamo razmeroma težko, ob¬ staja pa podatek z, ki je z ocenjevanim znakom y v tesni korela- oijski zvezi in ga določimo na lažji način. Glede na to je nakazano vzorčenje v dveh fazah pri metodi razmerij priporočljivo pri kombiniranju ocen na oko s pravimi vrednostmi, ki jih dobimo z merjenjem in v drugih podobnih problemih. 328 Vzemimo na primer sestoj z N a $000 drevesi. Z vzorcem n » 500 ireves smo z oceno na oko določili lesno zalogo V * 3000 m' J . Iz O vzorca n $00 dreves tega sestoja smo izbrali s slučajnostnim vzorcem n * $0 dreves, za katera smo določili volumne z izmero. Ce vzamemo, da je lesna masa dreves v vzorcu po oceni na oko 3 2 v 0 » 36 m , s premerbo pa smo za ta drevesa dobili v^ = 32 m‘",je Popravljena ocena po metodi razmerij - T o ^ - 3000 -f - » 3 - O Vzorčenje v dveb fazah pri stratifikaciji ^ 0.64 Z vzorčenjem v dveh fazah rešujemo tudi problem stratifi¬ kacije. če razdelitev populacije na homogene dele ni vnar- P^ej dana, je običajno obsežno delo, če hočemo enote populacije klasificirati v stratume. oceno agregata s stratificiranim vzorčenjem moramo po obraz- 10.32 in 10.21 ^Sfr ^ (IG.65) ^°znati Število enot v posameznih stratumih in ooene za arit- 5! ®tične sredine y za posamezne stratume, JSL v 8 nimamo populacije razdeljene v stratume, moremo Število enot v Posameznih stratumih oceniti z razmeroma velikim vzornem s ^ enotami v prvi fazi. n enot iz vzorca v prvi fazi klasii i cjra- 1110 v stratume. Tako dobimo n^, n^ ... n enot po posameznih 32 ? siraturnih.o Če je od n enot iz vzorca v prvi stopnji, n^ enot v stratumu k, je ocena skupnega Števila enot v stratumu k N kj i a N 7T f \ ( 10 , 66 ) Iz n^. enot, ki smo jih z vzorcem v prvi fazi dobili v stratumu k, izberemo manjSi vzorec z n^ enotami in zanj poiščemo vred¬ nosti za znak y. Iz vzorca v drugi stopnji dobimo oceno za arit¬ metično sredino v stratumu k po obrazcu n. y« _ 1 n „ f * /*•/ (10,67) iz podatkov vzorca v drugi fazi. Enako ocenimo aritmerične sre¬ dine v stratumih z vzorčenjem v drugi fazi tudi za druge etraturne. Ocena za agregat za stratificirano vzorčenje v dveh fazah je konč¬ no dana s skupnim obrazcem y c sit-,2 .(■ ‘L N, k=1 ir n f -. k-4 n' 'Vi c (10.68) Pri tem pomeni: Y _ » ocena agregata T z vzorčenjem v dveb S"UX*«ill fazah s stratifikacijo; ^ ^ = ocena števila enot po stra¬ tumih z vzorcem v prvi fazi; 'jr 0 ocena povprečja Y v stratu- mu k z vzorcem v drugi fazi; a « število enot v vzorcu v prvi fazi; = Število enot v stratumu k v vzorcu iz prve faze; n^_ » Število enot v vzorcu v drugi fazi v stratumu k; y, } « vso¬ ta podatkov za znak y v vzorcu v drugi fazi v stratumu k. 33e 10,64 Primera a a ocenjevanje z vzor¬ čenjem v dveh fazah pri stra¬ tifikaciji. Kot primer za uporabo vzorčenja v dveh fa¬ zah pri stratifikaciji vzemimo določanje lesne zaloge za določen sestoj, n dreves, ki smo jih.-izbrali iz sestoja z velikim vzorcem v prvi fazi, razdelimo po premaru v debelinske stopnje: n^, n^ ... n_ . Ia dreves, ki smo jih z vzorcem v prvi fazi dobili po posamez¬ nih debelinskih stopnjah, izberemo v drugi fazi v vsaki debelin¬ ski stopnji samostojen manjši vzorec z drevesi in zanje ugoto¬ vimo volumne y .. Oceno volumna za sestoj dobimo iz dobljenih po¬ ki datkov po obrazcu 10.68. Vzemimo, da na nekem obsežnem kompleksu, ki je napaden z določe¬ nim Škodljivcem, ocenjujemo število okuženih dreves. Z vzorcem v prvi fazi, v katerem smo zajeli n parcel, izbrane parcele na grobo kategoriziramo v tri stratume: malo okuženo, srednje okužene in močilo okužene parcele. Iz parcel, ki smo jih iz vzorca v prvi fazi kategorizirali kot malo okužene, izberemo z vzorcem v drugi fazi n^ parcel. Za teh parcel s štetjem-ugotovimo točno šte¬ vilo dreves, ki so okužena. Postopek ponovimo v drugem in tretjem stratumu. Iz dobljenih podatkov sestavimo oceno za celoten sestoj Po obrazcu 10,68. 10.65 Varianca ocene z vzorčenjem v dveh fazah. Varianca za oceno z vzorče¬ njem v dveh fazah je odvisna od vzorca v prvi fazi in vzoroev v drugi fazi, Vondar izvrednotenje varianc za ocene iz vzorcev v 'dveh fazah presega naš okvir. 331 Sestavljanja planov vzorčenja, v praksi 10.66 Pri obravnavanju ocenjevanja z vzorčenjem smo navedli nekatere postopke, ki jih uporabi jamo, da ocenjujemo pa- rametre za populacijo. Tako smo navedli dvoje vrst izborov« či¬ sti slučajnostni izbor in sistematičen izbor; več vrst vzorčenj: enostavno vzorčenje, stratifioirano vzorčenje v skupinicah, vzor¬ čenje v dveh stopnjah in vzorčenje v dveh fazah; in več vrst oce¬ njevanj: enostavne ocens in ocene po metodi razmerij, že pri obra¬ vnavanju posameznih metod smo včasih kombinirali po dva ali več navedenih elementov. V praktičnem izvajanju vzorčenja za ooenje- vanje parametrov pa po pravilu kombiniramo najrazličnejše elemen¬ te vzorčenja tako, da dobimo s čim manjšimi stroški čim zane¬ sljivejšo oceno. 332 11. VZORČENJE - PRESKUŠANJE HIPOTEZ 11.1 Osnove. Z vzorčenjem ocenjujemo parametre popula¬ cij na dva načina; s točkovnimi in z intervalnimi ocenami. Te ocene pa dajo uporabne rezultate le v primerih, da je vzorec, ki služi kot osnova za ocenjevanje, zadosti velik. Ocene za male vzorce so običajno tako nezanesljive, da nimajo velike praktič¬ ne vrednosti. Ocena, za katero je npr. relativna standardna po¬ greška ali še celo več, je praktično brez vrednosti. V raziskovalnem delu pa z vzorčenjem rešujemo tudi druge proble¬ me, ki so dostikrat rešljivi tudi z razmeroma majhnimi vzorci. slučajnostnimi vzorci namreč z uspehom preskušamo določene hipo¬ teze o populaciji oziroma populacijah. V praksi pogosto naletimo na probleme preskušanja hipotez. Z vzorčenjem moremo preskusiti, ali proizvodnja desk na žagi ustreza predpisu o povprečni širini. S statističnimi metodami preskušanja hipotez ugotavljamo, ali do¬ ločeno prepariranje lesa vpliva na karakteristike lesa ali ne. Enako moremo s tehniko preskušanja hipotez odkriti ali je odstotek žagarske hlodovine v dveh bukovih sestojih različen ali ne. Podob¬ no z vzorci preskušamo odstopanja okularnih ocen od stvarnih vred¬ nosti parametrov itd. Z enostavno analizo variance, ki temelji na 333 ia-esn?.- a;:'.ju hipotez o proučevani populaciji; morene odkriti ali določan faktor vpliva na neke značilnosti populacije ali ne, Z enostavno analizo variance moremo npr« kompleksno ugotoviti ali več različnih postopkov da različne rezultate. S kompliciranejši¬ rni postopki analize variance, ki so osnova posebne disoipline - planiranja eksperimentov - pa moremo istočasno analizirati in pre¬ skusiti vpliv večih faktorjev. 11.2 Splošno problematiko preskušanja hipotez proučimo na prime¬ ru* Proučujmo tedensko proizvodnjo desk v nekem žagarskem ohratu. Vzemimo« da se širine desk porazdeljujejo v normalni po¬ razdelitvi} za katero poznamo standardni odklon 6=3 cm. Pov¬ prečne širine desk pa ne poznamo. Vzemimo, da proizvajalec trdi, da je povprečna širina proizvede¬ nih desk = 18 om. Prevzemnik skuša trditev proizvajalca pre¬ skusiti oziroma ovreči. Hipoteza o povprečni širini desk je, da je = 18 cm. 2 vzorce m skušamp_jcp_ hipote z o potrdit i ali, ovreči. Vzemimo, da hipotezo pre¬ skušamo z vzorcem n « 36 desk. ki jih na slučajnosten način iz¬ beremo iz osnovne populacije. Po znanih stavkih se povprečja vseh možnih, vzorcev po n .= 36 desk porazdeljujejo v normalni porazde¬ litvi, za katero je standardni odklon enak standardni pogreški za sredino 3®(y) = <7/ \fn * 3/V 36 = 0,5 om. Če postavljena hipo¬ teza drži, js aritmetične, sredina normalne porazdelitve enaka hi¬ potetični sredini M o H =18 om. o Porazdelitev povprečij iz vzorcev za vse možne vzorce za ta pri¬ mer je narisana v sliki 11.1. Iz slike je rar vidno, da je velika 334 Slika 11,1 Porazdelitev povprečij iz vzorcev Verjetnost, da iz populacije vseh desk izberemo vzorec, za kate¬ rega se aritmetična sredina od K = 18 ne razlikuje mnogo, če po¬ stavljena hipoteza, da je M = = 18 cm, drži* V tem primeru z Verjetnostjo 0,95 aritmetična sredina preskusnega vzorca ne ho tanjša kot 18 - 1,96.0,5 » 17,02 cm in ne večja kot 18 + 1,96.0,5 *= a 18,98 cm. Ker je razmeroma majhna verjetnost (06 ** 0,05), da s pre¬ skusnim vzorcem dobimo povprečje, ki je manjše kot 17,02 ali več- J® kot 18,93 om, postavimo im slednje pravilos Hipotezo, ds. je ši~ rijia desk enaka M » » 18 om, sprejmemo, če je povprečje pre— s kusnega vzorca v razmaku od 17,02 om do 18,95 um. Če pa je pov¬ prečje iz vzoroa manjše kot 17,02 om ali večje kot 16,98 om, hi¬ potezo, da je prava aritmetična sredina širine desk enaka M = 18 335 cm, zavrnemo in sklepamo, da povprečna Širina desk ni 18 cm« Območje, v katerem hipotezo zavrnemo, imenujemo k r i t i č - * no območje. Če podrobneje proučimo to pravilo, spoznamo, da obstaja možnost, da hipoteza drži, jo pa po nagem pravilu zavrnemo. Z določeno, sicer majhno verjetnostjo ( 06 « 0 , 05 ) more povprečje iz preskus¬ nega vzorca biti v kritičnem območju, kljub temu, da hipoteza drži. To napako, ki je v tem, da hipotezo zavrnemo, kljub temu, da hipoteza drži, imenujemo napako prve vrste. Bazen napake prve vrste pa je v tem načinu sklepanja še druga ne¬ varnost, Vzemimo, da naša hipoteza o povprečni širini desk ne drži in je prava povprečna širina M = 19 cm. Aritmetične sredin® iz preskusnih vzorcev se v tem primeru goste okrog M = 19 om in ne okrog = 18 cm, ker je pravo povprečje 19 om in ne 18 om. Iz slike 11.2 je razvidno, v kakšni situaciji smo v tem primeru. Če ohranimo zgornje pravilo, da hipotezo II = » 18 cm sprejmemo, če je povprečje iz preskusnega vzorca v razmaku 17,02 cm do 18,98 cm, prava vrednost povprečja pa je M = 19 cm, spoznamo, da obstat ja določena in sicer precejšnja verjetnost ( /3 •= 0 , 484 ), da hipo¬ tezo M « = 18 cm sprejmemo, čeprav ne drži. Napako, ki je v tem, da hipotezo sprejmemo, kljub temu, da je napačna, imenujemo napak o druge vrste in jo zaznamujemo z (b . Obratno pa je 1 - |3 , ki jo imenujemo moč preskusa, verjetnost, da osnovno hipotezo sprejmemo, če ta drži. Kot vidimo iz primera, je napaka druge vrste znatna in v bistveni meri odvisna od prave povprečne širine desk. čim manjša je razli - ka med hipotetično in stvarno vredbostjo, tem večja je napaka dru- 336 ge vrste in obratno, čim večja je razlika med stvarno in hipo¬ tetično vrednostjo, tem manjša je napaka druge vrste. ti 17 18 19 20 21 ^kritično ( | | kritično p območje ^območje Slika 11«2 Preskušanje ničelne hipoteze zgornjega spoznamo, da je po zgornjem pravilu veliko bolj tvegano hipoteze sprejemati, kot pa zavračati, ker je napaka dru- Se vrste, da hipotezo djn-ejmerao, Čeprav no c-:'"... v *pXo?>»/*o ne¬ znana. oziroma velika. Nasprotno pa moremo kritično območje določiti tako, da je napaka Prve vrste, ki je v tem, da hipotezo zavrnemo, čeprav e pravilna, Poljubno majhna. n. 3 Ničelna hipoteza * la zgornjega izvaja¬ nja sledij da v splošnem lahko razmeroma zanesljivo hipo~ teze zavračamo, medtem ko je pri sprejemanju hipotez tveganje lah¬ ko zelo veliko. Da se izognemo temu navideznemu nesoglasju, obi¬ čajno postavimo hipoteze tako, da jih razmeroma zanesljivo sprejema¬ mo in ne zavračamo. To dosežemo z vpeljavo ničelne hipoteze. Po tem principu vsaki hipotezi, katero preskušamo, postavimo u~ strežno negativno protihipotezo, ki jo imenujemo ničelno hipotezo. V nadaljnjem preskušamo ničelno hipotezo. Če uspemo, da zavrnemo ničelno hipotezo, smo istočasno sprejeli osnov¬ no hipotezo. Če preskušamo hipotezo, ali je povprečna širina deska na žagi raz¬ lična od M =18 cm (H. : M / M =18 om), je ustrezna ničelna hi- poteza, da je povprečna širina enaka 18 om (H Q s M = M Q = 18 cm). Osnovni hipotezi, da je v nekem sestoju več kot 40$ furnirBke hlo¬ dovine (H^ : P > 40$), ustreza ničelna hipoteza, da je odstotek furnirske hlodovine manjši od 40$ (H o : P 40$). Osnovni hipotezi, da je določen postopek impregniranja učinkovit, ustreza ničelna hipoteza, da postopek ni učinkovit. Po tem principu preskušamo hipoteze po naslednjem postopku* a) Osnovni hipotezi H, priredimo ustrszno ničelno hipotezo E q , h) Iz osnovne populacije izberemo vzorec, ki služi za preskušanje hipotez o proučevani populaciji. c) Za vzorčni izraz, ki ga izračunamo iz podatkov preskusnega vzorce in ničelne hipoteze, določ'-c kritične območje, v kate- 338 ram moramo z določenim tveganjem Q0 ničelno hipotezo zavrni- ti. d) Iz podatkov preskusnega vzorca in podatkov o ničelni hipotezi izračunamo ustrezni vzorčni izraz. o) če je dobljena izračunana vrednost v kritičnem območju, ničel¬ no hipotezo zavrnemo oziroma osnovno hipotezo sprejmemo na do¬ ločani stopnji tveganja prve vrste za ničelno hipotezo. Če vrednost, ki jo dobimo, ko podatke -preskusnega vzorca in z&~ čelne hipoteze vnesemo v vzorčni izraz, pade v kritično območ¬ je, pravimo, da je stvarno stanje značilno različno od ničelne hipoteze. Običajno določamo kritična območja na treh stopnjah tveganja Ot- ■» 0 , 05 ; 06 = 0,01; 06*» 0,001. Preskušanje hipotez z malimi vzorci Preskušanje hipotsz® o sredini Pl.4 Ker se za vzorce, ki jih izberemo iz normalne populacije, aritmetične sredine vzorcev porazdeljujejo v normalni popu¬ laciji z aritmetično sredino, ki je enaka aritmetični sredini v °snovni populaciji M in s standardnim odklonom SE(y) » <£ /Vn, se Vzorčni izraz ?-M r - = (n.i) Porazdeljuje v standardizirani normalni porazdelitvi« Zato moremo z izrazom 339 ( 11 . 2 ) preskušati ničelno hipotezo, da je prava aritmetična sredina ena¬ ka hipotetični Mg (E^ s M » Mg). če ničelna hipoteza drži in je 15 ^. i» M, je izračunani z z verjet¬ nostjo 0,95 v razmaku —1,96 < z < + 1 , 96 , z verjetnostjo 0,99 v raz- maku - 2,56 < z < +2,56 in i verjetnostjo 0,999 v razmaku - 3,29 < < z < + 3 , 29 . Iz tega zaključimo naslednje* a.) Če je absolutna vrednost po obraz¬ cu 11*2 izračunanega izraza z manjša kot kritična vrednost 1,96, zaključimo, da je razlika med pravo in hipotetično aritmetično sre¬ dino neznačilna. To pomeni, da preskus razlik ni odkril, ne pa da je prava aritmetična sredina enaka hipotetični. h) če je absolutna vrednost po obrazcu 11.2 izračunanega z večja kot kritična vrednost 1,96 in manjša kot kritične, vrednost 2,58, s®- ključimo, da so razlike med stvarno in hipotetično sredino značil¬ ne na stopnji tveganja Ot- <= 0,05. To pomeni, da je verjetnost 0 , 95 ? da je stvarna sredina resnično različna od hipotetične. o) če je po obrazcu 11.2 izračunana vrednost z večja kot 2 , 5-3 i* 5 - manjša kot 3,29 s tveganjem QL =. 0,01, zaključimo, da je stvarna aritmetična sredina, značilno različna od hipotetične. č) če pr je po obrazov. 11.2 izračunani izraz absolutno večji kot 3,29^ zaključimo, da so razlike med M in značilno različne e tveganjem <56 & 0,001. 34 ® 11.5 Vzemimo kot praktičen problem nakazan primer proučevanja Širine desk in preskusimo hipotezo, da je povprečna Širina desk značilno različna od II, = 18 cm« Ustrezna ničelna hipoteza je s M » M. p . « 18 cm. Da preskusimo dano ničelno hipotezo, smo izbrali slučajnostni vzoreo n = 36 desk.. in zanj ugotovili, da je povprečje iz vzorca y « 16,5 cm. Ker poznamo standardni odklon Proizvodnje desk ( (J. 3 om), moremo izračunati po ohrazou 11.2 vzorčni izraz Z = «.-^ 1 ^ 9 . /3b = -3,00 Ker je absolutna vrednost izračunanega vzorčnega izraza večja kot kritična meja 2,58 za tveganje 06 - 0,01 in manjša kot kri¬ tična meja 3,29 za tveganje 06 = 0,001, s tveganjem 06= 0,01 skle¬ pamo, da je stvarna povprečna Širina desk značilno različna od ^ «3 18 om. 11.6 če ne poznamo prave vrednosti za standardni odklon v osnov¬ ni populaciji, se za preskušanje hipotez o sredini ne more¬ jo poslužiti obrazca 11.2; V tem primeru preskušamo hipoteze o aritmetičnih sredinah za normalne populacije po obrazcu ~5~ = t ( m ~ n - 1 ) (11.3) ki je zelo sličen obrazcu 11.2, le da ima namesto prave vrednosti standardnega odklona oceno s, ki jo izračunamo po znanem obrazcu za nepristransko ocenjevanje varianc. 341 s 2. fhrV 2 s y*-y 3 A fj-* n-f Izraz pa so ne porazdeljuj© v standardizirani normalni poraz¬ delitvi, temveč v distribuciji, ki je kot normalna porazdelitev uni- modalna, simetrična in zvonasta in se normalni porazdelitvi tembolj približuje, čim večji je preskusni vzorec, t-porazdelitev je odvis¬ na od velikosti vzorca ali točnej® od števila stopinj pr®"" st osti'- m, ki je z velikostjo vzorca v ozki zvozi,, Pri zgor¬ njem preskusu je število stopinj prostosti za eno manjše kot je šte¬ vilo enot v preskusnem vzorcu; m = n - 1„ Glede na to, da je t—porazdelitev odvisna od stopinj prostosti m, so v tabeli 11«! za vsako stopinjo prostosti dane kritične vredno¬ sti za tveganj a 36 « 0,05, 06» 0,01 in 06= 0,001, Vzemimo za primer ursskus, ali je povprečna upogibna trdnost lesa . 2 za določeno drevo za črni gaber značidno različna od 1^.=1500 kg/cm . V ta namen smo v preskusni vzorec vzeli n = 8 preskušanoev iz različnih delov drevesa in zanje uhotovili naslednje upogibne trd¬ nosti? v kg/om^ s 1560,1530, 1400, 1650, 1360, 1430, 1440, 1440. Iz teh nodatkov dobimo? n S v, «= 1560 + 1530 + + 1440 » 11810 Sy~ = 1560^ + 1530 2 + ... + 1440^ «= 1749870 j = j/n *= 11810/8 «= 1476 r 2 tm t O y„ - v /: c. y /n 13-1 . . 917 o 0—1 342 Tabela 11,1 t-porazdeliiev za Oi = 0 , 05 , 06-0,01 in a-0,001 343 >/ e 2 a \Jsi 70 - 95,76 Iz teh'podatkov dobimo po obrazcu 11.3 Ker je kritična meja za t-porazdelitev zam*.8-l«7 stopinj ključimo, da stvarna povprečna upogibna trdnost proučevanega dre¬ vesa črnega gabra ni značilno različna od hipotetične, ker je iz¬ računani t manjši kot ustrezna kritična vrednost za 0£,*= 0 , 05 - jih z izvršenim preskusom nismo odkrili. Preskušanje značilnosti razlik med aritmetičnimi sredinami 11.8 V raziskovalnem delu se dostikrat pojavlja vprašanje, ali so povprečja za različne populacije med seboj različna, ali ne. Ničelno hipotezo, da’sta aritmetični sredini za dve populaci¬ ji, ki se porazdeljujeta v normalnih porazdelitvah z enakima vari¬ ancama, med sehoj enaki (H o s «. Mg), preskušamo z naslednjim izrazom ki se porazdeljuje v t—porazdelitvi s številom stopinj prosto¬ sti 344 Da po tem obrazcu preskusimo značilnost razlik med aritmetičnima sredinama LL in M_, moramo iz prve in druge populacije izbrati dva ^ - 2 samostojna vzorca. Pri tem z n^, y in s^ zaznamujemo Število snot, oceno povprečja in oceno variance za vzoreo iz prve popula- - 2 °ije, z n , y in s pa analogne količine iz drugega vzorca. Dl.9 če vzamemo za primer preskušanje značilnosti razlik v upo- gibni trdnosti med dvema drevesoma črnega gabra, poteka pre¬ skus po naslednjih, stopnjah. Za drevo 1 smo na slučajnosten način izbrali n^ « 8 kosov lesa in r. 2 2a -hj dobili naslednje rezultate o upogibni trdnosti v kg/om s D-460, 1500, 1330, 1550, 1570, 1510, 1560, 1500. Enako smo tudi za 4rugo drevo vzeli n„ «. 8 preskušancev na slučajnostno izbranih me- ^ 2 B-t ih in zanje izmerili upogibno trdnost v kg/om . Dobili smo nar- s lednje rezultate: I24O, 1320, I400, 1240, 1320, 1340, 1440, 1400. Ds teh podatkov dobimo elemente za preskus značilnosti razlik med Povprečno upogibno trdnostjo po znanih obrazcih za ocenjevanje Sr edine in variance: n^ «■ 85 y. = 14985 o 5936 n 2 - 85 y 2 - 13375 ■§ - 5421 2 2 2 (n i “ l)e i * ( V 1)S 2 ( 8-1)5936 + (8-1)542 1 S d " ^+»2-2 “ 8+8-2 5678 s d - y' 5678 - 75,35 1498 - 1337 75,35 >45 Ker j© izračunani t •= 4,41 absolutno večji kot kritična vrednost taansiij + ^- a. 14, pri tveganju £*,= 0,001 t(m*14} C i~ a.0,001) » 4,14 9 zelo zanesljivo ( (%■= 0,001), sklepamo, da so razlika v upogibni trdnosti med proučevanima drevesoma značilne. Preskušanj e bipotez o varianci 11.10 Proučevanje variabilnosti v najrazličnejših oblikah zajema velik del problemov v zvezi s statističnim proučevanjem eks¬ perimentalnih podatkov. Velika variabilnost v izdelkih je znak slabe kvalitete proizvodnje, velika variabilnost določenih značil¬ nosti v lesu j® izraz neenovitih pogojev rasti in ima posledice pri nadaljnji obdelavi lesa itd. Čim manjša variabilnost je v ve¬ čini izraz boljše kvalitete surovin, dela itd. V zvezi s proučevanjem variabilnosti je najenostavnejši problem preskušanje hipotez o varianci za določeno populacijo. Če predpostavljamo, da smo iz populacije, ki se normalno porazde¬ ljuje, izbrali slučajnostni vzorec n enot, se izraz (n-1)s ? ir m (11.5) v populaciji vseh možnih vzorcev porazdeljuj© v porazdelitvi, ki jo imenujemo X (hi-kvadrat porazdelitev).X -porazdelitev je po¬ dobno kot t-porazdelitsv odvisna od stopin j prostosti , Id. so pri zgornjem izrazu za eno manj d kot je velikost vzorca (m * a - 3 .) (glej tabelo 11.2). Glede na število stopinj prostosti je iz podatkov elučajnostnega 2 vzoroa izračunani X~ s tveganjem cX“ 0,05 manjši kot je kritična 346 vrs&nost X A nc v tabeli 11*2 $ s tveganjem 2 so kritične vrednosti X n n1 in s tveganjem va U J- 2 kot so kritične vrednosti X A • 0*1 UO J. 06= 0,01 manj Si kot GO » 0,001 manjSi Zgornje lastnosti izkoriščamo za preskušanje hipotez o varianci. Hipotezo, da je varianca v osnovni populaciji različna od predpi- 2 sane hipotetične variance preskušamo z ničelno hipotezo,da E 2 2 2 je varianca z.a preiskovano populacijo enaka (5_ . (H s (S <• (5„) • Ho H Hodohnc kot pri preskušanju hipotez o sredinah, tudi za varianco zaključimo, da prava varianca ni značilno različna od hipotetič¬ ne varianoe (j * če je izraz d (” -t)s* m 2 (11.6) Pod kritično vrednostjo X„ da je prava varianca s tveganjem Ot« 0,05 značilno različna od ničelne hipoteze, če je po ohrazou 9 2 izračunani izraz med ustreznima vrednostima X ,, in X n OjUJL značilen s tveganjem CC« 0,01, če je izračunani izraz med 2 2 X 0 0 - in Xq in značilen na stopnji tveganja OC, « 0,001, če de izračunani. večji kot X A • Uj 001 J 347 2 Tabela 11.2. X -porazdelitev Kritične vrednosti za 06 «= 0,05» <%» 0,01 in ot>= 0,001 348 11,11 Za smrekov les preiskujemo, ali je varianca nominalne pro- \ storninske teže smrekovega lesa določene partije večja kot 6„ *> 30,00 kg/m . V ta namen smo izmerili nominalno prostor- H ninsko težo za n » 25 preskušanoev in iz njih ugotovili, da je ooe- 2 2 na varianoe s «=37*91 kg/m". Če dobljene podatke vnesemo v obrazec 11.6, dobimo (n-l)s 2 * * (25-D.37M _ x ‘ - w° x ’ 2 Ker m <= n-1 » 25-1 = 24 stopinjam prostosti ustreza X Q » «= 36,42, sklepamo, da varianca nominalne prostorninske teže ni 2 3 značilno večja kot -X «« 30,0 kg/m . H 2 11.12 V tabeli 11.2 so dane kritične vrednosti za X samo do m = 30. Za primere, v katerih je m > 30, dobimo ustrezne kritične vrednosti za posamezne stopinje prostosti po obrazcih: 1 + 1,66 ° 6 h Ker jem»n-1.50-l»49 večji kot 30, izračunamo kritične vrednosti za m « 49 po obrazcih 11.7 X ^ 05 - \ (V2m-1 + 1,645) 2 - " ( V 2.49-1 + 1,645) 2 - 66,11 X Š, 0 i " I ( + 2,326) 2 . | ( V2.49-1 + 2 S 326) 2 - 74,12 X 0.001 - 2 ( ^^1 + 3,090) 2 „ ~ ( V2.49-I + 3,090) 2 » 83,71 Izračunani X 2 = 68,60 pade med X 2 - 66,11 in X 2 =74,12. O j> t/p U n U JL Iz tega sklepamo, da je varianca v nominalni prostornisiski teži za 2 proučevan les s tveganjem 06« 0,05 značilno večja kot <5_=»30,00. n Preskušanje različnosti med varianoama 11.14 ker je majhna variabilnost znak dobre kvalitete surovin, vestnega dela delavcev ali preciznega dela strojev, je ve¬ like važnosti primerjava varianc med surovinami iz različnih vi¬ rov, med proizvodi, ki so bili proizvedeni pod različnimi pogoji dela, po različnih postopkih, z različnimi stroji itd. Hipotezo, 350 sta za dve populaciji, ki a© normalno porazdeljujeta, varianci' različni (1^ s <5^ b 9 ) v populaciji vseh možnih, vzorcev z n^ eno« tami v prvi in z n^ enotami v drugi populaciji, porazdeljuje v ^-porazdelitvi. F porazdelitev je odvisna od stopinj prostosti » a, — 1,.ki je odvisna od števila enot v prvem vzorcu in sto¬ pinj prostosti m ? « in, - 1, ki je odvisna od števila enot v drugem Vzorcu, V tabelah 11,3 a, b, o so dane in ustrezne kritične vrednosti za stopnje tveganja 06« 0,05 , 06 « 0,01 in oC » 0,001. tabele vsebujejo kritične vrednosti samo za nekatere stopinje Prostosti. Za vmesne vrednosti za stopinje prostosti dobimo usvress- *• kritične vrednosti z linearno interpolacijo tako, da vzamemo sa osnovo pri interpolaciji recipročne vrednosti iz stopinj prosto¬ sti. 11.15 Vzemimo, da preskušamo, ali je kvaliteta dela m novo na¬ bavljenega stroja značilno boljša od starega, V ta namen smo ba starem stroju proizvedli n, = 20 lesenih profilov, na novem 6 troju pa n„ » 30 lesenih profilov enake specifikacije. Varianca, Izračunana iz podatkov vzorca za stari stroj, je « 9,21, varian- 351 oa, izrač unana iz vzorcev proizvodov na drugem stroju, pa je ^2 ,m ^^ 2 « Jlte preskusimo značilnost razlike v variabilnosti na starem in no- ’Vjem Stroju, izračunamo 2,11 rj&garnjim vzorcem ustrezne stopinje prostosti so m^ «= n ^-1 » 20-1 e ~.IE9 in mg - n 2 -l - 30-1 = 29. lEerw t, tabelah nimamo vrednosti, ki ustrezajo = 19, dobimo u— Strežne kritične vrednosti z linearno interpolacijo. Za 06» 0,05 jdobimo iz tabele 11.3a F 005 (m 1 = 12- m t =29) = 2,10 F 0jta im i =21; m t =29)=1,90 .Urttsrpolirano vrednost F(19) za m^ = 19 pa dobimo iz razmerja* 1/19-1/21 = r(19)-1$0 1/12-1/21 2,10-1,90 3Iz-;tega razmerja dobimo, da je P Q ^ {m^-19, m 2 =29) = Ij95« •Če analogno poiščemo kritično vrednost še za CO « 0,01, dobimo iz tabele 11.3b F 0fi1 (m^12; 29)= 2,01 9 21; m 1 =29)=2,19 352 TAB.ll.3o F - PORAZOaiTCV(KRITIČNE VREDNOSTI ZA ec. 0.0S F 0 .0$) 1 2 3 4 5 353 TAB.ll.3b F - PORAZDELITEV (KRITIČNE VREDNOSTI ZA oc • O.Ol; F 0 .OJ! ) 354 TAB.ll.3e F - PORAZDELITEV (KRI TIČKE VREDNOSTI ZA prava vrednost standard¬ ne pogreške; se(c) = ocena standardne pogreške iz podatkov vzorca. Zato moremo ničelno hipotezo, da je prava vrednost parametra enaka hipotetični (E q s C C^) preskušati z izrazom £ .:. S .h. SE (c) = Z oziroma c-C H _ s e (c) (11.21) Pri tem so kritične vrednosti za absolutne vrednosti teh izrazov 0,05 !»96; Zq^ 01 » 2,58 in - 3,29. 360 Način zaključevanja pa je enak kot pri malih vzorcih. 11.19 Glede na zgornje splošno pravilo preskušamo z velikimi vzorci hipoteze o najvažnejših parametrih: aritmetični Bredini M, strukturnem deležu P ?o in standardnem odklonu t5 z na¬ slednjimi vzorčnimi izrazi: Aritmetično sredino preskušamo z izrazom ( 11 . 22 ) kadar poznamo pravo vrednost za standardni odklon, ali z izra¬ zom V?7 =Z ( 11 . 23 ) kadar ne poznamo pravega standardnega odklona, ampak ga ocenimo Iz podatkov preskusnega vzorca. Strukturni delež P % preskušamo z izrazom P%- P%H Vp% h (100-p% h ) Yn =z ( 11 . 24 ) standardni odklon pa analogno z vzorčnim Izrazom -Srš/ -v3S =2 361 (11.25) ker je standardna pogreška za standardni odklon za velike vzorce 11.20 Vzemimo za primer preskušanja hipotez z velikim vzorcem naslednji problem, Z okularno oceno je bilo ocenjeno, da je v nekem hrastovem sestoju 40 odstotkov furnirske hlodovine. Kičelna hipoteza je, da je dejanski odstotek furnirske hlodovine enak okularni oceni (E^ s P $ » a 4 C 5 Ž). To ničelno hipotezo smo preskusili z vzorcem n * 250 dreves. V vzorou je h » 79 dre¬ ves, ki ima furnirsko hlodovino. Odstotek iz vzorca je torej «• c 31,6$. Če zgornje podatke vnesemo v obrazec 11 . 24 , dobimo Ker je absolutna vrednost izračunanega vzorčnega izraza z = 2,71 s tveganjem CC •» 0,01 sklepamo, da je pravi odstotek dreves v se¬ stoju, ki ima furnirsko hlodovino, značilno različen od okularne ocene. Preskušanje značilnosti razlik za velike vzorce 11.21 Podobno kot za preskušanje ničelnih hipotez o velikosti parametrov veljajo tudi za preskušanje hipotez o razlikah med parametri enotna pravila, če so preskusni vzorci veliki. Če proučujemo dve populaciji 1 in 2, preskušamo ničelno hipotezo, vrednosti za proučevani parameter v populacijah 1 in 2 nista raz*- enaka SE(s) m & /'f 2n. \ 362 • lični (E^ • O, « Oj), z dvema samostojnima vzorcema iz proučeva¬ nih populacij 1 in 2. Z vzorčnim izrazom yS£^)+5£'fe) (11.26) preskušamo hipotezo o razlikah, če poznamo prave vrednosti stan¬ dardnih pogrešk SS(c^) in SE(Cg) za oceni parametrov c^ iz prvega in c 2 iz drugega vzorca. Če pa pravih vrednosti standardnih po¬ grešk ne poznamo, preskušamo zgornjo ničelno hipotezo z obrazcem C, - Cji \; r ~se 2 Cq)-i-5Q 2 (c z ) (11.27) Pri čemer sta se(c^) im se(c,_) oceni standardnih pogrešk za oceni in c^, izračunani iz podatkov vzoraa. Na značilnost oziroma ha neznačilnost razlik v parametrih zaključujemo po znanem postop¬ ku tako, da izračunano vrednost primerjamo s kritičnimi vrednost- z 0,05 1,96, z 0,01 2,58 in z 0,001 3,29. l'l,v22 Če splošna obrazca ll c 26 in 11.27 priredimo za preskuša¬ nje razlik med aritmetičnima sredinama, strukturnima dele¬ žema in standardnima odklonoma, dobimo naslednje obrazoes Razlike med aritmetičnimi sredinami za populaciji 1 in 2 preskušamo z obrazcem 363 (11.28) y*-y s ali z obrazcem (11.29) glede na "to ali poznamo prave vrednosti za varianci v obeh popula- 2 2 2 2 cijah ( i» <5p) ali jih ocenjujemo z vzorcema (s^ in s^). n^ in n^ je število enot v vzorcu iz prve oziroma druge popula¬ cije, y. l in jfg pa sta oceni za aritmetični sredini, izračunani iz prvega in drugega vzorca. Bazlike med dvema strukturnima deležema za dve populaciji presku¬ šamo z obrazcem _ Pi%-P 2 % I p;mm- P i %) p 2 zaoo- Pi %) \j n 2 ~ 1 (11.3o) pri čemer sta poleg znanih, izrazov p^fc in p^ oceni strukturnega deleža, izračunani iz podatkov prvega in drugega vzorca. Kazlike mr. standardnima odklonoma za dve populaciji pa preskuša¬ mo z obrazcem 364 (11.31) S< “ S, i -2i 2n f 2n t - Z v katerem je ocena standardnega odklona za prvo, Sg pa ocena standardnega odklona za drugo populacijo. 11.23 Vzemimo za primer, da preskušamo značilnost razlik v pre¬ meru dreves v prsni višini za dva istodobna sestoja, ki rasteta v različnih pogojih. V ta namen smo na slučajnosten način izbrali iz prvega sestoja n^ = 100 dreves in zanje izmerili pre¬ mere v prsni višini. Iz podatkov vzorca smo ugotovili, da je oce- _ 2 na za povprečen premer = 42, ocena variance pa s. = 106. Enako smo v drugem sestoju na slučajnosten način izbrali n^ = 100 dreves in tudi zanj ocenili z vzorcem aritmetično sredino premerov y = 2 ^ ** 38,5 om in ocenili varianco s ? = 90. Če te podatke vnesemo v obrazec 11.29, dobimo y* -y 2 42-38,S i IM _90 100 100 +2,5 =z če dobljeno vrednost z = 2,5 primerjamo s kritičnimi vrednostmi 3 0,05 " S 0,01 “ 2,58 in Z 0,001 “ 3 > 23 > zakl 3 učimo ! da 3® raz “ lika v povprečnem premeru v prsni višini med obema sestojema zna¬ čilno različna in sicer s tveganjem OO- 0,05. 365 11.24 £ vzoroea n^ r 200 dre vas v prvem ‘bukovem sestoju smo ocenili, da je odstotek žagarske hlodovine v prvem Bestoju p , jj <. 385«. Z vzorcem n^ b 200 dreves v drugem bukovem sestoju pa smo ugotovili, da je ocena za odstotek žagarske hlodovine v drugem sestoju p ? > : f o 43$. Preskusiti je treba, ali je razlika v kvalite¬ ti proučevanih sestojev značilna. Če vstavimo rezultate vzorcev v obrazec 11.30, dobimo: 38 - 43 Pi 7c( 100- Pi %) p z %(10D-p 2 %) -- -f- -- 38(100-38) + 43 ( 100 -«) -7/ 200- f 200 --/ Ker je absolutna vrednost izračunanega z b 1,02 manjša kot z. . c 1,96, zaključimo, da razlike v kvaliteti niso značilne. 0,05 11.25 Za smrekov sestoj 1 je iz vzorca n, » 100 dreves ocenjeni standardni odklon v premeru dreves v prsni višini s^ » 6 cm. Za smrekov sestoj 2 pa je iz vzorca = 200 dreves ocenjeni stan¬ dardni odklon za premere v prsni višini *= 8 cm. Značilnost raz¬ lik med standardnima odklonoma preskusimo z obrazcem 11.31 6 -8 JL 2.200 = - 3,43 = z 366 Ker 3e absolutne vrednost izračunanega a * 3»43 v®5ja kot z o,ooi “ 3,29t Silne in sioer aklapsfEa, da so razlike v homogenosti visoko s tveganjem Ot >=* 0*001« 367 . . . • . ■ •• 12 STATISTIČNO PLANIRANJE POSKUSOV 12„1 Osnove statističnega plana poskusa.V raziskovalnem delu pa tudi v operati v gozdarstvu in lesarstvu pogosto proučujemo vpliv različnih faktor¬ jev na določen pojav. Ti faktorji so lahko: gnojilo, gojitveni hkrep, vrsta surovine, proizvodni postopek, pogoji, v katerih po¬ teka proizvodni postopek, itd. Te probleme smo že reševali s ko- ^elacijsko analizo. Tudi z enostavno analizo variance odkrivamo Razlike določene karakteristike pri spremenjenih pogojih. Z na¬ daljnjim razvojem analize variance pa uspemo varianco razstaviti v komponente po več faktorjih hkrati, kar omogoča preučevanje isto¬ časnega vpliva različnih faktorjev. S tem se odpirajo velike mož¬ nosti analiziranja kompleksnega vpliva faktorjev. Iz tega se je Razvila posebna disciplina statističnega preučevanja-planiranje. eksperimen tov, katerega teoretična osnova je analiza variance, pred— m et pa sistematično proučevanje delovanja faktorjev. ^2,2 Rezultati poskusov pod navidezno enakimi pogoji niBO med seboj enaki. Vzrok temu so razlike v samem postopku poskusa, Kljub termi;, da je poskus skrbne pripravljen; rezultati od poskusa do poskusa variirajo. Drug vir razlik je merilna tehnika, ki bo¬ leha za isto boleznijo. Faktor, ki povzroča variabilnost rezulta¬ tov poskusa, so tudi surovine, ki so predmet poskusa itd. Tako je npr. trdnost poskusnih koščkov lepljenih plošč razer. od vrste le¬ sa in lepila odvisna od vseh zgornjih faktorjev. Faktorje, ki vplivajo na rezultat poskusov, delimo v tri, po svojem značaju različne skupine: a) opredeljive, za poskus pomembne faktorje b) opredeljive, za poskus nepomembne, faktorje o) neopredeljive faktorje. , ?/,, 12.3 Plan poskusa, slučajnost, p o n a v - < Po zakonu o velikih številih vemo, da se vpliv slučaj - Postnih faktorjev v povprečjih, izračunanih iz ponovitev poskusa pod enakimi pogoji, omili. Rasen tega se za ta¬ ke primere da pogr ešk o ozirom a odklon od pravih vrednosti oceniti. Seveda pa vsi neopredeljivi, faktorji sami po sebi niso slučaj— nostni. Še manj pa to velja za opredeljive, a za poskus nepomemb¬ ne faktorje. Slučajnostnost za nastop teh faktorjev dosežemo ta¬ ko, da poskuse izvajamo s 1 u č ajnostno. Ponazorimo Princip na praktičnem primeru. Vzemimo enostavno analizo variance, v kateri proučujemo tlačno trdnost komprimiranega lesa. Poglejmo, kakšen je rezultat, če opredeljivo, a za poskus neinteresantno komponento - surovino, vključimo sistematično v poskUE. Iz osnovne surovine-lesa iz treh virov po vrsti proizvedemo in preizkušamo nekaj primerov komprimiranega lesa iz prve vrste lesa. Ko zmanjka tega, vzamemo druge in tako dalje. "Če proizvajamo nekaj časa še 371 po prvem, potem pa po drugem tehnološkem postopku iz druge surovi¬ ne itd., vpliv surovine v bistveni meri zabriše osnovni cilj razi¬ skave - prikaz odvisnosti tlačne trdnosti od tehnološkega postop¬ ka. Za razliko od sistematičnega razporeda pa izbirajmo surovino od primera do primera slučajnostno in s slučajncstnim razporedom upora'- 'bimo na njih posamezne tehnološke postopke! V tem primeru se v povprečju vpliv surovin omili sumaren učinek vseh faktorjev, ki jih v poskusu ne obravnavamo, pa moramo meriti. Statistika ima to¬ rej dvoje orodij, s katerima prispevamo k boljšim rezultatom posku¬ sa. Prvo je eliminacija nepomembnih, a predeljivih faktorjev s pri¬ mernim planom poskusa. Drugo pa je slučajnost, s katero dosežemo, da je vpliv vseh faktorjer, ki niso za poskus interesantni ali jih nismo iz poskusa s planom izločili, slučajnostni. Njihov učinek pa zmanjšamo s ponavljanjem poskusa, z določenimi metodami pa tudi ocenimo, 12.4 Za primer vzemimo analizo lastnosti komprimiranega lesa, ki je bil proizveden po treh različnih tehnoloških postop¬ kih A, B, C. Na razpolago imamo po n^ = 10, * lo in » 6 m slučajnosten način izbranih kosov za vsako vrsto. Preskusiti je treba ali S6 posamezne vrste med seboj razlikujejo v mehanskih in fizikalnih lastnostih. V našem primeru bomo podali le analizo za tlačno trdnost in razkolnost. če smatramo, da so bili posamezni koBi, proizvedeni po različnih postopkih, izbrani na slučajnosten način iz hipotetičnih populacij« moremo zgornji problem rešiti z enostavno analizo variance: Model poskusa za ta primer je: X » M + (P) + e , P 1 Pi 372 Pri tem pomeni z . « rezultat analize na kosu i po postopku p: pi M n rezultat splošnih vplivov, (P) = učinek postopka, e^ m slu- čajnostna komponenta, za katero smatramo, da je normalno porazde- 2 Ijena z e^ = 11(0, (fr ). Pri teh predpostavkah obračunamo analizo variance po naslednji metodi; Opj *» SS x Pi Pi 5 Op » S — P P ix 2 n 2a tlačno trdnost, ki je merjena s kg/cm , so osnovni podatki na¬ slednji; ? X pi X p A 1350 1280 1210 1250 I43O 1390 I44O 1440 1450 1430 13670 P 1310 1210 1230 1110 1170 1360 1280 1270 1110 1110 12160 C 1040 1140 1390 1290 900 900 6660 X = 32490 %: T - SS X rvl 1 Pi pi 1350 2 + 1280 2 900 «, 41215700 13670 2 12160 2 - +- 6660 10 10 4O866O5O 0 . 32490 26 40600003 373 Analiza variance: V tablicah za kritične vrednosti za F-porazdelitev najdemo, da je f 0 ,05 ' 3,42 > F 0,01 = 5,66 in F 0j001 “ 9 ’ 47 ' Ker 3e izra5unana vrednost za F = 8,75 ned vrednostima za 06 = 0,01 in X = 0,001 smatramo, da so razlike v tlačni trdnosti med skupinama značilno različne na stopnji CX «» 0,01. To dovoljuje, da ocenimo tlačno trd¬ nost za vsak postopek posebej in razlike med ocenama za dva postop¬ ka. Maksimalen verjeten odklon za oceno b tveganjem Oi = 2P je d £ “ *o6 (““ 2 3) za razliko med dvema postopkoma 1 in 2 pa d . - (m=23) . s \/VL^ a i * n 2 Za postopek A je s tveganjem C0= 0,05 d^ = 2,07 . Intervalna ocena za poprečno tlačno trdnost pa 1367 - 80,7 . 1367 (1 - 0,059) 15202 10 80,7 Absoluten maksimalen verjeten odklon je 80,7, relativen pa 0,059 ali 5,S$- 374 Za razliko med postopkoma A la C pa j d C-A “ 2 ’° 7 * 'V - 13i » 8 Intervalna ocena razlike je torej AX - 1367-1110 « 257 A M = 257 ~ 131,8 k%/om 2 Za razkolnoet, za katero so osnovni podatki: A 18,3 17,5 17,3 15,8 19,3 18,0 19,8 2o,o 15,8 18,o B 13,8 15,3 20,5 19,8 14,5 16,8 15,8 15,3 2o,3 17,o c 19,3 17,8 14,8 15,8 24,0 23,3 Pa da na enak način kot za tlačno trdnost obračunana varianca na¬ slednje rezultate: primerjano dobljeni F=l,52 s tabeliranici F (2,23) =» 3,42, s klepamo, da so razlike v razkoinosti za posamezne postopke nezna¬ tne. 375 Cisto »lučajnostni poskus 12.5 V čieto slučajnostnem poskusu s planom poskusa ne izločimo vpliva nobenega za raziskavo nepomembnega, a opredeljivega faktorja. V takem poskusu od elementov statističnega eksperimen¬ ta uporabimo samo slučajnostnost posameznih poskusov in ponavlja¬ nje. Metoda slučajnostnih blokov 12.6 Najenostavnejši, hkrati pa tudi najpogosteje uporabljan plan, pri katerem iz poskusa s kontrolo izločimo vpliv ne¬ pomembnega faktorja, so slučajnostni bloki. Heterogenost najraz¬ ličnejše vrste, od surovin, ki so osnova za poskuse, do pogojev in izvajalcev poskusa, je vzrok nezanesljivim rezultatom poskusov. Povečanje števila ponovitev je včasih drago, dostikrat pa celo ne¬ mogoče. Homogenost spremljajočih faktorjev poskusa je težnja vsa¬ kega eksperimentatorja. Vendar ta ideal težko dosežemo. Poskus na¬ vadno izvedemo v toliko kombinacijah, da je nemogoče za vse posku¬ se zagotoviti popolnoma enake pogoje. Delen izhod iz tega so slu¬ čajnostni hlcki. Če že ne moremo na homogenem materialu izvesti vseh ponovitev, lažje dosežemo homogenost pogojev za vse postopke ene ponovitve poskusa. Če npr. na določeni vrsti lesa preskušamo razlike v učinkovito¬ sti štirih različnih tehnoloških postopkov obdelave lesa v petih ponovitvah, lažje ustvarimo homogene pogoje za štiri poskuse (za štiri različne tehnološke postopke), kot pa za n • p.n «= 4,5 « 2o poskusov. Zato planiramo tak poskus tako, da izvedemo po en po¬ skus po vsakem postopku v čimbolj homogenih pogojih - enem bloku. 376 Zato poskusne dele lesa za en t>lok vzamemo iz istega kosa, ki ga za potrebe poskusa razdelimo pred obdelavo v štiri kose. Ti Štirje kosi imajo zelo slične kvalitete, ker so vzeti iz manjšega kosa lesa. Na isti blok bi mogli vezati še kak drug faktor, vendar za¬ radi razumevanja metode ostanimo samo pri enem. Ker so kvalitete lesa v bloku homogene, v razlikah med posameznimi postopki iz iste¬ ga bloka vpliv kakovosti praktično odpade. Tako je iz poskusa izločen faktor, ki je osnova za tvorjenje bloka. 12.7 Ha zgornji primer navežimo sgematičen numeričen primer z istim številom blokov (b = 5 ) i- n istim številom postopkov (p b 4). Eezultati so naslednji: Blok 1 Blok 2 Blok 3 Blok 4 Blok 5 Vsote blokov *B 197 240 219 171 163 990 » X ^sote za postopke 377 Potrebne pomožne količine bos v ■ j?, ■ %- j f? „ 1 ^J2 Ck as " SX V> b p 51248 200180 4 250750 5 980100 5.4 K 50045 « 52150 49005 Analizo variance za. slučajnostne bloke pa obračunamo po shemi; Iz analize variance zaključimo, da.je od skupne vsoto kvadratov odklonov (4243) velik del (1040) pojasnjen s tremi stopinjami pro¬ stosti z bloki in da razmeroma majhen del (58) z dvanajstimi stopi¬ njami prostosti odpade na nepojasnjene-slučajncstne vzroke oziroma na eksperimentalno napako. Če ne bi vrste surovine izključili iz 378 slučajncstne komponente, bi njen vpliv ostal v nepojasnjenem delu variance oziroma v eksperimentalni napaki. Ocene bi bile znatno manj zanesljive. Tako pa moremo oceniti povprečno kakovost z dolo¬ čenim postopkom. Intervalna ocena s tveganjem 0,05 j* 5 «p “Sp* ^( 12 )^^ 2,179 2 ,% maksimalen verjeten odklon z Qb = 55& za razliko med dvema aritmetič¬ nima sredinama pa je <4* Vs = 2 - W ' = 3,03 Is rezultatov vidimo, da so vse razlike med aritmetičnimi’ sredina¬ mi za postopke značilna. ^ e t o d a parov 12.8 Metoda slučajnostnih blokov se tehnično zelo poenoctavi, teo¬ retično pa privede na metodo parov, če ima faktor, ki ga pro¬ učujemo, samo dve vrednosti. Tak primer je pogost pri proučevanju 'Učinkovitosti določenega postopka. Pogosto raziskujemo vpliv impre¬ gnacije, vpliv vlage, vpliv določenega načina lepljenja ali obdela- v ® -ipd, V talcih primerih vzamemo običajno standardni način kot kon¬ trolni postopek, novi način pa kot proučevani postopek. V takem primeru ima npr. faktor "impregnacija" vrednostit neimpregni- han-impregniran, faktor "vlažnost" vrednostis suho stanje-vlažno s tanje itd. 379 Z,& -take primere je blok kos lesa, ki ga razpolovimo, na vsaki po¬ lovici .pa apliciramo po eno vrednost raziskovanega faktorja, npr. en del impregniramo, drug del pa ne. Tako dobimo dvojico aplicira¬ no na bloki. Razlika upogibne trdnosti ali kake druge karakte¬ ristike za en blok je samo izraz razlik zarodi impregnacije in slu6ajncsir.it vplivov. V njih pa niso vključeni vplivi razlik v surovini, ker je ta vpliv z razlikami v dvojicah izključen. Ekspe¬ rimentalna napaka. za ocene poprečne razlike se tako znatno zmanj¬ ša. 12.9 Vzemimo shematičen primer vpliva impregnacije na določeno karakteristiko lesa x. Po zgornji metodi izberemo n kosov lesa. Vsak kos razpolovimo, eno polovico impregniramo (1), druge polovice pa ne (0). Pomembno je, da združujemo ustrezne pare v blok. Če smo npr. vzeli n «= 15 tak a kosov in dobili rezultate i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 lo H 12 13 14 15 s . 27 35 42 31 47 53 27 33 41 28 51 42 29 34 29 01 43 52 61 53 61 62 33 49 48 47 68 60 45 5o 48 d i 16 17 19 22 14 19 6 16 7 19 17 18 .16 18 19 poiščemo najprej diference ustreznih postopkov d i ■ “u - d „i 38o Dobljene diference za posamezne kose analiziramo kot poprečne diferen¬ ce 5a „241 d » 16,07 4135 1241 )! ■ 15 15-1 18*8521 Maksimalen verjeten odklon za oceno poprečne diference je z 06- 5 * Intervalna ocena za pravo vrednost poprečne spremembe zaradi impre¬ gnacije pa 11 - d i er m 16,07 - 2,40 a 13,67 < D < 18,47 381 Latinski kvadrat 12«40 S elučajnoatnimi bloki uspemo iz poskusa odstraniti vpliv enega izmed opredeljivih, a nepomembnih faktorjev. S po¬ sebnim prijemom pa uspemo s primerno razmestitvijo odstraniti vpliv dveh nepomembnih faktorjev hkrati. Ta plan imenujemo latinski kvadrat, ker v njem običajno posamezne postopke faktor¬ ja zaznamujemo z latinskimi črkami, ponovitve pa se pojavijo she¬ matično v kvadratu. Ker moreta biti kontrolirana faktorja tudi pomembna in jih moremo izvrednotiti, z latinskim kvadratom prouču¬ jemo tudi učinek treh neodvisnih faktorjev, od katerih se vsak 2 nanaša na enako število (k) nivojev, le k preskusi. Po pravilu se v vsoti učinek posameznih, faktorjev uniči. Zato s primerno razmestit’.'!jo variant v kvadratu dosežemo, da se učinek faktorja uniči v vsoti vseh kolon in stolp¬ cev: Če pišemo natančneje, so pri ureditvi v latinskem kvadratu vsote učinkov vseh treh faktorjev po posameznih kombinacijah so naslednje 382 &8 nakazane vsote učinkov seštejemo v vodoravni umeri, bo 2 t.rx.di t«Sa» ker je po definiciji A+B+C « 0 in 1+2+3 « 0 ppp.ei.ja količi- ' n6 ? v katerih je le faktor a b o, finako dobimo, Se seštejemo naka- zane vsote učinkov v navpični smeri, Zaradi splošnih lastnosti f a, torjev količine, od vseh treh faktorjev vsebujejo le faktor 12?,, pa iz tabele, v kateri je posamezen postopek v vsaki vrsti in stolpcu le enkrat samkrat, seštejemo podatke, v katerih js aplici¬ ran postopek A, se iz istega razloga v poprečju uniči učinek fak¬ torjev a b c in 123 in ostane razen slučajne komponente le še A, Podobno je s postopkoma B in C, ^ latinskem kvadratu posamezne postopke določenega faktorja rastne- s timo tako, da vsak postopek nastopa v latinskem kvadratu v vsaki ^sti ali stolpcu le enkrat ali kar je isto, razvrstimo jih tako, ^ se vsi postopki zvrste v vsaki vrsti in stolpcu. Splošnejše se to načelo skrči na pravilo, da sa od treh faktorjev, od katerih ima ^sak enako Število postopkov, vsaka kombinacija dveh postopkov v kombinacijah trah faktorjev pojavi le enkrat. 333 12.11 Analiza variance za eksperiment, ki je planiran v latin¬ skem kvadratu, poteka po naslednjih stopnjah, če z zaznamujemo rezultat poskusa, ki se nanaša na vrsto v, na stolpec s in na postopek p, je: SfSP SSS vsp 2 2 i vsota kvadratov k vsp osnovnih podatkov Dalje je enako kot pri običajni analizi variance X so vsote v vrstah v X g so vsote v stolpcih X so vsote po postopkih X je vsota vseh podatkov Analizo variance pa obračunamo po shemi: Sr“ ~ SX 2 ■ i 3x2 1 _ k sx 2 p p _i_ x 2 2 * 384 Cs sta faktorja v in s, ki sta v latinskem kvadratu v vrstah in stolpcih,kontrolna faktorja, izračunamo in preizkušamo samo F a P “ Se pa gre za tri pomembne neodvisne faktorje; po¬ skušamo na enak način kot za P značilnost vsak ■treh faktorjev, i2»12 Za primer vzemimo problem razlik v produktivnosti dela s petimi različnimi tipi žag« Čs pri preskusu sodelujejo raz¬ lične skupine delavcev 9 more spretnost delavcev vplivati na. pro¬ duktivnost. Zato planiramo poskus tako, da vsak delavec zapovrstjo ^ a ga z vsemi petimi žagami, kar predstavlja bloke 3a je 'blok slu- d&jnosten, vrstni red žaganja določimo na slučajnostan način. Vrstni red žage pa more biti v primeru, da se delavec pri večkrat- betu žaganju delu privadi, faktor, ki vpliva na produktivnost de¬ lu in moti rezultat. Tako se kompleks slučajnostnih. vplivov pove¬ va. Temu se izognemo z latinskim kvadratom,, če planiramo poskus ^uko, da prvič žaga vsak izmed petih delavcev z eno izmed Sag, v budaljnjem vrstnem redu pa menjavamo žage med delavci tako, da "^ak delaveo žaga z vsako žago samo po enkrat, v latinskem kvadra- Privajenost kontroliramo oziroma izločimo. latinski kvadrat 5 ' za preskus produktivnosti s petimi tipi žag; Ž 1 Ž 2 Ž 3 g 4 S \ - 139 137 149 148 177 V zgornji tabeli pomeni, da je delavec D 1 , ko je žagal prvič, žagal z ž in delo opravil v 32 časovnih enotah ipd. Medtem ko je neposredno jasno, da so Xf vsote podatkov iz posameznih vrst in vsote podatkov iz posameznih stolpcev, dobimo tako,da seštejemo podatke iz latinskega kvadrata za vse preskuse, pri katerih je bila uporabljena ista žaga, npr»s X* - 25 + 27 + 24 + 25 + 28 - 139 2 1 Za obračun analize variance potrebne količine sos 4 S 6 7 S 9 10 ti M /j tlf /jr /6 L 9 L 1o L 11 L 12 L 13 L 14 L 15 L l6 A A A A A A A A mm mmmmmmmmmmmmmm n II 1 20 II 22 2 J « 25 Ib 21 38 2? 30 51 33 'odel hierarhične raziskave, ki naj odkrije razlike med ploskvami, med drevesi istih ploskev, med vejami istih dreves, med listi istih v ej in med meritvami na istih listih, je naslednji: Če z zaznamujemo meritev "i" na listu "1" veje "v" , drevesa "d" na Ploskvi "p" je: 389 Vrti - “ ♦ w * * ' K,7) + roTO) * Vrti Pri tem posamezne komponente pomenijo: (P) »prispevek ploskve, (Pl))»prispevek dreves, (PDV)»prispevek vej, (PDVL)«prispevek listov, e , ..»prispevek različnih meritev na istih listih, k P d Vil skupni variabilnosti karakteristike x. Skupno imamo ''p.d.v.l.i." meritev na "p.d.v.l." listih od "p.d.v" vej na "p,d" drevesih iz "p" ploskev: 12.14 Za obračun analize variance iz osnovnih podatkov naj¬ prej izračunamo vsote: X , » S" 2 ' ,.; X SX ..ji« SX : X » SX : pdvl . pdvli' ndv pdvl pd pdv p pd 1 J. V d X « SX , iz njih pa P QpDVLI “ Svlf^ 11 * ^ VL 7 ssssx 2 ; 1 pdvl pdTl SdV “ i.1 S ® S 5 S® # pdv i*l*vo SS 4d S Pd. Qp 06 . j S X | r i*l*v # d« p * P i«l # v 0 d»p X 2 390 Analiza variance ima naslednjo obliko« Iz podatkov raziskave izračunane variance so ooene izrazov, ki so Vsote varianc posameznih stopenj. Iz teh izrazov je tudi razvidno, kako je treba izračunati razmerja, da preskusimo hipotezo o zna¬ čilnosti variano v posameznih stopnjah. Tako za preskus razlik med 2 2 Ploskvami izračunamo P = s^/s, , za preskus razlik tued drevesi 2 p 2 ? F » s.^/s^, za preskus razlik med vejami P » s^/s^, za preskus raz- 2 2 lik med listi pa F . sl/s . Preskušamo po znanem načelu z ustrezni- r e di stopinjami prostosti, ki. so nakazane v stolpcu m. Faktorski. poskusi 12.5 V raziskovalnem delu pogosto proučujemo delovanje več fak¬ torjev hkrati, Ta problem je posebno pomemben, kadar išče¬ mo kombinacijo faktorjev, ki daje najugodnejši rezultat, npr, op¬ timalno produktivnost, optimalno trdnost materiala ipd. Optimalne vrednosti faktorjev v spletu kombinacij niso vael6j enostavna vso¬ ta optimuma za vsak faktor posebej. Ker učinek posameznih faktor¬ jev ni vselej neodvisen, se učinki posameznih faktorjev ne vežejo vselej aditivno. čisti učinki in interakcija 12.16 če je učinek dveh. fa ktorjev n eodvisen, je učinek dveh faktorjev A, B.aditiven 15+(A)+(B) Učinek faktorjev pa more biti tudi odvisen in je vpliv faktorja drugačen pri različnih vrednostih faktorja A. Celoten učinek fak¬ torjev A in B je temu primeru vsot&s M+(A)+(B)+(AB) M je vrednost proučevane karakteristike pri poprečnem učinku A in B. (A) pomeni učinek faktorja A pri poprečnem učinku faktorja . (B) učinek faktorja B pri poprečnem učinku faktorja A, (AB) pa vzajemni učinek faktorja A in B. Odmislimo si vpliv slučajnostnih faktorjev in upoštevajmo, da je v poskusu, v katerem je faktor A na dveh nivojih A^ in A 0 (npr. 392 dve vreti lepila) in faktor B na treh nivojih B^, H o in B^ (npr. trije časi preganja). Naslednji podatki pomenijo rezultat (npr. trdnost pri posameznih kombinacijah šestih možnih kombinacij zgor- hjih faktorjev) V tabeli dani rezultati so poprečja za kombinacije faktorjev A in B poprečja za faktor A, poprečja za faktor B in sumarno po¬ prečje . shematično nakažemo, kako so sestavljena poprečja iz učinkov Posameznih faktorjev, dobimo: 1 2 teh enačb moremo izluščiti, kolikšen je splošen poprečen uči- n ®k faktorjev A in B (na to kaže K). Dalje dobimo čisti učinek faktorja A (A^ in A ), čisti učinek faktorja B (B^, Bg, B^) in ^htsrakcije AB (A^B^, ^ 1 ^ 2 ’ A 2 B l’ A 2 B 2’ A 2 B 3^° Učinek faktorja A je npr. A^ = (M+A^J-M e 37-43 « -6 A^ ~ (M+A^)—K ■> 49“43 «i+6. Enako izračunamo tudi učinek faktor¬ ja B in interakcije (AB). A 1 B^ je npr. mogoče dobiti takole« A 1 B 1 = (U+A 1 +B 1 +A 1 B 1 ) - (M+Aj.) - (M+B^) + M » 27-37-34+43 - -1. V tabeli so dani posamezni učinki faktorjev za vsako kombinacijo postopkov. Iz zgornje tabele sklepamo, da se zaradi vzajemnega učinka fak¬ torja A in B pojav(v našetn primeru trdnost) v kombinacijah A^B.^, A^B^ in -A^B^ zniža, nasprotno pa v kombinacijah faktorjev AgB^, in A^B^ zviša. Na sliki so narisani podatki učinka kombinacije faktorjev A in B iz tabele osnovnih podatkov z ne¬ prekinjeno črto. S prekinjeno črto pa je včrtan učinek faktorjev A in B, če interakcije ne bi bilo in bi bila zveza učinkov fak¬ torjev aditivna: M + (A) + (B). Iz slike je razvidno, da se pri vsaki vrsti lepila (faktor A) pri različnih količinah ne spreme¬ ni samo nivo trdnosti, temveč tudi zakonitost odvisnosti trdno¬ sti od količine lepila. Če interakcije ne bi bilo, bi potekali krivulji za A^ in A^ za odvisnost trdnosti od količine lepila paralelno na različnem nivoju, ker bi bila odvisnost trdnosti od lepila nespremenjena. 394 el. 12.1 Rezultati faktorialnega poskusa AB 395 Model in anali »e avofaktorakega p o s k u e a 12.17 V splošnem v faktorskih poskusih - enako kot pri vseh dru¬ gih poskusih, - razen idealnega stanja, ki smo ga nakazali v prejšnjem odstavku, nastopajo še slučajnostni vplivi, zapadi katerih moramo eksperiment v vseh variantah izvesti s ponovitva¬ mi . Kodel enostavnega slučajnostnaga faktorialnega poskusa z dve¬ ma faktorjema je: Razen znanih količin je: X , . ■= meritev na ponovitvi "i" za kom- R.D1 vplivov za ponovitev "i" za kombinacijo faktorjev ab. 12.18 Obračun analize variai za xak poskus je naslednji: Iz hinacijo faktorjev ab« Enako je e a ^ rezultat slučaj nos tnib osnovnih podatkov poskusa izračunamo naslednje vsote; x ahi x a X s* 8X a at ,3X^ 396 Iz teh vsot izračunamo pomožne količine: ABI sss ati X 2 abi AS - - ssx 2 n _ ab ab \ - nb 1- sz 2 a a % - nab Iz teh pomožnih količin pa obračunamo analizo variance po nasled¬ nji shemi: Analiza variance za faktorski poskus z dvema faktorjema Kazen znanih ali definiranih količin pomeni n « število ponovi¬ tev za vsako izmed kombinacij faktorjev a in h. 397 12.19 Vzemimo a« primer proučitev vpliva dveh vrst lepil (I, Ig) pri treh količinah (K^, Kg, K^) porabljenega le¬ pila na trdnost lepljenih plošč z n 5 ponovitvami (pet plošč za vsako izmed šestih kombinacij faktorjev; vrsta in količina le¬ pila) . Osnovni podatki faktorialnega poskusa trdnosti v odvisnosti od vrste in količine lepila; Iz vsot Z lh po kombinacijah sestavimo tabelo vsot 398 Pomožna količine bos - SSSX 2 - 73 2 + 88 2 + ..... + 32 2 + 43 ^ * 165567 X lki SSI 2 ^ - | ( 41 o 2 4 - 425 2 + 391 2 + 369 2 + 365 2 + 211 2 ) „ 16310 ? Ir.. - ™ ST 2 - —~ (l 226 2 + 945 2 ) » 15974 C ( 779 2 + 790 2 -f 602 2 ) - 159335 2171 2 „ 157108 Analiza variance za zgornji dvofaktorski poskus je naslednjas ^ J • 3 n . 1 k 4 1 5.2 Q . -±— Y 2 _I_ ni .k 5 . 2.3 399 Potrebne kritične vrednosti za P pri preizkušanju hipotez zna¬ čilnosti faktorjev so: V 2 ’ 24 ^ 5 ’ 61 ’ F^ (2,2 4 )-9,34, F ¥o ( 1 ,24) - 14, o3 Vpliv vrste lepila smatramo kot močno značilen, ker je izraču¬ nani P a 25,63 znatno večji kot ustrezna vrednost F^ o (1,24) a 14»o3 z l°/oo tveganjem. Enako je tudi vpliv ko¬ ličine lepila na trdnost zelo močan, ker je izračunana vrednost F a lo,83 večja kot F^^ (2,24) a 9,34» Interakcija VE je značil¬ na skoraj na nivoju 1 J>, ker je ustrezna izračunana kritična vrednost za F a 5,53 zelo blizu značilnosti na nivoju 1 Značilna interakcija pomeni, da se trdnost pri različnih količi¬ nah lepila obnaša drugače pri lepilu kot pri lepilu L^. Zato je trebe, analizirati poprečja po kombinacijah faktorjev V.K, ne pa e imamih poprečij. Iz tabele vsot dobimo ustrezno tabelo po¬ prečij, če delimo s 5» Maksimalni verjetni odklon za intervalno oceno zgornjih sredin s tveganjem 06 je: d o6 5 * t oč )]^|" “ V < 24 > \J m $ !1 400 Za ot =, 5JŽ je t^(24) 2,064, oziroma dalj® S/= (5) * 2,064,4,532 - 9,35 Intervalne ocene poprečij so: » x^ v - naoijo L 2 K 3 M 23 . 42,2 t 9,35 9,35 npr. za kombi- Za razlik6 med dvema aritmetičnima sredinama pa je intervalna 00a>ia, A M A x 1 a. Ax - 13,18 Ji a ktorski poskus s tremi faktorji l2,2o Faktorialni poskus z dvema faktorjema moremo razčiriti na poskuss z raziskavo več faktorjev hkrati« Ca vzamemo ^ifaktorski poskus s faktorji A, 3, C, razen čistih učinkov (k), (B), (C) nastopajo tri vrste dvojnih interakcij (A3), (AC) •"■h (BC) in ena trojna interakcija (ABC), če vsako kombinacijo ^®ktorjev A, B« C izvedemo v več ponovitvah, je model za tak plan ^slednji* \ bc . - M + (A) + (B) + (C) + (AB) + (AC) + (BC) + (ABC) + ^nliza takega poskusa poteka v naslednjih fazahs ^ D 3kus je Izveden na a.b.o. možnih kombinacijah postopk ... reh faktorjev, vsaka v n ponovitvah. 405 če z označimo rezultate posameznih, poskusov, so za anali¬ zo potrebne naslednje vsote osnovnih podatkov« Sc SS * v -4 ai aboi pomeni vsoto po logen pomen imajo druge vsote, X ponovitvah in faktorju a. Ana- = vsota vseh podatkov. Iz tahele vsot izračunamo pomožne količine Q, . 2 12 1 a « ssss x ; a - — sssx « a = aBCI "7 1 abci ’ *ABC - ^ abo’ aB - . aboi n a bo c.n ab SS X ‘ab AC b.n Sc -” ? s in štiri načine prešanja: P^, Pg, P~ P^. Vsako izmed 2.3.4 » 24 kombinacij treh faktorjev pa ponovimo petkrat (n c p). Podatki so predelani iz gradiva instituta za tehnologijo lesa gozdarskega oddelka biotehniške fakultete. V taheli 12.1 so dani osnovni podatki x.,, .z ustreznimi vsota- lkpi mi rezultatov ponovitev X , v taheli 12.2 pa so podane vse ma- jJCP daljnje potrebne vsote. Postopek za analizo trifaktorskega posku¬ sa je podoben kot za dvofaktorski. Zato ne bomo s simboli nava¬ jali, kako smo iz podatkov vsot prišli do pomožnih količin 0^.1 oziroma do reduciranih pomož: h količin Analiza variance je pokazala izredno visoko značilnost čistih učinkov vseh treh faktorjev (na nivoju ifoo). Ustrezne kritič¬ ne vrednosti za P (F.^ o (1,96) <£ 11,97» *W 2 ’ 96) < 7,76, Fi^ o ( 3,96) < 6,17) so manjše kot so F^Cl^O) = 11,97, P 15 Žo “ 7,76, F ¥o (3,6o) « 6,17, te pa so manjše kot stvarni F za čiste učinke faktorjev. Interakcija L? se izkaže za značilno na nivoju 5$, interakcija 2 EP pa na nivoju Ijo. Interakcija LE ni značilna, ker je s. manj- 2 ^ ši kot s . 4<4 Tab, 12,1 Osnovni podatki trifaktorskega poskusa trdnosti lep¬ ljenih ploSS* 4 05 Tab. 12,2 Sumarni raiultati trifaktarskoga poskusa CM H KO Os SO 9 Os SO iC\ in m rt irt co eo in m in rt os o •8 f— ITv t— CO O ■8 r- in t- co I S VO co co I I % 3 + ® lpT x lpv » rezultat meritve trdnosti lepljenih spojev z lepilom t, na plošči p in vlago v. 414 D eem stran modela nakaže aestavo te meritve x. slede na * jipv Posamezne komponenta, Hezultati meritev so dani v tabeli 12, J, V modelu nastopata dve vrsti eksperimentalnih napak, kar pride do izraza tudi pri analizi variance. Ip in 5e zaznamujemo osnovne podatke z x ipv ? 0® tabela osnovnih podat¬ kov in potrebnih vsot zapisana simbolično takole* Ustrezni podatki pa so* 415 Najprej izračunajmo iz zgornje tabele vsot za analizo variance potrebne pomožne količine: « SSS x? - 135 2 +58 2 +12o 2 +...+83 2 +37 2 - 121164 lpv ** Ql P - J SS x 2 = | (193 2 +175 2 +...+132 2 +12o 2 ) - Io7o43 Iv p “ p SSX l “ 2 (255 2 +H3 2 +...+77 2 ) - 12o9o4 p lv " ^7" S ^ “ 4 (368 2 +364 2 +31o 2 +252 2 ) - I0688I ^ SX 2 - | (878 2 +416 2 ) . 117992 p v Q ** - h 12942 - 104652 416 Analiza variance za navedeni plan pa jes Iz analize variance je razvidno, da čisti učinak lepljenja analizi¬ ramo kot čisti slučajnostni poskus z napako e^f vlago in interakci¬ jo? lepljenje x vlage pa kot slučajnostne 'bičke* Pri tem so bloki bloSče napaka pa e 2 . Ker je izračunani P za preskus učinka le Pljenja P . „ 18,35 večji kot kritična vrednost 4o»5 ^01(3,4) » 16,69 in manjši kot P Q 302(3,4) - 56,13, zaključimo, da. je vpliv lepljenja značilen za Ot » 0,01, (kar- je v analizi varianoe ^enačeno z “). Vlago, za katero je P - - 544,49, praski - e F (1,4) o 74.I4. Izka£e se, de je vpliv vlap -»redno vi- 0 , 001 ' 7 7 8 °ko značilen, interakcija med lepi j anketi' in viago (j? ^ ■ 9,29) je značilna na nivoju 06- 0,05, ker je P 3,4) - «»59 o -or A F ,(3,4)» 16,69. Iz značilnosti interakcije sklepamo, da pri raz- o,ox ličnik lepilih vlaga različno vpliva na trdnost lepljenih spojev. 12.26 Predpostavimo, da se glede na sestav lepili A in B raz¬ likujeta od C in D. Iz EK za lepljenje moremo izdvojiti tisti del, ki izvira iz raz¬ lik med skupinama lepila s primerjavo (A+B):(C+L). Ta primerjava 2 od skupno 2229 SK pojasni . (368+364 31p- Oj 0454 » V taki karti imamo namesto dveh tri področja: I = pas ustaljenega procesa: proces nadaljujemo pod nespremenje¬ nimi pogoji H : varnostni pas : proces nadaljujemo: kontrolo - ... ^ —^_ V poostrimo lil s kontrolni pas : proces ustavimo, da ugotovimo siste¬ matični vzrok 13.7 Druge kontrolne karte za nume¬ rične znake. Za kontrolo centralne tendenoe po¬ gosto uporabljamo mediano, ker jo lažje določimo kot aritmetično sredino. Izmed kontrolnih kart za variabilnost je računsko zahtev¬ nejša kontrolna karta za O" . Iz istega razloga kot mediano pa namesto standardnega odklona pogosto uporabljamo pri kontroli kva¬ litete za mero variabilnosti variacijski razmak R. Parametre, ki so potrebni pri izdelavi kontrolnih kart, poznamo dostikrat vna¬ prej. To so npr, standardi, tovarniško dane karakteristike stro¬ jev ipd. Dostikrat pa parametre, ki so potrebni za izdelavo kon¬ trolnih kart, ocenimo iz preskusne proizvodnje, ki obsega večje število (k) zaporednih preskusnih vzorcev z (n) artikli. Količine A,B ,C in D, ki so navedene v odstavku 13.8, so pc ameriš¬ kih standardih izračunane tako, da upoštevajo trikratne standardne pogreške od centralnih črto Seveda bi mogli izdelati tabele in kar¬ te,ki bi imele za osnovo drugačne verjetne odklone. 427 13.8. Obrazci in tabele sa izračunavanje kontrolnih linij za Xj me, e in P karta Obrazci »a izračunanje črt za kontrolne karte x, me, s in H. Kontrolni karti ze centralno tendenco VT 5 C 2 ^’ ^ d„\fn '2 V 5L _J- 2 \/!T Kontrolni karti za variabilnost Bj „ C 2 - jb 1 » 2 " °2 * 3,J 1 B 3 " 1 " 3 C S 4“ 1 ' t3 č7' Dl . d, - ffi . D 2 . d 2 ♦ & » 3 - 3 - 3 B, - 1 * 3 c. Tal), 13.1 Faktorji za izračun kontrolnih linij pri različnan obsega -vzorcev 429 13.9 Kombinirane kontrolne karte. Da v celoti kontroliramo faktorje, ki vplivajo na spremem¬ bo proizvodnega procesa, moramo istočasno kontrolirati centralno tendenco in variabilnost. Glede na računsko zahtevnost posameznih parametrov običajno kombiniramo kontrolni karti za aritmetično sredino in standardni odklon v "x ~ s karto". Dostikrat kombinira- Jr mo karti za aritmetično sredino in variacijski razmak v"x-R kar¬ to", tehnično najenostavnejša pa je kombinacija mediane z varia- cijskim razmakom v "me-R karti". Za zadnji primer moremo oba pa¬ rametra določiti direktno iz karte osnovnih podatkov tako, da kombiniramo na istem grafikonu oziroma karti osnovne podatke f me~ diano in variacijski razmak v "x-me-R karto", če v tako karto za preskusni vzorec vnesemo osnovne podatke, točka za vrednost sred¬ njega člena avtomatično predstavlja točko za mediano, razlika med točko za največjo vrednost in točko za najmanjšo vrednost (ki jo odmerimo z robom papirja) pa je variacijski razmak. 13^1' Kontrolne karte za atributi v - ne znake.S kontrolnimi kartami kontroliramo tudi atributivne znake. Ti atributi so bodisi pravi atributi'vni znal¬ ki ali pa izvedeni iz enega ali več numeričnih karakteristik.Tak primer je npr. kaiibracxja. Vendar so kontrolne karte v klasični obliki uporabne za atributivne znake le, če so vzorci zadosti ve¬ liki. Če je proučevani pojav relativno pogost, zanj kontroliramo ali strukturni delež p ali število enot z dano značilnostjo d. Pri relativno redkih pojavih pa samo število enot z dano značilnost¬ jo o. Za primer, da so dani standardi (za strukturni delež P ali šte¬ vilo enot z dano karakteristiko pri redkih pojavih a) velja za trikratne standardne odklone: 43o kart*. ZKč ce SKČ p + 3 V nP + 3.nP(l-P) a + 3 V I — a n? P - 3 V nP - 3. V' nF(l-P) a • 3 /a" 2e osnovne podatke ocenimo s k preskusnimi vzorci is stabilnega 1 Proizvodnega procesa, zamenjamo P z p « " Sp pcprecnim struktur- K dim deležem iz preskusnih vzorcev, nP z d = — Sd e poprečnim Šte¬ vilom artiklov z dano značilnostjo iz k preskusnih vzorcev iz sta¬ bilnega procesa, a pa s c = ~ Sc s poprečnim številom iz pre¬ skusnih vzorcev iz stabilne proizvodnje, če hočemo dohiti kritič¬ ne meje z drugačnimi tveganji, je seveda treba z » 3 zamenjati s ds treznim z. Primer: Iz proučevanja proizvodnje v daljSem razdobju smo ugotovi¬ li, da je v partijah po n ■= 100 artiklov v poprečju d = 4 artiklov 8 labih. 2e uporabimo kontrolne mejo za d, dobimo iz zgornje tabele: 2KČ, » 4 + 3 . 4 ("l- 0 , 04 ) „ 10 SKČ d =4-3.f4(1-0,04) « 0 2a pa vzamemo, da je navedeni pojav, ki se pojavi samo v 45^» redek, Pa. dobimo za kontrolno karto o podatke: 431 4 + 3 4 - 10 2KČ c ce - 4 o SKČ - 4 - 3 4-0 C Bezultati so torej identični, S kontrolno karto o moremo razen števila defektnih artiklov za redke defekte kontrolirati tudi število defektov na enem samem artiklu, če se ti defekti pojavljajo slučajnostno. Tako more biti o število hrapavih mest na politiranih vratih, ki jih serijsko proizvajamo, število napak v nekem saEtavljenem ar¬ tiklu, ki je sestavljen iz velikega števila delov, ipd. 13.11 Statistična kontrola prevze¬ ma. Statietična kontrola prevzema (SEP) je dix-aktna upo¬ raba statističnih metod preskušanja hipotez in ima le to speci¬ fičnost, da jo uporabljamo pri kontroli. Najobičajnejše presku¬ šamo hipoteze o strukturi(predvsem o prooantu defektnih skupin artiklov ) skupin artiklov, preskušamo pa tudi hipoteze o dru¬ gih karakteristikah skupin, npr.: o aritmetični Bredini, vari¬ anci ipd. Specifično za kontrolo prevzema in za statistično kon¬ trolo nasploh je, da delamo zaključke o celotni kvaliteti sku¬ pin proizvodov, ne pa o individualnih proizvodih. SE? vršimo v različnih fazah proizvodnje: pri prevzemanju surovin, prehodu polizdelkov iz oddelka v oddelek v istem podjetju in pri kontro¬ li gotovega blaga. Običajno e kontrolo prevzema kontroliramo, ali proizvodnja ustre¬ za pogojem, id jih stavlja kupec oziroma potrošnik na proizvod- 432 njOj oziroma pogojem, za kakršno označi proizvajalec svoje "blago. Zato pri kontroli kvalitete imenujemo napako prve vrste tve¬ ganje proizvajalca, ker se utegne zgoditi, da zavrnemo partijo, ki ustreza. Eapako druge vrste, ki je v tem,da neustrezno partijo sprejmemo, pa imenujemo tveganje kupca . kontrolo prevzema izvajamo pri kontroli množične proizvodnje v tejle obliki. Celotno proizvodnjo razdelimo glede na pogoje pro¬ izvodnje (dnevna proizvodnja, proizvodnja, proizvedena na istem stroju, isti skupini delavcev ipd) v skupine artiklov. Po vnaprej določenem planu kontrole iz posamezne skupine iz"beremo slučajnost¬ jo določeno število artiklov. Če je število neustreznih artiklov v vzorcu manjše ali enako s planom določenemu številu c, partijo sprejmemo, v nasprotnem primeru pa zavrnemo. Zavrnjene skupine Prekontroliramo v celoti, v njih pa neustrezne artikle zamenjamo z ustreznimi. Tako poprečen odstotek neustreznih artiklov zmanj¬ šamo, ker so po kontroli nekatere skupine brez neustreznih. Po¬ samezni plani SKP imajo za osnovo različne količine. Pogosto se opirajo na maksimalen poprečen odsto¬ tek izmeta po opravljeni kontro¬ li, Eer je pri ekstremno dobrih skupinah (proizvodnja je že sama na sebi dobra) ali pri ekstremno slabi kvaliteti proizvod— hje (po planu prevzema j® veliko skupin kontrolirano v celoti, slabi artikli pa zamenjani z dobrimi) poprečen odstotek izmeta to opravljeni kontroli nizek, je pri neki srednji kvaliteti ta odstotek maksimalen, kriterij za določitev plana jo tudi. spre¬ jemljiva kvaliteto., to je kvaliteta, jo z m ajhno verjetnostjo zavrnemo, in&if er e n t n a , v a- 1 i t e t & (to je kvaliteta, katero zavrnemo z verjet-ostjo 0 * 50 ) in nesprejemljiva kvaliteta (to 433 je kvaliteta, katero z veliko verjetnostjo zavračamo) 13.12 Enojni, dvojni, trojni, sekven¬ ci a 1 n i plani . Pri dani velikosti kontrolira¬ nih skupin in poprečnem izmetu po opravljeni kontroli pri zadost¬ ni velikosti vzorca najdemo oelo Število C.,, ki je tako, da sku¬ pino sprejmemo, če je Število neustreznih artiklov manjše ali ena¬ ko C^, in zavrnemo, če je Stervilo neustreznih artiklov večje kot je C^„ Tak plan imenujemo enojni plan. Pri velikih razlikah med stvarno in hipotetično kvaliteto odkri¬ jemo razlike že z majhnimi vzorci. Zato se včasih obnese dvojni plan. Po tem planu najprej izberemo vzoreo z 11 ^ enotami. Če je število neustreznih artiklov manjSe ali enako C., (ki je s planom določen), skupino sprejmemo. Če je Število neustreznih artiklov enako ali večje kot skupino zavrnemo. Če pa je število neustrez¬ nih artiklov večje kot in manjše kot C^, izberemo dopolnilni vzoreo z enotami. Te, vzorec je skupne s prvim vzorcem skupno n^+n^ enotami osnova za zaključek kot pri enojnem planu. Če je število neustreznih artiklov v skupnem vzorcu enako ali manjšo kot C^, skupino sprejmemo, v nasprotnem primeru pa jo zavrnemo. Če pričakujemo, da so med skupinami velike razlike, je dvojni plan bolj ekonomičen kot enojni, ke; vl&b« ',a dobre skupine opre¬ delimo v ustrezno grupo že pri prvem vzorcu. Podobno sestavimo trojni plan. Pri njem pridemo do končne odločitve pri nekaterih skupinah šele s tretjim vzoroem. Pri tem planu prvi vzoreo z n„ enotami povečamo na skupen vzoreo 2 u,+n^ enotami, tega pa s tretjim vzorcem m vzorec z enotami, C-o no dosežemo Se pri nižjih fazah odločitve, da skupino sprejmemo ali zavrnemo« 434 Razširitev ideje večfaznega vzoroa je sekvanoialni plan, pri kar- / terem večamo preskusni vzorec po en ali za manjše število artik¬ lov, dokler ne uspemo, da skupino zavrnemo ali sprejmemo. Po dolo¬ čenem številu povečevanj preskusnega vzoroa pridemo do cilja. Do končne odločitve pridemo tem prej, čim večje so razlike med priča¬ kovanim in stvarnim odstotkom izmeta. Sekvenoialni plan je Dolj zamotan kot navaden ali dvojen plan, ima pa to dobro lastnost, da dovede do rezultata v poprečju z najmanjšim potrebnim številom preskusov. Zato ga uporabljamo predvsem v primerih, v katerih je preskus posameznih artiklov drag. r 13.13 Za primer vzemimo tabelo iz knjige: Freeman, Friedman, Mcsteller, Wallis: Sampling Inspection. Iz priročnika je vzeta tabela za kontrolo skupin s 500-800 enotami za primer, da pričakujemo poprečen odstotek neustreznih artiklov po kontroli od 1,2$ do 2,256, zgornjo limito poprečja neustreznih artiklov po kon¬ troli pa 2 , 5 % do 3 , 55 ». 435 Tekala 13.2 Plan kontrole skupin s 5°° do 800 enotami s pcproč~ nim odstotkom neustreznih artiklov po kontroli 1,2^« do 2 , 2 $ in zgornjo limito povprečja neustreznih, ar¬ tiklov 2,5 $> do 3,55* Skupino sprejraen)o r de je število neustreznih artiklov v vzorcu x ^ C 1 in zavrnemo, de je x ^ C^» Vzorec nadaljujemo, de je ^2 z ( -' 2 * + P° E 13 n d, da skupine ne moremo sprejeti pri prvem vzorcu. is npr. iz skupine s 500 enotami po dvojnem planu izbe.orno n^ » 25 artiklov in med njimi najdemo 3 neustrezne, moramo vzo¬ rec glede ra tabelo povečati na 75, ker je 1 <4 3 < 4 „ Ča naj¬ demo v skupnem vzorcu nj+n ,,®75 7 neustreznih artiklov, skupino zavrnemo. nebno je b«; racionalnim planom. le' da more imeti 436 več fazo Če iz skupina £ I « 5^0 enotami izberemo najprej vzoreo ga (glede na tabelo 13.2), izbor nadaljujemo in izberemo nadalj¬ njih lo enot. Če ata v skupnem vzorcu dva neustrezna artikla, mo¬ ramo dodati nadaljnjih deset artiklov, ker ja o < 2 < 3 . Če v skupnem vzorcu (30) dobimo 3 neustrezne artikle, skupino po tret¬ jem vzorcu zavrnemo, ker je 3 - ^°^-°' bne tabele, kot je 13 . 2 , so sestavljene za različne kombinacije poprečnih odstotkov defektnih artiklov, različnih velikosti skupin in zanesljivosti, tako da moremo najti ustrezno tabelo za vsako kombinacijo, ki jo potrebujemo. z desetimi artikli in med njimi ne najdemo nobenega neustrezne- d 7 7 7 7 7 7 7 ••§ 6 6 k i> 6 6 b i 5 ■ i' S S S S S u h k 4 4 4 /? >3 ^ O / O O O O O O S h« ' S,« 7 10 20 30 ko SO 60 70 13.3 Sekvenoialni plan 437 - 14. PE0UČEVA3JJB DIIIAillEE POJAVOV 14.1 Osnove. Množični pojavi v času niso nespremenljivi, ampak se pod vplivom najrazličnejših faktorjev spreminjajo. Tako se s časom spreminja lesna masa v določenem sestoju, _zvoz lesnih izdelkov, investicije v gozdarstvo itd. Za analizo množič¬ nih pojavov je zato še posedaj važno jproučevanje_. variacija oziroma spremenljivosti pojavov v odvisnosti od časa - proučeva¬ nje dinamike pojavov. Proučevanje dinamike po¬ javov je važno pri iskanju zakonitosti razvoja. Poznavanje teh zakonitosti ima velik pomen pri vodenju gospodarstva. Če jih po¬ znamo, moramo z določeno stopnjo verjetnosti sklepati na bodoč¬ nost in napovedovati njihov nadaljnji razvoj, z določenimi ukrepi pa vplivati na bodoči potek pojavov. Sliko o dinamiki pojavov do bimo s časovnimi vrstami« Časovna vr¬ sta je nis istovrstnih podatkov, od katerih sc- pri intervalnih ca- a-.vr v, ■, vrstah vsak člen nanaša na - običajno enake - razm ake, pri ajoaantrdh oaec.nih vrstah pa na določene * običajno enako oddalje— ni. - momente (pri momentih čarovnih vrstah). Prime 1 . 1 za intervalno 439 Časovno vrsto je npr. posekana lesna masa za določeno drevesno vrsto v Sloveniji po letih. Primer za momentno časovno vrsto pa je število zaposlenih v podjetju IT. na koncu vsakega meseca. 14.2 Nazorno sliko o dinamiki pojava dotimo z grafičnim prika¬ zom, pri katerem je ena os - običajno abscisna - čas. Za prikazovanje časovnih vrst je posebej prikladen pollogaritem- ski grafikon, v katerem je skala za podatke, ki jih prikazujemo, logaritemska. Na logaritemski skali so vrednosti v razmerju z lo¬ garitmi vrednosti. Logaritemske skale imajo pred drugimi načini prikazovanja dinamike pojavov veliko prednosti. Iz znanih lastno¬ sti logaritmov so v logaritemskem grafikonu vidni relativni odno¬ si med podatki. Ti so bolj ilustrativni in tudi pomembnejši za proučitev pojava kot pa absolutni podatki. Razen tega pa moremo na istem logaritemskem grafikonu prikaza.fi raznovrstne pojave, medtem ko na običajnem linearnem grafikonu na istem grafikonu pri¬ kazujemo le istovrstne pojave. Na grafikonu 14.1 je na pollogaritemskem grafikonu prikazanih šest za ekonomiko gozdarstva pomembnih časovnih vrsti število za¬ poslenih, vrednost investicij, narodni dohodek, indeks eksploata¬ cije gozda, vrednost izvoza in vrednost uvoza. Številčni podatki za navedene pojave so dani v tabeli časovnih vret 13.1. Z logaritemskega grafikona razen splošnega vtisa o razvoju naksr- zanih podatkov razberemo še najrazličnejše relativne odnose. Indeksne odnose odberemo iz logaritemskega grafikona, če za dolo¬ čen pojav izhodišče premakljiva logaritemske skale (1 ali 100) na¬ ravnamo na osnovo indeksa, na skali pa odberemo indekse za ustrez- 44o no lato. Tako je npr. za število zaposlenih dobljena indeksna vrsta na osnovo z letom 1955 » če primerjamo za isto leto dva raz- novrstna podatka, dobimo statistični koeficient. Razdalja med toč¬ ko za število zaposlenih in vrednostjo narodnega dohodka da narod— ni dohodek na enega zaposlenega. Iz grafikona je neposredno raz¬ vidno, da je narodni dohodek na enega zaposlenega od leta 1954 stalno padal. S premakljivo skalo odberemo iz grafikona, da je 6 bil narodni dohodek na enega zaposlenega v letu 1964 enak 0.64.10 din; podobno moremo sklepati na odnose med izvozom in uvozom ipd. Tab. 14.1 Splošni pregled razvoja gozdarstva v SFRJ v razdobju 1952-1964 (Vir: Jugoslavija 1945-1964 Statistični pregled) 441 14.1 Splošni preglad gozdaretvs v razdobju 1952-1964 442 grrprnTTTTnTn '< rI V Medtem ko dobimo linearen potek pojava na navadnem grafikonu, če se pojav od leta do leta spremeni za enako količino, dobimo na logaritemskem grafikonu premico, če so relativni odnosi (ali kon¬ kretneje verižni indeksi) od leta do leta enaki, če torej pojav poteka v eksponentni funkciji. Analiza dinamike pojavov 14«3 Analiziranje dinamike pojavov je lahko najrazličnejše vrste. Z indeksnimi vrstami podatkov, vse proučevane pojave reduci¬ ramo na neimenovana števila, ki so med seboj primerljiva, tako da izračunamo indeksne vrste s stalno - za vse pojave isto - bazo. Razlike med dvema zaporednima členoma dajo vpogled v absolutno spre¬ minjanje pojava, vrsta koeficientov dinamike pa vpogled v relativno spreminjanje pojava. I 4.4 časovno vrsto smatramo kot sumarni prikaz dinamičnega vpliva vseh. faktorjev,ki vplivajo na proučevani pojav. Iz tega s lunar¬ nega prikaza je nemogoče, razen v izjemnih primerih, izluščiti,ko¬ lik je vpliv posameznega faktorja. Vse faktorje pa moremo glede na učinek združiti v nekaj skupin. Delovanje določenih faktorjev ima za rezultat, da ima pojav neko os¬ novno smer razvoja, ki je značilna za razvoj pojava. V primeru, da ne bi bilo drugih faktorjev, ki bi vplivali na pojav, bi se pojav razvijal v določeni osnovni smeri. To osnovno smer razvoja imenuje- ,nio trend. Druga skupina, faktorjev je takega značaja, da se njihov učinek v določenem zaključnem razdobju periodično ponavlja. Tako npr. zara¬ di D 0 r i o dičnih v p 1 i v__o v _ posek po dnevih kaže določene zakonitosti, ki se od tedna do tedna ponavljajo. Zelo po¬ memben periodičen vpliv je sezonski vpliv. Za se¬ zonske vplive je karakteristično, da B 6 ponavljajo periodično vsako 443 leto. V veliki meri, vendar »e izključno, bo odvisni od periodič¬ ne narave klimatskih faktorjev. V ekonomskih ppjavih na daljiia razdobja opazujemo c i k 1 i 6 - na nihanja, ki so periodičnim nihanjem zelo podobna, vendar imajo manj izrazito za konitos t ponavljanja. Tako so dolži¬ ne kot tudi oblike ciklov v dinamiki določenega pojava spremenlji¬ ve. Razen faktorjev, ki jih združujemo po efektu v zgornje tri skupi¬ ne, pa v časovnem razvoju pojavov nastopajo vplivi, za katere ne moremo opazovati nekih značilnih zakonitosti pojavljanja kot pri zgornjih treh. Iregularni vplivi , kakor imenujemo faktorje te vrste, imajo za r ezulta t, da se pojav, ki je dan z zakonitostmi vplivanja faktorjev, ki smo jih združili v zgornje tri vrste, odklanjajo navzgor ali navzdol. Medtem ko se enkratni iregularni. vplivi pojavijo nepričakovano in je tudi čas njihovega delovo nedoločen, čeprav je običajno kratkotrajen, iregularne -vplive, ki so stalno navzoči,združujemo v skupino slučajnost n ih vplivov. Slučaj- nostni vplivi delujejo stalno, vendar z -'/naprej nedoločljivim efektom. S statistično analizo je možno statistično vrsto, ki je sumaren rezultat delovanja vseh faktorjev, razstaviti glede na zgornje skupine faktorjev, V našem okviru se bomo omejili le na določeva¬ nje trenda in periodične oziroma v ožjem smislu sezonske kompo¬ nente. 444 Trend I 4 . 5 . Trend proučujemo, da spoznamo smer razvoja določenega po¬ java, služi pa tudi kot osnove, za napovedovanje pojavov v bodočnost. Razen tega je poznavanje trenda osnova za proučevanje drugih komponent. Če namreč trend poznamo, ga moramo na ustrezen način iz osnovne časovne vrste odstraniti, kar olajša analizo dru¬ gih komponent. Proučevanje trenda ima več tehničnih in vsebinskih stičnih točk z določanjem regresijskih krivulj, ki dajo splošno za¬ konitost odvisnosti med dvema pojavoma, le da je pri trendu neod¬ visna spremenljivka oziroma znak po pravilu ča 3 . Eden izmed prime¬ rov določitve regresijeke krivulje, ki je že na meji proučevanja časovnih vrst in določanja trenda, je prilagoditev Gompertzove kri¬ vulja višinam bukve po starosti v odstavku 8.34. Starost in čas sta dejansko sinonima. Regresijeke krivulje so najrazličnejše furkoij&, Tudi trend oziro¬ ma 03ncvna smer razvoja sledi najrazličnejšim zakonitostim, ki so izražene z različnimi funkcijami. Ra splošno kot funkcije trenda uporabljamo vse funkcije, ki smo jih nakazali pri proučevanju regre¬ si jskih krivulj. Tudi metode določanja funkcij trenda se v veliki meri skladajo z metodami določanja regresijskih funkcij. Pri dolo¬ čanju trenda moremo uporabljati metodo drsečih sredin. Zalo pogosta je tudi metoda delnih Vsot, posebno takrat, kadar funkcije trenda ne moremo prevesti V obliko, za katero bi mogli brez posebnih težav uporabiti metodo najmanjših kvadratov. Metoda najmanjši h _ kva¬ dratov je.vezana teoretično na pogoj, da razen faktorjev osnovne smeri delujejo na pojav le slučajnostni vplivi.; Čeprav pri časovnih vrstah običajno nastopajo še vplivi, ki niso slučaj- 445 noEtnij je vendar metoda najmanjših kvadratov standardna aa določa¬ nje trenda« Zelo pogost primer je, da skušamo pojasniti splošno smer razvoja s funkcijo, ki je dana s polinomi celih poteno aa neod¬ visno spremenljivko x- čas. f(T)*a+bx f(T) = a+bx +cx 2 f-(T)=a+bx+cx 2 +dx 3 +—- ( 14 . 1 ) V prvem primeru je transformiran trend premica. Če je F(T) a T, je funkcija trenda premica, če je F(T) . logi', je trend eksponent, če je F(T) « l/T, pa je osnovna smer razvoja opisana s hiperbolo ipd.. Nadaljnjo funkcije so naravna razširitev na parabolo druge,tretje oziroma poljubne stopnje. Vendar polinomi s prevelikim številom pa¬ rametrov ne opisujejo osnovne smeri razvoja. Take funkcije se s privzemanjem večjega števila parametrov sicer bolj in bolj prilaga¬ jajo osnovnim podatkom, vendar čedalje manj opisujejo osnovno smer razvoja, ker je v njih vedno večji del drugih vplivov. Po metodi najmanjših kvadratov smatramo kot trend ono funkcijo do¬ ločenega tipa, za katero vrednosti parametrov zadoščajo pogoju L [*(*) - f(T)T - min, npro za parabolo druge stopnje r[f(Y) - a - bx - c x 2 ] « min 14.6. Določanje trenda z ortogonalni- “ 1 Polinomi binomskih funkoij. Če imamo vrednosti T dane za aritmetično zaporedje x, sa določitev polinoma trenda s pridom uporabimo metodo ortogonalnih binomskih 446 funkcij« Ker so časovne vrste po pravilu iz opisanih vzrokov ta~ ke, da ee njeni podatki nanaSajo na enake aukcsaivn« razmake ali momente, po tej metodi določimo trend po naslednjih stopnjah. 1) Iz osnovne časovne vrste T ali iz transformirane časovne vrste f(Y) izračunamo prvo kumulativo in vsoto prva kuamiaiive S^ } Sc gre za tip funkcije f(T) « a + ta. Pivo kumulativo, drr •> kumula- tivo in vsoto druge kumulativs S„ izračunamo, če ga:-e za. tip funk- 2 ^ cije f{T) = a + ta + cz , prvo, drugo, tretjo kumulativo in vsoto tretje kumulative S pa, če gre za tip funkcije f(T) » a + ta + 2 1 - 1 + cx + dz . Tako imamo tipu krivulje ustrezno Število vsot tcumu- lativ S^, S., Sg in S^„ 2) V tabeli 14.2. so podane Številu členov. N ustrezne matrike konstant c in C za polinome do tretje stopnje. Parametre A ij 0 3 oitogonalnih polinomov dobimo po splošnem obrazcu; J A; -(-D* ali v posebnem; A - C 5 ° n O r L, 0 A - r. V C, Qi2 % + Cft $1 + £}S Sj> (14.2) A ~ C -"S * C /3 + CjJ + C J3 S, ^ C, Prilagojene funkcije imajc obliko 443 ^7 = A 0 + A < X i ~ A 0 + A-fXj t ,* a 0 + a 1 x 1 * a s x i * a s x 9 (14.3) pxi čemer so: T^, T^, > trendi prve, druge, tretje stopnje, A q , A^, Ag, A, » parametri iz 13.2: X^, X^, X^ ortogonalni poli¬ nomi. 3) Prilagojeni polinomi določene stopnje, pisani z binomskimi funkcijami ) Osnovne podatke iz časovna vrste prevedemo v logarit¬ me log Y x Za časovno vrsto leg Y po metodi ortogonalnih binomskih funkcij (odstavek 14,6 in tabela li.2) poiščemo linearen 45 i trend. logrnA+Br in vrsto logT^, Z antilogeritmiranjem para¬ metrov A in B dobimo parametra a in b oziroma, funkcijo troa~ da T(i) m a.b*, z antilogaritniranjem členov v vrsti log 1 ?,, pa vrsto trenda T^. ^•9 Za primer vzemimo časovno vrsto proizvodnje celuloznega lesa (izvoz na glavna skladišča) v SFHJ v razdobju 1952-1966. ^afični preskus na pollogaritemskem grafikonu je namreč nakazal, je smer razvoja eksponentna funkcija. I 4.4 Izračunanje eksponentnega trenda za izvoz celuloznega lesa na glavna skladišča v SFBJ (v 000 m^) (Vir SO 6 ?) 41,5987 - S I 0 '^ 0 + 5 ,3602... +41, 3339-300, 58 O 6 - ^ <57 00 o m Sl. 143« Eksponenten trend za izvca celuloznega lesa v SHIJ na glavna ekladl&ca. 45 « Ker je Število Členov N » 15, poiščemo v tabeli 14,2 koeficiente za linearen trend pri N «. 15» Tako dobimo dalje 1 44,5987 » 15 -7 1 ' 11,6103 , 280 j 2,973247 0,041465 S q » 44,5987 S ? »300, 58O6 a Q - 2,682989 » 0,041465 Parametre a in a, dobimo iz A in A, in , o 1 o 1 ij » 1.2,973247 - 7-:0,0414<>5 - 2,682989 aj = 1^0,041465 . 0,041465 Dalje je t logT(i) . a. Q + a^*) - 2,682989 + 0,04H65(*) Do vrste logT^ pridemo, Ce saCetnemu Členu logT^ postopoma prište¬ vamo prvo diferenco AlogT a 0,041465» V tabeli 14»4 je vrsta logT^ zaokrožena na Štiri decimalke, z antilogaritmiranjem dobije~ na vrsta trenda T pa na cele. x 2 antilogaritmiranjem parametrov dobimo eksponentno funkcijo tren¬ da, pisano v eksplicitni obliki T(x) » 482.1,102 1 Doprečni koeficient dinamike je b > 1,102, kar pomeni, da .,3 je trend izvoza celuloznega lesa na glavna skladišča v razdobju 459 1952-1966 povečaval letno za 10 s 2^ Slika 14.3 in v stolpcu 8 tabele 14*4 izračunani indeksi med stvar¬ nimi podatki in vrednostmi trenda, kažejo na izrazita odklanjanja od trenda. Te odklone moremo Šteti kot izraz oikličnih vplivov. Punkcijo trenda moremo uporabiti tudi za ekstrapolacijo smeri raz¬ voja za čas izven proučevanega razdobja. Jasno je, da take "napo¬ vedi" smeri razvoja veljajo le za kratkoročne ekstrapolacije,med¬ tem ko je tvegano ekstrapolirati trend predaleč, ker se morejo v tem času iz katerihkoli vzrokov zakonitosti razvoja spremeniti in s tem tudi predpostavke, ki pogojujejo določen trend. V naSem pri¬ meru je ekstrapolirana vrednost trenda v letu 1967 enaka T(x- 15 ) - 482.1,102 15 » 2021 bo te vrednosti pridemo tudi tako, da vrednost trenda za leto 1966 pomnožimo s poprečnim koeficientom dinamike T(x= 15 ) - b.T(x=14) » 1,102.1834 = 2021 Podobno je ekstrapoliran trend za leto 1968 T(i»16) - 2227 46p, Proučevanje periodične komponente 14.10 V raziskovalne in operativne namene je zelo pomembno, da za določene pojave poznamo periodično komponento, ne glede na to, ali gre za dnevne, tedenske, mesečne ali letne periodičnosti. 5 « poznamo periodično komponento, poznamo dogajanje, ki omogoča pravilno predvidevanje, planiranje in oelo ukrepanje, da se peri¬ odična komponenta spremeni. Periodičnost v dinamiki je namreč v večini primerov škodljiva. Metoda vsot l 4 ,ll če v časovni vrsti razen periodične komponente in slučaj- nostnih vplivov ni drugih, vplivov ali pa je smer razvoja v proučevanem razdobju neznatna, periodično komponento proučimo z metodo vsot. če namreč zaznamujemo člen "k" v pe¬ riodi "p” z T , je model take časovne vrste pk Y Pk =A(Upr+' netodi vsot 471.0,16985 = 80 Ker so sezonski indeksi v vsakem primeru samo približek prave vrednosti, jih običajno zaokrožujemo na cele indeitse ali kvečjemu ha eno decimalko. 463 Tabela 14.5 Doloianje sezonske komponente za posekano lesno 3 maso bukve v 000 m III. faza v SFRJ (Virs Indeks, Eksploatacija Suma) 46 £ Metoda korigiranih v a o t 14,13 Če je v proučevani časovni vrsti smer razvoja (ta je samo trend ali skupen učinek trenda in cikla) eksponentna, ali vsaj monotono naraščujoča ali padajoča (približno eksponentna), moremo sezonske indekse, dobljene po metodi vsot, korigirati in iz njih izločiti vpliv smeri razvoja. Po metodi korigiranih vsot določimo sezonske inlek.se po nasled¬ njem postopku. Časovna vrsta Y , ki jo proučujemo ima sodo N = 2r ali liho Im N m 2r + 1 število zaključenih period, npr. lat. a) Kazen mesečnih vsot Y » H Y za posamezne aeseoe izraču¬ ni ^ lm namo tudi letne vsote Y^ » m I h) Iz prvih r letnih vsot izračunamo vsoto S., iz zadnjih r letnih vsot pa vsoto S 0 . Opozoriti moramo, da pri lihem številu let ne upoštevamo člena za leto, ki je v sredini (Y ^), v vsotah. o) če je število proučevanih let sodo (N j mesečni koeficient dinamike po obrazcu; b 2r), ocenimo poprečni s 2 / s ps 60 p® j® število let liho (N * 2r + 1), pa po obrazcu 6(N-t-l) 4 ) S kumulativnim množenjem iz b izračunamo geometrijsko zapo¬ redje l,h,b 2 ,b^,h^,b",b'' / . Ko te vrste pridemo tudi z logaritmi, 46J kar moramo k itak izračunati z logaritmiranjem. e) S potencami k korigiramo mesečne vsote tako, da za mesec julij postavimo vrednost 1, msseoe od julija naprej pa delimo za¬ povrstjo s potencami od k, od julija nazaj pa množimo z istim za¬ poredjem od t>. Tako dohimo korigirane vsote Y’ . • m f) Iz korigiranih vsot, iz katerih je izločen vpliv eksponentne smeri razvoja, dobimo vrsto korigiranih sezonskih indeksov podob¬ no kot pri metodi vsot, Najprej izračunamo vsoto iz korigiranih vsot Y* . XI Y^ iz te pa reduciral faktor E « 1200/1*. Z njim pomnožimo po vrsto korigirane vsote Y* in dobimo korigirane se- m zonBke indekse. 100(l+p p )-R.'f’ (14.18) I 4 .I 4 Za primer vzemimo iste podatke, za katere smo izračunali sezonske indekse po motodi vsot. Ker je smer razvoja v raz¬ dobju I 960 -I 965 naraSčujoča (kot vidimo iz letnih vsot), je meto¬ da upravičena, čeprav učinek korekture ne bo znaten, ker dinamika smeri razvoja ni preveč izrazita. Sezonski indeksi, ki smo jih dobili po metodi reduciranih vsot, se v našem primeru ne razlikujejo močno od rezultatov, ki smo jih dohili po metodi vsot, To pa zato, ker Bmer razvoja ni preveč iz¬ razita, saj gre na račun trenda, poprečno le 0,33$ na mesec. V sliki 13.3 je nazorno prikazana serija sezonskih indeksov na dva načinas z linijskim in polarnim grafikonom. 466 J l‘a'b. 14 .6 Izračunan,;;o sezonskih indeksov po metodi korigiranih mesečnih vsot za posekano lesno maso bukve (v 000 m" III. faza) v SFEJ (Virs Indeks; Eksploatacija guma) Sj „ 1096 + 1104 + 1119 - 3319 S 2 - 1229 + 1230 + 1277 - 3736 b _ -H [' 3736' V 3319 “ S 1200 7072 0,16968 46>7 14.5 Sezonski indeksi za posekano lesno maso "bukve IH. faze v SFEJ a) običajen linijski grafikon b) polarni grafikon 468 log 3736 - 3,57241 - log 3319 «. 3.52101 36 logb * 0,05140 lOgh a. 0,00143 h = 1,0033 Metoda kvooientov na vrsto drsečih sredin 13.5 Kadar v proučevanem razdobju skupen učinek trenda in cikličnih vplivov ni eksponenten ali ni vsaj monotono na- raščujoč ali padajoč, metoda korigiranih vsot no da zadovoljivih rezultatov, ker niso izpolnjeni osnovni pogoji za njeno uporabo. Za take primere uporabljamo metodo kvocientov na vrsto drsečih sredin. Po tej metodi izračunamo sezonske indekse po naslednjih stopnjah: 1. Iz podatkov osnovne časovne vrste po mesecih izračunamo vrsto dvanajstmesečnih drsečih sredin. Obrazec za izračun dvanajstmeseč¬ ne sredine, ki se nanaša na člen 0, je: Y _ V-6 +2Y. ti + ■ ■2Y 0 +—2 Y Hi * 2Y,5 * V^ 'o' 2h (14.19) 2. Izračunamo vrsto indeksov med členi osnovne časovne vrste in Ustreznimi vrednostmi vrste drsečih sredin ^n, = V°‘Y lm /Y, m (14.20) ^ako odstranimo vpliv trenda in cikličnih vplivov. Pripomni. Si ®oramo, da je vrsta drsečih dvanajstmesečnih sredin na začetku in na koncu za šest mesecev krajša kot osnovna časovna vrsta. 469 'i, Da odstranimo enkratne vplive v vrstah kvocientov K, za mese- lm oe ; , izločimo najmanjši in največji kvocient. 4« Iz ostanka izračunamo poprečja za vsak mesec. Ker je za vsak mesec po zgornjih operacijah ostalo podatkov za (£- 3) leta (za eno leto je krajše zaradi drsečih sredin, največji in najmanjši indeks pa smo izločili), je poprečni mesečni kvooient (pomnožen s 100) enak Km-100 £1 1-3 (14.21) 5. Ce je vsota poprečnih mesečnih indeksov enaka 1200 ali se od 1200 razlikuje manj kot za šest so kar sezonski indeksi. Če pa se vsota poprečnih kvocientov K razlikuje od 1200 za več m kot za šest poenov, poprečne indekse korigiramo s korekturnim faktorjem H « 1200/ Ta metoda je v nekem smislu univerzalna, ker dohimo uporabne re¬ zultate ne glede na to, kakšna sta trend in cikel v proučevanem razdobju. Časovno pa je dosti bolj zamudna kot metoda korigira¬ nih vsot. Proučevanje dinamične sezonske komponente 13.16 Pri dosedaj nakazanih metodah smo predpostavili, da se v proučevanem razdobju sezonska komponenta ne spremeni. To pa v dosti primerih ne velja, posebno če proučevano razdobje obsega daljše razdobje. Sezonska komponenta se zaradi najrazlič¬ nejših vplivov zvezno ali pa skokoma menja, če za take primere proučujemo časovno vrsto z obravnavanimi metodami, je dobljeni 470 rezultat le poprečna slika sezonskega spreminjanja. Ta pa mora zabrisati določene zakonitosti spreminjanja sezonske koa/Hnieni*. Dinamično sezonsko komponento proučujemo z metodami;, ki ■vsebujejo elemente statističnega proučevanja sezonske komponente in elemen¬ te metod, s katerimi proučujsmo trend* 471 Literatura Blejec KoStatistične metode se ekonomiste, Univerzitetna založ¬ ba Ljubljana, 4» ponatis 1966 Blejec M, Statistične metode v ekonomskih raziskavah, Univerzitet¬ na založba, Ljubljana 1963 Ivanovič 3« Teorijska statistika, Beograd JJEI 1966 Rovešnjak K. Statistička kontrola, kvalitete, Zagreb 1966 Serdar V. Udžbenik statistike 6. pred.izd. Zagreb Šolska knji¬ ga 1966 Bruoe-Schumacher; Porest Mensuration, New Tork s Mo Graw Hill Book cop. 195o Chochran Y7„G. Sampling Tb.eohniq.ues, Ksw Terk 1955 Crozton and Cosrden; Applied General Statistios, Prentioe Hall ino 1955 Deming W«E. Some Theory of Sampling, Fes? Terk 19.50 Ezekiel Ms Methods of Correlations Analj-sisj Sev Tork-London 193o Loetsch-Halierj Porest inventory Volume I Statistios of Porest Inventory and Information from aerial Photo- graphs BLT Muenohan Basel Wien 1964 472 Fieher R.A. Statistical Methods for Research isrorkersj Sdiaburgjti 1963 Linder A.A. Statistische Methoden ftSr Haturwissenschaftler, Mediziner unft Ingenieure, Basel, 1960 Mudra A. Statistieche Methoden fUr landwirtscha£tliohe Versucht Berlin$ Hamburg 1958 M. Prodan: Porstliohe Biometrie B7L Wien 1961 Snedeoor G.W. Statistical Hethode: Applied to Scperimente in Agrioulture and Biologia lova. 1956 Schumacher and Chapmann: Sampling Methods in Forestry, Burham 5.C. 1948 Vesereau A. La Statistique Parie 195° Yula G.H., Eendall M+G: An Introduotion to the Theory of Sta- tistios London 195°« 473 f 5 / , _ tej