
SADJE
V košari s sadjem je šest banan, štir i pomaranče , t ri jabolka , tri hru ške in en
ananas. Priprav iti želimo obrok, sestavljen iz 6 sadežev, ki bo vseb oval tri
sadeže ene vr st e, dva druge in enega tretje vrste . Na primer, izberemo lah ko
3 banane, 2 jabolki in ananas ali pa 3 pomaranče , 2 hru ški in 1 banano. Zanima
nas, koliko različnih obrokov lahko pripravimo? (Opomba: sadežev enake vrste
med seboj ne ločimo ; na prime r: izmed šestih banan lahko tri banane izberemo
na en sam način.) Koliko različnih obrokov pa bi lahko pripravili, če bi moral
biti obrok sestav ljen iz 7 sadežev , in sicer treh prve in dveh druge in tretje
vrste?
Ma rtin Juvan,
foto M atjaž Ven celj
IPRESEK
list za mlade matematike, fizike , astronome in računalnikarje
25. letnik, leto 1997/98, št evilka 6, str a n i 321-384
VSEBINA
MATEMATIKA
FIZIKA
ASTRONOMIJA
RAČUNALNIŠTVO
NALOGE
REŠITVE NALOG
ZANIMIVOSTI,
RAZVEDRILO
TEKMOVANJA
LETNO KAZALO
NA OVITKU
Reši t ve enačbe x 2 + y2 = I on + y v naravnih
šte vilih (Iva n Vidav) 332-336
Mala šo la topologij e - 6. del (Marij a Vencelj ) . . . . . . 348-35 0
Še o metodi ploščine (Si lva Kmetič) . . . . . . . . . . . . . . . 368-370
Nevihta - naravni visokonapetostn i spektakel
(G rego r Bavdek) 322-33 0
Dvesto let gravitacijske kon st ante (J ane z Strnad) . . 354 -359
Sr ce (M ar ija n P rosen) 338-340
Princeska (Marijan P rosen ) 364-366
Pripomočki za deskanje po Int ernetu
(A leksande r Vesel) 342-34 7
P rašt evi lska dežela - s str. 278 (M at ija Lo kar ) . . . .. 360-363
P on ovno sam seb e - pop ravek (Iz ur ed ništ va ) . . . . . . . . . . 36 7
Sadje - reš . str. 35 0 (Martin Juva n) II
Celoštevilska harmonična zap oredja - reš. str. 367
(Ivan Lisac) 33 1
Enačba s celoštevilsko rešit vijo - reš . str . 363
(D uša n Mur ovec) 33 1
Nihalo na vodilu - s str. 287 (Mila n Ambrožič) 340-34 1
Dva sat elita - s str . 273 (Majda Lavrič ,
prir. ur ed ništ vo) 35 1
La hka številska kr iža nka - s st r. 279 (Marija Vencelj ) .. 359
Za iznajdljive - s st r. 260 (Dragoljub M . Milo ševič ) 366
Kro gi, kro gi - s str. 265 (Martin Juva n) 370
K rižanka "Ka j pa vreme ?" - s str. 288
(Marko Bokal ič) 370
Neko liko drugačni ko nstrukc ijsk i nalogi - reši t ev
2. naloge s st r. 209 (Marija Ven celj ) 374-375
Kje obm iruje vozel? - s st r. 269 (Marija Ven celj ) .. 371-373
Arabski vzo rc i - s str. 261 (V ilko Domaj nko) 376-3 77
Domača na loga - reš it ev s str. 280 (Mojca Lokar ) . . 336-33 7
Križanka "O b bližnj i 80-let n ici naš ega znans tven ika " -
reš . str. 375 (Marko Bokalič) 352 -353
19 . me d narodno matematično t ek movanje mest
(A leš Vavpetič) 378-3 79
.. ... . . . . . . . . . .. . . .. .. . . . . . ... . ... . . . . . .. . ... .... .. 380 -384
Nočna nev iht a (foto G regor Bavd ek) . G lej t ud i p rispevek na
st rani 322 I , IV
Hierarhično kazalo "Yahoo!" . Slika k članku na strani
342 III
Fizika I
NEVIHTA - NARAVNI V ISOK ONAPETOSTNI
SPEKTAKEL
Bliža se čas, ko nam bodo soparne in vroče poletne dni popest r ili po-
poldanske neviht e in nalivi . Glasna predstava na nebu gotovo vzbudi
zanimanje v sleher nem človeku, kaj šele v naravoslovcu.
V prazgodovini je človek stre le in bliskanje povezoval z jezo bogov.
St ari Grki so sposobnos t metanja bliskov pripisovali Zevsu , v kit a jski
mi t ologiji pa ima bog groma Lei Tsu celo pomočnico - boginj a T ien Mu z
dvema zrcaloma, ki ju drži v rokah , sk rbno usmerj a bliske. Tu di predmeti ,
ki so bili posredno povezani z bliski, npr. zaradi ud ara strele sprijeti kosi
peska , naj bi imeli mistično vred nost . Odvračali naj bi namreč nadaljnje
udare st rele; drobcem takšnih kosov, razt oplj enim v vod i, pa so azijska
plem en a pripisovala zd ravilno moč .
Zgodba o Benjaminu Franklinu
Misel , da ima strela enako naravo kot iskrenje naelektrenih te les , je vzni-
kn ila šele na začetku 18. stoletj a . Preučevanja nevihtnih poj avov se je
prvi lot il Benj amin Franklin, dan es znan pred vsem po izumu stre lovoda.
Poskusi z leyd enskimi steklenicami in ploščatim konden zatorjem so ga na-
pelja li na misel, da Zemlja in oblaki sestavljajo velik konden za tor . Čeprav
se je znanosti aktivno posvečal le sede m let , je Franklin zas lovel s posku-
som z uto in s p oskusom z zmajem . Dognal je, da koničasti prevo dnik
odvaj a naboj z naelektrenega t elesa hi t reje kot topo zaklj učeni prevo dnik.
Da bi ugot ovil , a li so nevihtni oblaki naelekt reni, si je zamislil poskus
z uto: Na vrh hr iba je postavil leseno uto, dovolj veliko , da je v nj ej
lahko stal človek na izoliranem podstavku (slika 1). Skozi stre ho ut e je
s tega pod stavka vod il železn i drog, dolg okrog 10 met rov, ki je bil na
kon cu priost re n . P od stavek je med dež jem mor al ostat i dovolj suh in t ako
izolir an od okoli ce, da se je na njem stoječi človek , ki se je z eno roko držal
železnega droga , lahko dovo lj naelek t ril. Ob prihodu nevihtnih oblakov
nad uto so mu zato iz iztegnjene druge roke švigale iskre.
Če bi se morda komu zde l opi sani posk us pr en evaren , je pon udil Fran-
klin še varnejšo raz li čico . Človek naj bi stal na t leh ut e, v roki pa bi
držal voščeno palico , na kater i je prit rj ena žica. En kon ec žice bi bil oze-
mljen, drugega pa bi približeval železnemu drogu in iz nj ega izvabljal iskre
(slika 1) .
Še bolj drzen pa je bil posk us z zmajem (slika 2). Z njim bi se bilo
moč še bolj približa ti naboju obla ka . Navade n otroški zmaj je Franklin
navezal na t anko vr v, ki je mokra od dežja seveda pre vajala . Na spodnji
I Fizika
~I/~~
/'; ~ "1 razelektri tev
nevihtnega oblaka
stražamica
<,
Slika 1.
konec t e vrvi je privezal nekaj deset centimetrov dol go svileno nit , ki je
dež ne namoči. Tako roka , s kat ero je pridrževal zmaja , ni prišla v stik
z mokro vrvjo . Ko se je nad zmaje m peljal nevihtni oblak, se je zmaj
naelektril. Fr anklin se je z drugo rok o previdno približal kon cu mokre
vr vi in na roko so mu preskakovale iskre.
Poskusa sta podprla t ezo o naboj u oblaka ter sorodnost st rele s pre-
skokom iskre med električno nabitimi telesi v laboratoriju .
Franklin je sp oznal, da sta obe om enj en i pripravi pren ašali naboj
z oblaka v zemljo, in to na razm erom a varen način . Tako se je rodila
ideja strelovoda: na streho visokih zgradb je potrebno pritrditi na zgor-
njem kon cu pr iostreno kovinsko palico in jo povezat i z dobro ozemlje nim
večjim kosom kovine . Današnj i st relovodi se v ničemer ne razlikuj ejo od
Franklinovega . Enega takšnih je Fr anklin prit rdil t udi na svoj o hišo, da
je z njim ugotav ljal naboj oblakov in spo znal, da so t i v večini primerov
negativno nabiti.
324
Stre lovod so hit ro sprejeli t udi
v Evropi, a so pri razlagi delova-
nja spreg ledali nekaj , kar je Fran-
klin a zelo mo tilo. Omenj al i so na-
mreč le , da strelovod varno "ujame"
strelo t er s tem prepreči škodo, ki
bi nastala , če bi strela udarila v kaj
drugega , npr . hišo ali drevo . Nihče
pa ni omenil, da ima stre lovod tudi
preventi vno vlogo , saj odvaja nab oj
z oblakov t udi brez preboja (st re le) ,
s čimer zmanjšuje možnost , da bi do
nast anka st rele sp loh prišlo .
Lahko bi rekli , da je bil Fran-
klin eden večjih srečnežev, saj je ob
vsem igranju z nevihtami let a 1790
umrl naravne smrti. Tudi v Evropi
je vzbudil veliko zanimanje za pojave
v zvezi z nevihto. Eden prvih , ki se
je lotil ponovitve poskusa z uto, je
bil ru ski fizik Ri chmann. Žal pa ni
imel to likšne sreče kot Franklin , saj
je v kovinski drog njegove ute uda-
rila stre la in ga ubila.
Nastanek nevihtnega oblaka
Fizika I
Slika 2.
Satelitski podatki kažejo , da je v vsakem trenutku na Zemlji aktivnih
okrog tisoč neviht , večina od njih v majhnih in srednj ih geogr afskih širinah
in le red ke v polarnih področjih.
Sestavni deli neviht so kumulonimbusi , ob laki, ki nast anejo z močno
konvekcijo in ki jih spremlja jo sunk i vetra t er dež, včasih pa t udi toča
ali sneg . Nevihtni oblaki so posled ica atmosferske nestabilnosti . Te na-
stanejo, ko pride hlad en zrak v stik s toplim in vlaž nim zrakom ter ga
izp odrine in dvign e. Neviht e z močnimi vetrovi se tako poj avijo vzdolž
hladne fronte, ki pred seboj potiska tope l zrak.
Nevihtni oblaki so kot veliki t oplotni stroji , delovna snov v njih pa je
vodna para. Oddaj ajo mehanično delo v obliki vodoravnih in navpičnih
vetrov t er električno delo na prostih naboj ih , ki povzročajo raz elekt ritve
- strele. Poleg t ega povzročajo padavine; dež in točo , ki pad ata z dna ,
te r sneg, ki pada z vr ha oblaka . Prav snežni kri stali na vrhu oblaka
IFizika
nazadnje omogočijo , da se ozračje umi ri , in sicer tako , da od bijejo večj i
del Sončevega sevanja v veso lje , s te m pa onemogočijo nadaljnje segrevanje
zem eljskega povr šja in nast ajanje novih obl akov.
Pravil om a je konce ntracija vodne pare , ki je poleti potrebna za nast a-
nek nevihte, vsaj 7 g pare na kilogram zraka. P ozimi pa so bliske opazili
tud i, ko kon centracija pare v zraku ni pr esegala 4 g na kilo gram zraka .
Bliski se redkeje pojavijo v kumulusih , globo kih manj kot 3 km, po-
gosteje pa v večj ih , z glob ino do 20 km. Aktivni nevihtni ob laki vzdo lž
hladnih front so dolgi od nekaj kilomet rov do več sto kilometrov. Tem pe-
ratura zraka in agregatno stanje vode na dnu in vrhu oblaka ne vplivata
bist veno na naelekt ri t ev ob laka . Zanimivo je, da ob nastanku oblaka
kljub t emperatur i nižji od O°C voda običajno ne zmrzne, ker je zelo čista .
Tako ostane p odhlaj en a vse do te mperature - 40°C, pri kateri šele zmr-
zne. Povprečna življenjska doba takšnih nevihtnih oblakov je zelo različna
- od manj kot ene ur e do več dni.
Za naboj oblaka sta pomembna predvsem zadostna količina vodne
pare in vertikalna nest abilnost ozračja. Sp odnji de l ozračja postane ne-
stabilen , če se t emperatura zniža za več kot 9,8°C , ko se dvignemo za
en kilometer. Večina ene rgije , ki jo zeme ljsko p ovr šje prej me od Sonca,
segr eva spodnje plast i ozračja , kjer se lahko op oldne zrak segreje celo za
1°C veni sekundi. Gostota toplejš ih spodnjih slojev post a ne manjša od
višjih , zaradi česar pr ide do navpičnih vetrov (slika 3). Zračni priti sk z
naraščajočo višino pada, za to se dvigajoči zrak razt eza in pri te m ohlaja.
področje pod
oblakom
---
----.
stab ilni
zrak
~
-......
nestabiIni
zrak
t t
nivo kondenzacije
nevtralni topli zrak-
+-
stabilni
zrak
področje pod
oblakom
-- -
Slika 3.
326 Fizika I
Ko temper atura pade po d rosišče , se na prašnih delcih v zraku prične­
jo kondenzirati vodne kaplji ce, ki tvorijo viden oblak. Od t u napr ej rastejo
kaplj ice z nadaljnjo kond en zac ijo zelo hitro in kmalu dosežejo velikos t
10 11m ter koncen t racijo nekaj st o kapljic na kubični centimeter ; to pomeni
približno 1 do 2 g tekoče vode na kubični met er zraka.
Gostejši suh zrak, ki obkrož a ob lak, se prične ugrezati zara d i primanj -
kljaja zra ka pri t leh (ta se pod sredino oblaka dviguje zaradi konvekcije) .
Velikost področja , nad katerim se zrak dvi ga , meri običajno od 300 do
2000 metrov. Področj e , kjer se zrak spušča in obkroža dvigaj oči se st eber
zraka, ima obliko kolobarj a in je običajno manjše. Tako nast an e znot raj
navzgor in zunaj nav zdol usmerj en i tok zraka. Na njunem stičišču pride
do strižnih sil, ki povzročaj o lokalne t ur bulence , kjer se not ranj i, z vlago
nasičen i zrak, in zunanj i hladni zrak premešat a. Vlaga iz bolj vlaž nega
zraka pri tem izpari , zaradi česar se mešanica ohladi , to pa povzroči še
hi trejše spuščanj e .
Za spodobno neviht o moramo oblake še naelektri t i. O tem govorita
nas lednji hipot ezi.
P rva je padavin ska hip ot eza. Večj e dežne kap lje, zrna toče in kosmiči
snega hit ro pad ejo iz ob laka , med tem ko drobni snež ni kr ista li in fino
razpršen a voda ost anejo v oblaku. Ob trkih pride do pr enosa negati v-
nega naboj a z razprše ne vod e in majhnih kri stalov na padajoče kaplje in
zrn a led u , poziti vni naboj pa ostane na manj ših kr istalih , ki se ob drž ijo v
oblaku (slika 4) . Na ta način post ane zgorn j i del oblaka pozitivn o naele-
ktren, spo dnj i pa negativn o. Tak šen oblak , s poziti vnim nabojem zgoraj
in negat ivnim spo daj, t vori pozit ivn i električni dipol.
Druga je kon vekcijska lupotez« in je precej sorod na delovanju Van de
Graaffovega gen eratorj a , kjer tekoči t rak, na kater ega pr ši naboj s tankih
ost i, dova ja naboj v not ranjost kovinske kr ogle. Po konvekcijski hipo-
tezi se oblak "napaja" z naboj em iz dveh ločenih zunanj ih virov. Prvi
vir so kozmični ža rki, ki povzročajo ion izacijo zračnih molekul nad obla-
kom. Dru gi vir pa je močno električno polje nad ostrimi objekti na ze-
me ljski površini , kjer točkovna razelek t rit ev prav tako povzroča ionizac ijo
zraka. Nas t a ja jo pozit ivni ioni, ki jih top el zrak zaradi konvekcije dvign e
v oblake, podobno kot gumij ast i t rak v Van de Graaffovem generatorju
(slika 4). V vr hnjem področju oblaka potem t i poziti vn i ioni privlačij o
nega ti vne, ki so nastali za radi vpliva kozmičnih ža rkov. Negativni ioni
vst opijo v oblak ter se hi t ro oprimejo vod nih kapljic in zrn toče , ki na dnu
oblaka tvorijo negat ivno območje , in zasenčijo poziti vn i vrh oblaka.
IFizika
padav inska
hipoteza
konvekcij ska
hipoteza
+ +
+
+
+
+
+
+ +
+ +
+ + +
+
~ + ~
+
~ ~
~ ~ T ~
T ~ ~-,..,__~-
+
Slika 4 .
OL- --.l +25
+5
-45
~
-33 ~
E-
ii
- 18 ;:,;
.fi
-7 ~
++
Slika 5.
++
4
10
km
12
Z natančnejšimi meri tvami so ugotovili , da je osrednje področj e obla-
ka naelektreno negati vn o, območj e nad njim pa poziti vno. Prav na dnu
oblaka se nahaj a še drugo, manjše področje po zit ivnega nab oj a (slika 5).
Namenimo nekaj besed lastno-
st im posamez nih področij . Osre-
dnje negativno področj e je zelo
ploščato - visoko je le kak kilom e-
ter , med tem ko njegove vodo ravne
razsežnosti merijo več kilom etrov .
Nahaja se na višini približno 6 km, ~
kjer je t em perat ura okrog - 15°C . ~ 6
Gornje področj e poziti vnega na-
boja je razpršeno in se lahko raz-
t eza tudi do nekaj kilomet rov v
višino. Spodnje pozitivno nabito
področje pa je t ako majhno, da je
njegovo električno po lje večkrat za-
senčeno zaradi večjega Zemljinega
negativn ega naboj a.
Zemlj a je pr oti ozračju negativno nabi t a z nabojem približno
5 . 105 As. Z nab oj em, kakršne ga ima Zemlj a , bi lahko napolnili pri-
bli žno 10000 avtomobilskih akumula to rjev. Toliko naboja steče skozi
hišno 100 'vV žarn ico v 12 dne h, če je pri žgana nepretrgoma. Ta naboj
povzroča navzdol pro ti t lem usmerjen o električno polje z jak ostjo okrog
Fizika I
130 VI m. Večina poziti vn ega naboj a se nahaja v spo dnj ih delih atmos-
fer e, za radi česar jakost električnega polja ob lepem vremenu z višino
hi tro pada. Zgornj i del atmosfer e ima glede na Zemljo potenc ial pr ibližno
300 kV .
R azelektritev v obliki strele
Kaj se torej z oblakom dogaj a potem , ko je nabit ? Ko jakost električnega
polj a na določenem področju okrog ob laka ali znotraj njega pr eseže pre-
bojno jakost zraka, pride do električnega preboj a , ki ga vid imo kot udar
strele. V trenutku se pretoči naboj nekaj 10 As. Toliko naboja se pretoči
skozi 100 W hišn o žarn ico v po l minute, to je v 500 OOO-krat daljšem času .
Trenut ni to k pri takšne m preboju meri običajno okrog 20000 A, včasih
pa preseže t udi 200000 A. (Po hišni napeljavi tečej o t okovi do 20 A .)
Deb elina kanala strele je prib ližno 5 cm in vsebuje večinoma plaz mo ki-
sikovih in dušikovih ionov pri temperaturi okrog 25 OOO°C . T lak v kanalu
doseže nekaj deset barov. Navedene vrednos t i za tok , t emperaturo in tlak
so mak simalne in so do sežene v nekaj mikrosekundah , pot em pa zaradi
pad ca to ka padejo na polovične vr ednosti v približno 50 J.Ls. Napetost
pred pr ebojem doseže nekaj 100 milijo nov voltov. Elektrostatična ener- .
gija se ob udaru strele spre me ni v svetl obo, infrardeče sevanje (ki posk rbi,
da se zrak v neposr ed ni bližini kanala st rele močno ogreje), ost alo elek-
tromagnetno ene rg ijo (ki povzroča rad ijske mot nje) in akustično energ ijo
(grme nje) . Zvok se v zraku širi s hitrostjo okrog 340 mi s - ta podatek
nam pomaga oceni ti oddaljenost stre le. Izračunamo jo tako, da izm er imo
čas, ki preteče od takrat, ko smo zagledali bli sk , do takrat, ko zas lišimo
grme nje, in ga pomnožim o s 340 mi s.
Večina razelekt ri t ev v oblik i st re l se zgodi znotraj oblaka ali med
obla ki, manj pa med oblaki in zemljo. Zdi se, da je za slednje od go-
vorno prav majhno pozit ivno naelek t ren o območj e pod velikim negati vno
nabit im območjem v sred ini oblaka .
Oglejmo si časovni potek razelektritve oblak-zem lja (slika 6). Če
bi bilo moč predvideti , kd aj bo st re la ud aril a , bi časovn i potek lahko
posneli. Z a slonko fo t o a p ara t a b i o d prli kakš n ih 5 0 m s p red u d arom str e le
in fotoaparat zelo hi t ro zavrteli okrog navpične osi .
Na dnu ob laka se naj prej pojavi utripaj oč stopničast vodilni kanal,
usmerj en proti zemlj i, ki se vsakih 50 J.Ls obnov i in pod aljša za približno
50 m t er se približuj e zemlj i. Ta kanal im a premer od 1 do 2 cm in se v
času svojega nastanka večkrat razcepi . Skozenj steče t ok okrog 100 A in
se v približno 20 ms pretoči približno 2 As naboja . Ko se kanal približuje
zemlj i, se na njej influen cira naboj nasprotnega pred znaka in električno
I Fizika
polje se povečuje . Ko je vodiln i kanal le še kakih 50 m oddaljen od t al,
se z zemlje pojavi nov, navzgor usmerj en vodilni kanal. Ko se kanala do -
t aknet a , je ob lak kratko sklenjen z zemljo in pride do povratnega udara .
Povratni udar pobere večino naboja, ki se je nakopičil v zraku okoli vo-
dilnega kanala. Tedaj med oblakom in zemljo steče maksimaln i tok , ki
strelo najbolj osvetli. Kanal se osvetli od spodaj navzgor s približno tre-
tjino svetlobne hitrosti (1 . 108 mls) . To je glavna razelektritev.
Po glavni razelektritvi se v razmaku okrog 40 ms pojavi še več sunkov
(ponavadi trije do št irje), ki skupaj t rajajo približno 0,2 s. Proti zemlji se
po prej nast alem glavnem kanalu poženejo z dvema tretj inama svetlobne
hitrosti (2 .108 mis). Kanal se pri teh sunkih ne cepi, v zraku pa odloži
kako As več naboja kot prvotni vodilni kanal. Vsakemu posameznemu
sunku sledi povratni udar. Na skici so označene približne časovne in
prostorske razsežnosti .
20ms
stopničast
vodilni
kanal
čas
1povratniudar
Slika 6.
Pribli žno 20% razelektritev oblak-zemlja udari v zemljo na več me -
stih. To se zgodi zato, ker se kasnejši sunki pojavijo šele po več kot 100 ms,
ko je prvotni vodilni kanal že zabrisan, in se zato pojavijo nov i.
330 Fizika I
Podobno, le v obratni smeri , poteka razelek trit ev zem lja-oblak. Raz-
lika je le v tem , da se , ko vod ilni kanal doseže spo dnje plasti oblaka , ne
poj avi povratni ud ar, am pak se poveča t ok in z njim intenzitet a sve t lobe
kanala . Omeni ti velja, da so razelektri tv e v sme ri z zemlje proti oblakom
bolj pogoste v bližini visokih koničastih zgradb.
In kako ločimo med razelektritvama ob lak- zemlja in zemlja-oblak?
P reprost o - pri prvi se stre la kot iglice na sm reki razrašča navzdol , pri
drugi pa navzgor .
Zaščita p red u cla r-orn strele
Kadar st re la zadene človeka, povzroči ope kline in poškodbe t kiva, ne nujno
pa t udi smrti . Težji zapleti so pre neha nje d ihanja in trep et anj e ali celo
ust avit ev srca.
Daleč najboljša obramba pred strelo je varn o zavetišče. To je lahko
hiša ali not ranjost kakršn egakoli kovinskeg a ogro dj a , npr. avta, ki deluj e
kot Faradayeva kletka. Če nas neviht a ujame na prostem , se post avimo
v položaj , ko smo čim nižj i in se hkrat i s čim manj šo površino dot ikamo
tal. P rav tako bo verjetnost za udar st rele precej manjša , če ne bo mo
mokri.
Novejše razis kovanje
P ri raziskovanju neviht igrajo dandanes pomembno vlogo simulac ije z vi-
sokonapetostnimi generatorj i v labora t orijih in postopki , s kat erimi je
mogoče umetno izzvat i strelo . Eden t akih postopkov je izst reljevanje ra-
ket , ki za seboj puščajo prevodno sled ali je nanje privezana t anka in
lahka žica . Drug način pa temelji na ionizaciji zračne poti od zemlje do
oblaka z laserjem ( točneje s kombinacijo dveh laserj ev: enega, ki deluj e v
ultravioličnem , in drugega, ki deluj e v vidne m delu spektra).
Potek naelek tritve oblaka danes še ni zadovolj ivo poj asnjen . Vedenj e
zračnih mas z različnimi t emperaturami je kaotično , zat o je sp remljanje
njihovega gibanja, ob dod atni pri sotnosti zračne vlage in električn ih na-
bojev , vse prej kot enos tavno. Ko bomo za vse to im eli modele, ki bod o
uspešno poj asnj evali zapleteno dogaj an je, pa verjetno ne bo več daleč čas ,
ko bomo lahko energijo st rele t udi koristno izrabili.
Za zdaj pa si privoščimo samo ogled veličastne brezplačne pred stave,
ki jo uprizori narava . Pri tem pa naj nas njena lep ota ne zavede toliko,
da bi pozabili na njeno moč , ki nas la hko t udi ubij e.
Gregor Bavdek
I Naloge 331
CELOŠTEVILSKA HARMONIČNA ZAPOREDJA
Bodita x in y pozitivni realni števili. Njuna harmoničnasredina je število
2xy
x+y
Zaporedj e po zitivnih števil
je harmonično, če je vsak člen zaporedja harmonična sredina sosednjih
členov.
1. Dokaži, da je zaporedje
harmonično natanko takrat , ko je zaporedje
111
ho' hI' h2 ' · · ·
aritmetično .
2. Poišči vsa celošt evilska harmonična zaporedja.
Ivan Lisac
ENAČBA S CELOŠTEVILSKO REŠITVIJO
Pred nami je naslednja enačba
x 4 + ... x 3 + .. .x 2 + .. .x + ... = o.
Dva igralca vpisujeta izmenično cela števila na mesta, označena s pikami.
Prvi poskuša doseči, da bi bila končna enačba brez celih rešitev, drugi pa,
da bi imela vsaj eno celoštevilsko rešitev. Kateri od igr alcev zmaga, če
oba igrata po optimalni strategiji?
Dušan Murovec
Mat ematika I
REŠITVE ENAČBE x 2 + y2 = l0 n x + y
V NARAVNIH ŠTEVILIH
V nekem časopisu za razvedrilo je bi lo pred nedavnim postavljeno tole
vprašanje : Kako (se pravi, s kak šnimi računskimi op erac ijami) do bimo
iz šte vil 88 in 33 šte vilo 8833? Prav preprost o, bi rekli: številki 88 in
33 damo skupaj , pa je že pred nami 883 3. Vendar t a odgovor ne velja.
Vsota in produkt st a namreč neodvisna , v ka t erem sestavu računamo , v
deset iškem , dvoj iškem ali kakem drugem. Če pa damo skupaj številki, ki
predst avlj at a števili x in y , rezu lt at ni odvisen samo od x in y temveč
t ud i od sestava, v ka t erem sta zapisana x in y . Zat o zlepljanje št evilk ni
prava računska operac ija.
Odgovor na zgornje vprašanje se je glasil takole: 8833 dob im o, če 88
in 33 kvadriramo in kvadrat a seštejem o. R es je
882 + 332 = 7744 + 1089 = 8833 .
Podobno lastnost im a t a števili 10 in 1. Tuka j je 102 + 12 101, vsoto
101 pa dobimo, če staknem o skupaj 10 in 1.
Ali so še drugi t aki pari?
Iščemo torej pare naravnih štev il x in y , ki se odlikujejo s tole las tno-
stjo:
(8 ) Vsota x 2 + y 2 je enaka številu, ki ga dobimo, če damo
skupaj številki, ki v desetiškem sestavu predstavljata x
in y.
Pa vzem imo poljubni na ravni števili x in y , zap isani v desetiškem
sest avu . K atero število do bim o, če staknemo skupa j štev ilki za x in y
(in sicer x na levi, y na desni)? Im enujmo to število z. Deni mo, da je y
n- mestno število (n 2': 1) . Razlika z - y , za p isana v deseti škem sest avu,
ima očitno na konc u n ničel , njen e začetne štev ke pa določajo x. Pot em-
t akem je ta razlika enaka lO n x , iska no število z pa je lO n x + y . Tor ej:
Če damo skupaj številki, ki predstavljata naravni števili
x in y v desetiškem sestavu, in ima y n mest, dobimo število
lO n x + y .
Matematika
Naravni šte vili x in y , ki sestavljata par z las tnostjo (S), zadoščata
potemtakem enačbi
(1)
se pravi enačbi iz nas lova . Rešitev v naravnih številih x , y , n pa določa
par z last nostjo (S) le pri pogoju , daje n število mest , ki jih ima y , zapisa n
v desetiškem sestavu.
Pri izbranem n pomeni enačba (1) v ravnini, oprem ljeni s pravo-
kotnim koordinatnim sistemom, krožni co, ki gre skozi izhodišče (točka s
koordinatama x = O, y = Ozadošča enačbi) . Pomnožimo to enačbo s 4 in
jo nato zapišimo v tejle ekvivalent ni obliki
Iz nj e razb eremo, da ima središče kro žnic e (1) koordinati p
q = ~ . Postavimo
x = 2x - IOn , Y = 2y - 1 ,
pa je pred nami enačba
(1*)
(2)
(3)
Če sta x in y naravni števili , st a X in Y celi števili.
P ri danem n je desna stran 102n + 1 znano število, in sicer liho. Vse
celoštevilske rešitve enačbe (3) naj demo tako, da zapišemo 102n + 1 na
vse mogoče načine kot vsoto dve h kvadratov celih števil. Naj bo npr .
kjer sta A in B naravni števili. Eno izmed njiju je sodo, drugo liho .
Smemo vzeti, da je A sodo in B liho . Ta razcep nam da 8 reš itev enačbe
(3) v celih številih, namreč
X= ±A , Y =±B lil X = ±B, Y = ±A ,
kjer lahko vzame mo povsod poljuben znak.
334 Matematika I
Iz zapisa (2) vid imo, d a je X so d in Y lih . Torej moramo postaviti
2x - IOn = ±A lil 2y - 1 = ± B .
Od tod izračunamo
1 .
y = - (l ±B).
2
(4)
Ker je A ::; IOn, j e x naravno število , kat erikoli znak vzamemo pri A.
Zaradi B 2': 1, pa je y naravno število samo pri znaku + pri B . Torej nam
da vsak razcep števila 102n + 1 na vsoto dveh kvadratov dve rešitvi enačbe
(1) v naravnih številih . Dobljeni par x, y pa ima zahtevano last nost le v
primeru, kadar je y n-mestno število.
Ker je 102n + 1 = (10n )2 + 12 , lahko vzamemo A = IOn, B = 1
(trivialni razcep) . Ustrezna rešit ev je x = IOn , y = 1 (pri triv ia lnem
razcep u je x naravno število (t j. pozit ivno celo število) samo pri znaku +
na desn i). Ker je y = 1 enomestno število, im a par IOn , 1 last nost (8) le
pri n = 1, to je par x = 10, y = 1, ki smo ga že navedli .
Če želimo dobit i druge pare, moramo najti kak netrivial ni razcep
števila 102n + 1 na vsoto dveh kvadratov. Kdaj tak razcep obstaja? V
članku K ako ugotovimo, da j e naravno število sestavljeno, preden ga raz-
stavimo (Presek , 25 (199 7/98) , str. 130-136) je bi lo dokazano, da je na-
ravno število sestavljeno, če se da vsaj na dva načina zapisati kot vsota
dveh kvadratov. Brez dokaza povejmo, da velja v našem primeru tudi
obratna trditev: Če I0 2n + 1 ni prašt ev ilo , se da vsaj na dva načina izra-
ziti kot vsota dveh kvadratov. Vsak razcep na dva fakt orja določa torej
poleg trivialnega tudi netr ivialn i razcep na vsoto dveh kvadratov.
Zgledi.
Pri n = 1 je število 102 + 1 = 101 praštevilo in obstaja zato samo
t rivialn i razcep na vsoto dveh kvadratov.
Pri n = 2 je 104 +1 = 73 ·137, se pravi sestavljeno štev ilo . Pripadajoči
netrivialn i razcep v vsoto dveh kvadratov se glasi 104 + 1 = 762 + 652 ,
t orej A = 76, B = 65 . Po formuli (4) dobimo para x = 88, y = 33 in
x = 12 , Y = 33.
Pri n = 3 imamo razcep 106 + 1 = 101 ·9901. Oba faktorja na desni
sta prašt evi li . Pripadajoča vsota kvadratov se glasi 106 + 1 = 9802 + 1992
in določa para x = 990 , Y = 100 ter x = 10, Y = 100 .
Matematika
Nekaj nad alj njih primerov kaže razpred elnica:
n = 1 x = 10, y = 1:
n = 2 x = 12, y = 33:
x = 88, y = 33:
n = 3 x = 10, Y = 100:
x = 990, y = 100:
n = 4 x = 588 , Y = 2353 :
x = 9412, y = 2353:
n = 6 x = 116788, y = 32 1168:
x = 8832 12, y = 321168:
x = 123288, Y = 328768:
x = 876712, y= 32876 8:
102 + 12 = 101
122 + 332 = 1233
882 + 332 = 8833
102 + 1002 = 10100
9902 + 1002 = 990100
5882 + 2353 2 = 5882353
94122 + 2353 2 = 94122353
1176882 + 3211682 = 117688321168
8832132 + 3211682 = 883 213321168
1232882 +3287682 = 123288328768
8767122 + 3287682 = 876712328768
Kadar je n delj iv s kakim lihim fak t orj em , je 102n +1 vselej sestavljeno
število. Naj bo np r. n = kr , kjer sta k in r naravni št ev ili in r lih . Iz
formule
ar + br = (a + b)(ar- 1 _ ar- 2b + . .. + br - 1 ) ,
ki velja za vsak lih eks ponent r , dobimo , če vstavimo a = 102k in b = 1,
razcep
Torej ima 102n + 1 = 102k r + 1 fakt or 102k + 1. P oseb ej , kadar je n lih ,
lahko vzame mo r = n , k = 1. Število I0 2n + 1 je v tem prime ru deljivo
s 101. Enačba (1) ima zato pri lihem n poleg rešitve x = IOn , y = 1
vsaj še dve nadaljnj i rešit vi v naravnih številih. To da če je n > 3, ni
pr i fak torju 101 niko li več izpolnj en dodat ni pogoj , da je pripadajoči y
n-mestno število .
Ugotovili smo, da premore enačba (1) za neskončno mnogo n rešitve
x , y v nar avnih številih . 8 te m seveda ni rečeno , da obstaja neskončno
parov z lastnostjo (8). Vsak bralec pa se lahko sam prepriča , da ses tavljata
št ev ili
64 . IOn + 24 24 . IOn + 9
x = ln y =
73 73
par z las tnostjo (8) , če je eksponent noblike 8k + 2, kjer je k poljubno
nen egativno celo št evilo. To rej je takih parov neskončno .
336 Matematika - Zanimivosti - Razvedrilo
Kaj lahko povemo o paru x, y, ki je reš itev enačbe (1) pri nekem n,
toda y ni n-mestno število? Iz (1*) razberemo, da je 2y - 1 < LO", torej
y :::; ~ . l O". Zato ima y v desetiškem sestavu kvečjemu n mest . Je torej
k-mestno število, pri čemer je k :::; n . K adar je k < n , dobimo vsoto
kvadratov x 2 + y2 tako, da med številki za x in y vrinemo n - k ničel.
V zgledu, navedenem na začetku, imata števili 88 in 33 obe števki
enaki . Če postavimo dodatni pogoj, da morajo biti v deset iškem zapisu
vse števke števila x med seboj enake in da mora isto veljati t udi za y, pa
je x = 88 in y = 33 edini par s to last nostjo.
Ivan Vidav
DOMAČA NALOGA - R ešit ev s st r. 280
a) Posvetimo se prvi klj učavnici . Kombinacijo lahko ses tavlja 5, 6 ali 7
znakov.
Če jo sestavlja 5 znakov, morajo bi t i t o same števke. Takih možnosti
je 105 .
Če je sestavljena iz šestih znakov, jo lahko sestavlja 6 števk (10 6
možnosti ) a li pa 5 števk in ena črka. Ker lahko stoj i kat erakoli od
petih črk na kateremkoli od šestih mest, je drugih možnosti 6 .5 . 105 .
Če je kombinacija sestavljena iz sedmih znakov, so to lahko ali same
števke ali 6 števk in ena črka ali pa 5 števk in dve črki.
Tako imamo za prvo ključavnico
možnosti.
Za drugo ključavnico imamo eno možnost m anj kot za prvo, saj ne
sme imeti enake kombinacije kot prva. Za vsako naslednjo im am o še
po eno možnost manj kot za prejšnjo. Torej je možnih
kombinacij. To je 7111 99979 kombinacij .
b) Če tipka Scully eno kombinacijo 5 sekund, bi potrebovala za odpiranje
t reh klj učavnic približno 48,33 let . Seveda le , če bi res tipka la, ne pa
skrbela za svo je no hte . Mulder, ki tipka eno kombinacijo 4 sekunde ,
bi preostale štiri klj učavnice odklepal kar 51,55 let .
Zanimivosti - Razvedrilo
c) Seveda bi glavna igralca nadaljevanke prekršila pogodbo, četudi bi
t ipkala bistveno hit reje. Za to liko kombinacij bi ob pr edpostavki , da
za vsako potreb ujemo eno samo sekundo, potrebovali 22,55 let.
d) Pravzaprav to, da je ena kombinacija znana , agentoma ne pomaga
kaj dosti . Pri vsaki ključavnici bi pač kot prvo kombinacijo vtipkala
Napierovo konstanto, dokler ne bi naletela na ključavnico, ki jo t a
kombinacija odpira. Še vedno pa bi ost alo
kombinacij , kar je približno 610 mi lijonov. Če bi agenta, ki drug
drugem u ne za upat a prav posebno, tipkala skup aj (ede n bi le nare-
kova l in preverjal zapisano) in bi za vsako kombinacijo potrebovala 5
sekund , bi odpirala ključavnice kar 96,65 let!
e) Hm, na to vprašanj e pa je malce t eže odgovorit i. Seveda lahko eno-
stavno privzamem o, da povečavanj e procesorske moči zanemarimo
in da vsaka ope racija računalnika pomeni preizku šen o kombinacijo.
Ob takih pr edpostavkah so vse ključavnice odklenj ene prej kot v 6
minutah.
Toda v Dosjejih X se zadev nikoli ne lotevajo tako preprosto. Zato
premislimo ! Ker ne vemo, koliko časa bi Fox potreb oval, da bi se
na pozabljen i računalnik sploh spomnil, označimo s to čas, ko agenta
kombinacije vtipkavata ročno. Ker računalnik sploh ni lahek , bi po-
treboval Fox še t l časa, da bi ga privlekel v rudnik. Scully bi s
sp raševanjem , ali je to res potreb no in zakaj in če ni ona dovolj dobra
že brez računalnika, prisp evala še t 2 časa . No, potem ko zanemarimo
dejstvo, da v jašku ni ustrezne električne vtičnice , da se zato Mul-
der odpelje do oddaljen e vas i po kabel, s katerim napelje elekt r iko iz
bližnj e kantine (pri t em strga in umaže svoj slavni plašč) , lahko nast a-
vimo ustrezn e enačbe. Pri tem ugotovimo, da sp loh ne vemo, kak šn a
je zveza med številom ope racij računalnika in šte vilom kombinacij
t er kako se natančno spreminja procesorska moč računalnika . Zato
dobimo na kon cu st rašansko zapleteno enačbo. V njej up oštevamo še
to, da se začne DeeperBlue po Z l sekundah kuj ati , češ da se s tako
enost avnimi problemi ne bo ukvarj al. Iz protesta začne sam s sebo j
igr ati šah in porabi za to Pl svoje procesorske moči .
No , po zaplete ne m računu pridemo do odgovora, ki je 42 . 42 česa?
To pa je že drugo vprašanj e.
Mojca Lokar
Slika 2. O zvezd je Škor p ijon je pri nas
vidno zvečer od junija d o avgusta nizko
na j užnem delu neb a . To skico zvez-
dnega neb a u porabi t e v praksi . Obr-
nete se p roti jugu in jo dvignete pred se .
Nato s preslik avo skice na neb o poiščete
ozvezdja oziroma zvezde .
Astronomija [
SRCE
Ko se pomlad prevesi v poletj e, se pri nas nad južni del obzorja v večernih
ur ah najvišje povzpne značilno ozvezdje Škorpijon s svojo naj svetlej šo
tem no rdečo zvezdo Antares.
Slika 1. Takole po Velikem vozu izsledimo zvezdo Anta res - Srce Škorp ijona (o) .
O m en imo, d a je Antares ena od red kih zve zd, ki so ji določili zorn i kot (0,04" ) in nato
p rem er (800 premerov Son ca ) s pomočjo Luninega zakritj a . Luna na sv oj i navidezni
poti stalno zakriva (oku it ira) zvezd e. Ast ronomi so op azili , da svet loba za krit ih zve zd
ne izgine v t renut ku, kar pomeni, d a so zvezde t elesa končnih razsežn osti in ne točkasta
svet ila . To, d a Luna za krije zvez de, pa je tudi eden od osnovn ih doka zov , d a so zvez de
od Zemlje bolj oddalj en e kot Luna .
Ozvezdj e Škorpijon tesno po-
vezujejo z ozvezdj em Orion. Ni-
koli nista istočasno na nebu. Škor-
pijon je tipično poletno ozvezdje,
Orion pa zims ko. P o starogrški
zgo dbi je škorpijon nekoč pičil Ori-
ona v pet o in velik i lovec je umrl.
Po smrt i je bi l Orion povzdi gnj en
kot ozvezdje na neb o, prav tako pa
t ud i škorpijon . Da ne bi Škor pijon
pon ovno pičilOriona, ali pa da se
ne bi Orion mogel maščevat i nad
ž iva lc o, ki ga j e pogubila , so ju po-
stavili tako zelo daleč narazen na
neb o, da se ne moreta nikdar vi-
deti , kaj šele drug drugemu pri-
bli žati.
Arabci so Škorpijonu rekli
Al 'Akrab, Antaresu pa Kalb
Al'Akrab (Kalbalakrab), kar po-
meni Srce Škorpijona, saj zvezda
IAstronomija
za res leži v osrčju ozvezdja. Stari narodi so Škor pijona na splošno pri-
kazovali kot kr utega ubijalca , ki je varoval neb esn a vrata, skozi kat era
je lahko zaš lo le Sonce . S svoj im st rupe nim repom bi pičil vsakega , ki
bi se pojavil v bl ižini varovanega nebesn ega prede la. Vsi so se ga bali,
razen Kačenosca , ki so ga na starih zvezdnih kartah prikazovali celo tako,
da v rokah drži škorpijona in ne kače, kot ga prikazujejo danes . Seved a
Kačenosec ni nihče drug kot sam bo g zdravilst va Eskulap , ki je poleg
zd ravljenja bolnih znal celo oživiti mrt ve.
. .
)'
tp ~ :
x ..;. ,
-11 :
, 48
: e .,,,
: 49 .tJ
,
• · 4:n:
. 73
- \:. d -'2.... •
.... .. .
..... e X
~
,,
eM707 !.
,+'" :
X ~u
r@~-I
..._- -,
•
..----
~
· VfOl0
Slika 3 . Nebesn i obje kt i, ki jih z da ljnogledom lahko opazujete v ozvezd ju Škor pijon .
P omaga j t e si še s kakim as t ro no mskim učbenikom a li priročnikom , računalniškim astro-
nomskim pro gr a mom a li s poda t ki na In ternetu.
340 Astronomija - Rešitve nalog I
Vzorec zvezd Škorpijo novega repa spomi nja na trnek in narodi južne-
ga Pacifika ga poznajo kot Manijev trnek. Mani , legendarni po linezijski
junak , je nekoč ukradel naj ljubši trnek svo jih bratov. Po nesreči se mu je
zataknil za dno oceana. Potopil se je , da bi ga poskušal sneti . Vlekel je in
se t rudil, dokler ga ni končno prem aknil. Ko pa ga je privleke l navzgor,
je ugot ovil , da je ujel otok, poraščen s t ravo, drevjem , in da so na njem
hribčki in celo ljudj e , ki so opravljali vsakodnevna opravila . P on osen na
svoj izredni ul ov , je izvlekel svo j trnek in ga zagnal visoko na nebo, kje r se
je uj el in sedaj oblikuje ozvezdje Trnek. Ujetemu otoku rečej o domorodci
Manijeva riba, nam pa je znan kot Nova Zelandij a .
Predlagam, da v temni noči izsledite in občudujete ozvezdje Ško rpijon
in v njem njegovo Srce - rdečo zvezdo Antares. Nato vzemite daljnogled
in v tem ozvezdju poiščite še druge nebesne objekte (zvezdne kop ice in
meglice), ji h natančno opazujte, kakšnega od nj ih pa p oskusit e tudi nari-
sati .
Marijan Prosen
NIHALO NA VODILU - R ešitev s st r. 287
Slika 1. Koordinatni sistem nihala.
Izberimo koordinatni sistem za ni-
halo in naj prej poiščimo , kolikšna
sila deluje na prvo kroglico (sli-
ka 1). Označimo trenutni odmik
prve kroglice od ravnovesne lege
z x . Na kroglico de luje poleg vo-
di la še vrvica s silo F. Velikost
te sile je pri majhnem razmerju
mas ~ prib ližno enaka teži druge
kroglice m g. Vodilo dopušča giba-
nje prve kroglice samo v vodoravni
smeri , zato upošt evamo le kompo -
nento sile vrvice v tej smeri: F x =
= -Fcosrp, kjer je rp kot m ed vo-
dilom in vrvico.
Za prvo kroglico je po Newto-
novem zakonu:
y
o
h
m
x lv! x
Ma = -Fcosrp = -mg cos ip ,
kjer je a pospešek. Upoštevajmo izraz za kotno funkcijo cos rp = T; =
- v'h:+x2 ' Do lžino Il poševnega de la vrvice smo dobili sPitagorovim
I Rešitve nalog
izrekom. Tedaj je pospešek
mgx
a = - -::-M-::-V/:;=h2~+=X""2
Pri majhnem skrajnem odmiku (amplitudi) Xo so majhni vsi odmiki x ,
zato jih zanemarimo pod korenom v zgornje m izrazu. Pospešek je tedaj
enak:
mgx
a = - M h .
Pospešek je premo sorazmeren z odmikom in kaže proti ravnovesni legi.
To velja za harmonično nihanje s frekvenco w = j]!JIf. Ker je v času O
odmik največj i in enak Xo, pride v poštev enačba za odmik: x = Xo cos wt .
Poiščimo še enačbo gibanja druge kroglice . Naj bo do lžina vrvice l.
Poševni del vrvice ima trenutno do lžino h , navpični del pa l2 (slika 1). Pri
tem velja l = h+ l2. Koordinata y druge kroglice je enaka y = -(h + l2) =
= - (h + l - ld = -(h + l - v'h2 + x 2). Če spet upoštevamo, da je x
majhen v primerjavi s h , dobimo približen izraz za koren v'h2 + x 2 ~
2
~ h + ~h ' Bralec se lahko prepriča o tem s kvadriranjem desne strani
ocene . Dobil bo tri člene , od katerih lahko enega zanemari. Nada-
ljuj mo: y = - (h + l - (h + ~~)) = - l + ~~ . Vstavimo časovno odvisnost
koordinate prve kroglice x = Xo cos wt in upoštevajmo zvezo cos 2 wt =
= ~ (1 + cos 2wt), pa smo pri kon cu :
xo 2 cos? wt
Y = - l + - - 2-h--
X 2 X 2
Y = (-l + 4~) + 4~ cos 2wt .
Druga kroglica res niha harmonično z dvakrat večjo frekvenco kot prva.
2 2
Amplituda tega nihanja je ~oh ' sr ednja lega pa je -l + ~oh .
Če bi amplituda nihanj a prve kroglice Xo ne bila veliko manjša od h,
bi nihanje ne bilo harmonično. Še veliko bolj zaplet ena bi bila obravnava
gibanj a kroglic, če bi bila masa m primer ljiva z maso M . V nasprotnem
primeru, ko je viš ina h enaka nič, tako da je de l vrvice nad cevko vodo-
raven , je obravnava preprostejša, ker je gibanje obeh kroglic enakomerno
pospešeno.
Milan Ambrožič
Računalništvo I
PRIPOMOČKI ZA D ESKAN JE P O INTERNETU
Nast anek Interneta
Za začetek je treba poseči več kot trideset let nazaj v Združene dr žave
Amerike. To je bilo ob do bje hladne vojne oziroma stalnih napetosti med
tedanjima veles ilama . To je bil čas , ko računalniki še zdaleč niso bili tako
ra zširj en i kot sedaj . Privošči le so si jih lahko samo večje raziskovalne
ustanove, velika podjetja in nekater i državni organi , predvsem voj ska.
Računalnike so takrat že povezovali v računalniška omrežja , v njih pa so
prev ladovali voj aški računalniki.
Hladna vojna je silila sodelujoče v priprave na morebitni resni izb ruh
sovražnosti. Mednje je sodilo tudi preučevanje posled ic jedrskega napada
na ZDA . Pri tem so ugotovili, da bi uničenje nekaj velikih ameri ških raču­
nalniških središč povsem ohromila računalniške komunikacije. V želj i po
rešit vi tega problema so obstoječe centralizirano omrežje postopoma pre-
oblikovali. V novo nastalo omrežje so bili enakopravno vklj učeni računal­
niki in manjša omrežja ameriškega obrambnega ministrstva t er nekaterih
raziskovalnih ust a nov. Taka zas nova je omogočala delovanje om režja t udi
ob nen adnem izpad u večj ega števila računalnikov ali računalniških pove-
zav. Raz iskovalcem, ki so novo omrežje razvijali , je bilo verj etno bo lj ali
manj vseeno, kaj se bo zgodilo z omrežjem po jedrskem uničenj u , a vaj aki
očitno razmišljajo drugače in znanstveniki so t o usp eli izkorist it i. Za znan-
stvenike je bilo pomembno, da so povezani računalniki omogočali bo ljšo
izrabo računalniških zmoglj ivost i, hit er in zanesljiv prenos podatkov med
nj im i in pošiljanje elekt ronskih sporočil oziroma elek tronsko pošto. Na-
stalo omrežje so let a 1969 poimenoval i ARPANET in iz nj ega je zrasel
današnji Int ernet .
Osemdeseta let a so v takratno Sovjetsko zvezo prines la perestrojko
in s t em t udi do lgo pričakovano otop litev med velesilama. Leta 1986 je
nadzor nad omrežjem ARPANET dobila civi lna znanst vena organizacija
NSF (National Scien ce Foundation ). Za znanstvenike je, v nasprotju z
vojaki, izredno zanimiva izmenjava informacij in idej. Zato so začeli pod-
pirati povezovanje raziskovalnih , kasneje pa tudi komercialnih organiza cij
v omrežje, ki je km alu dobilo globalne razsežnosti in povezalo večino raz-
vitega sveta.
Uporabniki Intern et a so se hi t ro navadili, da so lahko v nekaj minutah
dos egli znanca na drugem koncu svet a z elektronsko pošt o. Marsikoga
je pritegnila izm enjava m nenj na elekt ronskih konfer en cah , sp et druge
(predvsem mlaj še uporabnike) pa elekt ro nski klep et z vrstniki po svetu .
Kljub globalni razširjenosti pa so do začetka devetdesetih let Internet
upora blja li predvsem raziskovalci in šolaj oča se mladina.
Računalništvo
Leta 1989 so za pomembno novost poskrbeli Evropejc i. Zanimivo je,
da ta ni prišla z računalniške ustanove, temveč z Evropskega centra za
fiziko delcev (CERN) v Ženevi. Tamkajšnje raziskovalce (anekdota pravi,
da predvsem starejše profesorje) je motila m nožica različnih protokolov
oziroma načinov sporazumevanja med računalniki . Razvili so protokol
HTTP. Novi protokol je bi l namenje n prenos u hiperbesedil. Hiper besedilo
je datoteka, ki po leg navadnega besedila vsebuje še posebej označene be-
sede. Te predstavljajo povezave, prek katerih se lahko preselimo na druge
datoteke poljubne vsebine (h iperbesedilo, slika, zvočni zapis it d .) . Za ob li-
kovanje hi perbesedil so razvili poseben jezik in ga poimenovali HTML.
Prednosti novega načina predstavitve in pre nosa podat kov so kmalu
spoznali t udi na drugih raziskovalni h ustanovah in v nekat eri h računal­
nišk ih podjetj ih. Na računalnikih , povezanih v Internet, so uporabnikom
začeli ponujati datoteke, napisane v jeziku HTML in dosegljive s proto-
kolom HT T P . Nastal je Svetovni splet ali Splet (angleški izraz je World
W ide Web ali kra jše WWW).
Sprehajanje ali deskanje po sp letnih dat ot ekah oziroma spletnih stra-
neh je bilo dokaj okorno, dokler ni let a 1993 študent z univerze v Ill inoisu
napisal svo j program za deskanje po Sp let u ali spletni brskalnik. Poime-
noval ga je Mosaic, njegova poglavit na prednost v primerjavi s sodobniki
pa je bila, da je deloval v grafičnem načinu in je omogočal deskanje s
pomočjo miške. Tako je postal Splet dostopen naj šir šemu krogu ljudi ,
t udi t istim , ki se z računalništvom poklicno ali kako drugače podrobneje
ne ukvarjaj o. Oce njujejo , da je danes v Internet vključenih že več deset
milijonov računalnikov, kakšna desetina od t eh pa ponuja sk upaj oko li 50
milijonov sp letnih strani .
Ogromno število sp letnih stran i seveda pomeni t udi veliko količino
bo lj a li manj zanimivih informacij . Žal ta razbohot enost pomeni t udi
težave pri nj ihovem iskanju in obvladovanju. Dodatno težavo predstavlja
decentralizirana, skoraj anarhična zasnova Interneta. Sp letne strani so
po ob liki zelo heterogene, mnogo je podvajanj in prekrivanj inform acij.
Sp let v marsičem spominja na živ organizem, sa j se sp letne strani ves čas
spreminjajo, vsak dan pa nastane na tisoče novih in ugasn e nekaj starih
spletnih strani . Brez nedavno razvitih orodij za iskanje in razvrščanje
sp letnih informacij bi bila zato uporabnost Svetovnega sp leta precej ome-
Jena.
Orodja za iskanje po Sp letu lahko razdelimo v tri skupin e:
l . sp letna iskala,
2. hierarhična kazala,
3. sp letna meta iskala.
Računalništvo I
Spletna iskala
Namen spletnega iskala je zbrat i podatke o sp letnih stran eh v kazalo in
omogočiti uporabnikom Sp let a iskanje po t eh kazalih . V kazalu so shra-
nj eni deli sp let nih strani oziroma ključne besede. Za izdelavo kazal se
uporab ljajo posebni programi , ki noč in dan pr eiskujejo Splet in z zbra-
nimi podatki zagotavljajo akt ualnost kazala. Ti programi se imenujejo
roboti a li pajki. P rvi tak program je bil Lycos (njegov splet n i naslov je
http://www .lycos.com), ki je dobil ime po neki vrsti pajka. Tako kazalo
lahko potem up or abniki Internet a ali deskarji preisk ujejo s posebnimi, v
t a namen razvitimi progr ami. Običajno ali enostavno iskanje poteka tako,
da uporabnik v sp letno iskalo vn ese zaporedje ključnih besed, za kat ero
domneva , da ga bo pr ipelja lo do željene infomacije oziroma iskane sple-
tne strani. Rezul t a t iskanj a je seznam spletnih strani (oziroma nji hovih
nas lovov), ki vsebujejo katero od vnesenih besed .
Kot primer si poglejmo iskanj e splet nih strani, ki vseb ujejo po datke
o znanem francoskem matematiku (b il je tudi eden od začetnikov računal­
ništva) Blaiseu P ascalu . Pri enost avnem načinu iskanja bi najverjetneje
vn esli zaporedje:
Iblaise pascall .
Pozor en bralec je verj etno op azil, da v zaporedj u , v nasprotju s pra-
vopisom , nismo uporabili velikih začetnic . S tem smo zahtevali, da iskalo
poišče sp letne strani, ki vsebujejo vsaj eno od ključnih besed , napisanih
v kakršn ikoli kombinaciji malih in velik ih črk. Nekatera splet na iskal a
namreč ločij o velike in male črke . Če v vn esen i klj učni besedi uporabimo
vsaj eno veliko črko , bo t akšno splet no iskalo poiskalo samo t iste strani ,
ki vsebujejo b esed e, ki se popolnoma ujemajo z vneseno. Ker ni nobe-
nega pravila o uporabi velikih in malih črk v sp letnih strane h, je v večini
primerov varneje upora biti samo male črke .
Zelo znani sp letni iskali sta še AltaVista (ht t p :IIaltavista . digi-
tal.com) in Excit e (ht t p : / / www. exc i t e. com) . Za svoje delovanje po-
t rebujejo sp letna iskala zelo močno aparaturno opremo. AltaVista je v
času , ko nastaja t a prisp evek , opremljena s triindvajsetimi zelo zmoglj i-
vimi računalniki AlphaServer in AlphaStation. Šestnaj st od teh je pose-
bej dobro op remljenih : vsak ima dvanajst procesorj ev in 8 GB hit rega
pomnilnika, za shranjevanje kazal pa uporablj aj o več diskov s kapacitet o
300 GB. Za primerjavo dod ajmo, da po m niln iške kap acit et e enega od t eh
računalnikov ust rezaj o skupnim pomni lniškim kap acit et am 500 sr ednje
zmoglj ivih osebnih računalnikov .
Računalništvo
Hitrost pa ni ed ino merilo za kva lit eto splet nega iskal a . P omembni
dejavniki kvalitete so še:
1. pogostost obnavljanja podatkov v kazalu ,
2. število sp letnih strani, zaj etih v kazalu ter
3. iskalne metode, vgrajene v splet no iska lo .
Bež no si oglejmo le najpomembnejše iskalne met ode. Večina sple-
tnih iskal omogoča up orabo predpon EJ in EJ , s katerima lahko izrecno
zahtevamo ali izklj učimo besede (oziro ma besed ne zveze). Tako post ane
iskanje natančnejše . P ri tem je t reba pazit i, da med pred pono in besedo ne
vpi šemo presledka. P rej om enj eno iskanje podatkov o Blaiseu P ascalu ne
bilo posebej uspešno, saj bi pol eg iska nih podatkovoslavnem matematiku
med drugim našli še množico sp letnih strani, na katerih se nadobudni pro-
gramerj i hvalijo, kakšne neverjet ne progr ame v programs kem jeziku pascal
so napisali . Število nepotrebnih sp letnih st rani bi lahko zmanjšali, če bi
v sp let no iskalo vnes li izraz
I+bla i s e+pas cal l,
s katerim zahtevamo, da najdena sp letna stran vse buje ob e ključni besedi.
Še bo lj bi število najdenih sp letnih strani skrči li z izrazom
I+blaise+pascal- "programming l anguage "1,
saj bi na ta način izključili strani, ki vsebujejo podatke, povezane s pro-
gramskim jezikom pascal. Omenimo, da smo z narekovaj i zaht evali t ako
imenovano bližino oziroma iskanje besedne zveze . Tako smo v zadnjem
op isanem primer u izključili tiste strani, pri katerih besedi programming
in language stojita za poredoma .
Seveda je lahko t ak šn o omejevanje št evila najde nih sp letnih strani
tudi dvor ezno. Hitro se nam namreč lahko zgodi, da je najdenih st rani
premalo in da iskalo kakšno od zanimivih sp letnih strani spregleda. Način
iskanja je zato potrebno čim bo lj prilagodi t i cilju iskanja. Če iščemo čisto
določeno informacijo , npr. rojstni datum Blaisea P ascala , je smiselno
iskanje čim bolj om ejiti. Včasih pa nas zanimajo vse informacije o neki
tematiki, npr. življenje in delo Blaisea Pasca la . V tem pr imeru moramo
paziti , da iskanje zastavimo širše in da kat ere od zanimivih strani ne
spregledamo.
Mnoga sp letna iskala poznajo t udi za ht evnejše načine iskanja. Tako
lahko v AltaVisti iskanje om ejimo na posamezne dele sp letnih do kumen-
tov. Iščemo lah ko np r. samo med be sedami iz naslovov ali pa med imeni
slik v sp letnih straneh. St rokovnj aki , ki skrbijo za splet no iskalo Excit e,
pa so razvili kon cept in teligentnega iskanja ICE , ki omogoča , da se iskanj e
ra zšir i tudi na tiste sp letne strani, ki sicer ne vsebujejo nobene od vnesenih
ključnih besed , vseb ujejo pa besede , ki so z nj imi pom ensko povezane.
Računalništvo I
Hierarhična kazala
Podobno kot pri spletnih iskalih so tudi tukaj podatki o spletnih straneh
shranjeni v kazalu. Od spletnih iskal pa se razlikujejo v dveh pomembnih
značilnostih:
podatki o spletnih straneh so hierarhično organizirani,
raZVIJaJO in vzdržujejo jih ljudje oziroma posebne skupine strokov-
njakov.
Hierarhična organiziranost pomeni , da so vse zajete spletne strani
razdeljene v več velikih področij. V priljubljenem hierarhičnem kazalu
Yahoo! (h ttp://www.yahoo .com) so to: umetnost in humanistika, gospo-
darstvo, računalniki in Internet , izobraževanje, razvedrilo , država, zdravje,
novice in občila, rekreacija in šport, im eniki , regij e, znanost, družbene
ved e ter družba in kultura (slika na III. strani ovitka) . Našteta področj a
se delijo na manjša, ta na še manjša itd. Zaradi take organiziranosti
je iskanje informacij ponavadi enostavnejše. Podatke o Blaiseu Pascalu
lahko najdemo tako, da na področju znanost izberemo podpodročjema-
tematika, tam pa podpodročje matematiki (v času , ko je nastaj al ta
prispevek, je ena od dveh spletnih strani , ki ju najdemo na opisani način,
že ugasnila, kar dobro ponazarja hitro spreminjanje Svetovnega spleta).
Ker za oblikovanje in vzdrževanje hierarhičnih kaz al ne skrbijo raču­
nalniški programi , vsebujejo precej manj spletnih strani kot kazala sple-
tnih iskal. Njihova pomembna prednost pa je, da so vsebovane sple-
tne strani skrbno izbrane in razvrščene . Posebne skupine strokovnjakov
odločajo o t em, katera spletna stran bo izbrana, in o tem, na katerem me-
stu v hierarhičnem kazalu bo prisotna. Zaradi tega so hierarhična kazala
zelo priljubljena, tako da so j ih začeli vgrajevati tudi v nekatera spletna
iskala (npr . v Excite in Lycos) .
Omenimo še , da je v hierarhično kaza lo Yahoo! vgrajena dodatna
pomoč uporabniku, program MyYahoo!. Ta spada v novo vrsto progra-
mov, pisanih za Internet, ki jih im enujemo agenti. Agenti so "inteli-
gentni" vmesniki , ki nudijo deskarjem posebne storitve. Sposobni so se
prilagajati določenemu okolju in z njim komunicirati . Gre za področje
računalništva , ki se šele razvij a . Današnji agenti nudijo pomoč pri delu z
elektronsko pošto, pri navezovanju stikov med deskarji , pri pridobivanju
in filtriranju informacij s Spleta itd. MyYahoo! omogoča, da uporabnik
IRačunalništvo
vnese svoj e osebne pod atke in izb ere področj a, ki ga zanimajo. Na pod-
lagi te h podatkov program ustvari posebno spletno stran, ki se dnevno
spreminja glede na t iste novosti s Spleta , za katere program presodi, da
bi up orabnika lahko zanimale.
Spletna meta iskala
Kot smo že povedali, se spletna iskala med seboj razlikujejo. Zato ni
presen etljivo, da najdeta dve različni spletn i iskali za isto zaporedje vne-
senih ključnih besed običajno dva različna seznama spletn ih strani. Če
želimo pop oln ejšo informacijo o stvari , ki nas zanima, moramo t orej up o-
rabiti obe splet ni iskali. Več sp letnih iskal up orabimo, več spletnih strani
najdem o in popolnejša je doblj en a informacija .
Takšno večkratno iskanj e je seveda dolgočasno , vzame pa lahko t udi
zelo veliko časa . Splet na met a iskala so pravzaprav oro dja, ki to t ežaško
delo nar edijo namesto nas . To so posebni prog rami, ki za iskanje up or a-
blj aj o več "t uj ih" splet nih iskal in za to nimaj o las tnega kazala splet nih
st rani. Rezultat iskanja je spet seznam najdenih spletnih strani, narejen z
zd ru žitvijo seznamov, ki jih pri skrbijo uporabljen a spletna iskala. Primer
splet nega met a iskala je Met aCrawler (h t t p : / / www. me t a cr a wl e r . c om).
ki si pri de lu p om aga z devetim i spletnimi iskali.
Pogled v prihodnost
Napovedovanje je v računalništvu silno neprijetna naloga . Ne bom o pa
se dosti zmotili, če napovem o, da bo šel razvoj predvsem v smeri večj e
"inteligence" iskal nih oro dij . Že omenjeni agenti in koncept inteligentnega
iskanj a so verjet no le predhodnica orodij , ki bodo upor abniku omogočala,
da bo lažje izluščil čim več up orabnih informacij .
Drug pristop k boljšemu obvladovanju Splet a pa je večja specializa-
cija iskalnih oro dij . Ker moraj o sp ecializirana iskala obvladovati le manj ši
del Splet a , so tako zbrani pod atki običajno kvali t etnejši , pa t udi iskanje
željene info rmacije je enostavnejše. Danes že obstajajo specializirana is-
kala , ki so namenj en a iskanju podatkov o pr ogr amski opremi, kompak-
tnih ploščah , knjižnih izdaj ah , revijah itd. P oj avlj aj o pa se tud i iskala ,
ki so namenjena iskanju po datkov v posameznih državah in regijah (npr.
Mat 'Kurja na naslovu http://www . ij s . silslo za iska nje po slovenskem
delu Splet a) .
Aleksand er Vesel
Mat ematika I
MALA ŠOLA TOPOLOGIJE - 6. del
B ar vanje parcel
P reri šite naslednje risbe in jih pobarvajte. Pri t em na j
bo posamezna parcela pobarvana z eno samo barvo, dve
sosed nj i parceli , t o je parceli , ki ju loči skupni lok , pa
vedno z različnima barvama. N e pozabite na zuna-
njost risbe! Parceli, ki imata sk upno kak šno izhodišče, ne pa t udi loka ,
nist a sosednj i in ju torej lahko pobarvamo z ist o barvo .
(a) (b) (c) (d) (e)
1. P ri delu poskusite uporabiti čim m anj barv. Koliko barv ste po-
treb ova li za posamezn i primer? Kdo je risbo (d) pobarva l z najmanj
barvami? In kdo risbo (e)?
2. Sami narišite risbo, za barvanje ka ter e potrebujemo:
(a) samo dve barvi,
(b) vsaj tri barve ,
(c) vsaj štiri barve.
3. Ali zna te narisati risbo, za barvanje katere p otrebujemo vsaj pet
barv?
4. Nariš ite r isbo z osmirm parcelami , ki jo lahko pob arvamo samo s
trem i barvami.
5. Narišite več krožni c s polmeri okrog 5 cm . V prvo vrišit e eno tet ivo ,
v dru go dve, v t retjo tri tetive, itd . Tetive izb iraj te t ako, da boste
vs akokrat dobili znotra j krožnice čim večje števi lo parcel.
(a) (b)
Koliko parcel je na posamezn em koraku? Koliko na jmanj barv potre-
bujete za vsako barvanje (samo notranjosti krožnice)? Kaj op az it e?
IMaternatika
Kratka zgodovina problema štirih barv
Leta 1852 je mladi angleški matematik Fr ancis Guthrie ob barvanju ze-
mljevida angleških grofij pr išel na mis el, da se morda da vsak zem ljevid ,
narisan na ravnini , pobarvati samo s štir imi barvami. Pri t em je zahteval,
podobno kot v zgornj ih nalogah mi, da sta dve sosednj i državi pobarvani
z različnima barvama.
Da obstajajo zemlje vidi, za katere potrebuj emo štiri barve, st e lahko
sami ugotovili, če ste rešili nalogo 2(c). To je ved el že Guthrie. Za dokaz ,
da štir i barve res vedno zadoščaj o, pa je bilo potrebnih nadaljnjih 124 let.
Oglejmo si najpomembnej še delne uspehe. Najprej je Guthriejevemu
sodobniku , velikemu angleškemu ma tematiku de Morganu uspelo doka-
za ti , da na nob eni risbi ne more bi ti pet parcel v položaju, v ka terem bi
vsaka meji la s preost alimi št irimi. Nato je leta 1879 odve t nik Alfred Bray
Kem pe objavil 'dokaz' izreka št ir ih barv, v kat erem je po enajstih let ih
matematik P earcy John Heawood naše l napako. Na osnovi Kempejeve
ideje je Heawood dokazal , da za barvanje zemljevidov zadošča pet barv.
Ni pa mu usp elo dokazati pr avilnosti domneve štir ih barv , čeprav se je z
njo ukvarjal še po lnih 60 let .
Več kot osem nadaljnih desetletij je veliko matematikov , pa tudi lju-
bit eljev, raziskovalo problem št ir ih barv. V ta namen so razvi li št evilne
matematične metode, ki so obogatile tudi druga področj a matematike.
Sčasoma je postalo jasno , da je število primerov, ki bi ji h bilo potrebno
proučiti, izredno veliko . Prvi, ki je po mislil, da bi se dalo problema loti t i
z uporabo računalnika, je bi l nem ški matematik Heinrich Heesch. Nje-
govo delovanje v t ej sme ri je omogočilo , da sta let a 1976 ame riška mate-
matika Kenneth Appel in 'Wolfgang Haken računalniško dokazala , da je
domneva št irih barv prav ilna. Kot zanim ivost povejmo še, da sta svoj
program, ki se je ' uči l' tudi sam, pognala v začetku let a 1976 in po šestih
mesecih , junija ist ega let a , pričakala odgovor.
Kaj pa zunanjost ?
Zlahka uvidirno, da je za izrek št ir ih barv vseeno, ali barvamo samo no-
tranjost risb e ali t ud i njen o zunanjost. Za zunanjost res ne potrebujemo
dodat ne barve: Notranjost risb e obdamo z enostavno sk lenjeno kriv uljo,
ki vsa poteka po zunanjosti risbe. Tako dobimo zaključeno območje , ki
ima eno parcelo več kot prvotna risb a , ki pa ga po našem izreku lahko pra-
vilno pobarvamo s štirimi barvami. Nato samo še razširimo barvo dodane
parcele na vso zunanjost r isbe.
Matematika - Rešitve nalog I
Igra barvanja
Po tem, kar smo izved eli o barvanju s štirim i barvami , je gotovo za nimiva
nasl ednja igra za dva igralca:
Prvi igralec nariše parcelo. Drugi igralec parcelo pobarva
in doda novo parcelo. Nato prvi igralec pobarva drugo parcelo
in spet doda novo, itd. Pri tem morata paziti, da nobeni
sosednji parceli nista enako pobarvani. Igra je končana, ko
je eden od igralcev prisiljen uporabiti peto barvo. Ta igralec
igro tudi izgubi.
Marij a Vencelj
SAD JE - Rešitev z II. strani ovit ka
Izb erimo najprej t r i sadeže ist e vrste. Vzamemo lahko banane, poma-
ranče , jabolka ali hru ške. Im amo torej 4 možnost i. Nato izberimo dva
sadeža druge vrste. Zopet lahko izbiramo med bananami , pomarančami,
jabolki in hruškami , pri čemer pa ne sme mo izbrati ist e vrste sadežev kot
pri prvem izbiranju. Imamo t or ej 3 možnosti . Pri izbiri zadnjega sadež a
moramo le paziti , da ni iste vrste kot že izbrani sadeži . Ker je v košari pet
vrst sadeže v, dve vrsti pa smo že izbrali , nam za zadnjo izbiro ostanejo 3
možnost i. Pripravimo lahko t or ej 4 . 3 . 3 = 36 različnih obrokov .
Ko sestavljamo obrok iz 7 sadežev , izbira prve sku pine sadežev pot eka
enako kot v prejšnj em prim eru. Zop et im amo 4 možnosti. P r i nadaljnjih
izbirah pa m oramo bit i previdni. Ananasa sploh ne morem o vklj učit i v
obrok, saj nimamo dv eh ananasov, pa t ud i vrstni re d izbi r ob eh parov
sadežev ni pomemben. Enak obrok dobimo, če naj prej izb eremo tri ba-
nane, nato pa dve jabolki in nazadnje še dve hruški al i pa če najprej
vzamemo tri banane, nato dve hruški , nazadnje pa še dve jabolki . Prvi
par lahko izb eremo na 3, drugega pa na 2 načina , ker pa vrstni re d izbir
ni pomemben , m oramo število izbir še deliti z 2. Pripravimo lahko torej
4 · 3~2 = 12 različnih obrokov.
Martin Juvan
IR ešitve nalog
DVA SATELITA - Rešitev s str. 273
A
Slika 1.
S satelita se vidi v danem t re-
nutku krogelna kapica , ki jo ome-
jujejo t angente s satelita na Ze-
mlj o . Označimo z R polmer Ze-
mlj e, z r in v polmer in višino
kro geIne kapice ter s h oddalje -
nost satelit a od površja Zemlje.
V en em obhodu opi šejo vse kro -
gelne kapice kro geIni pas z višino
H = 2r (slika 1) .
Kako visoko leti satelit , če se z njega v posameznem t renut ku vidi
m-ti del površine, vidne pri enem obhodu?
Iz P ka p = P p a , sledi 27fR v = 211"RH in od tod v = Zr .m m
Izraz za v vstavimo v zvezo r Z = v (2R-v) (višinski izrek za f::,C E F) ,
od koder sledi r = ';'~4 (dodat no dobljena vrednost r = O ne pride v
št ) . 8Rpos ev ln v = m 2 + 4 '
Z vstavlj anjem vrednost i za v in r v r Z = (v + h )(R - v) (višinski
izrek za f::, A D S) dobimo iskano višino satelita nad Zemljo h = m~~4 ' Za
m = 2 izraz ne obstaja; le z neskončno oddaljen ega satelita bi se videlo
pol Zemljine površine.
Če za naša satelita vstavimo ml = 6 in m z = 12, dobimo, da sta
za hI = ~ in h Z = ~~ oddalj en a od Zemljinega površja. S slike 2
razberemo, da sta največja in najmanjša razd alja med satelitoma enaki
hI + hZ + 2R = i~~ R ~ 15500 km in h I - hZ = 1210R ~ 1300 km.
Slika 2.
M ajda Lavrič, prir. uredn ištvo Preseka
Zanimivosti - Razvedrilo I
KRIŽANKA "OB B LIŽN JI BO-LETNICI NAŠEGA ZNAN:
e,
MARAT(
NEC
VINDI$
BIV$I KIT.
VODITELJ
KAREL
ERBEN
SMUCI$CE
NAZAH.
POHORJU
SPANJE
PRAVO-
SLAVNI
DUHOVNIK
ELEKTR.
IZOLATOR
IZ UMETNE
SNOVI
PODJETJE
GALERJJA V
LJUBLJANI
MLECNI
SLADKOR
'"
MAJHEN
STEBER
" MARJANROZANC OGABNEžNOVOST
(KNJIZNO) KOSTKANINE- SIMBOL ROGER
DRZAVE VADIM
DIPLO- BIV$I ATE
MATSKI KONGO CEBIPRED- AM.IGRA- L PYSfE\STAVNIK LEC(GARY)
PAJCOLAN \ STVARITEV
\ '.. \
IVAN s~D~1:tKA DVOJICA DROBENPOTRC (MARTINA) ODPADEK
OMLACEN IGRALKA
RUMENO· SNOP BLYTH
ZELEN
PLIN SUMERSKI GIBANJEBOGNEBA DELCEV
POGAN.
PRI'
NEKRI- TEHNICNA
SE
STJAN NAPRAVA ~ . NAT
1 URB!'
\
TEMA. KI
IZREDNA
PRe5fM~VALLEPOTA
01 ZDA)
P~?~&,E,
PREDSED·
HUMQ·
~~Mc5'M,ERl5TKA
PUTRIH EVROPO JN KOVAZIJO (BREDA)
, Zanimivosti - Razvedrilo
STVENIKA"
, LETA1987
@ MOČNA
JUB1l.AN-
Sm~IN
NAVPICNO
Vč~~Jj~M POMEMBNAUMRLA AM ZAlNAVA
TŽ~T.}~A
ANDREJ TOVO GIBANJE NACE VEJAMATE· UCITELJEVAIGRAlKA SPRSTI JEMEC ROJSTNO NOVEC ZRAKA V JUNKAR (BIL)TUDI MATIKE MIZA
(MARYI MESTO DIMNIKU
1\ NASAD iJSADNEGA ~~, ~, , DREVJA r- I ,J
liLi { .l.,"-) .....GOVEDO
;\
SVETO. ZMAGA
\ PI5Č~~KI PRI
\ t: »:
$AHU
PRIZORI$CE
NJORKA ANGLE$KO
PIVO
\ ~
DRESUREV BIV$I
'1JCIRKUSU D IRKAČ SLOJLAUDA -
KORIST
AMERI$KO r ZNESEK
) i, BRENKALO i 1 -"(, ) NA '"BANKOVCU
ZENICA
~ OGROM·
PRA·
IGRALEC /N NOST KA~Jg~v 1 MINNEO MOČAN
"-
PRIJEM - ,-
DELAKIJIH
ELVIRA
IZDELO.
JENAPISAL
KRALJ
FILMSKI VALEC l. ~.ZAPOUK MORSKA SNEMALEC KOVINSKIHFIZ1KE RIBA OKRASKOV , ,
KONICA STREŽNIK PODROCJE, '1 , NA NJEGOVEGA
ŽE~~~~ME
DELAVLETALU FIZIKI
~
VIJOLiČAST
l K ! • POLDRAG
,
KAMEN
IBNA I I.KA PESTNER
SLOVENSKA ;
82+62 T-IGRALKA D(BERNARDAJ '---
KATRAN
i
~
RUSKO KRATKO I
N~&MA
MESTOOB ŽENSKO /
\ REKIURAL OGRINJALO f ........OCENA
PORTUGAL· VLADIMIRLAMUT
~A~is~E KRAJ$A OBUKAIMENA L-
POTOMEC RONALD
~
RUSKA Brv$1
NE VESOLJSKA INDIJSKI ,
POSTAJA PREMIER
~c - rRADIJ POSTOJNA ...
\
,
), r......
\
\
: ~~tJKA
" AME~fKA \ !
y
KAA
Fizika I
DVESTO LET GRAVITACIJSKE KONSTANTE
Gravitacijski zakon je let a 1687 ob javil Isaac Newton, ne da bi navedel so-
razm ernostni koeficient . Newtonov gravitacijsk i zakon je samo zagotovil,
da je privlačna sila med te lesoma soraz merna z maso prvega in maso dru-
gega te lesa t er obratno sorazmerna s kvadra tom razdalje: F cx m lm2jr2.
Telesi z masama m l in m 2 sta zelo majhni v primeri z nj uno od dalje-
nostj o r ali pa sta kr ogein o simetrični in je potrebno upoštevati razdalj o
med njunima središčema. Newton je s svoj im zakonom, čeprav ni po-
znal sorazmernost nega koeficienta, uspešno obdelal veliko po javov, med
njimi gibanje planetov okoli Sonca, plimovanje ter preces ijo in nu tacijo
zem eljske osi. Vedel je sice r , kako bi bilo sorazmernost ni koeficient moč
določiti , a gravitacijska sila med te lesoma v laborator iju je tako šibka, da
je z razpol ožljivimi napravami ni mogel izm eriti .
Pozneje so izdelali občutljive torzijske tehtnice. Na tanko ž i č ko so
obesili prečko in merili kot , za kat erega se je prečka zavrtela okoli navpične
osi, ko so na prečko delovali z navorom. Zasuk je bil sorazmeren z navo-
rom. P ravi moj st er pri delu s torzijsko te ht nico je bi l Charles August in
Coulomb (1736 do 1806), ki je okoli let a 1780 z njo raziskal silo t renja
in delovanje zemeljskega magnet nega polja na magnetnico . Za to je dobil
nagrado, ki jo je razpisala francoska akademija znanosti. Deset let pozneje
je Coulomb s torzijsko tehtnico izmeril silo med naelektren ima kroglicama
v odv isnosti od razdalje in prišel do zakona , ki ga imenujemo po njem .
Coulombov zakon je podoben gravit acijskemu, le da v njem električni na-
boj stopi na mesto mase. Tudi Coulomb pri svojem merjenju ni določil
sorazm ernostnega koeficienta, ki ustreza gravitacijski konstanti.
Na misel, da bi občutljivo to rzijsko tehtnico uporabil za merjenje
gravitacijske sile med telesoma v laboratoriju, je prišel že okoli let a 1768
angleški naravoslovec John Michell (1724 do 1793) . Izdelal je t ud i me ri lno
napravo, a prehitela ga je smrt. Michellovo napravo je nazadnje dobil
Henry Cavendish in se lot il merjenj , med katerimi je napravo predelal
(slika 1). Z vrsto skrbnih merjenj mu je uspelo določiti gostoto Zem lje, o
čemer je let a 1798 poročal v razpravi Poskusi za določitev gostote Zemlje
v Kraljevi dru žbi, angleški akademij i znanosti, in jo objavil v njenem
glas ilu (slika 2). Gravitacijske konstante ni posebej navedel, avrednos t ,
ki je izhajala iz njegov ih merj enj , se ni znatno razlikovala od današnje
K, = (6,67259 ± 0,00085) . 10- 11 Nm2 j kg2 .
Gravitacijska konstanta je od vseh sp lošnih konst ant izmerj en a znajslabšo
natančnostjo , kar kaže navedena nenatančnost pri merjenju. Z gravitacij-
Fizika
Slika 1. Risba Cave nd ishe ve naprave iz leta 1798. Torzijsko tehtnico so lesen e stene
GHG ščit ile pred vet rom. Na približn o 1 m d olgi žičk i Im je vise la vodor avna tan ka
bakren a prečka hmh z dolžino 1 = 1, 86 m s svinčenima kr ogli cama x ,x na krajiščih .
Cave nd ish je omen il, d a je pri prvih poskusih uporabil posrebren o bakreno žičko s
pr emer om 0,2 mm. Tod a nj en koeficien t D je b il prema jhen , ker sta se kroglici toliko
odklonili, d a sta zadeli v ohišje iz maha gonij a A BCDDC B AE F F EA. Za t o je uporabil
drugo n itko z večjim koeficientom D , a n i ome ni l, za kakšn o nit ko je šlo. Svinčen i
kr ogl i R ,R z mas o po m2 = 158 kg sta bili togo v pe ti z lesenimi drogov i rR, rr, rPr
in rR. Težišči krogel sta bili v enaki višini kot težišči kroglic in z vrtenj em škripca
MM je bilo mogoče približati krogli kro glicama s t e ali z druge stran i, ne d a bi se bilo
treba približa ti teht n ici. Lego prečke s kroglicama je opazoval z d aljnogled oma T,T
na slonokoščeni ska li z enoto 1,25 mm, ki sta jo osvet ljevala svetilki L,L. Na kroglico
j e bila pritrjen del enake skale, tako da je b ilo mogoče meriti še prem ike za stotino
te enote.
sko konstanto zapišemo gravit ac ijs ki za kon
F _ mI m 2
- ,.. r 2 .
V zakon vstavimo t ežo uteži z maso m l na površju Zemlje F = mIg.
Pri t em sta 9 = 9, 8 m/s2 pospešek prostega padanja in r = 6380 km radij
Zemlje. Iz zakona i zračunamo maso Zemlje
Fizika I
XXI. Experiments to determine tbe Density of tbe Eartb . By
Henry Cavendish, Esq. F.R.S. and A.S.
Read June 21, 1798.
MANY years ago, the late Rev. JOHN M1CHELL, ofthis Society,
contrived a method of determining the density of the earth, by
rendering sensible the attraction of small quantities of matter ;
but, as he was engaged in other pursuits, he did not complete
the apparatus til1 a short time before his death, and did not
live to make any experiments with it . After his death, the
Slika 2. Začetek Cavendi shevega članka v Poročilih Kra ljeve družb e iz let a 1798.
Z njo dobimo gostoto Zemlje
mz 3 kg
"43 = 5,5 . 10 - 3 .
3 7l"T m
Newton je v Principih zapisal: "Ver-
jetno je količina vse snovi Zem lje pet ali
šes t kra t večja, kot če bi jo ses t av ljala vo-
da ." Če bi za upal tej svoji oceni za gostoto
Zemlje, bi lahko z nakazanim računom v
ob rnjen i smeri 111 let pr ed Cavend ishem
vsaj pribli žno določil gravit acijsko kon-
stanto.
Henry Cavendish (slika 3) je bil član
premožne angleške družin e. Že njegov oče
je naredil nekaj po membnih poskusov v
elekt r iki. Rojen je b il let a 1731 v Nici,
kjer je zaradi šibkega zd ravja živela njegova
mati. Umrla je dve leti po Henr yjevem roj-
st vu . Št udiral je na univer zi v Cambrid-
geu in po tedanj i plemiški navadi študija ni
končal. Bil je izreden eksperimentat or , pa Slika 3. Henry Cav end ish (1731
t udi pravi čudak. Nenavadno se je oblačil , do 18 10).
IFizika
jecljal , da ga je bilo težko razumeti , in se izog ibal družb e, posebno ženske.
Trdili so , da je "izrekel v svoje m življenju manj besed kot kdorkoli , vključ­
no z molčečimi menihi" . Let a 1760 je postal član Kralj eve družb e. Sam je
kr il stroške svo jega raziskovanja, živel zelo skromno in leta 1810 , ko je v
Londonu umrl , zapust il pr emoženj e, vred no več kot milij on funtov. Neki
fizik je tedaj rekel, da je bil Cavend ish "najbogatejš i od vse h učenih mož
in najbrž najbolj učen od vse h bogatašev".
Let a 1765 je Cavend ish meril specifične in t al ilne to plote trdnin in
de lal poskuse v kemiji. Let a 1766 je poslal Kralj evi družbi razp ravo o
plinih , ki se j ih je navadil lovit i nad vodo . "Gorlj ivi zrak" - poznej e so
ga imen ovali vodik - je nas t al , ko je kovino polil s kislino. Opisal je t udi
"fiksirani zrak", to je oglj ikov dioksid . Med seboj je primerjal gostoto
plinov in ugotovil , da ima vodik nenavadno maj hn o gostoto , zarad i česar
mu je pripisoval nenavadne last nosti. Cavendis h je t udi ponovil pos kuse
Josepha P riestl eya in opazil roso, ki je nast ala pri gorenj u vodika in ki
jo je Priest ley prezrl. Zanj o je ugotovil , da je voda in odtlej voda ni več
veljala za elem ent. To je prib ližno ob ist em času ugot ovil t ud i J ames
Wat t. Prišlo je do dolgotrajnega spora o pr venst vu, ki je bil doda tno
zapleten zaradi t edanj e navade, da so lahko pisci in uredniki spreminjali
članke v t isku . Spor so zglad ili, ko so 'Wat t a izvolili v Kralj evo dru žb o.
Z električno iskro v zraku je Cavend ish spo j il dušik in kisik t er dobil
let a 1795 dušikovo kis lino , ko je spoj ino raztopil v vodi. Nazadnje je ostal
mehurček plina s prostornino , manjšo od stot ine prvotne prostornine, na
katerega iskra ni delovala. To je bil žlahtni plin argon in drugi žlaht ni
plini , kot so spoznali st o let p ozneje. Dotlej je Cavendishevo odkritje
zatonilo v pozabo.
Cavendish je nerad objavljal, o svoji h električn ih raziskova njih je ob-
javil le t ežko razumlj iv članek let a 1771. William T homson, lord Kelvin
je nalet el na njegovo neobj avljeno delo, v kat erem je op isa l t udi merj enj e
kap ac it ete kondenzatorjev. J ames Clerk Maxwell je poskrbel za ob j avo
Cavendishev ih Električnih raziskovanj let a 1879. Med deli , ki so bila tedaj
prvič o b jav lj ena, j e bil o p is p osku sov , pri kate r ih si j e C avendis h prizade-
val izm eriti influen cir ani naboj v notranjost i naelektrene kovinske krogle.
Ugotovil je, da je ta naboj enak nič , in po tem sklepal, "da morat a bi ti
električn i privlak in od bo j obratno sorazme rna s kvadratom razdalje" .
Meril je kapaciteto kond en zatorj ev in up ošt eval vpliv snov i. Zanimalo
ga je t udi prevaj anje elekt rike in ugotovil je, da ima nasičena raztopina
kamene soli 560-tisočkrat večj i upor od železa z enako ob liko. Znani Ca-
vcnc1ishev lab oratorij v Cambridge u, katerega prvi ravnatelj je bil Maxwell
Fizika I
in na katerem je deloval o lepo št evilo znanih ang leških fizikov, ima ime po
članu Cavendish eve družin e, ki je kot kancler let a 1871 univerzi podaril
več tisoč funtov.
Ponovimo glavne korake Cavend ishevega računa. Po te danj i navadi
ni zapisal veliko enačb, v glav ne m je skl ep al z besed ami in uporabljal
sorazmerje.
Najprej kr ogli z maso po m2 = 159 kg pribli žamo kr oglicama z
ene strani in z daljnogledom določimo na skali ravn ovesno lego prečke
(slika 4). Nato krogli približamo kr oglicama z druge strani in z daljno-
gledom določimo novo ravnovesno lego prečke ter ugotovimo, da je za-
sukana za 5,88 delov skale. Enemu delu skale ustreza ločno merj en i kot
1/766, tako da ustreza pol ovici od 5,88 delov skale ločno merj eni kot ip =
= 3,84 · 10- 3 . Za ta kot se za radi gravitacijsk ih sil krogel na kroglici
zasuče prečka iz ravnovesn e lege, v kateri krogel ni v bli žini ali pa sta
post avlj en i simetrično glede na prečko. Središči krogle in krog lice sta v
razmiku r = 0,23 m. Navor dvojice gravitacijskih sil je D sp = F l in gr avi-
tacijska sila je F = D r.p/l. Iz gravit ac ijskega zakona sledi za gravitacijsko
konst anto x = r 2F/ mlm 2 = r 2D r.p/lmlm 2'
1!'~_
'~'":)'''. ' ''' '
......_-_...... . .
"'''-..
.\. ~~
( . .....~..,.
~ . :M
- s
H
" ".o- .".- -
I!
bl'
..:~:._..-.... . - _ ~.
.-....::.:.: ::{:.:.: :.:.:::: ,:~
................
Slika 4. Legi kroglic in prečke pri Cav end ishevem poskus u v p rvi skrajni ravnovesni
legi kro gel WW in v drugi skra j ni ravnovesni legi ww. V obeh legah navor dvoji ce
grav itacijs kih sil l ·"ml m2 /r2 uravnovesi navor žice D ip , Upoštevali smo, da je zve znica
hW (in hw) nagnjena p roti prečki za m anj kot 90°, delovanje nasprotne krogle na
krogli co (l. "ml m 2fr 2 ) [1 - r 3 / (12 + r 2 )3/ 2] pa je bil o zanemarljivo.
Za nihajni čas prečke izmerimo to = 14 minut in z njim izrazimo
koeficient ž i č ke D pri torz ij i, ker velja t6= 47[2 J / D , če je J vztrajnostni
moment prečke s kr oglicama . K vztrajnostnemu momentu prispevata kro-
glici 2m l (~ l)2 , prispevek prečke je zanemarlj iv. Izraz za D vstavimo v
I FizikCl =Rešitve n!1?og .
prejšnjo enačbo in dobimo
27r2lr2 ep Nm2
li = --~ = 669 .10- 11 - -
m2 t6 ' kg 2
Čeprav Cavendish gravitacijske konstante ni navedel neposredno, je za
gostoto Zemlj e kot povprečje večjega števila poskusov , ki so dali nekoliko
različne izide, dobil 5,48-kratno gostoto vode.
Cavendish je poskus izpeljal tako skrbno, da še danes zbuja sp ošto-
vanj e. Raziskal je vse mogoče vzroke ne željenih motenj. Da ne bi motil
veter , je prečko z žičko in vzvodom zaprl v ohišje iz mahagonija. Izračunal
je gravitacijsko silo mahagonija na kr oglici in se prepričal, da gre le za
majhno motnjo. Motila je tudi t emperaturna razlika, ki je povzročala tok
zraka. Cavend ish je poskusil ocenit i njen vpliv in je pri poskusu segrel
kroglo t er me ril zasuk prečke pri različnih t emperaturah krogle. Njeno
temperaturo je ugotavlj al s t ermometrom, ki ga je vstavil v luknjo v krogli .
Naposled je namestil vso napravo v prostoru, katerega temperatura se je
kolikor mogoče malo spreminjala.
Sor azmernostni koeficient v Coulombovem zakonu je bilo mogoče
določiti šele potem , ko so vp eljali enoto za naboj. Najprej so jo vp eljali
prav preko Coulombove sile. Enaka naboja z 1 absolutno elektrostatično
enoto naboja se v razmiku 1 cm privlačita ali odbijat a s silo 1 dine, to je
10- 5 N. Kolikšna bi bila "absolut na enot a mase", če bi jo določili z gravi-
t acijskim zakonom? Telesi s tolikšno maso bi se v razmiku 1 cm privlačili
s silo 10- 5 N. Iz gravitacijs kega zakona sledi z ml = m 2 za absolutno
enoto mase ml = (10 - 9 /6 ,7. 10-11 )1 / 2 kg = 3,87 kg. Kroglici bi se lahko
kvečjemu dotikali in ne bi mogli imeti večjega radija kot ~ cm. Morali bi
torej imeti gostoto 3,87 kg/ ~7r(5 . 10- 3 ) 3 m 3 = 7,4.106 kg/m3 . Nobena
snov se tolikšni gostoti niti ne približa, za to ne bi bilo mogoče neposredno
izmeriti gravitacijske sile med telesoma z absolut no enoto mase.
Janez Strnad
LAHKA ŠTEVILSKA KRIŽANKA - Rešitev s str. 279
Vodoravno: 2. 730, 5. 58, 7. 26, 8. 11, 10. 18, 11. 7, 12. 156, 13. 1,
14. 27, 15. 99, 17. 64, 19. 15, 21. 225.
Navpično: 1. 25, 4. 36, 17. 67, 18. 12, 20. 50.
Marija Ven celj
Računalništvo I
PRAŠTEVILSKA DEŽELA - Rešitev s str. 278
Id eja rešitve je preprost a : število, zapisano v pr ašt evilskem sistemu, naj-
prej pr eb eremo in pr edelamo v običajni zapis , odš tejemo 1 in zmanjšano
št evil o zope t pr ed elamo nazaj v pr ašt evilski sist em. Poglejmo si posame-
zne kor ake nekoliko natančnej e.
Najprej preberem o vhodni pod atek. To je pr edstavit ev števila v
pr ašt evilskem sist emu . Ta predstavitev je sestavlje na iz zaporedj a parov
števil. Prvi eleme nt para je prašt evilo, drugi pa pripadajoči ekspone nt.
Iz te pr edstavit ve sestavimo običajni za pis števila:
š tevi lo = 1
dokler n i konca parov "praštevilo, eksponent ", ponavljaj
preberi p, e
dokl er j e e <> 0 , ponavljaj
š tevi lo število * p
e = e - 1
do sem
do sem
Prebrano število zmanjšamo za ena in zmanjšano število pr edst avimo v
prašt evilskem sistemu. Imamo dve mož nosti. P rva je, da je doblj eno
število že praštevilo. Če pa to ni res, potem ga deli vsaj eno pr aš t evilo,
ki je manjše ali enako ) 32767 < 182. Zato je smotrno , da si pripravimo
tabelo vseh praštevil do 181. Teh je 42: 2,3, 5,7, 11, 13, 17, 19, 23,29,
31 , 37, 41, 43, 47 , 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109,
113 , 127, 131, 137 , 139, 149 , 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181.
Nato po vrsti (od največj ega praštevila pr oti najmanjšemu) pre-
izkušamo, kolikokrat izbrano pr ašt evilo de li naše število, in če ga deli ,
prašt evilo in ustrezni ekspone nt izpi šem o. Preizku šanje s trenutnim pra-
številom pra [ L] poteka takole:
eksponent = °
dokler je števi lo > 1 in pra[i] de l i število, ponavljaj
število število / pr a[i]
ekspone nt = eksponent + 1
do sem
če j e ekspone nt> 0, izpiš i pra [i] i n eksponent
Ko šte vilo zd elimo z vse mi praštevili iz pripravlj en e t ab ele pr ašt evi l, do-
bimo ostanek, ki je bo disi prašt evi lo bodisi je enak 1. Če je praštevilo, ga
moramo t ud i izpi sati , in sicer z eksponentom 1.
I Računalništvo
Zgornje korake sestavimo v rešitev , za pisano v progr amskem jeziku C:
#include <stdio .h>
short int pra[42] {
2, 3, 5, 7 , 11 , 13,
53 , 59 , 61, 67, 71,
113, 127 , 131 , 137,
} ;
int ma i n(voi d)
{
1* t abe l a praštevil do sqrt (32767 ) < 182 *1
17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 , 47,
73 , 79, 83, 89 , 97, 101 , 103, 107, 109 ,
139 , 149 , 151 , 157 , 163, 167, 173, 179 , 181
int s ; 1 ; 1* število , katereg a praštevilski zapis preberemo *1
int p, e;
int i, eksp ;
printf ("\n\n\nVnesi predstavitev s tevi l a v obliki p e:\n" );
f or (;;) { 1* branje praštevilske predstavitve števila *1
printf(" pe (kone c O O) ");
scanf("%d %d", &p, &e); 1* praštevilo, eksponent *1
if (p ;; O) break;
while (e - - ) s *; p; 1* Sestavljamo število. *1
} 1* for *1
s - -; 1* Zanima na s s-l . *1
1* Pogledamo , katera praštevila sestavl j a j o s . *1
for ( i ; 41 ; i >; O; i - -) {
if (s ; ; 1) break ; 1* Če smo s že razstavili , končamo . *1
i f (pra [ i ] > s) cont i nue; 1* premajhno praštevilo *1
1* Izračunamo ekspone nt, s kater im nastopa prašte vilo. *1
fo r (eks p ; O; s > 1 && s % pra[i] ; ; O; eksp++) s 1; pra [i] ;
if (eksp > O) 1* Izpišemo del praštevilske ga zapi s a . *1
printf (" %d %d ", pra[i] , ek sp) ;
} 1* fo r *1
if (s > 1) printf ( "%d 1" , s); 1* Če j e os t anek praš t evilo, . . . *1
printf ("\n " ) ;
r eturn O;
}
Gornja reš itev ni naj lepša . P raštev ila v praš t evilskem zapisu rezultata na-
mreč niso vedno izpisana (padajoče) urejeno po velikosti. K ad ar je osta-
nek praštevi lo, je to zagotovo največj e praštev ilo v iska nem zapisu , gornja
rešit ev pa ga izpiše na koncu . Če želimo doseči urejen izp is, praštevil in
pripadajočih ekspone ntov ne smemo izpisova ti sp roti, saj bo izpis odvisen
od ostanka, ki ga izvemo šele na kon cu . Ker je "originalna" for mulacija
na loge zahtevala urejeni izp is, so si v "u radni" rešit vi , k i jo opremljeno
z našim i komentarj i predstavljamo v nadaljeva nju , pomagali s tabelo, v
katero shranimo naračunana praštev ila in eksponente t er jo izpišemo šele
1362 Računalništvo I
potem, ko poskrbimo za morebitni izpis ostanka . Take in podobne "kom-
plikacije" , povezane s predpisano obliko vhodnih p odatkov in izpi som re-
zultatov, naredijo rešitev daljšo in seveda zamudnejšo za programiranje,
pa tudi možnost napak se precej poveča.
#include <stdio.h>
short int prime[42]
2, 3, 5, 7, 11, 13,
53, 59, 61, 67, 71,
113, 127, 131, 137,
};
{ 1* tabela praštevil do sqrt(32767)
17, 19 , 23, 29, 31 , 37, 41 , 43, 47,
73, 79, 83 , 89, 97, 101, 103, 107, 109,
139, 149 , 151 , 157, 163, 167, 173, 179 ,
< 182 *1
181
int main(void)
{
FILE *f
FILE *g
int go;
fopen("primelnd . inil, "rt");
fopen(" primelnd.out" , "wt ll ) ;
1* predpisani vhodna *1
1* in izhodna datoteka *1
1* Na vhodni datoteki je lahko več praštevilskih zapisov ,
vsak v svoji vrsti. V zadnji vrsti je število o. *1
for (go = 1; go ; ) { 1* do konca podatkov *1
int s = 1 ; 1* število, katerega zapis preberemo *1
int cis[16] , exp[16]; 1* praštevila in eksponenti v zapisu *1
int m = O; 1* števec praštevil v zapisu *1
int prvy 1, i;
for (;;) { 1* branje predstavitve števila *1
int p , e ;
char nI ;
1* Preberemo praštevilo , eksponent, znak. *1
fscanf(f, "%d %d%c", &p, &e, &nl) ;
if (prvy && (p == O» { 1* O na začetku vrste *1
go = O; 1* Konec praštevilskih zapisov, *1
break; 1* prebrali smo zadnjo ničlo. *1
}
prvy = O;
wh i l e (e--) s *= p ; 1* Sestavljamo število. *1
if (n.l = = ' \ n' II nl == ' \ r ' )
break; 1* Ko smo na koncu vrste, je kone c podatkov . *1
} 1* branje predstavitve *1
if ( !go) break; 1* Končamo glavno zanko. *1
s--; 1* Zanima nas s-l . *1
1* Pogledamo, katera praštevila sestavljajo s . *1
for (i = 41; i >= O; i--) {
int cnt = O;
if (s == 1) break; 1* Če s mo s že razstavili, končamo. *1
if (prime[i] > s) continue; 1* premajhno praštevilo *1
IRačunalništvo - Rešitve nalog
1* Izračunamo eks ponent, s katerim nast opa praštevi l o . *1
whi l e (s > 1 && s % pri me[i] == O)
{ s 1= prime[i] ; ent ++; }
i f (e nt > O) 1* Shran i mo izračunana prafaktor in ekspone nt . *1
{ eis [m] = pr ime[i ]; ex p [m++] = ent ; }
} 1* izračun zapisa *1
if (s > 1) 1* Ostanek j e prašt evilo , večje od 181 . *1
f pr i ntf(g, "'l.d I.d%S II, S, 1 , (m > O) ? Il II : 1111 );
for ( i =O ; i <m; i++ ) 1* izpis praštevilske ga zap i s a *1
fpr i ntf (g , "%d %d%s ", c i s j i } , exp j I} , ( i < m - 1) ? " " "" ) ;
fprintf (g ," \n" ) ;
}
fclose(g);
felose(f) ;
r eturn O;
}
Kot zanim ivost omenimo še, da je sta tabeli c is in exp, v ka ter i
shranjujemo praštevi lsk i zapis, kar precej preveliki (velikost 16 j e bila
morda izbrana za t o , ker so vsa števila , s kat erim i računamo , m anj ša od
216 = 65536) . Ker pa je že produkt prvih sedmih praštevi l en ak 510510
(produkt prvih šest ih je 30030) , no beno od obravnavanih števil ne mo re
im eti več kot 6 različnih prafaktorjev. Zadoščali bi torej t abeli s šestimi
element i.
Matija Lokar
ENAČBA S CELOŠTEVILSKO REŠITVIJO
R ešitev s st r . 331
Drugi igralec la hko vedno zm aga. P oskuša doseči , da bi imela končna
enačba
rešit ev x = 1. Ted aj je 1 + s + t + u. + v = o. Iz t e enačbe lahko drugi
igralec (na četrtem koraku , ki je njegov) iz prejšnji h t reh vpisanih ce lih
koeficientov izračuna četrtega, ki je tudi cel.
Du šan Mu rouec
Astronomija I
PRINCESKA
Sre di poletnih noči je prevladuj oča zvezda na nebu kot briljant bleščeča
Vega v ozve zdju Lira (slika 1). V tem času je naj svetlejša zvezda , čeprav
ji je po siju skoraj enakovredna zvezda Arktur v ozvezdju Volar, ki pa se
je že močno pomaknila ni zko na zahodni del neba in se za to njena svetloba
izgublja v deb elejši plas t i ozračja .
Slika 1. Tako le p o Velike m voz u izsle-
di mo vodilno zvez do (a ) v ozvezdj u
Lira, Princes ko - Vego . Več podat -
kov o Vegi najdemo v računalniških
program ih za as t ro nomijo ali n a In-
t ernetu.
Slika 2. Ozvezdje Lira; za prosto oko
d voj no zvezd o E ps ilon (c) hi t ro n a j-
demo . Vsaka posamezna zvezda c l
in C2 t e dvojne zvez de je spet dvojn a
zvezda, kar u go t ovimo , če opazujem o
z močnej šim d aljnogl ed om (kotni raz-
mi k med zvezd ama pr i dvoj ni zvezdi
cl je okoli 3" , pri C2 p a okoli 2"). M ed
zvezdama Be ta ((3) in G a ma (,) Lire
leži znana pl anetarna m eglic a M 57 ,
vid na že s 6 do 8 centimetrskim dalj-
nogledom kot majčken svet el obročast
kolobarček. Gre za p linasto lu p in o,
os tane k v d av ni p ret eklosti razletele
zvezde.
---o
, .
rM960 ,
~~--" -·1--~-- ~ ·__·_----·-'. :
.."' .' 1
Slika 3. P odoba oz vezdja Lira iz starejšega
zvez d ne ga atlas a (17. sto!.). Stara ljud-
stva so v t em ozvezdj u v ide la t ud i j astre-
ba . Arab ci so Vego im en ovali An 'Nasr
a l' Va ki - Padajoči or el, Iz zad njega d ela
t e besed e je nas t al o im e Vega . E psilon
Lire leži v vratu t ega orl a .
Astronomija
o Vegi pripoveduje zgodba z Daljnega vzhoda. Pooseblj a lep o prin-
cesko, boginj o tkalstva, ki se je poročila z ljubljenim pastirjem . Imela sta
se tako neskončno rad a , da sta kljub opozorilom poglavarja neba in zemlje
pop oln oma zanemarila svoje dolžnosti. Zato se je njuna ljubezen klavrno
končala . Bogovi so ju post avili na neb o daleč nar azen , vsakega na svojo
st ran dolge in široke zvezdne reke, ki ji rečemo Rimska cesta. Tam od
tak rat nemoteno opravljata svoje delo, Princeska - Vega v ozvezdju Lir a ,
Pastir - A tair pa v ozvez dj u Orel (slika 2).
Mi, za razliko od vzhodnjakov,
poznamo Princesko kot sijočo zvez-
do Vega v Liri, to je ozvezdju , ki
ga zvezdne karte navadno prikazu-
jejo kot harfo (slika 3). Tudi grška
zgodba o Liri govori o ža lostni usodi
velike ljubezni med Orfejem in Evri-
dik o. Orfej je igral na liro nepreko-
slj ivo in nepozabno lepo. Ko mu je
za ra di kačj ega pika umrla lep a žena ,
je bil nep opi sno žalost en . S svoj im
bo žans kim brenkanj em in petj em je
uspel priti v prep oved an podzem-
ski svet do samega boga podzemlja,
neizprosnega in trdosrčnega Hada.
Upal je, da bo tam našel Evridiko in
jo pripeljal nazaj na zemljo. Hada je
pregovori l, da je Evridiki dovolil od-
iti . Vendar je R ad p ost avil pogoj ,
da se Orfej med potj o ne sm e ozreti
na Evridiko, ki mu bo sled ila. Tod a
tik pred prihodom na zunanji svet ,
je Orfej le pogled al nazaj , hoteč se
prepričati , če mu Evridika res sled i.
Takrat jo je izgubil za vedno.
Ozvezdj e Lira ni znano le zaradi številnih zgodb in svet le zvezde Vege
- P rinceske v nj em. Zanimivo je t udi za opazovalc e dvojnih zvezd . V njem
lahko op azuj ete slavno "dvojno - dvojno" zvezdo Epsilon (c) Lire (slika
2 in 3) .
P redlagam, da se jasnega poletnega večera odpravi te v odmaknjen
in miren kraj s čim manj svet lobe, se sprostite, umiri te, zlezet e v spalno
vrečo , se udobno uležete v travo ali na klop in op azuj et e zvezdo Epsilon
Lir e. Z lovskim daljnogledom jo vidimo kot širo k par šibkih zvezd , raz-
Astronomija - Rešitve nalog I
m aknje nih med seboj za 3,5' (kotnih minut) . Če imate zelo dober vid,
ob dobrih pogojih vidljivosti zvezdici ločite celo s prostim očesom, saj je
ločlj ivost normalnega človeškega očesa nekako od 2' do 3' .
Slika 4 . P la netarna m eglica M 57 v Liri , posneta z ze lo zmoglji vim daljnogledom.
Opazovanje se zdi res pr eprosto, da pa bo še uspešno , se bo treba kar
precej potruditi . P redvsem mo rate izslediti zvezdo Epsilon Lire. Pa dosti
sreče z opazovanj em .
Marijan Pros en
ZA IZNA JDLJIVE - Rešitev s str. 260
S kupa poberemo tri opeke, jih zložimo ,
kot kaže slika, in izmerimo črtkano ozna-
čeno razdaljo.
Dragoljub M. Milo ševič
I Računalništvo - Rešitve nalog
PONOVNO SAM SEBE - Popravek
V prispevk u "Ponovno sam sebe" , ki je bi l objav ljen na t retj i st rani ovitka
v pr ejšnj i šte vilki P reseka , nam jo je zagode l t iskarsk i škrat. Izkoristil je
st isko s prostorom in v objavljenem programu "pohrus tal" dve prazni
vr sti ci. Prva bi mor ala bit i za pr vo vrs t ico programa, druga pa pr ed
vr sti co int maf.n Cvo i d ). Izpis , ki ga naredi program , tako ni povsem
enak objavljenemu programu (izpis vsebuje dve prazni vrsti ci , ki ju v
ob jav ljen em programu ni , pa bi t am mo rali biti ) . Bralcem se za napako
opravičuj emo, hkrat i pa smo prepričani, da ste napako odkrili in odpravili
že sami.
Uredništvo
CELOŠTEVILSKA HARMONIČNAZAPOREDJA
R ešitev s str. 331
l. Naj bo zapore dje ho, hI , ba, . . . harmonično . To je res natanko takrat ,
ko je
h, _ 2h i _ Ih i +1
z - hi - I + hi+1 '
za vsak naraven i . Enakost lahko zapišemo t ud i takole:
torej je člen -hI ,. aritmetična sredina členov _ 1_ in _ 1_ zaporedje
h i - 1 hi+l'
I I I . . . ..
h o ' "il; ' h
2
' • • • Je torej res aritrneti č no .
2. Naj bo harmonično zaporedje ho, h I , h2 , . . • celošt ev ilsko . Potem so
členi zaporedja ';0' ~, ' ~2 ' ... vsebovani v množici {~I nnaravno
š tev ilo }, k i p a j e omej ena. V sako omejeno aritmet ično za p o red j e p a
je konstantno. Zato je kost antno t ud i zaporedje ho, hI , h2 , .. oo Vsa
iskana celošte vilska harmonična zaporedja so to rej ob like
a ,a,a, . .. ,
kjer je a po lj ub no naravno šte vilo.
Ivan Lisac
Mat ematika I
ŠE O MET OD I PLOŠČiNE
V 4. šte vilki lanskega let nika Preseka smo prikazali, kako lahko z metodo
ploščine rešimo nekatere naloge. Oglejmo si jih še nekaj!
Najprej dokažimo dve neen akosti :
1. Naj bosta ain b do lžini kat et , c do lžin a hipotenuze in v do lžina višine
na hipotenuzo pravokotnega t rikot nika . Potem velja c + v > a + b.
Dokaži!
Ker imamo pravokotni trikotnik , pričnemo s Pitagoro vim izrekom
c2 = a 2 + b2 . Desno st ran dopolnimo do popolnega kvadrata in
zagotovimo, da se enakost ohrani. Do bimo enačbo c2 +2ab = a2 + b2+
+ 2ab. Na levi strani t e enačbe upošt evamo, da je ab = cv (plo š čina
pravokotnega trikotnika!), t orej dobimo c2 + 2cv = (a + b)2. Nato
do po lnimo še levo stran do popolnega kvadrat a , kar nam da enačbo
c2 + 2cv + v2 = (a + b)2 + v2 oziroma (c + V)2 = (a + b)2 + v2. Če v
tej enakost i odštejem o pozit ivno šte vilo v 2 na desni st rani, preide v
neenakost (c +V)2 > (a+ b)2. Ker je koren monotona funkcija in sta
izraza c + v in a + b pozit ivna, se neen akost pri korenj enj u ohrani.
Sled i c + v > a + b.
2. Dokaži, da za vsak par pozitivnih šte vil a , b velja neen akost
a+b r:
- 2- 2: vab .
a+b
a -b
a
Ob tej znani neen akosti se je t udi t ežko spomniti na metodo ploščine .
Morda nas na geomet rijo spo minja desna st ran neen akosti , kjer je
zapisana geometrijska sred ina dveh poziti vnih števil
S slike, ki spominja na enega izm ed
dokazov Pit agorovega izreka , razbe-
remo zvezo (a + b)2 = (a - b)2 +
+ 4ab 2: 4ab. Njen začetek in kon ec
dasta po korenjenju željeno neena-
kost a + b 2: 2v;;b.
b
Skupaj si poglejmo še nalogi, v katerih uporabimo izrek: Tr ikotniki
z enakimi osnovnicami in enakimi višinami na t e osn ovn ice imajo enako
ploščino .
I Mat ematika
1. Dokaži, da razdelijo težiščnice
t rikot nik na 6 ploščinsko enakih
t rikot nikov .
Na sliki najdemo t ri par e trikot -
nikov . Tr ikotnika v paru imata
za osnov nico vsak po lovico pri-
padajoče st ranice in enaki viši-
ni . Zato sta ploščinsko enaka ,
kar je up oštevano že pri ozna-
kah na sliki .
c
Nato up oštevamo, da ima ta iz enakega razloga enako ploščino t rikot-
nika ADC in DBC t er ABF in F CB . Torej dob imo enač bi
ll1
Iz prve sledi S3 = S2, iz druge S2 = Sl .
2. Diagonali poljubnega t rapeza delita trapez na št ir i t r ikotnike. Plo-
ščini trikotnikov nad osnov nicama trape za sta m in n . Izračunaj
ploščino trapeza .
Izberimo oznake kot na sliki. Trikotnika A BC in ABD imat a enaki
osnovnici in enaki višini na ti osnovnici, zato sta njuni ploščini enaki.
n
p
y
c
B
S slike sledi zveza med ploščinami S(ABC ) = m + S(BCP) = m +
+ S (A P D ) = S(ABD).
Torej imata trikotnika B CP in APD enako ploščino , ki jo označimo
s p . Daljico AP označimo z x in daljico PC z y . Vem o tudi , da sta
ploščini t rikotnikov AP D in PC D v razme rju pripadajočih osnovnic
(izrek pod točko 3 v prvem članku s tem naslovom ), t orej *= ~.
370 Matematika - Rešitve nalog I
Enak zaklj uček velja za ploščini trikotnikov ABP in BCP, kar da
podobno enačbo !Il:. = 22.
p y
Sklepamo, da je 'H' = ;;;, torej je p = yrnn. Iskana ploščina trap eza
pa je enaka S = m + ti + 2yrnn.
Silva Kmetič
KROGI, KROGI - Rešitev s str. 265
(a) (b) (c)
Martin Juvan
KRIŽANKA "KAJ PA VREME"
Rešitev s str. 288
I Rešitve nalog
KJE OBMIRUJE VOZEL? - Rešitev s str. 269
S prep rost im prem islekom lahko pridem o do matematičnega modela na-
loge.
Ravnoves ni položaj vozla ustreza stanju najmanj še potencialne ener-
gije sistema uteži. Ker so ut eži enako težke, je ta najmanjša , kad ar je
skupna dolžina t istih delov vrvic, ki so pod desko, največj a. Navedeni
pogoj je očitno izp olnj en , ko je vozel v taki točki , da je skupna dolžin a
delov vrv ic, ki so nad mizo, najmanj ša. Če z A , B , C označimo točke ,
kjer so na mizi luknjice, ločimo dva primera :
1. Točke A , B in C leže na isti premic i. Primerj ava razdalj t akoj pokaže,
da se ust avi vozel v t isti od teh t reh točk , ki leži med ostalima dv em a.
2. Točke A , B in C ne leže na isti premici. Ted aj je pred nami lep
matematični problem :
V t r ikotniku ABC določi točko P tako , da b o v sot a njenih
oddaljenosti od oglišč A , B , C čim m anjša .
Naloga sodi med slavne problem e francoskega matem atika Fermat a ,
ki je živel v 17. st oletju . Imenuje se Fermatov probl em za Tor riccelija po
italij anskem fiziku, ki mu je Fermat po tedanji navadi nalogo zastavil.
V matematični lit er aturi najdem o veliko različnih rešitev zas t avljene
naloge. Zelo lep a se mi zd i eleme ntarn a rešitev, ki jo je let a 1929 objavil
nem ški matem ati k J. E . Hofmann. Oglejmo si jo!
Naj bo najprej P poljubna točka v no-
t ranjo sti trikotnika . Povežimo jo z oglišči c
A , B in C in zavrtimo trikotn ik A B P okrog
oglišča B za kot 60° iz t rikotnika ABC ven .
Točki , v kateri pri t em preidet a P in A ,
označimo s P' in A' , kot na sliki l.
Lega točke A' je odv isna le od točk A
in B in je za vse izbire točke P ist a . A B
Ker je BA = BA' in je <r AB A' = 60° ,
je t rikotnik A B A' enakostraničen . Podobno
ugotovimo, da je tudi trikot nik B P P' ena-
kostraničen . Zat o PB = P P I. Velja še
P A = P' A' , saj smo p IA' dobili z zasukom
iz PA. Tako dobimo za vsoto oddaljenost i
poljubne točke P od oglišč trikotnika ABC
zvezo A'
PA + P B + P C = A'P' + P'P + P C . Slika 1.
Rešitve nalog I
Desna stran t e enakosti pomeni do lžino lomljenke med točkama A' in C ,
ki je v splošnem lomljen a v točkah P in P'.
Iščemo torej t ako točko P , pri kater i bo ta lomljenka najkraj ša , ko
bo torej popolnoma ravna (na sliki 1 je narisan že kar ta primer ) . Ker je
trikotnik BPP' enakostraničen, je <t B P P' = <r B P 'P = 60°. Sledi
<rBPC = 180° - <r B P P ' = 120°
111
<r A P B = <r A' P'B = 180° - « P p'B = 120° .
A'
Slika 2.
Če enakostraničnemu trikotniku AA'B
očrtamo krožn ico, leže točke, iz katerih vi-
dimo stranico AB pod kotom 120° , na kr aj -
šem od obe h krožnih lokov nad tet ivo AB.
Zato poteka Hofmannova kon strukcija točke
P t akole: Nad eno od stranic trikotnika,
denimo AB, konstruiramo nav zven enako-
stranični t rikot nik in mu očrtamo kr ožnico.
Nato povežemo med seb oj tisti oglišči ena-
kostraničnega in prvotnega trikotnika , ki sta
različni od A in B . Točka P je presečišče
te spojnice in enakostraničnemu trikotniku
očrtane kro žnice (slika 2).
Iskana točka P , za katero je vsot a P A + P B + P C minimalna , je torej
točka, iz katere vidimo vsako od stranic trikotnika A BC pod kotom 120° .
(To sledi t udi iz ravnovesja sil, vendar smo C
po naši poti dobili več podatkov o točki P .)
Konstrukcija točke P ni možna , če je kak šen od trikotnikovih kotov
večji od 120°. Točka , katere vsota oddalje nosti od trikot nikovih oglišč je
najmanjša , pa kljub te mu obstaja. Če je <r ACB = l' > 120° , je iskana
točka kar oglišče C takega trikotnika .
Velja celo
AC+BC < AP +BP+ CP,
za vsako točko P i= C, ne gleda na to, kje v ravnini trikotnika ABC se P
nahaja .
Rešitve nalog
Dokaz neenakosti samo ilustrirajmo za primer, ko je lega točke P
glede na trikot nik A BC taka kot na sliki 3, s katere so razvidne tudi
posamezne oznake .
Slika 3.
Velja
x = C Pcostp ,
Od to d dobimo oceno
y = C P cos 'lj; lil
x + y = C P(cos tp + cos 'lj;) =
- 'lj; +tp 'lj; -tp - "(-= 2C P . cos - - cos - - < 2C P . cos - < C P
2 2 2 '
ker je 60 0 < ~ < 900 in zat o O < cos ~ < ~ .
Iz te ocene in zvez
t er
sled i
AC + BC = A F+BG + x + y < AF + BG + CP.
AF in B G sta katet i v pravokotnih t rikotnikih AP F in B P G in to rej
kraj ši od hipot enuz A P in B P . Sled i
AC +BC < AP+BP + CP,
kar smo želeli dokazati .
Marija Vencelj
Rešitve nalog I
NEKOLIKO DRUGAČNIKONSTRUKCIJSKI
NALOGI - Rešitev 2. naloge s str. 209
V 4. številki P reseka smo vam zas t avili naslednj o nalogo:
Nariši t rikot nik, če so podani: oglišče A , središče očrtane krožnice O
in višinska točka V .
Obstaja več različnih reš ite v naloge. Oglejmo si t ako , ki ne za hteva
veliko geomet rijskega znanja.
Seveda je krožni ca s središčem v O in s polrnerom OA iskanemu t ri-
kot nik u očrtana krožnica. Vemo t ud i, da leže v vsakem trikotniku središče
očrtane krožnice O, težišče T in višinska točka V na isti (Eulerjevi) pr e-
mici. Pri te m leži T vedno na dalj ici OV t ako, da jo tretjin i, natančneje
OT = ~TV . Težišče T tretjini tudi težiščnico AA1, t ako da je A lT =
= ~TA (slika) .
Zato sta trikotnika ATV in A1TO pod obna , torej je t udi OAl = ~AV
in OAl II AV.
Sledeč t ej analizi zlahka konstruiramo točko A l ' Dalj ico OV razde-
limo na tri enake de le; težišče T je delilna točka , ki je bliže O . Narišemo
pr emico skozi točki A in T ter skozi točko O vzporednico pr emici AV.
Njuno presečišče je točka Al'
Rešitve nalog
Konstrukcijo zaklj učimo tako, da nansem o skoz i točko Al pravo-
kotnico na prem ico AV, to je na nosilko višine , ki izhaja iz oglišča A .
Presečišči te pravokot nice z očrtano kr ožnico sta oglišči B in C iskanega
t r ikot nika .
Ali obs t aja rešit ev pri po ljub no izbranih točkah A , O in V ?
Točka A l je razpolovišče t rikotnikove st ranice, torej točka v notranjo-
st i očrtane krožn ice. Zato morajo bit i pod atki izbrani tako, da se premica
A T in vzpo rednica prem ici A V skozi točko O sekat a v notranjost i očrtane
kro žni ce. Iz OAI < OA in OAI = ~ AV sledi, da je ta pogoj izpolnjen , če
je A V < 20A . V te m pr imeru rešit ev t udi obst aj a.
Pogoj , ki smo ga izpeljali, je pravzaprav splošna las t nost t rikotnika , ki
jo lahko povem o t udi takole: Razd alja med poljubnim ogliščem in viš insko
točko t r ikotnika ja manjša od prem era t r ikot niku očrtane kro žnice.
M arij a Ven celj
KRIŽANKA "OB BLIŽNJI 80-LETNICI NAŠEGA
ZNANSTVENIKA" - Rešitev s str. 352
os ."..~ ~ ~ ~w~ ~~ =t W l~ =' :: '= 5: ,l":l. 'la! ~:w W~
-"':;: ". ~ s L A P ~ M A o e s A o o V N J A K
=~
tr T A R O K I S T u.\iil. L J U B L J A N A.~ .- ~
ff :'!1:, E K S P E R T I Z A "iir· N O E i::, M A T
~
_.~
~~~ ~" ...., B T ~.. ~ ~ K O P E ~ A L K A L E
R O F E S O R ::.= B A N J O ~ P R I O
I Z I K E ~ ~ ~. U R I =~ S A L i-"""- Z E::l'i::
ii&.~ ~ Č A R A N J E 'f;;;jf~ E K "'':K ca::' P A S A R
= N O V U M~ M R ~ G N U S N I K .=. O S T J~: ~;;;;O~
:;:;:1 A T A Š E ~ Z A I R
I-f.';i;- O Č K A ~ A M E T I S T~ =_.
T A N Č I C A .'_T'!Y T V O R B A .~, O M A N 82+62 S T O
~::, I P ~ E R O S =: - -. S M E T r""'7 T E R ::W~ S O K E P"wir
.w.~ K L O R ~ O T E P ~ A N N ~ P O R T O
---=="""-- V L
r:tq~
'JWio.,g\'~""'"
~':. A J O TE...... .. A P A R A T ~ O I S E ~ M I R ~ R A O
'fm::: Č A R ..fi. N E V T R O N S K I T R A N S P O R T
~ I Č A ::r- U R A L ~.& K U T I N ~ A N A K O N O A.:1'~
Rešitve nalog I
ARABSKI VZORCI - Rešitev s str. 261
Označimo z On obseg lika, sestavljenega iz dveh koncentričnih n-kotnikov
s stranico dolžine a .
Brez posebnega truda, zadošča že uporaba Pitagorovega izreka , do-
bimo:
0 3 = 4a , 04 = 8(2 - V2)a , 06 = 24(2 - V3)a .
Neko liko podrobneje si oglejmo rešit ev za n = 5. Izhajajmo iz znane
povezave med po lmerom kroga r in stranico t emu krogu včrtanega pra-
vilnega petkotnika a:
a = =VlO - 2V5.
2
Na desni risbi upoštevajmo po-
dobnost trikotnikov f::>.BCT in
f::>.SCU :
IBGI : ITGI = ISGI : lUCI ·
Od tod dobimo:
2r( ~)IBCI = --;; r - Vr 2 - 4
c
Izrazimo r z a in uredimo izraz:
4-V2(3+V5)
IBGI = V5' a .
5 - 5
Naposled se potrudimo še do obsega celotnega lika:
05 = 20 . IBGI .
Na podoben način dobimo rešitev tudi za par koncentričnih praviln ih
osemkotnikov :
(
yho+ 14V2)
Os = 32a 2 + v2- 2 .
I R ešitve nalog
V splošnem, za par poljubnih koncentričnih pravilnih n-kotnikov , pa mo-
ramo pri računanju obsega upor abiti t udi kotne funkcij e. Ke r je pot do
rez ultata m alodane enaka kot za par petkotnikov, navedimo le rez ultat:
2na
On = - - ---,-------=---=_=_
1 + sin (n-2)·90o
n
Zaključimo z ne ka j lep imi arabs kimi vzorci:
Vi lko Domajnko
Tekmovanja I
19. MED NARODNO MATEMATIČNO
TEKMOVANJE MEST
Na lanskoletnem 18. mednarodnem tekmovanj u mest so naši tekmovalci
prejeli 5 pohval: Saša Fr atina , Matija Mazi (oba Gimnnazija Bežigrad) ,
Mar tin Knapič (Gimnazija Šentvid ), Martin Milani č (Gimnazija Koper )
in Andrej Vodopivec (Gimnazija Celje) .
Z novim šolskim let om se je začel tudi nov cikel t ekmovanja mest .
Na jesenskem krogu letošnj ega te kmovanja mest so v lažjem sklopu nalog
tekmovalci reševali naslednje naloge:
Prva skupina
1. Po stoj ečih tekočih stopnicah se človek hit reje premika navzdol kot
navzgor. Kaj je hitreje: vzpon in spust po stopnicah , ki se premi-
kajo navzgor, ali vzpon in spust po stopnicah, ki se pr emikajo nav-
zdo l? (P redpostavimo, da so vse hitrosti konstantne, da sta hitrosti
dviganja in spuščanja tekočih stopnic enaki in da je relativna hitrost
premikanja človeka gled e na sto pnice vedno večja od hi t rosti st opnic .)
2. Pokaži, da ima enačba x 2 + y 2 - z 2 = 1997 neskončno mnogo rešitev
v množici celih šte vil.
3. V kvadratu ABCD ležit a točka J( na st ranici B C in točka M na
st ranici CD tako , da dalji ca AM razpolavlja kot <r, J( AD . Pokaži, da
je dolžina daljice AJ( enaka vsoti dol žin dalji c D Al in BJ( .
4. a) Koliko je najmanjše število pr emic, ki sekajo vsa polja na šahovski
plošči veliko sti 3 x 3? ariši t ak primer in poka ži, da manj še število
premi c ne zadošča . (P remica seka polj e šahovnice, če gre skozi neko
notranjo točko tega polja .)
b) Reši enak problem za šahovsko tablo velikosti 4 x 4.
Druga skupina
1. a) Koliko je najmanjše število pr emi c, ki sekajo vsa polja na šahovski
plošči veliko sti 3 x 3? Nariši tak primer in pokaži, da manjše število
premic ne zadošča. (P rem ica seka polje šahovnice , če gre skozi neko
notranjo točko tega polja .)
b) Reši enak problem za šahovs ko tablo velikosti 4 x 4.
2. Naj bosta a in b stranici nekega trikotnika . Kolikšna je lahko dolž ina
tretj e stranice c, da točki , kjer se včrtana in pričrtana krožnica do-
t ikata stranice c, razdelita st ranico c na tri enake dele? (Pričrtana
kro žni ca se dotika stranice c in nosilk st ranic a in b. )
I Tekmo vanja
3. Poka ži, da im a enačba
x y(X - y) + y z (y - z) + zx (z - x) = G
neskončno m nogo reš it ev v množici celih števil.
4. Koliko je največj e št evilo skakačev, ki jih lahko post avimo na šahov-
sko ploščo velikosti 5 x 5, da se nobena dva izme d njih med seb oj ne
napada t a ? P okaži , da je taka post avitev le ena .
V težjem skl opu nalog jesen skega kr oga so t ekmovalci reševali šest
nal og . Obj avlj amo po dve za vs ako skupino:
Prva skupina
1. Zapor edje {xn } je defini rano na naslednji način:
1
X l = 19; X2 = 97 ; Xn+2 = Xn - -- .
x n+l
Pokaži , da je neki člen za pore dja enak O, in določi indeks t ega člena.
2. Vsako stran ico enakostraničnega trikot n ika razdelimo na 10 enakih
delov. Daljice , ki so vzporedne stranicam t r ikot nika in im ajo kraj išča
v del ilnih točkah , razd elijo prvoten t r ikotnik na 100 manjših triko-
t nikov oz iro ma "celic" . Ce lice med dvema sosed nj ima vzporednima
dalj icama tvorijo "t rak" . Največ koliko celic lahko izb eremo, da no-
beni dve izmed nj ih ne bosta ležali na istem traku v nobeni od t re h
smer i?
Druga skupina
1. Zmnožimo vse izr aze ob like
± J1±V2 ± . . . ±J100
(z vsemi mo žnimi kombinacij ami predznakov , "±" j e "+" a li "-" ).
Pokaži , da je rezultat :
a ) celo število ,
b ) popolni kvadrat.
2. Di ma je izn a šel skrivno kodo, s ka t ero vsako črko zamenja z neko
besedo , ki im a največ 10 črk. Kodo im enujemo "do bra" , če lahko
odkodiramo vsako za ko dirano besedo na en sam način . Serjozha je (s
pomočjo računalnika ) preveril, da se vsako besed o, ki je zakodirana
v Dirnovi kodi in nima več kot 10000 črk, moč odkodirati na en sam
način . Ali od to d sled i, da je Dimova koda dobra? (Upoš teva jte, da
sta Dima in Serjozha Rusa in da im a cir ilica 33 črk ! Beseda je vsako
zaporedje črk, ne glede , a li ima kak šen pomen ali ne .)
A leš Vavpetič
Letno kazalo I
PRESEK - list za mlade matematike , fizike ,' astro-
name in računalnikarje - 25. letnik, "leto 1997/98 ,
številke 1-6, strani 1-384
MATEMATIKA
Mala šola topolog ije - 1. d el (M arija Vencelj) 2-6
Pitagorov izrek iz trapeza (Marko R azpet) 7
O št evilih 11 1 (J ože Grasselli ) 20-23
Fot ografija in matemat ika , 2. d el - zaslonka in ekspoz icija
(Pete r Legiša ) oo • ••• • • • • • 66-75
Mala šola topologij e - 2. del (Marija Vencelj) 76-77
Zidovi brez ra zp ok (Tatj ana J ur a nj i) 92-95
Kako ugotov im o , da je naravno število sestavlj eno , preden ga
razstav imo? (Ivan V idav) 130- 136
Ma la šo la t opologij e - 3. del (M arij a Vence lj) 144- 145
Vsota geometrijske vrste - po geometrijsko (Mark o R azpet ) 168- 170
Fotografija in mat em atika , 3. del - globinska ost rina (Peter Legiša) 194-201
Mala šo la topologije - 4. del (M arija Vencelj) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 -223
Prvo srečanj e s Fib onaccijevimi šte vili (Sandi Kl avžar) 232-237
Nesrečno štev ilo 13 je srečno (Jože Grasselli) 258-260
Ma la šola to pologij e - 5. del (Marija Vencelj ) 274-276
K vadratno kolo, verižni ca in t raktrisa (Marko in Nada Ra zpet) 294-299
Rešit ev enačbe x 2 + y2 = IOn + y v naravnih št evilih (Ivan Vid av ) 332 -336
Mala šo la topologije - 6. del (M a rija Vencelj) 348-350
Še o metodi ploščine (Silva Kmetič) 368-370
FIZIKA
Sto let katodne cevi (J a nez Strnad) 8-12
Ali je vr edno pobrati kovanec? (Andrej Likar ) 102
Živalski žiroskop (Andrej Likar) 108-110
Spust po klancu (Andrej Likar) 138-140
F izika, matematika in Murphyjev zakon (Janez Strna d ) 210-2 14
Tek in moč (And rej Likar ) 226-227
Merjenje časovnih inter val ov (Andrej Likar) 262 -265
Sončeve me lodije (Zoran Arsov) 270-2 73
Električni tok po kovini (Janez St rn ad) 282-287
Nev iht a - naravni visokon apet ostni spekt akel (Gregor Bavdek ) 322-330
Dvesto let gr avitacij ske konsta nt e (Janez Strnad) 354-359
Letno kazalo
ASTRONOMIJA
Sencomer (Marijan Prosen ) 16-19
P lanet i okrog drugih sonc (Mirjam Galičič ) 34-38
Čudovita (Marijan Prosen ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78-82
O meglici Rak ovici (Mirj am Galičič ) 146-152
Zajec (Marijan Prosen ) 158-159
Meglica in pulzar (Mirjam Galičič) 202-209
Čuvaj (Marijan Prosen) 228-230
Ra zlika med sinods kim in side rs kim mesecem (Kare l Šmigoc) 266-269
Sr ce (Marija n Prosen ) 338-340
Princeska (Marijan P rosen ) 364-366
RAČUNALNIŠTVO
Varne pot i in kratke p oti (Sand i Klavžar ) 24-31
Križi - reš . st r. 136 (M ar tin J uvan) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 100
FO OF C 7 C8 in procesor Pentium (Mart in Juvan, J ože Marinček) 141- 143
Praštevilski dvoj čki in procesor P entium (Ro ma n Drnovšek ) 162-166
Razvoj mikroprocesorjev (M at ija Lokar) 216-219
Praštevilska dežela - reš . str. 360 (Matija Lokar) 278
ACM in mednaro dno tek movanje iz programiranja (Matija Lokar) 290
Ponovn o sam sebe (Ma rt in Juvan) III
Pripomočki za deskanje po In ternetu (A leksande r Vese l) 342-347
Ponovno sam sebe .; popravek (Iz uredništva ) 367
NOVICE
Karl Theodor Wilh elm Weierstrass - ob st olet nici sm rt i
(Anita Močnik) oo • ••• • •• • • • • • • • • • • oo • • •• • • • • • • • • •• • • • • • • • •• • • • • • ••• 13-15
Franc Močnik - odkrit doprsni kip (Zvo nko Perat ) 43-47
Petdeset let p ion a (J a nez Strnad) 86-91
28. fizikaina olimpia da: O , Kanada (Gašpe r Tkačik ) 152-153
38. med narodna matematična olimpiad a (Matjaž Želj ko) 157
28. med na rodna fizika ina olim piada (C iril Dominko) 159
Pogovor s prof. dr. Dušanom Repovšem (Timo tej Žoh ar) 219-221
NOVE KNJIGE
Zb irka Sigma 1997 (Matj až Omladič) 106-107
PISMA BRALCEV
Enakostranični t rikotnik na rdeče-modri ravnini (Martin Zadnik) . . . . 276-278
Letno kaza lo I
Vsota in produkta - reš. str. 102 (Martin Juvan) 12
Na gugalnici - reš . str. 105 (Marija Vencelj) 15
Hitro kvadriranje števil, ki se končujejo s števko 5 - reš . str. 82
(Marija Vencelj) 31
Naloga k članku P laneti okrog drugih sonc (Marijan Prosen) 39
Kubi števk - reš . str. 98 (Martin Juvan) 39
Številska kr ižanka - reš. str. 91 (Dragoljub M . Miloševič ,
prevod Marija Vencelj) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40-4 1
Razkrinkajmo Davida Coperfielda - reš . str. 104 (Matej Mencinger) 42
Metanje kocke - reš. str . 84 (Martin Juvan) 47
Igra - re š . str. 171 (D. M . Miloševič , prevod B . Japelj) 75
Konjev skok - reš . str. 137 (D. M . Miloševič, prevod B. Japelj) 99
Premisli in odgovori - reš . str. 170 (Marija Vencelj) 101
Poenostavi - reš. str. 170 (Marija Vencelj) 110
Šestkotniške tromine - reš . str. 240 (Jurij Kovič) 156
Produkt in vsoti - reš. str. 223 (Martin Juvan) 156
Številska križanka - reš. str. 239 (Marija Vencelj) 167
Kako uganemo odstranjeno števko? - reš. str. 231 (Marija Vencelj) . . . . . . 171
Razt rgani lepak - reš . str. 240 (D . M . Mi loševic , priredba M . Vencelj) .. .. 171
Nekoliko drugačni konstrukcijski nalog i - reš . str. 291 in 374
(Marija Vencelj) 209
Vsak trikotnik je enakokrak - reš . str. 281 (O lga Arnuš) 215
Rezanje palic - reš. str. 290 (D. M. Miloševič , prevod B . Japelj) 230
Za iznajdljive - reš. str. 366 (Dragoljub M . Miloševic) 260
Arabski vzorci - reš. str. 376 (Vilko Domajnko) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
Krogi, krogi - reš . str. 370 (Martin Juvan) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 265
Kje obmiruje vozel? - reš. str. 371 (Marija Vencelj) 269
Dva satelita - reš. str . 351 (Majda Lavrič) 273
Lahka številska kr ižanka - reš . str. 359 (Marija Vencelj) . . . . . . . . . . . . . . . .. 279
Ni halo na vodilu - reš . str . 340 (Milan Ambrožič) 287
Sadje - reš . str. 350 (Martin Juvan) II
Ce loštevilska harmonična zaporedja - reš . str. 367 (Ivan Lisac) 331
Enačba s celoštevilsko rešitvijo - reš. str. 363 (Dušan Murovec) 331
REŠITVE NALOG
Rešitve nalog, zastavljenih v pogovoru s prof. Dušanom Repovšem
(Timotej Žohar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
I Letno kazalo
TEKMOVANJA
33. t ekmovanj e za Zlato Vegovo priznanje (Aleks ande r Potočnik) 48-50
17 . državno t ekmovanj e iz fizike za Zlata St efanova priznanja
(Zla t ko Bradač , Mirko Cvahte) 50- 51
41. matematično tekmovanje sre dnješolcev Sloven ije (Matjaž Željko) 52-54
35. fizika lno t ekmovanje srednješolcev Slovenije (Ci ril Dominko) 54-57
18. mednarodno matemat ično t ekmovanje mest ~ rešitve iz XXIV,
P-6, st r. 378 (Al eš Vavpetič ) 57-62
18. mednarodno matematično t ekmovanje m est ~ pomladansk i krog ~
reš . str . 125 (Aleš Vavpetič) 62-63
Me dnarod na matematična olimpiada 1998 (Mat jaž Željko) 111
32. Področno tekmovanj e za Sreb rno Vegovo priznanje - reš. str. 175
(Aleksande r Potočnik) 111-115
16. Področno tekm ova nje iz fizike za osn ovnošolce - reš. str. 177
(Mirko Cvahte , Zla tko Bradač) 116-11 8
Na loge s predtekmovanja sre dnješolcev iz fizike v šolskem
letu 1996 /97 (C ir il Dominko) 118-1 23
Izbirno tekmovanj e iz matematike za sre dnješolce - reš . st r. 180
(Mat jaž Željko) 123-125
Urnik t ekmovanj v let u 1998 (D arjo Feld a) 173-175
Rešitve nalog s predtekmovanja sr ednješolcev iz fizike v šolskem
letu 1996 /1997 - s st r. 118 (Bojan Golli) 184-191
33 . državno t ekmovanje za Zlato Vegovo prizn anj e - re š. str. 301
(Aleksander Potočnik) 241-242
16. državno t ekmovanje iz fizike za osnovnošolc e - reš . str. 303
(Zlatko Bradač, Mirko Cvahte) 242-246
Naloge z državnega tekmovanja srednješo lce v iz fizike v šolskem
letu 1996/97 (Ciril Dominko) 247-2 51
38. mednarodna matematična olimpiada ~ rešitvi izbranih nalog
(Mat jaž Želj ko) 251-25 3
41. matematično t ekmovanje srednješolcev Slovenije -
reš. st r. 306 (M atjaž Željko) 253-255
Izb irn i t esti za mednarodno matematično olimpiado -
re š . st r. 317 (Matjaž Željko) 255-256
Rešitve nalog z državnega tekmovanja sre dnješolcev iz fizike
v šolskem letu 1996/97 ~ s st r. 247 (Bojan Golli) . . . . . . . . . . . . . . .. 311-3 17
19. m ednarodno matematično t ekmovanje m est (Aleš Vavpetič) 378-379
Letno kazalo I
ZANIMIVOSTI - RAZVEDRILO
Tem elji tost (Marija Ven celj) 23
Križanka "F izikalne vede" - reš . str. 101 (Marko Bokalič) 32-33
Dokazal si je (Vilko Domaj nko) 41
Križanka "V Cerknem odkrit kip slovenskemu m atematiku" -
reš. st r. 172 (Marko Bokalič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96-97
Hit rost v geometriji (V ilko Domajnko) 100
Gobelin "Motocikel" - reš . st r. 172 (Marko Bokalič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Žepni modeli po liedrov - reš. str. 201 (Vilko Domajnko) 154-156 , II
Križanka "Voščilo za jubilej" - reš. str. 231 (Marko Bokalič) 160-161
Grajsk i labirint - reš. str . 240 (Izto k Arčon) 192, III
Križanka "Področja matematike" - reš. st r. 293 (Marko Bokalič) 224-225
Juniper Gree n - Igra z delitelji in večkratniki
(Nataša Vrbančič Kopač) 238-239
Domača na loga - reš . st r . 336 (Mojca Lokar) 280-281
Križanka "Kaj pa vreme?" - re š. str. 370 (Marko Bokalič) 288-289
Križanka "Ob bližnj i 80-let nici našega znanst venika" - reš . st r. 375
(Marko Bokalič) 352-353
PRESEK
lis t za mlade m atematike, fizike , astroname in računalnikarje
25 . letnik, šols ko leto 1997/98 , š tev ilka 6, str a ni 321 - 384
UREDNIŠKI ODBOR: Vladimir Batagelj, Tanja Bečan (jezikovni pregled), Miran
Černe (glavni ured n ik) , Vilko Dornajnko, Roman Drnovšek (novice) , Darjo Felda
(tekmovanja) , Boj an Go lli, Marjan Hribar , Boštjan Jaklič (tehnični ured nik ), Mar-
ti n Juvan (računalništvo), Sa nd i Klavža r , Boris Lavrič , Andrej Likar (fizika), Matija
Lokar, Franci Oblak , Peter P et ek , Marijan P rosen (ast ronomija), Marija Vencelj
(matematika, odgovorna urednica).
Dopisi in naročnine: Društvo m a tem a t ikov , fizikov in astronomov Slovenije - Po-
družnica Ljubljana - Komisija za tisk , Presek, Jadranska c. 19, 1001 Ljubljana,
p .p . 2964, tel. (061) 1232-460, št. ŽR 50106-678-47233. Naročnina za šo lsko leto
1997/98 je za posamezne naročnike 1.6 20 SIT, za skupinska naročilašol 1.350 S I T ,
posamezna številka 324 SIT, za tujino 30 .000 LIT, devizna nakazila SKB banka d.d.
Ljubljana , val-27621-42961/9, Ajdovščina 4, Ljubljana.
List sofinancirata MZT in MŠŠ
Ofset t isk DELO - Tiskarna, Ljubljana
P o mnenju M ZT št. 415-52/92 z dne 5.2 .1992 šte je revija med pro izvode iz 13. točke
t arifne št. 3 za kona o prome t ne m davku , za kater e se plačuje 5% davek od prometa
proizvodov.
© 1998 Društ vo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije - 1354
Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana
Yahoo! Gam es
chess, bridge, hearts .. .
Tod3y'SNelJJs MoreYaMOS
win 2 t1ckets andSs000 ,Ii,. heee~
1 be , M W! Oscar® W innerslo tour tne go l Iheglobe.com
,- - - - - - - - - - - - - - - ....... 1 Search l .Ql!JiQill.
Yahoo! Online - $14.95 amonth Internet access - sign up today
Yellow Pages - People Seareh - Ivlaps - Classifieds - Personals - Chat - Email
Shopping - IvIyYahoo! - News - Sports - Weather - StockQuotes -~
What's New - WeeldyPicks - Today's Web Events - Yahoo! InternetLife- Message Boards
Yahooligans! - Seniors' Guide- Applyfor a Yahoo! VisaCard - Yahoo! Gear - 3p StockViewer
,
• Ar ts and Hum anities
Architeeture Photography. Literature...
• Business and Economy [Xtra!]
Companies Finance Employment...
• Computers and Internet [Xtra!]
Internet. WWW. Software. Multimedia...
• Education
Universities K-12 College Entrance...
• Entertainm ent [Xtra!]
CoolLinks Movies. Music. Humor...
• Government
~ Politics lli!:uill. Law. Taxes...
• Health [Xtra!]
Medicine. Drugs. Diseases. Fitness...
• News and Media [Xtra!]
CurrentEvents. Magf!2ines. IY, Newspapers...
• Recreation and Sports [Xtra !]
Sports. Games. Travel. Amos. Outdoors...
• Reference
Libraries. Dictionaries Phone Numbers...
• Regional
Countries. Regions. U.S. States...
• Science
~~ Astronomy. Engineering...
• Social Science
Ant.hropology Sociology. Economics...
• Society and Culture
People. Environment. Rellgion...
W orld Yahoos Australia & NZ- Canada - Denmark- France - Germany- Japan - Korea
Norway - SE Asia - Sweden - UK & Ireland
Yahoo! Metros Atlanta- Austin- Boston - Chicago - Dallas/ FortWoTTh - Los Angeles
GetLocal Mi.1!m! - Minneapolis/St . Paul- New York-~- Seattle - WashD.C.
SmartShopping withIVISA I
How to Suggesta Site- Company Info - PrivacyPolicy - Contributors - Yahoo ! How- To