List za mlade matematike, fzike, astronome in ra.cunalnikarje ISSN 0351-6652 Letnik 17 (1989/1990) Številka4 Strani 203–207 Vilko Domajnko: ARHIMEDOVA SPIRALA, 2. del Klju.cne besede: matematika. Elektronska verzija: http://www.presek.si/17/994-Domajnko-Arhimed.pdf c 1990 Društvo matematikov, fzikov in astronomov Slovenije c2010 DMFA – založništvo Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo­ljeno. , /""-1.-/""-'1/" , in1c tn1,,-,,-, . ARHIMEDOVA SPIRALA, 2. del Slika 7. D . Fettl, Arhimed, Umetnostna calerlla . Dresden V prejšnjem clanku o Arhimedovi spirali smo si, resnici na ljubo, krivuljo zgolj ogledovali. Dlje od prve, uvodne definicije v Arhimedovi knjigi O spiralah ni­smo prišli. Zato nas tokrat caka preostanek knjige. Seveda pa bi ga bilo prevec za naenkrat -le kak drobec ali tri si privošci mo. Bistrec Arhimed je precej opazil, da je njegova spirala kakor nalašc za re­ševanje tistih prav najtežjih in najbolj žgoc ih starogrških problemov. Namrec z njeno pomocjo je uspel razrešiti problem trisekcije (tretinjenja) kota in kvadra­ture kroga; torej kar dva iz znamenite trojice "nerešljivih" problemov. Poglej­mo, kako zlahka je ugnal s svojo spiralo problem trisekcije kota. Naj bo dan kot a z vrhom v tocki O. Narišimo katerokoli izmed Arhime· dovih spiral r = a.l{) (a E IR+) (slika 8) . Spirala seka zgornji krak v tocki A. Po definiciji spirale bo tocka s krivulje trikrat bližje izhodišcu O pri trikrat manjšem kotu, pri a/3 torej. No, n ic lažjega kot razdeliti daljico OA na tri enake dele! Tako dobim na daljici OA tocki Alin A 2• Tretinski in dvotretinski oddaljenosti tocke A od tocke O poišcem le še ustrezni tocki 81 in 82 ~~ spirali. S šestilom, kakopak! ln še enkrat se spomnimo -oddaljenosti OA / 3 pripada kot a/3, oddaljenosti 2.o"):C / 3 pripada kot 2a/3, oddaljenosti o"A-pa kot a. Hura! Slika 8 Slika 9 205 A nekaj je le treba pripomniti. Spretni Arhimed naloge vendarle ni opravil v duhu Platonovih in Evklidovih zahtev. Ocitno je ignoriral zahtevo, da se sme pri geometrijskih konstrukcijah uporabljati le šestilo in (neumerjeno) ravnilo. Arhimedava konstrukcija spirale pa seveda zahteva umerjeno ravnilo. Pa poglejmo še, kakšn ih vse c udov it ih domislic se Arhimed nikakor ni in ni mogel ubraniti, zroc v svojo micno krivuljo. Takole se je vprašal: Na spirali si izberem tocko T. Ce gledam na spirala kot na sled tiste tocke, ki se giblje enakomerno po poltraku, medtem ko se ta vrti z enakomerno kotno hitrostjo okrog izhodišca, potem me mika zvedeti , kakšna je smer gibanja izbrane tocke Tv pripadajocem casu t; oziroma v kateri smeri bi tocka, ki se je doslej povsem ubogljivo gibala po spirali okrog izhodi­šca , odfrcala naprej po ravnin i, ce bi v tistem "usodnem" casu t (na mestu izbrane tocke T torej) nenadoma iz kakršnihkol i vzrokov zapustila spiralo (slika 10). Predpostaviti seveda smemo, da je tocka neskoncno drobcena (c isto po Evklidovem) in že kar nemasni delec, brez teže torej, ter da bi potemtakem odfrcala kar po ravni crti naprej svojo pot. Arhimed je sklepal takole: V tistem odlocilnem trenutku t je tocki (oznaceni s T) podeljeno dvoje hitrosti -konstantna hitrost, ki kaže v "smeri" od tocke O do tocke T, in pa kotna hitrost, ki ima "smer" tangente na krožnico, pritrjene v tocki T. Velikosti obeh hitrosti sta seveda dani kot zacetna podatka pri risanju spirale. Potemtakem ju lahko zarišemo na obeh omenjenih poltrakih z izhodi ­ šcem v tocki T. Hitrost tocke, ki v casu t v tocki T postane "prosta" in ne-odvisna od dotedanjega gibanja po krivulj i, je (vektorski) seštevek obeh (vektorskih) hitrostnih komponent, ki se ga da prav zlahka odcitati na risbi. Smer gibanja tocke je smer premice, ki je dolocena z vsoto obeh komponent hitrosti. Dvoje je sedaj treba dodati. P rvic. Arhimed takrat zagotovo še ni poznal vektorjev, kakor jih poznamo danes, torej tudi vektorske vsote ne. Danes pa je ob pomoci vektorjev naloga seveda smešno lahka za slehernega srednješolca. ln drugic. Ocitno je tista premica, ki mi kaže nadaljno pot tocke T, kar tangenta na Arhimedovo spiralo v izbrani tocki T. ln reci je treba, da je bil Arhimed prvi v zgodovini, ki se je ukvarjal s problemom, kako poiskati tangento na krivuljo (ki ni ravno pretirano eno­stavne oblike) v njeni poljubni tocki. No, še. vec -ocitno je, da ga je celo uspešno rešil. Pa še z eno izmed precejšnjega števila lepih lastnosti te krivulje se pobliže seznanimo. Naj bo PI plošcina obmocja , ki ga Arhimedova spirala oklepa spolarno osjo pri svojem prvem zasu ku za polni kot, P2 plo šc ina obmocja, ki ga spirala skupaj s polarno osjo zagrajuje med prvim in drugim zasukom, P3, P4, P S, ... pa so nasledniki te zgodbe. Arhimed je ugotovil tole: 1. Plošcina PI je enaka treti ni plošcine prvega kroga, to je tistega, ki ima za svoj polmer oddaljenost tocke po koncu "prvega obhoda" po spirali. 2. Zaporedje plošcin Pi (i = 1, 2, 3, ...) se razvrsti po naslednjem pravilu Dokaz prve trditve je v orig inaln i dl{) Arhimedovi obliki za bralca pre­ cej zahteven. Toda danes, ko poznamo integralski racun , ga z lahkoto opravi vsak študent, ki '-----------­ je le kolickaj pazljiv pri preda­ vanjih višješolske matematike. Slika 12 Namrec 207 Podobno težaško branje bi bralec srecal tudi v dokazu druge Arhimedove trditve. Arhimed je namrec tudi tukaj pokazal prav izjemno mero znanja in spretnosti pri dokazovanju izrekov, ki v okviru današnjega znanja o matematiki sodijo že v podrocje integralskega racuna. Nam ostane pac le to, da vsaj posku­šamo v zapisu vrste plošcin PI, P2, P3, P4, PS, .... opaziti enako mero lepote kakor v lepi risbici pod njo. Slika 13 Vilko Domajriko