      P 47 (2019/2020) 410 Obok A L Pri prenovi hiše, zgrajene še v 19. stoletju (leta 1887), so odkrili zanimiv obok (glej sliko 1). SLIKA 1. Odkrit obok v stari hiši po zrušitvi zidov in preklad, ki so ga zakrivali. Meritve njegovega profila so pokazale, da je zgra- jen v obliki elipse (glej sliko 2). Pred več kot stoletjem zidarji podeželskih hiš še niso poznali železobetonskih nosilcev, gradili so z opeko in apneno malto. Zidani stropi zato niso bili ravni, temveč grajeni z opeko v obliki kupol. Te so najpogosteje pokrivale vlažne kletne prostore. Stro- pe v suhih bivalnih prostorih so izdelali z lesenimi nosilci, ki so jih nalegli na zidove. Nanje so nato nabili deske. Take strope vidimo še danes v obno- vljenih starih gradovih, pa tudi v večjih prenovljenih hišah starejšega datuma. Kljub temu tu in tam še naletimo na obokane stro- pe v bivalnih prostorih. Danes se jih razveselimo in SLIKA 2. Obok, odkrit pri prenovi hiše, zgrajene v 19. stoletju. jih obnovimo tako, da se vidi način njihove gradnje. Oboki in kupole so bili nekdaj osnovni gradbeni elementi. V stari Grčiji so v večjih zgradbah namesto obokov uporabljali kamnite preklade. Te so morale biti zelo kratke, zato so njihove stavbe prepredene s stebri. Kamnita preklada brez železne ojačitve pre- nese le majhne natezne napetosti, ki se pojavijo na spodnji strani. V srednjem veku so cerkve in kate- drale zidali izključno z oboki in kupolami, ki so jih podpirali močni stebri na večjih razdaljah. V idrij- skem gradu je vrsta lepo okrašenih eliptičnih obokov (glej sliko 3). Naredimo leseni krožni obok in ga skušajmo po- staviti! Sestavili smo ga na opori, potem pa smo oporo umaknili (glej sliko 4). Obok stoji stabilno, če poskrbimo, da spodnja dela ne zdrsneta. Natančen pogled je razkril, da se je obok čisto malo sesedel. Ohrabreni s tem uspehom smo izdelali nekoliko vit-       P 47 (2019/2020) 4 11 SLIKA 3. Lepo okrašeni oboki v notranjosti idrijskega gradu (foto: Marko Razpet). kejši obok in ga spet postavili, najprej na opori, nato pa smo oporo odstranili tako, da smo obok previdno dvignili. SLIKA 4. Lesen model krožnega oboka z debelino 3 cm, podprtega po vsej dolžini, in potem, ko smo mu podporo izmaknili. In, glej no glej, obok se je pri še tako previdnem ravnanju vedno podrl. Opasati smo ga morali z gu- mico, da smo ga lahko sploh postavili (slika 5) in še takrat je bil močno nesimetrično zverižen. Nekoliko smo ga popravili tako, da smo nanj pri- slonili flomaster (glej sliko 5). Krožni obok torej potrebuje oporo, če je dovolj vitek. Preseneča, da je le nekoliko vitkejši obok pov- sem izgubil stabilnost. Čas je torej za kakšen račun, ki bi bolje pojasnil razmere. Oglejmo si sile, ki delujejo na izbrani del krožnega oboka z radijem R (glej sliko 6). Najprej je tu njegova teža ∆mg, potem sili obeh sosednjih delov, zgor- SLIKA 5. Z gumico narahlo ovit model oboka se brez dodatne podpore močno povesi, brez gumice pa se vedno podre. Dodatna opora popravi obliko oboka. njega Fz in spodnjega Fs in očitno še sila podpore ∆Fpod, da je vsota vseh sil na del sploh lahko enaka nič. Privzeli bomo, da delujejo sosednji deli med sabo pravokotno na stične ploskve, sile podpore pa pravokotno na obok. Pri iskanju ravnotežja opazovanega dela oboka moramo upoštevati, da sta sili Fz in Fs nekoliko raz- lični po velikosti in da delujeta v nekoliko različnih smereh. Velikost sile Fz naj bo tako F0+∆F0, velikost sile Fs pa F0. Smer sile Fs je podana s pravokotnico na krak kota ϕ, smer sile Fz pa je pravokotnica na krak kota ϕ +∆ϕ. Pri ravnovesju sil v vodoravni smeri dobimo F0 cosϕ−(F0+∆F0)(cosϕ+∆ϕ)−∆Fpod sinϕ = 0. Ravnovesje v navpični smeri da povezavo F0 sinϕ + Fpod sinϕ− − (F0 +∆F0)(sinϕ +∆ϕ)− δ−∆mg = 0. Opazovani del oboka naj ne bo prevelik (čeprav smo ga zaradi preglednosti na skici narisali hudo veli- kega), da še ujamemo potek sile F0 vzdolž oboka in potek podporne sile. Količine z ∆ pred seboj so zato majhne in privzamemo: sin∆ϕ ≈ ∆ϕ, cos∆ϕ ≈ 1, ∆F0∆ϕ ≈ 0, ∆Fpod∆ϕ ≈ 0. Ravnovesje sil torej narekuje naslednji enačbi za ∆F0       P 47 (2019/2020) 412 SLIKA 6. Del oboka z dolžino ∆s in privzete sile, ki delujejo nanj. in ∆Fpod: ∆Fpod = F0∆ϕ + ̺Sg∆x, ∆F0 = −̺Sg∆y. Tu smo z S označili prerez oboka, z ̺ pa njegovo gostoto. Iz zadnje enačbe uvidimo, da mora veljati F0 = F0h + ̺Sg(R −y). Vodoravna sila na vrhu oboka ima velikost F0h. Pri krožnem oboku sta ∆ϕ in ∆x takole povezana: ∆x ∆ϕ = −R cosϕ. Enačba za sile podpore ∆Fpod = F0∆ϕ + ̺Sg∆x je pri krožnem loku kar ∆Fpod = (F0 − ̺SgR cosϕ)∆ϕ. Sila podpore je zvezno porazdeljena, saj velja ∆Rpod ∆s = − 1 R ( F0h + ̺Sg(R −y)− ̺RSg cosϕ ) Kot ∆ϕ raje izrazimo z dolžino loka ∆s opazova- nega dela oboka ∆s = −R∆ϕ, višino y pa kot y = R cosϕ. Če naj podpore na vrhu oboka ne bo, izberemo za F0h: F0h = ̺SgR ter pridemo do končnega rezultata ∆Fpod ∆s = −2̺Sg(1− cosϕ). Krožni obok torej potrebuje podporne sile od zuna- nje strani proti notranjosti. Če podpore ni, se obok povesi, ozek do te mere, da se delci na zunanji strani povsem razmaknejo in se obok podre. Gumica ob- drži zunanje robove delov oboka na varni razdalji. Doslej smo govorili o krožnem oboku. Ali obstaja taka oblika oboka, kjer podpornih sil pravokotno na obok ni potrebno zagotoviti? Obok te vrste se ne bi podrl, četudi bi bil ozek. Kako najti tako obliko oboka? V enačbi, ki določa sile podpore, to je ∆Fpod = F0∆ϕ + ̺Sg∆x, postavimo ∆Fpod = 0 in dobimo F0∆ϕ + ̺Sg∆x = 0. Ker velja splošno ∆F0 = −̺Sg∆y, lahko začnemo graditi obliko oboka tako, da si izbe- remo primerne vrednosti za začetni kot ϕ = ϕ0 pri x = 0 in začetno silo F0 = F0z. Nato se premaknemo       P 47 (2019/2020) 4 13 iz x = 0 v x = ∆x ter izračunamo spremembo kota ∆ϕ in spremembo sile ∆F0 ter pridemo do novih vre- dnosti za kot ϕ =ϕ0+∆ϕ in velikost sile F0z+∆F0. Postopek nadaljujemo, dokler ne dobimo celotne kri- vulje. Enaka, le na glavo obrnjena krivulja, je veri- žnica, po kateri se umiri napeta viseča veriga, od tod njeno ime. Na sliki 7 imamo primerjavo obrisov krožnega in brezpodpornega ali idealnega oboka. Po teh krivu- ljah smo nato izdelali oba oboka. Na sliki 8 je pri- kazan prost idealni obok, ki se ni podrl in tudi ne povesil. SLIKA 7. Načrt, po katerem smo iz deske izrezali krožni (zeleno) in ide- alni (modro) obok. SLIKA 8. Prost idealni obok. Literatura [1] A. Likar, Veriga in obok, Presek 18 1990/1991, 130–133. ××× Kupola A L V prejšnjem prispevku smo govorili o obokih. Med prastare gradbene enote sodijo tudi kupole, ki so jih gradili nad vlažnimi kletmi, kjer bi tramovi trohneli, in nad črnimi kuhinjami, ker so se bali požara. Poleg tega so bile kupole pomemben okras verskih zgradb po celem svetu. SLIKA 1. Element kupole in sile nanj. Kupole so bile različnih oblik. Prevladovale so kro- glaste kupole. Pa si oglejmo statiko kroglaste kupole. Na sliki 1 smo prikazali element kupole in ključne sile nanj. Razmere so pri kupoli bolj zapletene kot pri oboku, saj ima vsak element kupole štiri sosede. Podrobni premisleki in ustrezni računi so kljub temu